le3_2013.pdf

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ESTRUTURAS DE SUPORTE

Março de 2003

Nuno Manuel da Costa Guerra

Índice de Matérias

1 Introdução 1

1.1 Observações iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Organização do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Impulsos de terras 3

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Impulsos em repouso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 Teoria de Rankine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3.1 Solos sem coesão efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3.2 Solos com coesão efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.3 Solos respondendo em condições não drenadas . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.4 Constatação da extensão da teoria de Rankine a solos com coesão efec-

tiva por meios numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.5 Pressões da água, meios estratificados e sobrecargas . . . . . . . . . . . 21

2.3.6 Extensão da Teoria de Rankine a casos com superfície do terreno inclinada 23

2.4 Teoria de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.1 Solos sem coesão efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.2 Solos com coesão efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5 Algumas noções de plasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5.2 O princípio dos trabalhos virtuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5.3 Teoremas do colapso plástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6 Aplicação dos teoremas do colapso plástico a casos simples de cálculo de impulsos 39

2.6.1 Impulso passivo de solos sem coesão efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . 39

i

ii Índice de Matérias

2.6.2 Profundidade crítica de escavações de face vertical em solos argilosos

respondendo em condições não drenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.7 Observações às teorias de Rankine e de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.8 O método de Caquot–Kérisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.9 A curvatura da superfície de deslizamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.10 Verificação numérica do cálculo de impulsos com atrito solo–estrutura . . . . . 55

2.11 O sinal do ângulo de atrito solo–muro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3 Dimensionamento de estruturas de suporte rígidas 61

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2 Impulsos de terras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3 Estabilidade externa de muros de suporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3.2 Verificação da segurança em relação ao deslizamento . . . . . . . . . . . 65

3.3.3 Verificação da segurança em relação ao derrubamento . . . . . . . . . . 71

3.3.4 Verificação da segurança em relação à rotura da fundação . . . . . . . . 73

3.3.5 Observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.4 Casos particulares do dimensionamento de estruturas de suporte (baseado em

Matos Fernandes (1990)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.5 Drenagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.6 O Eurocódigo 7. Comentários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4 Estruturas de contenção flexíveis: cortinas autoportantes e mono-apoiadas 85

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.2 Dimensionamento de cortinas simplesmente encastradas ou auto-portantes . . . 86

4.2.1 Descrição do método de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.2.2 Exemplo de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.2.3 Metodologia de verificação da segurança através de coeficiente de segu-

rança global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2.4 Verificação numérica do cálculo de cortinas auto-portantes . . . . . . . . 91

4.3 Dimensionamento de cortinas mono-apoiadas através do método do apoio simples 95

4.3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.3.2 Descrição do método de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Índice de Matérias iii

4.3.3 Exemplo de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.3.4 Metodologia de verificação da segurança através de coeficiente de segu-

rança global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.4 O método de Rowe (baseado em Matos Fernandes (1990)) . . . . . . . . . . . . 100

4.4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.4.2 Redução dos momentos devido às redistribuições das pressões passivas . 101

4.4.3 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.4.4 Redução de momentos devido a redistribuição de pressões activas . . . . 104

4.4.5 Esforço no tirante de ancoragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.5 Verificação numérica do cálculo de cortinas mono-apoiadas. Limitações do mé-

todo de Rowe (Matos Fernandes et al., 2003, 2004). . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5 Estruturas de contenção flexíveis: cortinas multi-escoradas 113

5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.2 Pressões de terras: hipótese da rotação em torno do topo . . . . . . . . . . . . . 116

5.3 Pressões de terras: os diagramas aparentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.3.1 Os diagramas aparentes de Terzaghi e Peck . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.3.2 Constatação por elementos finitos da adequabilidade do diagrama de

Terzaghi e Peck das areias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.3.3 Aplicação dos diagramas de Terzaghi e Peck a solos argilosos . . . . . . 121

5.4 Pressões associadas à água e a sobrecargas na superfície . . . . . . . . . . . . . 128

5.4.1 Pressões devidas à água . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.4.2 Pressões associadas a sobrecargas (adaptado de Matos Fernandes (1990))130

5.4.3 Pressões associadas a outras causas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.5 Estabilidade do fundo da escavação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.5.1 Escavações em argilas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.5.2 Escavações em areias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.6 A rigidez efectiva e a rigidez teórica das escoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.7 O Eurocódigo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6 Estruturas de contenção flexíveis: cortinas multi-ancoradas 139

6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.2 Pressões de terras numa cortina ancorada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

iv Índice de Matérias

6.3 Funcionamento de uma cortina ancorada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.3.1 A questão da rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.3.2 A questão da imposição de deslocamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.3.3 A alteração do estado de tensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

6.4 Nível de pré-esforço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.5 Dimensionamento estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.6 Equilíbrio vertical de estruturas de contenção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.6.2 Comportamento evidenciado por modelos físicos . . . . . . . . . . . . . 148

6.6.3 Comportamento evidenciado por modelos numéricos . . . . . . . . . . . 151

6.6.4 Comportamento evidenciado por casos de obra . . . . . . . . . . . . . . 155

6.6.5 O caso das cortinas tipo Berlim definitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Índice de Figuras

1.1 Estruturas de suporte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2.1 Distribuição de tensões efectivas em repouso, em solo homogéneo, com superfície

do terreno horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Idealização de estrutura de suporte instalada sem perturbação do terreno e sem

sofrer qualquer movimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Mobilização de estado activo e passivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Representação dos estados em repouso e activo através do círculo de Mohr. . . 6

2.5 Figura auxiliar para a demonstração de Ka = tg2(

45o − φ′

2

)

. . . . . . . . . . . 7

2.6 Direcção das superfícies de rotura em solo no estado activo. . . . . . . . . . . . 7

2.7 Diagrama de tensões activas. Impulso activo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.8 Representação dos estados em repouso e passivo através do círculo de Mohr. . 8

2.9 Direcção das superfícies de rotura em solo no estado passivo. . . . . . . . . . . 9

2.10 Descrição da situação modelada para constatação da teoria de Rankine e malha

de elementos finitos (cálculos 1.1 e 1.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.11 Trajectórias de tensão dos cálculos 1.1 e 1.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.12 Relação entre o coeficiente de impulso e a extensão horizontal nas análises 1.1

e 1.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.13 Malha de elementos finitos e deformada da análise 2.1. . . . . . . . . . . . . . 13

2.14 Tensões normais à interface nos cálculos 2.1 e 2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.15 Pontos plastificados no cálculo 2.1; comparação com a cunha teórica de Rankine. 15

2.16 Malha de elementos finitos deformada correspondente ao cálculo 3.1. . . . . . . 15

2.17 Comparação das trajectórias de tensão dos cálculos 3.1 e 3.2 com as dos cálculos

1.1 e 1.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.18 Relação entre o coeficiente de impulso e a extensão horizontal nas análises 3.1

e 3.2; comparação com a relação obtida das análises 1.1 e 1.2. . . . . . . . . . 17

v

vi Índice de Figuras

2.19 Representação dos estados em repouso e activo através do círculo de Mohr em

solos com coesão efectiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.20 Impulsos em solos com coesão efectiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.21 Estado de tensão em escavação não suportada em solo respondendo em condi-

ções não drenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.22 Comparação entre as pressões activas teóricas e as mobilizadas no tardoz da

estrutura de suporte nos cálculos 3.1 e 3.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.23 Pressões da água e influência da água nas pressões de terras. . . . . . . . . . . 22

2.24 Meios estratificados e sobrecargas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.25 Extensão da teoria de Rankine a casos com superfície do terreno inclinada. . . . 24

2.26 Extensão da teoria de Rankine a casos com superfície do terreno inclinada:

representação do estado de tensão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24


representação do estado de tensão (cont.). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25


representação do estado de tensão (cont.). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.29 Cunha de solo para avaliação dos impulsos activos em solos sem coesão efectiva

pela teoria de Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.30 Cunha de solo para avaliação dos impulsos activos em solos sem coesão efectiva

parcialmente submersos pela teoria de Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.31 Cunha de solo para avaliação dos impulsos passivos pela teoria de Coulomb. . . 32

2.32 Cunha de solo para avaliação dos impulsos activos pela teoria de Coulomb em

solo coerente, em condições drenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.33 Cunha de solo para avaliação dos impulsos activos pela teoria de Coulomb em

solo coerente, em condições não drenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.34 Incrementos de deformação plástica de solo perfeitamente plástico com lei de

fluxo associada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.35 Teorema da região superior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.36 Trabalho das tensões internas em superfícies de deslizamento . . . . . . . . . . 37

2.37 Teorema da região inferior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.38 Mecanismo de colapso para aplicação do teorema da região superior à determi-

nação de impulso passivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.39 Valores de K lsp em função de ξ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Índice de Figuras vii

2.40 Equilíbrio de tensões para determinação do impulso passivo através do teorema

da região inferior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42


nação da altura crítica de escavação vertical em solo respondendo em condições

não drenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.42 Valores de N ls em função de ξ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.43 Equilíbrio de tensões para determinação do impulso passivo através do teorema

da região inferior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44


nação da altura crítica de escavação vertical em solo respondendo em condições

não drenadas, usando superfície de deslizamento circular. . . . . . . . . . . . . 45

2.45 Casos correspondentes às equações (2.79) e (2.84). . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.46 Coeficientes de impulso activo determinados pelas teorias de Rankine (equação

(2.79)) e de Coulomb (equação (2.100)) para β = 90o e δ = i. . . . . . . . . . . 47

2.47 Coeficientes de impulso passivo determinados pelas teorias de Rankine (equação

(2.84)) e de Coulomb (equação (2.108)) para β = 90o e δ = −i. . . . . . . . . . 48

2.48 Coeficientes de impulso activo determinados pelas teorias de Rankine (equação

(2.79)) e de Coulomb (equação (2.100)) para β = 90o e δ = i face aos valores

obtidos por Caquot e Kérisel (1948). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.49 Coeficientes de impulso passivo determinados pela teoria de Coulomb (equação

(2.108)) para β = 90o e δ = i face aos valores obtidos por Caquot e Kérisel

(1948). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.50 Coeficientes de impulso activo determinados pela teoria de Coulomb (equação

(2.100)) para β = 90o e i = 0 face aos valores obtidos por Caquot e Kérisel

(1948). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.51 Coeficientes de impulso passivo determinados pela teoria de Coulomb (equação

(2.108)) para β = 90o e i = 0 face aos valores obtidos por Caquot e Kérisel

(1948). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.52 Coeficientes de impulso passivo determinados pela teoria de Caquot e Kérisel

(1948) e por Rosenfarb e Chen (1972) para β = 90o e i = 0. . . . . . . . . . . . 52

2.53 Mecanismo de colapso considerado por Rosenfarb e Chen (1972) para o caso

passivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.54 Superfícies de deslizamento correspondentes ao impulso activo obtidas pelos

métodos de Coulomb e de Rosenfarb e Chen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.55 Superfícies de deslizamento correspondentes ao impulso passivo obtidas pelos

métodos de Coulomb e de Rosenfarb e Chen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

viii Índice de Figuras

2.56 Comparação entre as pressões activas teóricas (teoria de Coulomb) e as mobi-

lizadas no tardoz da estrutura de suporte nos cálculos 3.1 e 3.4 . . . . . . . . . 55

2.57 Comparação entre as pressões passivas teóricas (teorias de Coulomb e de Caquot-

Kérisel) e as mobilizadas no tardoz da estrutura de suporte no cálculo 3.5. . . 56

2.58 Convenção de sinal positivo do ângulo de atrito solo–muro (δ). . . . . . . . . . 57

2.59 Malha de elementos finitos deformada de cálculo de análise limite (Antão, 2003)

para o caso de determinação do impulso activo (φ = 30o e δ = 0). . . . . . . . 57

2.60 Superfícies de deslizamento correspondentes ao impulso activo para φ = 30o e

δ = +20o, 0 e −20o, obtidas por análise limite numérica (Antão, 2003). . . . . 58

2.61 Superfícies de deslizamento correspondentes ao impulso passivo para φ = 30o e

+20o, δ = 0 e −20o, obtidas por análise limite numérica (Antão, 2003). . . . . 59

3.1 Muros de suporte “rígidos”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2 Verificação da segurança ao deslizamento de uma estrutura de suporte rígida. . 65

3.3 Exemplo de verificação da segurança ao deslizamento de uma estrutura de su-

porte rígida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.4 Geometria do caso de estudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.5 Relações B/H e coeficientes de segurança globais ao deslizamento obtidos. . . 70

3.6 Verificação da segurança ao derrubamento de uma estrutura de suporte rígida. 71

3.7 Relações B/H e coeficientes de segurança globais ao derrubamento obtidos. . . 72

3.8 Verificação da segurança ao derrubamento de uma estrutura de suporte rígida. 74

3.9 Relações B/H que verificam a segurança pela formulação do Eurocódigo 7. . . 75

3.10 Relações B/H relativas ao dimensionamento considerando o deslizamento, der-

rubamento e rotura da fundação da estrutura de suporte analisada, para δ = 0. 76

3.11 Relações B/H relativas ao dimensionamento considerando o deslizamento, der-

rubamento e rotura da fundação da estrutura de suporte analisada, para δ =23φ

′. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.12 Inclinação da base do muro, para aumentar a segurança ao deslizamento. . . . 77

3.13 Muro de alvenaria com paramento de tardoz não rectilíneo. . . . . . . . . . . . 77

3.14 Estrutura de suporte com paramento constituído por troços rectilíneos. . . . . 78

3.15 Determinação dos impulsos num muro com tardoz quebrado, pelo método de

Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.16 Determinação de impulsos sobre muro “em L” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.17 Determinação de impulsos de terras em muros em “L” (Matos Fernandes, 1990). 80

Índice de Figuras ix

3.18 Limitação da excentricidade em estruturas de suporte. . . . . . . . . . . . . . . 80

3.19 Dispositivos de drenagem (adaptado de Brito (1988)). . . . . . . . . . . . . . . 81

4.1 Tipos de estruturas de suporte flexíveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.2 Dimensionamento de cortinas simplesmente encastradas (ou auto-portantes. . 86

4.3 Exemplo de cálculo de uma cortina de contenção auto-portante. . . . . . . . . 87

4.4 Caso de estudo para a comparação das metodologias de segurança. . . . . . . . 90

4.5 Comparação entre as relações f0

hobtidas por diversas metodologias de verifi-

cação da segurança (os valores de fh

podem ser obtidos multiplicando os de f0

h

por 1.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.6 Comparação entre as relações MSd

γh3 obtidas por diversas metodologias de verifi-

cação da segurança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.7 Cálculo 4.1: malha de elementos finitos para h=4m. . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.8 Cálculo 4.1: deslocamentos da cortina para h=4m, 4.5m e 5m. . . . . . . . . . 93

4.9 Cálculo 4.1: pressões de terras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.10 Cálculo 4.1: esforços na cortina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95


4.12 Dimensionamento de cortinas mono-apoiadas através do método do apoio mó-

vel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.13 Exemplo de cálculo de uma cortina de contenção mono-apoiada. . . . . . . . . 97

4.14 Caso de estudo para a comparação das metodologias de segurança. . . . . . . . 98

4.15 Comparação entre as relações f0

hobtidas por diversas metodologias de verifica-

ção da segurança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.16 Comparação entre as relações MSd



4.17 Comparação entre as relações NSd



4.18 Correcção de Rowe por redistribuição das pressões passivas (Matos Fernandes,

1990) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.19 Determinação da secção através do método de Rowe. . . . . . . . . . . . . . . 102

4.20 Traçado das curvas estrutural e de serviço. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.21 Coeficientes de redução do momento máximo devido ao efeito de arco do maciço

suportado (Rowe, 1956) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

x Índice de Figuras

4.22 Coeficientes de majoração do esforço no tirante de ancoragem para ter em

conta, segundo Rowe, as redistribuições de pressões no maciço (Matos Fernan-

des, 1990). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.23 Cálculos 5.1 e 5.2: deslocamentos horizontais da parede e momentos flectores. 106

4.24 Apoio móvel nos cálculos 5.3 a 5.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.25 Cálculos 5.3 a 5.6: deslocamentos horizontais da parede e momentos flectores. 108

4.26 Cálculos 5.3 a 5.6: pressões de terras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.27 Cálculos 5.7 a 5.10: pressões de terras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.28 Momentos flectores nos cálculos 5.7 a 5.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.29 Cálculo 5.5: tensões verticais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.1 Tipos de cortinas escoradas correntes: a) estrutura usada em pequenas entiva-

ções; b) forma mais corrente para profundidades médias a elevadas; c) cortina

de estacas-pranchas de aço; d) cortina de betão armado moldada no terreno

(Matos Fernandes, 1990). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.2 Cortina tipo Berlim escorada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.3 Movimento de cortina escorada: hipótese de rotação em torno do topo. . . . . 117

5.4 Malha de elementos finitos deformada correspondente ao cálculo 6.1. . . . . . . 117


5.6 Cálculo 6.1: tensões verticais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.7 Determinação de diagramas de pressões aparentes a partir das forças medidas

nas escoras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.8 Diagramas de Terzaghi e Peck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.9 Cálculos 7.1 a 7.3: geometria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.10 Cálculos 7.1 e 7.2: pressões de terras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.11 Cálculos 7.3 e 7.4: pressões de terras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122


5.13 Cálculos 8.1 a 8.5: pressões de terras e deslocamentos horizontais da cortina. . 124

5.14 Cálculos 8.3, 8.4, 8.6 e 8.7: pressões de terras e deslocamentos horizontais da

cortina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.15 Cálculos 8.3, 9.1, 9.2 e 9.3: pressões de terras e deslocamentos horizontais da

cortina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.16 Rotura de uma fundação superficial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.17 Rotura de fundo de escavação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Índice de Figuras xi

5.18 Cálculo 9.2: valores absolutos dos deslocamentos verticais na última fase (con-

vergência não obtida). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.19 Escavação escorada em argila mole; estabilidade assegurada por prolongamento

da cortina até um estrato mais resistente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.20 Cortina impermeável conduzida até estrato impermeável: impulsos da água. . 129

