Interpolação Polinomial Splines Cúbicos - IME-USP · TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULA INTRODUÇÃO...
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
SPLINES CÚBICOS
Prof. Alexandre Lymberopoulos
Instituto de Matemática e EstatísticaUniversidade de São Paulo
PROF. ALEXANDRE LYMBEROPOULOS INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL SPLINES CÚBICOS
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
1 MOTIVAÇÃO
2 SPLINESSplines Cúbicos
3 ASPECTOS TEÓRICOSConstrução de um SplineMinimalidade dos splinesEstimativas de erros na aproximação por Splines
4 MATLABRotinas no MATLAB
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
COMPARAÇÃO COM POLINÔMIOS DE LAGRANGE
Dados n + 1 pontos do planos (que chamaremos de nós)podemos encontrar o único polinômio de grau n que interpolaesses pontos.
1 Problema: polinômios de grau alto apresentam muita variação naconcavidade.
2 Solução: usar polinômios de grau baixo em cada intervalo entre osnós.
Isto chama-se aproximação por polinômios seccionados.O mais simples é usar polinômios seccionados de grau 1.
1 Problema: a função obtida pode não ser derivável nos nós.2 Solução: usar polinômios seccionados de grau maior.
Polinômios de grau 2?Também não!Se a derivada é pré-determinada nos nós mais extremos aexistência da aproximação por polinômios seccionados de grau2 fica comprometida.
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DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
COMPARAÇÃO COM POLINÔMIOS DE LAGRANGE
Dados n + 1 pontos do planos (que chamaremos de nós)podemos encontrar o único polinômio de grau n que interpolaesses pontos.
1 Problema: polinômios de grau alto apresentam muita variação naconcavidade.
2 Solução: usar polinômios de grau baixo em cada intervalo entre osnós.
Isto chama-se aproximação por polinômios seccionados.O mais simples é usar polinômios seccionados de grau 1.
1 Problema: a função obtida pode não ser derivável nos nós.2 Solução: usar polinômios seccionados de grau maior.
Polinômios de grau 2?Também não!Se a derivada é pré-determinada nos nós mais extremos aexistência da aproximação por polinômios seccionados de grau2 fica comprometida.
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DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
COMPARAÇÃO COM POLINÔMIOS DE LAGRANGE
Dados n + 1 pontos do planos (que chamaremos de nós)podemos encontrar o único polinômio de grau n que interpolaesses pontos.
1 Problema: polinômios de grau alto apresentam muita variação naconcavidade.
2 Solução: usar polinômios de grau baixo em cada intervalo entre osnós.
Isto chama-se aproximação por polinômios seccionados.O mais simples é usar polinômios seccionados de grau 1.
1 Problema: a função obtida pode não ser derivável nos nós.2 Solução: usar polinômios seccionados de grau maior.
Polinômios de grau 2?Também não!Se a derivada é pré-determinada nos nós mais extremos aexistência da aproximação por polinômios seccionados de grau2 fica comprometida.
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DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
COMPARAÇÃO COM POLINÔMIOS DE LAGRANGE
Dados n + 1 pontos do planos (que chamaremos de nós)podemos encontrar o único polinômio de grau n que interpolaesses pontos.
1 Problema: polinômios de grau alto apresentam muita variação naconcavidade.
2 Solução: usar polinômios de grau baixo em cada intervalo entre osnós.
Isto chama-se aproximação por polinômios seccionados.
O mais simples é usar polinômios seccionados de grau 1.
1 Problema: a função obtida pode não ser derivável nos nós.2 Solução: usar polinômios seccionados de grau maior.
Polinômios de grau 2?Também não!Se a derivada é pré-determinada nos nós mais extremos aexistência da aproximação por polinômios seccionados de grau2 fica comprometida.
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DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
COMPARAÇÃO COM POLINÔMIOS DE LAGRANGE
Dados n + 1 pontos do planos (que chamaremos de nós)podemos encontrar o único polinômio de grau n que interpolaesses pontos.
1 Problema: polinômios de grau alto apresentam muita variação naconcavidade.
2 Solução: usar polinômios de grau baixo em cada intervalo entre osnós.
Isto chama-se aproximação por polinômios seccionados.O mais simples é usar polinômios seccionados de grau 1.
1 Problema: a função obtida pode não ser derivável nos nós.2 Solução: usar polinômios seccionados de grau maior.
Polinômios de grau 2?Também não!Se a derivada é pré-determinada nos nós mais extremos aexistência da aproximação por polinômios seccionados de grau2 fica comprometida.
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DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
COMPARAÇÃO COM POLINÔMIOS DE LAGRANGE
Dados n + 1 pontos do planos (que chamaremos de nós)podemos encontrar o único polinômio de grau n que interpolaesses pontos.
1 Problema: polinômios de grau alto apresentam muita variação naconcavidade.
2 Solução: usar polinômios de grau baixo em cada intervalo entre osnós.
Isto chama-se aproximação por polinômios seccionados.O mais simples é usar polinômios seccionados de grau 1.
1 Problema: a função obtida pode não ser derivável nos nós.
2 Solução: usar polinômios seccionados de grau maior.Polinômios de grau 2?Também não!Se a derivada é pré-determinada nos nós mais extremos aexistência da aproximação por polinômios seccionados de grau2 fica comprometida.
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DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
COMPARAÇÃO COM POLINÔMIOS DE LAGRANGE
Dados n + 1 pontos do planos (que chamaremos de nós)podemos encontrar o único polinômio de grau n que interpolaesses pontos.
1 Problema: polinômios de grau alto apresentam muita variação naconcavidade.
2 Solução: usar polinômios de grau baixo em cada intervalo entre osnós.
Isto chama-se aproximação por polinômios seccionados.O mais simples é usar polinômios seccionados de grau 1.
1 Problema: a função obtida pode não ser derivável nos nós.2 Solução: usar polinômios seccionados de grau maior.
Polinômios de grau 2?Também não!Se a derivada é pré-determinada nos nós mais extremos aexistência da aproximação por polinômios seccionados de grau2 fica comprometida.
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DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
COMPARAÇÃO COM POLINÔMIOS DE LAGRANGE
Dados n + 1 pontos do planos (que chamaremos de nós)podemos encontrar o único polinômio de grau n que interpolaesses pontos.
1 Problema: polinômios de grau alto apresentam muita variação naconcavidade.
2 Solução: usar polinômios de grau baixo em cada intervalo entre osnós.
Isto chama-se aproximação por polinômios seccionados.O mais simples é usar polinômios seccionados de grau 1.
1 Problema: a função obtida pode não ser derivável nos nós.2 Solução: usar polinômios seccionados de grau maior.
Polinômios de grau 2?
