Karhunen-Loève Decomposição de Análise Modal e da...

Thiago G. Ritto

Análise de Vibrações deSistemas Lineares e

Não-Lineares no Contextoda Formulação Fraca,

Análise Modal eDecomposição deKarhunen-Loève

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAMECÂNICA

Programa de Pósgraduação em

Engenharia Mecânica

Rio de JaneiroSetembro de 2005

DBD

PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA

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Thiago G. Ritto

Análise de Vibrações de SistemasLineares e Não-Lineares no Contexto da

Formulação Fraca, Análise Modal eDecomposição de Karhunen-Loève

Dissertação de Mestrado

Dissertação apresentada como requisito parcial paraobtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pósgraduação em Engenharia Mecânica do Departamento deEngenharia Mecânica da PUCRio

Orientador: Prof. Rubens Sampaio

Rio de JaneiroSetembro de 2005

DBD


Thiago G. Ritto

Análise de Vibrações de SistemasLineares e Não-Lineares no Contexto da

Formulação Fraca, Análise Modal eDecomposição de Karhunen-Loève

Dissertação apresentada como requisito parcial paraobtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pósgraduação em Engenharia Mecânica do Departamento deEngenharia Mecânica do Centro Técnico Cientíco daPUCRio.Aprovada pela Comissão Examinadora abaixoassinada.

Prof. Rubens SampaioOrientador

Departamento de Engenharia Mecânica PUCRio

Prof. Fernando Alves RochinhaDepartamento de Engenharia Mecânica UFRJ

Prof. Edson Luiz Cataldo FerreiraDepartamento de Matemática Aplicada UFF

Prof. Marcelo Túlio PiovanUniversidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional

Bahía Blanca

Prof. José Eugênio LealCoordenador Setorial do Centro Técnico Cientíco

PUCRio

Rio de Janeiro, 9 de Setembro de 2005

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Todos os direitos reservados. É proibida a reproduçãototal ou parcial do trabalho sem autorização da univer-sidade, do autor e do orientador.

Thiago G. RittoGraduouse em Engenharia Mecânica e ProduçãoMecânica pela Pontifícia Universidade Católica do Riode Janeiro (Rio de Janeiro, RJ). Trabalhou duranteum ano e meio na Companhia Siderúrgica de Tubarão(Vitória, ES) onde exerceu atividades relacionadas àmanutenção preditiva e análise de vibrações. Este tra-balho de mestrado gerou um artigo publicado no18th International Congress of Mechanical Engineering(COBEM 2005), [32]. Na presente data trabalha na em-presa FURNAS CENTRAIS ELÉTRICAS SA (Rio deJaneiro, RJ) onde faz parte da Coordenação de Quali-dade Total.

Ficha CatalográcaRitto, Thiago G.

Análise de Vibrações de Sistemas Lineares e Não-Lineares no Contexto da Formulação Fraca, AnáliseModal e Decomposição de Karhunen-Loève/ Thiago G.Ritto; orientador: Rubens Sampaio. Rio de Janeiro: PUCRio, Departamento de Engenharia Mecânica,2005.

214 f. ; 30 cm

Dissertação (mestrado) - Pontifícia UniversidadeCatólica do Rio de Janeiro, Departamento de EngenhariaMecânica.

Inclui referências bibliográcas.

1. Engenharia Mecânica - Teses. 2. Análise de Vi-brações. 3. Formulação fraca. 4. Método de Galerkin.5. Análise modal. 6. Base de Karhunen-Loève. I. Sam-paio, Rubens. II. Pontifícia Universidade Católica do Riode Janeiro. Departamento de Engenharia Mecânica. III.Título.

CDD: 621

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Agradecimentos

Inicialmente e principalmente agradeço ao meu pai Ritto, à minha

mãe Nazareth e ao meu irmão Fabio, maiores incentivadores e fontes pri-

mordiais das minhas energias.

Agradeço ao meu orientador, Rubens, pelas inúmeras aulas sobre

a vida, aprendizados muito maiores do que os que estão contidos neste

trabalho.

Agradeço à Companhia Siderúrgica de Tubarão (CST) através do

gerente Rúben Pinasco, por conceder todo o suporte que eu precisava, do

engenheiro Álvaro Pio, pelo apoio, e dos engenheiros Jorge Pires e Weber

Batista, por me ensinarem muito sobre análise de vibrações aplicada na

indústria.

Agradeço ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientíco e Tec-

nológico (CNPQ) pelo auxílio concedido no primeiro ano do mestrado.

Finalmente agradeço a todos os amigos de Vitória e do Rio e aos

colegas e professores do Departamento de Engenharia Mecânica da PUC-

Rio que me deram a força e o incentivo que eu precisava.

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Resumo

Ritto, Thiago G.; Sampaio, Rubens. Análise de Vibrações deSistemas Lineares e Não-Lineares no Contexto da Formu-lação Fraca, Análise Modal e Decomposição de Karhunen-Loève. Rio de Janeiro, 2005. 214p. Dissertação de Mestrado Departamento de Engenharia Mecânica, Pontifícia UniversidadeCatólica do Rio de Janeiro.

Neste trabalho a Análise de Vibrações é tratada no contexto da formulação

fraca. Um sistema contínuo é formulado abstratamente em um espaço de

Hilbert e uma base de projeção é escolhida para a dinâmica. Um esquema de

convergência para a aproximação é garantido à medida em que se aumenta o

número de funções da base usada para representar a resposta do problema.

Esta é a idéia por traz de métodos como o Método dos Elementos Finitos e

o Método dos Modos Supostos, que derivam do Método de Galerkin. Esta

estratégia é diferente do que comumente é ensinado nos cursos de vibrações,

onde um sistema massamola é analisado, e sistemas discretos formados por

massas, molas e amortecedores são discutidos. Nestes casos não se sabe qual

é o erro cometido na análise numérica. A Análise de Vibrações é muito usada

na manutenção preditiva de máquinas rotativas. Alguns fenômenos obser-

vados nesses equipamentos motivaram o desenvolvimento de um modelo

numérico que pudesse reproduzir tais fenômenos para melhor entendê-los.

Um sistema rotormancal é modelado e sua resposta dinâmica comparada

qualitativamente com a resposta dinâmica captada através de acelerômetros

xados nos mancais de um exaustor da Companhia Siderúrgica de Tubarão

(CST). Durante o trabalho diversos programas foram desenvolvidos através

da plataforma MATLAB.

PalavraschaveAnálise de Vibrações, Formulação Fraca, Método de Galerkin, Análise

Modal, Base de Karhunen-Loève.

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Abstract

Ritto, Thiago G.; Sampaio, Rubens. V. Rio de Janeiro, 2005.214p. MSc. Dissertation Departamento de Engenharia Mecânica,Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

Vibration Analysis is treated in the context of weak formulation. A con-

tinuous system is formulated in the Hilbert space and one base is selected

to project the dynamics. An approximation scheme is guaranteed by in-

creasing the number of functions in the base used to represent the response.

This is the idea behind methods like the Finite Element Method and As-

sumed Modes Method, which derive from Galerkin Method. This strategy

is dierent from what is commonly taught in vibration courses, where a

massspring system is analyzed and discrete systems composed by masses,

springs and dashpots are discussed. In those cases the error of the numerical

analysis is not known. Vibration Analysis is very used in predictive mainte-

nance of rotating machines. Some phenomenons observed in those machines

motivated the development of a numerical model that could reproduce such

phenomenons to better understand them. A rotorbearing system is mod-

elled and its dynamic response is qualitative compared to the dynamic re-

sponse captured by accelerometers xed on the bearings of a blower of the

steel company Companhia Siderúrgica de Tubarão (CST). During this work

several programs were developed using MATLAB software.

KeywordsVibration Analysis, Weak Formulation, Galerkin Method, Modal Ana-

lysis, Karhunen-Loève Basis.

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Conteúdo

1 Introdução 151.1 Manutenção Mecânica 151.2 Motivação 171.3 Estruturação 18

2 Formulação Fraca 202.1 Introdução 202.2 Espaços de Hilbert 202.3 Equacionamento 252.4 Problema Modelo 282.5 Formulação Fraca 392.6 Operadores Diferenciais 432.7 Convergência das Aproximações 482.8 Conclusões 50

3 Escolha da Base de Projeção 513.1 Introdução 513.2 Método dos Modos Supostos 513.3 Método dos Elementos Finitos 593.4 Carregamento 723.5 Condições de Contorno 753.6 Conclusões 85

4 Análise Modal 864.1 Introdução 864.2 Modos Normais 874.3 Modos Complexos 934.4 Conclusões 97

5 Transformada Rápida de Fourier e Função Resposta em Freqüência 985.1 Introdução 985.2 Transformada Rápida de Fourier 985.3 Função Resposta em Freqüência 1065.4 Conclusões 113

6 Decomposição de KarhunenLoève 1146.1 Introdução 1146.2 Base de KL e Modos de Vibração 1186.3 Barra chocando-se contra um ostáculo 1256.4 Conclusões 131

7 Inuência do desbalanceamento e folga nos mancais de um rotor embalanço 132

7.1 Introdução 132

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7.2 Motivação 1357.3 Equacionamento 1387.4 Simulação numérica 1427.5 Conclusões 148

8 Conclusões e Trabalhos Futuros 149

Referências Bibliográcas 152

A Análise de vibrações na internet 157

B Mais Exemplos 159

C Lista dos Programas Desenvolvidos 174

D Relação entre os Programas 178

E Manual dos Programas Desenvolvidos 184

F Arquivos do CALFEM 204

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Lista de Figuras

1.1 Ponte de Tacoma, julho de 1940 151.2 Equipamentos relevantes em uma indústria: (a) Turbogerador;

(b) Compressor; (c) exaustor; (d) peneira vibratória. 16

2.1 Representação do Teorema da Projeção 252.2 Barra xa em um extremidade e livre na outra 282.3 Elemento diferencial de uma barra 282.4 Modo de corpo rígido de uma barra com as duas extremidades

livres 352.5 Dez primeiros modos de vibração de uma barra xa em uma

extremidade e livre na outra 372.6 Dez primeiros modos de vibração de uma barra xa nas duas

extremidades 382.7 Espaço de soluções 412.8 Erro ortogonal ao espaço formado pelas funções teste usadas na

aproximação 432.9 Algoritmo para convergência 50

3.1 Viga de EulerBernoulli 513.2 Viga engastadalivre 533.3 Viga engastada, excitada na extremidade livre 563.4 Resposta dinâmica na extremidade livre 573.5 Resposta dinâmica na extremidade livre 583.6 Aproximação linear 613.7 Polinômios de interpolação diferentes de zero apenas em uma

pequena parte do domínio 633.8 Elemento com aproximação (a) Linear, 2 nós, (b) Quadrática, 3

nós e (c) Cúbica, 4 nós 643.9 Aproximação quadrática 643.10 Elemento de viga 653.11 Funções Hermitianas 663.12 Viga engastada, excitada na extremidade livre 683.13 Resposta dinâmica em x=L 683.14 Resposta dinâmica em x=L 693.15 Eixos local e global para um elemento de barra 703.16 Elemento com três graus de liberdade em cada nó 713.17 Força concentrada 723.18 Força distribuída 733.19 Força concentrada na extremidade de uma viga 733.20 Força distribuída uniformemente ao longo de uma viga 743.21 Condições de contorno no extremo L. (a) ligação elástica; (b)

massa pontual 753.22 Cinco primeiros modos de uma barra xada em uma extremidade

e livre na outra 78

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3.23 Convergência da aproximação 783.24 Cinco primeiros modos de uma barra xa em uma extremidade

e com apoio elástico na outra 803.25 Convergência da aproximação 803.26 Primeiro modo de vibração 813.27 Segundo modo de vibração 813.28 Cinco primeiros modos barra xamassa 833.29 Convergência da aproximação 833.30 Primeiro modo de vibração 843.31 Segundo modo de vibração 84

4.1 Separação dos parâmetros modais 864.2 Movimento de corpo rígido 884.3 Modo normal 914.4 Tentativa de visualização de um modo complexo 96

5.1 Freqüências naturais e modos de vibrações 995.2 Sinal real (esquerda) e sinal digitalizado (direita) 1005.3 (a) Sinal teórico (verde) e coletado (azul) (b) FFT dos sinais 1015.4 (a) Sinal teórico (verde) e coletado (azul) (b) FFT dos sinais 1025.5 (a) Sinal teórico (verde) e coletado (azul) (b) FFT dos sinais 1025.6 (a) Sinal teórico (verde) e coletado (azul) (b) FFT dos sinais 1035.7 Vazamento 1035.8 Janela Hanning 1045.9 Coleta de sinais (a) Acelerômetro; (b) Sensor de proximidade 1045.10 Programa usado para auxiliar a análise dos dados de vibrações 1055.11 Desbalanceamento 1055.12 Problema uidodinâmico 1065.13 FRF Teste com martelo de impacto 1085.14 FRF perto de uma freqüência natural (a) amplitude (b) Fase 1085.15 FRF Modos de vibração 1095.16 Medição da FRF em uma estrutura 1105.17 FRF do sistema 1115.18 Peneira vibratória industrial 1125.19 (a) FRF (b) Ângulo de fase 113

6.1 Sistema massamolaamortecedor com dois graus de liberdade 1166.2 Coecientes temporais a1(azul) e a2(verde) 1176.3 Reconstrução com 1 POM (a) Resposta x1 (b) Resposta x2 1186.4 Reconstrução com 2 POMs (a) Resposta x1 (b) Resposta x2 1186.5 Rotor com dois graus de liberdade, x1 e x2, e velocidade de

rotação constante, Ω 1216.6 Resposta dinâmica (a) x1 (b) x2 1226.7 Resposta dinâmica (a) x1 (b) x2 1236.8 Reconstrução (em azul) com apenas 1 POM 1236.9 Diagrama de Campbell para um disco 1246.10 Diagrama de Campbell para um cilindro 1256.11 Barra chocandose contra um obstáculo 125

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6.12 (a) Convergência da aproximação, variando ∆t; (b) Convergên-cia da aproximação, variando N 127

6.13 Resposta do ponto da extremidade livre da barra 1276.14 (a) Força média x dist; (b) Força média x ka 1286.15 Modos de vibração x base de KL 1286.16 Aproximação da resposta dinâmica em x = L 1296.17 Aproximação da resposta dinâmica perto da região de choque 1306.18 Primeiro modo normal x Primeiro modo empírico 1306.19 Derivada segunda do primeiro modo normal x Derivada segunda

do primeiro modo empírico 131

7.1 Corte transversal do mancal 1357.2 Exaustor Principal da Máquina de Lingotamento Contínuo 1367.3 Espectro de freqüências. (a) 30 de janeiro de 2005, (b) 9 de

fevereiro de 2005 1367.4 Exaustor da dessulfuração 1377.5 Espectro de freqüências. (a) 2 de julho de 2001, (b) 23 de maio

de 2002 1377.6 Sistema rotodinâmico considerado 1397.7 Viga engastada em uma extremidade e com uma massa na outra,

discretizada pelo MEF 1407.8 (a) Convergência da aproximação, variando dt; (b) Convergência

da aproximação, variando N 1437.9 Conguração do eixo quando em operação 1447.10 Resposta dinâmica no mancal número 3. (a) Resposta transiente

u1 (azul) e u2 (verde); (b) Órbita após transiente 1447.11 Força média no mancal número 3 (azul) e 4 (verde) 1457.12 Força média no mancal número 4 1467.13 (a) Força média no mancal número 3 versus G; (b) Força média

no mancal número 4 versus G 1467.14 FFT do deslocamento no mancal número 3: G = 2 (azul) e

G = 20 (magenta) 1477.15 (a) Força média no mancal número 3 versus folga; (b) Força

média no mancal número 3 (azul) e 4 (verde) versus folga 148

8.1 Etapas da análise 1498.2 Algoritmo para convergência 1508.3 Análise Modal e Decomposição de KarhunenLoève 150

B.1 Viga engastada em uma extremidade 159B.2 Cinco primeiros modos de uma viga engastada em uma extrem-

idade 160B.3 Viga biapoiada 161B.4 Cinco primeiros modos de uma viga biapoiada 161B.5 Estrutura 162B.6 Estrutura discretizada 163B.7 Primeiro modo de vibração 165B.8 Cinco primeiros modos de uma Viga Engastadalivre 166B.9 Convergência da aproximação 167

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B.10 Cinco primeiros modos de uma viga Biapoiada 168B.11 Convergência da aproximação 169B.12 Viga conguração L 169B.13 Cinco primeiros modos da conguração L 170B.14 Convergência da aproximação 171B.15 Viga conguração triângulo 171B.16 Cinco primeiros modos da conguração triângulo 172B.17 Convergência da aproximação 173

C.1 Diagrama de uxo 174

D.1 Primeiro grupo de programas 179D.2 Segundo grupo de programas 180D.3 Terceiro grupo de programas 181D.4 Quarto grupo de programas 182D.5 Simulação de um rotor 183

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Lista de Tabelas

1.1 Comparação de custos entre manutenção corretiva, preventiva epreditiva 17

3.1 Comparação entre valores obtidos para o deslocamento 75

6.1 Dados usados no programa barra_choque 126

7.1 Parâmetros do programa rotor_choque 1407.2 Dados usados no programa rotor_choque 143

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"A melhor maneira de prever o futuro é criá-lo"

Peter Drucker, Looking Ahead: Implications of the present.

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1Introdução

1.1Manutenção Mecânica

Em todo o mundo, a todo tempo, máquinas estão funcionando e

estruturas estão sendo projetadas. Em um projeto de uma estrutura, por

exemplo, as características dinâmicas devem ser levadas em consideração

para que não ocorram surpresas inesperadas, como foi o caso da Ponte

de Tacoma (1940), no Estado de Washington (EUA), que entrou em

ressonância com rajadas de vento, Figura 1.1.

Figura 1.1: Ponte de Tacoma, julho de 1940

Vibração é uma oscilação em torno de um movimento de referência.

Na área de manutenção, a Análise de Vibrações é uma ferramenta ecaz e

necessária. Máquinas rotativas importantes para um processo, como uma

turbomáquina, por exemplo, são monitoradas através de sensores que

registram os níveis de vibração de pontos estratégicos (os mancais). Uma

máquina é desligada se os valores de vibração ultrapassarem um limite

estipulado, evitando, assim, falhas catastrócas e prejuízos astronômicos.

A Figura 1.2 mostra alguns equipamentos relevantes em uma indústria

como é o caso de um turbogerador, um compressor, um exaustor e uma

peneira vibratória.

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16

(a) (b)

(c ) (d)

Figura 1.2: Equipamentos relevantes em uma indústria: (a) Turbogerador;

(b) Compressor; (c) exaustor; (d) peneira vibratória.

Normalmente separase a manutenção em três losoas: manutenção

corretiva, manutenção preventiva e manutenção preditiva. Na manutenção

corretiva uma ação só é tomada depois que uma falha acontece. Na

manutenção preventiva algumas peças ou equipamentos, previamente se-

lecionados, são substituídos preventivamente em intervalos de tempos de-

terminados.

Na manutenção preditiva existe um acompanhamento da tendência

de parâmetros, como vibração, desgaste ou temperatura, para que só haja

intervenção em uma máquina caso seja necessário. Através desta losoa,

podese agir próativamente, visto que as tendências do funcionamento do

equipamento estão sendo acompanhadas. Mais do que isso, com ferramentas

de Análise de Sinais e Análise de Vibrações, é possível identicar a fonte do

problema de uma vibração alta.

A Tabela 1.1 mostra uma comparação de custos entre essas diversas

losoas.

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17

ABRAMAN∗ NMW Chicago∗∗

Manutenção Corretiva 35 a 40 % 17 a 18 US$ / CV.ano

Manutenção Preventiva 25 a 30 % 11 a 13US$ / CV.ano

Manutenção Preditiva 11 a 17 % 7 a 9 US$ / CV.ano∗ABRAMAN Associação Brasileira de Manutenção, pesquisa realizada entre 1985 a 2003∗∗ NMW National Manufacturing Week, dados de 1998

Tabela 1.1: Comparação de custos entre manutenção corretiva, preventiva

e preditiva

Na Tabela 1.1, o custo percentual (%) está relacionado com o custo

total de manutenção e CV é CavaloVapor. A losoa mais adequada deve

ser analisada para cada situação. O custo para a estruturação de uma

manutenção preditiva é bastante alto.

Sosticando um pouco mais a análise, o próximo passo é fazer um

modelo quantitativo. Com um modelo, e eventuais ajustes, se pode tentar

prever o comportamento de um equipamento para fazer as modicações

necessárias na hora certa.

O presente texto aborda a Análise de Vibrações no contexto da

formulação fraca, que em Mecânica é conhecida como a abordagem em

termos das potências virtuais.

1.2Motivação

Podemse citar duas grandes motivações que permearam o desenrolar

deste trabalho:

1 • Fazer uma apostila didática, usando MATLAB, que seja usada por

alunos de graduação.

2 • Investigar alguns fenômenos observados em máquinas rotativas.

A primeira motivação se deve ao fato de se estar abordando a Análise

de Vibrações no contexto da formulação fraca. Normalmente nos cursos de

vibrações um sistema massamola é analisado e sistemas discretos formados

por massas, molas e amortecedores são discutidos. Nestes casos não se

sabe qual é o erro cometido na análise numérica. A estratégia usada é

formular um problema de vibrações em um espaço de Hilbert e, escolhendo

criteriosamente uma base de projeção, fazer um esquema de aproximação

em dimensão nita de modo a atingir uma precisão pré-estabelecida. O

esquema de convergência para a aproximação é garantido à medida em

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18

que se aumenta o número de funções da base usada para representar a

resposta do problema. Esta é a idéia por traz de métodos como o Método

dos Elementos Finitos e o Métodos dos Modos Supostos, que derivam do

Método de Galerkin.

A segunda motivação se deve ao fato da Análise de Vibrações ser muito

usada na manutenção preditiva de máquinas rotativas. Alguns fenômenos

observados nesses equipamentos motivaram o desenvolvimento de um mo-

delo numérico que pudesse reproduzir tais fenômenos para melhor entendê-

los. No capítulo 7 um sistema rotormancal é modelado e sua resposta

dinâmica comparada qualitativamente com a resposta dinâmica captada

através de acelerômetros xados nos mancais de um exaustor da Compan-

hia Siderúrgica de Tubarão (CST).

Em cada etapa do trabalho, pelo menos um exemplo é feito e, para

a maioria deles, um programa foi desenvolvido através da plataforma

MATLAB. A lista dos programas desenvolvidos se encontra no anexo

C. A relação entre os programas se encontra no anexo D. E o manual

dos programas se encontra no anexo E. Adaptando uma frase de Albert

Schweitzer1 digo: Dar um exemplo não é a melhor forma de ensinar, é a

única forma de ensinar, e também de aprender.

1.3Estruturação

No capítulo 2, a partir de sistema mecânico contínuo, os conceitos de

modos de vibrações e freqüências naturais são apresentados. A formulação

fraca surge como uma expressão da dinâmica deste sistema. A teoria é

formulada abstratamente em espaços de Hilbert. Essa forma de trabalhar o

problema facilita o estudo da convergência das aproximações. A equação

originada de sistemas dinâmicos, em geral, não tem como solução uma

expressão analítica, daí a necessidade de discretizar o sistema para buscar

uma aproximação. O método usado para a discretização é o Método de

Galerkin. As matrizes de massa, de amortecimento e de rigidez do sistema

surgem naturalmente de integrações.

No capítulo 3, duas escolhas de funções teste (funções que formam uma

base para a projeção da dinâmica) para o Método de Galerkin: o Método

dos Modos Supostos e o Método dos Elementos Finitos, são discutidas. Os

1Albert Schweitzer (18751965). Example is not the main thing in inuencing others.It is the only thing.

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19

modos são as funções teste que geram a melhor base para a projeção da

dinâmica, como será visto.

No capítulo 4, a Análise Modal e suas limitações são examinadas. Além

da Análise Modal só se aplicar à sistemas lineares, dependendo das matrizes

do sistema, ocorrem coisas curiosas como é o caso dos modos complexos.

A Transformada Rápida de Fourier e a Função Resposta em Freqüên-

cia, ferramentas essenciais para a análise de estruturas e equipamentos, são

assuntos do capítulo 5.

As diculdades se tornam maiores em sistemas nãolineares. No

capítulo 6 a Decomposição de Karhunen-Loève é introduzida como uma

extensão à Análise Modal para sistemas dinâmicos não-lineares. A base de

Karhunen-Loève é a melhor base para a projeção da dinâmica, como será

visto.

No capítulo 7 um sistema rotormancal é modelado e sua resposta

dinâmica comparada qualitativamente com a resposta dinâmica captada

através de acelerômetros xados nos mancais de um exaustor da Companhia

Siderúrgica de Tubarão (CST).

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2Formulação Fraca

2.1Introdução

Este capítulo apresenta um panorama geral de como um problema de

vibrações será tratado neste trabalho. Os espaços de Hilbert são apresenta-

dos e um problema modelo de uma barra em movimento longitudinal, xa

em uma extremidade e livre na outra, é resolvido. Neste problemamodelo

os conceitos de modos de vibração, freqüências naturais e superposição são

introduzidos. A seguir é feito uma formulação fraca do problema que in-

corpora todos os vínculos do problema. A formulação fraca é o equaciona-

mento do problema de vibrações em um espaço de Hilbert. Depois se usa o

Método de Galerkin para discretizar o problema e reduzílo ao cálculo de

um número nito de parâmetros. Os operadores de um sistema mecânico

são obtidos e uma discussão é feita com relação à dissipação. No nal do

capítulo é mostrado como a convergência das aproximações será medida.

2.2Espaços de Hilbert

Nesta seção serão apresentados os conceitos básicos dos espaços de

Hilbert, porém antes serão apresentados os espaços vetoriais e os espaços

métricos. Esta seção tem como referências básicas Kreyszig [23] e Strang

[42, 41].

Um espaço vetorial é um conjunto X formado por vetores x1,x2, ..

sobre os quais são denidas as operações algébricas de soma vetorial e

multiplicação de vetores por escalares. X é denido sobre um corpo K que

pode ser real, K = R, ou complexo, K = C.

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21

A soma é comutativa e associativa:

x1 + x2 = x2 + x1

x1 + (x2 + x3) = (x1 + x2) + x3

(2-1)

Para quaisquer x1,x2 ∈ X e α, β ∈ K:

1. α(βx1) = (αβ)x1

2. 1x = x

3. α(x1 + x2) = αx1 + αx2

4. (α+ β)x1 = αx1 + βx1

(2-2)

Além dessas operações, existe um vetor 0, chamado vetor nulo, e para

qualquer vetor x, existe um vetor (−x), de maneira que:

x+ 0 = x

x+ (−x) = 0(2-3)

Um espaço vetorial familiar é o espaço Euclidiano Rn, cujas operações

são denidas da seguinte forma:

x1 + x2 = (x11 + x21, ..., x1n + x2n)

αx1 = (αx11, ..., αx1n)(2-4)

Outro exemplo de espaço vetorial é o espaço funcional de funções

contínuas em um intervalo [t1, t2] denotado por C[t1, t2]. Este espaço é

formado por funções reais e contínuas denidas no intervalo [t1, t2]. As

operações são denidas por:

(x1 + x2)(t) = x1(t) + x2(t)

(αx1)(t) = αx1(t)(2-5)

Um espaço métrico é um par (X, d), sendo X um conjunto e d uma

métrica, isto é, uma função denida em X x X tal que para quaisquer

x1,x2,x3 ∈ X têmse os seguintes axiomas:

1. d(x1,x2) é real e não negativa

2. d(x1,x2) = 0 ⇐⇒ x1 = x2

3. d(x1,x2) = d(x2,x1)

4. d(x1,x2) ≤ d(x1,x3) + d(x2,x3)

(2-6)

O quarto axioma é conhecido como desigualdade triangular. No espaço

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22

Euclidiano tridimensional, R3, uma métrica é dada por:

d(x1,x2) =√

(x11 − x21)2 + (x12 − x22)2 + (x13 − x23)2 (2-7)

O espaço funcional C[t1, t2] também é um espaço métrico, com métrica

denida como:

d(x1,x2) = maxt ∈ [t1,t2]

|x1(t)− x2(t)| (2-8)

Uma εvizinhança de um elemento x0 de um espaço métrico X é um

conjunto aberto:

B(x0, ε) = x ∈ X | d(x,x0) < ε (2-9)

Vizinhança é qualquer subconjunto deX (aberto ou fechado) contendo

uma εvizinhança de x0.

