ITA2006_3dia

OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO

MMMMAAAATTTTEEEEMMMMTTTT IIIICCCCAAAA

Obs.: So cartesianos ortogonais os sistemas de coor-denadas considerados.

1 DDDDSeja E um ponto externo a uma circunferncia. Os seg-mentos

EA e

ED interceptam essa circunferncia nos

pontos B e A, e, C e D, respectivamente. A corda AF

da circunferncia intercepta o segmento ED no ponto

G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3 e AG = 6, entoGF valea) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5Resoluo

1) Pela potncia do ponto E tem-se:EA . EB = EC . ED 12 . 5 = 4 . (4 + 3 + GC) GC = 8

2) Pela potncia do ponto G tem-se:GA . GF = GC . GD 6 . GF = 8 . 3 GF = 4

NOTAESC : conjunto dos nmeros complexos Q : conjunto dos nmeros racionais R : conjunto dos nmeros reais Z : conjunto dos nmeros inteirosN = {0, 1, 2, 3,...} N* = {1, 2, 3,...} : conjunto vazio A\B = {x A : x B} detA : determinante da matriz AA1: inversa da matriz A

( ab) : combinao de a elementos, b a b, onde a e bso inteiros maiores ou iguais a zero

AB: segmento de reta unindo os pontos A e BP(X) : conjunto de todos os subconjuntos de Xn(X) : nmero de elementos do conjunto X (X finito)i: unidade imaginria; i2 = 1z = x + iy, x, y Rz : conjugado do nmero z CIzl : mdulo do nmero z CRez : parte real de z CImz: parte imaginria de z C[a,b] = {x R : a x b}(a,b) = {x R : a < x < b}[a,b) = {x R : a x < b}(a,b] = {x R : a < x b}

IIII TTTTAAAA ---- ((((3333 DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555


2 CCCCSeja U um conjunto no vazio com n elementos, n 1.Seja S um subconjunto de P(U) com a seguinte pro-priedade:

Se A, B S, ento A , B ou B , A.Ento, o nmero mximo de elementos que S pode ter

a) 2n1

b) n/2, se n for par, e (n + 1)/2 se n for mpar c) n + 1

d) 2n 1

e) 2n1 + 1

Resoluo

1) Se S , P(U), qualquer elemento Xi S subconjuntode U.

2) Se Xi for o elemento de S com menor nmerode elementos, qualquer outro elemento de S deverconter Xi.

3) Assim, o conjunto S ter o maior nmero de elemen-tos quando for do tipoS = {, {a1}, {a1; a2}, {a1; a2; a3}, ,{a1; a2; a3; ;an}}em que {a1; a2; ; an} = U

Desta forma, S possui um mximo de n + 1 elementos.

3 BBBBSejam A e B subconjuntos finitos de um mesmoconjunto X, tais que n(B\A), n(A\B) e n(A " B) formam,nesta ordem, uma progresso aritmtica de razo r > 0. Sabendo que n(B\A) = 4 e n(A U B) + r = 64,ento, n(A\B) igual aa) 12 b) 17 c) 20 d) 22 e) 24

Resoluo

De acordo com os dados, tem-se o seguinte diagramade Venn-Euler:

pois n(B\A), n(A\B) e n(A " B) formam, nesta ordem,uma progresso aritmtica de primeiro termo 4 e razor > 0.Assim, tem-se que:

n(A " B) + r = 64 [(4 + r) + (4 + 2r) + 4] + r = 64 12 + 4r = 64 r = 13 en(A\B) = n(A B) = 4 + r = 4 + 13 = 17



4 EEEESeja f : R fi R definida por f(x) = 77sen[5(x + pi/6)] eseja B o conjunto dado por B = {x R : f(x) = 0}. Se m o maior elemento de B ( ,0) e n o menorelemento de B (0, + ), ento m + n igual aa) 2pi/15 b) pi/15 c) pi/30 d) pi/15 e) 2pi/15

Resoluo

1) Com k Z temos:

f(x) = 77 . sen 5 x + = 0

sen 5 x + = 0

5 x + = k pi x + =

x = + e B = {x R: x = + ; k Z}

2) B ( ,0) = ; ; ; ;

cujo maior elemento m =

3) B (0, + ) = ; ; ; ; ,

cujo menor elemento n = .