Também não!Se a derivada é pré-determinada nos nós mais extremos aexistência da aproximação por polinômios seccionados de grau2 fica comprometida.
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DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
COMPARAÇÃO COM POLINÔMIOS DE LAGRANGE
Dados n + 1 pontos do planos (que chamaremos de nós)podemos encontrar o único polinômio de grau n que interpolaesses pontos.
1 Problema: polinômios de grau alto apresentam muita variação naconcavidade.
2 Solução: usar polinômios de grau baixo em cada intervalo entre osnós.
Isto chama-se aproximação por polinômios seccionados.O mais simples é usar polinômios seccionados de grau 1.
1 Problema: a função obtida pode não ser derivável nos nós.2 Solução: usar polinômios seccionados de grau maior.
Polinômios de grau 2?Também não!
Se a derivada é pré-determinada nos nós mais extremos aexistência da aproximação por polinômios seccionados de grau2 fica comprometida.
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DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
COMPARAÇÃO COM POLINÔMIOS DE LAGRANGE
Dados n + 1 pontos do planos (que chamaremos de nós)podemos encontrar o único polinômio de grau n que interpolaesses pontos.
1 Problema: polinômios de grau alto apresentam muita variação naconcavidade.
2 Solução: usar polinômios de grau baixo em cada intervalo entre osnós.
Isto chama-se aproximação por polinômios seccionados.O mais simples é usar polinômios seccionados de grau 1.
1 Problema: a função obtida pode não ser derivável nos nós.2 Solução: usar polinômios seccionados de grau maior.
Polinômios de grau 2?Também não!Se a derivada é pré-determinada nos nós mais extremos aexistência da aproximação por polinômios seccionados de grau2 fica comprometida.
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DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
SPLINES CÚBICOS
O QUE É UM SPLINE CÚBICO?
Tipicamente usa-se a aproximação por polinômios seccionadosde grau 3 e ela é chamada de interpolação com spline cúbico.
Se p(x) tem grau 3 então existem 4 constantes a determinar.
1 Vantagem: isto permite que possamos garantir continuidade dafunção e até de sua derivada de segunda ordem, mesmo quandoespecificamos a derivada primeira da função a ser interpolada nosextremos do intervalo.
2 Desvantagem: as derivadas primeiras do spline não coincidemcom a função original, mesmo nos nós.
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DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
SPLINES CÚBICOS
O QUE É UM SPLINE CÚBICO?
Tipicamente usa-se a aproximação por polinômios seccionadosde grau 3 e ela é chamada de interpolação com spline cúbico.Se p(x) tem grau 3 então existem 4 constantes a determinar.
1 Vantagem: isto permite que possamos garantir continuidade dafunção e até de sua derivada de segunda ordem, mesmo quandoespecificamos a derivada primeira da função a ser interpolada nosextremos do intervalo.
2 Desvantagem: as derivadas primeiras do spline não coincidemcom a função original, mesmo nos nós.
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DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
SPLINES CÚBICOS
O QUE É UM SPLINE CÚBICO?
Tipicamente usa-se a aproximação por polinômios seccionadosde grau 3 e ela é chamada de interpolação com spline cúbico.Se p(x) tem grau 3 então existem 4 constantes a determinar.
1 Vantagem: isto permite que possamos garantir continuidade dafunção e até de sua derivada de segunda ordem, mesmo quandoespecificamos a derivada primeira da função a ser interpolada nosextremos do intervalo.
2 Desvantagem: as derivadas primeiras do spline não coincidemcom a função original, mesmo nos nós.
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DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
SPLINES CÚBICOS
O QUE É UM SPLINE CÚBICO?
Tipicamente usa-se a aproximação por polinômios seccionadosde grau 3 e ela é chamada de interpolação com spline cúbico.Se p(x) tem grau 3 então existem 4 constantes a determinar.
1 Vantagem: isto permite que possamos garantir continuidade dafunção e até de sua derivada de segunda ordem, mesmo quandoespecificamos a derivada primeira da função a ser interpolada nosextremos do intervalo.
2 Desvantagem: as derivadas primeiras do spline não coincidemcom a função original, mesmo nos nós.
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DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
SPLINES CÚBICOS
FORMALIZAÇÃO DO CONCEITO
Se f : [a,b]→ R é uma função e é dado um conjunto de nósa = x0 < x1 < . . . < xn = b, um spline cúbico interpolador é umfunção S : [a,b]→ R satisfazendo
1 S(x) é um polinômio cúbico, indicado por Sj(x) no intervalo[xj , xj+1], para cada 0 ≤ j ≤ n − 1;
2 S(xj) = f (xj), para cada 0 ≤ j ≤ n;3 Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;4 S′j+1(xj+1) = S′j (xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;5 S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;6 Vale uma das seguintes propriedades
S′′(x0) = S′′(xn) = 0 (chamado spline natural ou de contorno livre);S′(x0) = f ′(x0) e S′(xn) = f ′(xn) (chamado spline restrito);
7 O nome contorno livre deve-se ao fato desse spline ter a forma deuma haste flexível se esta fosse forçada a passar pelos nós dados;
8 Splines restritos dão aproximações melhores que os naturais, masexigem mais informação sobre função a ser interpolada.
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NO COMPUTADOR
SPLINES CÚBICOS
FORMALIZAÇÃO DO CONCEITO
Se f : [a,b]→ R é uma função e é dado um conjunto de nósa = x0 < x1 < . . . < xn = b, um spline cúbico interpolador é umfunção S : [a,b]→ R satisfazendo
1 S(x) é um polinômio cúbico, indicado por Sj(x) no intervalo[xj , xj+1], para cada 0 ≤ j ≤ n − 1;
2 S(xj) = f (xj), para cada 0 ≤ j ≤ n;3 Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;4 S′j+1(xj+1) = S′j (xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;5 S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;6 Vale uma das seguintes propriedades
S′′(x0) = S′′(xn) = 0 (chamado spline natural ou de contorno livre);S′(x0) = f ′(x0) e S′(xn) = f ′(xn) (chamado spline restrito);
7 O nome contorno livre deve-se ao fato desse spline ter a forma deuma haste flexível se esta fosse forçada a passar pelos nós dados;
