COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADODE QUINTANA ROO

CENTRO DE SERVICIOS NO. 16 EMSAD BLANCA FLOR

MATEMATICAS III

UNIDAD II. LA LINEA RECTA

ING. FELIPE DE JESÚS TOX PEREYRA

RUBRO 1.3.1.10CLAVE: PE08-B/34-01-02

PERIODO DE APLICACIÓN: 2009-B

UNIDAD IILa línea recta

Objetivo:

El estudiante resolverá problemas teóricos o prácticos que involucren de la línea recta, aplicando e integrando de manera crítica y reflexiva, los conceptos, técnicas y procedimientos básicos de la Geometría analítica, mediante el empleo de distintas formas de la ecuación de la recta y sus transformaciones, gráficas, ecuaciones y propiedades de la recta, así como las ecuaciones de rectas notables en un triángulo; que apliquen en distintos ámbitos del entorno físico en el que se desenvuelve; colaborando a generar un ambiente escolar que favorezca el desarrollo de actitudes de iniciativa, responsabilidad e interés científico.

2.1 ECUACIONES Y PROPIEDADES DE LA RECTA

2.1.1. Forma punto – pendiente La recta como lugar geométrico

Se llama línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera P1(x1,y1) y P2(x2,y2), el valor de la pendiente (m) es siempre la misma y puede calcularse a partir de la siguiente expresión:

Geométricamente es la distancia más corta entre dos puntos.Analíticamente es una ecuación de primer grado con dos variables.

12

12

xxyy

m

• Si de una recta se conocen las coordenadas de un punto P1(x1,y1) y el valor de su pendiente m, entonces la ecuación de la recta puede determinarse mediante la expresión:

que se conoce como forma punto-pendiente de la ecuación de la recta.

Ejemplo:Si m=2 y la recta pasa por el punto P(-1,2), entonces:

11 xxmyy

42

222

)1(22

))1((2)2(

xy

xy

xy

xy

Esta expresión es la ecuación de la recta con las condiciones dadas.

Ecuación de una recta conocidos dos de sus puntos• Si la recta pasa por dos puntos conocidos P1(x1, y1) y P2(x2, y2), que

pertenecen a una misma recta, entonces la ecuación de dicha recta puede determinarse a partir de la siguiente expresión:

• Ejemplo: Si una recta pasa por los puntos A (5,-2) y B (-3,1), su ecuación se determina de la siguiente manera:

112

121 xx

xx

yyyy

583

2

5821

2

553)2(1

)2(

xy

xy

xy

81

83

28

1583

815

83

2

xy

xy

xy

Esta expresión es la ecuación de la recta con las condiciones dadas.

• El caso especial de la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta, en que se conoce el valor de la pendiente m y la ordenada al origen (intersección de la recta con el eje Y), determinado por el punto P1(0,b), está dado por la expresión:

a esta expresión se le conoce también como la forma Ordinaria o Común de la ecuación de la recta.

• Gráficamente:

bmxy

2.1.2 Forma pendiente ordenada al origen

P1(0,b)

P(x ,y )

X

Y Ejemplo: Si la pendiente de una recta es m=-2 y su ordenada al origen es el punto A(0,-3), entonces la ecuación de dicha recta es:

32 xy

2.1.3. FORMA SIMÉTRICA

• Si los puntos conocidos de una recta son las intersecciones de la misma con los ejes coordenado, entonces su ecuación puede determinarse a partir de la siguiente expresión:

• A esta expresión también se le conoce como forma Canónica de la ecuación de la recta.

B(0,b)

A(a ,0 )X

Y

1by

ax

Ejemplo: si las intersecciones de una recta con los ejes coordenados son los puntos A(-3,0) y B(0,5), su ecuación tiene la forma:

1by

ax

153

yx

2.1.4. FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

• La forma General de la Ecuación de la Recta es una ecuación lineal en dos variables, generalmente x e y, representada como:

• Características esenciales :

A, B y C son números reales cualesquiera. El valor de A o B no puede ser cero. El valor de C puede o no ser cero. Si se despeja la variable y se llega a la ecuación ordinaria de la recta, por lo

que es posible conocer el valor de pendiente y la ordenada al origen.