5.21 Distribuição simplificada das pressões da água: situação de percolação para o

interior da escavação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.22 Tensões horizontais associadas a cargas aplicadas à superfície de um meio elás-

tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.23 Rotura de fundo de escavação (Terzaghi, 1943). . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.24 Rotura de fundo de escavação em escavações pouco profundas limitadas inferi-

ormente por estrato rígido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.25 Análise de estabilidade do fundo quando a cortina penetra abaixo da base da

escavação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.26 Factores para o cálculo do coeficiente de segurança à rotura do fundo em esca-

vações em solos argilosos moles (Matos Fernandes, 1990). . . . . . . . . . . . . 134

5.27 Análise de estabilidade do fundo quando a cortina penetra abaixo da base da

escavação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.28 Curva força-deslocamento de uma escora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.1 Cálculo 10.1: geometria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.2 Cálculo 10.1: Malha de elementos finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.3 Cálculos 10.1 e 10.2: deslocamentos horizontais da cortina, assentamentos do

terreno suportado e pressões de terras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.4 Cálculos 10.1 a 10.3: deslocamentos horizontais da cortina, assentamentos do

terreno suportado e pressões de terras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

6.5 Representação esquemática da evolução do estado de tensão em elemento de

solo suportado por cortina ancorada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.6 Cálculos 10.1, 10.2, 10.4 e 10.5: deslocamentos horizontais da cortina, assenta-

mentos do terreno suportado e pressões de terras. . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.7 Cálculos 10.1, 10.2, 10.4 e 10.5: variações de carga nas ancoragens. . . . . . . . 145

6.8 Cálculo 10.2: momentos flectores para as diversas fases construtivas. . . . . . . 146

6.9 Equilíbrio vertical de paredes de contenção flexíveis. . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.10 Sequência construtiva adoptada nos modelos físicos de Hanna e Matallana

(1970). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

xii Índice de Figuras

6.11 Evolução das cargas nas ancoragens dos modelos físicos de Hanna e Matallana

(1970). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.12 Deslocamentos verticais e horizontais da parede dos modelos físicos de Hanna

e Matallana (1970). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.13 Assentamentos da superfície do terreno suportado dos modelos físicos de Hanna

e Matallana (1970). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.14 Características do caso de estudo numérico apresentado por Matos Fernandes

et al. (1993). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.15 Deslocamentos da parede nas fases 6 a 9, nas análises A a D (Matos Fernandes

et al., 1993). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.16 Deslocamentos finais da parede e da superfície do terreno nas análises A, C e

D (Matos Fernandes et al., 1993). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

6.17 Evolução das cargas nas ancoragens dos níveis 1 e 3 nas análises A a D (Ma-

tos Fernandes et al., 1993). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6.18 Mobilização da resistência lateral nas análises A a D (Matos Fernandes et al.,

1993). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6.19 Representação esquemática de caso de estudo que resultou na rotura da funda-

ção da cortina em maciço rochoso, acima da base da escavação e fotografia do

local. (Finno, 1992). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.20 Número de caves dos projectos de escavação apresentados na Câmara Municipal

de Lisboa entre 1989 e 1999 (Almeida, 1999). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.21 Descrição esquemática do processo construtivo das estruturas de contenção tipo

Berlim definitivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.22 Detalhe do faseamento construtivo entre as fases 5 e 6 referidas na Figura

anterior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.23 Encurvadura de um perfil metálico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

6.24 Perfis exteriores com alguns sinais de encurvadura, numa obra em Lisboa. . . . 165

6.25 Rotura vertical de parede de contenção tipo Berlim definitiva, não apoiada em

perfis metálicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6.26 Estrutura de contenção tipo Berlim após rotura. . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.27 Representação esquemática da modelação das fases construtivas de uma parede

de contenção tipo Berlim. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

6.28 Geometria do caso de estudo e propriedades dos materiais. . . . . . . . . . . . 171

6.29 Malhas de elementos finitos no início e no final da escavação. . . . . . . . . . . 171

Índice de Figuras xiii

6.30 Tensões tangenciais no contacto solo-parede nas análises A e B, nas fases 7, 10,

13, 16 e 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

6.31 Tensões tangenciais no contacto solo-parede nas análises A e B, nas fases 10 a

19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6.32 Resistência mobilizada na interface solo-parede e nos perfis nas análises A, e B

(fase 19). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.33 Variação de carga nas ancoragens nas análises A e B. . . . . . . . . . . . . . . 178

6.34 Evolução durante o processo construtivo das cargas verticais e das forças resis-

tentes nos perfis e na interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6.35 Deslocamentos do solo nas análises A e B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

xiv Índice de Figuras

Índice de Quadros

1.1 Organização do texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1 Fases de cálculo da análise 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Fases de cálculo da análise 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Coeficientes de impulso activo e passivo determinados pelos métodos de Cou-

lomb e de Rosenfarb e Chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4 Comparação entre os valores deKa obtidos pelos métodos de Coulomb, Caquot–

Kérisel, Rosenfarb e Chen e de análise limite numérica para φ = 30o. . . . . . . 58

2.5 Comparação entre os valores deKp obtidos pelos métodos de Coulomb, Caquot–

Kérisel, Rosenfarb e Chen e de análise limite numérica para φ = 30o. . . . . . . 58

3.1 Coeficientes de segurança parciais – estados limites últimos em situações per-

sistentes e transitórias (ENV 1997-1.1, 1993). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.1 Dados para a curva estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.2 Dados para a curva de serviço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.3 Rigidez à flexão dos cálculos 5.3 a 5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.1 Cálculos 8.2 a 8.5: Rigidez à compressão das escoras . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.2 Cálculos 8.3, 9.1 e 9.2: resistência não drenada e número de estabilidade da base125

5.3 Acções de sobrecargas dadas pela Teoria da Elasticidade . . . . . . . . . . . . . 131

6.1 Faseamento construtivo adoptado nas análises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

6.2 Verificação a priori simplificada do equilíbrio para a análise B . . . . . . . . . 173

xv

xvi Índice de Quadros

Capítulo 1

Introdução

1.1 Observações iniciais

O projecto de estruturas de suporte de terras envolve o conhecimento das cargas devidas

ao solo e à água que se exercem sobre elas. Os primeiros métodos de avaliação dos impulsos

de terras actuantes em estruturas de suporte foram desenvolvidos por Coulomb e por Rankine

nos séculos XVIII e XIX.

Para a aplicação destes métodos, admite-se que a estrutura de suporte sofre um relati-

vamente pequeno movimento de corpo rígido, causando no solo suportado o desenvolvimento

de um estado plástico, correspondendo a um comportamento idealizado. Estas hipóteses não

consideram os efeitos da interacção solo–estrutura ou o processo de execução da mesma; no

entanto, os métodos de Coulomb e de Rankine fornecem meios razoavelmente precisos e ade-

quados à estimativa dos impulsos (activos) que se geram nas estruturas de suporte que possam

ser consideradas rígidas (Figura 1.1(a)), mantendo ainda hoje um significativo interesse.

��

��

(a) Estrutura de su-porte rígida

��

��

(b) Estrutura de suporte flexível

Figura 1.1: Estruturas de suporte.

O conhecimento, em determinadas circunstâncias, dos impulsos passivos com adequado

nível de rigor passa pela utilização de métodos mais complexos, destancando-se o método de

1

2 Capítulo 1. Introdução

Caquot-Kérisel.

A utilização de estruturas de suporte mais complexas, que alteram substancialmente a

validade das hipóteses básicas das teorias de Coulomb e de Rankine, teve um desenvolvimento

substancial durante o século XX. Trata-se, sobretudo de estruturas de suporte “flexíveis”, con-

forme ilustrado na Figura 1.1(b), cuja deformabilidade, tipo de movimento e características

dos apoios põe em causa a validade das teorias de cálculo de impulsos desenvolvidas anterior-

mente por Coulomb e Rankine, para estruturas de suporte conceptualmente mais simples, e

levanta novos problemas, necessitando de novas abordagens e conhecimentos.

1.2 Organização do trabalho

O Quadro 1.1 apresenta esquematicamente a organização do texto.

Quadro 1.1: Organização do texto

Assunto: CapítuloImpulsos de terras Capítulo 2

Estruturas de suporte rígidas Capítulo 3Estruturas flexíveis: auto-portantes e mono-apoiadas Capítulo 4

Estruturas flexíveis: multi-escoradas Capítulo 5Estruturas flexíveis: multi-ancoradas Capítulo 6

Capítulo 2

Impulsos de terras

2.1 Introdução

Neste capítulo trata-se do problema das pressões de terras sobre estruturas de suporte

rígidas. O facto de no nome do capítulo se referir simplesmente “impulsos de terras” é jus-

tificado pelo sentido que se pretende dar à referida expressão: com efeito, no âmbito deste

texto a expressão “impulsos de terras” refere-se às pressões de terras que são razoavelmente

independentes da estrutura de suporte. É o caso das estruturas de suporte rígidas e, como se

verá, não é o caso das estruturas de suporte flexíveis. Considera-se, assim, que a expressão

“impulsos de terras” deva ser associada às estruturas de suporte rígidas.

2.2 Impulsos em repouso

O solo existente está sujeito a tensões ditas “em repouso” correspondentes ao seu estado

de tensão inicial, isto é, antes de perturbado pela construção ou movimento da estrutura de

suporte.

Define-se coeficiente de impulso em repouso, K0 à relação expressa pela equação

K0 =σ′hσ′v

(2.1)

em que σ′h é a tensão efectiva horizontal e σ′v é a tensão efectiva vertical.

Em solo homogéneo a distribuição de tensões em profundidade é linear, conforme sugerido

pela Figura 2.1.

Jaky (1944) propôs uma relação para o coeficiente de impulso em repouso para solos

normalmente consolidados, dada pela equação

K0 = 1 − senφ′ (2.2)

em que φ′ é o ângulo de resistência ao corte em tensões efectivas. Para ângulos de resistência

3

4 Capítulo 2. Impulsos de terras

1

NF

1

PSfrag TensãoTensão

γ

zz

γ′

σ′vσ′v σ′hσ′h

Figura 2.1: Distribuição de tensões efectivas em repouso, em solo homogéneo, com superfíciedo terreno horizontal.

ao corte correntes conclui-se assim que, no caso de solos normalmente consolidados, K0 toma

valores da ordem de 0.4 a 0.6.

Para argilas normalmente consolidadas, Alpan propôs a expressão

K0 = 0.19 + 0.233log10IP (%) (2.3)

em que IP é o índice de plasticidade. Massarsch (1979) sugeriu a seguinte expressão, para o

mesmo tipo de solos:

K0 = 0.44 + 0.42IP (2.4)

Para solos sobreconsolidados, no entanto, as expressões anteriores não são válidas, podendo

o coeficiente de impulso em repouso, de acordo com Schmidt (1966), ser determinado através

da equação

K0 = K0nc(OCR)α (2.5)

onde K0nc é o coeficiente de impulso em repouso para o solo normalmente consolidado, OCR

é o grau de sobreconsolidação e α é um coeficiente adimensional que, de acordo com Mayne

e Kulhawy (1982), pode ser tomado igual a senφ′. Note-se que, para solos fortemente sobre-

consolidados, K0 pode assumir valores superiores à unidade.

A determinação do coeficiente de impulso em repouso é uma das mais complexas tarefas

práticas da prospecção geotécnica, podendo afirmar-se que somente alguns ensaios “in situ”

permitem obtê-lo com alguma confiança. É o caso do pressiómetro auto-perfurador.

O conhecimento dos impulsos em repouso é de importância indiscutível, uma vez que

corresponde ao estado inicial, a partir do qual se vão alterar as pressões numa estrutura de

suporte. Por outro lado, os impulsos em repouso constituem uma referência, no sentido de

que se fosse possível instalar uma estrutura de suporte no solo sem que este fosse perturbado e

se a estrutura permanecesse imóvel, instalar-se-iam pressões de terras no tardoz da estrutura

que seriam iguais aos impulsos em repouso (Figura 2.2). É por este motivo que, no caso

do dimensionamento na fase definitiva das estruturas de suporte de caves de edifícios, em

que o travamento é realizado com elementos de elevada rigidez, impedindo, portanto, sob o

ponto de vista prático, os deslocamentos da estrutura de suporte, se consideram as pressões

correspondentes aos impulsos em repouso. Conforme se verá, a questão do dimensionamento

para a fase provisória constitui um outro problema.

Capítulo 2. Impulsos de terras 5

A expressão de Jaky (1944) (equação 2.2) foi confirmada em laboratório por Sherif et al.

(1984) para areias soltas. No entanto, para areias compactas, devido ao processo de compac-

tação, a referida expressão subestima o coeficiente de impulso em repouso, tendo os autores

indicados sugerido a expressão

K0 =(

1 − senφ′)

+ 5.5

[

γd

γmind

− 1

]

(2.6)

em que γd é o peso volúmico seco da areia compactada e γmind é o peso volúmico mínimo

(correspondente ao estado mais solto).

��

��

(a) Instalação da estru-tura sem perturbação

��

��

Impulso em repouso

(b) Escavação do terrenosem movimento da estru-tura

Figura 2.2: Idealização de estrutura de suporte instalada sem perturbação do terreno e semsofrer qualquer movimento.

2.3 Teoria de Rankine

2.3.1 Solos sem coesão efectiva

Estado activo

Considere-se o elemento de solo incoerente que se apresenta na Figura 2.3. Admita-se

que a deposição deste solo (por processos naturais ou artificiais), se deu com a presença da

estrutura de suporte (o equivalente seria considerar-se que a estrutura foi instalada e o solo

à sua esquerda retirado sem que se desse qualquer perturbação do estado de tensão inicial).

Considere-se ainda que não há atrito entre o solo e a estrutura. A representação do estado

de tensão inicial, definido pelo coeficiente de impulso em repouso, através do círculo de Mohr,

está indicada na Figura 2.4, em que as tensões efectivas vertical e horizontal, σ′v e σ′h = K0σ′v

são tensões principais.

Devido à acção do terreno que suporta, a estrutura de suporte indicada na Figura 2.3

tenderá a deslocar-se para a esquerda. Como consequência deste movimento, verificar-se-á

que a tensão efectiva horizontal tenderá a diminuir, ao passo que a tensão efectiva vertical se

manterá aproximadamente constante. O raio do círculo de Mohr tenderá, portanto a aumentar,

ficando no entanto limitado por um determinado valor mínimo da tensão efectiva horizontal,

representado na Figura 2.4 por σ′ha, que corresponde à situação em que o círculo de Mohr se

torna tangente à envolvente de rotura.


σ′v

σ′h

Figura 2.3: Mobilização de estado activo e passivo.

O

P

C

45o + φ′

2

45o + φ′

2

90 + φ′

φ′

σ′ha σ′h σ′v

τ

σ′

= Kaσ′v

Figura 2.4: Representação dos estados em repouso e activo através do círculo de Mohr.

A tensão efectiva horizontal σ′ha corresponde, assim, ao valor mínimo que pode ser mobi-

lizado no contacto solo–estrutura, nas condições indicadas, encontrando-se o solo no “estado

activo” de Rankine (Rankine, 1857) e sendo o coeficiente de impulso activo, Ka, dado por

Ka =σ′ha

σ′v(2.7)

Verificando-se que o triângulo assinalado na figura é rectângulo em P , pode escrever-se

que

senφ′ =CP

OC=

σ′v−σ′

ha

2σ′

v+σ′h

2

=σ′v −Kaσ

′v

σ′v +Kaσ′v=

1 −Ka

1 +Ka(2.8)

de onde vem

Ka =1 − senφ′

1 + senφ′(2.9)

Atendendo à relação trigonométrica

sen a− sen b

sen a+ sen b=

tg[

12 (a− b)

]

tg[

12 (a+ b)

] (2.10)

pode escrever-se que

sen 90 − sen φ′

sen 90 + sen φ′=

1 − sen φ′

1 + sen φ′= Ka =

tg[

12 (90 − φ′)

]

tg[

12 (90 + φ)

] =tg

(

45o − φ′

2

)

tg(

45o + φ′

2

) (2.11)


A Figura 2.5 permite compreender que

tg

(

45o − φ′

2

)

=1

tg(

45o + φ′

2

) (2.12)

pelo que a equação (2.11) fica

Ka =1 − sen φ′

1 + sen φ′= tg2

(

45o − φ′

2

)

(2.13)

O C

P

45o + φ′

2

45o − φ′

2φ′

σ′ha σ′v

τ

σ′

Figura 2.5: Figura auxiliar para a demonstração de Ka = tg2(

45o − φ′

2

)

.

De acordo com a Figura 2.4 as superfícies de rotura são planos inclinados a 45o + φ′

2 , tal

como se indica na Figura 2.6.

σ′v

σ′ha

45o + φ′

2

Figura 2.6: Direcção das superfícies de rotura em solo no estado activo.

Atendendo à equação (2.7), uma vez conhecido o valor do coeficiente de impulso, as tensões

horizontais activas podem ser determinadas através de

σ′ha = Kaσ′v (2.14)

o que, em estrutura suportando terreno homogéneo, tem-se que o diagrama de pressões de

terras tem forma triangular, conforme se ilustra na Figura 2.7, pelo que a sua resultante, o

impulso activo, Ia tem o valor

Ia =1

2Kaγh

2 (2.15)

e o seu ponto de aplicação está localizado a h3 da base.


45o + φ′

2

h

h3

Kaγh

Ia = 12Kaγh

2

Figura 2.7: Diagrama de tensões activas. Impulso activo.

Estado passivo

Considere-se novamente a Figura 2.3, admitindo agora que a estrutura de suporte repre-

sentada é feita deslocar para a direita. O estado de tensão inicial é representado pelo círculo

de Mohr da Figura 2.4 indicado com “1”. A tensão horizontal tende a aumentar e a tensão

vertical mantém-se aproximadamente com o mesmo valor.

P

O C

12

3

4

φ′

σ′hpσ′h σ′v

τ

σ′

= Kpσ′v

Figura 2.8: Representação dos estados em repouso e passivo através do círculo de Mohr.

A evolução do estado de tensão implica uma redução do raio do círculo de Mohr, passando

pelo indicado com “2”, até que as tensões horizontal e vertical assumem o mesmo valor e o

círculo de Mohr se reduz a um ponto. Se a tensão horizontal continuar a aumentar, o raio

do círculo de Mohr volta a aumentar, tendo-se então que o círculo passa pela posição “3” e,

para o maior valor possível da tensão horizontal, pela posição “4”. Este círculo é tangente à

envolvente de rotura e a tensão horizontal que lhe corresponde é a pressão “passiva” σ′hp e o

solo diz-se no estado “passivo” de Rankine.

