Ítalo Linhares S alomão - Departamento de Engenharia ... Snakes (Helvio, Graciele e Patrick), por...
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3
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador.
Ítalo Linhares Salomão
Graduou-se em Engenharia Civil na Universidade de Fortaleza (Ceará, Brasil) em 2011. Trabalhou na área de projetos de estruturas de concreto armado e protendido na empresa Structurale. Desenvolveu junto com os seus orientadores durante o Mestrado modelos representativos de lajes nervuradas.
Ficha Catalográfica
Salomão, Ítalo Linhares Análise numérica da eficiência de lajes nervuradas tridirecionais / Ítalo Linhares Salomão ; orientadora: Marta de Souza Lima Velasco ; co-orientadora: Elisa Dominguez Sotelino. – 2014. 107 f. il. (color.) ; 30 cm Dissertação (mestrado)–Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil, 2014. Inclui bibliografia 1. Engenharia civil – Teses. 2. Elementos finitos. 3. Laje nervurada. 4. Laje nervurada rotacionada. 5. Laje nervurada tridirecional. I. Velasco, Marta de Souza Lima. II. Sotelino, Elisa Dominguez. III. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV. Título.
CDD: 624
4
Dedico este trabalho a Edna Salomão, pelo apoio dado através do amor incondicional de mãe.
5
Agradecimentos
Aos meus pais, irmã e cunhado que decidiram apoiar minhas decisões e me guiar através das incertezas.
Aos que inicialmente e continuamente cultivaram junto comigo a paixão pela engenharia civil, dentre elas cito Cássio, Georgiana e Anderson.
Aos amigos da Pós-Graduação que tão rapidamente se tornaram uma segunda família em uma cidade até então estranha, aos Snakes (Helvio, Graciele e Patrick), por uma irmandade jamais esperada, tendo posteriormente agregado mais pessoas como Carlos e Magno.
A todos aqueles que me acompanharam fora da faculdade, Wetter, Duan, Elida, Luiz, Tia Ana, Gisele e Leonardo, a quem tem me auxiliado de uma maneira singular, se mostrando uma pessoa que desejo ter ao meu lado sempre.
Às professoras Marta Velasco e Elisa Sotelino pela orientação de forma tão competente e afetuosa tornando esse processo mais fluido.
Aos que me transmitiram ética e profissionalismo, além de todo o conhecimento, agradeço a Eduardo Leite, Letícia Leite e Elaine Ponte.
A empresa Impacto Protensão, por manter as portas abertas para o desenvolvimento de novas pesquisas.
Ao CNPq e à PUC-Rio, pelos auxílios concedidos durante o curso de mestrado.
6
Resumo
Salomão, Ítalo Linhares; Velasco, Marta de Souza Lima (Orientador); Sotelino, Elisa Dominguez (Co-Orientador). Análise numérica da eficiência de lajes nervuradas tridirecionais. Rio de Janeiro, 2013, 107pp. Dissertação de Mestrado – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
As lajes nervuradas quando comparadas às lajes maciças apresentam
redução do volume de concreto, não comprometem a eficiência da estrutura e
permitem a construção de lajes mais econômicas e com maiores vãos. Este
trabalho tem como objetivo verificar o comportamento de três tipos de lajes
nervuradas: a laje nervurada tradicional, a laje nervurada rotacionada e a laje
nervurada tridirecional. Na primeira fase deste trabalho foi realizado um estudo
comparativo de vários modelos usando diferentes tipos de elementos, a fim de
determinar aquele que melhor representa o comportamento das lajes nervuradas.
O modelo selecionado utiliza elementos de casca para representar a capa de
concreto e elementos de viga para representar as nervuras, ambos com seis graus
de liberdade por nó. Elementos de ligação rígida foram usados para conectar os
elementos de casca e os de viga a fim de capturar a posição relativa entre a capa e
as nervuras. Uma vez selecionado o modelo, foi desenvolvido um estudo dos
sistemas bidirecional, rotacionado e tridirecional, no regime elástico-linear. Os
resultados encontrados através do programa de elementos finitos Robot
permitiram comparar os três tipos de lajes em termos dos deslocamentos obtidos
no Estado Limite de Serviço, da quantidade de aço determinada através do
dimensionamento no Estado Limite Último, e do volume de concreto. As lajes
nervuradas tradicionais apresentaram um comportamento estrutural melhor, com
lajes mais rígidas e mais econômicas sob o ponto de vista da quantidade de
materiais utilizados.
Palavras-chave
Elementos Finitos; Laje Nervurada; Laje Nervurada Rotacionada; Laje Nervurada Tridirecional.
7
Abstract
Salomão, Ítalo Linhares; Velasco, Marta de Souza Lima (Advisor); Sotelino, Elisa Rodrigues (Co-Advisor). Numerical analysis of the efficiency of three-way slabs. Rio de Janeiro, 2013, 107pp. MSc. Dissertation – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
When compared to flat slabs, the waffle slabs reduce the volume of
concrete, do not compromise the efficiency of the structure and also allow the
construction of more economical slabs with longer spans. This study intends to
investigate the behavior of three types of waffle slabs: a traditional waffle slab, a
rotated ribbed slab and three-way slab. In the first part of this study, it was carried
out a comparative analysis of various models using different types of finite
element techniques in order to determine which one best represents the behavior
of waffle slabs. The selected model uses shell elements to represent the concrete
cover and beam elements to represent the ribs, both with six degrees of freedom
per node. Rigid link elements were used to connect the shell elements and the
beam elements in order to capture the relative position between the concrete cover
and the ribs. Once the model was selected, a study of two-way, three-way and
rotational systems were developed in the linear elastic regime. The results found
using the finite element program Robot allowed the comparison between the three
types of slabs in terms of, displacements obtained from the Service Limit State,
amount of steel determined by designing in the Ultimate Limit State and volume
of concrete. The traditional ribbed slabs had an overall better structural behavior,
resulting in slabs that are more rigid and more economical from the point of view
of the amount of materials used.
Keywords
Finite Elements; Waffle Slabs, Rotated Waffle Slabs, Three-way Waffle Slabs.
8
Sumário
1. Introdução ................................................................................................................ 17
1.1. Motivação ............................................................................................................... 18
1.2. Objetivos ................................................................................................................ 18
1.3. Estrutura do Trabalho ............................................................................................ 19
2. Pesquisa Bibliográfica ............................................................................................... 20
2.1. Considerações Gerais Sobre Lajes .......................................................................... 20
2.2. Lajes Maciças ......................................................................................................... 22
2.2.1. Considerações Gerais ...................................................................................... 22
2.2.2. Prescrições Normativas (NBR 6118:2007)....................................................... 23
2.3. Lajes Nervuradas .................................................................................................... 24
2.3.1. Considerações Gerais ...................................................................................... 24
2.3.2. Prescrições Normativas (NBR 6118:2007)....................................................... 26
2.4. Lajes Tridirecionais ................................................................................................. 26
2.4.1. Considerações Gerais ...................................................................................... 26
2.4.2. Método Construtivo e Detalhamento ............................................................. 30
2.4.3. Lajes Contínuas Ligadas por Vigas Faixas Nervuradas .................................... 31
2.5. Métodos de Análise ................................................................................................ 32
2.5.1 Teoria das Placas .............................................................................................. 33
2.5.1.1. Teoria Clássica das Placas Delgadas ................................................. 34
2.5.1.2. Momento em uma Placa Anisotrópica ..................................................... 35
2.6. Procedimentos Numéricos e Analíticos ................................................................. 36
2.6.1. Método dos Elementos Finitos ....................................................................... 36
2.6.1.1. Fundamentos Teóricos ............................................................................. 36
2.6.1.2. Elementos e Convergência ....................................................................... 37
2.6.1.3. Método dos Elementos Finitos Baseado em Deslocamentos .................. 39
2.6.1.4. Integração Numérica por Pontos de Gauss .............................................. 42
2.6.2. Grelha Equivalente .......................................................................................... 43
2.6.3. Métodos Empíricos ......................................................................................... 45
2.7. Programas Computacionais para Análise de Estruturas ........................................ 46
2.7.1. Autodesk Robot ............................................................................................... 47
3. Modelagem por Elementos Finitos .......................................................................... 48
3.1. Validade do Modelo ............................................................................................... 48
9
3.2. Precisão do Modelo ................................................................................................ 52
3.3. Ligação Rígida ......................................................................................................... 53
3.4. Resultados do Estudo de Convergência ................................................................. 56
4. Estudo do Comportamento de Lajes Nervuradas .................................................... 66
4.1. Análise Numérica de Laje Nervurada Simplesmente Apoiada ............................... 67
4.1.1. Laje Nervurada Ortogonal ............................................................................... 70
4.1.2. Laje Nervurada Rotacionada ........................................................................... 73
4.1.3. Laje Nervurada Tridirecional ........................................................................... 75
4.2. Análise Numérica de Lajes Nervuradas com Diversas Condições de Apoio ........... 77
4.3. Análise Numérica de Lajes Contínuas Ligadas por Vigas Faixas Nervuradas ......... 83
5. Análise dos Resultados ............................................................................................. 87
5.1. Análise dos Resultados para Lajes Simplesmente Apoiada ................................... 87
5.2. Análise dos Resultados para Lajes com Diversas Condições de Apoio .................. 92
5.3. Análise Numérica de Lajes Contínuas ligadas por Vigas Faixas Nervuradas .......... 97
6. Conclusões e Sugestões ......................................................................................... 101
6.1. Conclusões ............................................................................................................ 101
6.2. Sugestões para Trabalhos Futuros ....................................................................... 104
Referências Bibliográficas ............................................................................................... 106
10
Lista de Figuras
Figura 2.1 – Laje Lisa, Reinforced Concrete Slabs [10] .................................... 22
Figura 2.2 – Laje cogumelo, Reinforced Concrete Slabs [10] ........................... 23
Figura 2.3 – Laje nervurada ................................................................................ 25
Figura 2.4 – Modulação da forma de uma laje tridirecional, Análise
Tridirecional em Lajes Nervuradas Protendidas [12] ......................................... 27
Figura 2.5 – Sistema de escoramento de uma laje tridirecional ......................... 30
Figura 2.6 – Laje nervurada tridirecional, Sistema Construtivo Tridirecional
para Construção de Lajes Nervuradas [3] .......................................................... 31
Figura 2.7 – Laje nervurada tridirecional ........................................................... 32
Figura 2.8 – Corpo livre a um ângulo a........................................................... 34
Figura 2.9 – Cálculo do momento por nervura através do momento por
unidade de comprimento, Theory of plates and shells [13] ................................ 45
Figura 3.1 – Forma da Laje nervurada ............................................................... 50
Figura 3.2 – Planta de locação da área de carregamento .................................... 51
Figura 3.3 – Modelos de viga com e sem excentricidade, Análise numérica de
lajes nervuradas por meio do método dos elementos finitos [6] ........................ 55
Figura 3.4 – Laje nervurada gerada pelo Modelador TQS ................................. 56
Figura 3.5 – Deslocamento obtido pelo Modelador TQS ................................... 57
Figura 3.6 – Modelo de casca e viga sem ligações rígidas ................................. 57
Figura 3.7 – Malha de 25x25 cm² para o modelo de casca e viga sem ligações
rígidas ................................................................................................................. 58
Figura 3.8 – Modelo de casca e viga com ligações rígidas ................................ 58
11
Figura 3.9 – Modelo de elementos sólidos ......................................................... 59
Figura 3.10 – Planta de locação dos pontos de instrumentação ......................... 59
Figura 3.11 – Deslocamentos obtidos através do modelo com elementos de
casca e viga sem consideração do offset ............................................................. 60
Figura 3.12 – Deslocamentos obtidos através do modelo com elementos de
casca e viga com consideração do offset ............................................................. 60
Figura 3.13 – Deslocamentos obtidos através do modelo com elementos
sólidos ................................................................................................................. 61
Figura 3.14 – Gráfico comparativo dos deslocamentos ...................................... 62
Figura 4.1 – Geometria das formas da laje tipo .................................................. 59
Figura 4.2 – Laje de referência 1.1, Marcus caso 1 – 6x6 m² (λ=1) .................. 70
Figura 4.3 – Laje de referência 2.1, Marcus caso 1 – 6x4 m² (λ=1,5) ............... 70
Figura 4.4 – Laje de referência 3.1, Marcus caso 1 – 6x3 m² (λ=2) .................. 71
Figura 4.5 – Momentos principais nas direções x e y, λ=1 ............................... 71
Figura 4.6 – Laje de referência 1.2, Marcus caso 1 – 6x6 m² (λ=1) .................. 74
Figura 4.7 – Laje de referência 2.2, Marcus caso 1 – 6x4 m² (λ=1,5) .............. 74
Figura 4.8 – Laje de referência 3.2, Marcus caso 1 – 6x3 m² (λ=2) ................. 74
Figura 4.9 – Laje de referência 1.3, Marcus caso 1 – 6x6 m² (λ=1) ................. 76
Figura 4.10 – Laje de referência 2.3, Marcus caso 1 – 6x4 m² (λ=1,5) ............ 76
Figura 4.11 – Laje de referência 3.3, Marcus caso 1 – 6x3 m² (λ=2) ............... 76
Figura 4.12 – Lajes de referência no caso 2 de Marcus ..................................... 79
Figura 4.13 – Lajes de referência no caso 4 de Marcus ..................................... 79
Figura 4.14 – Lajes de referência no caso 5 de Marcus ..................................... 80
Figura 4.15 – Lajes de referência no caso 7 de Marcus ..................................... 80
12
Figura 4.16 – Lajes de referência no caso 9 de Marcus ..................................... 81
Figura 4.17 – Lajes de referência no caso 4 de Marcus ..................................... 82
Figura 5.1 – Gráfico comparativo entre deslocamentos máximos no caso 1 ..... 87
Figura 5.2 – Gráfico comparativo entre peso de aço nas nervuras no caso 1 ..... 89
Figura 5.3 – Gráfico comparativo entre volume de concreto das nervuras no
caso 1 .................................................................................................................. 90
Figura 5.4 – Gráfico comparativo entre deslocamentos máximos ..................... 92
Figura 5.5 – Gráfico comparativo entre peso de aço nas nervuras ..................... 94
Figura 5.6 – Gráfico comparativo entre volume de concreto das nervuras ........ 95
Figura 5.7 – Deslocamentos da laje bidirecional ................................................ 97
Figura 5.8 – Deslocamentos da laje rotacionada ................................................ 97
Figura 5.9 – Deslocamentos da laje com faixas nervuradas ............................... 98
Figura 5.10 – Gráfico comparativo entre deslocamentos máximos ................... 98
Figura 5.11 –Gráfico comparativo entre peso de aço das nervuras e vigas faixa 99
Figura 5.12 – Gráfico comparativo entre volume de concreto das nervuras e
vigas faixa ........................................................................................................... 100
13
Lista de Tabelas
Tabela 3.1 – Quadro comparativo da convergência dos deslocamentos,
Análise numérica do comportamento de pavimentos constituídos de lajes lisas
de concreto protendido [9] ..................................................................................
53
Tabela 3.2 – Quadro comparativo dos deslocamentos nos diversos modelos
estudados ............................................................................................................ 61
Tabela 3.3 – Quadro comparativo dos deslocamentos entre modelos estudados 62
Tabela 3.4 – Quadro comparativo dos deslocamentos obtidos em um modelo
com variação de malha ....................................................................................... 63
Tabela 3.5 – Quadro apresentando a quantidade de nós nos diversos modelos
estudados ............................................................................................................ 64
Tabela 4.1 – Propriedades mecânicas dos materiais empregados ...................... 67
Tabela 4.2 – Deslocamentos, peso de aço e volume de concreto para lajes
ortogonais, no caso 1 .......................................................................................... 72
Tabela 4.3 – Verificação da tensão de compressão das bielas, no caso 1 .......... 72
Tabela 4.4 – Deslocamentos, peso de aço e volume de concreto para lajes
rotacionadas, no caso 1 ....................................................................................... 75
Tabela 4.5 – Verificação da tensão de compressão das bielas, no caso 1 .......... 75
Tabela 4.6 – Deslocamentos, peso de aço e volume de concreto para lajes
tridirecionais, no caso 1 ...................................................................................... 77
Tabela 4.7 – Verificação da tensão de compressão das bielas, no caso 1 .......... 77
Tabela 4.8 – Deslocamentos, peso de aço e volume de concreto para lajes ....... 82
Tabela 4.9 – Verificação da tensão de compressão das bielas ........................... 83
14
Tabela 4.10 – Deslocamentos, peso de aço e volume de concreto para lajes ..... 86
Tabela 4.11 – Verificação da tensão de compressão das bielas ......................... 86
Tabela 5.1 – Comparação entre deslocamentos máximos no caso 1 .................. 88
Tabela 5.2 – Comparação entre peso de aço nas nervuras no caso 1 ................. 89
Tabela 5.3 – Comparação entre volume de concreto das nervuras no caso 1 .... 91
Tabela 5.4 – Comparação entre deslocamentos máximos .................................. 93
Tabela 5.5 – Comparação entre peso de aço nas nervuras ................................. 94
Tabela 5.6 – Comparação entre volume de concreto das nervuras .................... 96
Tabela 5.7 – Comparação entre deslocamentos máximos .................................. 98
Tabela 5.8 – Comparação entre peso de aço das nervuras e vigas faixas ........... 99
Tabela 5.9 – Comparação entre volume de concreto das nervuras e vigas
faixas ................................................................................................................... 100
15
Lista de Símbolos
Letras Romanas Maiúsculas
P Força externa
N Função de forma
G Módulo de elasticidade transversal
q Carga imposta na placa ou na barra
A Área da seção transversal
F Força axial
, Força Cortante
E Módulo de elasticidade ou módulo de Young
Letras Romanas Minúsculas
, , Momento
u’ Deslocamento axial
k Matriz de rigidez
h Espessura da placa
w Deflexão da placa na direção do carregamento no ponto
16
Letras Gregas
Coeficiente de Poisson
Ω Trabalho exercido pelas forças externas
, , Tensão
, , Deformação especifica
λ Relação entre vãos da laje
Π Energia potencial
U Energia Interna ou energia de deformação
Lista de Abreviaturas
MEF Método dos Elementos Finitos
ELS Estado Limite de Serviço
ELU Estado Limite Último
GUI Graphical User Interface
BIM Building Information Modeling
GDL Grau de Liberdade
MRD Método da Rigidez Direta
EPE Energia Potencial Estacionária
NBR Norma Brasileira Registrada
17
1. Introdução
A concepção de um modelo teórico ou computacional para o projeto de uma
estrutura deve ser capaz de simular o modelo físico real, garantir a segurança à
ruptura, satisfazer os estados limites de utilização e as recomendações das normas.