0Ax By C

• No toda ecuación de la forma : puede representar una recta. Para ello es necesario analizar su comportamiento, estableciendo los posibles casos de relación entre los coeficientes A, B y C, como se muestra a continuación:

0Ax By C

0

0

x

Ax

0

0

y

By

B

Cy

CBy

0

A

Cx

CAx

CAx

0

B

Ay

AxBy

ByAx

0

B

Cx

B

Ay

CAxBy

CByAx

0

B

Am

B

Cb

CASO CONDICION ANALISISREPRESENTACIÓN

I A≠0 B=0 C=0 Ecuación del eje Y.

II A=0 B≠0 C=0 Ecuación del eje X.

III A=0 B≠0 C≠0 Recta paralela al eje X

IV A≠0 B=0 C≠0 Recta paralela al eje Y

V A≠0 B≠0 C=0Recta que pasa por el origen.

VI A≠0 B≠0 C≠0

Recta en cualquier posición. No es paralela. No pasa por el origen.Forma: y= mx+b ;

Conclusiones:

1. De los valores de A y B, por lo menos uno debe ser diferente de cero.

2. La recta queda determinada por dos condiciones:

 A. cuando se conocen dos

de sus puntos y

B. cuando se conocen un punto y la dirección de ella (pendiente).

2.2 CONVERSIÓN DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA A LA FORMA GENERAL Y VICEVERSA.

• Cada una de las formas de representar la ecuación de una recta proporciona información sobre las características de dicha recta en particular, así tenemos que:Nombre Forma

analítica Características

General Ax+By+C=0

• Los coeficientes A,B y C siempre aparecen como números enteros.• Generalmente es la forma preferente para establecer resolver un

sistema de ecuaciones.

Ordinaria o común

y=mx+b

• La variable dependiente aparece despejada.• El coeficiente del término que contiene a la x, es el valor de la

pendiente de la recta.• El término independiente b, se conoce como ordenada al origen y

representa el punto de intersección de la recta con el eje Y.• La gráfica obtiene de manera fácil a partir de los datos anteriores.

Simétrica o Canónica

• Las variables x e y, aparecen como numeradores en cada uno de los cocientes.

• x es la abscisa de cualquier punto de la recta y se encuentra dividida por la abscisa al origen.

• y es la ordenada de cualquier punto de la recta y se divide entre la ordenada al origen.

1by

ax

• La ecuación de la recta en su forma general puede transformarse a cualquiera de las otras formas: común u ordinaria y simétrica o canónica y viceversa.

• Conversión de Ax+By+C=0 en y=mx+b• Para convertir la ecuación de la recta de la forma general a la ordinaria

o común, basta con despejar el valor de y, como sigue:

1. Trasponer el término independiente al otro lado de la igualdad.

2. Trasponer el término de la variable en x, al otro lado de la igualdad

3. Dividir ambos lados de la igualdad entre el coeficiente de y, para despejar ésta

CByAx

CAxBy

B

CAxy

• De lo anterior se sabe que: El valor de la pendiente es:

La ordenada al origen es:

B

Am

B

Cb

Sustituyendo se obtiene:

Que es la forma ordinaria de la ecuación de la recta.

bmxy

Conversión de la forma general a la forma simétrica o canónica.

• Para transformar la ecuación general de la recta a su forma simétrica, a partir del siguiente procedimiento:

1. Pasar el término independiente a otro lado de la ecuación.

2. Dividir ambos miembros de la ecuación entre el término independiente, para obtener la unidad en el segundo miembro de la ecuación.

3. Para dejar solo la x y y como numeradores, dividir cada término del primer miembro de la ecuación entre el reciproco del coeficiente respectivo.

CByAx

1

C

By

C

Ax

1

BCy

ACx

• Las intersecciones de la recta con los ejes coordenados son:

• La Intersección con el eje X es:

• La intersección con el eje Y es:

AC

ax

CB

by

Sustituyendo, se obtiene:

1by

ax

Ejemplo: Transformar la ecuación general de la recta 4x+5y+20=0 a su forma ordinaria y simétrica.

origen al ordenada 4

pendiente 54

: tantolopor

454

5-20-4x-

y

20--4x5y-

02054

b

m

xy

bmxyyx

Y eje elcon ón intersecci 4

X eje elcon ón intersecci 5

: tantolopor

145

1

205

420

2020

205

204

2054

1ax

02054

y

x

yx

yx

yx

yx

bx

yx

• Gráficamente:

La línea recta y la ecuación general de primer grado

• La ecuación de una recta es una ecuación de primer grado con dos variables.