A relação entre a tensão σ′hp e σ′v é o coeficiente de impulso passivo, Kp, demonstrando-se

de forma análoga à que se apresentou para o estado activo que

Kp =1 + senφ′

1 − senφ′= tg2

(

45o +φ′

2

)

(2.16)

De forma igualmente análoga ao referido a propósito do impulso activo, tem-se que a

inclinação das superfícies de rotura de um elemento de solo no estado passivo é de 45o − φ′

2

com a horizontal, como se ilustra na Figura 2.9.


σ′v

σ′hp

45o − φ′

2

Figura 2.9: Direcção das superfícies de rotura em solo no estado passivo.

O diagrama de pressões, em solo homogéneo, é, tal como no caso activo, triangular, pelo

que a resultante, o impulso passivo, Ip é dado por

Ip =1

2Kpγh

2 (2.17)

sendo o seu ponto de aplicação a h3 da base.

A teoria de Rankine para a avaliação de pressões activas e passivas sobre estruturas de

suporte parte dos seguintes pressupostos:

• solo incoerente;

• superfície do terreno horizontal;

• superfície de aplicação de pressões vertical;

• inexistência de atrito entre a superfície vertical e o solo.

Constatação da teoria de Rankine através de métodos numéricos

Procure-se, então, modelar por elementos finitos uma situação correspondente às condições

referidas. Para tal, tomou-se a situação e a malha de elementos finitos que se representa na

Figura 2.10(a), correspondente a uma massa de solo, em estado plano de deformação, admitida

sem peso, com 30 m de largura e 10 m de altura e em que, portanto, as tensões a que está

sujeita são as correspondentes às tensões uniformes verticais e horizontais que lhe são aplicadas,

numa situação inicial, conforme ilustrado na Figura. Admita-se, assim, que a referida massa

está inicialmente sujeita à tensão vertical σv = 50 kPa e à tensão horizontal σh = 25 kPa,

correspondente, portanto, a um coeficiente de impulso em repouso igual a K0 = σh

σv= 0.5.

Para a situação inicial, tem-se que

s =σv + σh

2=

50 + 25

2= 37.5 kPa (2.18)

t =σv − σh

2=

50 − 25

2= 12.5 kPa (2.19)

pelo que num gráfico (s,t), tal como se mostra na Figura 2.11, este estado é representado pelo

ponto O. Este ponto está, naturalmente, sobre a linha K0 = 0.5.


σv

σh

(a) Descrição do caso de estudo correspondente aos cál-culos 1.1 e 1.2.

0. 10. 20. 30.

0.

5.

10.

(b) Malha de elementos finitos dos cálculos 1.1 e 1.2.

Figura 2.10: Descrição da situação modelada para constatação da teoria de Rankine e malhade elementos finitos (cálculos 1.1 e 1.2).

Dado que

s =σv + σh

2=σv +K0σv

2(2.20)

e

t =σv − σh

2=σv −K0σv

2(2.21)

tem-se queσv +K0σv

s=σv −K0σv

t(2.22)

o que conduz a

t =1 −K0

1 +K0s (2.23)

que é a equação da linha K0.

Usando a malha de elementos finitos isoparamétricos de 8 nós representada na Figura 2.10

reduziu-se (cálculo 1.1), por fases, a tensão horizontal mantendo a tensão vertical constante e

considerando o solo com comportamento elástico–perfeitamente plástico com critério de rotura

de Mohr–Coulomb, ângulo de atrito igual a 30o e módulo de deformabilidade de 10000 kPa.

Dado que a referida massa de solo está nas condições de validade da Teoria de Rankine (ver

2.3.1), será de esperar que a tensão horizontal não possa ser inferior a

σha = Kaσv =1

3× 50 = 16.667 kPa (2.24)

Consideraram-se, assim, as fases indicadas no Quadro 2.1, onde também se inclui as tensões


−60

−40

−20

0

20

40

60

0 20 40 60 80 100 120

t (kP

a)

s (kPa)

OA

P

K0=0.5

Activo (1.1)Passivo (1.2)

Figura 2.11: Trajectórias de tensão dos cálculos 1.1 e 1.2.

horizontais, os valores deK (relação entre a tensão horizontal e a tensão vertical) e as extensões

horizontais εh.

Quadro 2.1: Fases de cálculo da análise 1.1

Fase σh K εh Observações(kPa)

0 25.0 0.50 01 20.0 0.40 0.0004552 17.5 0.35 0.0006823 17.0 0.34 0.0007284 16.5 0.33 — não convergiu

Note-se que quando a tensão horizontal atingiu 16.5 kPa (valor ligeiramente inferior à

tensão horizontal correspondente ao estado activo) não houve convergência. A trajectória de

tensões no espaço (s,t) está representada na Figura 2.11 e corresponde ao segmento OA, com

inclinação igual a 45o. Toda a massa de solo está, assim, no estado activo.

Na Figura 2.12 representa-se a evolução do coeficiente de impulso com a extensão horizontal

para o cálculo 1.1.

De forma análoga, procedeu-se a um cálculo 1.2, idêntico ao 1.1 mas em que a tensão

horizontal foi incrementada por fases de acordo com o que se indica no Quadro 2.2. O solo

tende, assim, a evoluir para o estado passivo, para o qual a tensão horizontal deverá ser

σhp = Kpσv = 3 × 50 = 150 kPa (2.25)

De facto, quando a tensão horizontal ultrapassou aquele valor verificou-se que o cálculo não


0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

−0.02 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005

K

εh

Ka=1/3K0=0.5

Kp=3

O A

P

Activo (1.1)Passivo (1.2)

Figura 2.12: Relação entre o coeficiente de impulso e a extensão horizontal nas análises 1.1 e1.2.

convergiu, conforme seria de esperar.

Quadro 2.2: Fases de cálculo da análise 1.2

Fase σh K εh Observações(kPa)

0 25.0 0.50 01 75.0 1.50 0.0045422 125.0 2.50 0.0091083 149.9 2.998 0.0113754 150.9 3.018 — não convergiu

A Figura 2.11 anteriormente apresentada mostra também os resultados do cálculo 1.2 no

que respeita à trajectória de tensões OP sofrida pela massa de solo no espaço (s,t). Na Figura

2.12 apresenta-se também os resultados deste cálculo em relação à evolução do coeficiente de

impulso com a extensão horizontal.

Da análise dos resultados das análises 1.1 e 1.2 pode apresentar-se as seguintes observações:

• o método dos elementos finitos, com modelo elástico–perfeitamente plástico, com critério

de rotura de Mohr–Coulomb permite obter quase exactamente as pressões activas e

passivas de Rankine;

• dado que, para as situações analisadas, a massa de solo foi considerada com tensões

aplicadas uniformes (peso volúmico nulo) os resultados teriam sido idênticos para ou-

tras discretizações; efectivamente, um único elemento finito teria conduzido aos mesmos

resultados;

• a relação entre o coeficiente de impulso e a extensão horizontal é linear devido à utili-

zação de modelo elástico–perfeitamente plástico; a inclinação da referida relação, antes

de atingidos os valores dos coeficientes de impulso activo e passivo é naturalmente de-

pendente do módulo de deformabilidade; no entanto, pode concluir-se que a deformação


necessária para a mobilização do impulso activo é consideravelmente menor do que o

que é necessária para a mobilização total do impulso passivo.

Considere-se agora uma análise correspondente a uma situação um pouco mais realista

de um bloco rígido de 5 m de altura, conforme sugerido pela Figura 2.13, que é feito des-

locar para a direita (cálculo 2.1) e para a esquerda (cálculo 2.2), até mobilizar totalmente,

respectivamente, os impulsos activo e passivo.

Figura 2.13: Malha de elementos finitos e deformada da análise 2.1.

Considerou-se que o solo era constituído por uma areia seca, com ângulo de resistência

ao corte de 30o, peso volúmico igual a 20 kN/m3 e coeficiente de impulso em repouso igual

a 0.5. O terreno foi considerado homogéneo, com módulo de deformabilidade constante e

igual a 10000 kPa, e comportamento elástico–perfeitamente plástico; o bloco foi assumido

com comportamento elástico linear, peso volúmico igual ao do solo e dotado de módulo de de-

formabilidade muito elevado. Para o respeito pelas condições da teoria de Rankine o contacto

solo–bloco foi simulado liso.

O solo e o bloco foram simulados com elementos finitos triangulares de 15 nós e o contacto

solo–bloco com elementos finitos de junta de 5 nós.

A Figura 2.14 mostra os resultados das tensões normais desenvolvidas na interface solo–

bloco quando se encontram mobilizadas a totalidade das pressões activas (análise 2.1) e pas-

sivas (análise 2.2), evidenciando-se a boa concordância com os resultados teóricos dados pela

teoria de Rankine.

Verifica-se, por outro lado, ao contrário do que ocorreu nas análises 1.1 e 1.2, em que toda

a massa de solo estava, no final, plastificada, que nos casos das análises 2.1 e 2.2, devido às

condições de fronteira, há plastificação apenas numa cunha de solo nas imediações da estrutura

de suporte que se moveu. Na Figura 2.15 mostra-se os pontos plastificados no final do cálculo

2.1 em confronto com a cunha de inclinação α = 45o + φ′

2 . No caso do cálculo 2.2 o ângulo α

seria α = 45o − φ′

2 .

Considere-se ainda a situação representada na Figura 2.16 em relação à qual foram reali-

zadas duas análises: na análise 3.1, a que corresponde a deformada representada na referida

figura, a estrutura de suporte rígida sofre uma rotação no sentido dos ponteiros do relógio,

tendendo a mobilizar impulsos do tipo activo, e, na análise 3.2, a referida estrutura sofre uma

rotação em sentido contrário, com o objectivo de mobilizar pressões do tipo passivo.


5

6

7

8

9

10

0 50 100 150 200 250 300

y (m

)

Tensão normal (kPa)

Ka=1/3K0=0.5

Kp=3Activo (2.1)

Passivo (2.2)

Figura 2.14: Tensões normais à interface nos cálculos 2.1 e 2.2.

Tal como anteriormente, admitiu-se que o solo era constituído por uma areia seca, com

ângulo de atrito de 30o, peso volúmico igual a 20 kN/m3 e coeficiente de impulso em repouso

igual a 0.5. O módulo de deformabilidade foi admitido constante em profundidade e igual a

10000 kPa.

O solo e a estrutura foram simulados com elementos subparamétricos de 5 nós e o contacto

solo–estrutura com elementos junta de 4 nós. Este contacto, tal como nos cálculos anteriores,

foi considerado liso.

À profundidade de 2.5 m (a meia altura da estrutura de suporte) a tensão vertical é

σv = 2.5 × 20 = 50 kPa (2.26)

pelo que a tensão horizontal inicial fica

σh = K0σv = 0.5 × 2.5 × 20 = 25 kPa (2.27)

estado de tensão igual ao que foi sujeito a massa de solo das análises 1.1 e 1.2. Analise-se,

assim, para as análises 3.1 e 3.2 a evolução do estado de tensão que se obtém nos elementos

à referida profundidade e na imediata proximidade da estrutura de suporte e compare-se com

os resultados obtidos nas análises 1.1 e 1.2. É o que se apresenta na Figura 2.17, na qual

há, praticamente, uma sobreposição de resultados no caso das análises correspondentes ao

estado activo (1.1 e 3.1) e uma globalmente semelhante trajectória no que respeita às análises

correspondentes ao estado passivo (1.2 e 3.2).


Mesh Scale [m]

0 3 6 9

Plast ic Mohr−Coulomb point

α

Figura 2.15: Pontos plastificados no cálculo 2.1; comparação com a cunha teórica de Rankine.

0. 5. 10. 15. 20. 25. 30.

0.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Figura 2.16: Malha de elementos finitos deformada correspondente ao cálculo 3.1.

Na Figura 2.18 apresenta-se os resultados da evolução do coeficiente de impulso com a ex-

tensão horizontal, verificando-se igualmente uma quase sobreposição de resultados das análises

3.1 e 3.2 face aos das análises 1.1 e 1.2.

Observações

Os resultados apresentados relativos às análises realizadas são naturalmente limitados pela

simplicidade do modelo usado (elástico-perfeitamente plástico) mas permitem retirar algumas

conclusões generalizáveis a outras situações:

• os resultados numéricos, para as situações estudadas em todas as análises, confirmam

os valores dos impulsos activos e passivos obtidos da teoria de Rankine;

• as distribuições de tensões em profundidade (obtidas das análises 2.1 e 2.2) correspondem

igualmente às que resultam da aplicação da teoria de Rankine;

• as trajectórias de tensões correspondentes aos casos estudados correspondem quase exac-

tamente à trajectória de tensões teórica na que respeita ao impulso activo (análise 3.1)


−60

−40

−20

0

20

40

60

0 20 40 60 80 100 120

t (kP

a)

s (kPa)

OA

P

K0=0.5

Activo (1.1)Passivo (1.2)Activo (3.1)Passivo (3.2)

Figura 2.17: Comparação das trajectórias de tensão dos cálculos 3.1 e 3.2 com as dos cálculos1.1 e 1.2.

e razoavelmente próxima no caso do impulso passivo (análise 3.2).

• há mobilização total do impulso activo para deformações horizontais inferiores a 0.5%

(0.005); este resultado é confirmado pelos dados de ensaios triaxiais (Lambe e Whitman,

1979);

• há cerca de 50% de mobilização do impulso passivo para deformações horizontais da

mesma ordem de grandeza; apesar de, usando um modelo elástico-perfeitamente plástico,

este resultado depender fortemente do valor do módulo de deformabilidade usado, ele é

no entanto confirmado por resultados de ensaios triaxiais (Lambe e Whitman, 1979);

• apesar de, no caso da análise 3.2 apresentada, a totalidade do impulso passivo se mobi-

lizar para deformações horizontais da ordem de 1.5%, constata-se na realidade que esta

deformação, nos mesmos ensaios triaxiais referidos, se situa entre 2% (areias densas) e

15% (areias soltas);

• não sendo directamente retirado das análises apresentadas pelos motivos referidos, é

geralmente aceite que o nível de deformação necessário para mobilizar o impulso activo

corresponde à mobilização de cerca de um terço do passivo.

2.3.2 Solos com coesão efectiva

Os estados activo e passivo de Rankine apresentados em 2.3.1 para o caso de solos sem

coesão efectiva podem ser igualmente obtidos para solos com coesão efectiva. Na Figura 2.19

apresenta-se a definição de estado activo, podendo, por um processo semelhante ao usado no


0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

−0.02 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005

K

εh

Ka=1/3K0=0.5

Kp=3

O A

P

Activo (1.1)Passivo (1.2)Activo (3.1)Passivo (3.2)

Figura 2.18: Relação entre o coeficiente de impulso e a extensão horizontal nas análises 3.1 e3.2; comparação com a relação obtida das análises 1.1 e 1.2.

caso dos solos sem coesão efectiva, retirar-se que

σ′ha =1 − senφ′

1 + senφ′σ′v − 2c′

√

1 − senφ′

1 + senφ′(2.28)

ou seja,

σ′ha = Kinca σ′v − 2c′

√

Kinca (2.29)

e

Kcoesa = Kinc

a − 2c′

σ′v

√

Kinca (2.30)

em que Kinca é o coeficiente de impulso activo determinado para o solo incoerente e anterior-

mente dado pela expressão (2.9), Kcoesa é o coeficiente de impulso activo para os solos com

coesão efectiva e c′ é a coesão em tensões efectivas. Note-se que, contrariamente ao que acon-

tece com os solos sem coesão efectiva, se verifica que Kcoesa depende da tensão efectiva vertical,

ou seja, da profundidade.

c’

45o + φ′

2

90 + φ′

φ′

σ′ha σ′h σ′v

τ

σ′

= Kaσ′v

Figura 2.19: Representação dos estados em repouso e activo através do círculo de Mohr emsolos com coesão efectiva.


De forma análoga, para o estado passivo, tem-se que

σ′hp =1 + senφ′

1 − senφ′σ′v + 2c′

√

1 + senφ′

1 − senφ′(2.31)

e

σ′hp = Kincp σ′v + 2c′

√

Kincp (2.32)

Kcoesp = Kinc

p +2c′

σ′v

√

Kincp (2.33)

As equações (2.30) e (2.33) são conhecidas por equações de Rankine–Resal ou Rankine–

Bell.

A equação (2.32) mostra que as tensões do tipo passivo são a soma de duas parcelas, uma

dependente da tensão efectiva e uma outra constante. Numa situação como a que se apresenta

na Figura 2.20, admitindo que, do lado esquerdo da estrutura de suporte, se mobilizam pressões

passivas, a evolução das pressões com a profundidade será, assim, a soma de um diagrama

triangular com um diagrama rectangular, com

σa = 2c′√

Kincp (2.34)

σb = Kincp γhh (2.35)

+ = H

h

z0

σa σb σc σd σe

Figura 2.20: Impulsos em solos com coesão efectiva.

As resultantes destes dois diagramas são Ip1 e Ip2, de valores

Ip1 =1

2Kinc

p γh2 (2.36)

e

Ip2 = 2c′√

Kincp h (2.37)

Admitindo agora que, do lado direito da estrutura de suporte, se mobilizam impulsos acti-

vos, tem-se que, tal como indica a equação (2.29), estes são a diferença de duas parcelas: uma

traduzida por um diagrama triangular, aplicando pressões à estrutura e uma outra constituída

por um diagrama rectangular. Nestes diagramas, tem-se que

σc = Kinca γhH (2.38)


σd = 2c′√

Kinca (2.39)

Verifica-se, então, que até à profundidade z0 o diagrama rectangular apresenta um valor

da pressão superior ao diagrama rectangular, o que significa que, até essa profundidade, as

pressões seriam dirigidas da esquerda para a direita, o que implicaria que o solo exerceria

uma pressão “negativa” sobre a estrutura, ou seja que tenderia a aplicar nesta tensões de

tracção. Tal não é, no entanto, possível, pelo que até à profundidade z0 não há pressões sobre

a estrutura de suporte. O diagrama de pressões sobre a estrutura é, assim, dado pela zona

sombreada do diagrama total.