O projeto resultante deve, também, ser econômico e de fácil execução.
O desenvolvimento da tecnologia dos materiais, as novas técnicas
construtivas e as ferramentas computacionais sofisticadas (maior capacidade de
processamento e armazenamento de dados) capazes de reproduzir com maior
precisão o comportamento das estruturas, possibilitam, atualmente, o projeto de
estruturas mais arrojadas e esbeltas.
A laje nervurada é uma solução estrutural bastante adotada no caso de lajes
com grandes dimensões, pois como uma parcela de concreto é retirada da zona
tracionada e as armaduras são concentradas nas nervuras, há redução no peso
próprio e economia no custo final da obra.
As tensões nas placas oriundas de carregamentos uniformes são
naturalmente direcionadas para os elementos mais rígidos, formando usualmente
um ângulo de 45º. A fim de aperfeiçoar o comportamento estrutural do sistema,
Rocha [11] sugere a inclinação das nervuras para o mesmo plano do
caminhamento das tensões, gerando assim uma grelha rotacionada. Esta solução
possibilita a utilização de lajes tridirecionais, ou seja, armadas em três direções,
sendo uma delas transversal e as duas restantes com angulação de 45° em relação
aos eixos cartesianos da laje.
18
1.1.
Motivação
As placas são elementos estruturais bidimensionais complexos e de difícil
solução através de métodos analíticos. Por este motivo, processos simplificados de
dimensionamento foram propostos apesar da divergência entre esforços e
deslocamentos reais e teóricos.
Os processos numéricos de cálculo como, por exemplo, a análise de
estruturas através dos métodos dos elementos finitos, são cada vez mais utilizados
porque fornecem resultados próximos dos modelos reais e permitem modelar
novos sistemas estruturais mais complexos e econômicos.
1.2.
Objetivos
Este trabalho tem como objetivo comparar o comportamento de três tipos de
lajes nervuradas: A tradicional, a rotacionada e a tridirecional. A análise dos
resultados obtidos vai dar subsídio para a escolha do melhor tipo de laje para
substituir a laje maciça.
O estudo abrange lajes nervuradas apoiadas em faixas maciças ou
nervuradas, sustentadas por apoios engastados em suas extremidades e
parcialmente flexíveis nos nós de ligação com a laje.
Será feita uma análise elástica linear através do método dos elementos
finitos e uma comparação quanto a interferência da relação entre os vãos nas
direções x e y nos esforços internos e no deslocamento da laje.
Sendo assim, serão adotados critérios de projeto comumente utilizados em
edifícios residenciais, os materiais utilizados para essas estruturas, o carregamento
recomendado pela NBR 6120:1980 e as combinações de carga previstas pela NBR
6118:2007.
Essa metodologia é estabelecida a partir dos resultados dos diversos
modelos simulados através do programa computacional Robot.
19
1.3.
Estrutura do Trabalho
Esta dissertação está dividida em seis capítulos.
Capítulo 1: INTRODUÇÃO – No presente capítulo são abordados, de forma
sucinta, o conteúdo, a motivação e os objetivos desta pesquisa.
Capítulo 2: PESQUISA BIBLIOGRÁFICA – Este capítulo apresenta uma
breve consideração sobre os tipos de laje e os métodos de análise necessários para
seu estudo. Com ênfase nas lajes nervuradas tradicionais, rotacionadas e
tridirecionais.
São apresentados procedimentos numéricos e analíticos para análise das
lajes e programas computacionais para auxiliar neste trabalho.
Capitulo 3: MODELAGEM POR ELEMENTOS FINITOS – Este capítulo
apresenta uma revisão dos conceitos do método dos elementos finitos e sua
utilização na modelagem de lajes nervuradas. Os resultados obtidos com a
utilização de analíticos e modelos numéricos são comparados com o objetivo de
verificar a eficiência de cada um para representar o comportamento de uma placa
nervurada.
Capitulo 4: ESTUDO DO COMPORTAMENTO DE LAJES
NERVURADAS – Neste capitulo é desenvolvido o estudo dos esforços internos,
de deslocabilidade e o dimensionamento de três tipos de lajes nervuradas, a
tradicional, a rotacionada e a tridirecional.
Capitulo 5: ANÁLISE DOS RESULTADOS – Neste capítulo são
apresentados e analisados os resultados obtidos com a utilização dos modelos do
Capítulo 4 e a eficiência de cada modelo.
Capitulo 6: CONCLUSÃO – Com base nos resultados obtidos e
apresentados no Capítulo 5, é possível escolher que modelo melhor representa
uma laje nervurada quando calculada através do método dos elementos finitos e
qual das lajes nervuradas, dentre as analisadas, apresenta melhor eficiência nos
quesitos rigidez global da estrutura e custo.
20
2. Pesquisa Bibliográfica
2.1. Considerações Gerais Sobre Lajes
A hierarquia de transmissão dos carregamentos em um sistema estrutural
tem como primeiro elemento a laje, responsável pela resistência direta às cargas
provenientes de ações permanentes como revestimento, tubulações entre outros
elementos fixos, e ações variáveis como pessoas, móveis e etc.
As lajes podem ser classificadas a partir de diferentes critérios.
Quanto à forma: retangulares, quadradas, poligonais, circulares ou
elípticas;
Quanto à natureza:
Maciças: placas monolíticas de concreto armado ou
protendido;
Nervuradas: compostas por nervuras na sua zona tracionada
e por uma mesa, também chamada de capa, na zona
comprimida;
Mistas: semelhantes às nervuradas, a diferença está na
adição de tijolos cerâmicos que colaboram na resistência aos
esforços de compressão oriundos da flexão;
Em grelhas: semelhantes às lajes nervuradas, o espaçamento
entre nervuras não obedece às limitações das lajes
nervuradas previstas na NBR 6118:2007 [1];
Duplas: apresentam capa tanto na parte superior quanto
inferior;
Pré-moldadas: são fabricadas como elementos isolados,
apenas a montagem é feita no local, proporcionando,
portanto uma execução mais rápida;
21
Cogumelos: lajes que não apresentam sistema de vigas,
desta forma as cargas são transmitidas diretamente aos
pilares, os quais podem ou não ter capitéis sobre eles,
Lisas: caso particular da laje cogumelo, os capitéis não
existem.
Quanto ao tipo de apoio: contínuo ou discreto;
Quanto ao tipo de armação: armadas em uma ou duas direções.
A NBR 6120 [2] estabelece os valores que devem ser adotados para as
cargas variáveis em diferentes situações, e os valores de cargas permanentes para
diversos materiais. As cargas variáveis são analisadas em várias situações
probabilísticas, prevalecendo a mais desfavorável por questão de segurança. A
NBR 6118:2007 [1] indica os coeficientes de ponderação das ações para diversas
situações.
Quanto aos estágios de carregamento de uma laje de concreto armado, em
um primeiro nível de deformação não surgem fissuras. À medida que a
intensidade da carga aumenta, ocorre a formação de fissuras até o ponto onde a
placa não resistirá mais e entrará em colapso. O estado-limite de serviço está
relacionado à aparência, conforto do usuário e a boa utilização funcional da
construção e estado-limite último relacionado ao colapso da estrutura.
Essa alteração nos estágios de deformações é estudada através dos estádios:
O estádio I corresponde ao regime elástico, o II ao de fissuração e o III ao de
ruina. Os dois primeiros são utilizados para verificação das situações de serviço e
o terceiro ao Estado Limite Último.
2.2.
Laje
2.2.1Con
carga
dúcte
ou di
proje
most
dimin
das a
sufic
aume
(figu
como
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es Maciças
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As lajes
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entar a seçã
ura 2.2). Ou
o resultado
s esforços. E
s
es Gerais
maciças sã
erantemente
itações, e ta
aos pilares.
ãos adotados
o de laje qu
gura 2.1. Es
formas e d
Figura 2.1 –
to, nos caso
combater os
ão da laje n
utras soluçõ
o chamado
Este esforço
ão element
e normais a
mbém trans
. A escolha
s.
ue não apr
sse tipo de l
do cimbram
Laje lisa, Re
os com carg
s esforços c
nesta região
ões são o au
o capitel, o
o é denomin
tos estrutur
ao seu plano
smitir o car
a é feita a p
resenta viga
laje traz div
mento, o tem
einforced C
gas elevada
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o, ocasionad
umento da
ou a utilizaç
nado punção
rais bidime
o médio que
regamento
artir da ma
a é denomi
versas vanta
mpo de conc
oncrete Slab
as, se a espe
no entorno
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seção na c
ção de arm
o.
nsionais pl
e devem se
nela aplicad
gnitude das
inado laje
agens prátic
cretagem e
bs [10].
essura da la
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ado ábaco o
cabeça do p
aduras para
22
lanos com
apresentar
do às vigas
s cargas de
lisa, como
cas como a
montagem
aje não for
necessário
ou pastilha
pilar, tendo
a combater
2.2.2Pres
de M
apres
um p
méto
Quan
realiz
distri
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surgi
serão
Figu
2. scrições N
As lajes m
Mindlin co
sentado em
A NBR 61
procedimen
odo das dife
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ibuição dos
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A necessid
issem méto
o abordados
ura 2.2 – Laje
Normativa
maciças pod
om solicita
maiores de
118:2007 [1
nto numéric
erenças fini
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s momento
eção 14.7.8 d
dade de mo
odos simplif
s na seção 2
e cogumelo
s (NBR 61
dem ser ana
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1] recomend
co adequad
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em dispost
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.6.3.
o, Reinforced
118:2007)
alisadas pela
cipalmente
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do, como o
o dos elem
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ma.
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o de lajes m
o método d
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Marcus e Cz
Slabs [10].
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ao seu pla
ho.
maciças lisas
dos element
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is, o estudo
e, portant
s valores p
e de lajes fe
zerny. Esse
23
irchhoff ou
ano, como
s utilizando
tos finitos,
ntre outros.
o pode ser
to fazer a
percentuais
ez com que
es métodos
24
2.3.
Lajes Nervuradas
2.3.1. Considerações Gerais
Uma seção de concreto armado com carregamentos aplicados
perpendicularmente ao seu eixo longitudinal apresenta um binário de forças
equilibradas atuantes nas fibras superior e inferior, sendo uma delas de
compressão e outra de tração. Essa separação é feita a partir da linha neutra, que
nos casos de vãos com grande dimensão, se encontra mais elevada do que quando
se tem pequenos vãos. Como o concreto apresenta uma resistência à tração muito
pequena, desenvolveu-se o conceito de diminuir a área de concreto da região
tracionada das lajes e concentrar as armaduras nas nervuras.
Na laje nervurada, retira-se parte do concreto da zona tracionada, e
colocam-se materiais inertes como formas de polipropileno, isopor, ou tijolos
cerâmicos sem função estrutural, formando uma mesa de concreto apoiado em
grelhas de vigas. Há uma maior economia de material, um menor peso próprio da
laje, e consequentemente menor peso final da estrutura descarregado nas
fundações. Esse modelo é usualmente adotado para lajes com grandes vãos ou
elevados carregamentos, podendo ser armadas em duas direções, ou em uma
direção, quando utilizado o tapa nervura em um dos sentidos.
As formas de polipropileno, também chamadas de plasterits, se tornaram
comercialmente mais utilizadas por serem fabricadas com um material reciclável e
com grande durabilidade, podendo ser reaproveitadas em diversas lajes diferentes.
Empresas como a Impacto Protensão apresentam um catálogo com dimensões pré-
estabelecidas que sugere ao arquiteto e ao engenheiro uma modulação para obras
mais rotineiras.
Para modelar essa classe de laje, em se tratando das condições de contorno,
Carvalho [4] indica a sua consideração como simplesmente apoiada em todo o seu
bordo, já que a espessura da capa, geralmente esbelta, não é suficiente para resistir
às tensões de tração. Esta é uma situação não real por não representar a
continuidade dos painéis de lajes com os adjacentes.
pode
sistem
em a
most
se cr
torne
some
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se de
da fa
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carga
carga
inérc
valor
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A obtençã
e ser feita at
ma pode se
alguns casos
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Com o int
riar faixas m
e plano (fig
ente nos ca
se pode assu
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egativos na
Portanto p
a total trans
a total deve
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14.7.7 da NB
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proximidad
para as faix
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da a verific
BR 6118:20
mentar a altu
m altura ig
A análise des
a apresenta
s lajes apoia
utura só. Co
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de das faixa
Figura 2.3 –
xas rígidas,
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ma laje nervu
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to dos mom
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– Laje nervu
deve-se ad
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ma constante
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, e somado
regamento d
25
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u a ideia de
e o teto se
enção, pois
nervuras é
a superfície
deformação
e diminuir
viga com a
cálculo da
omentos de
a isto, um
devido aos
26
2.3.2. Prescrições Normativas (NBR 6118:2007)
As lajes nervuradas podem ser consideradas como uma mesa ou capa de
concreto apoiado em um sistema de vigotas ou nervuras. A norma restringe as
espessuras de ambos os elementos da seguinte maneira:
Capa sem tubulação horizontal embutida: 1 15⁄ da distância entre
nervuras ou 3 cm, o que for mais restringível;
Capa com tubulação de até 12,5 mm embutida: valor absoluto
mínimo de 4 cm;
Espessura da nervura: valor não inferior a 5 cm, e para as que
tiverem menos que 8 cm não conter armadura de compressão.
Quanto às hipóteses simplificadoras adotadas, a norma permite para lajes
com espaçamento entre eixos de nervuras inferior ou igual a 65 cm, que a
verificação à flexão da mesa seja desconsiderada, e o cisalhamento das nervuras
seja verificado considerando os critérios de laje. Para as que têm entre 65 e 110
cm, as mesas devem ser verificadas a flexão e as nervuras ao cisalhamento com a
teoria das vigas, salvo para espaçamentos de até 90 cm e largura das nervuras
maior que 12 cm, que devem ser consideradas como laje. Para aquelas com
espaçamento maior que 110 cm, as mesas devem ser calculadas como laje maciça
apoiadas em grelhas de viga.
2.4.
Lajes Tridirecionais
2.4.1. Considerações Gerais
Ao estudar o caminho das cargas em lajes carregadas uniformemente,
observa-se que as tensões oriundas desse carregamento se dissipam em um fluxo
que segue em direção aos apoios de maior rigidez. Devido a esse fluxo, em sua
maioria, não ser ortogonal aos bordos, a eficiência das lajes tradicionais é
reduzida quando comparada com lajes rotacionadas.
direç
relaç
melh
const
produ
form
obser
Figu
novo
funci
grelh
estud
ortog
carte
valor
direç
dime
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Através de
ções, sendo
ção aos eix
horia atravé
trutiva. A e
uto que tor
ma constituíd
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ção.
Primeiram
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essa teoria
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igura 2.4.
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Laje
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dos momen
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l e as duas
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entanto, f
ensão sediad
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ma laje tridir
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inclinadas
ntos em um
ções pelo es
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cionais, ou
restantes co
ciona a po
foi encontr
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a laje em o
um rasgo c
recional, An
didas [12].
utiliza-se um
de cargas e
11] fez a p
a seção 2.6
momentos
a um ângul
ma direção,
spaçamento
para o ca
ndo seus b
seja, armad
om ângulo
ssibilidade
ada uma d
aleza, Ceará
bras, fabric
central, com
nálise Tridire
ma armadura
conseguir u
partir do m
.2 deste tra
em lajes
lo de 45° d
, basta mul
das nervura
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bordos sim
27
das em três
de 45° em
teórica de
dificuldade
á, criou um
cando uma
mo pode ser
ecional em
a com esse
um melhor
método das
abalho) um
s armadas
do seu eixo
ltiplicar os
as na outra
es com a
mplesmente
28
Em uma laje bidirecional sem levar em consideração a torção:
13
(2.1)
Em uma laje bidirecional levando em consideração a torção:
16
(2.2)
Em uma laje Maciça:
27,4
(2.3)
Para o caso de lajes com nervuras inclinadas a 45° do eixo cartesiano temos:
Sem levar em consideração a torção:
25
(2.4)
Levando em consideração a torção:
27
(2.5)
Onde:
: Momento máximo;
: Carregamento distribuído;
: Comprimento da laje.
