Introdução aos Introdução aos LogaritmosLogaritmos

1. Contexto Histórico1. Contexto Histórico

Os séculos XV e XVI foram marcados pela expansão comercial (grandes navegações e desenvolvimento da astronomia). A necessidade de aprimorar técnicas de navegação exigia métodos práticos e rápidos que facilitassem os cálculos (da Astronomia – referencial para localização no mar, e do acúmulo de riquezas e dos juros gerados pelas viagens marítimas).

2. Contribuições2. Contribuições

O primeiro a introduzir o cálculo O primeiro a introduzir o cálculo logarítmico foi o escocês John logarítmico foi o escocês John Napier em 1614, publicando o Napier em 1614, publicando o primeiro tratado sobre logaritmos: primeiro tratado sobre logaritmos: "Descrição da maravilhosa regra "Descrição da maravilhosa regra dos logaritmos". dos logaritmos".

A palavra "LOGARITMO" também foi inventada por A palavra "LOGARITMO" também foi inventada por Napier a partir das palavras gregas "LOGOS" – razão – e Napier a partir das palavras gregas "LOGOS" – razão – e "ARITMOS" – número."ARITMOS" – número.

Na mesma época, o suíço Jost Bürgi desenvolveu, independentemente, métodos com os mesmos fundamentos básicos, diferenciados pelo uso dos valores numéricos e da terminologia.

Sendo sua idéia anterior ou não à de Napier, o fato é que a publicação de seus resultados só ocorreu em 1620.

Reconhecendo a enorme Reconhecendo a enorme importância do método de importância do método de Napier, Henry Briggs adaptou-Napier, Henry Briggs adaptou-o para valores mais fáceis de o para valores mais fáceis de serem utilizados por meio da serem utilizados por meio da introdução dos introdução dos logaritmos logaritmos decimaisdecimais, na forma como os , na forma como os conhecemos hoje. conhecemos hoje.

Ele elaborou a primeira tabela de logaritmos Ele elaborou a primeira tabela de logaritmos comuns que foi usada até o século 19.comuns que foi usada até o século 19.

Essas descobertas aumentaram muito a capacidade Essas descobertas aumentaram muito a capacidade de cálculo numérico dos que estavam envolvidos em de cálculo numérico dos que estavam envolvidos em Astronomia e Navegação. Astronomia e Navegação.

Dizia-se na época que Dizia-se na época que a invenção dos logaritmos a invenção dos logaritmos “duplicou” a vida dos “duplicou” a vida dos astrônomos, alusão ao fato astrônomos, alusão ao fato de que o trabalho de cálculo de que o trabalho de cálculo diminuíra tanto com a diminuíra tanto com a introdução dos logaritmos, introdução dos logaritmos, que os astrônomos poderiam que os astrônomos poderiam produzir o equivalente ao que produzir o equivalente ao que produziam antes, se produziam antes, se pudessem viver duas vidas.pudessem viver duas vidas.

3. Definição de logaritmos3. Definição de logaritmos

A operação de logaritmação deriva da potenciação, A operação de logaritmação deriva da potenciação,

como podemos ver no exemplo:como podemos ver no exemplo:

22xx = 8 => 2 = 8 => 2xx = 2 = 233 => x = 3 é o logaritmo de 8 na base => x = 3 é o logaritmo de 8 na base

2, como na notação:2, como na notação:

log log 22 8 = 3 , pois 2 8 = 3 , pois 233 = 8 = 8

Outros exemplos:Outros exemplos:

1) 31) 3x x = 81 => 3= 81 => 3xx = 3= 344 => x = 4 é o logaritmo de 81 na => x = 4 é o logaritmo de 81 na

base 3:base 3:

log log 3 3 81 = 4, pois 381 = 4, pois 344 = 81 = 81

2) 22) 2xx = 1/32 => 2 = 1/32 => 2xx = 2 = 2-5-5 => x = -5 é o logaritmo de => x = -5 é o logaritmo de

1/32 na base 2:1/32 na base 2:

log log 22 1/32 = -5, pois 2 1/32 = -5, pois 2-5-5 = 1/32 = 1/32

Exemplos impossíveis:Exemplos impossíveis:

1) 41) 4xx = -16 (não conseguimos transformar base negativa = -16 (não conseguimos transformar base negativa em positiva)em positiva)

2) 02) 0xx = 2 (não conseguimos transformar 0 em uma potência = 2 (não conseguimos transformar 0 em uma potência com outra base)com outra base)

3) 53) 5xx = 0 (não conseguimos transformar 0 em uma potência = 0 (não conseguimos transformar 0 em uma potência com outra base)com outra base)

4) 14) 1xx = 3 (para transformarmos 1 em uma potência com = 3 (para transformarmos 1 em uma potência com outra base teremos expoente 0, o que eliminaria a outra base teremos expoente 0, o que eliminaria a variável x da equação)variável x da equação)

Definição:Definição:

Considerando dois números reais, a e b, positivos Considerando dois números reais, a e b, positivos

com a com a ≠ ≠ 1, chamaremos logaritmo do número b na base 1, chamaremos logaritmo do número b na base

a, o expoente x, de forma que aa, o expoente x, de forma que axx = b. = b.

log log aa b = x b = x ↔↔ a axx = b (Condições de existência: b > 0 e = b (Condições de existência: b > 0 e

0 < a 0 < a ≠ ≠ 1)1)

Observação:Observação:

Os sistemas de logaritmos são definidos por suas Os sistemas de logaritmos são definidos por suas

bases: bases:

log log aa b => sistema de logaritmos de base a b => sistema de logaritmos de base a

log log 1010 b ou log b => sistema de logaritmos de base 10 ou b ou log b => sistema de logaritmos de base 10 ou

sistema de logaritmos decimaissistema de logaritmos decimais

Resolução:Resolução:

1) log 1) log 66 36 36

log log 66 36 = x => 636 = x => 6xx = 36 => 6 = 36 => 6xx = 6 = 622 => x = 2 => x = 2

2) log2) log 1010 0,01 0,01

log log 1010 0,01 = x => 10 0,01 = x => 10xx = => 10 = => 10xx = 10 = 10-2-2 => x = -2 => x = -2

3) log 2 3) log 2

log 2 = x => = 2 => 2log 2 = x => = 2 => 2-2x-2x = 2 . => 2 = 2 . => 2-2x-2x = => = =>

-2x = => x = - -2x = => x = -

4) 4) log log aa 64 = 664 = 6

log log aa 64 = 6 => a 64 = 6 => a66 = 64 => a = = 64 => a = ± => a = ± 2, como a Condição de ± => a = ± 2, como a Condição de

existência da base é a > 0 e a ≠ 1, a = 2existência da base é a > 0 e a ≠ 1, a = 2

1001

41

2 2x

41

2

1

2

2

3

2

2

3

2

23

43

41

2

6 64

4. Algumas Aplicações4. Algumas Aplicações

http://www.youtube.com/watch?v=8fR5iOFtY2c&feature=player_embedded

Na MatemáticaNa Matemática

Os logaritmos são utilizados na matemática para resolver Os logaritmos são utilizados na matemática para resolver equações exponenciais do tipo 5equações exponenciais do tipo 52x2x – 7 . 5 – 7 . 5xx + 12 = 0 e também + 12 = 0 e também problemas de matemática financeira ou outros.problemas de matemática financeira ou outros.

Vejamos o exemplo:

Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 numa instituição bancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00?

Resolução: Nos casos envolvendo a determinação do tempo e juros compostos, a utilização das técnicas de logaritmos é imprescindível.

Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C * (1 + i)t.

Na MatemáticaNa MatemáticaDe acordo com a situação problema, temos:

M (montante) = 3500 C (capital) = 500 i (taxa) = 3,5% = 0,035 t = ?

M = C * (1 + i)t 3500 = 500 * (1 + 0,035)t 3500/500 = 1,035t 1,035t = 7

Aplicando logaritmo

log 1,035t = log 7 t * log 1,035 = log 7 (utilize tecla log da calculadora científica ) t * 0,0149 = 0,8451 t = 0,8451 / 0,0149 t = 56,7

O montante de R$ 3 500,00 será originado após 56 meses de aplicação.

Na QuímicaNa Química

Poucas profissões dependem tanto de um bom cálculo das Poucas profissões dependem tanto de um bom cálculo das

proporções quanto a do químico. É que as substâncias reagem nos proporções quanto a do químico. É que as substâncias reagem nos

tubos de ensaio em obediência a uma determinada proporção, e é tubos de ensaio em obediência a uma determinada proporção, e é

preciso fazer cálculos para prever o resultado das misturas feitas em preciso fazer cálculos para prever o resultado das misturas feitas em

laboratório. Também se mede a velocidade das reações recorrendo a laboratório. Também se mede a velocidade das reações recorrendo a

uma escala logarítmica e o cálculo do pH de uma solução define-se uma escala logarítmica e o cálculo do pH de uma solução define-se

como um logaritmo decimal do inverso da respectiva concentração, como um logaritmo decimal do inverso da respectiva concentração,

por exemplo, um líquido cuja concentração de Hpor exemplo, um líquido cuja concentração de H33OO++ é 4,8 . 10 é 4,8 . 10-8-8 mol/l mol/l

tem pH = 8 – log 4,8. tem pH = 8 – log 4,8.

Na QuímicaNa QuímicaVejamos outro exemplo:Vejamos outro exemplo:

Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que se Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que se desintegra a taxa de 2% ao ano, se reduza a 200 g. Utilize a seguinte expressão: desintegra a taxa de 2% ao ano, se reduza a 200 g. Utilize a seguinte expressão: Q = QQ = Q00 * e * e–rt–rt, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos. , em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.