Outro conceito importante é o de espaço métrico completo. Uma

seqüencia xn em um espaço métrico X é dita convergente se existe um

x ∈ X tal que:

limn→∞

d(xn,x) = 0 (2-10)

Sendo x denominado o limite da seqüencia xn. Uma seqüencia xné dita de Cauchy se, para qualquer ε > 0, existe um N(ε) > 0 tal que:

d(xn,x) < ε , para ∀ n > N(ε) (2-11)

Podese provar, Kreyszig [23], que toda seqüência convergente em um

espaço métrico é de Cauchy. Um espaço X é dito completo se toda seqüencia

de Cauchy em X converge.

Um espaço produto interno é um espaço vetorial X com um produto

interno denido em X. Um produto interno é uma aplicação com domínio

X x X e contradomínio no campo escalar K determinado por X, isto é,

para cada par de vetores x1 e x2 há um escalar associado:

〈x1,x2〉 = β , β ∈ K (2-12)

O produto interno satisfaz as seguintes operações:

1. 〈(x1 + x2),x3〉 = 〈x1,x3〉+ 〈x2,x3〉2. 〈αx1,x2〉 = α 〈x1,x2〉3. 〈x1,x2〉 = 〈x2,x1〉4. 〈x1,x1〉 ≥ 0

〈x1,x1〉 = 0 ⇐⇒ x1 = 0

(2-13)

DBD


23

A barra denota complexo conjugado. O produto interno dene a

seguinte norma associada:

‖x1‖ =√〈x1,x1〉 (2-14)

E a seguinte métrica:

d(x1,x2) = ‖x1 − x2‖ =√〈(x1 − x2), (x1 − x2)〉 (2-15)

Um espaço de Hilbert H é um espaço produto interno completo. O

espaço Euclidiano Rn é um espaço de Hilbert de dimensão nita.

Um dos conceitos mais importantes que emerge da denição de pro-

duto interno é o de ortogonalidade. Um elemento x1 ∈ X é dito ortogonal

a x2 ∈ X se:

〈x1,x2〉 = 0 (2-16)

A ortogonalidade entre x1 e x2 é representada por x1 ⊥ x2. Um

conjunto ortogonal Q em um espaço produto interno X é um subconjunto

Q ⊂ X cujos elemento são ortogonais aos pares. Os elementos nãonulos

de um conjunto ortogonal são linearmente independentes, ou seja, dados

os elementos x1,x2, ..,xn e os escalares α1, α2, .., αn, a combinação linear

α1x1 + α2x2 + ..αnxn, só será igual a zero se α1 = α2 = .. = αn = 0.

Um conjunto ortonormal P é um conjunto ortogonal cuja norma dos

elementos é unitária:

〈x1,x2〉 =

0 se x1 6= x2

1 se x1 = x2(2-17)

Os conjuntos ortonormais de interesse em espaços de Hilbert são

aqueles que têm um número suciente de elementos, de maneira que todo

elemento do espaço possa ser representado, ou aproximado, através do

uso deste conjunto. Denese um conjunto ortonormal total P o conjunto

capaz de gerar todas as combinações lineares dos elementos do espaço.

Podese provar, Kreyszig [23], que sempre existe um conjunto ortonormal

total em um espaço de Hilbert H 6= 0. Vamos tratar aqui apenas dos

espaços separáveis, ou seja, aqueles que têm uma base enumerável de vetores

ortonormais.

Qualquer elemento x ∈ H pode ser escrito da forma:

x =∞∑

n=1

αnen (2-18)

DBD


24

Sendo αn uma seqüência de escalares e en uma base ortonormal

en ⊂ H. en é um subconjunto enumerável de H. A equação (2-18)

também pode ser escrita como:

limn→∞

‖x− (α1e1 + α2e2 + ..+ αnen)‖ = 0 (2-19)

en forma uma base de representação de qualquer elemento de H. A

convergência da expansão é garantida pela relação de Parseval:

∞∑n=1

| 〈x, en〉 |2 = ‖x‖2 (2-20)

A vantagem de se ter uma base é que os coecientes de expansão da

equação (2-18) podem ser determinados fazendose o produto interno do

vetor por cada um dos elementos da base.

〈x, ei〉 =

⟨(∞∑

n=1

αnen

), ei

⟩=

∞∑n=1

αn 〈en, ei〉 = αi (2-21)

Desta forma a equação (2-18) pode ser reescrita como:

x =∞∑

n=1

〈x, en〉 en (2-22)

〈x, en〉 é chamado de coeciente de Fourier de x.

Dadas duas funções f e g contínuas por partes denidas no intervalo

[0, L], um produto escalar pode ser denido por:

〈f, g〉 =

∫ L

0

f(x)g(x)dx (2-23)

A barra denota complexo conjugado. A partir do produto interno

podese obter a seguinte norma:

‖f‖ =

(∫ L

0

|f(x)|2dx)1/2

(2-24)

Sendo f(x)f(x) = |f(x)|2.Um espaço de Hilbert H pode ser representado como uma soma direta

de um subespaço fechado Y e seu complemento ortogonal Z: Y ⊥ = z ∈H |Z ⊥ Y :

X = Y ⊕ Z (2-25)

DBD


25

Este resultado também é referido como Teorema da Projeção, Kreyszig

[23]. Explicando de outra forma: estando a solução em um espaço de Hilbert:

x =∞∑

n=1

αnen, ao tentar aproximála com um número determinado de

elementos, N , do espaço:

x =N∑

n=1

αnen︸︷︷︸xN

+erroN (2-26)

O erro da aproximação é ortogonal ao espaço gerado pelos termos da

aproximação, Figura 2.1.

Solução

Aproximação - XN

erroN

Figura 2.1: Representação do Teorema da Projeção

O Método de Galerkin, que será descrito na seção 2.5, nada mais é do

que o Teorema da Projeção.

2.3Equacionamento

Esta seção tem como referências básicas Rosenberg [33] e Meirovitch

[26]. Das três leis enunciadas por Isaac Newton (1642 1727), a segunda

é a mais utilizada e a mais importante. Antes de Newton, Galileo (1564

1642) já havia desenvolvido os conceitos de aceleração, inércia e referencial

inercial.

Segunda lei de Newton:

Esta lei foi formulada para uma única partícula, mas pode ser esten-

dida para um sistema de partículas e corpos rígidos. O somatório das forças

que atuam em uma partícula é igual à massa da partícula (mi) vezes a

DBD


26

aceleração da partícula (ai) em relação a um referencial inercial (xyz). A

equação de movimento de uma partícula mi é dada por:

Fi + fi +N∑

j=1j 6=i

fij = miai (2-27)

Sendo:

N o número de partículas;

fi as forças de vínculo;

fij a força entre as partículas i e j

Fi a força externa.

A equação (2-27) representa a relação entre as forças resultantes e

o movimento de cada partícula de um sistema. A Mecânica Newtoniana

é também conhecida como Mecânica Vetorial por lidar com grandezas

vetoriais como deslocamento e força.

Quando um sistema tiver restrições de movimento (vínculos) apare-

cerão forças de reação (terceira lei de Newton), fi. Dependendo da com-

plexidade do sistema estas forças podem ser complicadas de calcular. O

Princípio de D'Alembert resolve este problema.

Princípio de D'Alembert:

D'Alembert (17171783), de uma maneira engenhosa, estendeu o

Princípio dos Trabalhos Virtuais para sistemas dinâmicos, produzindo assim

o primeiro Princípio Variacional da Dinâmica. Rearrumando a equação (2-

27), Segunda Lei de Newton:

Fi + fi +N∑

j=1j 6=i

fij −miai = 0 (2-28)

Em um sistema em equilíbrio estático, o Princípio dos Trabalhos

Virtuais, originado por Bernoulli, diz que o trabalho realizado pelas forças

de vínculos em um deslocamento virtual, compatível com os vínculos

(restrições) do sistema, é zero, ou seja:

N∑i=1

fi.δri = 0 (2-29)

Sendo δri o deslocamento virtual ou variação admissível. Unindo o

Princípio dos Trabalhos Virtuais da Estática com o Princípio de D'Alembert

DBD


27

da Dinâmica temse:

N∑i=1

(Fi −miai).δri =N∑

i=1

fi.δri (2-30)

Segundo o Princípio de D'Alembert o trabalho realizado pelas forças

de vínculos pode ser descartado do problema dinâmico de um sistema de

partículas, ou seja:N∑

i=1

(Fi −miai).δri = 0 (2-31)

O princípio de D'Alembert, assim como a segunda lei de Newton, tem

uma abordagem vetorial e usa coordenadas cartesianas para descrever as

dinâmicas.

Equações de Movimento de Lagrange:

Lagrange (17361813) desenvolveu um tratamento geral de sistemas

dinâmicos formulado por meio de quantidades escalares: Energia cinética

(T ) e trabalho das forças externas (W ). Dependendo da complexidade do

sistema a aplicação direta da segunda lei de Newton se torna impraticável.

Na Mecânica Lagrangeana, ao contrário da Mecânica Newtoniana, o

conceito de coordenadas inclui também coordenadas mais abstratas, não

necessariamente cartesianas. Para descrever um sistema dinâmico com n

graus de liberdade são necessárias pelo menos n coordenadas indepen-

dentes. Tais coordenadas independentes são chamadas de coordenadas gen-

eralizadas.

Em muitos problemas a descrição do movimento por coordenadas

cartesianas xi, yi, zi (i = 1, 2, .., n) não gera um sistema com todas coor-

denadas independentes. Nestes casos é aconselhável descrever o movimento

através de coordenadas generalizadas.

As Equações de Lagrange são de extrema importância na Mecânica

Analítica. Elas representam as equações de movimento de um sistema

dinâmico em termos das coordenadas generalizadas. O Lagrangeano de um

sistema, L, pode ser denido como:

L = T − V (2-32)

No caso de sistemas conservativos a equação de Lagrange é dada por:

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi= 0 (2-33)

DBD


28

Sendo qi a iésima coordenada generalizada. Para sistemas não con-

servativos, a equação de Lagrange é dada por:

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi= Qi (2-34)

SendoQi a força não conservativa associada à coordenada generalizada

qi.

2.4Problema Modelo

Um problema modelo é analisado nesta seção. O objetivo é introduzir

os conceitos de modos de vibração, freqüências naturais e superposição.

Considere a barra representada na Figura 2.2:

A

x=0 x=L

f(x,t)

Figura 2.2: Barra xa em um extremidade e livre na outra

A equação diferencial que descreve o movimento longitudinal de uma

barra pode ser obtida aplicandose a segunda lei de Newton em um elemento

diferencial, Figura 2.3.

i i i

Figura 2.3: Elemento diferencial de uma barra

ρ(x)A(x)dx∂2u(x, t)

∂t2=

(Pi(x, t) +

∂Pi(x, t)

∂xdx

)−Pi(x, t)+f(x, t) (2-35)

Sendo

u(x, t) o deslocamento longitudinal;

Pi(x, t) a força longitudinal interna;

DBD


29

f(x, t) a força longitudinal externa;

A(x) a área da seção transversal;

ρ(x) a massa por unidade de comprimento.

O modelo de barra leva em consideração apenas o deslocamento na

direção longitudinal da barra.

Pela lei de Hooke:Pi(x, t)

A(x)= E(x)ε(x, t)

Sendo E(x) o módulo de elasticidade do material e ε(x, t) =∂u

∂xa

deformação, logo:

ρ(x)A(x)∂2u(x, t)

∂t2=

∂

∂x

(A(x)E(x)

∂u(x, t)

∂x

)+ f(x, t) (2-36)

Considerando a seção transversal da barra (A) e as propriedades do

material (E e ρ) constantes em x, e considerando f(x, t) = 0, podese

escrever:∂2u(x, t)

∂t2= c2

∂2u(x, t)

∂x2(2-37)

Sendo c2 = E/ρ. A equação (2-37) é a equação de movimento da barra.

As condições de contorno são dadas por:

u(0, t) = 0 EA∂u

∂x(L, t) = 0 (2-38)

As condições iniciais são dadas por:

u(x, 0) = u0(x)∂u

∂t(x, 0) = v0(x) (2-39)

A primeira condição de contorno, u(0, t) = 0, é uma condição de

contorno essencial (ou de Dirichlet, ou cinemática, ou geométrica), [41].

Esta condição deve ser imposta. A barra está xa na extremidade x = 0,

ou seja, este ponto não se move.

A segunda condição de contorno,∂u

∂x(L, t) = 0, é uma condição de

contorno natural (ou de Neumann, ou dinâmica), [41]. A barra está livre na

extremidade x = L, ou seja, a força de reação neste ponto é zero.

As condições de contorno serão tratadas de forma distinta, como será

visto na seção 2.5. Uma delas, u(0, t) = 0, será incorporada na denição do

espaço.

O problema (2-37, 2-38 e 2-39) será resolvido em três passos:

DBD


30

1. O Método de Separação de Variáveis é usado para obter, em princípio,

duas EDOs.

2. As soluções para as duas Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs)

que satisfazem as condições de contorno são determinadas.

3. A solução do problema é composta através da superposição de

soluções. Esta etapa é necessária porque, individualmente, as pro-

postas não satisfazem as condições iniciais.

1. Primeiro passo Método de Separação de Variáveis.

Solução proposta da forma:

u(x, t) = X(x)T (t) (2-40)

A variável u que depende de x e t é separada no produto de duas

funções: X que só depende de x e T que só depende de t. Substituindo a

equação (2-40) na equação (2-37) obtémse:

XT = c2X ′′T ∴X ′′

X=

T

c2T= −λ2 (2-41)

Sendo T =dT

dte X ′ =

dX

dx

A equação inicial, formulada como uma Equação Diferencial Parcial

(EDP), foi separada em duas EDOs:

T + λ2c2T = 0 (2-42)

X ′′ + λ2X = 0 (2-43)

2. Segundo passo Determinação das soluções das equações (2-42) e

(2-43) que satisfaçam as condições de contorno do problema:

u(0, t) = X(0)T (t) = 0 ∴ X(0) = 0

EA∂u(L, t)

∂x= EA

dX(L)

dxT (t) = 0 ∴

dX

dx

∣∣∣∣x=L

= 0

(2-44)

Esse problema: Achar os pares (λ,X), para X 6= 0, tais que X ′′ +

λ2X = 0, X(0) = 0 e X ′(0) = 0; é um problema de autovalor. (X(x) pode

DBD


31

se anular em alguns pontos do intervalo [0, L]). A solução geral da equação

(2-43) é dada por:

X(x) = C1cos(λx) + C2sen(λx) (2-45)

Sendo C1 e C2 coecientes a serem determinados a partir das condições

de contorno. Substituindo a primeira condição de contorno, X(0) = 0, na

equação (2-45) obtémse C1 = 0, logo:

X(x) = C2sen(λx) (2-46)

Pela segunda condição de contorno:

EAdX

dx

∣∣∣∣x=L

= (EA)λC2cos(λL) = 0 (2-47)

Como buscase uma solução não trivial, necessariamente, C2 6= 0 e

λ 6= 0. Neste ponto surge uma restrição que não fôra imposta anteriormente:

λ deve satisfazer a seguinte equação,

cos(λL) = 0 ∴ λnL =(2n− 1)π

2, sendo n = 1, 2, 3, .. (2-48)

Procuravase uma solução, mas neste ponto notase que existem

innitas soluções para o problema, pois n = 1, 2, 3, ...

λn =(2n− 1)π

2L(2-49)

As soluções da equação (2-43) que satisfazem as condições de contorno

(2-38) são:

Xn(x) = C2nsen (λnx) n = 1, 2, 3, ... (2-50)

O resultado contempla os λn possíveis, tal que X 6= 0. A função

nula não interessa pois procurase uma solução que permita satisfazer as

condições iniciais.

Reescrevendo as equações (2-42) e (2-43):

Tn + λ2nc

2Tn = 0 (2-51)

X ′′n + λ2

nXn = 0 (2-52)

DBD


32

A solução geral da equação (2-51) é dada por:

Tn(t) = C3ncos(λnct) + C4nsen(λnct) (2-53)

As soluções são dadas por: un(x, t) = Xn(x)Tn(t). Multiplicando as

equações (2-50) e (2-53):

un(x, t) = sen(λnx)(C5ncos(cλnt) + C6nsen(cλnt)) (2-54)

Sendo C5n = C2nC3n e C6n = C2nC4n coecientes a serem determina-

dos a partir das condições iniciais.

Essas equações, 2-54, não satisfazem, necessariamente, as condições

iniciais. Para contornar este fato, surge a id'eia de somar todas as soluções,

ou seja, fazer uma superposição das soluções.

3. Terceiro Passo Superposição.

A solução geral da equação de movimento da barra (2-37) que satisfaz

as condições de contorno (2-38) para qualquer condição inicial é dada pela

superposição das soluções:

un(x, t) =∞∑

n=1

sen(λnx) (C5ncos(cλnt) + C6nsen(cλnt)) (2-55)

Sendo os coecientes C5n e C6n determinados a partir das condições

iniciais. Considere a primeira condição inicial u(x, 0) = u0(x). Substituindo

a na equação (2-55) chegase a:

u0(x) =∞∑

n=1

C5nsen(λnx) (2-56)

Multiplicando a equação (2-56) por sen(λmx) e integrando no intervalo

[0, L], obtémse:

∫ L

0

u0(x)sen(λmx)dx =

∫ L

0

∞∑n=1

C5nsen(λnx)sen(λmx)dx (2-57)

Pela propriedade de ortogonalidade da função seno, podese escrever:

DBD


33

∫ L

0

sen

((2n− 1)π

2Lx

)sen

((2m− 1)π

2Lx

)dx =

L/2 para n = m

0 para n 6= m

(2-58)

Todos os termos dentro dos somatórios da equação (2-57) serão zero,

exceto o termo n = m. Logo o coeciente C5n pode ser escrito como:

C5n =2

L

∫ L

0

u0(x)sen(λnx)dx (2-59)

Agora considere a condição inicial u(x, 0) = v0(x). Substituindoa na

equação (2-55) chegase a:

v0(x) =∞∑

n=1

C6ncλnsen(λnx) (2-60)

Multiplicando a equação (2-60) por sen(λmx) e integrando no intervalo

[0, L], obtémse:

∫ L

0

v0(x)sen(λmx)dx =

∫ L

0

∞∑n=1

C6ncλnsen(λnx)sen(λmx)dx (2-61)

Usando novamente as propriedades de ortogonalidade chegase ao

coeciente C6n:

C6n =2

Lcλn

∫ L

0

v0(x)sen(λnx)dx (2-62)

Portando a solução geral da equação de movimento de uma barra

xa em uma extremidade e livre na outra é dada pela equação (2-55) com

coecientes estabelecidos pelas expressões (2-59) e (2-62).

Reescrevendo a equação (2-55) de uma forma compacta:

u(x, t) =∞∑

n=1

an(t)φn(x) (2-63)

Sendo an(t) = (C5ncos(cλnt) + C6nsen(cλnt)) coecientes temporais

que dependem das condições iniciais, e φn(x) = sen(λnx) os modos de

vibração do sistema.

Modos de vibração e freqüências naturais:

Modo de vibração é uma conguração na qual todos os pontos de um

sistema vibram em uma freqüência única (freqüência natural). No problema

DBD


34

analisado os modos de vibração são dados por:

φn(x) = sen

((2n− 1)πx

2L

)= sen (λnx) (2-64)

Freqüências naturais são chamadas de freqüências de ressonância.

Se o sistema é excitado em uma destas freqüências ele tem sua resposta

amplicada. As freqüências naturais são dadas pela expressão:

ωn =(2n− 1)πc

2L= cλn (2-65)

Os modos de vibração e as freqüências naturais carregam informações

fundamentais de sistemas dinâmicos. No capítulo 4 os modos e as freqüên-

cias naturais são obtidos para um sistema dinâmico discreto.

Modo de corpo rígido:

Sistemas nãoxados, apresentam movimento de corpo rígido, isto é,

um deslocamento do corpo sem que haja deformação elástica. Por exemplo,

uma barra livre nas duas extremidades, cujas condições de contorno são

dadas por:

EA∂u

∂x(0, t) = 0 EA

∂u

∂x(L, t) = 0 ∴ EA

dX

dx

∣∣∣∣x=0,L

= 0 (2-66)

A derivada da equação (2-45) é dada por:

X ′(x) = −C1λsen(x) + C2λcos(x) (2-67)

Substituindo a primeira condição de contorno, X ′(0) = 0, na equação

(2-67):

X ′(0) = −C1λsen(0)︸︷︷︸=0

+C2λ cos(0)︸︷︷︸=1

= 0 ∴ C2 = 0 (2-68)

Substituindo a segunda condição de contorno, X ′(L) = 0, na equação

(2-67):

X ′(L) = −C1λsen(λL) = 0 (2-69)

O valor de λ pode ser zero, pois nesse caso X|λ=0 6= 0. O sistema é

positivo semidenido e devido a este fato é possível haver autovalor igual

a zero, ou seja, freqüência natural igual a zero. Os modos relacionados à

freqüência zero são denominados modos de corpo rígido. A equação (2-43):

DBD


35

X ′′ + λ2X = 0, para λ = λ0 = 0 e X = X0, pode ser escrita como:

d2X0(x)

dx2= 0 (2-70)

Integrando duas vezes a equação (2-70) obtémse:

X0(x) = A0 (2-71)

Sendo A0 uma constante de integração. Normalizando o modo de

forma que∫ L

0ρX2

0dx = 1:

X0(x) =1√ρL

(2-72)

X0 representa um modo de corpo rígido correspondente à freqüência

natural, ω0 = 0, Figura 2.4. Estes modos ocorrem em sistemas sem restrição

onde não há forças exercidos por suportes.

Sistema Discreto

Resposta

PrecisãoSatisfeita?

Aumentar número de elementosda base usados na aproximação

ok!

Não

Sim

x=0

x=L

Lr

1

Figura 2.4: Modo de corpo rígido de uma barra com as duas extremidades

livres

Aproximação:

Os innitos modos de vibrações do sistema, φn, são funções do espaço

C[0, L]. Os modos de vibração geram um espaço de Hilbert, que é o

completamento de C[0, L].

A solução do problema de vibração longitudinal da barra está neste

espaço e ela é aproximada quando se escolhe um número nito de modos

para representar a solução:

uN(·, t) =N∑

n=1

an(t)φn(x) (2-73)

DBD


36

Sendo uN(·, t) a aproximação de u(·, t) com N modos de vibração.

limN→∞

‖uN(·, t)− u(·, t)‖ = 0 (2-74)

A convergência é garantida pelas propriedades dos espaços de Hilbert,

introduzidas na seção 2.2. Dependendo da dinâmica em análise serão

necessários mais ou menos modos para satisfazer uma determinada precisão.

O erro da aproximação será a soma dos termos que não forem considerados

no cálculo.

erroN(·, t) =∞∑

n=N+1

un(·, t) (2-75)

Sendo erroN o erro da resposta dinâmica para n = N . Estabelecida

uma precisão, é possível calcular o número de termos necessários para se

obter uma aproximação dentro da precisão requerida.

Exemplo 2.1: Considere uma barra de aço (E=200 MPa e

ρ=7850kg/m3) com um metro de comprimento, xa em uma extremidade e

livre na outra. Os modos e freqüências naturais podem ser calculados pelas

seguintes expressões, encontradas em [18] e [3]:

Os modos de vibração:

φn(x) = sen(λnx) (2-76)

Sendo n = 1, 2, 3, .. e:

λn =(2n− 1)π

2L(2-77)

As freqüências naturais:

ωn = cλn (2-78)

A Figura 2.5 mostra os dez primeiros modos de vibração calculados.

DBD


37

Figura 2.5: Dez primeiros modos de vibração de uma barra xa em uma

extremidade e livre na outra

As dez primeiras freqüências naturais calculadas (rad/s) são:

7.930

23.790

39.640

55.500

71.360

87.220

103.070

118.930

134.790

150.640

Essas aproximações foram obtidas utilizandose o programa

modal_barra (ver Anexo E). Este programas também calcula os mo-

dos de vibração e as freqüências naturais de uma barra xa nas duas

extremidade pelas seguintes expressões encontradas em [18] e [3]:

DBD


38

Modos de vibração:

φn(x) = sen(λnx) (2-79)

Sendo:

λn =nπ

L(2-80)

Freqüências naturais:

ωn = cλn (2-81)

A Figura 2.6 mostra os dez primeiros modos de vibração calculados.

Figura 2.6: Dez primeiros modos de vibração de uma barra xa nas duas

extremidades

As dez primeiras freqüências naturais calculadas (rad/s) são:

DBD


39

15.860

31.710

47.570

63.430

79.290

95.140

111.000

126.860

142.720

158.570

2.5Formulação Fraca

As referências básicas usadas nesta seção foram Strang [41] e Hughes

[17]. Para introduzir o conceito de formulação fraca será usado um exemplo

unidimensional de um problema de valor de contorno, equação (2-82).

− d

dx

(p(x)

du

dx

)+ q(x)u = f(x) , 0 ≤ x ≤ 1 (2-82)

Sendo as funções u, p, q e f denidas no intervalo [0, 1]. As condições

de contorno do problema são dadas por:

u(0) = 0du

dx(1) = 0 (2-83)

Este é um problema pertencente à classe de problemas de Sturm-Liouville.

A forma mais simples deste problema é, para p(x) = 1 e q(x) = 0:

d2u

dx2+ f(x) = 0 (2-84)

Será suposto que f tenha energia nita, ou seja:∫ 1

0

(f(x))2 dx <∞ (2-85)

A expressão (2-85) diz que f pode ser qualquer função contínua por

partes.

O espaço de funções que satisfaz a equação (2-85) é notado por H0

(=L2(0, L)), sendo o índice sobrescrito um indicativo do número requerido

de derivadas com energia nita para a função f . Neste caso, f não precisa

ter derivada com energia nita.

DBD


40

Uma função f que pertence ao espaço de funções denotado por H1C ,

signica que a primeira derivada de f deve ter energia nita, ou seja:∫ 1

0

(df

dx

)2

dx <∞ (2-86)

O índice subscrito, C, se refere às condições de contorno u(0) = 0 e

u′(L) = 0.

O problema da equação (2-84) com condições de contorno (2-83)

como está denido até agora é conhecido como formulação forte. Alguns

métodos de aproximação usam a formulação forte do problema. O mais

conhecido e notável é o Método das Diferenças Finitas. O MEF requer uma

formulação diferente, a formulação fraca.

Partindo de uma formulação forte, para chegar à formulação fraca

são necessários 2 passos:

1. Produto interno da equação (2-84) com w.

⟨d2u

dx2, w

⟩+ 〈f, w〉 = 0 (2-87)

Sendo w uma função teste. A equação (2-87) também pode ser escrita

como: ∫ 1

0

d2u(x)

dx2w(x)dx+

∫ 1

0

f(x)w(x)dx = 0 (2-88)

2. Integração por partes da equação (2-88). Lembrando:∫ 1

0udv =

uv|10 −∫ 1

0vdu:

∫ 1

0

du

dx

dw

dxdx− w

du

dx

∣∣∣∣10

=

∫ 1

0

fwdx (2-89)

Observe o termo em destaque da equação (2-89). As condições de

contorno são incorporadas na equação através deste termo. Anteriormente

foram denidas duas condições de contorno, a natural e a essencial, agora

será explicada a importâncias dessas denições.

A função teste, w, deve satisfazer a condição de contorno essencial,

u(0) = 0, mas não precisa satisfazer a condição de contorno natural,

u′(1) = 0. Isto dene o espaço de funções admissíveis.

Outro fato vantajoso da formulação fraca é que a exigência quanto às

derivadas da função u é de derivada de primeira ordem, enquanto que na

formulação forte u precisava ter derivada de segunda ordem.

DBD


41

Portanto, na formulação fraca, as funções u e w pertencem ao espaço

denotado por H1E. O índice subscrito E se refere à condição de contorno

essencial.

De uma forma geral, se na formulação fraca a exigência é de derivada

de ordem N , as condições de contorno essenciais aparecem com derivadas,

no máximo, de ordem (N − 1). Comparativamente, na formulação forte

a exigência seria de derivadas de ordem 2N . Resumindo, o problema na

formulação fraca é denido como:

Determinar u ∈ H1E, tal que:∫ 1

0

du

dx

dw

dxdx− w(1)

du

dx(1)︸︷︷︸

=0

+w(0)︸︷︷︸=0

du

dx(0) =

∫ 1

0

fwdx , ∀w ∈ H1E

(2-90)

Ou, ∫ 1

0

du

dx

dw

dxdx =

∫ 1

0

fwdx , ∀w ∈ H1E(0, L)

w ∈ H1(0, L) : w(0) = 0

(2-91)

Pelas condições de contorno naturais e essenciais, os termos que

carregam as condições de contorno da equação são zero.

