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EEA-02: Análise de Circuitos ElétricosAula 5

1o Ten Eng Nicholas YUKIO Menezes Sugimoto

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Tópicos desta aula

CapacitoresRelação tensão-corrente-carga em capacitoresCapacitores - Exemplo de componentes discretosCapacitores - Exemplo não-linearEnergia armazenada em capacitoresAssociações de capacitoresIndutoresRelação tensão-corrente-fluxo em indutoresEnergia armazenada em indutoresDualidade capacitor-indutorIndutância mútuaIndutância mútua - Notação do pontoAssociações de indutores sem indutância mútuaAssociações de indutores com indutância mútuaTransformadorCapacitâncias e Indutâncias parasitas

1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 2 / 38

Capacitores

DefiniçãoElemento de circuito constituído por dois condutores separados por umisolante. Diz-se que o capacitor está com uma carga q quando um de seuscondutores está carregado com +q e o outro condutor carregado com −q.São caracterizados por sua capacitância C , que no caso de capacitoreslineares, relaciona a carga e a tensão por

q = Cv

A capacitância é medida em Farads (F ) no Sistema Internacional deunidades.


Capacitores

Relação tensão-correnteA partir de

q = Cv

Pode-se obter a equação que relaciona tensão e corrente do capacitor:

i =dq

dt= C

dv

dt(1)

(capacitor invariante no tempo)


Capacitores

Relação tensão-correnteSe for admitida a hipótese de variação da capacitância com tempo, tem-se

q(t) = C (t)v(t)

De forma que, nesse caso, a equação que relaciona tensão e corrente docapacitor é:

i(t) =dq

dt(t) = C (t)

dv

dt(t) +

dC

dt(t)v(t) (2)

(capacitor variante no tempo)


Capacitores - Exemplos de componentes discretos

Capacitor cerâmico:

Capacitor de poliéster:

Capacitor eletrolítico:

Capacitor de tântalo:

Capacitor variável:


Capacitores - Exemplo variável no tempo

Microfone capacitivo: Através da ação das ondas sonoras, a distânciaentre o diafragma e a placa traseira varia, alterando o valor da capacitânciacom o tempo. Observe a imposição de uma tensão de polarização e a saídade áudio do microfone.


Capacitores - Exemplo não-linear

Diodo varactor: Através de uma junção PN especialmente projetada paratomar vantagem da camada de depleção quando operando em polarizaçãoreversa, obtém-se um componente eletrônico que acumula uma carga quevaria com a tensão aplicada conforme a expressão

q = −K√V0 − v (3)

desde que v < V0.1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 8 / 38

Capacitores - Exemplo não-linear

Nesse caso, pode-se escolher um ponto de operação V e obter umacapacitância de pequenos sinais da seguinte forma:

C (v) =dq

dv(V ) =

K

2√V0 − V

(4)

desde que V < V0.


Capacitores - Energia armazenada

Quando atravessado por uma corrente i e apresentando uma tensão v , ocapacitor recebe uma potência elétrica igual a

p = vi

Desta forma, a energia acumulada no capacitor entre os instantes t1 e t2 é

E =

∫ t2

t1

vidt

Como i =dq

dt, pode-se escrever

E =

∫ q2

q1

vdq (5)

Considerando o caso em que a carga inicial é nula e que v =q

C, pode-se

escrever

E =q2

2C(6)


Capacitores - Associação em série

Os dois capacitores têm a mesma carga acumulada, logo sendo C1 e C2 acapacitância de cada um deles, as tensões sobre eles são dadas por

v1 =q

C1

ev2 =

q

C2

Como, para a associação, v = v1 + v2, tem-se

v =q

C1+

q

C2=

q

Ceq(7)

de forma que

Ceq =C1C2

C1 + C2(8)


Capacitores - Associação em paralelo

Os dois capacitores são submetidos à mesma tensão, logo sendo C1 e C2 acapacitância de cada um deles, as cargas armazenadas neles são dadas por

q1 = vC1

eq2 = vC2

Como, para a associação, q = q1 + q2, tem-se

q = q1 + q2 = vC1 + vC2 = vCeq (9)

de forma queCeq = C1 + C2 (10)


Indutores

DefiniçãoElemento de circuito geralmente constituído por espiras de um fio condutorenroladas sobre um núcleo. Concatenado à corrente surge, durante aoperação, um fluxo λ.São caracterizados por sua indutância L, que no caso de indutores lineares,relaciona o fluxo e a corrente por

λ = Li

A indutância é medida em Henrys (H) no Sistema Internacional deunidades.


Indutores

Relação tensão-correnteA partir de

λ = Li

Pode-se obter a equação que relaciona tensão e corrente do indutor,considerando que v = dλ

dt :

v =dλ

dt= L

di

dt(11)

(indutor invariante no tempo)


Indutores

ObservaçãoNeste contexto a grandeza λ é chamada de fluxo por simplicidade, mas arigor λ é dado em função do fluxo magnético Φ (numa espira de n voltas, arelação é λ = nΦ). Outros termos usados na literatura técnica para maiorprecisão são fluxo concatenado e flux linkage.