Este estudo concluiu que as lajes com armadura inclinada apresentam
valores para momentos máximos próximos aos das lajes maciças, ou seja,
possuem um melhor comportamento estrutural com uma grande economia de
concreto devido à criação de espaços vazios na borda tracionada. A justificativa é
a existência de maior entrelaçamento das vigas com a disposição inclinada.
Para o caso das lajes engastadas no contorno, o método tridirecional
apresenta ainda maior diferença em relação ao tradicional, pois as nervuras
próximas aos vértices apresentam um momento positivo pequeno já que estas
terão comprimentos menores que as centrais. A formulação para estes casos
(equações 2.6, 2.7 e 2.8) apresentados por Rocha [11] são denominadas pelo
29
próprio autor como grosseiras e por isso obtêm resultados com alto coeficiente de
segurança.
Momento positivo:
32
(2.6)
Momento negativo das nervuras centrais:
32
(2.7)
Momento negativo das nervuras no canto:
18
(2.8)
Onde:
: Dimensão em relação ao eixo da laje.
Por fim, Rocha [11] sugere os coeficientes para momentos em lajes com a
relação (sendo este igual a ⁄ ) entre dois e três, apresentados através das
equações 2.9, 2.10 e 2.11.
Momento positivo:
36
(2.9)
Momento negativo das nervuras centrais:
12
(2.10)
Momento negativo das nervuras no canto:
24
(2.11)
No caso de lajes com nervuras próximas e numerosas é indicada a
multiplicação por um fator igual a 1,20 com objetivo de corrigir o erro causado
pela não consideração da rigidez à torção, como mostrado na Equação 2.12.
1,22
(2.12)
torna
expre
com
não a
2.4.Méto
tridir
cobiç
flexív
com
essas
conv
adeq
utiliz
conc
nece
difer
À medida
a desvantaj
essivos dev
formatos ir
apresentar v
.2. odo Cons
A inexistê
recional torn
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vel para fa
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s formas
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zação da l
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ssidade de
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Figura
a que o coe
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vido às nerv
rregulares,
vantagem.
trutivo e D
ência de pro
nou desse s
entanto, com
abricação de
adequados.
devem seg
dando ao
o projeto em
a Impacto P
laje tridirec
o local foss
mão de o
o é apresent
a 2.5 – Siste
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o métod
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deve-se faz
Detalhame
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sistema, dur
m a forma
e diversos m
Para que o
guir os m
engenheiro
m questão.
Protensão a
cional, fez
e realizada
obra especia
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ema de esco
ende a infin
do clássico
comprimen
zer um estu
ento
nstrutivos a
rante muito
feita de po
moldes, foi
o método tri
mesmos pad
a mesma
além de fab
z com que
a da mesma
alizada ou
ura 2.5.
oramento de
nito, o uso
o apresenta
ntos menore
udo mais de
adequados p
tempo, um
olipropileno
i possível a
idirecional
drões de d
flexibilidad
ricar a nov
e a monta
a maneira q
mesmo um
e uma laje tr
dessa meto
a momento
es. Já no ca
etalhado, po
para execuç
m objeto de e
o, que é um
a confecção
se torne co
dimensões
de para esc
a caixa que
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que a tradic
m sistema d
ridirecional.
30
odologia se
tos menos
aso de lajes
odendo ou
ção da laje
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m material
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ompetitivo,
das lajes
colha mais
e permite a
orma para
cional, sem
de escoras
.
facili
os es
centr
eixo
repre
proje
2.4.3Laje
conti
nervu
das l
uma
devid
Fig
Observa-s
idade que n
spaços que
ral nas caix
x ou y da la
Programas
esentar esse
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3. es Contínu
A partir d
inuidade d
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gura 2.6 – La
se a partir d
na laje conv
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as, uma dir
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uas Ligada
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da modulaç
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nomia para
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aje nervurad
Con
a Figura 2.5
vencional, e
enchidos po
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o também s
ionais de di
laje adequa
e novo sistem
as por Vig
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ção das ca
seja, as faix
se tornam u
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da tridirecio
nstrução de
5 que as for
existindo ca
or concreto
madura pod
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ma.
gas Faixas
rotacionada
aixas (figur
xas que sep
um conjunto
odo, não só
s faixas.
onal, Sistema
Lajes Nervu
rmas são mo
aixas triangu
em espaços
e ser dispos
da em uma
mento e deta
não tornan
s Nervurad
das formas
ra 2.6) a
param e rec
o de vigas
ó de concre
a Construtiv
uradas [3].
ontadas com
ulares a fim
s vazios. Co
sta ortogona
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alhamento c
ndo mais o
das
s, é possíve
utilização
ebem o car
(nervuras)
eto, mas de
vo Tridirecio
31
m a mesma
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om o rasgo
almente ao
es.
conseguem
oneroso ao
el devido à
de faixas
rregamento
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e armadura
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do qu
como
2.5.
Méto
mode
atrav
adota
Deve-se g
ue a rigidez
o uma peça
odos de A
Na anális
elo físico
vés de um m
Para calcu
adas alguma
N
n
Q
d
A
d
c
garantir que
z das lajes, n
unificada, c
Figura
Análise
e de qualq
que atenda
modelo mate
ular os esfor
as hipóteses
Não há defo
neutro duran
Qualquer se
deformação,
As tensões
desconsidera
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as faixas a
não permitin
como já dis
a 2.7 – Laje
quer proble
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emático.
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s simplifica
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nte a flexão;
eção transv
ou seja, as
normais na
adas, logo n
apresentem
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adoras:
o plano méd
;
versal da
deformaçõ
a direção t
não há a ne
rigidez sign
to, que esta
eção 2.3.1.
tridirecional
genharia de
cas reais, q
ando a Teori
dio da plac
peça perm
es são distr
transversal
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nificativam
s estruturas
.
eve ser esco
que será so
ia da Elastic
a, permanec
manece plan
ibuídas line
da placa p
do cálculo
32
mente maior
s trabalhem
olhido um
olucionado
cidade, são
cendo este
na após a
earmente;
podem ser
do esforço
33
No estudo com o material trabalhando no regime elástico, pode ser utilizada
a lei de Hooke. Junto com essa suposição, diz-se que a laje é constituída de um
material homogêneo, ou seja, o concreto e o aço trabalham como um só,
apresentando deformações iguais. Por fim, é considerado o material como
isotrópico, ou seja, o material apresenta as mesmas propriedades físicas
independente da direção.
Para o caso de lajes de concreto armado, o dimensionamento da seção
analisada é feito no estádio III, para o Estado Limite Último.
2.5.1 Teoria das Placas
De acordo com a NBR 6118:2007 [1], quando a laje de concreto apresenta
ações normais ao seu plano e uma superfície plana, esta deve ser estudada como
placa. Este elemento apresenta uma classificação quanto a sua espessura para fins
da escolha de um método adequado para análise. Placas podem ser classificadas
como espessas e delgadas.
Para o caso da placa espessa, i.e., espessura maior que 1/3 do vão, a teoria
que melhor descreve o comportamento da estrutura é a de Reissner-Mindlin, a
qual pode ser analogamente comparada com a teoria de Timoshenko para vigas,
pois ambas consideram o efeito das tensões de cisalhamento tangenciais ao plano
da placa. Para as placadas delgadas, caso este usualmente encontrado em
problemas práticos de engenharia, pode-se adotar a teoria de Kirchhoff-Love,
também chamada de teoria elástica linear das lajes delgadas, que por sua vez pode
ser analogamente comparada com a de Euler-Bernoulli, em que as tensões
cisalhantes são desprezadas e são consideradas as simplificações expostas no
início dessa seção. Esta consideração é viável, porque na grande maioria das lajes
o esforço predominante é a flexão.
2.5.1
Teor
ângu
dado
form
1.1.
ria Clássic
No presen
ulos arbitrár
os podem s
mulação apre
tan 2
ca das Pla
nte trabalh
rios da plac
ser facilmen
esentada por
sen
2sen 2
2
Figur
acas Delga
ho é necess
ca, principa
nte encontr
r Park Gam
n cos
2 c
ra 2.8 – Corp
adas
sária a det
almente a 4
rados pelo
mble [10] mo
2 sen
sen 2
os 2
po livre a um
terminação
45° dos eixo
círculo de
ostrada a seg
cos
m ângulo .
das solicit
os (figura 2
Mohr ou
guir.
34
itações em
2.8). Esses
através da
(2.13)
(2.14)
(2.15)
2.5.1
Mom
dos m
apres
é pos
Figu
1.2.
mento em
Em projet
momentos e
sentada por
ssível obter
24
2
ura 2.9 – Cál
uma Plac
tos estrutura
encontrados
Timoshenk
as expressõ
4
24
lculo do mo
comprim
a Anisotró
ais, faz-se o
s em cada n
ko [13] para
ões para o m
22
22
mento por n
ento, Theor
ópica
o dimension
nervura (fig
a placas ani
momento tor
nervura atra
ry of plates
namento da
gura 2.9). A
isotrópicas,
rsor e fletor
avés do mom
and shells [
laje nervura
A partir da f
e reproduzi
r em cada um
mento por u
13].
35
ada através
formulação
ida abaixo,
ma delas.
(2.16)
(2.17)
unidade de
36
2.6.
Procedimentos Numéricos e Analíticos
2.6.1. Método dos Elementos Finitos
2.6.1.1.
Fundamentos Teóricos
Na maioria dos problemas de engenharia, especialmente quando sistemas
estruturais são considerados, não é possível a obtenção de uma solução analítica.
Nesses casos é adotada uma metodologia numérica que produza uma solução
aproximada. Um procedimento idealizado para tal fim é o método dos elementos
finitos. Nesse método um meio contínuo é discretizado em elementos finitos,
compondo para cada elemento um conjunto de equações que sejam solucionadas
numericamente. O método dos elementos finitos (MEF) é a metodologia mais
utilizada na solução de problemas de engenharia estrutural.
Uma estrutura pode ser modelada de diversas maneiras, a escolha do melhor
modelo depende das hipóteses simplificadoras adotadas pelo engenheiro e do grau
de precisão desejado. Este passo consiste na idealização do modelo, quando é
escolhido, em primeiro lugar, qual a dimensionalidade do modelo, i.e., 1D, 2D ou
3D. Uma vez decidido isso, seleciona-se o melhor elemento para discretização do
contínuo quando este for discretizado em elementos. Subsequentemente são
selecionadas as propriedades dos materiais que melhor caracterizam aquele
problema. Finalmente decide-se as condições de contorno e de carregamento que
melhor representam o problema considerado.
O processo de discretização consiste na subdivisão do contínuo (ou
estrutura) a ser analisado em elementos simples. Os elementos são conectados
entre si através de nós que possuem graus de liberdade (GDL) associados. Estes
representam a liberdade que cada nó tem em transladar ou rotacionar e também
apresentam a solução numérica. Os resultados são encontrados nos graus de
liberdade dos nós. A obtenção dos deslocamentos e rotações em qualquer outro
ponto
ou de
méto
2.6.1
Elem
aprox
cálcu
elem
fim d
Trel
Bar
o do eleme
e interpolaç
Podemos
odo dos elem
Di
Fo
Mo
Ap
Ap
So
de
Int
ten
1.2.
mentos e C
As soluç
ximadas, de
ulo. No ME
mento, e o qu
de gerar a m
Ele
liça: GD
rra: GD
nto são obt
ção.
então resum
mentos finit
visão da est
ormulação d
ontagem do
plicação das
plicação das
olução simu
slocamento
terpolação
nsões..
Convergê
ões encon
evido às inú
EF, deve-s
ue as simpl
menor quant
ementos 1D
DL somente
eixo
DL somente
eixos
tidos atravé
mir os passo
tos a partir d
trutura ou d
das propried
os elementos
s forças nod
s condições
ultânea das
s e rotações
do campo
ncia
ntradas nos
úmeras simp
e ter conh
lificações re
tidade de err
D (lineares o
e a translaçã
os x e y.
e a translaçã
x, y e z.
és de interp
os para solu
das etapas e
do contínuo
dades de cad
s antes desf
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ou curvilíne
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ão nos
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fragmentado
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algébricas p
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m problema
tos finitos;
;
os;
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da estrutur
lagem.
37
s de forma
através do
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ão sempre
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de de cada
ra global, a
Vig
Pórt
Plac
Casc
Tetra
Pent
ga: GD
tico: GD
Ele
a: GD
ca: GDL a
Ele
aedros: G
aedros: G
DL a transla
eixo
DL a transla
todos
ementos 2D
DL a transla
rotação nos
a translação
os e
ementos 3D
GDL a transl
GDL a transl
ação e rotaçã
os x e y.
ação e rotaç
os eixos.
D (elemento
ação no eixo
s eixos x e y
e rotação em
ixos.
D (elemento
lação em to
lação em to
ão nos
ão em
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y.
m todos
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odos os eixo
odos os eixo
res ou quadr
os.
os.
rangulares)
38
H
deslo
físico
mais
não s
apres
pórti
lajes
conv
resul
form
sufic
em f
mais
2.6.1
Méto
basea
vetor
para
grada
Hexa: G
Nos eleme
ocamentos.
o mais prec
alto quand
Para prob
se aplica a t
senta uma
ico, sendo e
, os elemen
Para adota
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1.3.
odo dos E
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r de forças
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Estes eleme
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Elementos
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39
os aos três
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delo físico.
apresentou
refinada os
entos com
ipicamente
os baseados
a convergir
ra o MEF
rigidez e o
necessário
de forma
lemento de
40
viga, concluindo nos elementos isoparamétricos utilizados no estado plano de
tensão. A formulação das equações será realizada através da formulação
variacional baseado no princípio da energia potencial total.
Um sistema é dito conservativo quando o trabalho das forças internas e o
trabalho dos carregamentos externos não são dependentes da deformada da
estrutura, ou seja, o corpo pode se deformar de diversas maneiras e os valores dos
trabalhos não mudarão. Cook [5] cita que todas as configurações que satisfazem
as equações de equilíbrio de um sistema conservativo, compõem o princípio da
Energia Potencial Estacionária (EPE) em respeito a pequenos deslocamentos
admissíveis. Portanto, quando o valor da energia potencial corresponder a um
mínimo, o equilíbrio é estável.
Π Ω (2.18)
U12
(2.19)
Ω PD (2.20)
Π Ω12
(2.21)
A configuração de equilíbrio é obtida minimizando a energia potencial
do sistema, resultando em:
Π 0 ⇒ ⇒ (2.22)
A formulação anterior é aplicada para um único grau de liberdade, no
entanto uma análise em elementos finitos usualmente utiliza centenas de GDL.
Portanto, podemos obter e energia potencial mínima através do cálculo diferencial
da Equação 2.23.
Π0 (2.23)
Onde o índice é usado para se referir ao grau de liberdade .
Para sistemas elásticos o trabalho das forças internas é igual à variação na
energia de deformação, logo temos que a energia potencial total nestes sistemas é
igual à soma da energia de deformação integrada no volume e o potencial de
41
trabalho externo exercido pelas forças de corpo ou de superfície, sendo este
função dos deslocamentos desconhecidos em .
12
V12
x12
x00
Onde:
Logo;
12
′ ′ x12
′ ′
00 (2.24)
(2.25)
Ainda no pré-processamento é necessário informar dados sobre a geometria
do modelo. Internamente, o programa de elementos finitos relaciona as
coordenadas fornecidas no sistema cartesiano com as coordenadas do sistema
natural através das funções de forma. Cada elemento em específico contém suas
funções de forma implementadas. Para elementos isoparamétricos essas mesmas
funções são também utilizadas para interpolar os deslocamentos e rotações dos
nós (Equação 2.26).
(2.26) Outro conceito importante é a matriz de transformação cinemática , que
relaciona os deslocamentos às deformações a nível do elemento através das
equações de compatibilidade (Equação 2.27).
(2.27)
Por fim, com a matriz de transformação cinemática e as funções de forma
para um elemento em função do sistema de coordenadas naturais, pode-se
formular a matriz de rigidez e o vetor de força nodal global utilizando o conceito
de energia de deformação através da formulação forte.
12
ξ1
0
42
12
ξ1
0 (2.28)
ξ (2.29)
ξ (2.30)
Π12
. . . . V . . . . V (2.31)
2.6.1.4.
Integração Numérica por Pontos de Gauss
A integração da matriz de rigidez para elementos genéricos não pode ser
obtida analiticamente, sendo então utilizada a integração numérica para executar
tal tarefa. Esta pode ser realizada através das fórmulas de Newton-Cotes, da regra
dos retângulos, ou através da regra da quadratura de Gauss, sendo esta a qual se
obtém melhores resultados para o MEF.
A quadratura de Gauss consiste em uma aproximação numérica da função
desejada através de um somatório de funções pesos, avaliadas em um número
mínimo de pontos necessários para obter um resultado satisfatoriamente próximo.
A integração clássica de Gauss em uma dimensão dá-se no intervalo de [-1,1], e é
definida como:
ξ ξ ξ (2.32)
Onde:
: Peso da integração;
: Número de pontos de Gauss;
ξ : Função a ser integrada em ξ.
43
Pra o caso de elementos planos, i.e., em duas dimensões, o cálculo da
integração numérica em função de duas variáveis deve obedecer à formulação
abaixo.