4) Dos itens (2) e (3) conclui-se

m + n = + =

5 CCCCConsidere a equao (ax ax)/(ax + ax) = m, na vari-vel real x, com 0 < a 1. O conjunto de todos os valoresde m para os quais esta equao admite soluo real a) (-1,0) < (0,1) b) ( ,1) < (1,+ ) c) (1,1)d) (0, ) e) ( ,+ )Resoluo

1) = m ax ax = m ax + m ax

(m 1) . ax + (m+1)ax = 0

(m 1) . a2x + (m+1) = 0

a2x = a2x =

Para 0 < a 1, a2x > 0 > 0

(1 + m) (1 m) > 0 1 < m < 1

1 + m1 m

1 + m1 m

m 1m 1

ax axax + ax

2pi15pi30

pi6

pi30

619pi3013pi30

7pi30pi305

pi6

6 23pi30

17pi30 11pi30

pi65

kpi5pi6

kpi5pi6

kpi5pi62pi61

24pi61324pi613



6 AAAAConsidere uma prova com 10 questes de mltiplaescolha, cada questo com 5 alternativas. Sabendo quecada questo admite uma nica alternativa correta,ento o nmero de formas possveis para que umcandidato acerte somente 7 das 10 questes

a) 44.30 b) 43.60 c) 53.60 d) .43 e)

Resoluo

Interpretando o nmero de formas possveis para queo candidato acerte somente 7 questes como sendoo nmero de maneiras de escolher uma alternativapara cada um dos 10 testes de modo que apenas 7deles estejam corretos, ento:1) O nmero de possibilidades de acertar exatamente

7 testes C10,7 .

2) Para cada uma das possibilidades anteriores, as 3questes erradas podem ser escolhidas de

4 . 4 . 4 = 43 maneiras.3) O nmero total de possibilidades ser, ento,

C10,7 . 43 = . 43 = 30 . 4 . 43 = 30 . 44

10 . 9 . 83 . 2 . 1

210712731



7 BBBBConsidere as seguintes afirmaes sobre a expressoS = 101k=0 log8 (4k 2 ):I. S a soma dos termos de uma progresso geo-

mtrica finitall. S a soma dos termos de uma progresso arit-

mtica finita de razo 2/3II. S = 3451IV.S 3434 + log82Ento, pode-se afirmar que (so) verdadeira(s) apenas

a) I e Ill b) ll e Ill c) ll e lV d) ll e) Ill

Resoluo

S = log8(4k . 2 )

S = log8(40 . 2 ) + log8(41 . 2 ) +

+ log8(42 . 2 ) + + log8(4101 . 2 )

S = + + + + + +

+ +

Assim sendo1) S a soma dos termos de uma progresso arit-

mtica finita de razo .

2) O valor de S :

S = . 102 = .102 = 3451

3) S = 3451 > 3434 + log8 2

As afirmaes verdadeiras so, apenas, II e III.Obs.: A rigor sempre possvel obter uma progressogeomtrica cuja soma S = 3451 o que tornaria aafirmao (I) verdadeira.

203

6

1 1 202 + 1 + 26 6 3

2

23

220231

61

2431

612

23

1612

161

101

k = 0



8 CCCCSe para todo z C, |f(z)| = Izl e |f(z) f(1)| = Iz 1|, ento,para todo z C, f(1)f(z) + f(1)f(z) igual a

a) 1 b) 2z c) 2Rez d) 2Imz e) 2|z|2

Resoluo

1) |f(z)| = |z| = 1 = cos q + i . sen q

f(z) = z (cos q + i . sen q ), " z C*

2) f(z) = z . (cos q + i . sen q ) tambm verdadeira paraz = 0, pois f(0) = 0 . (cos q + i . sen q ) = |0|

3) A funo f(z) = z (cos q + i . sen q ) satisfaz a condio|f(z) f(1)| = |z 1|, pois |f(z) f(1)| = |z (cos q + i . sen q ) 1 . (cos q + i . sen q )| == |z 1| . |cos q + i . sen q | = |z 1|

4) f(z)

= z (cos q i . sen q )

5) f(1) = 1 . (cos q + i . sen q ) e f(1)

= 1(cos q i . sen q )

6) f(1) . f(z) = 1 (cos q i . sen q ) . z (cos q + i . sen q )

7) f(1) . f(z)