Através da formulação fraca, é possível aproximar a solução de um

problema através de funções mais simples, com exigência menor quanto ao

número de derivadas. H1E ⊂ H2

C , observe a Figura 2.7.

Espaço de funções para formulação fraca

Espaço de funções para formulação forte

Figura 2.7: Espaço de soluções

Dado um problema na formulação fraca, caso não haja como obter

uma solução em forma analítica, devese aproximar u. Será considerada

DBD


42

uma aproximação da forma:

uN(x) =N∑

i=1

aiφi(x) (2-92)

Sendo ai coecientes a serem determinados a partir de condições su-

plementares e φi funções linearmente independentes, previamente denidas.

N é a dimensão do espaço gerado por φ1, φ2, .., φN . Este espaço de funções

está contido no espaço H1E.

Esta aproximação gera um erro:

u(x) = uN(x) +∞∑

i=N+1

aiφi(x)︸︷︷︸erroN

(2-93)

Reescrevendo a equação (2-90) com a aproximação:∫ 1

0

duN(x)

dx

dw(x)

dxdx−

∫ 1

0

f(x)w(x)dx =

∫ 1

0

d(erroN(x))

dx

dw(x)

dxdx (2-94)

A função teste, w, será aproximada por ψ1, ψ1, .., ψN . Assim como

φi, estas funções são linearmente independentes e geram um espaço de

funções que está contido no espaço H1E. Substituindo a aproximação (2-92)

na equação (2-94) chega-se a:

ai

∫ 1

0

dφi(x)

dx

dψi(x)

dxdx−

∫ 1

0

fψi(x)dx =

∫ 1

0

d(erroN(x))

dx

dψi(x)

dxdx (2-95)

No Método dos Resíduos Ponderados, [26], o erro deve ser ortogonal

ao espaço formado pelas funções teste usadas para representar o problema.

Esta funções teste formam uma base para a projeção da dinâmica. Resíduos

Ponderados é um nome genérico dado a uma família de métodos que utiliza

o Teorema da Projeção, descrito na seção 2.2.

DBD


43

Espaço das funções teste

Erro

Figura 2.8: Erro ortogonal ao espaço formado pelas funções teste usadas na

aproximação

Isto signica que:∫ 1

0

d(erroN(x))

dx

dψi(x)

dxdx = 0 (2-96)

A equação (2-95) ca:

ai

∫ 1

0

dφi(x)

dx

dψi(x)

dxdx−

∫ 1

0

fψi(x)dx = 0 (2-97)

Os diversos métodos se distinguem na escolha das funções teste, ψi e

das funções aproximantes φi.

O método de BubnovGalerkin é conhecido como o método simples de

Galerkin. Neste método o espaço das funções teste e funções aproximantes

é idêntico:

ψi = φi (2-98)

A equação (2-99) mostra a formulação resultante após a aplicação do

Método de Galerkin no problema da equação (2-84):

ai

∫ 1

0

dφi(x)

dx

dφi(x)

dxdx−

∫ 1

0

fφi(x)dx = 0 (2-99)

2.6Operadores Diferenciais

DBD


44

2.6.1Operador Autoadjunto

Um operador L é dito autoadjunto se:

〈Lu,w〉 = 〈u, Lw〉 (2-100)

Sendo u e w funções teste que satisfazem todas as condições de

contorno. Se L é simétrico L = LT .

2.6.2Sistema Conservativo

Considere o problema da barra xa em uma extremidade e livre na

outra discutido na seção 2.4. Aplicando o Método de Galerkin na equação

de movimento de uma barra:

ρA∂2u(x, t)

∂t2− EA

∂2u(x, t)

∂x2= f(x, t) (2-101)

Primeiro a equação de movimento da barra é projetada na base

formada pelas funções teste:∫ L

0

[ρA

∂2u(x, t)

∂t2− EA

∂2u(x, t)

∂x2− f(x, t)

]φj(x)dx = 0 (2-102)

As funções teste, φi, geram um espaço de Hilbert H1[0, L].

Integrando por partes a equação (2-102):

ρA

∫ L

0

∂2u(x, t)

∂t2φj(x)dx+ EA

∫ L

0

∂u(x, t)

∂x

dφj(x)

dxdx+

−EA ∂u(x, t)

∂xφj(x)

∣∣∣∣L0

=

∫ L

0

f(x, t)φj(x)dx

(2-103)

Desenvolvendo o termo em destaque na equação (), chegase a:

−EA ∂u(x, t)

∂xφj(x)

∣∣∣∣L0

= −EA ∂u

∂x(x = L)︸︷︷︸

=0

φj(L) + EA∂u

∂x(x = 0)φj(0)︸︷︷︸

=0

= 0

(2-104)

Devido à condição de contorno natural,∂u

∂x(L) = 0. E devido à

condição de contorno essencial, φj(0) = 0. Fazendo uma aproximação na

DBD


45

forma:

uN(x, t) =N∑

i=1

ai(t)φi(x) (2-105)

Substituindo a aproximação (2-105) na equação (2.6.2), já incorpo-

rando as condições de contorno e considerando o erro ortogonal aos termos

da aproximação, chegase a:

ai(t)ρA

∫ L

0

φi(x)φj(x)dx+ ai(t)EA

∫ L

0

dφi(x)

dx

dφj(x)

dxdx =

=

∫ L

0

fi(x, t)φj(x)dx

(2-106)

Ou:

M(φi, φj)ai(t) +K(φi, φj)ai(t) = F (φj) (2-107)

O operador bilinear de massa ou inercial, M(φi, φj), o operador

bilinear de deformação ou elástico, K(φi, φj) e o operador linear das forças

externas, F (φj), são denidos da seguinte forma:

M(φi, φj) = ρA

∫ L

0

φi(x)φj(x)dx K(φi, φj) = EA

∫ L

0

dφi(x)

dx

dφj(x)

dxdx

F (φj) =

∫ L

0

f(x, t)φj(x)dx

(2-108)

Com a discretização, os operadores, M(φi, φj) e K(φi, φj) se tornam

matrizes e F (φj) um vetor:

Mjiai(t) +Kjiai(t) = Fi(t) ∴

M a(t) +Ka(t) = F(t)

(2-109)

Sendo i = 1, 2, .., N e j = 1, 2, .., N . Fazendo o paralelo com sistemas

discretos, sistemas auto-adjuntos são aqueles que possuem matrizes de

massa (M) e de rigidez (K) simétricas, [26, 34]. Isto implica no sistema

gerar autovalores e autovetores reais, propriedade muito importante que

será explorada mais adiante.

2.6.3Sistema com Dissipação

Modelar dissipação é um grande desao e não existe, até hoje, uma

teoria satisfatória. Geralmente, em uma abordagem inicial, fazse um mo-

delo supondo que o sistema é conservativo e a dissipação é introduzida

DBD


46

a posteriori. Essa é a abordagem que será usada. Será considerado que a

dissipação é viscosa, o caso mais simples, pois leva a um modelo linear.

Existe uma diculdade grande para conseguir identicar o amortecimento

de uma estrutura. Em muitos casos aproximações são feitas considerando o

amortecimento proporcional ou de Rayleigh (1877):

Cp = αM + βK (2-110)

No capítulo 4 serão comentadas outras vantagens dessa aproximação.

Trabalhos como o de Adhikari [1] e Phani [29] lidam com a mode-

lagem de dissipações e maneiras de identicar o amortecimento tanto ex-

perimentalmente quanto numericamente. Nesses trabalhos modelos mais

complicados de amortecimento são propostos, como amortecimentos não

proporcionais e amortecimentos locais.

Nesta dissertação só será visto o amortecimento viscoso. No capítulo

4 será considerado um caso de amortecimento nãoproporcional e suas

implicações para o sistema dinâmico.

Inserindo uma dissipação na equação de uma barra:

ρA∂2u(x, t)

∂t2+ c

∂u(x, t)

∂t− EA

∂2u(x, t)

∂x2= f(x, t) (2-111)

Sendo c o coeciente de amortecimento.

Aplicando o Método de Galerkin, primeiro a equação de movimento

da barra é projetada na base formada pelas funções teste:∫ L

0

[ρA

∂2u(x, t)

∂t2+ c

∂u(x, t)

∂t− EA

∂2u(x, t)

∂x2− f(x, t)

]φj(x)dx = 0

(2-112)

As funções teste, φi, geram um espaço de Hilbert H1[0, L].

Integrando por partes a equação (2-112):

ρA

∫ L

0

∂2u(x, t)

∂t2φj(x)dx+ EA

∫ L

0

∂u(x, t)

∂x

dφj(x)

dxdx

+c

∫ L

0

∂u(x, t)

∂tφj(x)dx −EA

∂u(x, t)

∂xφj(x)

∣∣∣∣L0

=

∫ L

0

f(x, t)φj(x)dx

(2-113)

DBD


47

Desenvolvendo o termo em destaque na equação (2-113), chegase a:

−EA ∂u(x, t)

∂xφj(x)

∣∣∣∣L0

= −EA ∂u

∂x(x = L)︸︷︷︸

=0

φj(L) + EA∂u

∂x(x = 0)φj(0)︸︷︷︸

=0

= 0

(2-114)

Devido à condição de contorno natural,∂u

∂x(L) = 0. E devido à

condição de contorno essencial, φj(0) = 0.

Fazendo uma aproximação na forma:

uN(x, t) =N∑

i=1

ai(t)φi(x) (2-115)

Substituindo a aproximação (2-115) na equação (2-113), já incorpo-

rando as condições de contorno e considerando o erro ortogonal aos termos

da aproximação, chegase a:

M(φi, φj)ai(t) + C(φi, φj)ai(t) +K(φi, φj)ai(t) = F (φj) (2-116)

O operador de massa ou inercial,M(φi, φj), o operador de deformação

ou elástico, K(φi, φj), o operador de dissipação, C(φj), e o operador das

forças externas, F (φj), são denidos da seguinte forma:

M(φi, φj) = ρA

∫ L

0

φi(x)φj(x)dx , K(φi, φj) = EA

∫ L

0

dφi(x)

dx

dφj(x)

dxdx

F (φj) =

∫ L

0

f(x, t)φj(x)dx , C(φi, φj) = c

∫ L

0

φi(x)φj(x)dx

(2-117)

Repare que em (2-117) temse que: C(φi, φj) = αM(φi, φj), ou seja, o

modelo de dissipação considerado é o de amortecimento proporcional. Com

a discretização o sistema matricial ca:

Mjiai(t) + Cjiai(t) +Kjiai(t) = Fi(t) ∴

M a(t) + Ca(t) +Ka(t) = F(t)

(2-118)

Sendo i = 1, 2, .., N e j = 1, 2, .., N .

DBD


48

2.7Convergência das Aproximações

Usando a Teorema da Projeção e fazendo as aproximações como

foram demonstradas nas seções anteriores, garantese que a aproximação da

solução é representada por elementos de um espaço de Hilbert. Quanto mais

elementos forem incorporados na aproximação, mais próxima a aproximação

está da solução.

Podese querer mais ou menos rigor nas aproximações, porém, para

quanticar a precisão de uma aproximação devese calcular o erro.

Uma aproximação com cinco modos pode ser boa ou ruim dependendo

da precisão que se exige para a aproximação. Para maiores detalhes sobre

cálculo de erro consultar [8], [6], [22] e [17].

Considere que a solução de um problema é dada pelo escalar sexa, e

que a aproximação desta solução é dada por outro escalar saprox. O erro

absoluto é dado por:

eabs = |sexa − saprox| (2-119)

Esse erro absoluto depende do valor da solução, ou seja, ele varia se a

solução tem um valor maior ou menor.

O erro relativo é dado por:

erel =

∣∣∣∣sexa − saprox

sexa

∣∣∣∣ (2-120)

Para melhor analisar as aproximações, usase o erro percentual:

eperc =

∣∣∣∣sexa − saprox

sexa

∣∣∣∣ 100 (2-121)

Esse é o erro que será usado neste trabalho.

Erro das aproximações do coeciente de Rayleigh:

O erro da aproximação de um modo de vibração será computado pelo

coeciente de Rayleigh Ritz. Considere as energias cinética e potencial de

cada aproximação do modo de vibração:

Ti = 12ω2

i φTi Mφi Energia cinética do iésimo modo.

DBD


49

Vi = 12φT

i Kφi Energia potencial do iésimo modo.

Sendo ωi a iésima freqüência natural e K e M as matrizes de rigidez

e de massa do sistema, respectivamente. φi é o iésimo modo de vibração.

Observe que não é toda a massa do sistema que vai contribuir para a

energia cinética de determinado modo. Cada modo tem uma massa, um

amortecimento e uma rigidez que lhe é peculiar, isto é, dependem da forma

do modo. O coeciente de Rayleigh é dado por:

λ(φi) = ω2i =

φTi Kφi

φTi Mφi

=Vi

Ti

(2-122)

O erro percentual do iésimo modo de vibração é dado por:

eperc =

∣∣∣∣∣λ(N)i − λ

(N−1)i

λ(N)i

∣∣∣∣∣ 100 (2-123)

Sendo N o número de elementos da base usado na aproximação.

O erro é maior para os modos de maior ordem. Para ver maiores

detalhes, consulte [26, 34].

Erro das aproximações da resposta dinâmica de um ponto:

Para computar o erro da aproximação de uma resposta dinâmica de um

ponto será usado o conceito de norma. Considere uma função f de dimensão

n. A partir do produto interno podese obter a seguinte norma

‖f‖ =

(∫ L

0

|f(x)|2dx)1/2

(2-124)

A medida usada para computar o erro entre duas funções fN e f(N−1)

será o erro percentual da norma:

eperc =

∣∣∣∣‖f(N)‖ − ‖f(N−1)‖‖f(N)‖

∣∣∣∣ 100 (2-125)

Sendo N o número de elementos da base usados na aproximação.

O algoritmo para a convergência é mostrado na Figura 2.9:

DBD


50

Sistema Discreto

Resposta



ok!

Não

Sim

Figura 2.9: Algoritmo para convergência

2.8Conclusões

Este é o capítulo que contém os fundamentos básicos do trabalho.

Todos os outros capítulos se apóiam nas teorias aqui descritas. No próximo

capítulo dois métodos para a escolha da base de projeção da dinâmica são

discutidos.

DBD


3Escolha da Base de Projeção

3.1Introdução

A escolha da base de projeção para a dinâmica, formada pelas funções

teste do Método de Galerkin, é feita neste capítulo. Dois métodos são

discutidos: Método dos Modos Supostos e Método dos Elementos Finitos.

3.2Método dos Modos Supostos

Será considerado um problema de uma viga para exemplicar a

aplicação do Método dos Modos Supostos. Considere o elemento de viga

representado na Figura 3.1:

dw/dx

w

Figura 3.1: Viga de EulerBernoulli

O modelo de viga EulerBernoulli, equação (3-1), considera que as

seções retas da viga permanecem planas e perpendiculares à linha central

DBD


52

da viga, [26, 34].

ρ(x)A(x)∂2w(x, t)

∂t2+

∂2

∂x2

(E(x)I(x)

∂2w(x, t)

∂x2

)− ∂

∂x

(P (x, t)

∂w(x, t)

∂x

)=

= f(x, t)

(3-1)

Sendo:

w(x, t) o deslocamento transversal;

A(x) a área da seção transversal;

I(x) o momento de inércia da seção transversal;

E(x) o módulo de elasticidade (Young);

ρ(x) a massa por unidade de comprimento;

f(x, t) a força (transversal) por unidade de comprimento;

P (x, t) a força axial.

Considerando P (x, t) = 0 e A(x), I(x), E(x) e ρ(x) constantes:

ρA∂2w(x, t)

∂t2+

∂2

∂x2

(EI

∂2w(x, t)

∂x2

)= f(x, t) (3-2)

Será aplicado o Método de Galerkin. O primeiro passo do Método de

Galerkin é a projeção da equação de movimento, equação (3-2), na base

formada pelas funções teste:∫ L

0

[ρA

∂2w(x, t)

∂t2+

∂2

∂x2

(EI

∂2w(x, t)

∂x2

)− f(x, t)

]φj(x)dx = (3-3)

Integrando por partes a equação (3-3):∫ L

0

ρA∂2w(x, t)

∂t2φj(x)dx−

∫ L

0

dφj(x)

dx

∂

∂x

(EI

∂2w(x, t)

∂x2

)+

+ φj(x)∂

∂x

(EI

∂2w(x, t)

∂x2

)∣∣∣∣L0

=

∫ L

0

f(x, t)φj(x)dx

(3-4)

Integrando por partes novamente:∫ L

0

ρA∂2w(x, t)

∂t2φj(x)dx+

∫ L

0

EId2φj(x)

dx2

∂2w(x, t)

∂x2+

− EIdφj(x)

dx

∂2w(x, t)

∂x2

∣∣∣∣L0

+ φj(x)∂

∂x

(EI

∂2w(x, t)

∂x2

)∣∣∣∣L0

=

∫ L

0

f(x, t)φj(x)dx

(3-5)

DBD


53

Considere a viga representada na Figura 3.2:

Figura 3.2: Viga engastadalivre

As condições de contorno de uma viga engastada em uma extremidade

e livre na outra são:

Em x = 0 estão as condições de contorno essenciais:

w(0, t) = 0 ∴dφi

dx(0) = 0

∂w

∂x(0, t) = 0 ∴ φi(0) = 0

(3-6)

Estas condições de contorno devem ser respeitadas pelas funções teste,

como foi visto no capítulo 2. Em x = L estão as condições de contorno

naturais:

Q(L, t) = − ∂

∂x

(EI

∂2w

∂x2

)∣∣∣∣x=L

= 0 ∴∂2w

∂x2

∣∣∣∣x=L

= 0

Mf (L, t) = EI∂2w

∂x2

∣∣∣∣x=L

= 0 ∴∂3w

∂x3

∣∣∣∣x=L

= 0

(3-7)

Sendo Q a força cortante e Mf o momento etor. Em x = L, pela

liberdade total de movimento, Q = Mf = 0.

Desenvolvendo as partes da equação (3-5) que carregam as condições

de contorno, vericase que estes termos valem zero para o problema em

questão.

EIdφj(x)

dx

∂2w(x, t)

∂x2

∣∣∣∣L0

= EIdφj

dx(L)

∂2w

∂x2(L, t)︸︷︷︸

=0

−EI dφj

dx(0)︸︷︷︸

=0

∂2w

∂x2(0, t) = 0

(3-8)

DBD


54

φj(x)∂

∂x

(EI

∂2w(x, t)

∂x2

)∣∣∣∣L0

= EIφj(L)∂3w

∂x3(L, t)︸︷︷︸

=0

−EI φj(0)︸︷︷︸=0

∂3w

∂x3(0, t) = 0

(3-9)

A equação (3-5) ca então:∫ L

0

ρA∂2w(x, t)

∂t2φj(x)dx+

∫ L

0

EId2φj(x)

dx2

∂2w(x, t)

∂x2=

∫ L

0

f(x, t)φj(x)dx

(3-10)

Aproximando a solução na forma:

wN(x, t) =N∑

i=1

ai(t)φi(x) (3-11)

Sendo ai coecientes temporais e φi os modos de vibração. A base de

projeção para a dinâmica é formada pelos modos de vibração do problema,

daí o nome do método: Método Modos Supostos.

Os modos de vibração têm propriedades interessantes, como a pro-

priedade de ortogonalidade que surge do fato do problema ser autoadjunto

e gerar autovalores e autovetores reais. Além disso, a resposta dinâmica de

sistemas auto-adjuntos pode ser representada como combinação linear dos

modos normais do sistema.

Os modos de vibração formam a melhor base de projeção para a

dinâmica, no sentido de não existir uma outra base que consiga representar

melhor o problema com o mesmo número de termos. Os modos estão

diretamente relacionados com o problema físico e diretamente relacionados

com a dinâmica. Quando os modos de vibração são conhecidos, ou quando

eles podem ser calculados, eles são a primeira opção para a formação da

base de projeção da dinâmica.

Substituindo a aproximação da solução na equação, já considerando o

erro ortogonal aos termos da aproximação (3-10):

ρAai(t)

∫ L

0

φi(x)φj(x)dx+ EIai(t)

∫ L

0

φ′′i (x)φ′′j (x)dx =

∫ L

0

f(x, t)φj(x)dx

(3-12)

Sendo ai as coordenadas generalizadas e φi os modos de vibração. As

DBD


55

matrizes do sistema surgem naturalmente das integrações:

M(φi, φj) = ρA

∫ L

0

φi(x)φj(x)dx , K(φi, φj) = EI

∫ L

0

φ′′i (x)φ′′j (x)dx

F (φj) =

∫ L

0

f(x, t)φj(x)dx

(3-13)

Como foi visto na seção 2.5 o sistema discreto ca:

M a(t) +Ka(t) = F (t) (3-14)

Sendo i = 1, 2, .., N e j = 1, 2, .., N . A EDP original foi transformada

em um sistema de EDOs. A coordenadas generalizadas ai (i = 1, 2, 3, ..N)

são determinadas a partir das condições iniciais. Se uma aproximação é

feita com cinco modos de vibração (N = 5), qualquer contribuição que

modos superiores tenham para a resposta dinâmica não será captada pelo

modelo, se constituindo assim em um erro de aproximação.

Viga com dissipação:

Pode-se acrescentar dissipação ao modelo de viga estudado anterior-

mente. Considere a formulação abaixo:

ρA∂2w(x, t)

∂t2+ c

∂w(x, t)

∂t+

∂2

∂x2

(EI

∂2w(x, t)

∂x2

)= f(x, t) (3-15)

Sendo c o coeciente de amortecimento do material.

A formulação fraca da equação (3-15) é dada por:

∫ L

0

ρA∂2w(x, t)

∂t2φj(x)dx+

∫ L

0

c∂w(x, t)

∂tφjdx+

∫ L

0

EI∂2w(x, t)

∂x2

d2φj(x)

dx2dx

− EIdφj(x)

dx

∂2w(x, t)

∂x2

∣∣∣∣L0

+ φj(x)∂

∂x

(EI

∂2w(x, t)

∂x2

)∣∣∣∣L0

=

∫ L

0

f(x, t)φj(x)dx

(3-16)

Todos os termos das condições de contorno se anulam para as

condições de contorno deste problema. O deslocamento transversal da viga

DBD


56

será aproximado por: wN =∑aiφi, logo:

ρAai(t)

∫ L

0

φi(x)φj(x)dx+ ai(t)c

∫ L

0

φi(x)φj(x)dx+

+EIai

∫ L

0


∫ L

0

f(x, t)φj(x)dx

(3-17)

As matrizes do sistema surgem naturalmente das integrações:

M(φi, φj) = ρA

∫ L

0

φi(x)φj(x)dx , C(φi, φj) = c

∫ L

0

φi(x)φj(x)dx

K(φi, φj) = EI

∫ L

0

φ′′i (x)φ′′j (x)dx , F (φj) =

∫ L

0

f(x, t)φj(x)dx

(3-18)

Como foi visto na seção 2.5 o sistema discreto ca:

M a(t) + Ca(t) +Ka(t) = F(t) (3-19)

Exemplo 3.1:

O programa din_viga_ms (ver Anexo E) calcula, pelo Método dos

Modos Supostos, a resposta dinâmica de uma viga engastadalivre, dada

uma certa precisão.

Considere a viga representa na Figura 3.3:

Sistema Discreto

Resposta



ok!

Não

Sim

Material - Aço:E=200GPa (Módulo de Elasticidade =7850 kg/m (massa específica)c=5000 Ns /N (amortecimento)r 3

2

L=3m F(t)=120 (200(2 ).t) Np

h=5cm

b=10cm

Figura 3.3: Viga engastada, excitada na extremidade livre

Sem dissipação: Usando inicialmente 5 modos na aproximação, tempo

de 0,01 segundos de simulação e condições iniciais nulas (w = 0 e w = 0).

Com apenas 6 modos de vibração o erro registrado foi de 2,7% para a

resposta do ponto da extremidade da viga, x = L, Figura 3.4.

DBD


57

Figura 3.4: Resposta dinâmica na extremidade livre

O sistema de EDOs é integrado pela subrotina ode45 do MATLAB.

O número de modos necessários para aproximar um sistema pode ser

surpreendentemente pequeno. Se a resposta dinâmica for simples, três ou

quatro modos serão sucientes para representar o comportamento de uma

viga, por exemplo. Quanto mais complicada a resposta dinâmica, mais

modos serão necessários para representá-la.

Com dissipação: A resposta dinâmica para o ponto da extremidade da

viga, x = L, com condições iniciais nulas é mostrada na Figura 3.5.

DBD


58

Figura 3.5: Resposta dinâmica na extremidade livre

O número de modos usados na simulação foi de 6, apresentando um

erro de 0,4% para a resposta dinâmica no ponto x = L. O programa calcula

também as freqüências naturais e os coecientes de amortecimento modais.

Freqüências naturais (Hz):

ωn =

4.5207

28.3308

79.3279

155.4526

256.9769

383.8848

Freqüências de oscilação do sistema amortecido para cada modo de

vibração:

ωd =

4.4055

28.3127

79.3214

155.4493

256.9749

383.8834

Repare que estas freqüências são um pouco menores do que as fre-

qüências naturais, o que é consistente com a relação ωdi= ωi

√1− ξ2

i , que

será vista no capítulo 4. Coecientes de amortecimento modal, ξi:

DBD


59

ξ =

0.2242

0.0358

0.0128

0.0065

0.0039

0.0026

3.3Método dos Elementos Finitos

Em muitos sistemas mecânicos não se tem uma expressão analítica

para calcular os modos de vibração. Nestes casos os modos podem ser

calculados através do Método dos Elementos Finitos (MEF). No MEF as

funções que formam a base para o Método de Galerkin são funções simples

que não têm relação alguma com a dinâmica do sistema mecânico.

O MEF foi desenvolvido inicialmente para a análise estrutural durante

os anos de 1950 e 1960. O MEF é um método de discretização que aproxima

tanto a formulação quanto o domínio de um sistema contínuo. A estrutura é

dividida em partes menores chamadas de elementos nitos. Cada elemento

é usualmente muito simples e tem uma equação de movimento associada.

As soluções das equações dos elementos são aproximadas por uma

combinação linear de polinômios de baixa ordem. Cada uma destas soluções

polinomiais individuais é tornada compatível com a solução adjacente

(condição de continuidade) nos nós comuns aos elementos. Estas soluções

são reunidas através de um procedimento, resultando em matrizes globais

(matrizes de massa e rigidez globais, por exemplo) as quais descrevem a

dinâmica de uma estrutura como um todo. Neste trabalho esta técnica é

importante para ser usada em sistemas em que não se conhecem os modos

de vibração.

Ponto de vista global:

O MEF é empregado na formulação fraca (ou variacional) do pro-

blema, e a aproximação é calculada através do Método de Galerkin. A

resposta é representada por uma base que está contida em um espaço de

Hilbert. Existe todo um esquema de aproximação.

Considere o equacionamento de uma barra xa em uma extremidade

e livre na outra, discutido no capítulo 2. Depois da aplicação do Método de

DBD


60

Galerkin, já incorporando as condições de contorno, chega-se a:

ai(t)ρA

∫ L

0

φi(x)φj(x)dx+ai(t)EA

∫ L

0

dφi(x)

dx

dφj(x)

dxdx =

∫ L

0

Pi(x, t)φj(x)dx

(3-20)

A particularidade do MEF está no fato de que cada função teste é

diferente de zero em apenas uma pequena parte do domínio.

