Interpolação e Quadradura

7/23/2019 Interpolação e Quadradura

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULODEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

CAMPUS DIADEMA

Pratica 2

Métodos de Interpolação e Quadratura

UC: Cálculo Numérico

1 OBJETIVOS

O objetivo desta prática é a implementação do método de a!ran!e na obtenção

de um polin"mio interpolador #ue se apro$ime da %unção dada e a obtenção de suas

inte!rais pela re!ra de &'( de )impson*

2 INTRODUÇÃO

+ apro$imação de %unç,es por polin"mios é uma das ideias mais anti!as #uando

se trata de análise numérica- e ainda sim é uma das mais utili.adas * Como polin"mios

são %acilmente computáveis- as suas derivadas e inte!rais são novamente polin"mios- e

suas ra/.es podem ser encontradas com e$trema %acilidade* 01+NCO- 23345




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+ simplicidade com #ue os polin"mios são %ormados permite #ue a apro$imação

%eita por meio deles seja obtida de vários modos- entre os #uais pode6se citar método

dos m/nimos #uadrados- osculação- mini6ma$- etc* 7m polin"mio interpolador de uma

%unção 89%0$5 sobre um conjunto de pontos distintos $3- $& -***- $n - ao polin"mio de !rau

no má$imo n #ue coincide com %0$5 em $3- $& -***- $n* al polin"mio será desi!nado por

Pn0%;$5 ou simplesmente por Pn0$5* 01+NCO- 23345*

<$istem vários métodos para determinar o polin"mio #ue interpola um sistema-

ou reali.a a inte!ral da %unção - para este trabal=o %oi utili.ado o método de la!ran!e

para interpolar uma %unção inicialmente dada- e para o cálculo da inte!ral %oi dado pelo

método de &'( de )impson*

2*& Método de a!ran!e

+ utili.ação de métodos de interpolação para a determinação de dados é

amplamente utili.ada- pois a partir de valores discretos de uma dada %unção %0$5- sua

interpolação consiste em determinar outra %unção !0$5- normalmente um polin"mio #ue

seja uma boa apro$imação da %unção ori!inal* + interpolação também é utili.ada para

encontrar %unç,es mais %áceis de trabal=ar apro$imando6as de %unç,es de di%/cil ou

imposs/vel resolução- por e$emplo #uando é di%/cil derivar ou inte!rar uma %unção*

07>>I<O e OP<)- 233?5

Na prática %oi utili.ado o método de a!ran!e para se obter uma boa

apro$imação da %0$5 por um polin"mio p0$5- sendo este o !rau má$imo do polin"mio

dado por 0n6&5- onde n o n@mero de pontos con=ecidos- #ue interpola a %unção %0$5

nestes pontos* 07>>I<O e OP<)- 233?5

O método de a!ran!e para se obter o polin"mio interpolador é obtido pela

combinação linear dada pela <#uação &* 07>>I<O e OP<)- 233?5

P ( x )=∑i=0

n

yi Li

0&5

Onde:

P0$59 Polin"mio interpolador de a!ran!e;




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n9N@mero de pontos con=ecidos- #ue corresponde a um polin"mio de !rau

menor ou i!ual a 0n6&5;

8i9 Corresponde ao valor da %unção da ori!inal A%0$ i5B- no ponto $i;

i9 Polin"mios de base de a!ran!e*

Os polin"mios de base de a!ran!e- por sua ve.- tem #ue ser calculados pela

<#uação 2* 07>>I<O e OP<)- 233?5

Lk ( x)=

∏i=0

i ≠ k

n

( x− x i)

∏i=0i ≠k

n

( xk − x i)

025

Onde:

0$59 Polin"mio de base de a!ran!e correspondente ao ponto $ ;

$ 9Dalor de do ponto de%inido como $ ;

$i9Dalores dos pontos di%erentes de $

2*2 e!ra de &'( de )impson

+pEs a obtenção do polin"mio p0$5 #ue se apro$ima da %unção %0$5 dada- %oi

utili.ada a re!ra de &'( de )impson para a obtenção de suas inte!rais* <$istem

vanta!ens de se inte!rar um polin"mio p0$5 #ue se apro$ime da %unção %0$5 ao invés de

inte!rar %0$5- pois normalmente a %unção ori!inal é de di%/cil inte!ração- en#uanto um

polin"mio é mais %ácil de inte!rar- bem como muitas ve.es a %unção é dada apenas de

modo discreto- ou seja- %0$5 é dada por uma tabela de valores* + re!ra de &'( de

)impson consiste em apro$imar a %unção #ue passe por um intervalo- por um polin"mio

de se!undo !rau #ue admita o mesmo valor de %0$5 no intervalo e o ponto central ao

intervalo* 07>>I<O e OP<)- 233?5 e 0)<F+- 233G5

+ re!ra de &'( de )impson também é con=ecida como e!ra de NeHton6Cotes

consiste de inte!rar um polin"mio interpolador de a!ran!e de !rau 2 para a %unção