= 1 . (cos q + i . sen q ) . z (cos q i . sen q )

8) f(1) . f(z) + f(1) . f(z)

= (z + z) (cos2 q + sen2 q ) = = z + z = 2 Re(z)

9 DDDDO conjunto soluo de (tg2x 1)(1 cotg2x) = 4, x kpi/2, k Z, a) {pi/3 + kpi/4, k Z} b) {pi/4 + kpi/4, k Z} c) {pi/6 + kpi/4, k Z} d) {pi/8 + kpi/4, k Z} e) {pi/12 + kpi/4, k Z}

Resoluo

Para x k , k Z, temos:

(tg2x 1) (1 cotg2x) = 4

. = 4

(sen2x cos2x)2 = 4 sen2 x cos2 x

cos2 (2x) = sen2 (2x) tg2 (2x) = 1

tg (2x) = 1 2x = + k . , (k Z)

x = + k . , (k Z)

O conjunto-soluo da equao :

5 + k . , k Z 6pi4pi8

pi4

pi8

pi2

pi4

(sen2x cos2x)

sen2x

(sen2x cos2x)

cos2x

pi2

f(z)z

f(z)z



10 BBBBSe a [0,2pi) o argumento de um nmero complexoz 0 e n um nmero natural tal que (z/uzu)n = isen(na ),ento, verdade quea) 2na mltiplo de 2pib) 2na pi mltiplo de 2pic) na pi/4 mltiplo de pi/2d) 2na pi mltiplo no nulo de 2e) na 2pi mltiplo de piResoluo

1) Lembrando que z = |z| . [cos a + i sen a ], tem-seque:

= [cos a + i sen a ]

n= [cos a + i sen a ] n

n= cos (n a ) + i sen (n a ) = i sen (n a )

cos (n a ) = 0 n a = + kpi, com k Z (I)

2) Da relao (I), conclui-se:A falsa, pois2n a = pi + 2kpi = pi (1 + 2k), que no mltiplode 2pi.B verdadeira, pois2n a pi = 2kpi, que mltiplo de 2pi.C falsa, pois

n a = +kpi, que no mltiplo de .

D falsa, pois

2n a pi = 2kpi, que s seria mltiplo de 2 se kpi Z, o que s ocorre para k = 0.

E falsa, pois

n a 2pi = +kpi, que no mltiplo de pi.3pi2

pi2

pi4

pi4

pi2

z12|z|

z12|z|

z|z|



11 AAAAA condio para que as constantes reais a e b tornemincompatvel o sistema linear

a) a b 2 b) a + b = 10 c) 4a 6b= Od) a/b = 3/2 e) a . b = 24

Resoluo

Sendo p a caracterstica da matriz incompleta e q acaracterstica da matriz completa, associadas aosistema, temos:

1) MI = p = 2 para a = 6 e p = 3 para a 6

2) O sistema incompatvel quando p q e, portanto,devemos ter: p = 2 e q = 3.Assim, para a = 6, teremos:

MC = e q = 3 para b 4

Logo, a b 2.

12 DDDDSe det = 1, ento o valor do

det igual a

a) 0 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16

Resoluo

=

= 2 . 3 =

= 6 + =

= 6 . 2 = 12 . ( 1) = 12|a b cp q r x y z|2|a b cx y z x y z||a b c2p 2q 2r x y z|1

|a b c2p+x 2q+y 2r+zx y z||2a 2b 2c2p+x 2q+y 2r+z3x 3y 3z|

42a 2b 2c

2p + x 2q + y 2r + z 3x 3y 3z3

4a b cp q rx y z3

1 1 3 2

31 2 5 142 2 6 b

1 1 3

31 2 542 2 a

x + y + 3z = 2x + 2y + 5z = 1 2x + 2y + az = b5



13 EEEESeja p um polinmio com coeficientes reais, de grau 7,que admite 1 i como raiz de multiplicidade 2. Sabe-seque a soma e o produto de todas as razes de p so,respectivamente, 10 e 40. Sendo afirmado que trsrazes de p so reais e distintas e formam uma pro-gresso aritmtica, ento, tais razes so

a) 3/2 193/6, 3, 3/2 + 193/6b) 2 413, 2, 2 + 413c) 4, 2, 8d) 2, 3, 8 e) 1, 2, 5

Resoluo

Se um polinmio p de grau 7 com coeficientes reais,admite (1 i) como raiz de multiplicidade 2, ento,tambm admite (1 + i) como raiz de multiplicidade 2.Sendo a r, a , a + r, com a e r nmeros reais, as outrastrs razes de p, temos