As funções teste são dadas por funções simples chamadas polinômios

de interpolação. O resultado da integral de um polinômio de interpolação é

diferente de zero apenas em um pequeno intervalo:∫ L

0

φ1dx =

∫ x2

x1

φ1dx (3-21)

Denindo as funções teste desta maneira, os coecientes da aproxi-

mação, equação (3-22), tem um signicado especial:

u(xj, t) =N∑

i=1

ai(t)φi(xj) (3-22)

Sendo xj a posição do jésimo nó. Cada polinômio de interpolação

vale um em um nó do intervalo e zero nos demais nós:

φi(xj) = δij (3-23)

Sendo δij = 1 quando i = j e 0 quando i 6= j. Logo, o valor do

coeciente ai é igual ao valor do deslocamento, u(xi, t), do iésimo nó:

u(xj, t) =N∑

i=1

ai(t)φi(xj) =N∑

i=1

ai(t)δij = aj(t)

∴ ai(t) = u(xi, t)

(3-24)

Ponto de vista elementar:

As matrizes globais de um sistema são construídas a partir da mon-

tagem das matrizes dos elementos. O elemento três de uma barra, por exem-

DBD


61

plo, terá matrizes:

M (3) = ρA

∫ x4

x3

φ3φ3dx

∫ x4

x3

φ3φ4dx∫ x4

x3

φ4φ3dx

∫ x4

x3

φ4φ4dx

(3-25)

K(3) = EA

∫ x4

x3

dφ3

dx

dφ3

dxdx

∫ x4

x3

dφ3

dx

dφ4

dxdx∫ x4

x3

dφ4

dx

dφ3

dxdx

∫ x4

x3

dφ4

dx

dφ4

dxdx

(3-26)

F (3) =

∫ x4

x3

P3φ3dx∫ x4

x3

P4φ4dx

(3-27)

A forma de cada função de interpolação é a mesma para todos os

elementos. Isto sugere uma troca de coordenadas para descrever as funções

de forma local. Esta estratégia é usada para que resultados das integrações

sejam usados de forma sistemática. Para uma aproximação linear podese

convencionar que cada elemento se estende de ξ = −1 a ξ = 1, como mostra

a gura 3.6.

)(

)(

1 xfe

)()(

2 xfe

x

+1 -1

1 2

Figura 3.6: Aproximação linear

As funções elementares para uma aproximação linear são dadas por:

φ(e)1 (ξ) =

1− ξ

2φ

(e)2 (ξ) =

1 + ξ

2(3-28)

Todo os elementos são mapeados para este elemento padrão. As

matrizes do elemento 3, equação (3-25 a 3-27), cam, por exemplo:

M (3) =ρA∆x(e)

6

1 −1

−1 1

(3-29)

DBD


62

K(3) =EA

∆x(e)

1 −1

−1 1

(3-30)

K(3) =1

∆x(e)

−P3

P4

(3-31)

Sendo ∆x(e) o tamanho do elemento.

Para construir a matriz global do sistema, as matrizes dos elementos,

(3-29) e (3-30) são montadas, por exemplo:

K =

K(1)1,1 K

(1)1,2 0 0 ..

K(1)2,1 K

(1)2,2 +K

(2)1,1 0 0 ..

0 K(2)2,1 K

(2)2,2 +K

(3)1,1 0 ..

0 0 K(3)2,1 K

(3)2,2 ..

0 0 0 0 ..

..

Repare que muitos elementos das matrizes do sistema serão zero, pois

as funções de interpolação são diferentes de zero em apenas uma pequena

parte do domínio:

K2,5 =

∫ 1

0

dφ2

dx

dφ5

dxdx = 0 (3-32)

DBD


63

Figura 3.7: Polinômios de interpolação diferentes de zero apenas em uma

pequena parte do domínio

O número de funções de interpolação dene a dimensão do espaço

e está associado ao número de nós da malha. Quanto mais renada for a

malha, maior será a dimensão do espaço de funções. Infelizmente aumentar

a dimensão do espaço não garante aumento na precisão da aproximação.

Isto só será válido se a malha renada estiver contida (embedded) na malha

original.

Além do artifício de aumentar o número de elementos, a precisão

da solução obtida através da discretização pelo MEF pode ser melhorada

aumentando-se o grau da função de interpolação. O aproximação pode ser

linear, quadrática, cúbica, etc. Considere o elemento de barra representado

na Figura 3.8:

DBD


64

Figura 3.8: Elemento com aproximação (a) Linear, 2 nós, (b) Quadrática, 3

nós e (c) Cúbica, 4 nós

Uma aproximação quadrática necessita de três pontos por elemento,

Figura 3.9.

)()(

3 xfe

)()(

1 xfe

)()(

2 xfe

x

+1 -1

1 2 3

Figura 3.9: Aproximação quadrática

u(e) = φ1u(x1) + φ2u(x2) + φ3u(x3) (3-33)

Sendo

φ1(x) = 12(1− x)− 1

2(1− x2);

φ2(x) = 12(1 + x)− 1

2(1− x2);

φ3(x) = (1− x2);

Aproximação cúbica:

u(e) = φ1u(x1) + φ2u(x2) + φ3u(x3) + φ4u(x4) (3-34)

DBD


65

Sendo

φ1(x) = 12(1− x)− 1

2(1− x2) + 1

16(−9x3 + x2 + 9x− 1);

φ2(x) = 12(1 + x)− 1

2(1− x2) + 1

16(9x3 + x2 − 9x− 1);

φ3(x) = (1− x2) + 116

(27x3 + 7x2 − 27x− 7);

φ4(x) = 116

(−27x3 − 9x2 + 27x+ 9);

3.3.1Viga

Figura 3.10: Elemento de viga

Considere um elemento de viga modelo Euler-Bernoulli representada

na Figura 3.10. Fazendo uma aproximação para o deslocamento transversal

w(x) da forma:

w(e) = φ1(x)v1 + φ2(x)θ1 + φ3(x)v2 + φ4(x)θ2 (3-35)

Sendo θ =∂w(e)

∂x, w(e)(0) = v1, w(e)(L) = v2, θ(0) = θ1, θ(L) = θ2, e

φi as funções de interpolação.

As funções de interpolação são funções de forma Hermitiana. Forma

Hermitiana signica que há imposição tanto para os valores das funções

DBD


66

como para valores das derivadas. Estas funções estão representadas na

Figura 3.11:

Figura 3.11: Funções Hermitianas

Sendo as funções Hermitianas H(x) as funções de interpolação, φ(x):

φ1(x) = 1− 3x2/l2 + 2x3/l3;

φ2(x) = x− 2x2/l + x3/l2;

φ3(x) = 3x2/l2 + 2x3/l3;

φ4(x) = x2/l + x3/l2;

Φ = [φ1 φ2 φ3 φ4]

Reescrevendo a formulação fraca da viga, equação 3-12:

ρAai(t)

∫ L

0

φi(x)φj(x)dx+ EIai(t)

∫ L

0


∫ L

0

fφjdx (3-36)

As matrizes de massa e de rigidez de cada elemento são obtidas por:

M (1) = ρA

∫ x2

x1φ1φ1dx

∫ x2

x1φ1φ2dx

∫ x2

x1φ1φ3dx

∫ x2

x1φ1φ4dx∫ x2

x1φ2φ1dx

∫ x2

x1φ2φ2dx

∫ x2

x1φ2φ3dx

∫ x2

x1φ2φ4dx∫ x2

x1φ3φ1dx

∫ x2

x1φ3φ2dx

∫ x2

x1φ3φ3dx

∫ x2

x1φ3φ4dx∫ x2

x1φ4φ1dx

∫ x2

x1φ4φ2dx

∫ x2

x1φ4φ3dx

∫ x2

x1φ4φ4dx

(3-37)

DBD


67

K(1) = EI

∫ x2

x1φ1φ1dx

∫ x2

x1φ′′1φ

′′2dx

∫ x2

x1φ′′1φ

′′3dx

∫ x2

x1φ′′1φ

′′4dx∫ x2

x1φ′′2φ

′′1dx

∫ x2

x1φ′′2φ

′′2dx

∫ x2

x1φ′′2φ

′′3dx

∫ x2

x1φ′′2φ

′′4dx∫ x2

x1φ′′3φ

′′1dx

∫ x2

x1φ′′3φ

′′2dx

∫ x2

x1φ′′3φ

′′3dx

∫ x2

x1φ′′3φ

′′4dx∫ x2

x1φ′′4φ

′′1dx

∫ x2

x1φ′′4φ

′′2dx

∫ x2

x1φ′′4φ

′′3dx

∫ x2

x1φ′′4φ

′′4dx

(3-38)

Fazendo a integração das funções de interpolação chega-se a:

M (e) =

∫ x2

x1

ρAΦT Φdx =ρAl

400

156 22l 54 −13l

22l 4l2 13l −3l2

54 13l 156 −22l

−13l −3l2 −22l 4l2

(3-39)

K(e) =

∫ x2

x1

EIΦ′′T Φ′′dx =EI

l3

12 6l −12 6l

6l 4l2 −6l 2l2

−12 −6l 12 −6l

6l 2l2 −6l 4l2

(3-40)

Para obter as matrizes globais de massa e de rigidez é necessário fazer

a montagem das matrizes dos elementos.

Exemplo 3.2:

O programa din_viga_ef (ver Anexo E) calcula, discretizando pelo

MEF, a resposta dinâmica de uma viga engastadalivre, dada uma certa

precisão.

Considere a viga representada na Figura 3.12:

DBD


68

Sistema Discreto

Resposta



ok!

Não

Sim

Material - Aço:E=200GPa (Módulo de Elasticidade =7850 kg/m (massa específica)r 3

L=3m F(t)=120 (200(2 ).t) Np

h=5cm

b=10cm

Figura 3.12: Viga engastada, excitada na extremidade livre

Para um tempo de 0, 01 segundos de simulação e condições iniciais

nulas (w = 0 e w = 0), a resposta do ponto em que o forçamento é aplicado

é:

Figura 3.13: Resposta dinâmica em x=L

Para uma precisão de 2, 66% foram necessários 60 elementos nitos

(usando 20 elementos iniciais e passo de 20 elementos). Este mesmo exem-

plo foi feito anteriormente (seção 3.2) utilizando-se o Método dos Modos

Supostos. Com 7 modos a precisão foi de 0, 5%. A Figura 3.14 mostra as

duas respostas dinâmicas, sendo a de vermelho a aproximada pelo Método

dos Modos Supostos.

DBD


69

Figura 3.14: Resposta dinâmica em x=L

O erro percentual entre as respostas é de 5, 7%. O tempo de proces-

samento do programa discretizando pelo MEF foi mais de 100 vezes maior

do que o tempo de processamento discretizando pelo Método dos Modos

Supostos. Isto se deve ao tamanho das matrizes geradas: com 60 elemen-

tos a matriz de massa, por exemplo, tem dimensão 183 (3x61), sendo 61 o

números de nós e 3 o número de graus de liberdade de cada nó.

3.3.2Transformação de Coordenadas

Na seção anterior as matrizes M e K foram calculadas com respeito

a eixos e coordenadas locais, mas freqüentemente membros de estruturas

não estão alinhados com respeito a um sistema de coordenadas global de

referência.

DBD


70

Figura 3.15: Eixos local e global para um elemento de barra

A Figura 3.15 mostra os deslocamentos de um elemento de barra com

relação a dois sistemas de coordenadas: um local e um global. No sistema

de coordenadas local são necessários apenas dois deslocamentos: u1 e u2.

Para representar o mesmo elemento de barra num sistema de coordenadas

global (X,Y), são necessários quatro deslocamentos: u1, u2, u3 e u4.

O deslocamento u1 = u1cos(θ) + u2sen(θ)

O deslocamento u2 = u3cos(θ) + u4sen(θ)

Escrevendo em termos matriciais:

u = Tu (3-41)

Sendo: uT = [u1 u2], uT = [u1 u2 u3 u4]

T =

[cosθ senθ 0 0

0 0 cosθ senθ

]

A Figura 3.16 mostra o caso de um elemento com três graus de

liberdade em cada nó:

DBD


71

Figura 3.16: Elemento com três graus de liberdade em cada nó

u1

u2

u3

u4

u5

u6

=

cosθ senθ 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 cosθ senθ 0

0 0 0 −senθ cosθ 0

0 0 0 0 0 1

u1

u2

u3

u4

u5

u6

(3-42)

Para a transformação das matrizes M e K, podem ser aplicados os

conceitos de energia potencial V e cinética T, considerando que a energia

se mantém constante depois da transformação:

V = 12(uTKu) = 1

2(uTKu)

T = 12(uTMu) = 1

2(uTMu)

Substituindo u = Tu:

V = 12[(uTT T )K (Tu)] = 1

2uT (T TK T )u

Logo:

K = T TKT (3-43)

M = T TMT (3-44)

DBD


72

O anexo B apresenta programas que foram desenvolvidos para a

Análise Modal de estruturas bidimensionais, como um 'L' e um 'Triângulo'.

3.4Carregamento

O vetor de carregamento do sistema surge naturalmente da formulação

fraca, através da integração:

F (x, t) =N∑

j=1

∫ L

0

f(x, t)φj(x)dx (3-45)

- Se houver força concentrada:

Figura 3.17: Força concentrada

f(x) = δ(x− x1) (3-46)

Sendo x1 o local onde a força é aplicada e δ a função impulso unitário

ou distribuição de Diracδ. f(x) vale zero para todos os valores de x, exceto

em x = x1. O vetor de carregamento F será então:

F =N∑

j=1

∫ L

0

δ(x− x1)φjdx =N∑

j=1

φj(x1) (3-47)

- Se houver força distribuída:

DBD


73

Figura 3.18: Força distribuída

f(x) =

(fL − f0

L

)x+ f0 (3-48)

Sendo f0 a força em x=0 e fL a força em x=L. O vetor de carregamento

F será então:

F =N∑

j=1

∫ L

0

[(fL − f0

L

)x+ f0

]φjdx (3-49)

Exemplo 3.3: Carregamento estático: força concentrada e força dis-

tribuída.

Considere os carregamentos representados nas duas Figuras 3.19 e

3.20.

Figura 3.19: Força concentrada na extremidade de uma viga

DBD


74

Figura 3.20: Força distribuída uniformemente ao longo de uma viga

A expressão analítica para o cálculo do deslocamento do ponto da

extremidade livre para um força concentrada na extremidade, Figura 3.19,

é, [38]:

δc =FL3

3EI(3-50)

A expressão analítica para o cálculo do deslocamento do ponto da

extremidade livre para uma força distribuída uniformemente ao longo da

viga, Figura 3.20, é, [38]:

δd =FL4

8EI(3-51)

O vetor com os deslocamentos, w, é calculado pela equação (3-52).

w = K−1F (3-52)

Sendo K a matriz de rigidez do sistema e F o vetor das forças. Os

programas est_viga_ms e est_viga_ms calculam o deslocamento do ponto

da extremidade livre de uma viga engastadalivre para uma força concen-

trada na extremidade livre e para uma força distribuída uniformemente ao

longo de uma viga.

O programa est_viga_ms faz a discretização pelo Método dos Modos

Supostos. O resultado para a aproximação com 5 modos de vibração é:

δc = −4, 33.10−5 m e δd = −4, 88.10−5 m.

O programa est_viga_ef faz a discretização pelo MEF. O resultado

para a aproximação com 20 elementos nitos é:

δc = −4, 32.10−5 m e δd = −4, 86.10−5 m.

DBD


75

O resumo dos resultados está apresentado na Tabela 3.1:

δc (m) δd (m)

Expressão analítica −4, 32.10−5 −4, 86.10−5

MEF (20 elementos) −4, 32.10−5 −4, 86.10−5

Modos Supostos (5 modos) −4, 33.10−5 −4, 88.10−5

Tabela 3.1: Comparação entre valores obtidos para o deslocamento

3.5Condições de Contorno

As condições de contorno se incorporam à equação do sistema na

formulação fraca. Partindo da equação de uma barra:

ρA(x)∂2u(x, t)

∂t2=

∂

∂x

(A(x)E

∂u(x, t)

∂x

)+ f(x, t) (3-53)

Formulação fraca:

∫ L

0

ρA∂2u(x, t)

∂t2φdx = φ

(EA

∂u

∂x

)∣∣∣∣L0

−∫ L

0

(EA

∂u

∂x

)∂φ

∂x+

∫ L

0

f(x, t)φdx

(3-54)

As condições de contorno entram no termo em destaque da equação

(3-54):

φ

(EA

∂u(x, t)

∂x

)∣∣∣∣L0

(3-55)

Figura 3.21: Condições de contorno no extremo L. (a) ligação elástica; (b)

massa pontual

DBD


76

Exemplo de condições de contorno:

1)Barra xalivre:

u(0) = 0 e EA∂u

∂x

∣∣∣∣L

= 0 (3-56)

2)Barra xamola, Figura 3.21a:

u(0) = 0 e EA∂u

∂x

∣∣∣∣L

= ku|L (3-57)

3)Barra xamassa, Figura 3.21b:

u(0) = 0 e EA∂u

∂x

∣∣∣∣L

= m∂2u

∂t2

∣∣∣∣L

(3-58)

As condições de contorno são incorporadas às matrizes do sistema.

Ligação elástica:

K =

∫ L

0

EAφ′′i φ′′jdx+ φ(L) ku|L (3-59)

Massa pontual:

M =

∫ L

0

ρAφiφjdx+ φ(L) m∂2u

∂t2

∣∣∣∣L

(3-60)

Para validar o programa desenvolvido, através da discretização pelo

MEF, os resultados computados foram comparados com os resultados

obtidos das seguintes expressões, [18] e [3], equações (3-613-66).

Barra xalivre:


ωn =(2n− 1)πc

2L(3-61)

Sendo c =√

Eρe n=1,2,3,..


ωn = sin

((2n− 1)πx

2L

)(3-62)

DBD


77

Barra xamola:


ωn =λnc

Lλncot(λn) = − kL

EA(3-63)


sin

(λnx

L

)(3-64)

Barra xamassa:


ωn =λnc

Lcot(λn) =

m

ρALλn (3-65)


sin

(λnx

L

)(3-66)

Para aproximar as equações transcendentais (3-63 e 3-65) e obter os

λn das equações, foi usado o Método de Newton, [6], que é um método de

iteração para a procura de zeros de uma função diferenciável.

Exemplo 3.4:

O programa modal_barra_ef (ver Anexo E) calcula, discretizando

pelo MEF, os modos e freqüências naturais de uma barra xalivre / xa

mola / xamassa, para uma determinada precisão.

Considere uma barra de um metro de comprimento, de seção 5x10 cm2,

módulo de elasticidade de 200 MPa e densidade 7850 kg/m3. Erro estipulado

de 0, 005% para o quinto modo de vibração. O número de elementos inicial

é 50 e o passo de discretização é de 50.

O número de elementos necessários para a precisão requerida é de 350

elementos. As cinco primeiras freqüências naturais (Hz) são:1262

3786

6310

8834

1.1358

(3-67)

DBD


78

Os cinco primeiros modos de vibração estão representados na Figura

3.22:

Figura 3.22: Cinco primeiros modos de uma barra xada em uma extremi-

dade e livre na outra

O erro do quinto modo de vibração para cada passo da simulação é

dado por:

Figura 3.23: Convergência da aproximação

Exemplo 3.5:

DBD


79

Considere os mesmos dados do Exemplo 3.4. Mas agora uma mola

(k = 1GNm) é colocada na extremidade da barra.

A seguir os λn calculados pela equação transcendental

utilizando-se o método de Newton (precisão de 0, 0001): λn =

2.0288; 4.9132; 7.9787; 11.0855; 14.2074.O número de elementos necessários para a precisão requerida é de 350

elementos. As cinco primeiras freqüências naturais (Hz) calculadas com os

λn computados são: 1630

3947

6410

8905

1.1413

(3-68)

As cinco primeiras freqüências naturais (Hz) calculadas, discretizando

pelo MEF são: 1630

3947

6410

8906

1.1414

(3-69)

Observa-se que os resultados estão bem coerentes entre as aproxi-

mações; erro menor que 0, 1%. As freqüências naturais são maiores, com-

paradas com as freqüências obtidas de uma barra xalivre. Este resultado

é coerente com a expressão: ωn =

√K

M, ou seja, quanto maior a rigidez,

maior a freqüência natural (mantendose M xo).


3.24:

DBD


80

Figura 3.24: Cinco primeiros modos de uma barra xa em uma extremidade

e com apoio elástico na outra


dado por:


Primeiro modo de vibração:

DBD


81

Figura 3.26: Primeiro modo de vibração

Na Figura 3.26 a curva azul representa o primeiro modo de vibração

calculado discretizando pelo MEF, a curva verde representa o primeiro modo

calculado através da equação transcendental (3-63) e a curva vermelha

representa o primeiro modo para uma barra xa em uma extremidade e

livre na outra. Segundo modo de vibração:

Figura 3.27: Segundo modo de vibração

Exemplo 3.6:

DBD


82

Considere os mesmos dados do Exemplo 3.5. Mas agora uma massa

(m = 10kg) é colocada na extremidade da barra. A seguir os λn calculados

pela equação transcendental utilizando-se o método de Newton (precisão de

1e− 4): λn = 1.2601; 3.9267; 6.8063; 9.8055; 12.8625.0 número de elementos necessários para a precisão requerida é de 350

elementos. As cinco primeiras freqüências naturais (Hz) calculadas com os

λn computados são: 1012

3154

5468

7877

1.0333

(3-70)

As cinco primeiras freqüências naturais (Hz) calculadas discretizando

pelo MEF são: 1012

3155

5468

7878

1.0334

(3-71)

Observa-se que os resultados estão bem coerentes entre as aproxi-

mações, erros menores que 0, 1%. As freqüências naturais sao menores, com-

paradas com as freqüências obtidas de uma barra xalivre. Este resultado

é coerente com a expressão: ωn =

√K

M, ou seja, quanto maior a massa,

menor a frequência natural (mantendose K xo).


3.28:

DBD


83

Figura 3.28: Cinco primeiros modos barra xamassa


dado por:


Primeiro modo de vibração:

DBD


84

Figura 3.30: Primeiro modo de vibração

Na Figura 3.30 a curva azul representa o primeiro modo de vibração

calculado discretizando pelo MEF, a curva verde representa o primeiro modo

calculado através da equação transcendental (3-65) e a curva vermelha

representa o primeiro modo para uma barra xa em uma extremidade e

livre na outra. Segundo modo de vibração:

Figura 3.31: Segundo modo de vibração

DBD


85

3.6Conclusões

Neste capítulo o Método de Galerkin foi detalhado a partir das

escolhas da base de projeção da dinâmica, formada pelas funções teste. Um

sistema contínuo foi discretizado e um esquema para calcular as matrizes

do sistema discreto foi elaborado. No próximo capítulo um sistema linear

discreto, com matrizes de massa, de amortecimento e de rigidez, é analisado

através da Análise Modal.

DBD


4Análise Modal

4.1Introdução

No capítulo 2 os conceitos de modos de vibração e freqüências naturais

foram introduzidos. A Análise Modal é uma forma de caracterizar um

sistema dinâmico em termos de três grupos de parâmetros: freqüências

naturais, modos de vibrações e amortecimentos modais.

Figura 4.1: Separação dos parâmetros modais

A Figura 4.1 ilustra bem o objetivo da Análise Modal. O movimento

vibratório complicado de um sino pode ser representado como uma soma

de movimentos simples. Cada movimento simples é um modo de vibração

DBD


87

e cada modo de vibração tem associado a ele uma freqüência natural e um

coeciente de amortecimento.

Os modos normais formam a melhor base de projeção para o Método

de Galerkin.

4.2Modos Normais

Sistema Conservativo:

Os modos normais estão associados ao sistema conservativo, equação

(4-1).

M x(t) +Kx(t) = 0 (4-1)

Sendo M uma matriz simétrica positiva denida, K uma matriz

simétrica positiva semidenida e x o vetor composto pelas coordenadas do

sistema. Os modos e freqüências são características intrínsecas do sistema,

por isso o sistema homogêneo é analisado (F = 0).

A equação (4-1) admite solução do tipo:

x(t) = uiejωit (4-2)

Sendo j =√−1. Já adiantando o resultado, ωi é a iésima freqüência

natural e ui é o iésimo modo de vibração. Substituindo (4-2) em (4-1)

obtém-se:

(−ω2iM +K)uie

jωit = 0 (4-3)

Na busca da solução não trivial em que ui 6= 0, como [ejωit] 6= 0,

chegase a:

(−ω2iM +K)ui = 0 (4-4)

Este é um problema de autovalor. É através deste problema que as

freqüências naturais e os modos de vibração são calculados. Um sistema

autoadjunto, ou seja, com M positiva denida e K positiva semidenida,

DBD


88

gera autovalores (ω2i ) e autovetores (ui) reais:

ω2iMui = Kui

〈ω2iMui,ui〉 = 〈Kui,ui〉

ω2i =

〈Kui,ui〉〈Mui,ui〉

≥ 0

(4-5)

Um autovalor pode ter um ou mais autovetores associados a ele. Por

exemplo, um autovalor zero, ou seja, uma freqüência natural zero, pode ter

associado a ele mais de um movimento de corpo rígido. Para um sistema

tridimensional o autovalor zero pode estar associado a até seis autovetores

linearmente independentes, Figura 4.2.

Figura 4.2: Movimento de corpo rígido

Sistemas com simetrias (simetria esférica, por exemplo) também apre-

sentam autovalores com multiplicidade, isto é, com mais de um autovetor

associado.

A matriz modal, U , é dada por:

U =

| | .. |u1 u2 .. uN

| | .. |

(4-6)

As matrizes M e K são diagonalizadas pela matriz modal:

UTMU =

mi

e UTKU =

ki

(4-7)

Cada autovetor tem uma única direção associada, mas sua amplitude

não é denida. O processo de normalização é realizado como uma forma de

DBD


89

xar a amplitude dos modos de vibração. Para normalizar U com relação

às matrizes M e K prémultiplicase a matriz U por um fator γi:

φi = γiui −→ γ2i u

Ti Mui = I (4-8)

Sendo γi = 1/√mi e I uma matriz identidade. A matriz modal

normalizada, Φ, é dada por:

Φ =

| | .. |φ1 φ2 .. φN

| | .. |

(4-9)

Uma matriz modal normalizada, Φ, diagonaliza as matrizesM e K da

seguinte forma:

ΦTMΦ =

1

e ΦTKΦ =

ω2

i

(4-10)

Para resolver o sistema dinâmico pode-se tomar proveito da matriz

modal fazendo uma mudança de coordenadas, de x para q:

x(t) = Φq(t) (4-11)

Um sistema dinâmico com as novas coordenadas pode ser escrito como:

MΦq(t) +KΦq(t) = F(t) (4-12)

Prémultiplicando por ΦT :

ΦTMΦq(t) + ΦTKΦq(t) = ΦTF(t) (4-13)

Desta forma as equações de movimento se desacoplam:

q(t) +

ω2

i

q(t) = ΦTF(t) (4-14)

Sendo q(t) o vetor composto pelas coordenadas modais. O problema

foi reduzido a um sistema de EDO's independentes.

DBD


90

Cada modo de vibração caracteriza uma família de soluções periódi-

cas.:

x(t) =N∑

i=1

qi(t)φi , ou

x(t) =N∑

i=1

aφicos(ωit+ ϕ)

(4-15)

Sendo ωi a iésima freqüência natural e φi o iésimo modo de vi-

bração. Os coecientes a e ϕ são determinados a partir das condições

iniciais. Repare que as condições iniciais podem ser escolhidas de forma que

cada um dos modos pode ser excitado independentemente.

Amortecimento proporcional:

A modelagem de dissipações em sistemas dinâmicos não é simples.

Uma forma de modelar um sistema com dissipação é considerar a matriz de

amortecimento uma combinação linear das matrizes de massa e de rigidez.

Assim os modos normais podem ser usados para representar as respostas

dinâmicas. Considere um sistema dinâmico linear com amortecimento pro-

porcional:

M x(t) + Cpx(t) +Kx(t) = 0 (4-16)

Sendo Cp = αM + βK. Como Cp é combinação linear de M e K, a

mesma matriz modal que diagonaliza M e K, diagonaliza Cp.

Depois de uma mudança de coordenadas, x(t) = Φq(t), chegase ao

sistema:

ΦTMΦq(t) + ΦTCpΦq(t) + ΦTKΦq(t) = ΦTF(t) (4-17)

O sistema desacoplado pode ser escrito da seguinte maneira:

q(t) +

2ξiωi

q(t)

ω2

i

q(t) = ΦTF(t) (4-18)

Sendo:

ξi = ci/cicrita razão de amortecimento do iésimo modo;

cicrit= 2miωi = 2

√miki o amortecimento crítico do iésimo modo.

DBD


91

Cada modo de vibração caracteriza uma família de soluções periódicas:

x(t) =N∑

i=1

qi(t)φi , ou

x(t) =N∑

i=1

aφie−ξiωitcos(ωdi

t+ ϕ)

(4-19)

Sendo:

ωdi= ωi

√1− ξ2

i a iésima freqüência de oscilação do sistema amortecido

para o iésimo modo de vibração.

Podese pensar nos modos normais como ondas estáticas com nós

xos, Figura 4.3.

w(x)

x

nó estacionário

Figura 4.3: Modo normal

Exemplo 4.1:

Este exemplo encontrase no programa modal (ver Anexo E) . Basta

entrar com as matrizes M e K, e as constante α e β, Cp = αM + βK. Este

programa calcula as freqüências naturais, a matriz modal (com os modos

normalizados com respeito a M) e os coecientes de amortecimento modais.