ξ, η ξ η η ξ, η ξ
ξ , η
(2.33)
Onde:
: Peso da integração;
: Número de pontos de Gauss;
ξ, η : Função a ser integrada nas direções ξ e η.
Para obter a quantidade mínima de pontos necessários a serem utilizados
para integrar uma determinada função, faz-se uso da Equação 2.34, sendo esta
utilizada para elementos unidimensionais e bidimensionais.
2 1 (2.34)
Onde:
: grau do polinômio a ser integrado;
: Número de pontos de Gauss.
2.6.2. Grelha Equivalente
O método da grelha equivalente ou analogia de grelha consiste na
discretização da laje em um conjunto de elementos de viga interconectados
formando uma malha. É possível simplificar o conceito físico da teoria das placas
de Kirchhoff alegando que as cargas externas aplicadas na laje são equilibradas
pela combinação dos momentos fletores e torsores nas duas direções ortogonais.
O processo de definição da malha para as lajes nervuras é ditado pela
posição das nervuras. Cada elemento de viga é situado em seus eixos e as
características geométricas da seção transversal são adotadas em função da inércia
44
à flexão e à torção. Com isso é possível a obtenção da solução para qualquer
geometria, assim como para elementos com rigidez ou não a torção, e para a
possível flexibilidade dos apoios, não somente para os indeslocáveis
transversalmente.
O carregamento neste método é distribuído entre os elementos da grelha de
acordo com as faixas de laje que representam cada barra, ou seja, a área de
influência de cada uma. Esse carregamento é então distribuído linearmente entre
os elementos, que por sua vez é repassado aos nós.
Sabemos que a laje é um elemento bidimensional, podendo ser analisada
pela teoria das placas de Kirchhoff, portanto, os momentos fletores em um
elemento dependem tanto da curvatura em uma direção, quanto da curvatura na
direção ortogonal. Já para as vigas, elementos unidimensionais, os momentos
fletores nas barras só dependem da sua curvatura axial. Essa simplificação gera
erros nos deslocamentos, esforços e deformações que são aceitáveis em obras de
engenharia, pois os resultados encontrados apresentam valores a favor da
segurança.
Para medir os deslocamentos, com o elemento de viga apresenta dois GDL à
rotação e dois GDL à translação, que no caso estudado é suficiente para descrever
satisfatoriamente seu comportamento. Na consideração de faixas isoladas, o
coeficiente de Poisson não influencia na rigidez (Equação 2.35), diferentemente
da placa (Equação 2.36).
12 (2.35)
12 1 (2.36)
Onde:
: Rigidez da viga;
No entanto o coeficiente de Poisson influencia no módulo de elasticidade
transversal usado no estudo pelas grelhas, gerando uma diferença nos resultados
entres os métodos. A partir das equações 2.37 e 2.38, observamos que para a
teoria de Kirchhoff, com o aumento do coeficiente de Poisson há um aumento na
45
rigidez, o que diminui o deslocamento. Por outro lado, para a grelha, com o
aumento de a rigidez diminui, e consequentemente os deslocamentos aumentam.
11 2 1 (2.37)
2 11 (2.38)
Onde:
: Módulo de elasticidade transversal.
Para as deformações, a diferença entre os métodos se dá devido ao
confinamento lateral existente no modelo de placa para cada elemento
infinitesimal, o que não ocorre nas vigas da grelha, pois estas são peças lineares
com comportamento em uma única direção. Essas diferenças são abordadas pela
NBR 6118:2007 [1] e absorvidas através de um aumento de aproximadamente
15% da rigidez elástica devido à ausência da rigidez a torção.
O processo simplificado para o cálculo através do método da grelha
equivalente consiste na utilização de equações da estática. Para o caso de lajes
contínuas é feita a simplificação considerando a laje isolada com os bordos de
contato analisados como engastados.
2.6.3. Métodos Empíricos
O grande volume de projetos fez com que os engenheiros buscassem
métodos mais práticos e rápidos para o cálculo de lajes, resultando em
coeficientes e Tabelas para o auxilio desta tarefa. Dentre os mais adotados estão
as Tabelas de Marcus e de Czerny.
Marcus primeiramente utilizou a teoria matemática da elasticidade para
desenvolver sua hipótese, partindo da integração das equações derivadas parciais
fornecidas pela elasticidade e empregando o método das diferenças finitas.
Notoriamente esse processo ainda seria demorado e trabalhoso para engenheiros
que desejassem fazer o dimensionamento das lajes de maneira mais prática, por
isso, Marcus desenvolveu de forma teórica e experimental coeficientes por meio
46
semi-empírico, comparando-os com os resultados obtidos pela sua primeira
hipótese.
Supondo as lajes estaticamente isoladas com um tecido de malhas
retangulares, foi sugerido um coeficiente que é adicionado às equações do método
das grelhas a fim de corrigir a ausência do momento torsor. Como o coeficiente é
menor que um, os momentos positivos terão valores menores para a laje.
No entanto, o processo simplificado de Marcus apresenta erros
significativos quando as placas contínuas possuem vãos muito diferentes. As
Tabelas apresentadas por Czerny são mais precisas e também são baseadas na
teoria da elasticidade com a suposição que o coeficiente de Poisson é nulo,
podendo ser incorporado posteriormente.
2.7.
Programas Computacionais para Análise de Estruturas
A grande quantidade de equações geradas pelo método dos elementos
finitos torna por diversas vezes difícil e trabalhoso a busca por suas soluções. Por
esse motivo, o MEF era pouco utilizado antes do surgimento de computadores
capazes de resolver os sistemas criados por este método. No entanto, com a
evolução dos computadores tornou-se possível o uso da mecânica computacional,
que de acordo com Felippa [7], resolve problemas por um modelo baseado na
simulação através de métodos numéricos implementados.
Os projetistas estruturais no Brasil comumente utilizam o programa TQS,
que para o cálculo de lajes utiliza o método das grelhas na obtenção dos esforços.
Este programa é bastante difundido no país, pois os dimensionamentos das peças
de concreto armado e protendido são baseados na NBR 6118:2007 [1], além de
apresentar boas ferramentas de detalhamento. Programas como o SAP 2000,
ADAPT, Ansys, Autodesk Robot, entre outros, são bastante utilizados para a
análise em elementos finitos, o que os torna mais preciso.
47
2.7.1. Autodesk Robot
O Robot é um programa comercial da empresa Autodesk que vem se
tornando popular por apresentar uma boa interoperabilidade com o Revit
Structure, IFC, CIS2 entre outras interfaces que são aplicáveis pra o processo BIM
(Building Information Modeling). Ele é utilizado na modelagem e análise por
elementos finitos, assim como no dimensionamento através de diversas normas
internacionais de estruturas de concreto armado, concreto protendido, aço, entre
outros materiais.
Seu poder na análise estrutural, sua facilidade de desenho e modelagem
(apresenta características para estas finalidades que outros programas da
plataforma Autodesk contem), e o GUI (Graphical User Interface), tornaram o
Robot uma ferramenta desejada pelas empresas de projeto estrutural, pois com ele
é possível confeccionar a documentação solicitada pelas construtoras.
Diversos tipos de análises são possíveis com esse programa, dentre elas a
análise linear, não linear e dinâmica (modal, espectral, sísmica), sendo as peças
estudadas isoladas, acopladas, ou até mesmo no modo de multi-level (para o caso
de edifícios com diversos níveis). Todas elas podem ser realizadas através de
módulos que contem elementos de placa, casca, barra, treliça, pórtico, sólido,
cálculo pelo método das grelas, ou que contemplem o estado plano de tensão ou o
estado plano de deformação.
O Robot permite ao usuário a liberdade de escolha no tipo de elemento,
como por exemplo quadriláteros ou triângulos, e no tipo de discretização (Coons,
Delaunay). Em contrapartida ele disponibiliza apenas elementos baseados em
interpolação linear, ocasionando a necessidade de maior discretização para
obtenção de um resultado satisfatório.
Para comodidade do projetista, o programa apresenta diferentes ferramentas
como diversas combinações de cargas, carregamentos (pontual, distribuída
linearmente ou não linear, momentos, cargas devidas à temperatura, cargas
proveniente da protensão, peso próprio, etc), condições de apoios, seções em
estruturas de aço, offsets, dentre outras, sendo possível a adição de novos
elementos ou edição dos existentes para utilização em projetos específicos.
48
3. Modelagem por Elementos Finitos
Para que a modelagem de uma estrutura através do método dos elementos
finitos seja válida e precisa, é necessário, respectivamente, que o modelo esteja
bem representado fisicamente e que este apresente convergência de valores em
sua solução, como já comentado na seção 2.6.1.2 deste trabalho. Estas variantes
devem ser aferidas antes de qualquer estudo, pois as aproximações em sua
geometria, nas propriedades dos materiais, nas condições de carregamento e
apoio, assim como o método de discretização, e o tipo de elemento utilizado
podem afetar de maneira substancial os resultados finais obtidos.
Essa seção apresenta os estudos realizados para obtenção do modelo
utilizado no presente trabalho. A partir de uma análise analítica e numérica, é
realizado um estudo para ciência de qual modelo e malha melhor se adequam na
representação de uma laje nervurada.
3.1.
Validade do Modelo
Durante o processo de modelagem, algumas decisões devem ser tomadas
para garantir que o modelo físico seja bem representado através de um modelo
computacional. Em primeiro lugar, decide-se a dimensionalidade a nível global
que deve ser utilizada no modelo computacional, i.e., opta-se por modelar em
uma, duas ou três dimensões. A seguir escolhem-se os tipos de elementos, e o
nível de discretização a serem adotados. Os tipos de elementos estão associados
com as funções de forma usadas na interpolação de seus campos de
deslocamentos, bem como de sua geometria. O nível de discretização é obtido a
partir de um estudo de convergência.
49
Neste trabalho, são considerados três modelos tridimensionais a nível de
aproximação global. O primeiro modelo usa elementos de casca para representar a
capa da laje, e elementos de viga para representar os pilares, nervuras e vigas do
projeto. O segundo contém a mesma concepção do primeiro, diferindo apenas na
localização relativa entre seus componentes. Especificamente, neste segundo
modelo, a localização dos elementos de viga não estão no mesmo plano da
superfície média da casca, apresentando, portanto, uma excentricidade (offset).
Por fim, o terceiro modelo é construído integralmente usando elementos sólidos
hexaédricos, com exceção dos pilares, que ainda são modelados com elementos de
viga. Quanto à aproximação a nível local, o programa computacional adotado
fornece elementos lineares. Portanto, o estudo de convergência considerou apenas
o refinamento da malha até conseguirem-se resultados satisfatórios.
As dimensões em centímetros dos elementos estruturais da laje para estudo
de convergência são apresentadas na Figura 3.1.
Após a definição da geometria da laje, são estabelecidas as propriedades dos
materiais empregados. São adotados os valores do módulo de elasticidade
longitudinal do concreto de 33,13 GPa, e a resistência característica à compressão
de 35 MPa. O coeficiente de Poisson empregado é 0,2, e para o módulo de
elasticidade transversal do concreto utiliza-se o valor relativo a 40% do módulo de
elasticidade longitudinal, como estabelecido pela NBR 6118:2007 [1].
empr
peso
figur
O terceiro
regadas, co
próprio da
ra 3.2.
Figu
o aspecto a
m valores d
a estrutura,
ra 3.1 – Form
a ser consi
de 4,1 kN/m
e 6,6 kN/m
ma da Laje
iderado são
m² de carg
m² de carga
nervurada.
o as condiç
a permanen
a acidental
ções de car
nte correspo
na área ind
50
rregamento
ondente ao
dicada pela
reduz
méto
lump
sendo
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força
nós,
por e
do 1º
se qu
dand
o pi
propo
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No métod
zidos aos g
odos como N
ping. No en
o necessária
Por fim as
uma melho
escolha dest
as concentra
São usualm
podendo es
estes apoios
º e 2º gêner
ue, na realid
do uma falsa
ilar como
orciona um
equentemen
icial present
Figura 3.2 –
do dos ele
graus de lib
Node by no
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a qualquer i
s condições
or correlaçã
tas condiçõ
adas artifici
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stes ser do 1
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ro, além de
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elemento
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– Planta de
ementos fin
berdade. Es
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ão entre os
ões pode ger
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1º, 2º ou 3º g
mposto um
rotação nul
regiões não
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io.
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poio do 3º g
m deslocam
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o em suas
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gamentos d
realizado
u Element b
automaticam
dadosament
e os numér
rigidez gera
oios concen
representar
vertical par
ênero. Cont
mento ou rot
o opta-se po
s extremida
ade à est
e elimina
51
.
devem ser
através de
by element
mente, não
te para que
ricos. Uma
al da peça,
ntrados em
r os pilares
ra os casos
tudo, sabe-
tação nula,
or modelar
ades. Isso
trutura, e,
a rigidez
52
3.2.
Precisão do Modelo
Anteriormente ao estudo da validade dos modelos escolhidos, faz-se um
estudo da convergência de cada malha a ser adotada. Para isto, é necessário refinar
a malha gradativamente até o ponto em que a variação nos resultados possa ser
considerada desprezível de acordo com o nível de tolerância que é considerado
aceitável. No presente trabalho foi utilizada a comparação dos deslocamentos
entre modelos, sendo a tolerância de até 2,5% entre resultados para considerar-se
que houve convergência.
O refinamento da malha pode ser realizado de duas maneiras, sendo a
primeira o chamado h-refinement, onde a geometria é refinada em elementos cada
vez menores, que é o caso no presente trabalho. A segunda metodologia é a p-
refinement, em que o grau das funções de forma do elemento é elevado. No
entanto, como já apresentado na seção 2.7.1 deste estudo, o software utilizado
apenas trabalha com elementos lineares, não sendo possível o segundo método de
refinamento.
No processo adotado para a obtenção de um modelo válido e preciso, são
feitos vários protótipos de mesma concepção, com vários níveis de refinamento. O
trabalho de La Torre Cubas [9] é utilizado como base para o presente estudo de
convergência. Este considera a análise numérica do comportamento de
pavimentos constituídos de lajes lisas de concreto protendido. Neste estudo o
sistema foi modelado utilizando elementos de placa para representar a laje,
localizada excentricamente em relação aos apoios. Foram analisadas malhas com
elementos quadrados com dimensões de: 100x100 cm², 50x50 cm², 25x25 cm²,
16,37x16,37 cm², 12,50x12,50 cm², 10x10 cm² e 8,33x8,33 cm². Os resultados
obtidos são mostrados na Tabela 3.1.
53
Malha (cm) Deslocamento (cm)Com
excentricidade%
diferença100.00 -6.85 14.95% 50.00 -7.31 9.25% 25.00 -7.65 5.00% 16.67 -7.82 2.95% 12.50 -7.92 1.65% 10.00 -8.00 0.72% 8.33 -8.05 0.00%
Tabela 3.1 – Quadro comparativo da convergência dos deslocamentos, Análise
numérica do comportamento de pavimentos constituídos de lajes lisas de concreto
protendido [9].
Observa-se que a convergência foi obtida com elementos de 8,33x8,33 cm²,
no entanto a própria autora afirma em sua dissertação que a malha com 25x25 cm²
é suficiente para representar a laje nervurada, visto que sua diferença foi de
apenas 5%, divergência esta admissível para problemas de engenharia estrutural.
Outro fator favorável para a adesão da malha 25x25 cm², é o fato de ela apresentar
menor esforço computacional para o processamento da estrutura, otimizando a
utilização da memória e do tempo.
3.3.
Ligação Rígida
Todo sistema estrutural consiste de componentes tridimensionais, no
entanto, para tornar viável e prático o dimensionamento destes, é muitas vezes
aconselhável à utilização de elementos com geometria mais simples,
representados por um plano (como elementos de placa) ou por uma única
dimensão (elementos de barras e vigas). Apesar de serem bem mais simples, estes
elementos são, geralmente, capazes de capturar com precisão o comportamento do
sistema estrutural. A modelagem dos sistemas estruturais usando elementos
sólidos ou tridimensionais é mais complexa e exige um maior esforço
computacional. No entanto, os modelos sólidos conseguem capturar detalhes das
conexões entre componentes mais precisamente, bem como reproduzir
54
realisticamente a geometria do sistema. Portanto, quando refinados
satisfatoriamente, eles produzem resultados confiáveis e precisos.
Um elemento plano, como o elemento de casca (ou placa) que é utilizado
neste trabalho, é representado pela sua superfície média. Já um elemento
unidimensional como o de viga é presentado pela sua linha neutra. Para o sistema
estrutural considerado no presente trabalho, o posicionamento desses elementos
em um mesmo nível não estaria de acordo com a realidade espacial. Por isso,
torna-se importante a representação desta excentricidade, ou offset, que gera um
momento adicional causado pelos esforços normais neste braço de alavanca. Isto
torna o sistema mais realístico.
Mesmo estando em planos diferentes, sabe-se que a laje e a viga na
realidade estão conectadas e, portanto, apresentam comportamentos relacionados
um com o outro. Para representar esta conexão, é necessário inserir um elemento
que expresse matematicamente esta ligação. Isto é feito através de ligações rígidas
conectando os dois tipos de elementos. Essas ligações relacionam os graus de
liberdade dos dois elementos garantindo que seções planas (do conjunto)
permaneçam planas após a deformação. Matematicamente, isto é feito
relacionando os graus de liberdade dos dois tipos de elementos, i.e:
. (3.1)
Onde:
: matriz de restrição que representa a relação entre os graus de liberdade;
: graus de liberdade da estrutura;
: deslocamento ou rotação prescrita, sendo usualmente adotado valor nulo.