Dessa forma as trs razes reais de p so 1, 2 e 5.

a = 2r = 3

a = 24 . (a 2 r2) . a = 40

(1 i) + (1 i) + (1 + i) + (1 + i) + (a r) + a + (a + r)= 10(1 i) (1 i) (1 + i) (1 + i) (a r) a (a + r) = 40



14 EEEESobre o polinmio p(x) = x5 5x3 + 4x2 3x 2podemos afirmar quea) x = 2 no raiz de pb) p s admite razes reais, sendo uma delas inteira,

duas racionais e duas irracionaisc) p admite uma nica raiz real, sendo ela uma raiz

inteirad) p s admite razes reais, sendo duas delas inteirase) p admite somente 3 razes reais, sendo uma delas

inteira e duas irracionais

Resoluo

1) p(x) = x5 5x3 + 4x2 3x 2 p(2) = 32 40 + 16 6 2 p(2) = 0 2 raiz de p p(x) divisvel por x 2

2) 1 0 5 4 3 2 2 __________________________

1 2 1 2 1 0

p(x) x 2 ______________________

0 x4 + 2x3 x2 + 2x + 1

p(x) = (x 2) (x4 + 2x3 x2 + 2x + 1)

3) p(x) = 0 x 2 = 0 ou x4 + 2x3 x2 + 2x + 1 = 0

4) x 2 = 0 x = 2

5) x4 + 2x3 x2 + 2x + 1 = 0

x2 + 2x 1 + + = 0

+ 2 1 = 0

6) Se x + = y, ento x2 + + 2 = y2

x2 + = y2 2

7) Substituindo x + por y, temos:

(y2 2) + 2y 1 = 0 y2 + 2y 3 = 0

y = 3 ou y = 1

8) Se y = 3, ento x + = 3

x2 + 3x + 1 = 0 x = 3 w5

2

1x

1x

1x2

1x2

1x

11x + 2x11x2 + 2x2

1x2

2x



9) Se y = 1, ento x + = 1 x2 x + 1 = 0

x =

10) O conjunto-verdade da equao p(x) = 0

52; ; ; ; 61 w3 i21 + w3 i

2

3 w5

2

3 + w5

2

1 w3 i

2

1x



15 EEEESeja o sistema linear nas incgnitas x e y, com a e breais, dado por

Considere as seguintes afirmaes:I. O sistema possvel e indeterminado se a = b = 0ll. O sistema possvel e determinado se a e b no

so simultaneamente nulosIII. x2+y2 = (a2+b2)1, se a2+b2 0

Ento, pode-se afirmar que (so) verdadeira(s) apenasa) I b) II c) III d) I e II e) ll e III

Resoluo

5(a b) x (a + b) y = 1(a + b) x + (a b) y = 1

1) A matriz incompleta MI =

no tem caracterstica definida, se a = b = 0 e temcaracterstica 2, se a 0 ou b 0, pois

= (a b)2 + (a + b)2 =

= 2 (a2 + b2) 0

2) A matriz completa MC =

tem caracterstica 1 se a = b = 0 e tem caracterstica2, se a 0 ou b 0.

3) Dos itens (1) e (2), pelo Teorema de Rouch-Capelli,conclui-se que:se a = b = 0, o sistema impossvel ese a 0 ou b 0, o sistema possvel edeterminado.

Neste caso, tem-se:

(2a2 + 2b2) x2 + (2a2 + 2b2) y2 = 2

(a2 + b2) (x2 + y2) = 1 x2 + y2 =

x2 + y2 = (a2 + b2) 1

Desta forma, (I) falsa, (II) e (III) so verdadeiras.