%0$5- tais #ue a e b são pontos da %Ermula de #uadratura- isto é: a9$ 3 e b9$n - sendo os




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ar!umentos $ são i!ualmente espaçados de uma #uantidade %i$a =- isto é $ & J$ 9=-

onde 93-&-***-n* 01+NCO- 23345* Obtendo assim um valor apro$imado da inte!ral da

%unção ori!inal #ue pode ter uma primitiva #ue não pode ser e$pressada como uma

combinação de %unç,es elementares- portanto- o problema não pode ser tratado

analiticamente* 07>>I<O e OP<)- 233?5

>eometricamente- esse método consiste no uso de parábolas para apro$imar a

curva da %unção ori!inal* Como pode ser descrito pelas <#uaç,es ( e K e G*

∫a

b

f ( x )dx≈∫ xo

xm

P2 ( x )dx= I

0(5

I =h

3{[ f ( x0 )+f ( xm) ]+4 [ f ( x1)+ f ( xm )+…f ( xm−1 ) ]+2 [ f ( x2)+ f ( x4 )+…+ f ( xm−2 )] } 0K5

h=(b−a)/n 0G5

Onde:

%0$591unção ori!inal a ser inte!rada;

P20$59Polin"mio interpolador de a!ran!e de !rau 2 da %unção ori!inal;

a9$39imite in%erior de inte!ração;

b9$m9imite superior da inte!ração;

=9Comprimento do intervalo entre $m e $0m&5

n9N@mero de subdivis,es do intervalo Aa-bB*

%0$i59Dalor da %unção no ponto $i- pertencente ao intervalo Aa-bB*




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3 RESULTADO E DISCUSSÕES

+ partir do #ue %oi discutido- e apresentado durante a introdução - os métodos

numéricos %oram aplicados e obtemos os se!uintes resultados*

(*& 1orma de a!ran!e

Lurante este trabal=o- %oi calculado o polin"mio de la!ran!e para a %unção

de%inida pela <#uação 4 pelo pro!rama )cilab*

f ( x )= x2∗e x2

045

Pelo pro!rama )cilab obtemos o se!uinte cE!ido para o polin"mio interpolador:

cEdi!o

+ partir disso %oi poss/vel observar o se!uinte polin"mio interpolador- e os

se!uintes !rá%icos para a %unção de%inida inicialmente e o polin"mio encontrado - #ue

podem ser de%inidos pela %i!uras 0- - 5

(*2 &'( de )impson 0NeHton6Cotes5

á na %orma de &'( de )impson - %oram calculadas as inte!rais para a %unção

anteriormente de%inida pela <#uação 045 - e para o polin"mio obtido pelo método de

a!ran!e obtido no item anterior *

Pelo )cilab obtemos o se!uinte cEdi!o para o cálculo da inte!ral - tanto para o

polin"mio interpolador #uanto para a %unção:

cEdi!o




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+ partir do #ue %oi demonstrado no pro!rama - %oi poss/vel observar os se!uintes

valores para as inte!rais- como pode ser demonstrado pela %i!ura 0C- 5




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4 CONCLUSÃO

+ partir do #ue %oi apresentado- tanto teoricamente #uanto na prática - %oi

poss/vel observar #ue para o método adotado 0la!ran!e5 - %oi poss/vel observar #ue o

polin"mio interpolador obtido é

0RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR5- desta %orma podemos

concluir #ue sua apro$imação é 05*

Lesta %orma %oi poss/vel observar #ue o cálculo da inte!ral para este tipo de

polin"mio #ue tanto a inte!ral calculada para o polin"mio #uanto para a %unção são

05* Li.endo assim #ue

0RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR5




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5 BIBLIOGRAFIA

FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. 1ª. ed. São Paulo: Pearson, 2006.

RUGGIRO, !. A. G." #OPS, $. #. %. R. Cálculo Numérico: As&e'(os (e)r*'os e

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