No caso da ligação de vigas e laje, sendo estas solidarizadas
estruturalmente, sabemos que a conectividade entre elas devem apresentar
deslocamentos e rotações iguais. Para cada dupla de nó neste caso, sendo um
deles da viga e outro da casca (como mostrado através da Figura 3.3, extraída da
dissertação de Christian Donin [6]), resulta na matriz de restrição (definida na
equação 3.2) abaixo:
Figuura 3.3 – Mod
nerv
100000
010000
001000
delos de vig
vuradas por
000100
000010
000001
ga com e se
r meio do m
100000
010000
em excentric
método dos e
001000
000100
cidade, Aná
elementos f
000010
000001
lise numéric
initos [6].
0
55
ca de lajes
0 (3.2)
3.4.
Res
cálcu
progr
cálcu
detal
tamb
repro
form
consi
deslo
imed
ultados do
Usualmen
ulo de laje
rama comp
ulo dos esfo
lhamento d
bém model
oduzido no
Fig
O desloca
ma deforma
ideração d
ocamento im
diato da estr
o Estudo
nte, no Bra
s maciças
utacional b
orços intern
das peças d
lada usando
TQS.
gura 3.4 – La
amento obti
ada é most
a deformaç
mediato por
rutura é de 4
de Conve
sil, adota-s
e nervurad
rasileiro TQ
nos da estru
e concreto
o este pro
aje nervurad
ido através
trada na F
ção lenta
r um coefici
4,8 mm.
ergência
se o métod
das em con
QS utiliza e
utura, além
armado e
ograma. A
da gerada p
da grelha
Figura 3.5.
do concret
iente no val
do da grelh
ncreto arma
ste método
de realizar
protendido
Figura 3.
pelo Modelad
coplanar do
Porém, e
to através
lor de 2,5. L
ha equivalen
ado (seção
implement
o dimensio
o. A laje de
4 mostra
dor TQS.
o TQS é 12
este progra
da multipl
Logo, o des
56
nte para o
2.6.2). O
tado para o
onamento e
e estudo é
o modelo
2 mm, e a
ama faz a
licação do
slocamento
repre
todos
ao m
discr
cm²,
cm².
empr
feitas
caixa
Fi
O primeir
esenta as ne
s em um me
método da g
retização sã
80x80 cm²
Nas regiõ
regados ele
s para comp
as de polipr
Fig
gura 3.5 – D
ro modelo
ervuras com
esmo plano
grelha equiv
ão considera
², 50x50 cm
ões maciça
ementos com
plementar a
opileno.
ura 3.6 – Mo
Deslocamen
em elemen
mo elemento
o (Figura 3.6
valente, ado
adas, i.e., m
m², 25x25 cm
as, próxima
m maior ár
a forma nas
odelo de cas
nto obtido pe
ntos finitos
o de viga e
6). Este pro
otado pelo
malhas com
m² (Figura
as aos pila
rea de seçã
áreas em qu
sca e viga s
elo Modelad
s a ser ana
a capa com
otótipo é o q
TQS. Neste
dimensões
3.7), 12,5x
ares e vig
ão transvers
ue não é po
sem ligaçõe
dor TQS.
alisado é a
mo elemento
que mais se
e caso, seis
máximas d
x12,5 cm² e
gas de bor
sal. Estas re
ossível ser c
s rígidas.
57
aquele que
o de casca,
assemelha
s níveis de
de 100x100
8,33x8,33
rdo, foram
regiões são
colocado as
F
posiç
centr
nece
rígid
Os n
o prim
3.9).
só na
em tr
igura 3.7 – M
O segundo
ção relativa
ro de grav
ssária a cria
da em cada n
níveis de ref
meiro mode
Fig
Por último
A complex
a criação do
rês dimensõ
Malha de 25
o modelo a
a entre os e
vidade das
ação de div
nó para faze
finamento d
elo.
ura 3.8 – Mo
o, é analisa
xidade deste
o modelo fí
ões se torna
5x25 cm² par
r
adotado é se
elementos d
nervuras,
versos nívei
er a ligação
das malhas u
odelo de cas
ado o mode
e modelo em
ísico como
mais comp
ra o modelo
rígidas.
emelhante a
de casca e o
laje, e vig
is distintos,
entre os dif
utilizadas s
sca e viga c
lo constituí
m relação ao
na leitura d
plicado e dem
o de casca e
ao primeiro
os de viga
gas de bor
sendo acre
ferentes com
são os mesm
com ligaçõe
ído de elem
os outros do
de resultado
morado.
e viga sem li
o, diferindo
(Figura 3.8
rdo são dif
escentada um
mponentes e
mos apresen
s rígidas.
mentos sólid
ois é muito
os, visto qu
58
igações
apenas na
8). Como o
ferentes, é
ma ligação
estruturais.
ntados para
dos (Figura
maior, não
ue trabalhar
leitur
meno
resul
ponto
3.10.
deter
Tabe
malh
aprox
Para o estu
ra dos desl
or quantida
ltados como
os escolhido
.
Figura
Os result
rminados sã
ela 3.2. Para
ha com seus
ximadamen
Figura
udo de conv
locamentos,
ade de aprox
o tensão e
os para a le
a 3.10 – Plan
ados para
ão apresent
a o modelo
s limites co
nte 80x80 c
3.9 – Model
vergência e
, tendo em
ximações m
deformação
eitura dos de
nta de locaç
o deslocam
tados nas F
o que utiliza
oincidentes
cm². Portan
lo de eleme
e comparaçã
vista que
matemáticas
o são encon
eslocament
ção dos pon
mento máx
Figuras 3.1
a o método
com cada
nto, todos o
ntos sólidos
ão entre os m
esta é a re
s, pois é a p
ntrados (pó
os são os ap
ntos de instr
ximo e no
1, 3.12 e 3
o das grelha
nervura, ou
os cinco po
s.
modelos, é r
esposta que
partir dela
s-processam
presentados
rumentação
os cinco po
3.13, e resu
as, é aprese
u seja, uma
ntos analis
59
realizada a
e apresenta
que outros
mento). Os
s na Figura
o.
ontos pré-
umidos na
entada uma
a malha de
ados estão
conti
deslo
Figur
Figur
idos em u
ocamento.
ra 3.11 – De
ra 3.12 – De
uma região
eslocamento
vig
eslocamento
vig
onde só
os obtidos a
ga sem cons
os obtidos a
ga com cons
é possíve
através do m
sideração d
através do m
sideração d
l obter-se
modelo com
do offset.
modelo com
do offset.
um único
elementos
elementos
60
valor de
de casca e
de casca e
Figu
M
Mégrelh
Cassem
Cascom
S
estud
plota
ura 3.13 – D
Modelo
étodo da ha (TQS)
sca/Viga m offset
sca/Viga m offset
Sólido
Tabela 3.2
dados.
Os result
ados e o res
Deslocament
Malha (mm²)
800x800
1000x1000 800x800 500x500 250x250 125x125
83.3x83.3 1000x1000
800x800 500x500 250x250 125x125
83.3x83.3 1000x1000
800x800
500x500
250x250
125x125
83.3x83.3
2 – Quadro c
ados da T
sultado é ap
tos obtidos
R1
3.62 3.57 3.62 3.71 3.73 3.74 2.13 2.12 2.12 2.14 2.16 2.17 1.64
1.69
1.63
1.66
1.94
1.86
comparativo
Tabela 3.2
presentado a
através do
Desl
R2
4.25 44.18 44.25 44.35 44.38 44.39 42.43 22.41 22.41 22.44 22.46 22.47 21.81 1
1.81 1
1.80 1
1.85 1
2.06 1
1.99 1
o dos desloc
para deslo
através da f
modelo com
locamento
R3 R
4.8
4.13 4.4.06 4.4.13 4.4.24 4.4.27 4.4.28 4.2.35 2.2.34 2.2.33 2.2.37 2.2.39 2.2.40 2.1.71 1.
1.73 1.
1.71 1.
1.75 1.
1.95 2.
1.89 2.
camentos n
ocamentos
figura 3.14.
m elementos
(mm)
R4 R5
58 3.8854 3.7856 3.9168 3.8972 4.0373 4.0358 2.2657 2.2356 2.2359 2.2662 2.2863 2.2989 1.75
88 1.74
88 1.73
95 1.77
13 1.97
14 1.86
os diversos
máximos p
As Tabela
61
s sólidos.
5 Max
8 4.58 8 4.56 1 4.62 9 4.76 3 4.80 3 4.76 6 2.59 3 2.59 3 2.58 6 2.64 8 2.64 9 2.64 5 1.94 4 1.92 3 1.93 7 2.01 7 2.15 6 2.20
s modelos
podem ser
as 3.3 e 3.4
62
apresentam respectivamente: a comparação em porcentagem dos deslocamentos
obtidos entre modelos estudados, a comparação em porcentagem dos
deslocamentos obtidos em um modelo com variação da malha.
Figura 3.14 – Gráfico comparativo dos deslocamentos.
Modelo Malha (mm²)
Diferença (%)
R1 R2 R3 R4 R5 Max
Sem offset Sólido
1000x1000 54.55 57.42 58.62 58.71 54.89 57.71 800x800 52.75 56.60 57.37 58.55 54.08 57.95 500x500 54.87 57.73 58.63 58.75 55.64 58.10 250x250 55.15 57.49 58.57 58.30 54.42 57.68 125x125 48.00 52.95 54.38 54.83 51.15 55.13 83.3x83.3 50.31 54.68 55.98 54.87 53.87 53.84
Com offset Sólido
1000x1000 22.81 25.60 27.35 26.69 22.68 25.27 800x800 20.43 24.89 25.92 26.75 22.13 25.93 500x500 22.85 25.57 26.74 26.56 22.32 24.95 250x250 22.29 24.32 25.82 24.74 21.50 23.65 125x125 10.14 16.39 18.35 18.53 13.73 18.32 83.3x83.3 14.29 19.56 21.32 18.65 18.74 16.86
Met. Grelha Sólido
1000x1000 65.73 62.33 64.42 60.63 63.56 59.65 800x800 64.88 62.21 63.92 60.75 63.79 60.06 500x500 65.96 62.58 64.38 60.77 63.90 59.71 250x250 65.35 61.50 63.44 59.31 63.04 58.04 125x125 59.56 57.06 59.40 55.56 59.02 55.15 83.3x83.3 50.17 58.54 60.71 55.48 61.25 54.19
Tabela 3.3 – Quadro comparativo dos deslocamentos entre modelos estudados.
0
1
2
3
4
5
6
Des
loca
men
to (
mm
)
Malha (mm²)
Casca/Viga comoffset
Solido
Casca/Viga semoffset
63
Modelo Malha (mm²)
Diferença (%)
R1 R2 R3 R4 R5 Max
Casca/Viga sem offset
1000x1000 800x800
-1.43 -1.58 -1.60 -0.70 -2.43 -0.46
800x800 500x500
1.46 1.62 1.69 0.44 3.12 1.23
500x500 250x250
2.35 2.25 2.43 2.52 -0.39 3.00
250x250 125x125
0.67 0.75 0.84 0.83 3.35 0.81
125x125 83.3x83.3
0.27 0.25 0.28 0.27 0.12 -0.71
Casca/Viga com offset
1000x1000 800x800
-0.57 -0.62 -0.56 -0.23 -1.34 -0.15
800x800 500x500
-0.05 -0.08 -0.17 -0.31 -0.04 -0.43
500x500 250x250
1.03 1.19 1.35 1.19 1.28 2.31
250x250 125x125
0.93 0.93 0.88 0.88 0.88 -0.08
125x125 83.3x83.3
0.46 0.36 0.42 0.34 0.39 0.34
Sólido
1000x1000 800x800
2.43 0.33 1.39 -0.32 -0.63 -1.04
800x800 500x500
-3.18 -1.00 -1.29 -0.05 -0.29 0.88
500x500 250x250
1.74 2.81 2.56 3.58 2.31 3.97
250x250 125x125
14.32 10.33 9.95 8.44 9.81 6.46
125x125 83.3x83.3
-4.35 -3.57 -3.34 0.19 -5.75 2.09
Tabela 3.4 – Quadro comparativo dos deslocamentos obtidos em um modelo com
variação da malha.
O tempo para que sejam efetuados os cálculos necessários para a obtenção
dos resultados está diretamente ligado a quantidade de memória computacional
utilizada para armazenamento, i.e, o tamanho da matriz de rigidez apresentada em
cada modelo. Esta memoria é maior pra modelos mais discretizados, ou seja, com
maior quantidade de nós. A quantidade de nós de cada modelo está apresentada na
Tabela 3.5.
64
Modelo Malha (mm²)
Quantidade de Nós
Método da grelha (TQS) 800x800 310
Casca/Viga sem offset
1000x1000 920 800x800 901 500x500 1119 250x250 2855 125x125 10738 83.3x83.3 23760
Casca/Viga com offset
1000x1000 920 800x800 901 500x500 1119 250x250 2855 125x125 10738 83.3x83.3 23760
Sólido
1000x1000 233875
800x800 233923
500x500 238854
250x250 244104
125x125 281692
83.3x83.3 397790
Tabela 3.5 – Quadro apresentando a quantidade de nós nos diversos modelos
estudados.
A partir dos resultados apresentados, podemos concluir que o modelo
calculado através do método das grelhas tem uma diferença de deslocamento de
até 66% maior se comparado ao modelo com elementos sólidos. Este processo,
usualmente utilizado para cálculo de lajes, mostrou-se extremamente conservador,
acarretando em peças mais robustas e com uma maior taxa de aço. No entanto,
para o calculista, este processo oferece alto grau de confiabilidade e rapidez.
A modelagem feita com os elementos de casca e nervuras em um mesmo
plano é análoga ao processo da grelha equivalente, bem como pode ser
confirmado através dos deslocamentos (Tabela 3.3). Portanto, mesmo sendo de
rápido processamento, este método apresenta um alto grau de conservadorismo,
aproximadamente 58,6% maior que o modelo com elementos sólidos.
Com a utilização das ligações rígidas, observa-se que o efeito da
excentricidade auxilia para uma maior aproximação dos modelos sólidos, com
65
deslocamentos maiores de 10% a 27%. Este método se torna eficiente devido ao
menor conservadorismo diante dos métodos clássicos, assim como a facilidade de
modelagem e velocidade de processamento. Quanto ao refinamento de sua malha,
verificou-se que a diferença de deslocamento entre elas é pequena,
aproximadamente 2,5%, no entanto, ao refinar bastante a malha, o esforço
computacional é consideravelmente maior.
Conclui-se que, o modelo com elementos de viga e casca com ligações
rígidas tem um resultado satisfatório quando comparado com os métodos adotados
analiticamente, além de apresentar relativamente um tempo menor de
processamento, demonstrando ser mais indicado para este trabalho.
66
4. Estudo do Comportamento de Lajes Nervuradas
Neste capítulo é apresentada a metodologia da análise numérica utilizada
para a avaliação de lajes nervuradas tradicionais, bem como os novos modelos
descritos na seção 2.4 deste trabalho. Por fim, é apresentado o estudo de um novo
conceito construtivo e sua contribuição para a rigidez geral da laje, sendo este as
faixas nervuradas.
Para isso, é utilizado, assim como no capítulo 3, o software Robot 2012. O
modelo utilizado, descrito em detalhes também no capítulo 3, utiliza elementos de
casca para representar a capa maciça de concreto e elementos de viga para
representar as nervuras. A excentricidade entre os eixos desses dois elementos
estruturais (offset) é modelada explicitamente através de ligações rígidas. A malha
de elementos finitos possui dimensões máximas de 25x25 cm².
A análise realizada avalia os deslocamentos dos diversos tipos de lajes,
assim como os momentos fletores nas nervuras, e, posteriormente, o
dimensionamento destas. Com isto, é possível fazer o comparativo entre os
modelos, relacionando comportamento estrutural e quantidade de materiais
utilizados, sendo este último de grande importância para o construtor, por estar
relacionado à economia de recursos.
São criados modelos baseados em uma laje tipo, sendo inerente a ela as
dimensões e espaçamento entre nervuras, carregamento aplicado e propriedades
mecânicas dos materiais. A variação é feita apenas nas dimensões e e nas
condições de contorno.
Os resultados são apresentados tanto numericamente através de tabelas
como em gráficos a fim de evidenciar as diferenças entre os diversos modelos.
Nesta análise, foi considerado o comportamento elástico linear do concreto, ou
seja, não fissurado.
67
4.1.
Análise Numérica de Laje Nervurada Simplesmente Apoiada
A laje padrão utilizada foi definida com base na adoção usual de
construtoras no Brasil, principalmente no nordeste do país, já que a cultura da
construção civil, assim como a diversidade de materiais, sofre mudanças em cada
região. No nordeste brasileiro, uma empresa que atua fortemente no segmento de
formas de polipropileno é a Impacto Protensão, tendo sede também em algumas
cidades do Centro-Oeste e Sudeste do país. Sendo assim, optou-se pela utilização
das formas catalogadas por essa empresa como referência na composição da laje.