8 Splines restritos dão aproximações melhores que os naturais, masexigem mais informação sobre função a ser interpolada.
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NO COMPUTADOR
SPLINES CÚBICOS
FORMALIZAÇÃO DO CONCEITO
Se f : [a,b]→ R é uma função e é dado um conjunto de nósa = x0 < x1 < . . . < xn = b, um spline cúbico interpolador é umfunção S : [a,b]→ R satisfazendo
1 S(x) é um polinômio cúbico, indicado por Sj(x) no intervalo[xj , xj+1], para cada 0 ≤ j ≤ n − 1;
2 S(xj) = f (xj), para cada 0 ≤ j ≤ n;
3 Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;4 S′j+1(xj+1) = S′j (xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;5 S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;6 Vale uma das seguintes propriedades
S′′(x0) = S′′(xn) = 0 (chamado spline natural ou de contorno livre);S′(x0) = f ′(x0) e S′(xn) = f ′(xn) (chamado spline restrito);
7 O nome contorno livre deve-se ao fato desse spline ter a forma deuma haste flexível se esta fosse forçada a passar pelos nós dados;
8 Splines restritos dão aproximações melhores que os naturais, masexigem mais informação sobre função a ser interpolada.
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NO COMPUTADOR
SPLINES CÚBICOS
FORMALIZAÇÃO DO CONCEITO
Se f : [a,b]→ R é uma função e é dado um conjunto de nósa = x0 < x1 < . . . < xn = b, um spline cúbico interpolador é umfunção S : [a,b]→ R satisfazendo
1 S(x) é um polinômio cúbico, indicado por Sj(x) no intervalo[xj , xj+1], para cada 0 ≤ j ≤ n − 1;
2 S(xj) = f (xj), para cada 0 ≤ j ≤ n;3 Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;
4 S′j+1(xj+1) = S′j (xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;5 S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;6 Vale uma das seguintes propriedades
S′′(x0) = S′′(xn) = 0 (chamado spline natural ou de contorno livre);S′(x0) = f ′(x0) e S′(xn) = f ′(xn) (chamado spline restrito);
7 O nome contorno livre deve-se ao fato desse spline ter a forma deuma haste flexível se esta fosse forçada a passar pelos nós dados;
8 Splines restritos dão aproximações melhores que os naturais, masexigem mais informação sobre função a ser interpolada.
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DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
SPLINES CÚBICOS
FORMALIZAÇÃO DO CONCEITO
Se f : [a,b]→ R é uma função e é dado um conjunto de nósa = x0 < x1 < . . . < xn = b, um spline cúbico interpolador é umfunção S : [a,b]→ R satisfazendo
1 S(x) é um polinômio cúbico, indicado por Sj(x) no intervalo[xj , xj+1], para cada 0 ≤ j ≤ n − 1;
2 S(xj) = f (xj), para cada 0 ≤ j ≤ n;3 Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;4 S′j+1(xj+1) = S′j (xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;
5 S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;6 Vale uma das seguintes propriedades
S′′(x0) = S′′(xn) = 0 (chamado spline natural ou de contorno livre);S′(x0) = f ′(x0) e S′(xn) = f ′(xn) (chamado spline restrito);
7 O nome contorno livre deve-se ao fato desse spline ter a forma deuma haste flexível se esta fosse forçada a passar pelos nós dados;
8 Splines restritos dão aproximações melhores que os naturais, masexigem mais informação sobre função a ser interpolada.
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
SPLINES CÚBICOS
FORMALIZAÇÃO DO CONCEITO
Se f : [a,b]→ R é uma função e é dado um conjunto de nósa = x0 < x1 < . . . < xn = b, um spline cúbico interpolador é umfunção S : [a,b]→ R satisfazendo
1 S(x) é um polinômio cúbico, indicado por Sj(x) no intervalo[xj , xj+1], para cada 0 ≤ j ≤ n − 1;
2 S(xj) = f (xj), para cada 0 ≤ j ≤ n;3 Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;4 S′j+1(xj+1) = S′j (xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;5 S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;
6 Vale uma das seguintes propriedades
S′′(x0) = S′′(xn) = 0 (chamado spline natural ou de contorno livre);S′(x0) = f ′(x0) e S′(xn) = f ′(xn) (chamado spline restrito);
7 O nome contorno livre deve-se ao fato desse spline ter a forma deuma haste flexível se esta fosse forçada a passar pelos nós dados;
8 Splines restritos dão aproximações melhores que os naturais, masexigem mais informação sobre função a ser interpolada.
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
SPLINES CÚBICOS
FORMALIZAÇÃO DO CONCEITO
Se f : [a,b]→ R é uma função e é dado um conjunto de nósa = x0 < x1 < . . . < xn = b, um spline cúbico interpolador é umfunção S : [a,b]→ R satisfazendo
1 S(x) é um polinômio cúbico, indicado por Sj(x) no intervalo[xj , xj+1], para cada 0 ≤ j ≤ n − 1;
2 S(xj) = f (xj), para cada 0 ≤ j ≤ n;3 Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;4 S′j+1(xj+1) = S′j (xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;5 S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;6 Vale uma das seguintes propriedades
S′′(x0) = S′′(xn) = 0 (chamado spline natural ou de contorno livre);S′(x0) = f ′(x0) e S′(xn) = f ′(xn) (chamado spline restrito);
7 O nome contorno livre deve-se ao fato desse spline ter a forma deuma haste flexível se esta fosse forçada a passar pelos nós dados;
8 Splines restritos dão aproximações melhores que os naturais, masexigem mais informação sobre função a ser interpolada.
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
SPLINES CÚBICOS
FORMALIZAÇÃO DO CONCEITO
Se f : [a,b]→ R é uma função e é dado um conjunto de nósa = x0 < x1 < . . . < xn = b, um spline cúbico interpolador é umfunção S : [a,b]→ R satisfazendo
1 S(x) é um polinômio cúbico, indicado por Sj(x) no intervalo[xj , xj+1], para cada 0 ≤ j ≤ n − 1;
2 S(xj) = f (xj), para cada 0 ≤ j ≤ n;3 Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;4 S′j+1(xj+1) = S′j (xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;5 S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;6 Vale uma das seguintes propriedades
S′′(x0) = S′′(xn) = 0 (chamado spline natural ou de contorno livre);
S′(x0) = f ′(x0) e S′(xn) = f ′(xn) (chamado spline restrito);7 O nome contorno livre deve-se ao fato desse spline ter a forma de
uma haste flexível se esta fosse forçada a passar pelos nós dados;8 Splines restritos dão aproximações melhores que os naturais, mas
exigem mais informação sobre função a ser interpolada.