• Toda ecuación de la forma Ax+By+C=0, donde A y B no son simultáneamente cero, representa una línea recta.

• Identificación de recta en la ecuación de primer grado:

o Ax+By+C=0 Con o Ax+By=0 Pasa por el origeno Ax+C=0 Recta verticalo By+C=0 Recta horizontal

En cada caso los coeficientes escritos son distintos de cero y los que no están son cero.

Bc

- bBA

m y

2.1.5. FORMA NORMAL DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

• La forma normal de la ecuación de la recta se expresa en términos de las funciones seno y coseno, como sigue:

0cos pysenx

• Donde:p es un número positivo, numéricamente igual a la longitud de la recta normal (perpendicular), trazada desde el origen a la recta.ω es el ángulo positivo menor de 360º medido a partir de la parte positiva del eje X a la recta normal.

Ejemplo. En un círculo con centro en el origen y radio igual a 5 hallar la ecuación, en su forma normal, de la recta tangente en el punto (3,4).

Solución: De la figura se sabe que p=5;

Por lo tanto, la ecuación de la recta en su forma normal, es:

53

y 54

cos sen

0553

54 yx

Obtención de la forma normal a partir de la forma general

• Para transformar una ecuación de la recta dada en su forma general a la forma normal, basta con dividirla entre , es decir:BA

22

022

BACByAx

• Donde A y B son los coeficientes lineales de la Ecuación de la recta en su forma general.

• Además el signo del radical se escoge de acuerdo a lo siguiente: Si C≠0, el radical es de signo contrario a C. Si C=0 y B≠0, el radical y B tienen el mismo signo. Si C y B son cero y A≠0, el radical y A tienen el mismo signo.

Ejemplo: Transformar la recta 3x+4y+2=0 a la forma normal.

De la ecuación general se sabe que A=3, B=4 y C=2, además C≠0 y positivo, por lo tanto el signo del radical r es negativo, según el primer criterio. Entonces:

Por lo tanto la ecuación de la recta en su forma normal es:

5

2516943 2222

r

BAr

05

2

5

4

5

3 yx

Normal a una recta y distancia al Origen• La distancia de un punto P(x1,y1) a una recta L, se define como la longitud

perpendicular trazada desde dicho punto hasta la recta.

1. Si la esta distancia d se considera absoluta, entonces, ésta puede determinarse sustituyendo las coordenadas de dicho punto en la ecuación de la recta en su forma normal; es decir:

22

11

BA

CByAxd

2. Si la esta distancia d se considera dirigida, entonces, ésta puede determinarse sustituyendo las coordenadas del punto dado en la siguiente expresión:

22

11

BA

CByAxd

Criterios para calcular la distancia dirigida, por la posición de la recta dada:

I. Si la recta dada no pasa por el origen del sistema coordenado, entonces la distancia es:

1. Positiva cuando el punto dado P1(x1,y1) y el origen estén en lados opuestos de la recta.

2. Negativa cuando el punto dado P1(x1,y1) y el origen estén del mismo lado de la recta.

II. Si la recta dada pasa por el origen, la distancia es:

3. Positiva si el punto dado P1(x1,y1) por arriba de la recta.

4. Negativa si el punto se encuentra por debajo de la recta

(1)

(4)

(3)

(2)

Distancia perpendicular desde el origen hacia una recta

• Para el caso particular en que el punto dado es el origen: P1(x1,y1)=(0,0), la distancia d, se obtiene a partir de:

22 BA

Cd

Esta distancia puede también determinarse a partir de la ecuación de la recta en su forma normal: 0cos pysenx

Ejemplo: Determinar la distancia de la recta 2x+3y-4=0 hacia el origen.

Como la distancia es absoluta, tenemos que:

13

4

13

4

32

422

d

d

Nota: Si la distancia fuera dirigida, entonces el signo de la distancia seria negativo, porque el punto se encuentra por debajo de la recta.

Distancia entre dos rectas paralelas• Para calcular la distancia entre dos recta que son

paralelas, se consideran dos casos:

1. Si el origen se encuentra entre las dos rectas como se muestra en la figura, entonces la distancia total es la suma:

d= d1+d2

d1 y d2, se calculan aplicando la expresión para la distancia del origen a cada una de la rectas.