Indutores - Energia armazenada

Quando atravessado por uma corrente i e apresentando uma tensão v , oindutor recebe uma potência elétrica igual a

p = vi

Desta forma, a energia acumulada no indutor entre os instantes t1 e t2 é

E =

∫ t2

t1

vidt

Como v =dλ

dt, pode-se escrever

E =

∫ λ2

λ1

idλ (12)

Considerando o caso em que o fluxo inicial é nulo e que i = λL , pode-se

escrever

E =λ2

2L(13)


Dualidade capacitor-indutor

Pode-se observar que capacitores e indutores são elementos quedemonstram características duais, como se pode notar:

Capacitor IndutorCampo elétrico Campo magnético

Carga FluxoTensão Correntei = C dv

dt v = L didt


Indução mútua

Quando dois enrolamentos de fio condutor estão próximos entre si(normalmente enrolados no mesmo núcleo), o fluxo em um enrolamentonão depende apenas da corrente que o atravessa. Ao invés disso, o fluxoconcatenado em cada enrolamento é produzido pelas correntes queatravessam todos eles. Diz-se que existe indutância mútua entres osenrolamentos.Neste caso, ao invés de expressar o fluxo em função da corrente na formade uma proporção linear, adota-se a forma matricial[

λ1λ2

]=

[L1 MM L2

] [i1i2

](14)

O coeficiente M é chamado de indutância mútua. L1 e L2 são asindutâncias próprias dos enrolamentos.


Indução mútua

No caso em que M, L1 e L2 não variam com o tempo, tem-se as relaçõesentre tensões e correntes

v1 = L1di1dt

+ Mdi2dt

(15)

v2 = Mdi1dt

+ L2di2dt

(16)

Com a convenção do receptor: L1 e L2 sempre positivos.M pode ser tanto positivo quanto negativo, conforme o fluxoproduzido por uma das correntes reforce (M > 0) ou enfraqueça(M < 0) aquele produzido pela outra.


Indução mútua - Notação do ponto

Na representação do circuito, adota-se a convenção abaixo, segundo a qual correntes (positivas)entrando pelos extremos identificados pelos pontos reforçam mutuamente os fluxos.

(a): M > 0(b): M < 0


Indutores - Energia armazenada (indutância mútua)

A potência fornecida a dois indutores L1 e L2 com indutância mútua M éigual a

p = v1i1 + v2i2

Utilizando as expressões 15 e 16, pode-se escrever

p = L1i1di1dt

+ Mi1di2dt

+ Mi2di1dt

+ L2i2di2dt

e essa expressão pode ser colocada na forma

p =d

dt

(12L1i

21 + Mi1i2 +

12L2i

22

)Ou seja, considerando nula a energia armazenada nos indutores quandoi1 = i2 = 0, tem-se

E =12L1i

21 + Mi1i2 +

12L2i

22 (17)


Indutores - Energia armazenada (indutância mútua)

A expressão 17 pode ser escrita na forma matricial

E =12iTLi (18)

em que

L =

[L1 MM L2

](19)

e

i =

[i1i2

](20)

Desta forma, como a energia acumulada nos indutores deve ser semprepositiva para quaisquer valores de i1 e i2,

E =12iTLi ≥ 0

ou seja, a matriz L deve ser positiva semi-definida.1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 22 / 38

Indutores - Coeficiente de acoplamento

Portanto, deve-se ter det(L) ≥ 0, ou seja,

M2 ≤ L1L2 (21)

Define-se o coeficiente de acoplamento k entre dois indutores por

k =|M|√L1L2

(22)

Devido à desigualdade apresentada, deve-se ter 0 ≤ k ≤ 1. No caso dek = 1, diz-se que há um acoplamento perfeito.


Indutores - Associação (sem indutância mútua)

Quando há distância suficiente entre os indutores de modo que a correnteque atravessa um deles não influencia o fluxo do outro, pode-se determinara indutância equivalente de modo análogo ao dos capacitores.


Indutores - Associação em série

Os dois indutores são percorridos pela mesma corrente, logo sendo L1 e L2a indutância de cada um deles, os fluxos sobre eles são dados por

λ1 = L1i

eλ2 = L2i

Como, para a associação, λ = λ1 + λ2, tem-se

λ = L1i + L2i = Leq i (23)

de forma queLeq = L1 + L2 (24)


Indutores - Associação em paralelo

Os dois indutores são submetidos à mesma tensão, logo sendo L1 e L2 aindutância de cada um deles, as variações de fluxo são iguais, e, sendonulos os fluxos iniciais, os fluxos em ambos indutores têm o mesmo valor λ:

λ = L1i1

eλ = L2i2

Como, para a associação, i = i1 + i2, tem-se

i = i1 + i2 =λ

L1+

λ

L2=

λ

Leq(25)

de forma que

Leq =L1L2

L1 + L2(26)


Indutores - Associação (com indutância mútua)

Quando os indutores são dispostos de forma que a corrente de um delesinfluencie o fluxo do outro (por exemplo, quando os indutorescompartilham um mesmo núcleo ferromagnético dentro do qual o fluxomagnético fica confinado), o efeito da indutância mútua deve ser levadoem consideração no cálculo da indutância equivalente.