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
SPLINES CÚBICOS
FORMALIZAÇÃO DO CONCEITO
Se f : [a,b]→ R é uma função e é dado um conjunto de nósa = x0 < x1 < . . . < xn = b, um spline cúbico interpolador é umfunção S : [a,b]→ R satisfazendo
1 S(x) é um polinômio cúbico, indicado por Sj(x) no intervalo[xj , xj+1], para cada 0 ≤ j ≤ n − 1;
2 S(xj) = f (xj), para cada 0 ≤ j ≤ n;3 Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;4 S′j+1(xj+1) = S′j (xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;5 S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;6 Vale uma das seguintes propriedades
S′′(x0) = S′′(xn) = 0 (chamado spline natural ou de contorno livre);S′(x0) = f ′(x0) e S′(xn) = f ′(xn) (chamado spline restrito);
7 O nome contorno livre deve-se ao fato desse spline ter a forma deuma haste flexível se esta fosse forçada a passar pelos nós dados;
8 Splines restritos dão aproximações melhores que os naturais, masexigem mais informação sobre função a ser interpolada.
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DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
SPLINES CÚBICOS
FORMALIZAÇÃO DO CONCEITO
Se f : [a,b]→ R é uma função e é dado um conjunto de nósa = x0 < x1 < . . . < xn = b, um spline cúbico interpolador é umfunção S : [a,b]→ R satisfazendo
1 S(x) é um polinômio cúbico, indicado por Sj(x) no intervalo[xj , xj+1], para cada 0 ≤ j ≤ n − 1;
2 S(xj) = f (xj), para cada 0 ≤ j ≤ n;3 Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;4 S′j+1(xj+1) = S′j (xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;5 S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;6 Vale uma das seguintes propriedades
S′′(x0) = S′′(xn) = 0 (chamado spline natural ou de contorno livre);S′(x0) = f ′(x0) e S′(xn) = f ′(xn) (chamado spline restrito);
7 O nome contorno livre deve-se ao fato desse spline ter a forma deuma haste flexível se esta fosse forçada a passar pelos nós dados;
8 Splines restritos dão aproximações melhores que os naturais, masexigem mais informação sobre função a ser interpolada.
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DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
SPLINES CÚBICOS
FORMALIZAÇÃO DO CONCEITO
Se f : [a,b]→ R é uma função e é dado um conjunto de nósa = x0 < x1 < . . . < xn = b, um spline cúbico interpolador é umfunção S : [a,b]→ R satisfazendo
1 S(x) é um polinômio cúbico, indicado por Sj(x) no intervalo[xj , xj+1], para cada 0 ≤ j ≤ n − 1;
2 S(xj) = f (xj), para cada 0 ≤ j ≤ n;3 Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;4 S′j+1(xj+1) = S′j (xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;5 S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1), para cada 0 ≤ j ≤ n − 2;6 Vale uma das seguintes propriedades
S′′(x0) = S′′(xn) = 0 (chamado spline natural ou de contorno livre);S′(x0) = f ′(x0) e S′(xn) = f ′(xn) (chamado spline restrito);
7 O nome contorno livre deve-se ao fato desse spline ter a forma deuma haste flexível se esta fosse forçada a passar pelos nós dados;
8 Splines restritos dão aproximações melhores que os naturais, masexigem mais informação sobre função a ser interpolada.
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
INTERPOLANDO COM SPLINESPOUCAS CURVASERRO NA APROXIMAÇÃO
COMO SÃO OS COEFICIENTES DE UM SPLINE?
Cada secção do spline, Sj , para 0 ≤ j ≤ n − 1, tem a forma
Sj(x) = aj + bj(x − xj) + cj(x − xj)2 + dj(x − xj)
3.
Lembrando que Sj(xj) = aj = f (xj), Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) echamando xj+1 − xj = hj temos
aj+1 = aj + bjhj + cjh2j + djh3
j ,0 ≤ j ≤ n − 1. (1)
Definindo bn = S′(xn) e lembrando que S′j+1(xj+1) = S′j (xj+1)temos
bj+1 = bj + 2cjhj + 3djh2j ,0 ≤ j ≤ n − 1. (2)
Definindo cn = S′′(xn)/2 e lembrando que S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)temos
cj+1 = cj + 3djhj ,0 ≤ j ≤ n − 1. (3)
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
INTERPOLANDO COM SPLINESPOUCAS CURVASERRO NA APROXIMAÇÃO
COMO SÃO OS COEFICIENTES DE UM SPLINE?
Cada secção do spline, Sj , para 0 ≤ j ≤ n − 1, tem a forma
Sj(x) = aj + bj(x − xj) + cj(x − xj)2 + dj(x − xj)
3.
Lembrando que Sj(xj) = aj = f (xj), Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) echamando xj+1 − xj = hj temos
aj+1 = aj + bjhj + cjh2j + djh3
j ,0 ≤ j ≤ n − 1. (1)
Definindo bn = S′(xn) e lembrando que S′j+1(xj+1) = S′j (xj+1)temos
bj+1 = bj + 2cjhj + 3djh2j ,0 ≤ j ≤ n − 1. (2)
Definindo cn = S′′(xn)/2 e lembrando que S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)temos
cj+1 = cj + 3djhj ,0 ≤ j ≤ n − 1. (3)
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DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
INTERPOLANDO COM SPLINESPOUCAS CURVASERRO NA APROXIMAÇÃO
COMO SÃO OS COEFICIENTES DE UM SPLINE?
Cada secção do spline, Sj , para 0 ≤ j ≤ n − 1, tem a forma
Sj(x) = aj + bj(x − xj) + cj(x − xj)2 + dj(x − xj)
3.
Lembrando que Sj(xj) = aj = f (xj), Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) echamando xj+1 − xj = hj temos
aj+1 = aj + bjhj + cjh2j + djh3
j ,0 ≤ j ≤ n − 1. (1)
Definindo bn = S′(xn) e lembrando que S′j+1(xj+1) = S′j (xj+1)temos
bj+1 = bj + 2cjhj + 3djh2j ,0 ≤ j ≤ n − 1. (2)
Definindo cn = S′′(xn)/2 e lembrando que S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)temos
cj+1 = cj + 3djhj ,0 ≤ j ≤ n − 1. (3)
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
INTERPOLANDO COM SPLINESPOUCAS CURVASERRO NA APROXIMAÇÃO
COMO SÃO OS COEFICIENTES DE UM SPLINE?
Cada secção do spline, Sj , para 0 ≤ j ≤ n − 1, tem a forma
Sj(x) = aj + bj(x − xj) + cj(x − xj)2 + dj(x − xj)
3.
Lembrando que Sj(xj) = aj = f (xj), Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) echamando xj+1 − xj = hj temos
aj+1 = aj + bjhj + cjh2j + djh3
j ,0 ≤ j ≤ n − 1. (1)
Definindo bn = S′(xn) e lembrando que S′j+1(xj+1) = S′j (xj+1)temos
bj+1 = bj + 2cjhj + 3djh2j ,0 ≤ j ≤ n − 1. (2)
Definindo cn = S′′(xn)/2 e lembrando que S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)temos
cj+1 = cj + 3djhj ,0 ≤ j ≤ n − 1. (3)
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
INTERPOLANDO COM SPLINESPOUCAS CURVASERRO NA APROXIMAÇÃO
MAIS CONTAS...
