X2 + y2 + Z2 = a2

\X2 + l = a2

FIGURA13.48 O centro de massa de umacasca hemisférica fina de densidadeconstante está sobre o eixo de simetria na

metade do caminho entre a base e o topo(Exemplo 5).

Exemplo 5

13.5 Árease Integrais de Superfície 475

Encontrando o Centro de Massa

Encontre o centro de massa de uma casca hemisférica de raio a e densidadeconstante o.

Área da Superfície1. Encontrea áreada superlíciecortadadoparabolóide:x?-+ i -

z = Opelo plano z = 2.

2. Encontre a área da faixa cortada do parabolóide X- + i - z = Opelos planos z = 2 e z = 6.

3. Encontrea área daregião cortadado planox + 2y + 2z = 5pelo cilindro cujas paredes são x =i e x = 2 - i.

4. Encontre a área da porção da superfície X- - 2z = O que estáacima do triângulo limitado pelas retas x = -V3,y = Oe y = xno plano xy. .

5. Encontre a área da superfície X-- 2y - 2z = Oque está acimado triângulo limitado pelas retas x = 2, Y = O e y = 3x noplano xy.

6. Encontrea área da calotacortadada esfera:x?-+ i + i = 2pelo cone z= VX2 + y2.

7. Encontre a área da elipse cortada do plano z = cx (c uma cons-tante) pelo cilindro X- + i = 1.

8. Encontrea áreada porçãosuperiordo cilindroX- + i = I queestá entre os planos x = :tl/2 e y = :tl/2.

Solução Modelamos a casca com o hemisfério

f(x, y, z) = X2 + l + i = a2, z2::0

(Figura 13.48). A simetria da superfície em relação ao eixo z nos diz quex = y = O.Resta apenas encontrar Z a partir da fórmula z = MxylM.

A massa da casca é

M = J J o dO"= o J J dO"= (8)(áreade S) = 21Ta2o.s s

Para calcularmos a integral para M.-ry,fazemos p = k e calculamos

/Vfl = 12xi + 2yj + 2zkl = 2v'x2 + y2 + Z2= 2a

IVf' P I = IVf' k I = 12zI = 2z

IVfi a

dO" = IVf' pl dA = zdA.

Então

Mxy = J J z8 du = 8 J J z%dA = oaJJ dA = 8a(1Ta2) = o1Ta3S R R

- Mxy 1Ta38 az=-=-=-

M 21Ta2o 2'

O centro de massa da casca é o ponto (O, O, aJ2).

, .

EXERCICIOS 13.5

9. Encontre a área da porção do parabolóide x = 4 - i - Z2queestá acima do anel 1 :5 y2 + Z2:5 4 no plano yz.

10. Encontre a área da superlície cortada do parabolóide X- + Y+Z2 = 2 pelo plano y = O.

11. Encontre a área da superfície X2- 2 ln x + V15y - z = Oacima do quadrado R: 1 :5 X:5 2, O:5 Y:5 1,no plano xy.

12. Encontre a área da superfície 2x312+ 2y3/2- 3z = Oacima doquadrado R: O:5 x :5 1, O:5 Y:5 1, no plano xy.

Integrais de Superfície13. Integre g(x, y, z) = x + y + z sobre a superfície do cubo cor-

tado do primeiro octante pelos planos x = a,y = a, z= a.14. Integre g(x, y, z) = y + z sobre a superfície da cunha no pri-

meiro octante limitada pelos planos coordenados e os planos x=2ey+z=1.

15. Integre g(x, y, z) = xyz sobre a superlície do sólido retangularcortado do primeiro octante pelos planos x = a, y = b e z = c.

16. Integre g(x, y, z) = xyz sobre a superlície do sólido retangularlimitado pelos planos x = :ta, y = :tb e z = ::tc.

476 Capítulo 13: Integraçãopara CamposVetoriais

17. Integre g(x, y, z) = x + y + z sobre a porção do plano2x + 2y + z = 2 que está no primeiro octante.

18. Integre g(x, y, z) = xYy2 + 4 sobre a superfície obtida cor-tando-se o parabolóide cilíndrico l + 4z = 16 pelos planosx = O,x = 1e z = O.