Estes cálculos são realizados conforme os passos a seguir. Dadas as matrizes:

M =

[2 0

0 3

], K =

[2 −1

−1 1

], Cp = 1

6M + 1

10K

Resolvese um problema de autovalor: (−ω2iM +K)ui = 0

DBD


92

Os autovalores, ω2i , são:[

1, 1937 0

0 0, 1396

]

As freqüências naturais por conseqüência são: ω1 = 1, 0926 rd/s e

ω2 = 0, 3736 rd/s.

Os autovetores, ui, são:

U =

[0, 9325 0, 5025

−0, 3613 0, 8646

]

UTMU =

[2, 1305 0

0 2, 7475

]=

mi

UTKU =

[2, 5432 0

0 0, 3836

]=

ki

Normalizando os autovetores com respeito à matriz M :

φi =1

√mi

ui

Logo:

Φ =

[0, 6388 0, 3031

−0, 2475 0, 5216

]

ΦTMΦ = I

ΦTKΦ =

[1, 1937 0

0 0, 1396

]=

ω2

i

ΦTCpΦ =

[0, 2860 0

0 0, 1806

]=

2ξiωi

Logo, a matriz com os coecientes de amortecimento modais é:

DBD


93

ξ =

[0, 1309 0

0 0, 2417

]

wd1 = 1, 0832 rd/s e wd2 = 0, 3626 rd/s.

4.3Modos Complexos

Os modos complexos aparecem em sistemas: com amortecimento não

proporcional, com forças giroscópicas, com forças aerodinâmicas, etc.

4.3.1Forças Giroscópicas

Forças giroscópicas são conservativas, porém elas acoplam o movi-

mento em duas direções. Considere o sistema:

M x(t) +Gx(t) +Kx(t) = 0 (4-20)

SendoG uma matriz antisimétrica, chamada de giroscópica. Para este

tipo de sistema não vale a Análise Modal Clássica. Considerando a matriz

K positiva denida, a equação (4-20) admite solução do tipo:

x(t) = uiejωit (4-21)

Sendo ωi a iésima freqüência natural e ui o iésimo modo complexo.

Substituindo (4-21) em (4-20) obtémse:

−ω2iMui + jωiGui +Kui = 0 (4-22)

Témse o seguinte problema de autovalor:

(−ω2iM + jωiG+K)u = 0 (4-23)

Para resolver este problema, a equação (4-20) deve ser reescrita da

seguinte forma, [26]:

M∗y(t) = −G∗y(t) (4-24)

DBD


94

Sendo:

y(t) =

[x(t)

x(t)

]M∗ =

[K 0

0 M

]= M∗T G∗ =

[0 −KK G

]= −G∗T

(4-25)

A equação (4-24) admite solução do tipo:

y(t) = Yiejωt (4-26)

Sendo Yi um vetor constante. Substituindo (4-26) em (4-24) chegase

ao seguinte problema de autovalor:

[jωiM∗ +G∗]Yi = 0 (4-27)

Novamente aparece na equação a unidade imaginária j. Para contornar

esta situação separase a parte real e a parte imaginária: Yi = YRi + jYI

i :

ωiM∗YR

i = −G∗YIi (4-28)

ωiM∗YI

i = G∗YRi (4-29)

Resolvendo a equação (4-29) para YRi e introduzindo na equação (4-

28) o resultado, depois resolvendo a equação (4-28) para YIi e introduzindo

o resultado novamente na equação (4-29) chega-se a:

K∗YRi = λiM

∗YRi K∗YI

i = λiM∗YI

i (4-30)

Sendo λi = ω2i e:

K∗ =

[KM−1K KM−1G

GTM−1K GTM−1G

]= K∗T (4-31)

Através deste artifício matemático, não só o problema de autovalor

deixou de ter a parte imaginária j como passou a ser função de duas

matrizes simétricas positivas denidas. O resultado nal são 2n autovalores

que aparecem em pares conjugados:

λi = +jωi i = 1, 2, .., n

λi+n = −jωi i = 1, 2, .., n(4-32)

DBD


95

E os autovetores:

Yi =

[φi

φiλi

](4-33)

Os modos complexos são dados por: φi = φRi + jφI

i . Cada modo

complexo caracteriza uma família de soluções periódicas:

x(t) = a[φRi cos(ωit− ϕ)− φI

i sen(ωit− ϕ)] (4-34)

Sendo os coecientes a e ϕ determinados pelas condições iniciais.

4.3.2Amortecimento Não-Proporcional

Considere o sistema:

M x(t) + Cx(t) +Kx(t) = 0 (4-35)

Sendo C simétrica positiva semidenida. Reescrevendo o sistema.[C M

M 0

]y(t) +

[K 0

0 −M

]y(t) = 0 (4-36)

Sendo:

y(t) =

[x(t)

x(t)

](4-37)

O problema de autovalor resultante é escrito da seguinte forma:[C M

M 0

]Yiλi +

[K 0

0 −M

]Yi = 0 (4-38)

O problema da equação (4-38) resulta em 2n autovalores, λi, que se

apresentam em pares conjugados e 2n autovetores:

Λ =

λi

Yi =

[φi

φiλi

](4-39)

DBD


96

Sendo os autovalores:

λi = ηi + jωi i = 1, 2, .., n

λi+n = ηi − jωi i = 1, 2, .., n(4-40)

Os modos complexos são dados por: φi = φRi + jφI

i . O sistema pode

ser desacoplado a partir de seus autovetores:

ΦT

[C M

M 0

]Φ = Λ =

µi

,

ΦT

[K 0

0 −M

]Φ = Λ =

µiλi

(4-41)

Sendo Φ a matriz composta pelos autovetores do sistema. Os modos

complexos podem ser usados para representar a resposta dinâmica de um

sistema com amortecimento nãoproporcional, equação (4-42).

x(t) = aeηit[φRi cos(ωit− ϕ)− φI

i sen(ωit− ϕ)] (4-42)

Sendo os coecientes a e ϕ determinados pelas condições iniciais.

Observando a equação (4-42) notase dois coecientes temporais:

c1 = cos(ωit−ϕ), que multiplica o vetor composto pela parte real do modo

complexo φRi ; e c2 = sen(ωit−ϕ), que multiplica o vetor composto pela parte

imaginária do modo complexo φIi . Os modos complexos não apresentam nós

estacionários nem forma bem denida como os modos normais. Pode-se

pensar nos modos complexos como ondas propagantes sem nós xos; eles

não têm forma denida, por isso são de difícil visualização.

Figura 4.4: Tentativa de visualização de um modo complexo

DBD


97

4.4Conclusões

Neste capítulo a Análise Modal foi discutida e observouse que, de-

pendendo do sistema dinâmico em análise, podemse obter modos normais

ou modos complexos. No próximo capítulo duas ferramentas essenciais para

a análise de vibrações são discutidas: a Transformada Rápida de Fourier e

a Função Resposta em Freqüência. No capítulo 6 uma técnica alternativa à

Análise Modal, a Decomposição Ortogonal Própria, é discutida.

DBD


5Transformada Rápida de Fourier e Função Resposta emFreqüência

5.1Introdução

No capítulo 4 sistemas dinâmicos foram analisados através de equações

diferenciais. A partir das matrizes dos sistemas, um problema de autovalor

é resolvido e as característica fundamentais de um sistema dinâmico são

obtidas: freqüências naturais, modos de vibração e amortecimentos. Além

disso, podese representar a resposta dinâmica a partir dos modos de

vibração de um sistema.

Nem sempre se tem em mãos sistemas dinâmicos modelados em forma

de equações diferenciais. Isto não impede que estruturas sejam testadas e

que suas características sejam obtidas através de testes estruturais. Este

capítulo introduz os conceitos de Transformada Rápida de Fourier e Função

Resposta em Freqüência (FRF), base matemática para testes estruturais.

Este capítulo tem como referências básicas [11], [25], [19] e [10].

5.2Transformada Rápida de Fourier

A resposta de sistemas dinâmicos pode ser estudada tanto no domínio

do tempo quanto no domínio da freqüência.

Dado um certo forçamento, f(t), um sistema mecânico gera uma res-

posta dinâmica, x(t). Este processo pode ser analisado tanto no domínio do

tempo quanto no domínio da freqüência, para sistemas lineares e invariantes

no tempo.

H(ω)F (ω) = X(ω) (5-1)

DBD


99

H(ω) é chamada de FRF, ela associa um forçamento F (ω) à resposta

X(ω), em função da freqüência, ω.

A Transformada Rápida de Fourier FFT (Fast Fourier Transform)

é uma ferramenta que transforma uma função no domínio do tempo para

o domínio da freqüência. O algoritmo desta transformada foi criado em

1965 por J.W. Cooly e J.W. Turkey e a partir desta data a aplicação

de técnicas experimentais na dinâmica estrutural se consolidou abrindo

caminho a muitos avanços nesta área.

Para ilustrar a FFT, observe a Figura 5.1. Ela mostra a resposta

dinâmica de um ponto de uma placa; curva cinza. Transformando o sinal

no domínio do tempo para o domínio da freqüência, utilizandose a FFT,

obtémse a curva preta. No domínio da freqüência ca mais fácil visualizar

as freqüência naturais (picos).

Figura 5.1: Freqüências naturais e modos de vibrações

A Figura 5.1 mostra os quatro primeiros modos de vibração de

uma placa. Cada freqüência natural está relaciona com uma conguração

da estrutura. A resposta dinâmica é amplicada quando uma estrutura

é excitada em uma das freqüências naturais. O modo de vibração se

caracteriza como sendo uma conguração na qual todos os pontos vibram

em uníssono.

A FFT tem como origem as Séries de Fourier. Série de Fourier é uma

forma de representar funções periódicas. Pode ser demonstrado matemati-

camente que uma função periódica é a soma de funções senoidais com fre-

qüências múltiplas de uma freqüência fundamental:

x(t) = a0 + 2∞∑

n=1

(ancos

2πnt

T+ bnsin

2πnt

T

)(5-2)

DBD


100

Sendo a0 o valor médio de x(t) ao longo de um período T (de −T/2 a

+T/2). E:

an =1

T

∫ +T/2

−T/2

x(t)cos2πnt

Tdt , bn =

1

T

∫ +T/2

−T/2

x(t)sin2πnt

Tdt (5-3)

Os cálculos apresentados são baseados em funções reais e o espectro de

freqüências é denido apenas para freqüências positivas (n=1,2,..). A forma

exponencial da série de Fourier é dada por:

x(t) =+∞∑

n=−∞

1

T

(∫ +T/2

−T/2

x(τ)e−j2πnτ/Tdτ

)ej2πnt/T (5-4)

A parte entre parênteses da equação (5-4) é denida para freqüências

positivas e negativas (n < 0 e n > 0). Quando o período tende ao

innito, ou seja, para funções nãoperiódicas, a série de Fourier se torna

a Transformada de Fourier:

x(t) =

∫ ∞

−∞

(∫ ∞

−∞x(τ)e−j2πfτdτ

)ej2πftdf (5-5)

Ou:

x(t) =

∫ ∞

−∞X(f)ej2πftdf (5-6)

Sendo f = n/T e:

X(f) =

∫ ∞

−∞x(τ)e−j2πfτdτ (5-7)

Em sua grande maioria, aparelhos analisadores de sinais processam

sinais digitalizados, Figura 5.2.

Figura 5.2: Sinal real (esquerda) e sinal digitalizado (direita)

DBD


101

A Transformada Discreta de Fourier (DFT) de um sinal no domínio

do tempo é dada por:

X(m) =1

N

N∑n=1

X(n)e−j2π nmN (5-8)

Sendo m o número de linhas de frequência e N o número de amostras

coletadas. Quanto maior o número de linhas melhor a resolução e melhor

a qualidade do resultado da transformada. Por outro lado, o tempo de

processamento do sinal aumenta, aumentando o tempo de coleta. Para uma

freqüência máxima de 1000Hz, com 400 linhas temse uma resolução de

1000/400 = 2, 5 Hz. Já para 2400 linhas, a resolução é de 1000/2400 = 0, 42

Hz. A DFT requer N2 operações complexas, isto faz com que ela seja pouco

eciente quanto ao tempo de processamento.

A Transformada Rápida de Fourier (FFT), usada nos analisadores de

sinais, foi desenvolvida como artifício para computar a DFT de forma

extremamente eciente. Ela utiliza resultados de contas já armazenados e se

aproveita da periodicidade e simetria das funções trigonométricas fazendo

com que o número de operações seja de aproximadamente Nlog2(N). Para

N = 50 a FFT é em torno de 10 vezes mais rápida do que a DFT, para

N = 1000 ela se torna 100 vezes mais eciente e assim por diante.

Freqüência de amostragem: O Teorema de NyquistShannon [25] diz

que a freqüência mínima de amostragem necessária para evitar o mascara-

mento (aliasing) é de duas vezes a freqüência máxima do sinal.

Exemplo 5.1:

O programa t_ex (ver Anexo E) calcula a FFT de um sinal senoidal.

(a) (b)

Figura 5.3: (a) Sinal teórico (verde) e coletado (azul) (b) FFT dos sinais

DBD


102

A Figura 5.3a mostra um sinal senoidal em verde e uma curva azul

traçada por pontos amostrados em intervalos determinados. A razão (r)

entre a freqüência do sinal e a taxa de aquisição de dados é de um,

r = 1. Observase que a curva captada não corresponde à curva verdadeira,

tampouco à FFT deste sinal, Figura 5.3b.

(a) (b)


A Figura 5.4 mostra que, para r = 1, 5, ainda não se tem uma boa

representação de um sinal senoidal. A Figura 5.4b mostra que a FFT do

sinal coletado apresenta dois picos, como se houvesse duas freqüências.

(a) (b)


Figura 5.5 mostra que, para r = 2 existe uma boa representação do

sinal, conforme é postulado no Teorema de NyquistShannon. Para r = 50,

Figura 5.6, um sinal pode ser representado com muita conabilidade:

DBD


103

(a) (b)


Outra variável importante é o número de ciclos necessários para uma

boa resolução de uma FFT. Para um sinal ser captado em poucos segundos

há a necessidade de replicálo para que se consiga uma FFT aceitável.

Como nem sempre se consegue captar períodos completos acontece o erro

de vazamento (leakage):

(a) (b)

Figura 5.7: Vazamento

Para minimizar o problema do vazamento janelas (windows) são

usadas. A janela mais usada na monitoração da vibração de máquinas

rotativas é a Hanning, por ser mais adequada para sinais aleatórios.

Hanning:

w(t) =1

2

[1 + cos

(2πt

T

)](5-9)

ω = 0 para t < −T/2 e t > T/2.

DBD


104

Figura 5.8: Janela Hanning

Outras janelas conhecidas são: retangular, Barlett, Hamming, Black-

man e KaiserBessel.

A FFT é uma das principais ferramentas para a manutenção preditiva

de máquinas rotativas.Através da análise no domínio da freqüência podese

diagnosticar o problema de um equipamento sem precisar parar a produção.

(a) (b)

Figura 5.9: Coleta de sinais (a) Acelerômetro; (b) Sensor de proximidade

O registros de vibrações são coletados periodicamente (ou continua-

mente) através de acelerômetros (ou sensores de proximidade), Figura 5.9.

Os valores são armazenados em computadores, e programas especializados,

Figura 5.10, são usados para a análise.

DBD


105

Figura 5.10: Programa usado para auxiliar a análise dos dados de vibrações

Cada pico de vibração no espectro tem uma razão de existir e é através

desta análise que se busca a causa de um possível problema. Algumas

referências sobre diagnósticos de máquinas rotativas são: [2], [4] e [9]. A

seguir dois casos que aparecem rotineiramente:

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000 22000f [cpm]

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

7,5

8,0

8,5

9,0

9,5

10,0

v [mm/s]M

... TIRAS A QUENTE\13-SISTEMAS VENTILAÇÃO\283-SIST. VENT. SALA MOTORES\015-Ventilador WYD-5\Ventilador\3H -Mancal 3 \Velocidade - Espectro (06/04/2005 15:58:55)

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000 22000f [cpm]

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

7,5

8,0

8,5

9,0

9,5

10,0

v [mm/s]M

... TIRAS A QUENTE\13-SISTEMAS VENTILAÇÃO\283-SIST. VENT. SALA MOTORES\015-Ventilador WYD-5\Ventilador\3H -Mancal 3 \Velocidade - Espectro (06/04/2005 15:58:55)

1X RPM

Figura 5.11: Desbalanceamento

DBD


106

0 50000 100000 150000 200000 250000 300000f [cpm]

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

a [g]M

...Y1-E\Compressor\4A -Mancal 4 \Aceleração - Espectro (06/04/2005 16:00:59)

0 50000 100000 150000 200000 250000 300000f [cpm]

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

a [g]M

...Y1-E\Compressor\4A -Mancal 4 \Aceleração - Espectro (06/04/2005 16:00:59)

# pás X RPM

Figura 5.12: Problema uidodinâmico

A Figura 5.11 mostra o espectro de um equipamento que apresenta

desbalanceamento, que se evidencia pelo pico predominante em 1X (uma

vez a rotação nominal do eixo). A Figura 5.12 mostra o espectro de um

equipamento que apresenta cavitação. Há amplitude de vibração alta na

freqüência múltipla do número de pás do rotor.

5.3Função Resposta em Freqüência

A Função Resposta em Freqüência (FRF) se aplica em sistema lineares

e invariantes no tempo. Ela descreve a relação entre a resposta e a força

de excitação aplicada em um sistema mecânico. A resposta dinâmica pode

ser obtida tanto em deslocamento, como em velocidade ou em aceleração.

Como tanto a força de excitação quanto a resposta dinâmica são grandezas

vetoriais, há direções associadas a elas, portanto, a FRF é uma matriz

composta por diversas funções. Cada função é denida entre um forçamento

em um ponto e uma resposta dinâmica em outro ponto (ou no próprio ponto

de forçamento). Essa relação forçamentoresposta entre dois pontos de uma

estrutura é dada em função da freqüência.

Através da FRF é possível:

identicar e avaliar as vibração mecânicas;

detectar danos e modicações estruturais;

desenvolver modelos dinâmicos a partir de dados experimentais;

qualicar e certicar estruturas e equipamentos;

DBD


107

criar critérios e especicações para projetos;

Partindo do sistema:

M x(t) + Cx(t) +Kx(t) = F(t) (5-10)

Admitindo um forçamento harmônico F(t) = Fejωt e uma resposta

harmônica x(t) = Xejωt:

(−ω2M + jωC +K)Xejωt = Fejωt (5-11)

Desta forma o vetor com a amplitude dos deslocamentos X pode ser

encontrado para cada freqüência de excitação harmônica ω, bastando para

isso inverter uma matriz:

X = (−ω2M + jωC +K)−1F = H(w)F (5-12)

A FRF, que dene a relação entre o forçamento e a resposta em

deslocamento, é dada por:

H(ω) = (−ω2M + jωC +K)−1 (5-13)

H(ω) tem entradas complexas. Para um forçamento aplicado no nó j

e resposta obtida no nó i temse um termo da matriz: H(i, j). Cada H(i, j)

é uma FRF.

A Figura 5.13 mostra nove FRFs obtidas por um teste com martelo

de impacto em uma viga em balanço. Em destaque está H(3, 2); resposta

obtida no ponto 3 para um impacto aplicado no ponto 2.

DBD


108

Figura 5.13: FRF Teste com martelo de impacto

Um número complexo pode ser escrito em termos de magnitude e fase.

Analisando um elemento da FRF, Hij, perto de uma freqüência natural,

Figura 5.14, observase que existe uma variação de 1800 próximo aos valores

das freqüências naturais.

Figura 5.14: FRF perto de uma freqüência natural (a) amplitude (b) Fase

A parte imaginária de H também é de grande valia, pois é através

DBD


109

da parte imaginária que se obtém os modos de vibração de um sistema.

Traçando uma curva a partir dos primeiros picos da parte imaginária de

uma seqüencia de FRFs chegase à forma do primeiro modo de vibração.

Unindose os segundos picos obtémse o segundo modo de vibração e assim

por diante. A Figura 5.15 mostra este processo.

Figura 5.15: FRF Modos de vibração

Nomes das FRFs e suas inversas:

Complacência (Compliance) −→ deslocamento/força

Mobilidade (Mobility) −→ velocidade/força

Receptância (Receptance) −→ aceleração/força

Rigidez Dinâmica (Dynamic Stiness) −→ 1/Complacência

Impedância (Impedance) −→ 1/Mobilidade

Rigidez Inercial (Dynamic Mass) −→ 1/Receptância

DBD


110

Figura 5.16: Medição da FRF em uma estrutura

Exemplo 5.2:

Este exemplo encontrase no programa de MATLAB frf.m (ver Anexo

E) . Este programa calcula uma função FRF e os parâmetros modais de

um sistema dinâmico linear. Dadas as matrizes:

M =

4 0 0

0 4 0

0 0 4

, K =

8 −4 0

−4 8 −4

0 −4 4

, Cp = 110M + 1

12K

As freqüências naturais calculadas pelo programa são:

ωn =

1, 8019 0 0

0 1, 2470 0

0 0 0, 4450

As freqüências de oscilação do sistema amortecido calculadas pelo

programa são:

ωd =

1, 7924 0 0

0 1, 2417 0

0 0 0, 4412

Os modos de vibração calculadas pelo programa são:

Φ =

0, 2955 0, 3685 0, 1640

−0, 3685 0, 1640 0, 2955

0, 1640 −0, 2955 0, 3685

DBD


111

Os coecientes de amortecimento modais calculadas pelo programa

são:

ξ =

0, 1028 0 0

0 0, 0921 0

0 0 0, 1309

A FRF foi calculada de 0 a 2 rd/s com passo de discretização de 0,01

rd/s. A relação entre força de excitação e resposta dinâmico no primeiro

DOF está expressa na Figura 5.17.

Figura 5.17: FRF do sistema

A curva em verde é a FRF para o sistema sem amortecimento, e

a curva em azul é a FRF para o sistema com amortecimento. Perceba a

diferença na denição dos picos das duas curvas.

A FRF pode ser analisada a partir de outros parâmetros:

H(ω) =1

−mw2 + cjw + k=

R

(jω − p)+

R∗

(jω − p∗)(5-14)

Sendo:

R = −j 1

2mwd

, o resíduo;

wd = wn

√1− ξ2, a freqüência de oscilação do sistema amortecido;

DBD


112

p = −σ + jwd, o pólo;

σ =√w2

n − w2d = c/2m, a parte real do pólo;

∗ denota complexo conjugado.

A equação (5-14) representa a expansão em frações da FRF de um

sistema com um grau de liberdade. O parte real do pólo σ é a taxa com que

a oscilação amortecida decai com o tempo. A parte imaginária do polo wd é

a freqüência modal de oscilação do sistema amortecido. O resíduo R é um

número imaginário que está relacionado com a amplitude do modo.

Para sistemas com múltiplos graus de liberdade (MDOF) a equação

(5-14) é escrita da seguinte forma:

Hij(ω) =m∑

r=1

Rijr

(jω − pr)+

R∗ijr(jω − p∗r)

(5-15)

A vantagem de se escrever a FRF desta forma é que o pólo e o resíduo

podem ser obtidos das funções da FRF através de técnicas de ajuste de

curvas como por exemplo o Método dos Mínimos Quadrados. Uma FRF

pode ser obtidas por meio de testes de impactos ou por meio de excitadores

de freqüências. Um excitador é usado, por exemplo, para avaliar as condições

de trabalho de uma peneira vibratória industrial, Figura 5.18.

Figura 5.18: Peneira vibratória industrial

A FRF pode ser obtida por métodos de única entrada e única saída

(SISO - Single Input Single Output) ou por métodos de múltiplas entradas

e múltiplas saídas (MIMO - Multiple Input Multiple Output), ou ainda por

DBD


113

combinação destes dois métodos. Estas técnicas não serão discutidas neste

trabalho, mas elas são encontradas, por exemplo, em Maia [25].

Exemplo 5.3:

O programa frf2 (ver Anexo E) calcula a FRF, o pólo e o resíduo de

um sistema com um grau de liberdade:

Usando m = 1 kg e k = 400 N/s a FRF foi calculada para diversos

amortecimentos (c).

(a) (b)

Figura 5.19: (a) FRF (b) Ângulo de fase

A freqüência natural do sistema é 20Hz.

Para c=2: ξ = 0, 05 R=-0,025j e p=-1+19,975j.

Para c=20: ξ = 0, 5 R=-0,029j e p=-10+17,321j.

5.4Conclusões

As ferramentas apresentadas neste capítulo (FFT e FRF) são muito

usadas em indústrias como a petrolífera, siderúrgica, de energia elétrica,

etc. na manutenção preditiva de máquinas rotativas. No próximo capítulo

a Decomposição Ortogonal Própria, uma alternativa à Análise Modal, é

discutida.

DBD


6Decomposição de KarhunenLoève

6.1Introdução

O uso da Decomposição de KarhunenLoève (DKL) vêm crescendo

muito nos últimos anos em suas aplicações no campo da Engenharia. O

interesse desse método para este trabalho é o fato dele poder estender a

Análise Modal de forma que a resposta dinâmica de um sistema nãolinear

possa ser escrita como combinação linear de modos empíricos (explicados

mais a frente). A base de KarhunenLoève (KL) é a melhor base de projeção

para o Método de Galerkin.

Devido à relativa novidade do assunto, algumas páginas serão dedi-

cadas a esse tema. O objetivo da DKL é conseguir descrever um fenômeno

de interesse com uma dimensão reduzida que consiga capturar o máximo

desse fenômeno. A DKL é uma forma poderosa e elegante de se obter uma

descrição aproximada de dimensão reduzida de um processo.

A DKL surgiu primeiramente na literatura como PCA (Principal

Component Analysis) e era apenas uma ferramenta para a análise de

sinais. Depois foi estendida para o processamento de imagens e, mais tarde,

para diversas aplicações em engenharia [16]. Na Engenharia Mecânica as

primeiras aplicações foram em escoamentos turbulentos [24].

A DKL pretende obter características dominantes de uma resposta

dinâmica obtida através da análise de dados experimentais ou numéricos. A

DKL é usada na área de Turbulência, processamento de imagens, análise de

sinais, controle na engenharia química, oceanograa, etc. [16]. Esta técnica

também tem aplicação na dinâmica estrutural e em sistemas nãolineares.

O grupo de vibrações da PUCRio vem trabalhando com o assunto há

algum tempo, Sampaio et al [35, 49, 47, 46, 44].

Metodologia da DKL

DBD


115

A resposta do sistema é modelada como um processo estocástico de se-

gunda ordem. Entretanto se quer evitar complicações matemáticas com me-

didas de probabilidade associadas à resposta, descrição do espaço amostral

e σalgebra. Uma grande vantagem da DKL é que essas descrições são

desnecessárias, supondo duas condições adicionais: o processo é considerado

estacionário no tempo e ergódico, [27]. Denotando v como sendo o desvio

da resposta com relação à média:

v(x, t) = u(x, t)︸︷︷︸resposta

−E[u(x, t)]︸︷︷︸media

(6-1)

Logo, v é um processo estocástico com média zero e, por conseqüência,

seu tensor de correlação é igual ao seu tensor de autocorrelação, [28]. Se v

é real, então a função de autocorrelação espacial de dois pontos é denida

pelo produto tensorial:

R(x, x′) = E[v(x, t)⊗ v(x′, t)] (6-2)

Construção prática da base

Como visto em [35] existem dois métodos de construção das bases

de KL: o método direto e o método dos retratos. O presente trabalho lida

apenas com o método direto.

No método direto, os deslocamentos do sistema dinâmico são medidos

ou calculados em n pontos formando: u1(t), u2(t), ..., un(t). Os deslocamen-

tos são obtidos em m instantes de tempo. Montase a seguinte matriz com

os dados de deslocamentos:

U = [u1 u2 ... un] =

u1(t1) u2(t1) ... un(t1)

. . . .

. . . .

. . . .

u1(tm) u2(tm) ... un(tm)

(6-3)

Usando a hipótese de estacionaridade e ergodicidade, a variação do

DBD


116

campo com respeito ao valor médio é:

V = U − 1

m

m∑i=1

u1(ti)m∑

i=1

u2(ti) ...

n∑i=1

un(ti)

. . . .

. . . .

. . . .m∑

i=1

u1(ti)m∑

i=1

u2(ti) ...

m∑i=1

un(ti)

(6-4)

A matriz de correlação espacial é então formada:

R =1

mV TV (6-5)

A matriz R é simétrica. Ela gera autovetores ortogonais, que são os

modos ortogonais próprios (POMs). Os valores próprios (POVs) são dados

pelos autovalores da matriz R.