1a2 + b2

(a b)2 x2 2 (a b) (a + b) xy + (a + b)2 y2 = 1 5 (a + b)2 x2+ 2 (a + b) (a b) xy + (a b)2 y2 =1

(a b) x (a + b) y = 15 (a + b) x + (a b) y = 1

(a b) (a + b) 13 4(a + b) (a b) 1

(a b) (a + b)u u(a + b) (a b)

(a b) (a + b)3 4(a + b) (a b)

(a b)x (a + b)y = 1 (a + b)x + (a b)y = 1 5



16 DDDDConsidere o polinmio p(x) = x3 (a + 1)x + a, ondea Z. O conjunto de todos os valores de a, para osquais o polinmio p(x) s admite razes inteiras,

a) {2n, n N} b) {4n2, n N}

c) {6n2 4n, n N} d) {n(n + 1), n N}

e) N

Resoluo1) p(x) = x3 (a + 1) x + a

p(x) = x3 x2 + x2 ax x + a = 0 p(x) = x2(x 1) + x (x 1) a (x 1) p(x) = (x 1) (x2 + x a)

2) p(x) = 0 x 1 = 0 ou x2 + x a = 0

3) As razes da equao x2 + x a = 0 sero reais se, esomente se, = 1 + 4 a 0

4) 1 + 4 a 0 e a Z a N

5) Para a N, se as razes inteiras forem m e n ento

6) As razes inteiras sero, portanto, 1, n e n1 desdeque a = n(n + 1), " n N.

m = n 1a = n(n + 1){m = 1 n(1n) . n = a{m + n = 1m . n = a{



17 BBBBNuma circunferncia C1 de raio r1= 3 cm est inscritoum hexgono regular H1; em H1 est inscrita umacircunferncia C2; em C2 est inscrito um hexgono

regular H2 e, assim, sucessivamente. Se An (em cm2)

a rea do hexgono Hn, ento n = 1 An (em cm2) iguala

a) 54 w2 b) 54 w3 c) 36(1 + w3 )d) 27 / (2 w3 ) e) 30 (2 + w3 )

Resoluo

De acordo com o enunciado e a figura acima tem-se:r1 = 3 cm

r2 = = cm

r3 = = 3 . 2

cm

r4 = = 3 . 3

cm

conclui-se assim que os raios r1, r2, r3, , rn, formamnessa ordem uma progresso geomtrica estritamente

decrescente de 1 termo r1 = 3 cm e razo q = eque as reas A1, A2, A3, , An, formam

nessa ordem uma progresso geomtrica estritamente

decrescente de 1 termo A1 = 6 . cm2 e razo

Q = 2

.2321

32 3

4

3

2

2321r33

2

2321r23

2

33

2

r13

2



Logo: An = =

= = = 543

18 sssseeeemmmm rrrreeeessssppppoooossssttttaaaaSejam a reta s: 12x 5y + 7 = 0 e a circunfernciaC: x2 + y2 + 4x + 2y = 11. A reta p, que perpendiculara s e secante a C, corta o eixo Oy num ponto cujaordenada pertence ao seguinte intervalo

a) , b) ,

c) , d) ,

e) ,

Resoluo

A circunferncia x2 + y2 + 4x + 2y 11 = 0 tem centroC( 2; 1) e raio r = 4.

A reta p, perpendicular a s, tem equao 5x + 12y + k = 0 e ser secante circunferncia quando dp,C < 4, isto :

< 4 < 4

uk 22 u < 52 52 < k 22 < 52 30 < k < 74

A reta p intercepta o eixo Oy num ponto cuja ordenada

.

Assim, se 30 < k < 74, ento 74 < k < 30 e

< <

A ordenada do ponto em que a reta p corta o eixo Oy

pertence ao intervalo 1 ; 2.301274

12

3012

k

12

74

12

k12

u k 22 u

13

u 5 . (2) + 12 . (1) + k u

52 + 122

2911275121

27412301212

30

12

74

121

274 1281

1212

81

12

91

121

27 3

2

14

32 36 .

4

3 21 122

A11 Q

n = 1



19 DDDDOs focos de uma elipse so F1(0, 6) e F2(0,6). Ospontos A(0,9) e B(x, 3), x > 0, esto na elipse. A rea dotringulo com vrtices em B, F1 e F2 igual a

a) 22 ww10 b) 18 ww10 c) 15 ww10d) 12 ww10 e) 6 ww10ResoluoA partir do enunciado, temos uma elipse com centro naorigem e com os pontos indicados na figura a seguir.