FluxoAtravés de-uma Superfície

Nos exercícios 19 e 20, encontre o fluxo do campo F ao longo daporção da superfície dada no sentido especificado.

19. F(x, y, z) = -i + 2j + 3k

S: Superfície retangular z = O, O ::5 X ::5 2, O ::5 Y ::5 3,sentido k.

20. F(x, y, z) = yx2i - 2j + xzk

S: Superfície retangular y = O, - 1 ::5 X ::5 2, 2 ::5 Z ::57,sentido - j.

Nos exercícios 21-26, encontre o fluxo do campo F através da por-ção da esfera r + i + r = a2 no primeiro octante no sentidooposto à origem.

21. F(x, y, z) = zk 22. F(x, y, z) = -yi + xj

23. F(x, y, z) = yi - xj + k 24. F(x, y, z) = zxi + zyj + rk

25. F(x, y, z) =xi + yj + zk

xi + yj + zk26. F(x, y, z) =

Y X2 + y2 + Z2

27. Encontre o fluxo exterior do campo F(x, y, z) = z2j + xj - 3zkatravésda superfíciecortadado cilindroparabólicoz =4 - lpelos planos x = O,x = 1 e z = O.

28. Encontre o fluxo exterior (para longe do eixo z) do campo F(x,y, z) = 4xi + 4yj + 2k através da superfície cortada do fundodo parabolóide z = r + i pelo plano z = 1.

29. Seja S a porção do cilindro y = eXno primeiro octante que éprojetada paralelamente ao eixo x sobre o retângulo Ryz:1 ::5Y::52, O ::5Z ::51 no plano yz (veja a figura a seguir). Seja n ovetar unitário normal a S que aponta para longe do plano yz.Encontre o fluxo do campo F(x, y, z) = -2i + 2yj + zk atra-vés de S no sentido de n.

z

11-" -,. -,. -- -,.

xy

30. Seja S a porção do cilindro y = ln x no primeiro octante cujaprojeção paralela ao eixo y sobre o plano xz é o retângulo Rxz:1 :5 x ::5e, O :5 Z ::5 1. Seja n o vetor unitário normal a S queaponta para fora do plano xz. Encontre o fluxo de F = 2yj + zkatravés de S no sentido de n.

31. Encontre o fluxo exterior do campo F = 2xyi + 2y.zj + 2xzkao longo da superfície do cubo cortado do primeiro octantepelos planos x ==a,1. = a, Z = a.

32. Encontre o fluxo exterior do campo F = xzi + y.zj + k atravésda superfície da calota superior cortada da esfera sólida r + y2

+ r ::5 25 pelo plano z = 3.

Momentos e Massas

33. CentróideEncontre o centróide da porção da esfera X2+ i +Z2 = a2queestáno primeirooctante.

34. CentróideEncontre o centróide da superfície cortada do cilin-dro l + r = 9, z ~ O,pelosplanosx = Oe x = 3 (parecidocom a superfície do Exemplo 4).

35. Cascafinadedensidadeconstante Encontre o centro de massa, omomento de inércia e o raio de rotação em relação ao eixo z deuma casca fina de densidade constante ()cortada do cone r +l-r = Opelos planos z = 1 e z = 2.

36. Superfície cônica de densidade constante Encontre o momento de

inércia em relação ao eixo z de uma casca fina de densidade

constante ()cortada do cone 4r + 4l - r = O,z ~ O,pelo ci-lindro circular r + y2 = 2x (ver figura a seguir).

z

xX2+y2=2x

our = 2 cos (J

37. Cascasesféricas

(a) Encontre o momento de inércia em relação a um diâme-tro de uma casca esférica fina de raio a e densidadeconstante (). (Trabalhe com uma casca hemisférica edobre o resultado.)