2. Si el origen no se encuentra entre la rectas paralelas, se determinan las intersecciones con los ejes coordenados de la recta L1, como se ve en la figura: M(0,y) y N(x,0). La distancia se calcula sustituyendo cualquiera de las intersecciones y los coeficientes de la recta L2, en la expresión que corresponde a la distancia de un punto a una recta.

(1)

(2)

2.2. ECUACIONES DE RECTAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO

• Ecuación de la BisectrizLa bisectriz es el segmento de recta que divide al ángulo en dos partes iguales.

2222

,,,

BA

CByAx

BA

CyBxA

• La ecuación de la bisectriz se determina mediante las siguientes consideraciones:

• La distancia desde el punto Q hacia cada una de las rectas es la misma: PQ=QR.

• El signo de la distancia RQ es negativa, puesto que Q se sitúa por debajo de la recta AC.Por lo tanto la ecuación de la bisectriz se determina a partir de:

PRPQ

Este planteamiento se repite para cada bisectriz de cada ángulo del triángulo y las relaciones con sus respectivos lados.

Ecuación de la Mediatriz• La mediatriz es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de un segmento• Consideraciones para determinar la ecuación de la mediatriz para el lado BC del

triángulo:

a) Se determinan las coordenadas del punto medio Pm(xm,ym) del lado del triángulo a partir de:

b) Se determina la pendiente mBC del lado BC, a partir de la ecuación de dicho lado, es decir:

c) Como el lado AB y la mediatriz son perpendiculares entonces la pendiente de la mediatriz (mM) es recíproca y negativa de mBC , por lo que:

d) La ecuación de la mediatriz se determina a partir de forma punto-pendiente de la recta con las coordenadas del punto medio y la pendiente ya conocida, es decir:

2;

23232

yyyxxx mm

AC

mBC

CA

mM

)(

)(

xCA

y

xmy

mm

mMm

xy

xy

Este planteamiento se repite para cada uno de los lados del triángulo y su mediatriz y punto medio.

Ecuación de la Altura

• La altura es el segmento que se traza perpendicularmente desde un lado del triángulo y pasa por el vértice opuesto a éste.

• Para determinar la ecuación de la altura (perpendicular al lado AB) del triangulo, de la figura, se procede como sigue:

a) Se determina la ecuación del lado AB del triangulo: Ax+By+C=0; usando la expresión para la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

b) Se determina la pendiente del lado AB, como:

c) Como el lado AB y la altura son perpendiculares entonces la pendiente de la altura (mh) es recíproca y negativa de mAB , por lo que:

d) La ecuación de la altura se determina a partir de la forma punto-pendiente de la recta, con el valor de la pendiente mh y las coordenadas del vértice por donde pasa la altura, es decir:

AC

mAB

CA

mh

)(

)(

33

33

xCA

y

xmy

xy

xyh

El procedimiento se repite para cada uno de los lados del triángulo y su respectiva altura y vértice opuesto.

Ecuación de la mediana

• La mediana en un triángulo es el segmento trazado desde un vértice al punto medio del lado opuesto.

• Para determinar la ecuación de la mediana AP del triángulo de la figura, se procede como sigue:

a) Determinar las coordenadas del punto medio, Pm(xm,ym), del segmento BC.

b) Usar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, usando las coordenadas de A y P, es decir:

c) Realizar las operaciones para obtener la ecuación de la Mediana.

mm

mm xx

xxyy

yy

1

1

Nota: otro procedimiento consiste en calcular la pendiente de la mediana, y usar la forma punto-pendiente de la recta, usando indistintamente el punto A ó Pm .

El procedimiento se repite para cada uno de los lados del triángulo y su respectivas medianas y puntos medios.

BIBLIOGRAFÍA

• Salazar Vázquez Pedro, Cuellar M.L. Matemáticas III. México, Ed. Nueva Imagen, 2007.

• Ortiz Campos Francisco. Matemáticas III, Geometría Analítica. México Ed. Publicaciones Cultural. Primera Edición, 2005.

• Lehmann, Charles. Geometría Analítica. México. Ed. Limusa. 2006

• Garza Olvera, Benjamín. Matemáticas III, Geometría Analítica. México. Colección DGTI.1998.