A profundidade z0 é, assim, a profundidade à qual a pressão do diagrama triangular iguala

a pressão do diagrama rectangular, ou seja

Kinca γhz0 = 2c′

√

Kinca ⇒ z0 =

2c′

γh

√

Kinca

Kinca

(2.40)

Isto significa, portanto, que a tensão σe é dada por

σe = σc − σd = Kinca γhH − 2c′

√

Kinca = Kinc

a γhH −Kinca γhz0 = Kinc

a γh(H − z0) (2.41)

e o impulso de terras é a resultante do diagrama sombreado e, nas condições indicadas igual a

Ia =1

2Kinc

a γh(H − z0)2 (2.42)

sendo o seu ponto de aplicação à distância H−z0

3 da base.

2.3.3 Solos respondendo em condições não drenadas

Em condições não drenadas os cálculos são feitos em tensões totais, pelo que a equação

(2.28) se mantém válida se assumida em tensões totais e se em lugar de c′ se escrever cu e, em

lugar de φ′ se considerar φu = 0, ficando, portanto:

σha = σv − 2cu (2.43)

De forma análoga, ter-se-á que a equação (2.31) fica

σhp = σv + 2cu (2.44)

A profundidade das fendas de tracção é, no caso de análise em condições não drenadas,

dada por

z0 =2cuγ

(2.45)

De forma análoga à que se referiu a propósito do cálculo dos impulsos em condições dre-

nadas, tem-se que, em condições não drenadas, o impulso activo é, em solo homogéneo, dado


por

Ia =1

2γ (H − z0)

2 (2.46)

Quanto aos impulsos passivos, há a considerar duas componentes, Ip1 e Ip2, dadas por

Ip1 =1

2γh2 (2.47)

e

Ip2 = 2cuh (2.48)

Faz-se ainda notar que a profundidade z0 representa a profundidade até à qual não ocorrem

impulsos, admitindo a validade da teoria de Rankine.

Considere-se, assim, a escavação não suportada que se representa esquematicamente na

Figura 2.21, realizada em solo respondendo em condições não drenadas, com resistência não

drenada cu.

A

H < z0

τ

cu

σvσhiσhf σ

Figura 2.21: Estado de tensão em escavação não suportada em solo respondendo em condiçõesnão drenadas

No ponto A, admitindo que o estado de tensão inicial era σv e σhi, se a tensão horizontal se

reduzir até σhf = 0 o estado activo não se chega a verificar, uma vez que o círculo de Mohr não

chega a ficar tangente à envolvente de rotura. A conclusão seria, então, que a máxima altura

a que se poderia escavar sem suporte seria h = 2cu

γ. Este assunto será novamente abordado.

2.3.4 Constatação da extensão da teoria de Rankine a solos com coesão

efectiva por meios numéricos

Com base no exemplo apresentado na Figura 2.16 e utilizando a mesma malha de elementos

finitos, procedeu-se a um cálculo análogo ao 3.1 anteriormente apresentado, com excepção do

terreno, que foi considerado com coesão efectiva igual a 10kPa e ângulo de atrito interno igual

a 30o.

A estrutura de suporte foi, assim, movida de forma a mobilizar no terreno um impulso do

tipo activo. Dado que o solo é coerente, de acordo com a equação (2.40) a profundidade das


fendas de tracção é

z0 =2c′

γh

√

Kinca

Kinca

=2 × 10

20

√

13

13

= 1.732 m (2.49)

pelo que a pressão activa é nula até esta profundidade e toma o valor

σa = Kinca γh(H − z0) =

1

3× 20 × (5 − 1.732) = 21.8 kPa (2.50)

à profundidade de 5 m.

Na Figura 2.22 apresenta-se os resultados das pressões normais na interface solo–estrutura

obtidos dos cálculos 3.1 e 3.3 e os resultados teóricos, sendo possível constatar que os resultados

teóricos e numéricos praticamente coincidem.

5

6

7

8

9

10

0 10 20 30 40 50 60 70

y (m

)


21.8 kPa

K0=0.5Ka=1/3

Kainc=1/3; z0=1.732m

Cálculo 3.1Cálculo 3.3

Figura 2.22: Comparação entre as pressões activas teóricas e as mobilizadas no tardoz daestrutura de suporte nos cálculos 3.1 e 3.3.

2.3.5 Pressões da água, meios estratificados e sobrecargas

A presença de água aumenta as pressões totais sobre as estruturas de suporte. As pressões

de terras são determinadas aplicando o coeficiente de impulso, Ka ou Kp à tensão efectiva,

pelo que há que lhe somar a parcela do impulso da água.

A Figura 2.23 mostra o cálculo dos impulsos activos numa situação em que parte do solo

se encontra saturada. A tensão σa é, naturalmente, dada por

σa = Kaγhh1 (2.51)


uma vez que, acima do nível freático, se está a considerar que não há pressões intersticiais e,

consequentemente, as tensões efectivas são iguais às tensões totais. A tensão σb é dada por

σb = Ka(γsath2 − γwh2) = Kaγ′h2 (2.52)

e σc é, naturalmente, a pressão da água, pelo que é

σc = γwh2 (2.53)

h1

h2

σa σb σc

Figura 2.23: Pressões da água e influência da água nas pressões de terras.

Note-se que, à profundidade h1 +h2 a pressão de terras é σa +σb que é igual ao coeficiente

de impulso activo, Ka, multiplicado pela tensão efectiva vertical à profundidade indicada, ou

seja:

σ′h1+h2

h = σa + σb = Kaσ′v = Ka(γhh1 + γ′h2) (2.54)

A tensão total é, conforme referido, esta tensão somada da parcela da pressão intersticial,

ou seja

σh1+h2

h = σ′h1+h2

h + uh1+h2 = σa + σb + σc = Ka(γhh1 + γ′h2) + γwh2 (2.55)

A teoria de Rankine permite determinar com facilidade o impulso de terras em meios

estratificados, conforme ilustra a Figura 2.24. A tensão σa é dada por

σa = Ka1γh1h1 (2.56)

conforme anteriormente apresentado, sendo γh1 o peso volúmico total do solo 1 e Ka1 o seu

coeficiente de impulso activo. Imediatamente abaixo do ponto à profundidade h1, no entanto,

o solo é diferente, com coeficiente de impulso activo Ka2, pelo que se verifica que

σb = Ka2γh1h1 (2.57)

A Figura sugere que σb < σa, o que será possível se Ka2 < Ka1, o que significa que φ′2 > φ′1.

A tensão σc é dada por

σc = Ka2γh2h2 (2.58)

e σd tem o valor

σd = Ka2(γh1h1 + γh2h2) (2.59)


sc

Solo 1

Solo 2

h1

h2

σa

σb σc

σd

σe

σf

Figura 2.24: Meios estratificados e sobrecargas.

ou seja, o coeficiente de impulso activo do solo 2 – correspondente à zona onde se pretende

determinar a pressão de terras – multiplicado pela tensão efectiva vertical.

A mesma figura permite igualmente compreender como se calculam as pressões de terras

quando, à superfície do terreno, são aplicadas sobrecargas de extensão infinita. Com efeito,

uma sobrecarga deste tipo provoca um incremento de tensão vertical igual ao valor da sobre-

carga transmitida, pelo que a pressão de terras a qualquer profundidade será somada de Kasc,

pelo que as tensões σe e σf são dadas por

σe = Ka1sc (2.60)

σf = Ka2sc (2.61)

Faz-se notar que apesar da apresentação de meios estratificados, pressões da água e de-

vidas a sobrecargas ter sido apresentada tendo em atenção o cálculo de impulsos activos, a

determinação de impulsos passivos é feita de acordo com os mesmos princípios.

2.3.6 Extensão da Teoria de Rankine a casos com superfície do terreno

inclinada

A Teoria de Rankine pode ser estendida a situações em que o terreno tem superfície incli-

nada. Considere-se a situação representada na Figura 2.25 em que o solo apresenta inclinação

constante e igual a um ângulo i. Assuma-se igualmente que as pressões (activas ou passivas)

actuam na direcção paralela à superfície do terreno. Analise-se o estado de tensão do ele-

mento quadrilátero de solo representado na Figura, com dois lados verticais e dois paralelos à

superfície do terreno, à profundidade z, em meio semi-infinito.

Começando por analisar o estado activo, a que a Figura 2.25 diz respeito, tem-se que a

tensão vertical actuante no elemento e a pressão activa, conforme ilustrado, não são normais

aos planos, pelo que não são tensões principais.

O peso da fatia de terreno assinalada é

W = b× z × γ (2.62)


z

γ

i

iW

b

b′

σv

σvn

σvt

σaσav

σah

Figura 2.25: Extensão da teoria de Rankine a casos com superfície do terreno inclinada.

pelo que a tensão vertical à profundidade z é dada por

σv =W

b′=

Wb

cosi

= γzcosi (2.63)

O estado de tensão no elemento de solo também representado na Figura 2.25 pode ser

representado através de um círculo de Mohr, do qual um dos pontos é o ponto A, indicado na

Figura 2.26, com abcissa

σvn = σvcosi = γz cos2i (2.64)

e ordenada

σvt = σvseni = γz cosi seni (2.65)

A

B

B′

σ

τ

σvn

σvt

σav

σav

σah

Figura 2.26: Extensão da teoria de Rankine a casos com superfície do terreno inclinada:representação do estado de tensão.


Um outro ponto do círculo de Mohr que representa o estado de tensão no referido elemento

de solo é o ponto B, representado na mesma Figura, com abcissa

σah = σacosi (2.66)

e ordenada

σav = σaseni (2.67)

O ângulo AOA2 (Figura 2.27) é

η = arctg

(

σvt

σvn

)

= arctg

(

γz cosi seni

γz cos2i

)

= arctg

(

seni

cosi

)

= arctg (tgi) = i (2.68)

tal como é η = i o ângulo B′OB2

η = arctg

(

σav

σah

)

= arctg

(

σaseni

σacosi

)

= arctg

(

seni

cosi

)

= arctg (tgi) = i (2.69)

O

A

A2

B

B2

B′

σ

τ

iσvn

σvt

σav

σav

σah

Figura 2.27: Extensão da teoria de Rankine a casos com superfície do terreno inclinada:representação do estado de tensão (cont.).

Tem-se, assim, que

cosi =OA2

OA=σvn

OA(2.70)

de onde se conclui que

OA =σvn

cosi=σv cosi

cosi= σv (2.71)

De forma análoga, pode concluir-se que

OB′ = σa (2.72)

Se ocorrer movimento lateral suficiente para mobilizar pressões do tipo activo, o círculo

de Mohr que representa o estado de tensão no elemento é tangente à envolvente de rotura

e a tensão σa é uma pressão activa. O coeficiente de impulso activo será, então, dado que


B′D = DA,

K∗a =

σa

σv=OB′

OA=OD −AD

OD +AD(2.73)

(a utilização do símbolo K∗a em lugar do anteriormente usado Ka deve-se à reserva deste para o

tornar válido na expressão do impulso activo Ia = 12Kaγh

2, conforme se verá posteriormente).

O

C

D

FA

A2

B

B2

B′

σ

τ

i

φ′

σvn

σvt

σav

σav

σah

Figura 2.28: Extensão da teoria de Rankine a casos com superfície do terreno inclinada:representação do estado de tensão (cont.).

Tendo-se que

OD = OC cosi (2.74)

e

AD =√

B′C2 − CD2 =√

FC2 − CD2 =√

OC2 sen2φ′ −OC2 sen2i =

= OC√

sen2φ′ − sen2i = OC√

(1 − cos2φ′) − (1 − cos2i) =

= OC√

cos2i− cos2φ′ (2.75)

vem que

K∗a =

cosi−√

cos2i− cos2φ

cosi+√

cos2i− cos2φ(2.76)

sendo as pressões activas, actuantes paralelamente ao talude, iguais a

σa = K∗aγz cosi (2.77)

e o impulso activo numa superfície vertical de altura h

Ia =1

2K∗

aγh2 cosi (2.78)

Fazendo

Ka = K∗a cosi =

cosi−√

cos2i− cos2φ

cosi+√

cos2i− cos2φcosi (2.79)


assegura-se a validade da expressão

Ia =1

2Kaγh

2 (2.80)

Faz-se igualmente notar que para i = 0 a expressão (2.79) se reduz à equação (2.9).

De forma semelhante, é possível obter que o coeficiente de impulso passivo é dado por

K∗p =

cosi+√

cos2i− cos2φ

cosi−√

cos2i− cos2φ(2.81)

sendo as pressões passivas, actuantes paralelamente ao talude, iguais a

σp = K∗pγz cosi (2.82)

e o impulso passivo numa superfície vertical de altura h

Ip =1

2K∗

pγh2 cosi (2.83)

Fazendo

Kp = K∗p cosi =

cosi+√

cos2i− cos2φ

cosi−√

cos2i− cos2φcosi (2.84)

tem-se que

Ip =1

2Kpγh

2 (2.85)

Tal como para o coeficiente de impulso activo, a expressão (2.84) reduz-se à equação (2.16)

para i = 0.

2.4 Teoria de Coulomb

Coulomb (1776) apresentou uma teoria para o cálculo de impulsos activos e passivos sobre

estruturas de suporte. Nesta teoria, Coulomb assumiu a existência de uma cunha de solo que

se destaca da restante massa exercendo a sua acção sobre a estrutura de suporte e considerou

que a referida superfície é plana. O método de Coulomb é igualmente conhecido como método

das cunhas.

2.4.1 Solos sem coesão efectiva

Impulso activo

Considere-se a estrutura de suporte representada na Figura 2.29 e admita-se que a cunha

representada com superfície plana fazendo um ângulo ξ com a horizontal se destaca da restante

massa de solo causando um impulso activo sobre a estrutura de suporte.

Na referida Figura W é o peso da cunha de solo, R é a resultante das forças normal e


A

B

C

h

i

δ

ξ

βα

φ′

Ia

Ia

WW

R

R

ξ − iβ + i

β − ξξ − φ′

180o − β − δ

β + δ − ξ + φ′

Figura 2.29: Cunha de solo para avaliação dos impulsos activos em solos sem coesão efectivapela teoria de Coulomb.

de corte na superfície BC e Ia é o impulso activo actuante no muro (e de valor igual à sua

reacção, aplicada à cunha de solo, que se representa na Figura). Este impulso tem direcção

inclinada de δ com a normal à superfície do muro que suporta o terreno. δ é o ângulo de atrito

solo–muro.

Faz-se notar que, em relação à teoria de Rankine, a teoria de Coulomb permite a conside-

ração directa da inclinação do terreno e do atrito solo–estrutura.

Para um dado valor de ξ é conhecido o valor de W . As outras duas forças actuantes na

cunha podem ser conhecidas através do método gráfico sugerido na Figura 2.29. Destas duas

forças sabe-se as linhas de acção mas desconhece-se o seu valor. O referido método gráfico

passa pelo desenho do chamado polígono de forças, da forma que se descreve:

1. representação da força W , à escala e com a direcção apropriada;

2. marcação, a partir da extremidade de W , da linha de acção da força R;

3. marcação, a partir da origem de W , da linha de acção da força Ia;

4. o triângulo formado permite definir o polígono de forças e, logo, o valor de cada uma

das forças envolvidas.

Refere-se que a marcação da linha de acção das forças R e Ia, descrita nos pontos 2 e 3

pode naturalmente ser trocada, isto é, a marcação da linha de acção da força R pode ser feita

a partir do ponto de origem de W e a da linha de acção da força Ia pode realizar-se a partir

da extremidade de W .

As simplificações básicas da teoria de Coulomb são as seguintes:

• a superfície de deslizamento é plana e passa pela base da estrutura de suporte; verifica-se

na realidade que as superfícies são curvas, facto que não tem consequências importan-

tes no que respeita ao cálculo de impulsos activos mas, como se verá, assume especial

importância na estimativa de impulsos passivos;


• a direcção do impulso de terras faz um ângulo δ com a normal ao plano da estrutura de

suporte; este ângulo é o ângulo de atrito entre o solo e a estrutura; o impulso actua na

estrutura de suporte à altura de h3 relativa à base;

• o solo suportado é incoerente, seco, homogéneo, isotrópico, de comportamento rígido–

plástico.

• a cunha de solo actua como corpo rígido e o valor do impulso de terras considera o

equilíbrio limite da superfície de deslizamento.

A determinação do impulso é realizada através do equilíbrio das forças aplicadas à cunha

de solo da forma que se descreveu anteriormente. No entanto, a inclinação da superfície de

deslizamento, que forma a cunha, é desconhecida. Para a determinação do impulso activo há,

pois, que efectuar diversas tentativas de diferentes cunhas, correspondendo o impulso activo

ao maior valor obtido.

O método de Coulomb é facilmente aplicável igualmente a casos em que a geometria do

terreno suportado é irregular, como por exemplo no caso da existência de superfícies do terreno

com diferentes inclinações ou na presença de banquetas. A eventual presença destes elementos

em nada afecta o método, interferindo apenas no cálculo de W .

De forma semelhante, o método de Coulomb pode ser aplicado a casos de aplicação de

sobrecargas no terreno suportado, implicando tais sobrecargas a consideração no equilíbrio de

forças de uma força adicional correspondente à sua acção na cunha em análise.

A teoria de Coulomb pode igualmente ser estendida a casos com a presença de água (Figura

2.30).

A

B

C

D EFh

S

T

i

δ

ξ

βα

φ′Ia

Ia

Iwa

IwaIwrIwr

W2

W ′2

W2w

W1

W1

R

Rhw

Figura 2.30: Cunha de solo para avaliação dos impulsos activos em solos sem coesão efectivaparcialmente submersos pela teoria de Coulomb.

Nestas situações, sendo a pressão intersticial em B igual a γwhw, tem-se que

Iwr =1

2× γwhw × hw

senξ=

1

2γwh

2w

1

senξ(2.86)


e

Iar =1

2× γwhw × hw

senα=

1

2γwh

2w

1

senα(2.87)

pelo que as componentes horizontais de Iwr e Iwa são

IwrH = Iwrsenξ =1

2γwh

2w (2.88)

e

IwaH = Iwasenα =1

2γwh

2w (2.89)

ou seja, como seria de esperar,

IwrH = IwaH (2.90)

As componentes verticais das forÃ§as IwaeIwr são

IwrV = Iwrcosξ =1

2γwh

2w

cosξ

senξ(2.91)

e

IwaV = Iwacosα =1

2γwh

2w

cosα

senα(2.92)

pelo que a força vertical total aplicada pelos impulsos da água é

IwV = IwrV + IwaV =1

2γwh

2w

(

1

tgα+

1

tgξ

)

(2.93)

Note-se, por outro lado, que a área do triângulo BDE é igual a

ABDE =1

2BEhw =

1

2(BF + FE)hw =

1

2

(

hw

tgα+hw

tgξ

)

hw =1

2h2

w

(

1

tgα+

1

tgξ

)

(2.94)

pelo que o peso da referida área (volume por unidade de comprimento) se estivesse completa-

mente preenchido com água é

W2w = ABDEγw (2.95)

o que significa que o peso W2w é igual à resultante das forças verticais devidas à água, dadas

pela equação (2.93), conforme seria de esperar e conforme sugerido pelo polígono de forças da

Figura 2.30.