Para as propriedades mecânicas dos materiais empregados no cálculo,
adotou-se a combinação de valores normativos e valores recorrentes em obras,
estando estes dispostos na Tabela 4.1.
Parâmetro Valor
Resistência característica do concreto 35 MPa
Resistência característica de escoamento do aço CA50 500 MPa
E Modulo de elasticidade longitudinal 33130 MPa
G Modulo de elasticidade transversal 13252 MPa
Coeficiente de Poisson 0,2
- Peso Específico do Concreto armado 25 kN/m³
Tabela 4.1 – Propriedades mecânicas dos materiais empregados.
Para a determinação da geometria e de uma altura ótima para análise,
realizou-se um pré-dimensionamento da laje quadrada, com 6 metros de lado,
utilizando-se a metodologia proposta por Carvalho [4], a qual está formulada na
Equação 4.1. Este cálculo não é normatizado pela NBR 6118:2007 [1], sendo,
portanto, necessária a verificação posterior de suas tensões, bem como seus
deslocamentos.
(4.1)
68
Onde:
: altura útil da laje;
: menor dos dois vãos;
: coeficiente dependente das condições de vinculação e dimensões da
laje;
: coeficiente dependente do tipo de aço.
Para a laje tipo quadrada ( 1 ) e com os quatro bordos apoiados,
denominado caso 1 de Marcus, o coeficiente tem valor de 1,5. Para o ,
devido ao aço utilizado ser o CA-50, tem-se que seu valor é de 17. Com a
substituição destes coeficientes na Equação 4.1, obtêm-se a altura total mínima da
placa a ser adotada.
61,5 17
⇒ 0,235
Através deste valor de referência, optou-se por uma altura total de 25 cm,
correspondente à espessura da capa mais altura da nervura. Por meio do catálogo
da empresa Impacto Protensão [8], pôde-se escolher o melhor tipo de forma para
atender à altura desejada, sendo esta decisão condicionada ao volume de vazios
proporcionado por cada caixa.
A configuração final do sistema é dada por: altura da capa (hm) de 4 cm,
altura da nervura (h) de 21 cm, proporcionando uma altura total (ht) de 25 cm. As
dimensões da nervura são de: 7 cm de largura inferior (bi), 13 cm de largura
superior (bs), e 10 cm de largura média (br), totalizando uma área da seção
transversal de 454 cm².
O espaçamento adotado entre eixos das nervuras foi igual a 61 cm, visto
que, para este valor, a norma dispensa a verificação da mesa à flexão e das
nervuras ao cisalhamento. Temos, portanto, a geometria final apresentada através
da Figura 4.1.
F
da co
6120
perm
carre
apres
de e
arma
4.3 p
utiliz
desfa
como
Figura 4.1 –
Ainda a fi
onstrução, u
0:1980 [2],
manente tota
egamento ac
Para as c
sentada na E
sgotamento
ado. Já para
para o cas
zada na veri
,
Onde:
: é o val
, : é o
, : s
: são a
, , ,
, :
Para os c
avoráveis pa
o na sobrec
Geometria d
fim de torna
utilizaram-s
, para edi
alizou, além
cidental util
ombinações
Equação 4.2
o da capaci
a a combina
so de comb
ificação do
,
lor de cálcu
o valor de cá
são as ações
as ações var
, : são co
são coeficie
oeficientes
ara o dimen
carga, sendo
das formas
ar o estudo
se, para car
ifícios resi
m do peso pr
lizado foi de
s de carga,
2 para a com
dade resist
ação no Est
binações q
estado limit
,
ulo das açõe
álculo das aç
s permanent
riáveis diret
oeficientes T
entes Tabela
, utilizara
nsionamento
o este de 1
da laje tipo
mais próxim
rregamento,
idenciais.
róprio da es
e 2 kN/m².
, a NBR 6
mbinação n
tente de ele
tado Limite
quase perm
te de deform
es para comb
ções para co
tes diretas e
ta, sendo a
Tabelados;
ados.
am-se os v
o da laje, ta
1,4 no ELU
, Especifica
mo aos cas
, os valores
Sendo ass
trutura, o va
6810:2007 [
no Estado L
ementos est
e de Serviço
manentes de
mações exce
binação últi
ombinação
e indiretas re
a princ
alores corr
anto no carr
U. Já para o
ações Técnic
os usuais d
s indicados
im, o car
alor de 1,5 k
[1] fornece
imite Últim
truturais em
o, adota-se
serviço, s
essivas.
ima;
de serviço;
espectivame
cipal delas;
espondentes
egamento p
o fator de r
69
cas [8].
da indústria
pela NBR
rregamento
kN/m², e o
e a relação
mo, no caso
m concreto
a Equação
sendo esta
(4.2)
(4.3)
ente;
s às ações
permanente
redução de
comb
valor
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4.1.1Laje
mate
dime
Últim
adota
binação qua
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1. e Nervurad
Com a de
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ensionament
mo, respect
adas para es
Figura
Figura 4
ase frequen
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carregament
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ivamente. A
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4.2 – Laje d
4.3 – Laje de
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um grande
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geometria,
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As Figuras
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e referência
e referência
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4.2 a 4.4
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x 6 m² (λ=1
x 4 m² (λ=1,
70
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1).
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Figura
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Fig
A partir do
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4.4 – Laje d
de Marcus
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Figura 4.5.
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rigidez da
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x 3 m² (λ=2
e, ou seja, p
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s bordos, nã
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s regiões, c
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x e y, λ=1.
o 1 de Marc
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s direções.
dimensiona
Último. Est
71
2).
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como pode
o pilar são
momento é
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sendo este
Obtêm-se,
amento das
tes valores
72
λ=1 λ=1.5 λ=2
ELS ELU ELS ELU ELS ELU δ (cm) -0.50 - -0.43 - -0.31 - P (Kg) - 89.43 - 54.83 - 32.39 V (m³) - 2.40 - 1.55 - 1.05
Tabela 4.2 – Deslocamentos, peso de aço e volume de concreto para lajes
ortogonais, no caso 1.
Por fim, é necessário garantir a integridade da estrutura contra o
esmagamento das bielas nas faixas de concreto. Para isso, foi calculada a tensão
de cisalhamento na faixa no contorno C do pilar, obtida no Estado Limite Último,
e comparada com a tensão resistente no modelo 1.
Para a tensão resistente 2, é feita a verificação das tensões de compressão
nas bielas, assegurando o não rompimento destas devido ao cisalhamento
excessivo da peça. Para esse cálculo, são admitidas as diagonais de compressão
inclinadas 45º em relação ao eixo longitudinal da peça. Esta verificação é feita em
função das tensões tangenciais solicitantes e realizada no modelo 1 de cálculo.
Com isso, têm-se:
1250
135250
0,86
0,27 0,27 0,86 351,4
5,80
Portanto, a tensão de cisalhamento resistente da peça é de 5,805 MPa. Já
para o modelo 2, é necessário o cálculo da armadura transversal no ponto de
cortante máximo, sendo variável em cada modelo.
Para a o caso 1 de Marcus, a Tabela 4.3 nos mostra os valores obtidos.
λ (MPa) (MPa) Resultado
1 4,26 5,80 Não esmaga o concreto
1,5 5,76 5,80 Não esmaga o concreto
2 3,92 5,80 Não esmaga o concreto
Tabela 4.3 – Verificação da tensão de compressão das bielas, no caso 1.
73
Pode-se, então, concluir que a tensão de compressão das bielas não
ultrapassa o limite, não havendo, portanto, necessidade do aumento da espessura
da viga faixa. Por fim, deve-se encontrar a taxa de armadura a ser utilizada na viga
faixa para resistir ao esforço cortante. Devido ao objetivo deste trabalho se limitar
ao estudo da laje nervurada, e não de suas vigas faixas, este cálculo não é
contemplado aqui.
4.1.2. Laje Nervurada Rotacionada
Como já abordado anteriormente, as tensões oriundas de carregamentos
uniformemente distribuídos na placa se dissipam em um fluxo que segue em
direção aos apoios de maior rigidez. Para o caso de lajes, estes elementos são os
pilares, os quais estão situados, no caso estudado, nos vértices da laje. A maior
rigidez destes elementos e sua posição na geometria do sistema faz com que o
carregamento caminhe a uma angulação de aproximadamente 45º dos eixos
cartesianos convencionais x e y.
Desta forma, os modelos de lajes apresentados anteriormente (Seção 4.1.1)
são utilizados aqui, com o diferencial das nervuras, que agora não mais são
apresentadas ortogonais aos eixos cartesianos, e sim com uma inclinação de 45º.
No entanto, as dimensões da laje, assim como as propriedades mecânicas e
seu carregamento, continuam iguais aos do modelo de nervuras ortogonais, a fim
de permitir a comparação entre os resultados obtidos (figuras 4.6 a 4.8).
Figura
Figura 4
Figura
4.6 – Laje d
4.7 – Laje de
4.8 – Laje d
e referência
e referência
e referência
a 1.2, Marcu
2.2, Marcus
a 3.2, Marcu
s caso 1– 6
s caso 1– 6 x
s caso 1– 6
x 6 m² (λ=1
x 4 m² (λ=1,
x 3 m² (λ=2
74
1).
,5).
2).
75
A Tabela 4.4 apresenta os valores para os deslocamentos máximos das lajes
rotacionadas, obtidos no Estado Limite de Serviço, assim como o peso de aço e
volume de concreto determinados através do dimensionamento das peças no
Estado Limite Último.
λ=1 λ=1.5 λ=2
ELS ELU ELS ELU ELS ELU δ (cm) -0.51 - -0.45 - -0.32 -
P (Kg) - 90.35 - 68.71 - 46.69
V (m³) - 2.73 - 1.93 - 1.45
Tabela 4.4 – Deslocamentos, peso de aço e volume de concreto para lajes
rotacionadas, no caso 1.
Assim como nas lajes ortogonais, é necessária a verificação das faixas de
bordo ao esmagamento da biela no contorno crítico do pilar. A Tabela 4.5
apresenta os resultados obtidos no caso 1.
λ (MPa) (MPa) Resultado
1 3,92 5,80 Não esmaga o concreto
1,5 5,40 5,80 Não esmaga o concreto
2 2,97 5,80 Não esmaga o concreto
Tabela 4.5 – Verificação da tensão de compressão das bielas, no caso 1.
4.1.3. Laje Nervurada Tridirecional
Com a finalidade de dar uma maior rigidez ao conjunto, foi elaborada a laje
tridirecional, sendo esta constituída da laje rotacionada acrescida de uma terceira
nervura em uma das direções ortogonais, dando três possíveis caminhos de carga.
Neste estudo, é realizada, então, a análise desta em três variações de tamanho,
como feito nos outros dois sistemas, e, então, observado se o acréscimo de peso é
contrabalanceado pela rigidez da estrutura.
Os três modelos tridirecionais adotados estão representados através das
Figuras 4.9, 4.10 e 4.11.
Figura
Figura 4.
Figura 4
4.9 – Laje d
.10 – Laje de
4.11 – Laje d
e referência
e referência
de referência
a 1.3, Marcu
a 2.3, Marcus
a 3.3, Marcu
s caso 1– 6
s caso 1– 6
us caso 1– 6
x 6 m² (λ=1
x 4 m² (λ=1
6 x 3 m² (λ=
76
1).
1,5).
=2).
77
Têm-se, por fim, os valores dos deslocamentos para as lajes tridirecionais,
peso total de aço das nervuras e seu volume de concreto, assim como a verificação
das bielas comprimidas expostas nas Tabelas 4.6 e 4.7.
λ=1 λ=1.5 λ=2 ELS ELU ELS ELU ELS ELU
δ (cm) -0.53 - -0.54 - -0.39 -
P (Kg) - 162.08 - 102.45 - 68.71
V (m³) - 4.73 - 3.13 - 2.35
Tabela 4.6 – Deslocamentos, peso de aço e volume de concreto para lajes
tridirecionais, no caso 1.
λ (MPa) (MPa) Resultado
1 4,26 5,80 Não esmaga o concreto
1,5 6,60 5,80 Esmaga o concreto
2 3,47 5,80 Não esmaga o concreto
Tabela 4.7 – Verificação da tensão de compressão das bielas, no caso 1.
4.2.
Análise Numérica de Lajes Nervuradas com Diversas Condições de
Apoio
Devido às grandes dimensões dos edifícios residenciais e comerciais no
Brasil, a adoção do sistema construtivo de laje nervurada bidirecional com
diversas placas separadas por vigas se torna necessária, formando, portanto, uma
continuidade entre estas. As continuidades provocam um efeito de diminuição da
flecha e a redução do momento positivo, sendo este consequentemente balanceado
pelo aumento do momento negativo. Com isso, deformações excessivas,
eventualmente obtidas nestas lajes, podem ser reduzidas a níveis aceitáveis por
norma.
Com o estudo realizado das lajes isoladas, pode-se constatar que aquela que
apresenta menor variabilidade entre as analisadas é a quadrada, ou seja, λ=1,
sendo esta adotada para estudo das demais condições de apoio.
78
Serão analisadas nesta seção lajes com as seguintes condições de apoio: laje
engastada em apenas um bordo, denominada caso 2 de Marcus; laje engastada em
dois apoios adjacentes, denominada caso 4 de Marcus; laje engastada em dois
apoios paralelos, denominada caso 5 de Marcus; laje engastada em três apoios,
denominada caso 7 de Marcus; laje engastada em todo seu bordo, denominada
caso 9 de Marcus.
Com a utilização da continuidade, têm-se uma maior proximidade aos
modelos físicos reais, pois, a grande maioria dos edifícios apresentam medidas
que exigem a utilização de placas separadas. Para as lajes bidirecionais, a
continuidade se dá de maneira simples, pois a ortogonalidade das nervuras
proporciona um caminho linear e de fácil distribuição das tensões.
Para o caso da laje rotacionada, a continuidade das nervuras se dispõe de
maneira semelhante às das convencionais, com a diferença do plano a qual os
momentos irão atuar e ao fato de que, em algumas nervuras, a sua extremidade
estará ligada a um pilar, ocasionando, portanto, um grande momento negativo
nestas. Para a laje tridirecional, é observada uma mistura dos dois sistemas
anteriores.
As placas estão ligadas através de faixas maciças de dimensão 70x25cm,
permanecendo, estas, com a mesma espessura da laje. As Figuras 4.12 à 4.16
mostram os modelos bidirecionais (a), rotacionados (b), e tridirecionais (c), das
lajes nos diversos casos de Marcus .
Fi
Fi
a)
igura 4.12 –
a)
igura 4.13 –
– Lajes de re
– Lajes de re
c)
eferência no
c)
eferência no
b)
o caso 2 de M
b)
o caso 4 de M
Marcus.
Marcus.
79
Fi
Fi
a)
igura 4.14 –
a)
igura 4.15 –
– Lajes de re
– Lajes de re
c)
eferência no
c)
eferência no
b)
o caso 5 de M
b)
o caso 7 de M
Marcus.
Marcus.
80
most
Marc
biela
Fi
Com o m
tram o desl
cus, assim c
a.
a)
igura 4.16 –
mesmo pro
locamento,
como o estu
– Lajes de re
cesso adot
peso de aç
udo da verif
c)
eferência no
tado anterio
ço e volume
ficação do c
b)
o caso 9 de M
ormente, a
e de concre
colapso atra
Marcus.
s Tabelas
eto para cad
vés da com
81
4.8 e 4.9
da caso de
mpressão da
82
Caso Modelo Estado δ (cm) P (Kg) V (m³)
2
BI ELS -0,44 - - ELU - 101,75 2,40
ROT ELS -0,47 - - ELU - 103,59 2,73
TRI ELS -0,50 - - ELU - 165,02 4,73
4
BI ELS -0,39 - - ELU - 104,91 2,40
ROT ELS -0,43 - - ELU - 105,50 2,73
TRI ELS -0,45 - - ELU - 176,21 4,73
5
BI ELS -0,39 - - ELU - 89,74 2,40
ROT ELS -0,42 - - ELU - 106,18 2,73
TRI ELS -0,41 - - ELU - 145,19 4,73
7
BI ELS -0,34 - - ELU - 97,49 2,40
ROT ELS -0,39 - - ELU - 109,77 2,73
TRI ELS -0,42 - - ELU - 167,66 4,73
9
BI ELS -0,30 - - ELU - 94,80 2,40
ROT ELS -0,36 - - ELU - 105,074 2,73
TRI ELS -0,34 - - ELU - 120,159 4,73
Tabela 4.8 – Deslocamentos, peso de aço e volume de concreto para lajes.
83
Caso Modelo (MPa) (MPa) Resultado
2 BI 3,54 5,80 Não esmaga o concreto
ROT 3,76 5,80 Não esmaga o concreto
TRI 4,43 5,80 Não esmaga o concreto
4 BI 3,85 5,80 Não esmaga o concreto
ROT 3,47 5,80 Não esmaga o concreto
TRI 4,06 5,80 Não esmaga o concreto
5 BI 4,09 5,80 Não esmaga o concreto
ROT 3,66 5,80 Não esmaga o concreto
TRI 4,38 5,80 Não esmaga o concreto
7 BI 3,70 5,80 Não esmaga o concreto
ROT 3,39 5,80 Não esmaga o concreto
TRI 4,23 5,80 Não esmaga o concreto
9 BI 1,27 5,80 Não esmaga o concreto
ROT 0,88 5,80 Não esmaga o concreto
TRI 3,39 5,80 Não esmaga o concreto
Tabela 4.9 – Verificação da tensão de compressão das bielas.