Como f = = 6, a = CA = 9 e a2 = b2 + f2,

temos: 92 = b2 + 62 b2 = 45

A equao da elipse : + = 1

Se B(x; 3), com x > 0, pertence elipse, ento:

+ = 1 x2 = 40 x = 2 10 (pois x > 0)

Finalmente, a rea do tringulo :

A = = = 121012 . 210

2

F1F2 . xB2

3281

x245

y281

x245

F1F22



20 AAAAUma pirmide regular tem por base um hexgono cuja

diagonal menor mede 3w3 cm. As faces laterais destapirmide formam diedros de 60 com o plano da base.A rea total da pirmide, em cm2,

a) 81 w3 / 2 b) 81 w2 / 2 c) 81/2d) 27 w3 e) 27 w2 Resoluo

Sejam , a medida do lado da base, g a medida doaptema da pirmide, a a medida do aptema da base,em centmetros.

1) 2 . = 3 w3 , = 3

2) a = =

3) cos 60 = = g = 3 w3

4)A rea, em centmetros quadrados, da superfcielateral da pirmide dada por:

A, = 6 . = 3 . 3. 3 w3 = 27 w3

5)A rea, em centmetros quadrados, da base dapirmide dada por:

Ab = 6 . = 6 . =

6)A rea total, em centmetros quadrados, dessapirmide

At = A, + Ab = 27 w3 + = 81w3

2

27 w3

2

27 w3

2

32 w3

4

, 2 w3

4

, . g

2

3 w3

2

g

12

ag

3 w3

2

, w3

2

, w3

2



As questes dissertativas, numeradas de 21 a 30,devem ser resolvidas e respondidas no caderno desolues.

21Considere A um conjunto no vazio com um nmerofinito de elementos. Dizemos que F = {A1, ..., Am} ; P(A) uma partio de A se as seguintes condies sosatisfeitas:I. Ai , i = 1, ..., m

II. Ai " Aj = , se i j, para i,j = 1, ..., m

III.A = A1 : A2 : ... : AmDizemos ainda que F uma partio de ordem k sen(Ai) = k, i = 1,..., m.Supondo que n(A) = 8, determine:a) As ordens possveis para uma partio de Ab) O nmero de parties de A que tm ordem 2

Resoluoa) Dizer que F uma partio de ordem k significa

dizer que todos os conjuntos Ai que compem apartio possuem k elementos distintos.Como, de Ai Aj = , se i j e A = A1 A2 Am, para i,j = 1, , n, resulta emn(A) = n(A1) + n(A2) + + n(Am), tem-se8 = k + k + + k 8 = m . k

m parcelas

k e m so divisores naturais de 8.Assim, podemos ter (k = 1 e m = 8) ou (k = 2 e m = 4)ou (k = 4 e m = 2) ou (k = 8 e m = 1).Desta forma, as possveis ordens para uma partiode A so 1, 2, 4 e 8.

b) Determinar o nmero de parties de A que tmordem 2 equivale a determinar de quantas maneirasse podem distribuir os 8 elementos de A em 4grupos de 2 elementos cada um. O nmero de for-mas de se efetuar estas parties

= =

= = 105

Respostas: a) ordens 1, 2, 4 e 8b) 105 parties

28 . 15 . 6 . 1

24

8.7 6.5 4.3 . . .1

2! 2! 2!

4 . 3 . 2 .1

C8; 2 . C6; 2 . C4; 2 . C2;2P4



22Seja f: [0, 1) fi R definida por

f(x) = .

Seja g: ( 1/2; 1/2) fi R dada

g(x) = , com f definida

acima. Justificando a resposta, determine se g par,mpar ou nem par nem mpar.

Resoluo

1) f(x) = 2x, se 0 x <

e

f(x) = 2x 1, se x < 1

2) < x < 0 0 < x + < e 0 x <

x + < 1

3) g(x) = f(x + ), se < x < 0e

g(x) = 1 f(x + ), se 0 x <

g(x) = 2 (x + ), se < x < 0

e

g(x) = 1 [2 (x + ) 1], se 0 x <

g(x) = 2x + 1, se < x < 0

e

g(x) = 2x + 1, se 0 x <

g(x) = g(x), " x ( ; ) g par

Resposta: g(x) par

12

12

12

12{

12

12

12

12{

12

12

12

12{

12

12

12

12

12

12

12

12{

f(x + 1/2), 1/2 < x < 01 f(x + 1/2), 0 x < 1/25

2x, 0 x < 1/22x 1, 1/2 x < 15



23Determine o coeficiente de x4 no desenvolvimento de(1 + x + x2)9.