Note-se ainda que na estrutura de suporte há que considerar que, para além dos impulsos

do terreno, estão aplicados impulsos devidos à água no tardoz da estrutura de suporte.

De acordo com o referido, o método de Coulomb é um método essencialmente gráfico, em

que o impulso activo é determinado por traçado de um polígono de forças. Por este motivo,

alguns autores dedicaram-se à apresentação de metodologias gráficas para a obtenção mais ou

menos expedita do referido impulso. Citam-se os métodos de Poncelet (de 1840), de Culman

(de 1866) e de Rebhann (de 1871).

No entanto, a metodologia da definição do polígono de forças pode ser conseguida por via


analítica. Com efeito, da lei dos senos pode concluir-se, da Figura 2.29, que

Iasen (ξ − φ′)

=W

sen (β + δ − ξ + φ′)(2.96)

o que conduz a

Ia =W sen (ξ − φ′)

sen (β + δ − ξ + φ′)(2.97)

A expressão 2.97 pode ser, assim, usada para, em função de vários valores de ξ, determinar o

impulso e assim determinar o máximo valor para que ocorre.

A mesma expressão ou uma expressão equivalente poderia ser obtida através da escrita de

duas equações, uma correspondente ao equilíbrio das forças na horizontal e outra ao equilíbrio

de forças na vertical. Estas duas equações formam um sistema a duas incógnitas, Ia e R, do

qual a solução de Ia é a equação (2.97).

A resolução deste sistema (ou a aplicação da equação referida) é dependente de ξ, ou seja,

corresponde à solução para uma dada cunha. O impulso activo é, conforme referido, o máximo

desses impulsos. Tratando-se de um problema de maximização pode igualmente procurar-se

o valor de ξ que maximiza o impulso Ia, ou seja, resolver a equação

dIadξ

=d

dξ

[

W sen (ξ − φ′)

sen (β + δ − ξ + φ′)

]

= 0 (2.98)

Em 1906, Muller-Breslau concluíram que o impulso activo Ia que resulta da substituição

da solução da equação anterior na equação (2.97) é

Ia =1

2Kaγh

2 (2.99)

sendo h a altura da estrutura de suporte e Ka dado por

Ka =

cosecβ sen (β − φ′)√

sen (β + δ) +

√

sen(φ′+δ) sen(φ′−i)sen(β−i)

2

(2.100)

A componente horizontal do impulso pode ser determinada através de

IaH =1

2KaHγh

2 (2.101)

com

KaH = Kasen (β + δ) (2.102)

e a componente vertical através de

IaV =1

2KaV γh

2 (2.103)


com

KaV = Kacos (β + δ) (2.104)

O ponto de aplicação do impulso activo total não é dado directamente pela teoria de

Coulomb mas pode ser determinada através da distribuição de tensões no tardoz da estrutura

de suporte. A distribuição de tensões pode ser deduzida determinando o impulso de terras

admitindo diversas profundidades de passagem do plano de rotura. Se o impulso de terras

for conhecido relativamente a duas cunhas de solo até às profundidades z e z + dz então o

incremento de impulso pode ser determinado através de

dIa = σadz (2.105)

em que σa é o valor médio das pressões activas em função da profundidade dz, pelo que

σa =dIadz

(2.106)

A distribuição de pressões activas pode, assim, ser avaliada através da equação (2.106) para

uma série de incrementos de profundidade entre o topo e a base da estrutura de suporte.

Este procedimento, no entanto, é apenas usado raramente, dado que se a inclinação do ter-

reno suportado é constante e não tem aplicada qualquer sobrecarga a distribuição de pressões

é triangular.

Impulso passivo

No caso de avaliação do impulso passivo, o método de Coulomb considera princípios se-

melhantes aos enunciados a propósito da determinação do impulso activo. A determinação

pode ser gráfica, por um processo de tentativas, de cunhas com diversas inclinações, conforme

sugerido pela Figura 2.31, ou analítica.

A

B

C

h

i

δ

ξ

βα

φ′

Ip

IpW

W

RR

ξ − i

β + i

β − ξξ + φ′

180o − β + δ

β − δ − ξ − φ′

Figura 2.31: Cunha de solo para avaliação dos impulsos passivos pela teoria de Coulomb.

Através do método gráfico busca-se, agora, o valor mínimo do impulso. A solução analítica


foi obtida através da minimização do impulso, sendo avaliado através de

Ip =1

2Kpγh

2 (2.107)

sendo Kp, o coeficiente de impulso passivo, dado por

Kp =

cosecβ sen (β + φ′)√

sen (β − δ) −√

sen(φ′+δ) sen(φ′+i)sen(β−i)

2

(2.108)

Observações

A hipótese assumida pela teoria de Coulomb de que a superfície de deslizamento que define

a cunha de solo é plana não introduz erros significativos no caso da avaliação dos impulsos

activos.

No caso da determinação de impulsos passivos, no entanto, a adopção de tal hipótese

introduz erros não desprezáveis e contra a segurança, em particular no caso de o ângulo de

atrito solo–muro ser superior a φ′

3 . Por este motivo, para avaliação do impulso passivo (em

especial nas situações indicadas) é recomendável que sejam usados outros métodos, que serão

abordados em 2.8.

2.4.2 Solos com coesão efectiva

Impulso activo

O processo de determinação gráfico coincide, nos princípios básicos, com os expostos em

2.4.1, com excepção de que há a considerar a existência de fendas de tracção e a presença de

duas forças adicionais, devidas à coesão, C e Ca, conforme se indica na Figura 2.32.

A

BC

C

D

EF

h

i

δ

ξ

βα

φ′

z0

Ia

Ia

Ca

Ca

Ia + Ca

W

W

R

R

Figura 2.32: Cunha de solo para avaliação dos impulsos activos pela teoria de Coulomb emsolo coerente, em condições drenadas.

Note-se que no traçado do polígono de forças não são incluídas variáveis adicionais, uma


vez que a direcção e o valor de C e Ca são conhecidas. C tem a direcção da superfície BE e

Ca tem a direcção de BF . Em relação aos valores, C é igual a

C = c′ ×BE (2.109)

e Ca é

Ca = c′a ×BF (2.110)

Em condições não drenadas os cálculos são realizados considerando φu = 0 e com resistência

cu pelo que o polígono de forças é o representado na Figura 2.33.

A

B

C

C

D

EF

h

i

ξ

βα

z0

Ia

Ia

Ca

Ca

Ia + Ca

W

W

RR

Figura 2.33: Cunha de solo para avaliação dos impulsos activos pela teoria de Coulomb emsolo coerente, em condições não drenadas.

Note-se ainda que para a avaliação do impulso activo em solos com coesão efectiva não é

conhecida solução analítica.

Impulso passivo

A determinação de impulsos passivos em solos com coesão efectiva poderá ser inferida da

determinação de impulsos passivos em solos sem coesão efectiva e do que se referiu a propósito

da determinação de impulsos activos de solos com coesão efectiva.

2.5 Algumas noções de plasticidade

2.5.1 Introdução

O solo exibe comportamento elástico para deformações muito pequenas; a partir de deter-

minado valor de deformação, no entanto, o solo sofre deformações permanentes, irreversíveis.

A deformação total pode ser escrita através da soma da deformação elástica com a defor-

mação plástica, ou seja

dε = dεe+dεp (2.111)


Para determinar as deformações plásticas é necessário definir um critério de cedência,

uma lei de fluxo e uma lei de endurecimento, o que permite conhecer quando ocorrem as

deformações plásticas, qual a sua direcção e o seu valor.

As deformações plásticas ocorrem quando, no espaço das tensões, é atingida a superfície

de cedência, de equação genérica

F(

σ′ij , εpij

)

= 0 (2.112)

A dependência do critério de cedência das deformações plásticas traduz o endurecimento.

Para um material perfeitamente plástico não ocorre endurecimento e os incrementos de tensão,

uma vez atingida a superfície de cedência, têm que ocorrer na própria superfície. Caso tal não

ocorra, desenvolvem-se deformações plásticas de valor infinito.

Na análise limite, o material é considerado perfeitamente plástico.

Com o objectivo de simplificar os cálculos de estabilidade, é possível ignorar algumas das

condições de equilíbrio e de compatibilidade e usar dois importantes teoremas da teoria do

colapso plástico. Acontece que ignorando a condição de equilíbrio pode ser determinado um

limite superior da carga de colapso de forma a que se uma estrutura for carregada até este nível

colapsará; de forma semelhante, ignorando a condição de compatibilidade pode determinar-se

um limite inferior da carga de colapso de forma a que uma estrutura carregada até este valor

não colapsará. Naturalmente que a verdadeira carga de colapso está entre estes dois limites.

Habitualmente é possível obter limites inferiores e superiores da carga de colapso razoavel-

mente próximos um do outro. Considerando, então, o material como perfeitamente plástico,

e com lei de fluxo associada ter-se-á que, na rotura, o solo sofre deformações plásticas de

incremento constante e, portanto, com vector de deformação plástica é normal à envolvente

de rotura (Figura 2.34).

σσ′

τ

τ = cu

τ = cu

φ′

φ′

δεpn = 0δεpn

δγp

δγpδγp

ψ

τ, δγpτ, δγp

σ, δεpn σ′, δεpn

δεp −δεpn

Não drenado Drenado

Figura 2.34: Incrementos de deformação plástica de solo perfeitamente plástico com lei defluxo associada.

No caso não drenado, a envolvente de rotura é horizontal e não há deformações volumétricas

(a deformação ocorre a volume constante) e, portanto, o incremento de deformação plástica

é normal à envolvente, conforme sugere a Figura 2.34. No caso drenado, a envolvente de


rotura é do tipo da representada na mesma Figura e se a lei de fluxo for associada o ângulo

de dilatância ψ é tal que

tgψ = −δεpn

δγp= tgφ′ (2.113)

2.5.2 O princípio dos trabalhos virtuais

No caso de corpos rígidos, o princípio dos trabalhos virtuais estabelece que se um corpo

rígido está em equilíbrio então o trabalho das forças exteriores para um deslocamento virtual

compatível com as condições de fronteira é nulo.

Para o caso de corpos deformáveis, o mesmo princípio estabelece que o trabalho das forças

exteriores para um deslocamento virtual compatível com as condições de fronteira é igual ao

trabalho realizado pelas tensões e deformações internas.

2.5.3 Teoremas do colapso plástico

Considere-se, então um material com comportamento perfeitamente plástico e com lei de

fluxo associada. Na rotura, as forças e as tensões não se alteram, pelo que a componente

elástica das deformações é nula; qualquer incremento de deformação representa o incremento

de deformação plástica que é, como se viu, normal à envolvente de rotura.

Teorema da região superior

O teorema da região superior (ou do limite superior ou teorema cinemático) diz que se,

durante um dado mecanismo de colapso, o trabalho das forças exteriores for igual à taxa de

dissipação de energia interna, ocorre o colapso e as forças exteriores aplicadas são superiores

ou iguais às verdadeiras cargas de colapso.

Para provar a veracidade deste teorema, considere-se um sistema de forças exteriores, Fu

com as correspondentes tensões internas σ′u e um mecanismo de colapso associado a desloca-

mentos na fronteira δωu e deformações internas δεu. Se a linha SS da Figura 2.35 representar

a superfície de cedência, o incremento de deformação plástica, δεu será normal à referida

superfície.

A aplicação do teorema superior conduz a que o sistema de forças Fu causa colapso se

∑

Fuδωu =

∫

σ′uδεudV (2.114)

Se Fc e σc forem, respectivamente, a verdadeira carga de colapso e as tensões internas

correspondentes, o princípio dos trabalhos virtuais estabelece igualmente que

∑

Fcδωu =

∫

σ′cδεudV (2.115)


σ′uσ′c

δεu

σ′, δε

σ′, δε

S

S

Figura 2.35: Teorema da região superior.

Considerando, da Figura 2.35, que

σ′uδεu ≥ σ′cδεu (2.116)

Resulta, assim, que

Fu ≥ Fc (2.117)

conforme enunciado pelo teorema.

Para determinar um limite superior é, assim, necessário calcular o trabalho realizado pelas

tensões internas e pelas forças exteriores durante um incremento de deslocamento de um

mecanismo compatível. O trabalho de uma força é, simplesmente, o produto da força pelo

incremento de deslocamento na direcção da força, pelo que, para forças concentradas, o cálculo

é normalmente simples de fazer.

O trabalho das tensões internas é o trabalho dissipado pela deformação plástica no ma-

terial, nas superfícies que formam o mecanismo compatível. Considere-se que na Figura 2.36

estão representadas pequenas porções de superfícies de deslizamento de um mecanismo de

colapso, que sofrem incrementos de deslocamento δw.

σ σ′τ

τ = cu

φ′

δw

LL

yyψ

δl

δn

δγδγ

Não drenado Drenado

Figura 2.36: Trabalho das tensões internas em superfícies de deslizamento

No caso drenado o trabalho das tensões internas (efectivas) é

δWi = τLδl − σ′Lδn (2.118)


Note-se que, para um comportamento dilatante o trabalho das tensões normais é negativo

dado que σ′ e δn têm sentidos opostos. Dado que o volume da superfície analisada é V = Ly,

δεn = − δny

e δγ = δly

a equação (2.118) pode escrever-se como

δWi = τ ′Lyδγ + σ′Lyδεn = V (τδγ + σδεn) (2.119)

Sendo o solo puramente atrítico, tem-se que τ = σ tgφ′. Atendendo a que tgψ = − δεn

δγa

equação anterior fica

δWi = V

(

τδγ − τ

tgφ′δγ tgψ′

)

= V τδγ

(

1 − tgψ

tgφ′

)

(2.120)

Para um solo com lei de fluxo associada, tem-se que ψ = φ′ pelo que, para um solo

puramente friccional, o trabalho dissipado pelas tensões internas é

δWi = 0 (2.121)

Em condições não drenadas o trabalho das tensões (totais) é

δWi = τLδw = cuLδw (2.122)

Teorema da Região Inferior

O teorema da região inferior (ou do limite inferior ou teorema estático) diz que se um

conjunto de forças exteriores está em equilíbrio com as tensões internas que em nenhum

ponto violam o critério de rotura, o colapso não pode ocorrer e as forças exteriores aplicadas

constituem um limite inferior da verdadeira carga de colapso.

Considere-se novamente a superfície de cedência SS, agora representada na Figura 2.37.

σ′l

σ′c

δεc

σ′, δε

σ′, δε

S

S

Figura 2.37: Teorema da região inferior.


Para a carga de colapso, ter-se-á que:

∑

Fcδωc =

∫

σ′cδεcdV (2.123)

e, para as forças Fl e tensões σ′l o princípio dos trabalhos virtuais permite concluir que:

∑

Flδωc =

∫

σ′lδεcdV (2.124)

Dado que

σ′lδεc ≤ σ′cδεc (2.125)

vem, conforme enunciado pelo teorema, que

Fl ≤ Fc (2.126)

2.6 Aplicação dos teoremas do colapso plástico a casos simples

de cálculo de impulsos

2.6.1 Impulso passivo de solos sem coesão efectiva

Aplicação do teorema da região superior

Considere-se o mecanismo de colapso representado na Figura 2.38, relativo à aplicação de

uma força Ip que produz uma situação do tipo passivo numa parede lisa. O mecanismo de

colapso é representado pelo deslizamento da cunha ABC ao longo do plano AC

Ip

A

B C

h

l

Ws

δw

ξ

ψ = φ′

Figura 2.38: Mecanismo de colapso para aplicação do teorema da região superior à determi-nação de impulso passivo.

Conforme anteriormente referido (Figura 2.36) o deslocamento na superfície AC tem a

direcção indicada por δw. Assim, aplicando o teorema da região superior, há que determinar

o trabalho das forças exteriores:

δWe = Ipδx−Wsδy (2.127)

em que Ws é o peso do solo e δx e δy são, respectivamente, os deslocamentos segundo x e y.

Dado que l = htgξ

= htg (90o − ξ) o peso do solo é

Ws =h tg (90o − ξ) × h

2× γ =

1

2γh2 tg (90o − ξ) (2.128)


em que γ é o peso volúmico do solo.

Tem-se, por outro lado que, conforme se verificou em 2.5.3, o trabalho realizado pelas

tensões internas é nulo, se o material for puramente atrítico (equação (2.121)). Sendo assim,

aplicando o teorema, fica que

We = 0 (2.129)

Como se tem queδy

δx= tg

(

ξ + φ′)

(2.130)

a equação (2.129) conduz a

Ip =1

2γh2 tg (90o − ξ) tg

(

ξ + φ′)

(2.131)

ou seja

Ip =1

2K ls

p γh2 (2.132)

com K lsp dado por

K lsp = tg (90o − ξ) tg

(

ξ + φ′)

(2.133)

O valor assim obtido representa o limite superior do impulso passivo, ou seja, se um valor

igual ou superior àquele for aplicado, ocorre colapso.

Note-se que em nenhum momento houve qualquer menção ao equilíbrio. Se for possível,

para dado mecanismo de colapso, encontrar um estado de tensão equilibrado que em nenhum

ponto viola o critério de rotura, então a solução encontrada é a exacta.

Aplique-se, então, a equação (2.117) a uma situação concreta de um solo com φ′ = 30o e

para um ângulo ξ = 20o. Para esta situação,

K lsp = tg (90o − 20o) tg (20o + 30o) = 3.274 (2.134)

Aplicando, assim, um impulso determinado com K lsp = 3.274, de acordo com o teorema

da região superior, ocorre rotura.