4.3.
Análise Numérica de Lajes Contínuas Ligadas por Vigas Faixas
Nervuradas
Na maioria dos processos de cálculo, sejam eles analíticos ou simplificados,
é realizada uma discretização da estrutura em peças menores, as quais se tenha
conhecimento de uma determinada solução. Com um sistema estrutural formado
pelo conjunto lajes, vigas e pilares, ocorre o mesmo, sendo, portanto, estudada
cada peça isoladamente. Através deste processo, são encontradas aproximações,
por vezes grosseiras do comportamento real, pois se sabe que a estrutura trabalha
como um só elemento conectado entre si.
Neste processo, é realizado o cálculo dos esforços nas lajes, provenientes de
carregamentos externos, sendo estas apoiadas em elementos de viga considerados
84
indeslocáveis verticalmente. Somente depois, através das cargas redistribuídas
pela laje, é possível realizar o cálculo dos esforços internos na viga. Este processo
não contempla a rigidez da estrutura como uma só grande peça, apresentando,
portanto, deslocamentos finais aproximados e até irreais. O método do pórtico
equivalente apresenta uma maior aproximação, pois, com ele, é considerada uma
faixa de laje atuando em conjunto com os elementos de apoio, no caso os pilares.
Por apresentar maior seção transversal, as faixas dão maior rigidez à
estrutura, tornando possível a construção de grandes pavimentos em concreto
armado. No entanto, estas peças não são indeslocáveis verticalmente, trabalhando
em conjunto com o restante da laje. Deve-se, então, determinar a rigidez deste
elemento através do processo numérico, e como ele altera a configuração
deformada da laje.
Através destes fatores, conclui-se que aproximações numéricas que
consideram as peças estruturais trabalhando como um sistema único, levando em
conta a rigidez de cada elemento e a interação entre elementos, reproduz o
comportamento real com maior acurácia. As soluções para deslocamentos deste
modelo podem ser encontradas através de métodos como o dos elementos finitos.
A nova metodologia de construção proposta permite, ao rotacionar as
nervuras, a substituição de vigas faixas maciças por uma terceira linha de
nervuras, processo este viabilizado com o novo sistema de formas da empresa
Impacto Protensão.
Para representar essas estruturas, foi adotado o mesmo padrão de modelos
utilizados anteriormente, ou seja, elementos de casca para representar a capa, e
elementos de viga para representar as nervuras, vigas e pilares. Os modelos foram
estudados por um conjunto de nove placas apoiadas nas faixas, sendo elas maciças
(Figuras 4.17a e 4.17b) e nervuradas (Figura 4.17c).
nove
de di
em u
nervu
maci
pilare
dime
Marc
Fig
Os modelo
e placas apo
imensões d
um conjunto
uras das laje
iças no bord
es.
Para a aná
ensionament
cus, quis-se
a)
gura 4.17 – L
os apresenta
oiadas em fa
e 25x70 cm
o de seis ne
es. Neste ul
do para dar
álise dos re
to somente
imprimir a
Lajes de ref
ados na Fig
aixas maciç
m. Para o m
ervuras em
ltimo model
r fechament
esultados, c
e da laje ce
continuida
c)
ferência par
gura 4.17a e
ças modelad
modelo da F
cada eixo,
lo, tornou-s
to à placa e
considerou-s
entral, pois
ade da laje e
b)
ra estudo da
e 4.17b cons
das através
igura 4.17c
de seção tr
se necessári
transmitir
se o efeito
s, assim com
em todas as
as faixas.
sistem no c
de elemento
c, as placas
ansversal ig
a a utilizaçã
as devidas
do desloca
mo no caso
quatro face
85
conjunto de
os de viga,
se apoiam
gual às das
ão de vigas
cargas aos
amento e o
o nove de
es da placa.
86
Os resultados para deslocamento, peso total de aço e volume total de
concreto do conjunto nervuras/faixa, estão fornecidos na Tabela 4.10.
BI ROT FAIXA NERV. ELS ELU ELS ELU ELS ELU
δ (cm) -0,23 - -0,36 - -0,46 -
P (Kg) - 271,13 - 313,57 - 383,32
V (m³) - 6,6 - 7,12 - 6,52
Tabela 4.10 – Deslocamentos, peso de aço e volume de concreto.
O resultado do estudo da compressão das bielas no contorno crítico do pilar,
para as faixas e nervuras, estão apresentados na Tabela 4.11.
λ (MPa) (MPa) Resultado
BI 0,33 5,80 Não esmaga o concreto
ROT 3,43 5,80 Não esmaga o concreto
F.N. 5,94 5,80 Esmaga o concreto
Tabela 4.11 – Verificação da tensão de compressão das bielas.
87
5. Análise dos Resultados
5.1.
Análise dos Resultados para Lajes Simplesmente Apoiada
Foi escolhido, para fins de comparação, o deslocamento máximo obtido em
cada laje, de forma a determinar qual configuração apresenta maior flexibilidade
e, portanto, maior desvantagem como sistema estrutural. Outro dado utilizado
para comparação foi o obtido a partir do dimensionamento das nervuras, sendo
estes a quantidade de aço necessária em cada nervura e os seus respectivos
volumes.
Esses valores foram apresentados para cada modelo estudado no capitulo 4
através das Tabelas 4.2, 4.4 e 4.6 e são reapresentados em um formato
comparativo dispondo da porcentagem da diferença entre cada configuração.
Esses dados são também apresentados em gráficos para uma melhor visualização
dos resultados e, por fim, comentados.
Figura 5.1 – Gráfico comparativo entre deslocamentos máximos no caso 1.
0
0,2
0,4
0,6
BI ROT TRI
δ (c
m)
Deslocamento
λ=1
λ=1.5
λ=2
88
λ=1 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI
δ (cm) -0,50 -0,51 -0,53 1,60 6,19 4,52 λ=1.5 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI
δ (cm) -0,43 -0,45 -0,54 4,65 24,65 19,11 λ=2 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI
δ (cm) -0,31 -0,32 -0,39 5,19 25,65 19,44
Tabela 5.1 – Comparação entre deslocamentos máximos no caso 1.
Nessa primeira análise que cada λ é estudado separadamente, é possível
observar que para λ=1 ocorre uma maior deformação da laje ao se rotacionar as
nervuras, sendo o deslocamento acrescido de 1,60%. Já quando se compara a laje
bidirecional com a tridirecional, observa-se também um acréscimo de 6,19% no
deslocamento. Conclui-se que, para esta laje tipo, com a rotação das nervuras ou
utilização do modelo tridirecional, encontra-se desvantagem quanto à deformação
medida no Estado Limite de Serviço.
O mesmo ocorre quando analisado o λ=1,5, havendo um acréscimo de
flecha de 4,65% quando rotacionadas as nervuras, e de 24,65% quando idealizada
a laje tridirecional. É possível também observar o mesmo padrão de
comportamento quando analisado o λ=2, sendo o aumento de deslocamento de
5,19% da bidirecional para a rotacionada, e de 25,65% da bidirecional para a
tridirecional.
Por fim, podemos estudar o comportamento do efeito da rotação das
nervuras quando o λ é variado. Neste quesito, observamos que a menor variação
de deslocamento acontece quando o λ=1, aumentando consideravelmente a
diferença à medida que o λ aumenta, como pode ser observado na figura 5.1.
Com isso, conclui-se que, para o caso 1 de Marcus, nesta laje tipo, a rotação
das nervuras, diferentemente do que Rocha [11] diz, é desvantajosa diante do
método bidirecional. Isso se deve ao fato do comprimento da nervura central
aumentar consideravelmente, provocando um maior vão entre apoios, não sendo
balanceada pela rigidez provocada pelas nervuras de menor vão, mais próximas
aos apoios. Tem-se, também, que a melhor situação possível de apresentar uma
pequena vantagem é quando o λ=1, pois a diferença entre a laje bidirecional e a
rotacionadas apresentaram valores bem próximos de deslocamentos.
89
Figura 5.2 – Gráfico comparativo entre peso de aço nas nervuras no caso 1.
λ=1 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI
Peso de aço (Kg) 84,43 90,35 162,08 1,04 81,25 79,38 λ=1.5 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI
Peso de aço (Kg) 54,83 68,71 102,45 25,33 86,87 49,10 λ=2 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI
Peso de aço (Kg) 32,39 46,69 68,71 44,15 112,15 47,17
Tabela 5.2 – Comparação entre peso de aço nas nervuras no caso 1.
Utilizando a mesma sequência de análise adotada para o deslocamento, é
comparado, através da variação de λ, o peso resultante de aço nas nervuras,
calculado através do dimensionamento no Estado Limite Último. Para λ=1,
obteve-se uma variação semelhante a dos deslocamentos, onde o acréscimo do
peso foi de 1,04% da bidirecional em relação a rotacionada. Já quando se adiciona
uma terceira nervura, o acréscimo do peso resultante é consideravelmente alto, de
79,38%. Isso se deve à armadura necessária para esta terceira nervura, não sendo
balanceado pela diminuição de aço nas outras duas.
Uma variação semelhante ocorre para as outras duas lajes, observando na de
6x4 m² um aumento de 25,33% quando rotacionadas as nervuras e 86,87% quando
acrescida a terceira. Para a laje 6x3 m², a variação é ainda maior, sendo de 44,15%
no primeiro comparativo e 112,15% no segundo.
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
BI ROT TRI
Pes
o d
e aç
o (k
g)
Peso de aço
λ=1
λ=1.5
λ=2
90
Isso reforça a ideia de que, quanto maior o λ, os novos processos
construtivos se tornam mais desvantajosos diante do processo clássico de duas
direções de nervuras ortogonais aos eixos cartesianos.
Uma explicação para esse acréscimo considerável de aço é o aumento do
momento positivo nas nervuras centrais quando rotacionadas, pois seu vão
(aproximadamente 8,5 m para a laje 6x6 m²) é bem maior do que nas ortogonais
(6 metros para a laje 6x6 m²). Outro fator é que nas nervuras mais próximas aos
apoios, o momento positivo é pequeno, por vezes inexistente, gerando um alto
momento negativo e uma elevada taxa de aço.
Um terceiro fator que contribui para o acréscimo dos momentos, e
consequentemente do peso de aço, é o aumento do peso próprio da estrutura, pois
a maior rigidez obtida com a rotação das nervuras não compensa o aumento do
carregamento.
Os cálculos da quantidade de peso de aço para cada tipo foram realizados
somente nas nervuras, visto que na capa é necessária somente uma armadura
construtiva que será igual em todos os casos.
Figura 5.3 – Gráfico comparativo entre volume de concreto das nervuras no caso 1.
00,5
11,5
22,5
33,5
44,5
5
BI ROT TRI
Vol
. de
Con
cret
o (m
³)
Volume de Concreto
λ=1
λ=1.5
λ=2
91
λ=1 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI
Vol. de Concreto (m³) 2,4 2,73 4,73 13,95 96,91 72,80 λ=1.5 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI
Vol. de Concreto (m³) 1,55 1,94 3,13 24,58 102 62,14 λ=2 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI
Vol. de Concreto (m³) 1,05 1,45 2,35 37,86 123,57 62,18
Tabela 5.3 – Comparação entre volume de concreto das nervuras no caso 1.
Por último, é verificado o volume de concreto utilizado para fabricação de
cada modelo. É possível observar que, nesse quesito, há também um acréscimo do
volume quando as nervuras são rotacionadas, e isso se deve ao fato da colocação
das nervuras a 45º produzir comprimentos maiores das nervuras do que quando
elas são dispostas ortogonalmente. Além disso, quando rotacionadas há o
acréscimo de cinco nervuras pequenas próximas aos apoios para completar o
contorno da laje. Para a laje tridirecional o acréscimo de uma terceira fileira de
nervura contribui consideravelmente no aumento do volume de concreto da
estrutura.
Para λ=1, observa-se que o acréscimo de volume quando a laje é
rotacionada é de 13,95%, e quando acrescida a terceira nervura, de 96,91%. Para
λ=1,5, os valores são de 24,58% e 102%, respectivamente. Por fim, para λ=2, o
aumento percentual é de 37,86% e 123,57% respectivamente.
Quanto à comparação da compressão das bielas na seção crítica C do pilar,
com exceção do caso rotacionado para λ=1,5, todas as lajes apresentaram
resultado satisfatório. No caso em que a biela colapsou, é necessário um
acréscimo de altura útil da faixa que trabalha como laje, tornando esse caso ainda
mais desvantajoso perante os outros, e tornando o modelo não mais laje lisa, e sim
laje cogumelo devido ao acréscimo do capitel.
Com o acréscimo do volume de concreto com o aumento de λ, é possível ser
conclusivo quando se diz que em nenhuma circunstância a laje rotacionada ou
tridirecional apresentou vantagem perante a tradicional para essas lajes tipos.
92
5.2.
Análise dos Resultados para Lajes com Diversas Condições de
Apoio
De posse dos resultados expostos no item 5.1 deste trabalho, foi possível
optar pelo painel mais favorável para os novos modelos construtivos, a fim de
tornar válida a averiguação de algum possível resultado positivo para estes
sistemas. Com isso, foi constatado que a laje tipo com menor porcentagem de
ineficácia, quando as novas lajes são comparadas com a convencional, foi aquela
que apresenta λ igual a 1, ou seja, laje quadrada.
Com a utilização do mesmo padrão de laje, buscou-se nos casos restantes de
Marcus algum resultado satisfatório, com o intuito de mostrar que a literatura,
mesmo com suas diversas hipóteses simplificadoras, ainda seja em parte verídica
quando se trata das vantagens da inclinação das nervuras.
Com os mesmos princípios explanados na seção anterior, é feita uma análise
dos deslocamentos verticais, da quantidade de aço medido em quilos, e do volume
de concreto resultante em cada modelo.
Figura 5.4 – Gráfico comparativo entre deslocamentos máximos.
0,30,320,340,360,380,4
0,420,440,460,480,5
BI ROT TRI
δ (c
m)
Deslocamento
Caso 2
Caso 4
Caso 5
Caso 7
Caso 9
93
Caso 2 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI
δ (cm) -0,44 -0,47 -0,50 6,12 12,47 5,98 Caso 4 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI
δ (cm) -0,39 -0,43 -0,45 10,59 16,80 5,61 Caso 5 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI
δ (cm) -0,39 -0,42 -0,41 8,70 6,14 2,35 Caso 7 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI
δ (cm) -0,34 -0,39 -0,42 14,29 21,87 6,63 Caso 9 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI
δ (cm) -0,30 -0,36 -0,34 19,54 12,58 5,82
Tabela 5.4 – Comparação entre deslocamentos máximos.
Através dos dados demonstrados na Tabela 5.4 e na figura 5.4, é possível
observar que, em todos os casos, o deslocamento da laje bidirecional apresenta
valores menores, ou seja, a laje proporciona maior rigidez à deformação do que os
outros modelos, tendo como variação de 6,12% no caso dois, até 19,54% no caso
nove, comparando-se às lajes bidirecionais e rotacionadas.
Observa-se, portanto, que mesmo com a condição de continuidade aplicada
em cada laje, os engastes em ambos os casos são equivalentes, fazendo com que o
aumento da rigidez na laje bidirecional seja equivalente ao aumento de rigidez da
laje rotacionada.
Por fim, foi possível constatar que, para os casos 5 e 9, as lajes tridirecionais
se tornaram mais rígidas do que as rotacionadas, com índices de 2,35% e 5,82%,
respectivamente. Isso se deve ao fato de que, nestes casos, a terceira nervura
colaborou para que o deslocamento da laje fosse menor, pois ela contém agora
três direções de continuidade.
Conclui-se que, para esta laje tipo, em nenhuma das hipóteses apresentadas,
a laje rotacionada e tridirecional apresentou vantagem diante da clássica
bidirecional no quesito deflexão.
94
Figura 5.5 – Gráfico comparativo entre peso de aço nas nervuras.
Caso 2 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI
Peso de aço (Kg) 101,75 103,59 165,02 1,81 62,18 59,30 Caso 4 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI
Peso de aço (Kg) 104,91 105,50 176,21 0,56 67,96 67,02 Caso 5 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI
Peso de aço (Kg) 89,74 106,18 145,19 18,31 61,78 36,74 Caso 7 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI
Peso de aço (Kg) 97,49 109,77 167,66 12,60 71,98 52,74 Caso 9 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI
Peso de aço (Kg) 94,80 105,07 120,16 10,84 26,75 14,36
Tabela 5.5 – Comparação entre peso de aço nas nervuras.
Com o surgimento do engaste nos vértices das lajes, ocorre,
consequentemente, um aumento significativo do momento negativo,
proporcionando, para o dimensionamento, uma maior quantidade de aço
resultante se comparado com a laje simplesmente apoiada em seus bordos.
Para que os novos métodos sejam vantajosos neste aspecto, é necessário que
a elevação do momento positivo na nervura central, nos casos que ocorreram
rotação, seja balanceada através da diminuição dos momentos negativos nas
nervuras rotacionadas próximas aos vértices da laje.
80,000
100,000
120,000
140,000
160,000
180,000
BI ROT TRI
Pes
o d
e aç
o (k
g)
Peso de aço
Caso 2
Caso 4
Caso 5
Caso 7
Caso 9
95
No entanto, não foi observado este balanceamento, tornando mais onerosos
os métodos novos devido ao aumento, tanto do momento positivo na nervura
central, quanto o aumento significativo dos momentos negativos nas nervuras
próximas aos apoios.