Isolando dj em (3) e substituindo em (1) e (2), para cada0 ≤ j ≤ n obtemos
aj+1 = aj + bjhj +h2
j
3(2cj + cj+1), (4)
bj+1 = bj + hj(cj + cj+1). (5)
Isolando bj em (4) obtemos
bj =1hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1). (6)
e trocando j por j − 1 temos
bj−1 =1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj). (7)
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DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
INTERPOLANDO COM SPLINESPOUCAS CURVASERRO NA APROXIMAÇÃO
MAIS CONTAS...
Isolando dj em (3) e substituindo em (1) e (2), para cada0 ≤ j ≤ n obtemos
aj+1 = aj + bjhj +h2
j
3(2cj + cj+1), (4)
bj+1 = bj + hj(cj + cj+1). (5)
Isolando bj em (4) obtemos
bj =1hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1). (6)
e trocando j por j − 1 temos
bj−1 =1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj). (7)
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
INTERPOLANDO COM SPLINESPOUCAS CURVASERRO NA APROXIMAÇÃO
UM POUCO MAIS...
Trocando j por j − 1 em (5) e substituindo (7) e (6) nela obtemos,para cada 1 ≤ j ≤ n − 1,
hj−1cj−1 + 2(hj−1 + hj)cj + hjcj+1 =3hj(aj+1 − aj)−
3hj−1
(aj − aj−1). (8)
As equações acima produzem um sistema linear cujasincógnitas são somente os cj , uma vez que hj e aj são dadosiniciais do problema.Veremos a seguir que o sistema obtido com as equações em (8)é sempre possível e determinado tanto no caso de um splinenatural como no de um spline restrito.
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
INTERPOLANDO COM SPLINESPOUCAS CURVASERRO NA APROXIMAÇÃO
UM POUCO MAIS...
Trocando j por j − 1 em (5) e substituindo (7) e (6) nela obtemos,para cada 1 ≤ j ≤ n − 1,
hj−1cj−1 + 2(hj−1 + hj)cj + hjcj+1 =3hj(aj+1 − aj)−
3hj−1
(aj − aj−1). (8)
As equações acima produzem um sistema linear cujasincógnitas são somente os cj , uma vez que hj e aj são dadosiniciais do problema.
Veremos a seguir que o sistema obtido com as equações em (8)é sempre possível e determinado tanto no caso de um splinenatural como no de um spline restrito.
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
INTERPOLANDO COM SPLINESPOUCAS CURVASERRO NA APROXIMAÇÃO
UM POUCO MAIS...
Trocando j por j − 1 em (5) e substituindo (7) e (6) nela obtemos,para cada 1 ≤ j ≤ n − 1,
hj−1cj−1 + 2(hj−1 + hj)cj + hjcj+1 =3hj(aj+1 − aj)−
3hj−1
(aj − aj−1). (8)
As equações acima produzem um sistema linear cujasincógnitas são somente os cj , uma vez que hj e aj são dadosiniciais do problema.Veremos a seguir que o sistema obtido com as equações em (8)é sempre possível e determinado tanto no caso de um splinenatural como no de um spline restrito.
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
INTERPOLANDO COM SPLINESPOUCAS CURVASERRO NA APROXIMAÇÃO
EXISTÊNCIA E UNICIDADE DO SPLINE NATURAL
O seguinte resultado garante a unicidade do spline natural.
TEOREMA
Seja f : [a,b]→ R e a = x0 < x1 < . . . < xn um conjunto dado de nós.Então f admite um único spline natural S com esses nós.
Demonstração:
1 S′′(x0) = S′′(xn) = 0, donde cn = S′′(xn) = 0 e2c0 + 6d0(x0 − x0) = S′′(x0) = 0, ou seja c0 = 0.
2 Esses valores junto com as equações (8) produzem um sistemaAx = b possível determinado.
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
INTERPOLANDO COM SPLINESPOUCAS CURVASERRO NA APROXIMAÇÃO
EXISTÊNCIA E UNICIDADE DO SPLINE NATURAL
O seguinte resultado garante a unicidade do spline natural.
TEOREMA
Seja f : [a,b]→ R e a = x0 < x1 < . . . < xn um conjunto dado de nós.Então f admite um único spline natural S com esses nós.
Demonstração:
1 S′′(x0) = S′′(xn) = 0, donde cn = S′′(xn) = 0 e2c0 + 6d0(x0 − x0) = S′′(x0) = 0, ou seja c0 = 0.
2 Esses valores junto com as equações (8) produzem um sistemaAx = b possível determinado.
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
INTERPOLANDO COM SPLINESPOUCAS CURVASERRO NA APROXIMAÇÃO
EXISTÊNCIA E UNICIDADE DO SPLINE NATURAL
O seguinte resultado garante a unicidade do spline natural.
TEOREMA
Seja f : [a,b]→ R e a = x0 < x1 < . . . < xn um conjunto dado de nós.Então f admite um único spline natural S com esses nós.
Demonstração:1 S′′(x0) = S′′(xn) = 0, donde cn = S′′(xn) = 0 e
2c0 + 6d0(x0 − x0) = S′′(x0) = 0, ou seja c0 = 0.
2 Esses valores junto com as equações (8) produzem um sistemaAx = b possível determinado.
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
INTERPOLANDO COM SPLINESPOUCAS CURVASERRO NA APROXIMAÇÃO
EXISTÊNCIA E UNICIDADE DO SPLINE NATURAL
O seguinte resultado garante a unicidade do spline natural.
TEOREMA
Seja f : [a,b]→ R e a = x0 < x1 < . . . < xn um conjunto dado de nós.Então f admite um único spline natural S com esses nós.
Demonstração:1 S′′(x0) = S′′(xn) = 0, donde cn = S′′(xn) = 0 e
2c0 + 6d0(x0 − x0) = S′′(x0) = 0, ou seja c0 = 0.2 Esses valores junto com as equações (8) produzem um sistema
Ax = b possível determinado.
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
INTERPOLANDO COM SPLINESPOUCAS CURVASERRO NA APROXIMAÇÃO
EXISTÊNCIA E UNICIDADE DO SPLINE NATURAL
As matrizes envolvidas no sistema anterior são
A =
1 0 0 ... ... 0
h0 2(h0+h1) h1
. . . . . ....
0 h1 2(h1+h2) h2
. . ....
.... . . . . . . . . . . . 0
.... . . . . . hn−2 2(hn−2+hn−1) hn−1
0 ... ... 0 0 1
, x =
c0c1
...cn
e
b =
0
3h1
(a2−a1)− 3h0
(a1−a0)
...3
hn−1(an−an−1)− 3
hn−2(an−1−an−2)
0
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
INTERPOLANDO COM SPLINESPOUCAS CURVASERRO NA APROXIMAÇÃO
EXISTÊNCIA E UNICIDADE DO SPLINE RESTRITO
O seguinte resultado garante a unicidade do spline restrito.