Considere-se, no entanto, um valor de ξ igual a 45o − φ′

2 . A expressão (2.133) conduz a

K lsp = tg

[

90o −(

45o − φ′

2

)]

tg

(

45o − φ′

2+ φ′

)

= tg2(

45o +φ′

2

)

(2.135)

Para o caso de φ′ = 30o vem, assim, que

K lsp = 3 (2.136)

Apresenta-se na Figura 2.39 os valores de K lsp que se obtêm para vários valores do ângulo

de atrito interno φ′, em função do ângulo ξ. Note-se que o mínimo de cada uma das curvas

de cada ângulo de atrito corresponde a 45o − φ′

2 .


0

2

4

6

8

10

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Kls

p

ξ

φ’=25ºφ’=30ºφ’=35ºφ’=40ºφ’=45ºξ=tg(45º−φ’/2)

Figura 2.39: Valores de K lsp em função de ξ.

Note-se que este facto mostra apenas que é para o ângulo referido que se obtém a melhor

solução (a mais próxima da real) de K lsp , para o tipo de mecanismo estudado; não se conclui

que seja esta a solução exacta. Este assunto será novamente abordado após a aplicação do

teorema da região inferior ao mesmo caso.

Aplicação do teorema da região inferior

Aplicando o teorema da região inferior à determinação do impulso passivo nas mesmas

condições, tem-se que, à profundidade z (Figura 2.40), a tensão efectiva vertical é

σ′v = γz (2.137)

e a tensão horizontal que satisfaz o equilíbrio e não excede o critério de rotura pode ser

determinada através do círculo de Mohr:

σ′hp = σ′v1 + senφ′

1 − senφ′(2.138)

A resultante na parede é

Ip =1

2γh2 tg2

(

45o +φ′

2

)

(2.139)

ou seja

Ip =1

2K li

p γh2 (2.140)

com

K lip = tg2

(

45o +φ′

2

)

(2.141)


Ip

σ′v

σ′v

σ′hp

σ′hp

z

h

τ

σ′

φ′

Figura 2.40: Equilíbrio de tensões para determinação do impulso passivo através do teoremada região inferior.

O valor de Ip calculado com este valor constitui, assim, um limite inferior da carga de

colapso, o que significa que se esta carga ou uma inferior for aplicada, o colapso não ocorre.

Note-se que quando se usa o teorema da região inferior não é feita qualquer menção a

mecanismo de colapso ou à compatibilidade entre deformações e deslocamentos.

Observações

Conclui-se que o valor de K lip dado pela equação (2.141) é igual ao fornecido para K ls

p

pela equação (2.135). Conclui-se, assim, que foi encontrada a solução exacta para o problema

colocado:

Kp = K lsp = K li

p = tg2(

45o +φ′

2

)

(2.142)

2.6.2 Profundidade crítica de escavações de face vertical em solos argilosos

respondendo em condições não drenadas

O problema em questão é a determinação da altura crítica de escavação vertical em solo

respondendo em condições não drenadas.

Aplicação do teorema da região superior

Admita-se, para a resolução deste problema através do teorema da região superior o meca-

nismo de colapso representado na Figura 2.41, correspondente à formação de uma superfície

de deslizamento plana, formando um ângulo ξ com a horizontal.

Ws

ξ

h

l

L

δw

Figura 2.41: Mecanismo de colapso para aplicação do teorema da região superior à determi-nação da altura crítica de escavação vertical em solo respondendo em condições não drenadas.


O peso da cunha de solo é

Ws =lh

2γ =

1

2γh2 1

tgξ(2.143)

dado que l = htgξ

.

Sendo δy o deslocamento vertical da cunha, tem-se que

δy = δw senξ (2.144)

pelo que o trabalho das forças exteriores é

δWe = Wsδy = Wsδw senξ =lh

2γδw senξ =

1

2γh2 1

tgξδw senξ =

1

2γh2 cosξ δw (2.145)

O trabalho das tensões internas é

δWi = cuLδw = cuh

senξδw (2.146)

pelo que, aplicando o teorema da região superior,

δWi = δWe (2.147)

o que implica que

h =2

senξ cosξ

cuγ

= N ls cuγ

(2.148)

em que

N ls =2

senξ cosξ(2.149)

A Figura 2.42 representa a variação do parâmetro N ls com o ângulo ξ verificando-se

que o valor mínimo ocorre para ξ = 45o e é igual a 4. Tal como referido a propósito da

determinação do impulso passivo o valor assim obtido não tem que corresponder ao verdadeiro;

é simplesmente o mínimo valor de N ls para o mecanismo analisado (superfície plana).

Em qualquer caso, o enunciado do teorema da região superior assegura que a verdadeira

altura crítica é determinada com o verdadeiro valor de N que é inferior ou igual a 4; isto

significa que se for realizada uma escavação nas condições indicadas até à profundidade 4cu

γ

ocorre colapso.

Aplicação do teorema da região inferior

Um elemento em equilíbrio (Figura 2.43) próximo da superfície vertical da escavação tem

tensão vertical

σ′v = γz (2.150)

e tensão horizontal

σ′h = 0 (2.151)


0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Nls

ξ

Figura 2.42: Valores de N ls em função de ξ.

σ′v

σ′v

σ′h

σ′h

z

h

τ

σ′

cu

Figura 2.43: Equilíbrio de tensões para determinação do impulso passivo através do teoremada região inferior.

À profundidade h, sendo esta a altura crítica, deverá o círculo de Mohr ser tangente à

envolvente de rotura. Tem-se, assim que

σ′v − σ′h = γh− 0 = 2cu (2.152)

o que implica que

h =2cuγ

= N li cuγ

(2.153)

sendo N li = 2.

O enunciado do teorema da região inferior garante, assim, que se for realizada uma esca-

vação de profundidade igual a 2cu

γnão ocorrerá colapso.

Observações

No caso anteriormente apresentado referente à determinação do impulso passivo em so-

los sem coesão efectiva, com superfície horizontal e em muro com superfície lisa foi possível

determinar, através do teorema da região inferior uma solução K lip igual à que se obteve do


teorema da região superior K lsp , ou seja igual à solução real,

(

K lip = Kp = K ls

p

)

.

Para o caso agora apresentado, foi apenas possível obter uma aproximação superior e uma

aproximação inferior que respeitam a condição

2 = N li ≤ N ≤ N ls = 4 (2.154)

Repare-se que se trata de uma solução em que o limite superior varia muito significativa-

mente (para o dobro) em relação ao limite inferior. O que concluir daqui?

Em primeiro lugar há que referir que, apesar da diferença, será mais vantajoso conhecer

os limites nos quais pode variar a solução real do que confiar numa qualquer solução sem se

saber se se trata de um majorante ou de um minorante.

Em segundo lugar, chama-se a atenção para o facto de a solução obtida pelo teorema da

região inferior constituir (neste caso) uma solução conservativa do problema, pelo que, se não

houvesse mais soluções disponíveis, se poderia efectuar o dimensionamento usando o valor

N li = 2.

Acontece, no entanto, que o mecanismo (plano) assumido para a determinação da solução

usando o teorema da região superior não corresponde a uma aproximação do real muito boa

(apesar de a solução real se encontrar mais próxima do limite superior do que do limite

inferior). Efectivamente, se em lugar de uma superfície plana se considerar uma superfície

circular, a solução obtida vai melhorar substancialmente (Figura 2.44).

h

RO

xO

yO

Figura 2.44: Mecanismo de colapso para aplicação do teorema da região superior à determi-nação da altura crítica de escavação vertical em solo respondendo em condições não drenadas,usando superfície de deslizamento circular.

Conforme sugerido pela observação da Figura, a dificuldade está em determinar a posição

do ponto O. Adoptando xO = 0 e yO = 0 obtém-se N ls = 4.71, valor que é inclusivamente

superior ao valor de 4 obtido para a superfície plana com ξ = 45o. Usando a superfície circular

a melhor solução é

N ls = 3.83 (2.155)

obtida para xO = 1.41h e yO = 1.21h (Taylor, 1937, 1948).

Na realidade para este problema, aparentemente simples, não é conhecida ainda a solução

real. De acordo com resultados recentes de Pastor et al. (2000) o valor real deverá encontrar-se


no intervalo

3.7603 ≤ N ≤ 3.7859 (2.156)

2.7 Observações às teorias de Rankine e de Coulomb

A teoria de Rankine de solos sem coesão efectiva (ver secção 2.3.6) foi generalizada a solos

com inclinação i, sendo os coeficientes de impulso activo e passivo dados, respectivamente,

pelas equações (2.79) e (2.84). Nesta teoria, as seguintes condições verificam-se:

• superfície da estrutura vertical;

• impulsos activo e passivo com inclinação igual à superfície do terreno, o que equivale

a dizer que o ângulo de atrito solo–muro é igual à inclinação da superfície do terreno

(δ = i).

A última condição implica que os impulsos (quer activos, quer passivos) correspondam a uma

das situações indicadas na Figura 2.45.

Figura 2.45: Casos correspondentes às equações (2.79) e (2.84).

Para a teoria de Coulomb, em solos sem coesão efectiva, os coeficientes de impulso activo

e passivo são dados, respectivamente, pelas equações (2.100) e (2.108), escritas em função dos

ângulos β, i, φ′ e δ.

Pode, assim, comparar-se os resultados das teorias de Rankine e de Coulomb para as

condições – mais restritas – da teoria de Rankine, fazendo nas equações (2.100) e (2.108)

β = 90o e δ = i, para o caso activo, ou δ = −i, para o passivo.

Apresenta-se, na Figura 2.46, os resultados obtidos das teorias de Rankine e de Coulomb

para o coeficiente de impulso activo, nas condições indicadas, para alguns valores do ângulo

de resistência ao corte φ′. Verifica-se que os resultados obtidos das duas teorias coincidem

exactamente.

A mesma constatação pode ser feita através da análise da Figura 2.47, onde são represen-

tados os coeficientes de impulso passivo.

Apesar de tal não ter sido demonstrado, a teoria de Rankine enquadra-se numa solução

do tipo da região inferior e a teoria de Coulomb numa solução da região superior.

Tendo este aspecto em atenção, os resultados evidenciados pelas Figuras 2.46 e 2.47, que

mostram resultados iguais para as teorias de Rankine e de Coulomb, resultam em que a solução


0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Ka

δ=i (º)

Rankine φ’=20ºRankine φ’=30ºRankine φ’=40ºRankine φ’=50ºCoulomb φ’=20ºCoulomb φ’=30ºCoulomb φ’=40ºCoulomb φ’=50º

Figura 2.46: Coeficientes de impulso activo determinados pelas teorias de Rankine (equação(2.79)) e de Coulomb (equação (2.100)) para β = 90o e δ = i.

exacta foi encontrada (para o caso δ = i, na determinação do coeficiente de impulso activo, e

para o caso δ = −i, na determinação do coeficiente de impulso passivo).

Refere-se, finalmente, que a maximização do impulso (em função das várias cunhas de

solo que vão sendo testadas) que é realizada para a determinação do impulso activo através da

teoria de Coulomb encontra agora uma explicação mais simples: todas as soluções encontradas

pela teoria de Coulomb (para todas as cunhas) são soluções da região superior; ao procurar a

que maximiza o impulso está-se a tentar encontrar a melhor das soluções. Algo de semelhante

pode ser afirmado a propósito do impulso passivo.

2.8 O método de Caquot–Kérisel

O problema do cálculo das pressões correspondentes aos estados limites activo e passivo,

nas situações em que existe atrito entre o solo e a estrutura, foi formulado inicialmente por

Boussinesq. Admitindo um conjunto de hipóteses relativas às tensões no maciço, impondo

o equilíbrio estático, a condição de equilíbrio limite e as condições de fronteira adequadas

(Matos Fernandes, 1990) Boussinesq obteve um sistema de equações diferenciais.

A resolução do sistema de equações foi conseguida por Caquot e Kérisel, adoptando algu-

mas hipóteses adicionais, e chegando assim a uma solução da região inferior. A partir desta

solução, Caquot e Kérisel elaboraram tabelas (Caquot e Kérisel, 1948; Caquot et al., 1972) de

impulsos activos e passivos que se tornaram bem conhecidas e divulgadas.

Nas Figuras 2.48 e 2.49 apresenta-se a comparação entre os resultados dos métodos de


0

2

4

6

8

10

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Kp

δ=−i (º)

Rankine φ’=20ºRankine φ’=30ºRankine φ’=40ºRankine φ’=50º

Coulomb φ’=20ºCoulomb φ’=30ºCoulomb φ’=40ºCoulomb φ’=50º

Figura 2.47: Coeficientes de impulso passivo determinados pelas teorias de Rankine (equação(2.84)) e de Coulomb (equação (2.108)) para β = 90o e δ = −i.

Caquot–Kérisel, Rankine e Coulomb para, respectivamente a determinação de impulsos activos

e passivos na situação de β = 90o e δ = i (note-se que, na Figura 2.49, δ é igual a i e não a

−i, conforme na secção anterior; para esta situação, o impulso passivo deixa de ser paralelo à

superfície do terreno, pelo que não é possível usar a teoria de Rankine).

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Ka

δ=i (º)

Rank. Coul. φ’=20ºRank. Coul. φ’=30ºRank. Coul. φ’=40ºCaquot−Kérisel φ’=20ºCaquot−Kérisel φ’=30ºCaquot−Kérisel φ’=40º

Figura 2.48: Coeficientes de impulso activo determinados pelas teorias de Rankine (equação(2.79)) e de Coulomb (equação (2.100)) para β = 90o e δ = i face aos valores obtidos porCaquot e Kérisel (1948).


1

10

100

1000

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Kp

δ=i (º)

Coulomb φ’=30ºCoulomb φ’=40ºCaquot−Kérisel φ’=30ºCaquot−Kérisel φ’=40º

Figura 2.49: Coeficientes de impulso passivo determinados pela teoria de Coulomb (equação(2.108)) para β = 90o e δ = i face aos valores obtidos por Caquot e Kérisel (1948).

Da análise destas Figuras pode concluir-se que:

• a solução de Caquot–Kérisel coincide, para a situação a que se refere a Figura 2.48 com

as soluções de Rankine e de Coulomb, que eram já idênticas; este facto mostra apenas

que a teoria de Caquot–Kérisel é adequada; com efeito, tratando-se de uma solução

da região inferior, poderia obter-se valores dos coeficientes de impulso activo inferiores

aos obtidos pelas teorias de Rankine e de Coulomb; a coincidência dos resultados seria

também observada para os impulsos passivos para δ = −i (caso não representado);

• para o caso do coeficiente de impulso passivo com δ = i, verificam-se diferenças muito

significativa em relação à solução de Coulomb.

A conclusão apresentada para os impulsos activos não significa que a solução real seja a

fornecida pela teoria de Coulomb para todas as situações (a teoria de Rankine não o poderia

fazer dado que não permite que δ 6= i). Com efeito, a teoria de Coulomb apenas fornece a

solução real do coeficiente de impulso activo para os casos em que δ = i. Para o evidenciar

considerou-se o caso de β = 90o e i = 0 e, através da equação (2.100), calculou-se o coeficiente

de impulso activo através da teoria de Coulomb. Consultando as tabelas de Caquot–Kérisel

(Caquot et al., 1972) e sobrepondo os resultados pode obter-se a Figura 2.50, ficando claro

que os valores não são exactamente os mesmos.

A análise desta Figura permite retirar as seguintes conclusões:

• os resultados da teoria de Caquot e Kérisel coincidem, para efeitos práticos, com os da

teoria de Coulomb; por este motivo e pelo facto de a teoria de Coulomb ser de utilização


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Ka

δ (º)

Coulomb φ’=20ºCoulomb φ’=30ºCoulomb φ’=40ºCoulomb φ’=50º

Caquot−Kérisel φ’=20ºCaquot−Kérisel φ’=30ºCaquot−Kérisel φ’=40ºCaquot−Kérisel φ’=50º

Figura 2.50: Coeficientes de impulso activo determinados pela teoria de Coulomb (equação(2.100)) para β = 90o e i = 0 face aos valores obtidos por Caquot e Kérisel (1948).

mais prática do que a teoria de Caquot e Kérisel (uso de expressão relativamente simples

face a consulta de tabelas) é habitual que o impulso activo seja determinado para efeitos

de dimensionamento através da teoria de Coulomb;

• as diferenças que se verificam entre os resultados estão, globalmente, de acordo com o

esperado: os resultados da teoria de Coulomb são inferiores aos da teoria de Caquot–

Kérisel (veja-se, para maior clareza, o caso de φ′ = 20o); as excepções a esta regra deverão

ser apenas aparentes e devidas à diferença de precisão adoptada na representação dos

resultados (3 casas decimais no caso dos resultados da teoria de Coulomb e 2 casas

decimais no caso da teoria de Caquot–Kérisel);

• o caso de φ′ = δ = 50o parece ter um motivo diferente; ele é, no entanto, teoricamente

impossível e poderá dever-se a uma inadequação da expressão de Kp da teoria de Cou-

lomb para valores muito elevados do ângulo de resistência ao corte ou do ângulo de atrito

solo–muro ou a um incorrecto valor fornecido pela tabela consultada dos resultados de

Caquot–Kérisel; o assunto não foi, no entanto satisfatoriamente esclarecido pelo autor.

De forma análoga procedeu-se ao traçado da Figura 2.51, referente à comparação, para o

caso do coeficiente de impulso passivo, da teoria de Coulomb com a teoria de Caquot–Kérisel.

Desta Figura pode confirmar-se que os resultados da teoria de Coulomb estão substanci-

almente acima dos da teoria de Caquot–Kérisel. Sabe-se igualmente que a teoria de Coulomb

pode sobrestimar consideravelmente os impulsos passivos, em particular para valores elevados

de δ. É frequente afirmar-se que os resultados da teoria de Coulomb podem ser usados para

valores de δ inferiores ou iguais a φ′

3 ou, para outros autores, a φ′

2 . As razões para tais afir-


1

10

100

1000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Kp

δ (º)

Coulomb φ’=20ºCoulomb φ’=30ºCoulomb φ’=40ºCoulomb φ’=50ºCaquot−Kérisel φ’=20ºCaquot−Kérisel φ’=30ºCaquot−Kérisel φ’=40ºCaquot−Kérisel φ’=50º

Figura 2.51: Coeficientes de impulso passivo determinados pela teoria de Coulomb (equação(2.108)) para β = 90o e i = 0 face aos valores obtidos por Caquot e Kérisel (1948).

mações são claras a partir da Figura, em especial tendo em atenção o facto de a teoria de

Caquot–Kérisel constituir uma boa aproximação do impulso real.