Indutores - Exemplo de associação com indutância mútua

Considere o caso em que dois indutores L1 eL2 são conectados em série de forma queapresentem uma indutância mútua M,conforme a figura ao lado.Para determinar o valor da indutânciaequivalente tal que v = Leq

didt , considere as

equações[λ1λ2

]=

[L1 MM L2

] [i1i2

]



eλ = λ1 + λ2

ei = i1 = i2

Dispondo numa forma matricial única, tem-se

1 −1 −1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 10 1 0 −L1 −M0 0 1 −M −L2

λλ1λ2i1i2

=

0ii00

(27)



Resolvendo o sistema, obtém-se

λ = (L1 + 2M + L2)i

e então a indutância equivalente é

Leq = L1 + 2M + L2 (28)


Transformadores

O caso em que há dois indutores acoplados(indutância mútua M 6= 0) é particularmente útil noestudo de transformadores. Em um transformador, acorrente que passa por um de seus indutores cria umfluxo magnético que induz uma tensão elétrica nooutro indutor, fazendo com que potência elétricaseja transmitida de um indutor ao outro sem quehaja contato elétrico entre os dois.São extremamente importantes para transmissão deenergia elétrica na medida em que podem ser dadosganhos de tensão, viabilizando a transmissão emgrandes distâncias.


Transformadores

Analisando inicialmente o caso em que o transformador é ideal, ou seja,k = 1 e então M2 = L1L2:

v1 = L1di1dt

+ Mdi2dt

e

v2 = Mdi1dt

+ L2di2dt

Pode-se reescrever

Mv1 = ML1di1dt

+ M2 di2dt

e

−L1v2 = −ML1di1dt− L1L2

di2dt


Transformadores

e então tem-se

Mv1 − L1v2 = (M2 − L1L2)di2dt

= 0 (29)

Ou seja,Mv1 = L1v2 (30)

Ou seja, por meio de uma fonte de tensão v1 no indutor 1 induz-se umatensão proporcional v2 no indutor 2.Quando o transformador é ideal e o indutor 1 tem n1 espiras e o indutor 2tem n2 espiras, as magnitudes das tensões v1 e v2 se relacionam com ofluxo magnético Φ (que é igual para os dois indutores) da seguinte forma:

v1 = n1dΦ

dt(31)

ev2 = n2

dΦ

dt(32)


Transformadores

Portanto, pode-se escrever a relação:

v2v1

=n2n1

=M

L1=

L2M

(33)

Como M2 = L1L2 para o transformador ideal, ele não armazena (nemdissipa) energia. Pode-se então escrever

p = v1i1 + v2i2 = 0 (34)

de onde se obtémi2i1

= −v1v2

= −n1n2

(35)


Transformadores

Observação: Considerando as equações

v1 = L1di1dt

+ Mdi2dt

e

v2 = Mdi1dt

+ L2di2dt

e na situação em que uma carga resistiva R é conectada ao secundário(indutor 2), estabelece-se a relação v2 = −Ri2. Vamos analisar o efeito deuma tensão constante (DC) v1 aplicada ao primário (indutor 1):

Se v1 é constante e o transformador é ideal, tem-se v2 = n2n1v1

(também constante);Se v2 é uma tensão constante, a corrente i2 também é, uma vez quei2 = − v2

R ;

Com i2 constante, tem-se di2dt = 0;


Transformadores

Dessa forma, tem-sedi1dt

=v1L1

(constante) o que significa que i1 cresce (ou decresce) indefinidamente;Como a situação de i1 crescer ou decrescer indefinidamente não éfisicamente possível, conclui-se que transformadores não podem operarcom tensões constantes.

Uma análise mais rigorosa dessa situação será feita mais adiante.


Capacitâncias e Indutâncias parasitas

Em um circuito eletrônico, os contatos e os fios de conexão geramcapacitâncias e indutâncias indesejadas, chamadas de parasitas.

https://www.youtube.com/watch?v=6GIscUsnlM0 (Capacitância parasita de protoboard)https://www.youtube.com/watch?v=heufatGyL1s (Indutância parasita de fios)


https://www.youtube.com/watch?v=6GIscUsnlM0

https://www.youtube.com/watch?v=heufatGyL1s

Bibliografia

Burian, Y. & Lyra, A.C.C., Circuitos elétricos, Prentice-Hall Brasil,2006 (Capítulo 4);Chua, L. O., Desoer, C. A., & Kuh, E. S. (1987). Linear and nonlinearcircuits. McGraw-Hill College (Capítulo 6).


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