TEOREMA
Sejam f : [a,b]→ R e a = x0 < x1 < . . . < xn um conjunto dado denós. Então f admite um único spline restrito S com esses nóssatisfazendo S′(a) = f ′(a) e S′(b) = f ′(b).
Demonstração:
1 b0 = S′(x0) = f ′(a), donde, usando (6) com j = 0 temos
2h0c0 + h0c1 =3h0
(a1 − a0)f ′(a).
analogamente temos
2hn−1cn−1 + 2hn−1cn = 3f ′(b)− 3hn−1
(an − an−1).
2 Essas equações junto com as equações (8) produzem um sistemaAx = b possível determinado.
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
INTERPOLANDO COM SPLINESPOUCAS CURVASERRO NA APROXIMAÇÃO
EXISTÊNCIA E UNICIDADE DO SPLINE RESTRITO
O seguinte resultado garante a unicidade do spline restrito.
TEOREMA
Sejam f : [a,b]→ R e a = x0 < x1 < . . . < xn um conjunto dado denós. Então f admite um único spline restrito S com esses nóssatisfazendo S′(a) = f ′(a) e S′(b) = f ′(b).
Demonstração:
1 b0 = S′(x0) = f ′(a), donde, usando (6) com j = 0 temos
2h0c0 + h0c1 =3h0
(a1 − a0)f ′(a).
analogamente temos
2hn−1cn−1 + 2hn−1cn = 3f ′(b)− 3hn−1
(an − an−1).
2 Essas equações junto com as equações (8) produzem um sistemaAx = b possível determinado.
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
INTERPOLANDO COM SPLINESPOUCAS CURVASERRO NA APROXIMAÇÃO
EXISTÊNCIA E UNICIDADE DO SPLINE RESTRITO
O seguinte resultado garante a unicidade do spline restrito.
TEOREMA
Sejam f : [a,b]→ R e a = x0 < x1 < . . . < xn um conjunto dado denós. Então f admite um único spline restrito S com esses nóssatisfazendo S′(a) = f ′(a) e S′(b) = f ′(b).
Demonstração:1 b0 = S′(x0) = f ′(a), donde, usando (6) com j = 0 temos
2h0c0 + h0c1 =3h0
(a1 − a0)f ′(a).
analogamente temos
2hn−1cn−1 + 2hn−1cn = 3f ′(b)− 3hn−1
(an − an−1).
2 Essas equações junto com as equações (8) produzem um sistemaAx = b possível determinado.
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
INTERPOLANDO COM SPLINESPOUCAS CURVASERRO NA APROXIMAÇÃO
EXISTÊNCIA E UNICIDADE DO SPLINE RESTRITO
O seguinte resultado garante a unicidade do spline restrito.
TEOREMA
Sejam f : [a,b]→ R e a = x0 < x1 < . . . < xn um conjunto dado denós. Então f admite um único spline restrito S com esses nóssatisfazendo S′(a) = f ′(a) e S′(b) = f ′(b).
Demonstração:1 b0 = S′(x0) = f ′(a), donde, usando (6) com j = 0 temos
2h0c0 + h0c1 =3h0
(a1 − a0)f ′(a).
analogamente temos
2hn−1cn−1 + 2hn−1cn = 3f ′(b)− 3hn−1
(an − an−1).
2 Essas equações junto com as equações (8) produzem um sistemaAx = b possível determinado.
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
INTERPOLANDO COM SPLINESPOUCAS CURVASERRO NA APROXIMAÇÃO
EXISTÊNCIA E UNICIDADE DO SPLINE RESTRITO
As matrizes envolvidas no sistema anterior são as mesmas docaso dos splines naturais, exceto a primeira e última linhas de Ae b que são respectivamente
A0 =[2h0 h0 0 . . . . . . 0
]An =
[0 . . . . . . 0 hn−1 2hn−1
] .
e
b0 =3h0
(a1 − a0)− 3f ′(a)
bn = 3f ′(b)− 3hn−1
(an − an−1).
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
INTERPOLANDO COM SPLINESPOUCAS CURVASERRO NA APROXIMAÇÃO
MINIMALIDADE DO SPLINE NATURAL
Considere V o espaço vetorial de todas as funções de classeC2([a,b]
)que interpolam os pontos (x0, y0), . . . , (xn, yn).
TEOREMA
Se s ∈ V é o spline cúbico natural então ‖s′′‖2 ≤ ‖f ′′‖2 para todaf ∈ V.
Demonstração:
1 Se f ∈ V , então existe g ∈ C2([a, b]), com g(xi) = 0, 0 ≤ i ≤ n talque f (x) = s(x) + g(x).
2 Logo f ′′(x) = s′′(x) + g′′(x) e3 ‖f ′′‖2
2 = ‖s′′(x) + g′′(x)‖22 = ‖s′′(x)‖2
2 + ‖g′′(x)‖22 + 2〈s′′, g′′〉2,
onde4 〈s′′, g′′〉2 =
∫ xn
x0
s′′g′′dx = 0 (integrando por partes).
5 Logo ‖s′′‖2 ≤ ‖f ′′‖2.
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
INTERPOLANDO COM SPLINESPOUCAS CURVASERRO NA APROXIMAÇÃO
MINIMALIDADE DO SPLINE NATURAL
Considere V o espaço vetorial de todas as funções de classeC2([a,b]
)que interpolam os pontos (x0, y0), . . . , (xn, yn).
TEOREMA
Se s ∈ V é o spline cúbico natural então ‖s′′‖2 ≤ ‖f ′′‖2 para todaf ∈ V.
Demonstração:
1 Se f ∈ V , então existe g ∈ C2([a, b]), com g(xi) = 0, 0 ≤ i ≤ n talque f (x) = s(x) + g(x).
2 Logo f ′′(x) = s′′(x) + g′′(x) e3 ‖f ′′‖2
2 = ‖s′′(x) + g′′(x)‖22 = ‖s′′(x)‖2
2 + ‖g′′(x)‖22 + 2〈s′′, g′′〉2,
onde4 〈s′′, g′′〉2 =
∫ xn
x0
s′′g′′dx = 0 (integrando por partes).
5 Logo ‖s′′‖2 ≤ ‖f ′′‖2.
PROF. ALEXANDRE LYMBEROPOULOS INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL SPLINES CÚBICOS
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
INTERPOLANDO COM SPLINESPOUCAS CURVASERRO NA APROXIMAÇÃO
MINIMALIDADE DO SPLINE NATURAL
Considere V o espaço vetorial de todas as funções de classeC2([a,b]
)que interpolam os pontos (x0, y0), . . . , (xn, yn).