Exemplo 6.1:

Este problema é extremamente simples e serve para mostrar como uma

resposta dinâmica pode ser reconstruída a partir dos elementos da base de

KL. O programa massamola_kl (ver Anexo E) calcula a resposta dinâmica

de um sistema massamolaamortecedor, Figura 6.1.

Figura 6.1: Sistema massamolaamortecedor com dois graus de liberdade

Sistema: M x+ Cx+Kx = 0

M =

[2 0

0 3

]C =

[0, 4 −0, 1

−0, 1 0, 1

]e K =

[2 −1

−1 1

]

O sistema de equações diferenciais foi integrado pela subrotina ode45

do MATLAB. Dezesseis diferentes condições iniciais foram simuladas para

construir uma base de KL.

DBD


117

Primeiro termo da base de KL:

ψ1 =

[0, 5042

0, 8636

]

Segundo termo da base de KL:

ψ2 =

[−0, 8636

0, 5042

]

Energia em cada modo ortogonal próprio (POM):

λ1 = 0, 9054

λ2 = 0, 0946

A resposta do sistema pode ser escrita como:

X(t) = a1(t)

[0, 5042

0, 8636

]+ a2(t)

[−0, 8636

0, 5042

](6-6)

Os coecientes temporais a′is são determinados pela projeção da

dinâmica na base. A Figura 6.2 mostra os coecientes: a1 em azul e a2

em verde.

Figura 6.2: Coecientes temporais a1(azul) e a2(verde)

Condição inicial usada na simulação:

x1 = 1 m; x1 = 0 m/s

x2 = 0 m; x2 = 0 m/s

DBD


118

(a) (b)

Figura 6.3: Reconstrução com 1 POM (a) Resposta x1 (b) Resposta x2

A Figura 6.3 mostra a reconstrução da resposta dinâmica com apenas

um elemento da base de KL (curva em azul), neste caso o erro é conside-

rável. A Figura 6.4 mostra a reconstrução da resposta dinâmica com dois

elementos da base de KL, o resultado é preciso, visto que o sistema é nito

e todos os termos da base estão sendo usados.

(a) (b)

Figura 6.4: Reconstrução com 2 POMs (a) Resposta x1 (b) Resposta x2

6.2Base de KL e Modos de Vibração

Muito vem se pesquisando no intuito de se descobrir a relação entre os

modos empíricos (obtidos pela DKL) e os modos de vibração de um sistema

dinâmico.

Os modos empíricos obtidos pela DKL foram usados para discretizar

equações parciais nãolineares pelo Método de Galerkin na área de tur-

bulência, na área estrutural e também em sistemas de identicação, [13].

DBD


119

Num sistema dinâmica sem amortecimento: M u(t) +Ku(t) = F (t).

A solução para o sistema homogêneo (F (t) = 0) pode ser escrita como

u(t) = a1(t)v1 + a2(t)v2 + ..+ an(t)vn (6-7)

Sendo ai(t) = bisen(ωi +φi). bi e φi são constantes determinadas pelas

condições iniciais do problema.

ωi e vi são as freqüências naturais e os modos de vibração do sistema

determinados pelo problema de autovalor:

(−ω2M +K)v = 0 (6-8)

A matriz de amostragem V pode ser escrita como

V =

u(t1)

u(t2)

.

.

u(tm)

(6-9)

Sendo ci vetores de dimensão m × 1 compostos pelos coecientes ai

em m instantes de tempo.

A matriz de correlação espacial ca:

R =1

n[c1v

T1 + ..+ cnv

Tn ]T [c1v

T1 + ..+ cnv

Tn ] (6-10)

Sendo n o número de linhas da matriz V .

Os modos de vibração são normalizados em relação à matriz de massa:

vTi Mvi = δij. Supondo M proporcional à matriz identidade, de maneira que

os modos sejam ortonormais, vTi vi = δij, a pós multiplicação da expressão

de R por um dos modos de vibração resulta em

Rvi =1

n[c1v

T1 + ..+ cnv

Tn ]T [c1v

T1 + ..+ cnv

Tn ]vi =

1

n(v1c

T1 ci + ..+ vnc

Tnci)

(6-11)

Como as freqüências dos modos de vibração são distintas, os termos

(vicTi cj)/m tendem a zero quando m→∞, menos o termo (vic

Ti ci)/m, que

será proporcional à vi, [12]. Isto signica que vi se tornou um autovetor

de R. Em outra palavras,para um número de amostras grande os POMs

convergem aos modos normais de vibração. Já os POVs, autovalores de R,

DBD


120

convergem para os valores médios quadráticos das respectivas amplitudes

modais.

Feeny e Kappagantu [12] também mostram uma maneira de contornar

a situação em que a matriz de massa M não é proporcional à matriz

identidade. Criase uma matriz de correlação ajustada:

R = RM (6-12)

E o resulta é o seguinte

Rvi = 1n[c1vT

1 + ..+cnvTn ]T [c1vT

1 + ..+cnvTn ]vi = 1

n(v1c

T1 ci + ..+vnc

Tnci)

lim n→∞ Rvi =vic

Ti cin

(6-13)

Portanto os POMs da matriz de correlação ajustada também con-

vergem para os modos normais de vibração do sistema. R não é, neces-

sariamente, uma matriz simétrica, o que implica que seus autovetores nem

sempre serão ortogonais. O termo POM nesses casos pode não ser o mais

adequado.

Quando o sistema tem amortecimento viscoso

u(t) = a1(t)v1 + a2(t)v2 + ..+ an(t)vn (6-14)

Agora com ai(t) = bie−ξωitsen(ωi + φi). Neste caso a eq (36) não é

mais válida, já que quando t → ∞ todos os termos vicTi cj/m tenderão a

zero. Como na prática m é nito, se a estrutura for levemente amortecida,

de forma que vários períodos de oscilação sejam observados, esperase que

os POMs tenham boa convergência com os modos de vibração do sistema.

Quando a estrutura sofrer forçamento harmônico a eq (36) também

não será válida, já que os coecientes ai(t) terão a mesma freqüência, e

nenhum termo vicTi cj/m tenderá a zero.

Uma grande limitação em se usar a DKL na análise experimental

modal é a necessidade de se saber a priori a distribuição de massa do sistema,

ou seja, devese ter conhecimento da matriz de massaM , para que os POMs

e POVs possam ser calculados corretamente.

Podese provar, [48], que a base de KL é a melhor base para repre-

sentar o problema, no sentido de não existir uma outra base que consiga

representar melhor o problema com o mesmo número de termos.

Exemplo 6.2:

DBD


121

A resposta dinâmica de um disco girante com molas restringindo as

rotações nos eixos x1 e x2 é obtida. Este exemplo encontrase no programa

de MATLAB disco_kl (ver Anexo E).

X1X2

Figura 6.5: Rotor com dois graus de liberdade, x1 e x2, e velocidade de

rotação constante, Ω

Este é um exemplo simples que tem como objetivo tornar mais fami-

liar o uso da DKL, bem como as conseqüências de sistema com a presença

de forças giroscópicas. Dez diferentes condições iniciais foram utilizadas

para simular o sistema e formar a matriz de correlação R para que os

termos da base de KL fossem calculados.

Sistema: M x+Gx+Kx = 0

M =

[I 0

0 I

]G =

[0 −IpΩIpΩ 0

]e K =

[Kt 0

0 Kt

]

Sendo:

d o diâmetro do disco (a espessura é considerada pequena);

I o momento de inércia;

Ip o momento de inércia polar;

Kt a rigidez em cada direção;

Ω a velocidade de rotação do disco;

Dados da simulação:

d = 1m I =πd4

64m4 Ip =

πd4

32m4 Kt = 1000N.m

As respostas dinâmicas do sistema foram calculadas para a seguinte

condição inicial (esta condição inicial não foi usada na construção da base

de KL):

x1 = 0 rad; x1 = π/90 rad/s

DBD


122

x2 = 0 rad; x2 = 0 rad/s

O sistema tem dimensão 2 x 2, logo gera uma base com dois elementos.

Os dois modos empíricos foram calculados através da Decomposição de KL

e usados para a reconstrução de todas as dinâmicas.

Primeiro caso: Ω = 1 rad/s

λ =

[0, 6602

0, 3398

]

ψ =

[0, 5588 −0, 8293

0, 8293 0, 5588

]

(a) (b)

Figura 6.6: Resposta dinâmica (a) x1 (b) x2

A Figura 6.6 mostra que, enquanto a resposta de x1 é amplicada, a

resposta de x2 é reduzida. Existe uma troca de energia entre x1 e x2.

Segundo caso: Ω = 10 rad/s

λ =

[0, 5161

0, 4839

]

ψ =

[0, 2780 0, 9606

0, 9606 −0, 2780

]

DBD


123

(a) (b)

Figura 6.7: Resposta dinâmica (a) x1 (b) x2

A Figura 6.7 mostra novamente que existe uma troca de energia entre

as direções, se a resposta em uma direção aumenta, a resposta na outra

direção diminui, e viceversa.

A reconstrução da resposta dinâmica através da base de KL foi precisa,

o que era de se esperar, pois nesse caso o sistema é nito e todos os termos da

base estão sendo usados na reconstrução. Caso apenas um POM seja usado

na reconstrução, a resposta dinâmica não será bem representada, observe a

Figura 6.8.

Figura 6.8: Reconstrução (em azul) com apenas 1 POM

Este sistema tem duas freqüências naturais, w1 e w2. w1 é chamada

de freqüência retrógrada, pois o disco gira no sentido oposto ao sentido de

rotação do rotor. w2 é chamada de freqüência direta, pois o disco gira em

DBD


124

concordância com o sentido de rotação do rotor. Se a rotação for zero, existe

apenas uma freqüência natural.

w1 =

√νΩ + ν2Ω2 + 4w2

0

2

w2 =

√−νΩ + ν2Ω2 + 4w2

0

2(6-15)

Sendo ν = Ip/I e w0 = Kt/I. O diagrama Campbell mostra as

freqüências naturais versus a velocidade de rotação do rotor.

Figura 6.9: Diagrama de Campbell para um disco

Caso I > IP , ou seja, o disco esteja mais próximo de um cilindro, o

diagrama de Campbell ca:

DBD


125

Figura 6.10: Diagrama de Campbell para um cilindro

6.3Barra chocando-se contra um ostáculo

Um programa chamado barra_choque foi desenvolvido para analisar

este problema. Considere a barra representada na Figura 6.11:

Figura 6.11: Barra chocandose contra um obstáculo

Neste exemplo uma barra é excitada por uma força senoidal na

extremidade livre. O movimento da barra é limitado por um obstáculo

que está a uma distância pequena da extremidade livre. O impacto com

o obstáculo é modelado como uma força de mola, proporcional à rigidez

do obstáculo. O choque entre a barra e o obstáculo introduz uma não

DBD


126

Comprimento da barra, L = 1 mDiâmetro da barra, d = 10 cmMódulo de elasticidade, E = 200 GPaDensidade, ρ = 7850 kg/m3

Amortecimento, c = 0, 01 Ns/m2

Rigidez do obstáculo, ka = 100 GN/mForça de excitação, F = 1000 NFreqüência de excitação, ff = 100 HzDistância barraobstáculo, dist = 0, 01 µm

Tabela 6.1: Dados usados no programa barra_choque

linearidade ao sistema. Os dados do problema são:

O Método dos Modos Supostos é usado para discretizar o sistema, a

aproximação é dada por uN(x, t) =N∑

i=1

ai(t)φi(x) . A formulação fraca de

uma barra livre em uma extremidade e livre na outra é dada por:

ai(t)ρA

∫ L

0

φi(x)φj(x)dx+ ai(t)c

∫ L

0

φi(x)φj(x)dx

+ai(t)EA

∫ L

0

dφi(x)

dx

dφj(x)

dxdx =

∫ L

0

PL(t)φj(x)dx

(6-16)

Sendo:

M(φi, φj) = ρA

∫ L

0

φi(x)φj(x)dx , K(φi, φj) = EA

∫ L

0

dφi(x)

dx

dφj(x)

dxdx

C(φi, φj) = c

∫ L

0

φi(x)φj(x)dx F (φj) =

∫ L

0

PL(t)φj(x)dx

(6-17)

A força PL inclui a força de excitação e a força devido ao choque:

PL = Pfsen(ωf t)δ(x− xL) +N∑

i=1

Fci(t)δ(x− xL) (6-18)

Sendo:

Fci(t) = −ξ [ka uLi(t)]ξ = 0 p/ uLi < dist

ξ = 1 p/ uLi > dist(6-19)

O sistema discreto ca:

M a(t) + Ca(t) +Ka(t) = F(t) (6-20)

Este sistema de EDOs é integrado numericamente através da subrotina

DBD


127

ode45 do MATLAB.

Primeiramente é feito um teste como o ∆t de integração e o número

de modos (N) para saber os valores mais adequados a serem usados na

simulação:

(a) (b)

Figura 6.12: (a) Convergência da aproximação, variando ∆t; (b) Convergên-

cia da aproximação, variando N

A Figura 6.12 mostra a convergência da aproximação variandose ∆t

e N . As simulações seguintes foram feitas com: ∆t = 0, 0001 e N = 5.

A Figura 6.13 mostra a resposta dinâmica do ponto da extremidade

livre da barra.

Figura 6.13: Resposta do ponto da extremidade livre da barra

A linha vermelha representa a posição do obstáculo. A força média

(uma medida da energia) que atua no obstáculo foi calculada variandose

DBD


128

a distância e a rigidez do obstáculo ka. A Figura 6.14 mostra que a força

média varia linearmente com a distância e assintoticamente com a rigidez

do obstáculo para os valores considerados.

(a) (b)

Figura 6.14: (a) Força média x dist; (b) Força média x ka

Base de Karhunen-Loève:

Agora a base de KL (ou modos empíricos ou POMs) é calculada

a partir de diversas simulações. A dinâmica será projetada nessa base.

A Figura 6.15 compara os três primeiros modos de vibração com os três

primeiros POMs.

Figura 6.15: Modos de vibração x base de KL

Um fato curioso é que o segundo modo empírico se assemelha com

o terceiro modo de vibração e o terceiro modo empírico se assemelha

DBD


129

com o segundo modo de vibração. Os três primeiros valores ortogonais

próprios (POVs) computados foram: [0, 9984; 0, 0009; 0, 0007]. Estes valores

representam o quanto cada POM contribui para a resposta dinâmica.

Observase que quase toda a energia está no primeiro modo empírico.

A dinâmica pode ser reconstruída com os elementos da base de KL.

Sirovich, [40], recomenda que 99% da energia deve ser considerada para

representar o problema, o primeiro POM contém mais de 99% da energia.

A Figura 6.16 mostra uma comparação da resposta dinâmica em x = L,

aproximando com cinco modos normais, com três modos normais e com um

modo empírico.

Figura 6.16: Aproximação da resposta dinâmica em x = L

A Figura 6.17 mostra o detalhe do choque. É possível notar que a

resposta para uma aproximação com cinco modos normais (curva azul) é

praticamente coincidente com a aproximação com um modo empírico (curva

verde). Já a aproximação com três modos normais (curva preta) apresenta

nítida diferença com as outras duas aproximações.

DBD


130

Figura 6.17: Aproximação da resposta dinâmica perto da região de choque

Os modos empíricos calculados pela DKL conseguem capturar melhor

a dinâmica do que os modos normais. Isto se deve ao fato da DKL levar

em consideração a não linearidade do sistema. Este exemplo ilustra como a

base de KL é a melhor base de projeção da dinâmica.

Apesar do primeiro modo empírico ser muito semelhante ao primeiro

modo de vibração, Figura 6.18:

Figura 6.18: Primeiro modo normal x Primeiro modo empírico

Para o cálculo da resposta dinâmica, a segunda derivada do modo

entra no cálculo da matriz de rigidez (K) do problema. Comparando a

DBD


131

segunda derivada do primeiro modo normal com a segunda derivada do

primeiro modo empírico, Figura 6.19, percebese uma nítida diferença entre

as funções:

Figura 6.19: Derivada segunda do primeiro modo normal x Derivada segunda

do primeiro modo empírico

6.4Conclusões

Neste capítulo a Análise Modal foi estendida para sistemas não

lineares: os elementos da base de KarhunenLoève geram um espaço de

Hilbert, e esta base é a melhor base de projeção para dinâmica. No capítulo

seguinte é analisado um caso de um sistema rotormancal modelado de

forma similar ao exemplo da barra chocandose contra um obstáculo.

Entretanto o sistema é muito mais complexo.

DBD


7Inuência do desbalanceamento e folga nos mancais deum rotor em balanço

Neste capítulo um sistema rotormancal é modelado conforme as

teorias descritas nos capítulos anteriores. Este capítulo gerou um artigo que

foi selecionado para ser publicado no Congresso Internacional de Engenharia

Mecânica (COBEM 2005), [32], Novembro de 2005, Ouro Pedro, MG.

Máquinas rotativas são muito importantes no processo produtivo e a cada

dia os processos demandam que equipamentos operem por períodos mais

longos e com cargas e rotações maiores. O objetivo é investigar a inuência

do desbalanceamento e folgas nos mancais de um exaustor, modelado como

um rotor em balanço. Os mancais são os componentes que suportam toda

energia da carga e de eventuais impactos. Os choques introduzem não

linearidades no modelo. O sistema rotormancal é modelado como um

sistema contínuo, na sua formulação fraca. O Métodos de Galerkin é usado

para discretizar o sistema. As forças nos mancais e a Transformada Rápida

de Fourier (Fast Fourier Transform FFT) da resposta transiente são

computados. Os valores obtidos por simulação numérica são comparados,

qualitativamente, com casos reais.

7.1Introdução

Máquinas rotativas são muito utilizadas em diversos tipos de indús-

trias como: geração de energia elétrica, siderurgia, petróleo e gás, papel e

celulose, etc. A modelagem de rotores é essencial para a análise dinâmica e

controle de vibração de sistemas como exaustores, motores, bombas, com-

pressores, geradores, etc.

O desbalanceamento de componentes girantes é a causa mais comum

de vibração alta em máquinas rotativas. Há muitas normas sobre balancea-

mento como por exemplo: ISO 2953 Mechanical Vibration Balancing

machines Description and evaluation (Vibração Mecânica Balancea-

DBD


133

mento de máquinas Descrição e avaliação); ISO 19401 Mechanical

Vibration Balance quality requirements for rotors in a constant (rigid)

state (Vibração Mecânica Qualidade do balanceamento requerida para

motores em estado constante (rígido)); ISO 11342 Methods and criteria

for the mechanical balancing of exible rotors (Métodos e critérios para o

balanceamento mecânico de rotores exíveis).

Desbalanceamento, desalinhamento e folga são responsáveis por quase

90% dos problemas de vibração de máquinas rotativas. Serão tratados os

casos de desbalanceamento e folga. Os mancais são os componentes que

suportam essa vibração. A norma ISO 10816 Mechanical vibration Eval-

uation of machine vibration by measurements on nonrotating parts (Vi-

bração mecânica Avaliação da vibração de máquinas através da medição

nas partes não girantes) tem referências de níveis de vibração bons e

aceitáveis medidos nos mancais de diversas máquinas rotativas.

Childs (1993) [7] é uma das referências padrão na modelagem e análise

rotodinâmica. Os modelos matemáticos de rotores são complexos mesmo

para casos lineares. Qiu e Rao (2005) [30] usam uma abordagem diferente,

com lógica nebulosa, para o problema. Os parâmetros de um sistema

rotormancal apresentam variações e incertezas consideráveis devido à

fabricação, montagem e condições operacionais. Será tratado apenas o caso

determinístico neste trabalho.

A folga e o desbalanceamento são investigados por muitos artigos

recentes. A questão da folga interna radial de mancais de rolamento é

investigada por Harsha (2005a e 2005b) [14, 15], Sinou e Thouverez (2004)

[39] e Tiwari et al. (2000) [43]. Todos estes artigos consideram as não

linearidades causadas pelo contato de Hertz e desenvolvem modelos através

de sistemas massamola. Karlberg e Aidanpää (2003 and 2004) [20], [21]

e Vakakis e Azeez (1999) [45] consideram folga entre rolamento e caixa

de rolamento e folga entre eixo e rolamento, respectivamente. Todos os

artigos citados centralizam suas discussões em movimentos caóticos, mapas

de Poincaré, diagramas de bifurcação e expoentes de Lyapunov. Neste

trabalho, por outro lado, o domínio da freqüência é usado para caracterizar

alguns problemas. Na manutenção preditiva a ferramenta mais utilizada

para identicar causas de problemas em máquinas rotativas através da

análise de vibrações é a FFT.

A grande limitação de modelos simples massamola é a falta de um

esquema para computar o erro do modelo, além da diculdade para a

escolha dos parâmetros. Esses modelos certamente ajudam na compreensão

do fenômeno, mas não podem descrevêlos quantitativamente já que não há

DBD


134

um esquema de aproximação. Modelos contínuos não têm esta limitação;

quando a discretização é feita pelo Método de Galerkin as propriedades que

aparecem são as do material e há um esquema de aproximação intrínseco.

A análise de rotores por elementos nitos normalmente resulta em

problemas com dimensão muito grande, o que torna o cálculo da resposta

transiente muito lenta. Esta discretização inclui muitos modos insigni-

cantes por causa da extensão do autoespectro. Vakakis e Azeez (1999) [45]

usam o Método dos Modos Supostos e a Decomposição de KarhunenLoève

(KLD) para reduzir o sistema. KLD é uma técnica relativamente recente

na análise de vibrações que usa estatística para formar uma base de pro-

jeção da dinâmica que contém a maior parte da coerência. KLD funciona

bem tanto para sistemas lineares como para sistemas nãolineares, Wolter

e Sampaio (2001) [46].

Folgas danosas entre rolamento e caixa de mancal acontecem caso haja

desgaste das partes ou problemas de fabricação ou na montagem. Em muitas

máquinas rotativas, devido a expansão térmica do eixo, um rolamento deve

ser livre para deslocar na direção axial, portando naturalmente haverá

alguma folga. Os rolamentos são os componentes que absorvem as energias

dos impactos e da carga, tendo, como conseqüência, sua vida reduzida.

Um modelo contínuo de um rotor em balanço com folga é simulado. A

caixa de mancal é representada por molas e amortecedores simetricamente

distribuídos pelo perímetro da seção transversal do eixo. Uma discretização

inicial é feita pelo Método dos Elementos Finitos para computar os modos

de vibração do sistema. Depois o Método dos Modos Supostos é usado na

simulação do problema.

O objetivo é calcular a FFT da resposta dinâmica em determinados

locais e usar esta informação para avaliar o estado da máquina.

A motivação para a construção deste modelo é correlacionar e melhor

entender a dinâmica observada em diversas máquinas rotativas. Observase

que o desbalanceamento e a folga afetam as forças e choques que atuam nos

rolamentos. A FFT do sinal no tempo capturado nos mancais pode ser bem

distinta para diferentes folgas e desbalanceamentos. A análise de vibração

na manutenção preditiva de máquinas rotativas é feita com base na FFT

observada, portanto é de vital importância numa indústria entender como a

FFT descreve o estado das máquinas. Grau de qualidade de balanceamento,

folga, e rotação da máquina são usados como parâmetros.

DBD


135

7.2Motivação

Dois casos representativos são discutidos, um recente e um antigo. Os

dois aconteceram na CST (Companhia Siderúrgica de Tubarão), Espírito

Santo, Brasil. Estes casos servem de motivação e guia para o desenvolvi-

mento do modelo que pretende melhorar o entendimento de sistemas roto-

dinâmicos.

Qualquer carta de vibração (veja Bloch e Geitner 1983 [4]) mostra

que quando há desbalanceamento, o espectro de freqüências apresenta um

pico na freqüência de rotação da máquina (X). Quando há folgas diversas

(entre rolamento e caixa de mancal, por exemplo), o espectro de freqüências

apresenta diversos picos em freqüências múltiplas da freqüência de rotação

da máquina (2X, 3X,...).

Para entender melhor o fenômeno em estudo observe a Figura 7.1. A

gura mostra um corte transversal do mancal.

Caixa do mancal

Rolamento

Eixo

Folga

Figura 7.1: Corte transversal do mancal

DBD


136

7.2.1Exaustor Principal da Máquina de Lingotamento Contínuo rotaçãonominal 1185 RPM

Figura 7.2: Exaustor Principal da Máquina de Lingotamento Contínuo

A medição de vibração foi feita com um acelerômetro na posição 4H

(horizontal), Figura 7.2. A velocidade é obtida pela integração do sinal

coletado. A Figura 7.3 mostra o espectro de freqüências.

harmônicos

CPM CPM

V(mm/s)

1XRPM=4,6mm/s30/01/2005 09/02/2005

1XRPM=1,7mm/s

(a) (b)

Figura 7.3: Espectro de freqüências. (a) 30 de janeiro de 2005, (b) 9 de

fevereiro de 2005

Um pedaço de metal agarrou em uma pá do rotor no dia 30 de janeiro

de 2005 aumentando assim o desbalanceamento. A inuência da folga entre

rolamento e caixa de mancal está registrada no espectro de freqüências,

Figura 7.3a. É possível ver diversos harmônicos (2X, 3X,..).

Após a remoção do pedaço de metal da pá e a realização de um bal-

anceamento de campo, os harmônicos praticamente desapareceram, Figura

7.3b. O desbalanceamento residual cou em 1,7 mm/s 0Peak.

DBD


137

7.2.2Exaustor da dessulfuração rotação nominal 1800 RPM

Figura 7.4: Exaustor da dessulfuração

A medição de vibração foi feita com um acelerômetro na posição 3H

(horizontal), Figura 7.4. A Figura 7.5 mostra o espectro de freqüências.

(a) (b)

Figura 7.5: Espectro de freqüências. (a) 2 de julho de 2001, (b) 23 de maio

de 2002

A folga neste caso era tamanha que mesmo um pequeno desbalancea-

mento provocava choques. Era necessária, quase que mensalmente, a rea-

lização de balanceamento de campo, uma operação dispendiosa. A Figura

7.5a mostra o espectro de freqüências para um pequeno desbalanceamento

praticamente não se observa harmônicos. A Figura 7.5b mostra o espec-

tro de freqüências para um desbalanceamento maior é possível observar

diversos harmônicos (2X, 3X,..).

A especicação do rolamento teve que ser mudada, diminuindo assim

a folga e resolvendo o problema.

DBD


138

7.2.3Desbalanceamento x Vida do rolamento

Para caracterizar o desbalanceamento de um rotor será usado o grau

de qualidade de balanceamento (G), um índice obtido da experiência acu-

mulada de um grande número de rotores diferentes (consulte ISO 1940/1).

Geralmente o desbalanceamento residual permissível (Uper [kg ×m])

para rotores é proporcional à massa do rotor (Uper ∼Mrotor). O desbalacea-

mento residual especíco permissível é denido como: eper = Uper/Mrotor. A

experiência mostra que o desbalanceamento residual especíco permissível

varia inversamente com a rotação do rotor. (Uper ∼ 1/Ω). Finalmente:

G = eperΩ1000 [mm/s] (7-1)

Sendo Ω a velocidade de rotação em rad/s e eper=[kg ×m/kg].

Nas análises numéricas realizadas nas próximas seções G é um

parâmetro escolhido e o desbalanceamento é calculado:

U =GMrotor

Ω1000[kg ×m] (7-2)

Uma massa desbalanceada pode produzir uma força síncrona excessiva

que reduz a vida de vários elementos mecânicos.

Por exemplo, considere uma máquina com grau de qualidade de

balanceamento G = 6, 3 e rotação 2000 RPM , com rolamento de esferas

(SKF 6917). A vida do rolamento pode ser calculada com ou sem a carga

extra devido ao desbalanceamento.

Considerando uma carga de 1757 Newtons a vida do rolamento será

de 21,4 anos. A força centrífuga devido ao desbalanceamento neste caso é de

132 Newtons. Esta carga adicional devido ao desbalanceamento reduz a vida

do rolamento em 27% (15,6 anos). Este cálculo não leva em consideração

folgas excessivas e choques. Dependendo das características do equipamento

e da rotação a redução da vida pode ser maior ou menor.

7.3Equacionamento

Um programa chamado rotor_choque foi desenvolvido para analisar o

problema. A Figura 7.6 mostra o esquema de um sistema contínuo de um

rotor em balanço.

