Interpolação - Parte I - @professorenan

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Interpolação

Interpolação


• Definição

• Interpolação Linear

• Interpolação Polinomial

• Aplicações

• Interpolação Quadrática

Definição

Interpolação


Interpolar é construir um novo conjunto de dados a partir

de um conjunto discreto de dados pontuais previamente

conhecidos.

Consiste em determinar uma função (iremos considerar

polinômios), que assume valores conhecidos em certos pontos

(nós de interpolação).

A classe de funções escolhida para a interpolação é a

priori arbitrária e deve ser adequada às características que

pretendemos que a função possua.

Definição

Interpolação


Interpolação é o processo de estimar valores de uma

função para valores de diferentes de , para , sabendo‐se apenas

os valores denos pontos

Qual o valor de para

x

y ) ) ) )

Definição

Interpolação


Qual o valor de para

x

y ) ) ) )

Definição

Interpolação


Aplicações

• Obtenção de valores intermediários em tabelas (crescimento de bactérias, consumo de água, energia, etc.);

• Solução de Equações Diferencias Ordinárias (EDO´s);

• Integração numérica;

• Cálculo de raízes de equação;

Definição

Interpolação


Aplicações

Em Engenharia, dispõe-se habitualmente de dados

pontuais obtidos a partir de uma amostragem ou de um

experimento. Tal conjunto de dados pontuais (também

denominado conjunto degenerado) não possui continuidade e isto

muitas vezes torna demasiado irreal a representação teórica de

um fenômeno real empiricamente observado.

Através da interpolação, pode-se construir uma função que

aproximadamente se "encaixe" nestes dados pontuais, conferindo-

lhes, então, a continuidade desejada.

Definição

Interpolação


Outra aplicação da interpolação é a aproximação de

funções complexas por funções mais simples. Suponha que

tenhamos uma função, mas que seja complicada demais para que

seja possível avaliá-la de forma eficiente.

Podemos, então, escolher alguns dados pontuais da

função complicada e tentar interpolá-los com uma função mais

simples.

Aplicações

Definição

Interpolação


Claramente, quando se utiliza de uma função mais simples

para calcular novos dados, naturalmente não se obtém o mesmo

resultado da função original, porém dependendo do domínio do

problema e do método de interpolação utilizado, o ganho de

simplicidade pode compensar o erro.

A interpolação permite fazer a reconstituição

(aproximada) de uma função, bastando para tanto conhecer

apenas algumas das suas abscissas e respectivas ordenadas.

Aplicações

Interpolação


• Interpolação Linear

Interpolação Linear

Interpolação


O principal problema é que se os pontos forem poucos ou

muito afastados entre si, a representação gráfica para uma

determinada função não seria muito bem representada por tal

método. Neste caso, costuma-se utilizar polinômios de graus mais

elevados ou aplicar outros métodos. Um deles é o Método de

Lagrange, que veremos mais a frente.

É o método de interpolação que se utiliza de uma função

linear (um polinômio de primeiro grau) para representar, por

aproximação, uma suposta função que originalmente representaria

as imagens de um intervalo descontínuo (ou degenerado) contido

no domínio de

Interpolação Linear

Interpolação


Exemplo:

Interpolação


• Interpolação Quadrática

Interpolação Quadrática

Interpolação


É o método de interpolação que se utiliza de uma função

quadrátca (um polinômio de segundo grau) para representar, por

aproximação, uma suposta função que originalmente representaria

as imagens de um intervalo descontínuo (ou degenerado) contido

no domínio de

Interpolação Quadrática

Interpolação


Exemplo:

Interpolação


• Interpolação Polinomial

Interpolação Polinomial.

Interpolação


É o processo matemático de interpolação em que a função

interpoladora é um polinômio de grau . A função interpoladora é a

função de grau .

Na fase de escolha do processo matemático de interpolação,

frequentemente são escolhidos polinômios. Isto porque os polinômios

apresentam relativa simplicidade e também porque permitem

representar satisfatoriamente a generalidade das funções que

surgem no cotidiano.

Interpolação Polinomial

Interpolação


Exemplo:

Diferença entre os métodos de interpolação lineares, quadráticas e polinomiais (Lagrange)?

Interpolação


• Linear: Polinômio (função linear) de 1º Grau

• Quadrática: Polinômio (função quadrática) de 2º

Grau

• Lagrange: Polinômio (função polinomial) de Grau

Interpolação Polinomial: métodos.

Interpolação


Métodos de Interpolação Polinomial são utilizados para

aproximar uma função quando:

• é desconhecida. Tem‐se apenas valores de f em um conjunto de

pontos;

• é conhecida, mas é de difícil manipulação;

Interpolação Polinomial: métodos.

Interpolação


Os métodos de interpolação polinomial diferem, uns dos

outros, quanto à técnica de determinação do polinômio interpolador.

Os erros de arredondamento diferem em cada caso, pois as

operações aritméticas são conduzidas de formas distintas, em cada

método.

Alguns dos métodos existentes, são:

• Método de Newton;

• Método de Lagrange;

• Método de Gregory;

Trabalho


Trabalho

Trabalho


• Equações Diferenciais Ordinárias:

• Método de Runge-Kutta;

• Método de Adams;

• Resolução de Equações diferenciais de Ordem Superior; e

• Sistemas de Equações Diferenciais de Primeira Ordem.

• Entregar no dia da avaliação. Vale 30% da nota.

Referências Bibliográficas


ARENALES, S.; DAREZZO, A., Cálculo Numérico: Aprendizagem com apoio de Software. São Paulo: Cengage Learning. 2007.

BARROSO, L. C., BARROSO, M. M. A., CAMPOS Filho, F. F.. Cálculo Numérico com aplicações. São Paulo: Harbras 1987.

CHAPA, S. C.; CANALE R. P.. Numerical Methods for Engineers. 2a ed.. Mc. Graw-Hill. 1990.

CLÁUDIO, D. M.; MARINS, J. M. Cálculo Numérico Computacional. 2ª Ed.. São Paulo: Atlas. 2001.

SANTOS, J. D. .SILVA, Z. C. Métodos Numéricos. Editora Universitária da UFPE, 2006.

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