2.9 A curvatura da superfície de deslizamento

Pelo que se mostrou até agora, sabe-se que:

• a teoria de Coulomb constitui uma aproximação do tipo da região superior, sendo por-

tanto espectável que sobrestime o impulso passivo e subestime o impulso activo;

• os resultados de Caquot e Kérisel são, para efeitos práticos, na avaliação de impulsos

activos, coincidentes com os da teoria de Coulomb; sendo os resultados de Caquot–Kérisel

do tipo da região inferior resulta que a solução real é, praticamente, conhecida;

• na avaliação de impulsos passivos os resultados de Coulomb diferem substancialmente

dos de Caquot–Kérisel para valores elevados do ângulo de atrito solo–muro, δ; sabendo-

se, com base em resultados práticos, que a teoria de Caquot–Kérisel fornece resultados

mais próximos dos reais, tem-se que a teoria de Coulomb se afasta consideravelmente

daqueles.

A que se deve, então, o referido afastamento na estimativa do impulso passivo, em parti-

cular quando é sabido que tal afastamento não ocorre no caso do impulso activo?

A resposta está na questão da curvatura da superfície de deslizamento que define a cunha

de solo. Diversos autores abordaram esta questão, desde os próprios Caquot e Kérisel (uma


das hipóteses que assumiram para a resolução das equações diferenciais foi a existência de

curvatura na referida superfície) passando por Janbu (1957), Shields e Tolunay (1973) (através

de cálculos usando o método das fatias) até Sokolovski (1960) usando a resolução numérica

das equações diferenciais através do método das diferenças finitas ou ainda Rosenfarb e Chen

(1972), que consideram superfícies compostas por planos e espirais logarítmicas.

Por uma questão de facilidade de realização dos cálculos usou-se a metodologia proposta

por Rosenfarb e Chen (1972) para determinação dos impulsos passivos para o caso anterior-

mente referido de β = 90o e i = 0. A Figura 2.52 apresenta os resultados obtidos, comparando-

os com os resultados de Caquot e Kérisel. Os resultados de Rosenfarb e Chen (1972) são do

tipo da região superior, o que é consistente com a Figura, na qual estes resultados são siste-

maticamente superiores (ou iguais) aos de Caquot e Kérisel. Apesar de, para valores elevados

de δ, haver diferenças significativas entre as duas metodologias, verifica-se que o intervalo está

agora muito mais estreito, concluindo-se então que os valores de Rosenfarb e Chen (1972)

são substancialmente melhores do que os de Coulomb. Volte-se, então, à questão inicialmente

colocada: porque motivo tal facto ocorre?

1

10

100

1000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Kp

δ (º)

Rosenfarb e Chen φ’=20ºRosenfarb e Chen φ’=30ºRosenfarb e Chen φ’=40ºRosenfarb e Chen φ’=50ºCaquot−Kérisel φ’=20ºCaquot−Kérisel φ’=30ºCaquot−Kérisel φ’=40ºCaquot−Kérisel φ’=50º

Figura 2.52: Coeficientes de impulso passivo determinados pela teoria de Caquot e Kérisel(1948) e por Rosenfarb e Chen (1972) para β = 90o e i = 0.

Conforme já se adiantou, a resposta reside na curvatura da superfície de deslizamento con-

siderada: em duas soluções da região superior, uma fornece “bons” resultados (a de Rosenfarb

e Chen (1972)) e a outra “maus” resultados (a de Coulomb), pelo facto de na primeira ser as-

sumida uma superfície de deslizamento curva plana e na segunda tal superfície ser considerada

plana.

Veja-se, em primeiro lugar, em que consiste a solução de Rosenfarb e Chen (1972), apenas

nos seus princípios básicos (Bowles, 1996). Na Figura 2.53 indica-se o mecanismo de colapso


adoptado, composto de duas superfícies planas entre as quais existe uma espiral logarítmica.

Este mecanismo é, assim, controlado pelos valores dos ângulos ρ e ψ, podendo os coeficientes de

impulso activo e passivo ser escritos em função destes ângulos e procedendo-se à minimização

(no caso passivo) ou maximização (no caso activo) em relação a estas duas variáveis.

ψ

ρ

i

βδ

espiral logarítmica

Figura 2.53: Mecanismo de colapso considerado por Rosenfarb e Chen (1972) para o casopassivo.

Aplique-se, agora, os métodos de Coulomb e de Rosenfarb e Chen a dois casos para o

cálculo dos coeficientes de impulso activo e passivo: um com ângulo de resistência ao corte de

30o e ângulo de atrito solo–estrutura de 20o e outro com ângulo de resistência ao corte de 40o

e ângulo de atrito solo–estrutura de 26.67o. Os coeficientes de impulso foram já determinados

para o traçado de figuras anteriormente apresentadas mas resumem-se no Quadro 2.3.

Quadro 2.3: Coeficientes de impulso activo e passivo determinados pelos métodos de Coulombe de Rosenfarb e Chen

φ′ (o) 30 40δ (o) 20 26.67

KCoulomba 0.297 0.200

KRosenfarb&Chena 0.299 0.201KCoulomb

p 6.105 18.717KRosenfarb&Chen

p 5.444 13.078

As conclusões da análise do Quadro são as já anteriormente referidas: resultados pratica-

mente coincidentes no caso do coeficiente de impulso activo e diferenças significativas para o

caso do coeficiente de impulso passivo.

Para analisar estes resultados traçaram-se as superfícies de rotura obtidas dos dois métodos,

para as duas situações analisadas, para uma altura genérica da estrutura de suporte h. Os

resultados obtidos relativos ao impulso activo estão representados na Figura 2.54.

Os resultados mostram superfícies praticamente coincidentes entre os métodos de Coulomb

e de Rosenfarb e Chen para os dois casos analisados. Os mecanismos são, assim, praticamente

os mesmos, pelo que a solução é, naturalmente, praticamente a mesma, justificando os resul-

tados referidos no Quadro, que podem ser generalizados a uma adequabilidade geral da teoria

de Coulomb para a determinação de impulsos activos.


h

Iaδ

Rosenfarb e ChenCoulomb

(a) φ′ = 30o; δ = 20o

h

Iaδ


(b) φ′ = 40o; δ = 26.67o

Figura 2.54: Superfícies de deslizamento correspondentes ao impulso activo obtidas pelosmétodos de Coulomb e de Rosenfarb e Chen.

Veja-se, agora, o que se passa relativamente aos impulsos passivos (Figura 2.55). Pode

verificar-se, da sua análise, que:

• as superfícies determinadas pelos dois métodos apresentam diferenças substanciais, cor-

respondentes a mecanismos consideravelmente diferentes e evidenciando a importância

da curvatura da superfície de cedência;

• as diferenças entre os mecanismos são maiores para o maior valor do ângulo de atrito.

h Ipδ


(a) φ′ = 30o; δ = 20o

h Ipδ


(b) φ′ = 40o; δ = 26.67o

Figura 2.55: Superfícies de deslizamento correspondentes ao impulso passivo obtidas pelosmétodos de Coulomb e de Rosenfarb e Chen.

Estas observações justificam, por um lado, as diferenças significativas entre os coeficientes

de impulso passivo que se apresentaram no Quadro 2.3 e, por outro, o facto de a diferença ser

maior no caso do maior ângulo de atrito. Estas conclusões podem ser generalizadas em relação


à inadequabilidade da utilização da teoria de Coulomb para o cálculo de impulsos passivos,

em particular nos casos de elevados valores de δ.

De forma talvez um pouco mais subjectiva, o autor arrisca ainda afirmar que também

não surpreende (em resultado da análise da Figura 2.55 no que respeita à forma e dimensão

das superfícies de deslizamento) que o método de Coulomb conduza a maiores valores do

coeficiente de impulso (em qualquer caso, conforme se mostrou, é o que se verifica).

2.10 Verificação numérica do cálculo de impulsos com atrito

solo–estrutura

Com base no exemplo apresentado na Figura 2.16 e utilizando a mesma malha de elementos

finitos, procedeu-se a um cálculo análogo ao 3.1 anteriormente apresentado, considerando no

entanto para características da interface um ângulo de atrito solo–estrutura δ = 20o. O ângulo

de atrito interno do terreno foi assumido igual ao considerado no cálculo 3.1 (φ′ = 30o).

Na Figura 2.56 apresenta-se os resultados obtidos nos cálculos 3.1 e 3.4 no que respeita às

pressões normais e, para o caso do cálculo 3.4, também tangenciais.

5

6

7

8

9

10

0 10 20 30 40 50 60 70

y (m

)


K0=0.5Ka=1/3

KaH=0.279Cálculo 3.1Cálculo 3.4

(a) Tensões normais

5

6

7

8

9

10

0 10 20 30 40 50 60 70

y (m

)

Tensão tangencial (kPa)

KaV=0.102Cálculo 3.4

(b) Tensões tangenciais

Figura 2.56: Comparação entre as pressões activas teóricas (teoria de Coulomb) e as mobili-zadas no tardoz da estrutura de suporte nos cálculos 3.1 e 3.4

Da análise destas Figuras pode concluir-se que o estado activo foi (globalmente) atingido,

coincidindo razoavelmente com a teoria de Coulomb (cujos resultados, aliás, como se viu na


Figura 2.48, coincidem praticamente com os da teoria de Caquot–Kérisel).

Procedeu-se igualmente à realização de um cálculo 3.5, em que se procurou mobilizar o

impulso passivo, por rotação da estrutura de suporte no sentido contrário ao representado

na Figura 2.16. Os resultados podem ser observados na Figura 2.57, em comparação com os

obtidos através das teorias de Coulomb e de Caquot–Kérisel.

5

6

7

8

9

10

0 100 200 300 400 500 600

y (m

)


K0=0.5KpH=5.737 (Coulomb)

KpH=5.115 (Caquot−Kérisel)Cálculo 3.5

Figura 2.57: Comparação entre as pressões passivas teóricas (teorias de Coulomb e de Caquot-Kérisel) e as mobilizadas no tardoz da estrutura de suporte no cálculo 3.5.

A observação da referida Figura mostra, apesar de alguma dificuldade na mobilização

dos impulsos passivos na base da estrutura de suporte, uma razoável concordância entre os

resultados do cálculo e os provenientes da teoria de Caquot-Kérisel, assim como um claro

afastamento da teoria de Coulomb. Estes resultados vêm, assim, confirmar que a teoria

de Coulomb, no que respeita à determinação de impulsos passivos, conduz a resultados que

constituem um majorante da solução “real”.

2.11 O sinal do ângulo de atrito solo–muro

Tem-se discutido ao longo do texto a influência do valor do ângulo de atrito solo–muro,

δ, sem nada referir a propósito do seu sinal. Com efeito, aceitou-se com naturalidade que

o ângulo δ indicado na Figura 2.54, referente aos impulsos activos, tivesse a inclinação aí

indicada mas que no caso da Figura 2.55, referente aos impulsos passivos, a inclinação fosse a

contrária.

A naturalidade da adopção de tais inclinações está relacionada com o sentido físico que

poderemos ter das consequências da mobilização de um impulso do tipo activo ou passivo:

considerando a estrutura de suporte esquematicamente representada na Figura 2.58 parece


ser claro que um seu deslocamento para a esquerda provoca tensões tangenciais aplicadas à

estrutura que são dirigidas para baixo no caso do lado activo e dirigidas para cima no caso do

passivo (as tensões aplicadas pela estrutura ao terreno têm, naturalmente, sentido contrário).

O sentido positivo do ângulo δ adoptado neste texto é, assim, o indicado na Figura, por

ser aquele que mais frequentemente pode ser mobilizado. Faz-se, no entanto, notar que esta

convenção não é universal, pelo que em consulta de tabelas ou ábacos há que esclarecer em

primeiro lugar qual a convenção em utilização.

Ia Ia

Ip Ip

+δ

+δ

+δ

+δ

Figura 2.58: Convenção de sinal positivo do ângulo de atrito solo–muro (δ).

Pode, no entanto, ocorrer que a ocorrência de movimentos da estrutura ou impedimentos

de outro tipo provoquem a mobilização de tensões tangenciais com o sentido oposto. Nestas

circunstâncias, os impulsos activos e passivos tomam valores diferentes.

A razão por que tal acontece vai ser analisada em seguida. Para o fazer recorreu-se a

uma ferramenta numérica, por elementos finitos (Antão, 2003) que fornece soluções da região

superior com aproximação dependente do refinamento de malha adoptado. Sendo assim,

utilizando malhas razoavelmente refinadas, do tipo das que se apresentam na Figura 2.59,

pode obter-se a forma das superfícies de deslizamento para diferentes situações.

Figura 2.59: Malha de elementos finitos deformada de cálculo de análise limite (Antão, 2003)para o caso de determinação do impulso activo (φ = 30o e δ = 0).

Os resultados da própria Figura 2.59 e, em especial, da Figura 2.60(b), referentes à de-

terminação de impulsos activos, evidenciam a forma planar da superfície do caso analisado

(φ = 30o e δ = 0). De forma análoga, apresenta-se nas Figuras 2.60(a) e 2.60(c) as superfícies

obtidas para os casos δ = +20o e δ = −20o, onde se evidencia, no primeiro caso, a forma

côncava anteriormente observada na Figura 2.54 e, no segundo, uma clara alteração para uma

forma convexa.


(a) δ = +20o (b) δ = 0 (c) δ = −20o

Figura 2.60: Superfícies de deslizamento correspondentes ao impulso activo para φ = 30o eδ = +20o, 0 e −20o, obtidas por análise limite numérica (Antão, 2003).

Como se compreenderá, a alteração da forma da superfície implica claramente uma alte-

ração do impulso activo. Apresenta-se no Quadro 2.4 a comparação entre os valores obtidos

pelos métodos de Coulomb, Caquot–Kérisel, Rosenfarb e Chen e através de análise limite

numérica para o caso φ = 30o e δ = 0, −20o e +20o.

Quadro 2.4: Comparação entre os valores de Ka obtidos pelos métodos de Coulomb, Caquot–Kérisel, Rosenfarb e Chen e de análise limite numérica para φ = 30o.

δ (o) +20 0 -20KCoulomb

a 0.297 0.333 0.469KCaquot−Kerisel

a 0.30 0.33 0.49KRosenfarb&Chen

a 0.299 0.333 —Kanal. lim. num.

a 0.300 0.332 0.471

A análise do Quadro permite concluir que a alteração do ângulo de atrito δ conduz a

alterações importantes no coeficiente de impulso activo. Por outro lado, verifica-se que os

métodos cujos resultados são apresentados conduzem, praticamente, aos mesmos resultados.

Na Figura 2.61 apresentam-se, de forma análoga ao feito para o impulso activo, as super-

fícies obtidas para o caso do impulso passivo. A importância do sinal do ângulo de atrito

solo–muro fica bem evidente da análise destas superfícies, conduzindo, assim, a resultados do

coeficiente de impulso passivo consideravelmente diferentes.

É o que se pode verificar da análise do Quadro 2.5, que mostra a comparação dos resultados

do coeficiente de impulso passivo para os casos analisados.

Quadro 2.5: Comparação entre os valores de Kp obtidos pelos métodos de Coulomb, Caquot–Kérisel, Rosenfarb e Chen e de análise limite numérica para φ = 30o.

δ (o) +20 0 -20KCoulomb

p 6.105 3.000 1.647KCaquot−Kerisel

p 5.3 3.00 1.46KRosenfarb&Chen

p 5.444 3.000 —Kanal. lim. num.

p 5.268 3.004 1.550

Verifica-se ainda uma razoável proximidade entre os métodos de análise limite numérica e


(a) δ = +20o

(b) δ = 0 (c) δ = −20o

Figura 2.61: Superfícies de deslizamento correspondentes ao impulso passivo para φ = 30o e+20o, δ = 0 e −20o, obtidas por análise limite numérica (Antão, 2003).

os de Caquot–Kérisel.

Capítulo 3

Dimensionamento de estruturas de

suporte rígidas

3.1 Introdução

O processo de dimensionamento de uma estrutura de suporte rígida traduz-se, na maioria

dos casos, numa série de verificações de segurança em que a sua geometria é sucessivamente

alterada até ser obtido o nível de segurança desejado.

Os impulsos de terras são normalmente determinados com base nas teorias que se apre-

sentaram no capítulo anterior.

Os muros de suporte rígidos são, nos casos mais comuns, muros de alvenaria, muros de

betão não armado, muros de betão armado e muros de gabiões (Figura 3.1). Poderá estranhar-

se a inclusão dos muros de gabiões na categoria de “estrutura de suporte rígida”, sobretudo se

se tiver em atenção que aqueles muros sofrem, em serviço, deformações muito significativas.

No entanto, como se verá posteriormente, a expressão “estrutura de suporte flexível” está

associada a um outro tipo de estruturas, com características que serão a seu tempo analisadas,

verificando-se adicionalmente que os mesmos princípios aplicáveis a estruturas de suporte como

as de alvenaria, as de betão não armado ou as de betão armado, são-no também aos muros

de gabiões.

É igualmente comum a designação de “muros gravidade” para os casos dos muros de alve-

naria, de betão não armado e de gabiões, não se incluindo nesta designação, habitualmente,

os muros de betão armado. Faz-se notar que em todos os casos, no entanto, as forças graví-

ticas assumem um importante papel na estabilidade das estruturas. Verifica-se, contudo, que

no caso das estruturas de betão armado o próprio terreno é, de alguma forma, envolvido na

estabilidade da estrutura, ao passo que nas restantes (“muros gravidade”) as forças gravíticas

envolvidas são sobretudo as do próprio muro.

Os muros de betão armado são frequentemente designados por “muros em L” ou “em T

invertido”, dada a sua forma. Uma variante destes muros é a dos muros de contrafortes ou de

61

62 Capítulo 3. Dimensionamento de estruturas de suporte rígidas

��

��

(a) Muro de alvenaria��

��

(b) Muro de betão não armado

��

��

(c) Muro de betão armado (d) Muro de gabiões

Figura 3.1: Muros de suporte “rígidos”.

gigantes, usados para muros bastante altos (habitualmente a partir dos 8 a 10 m de altura),

por razões económicas.

