Escola Secundária Antero de Quental

Ano lectivo 2010/2011

Geometria Descritiva

Docente: Discentes:

José Artur Cabral Beatriz Brilhante

Mariana Brandão

Introdução

Decidimos realizar este trabalho porque o tema nos foi abordado em aulas,

sendo assim um modo de estudar as intersecções dos planos não só para nós ao

realizá-lo como para os nossos colegas. No trabalho não só iremos explicar qual o

resultado de uma intersecção, como apresentar vários tipos de intersecções entre

vários tipos de planos e também os vários processos existentes para a sua resolução.

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Intersecção de Planos

Para que haja uma intersecção entre dois planos, estes têm que ser secantes

entre si, ou seja, têm que se tocar em algum lado. O resultado de uma intersecção

entre dois planos é assim, uma recta.

É-nos permitido verificar isto no seguinte exemplo:

Intersecção entre dois planos.

A recta i é o lugar geométrico dos pontos do espaço que pertencem

simultaneamente aos dois planos

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Com base nisto, iremos dar início ao estudo das diferentes formas possíveis de

intersecção entre planos.

Para facilitar o nosso estudo iremos dividir este processo de descobrir a recta

de intersecção entre dois planos em quatro abordagens. Estas quatro abordagens irão

ajudar-nos a organizar as nossas ideias para conseguirmos resolver os problemas

relativos à intersecção de planos.

Primeira abordagem:

Na primeira abordagem podemos fazer a pergunta:

“Os planos estão definidos pelos seus traços?”

Caso a resposta seja sim, a resolução do exercício pode ser relativamente simples.

Por exemplo:

Intersecção entre dois planos oblíquos.

Resolução:

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Nesta situação temos apenas de marcar o traço frontal da recta i na intersecção

dos traços frontais dos dois planos e depois marcamos o traço horizontal da recta de

intersecção na intersecção dos traços horizontais dos dois planos. Para finalizar,

unimos as projecções homónimas dos pontos F e H, o que dará as projecções da recta

de intersecção.

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Outro exemplo da 1ª abordagem:

Intersecção entre um plano oblíquo e um plano de rampa.

Resolução:

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Neste exemplo temos que fazer o mesmo raciocínio do exercício anterior. É-nos

dado um plano oblíquo (θ) e um plano de rampa (ρ). Onde os traços frontais dos dois

planos se cruzarem assinalamos o traço frontal “F” da recta de intersecção e o mesmo

se dá com os traços horizontais dos dois planos onde encontramos o “H”, traço

horizontal da recta. Depois, unimos as projecções de mesmo nome (projecções

homónimas) e encontramos as projecções da recta de intersecção.

Após a primeira abordagem e se não conseguirmos resolver o exercício através

dela, podemos passar à 2ª abordagem.

Segunda Abordagem:

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Na segunda abordagem podemos fazer a pergunta:

“ Algum dos planos é projectante?”

Se sim, ou seja, se um dos planos for horizontal, frontal, de topo, vertical ou de

perfil, nós ficamos logo a conhecer uma das projecções da recta i (nome que

costumamos dar à recta de intersecção) porque um plano projectante tem sempre um

dos seus traços absorvente, o que nos facilita muito o exercício.

Por exemplo:

Intersecção entre um plano de frente e um plano horizontal ou de nível.

Resolução:

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Neste exemplo é-nos dado um plano de nível (δ) e um plano de frente (φ). Este

caso é simples porque como já foi dito, todos os planos projectantes têm um traço

absorvente e neste caso os dois planos são projectantes, logo, a recta i estará

coincidente com os traços absorventes de cada um dos planos. O plano de nível

conterá a projecção frontal da recta de intersecção e o plano de frente conterá a

projecção horizontal da recta de intersecção, nos respectivos traços absorventes.

Outro exemplo:

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Intersecção entre um plano de perfil e um plano de nível.

Resolução:

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Neste caso temos um plano de nível e um plano de perfil. Como ambos os planos são

projectantes sabemos que as projecções da recta de intersecção estarão coincidentes

com os traços dos planos, mas onde? Se repararmos o plano de nível é definido apenas

pelo seu traço frontal e o plano de perfil tem ambos os seus traços absorventes, pois

estão coincidentes, logo onde estará a projecção frontal da recta i? Como mostra a

figura, esta irá ser um ponto e a recta i1 estará coincidente com o plano de perfil.

Assim a recta de intersecção será uma recta de topo.

Se a resposta à segunda abordagem for não, ou seja, se não houver nenhum

plano projectante, passamos logo para a 4ª abordagem porque a terceira não nos

resolverá o problema.

Terceira Abordagem:

Na terceira abordagem podemos fazer a pergunta:

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“Conhecemos alguma projecção da recta?”

Caso a resposta seja sim, ficamos a saber que como ela é complanar, será paralela ou

concorrente com todas as rectas dos planos.

Por exemplo:

Intersecção entre um plano de topo e um plano oblíquo.