DBD


139

Figura 7.6: Sistema rotodinâmico considerado

A duas direções estão acopladas devido às forças giroscópicas. Supõe

se que a inércia rotatória tem pouca inuência na dinâmica do sistema

considerado.

O modelo de viga EulerBernoulli é usado. As forças externas que

atuam no sistema são: forças centrífugas devido ao desbalanceamento; forças

devido à massa do rotor e à gravidade; e forças devido aos impactos, que

introduzem as não linearidades ao sistema.

As forças devido ao desbalanceamento (Q1,2) e aos impactos (P1,2) são

escritas como:

Q1 = UΩ2cos(Ωt) , Q2 = UΩ2sen(Ωt)−Mrg

P1 = −ξ(kh

(r − c)u1

r+ dh

(u1u1 + u2u2)u1

r2

)P2 = −ξ

(kh

(r − c)u2

r+ dh

(u1u1 + u2u2)u2

r2

) (7-3)

Sendo:

c = folga , ξ = 1 se r ≥ c , e ξ = 0 se r < c

r =√u2

1 + u22 , g = aceleração da gravidade

dh = amortecimento do batente, kh = rigidez do batente

U = desbalanceamento

Os impactos só ocorrem para deslocamentos que ultrapassam o ba-

tente.

O sistema é discretizado pelo Método dos Elementos Finitos para que

sejam computados os modos de vibração, dada uma determinada precisão,

Figura 7.7.

DBD


140

u1 → deslocamento na direção e1u2 → deslocamento na direção e2φ → modos de vibraçãoE → módulo de elasticidadeI → momento de inércia do eixom → densidade vezes área da seção (ρA)Mr → massa do rotorIr → momento de inércia do rotorL → comprimento do eixoΩ → velocidade de rotaçãod1 e d2 → coecientes de amortecimentoxB3 e xB4 → posicionamento dos mancais

Tabela 7.1: Parâmetros do programa rotor_choque

Figura 7.7: Viga engastada em uma extremidade e com uma massa na outra,

discretizada pelo MEF

A precisão requerida foi de 0, 0005% de erro no quadragésimo modo.

Para satisfazer esta precisão foram necessários 450 elementos e aproximada-

mente 7 minutos de simulação. O sistema tem então sua dinâmica projetada

nos modos de vibração calculados. A formulação fraca, levando em consid-

eração as forças externas e as condições de contorno pode ser escrita como:

∫ L

0

(EI

∂4u1

∂x4+m

∂2u1

∂t2+ 2ΩIr

∂2u2

∂x∂tδ′(x− L) + d1

∂u1

∂t

)φjdx

=

∫ L

0

(P1(t)δ(x− xB3)) +

∫ L

0

(P1(t)δ(x− xB4) +Q1(t)δ(x− L))φjdx∫ L

0

(EI

∂4u2

∂x4+m

∂2u2

∂t2− 2ΩIr

∂2u1

∂x∂tδ′(x− L) + d2

∂u2

∂t

)φjdx

=

∫ L

0

(P2(t)δ(x− xB3))

∫ L

0

(P2(t)δ(x− xB4) +Q2(t)δ(x− L))φjdx

(7-4)

A Tabela 7.1 mostra o signicado de cada parâmetro da equação (7-4).

DBD


141

A aproximação é dada por:

u1 =N∑

i=1

aiφi ; u2 =N∑

i=1

biφi (7-5)

Sendo N o número de modos usados na aproximação. As funções da

base φ são os autovetores de uma viga engastada com massa na extremidade

calculadas pelo MEF.

Após a integração por partes, usando as condições de contorno e

substituindo u1 e u2 por suas aproximações chegase ao seguinte sistema

de equações:

ai

∫ L

0

mφiφjdx+ ai

∫ L

0

EIφ′′i φ′′jdx+ bi2ΩIrφ

′′i (L)φ′j(L)

+ai

∫ L

0

d1φiφjdx = P1(t)φj(xB3) + P1(t)φj(xB4) +Q1(t)φj(L)

bi

∫ L

0

mφiφjdx+ bi

∫ L

0

EIφ′′i φ′′jdx− ai2ΩIrφ

′′i (L)φ′j(L)

+bi

∫ L

0

d2φiφjdx = P2(t)φj(xB3) + P2(t)φj(xB4) +Q2(t)φj(L)

(7-6)

A formulação fraca é, através do Método de Galerkin, discretizada

resultando em um sistema de equações diferenciais ordinárias.

Os operadores obtidos da primeira equação são os seguintes:

M1(φi, φj) = m

∫ L

0

φi(x)φj(x)dx

C1(φi, φj) = d1

∫ L

0

φi(x)φj(x)dx

G1(φi, φj) = 2ΩIrφ′′i (L)φ′j(L)

K1(φi, φj) = EI

∫ L

0


F1(φj) = P1(t)φj(xB3) + P1(t)φj(xB4) +Q1(t)φj(L)

(7-7)

DBD


142

Os operadores obtidos da segunda equação são os seguintes:

M2(φi, φj) = m

∫ L

0

φi(x)φj(x)dx

C2(φi, φj) = d2

∫ L

0

φi(x)φj(x)dx

G2(φi, φj) = 2ΩIrφ′′i (L)φ′j(L)

K2(φi, φj) = EI

∫ L

0


F2(φj) = P2(t)φj(xB3) + P2(t)φj(xB4) +Q2(t)φj(L)

(7-8)

Os operadores do sistema são os seguintes:

M(φi, φj) =

[M1(φi, φj) 0

0 M2(φi, φj)

]

C(φi, φj) =

[C1(φi, φj) 0

0 C2(φi, φj)

]

G(φi, φj) =

[0 G1(φi, φj)

−G2(φi, φj) 0

]

K(φi, φj) =

[K1(φi, φj) 0

0 K2(φi, φj)

]

F (φj) =

[F1(φj)

F2(φj)

], X(t) =

[ai(t)

bi(t)

]

(7-9)

O sistema discreto ca:

MX(t) + (C +G)X(t) +KX(t) = F(x, t) (7-10)

7.4Simulação numérica

O sistema de equações diferenciais parciais obtido na seção anterior é

integrado através da subrotina do MATLAB ode45.

Os parâmetros usados na simulação padrão são dados na Tabela 7.2:

DBD


143

Comprimento do eixo, L = 3053 mmDiâmetro do eixo, Ds = 110 mmMassa do rotor, Mr = 600 kgMódulo de elasticidade, E = 193 GPaDensidade, ρ = 8000 kg/m3

Amortecimento, d1 = d2 = 1000 Ns/m2

Grau de qualidade de balanceamento, G = 6 mm/sfolga, c = 7, 5 µmrigidez do batente, kh = 1 GN/mPosicionamento do mancal 3, xB3 = 1, 692 mPosicionamento do mancal 4, xB4 = 2, 302 mLargura do mancal, Bw = 58 mmVelocidade de rotação, Ω = 124 rd/s = 1185 RPM

Tabela 7.2: Dados usados no programa rotor_choque

As dimensões e propriedades dos materiais são as do exaustor da

seção 7.2.1, exceto pela rigidez do batente e pelos amortecimentos. O

amortecimento do sistema foi escolhido propositadamente grande devido,

infelizmente, a falta de disponibilidade de computadores mais poderosos.

O objetivo aqui é fazer uma investigação qualitativa de como as forças

que atuam nos mancais e a curva FFT se comportam com a mudança de

parâmetros como desbalanceamento e folga.

(a) (b)

Figura 7.8: (a) Convergência da aproximação, variando dt; (b) Convergência

da aproximação, variando N

A massa do rotor foi incluída na simulação como uma força agindo na

direção de u2 na extremidade do eixo.

Para selecionar o passo de integração (dt) e o número de modos da

aproximação (N) que serão usados na geração das dinâmicas, o erro da

DBD


144

dinâmica foi calculado para diferentes passos de integração e número de

modos.

A Figura 7.8 mostra o erro percentual da dinâmica calculada no

mancal 3 para diferentes passos de integração e número de modos da

aproximação. O erro diminui com o aumento do número de modos e com

a diminuição do passo de integração. O ponto ótimo encontrado para as

simulação realizadas é: t = 0, 001 e N = 10, desta forma todas as

simulações foram feitas com esses parâmetros xados em seus melhores

valores.

A Figura 7.9 mostra a forma do eixo quando a máquina está em

operação. A zona de carga do mancal número quatro é na região inferior

da caixa de mancal enquanto que a zona de carga do mancal número três é

região superior.

Figura 7.9: Conguração do eixo quando em operação

(a) (b)

Figura 7.10: Resposta dinâmica no mancal número 3. (a) Resposta tran-

siente u1 (azul) e u2 (verde); (b) Órbita após transiente

A Figura 7.10 mostra a resposta dinâmica e órbita no mancal número

três. Os valores da simulação só são registrados após a estabilização do

sistema.

DBD


145

Simulações foram feitas para diferentes rigidezes do batente. A Figura

7.11 mostra que a força média no mancal 4 aumenta como o aumento da

rigidez. Entretanto, existe um ponto (kh = 10 GN/m para esta simulação)

acima do qual as forças se mantêm praticamente constante. Já a força média

no mancal 3 tem o comportamento inverso, ela diminui até um certo valor.

Figura 7.11: Força média no mancal número 3 (azul) e 4 (verde)

Simulações foram feitas variando o amortecimento do batente de 1

a 1000 Ns/m2. Os valores foram os mesmos para os diferentes valores de

amortecimento (erros menores que 0,01%). O amortecimento do batente não

tem inuência na dinâmica para este modelo.

DBD


146

Figura 7.12: Força média no mancal número 4

Para diferentes velocidades de rotação a Figura 7.12 mostra que a

força média no mancal número quatro aumenta com o aumento da rotação.

A relação é quase quadrática, o que é compatível com a relação Fc = UΩ2.

O foco da investigação é a inuência do desbalanceamento e folga na

resposta do sistema.

(a) (b)

Figura 7.13: (a) Força média no mancal número 3 versus G; (b) Força média

no mancal número 4 versus G

Variando o grau de qualidade do desbalanceamento é possível notar

que a força média no mancal número quatro aumenta com o aumento do

desbalanceamento, Figura 7.13b. A relação é praticamente linear, o que é

compatível com a relação Fc = UΩ2. Por outro lado, a força média no

mancal número três não segue este padrão, 7.13a. A Figura 7.13 mostra que

DBD


147

a força média no mancal número quatro é muito maior do que a força média

no mancal número três. Isto ocorre devido à massa do rotor que está em

balanço.

Figura 7.14: FFT do deslocamento no mancal número 3: G = 2 (azul) e

G = 20 (magenta)

A Figura 7.14 mostra duas curvas FFT, uma para G = 2 e outra

para G = 20 [mm/s]. É possível notar picos nas freqüências múltiplas da

freqüência fundamental (2X, 3X,...) no espectro de freqüências para grandes

desbalanceamentos. Se o desbalanceamento é pequeno, G = 2 por exemplo,

quase não é possível notar os harmônicos. Já se o desbalanceamento é

grande, G = 20 por exemplo, os harmônicos são evidentes.

Podese concluir que o desbalanceamento inui no estado do sistema.

Esta é o resultado mais importante pois ele é o mesmo observado nas

máquinas rotativas discutidas nas seções 7.2.1 e 7.2.2.

A medição dos sinais de vibração nos mancais do Exaustor Princi-

pal da Máquina de Lingotamento Contínuo (seção 7.2.1) através de um

acelerômetro são qualitativamente os mesmos dos computados na simu-

lação numérica, Figura 7.14. Outra concordância importante entre os dados

numéricos e experimentais diz respeito à forma do eixo quando a máquina

está em operação, Figura 7.9. De fato, a diferença de fase medida entre os

mancais número três e quatro do exaustor é de ∼ 1800.

DBD


148

(a) (b)

Figura 7.15: (a) Força média no mancal número 3 versus folga; (b) Força

média no mancal número 3 (azul) e 4 (verde) versus folga

Outro parâmetro importante é o valor da folga. A Figura 7.15 mostra

a força média nos mancais, variando o valor da folga.

A força média no mancal número quatro tornase menor com o au-

mento da folga. Isto acontece devido ao engaste da viga. A força elástica do

eixo contra o movimento do eixo aumenta com o aumento da folga. Entre-

tanto, a força média no mancal número três apresenta um comportamento

curioso, ela passa por um mínimo. Este é o mesmo fenômeno detectado por

Sampaio e Soize (2005) [36].

7.5Conclusões

Um modelo de um sistema rotormancal foi proposto neste capítulo. A

simulação numérica mostrou comportamento, qualitativamente, semelhante

ao comportamento observado em máquinas rotativas. O modelo pode então

ajudar na compreensão do comportamento de rotores reais.

DBD


8Conclusões e Trabalhos Futuros

Este trabalho tratou a análise de vibrações no contexto da formulação

fraca. Um sistema mecânico contínuo é equacionado na formulação fraca

em um espaço de Hilbert. Uma base de projeção é criteriosamente escolhida

para a dinâmica, e o sistema é aproximado / discretizado pelo Método de

Galerkin, base para métodos como o MEF e o Método dos Modos Supostos.

A Figura 8.1 mostra esse esquema.

Sistema Mecânico Contínuo

Formulação Fraca

Escolha da base de projeção

Método de Galerkin

Aproximação / Sistema Discreto

Erro da aproximação

Figura 8.1: Etapas da análise

A aproximação é descrita por elementos de um espaço de Hilbert, o

que garante um esquema de aproximação e convergência, a medida que mais

elementos do espaço são usados na aproximação, Figura 8.2.

DBD


150

Sistema Discreto

Resposta



ok!

Não

Sim

Figura 8.2: Algoritmo para convergência

A melhor base de projeção para um sistema dinâmico linear é a

formada pelos modos normais de vibração, que podem ser obtidos pela

Análise Modal. Para um sistema nãolinear a base de KarhunenLoève

(formada pelos modos empíricos) é a melhor base de projeção, e ela pode

ser obtida pela DKL, Figura 8.3.

Figura 8.3: Análise Modal e Decomposição de KarhunenLoève

Este texto está sendo melhorado para se tornar uma apostila didática:

Mais exemplos estão sendo preparados;

Outros tipos de elementos estão sendo testados;

Outros tipos de carregamentos e congurações estão sendo considera-

dos;

DBD


151

As simulações do comportamento dinâmico de um rotor, apresentadas

no capítulo 7, corroboraram com as observações obtidas em máquinas ro-

tativas. Este capítulo gerou um artigo que foi selecionado para o 18th In-

ternational Congress of Mechanical Engineering (COBEM 2005), [32]. Esta

concordância motiva sosticar este modelo em busca de comparações quan-

titativas. Dentro do assunto rotor, outros aspectos podem ser considerados

em trabalhos futuros:

Melhorar a descrição do amortecimento;

Inuência do lubricante;

Controle da dinâmica;

Alguns programas foram desenvolvidos no transcorrer do trabalho. A

lista dos programas desenvolvidos se encontra no anexo C. A relação entre os

programas se encontra no anexo D. E o manual dos programas se encontra

no anexo E.

DBD


Bibliograa

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distributed systems with nonlocal damping. IJSS Manuscript, 05,2005.

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DBD


AAnálise de vibrações na internet

A pesquisa e estudos feitos através da rede de computadores, internet, éuma realidade que deve ser explorada. Destacamse as páginas dos professoresRubens Sampaio da PUC-Rio, Peter Avitabile da UMASS Lowell e Daniel A.Russell da Universidade de Kettering. Destacamse as páginas das empresasBently Nevada e Bruel and Kjaer. Destacamse os artigos contidos na páginahttp://www.vibetech.com/TechPapers.htm. Destacamse os pacotes emMATLAB: CALFEM e Structural Dynamics Toolbox.

A página do Professor Rubens Sampaio da PUC-Rio, http://www.mec.puc-rio.br/prof/rsampaio/rsampaio.html, tem diversos artigos sobre Vi-brações, Análise de Sinais, Decomposição de Karhunen-Loève, etc.

A página do professor Peter Avitabile da Universidade UMASS Lowell,http://macl.caeds.eng.uml.edu/umlspace/mspace.html, tem vários ar-tigos didáticos sobre Análise Modal tanto teórica quanto experimental.

A página do professor Daniel A. Russell da Universidade de Kettering,http://www.kettering.edu/~drussell, tem muitos exemplos ilustrativoscomo a análise acústica de um taco de baseball e de um violão.

Pela página da revista Orbit da empresa Benlty Nevada, http://www.bently.com/orbit.htm, podemse obter diversos artigos técnicos sobre ro-todinâmica.

Pela página da empresa Bruel and Kjaer, http://www.bksv.com, épossível obter muitos artigos técnicos sobre vibrações e acústica, além de poderse inscrever em seminários virtuais gratuitos.

Na página http://www.vibetech.com/TechPapers.htm são encontra-dos muitos artigos técnicos sobre vibrações e Análise Modal.

O pacote do MATLAB CALFEM, para o aprendizado em elementos nitos,é encontrado na página http://www.byggmek.lth.se/Calfem.

O pacote do MATLAB Structural Dynamics Toolbox, para Análise Modalexperimental é encontrado na página http://www.sdtools.com/sdt. Nestapágina tem uma seção com artigos sobre amortecimento e Análise Modal:

http://www.vibetech.com/TechPapers.htm

http://www.mec.puc-rio.br/prof/rsampaio/rsampaio.html

http://www.mec.puc-rio.br/prof/rsampaio/rsampaio.html

http://macl.caeds.eng.uml.edu/umlspace/mspace.html

http://www.kettering.edu/~drussell

http://www.bently.com/orbit.htm

http://www.bently.com/orbit.htm

http://www.bksv.com

http://www.vibetech.com/TechPapers.htm

http://www.byggmek.lth.se/Calfem

http://www.sdtools.com/sdt

DBD


158

http://www.sdtools.com/Publications.html.

Além destas páginas, podese citar:

A página do professor S. Adhikari da Universidade de Bristol, http://www.aer.bris.ac.uk/contact/academic/adhikari/home.html, tem arti-gos sobre a modelagem da dissipação em sistemas dinâmicos.

A página http://www.ladenl.gov/projects/dss/Presentations.

htm tem algumas apresentações de professores como Peter Avitabile, NormHunter, entre outros.

A página do Departamento de Engenharia da Universidade de Perdue,http://widget.ecn.purdue.edu/~FEND2/teaching.html, mostra váriosexperimentos como a Análise Modal de uma raquete de tênis, um taco debaseball, um taco de golf, um helicóptero, etc.

A página http://www.dwsimpson.com/fourieranalysis.html apre-senta diversos links que abordam a Análise de Fourier.

A página do Departamento de Engenharia da Universidade de Cam-

bridge, http://www-control.eng.cam.ac.uk/extras/Virtual_Library/Control_VL.html apresenta links de grupos que trabalham na área de cont-role, além de links para sociedades e para periódicos.

A página http://www.myphysicslab.com tem algumas simulações desistemas simples de vibração.

A página da Escola e Engenharia de Jacobs,http://maeweb.ucsd.edu/~ugcl/index.html?experiments/experiments.

html, mostra diversos testes experimentais que ilustram princípios da dinâmicae controle.

A página do Instituto de Conabilidade de Equipamentos, http://www.equipment-reliability.com/articles/paper2.htm, apresenta vários ca-sos sobre vibração e isolamento de vibração.

A página da Universidade de Washington,http://octavia.ce.washington.edu/DrLayer/Exercises/L-BConcepts.

htm, apresenta diversos exercícios sobre vibrações e Análise Modal.

http://www.sdtools.com/Publications.html

http://www.aer.bris.ac.uk/contact/academic/adhikari/home.html

http://www.aer.bris.ac.uk/contact/academic/adhikari/home.html

http://www.ladenl.gov/projects/dss/Presentations.htm

http://www.ladenl.gov/projects/dss/Presentations.htm

http://widget.ecn.purdue.edu/~FEND2/teaching.html

http://www.dwsimpson.com/fourieranalysis.html

http://www-control.eng.cam.ac.uk/extras/Virtual_Library/Control_VL.html

http://www-control.eng.cam.ac.uk/extras/Virtual_Library/Control_VL.html

http://www.myphysicslab.com

http://maeweb.ucsd.edu/~ugcl/index.html?experiments/experiments.html

http://maeweb.ucsd.edu/~ugcl/index.html?experiments/experiments.html

http://www.equipment-reliability.com/articles/paper2.htm

http://www.equipment-reliability.com/articles/paper2.htm

http://octavia.ce.washington.edu/DrLayer/Exercises/L-BConcepts.htm

http://octavia.ce.washington.edu/DrLayer/Exercises/L-BConcepts.htm

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BMais Exemplos

Exemplo 1: Modos de vibração e freqüências naturais de uma viga:Considere a viga representada na Figura B.1:

Figura B.1: Viga engastada em uma extremidade

O programa modal_viga (ver Anexo E) calcula, através de expressõesanalíticas, os modos de vibração e as freqüências naturais de uma viga engastadaem uma extremidade e de uma viga biapoiada.

Este programa calcula os modos de vibração e as freqüências naturaisde uma viga engastada em uma extremidade e livre na outra pelas seguintesexpressões [18], [3]:


φn(x) = cosh(βnx)− cos(βnx)− σn(senh(βnx)− sen(βnx)) (B-1)

Sendo:σn =

sinh(βnL)− sin(βnL)

cosh(βnL) + cos(βnL)(B-2)

E:cos(βL)cosh(βL) = 1 (B-3)

Logo:

β1 = 1, 86/L β2 = 4, 69/L β3 = 7, 85/L β4 = 11, 00/L β5 = 14, 14/L

(B-4)

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160

e para n > 5

βn =(2n− 1)π

2L(B-5)


ωn = β2n

√EI

ρA(B-6)

A Figura B.2 mostra os cinco primeiros modos de vibrações de uma vigaengastada em uma extremidade:

Figura B.2: Cinco primeiros modos de uma viga engastada em uma extrem-

idade

As cinco primeiras freqüências naturais em Hz são:4, 5299

28, 3884

79, 4882

155, 7652

257, 4910

(B-7)

Agora considere a viga biapoiada representada na Figura B.3:

DBD


161

Figura B.3: Viga biapoiada

Os modos de vibrações e as freqüências naturais são calculadas pelasseguintes expressões [18], [3]:


φn(x) = sen(λnx) (B-8)

Sendo:λn =

nπ

L(B-9)


ωn = λ2n

√EI

ρA(B-10)

A Figura B.4 mostra os cinco primeiros modos de vibrações de uma vigabiapoiada:

Figura B.4: Cinco primeiros modos de uma viga biapoiada

DBD


162

As cinco primeiras freqüências naturais em Hz são:12, 7156

50, 8624

114, 4404

203, 4496

317, 8900

(B-11)

Exemplo 2: Exemplo de uma estrutura discretizada pelo MEF:

Nesta seção será feito um exemplo de uma estrutura em 'L' compostapor materiais e dimensões diferentes. Este exemplo objetiva explicar o funciona-mento das entradas de dados do programa.

Imagine a estrutura representada na Figura (B.5).

Figura B.5: Estrutura

A Figura (B.6) mostra a estrutura representada na Figura (B.5) dis-cretizada pelo MEF. Um total de quatro elementos e cinco nós são usados.

DBD


163

Figura B.6: Estrutura discretizada

Esta conguração está no programa modal_l2_ef (ver Anexo E) . Esteprograma calcula as freqüências naturais e os modos de vibração da estruturadiscretizada, Figura (B.6).

As entradas do programa serão vistas passo a passo:

1) "Dados do Material": nesta parte do programa são denidas as pro-priedades dos materiais e dimensões das hastes, ver Figura (B.5). As entradassão: módulo de elasticidade do material, densidade do material, área da seçãotransversal e momento de inércia das hastes. A haste horizontal é de alumínioe a haste vertical é de aço (ver Figura B.5).

2)"Topologia": nesta parte do programa a numeração dos elementos egraus de liberdades é feita:

Edof =

1 1 2 3 4 5 6

2 4 5 6 7 8 9

3 7 8 9 10 11 12

4 10 11 12 13 14 15

(B-12)

A primeira coluna da matriz Edof representa a numeração dos elementos.Cada nó tem 3 graus de liberdade: deslocamento nas direções x e y e deslo-camento angular em torno do eixos z. Os graus de liberdade do elemento 1,primeira linha da matriz (B-12), são: 1, 2, 3, 4, 5 e 6; os graus de liberdade doelemento 2, segunda linha da matriz (B-12), são: 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Os elementos

DBD


164

têm nós em comum.

Coord =

0 0

0 1, 5

0 3

1 3

2 3

(B-13)

A matriz Coord, é composta pelas coordenadas de cada nó. Na primeiracoluna encontramse as coordenadas x e na segunda as coordenadas y. O nó3 tem coordenada x = 0 e y = 3, por exemplo.

Dof =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12

13 14 15

(B-14)

A matriz Dof é compostas pelos os números de graus de liberdadeassociados a cada nó; cada linha representa um nó. O nó 2 tem três grausde liberdade 4, 5 e 6, por exemplo.

O comando coordxtr monta duas matrizes: Ex e Ey, que são compostospelas coordenadas x e y de cada elemento.

Ex =

0 0

0 0

0 1

1 2

(B-15)

Cada linha representa um elemento. o elemento 3, por exemplo, temx = 0 para o nó um e x = 1 para o nó dois.

[Ex,Ey] = coordxtr(Edof, Coord,Dof, 2), onde a entrada "2"signicaque são dois nós por elemento.

3) "Cálculo das Matrizes dos elementos": o comando beam2d calcula asmatrizes dos elementos de viga (modelo EulerBernoulli).

[k,m, c] = beam2d(Ex(1, :), Ey(1, :), ep).

Sendo ep = [E A I rho ∗ A α β].

DBD


165

Neste exemplo os elementos 1 e 2 têm as mesmas propriedades mecânicas(contidas no vetor epv) e os elementos 3 e 4 têm outras propriedades mecânicas(vetor eph). A matriz de amortecimento do elemento é calculada da seguinteforma: αm+ βk.

3) "Montagem das Matrizes dos elementos": Estas matrizes são mon-tadas pelo comando assem formando as matrizes globais M, K e C.

4) "Cálculo das Freqüências Naturais de Modos de Vibração": O comandoeigen: [La,Egv] = eigen(K,M, b) calcula as freqüências naturais (La) e modosde vibrações (Egv).

O vetor b contém os graus de liberdade que estão restritos. Neste exemploo primeiro nó tem os 3 graus de liberdade restritios, ou seja, b = [1 2 3]T .O que acontece é que as linhas 1, 2 e 3 e as colunas 1, 2 e 3 são excluídas docálculo, já que não há deslocamento referente a estes graus de liberdade.

Resultado:

A primeira freqüência natural é 0, 7863 Hz, correspondente ao primeiromodo de vibração representado na Figura B.7.

Figura B.7: Primeiro modo de vibração

Exemplo 3:

O programa modal_viga2_ef (ver Anexo E) calcula, discretizando peloMEF, os modos e freqüências naturais de uma viga engastadalivre, para uma

DBD


166

determinada precisão. Considere a viga representada abaixo:

Erro admitido de 0, 002% para o quinto modo de vibração. O número deelementos inicial é 20 e o passo entre iterações é de 20 elementos. O númerode elementos necessários para a precisão requerida é de 60 elementos. As cincoprimeiras freqüências naturais (Hz) são:

4, 53

28, 39

79, 49

155, 77

257, 49

(B-16)

Os cinco primeiros modos de vibração estão representados na Figura B.8:

Figura B.8: Cinco primeiros modos de uma Viga Engastadalivre

O erro do quinto modo de vibração para cada passo da simulação é dadopor:

DBD


167

Figura B.9: Convergência da aproximação

A curva vermelha mostra o erro da quinta freqüência natural (MEF xexpressão analítica). A curva verde mostra o erro da quinta freqüência natural(MEF). A curva azul mostra o erro do quinto modo de vibração (MEF). Masqual é a inuência do erro arbitrado na quantidade de elementos necessáriospara a análise? E qual a inuência da quantidade de modos que se quer obterdeterminada precisão, no número de elementos necessários?

Para responder estas perguntas rodouse o programa arbitrandose umerro igual a metade do arbitrado anteriormente (e = 0, 002/2). Neste casosão necessários 80 elementos nitos para satisfazer a nova precisão, 20 el-ementos a mais. Já quando o número de modos que se quer determinadaprecisão dobra (N = 2.5 = 10), são necessários 100 elementos nitos para aanálise, 40 elemento a mais. Ou seja, para o modelo analisado é muito maisdispendioso dobrar o número de modos calculados para determinada precisãodo que dividir pela metade o erro arbitrado para determinado número de modos.

