Introdução a Matrizes
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Setor 813Setor 813Módulo 9Módulo 9
MatrizesMatrizes
Prof. HenriqueProf. Henrique
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Definição:Definição: Chamamos de matriz a uma tabela de elementos Chamamos de matriz a uma tabela de elementos
dispostos em linhas e colunas.dispostos em linhas e colunas. Exemplo:Exemplo:
Ao abstrairmos os Ao abstrairmos os significados das linha e significados das linha e colunas, obtemos a colunas, obtemos a matriz:matriz:
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mxnij
mnm3m2m1
3n333231
2n232221
1n131211
mxn ]a[
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
Representação de uma matriz genérica:Representação de uma matriz genérica:
LINHA
COLUNAELEMENTOS
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Matrizes EspeciaisMatrizes Especiais
Matriz QuadradaMatriz Quadrada
quando o número de linhas é igual ao quando o número de linhas é igual ao número de colunas (m=n).número de colunas (m=n).
Exemplo:Exemplo:
2221
12112x2 aa
aaA
Diagonal
Principal
Diagonal
Secundária
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Matriz nula Matriz nula todos os elementos são zero.
Matriz diagonal Matriz diagonal os elementos fora da diagonal principal com valor zero.
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Matriz identidade Matriz identidade é uma matriz diagonal no qual os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1.
Matriz transpostaMatriz transposta as linhas viram colunas e colunas viram linhas.
2x3t
3x2
nxmt
mxn
AA
AA
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Igualdade de matrizesIgualdade de matrizes
Dadas duas matrizes de mesma ordem
A = (aij) e B = (bij), dizemos que:
A = B aij = bij
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Operações com Operações com matrizes:matrizes:
Adição e Subtração de matrizesAdição e Subtração de matrizes
Essas operações só podem ser feitas com matrizes de mesmo número de linhas e
mesmo número de colunas.Sejam duas matrizes Am×n e Bm×n.
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Multiplicação entre um número Multiplicação entre um número real e uma matrizreal e uma matriz
).(. ijaA
35300
10515
760
2135.
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Produto entre matrizesProduto entre matrizes
Existe o produto entre matrizes, Am×n e Bn×p, se somente se, duas matrizes tais que o número de
colunas da primeira (n) é igual ao número de linhas da segunda (n).
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Exemplo:Exemplo:A3x2 . B2x2 = C3x2
2422
13
1412
5.44.15.24.3
0.41.10.21.3
3.42.13.22.3
A.BC
42
13Be
54
01
32
A
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65
43
21
B e 654
321A
A2x3.B3x2 = C2x2
c11 = 1 x 1 + 2 x 3 + 3 x 5 = 1 + 6 + 15 = 22 c12 = 1 x 2 + 2 x 4 + 3 x 6 = 2 + 8 + 18 = 28 c21 = 4 x 1 + 5 x 3 + 6 x 5 = 4 + 15 + 30 = 49 c22 = 4 x 2 + 5 x 4 + 6 x 6 = 8 + 20 + 36 = 64
6449
2822C
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Propriedades da multiplicaçãoPropriedades da multiplicação
1) AB BA
Embora existam matrizes M e N, tais que
MN = NM, neste caso dizemos que elas comutam entre si.
2) (AB) C = A (BC)
3) A (B + C) = AB + AC e (A + B)C = AC + BC
4) A. 0 = 0. A = 0
5) A. I = I. A = A
6) (AB)t = Bt. At