TEOREMA
Se s ∈ V é o spline cúbico natural então ‖s′′‖2 ≤ ‖f ′′‖2 para todaf ∈ V.
Demonstração:
1 Se f ∈ V , então existe g ∈ C2([a, b]), com g(xi) = 0, 0 ≤ i ≤ n talque f (x) = s(x) + g(x).
2 Logo f ′′(x) = s′′(x) + g′′(x) e3 ‖f ′′‖2
2 = ‖s′′(x) + g′′(x)‖22 = ‖s′′(x)‖2
2 + ‖g′′(x)‖22 + 2〈s′′, g′′〉2,
onde4 〈s′′, g′′〉2 =
∫ xn
x0
s′′g′′dx = 0 (integrando por partes).
5 Logo ‖s′′‖2 ≤ ‖f ′′‖2.
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
INTERPOLANDO COM SPLINESPOUCAS CURVASERRO NA APROXIMAÇÃO
MINIMALIDADE DO SPLINE NATURAL
Considere V o espaço vetorial de todas as funções de classeC2([a,b]
)que interpolam os pontos (x0, y0), . . . , (xn, yn).
TEOREMA
Se s ∈ V é o spline cúbico natural então ‖s′′‖2 ≤ ‖f ′′‖2 para todaf ∈ V.
Demonstração:1 Se f ∈ V , então existe g ∈ C2([a, b]), com g(xi) = 0, 0 ≤ i ≤ n tal
que f (x) = s(x) + g(x).
2 Logo f ′′(x) = s′′(x) + g′′(x) e3 ‖f ′′‖2
2 = ‖s′′(x) + g′′(x)‖22 = ‖s′′(x)‖2
2 + ‖g′′(x)‖22 + 2〈s′′, g′′〉2,
onde4 〈s′′, g′′〉2 =
∫ xn
x0
s′′g′′dx = 0 (integrando por partes).
5 Logo ‖s′′‖2 ≤ ‖f ′′‖2.
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
INTERPOLANDO COM SPLINESPOUCAS CURVASERRO NA APROXIMAÇÃO
MINIMALIDADE DO SPLINE NATURAL
Considere V o espaço vetorial de todas as funções de classeC2([a,b]
)que interpolam os pontos (x0, y0), . . . , (xn, yn).
TEOREMA
Se s ∈ V é o spline cúbico natural então ‖s′′‖2 ≤ ‖f ′′‖2 para todaf ∈ V.
Demonstração:1 Se f ∈ V , então existe g ∈ C2([a, b]), com g(xi) = 0, 0 ≤ i ≤ n tal
que f (x) = s(x) + g(x).2 Logo f ′′(x) = s′′(x) + g′′(x) e
3 ‖f ′′‖22 = ‖s′′(x) + g′′(x)‖2
2 = ‖s′′(x)‖22 + ‖g′′(x)‖2
2 + 2〈s′′, g′′〉2,onde
4 〈s′′, g′′〉2 =
∫ xn
x0
s′′g′′dx = 0 (integrando por partes).
5 Logo ‖s′′‖2 ≤ ‖f ′′‖2.
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
INTERPOLANDO COM SPLINESPOUCAS CURVASERRO NA APROXIMAÇÃO
MINIMALIDADE DO SPLINE NATURAL
Considere V o espaço vetorial de todas as funções de classeC2([a,b]
)que interpolam os pontos (x0, y0), . . . , (xn, yn).
TEOREMA
Se s ∈ V é o spline cúbico natural então ‖s′′‖2 ≤ ‖f ′′‖2 para todaf ∈ V.
Demonstração:1 Se f ∈ V , então existe g ∈ C2([a, b]), com g(xi) = 0, 0 ≤ i ≤ n tal
que f (x) = s(x) + g(x).2 Logo f ′′(x) = s′′(x) + g′′(x) e3 ‖f ′′‖2
2 = ‖s′′(x) + g′′(x)‖22 = ‖s′′(x)‖2
2 + ‖g′′(x)‖22 + 2〈s′′, g′′〉2,
onde
4 〈s′′, g′′〉2 =
∫ xn
x0
s′′g′′dx = 0 (integrando por partes).
5 Logo ‖s′′‖2 ≤ ‖f ′′‖2.
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
INTERPOLANDO COM SPLINESPOUCAS CURVASERRO NA APROXIMAÇÃO
MINIMALIDADE DO SPLINE NATURAL
Considere V o espaço vetorial de todas as funções de classeC2([a,b]
)que interpolam os pontos (x0, y0), . . . , (xn, yn).
TEOREMA
Se s ∈ V é o spline cúbico natural então ‖s′′‖2 ≤ ‖f ′′‖2 para todaf ∈ V.
Demonstração:1 Se f ∈ V , então existe g ∈ C2([a, b]), com g(xi) = 0, 0 ≤ i ≤ n tal
que f (x) = s(x) + g(x).2 Logo f ′′(x) = s′′(x) + g′′(x) e3 ‖f ′′‖2
2 = ‖s′′(x) + g′′(x)‖22 = ‖s′′(x)‖2
2 + ‖g′′(x)‖22 + 2〈s′′, g′′〉2,
onde4 〈s′′, g′′〉2 =
∫ xn
x0
s′′g′′dx = 0 (integrando por partes).
5 Logo ‖s′′‖2 ≤ ‖f ′′‖2.
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
INTERPOLANDO COM SPLINESPOUCAS CURVASERRO NA APROXIMAÇÃO
MINIMALIDADE DO SPLINE NATURAL
Considere V o espaço vetorial de todas as funções de classeC2([a,b]
)que interpolam os pontos (x0, y0), . . . , (xn, yn).
TEOREMA
Se s ∈ V é o spline cúbico natural então ‖s′′‖2 ≤ ‖f ′′‖2 para todaf ∈ V.
Demonstração:1 Se f ∈ V , então existe g ∈ C2([a, b]), com g(xi) = 0, 0 ≤ i ≤ n tal
que f (x) = s(x) + g(x).2 Logo f ′′(x) = s′′(x) + g′′(x) e3 ‖f ′′‖2
2 = ‖s′′(x) + g′′(x)‖22 = ‖s′′(x)‖2
2 + ‖g′′(x)‖22 + 2〈s′′, g′′〉2,
onde4 〈s′′, g′′〉2 =
∫ xn
x0
s′′g′′dx = 0 (integrando por partes).
5 Logo ‖s′′‖2 ≤ ‖f ′′‖2.
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
INTERPOLANDO COM SPLINESPOUCAS CURVASERRO NA APROXIMAÇÃO
EFICIÊNCIA NA APROXIMAÇÃO
O seguinte resultado fornece estimativa para o erro máximoentre o spline e a função interpolada.