Resoluo

(1 + x + x2)9 = [(1 + x) + x2]9 = . (1 + x)9 . (x2)0 +

+ . (1 + x)8 . (x2)1 + . (1 + x)7 . (x2)2 +

+ . (1 + x)6 . (x2)3 + + . (1 + x)0 . (x2)9

Podemos notar que termos em x4 s ocorrero nosprimeiros trs termos do desenvolvimento acima.

Em . (1 + x)9, temos 19 k1 . x

k1, com

k1 = 4

Em . (1 + x)8 . x2, temos

9. 18 k2.x

k2 . x2, com k2 + 2 = 4 k2 = 2

Em . (1 + x)7 . x4, temos

. 17 k3. x

k3 x4, com k3 = 0

Assim, resulta a soma:

+ . + . =

= + . + . =

= 126 + 9 . 28 + 36 = 414

Resposta: O coeficiente de x4 414.

27012921282129112941

27k31292128k2129112

9k11

427k3312921

2921

428k231

2911

29k112901

29912931

292129112901



24Determine para quais valores de x ( pi/2, pi/2) vale adesigualdade

logcosx(4sen2x 1) logcosx(4 sec

2x) > 2.

Resoluo

As condies de existncia

dos logaritmos, para x ; , resultam:

I) 0 < cos x < 1 < x < e x 0

II) 4 . sen2x 1 > 0 sen x < 1/2 ou sen x > 1/2

< x < ou < x <

III)4 sec2x > 0 sec2x < 4 2 < sec x < 2

2 < < 2 cos x > 1/2 (pois cos x > 0)

< x <

Nas condies acima, temos:logcosx (4 . sen

2x 1) logcosx (4 sec2x) > 2

logcosx > 2

< cos2x

. cos2x < cos2x

< 1 4 . sen2x 1< 4 .cos2x 1

sen2x < cos2x tg2x < 1 1 < tg x < 1

< x <

Impondo-se as condies de existncia na soluoobtida, resulta:

< x < ou < x <

Resposta: < x < ou < x < pi

4

pi6

pi

6

pi

4

pi4

pi6

pi

6

pi

4

pi4

pi

4

4 . sen2x 14 . cos2x 1

4 . sen2x 1

4 . cos2x 1

4 . sen2x 1

14 cos2x

24 . sen2x 1

4 sec2x1

pi3

pi

3

1cos x

pi2

pi6

pi

6

pi

2

pi2

pi

2

2pi2pi 21



25Considere o polinmio p(x) = x3 + ax2 + x + 1, comrazes reais. O coeficiente a racional e a diferenaentre duas de suas razes tambm racional. Nestascondies, analise se a seguinte afirmao ver-dadeira:Se uma das razes de p(x) racional, ento todas assuas razes so racionais.

ResoluoSejam a , b e g as razes da equao e, sem perda degeneralidade, admitamos que a racional.1) Se b a = r1 Q, ento b = r1 + a racional e g

tambm racional, pois a + b + g = a Q.Se g a = r2 Q, ento g = r2 + a racional e btambm racional, pois a + b + g = a Q.

2) Se b g = r3 Q, como a + b + g = a Q,tem-se

e ambas so racionais.

Desta forma, se uma raiz de p(x) racional, ento todasas suas razes so racionais e a frase apresentada verdadeira.Resposta: verdadeira

26As medidas, em metros, do raio da base, da altura e dageratriz de um cone circular reto formam, nesta ordem,uma progresso aritmtica de razo 2 metros. Calcule area total deste cone em m2.

Resoluo

Sendo x a medida, em metros, da altura do cone,temos: h = x, R = x 2, g = x + 2 e(x + 2)2 = x2 + (x 2)2 x2 8x = 0 x = 8, pois x > 0Assim, h = 8m, R = 6m e g = 10mA rea total AT do cone, em metros quadrados, :

AT = pi R2 + pi Rg = pi . 62 + pi . 6 . 10 = 96pi

Resposta: AT = 96pi m2

r3 a ab =

2

r3 + a + ag = 1225

b g = r3b + g = a a5



27Sejam as matrizes

A = e B =

Determine o elemento c34 da matriz C = (A + B)1.