Q = QQ = Q00 * e * e–rt–rt 200 = 1000 * e200 = 1000 * e–0,02t–0,02t 200/1000 = e200/1000 = e–0,02t–0,02t 1/5 = e1/5 = e–0,02t–0,02t

loglogee1/5 = log1/5 = logeeee-0,02t-0,02t (aplicando definição) (aplicando definição) –0,02t = log–0,02t = logee1/5 1/5 –0,02t = log–0,02t = logee55–1–1 –0,02t = –log–0,02t = –logee5 5 –0,02t = –ln 5 –0,02t = –ln 5 * (–1)* (–1) 0,02t = ln 5 0,02t = ln 5 t = ln 5 / 0,02 t = ln 5 / 0,02 t = 1,6094 / 0,02 t = 1,6094 / 0,02 t = 80,47 A substância levará 80,47 anos para se reduzir a 200 g. t = 80,47 A substância levará 80,47 anos para se reduzir a 200 g.

Na GeologiaNa Geologia

O geólogo depende muito da matemática. Dentre as ferramentas O geólogo depende muito da matemática. Dentre as ferramentas mais utilizadas por ele estão as funções exponenciais e logarítmicas, mais utilizadas por ele estão as funções exponenciais e logarítmicas, que são usadas, por exemplo, para analisar o comportamento dos que são usadas, por exemplo, para analisar o comportamento dos sedimentos nos rios. O cálculo com logaritmos mostra que parte de sedimentos nos rios. O cálculo com logaritmos mostra que parte de sedimentos afunda rapidamente e quanto continua empurrado pela sedimentos afunda rapidamente e quanto continua empurrado pela correnteza. correnteza.

A escala Richter foi desenvolvida por Charles Richter e Beno A escala Richter foi desenvolvida por Charles Richter e Beno Gutenberg, no intuito de medir a magnitude de um terremoto provocado Gutenberg, no intuito de medir a magnitude de um terremoto provocado pelo movimento das placas tectônicas. As ondas produzidas pela pelo movimento das placas tectônicas. As ondas produzidas pela liberação de energia do movimento das placas podem causar desastres liberação de energia do movimento das placas podem causar desastres de grandes proporções. Os estudos de Charles e Beno resultaram em de grandes proporções. Os estudos de Charles e Beno resultaram em uma escala logarítmica denominada Richter, que possui pontuação de 0 uma escala logarítmica denominada Richter, que possui pontuação de 0 a 9 graus. a 9 graus.

Na GeologiaNa GeologiaUm exemplo:Um exemplo:

Qual a energia liberada por um terremoto de intensidade 6 na escala Richter? Qual a energia liberada por um terremoto de intensidade 6 na escala Richter?

I = 6I = 6

Para calcular a energia liberada por um terremoto, usamos a seguinte fórmula: Para calcular a energia liberada por um terremoto, usamos a seguinte fórmula:

I = (2/3)logI = (2/3)log1010(E/E(E/E00), onde I: varia de 0 a 9, E: energia liberada em kW/h ), onde I: varia de 0 a 9, E: energia liberada em kW/h e Ee E00: 7 x 10: 7 x 10-3-3 kW/h. kW/h.

6 = (2/3)log6 = (2/3)log1010(E / 7 x 10(E / 7 x 10-3-3) ) 9 = log9 = log1010(E / 7 x 10(E / 7 x 10-3-3) ) 101099 = 10 = 10loglog

1010(E / 7 x 10-3)(E / 7 x 10-3) (consequência da definição) (consequência da definição)

101099 = E / 7 x 10 = E / 7 x 10-3-3 E = 7 x 10E = 7 x 10-3-3 x 10 x 1099 E = 7 x 10E = 7 x 1066 kW / h kW / h

A energia liberada por um terremoto de 6 graus na escala Richter é de 7 x 10A energia liberada por um terremoto de 6 graus na escala Richter é de 7 x 1066 kW/h. kW/h.

Visualização de Cálculos e Visualização de Cálculos e GráficosGráficos

Existem diversos softwares educativos livres, que fazem Existem diversos softwares educativos livres, que fazem

cálculos matemáticos e esboçam gráficos de funções, como o cálculos matemáticos e esboçam gráficos de funções, como o

GraphmáticaGraphmática. Propomos a utilização deste software de fácil . Propomos a utilização deste software de fácil

utilização para obtenção de uma noção de funções logarítmicas utilização para obtenção de uma noção de funções logarítmicas

através de cálculos e visualização de gráficos, favorecendo a através de cálculos e visualização de gráficos, favorecendo a

construção do conhecimento e estimulando a capacidade de construção do conhecimento e estimulando a capacidade de

observação e da análise crítica. observação e da análise crítica.

Visualização de Cálculos e Visualização de Cálculos e GráficosGráficos

Exemplo de Utilização:

Visualização de Cálculos e Visualização de Cálculos e GráficosGráficos

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