TEOREMA
Sejam f : [a,b]→ R de classe C4 tal que
maxx∈[a,b]
{f (4)(x)
}= M
e S o spline restrito que interpola f nos pontosa = x0 < x1 . . . < xn = b. Então
maxx∈[a,b]
{f (x)− s(x)
}≤ 5M
384max
0≤j≤n−1{hj}.
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
ROTINAS
TUDO PRONTO!
O MATLAB possui uma rotina pronta chamada spline que faztanto splines naturais como restritos.
Um spline natural que ajusta 10 pontos igualmente espaçadosentre 0 e 10 para a função f (x) = sin(x) obtêm-se fazendox=0:10; y=sin(x);
xx=0:0.01:10; yy=spline(x,y,xx);
plot(x,y,’o’,xx,yy,’b’,xx,sin(xx),’g’);
Um spline restrito que ajusta os mesmos pontos para a funçãof (x) = sin(x), com a condição s′(0) = m e s′(10) = n obtêm-sefazendoz=[m y n];
zz=spline(x,z,xx);
plot(x,y,’o’,xx,zz,’b’,xx,sin(xx),’r’);
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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO
DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
ROTINAS
TUDO PRONTO!
O MATLAB possui uma rotina pronta chamada spline que faztanto splines naturais como restritos.Um spline natural que ajusta 10 pontos igualmente espaçadosentre 0 e 10 para a função f (x) = sin(x) obtêm-se fazendo
x=0:10; y=sin(x);
xx=0:0.01:10; yy=spline(x,y,xx);
plot(x,y,’o’,xx,yy,’b’,xx,sin(xx),’g’);
Um spline restrito que ajusta os mesmos pontos para a funçãof (x) = sin(x), com a condição s′(0) = m e s′(10) = n obtêm-sefazendoz=[m y n];
zz=spline(x,z,xx);
plot(x,y,’o’,xx,zz,’b’,xx,sin(xx),’r’);
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NO COMPUTADOR
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TUDO PRONTO!
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xx=0:0.01:10; yy=spline(x,y,xx);
plot(x,y,’o’,xx,yy,’b’,xx,sin(xx),’g’);
Um spline restrito que ajusta os mesmos pontos para a funçãof (x) = sin(x), com a condição s′(0) = m e s′(10) = n obtêm-sefazendoz=[m y n];
zz=spline(x,z,xx);
plot(x,y,’o’,xx,zz,’b’,xx,sin(xx),’r’);
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NO COMPUTADOR
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TUDO PRONTO!
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xx=0:0.01:10; yy=spline(x,y,xx);
plot(x,y,’o’,xx,yy,’b’,xx,sin(xx),’g’);
Um spline restrito que ajusta os mesmos pontos para a funçãof (x) = sin(x), com a condição s′(0) = m e s′(10) = n obtêm-sefazendoz=[m y n];
zz=spline(x,z,xx);
plot(x,y,’o’,xx,zz,’b’,xx,sin(xx),’r’);
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NO COMPUTADOR
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xx=0:0.01:10; yy=spline(x,y,xx);
plot(x,y,’o’,xx,yy,’b’,xx,sin(xx),’g’);
Um spline restrito que ajusta os mesmos pontos para a funçãof (x) = sin(x), com a condição s′(0) = m e s′(10) = n obtêm-sefazendoz=[m y n];
zz=spline(x,z,xx);
plot(x,y,’o’,xx,zz,’b’,xx,sin(xx),’r’);
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xx=0:0.01:10; yy=spline(x,y,xx);
plot(x,y,’o’,xx,yy,’b’,xx,sin(xx),’g’);
Um spline restrito que ajusta os mesmos pontos para a funçãof (x) = sin(x), com a condição s′(0) = m e s′(10) = n obtêm-sefazendo
z=[m y n];
zz=spline(x,z,xx);
plot(x,y,’o’,xx,zz,’b’,xx,sin(xx),’r’);
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xx=0:0.01:10; yy=spline(x,y,xx);
plot(x,y,’o’,xx,yy,’b’,xx,sin(xx),’g’);
Um spline restrito que ajusta os mesmos pontos para a funçãof (x) = sin(x), com a condição s′(0) = m e s′(10) = n obtêm-sefazendoz=[m y n];
zz=spline(x,z,xx);
plot(x,y,’o’,xx,zz,’b’,xx,sin(xx),’r’);
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NO COMPUTADOR
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xx=0:0.01:10; yy=spline(x,y,xx);
plot(x,y,’o’,xx,yy,’b’,xx,sin(xx),’g’);
Um spline restrito que ajusta os mesmos pontos para a funçãof (x) = sin(x), com a condição s′(0) = m e s′(10) = n obtêm-sefazendoz=[m y n];
zz=spline(x,z,xx);
plot(x,y,’o’,xx,zz,’b’,xx,sin(xx),’r’);
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NO COMPUTADOR
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xx=0:0.01:10; yy=spline(x,y,xx);
plot(x,y,’o’,xx,yy,’b’,xx,sin(xx),’g’);
Um spline restrito que ajusta os mesmos pontos para a funçãof (x) = sin(x), com a condição s′(0) = m e s′(10) = n obtêm-sefazendoz=[m y n];
zz=spline(x,z,xx);
plot(x,y,’o’,xx,zz,’b’,xx,sin(xx),’r’);
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DEFINIÇÃOTEORIA
NO COMPUTADOR
ROTINAS
VÔO DO PATO
Os seguintes dados foram obtidos a partir de pontos do perfildas costas de um pato ao longo de um vôo
x y x y x y0.9 1.3 4.4 2.15 10.5 1.41.3 1.5 4.7 2.05 11.3 0.91.9 1.85 5 2.1 11.6 0.72.1 2.1 6 2.25 12 0.62.6 2.6 7 2.3 12.6 0.53 2.7 8 2.25 13 0.4
3.9 2.4 9.2 1.95 13.3 0.25
Determine o polinômio interpolador de grau 20, bem como ospline natural e o restrito (estime valores para as derivadas nosextremos) para esse conjunto de dados.
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NO COMPUTADOR
ROTINAS
VÔO DO PATO
Os seguintes dados foram obtidos a partir de pontos do perfildas costas de um pato ao longo de um vôo
x y x y x y0.9 1.3 4.4 2.15 10.5 1.41.3 1.5 4.7 2.05 11.3 0.91.9 1.85 5 2.1 11.6 0.72.1 2.1 6 2.25 12 0.62.6 2.6 7 2.3 12.6 0.53 2.7 8 2.25 13 0.4
3.9 2.4 9.2 1.95 13.3 0.25Determine o polinômio interpolador de grau 20, bem como ospline natural e o restrito (estime valores para as derivadas nosextremos) para esse conjunto de dados.
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