Exemplo 4:

O programa modal_viga3_ef (ver Anexo E) calcula, discretizando peloMEF, os modos e freqüências naturais de uma viga biapoiada, para umadeterminada precisão. Considere a viga representada abaixo:

DBD


168

Erro admitido de 0, 005% para o quinto modo de vibração. O número deelementos inicial é 20 e o passo entre iterações é de 20 elementos. O númerode elementos necessários para a precisão requerida é de 60 elementos. As cincoprimeiras freqüências (Hz) naturais são:

12, 71

50, 86

114, 44

203, 45

317, 89

(B-17)


Figura B.10: Cinco primeiros modos de uma viga Biapoiada


DBD


169


A curva vermelha mostra o erro da quinta freqüência natural (MEF xexpressão analítica). A curva verde mostra o erro da quinta freqüência natural(MEF). A curva azul mostra o erro do quinto modo de vibração (MEF).

Exemplo 5:

O programa modal_l_ef (ver Anexo E) calcula, discretizando pelo MEF,os modos e freqüências naturais de uma viga em conguração L engastada,para uma determinada precisão. Observe gura abaixo:

Figura B.12: Viga conguração L

Erro admitido de 0,005% para o quinto modo de vibração. O número deelementos inicial é 20 e o passo da interação é de 20 elementos. O número deelementos necessários para a precisão requerida é de 60 elementos. As cinco

DBD


170

primeiras freqüências (Hz) naturais são:1.51

4.11

20.29

29.73

64.86

(B-18)


Figura B.13: Cinco primeiros modos da conguração L


DBD


171


Exemplo 6:

O programa modal_triang_ef (ver Anexo E) calcula, discretizando peloMEF, os modos e freqüências naturais de uma viga em conguração Triângulo,para uma determinada precisão. Observe a gura abaixo:

Figura B.15: Viga conguração triângulo

Erro admitido de 0, 01% para o quinto modo de vibração. O número deelementos inicial é 15 e o passo da interação é de 9 elementos. O número deelementos necessários para a precisão requerida é de 132 elementos. As cinco

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172

primeiras freqüências (Hz) naturais são:0.00

3.54

7.31

20.41

27.80

(B-19)

A primeira freqüência natural com valor zero representa movimento decorpo rígido. Os cinco primeiros modos de vibração estão representados naFigura B.16:

Figura B.16: Cinco primeiros modos da conguração triângulo


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173


DBD


CLista dos Programas Desenvolvidos

A seguir uma lista com os programas principais desenvolvidos. Alémdesses programas foram desenvolvidos programas auxiliares. A relação entreos programas está no anexo D. A Figura C.1 mostra um diagrama de uxo deum programa geral.

Dados Gerais - geometria; - propriedades do material;

Principal

Precisão - erro estipulado; - elementos / modos iniciais - passo

Integração - método (ode45) - tempo de simulação - passo de integração;

Análise - Tipo de análise:

- Análise Modal - Resposta Dinâmica - FRF - FFT - Decomposição de KL

Erro < precisão?

Visualização dos

resultados

SIM

NÃO

Escolha das funções teste - MEF - Modos Supostos

Figura C.1: Diagrama de uxo

DBD


175

Nome do programa Propósitomodal_barra Calcular os modos de vibração e freqüências

naturais de uma barra, a partir de expressõesanalíticas. Duas condições de contorno podemser determinadas: xalivre ou xaxa

modal_barra_ef Calcular os modos de vibração e freqüênciasnaturais de uma barra, discretizada pelo MEF,dada uma certa precisão. Três condições decontorno podem ser determinadas: xa-livre,xa-mola ou xa-massa.

modal_viga Calcular os modos de vibração e freqüênciasnaturais de uma viga, a partir de expressõesanalíticas. Duas condições de contorno podemser determinadas: engastadalivre ou biapoiada.

modal_viga2_ef Calcular os modos de vibração e freqüênciasnaturais de uma viga, discretizada pelo MEF,dada uma certa precisão. Condições decontorno: engastada-livre.

modal_viga3_ef Calcular os modos de vibração e freqüênciasnaturais de uma viga, discretizada pelo MEF,dada uma certa precisão. Condições decontorno: bi-apoiada.

modal_l_ef Calcular os modos de vibração e freqüênciasnaturais de uma estrutura em L, discretizadapelo MEF, dada uma certa precisão.

modal_l2_ef Exemplicar passo a passo as entradas dosprogramas que utilizam o MEF. Este programacalcula os modos de vibração e freqüências naturaisde uma estrutura em L discretizado pelo MEF.

modal_triang_ef Calcular os modos de vibração e freqüênciasnaturais de uma estrutura triângulo, discretizadapelo MEF, dada uma certa precisão.

DBD


176

modal Calcular os modos de vibração, freqüências naturaise coecientes de amortecimento de um sistema dinâmicolinear com amortecimento proporcional.

est_viga_ms Calcular o deslocamento da extremidade de uma viga,discretizada pelo Método dos Modos Supostos.Condição de contorno engastada-livre

est_viga_ef Calcular o deslocamento da extremidade de uma viga,discretizada pelo MEF. Condição de contornoengastada-livre.

din_viga_ms Calcular a dinâmica de uma viga, discretizadapelo Método dos Modos Supostos, dada uma certaprecisão. Condição de contorno engastada-livre.

din_viga_ef Calcular a dinâmica de uma viga, discretizadapelo MEF, dada uma certa precisão. Condição decontorno engastada-livre.

frf Calcular a FRF e os parâmetros modais de umsistema linear com amortecimento proporcional.

frf2 Calcular a FRF e os parâmetros modais de umsistema de uma dimensão (inclusive pólo e resíduo).

frf_viga_ef Calcular a FRF para excitação e respostana extremidades livre de uma viga engastadalivre.

t_ex Calcular a FFT de um sinal no domínio do tempomassamola_kl Calcular a dinâmica de um sistema com amortecimento

nãoproporcional a partir das bases de KL.disco_kl Calcular a dinâmica de um disco, modelado

como uma massa girante, a partir das bases de KL.barra_choque Calcular a resposta dinâmica do sistema e analisar

os impactos e dinâmica do ponto da barra juntoao anteparo. Os modos de vibração saocalculados por expressões analíticas. Umaaproximação que utiliza o método dos ModosSupostos é feita para gerar as dinâmicas.A Decomposição de KL eh usada parareduzir o sistema, que é não-linear.

DBD


177

rotor_choque Calcular a resposta dinâmica do sistema e analisaros impactos e dinâmica dos pontos do eixojunto aos mancais. Comparar com resultadosobservados em equipamentos. O modelo de EulerBernoulli e usado. O MEF eh usado para calcularos modos de vibração de uma viga com umamassa na extremidade. Uma aproximaçãoque utiliza o método dos Modos Supostos éfeita para gerar as dinâmicas.A Decomposição de KL eh usada parareduzir o sistema, que eh não-linear.

Outros trabalhos desenvolvidos na PUCRio seguiram esta linha de de-senvolvimento de programas em MATLAB. Riquelme, [37], analisou a dinâmicade um manipulador robótico exível e Barrientos, [31], analisou a dinâmicanãolinear de estruturas exíveis em grandes deformações.

DBD


DRelação entre os Programas

Neste anexo é mostrada a relação entre os programas desenvolvidos.Os programas são divididos em três grandes grupos. O primeiro grupo

de programas serve para calcular as características modais de vigas, barras eestruturas formadas por vigas, Figura D.1. O segundo grupo de programas servepara analisar um problema no domínio do freqüência, Figura D.3. O terceirogrupo de programas resolve problemas usando a Decomposição de KarhunenLoève, Figura D.4.

Por m é mostrada a interação entre os programas usados para simularum rotor, Figura D.5.

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179

Parâmetros Modais

1) modal_barra

2) modal_barra_ef

3) modal_viga

4 a 8) modal_*_ef

calfem_coordxtr calfem_bar2d calfem_assem calfem_eigen

calfem_coordxtr calfem_beam2d calfem_assem calfem_eigen

calfem_eldraw2 calfem_extract calfem_eldisp2

Para visualisação dos resultados

Cria matriz com coordenadas

Cria matrizes dos elementos

Monta matriz global



Monta matriz global

9) modal

Figura D.1: Primeiro grupo de programas

DBD


180

11) est_viga_ef

calfem_coordxtr calfem_beam2d calfem_beam2e calfem_assem



Cria vetor de força do elemento

10) est_viga_ms

13) din_viga_ef




Monta matriz global Calcula autovalores e autovetores

12) din_viga_ms

edo sub_erro

Integra o sistema de equações

Calcula o erro da aproximação

sub_monta_km edo2 sub_erro



Programas para o Cálculo da Resposta dinâmica ou estática

Figura D.2: Segundo grupo de programas

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181

14) frf

15) frf2

16) frf_viga_ef

calfem_coordxtr calfem_bar2d calfem_assem calfem_eigen

Criação da matriz com as coordenadas

Criação das matrizes dos elementos

Montagem matriz global

Calcula autovalores e autovetores

17) fft_ex

sub_fft

Calcula a FFT

Domínio da Freqüência

Figura D.3: Terceiro grupo de programas

DBD


182

18) massamola_kl

edo_kl

Integração do sistema de equações

19) disco_kl

disco_edo

Integração do sistema de equações

20) barra_choque

sub_modos

sub_edo

sub_erro



sub_dinamica

Calcula os modos e freqüências naturais

sub_kl sub_rec

Calcula a base de KL e os valores

próprios

Reconstrói a dinâmica

Decomposição de Karhunen-Loève

Figura D.4: Quarto grupo de programas

DBD


183

21) rotor_choque

sub_modosnormais

sub_edo

sub_erro



sub_dinamica sub_kl sub_rec

Calcula a base de KL e os valores

próprios

Reconstrói a dinâmica




Monta matriz global Calcula autovalores e autovetores

Modelo Rotor-Mancal

Figura D.5: Simulação de um rotor

DBD


EManual dos Programas Desenvolvidos

Diversos programas foram desenvolvidos no transcorrer deste trabalho,todos através da plataforma MATLAB.

A nomenclatura das variáveis seguiu o seguinte padrão:

MATRIZ com entradas reais −→ RMat_MATRIZ.MATRIZ com entradas imaginárias −→ IMat_MATRIZ.MATRIZ com entradas complexas −→ CMat_MATRIZ.V ETOR com entradas reais −→ R_V ETOR.V ETOR com entradas imaginárias −→ I_V ETOR.V ETOR com entradas complexas −→ C_V ETOR.ESCALAR −→ ESCALAR.

Esta nomenclatura facilitará a compreensão dos programas. Além disso,todos os programas têm um cabeçalho onde é descrito o propósito, as variáveisde entrada e as variáveis de saídas. As equações diferenciais foram resolvidaspela subrotina ode45 do MATLAB, programas ode e ode2. A seguir os pro-grama desenvolvidos:

1) modal_barra-Analise modal de uma barra-

PROPÓSITO:Calcular os modos de vibração e freqüências naturais de uma barra, a partirde expressões analíticas. Duas condições de contorno podem ser determinadas:xalivre ou xaxa:

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185

ENTRADAS:L : comprimento da barra (m)E : modulo de elasticidade (Pa)rho : densidade (Kg/m3)N : Número de modos a serem calculados

SAÍDAS:R_omega_n : freqüências naturais (rd/s)RMat_modo : modos de vibração-

2) modal_barra_ef-Analise modal de uma barra, via MEF-PROPÓSITO: Calcular os modos de vibração e freqüências naturais de umabarra, discretizada pelo MEF, dada uma certa precisão. Três condições decontorno podem ser determinadas: xa-livre, xa-mola ou xa-massa.

ENTRADAS:L : comprimento da barra (m)h : altura da barra (m)b : espessura da barra (m)E : modulo de elasticidade (Pa)rho : densidade (Kg/m3)kk : constante da mola da extremidade (N/m)mm : massa na extremidade (Ns/m)e : precisão especicada (%)N : Número de modos que se quer obter com a precisão especicada

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186

NE_ini : número de elementos iniciais (número PAR!!)passo : passo do número de elementos (número PAR!!)

SAÍDAS:R_Freq / R_omega_n2 / R_omega_n3 : freqüências naturais (Hz)RMat_Egv / RMat_modo2 / RMat_modo3 : modos de vibraçãoNE_prec : numero de elementos necessários para a precisão requerida-

3) modal_viga-Analise modal de uma viga-

PROPÓSITO:Calcular os modos de vibração e freqüências naturais de uma viga, a partirde expressões analíticas. Duas condições de contorno podem ser determinadas:engastadalivre ou biapoiada:

ENTRADAS:L : comprimento da barra (m)h : altura da barra (m)b : espessura da barra (m)E : modulo de elasticidade (Pa)rho : densidade (Kg/m3)N : Número de modos a serem calculados

SAÍDAS:R_omega_n : freqüências naturais (Hz)RMat_modo : modos de vibração-

4) modal_viga2_ef-

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187

Analise modal de uma viga Engastadalivre, discretizada pelo MEF-

PROPÓSITO:Calcular os modos de vibração e freqüências naturais de uma viga, discretizadapelo MEF, dada uma certa precisão. Condições de contorno: engastada-livre:

ENTRADAS:L : comprimento da barra (m)h : altura da barra (m)b : espessura da barra (m)E : modulo de elasticidade (Pa)rho : densidade (Kg/m3)alfa : coecientes de amortecimento C=aM+bKbeta :e : precisão especicada (%)N : Número de modos que se quer obter com a precisão especicadaNE_ini : número de elementos iniciais (número PAR!!)passo : passo do número de elementos (número PAR!!)

SAÍDAS:R_Freq : freqüências naturais (Hz)RMat_Egv : modos de vibraçãoNE_prec : numero de elementos necessários para a precisão requerida-

5) modal_viga3_ef-Analise modal de uma viga biapoiada, discretizada pelo MEF-

PROPÓSITO:Calcular os modos de vibração e freqüências naturais de uma viga, discretizadapelo MEF, dada uma certa precisão. Condições de contorno: bi-apoiada:

DBD


188


SAÍDAS:R_Freq : freqüências naturais (Hz)RMat_Egv : modos de vibraçaoNE_prec : numero de elementos necessários para a precisão requerida-

6) modal_l_ef-Analise modal de uma estrutura em L, discretizada pelo MEF-

PROPÓSITO:Calcular os modos de vibração e freqüências naturais de uma estrutura em L,discretizada pelo MEF, dada uma certa precisão.

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L

L



7) modal_l2_ef-Analise modal de uma estrutura em L, discretizada pelo MEF-

PROPÓSITO:Exemplicar passo a passo as entradas dos programas que utilizam o MEF. Esteprograma calcula os modos de vibração e freqüências naturais de uma estruturaem L discretizado pelo MEF:

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190

L1

x

y

L2

ENTRADAS:R_epv=[Ev Av Iv rhov*Av] : Dados do material e dimensão das vigas verticaisR_eph=[Eh Ah Ih rhoh*Ah] : Dados do material e dimensão das vigas hori-zontaisEv / Eh : modulo de elasticidade do material das vigas (h)horizontais e(v)verticais - (Pa)Av / Ah : area da seção transversal das vigas (h) e (v) - (m2)Iv / Ih : momento de inércia das vigas (h) e (v) - (m4)rhov / rhoh : densidade do material das vigas (h) e (v) - (Kg/m3)RMat_Edof : cada linha eh composta pelo n de elemento e numeração dosgraus de liberdade (6 por elemento)RMat_Coord : cada linha eh composta pelas coordenadas: x1 y1; x2 y2;...RMat_Dof : cada linha eh composta pela numeração dos graus de liberdadeassociados a cada nóR_b : graus de liberdade restritos

SAÍDAS:R_Freq : freqüências naturais (Hz)RMat_Egv : modos de vibração-

8) modal_triang_ef-Analise modal de uma estrutura triângulo, discretizada pelo MEF-

PROPÓSITO:Calcular os modos de vibração e freqüências naturais de uma estrutura triângulo,discretizada pelo MEF, dada uma certa precisão:

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191

L

dist=0,7L

45º

ENTRADAS:L : comprimento da barra (m)h : altura da barra (m)b : espessura da barra (m)E : modulo de elasticidade (Pa)rho : densidade (Kg/m3)alfa : coecientes de amortecimento C=aM+bKbeta :e : precisão especicada (%)N : Número de modos que se quer obter com a precisão especicadaNE_ini : número de elementos iniciais (múltiplo de TRÊS!!)passo : passo do número de elementos (múltiplo de TRÊS!!)


9) modal-Exemplo simples de Análise Modal-

PROPÓSITO:Calcular os modos de vibração, freqüências naturais e coecientes de amortec-imento de um sistema dinâmico linear com amortecimento proporcional.

ENTRADAS:RMat_M : matriz de massaRMat_K : matriz de rigidez

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192

alfa : coecientes Cp = (alfa.M + beta.K)beta :

SAÍDAS:RMat_w_n : freqüências naturaisRMat_modo : modos de vibraçãoRMat_w_d : freqüências de oscilação para o sistema amortecidoRMat_c_amort : coecientes de amortecimento modais-

10) est_viga_ms-Analise estática de uma viga engastada-livre discretizada pelo Método dosModos Supostos-

PROPÓSITO:Calcular o deslocamento da extremidade de uma viga, discretizada pelo Métododos Modos Supostos. Condição de contorno engastada-livre:

ENTRADAS:L : comprimento da vigah : altura da vigab : espessura da vigaE : modulo de elasticidaderho : densidadef_f : amplitude do forçamento carregamento concentradoq : força por unidade de comprimento carregamento distribuídoN : Número de modos a serem usados na simulação

SAÍDAS:desl : deslocamento calculado pela expressão FL3/(3EI) carregamento pon-tual

DBD


193

des : deslocamento calculado pela expressão qL4/(8EI) carregamento dis-tribuídow3 : deslocamento calculado pela aproximação para o carregamento pontualu3 : deslocamento calculado pela aproximação para o carregamento distribuído-

11) est_viga_ef-Analise estática de uma viga engastada-livre, discretizada pelo MEF-

PROPÓSITO:Calcular o deslocamento da extremidade de uma viga, discretizada pelo MEF.Condição de contorno engastada-livre:

ENTRADAS:L : comprimento da vigah : altura da vigab : espessura da vigaE : modulo de elasticidaderho : densidadef_f : amplitude do forçamento carregamento concentradoq : força por unidade de comprimento carregamento distribuídoNE : Número de elementos a serem usados na simulação

SAÍDAS:desl : deslocamento calculado pela expressão FL3/(3EI) carregamento pon-tualdes : deslocamento calculado pela expressão qL4/(8EI) carregamento dis-tribuídodesl1 : deslocamento calculado pela aproximação para o carregamento pontualdesl2 : deslocamento calculado pela aproximação para o carregamento dis-tribuído

DBD


194

-

12) din_viga_ms-Dinâmica da viga engastada-livre aproximada pelo Método dos Modos Supostos-

PROPÓSITO:Calcular a dinâmica de uma viga, discretizado pelo Método dos Modos Supostos,dada uma certa precisão. Condição de contorno engastada-livre:

ENTRADAS:L : comprimento da barra (m)h : altura da barra (m)b : espessura da barra (m)E : modulo de elasticidade (Pa)rho : densidade (Kg/m3)c : constante de amortecimento (Ns/m)N: número de modos iniciais usados na simulaçãox_f: local do forçamento (m)f_f: amplitude do forçamento (m)omega_f: freqüência de forçamento (rd/s)resp: local onde o deslocamento será observadott: tempo total de simulação (s)e: erro admitido para a resposta dinâmica em L (%)OBS. SÓ FOI IMPLEMENTADO O CALCULO DO ERRO PARA A RES-POSTA EM resp=L!!

SAÍDAS:R_w_n : freqüências naturais (Hz)R_w_n : freqüências de oscilação do sistema amortecido (Hz)RMat_modo3 : modos de vibraçãoN_prec : numero de modos necessários para a precisão requerida

DBD


195

-

13) din_viga_ef-Dinâmica da viga engastada-livre aproximada pelos MEF-

PROPÓSITO:Calcular a dinâmica de uma viga, discretizada pelo MEF, dada uma certaprecisão. Condição de contorno engastada-livre:

ENTRADAS:L : comprimento da barra (m)h : altura da barra (m)b : espessura da barra (m)E : modulo de elasticidade (Pa)rho : densidade (Kg/m3)NE: número de modos iniciais usados na simulaçãopasso: passo do número de elementosNO_f: nó em que será aplicado o forçamento (m)Amp_f: amplitude do forçamento (m)omega_f: freqüência de forçamento (rd/s)NO_r: nó em que o deslocamento será observadott: tempo total de simulação (s)e: erro admitido para a resposta dinâmica em L (%)

SAÍDAS:R_Freq : freqüências naturais (Hz)RMat_Egv : modos de vibraçaoNE_prec : numero de modos necessários para a precisão requerida-

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196

14) frf-Exemplo simples de FRF-

PROPÓSITO:Calcular a FRF e os parâmetros modais de um sistema linear com amorteci-mento proporcional.

ENTRADAS:RMat_M : matriz de massaRMat_K : matriz de rigidezalfa : Cp = alfa.M + beta Kbeta :w_ini : freq inicial de interaçãow_n : freq nal de interaçãow_fac : passo de freq

SAÍDAS:RMat_w_n : freq naturaisRMat_w_d : freq de oscilação do sistema amortecidoRMat_modo : modos de vibraçõesRMat_c_amort : coecientes de amortecimentoR_FRF_1 : FRF do sistema conservativoR_FRF_2 : FRF do sistema amortecido-

15) frf2-Exemplo simples de FRF - pólo e residuo-

PROPÓSITO:Calcular a FRF e os parâmetros modais de um sistema de uma dimensão(inclusive pólo e resíduo):

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197

ENTRADAS:m : massak : molac : amortecimento

SAÍDAS:wn : freqüência natural (rd/s)wd : freqüência de oscilação do sistema com amortecimento (rd/s)xi : coeciente de amortecimentop : póloR : resíduoH : função de transferência-

16) frf_viga_ef-FRF de uma viga engastadalivre, discretizada por elementos nitos-

PROPÓSITO:Calcular a FRF para excitação e resposta na extremidades livre de uma vigaengastadalivre:

ENTRADAS:L : comprimento da vigah : altura da vigab : espessura da viga

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198

E : modulo de elasticidaderho : densidadealfa : coecientes : C=aM+bKbeta :w_n : faixa de freq de 0 a omega_n Hzw_fac : passo da freqe : precisão especicadaNE_ini : número de elementos iniciaispasso : passo do número de elementos

SAÍDAS:R_Freq : freqüências naturaisRMat_Egv : modos de vibraçãoR_FRF : Função Resposta em Freqüência-

17) t_ex-Exemplo FFT-

PROPÓSITO:Calcular a FFT de um sinal no domínio do tempo.

ENTRADAS:CPM : freqüência em CPMA : amplitude do sinalt1 : tempo inicialt2 : tempo naldt : discretização

SAÍDAS:R_FFT : FFT do sinal senoidal-

18) massamola_kl-Decomposição de KL em um sistema simples-

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199

PROPÓSITO:Calcular a dinâmica de um sistema com amortecimento nãoproporcional apartir das bases de KL.

ENTRADAS:RMat_M : Matriz de massaRMat_C : Matriz de amortecimentoRMat_K : Matriz de rigidez

SAÍDAS:R_u_r1 : resposta dinâmica u_r1R_u_r2 : resposta dinâmica u_r2R_Lambda : POVs valores ortogonais própriosRMat_Q_1 : POMs modos ortogonais próprios-

19) disco_kl-Decomposição de KL de um disco-

PROPÓSITOCalcular a dinâmica de uma disco, modelado como uma massa girante, a partirdas bases de KL.

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200

X1X2

ENTRADAS:d : diâmetroI : momento de inérciaIp : momento de inércia polarA : seção transversalE : modulo de elasticidadev : coeciente de poisonrho : densidadeG : modulo de cisalhamentoesp : espessurakt : restrição de rotaçãoomega : rotação do eixo

SAÍDAS:R_u_r1 : resposta dinâmica u_r1R_u_r2 : resposta dinâmica u_r2R_Lambda : POVs valores ortogonais própriosRMat_Q_1 : POMs modos ortogonais próprios-

-

20) barra_choque- PROGRAMA PRINCIPAL SISTEMA DE VIBRO-IMPACTO DE UMA BARRA -

PROPÓSITO:Calcular a resposta dinâmica do sistema e analisar os impactos e dinâmicado ponto da barra junto ao anteparo. Os modos de vibração sao calculadospor expressões analíticas. Uma aproximação que utiliza o método dos Modos

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201

Supostos é feita para gerar as dinâmicas. A Decomposição de KL eh usada parareduzir o sistema, que é não-linear:

ENTRADAS:Ki : coeciente de rigidez do mancalE : modulo de elasticidaderho : densidade (Kg/m3)c : coeciente de amortecimentoL : comprimento do eixod : diâmetro do eixofolga : folga (clearance)Hz : freqüência de excitacaoF_f : amplitude de forcamentoN : Numero de modos usados na aproximação (modos normais)N_kl : Numero de bases de KL usadas na aproximação (modos supostos)dt : delta tR_tspan : tempo de simulacao

SAÍDAS:programa "sub_modos"R_omega_n : freqüências naturais (Hz)RMat_modo : modos de vibraçao

programa "sub_kl"RMat_kl : matrizes com os modos empiricosR_Lambda : vetores com os valores ortogonais proprios

programa "sub_dinamica"RMat_u : resposta dinamicaR_F : forca media no anteparo-

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21) rotor_choque- PROGRAMA PRINCIPAL SISTEMA DE VIBROIMPACTO DE UM ROTOR EM BALANCO COMDOIS ANTEPAROS (MANCAIS)-

PROPÓSITO:Calcular a resposta dinâmica do sistema e analisar os impactos e dinâmica dospontos do eixo junto aos mancais. Comparar com resultados observados emequipamentos. O modelo de Euler Bernoulli e usado. O MEF eh usado paracalcular os modos de vibração de uma viga com uma massa na extremidade.Uma aproximação que utiliza o método dos Modos Supostos eh feita para geraras dinâmicas. A Decomposição de KL eh usada para reduzir o sistema, que ehnão-linear:

ENTRADAS:Mr : massa do rotord1 : coeciente de amortecimento da viga na direção 1d2 : coeciente de amortecimento da viga na direção 2Ki : coeciente de rigidez do mancalE : modulo de elasticidaderho : densidade (Kg/m3)L : comprimento do eixoDe : diâmetro do eixoA : area da seção transversalIe : momento de inércia do eixofolga : folga (clearance)x_c1 : posicionamento do mancal 1

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203

x_c2 : posicionamento do mancal 2Dr : diâmetro do rotorIr : momento de inércia do discoRPM : rotação do eixo em RPMG : grau de qualidade do balanceamentoerr : precisão exigida para o calculo dos modos e freq nat por EFN : Numero de modos usados na aproximação (modos normais)N_kl1 : Numero de bases de KL usadas na aproximação de u1 (modos supos-tos)N_kl2 : Numero de bases de KL usadas na aproximação de u2 (modos supos-tos)dt : delta tR_tspan : tempo de simulação

SAÍDAS:programa "sub_modosnormais"R_Freq : freqüências naturais (Hz)RMat_Egv : modos de vibraçãoNE_prec : numero de elementos necessários para a precisão requerida

programa "sub_kl"RMat_kl1 / RMat_kl2 : matrizes com os modos empíricos para u1 e u2R_Lambda2 / R_Lambda2 : vetores com os valores ortogonais próprios parau1 e u2

programa "sub_dinamica"RMat_u1 RMat_u2 : resposta dinâmica para u1 e u2.

programa "sub_t"R_t : FFT de uma resposta dinâmica especicada como entrada para oprograma-

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FArquivos do CALFEM

Para o cálculo das matrizes M , C e K obtidas através da dis-cretização pelo MEF, arquivos do programa CALFEM foram utiliza-dos. O manual do programa CALFEM [5] pode ser obtido no sitehttp://www.byggmek.lth.se/Calfem. Os arquivos do CALFEM utiliza-dos foram os seguintes:

coordxtr −→ extrai das coordenadas globais dados para as coordenadaslocais.

http://www.byggmek.lth.se/Calfem

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205

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beam2d −→ calcula as matrizes dos elementos.

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207

beam2e −→ calcula o vetor de carregamento de um elemento que comcarregamento distribuído uniforme.

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208

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209

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210

assem −→ monta as matrizes globais.

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211

eigen −→ resolve o problema de autovalor, dado os nós restritos.

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212

Auxiliares para os grácos 2D:

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213

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214

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