(b) Use o Teorema do Eixo Paralelo (Exercícios 12.5) e o re-sultado do item (a) para encontrar o momento de inérciaem relação à reta tangente à casca.

38. (a) Conescom e semsorvete Encontre o centróide da superfícielateral de um cone sólido com raio da base a e altura h

(superfície do cone menos a base).

(b) Use a fórmula de Pappus (Exercícios 12.5) e o resultadodo item (a) para encontrar o centróide da superfície com-pleta de um cone sólido (lado mais base).

(c) Escrevendopara aprenderUm cone de raio a e altura h éunido a um hemisf~rio de raio a para formar uma superfí-cie S que se parece com um sorvete de casquinha. Use afórmula de Pappus, os resultados do item (a) e do Exem-plo 5 para encontrar o centróide de S. Que altura o conedeve ter para colocar o centróide no plano compartilhadopelas bases do hemisfério e do cone?

Fórmulas Especiais para Áreasde SuperfíciesSe S for a superfície definida pela função z = f(x, y) que tem deri-vadas parciais de primeira ordem contínuas em uma região Rxynoplano xy (Figura 13.49), então S é também a superfície de nívelF(x, y, z). = O da função F(x, y, z) = f(x, y) - z. Considerando anormal unitária a Rxycomo sendo p = k,temos

IVFI= l.fxi+J;,j - kl- Y.fx2+ f/ + 1

IVF' P I= I(.fxi+ hj - k) . k 1= 1-11 = 1

e

IIIVF I - II Y 2 2 .

IVF "p IdA - h + h + 1 dx dy,R,., RX}.

{11}

De maneira similar, a área de uma superfície lisa sobre uma regiãox = f(y, z) no plano yz é

A = IIYf/ + f/ + 1dy dz,Ry;;

(12)

e a área de uma função lisa y = f(x, z) sobre uma região Rxz noplano xz é

A =IIY.fx2+ f/ + 1dxdz.R:a.

(13)

Use as equações (11)-(13) para encontrar a área das superfícies nosexercícios 39-44.

39. A superfície cortada do fundo do parabolóide z = X2 + I peloplano z = 3.

40. A superfície cortada do 'nariz' do parabolóidex = 1 -1- rpelo plano yz.

13.6 SuperfíciesParametrizadas 477

Superfície z = f(x, y)

FIGURA13.49 Para uma superfície z = f(x, y), a fórmula da áreada superfície da equação (3) assume a forma

A = f f Yf/ +!/ + 1 dxdy.R",

41. A porção do cone z = Y X2 + y2 que está sobre a região entrea circunferência r + I = 1 e a elipse9r + 41 = 36 noplano xy. (Dica: Use fórmulas da geometria para encontrar aárea da região.)

42. O triângulo cortado do plano 2x + 6y + 3z = 6 pelos .planosde-fronteira do primeiro octante. Calcule a área de três manei-ras, uma com cada fórmula da área.

43. A superfícieno primeiro octante cortada do cilindroy = (2/3)Z312pelos planos x = 1 e y = 16/3.

44. A porção do plano y + z = 4 que está acima da região cortadado primeiro quadrant~do plano xz pela parábola x = 4 - i.

Superfícies ParametrizadasParametrização de Superfíciesde Superfícies

. Área de Superfícies . Integrais

Definimos curvas no plano de três maneiras diferentes:

. Forma explícita:Forma implícita:

Forma paramétrica vetoria!:

y = f(x)

F(x, y) = O

r(t) = f(t)i + g(t)j, a$,t~b.

Temos definições análogas de superfícies no espaço:

Forma explícita: z = f(x, y)

Forma implícita: F(x, y, z) = O.

Existe também uma forma paramétrica que dá a posição de um ponto na super-fície como uma função vetorial de duas variáveis. Esta seção estende o estudode áreas e integrais de superfície a superfícies descritas parametricamente.