Para o caso quatro, a diferença é de apenas 0,56%, sendo este o caso menos
desvantajoso no quesito peso de aço, se comparado a bidirecional e rotacionada. O
caso cinco apresentou maior disparidade com 18,31% entre estes modelos.
O modelo tridirecional continua apresentando maior custo diante do
clássico, variando de 26,7% até 71,99% para os casos nove e sete
respectivamente.
Fica claro que em nenhuma hipótese das apresentadas, o construtor obterá
economia no quesito taxa de aço.
Figura 5.6 – Gráfico comparativo entre volume de concreto das nervuras.
00,5
11,5
22,5
33,5
44,5
5
BI ROT TRI
Vol
. de
Con
cret
o (m
³)
Volume de Concreto
Caso 2
Caso 4
Caso 5
Caso 7
Caso 9
96
Caso 2 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI
Vol. de Concreto (m³) 2,4 2,73 4,73 13,95 96,91 72,80 Caso 4 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI
Vol. de Concreto (m³) 2,4 2,73 4,73 13,95 96,91 72,80 Caso 5 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI
Vol. de Concreto (m³) 2,4 2,73 4,73 13,95 96,91 72,80 Caso 7 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI
Vol. de Concreto (m³) 2,4 2,73 4,73 13,95 96,91 72,80 Caso 9 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI
Vol. de Concreto (m³) 2,4 2,73 4,73 13,95 96,91 72,80
Tabela 5.6 – Comparação entre volume de concreto nas nervuras.
Com a inclinação das nervuras, assim como no caso da laje simplesmente
apoiada em seus bordos, a quantidade de volume de concreto necessário para estes
novos modelos sofre um aumento de 13,95% para as rotacionadas, e 96,91% para
as tridirecionais, quando comparadas com as bidirecionais.
Assim como para as armaduras, o volume de concreto acrescido devido a
essas novas tecnologias apresentam mais gastos ao construtor. Por não
apresentarem vantagens na rigidez global do sistema, assim como um maior custo
em materiais, fica provado que, para os modelos estudados, os novos sistemas
construtivos não apresentam vantagens diante dos clássicos.
Os métodos clássicos da literatura não contemplam o acréscimo de material
devido à rotação, assim como não demonstram que, ao utilizar os novos sistemas
estruturais, o peso próprio da estrutura aumenta consideravelmente, ocasionando
um maior deslocamento da mesma. Além disto, a literatura utiliza de métodos
conservadores, os quais fazem uso de hipóteses simplificadoras, como a não
utilização do efeito de torção nas nervuras, que, com o modelo com offset,
demonstrou ter uma grande diferença nos momentos finais.
5.3.
Aná
Nerv
mesm
dos d
dos d
deslo
elem
em c
é per
maio
enga
lise Num
vuradas
Ao observ
ma ter geom
deslocamen
dois sentido
As vigas
ocamentos
mentos dão u
centímetros
Para as laj
rfeitamente
or quantidad
aste com a la
mérica de
var o desl
metria e ca
ntos, com m
os principais
s faixas tr
verticais re
uma maior
no Estado L
Figura 5.7
jes com ner
simétrico, p
de de nerv
aje adjacent
Figura 5.8
Lajes C
ocamento
arregamento
menor deform
s, x e y.
rabalham e
elativamente
rigidez à es
Limite de Se
7 – Deslocam
rvuras rotac
pois, com a
vuras, torna
te. A Figura
8 – Deslocam
ontínuas
global da
o simétricos
mação na la
em conjun
e menores
strutura. A
erviço da es
mentos da la
cionadas, o
a inclinação
ando mais
a 5.8 aprese
mentos da la
ligadas
estrutura b
s, verifica-s
aje central, d
nto com a
do que os
Figura 5.7
strutura bid
aje bidirecio
comportam
o, um dos se
rígido um
nta a deform
aje rotacion
por Vigas
bidirecional
se a simetri
devido à co
a laje, apr
das lajes,
exibe o des
irecional.
onal.
mento da est
entidos apre
dos eixos
mada da estr
nada.
97
s Faixas
l devido à
ia também
ontinuidade
resentando
pois esses
slocamento
trutura não
esenta uma
devido ao
trutura.
sendo
estru
nervu
comp
casos
poste
Figur
O mesmo
o um dos e
utura para
uras na t
portamento
Figura 5.9
A Tabela
s, relacion
eriormente d
ra 5.10 – Grá
δ (cm
Tabela 5.7
δ(c
m)
fenômeno a
eixos mais r
o Estado L
terceira dir
desejado.
– Deslocam
5.7 expõe o
nando a e
demonstrad
áfico compa
m) BI R-0,23 -
7 – Compara
0,20,250,3
0,350,4
0,450,5
δ (c
m)
acontece pa
rígido. A Fi
Limite de
reção traba
mentos da la
os deslocam
efetividade
do através da
arativo entre
- ROT F.N-0,36 -0,4
ação entre d
BI
De
ara a laje rot
igura 5.9 m
Serviço, s
alham com
aje com faix
mentos para
de cada
a figura 5.1
e deslocam
N. BI/ROT6 54,47
deslocament
ROT
eslocamen
tacionada c
mostra os de
endo possí
mo faixas,
xas nervurad
a laje centra
uma per
0.
entos máxim
Diferença (T BI/F.N.
94,04
tos máximo
FNer
nto
om faixas n
slocamento
ível observ
tendo, p
das.
al de cada u
centualmen
mos .
(%) ROT/F.N.
25,62
s.
Faixarvurada
98
nervuradas,
os finais da
var que as
portanto o
um dos três
nte, sendo
.
99
Para os modelos apresentados formados por nove placas, a rotação das
nervuras, assim como demonstrado para todos os casos de Marcus, não
demonstrou vantagem, pois o deslocamento da laje central foi 54,47% maior do
que no caso da laje bidirecional. A utilização das nervuras como faixa conectora
entre lajes também não apresentou vantagem diante da clássica, obtendo um
deslocamento de 94,04% maior do que a laje bidirecional.
Conclui-se que no quesito deslocamento, a utilização de nervuras ao invés
de faixas maciças de concreto demonstra uma desvantagem significativa devido
ao grande aumento de deformação, tornando, assim, a laje mais flexível.
Para uma comparação mais fidedigna, foi dimensionado não só as nervuras
da laje, mas também as faixas, sendo elas maciças ou nervuradas. A Tabela 5.8 e a
figura 5.11 apresentam os valores de peso de aço já somados para esses elementos
na laje central.
Figura 5.11 – Gráfico comparativo entre peso de aço das nervuras e vigas faixa.
- Diferença (%) Peso de aço (Kg) BI ROT F.N. BI/ROT BI/F.N. ROT/F.N.
271,13 313,57 383,32 15,65 41,38 22,24
Tabela 5.8 – Comparação entre peso de aço das nervuras e vigas faixa.
No quesito peso de aço, o aumento ao utilizar a faixa nervurada foi
significativo, sendo 41,38% maior do que no caso da laje bidirecional. Para a
região das faixas, isso se deve à diminuição da inércia e volume de concreto,
acarretando em uma maior área de aço necessária para combater os momentos.
200
250
300
350
400
BI ROT Faixa Nervurada
Pes
o d
e aç
o (k
g)
Peso de aço
100
Figura 5.12 – Gráfico comparativo entre volume de concreto das nervuras e
vigas faixa.
- Diferença (%) Vol. de Concreto (m³) BI ROT F.N. BI/ROT BI/F.N. ROT/F.N.
6,6 7,12 6,52 7,94 -1,15 -8,42
Tabela 5.9 – Comparação entre volume de concreto das nervuras e vigas
faixa.
Por fim, ao analisar o volume de concreto necessário para a construção de
cada sistema, observa-se, para a laje com faixas nervuradas, a diminuição no valor
de 1,15% se comparada à laje com nervuras ortogonais e faixas maciças. Essa
diferença demonstraria uma pequena vantagem caso as nervuras fossem
suficientes para evitar o esmagamento das bielas (Tabela 4.11), o que não
acontece. Torna-se necessário, portanto, o acréscimo da área da seção transversal
das vigas faixas, a fim de evitar o colapso por cisalhamento.
Esse acréscimo não é necessário quando são utilizados faixas maciças, pois
as bielas no contorno crítico dos pilares apresentaram tensão de cisalhamento
solicitante ( ) menor do que a resistente ( ), estando, assim, íntegra na
verificação ao cisalhamento no Estado Limite de Utilização. Esta região maciça
acresce um valor que equipara, ou até torna maior, o volume de concreto no
modelo com faixas nervuradas, tornando-a não mais vantajosa nesse quesito.
66,26,46,66,8
77,27,47,67,8
8
BI ROT Faixa Nervurada
Vol
. de
Con
cret
o (m
³)
Volume de Concreto
101
6. Conclusões e Sugestões
6.1.
Conclusões
Este trabalho analisou modelos numéricos representativos de lajes
nervuradas a fim de permitir ao engenheiro civil o cálculo dos deslocamentos e
esforços internos deste tipo de elemento.
As lajes nervuradas apresentam vantagens quando comparada às maciças
pela diminuição de volume de concreto sem afetar sua eficiência estrutural,
permitindo aos construtores maiores vãos e economia. Este conceito implica na
necessidade do desenvolvimento de novas tecnologias da construção, como as
lajes nervuradas rotacionadas e as lajes nervuradas tridirecionais, assim como o
conceito de faixas nervuradas quando utilizada a rotação de 45º das nervuras.
O objetivo deste trabalho foi, portanto, a busca da eficiência deste novo
sistema estrutural através do método numérico dos elementos finitos. Sendo
assim, pretende-se fornecer aos construtores parâmetros matemáticos para a
escolha do tipo ideal de laje para cada situação.
Na primeira parte deste trabalho, foi apresentado um estudo a fim de
verificar qual o melhor modelo para lajes nervuradas, ou seja, qual o melhor
elemento, melhor malha, e as hipóteses de cálculo que imprimem melhor validade
e precisão ao modelo. Este estudo consistiu na comparação dos deslocamentos
entre uma laje analisada através do processo analítico e do processo numérico.
No processo numérico, foi utilizado o método dos elementos finitos, e foram
testados três modelos. No primeiro, o elemento de casca representou a capa da laje
e elementos de viga simularam as nervuras, faixas e pilares. Todos os elementos,
com exceção dos pilares, encontrando-se no mesmo plano. O segundo modelo é
102
semelhante ao primeiro, diferindo somente que as linhas neutras não mais se
encontram no mesmo plano, sendo ligadas por elementos rígidos (offset). O
terceiro é baseado em elementos sólidos, ou seja, todos consistindo em três
dimensões com apenas 3 graus de liberdade por nó, que foi usado como o modelo
de referência para comparação dos resultados. Os resultados de um quarto modelo
baseado no método das grelhas, que é normalmente utilizado no dimensionamento
dessas lajes, são também comparados com os resultados obtidos pelos outros três
modelos.
Concluiu-se, através de vários estudos, que, ao medir os deslocamentos
máximos nos cinco pontos distintos da laje, aquele que apresentou maior
proximidade com o modelo sólido foi o modelo com ligações rígidas. Já a pior
aproximação se deu no modelo analisado através do software TQS, que utiliza o
método das grelhas para encontrar a solução.
Para o processo rotineiro de dimensionamento de lajes, assim como para
viabilização da simulação dos diversos modelos deste trabalho, é necessário
combinar a precisão do modelo com o tempo de processamento, armazenamento
de dados, tempo e dificuldade na modelagem e análise de resultados. Quando se
combina todos os fatores, é possível demonstrar que o modelo de casca e vigas
com ligações rígidas entre planos apresentou notável vantagem.
Na análise do estudo de convergência da dimensão da malha adotada em
cada modelo, foram analisadas malhas com dimensões de 1000x1000 mm²,
800x800 mm², 500x500 mm², 250x250 mm², 125x125 mm² me 83,3x83,3 mm².
Utilizando o mesmo método comparativo dos modelos, a melhor relação
deslocamentos e tempo de processamento foi obtida com a malha de 250x250
mm².
Por fim, pode-se afirmar que, para o presente estudo, o melhor modelo para
simular uma laje nervurada é o modelo que utiliza elementos 1D (vigas), e
elementos 2D (cascas) representados em planos diferentes utilizando ligações
rígidas. A malha adotada foi a que utilizou elementos 250x250 mm².
A segunda parte do trabalho consistiu em, a partir do melhor modelo
encontrado, simular para as diversas condições de apoio, as lajes nervuradas
ortogonais aos eixos x e y, as lajes rotacionadas em 45º a esses eixos, e as lajes
103
tridirecionais. Além disso, foi realizado um estudo onde foram substituídas as
faixas maciças por um conjunto de nervuras com o intuito de simular uma faixa.
Neste estudo, foram parametrizados os dados do modelo, tornando as
propriedades mecânicas do material, as condições de carregamento e a geometria
das seções transversais padrão, variando apenas a dimensão total da laje e as
condições de contorno.
Conclui-se que, para o caso 1 de Marcus, ou seja, com as lajes simplesmente
apoiadas em seu bordo, a rotação das nervuras, assim como a utilização de três
nervuras, não apresentaram vantagem em nenhum dos três aspectos, sendo eles a
deformação, a quantidade de aço medida em quilogramas e o volume de concreto.
Nesta etapa, foram testadas lajes com a relação entre as dimensões x e y de 1, 1,5
e 2.
Posteriormente, foram adotadas as outras condições de contorno, sendo elas
a variação de continuidade entre lajes. Para esta simulação, foi adotada a laje que
apresentou melhor resultado na comparação no caso um, pois mesmo com
resultados inviabilizando a adoção dos novos sistemas estruturais, a variação da
continuidade entre lajes poderia apresentar resultados satisfatórios. Com isso foi
adotado a laje quadrada de dimensões 6x6 m².
Nesta nova etapa, o resultado negativo persistiu, provando que os
deslocamentos no modelo clássico de lajes nervuras, assim como o peso de aço e
volume de concreto são consideravelmente menores.
Por fim, foi estudada a influência que as faixas têm sobre as lajes e os
efeitos no sistema, que são impostos a partir da substituição da faixa maciça por
nervurada.
Pode-se constatar que a diminuição de inércia das faixas nervuradas
implicou em uma maior flexibilidade no sistema, aumentando os deslocamentos
obtidos no Estado Limite de Serviço, e a área de aço dimensionada através do
Estado Limite Último. Devido ao efeito de esmagamento da biela de compressão
nas proximidades dos pilares, a pequena diminuição de concreto para o caso de
lajes rotacionadas com faixas nervuradas não implicou em vantagem, pois é
necessário um acréscimo da área transversal das vigas faixas para combater o
esmagamento da biela.
104
Esses resultados são contrários ao que afirmam alguns trabalhos
encontrados na literatura, como a de Rocha [11], que afirma ser favorável o
caminhamento do fluxo de tensões diretamente aos pilares. No entanto, estes
dados foram obtidos a partir de estudos analíticos simplificados, que utilizam
grelhas coplanares, desprezando, portanto, o efeito da excentricidade, que, por sua
vez, provoca efeitos como torção nas nervuras e um aumento dos momentos
fletores.
Outro fator desprezado foi o aumento do peso próprio da estrutura ao
rotacionar as nervuras ou adotar a laje tridirecional, aumentando, portanto, os
momentos no vão central, que passa a ter maior vão teórico, e nas proximidades
dos apoios, devido ao engaste destas nervuras.
Fica claro, portanto, que nestas lajes adotadas para estudo, o método
clássico apresentou melhor comportamento estrutural, com lajes mais rígidas e
econômicas no ponto de vista de materiais.
Torna-se mais oneroso a adoção dos novos sistemas estruturais também pela
nova adequação da mão de obra, pois esta teria que apresentar treinamentos
específicos para a montagem das formas in loco.
6.2.
Sugestões para Trabalhos Futuros
Este estudo consistiu na análise de lajes nervuradas no regime linear, com
algumas hipóteses simplificadoras usualmente adotadas para dimensionamento de
lajes, não elucidando completamente o comportamento dos novos sistemas
estruturais. Com o intuito de dar continuidade à pesquisa, propõem-se as seguintes
abordagens:
Estudo experimental das lajes rotacionadas e tridirecionais expostas
neste trabalho, a fim de comprovar os resultados numéricos
encontrados;
Estudo numérico e experimental das lajes rotacionadas e
tridirecionais com faixas e/ou nervuras sob o efeito de Protensão;
105
Análise dos novos sistemas estruturas no regime plástico, já que o
presente estudo foi realizado para a estrutura com comportamento
elástico linear;
Avaliação dinâmica das lajes sob efeitos de carregamentos cíclicos;
Estudo da influência da laje para utilização como laje diafragma,
contribuindo assim para a rigidez global da estrutura de edifícios;
Estudo do efeito de torção nas nervuras causado pela excentricidade
dos planos neutros dos elementos de casca e de viga;
Estudo do efeito de cisalhamento nas nervuras quando exigido por
norma.
106
Referências Bibliográficas
[1] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR
6118:2007. Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de
Janeiro, 2007.
[2] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR
6120:1980. Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. Rio de
Janeiro, 1980.
[3] BARRETO, L.A. et al. Sistema Construtivo Tridirecional para
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