Resolução:

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Neste caso deram-nos três pontos, A, B e C e um plano projectante (Υ). Como

há um plano projectante, sabemos que esse plano irá conter uma das projecções da

recta de intersecção. Neste caso o plano é de topo, o seu traço frontal é absorvente,

logo i2 estará coincidente com este. Para achar o i1 o exercício dá-nos três pontos não

colineares, os quais temos de unir definindo duas rectas concorrentes num só ponto,

neste caso em B. Onde as projecções frontais dessas duas rectas ( a2 e b2)

intersectarem i2, obtemos dois pontos da recta de intersecção que irão baixar para as

respectivas rectas ( a1 e b1). Unimos as projecções homónimas desses dois pontos e

obtemos as projecções da recta de intersecção.

Outro exemplo:

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Intersecção entre um plano de nível e um plano oblíquo.

Resolução:

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Neste exemplo temos um plano projectante horizontal (de nível), θ e três

pontos não colineares, A, B e C. Como temos um plano projectante sabemos que uma

das projecções da recta i estará coincidente com o traço absorvente. Neste caso i2

estará coincidente com fθ. De seguida unimos os pontos dois a dois onde as rectas são

concorrentes num ponto (B). Onde as projecções frontais dessas rectas intersectarem

i2, teremos dois pontos da recta de intersecção que são baixados para as respectivas

rectas e de seguida unem-se as projecções homónimas desses pontos obtendo-se as

projecções da recta de intersecção.

Quarta abordagem:

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A 4ª abordagem não nos pergunta nada. Apenas nos recomenda a utilização de

um plano auxiliar. Os planos que nos irão dar mais jeito serão os planos projectantes

porque têm um traço absorvente.

Observemos o seguinte esquema:

Este esquema diz-nos que temos dois planos θ e δ, onde o nosso objectivo é

encontrar a recta de intersecção (i) entre esses dois planos. Recorremos a um plano

auxiliar Ψ. Esse plano auxiliar irá intersectar os planos e segundo duas rectas, a e b.

Onde a e b se intersectarem (são complanares, logo são paralelas ou concorrentes)

ficaremos com um ponto I que será um ponto da recta de intersecção uma vez que é

comum aos três planos. Após termos o ponto I poderemos, com a informação

entretanto recolhida com as outras abordagens, definir a recta de intersecção ou

então será necessário recorrermos a mais um plano auxiliar para acharmos mais um

ponto da recta.

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Por exemplo:

Intersecção entre dois planos de rampa.

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Resolução:

Neste exemplo temos dois planos de rampa φ e ρ. Os seus traços nunca se

cruzam. Concluímos que a recta de intersecção não tem traços: é fronto-horizontal.

Nesta situação precisaremos de um plano auxiliar e neste caso usamos um plano

vertical (Ψ). Após termos escolhido o plano, temos de definir duas rectas que

intersectem este plano com os planos iniciais. Estas intersecções auxiliares são

facilmente resolvidas com a primeira abordagem: determinam-se os traços das rectas

e obtêm-se as projecções das rectas. Determinamos, de seguida, o ponto de

concorrência das duas rectas (ponto I) e, como vimos, através da primeira abordagem

percebemos que a recta é fronto-horizontal logo, desenham-se as duas projecções

paralelas ao eixo X contendo o ponto I.

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Outro exemplo:

Intersecção entre dois planos oblíquos que têm um ponto em comum no eixo x.

Resolução:

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Neste exemplo são nos dados dois planos oblíquos que se cruzam no mesmo

sítio no eixo de X, ponto M. Como se cruzam no mesmo lugar não conseguimos

resolver o exercício através da primeira abordagem e a segunda abordagem também

não nos resolve o problema porque nenhum dos planos é projectante. Sendo assim,

recorremos logo à quarta abordagem. Como tal, precisamos de um plano auxiliar σ

horizontal (de nível) que nos permitirá achar as recta a e b através da intersecção

deste plano com os dois planos originais. a2 e b2 estarão coincidentes com fσ pois o

plano é projectante e a1 será descoberto passando uma paralela a hθ por F1a, e b1

será descoberto passando uma paralela a fΨ por F1b (as rectas de nível de um plano

oblíquo são paralelas ao seu traço horizontal). Onde estas projecções se cruzarem

encontramos o I1, um ponto da recta de intersecção, que se sobe para a2 e b2 que

estão coincidentes. De seguida basta unir cada projecção do ponto I com o ponto M.

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Conclusão

Em suma, conseguimos perceber que há diferentes formas de dois planos se

intersectarem, sendo eles projectantes ou não, e ainda que nada melhor para se

compreender a geometria descritiva e os seus respectivos exercícios como a

construção em 3D dos mesmos. Por isso, fizemo-nos acompanhar de um trabalho à

parte, realizado em Sketchup mostrando os diferentes tipos de intersecções referidos

ao longo deste trabalho, em três dimensões.

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