Resoluo

1) A + B = +

A + B =

2) det (A + B) = = =

= 3. (1)2 . = 3 . 33 = 99

3) Sendo A43 o cofator do elemento da 4 linha e da 3 coluna da matriz (A + B), temos:

A43 = (1)4 +3 . = 18

4) O elemento c34 da matriz C = (A + B)1 tal que:

c34 = = =

Resposta: O elemento c34 igual a 2

11

2

11

18

99

A43det (A + B)

002

330

210

025

032

300

0025

0032

0300

3100

0025

0032

3300

2100

40025

0032

3300

2100

34

1315

1/221

1/2

321

1

11

15

341310

1/222

3/2

05

11

1 2

1 5

3

41 3 1/2 11 2 2 3

1 1 1 15 1 1/2 5

341 0 1/2 1

2 5 2 31 1 2 1

5 1 3/2 03



28Seja (a1,a2,a3, ... ,an,...) uma progresso geomtricainfinita de razo positiva r, em que a1= a um nmeroreal no nulo. Sabendo que a soma de todos os termosde ndices pares desta progresso geomtrica igual a4 e que a soma de todos os termos de ndices mltiplosde 3 16/13, determine o valor de a + r.

Resoluo

Sendo (a1, a2, a3, ..., an, ...) uma progresso geomtricainfinita de razo positiva r e a1 = a um nmero real no-nulo, de acordo com o enunciado, temos:1) a2 + a4 + a6 + ... = 4

a . r + a . r 3 + a . r 5 + ... = 4

= 4 a . r = 4 . (1 r2) (I)

2) a3 + a6 + a9 + ... =

a . r 2 + a . r 5 + a . r 8 + ... =

= a . r 2 = . (1 r3) (II)

3) Dividindo membro a membro (II) por (I), vem:

= r = .

9r2 + 9r 4 = 0 r = , pois r > 0

4) Substituindo r = em (I), temos:

a . = 4 . a =

Logo, a + r = + = 11

Resposta: a + r = 11

13

323

3232

11

9113

13

13

(1 + r + r2)

(1 + r)

413

16 . (1 r3)13

4 . (1 r2)

a . r 2a . r

1613

1613

a . r21 r3

1613

1613

a . r1 r2



29Sabendo que 9y2 16x2 144y + 224x 352 = 0 aequao de uma hiprbole, calcule sua distncia focal.

Resoluo

9y2 16x2 144y + 224x 352 = 0

9y2 144y + 576 16x2 + 224x 784 144 = 0

9(y 8)2 16(x 7)2 = 144

= 1 = 1,

que uma equao dahiprbole de centro (7; 8), eixos paralelos aos eixoscoordenados e semi-eixos transverso e conjugado,respectivamente, iguais a a = 4 eb = 3Assim, a semidistncia focal f tal que:f 2 = 32 + 42 f = 5Logo, a distncia focal desta hiprbole 2f = 10

Resposta: 10

(x 7)2

32(y 8)2

42(x 7)2

9(y 8)2

16



30Considere um losango ABCD cujo permetro mede 100cm e cuja maior diagonal mede 40 cm. Calcule a rea,em cm2, do crculo inscrito neste losango.

Resoluo

1) No losango ABCD, tem-se:

AB = BC = CD = DA = 25cm, BD

AC,

OA = OC = 20cm e OB = OD

2) No tringulo retngulo OBC, tem-se:

(OB)2 + (OC)2 = (BC)2 (OB)2 = 252 202 OB = 15 cm

3) No tringulo retngulo OBC, tem-se aindaOB . OC = BC . OTAssim, sendo R a medida, em centmetros, do raiodo crculo inscrito no losango ABCD, tem-se:15 . 20 = 25 . R R = 12

4) A rea S, em centmetros quadrados, desse crculo tal que:

S = pi R2 = pi . 122 = 144pi

Resposta: S =144pi cm2



Comentrio de Matemtica

Com 19 questes de lgebra, 5 de geometria, 3 detrigonometria e 3 de geometria analtica, a bancaexaminadora do ITA conseguiu elaborar uma excelenteprova de Matemtica, na qual podemos destacar o altograu de dificuldade da maioria das questes e aausncia de alternativa correta para o teste nmero 18,de geometria analtica, causada certamente por uminfeliz erro de digitao.


ITA2006_3dia

Documents

Transcript of ITA2006_3dia