3.2 Impulsos de terras

Viu-se no capítulo anterior que os valores dos impulsos de terras dependem dos desloca-

mentos das estruturas de suporte. Viu-se igualmente que deslocamentos relativamente peque-

nos permitem a mobilização de impulsos do tipo activo, ao passo que para a mobilização de

impulsos passivos é necessário que o deslocamento seja bastante mais significativo.

É, portanto, habitual dimensionar os muros de suporte para o impulso activo (o mínimo

valor dos impulsos possíveis de se mobilizar) mas considerar coeficientes de minoração do im-

pulso passivo com valor significativo (habitualmente da ordem de 3). Este coeficiente pretende

sobretudo ter em atenção que para a total mobilização dos impulsos passivos seria necessário

que o muro sofresse deslocamentos elevados, indesejáveis, que perturbariam o funcionamento

em serviço da estrutura. Admitindo-se que apenas cerca de um terço do impulso passivo se

pode mobilizar reduz-se substancialmente o deslocamento que é necessário para mobilizar essa

parcela do impulso passivo, ficando aquele deslocamento na mesma ordem de grandeza do que

ocorre para a mobilização do impulso activo.

Uma outra razão para a adopção de coeficientes de minoração elevados prende-se com as

limitações das teorias de impulsos na avaliação dos impulsos passivos que se viram no capítulo

anterior.

Capítulo 3. Dimensionamento de estruturas de suporte rígidas 63

Há, no entanto, estruturas de suporte que não devem ser dimensionadas com recurso aos

impulsos activos. É o caso das estruturas que se mantenham praticamente imóveis. Para estes

casos o dimensionamento deve ser realizado recorrendo ao impulso em repouso, conforme

também já foi analisado no capítulo anterior.

Pode, então, colocar-se a seguinte questão: será possível que, para um muro dimensionado

com base nos impulsos activos (que são, como se viu, os impulsos mínimos que podem ser

mobilizados), as pressões de terras efectivamente aplicadas no tardoz da estrutura de suporte

sejam superiores aos referidos impulsos? A resposta a esta questão é claramente positiva e

resulta da própria segurança. Sendo um muro dimensionado com determinada margem de

segurança, é possível que numa situação de serviço nunca se chegue a verificar o impulso

activo. Tal, no entanto, apenas significa que a força de corte na base (e, eventualmente, o

impulso passivo) está longe de estar completamente mobilizada. Não há, sob o ponto de vista

da segurança da estrutura, qualquer problema devido a esse facto.

Convém, no entanto, proceder ao dimensionamento estrutural de paramentos verticais de

muros “em L” recorrendo aos impulsos em repouso ou, conforme é recomendado em alguma

bibliografia, recorrendo a um impulso intermédio do impulso activo e do impulso em repouso.

3.3 Estabilidade externa de muros de suporte

3.3.1 Introdução

A estabilidade externa de muros de suporte deve ser verificada atendendo aos seguintes

estados limites:

• deslizamento;

• derrubamento;

• instabilidade global;

• rotura do solo de fundação.

Os estados limites referidos são, provavelmente, bem conhecidos do leitor deste texto.

Refere-se, por isso, apenas, que com a verificação do estado limite de deslizamento se procura

garantir que a estrutura não desliza num plano coincidente com a base, com adequado nível

de segurança; com a verificação do estado limite de derrubamento procura-se que a estrutura

não derrube, isto é, que não possa rodar em torno de um ponto da base; com a verificação do

estado limite da instabilidade global, pretende-se garantir um adequado nível de segurança em

relação ao deslizamento por uma superfície que envolva a própria estrutura de suporte; com a

verificação do estado limite de rotura do solo de fundação pretende-se garantir segurança da

estrutura de suporte como fundação (capacidade de carga).

A verificação da segurança de uma estrutura de suporte em relação a estes estados limites

passa, hoje em dia, pela utilização da metodologia de coeficientes de segurança parciais que


consta do Eurocódigo 7 (ENV 1997-1.1, 1993).

A utilização da metodologia do Eurocódigo 7 faz-se recorrendo a três casos — A, B e C

— correspondentes a diferentes combinações de valores dos coeficientes de segurança parciais

(Quadro 3.1).

Quadro 3.1: Coeficientes de segurança parciais – estados limites últimos em situações persis-tentes e transitórias (ENV 1997-1.1, 1993).

ACÇÕES TERRENOCaso PERMANENTES (γG) VARIÁVEIS (γQ)

Desfavoráveis Favoráveis Desfavoráveis γtgφ′ γc′ γcu

A 1.00 0.95 1.50 1.1 1.3 1.2B 1.35 1.00 1.50 1.0 1.0 1.0C 1.00 1.00 1.30 1.25 1.6 1.4

Cita-se em seguida o texto da Pré-Norma, na sua tradução para Português, sobre os casos

A, B e C:

Quando tal for relevante, o projecto deve ser verificado para cada um dos três casos

A, B e C (...)

Quando se torna evidente que um dos três casos é o crítico para o projecto, não

é necessário efectuar os cálculos para os outros casos. Contudo, casos diferentes

podem ser críticos para aspectos diferentes do projecto.

Nesta Pré-Norma o caso A só é relevante para problemas envolvendo a impulsão,

em que as forças hidrostáticas constituem a principal força desfavorável. Os valores

dados no Quadro 3.1 aplicam-se unicamente em tais situações(...)

O caso B é frequentemente crítico na verificação da resistência dos elementos es-

truturais de fundações ou de estruturas de suporte. Quando não está em causa a

resistência dos materiais estruturais o caso B é irrelevante.

O caso C é geralmente crítico em casos, tais como a estabilidade de taludes, onde

não há a considerar a resistência de elementos estruturais. O caso C é muitas

vezes crítico no dimensionamento dos elementos estruturais de fundações ou de

contenções e, por vezes, na verificação da resistência desses elementos. Quando a

verificação da segurança não envolve a resistência do terreno o caso C é irrelevante.

Tendo em atenção o que foi transcrito, tem-se que, na verificação da segurança em relação

aos estados limites de deslizamento, derrubamento, estabilidade global e de rotura do solo de

fundação o caso a considerar deverá ser o caso C. O caso A tem o campo de aplicação descrito

e o caso B destina-se, sobretudo, ao dimensionamento estrutural dos elementos da estrutura

de suporte. Dado o âmbito do curso, será dado particular ênfase à aplicação do caso C, sendo

no entanto o caso B referido quando tal se considerar apropriado.

Refere-se, a este propósito, que os casos B e C deixaram de ter esta designação na Norma

Europeia ainda em fase de tradução para português. Com efeito, estes casos, contituem,


à parte pequenas alterações de detalhe, as situações STR e GEO, respectivamente, para o

“design approach 3”.

3.3.2 Verificação da segurança em relação ao deslizamento

Metodologia dos coeficientes de segurança parciais

Considere-se a estrutura de suporte que se representa esquematicamente na Figura 3.2.

δ

Fa

Ia

Ip

Figura 3.2: Verificação da segurança ao deslizamento de uma estrutura de suporte rígida.

Para a verificação da segurança ao deslizamento de uma estrutura de suporte como a da

Figura, há que determinar os parâmetros de resistência de cálculo do terreno, através de:

φ′d = arctgtgφ′

γtgφ(3.1)

e

c′d =c′

γc′(3.2)

ou, no caso de se tratar de um cálculo em condições não drenadas:

cud =cuγcu

(3.3)

Nestas equações, γtgφ, γc′ e γcu são os coeficientes parciais de segurança, que, consoante

os casos em análise, deverão ser retirados do Quadro 3.1.

De forma análoga, há que determinar o valor de cálculo do ângulo de atrito entre o solo e

a estrutura, δd, através de:

δd = arctgtgδ

γtgφ(3.4)

Com base nestes parâmetros de resistência, são avaliados os impulsos activos e passivos de

cálculo, determinados com os parâmetros de resistência minorados e considerando os coeficien-

tes de majoração de acções, γG e γQ, respectivamente para as acções permanentes e variáveis.

Conforme se viu, o impulso passivo deve ser adequadamente minorado, por um coeficiente que

deve ser da ordem de 3.

Deve, assim, verificar-se que a acção de cálculo na direcção da base da estrutura de suporte


(horizontal, na Figura) seja inferior à resistência de cálculo no contacto solo estrutura, ou seja,

que:

Hd ≤ Sd (3.5)

em que Hd é a resultante dos impulsos activos e passivos na direcção da base da estrutura de

suporte e Sd é a resistência ao deslizamento de cálculo que se desenvolve na base da estrutura.

No caso da Figura 3.2 Hd toma o valor Hd = IaH − IpH (sendo IaHd e IpHd as componentes

horizontais de cálculo dos impulsos activo e passivo, respectivamente) e Sd é a força de corte

na base da estrutura. Em condições drenadas, esta força toma o valor:

Sd = Fad = Vdtgδd (3.6)

em que Vd é o valor de cálculo da carga efectiva normal à base da fundação. Em condições

não drenadas Sd é o resultado da adesão na superfície efectiva da base da estrutura:

Sd = A′cad (3.7)

em que A′ é o produto A′ = B′ ×L, em que L é o comprimento da estrutura de suporte e B′

é a largura efectiva, igual a B− 2ed sendo ed o valor de cálculo da excentricidade da carga de

cálculo.

Exemplo de aplicação

Considere-se o exemplo traduzido pela Figura 3.3 e procure-se avaliar a segurança da

estrutura de suporte representada. O solo 1 é arenoso e o solo 2 é um solo argiloso, com

os parâmetros de resistência indicados na Figura. O terreno tem superfície horizontal e a

sobrecarga aplicada é uma acção variável.

Solo 1

Solo 2

1.2m

4 m

1.8m

6 mδ

δ

δ

Fad

Iad

Isd

Ipd

s = 5kPa

φ′1 = 30o

φ′2 = 32o; c′2 = 5 kPa; cu2 = 120 kPa

γ1 = 18kN/m3

γ2 = 20kN/m3

γb = 24kN/m3

Figura 3.3: Exemplo de verificação da segurança ao deslizamento de uma estrutura de suporterígida.

Os parâmetros de resistência de cálculo são, usando o caso C do Eurocódigo 7:

φ′1d = arctgtgφ′11.25

= 24.79o (3.8)

φ′2d = arctgtgφ′21.25

= 26.56o (3.9)


c′2d =c′21.6

= 3.1 kPa (3.10)

Considerando que os ângulos de atrito entre o solo e a estrutura são iguais a 23φ

′, tem-se

que δ1 = 20o e δ2 = 21.33o, pelo que:

δ1d = arctgtgδ11.25

= 16.23o (3.11)

δ2d = arctgtgδ21.25

= 17.35o (3.12)

O coeficiente de impulso activo de cálculo, utilizando a teoria de Coulomb, é

Kad,β=90o,i=0,φ′1d

=24.79o,δ1d=16.23o = 0.364 (3.13)

que tem componente horizontal KaHd = 0.350 e componente verticalKaV d = 0.102. O impulso

activo devido às terras no tardoz da estrutura de suporte tem, assim, componente horizontal

igual a:

IaHd = γG1

2KaHdγ1H

2 = 1.0 × 1

2× 0.350 × 18 × 62 = 113.4kN/m (3.14)

IaV d = γG1

2KaV dγ1H

2 = 1.0 × 1

2× 0.102 × 18 × 62 = 33.0kN/m (3.15)

O impulso devido à sobrecarga (variável) é

IsHd = γQKaHdsH = 1.3 × 0.350 × 5 × 6 = 13.6kN/m (3.16)

IsV d = γQKaV dsH = 1.3 × 0.102 × 5 × 6 = 4.0kN/m (3.17)

Através das tabelas de Caquot–Kérisel, conclui-se que, para φ = 24.79o ≃ 25o, δ = 23φ,

i = 0 e β = 90o:

Kpd = 3.7 (3.18)

KpHd = 3.55 (3.19)

KpV d = 1.03 (3.20)

o que, considerando um factor de minoração de 3, conduz a

IpHd =1

3γG

1

2KpHdγ1h

2 =1

31.0 × 1

2× 3.55 × 18 × 1.22 = 15.3kN/m (3.21)

IpV d =1

3γG

1

2KpV dγ1h

2 =1

31.0 × 1

2× 1.03 × 18 × 1.22 = 4.4kN/m (3.22)

O peso da estrutura de suporte é:

Wb = 4 × 1.2 × 24 + 1.8 × 4.8 × 24 +2.2 × 4.8

2× 24 =

= 115.2 + 207.36 + 126.72 = 449.28kN/m (3.23)


Tem-se, assim, que:

Hd = IaHd + IsHd − IpHd = 113.4 + 13.6 − 15.3 = 111.7kN/m (3.24)

e, em condições drenadas,

Sd = (Wb + IaV d + IsV d − IpV d) tgδ2d = (449.28 + 33.0 + 4.0 − 4.4) tg17.35o = 150.6kN/m

(3.25)

Tendo-se que:

111.7kN/m = Hd ≤ Sd = 150.6kN/m (3.26)

está, de acordo com a metodologia do Eurocódigo 7, verificada a segurança, em condições

drenadas.

Por outro lado, a excentricidade de cálculo é

ed =Md

Vd

(3.27)

em que Md é o momento de cálculo no centro da fundação da estrutura de suporte e Vd é a

carga vertical de cálculo:

Md = 115.2 × 0 + 126.72 ×(

2 − 2

3× 2.2

)

− 207.36 ×(

2 − 1.8

2

)

+ 113.4 × 2 +

+ 13.6 × 3 − 33.0 × 2 − 4 × 2 − 15.3 × 1.2

3− 4.4 × 2 = 18.168kNm/m (3.28)

Vd = 449.28 + 33.0 + 4.0 − 4.4 = 481.88kN/m (3.29)

ed =18.168

481.88= 0.038m (3.30)

B′ = B − 2ed = 4 − 2 × 0.038 = 3.924m (3.31)

Considerando um parâmetro α igual a 0.5 vem que a adesão de cálculo cad é:

cad =αcuγcu

=0.5 × 120

1.4= 42.86kPa (3.32)

sendo, portanto, a força de corte na base do muro igual a:

Sd = A′cad = 3.924 × 42.86 = 168.2kN/m (3.33)

Vem, assim:

111.7kN/m = Hd ≤ Sd = 168.2kN/m (3.34)

pelo que está verificada a segurança ao deslizamento, em condições não drenadas.


Metodologias de verificação da segurança através de coeficiente de segurança glo-

bal

Analise-se, agora, o procedimento tradicional, que recorre a coeficientes de segurança glo-

bais. Usa-se a expressão “coeficientes de segurança globais” no plural por se considerar que a

metodologia que agora se analisa, que esteve e, provavelmente, ainda está em prática, utiliza

quase indiferentemente duas definições de coeficiente de segurança global.

De uma forma genérica, pode afirmar-se que um coeficiente de segurança (global) ao des-

lizamento pode ser definido através da relação

Fdesliz =Festab

Finstab(3.35)

em que Festab é o somatório das forças estabilizadores e Finstab é o somatório das forças

instabilizadoras.

A diferença está na definição do que se entende por força estabilizadora e instabilizadora.

Não considerando o efeito do impulso passivo e admitindo um solo puramente friccional, pode

definir-se coeficiente global através de (Matos Fernandes, 1990):

Fdesliz,1 =W tgδb

IaH − IaV tgδb(3.36)

ou

Fdesliz,2 =(W + IaV ) tgδb

IaH(3.37)

em que W é o peso da estrutura de suporte, IaH e IaV são, respectivamente, as componen-

tes horizontal e vertical do impulso activo e δb é o ângulo de atrito entre o solo e a base da

estrutura de suporte. Como se pode ver, os dois coeficientes de segurança variam na forma

como a acção da componente vertical do impulso activo é considerada. Na primeira versão,

considera-se que a acção de um impulso activo é no sentido instabilizante, tendo-se em con-

sequência que a parcela da força de atrito na base da estrutura devida à existência da referida

componente aparece com sinal negativo, em denominador. Na segunda versão a força de atrito

é considerada, de forma independente, como a acção estabilizante (a única, dada a inexistência

de impulso passivo), para a qual contribuem as componentes verticais de todas as forças.

Para evidenciar a influência da escolha da expressão do coeficiente de segurança ao desli-

zamento, considerou-se a estrutura de suporte esquematicamente representada na Figura 3.4

e procedeu-se ao dimensionamento da dimensão B através da metodologia dos coeficientes

de segurança parciais, em função do ângulo de atrito do solo suportado, φ′, admitindo que

o ângulo de atrito do contacto da base do muro com o terreno é δb = 23φ

′ e considerando

um ângulo de atrito solo–estrutura, no tardoz, igual a 0 ou igual a 23φ

′. O solo suportado foi

considerado incoerente e igual ao solo em contacto com a base do muro.

Os resultados da relação B/H obtida para as duas situações analisadas está representada

na Figura 3.5.


B

0.3Bi = 0

90o

H

a

Figura 3.4: Geometria do caso de estudo.

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

25 30 35 40 45 1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

B/H

F des

lizφ’ (o)

B/H: δ=0B/H: δ=2/3 φ’Fdesliz,1=Fdesliz,2: δ=0Fdesliz,1: δ=2/3 φ’Fdesliz,2: δ=2/3 φ’

Figura 3.5: Relações B/H e coeficientes de segurança globais ao deslizamento obtidos.

A análise desta Figura permite obter, para as duas situações analisadas, os valores de

B/H que verificam a segurança, usando a metodologia de coeficientes de segurança parciais

do Eurocódigo 7, em função do ângulo de atrito do terreno. Para os valores de B/H obtidos,

foram depois calculados os coeficientes de segurança globais ao deslizamento, que também se

representam na referida Figura. Da sua análise pode concluir-se que:

• conforme seria de esperar, as três formas de verificação da segurança analisadas não são

coincidentes;

• os dois coeficientes de segurança globais analisados conduzem a resultados consideravel-

mente diferentes; os resultados são, naturalmente, idênticos para δ = 0;

• o coeficiente Fdesliz,1 assume valores consideravelmente mais elevados do que o coeficiente

Fdesliz,2, assim como mais variáveis; o dimensionamento com Fdesliz,1 igual a 1.5 conduz,

assim, a um nível de segurança inferior àquele que se obtém com Fdesliz,2 = 1.5;

• a utilização dos coeficientes de segurança parciais resulta num ligeiro acréscimo de se-

gurança relativamente a Fdesliz,2 = 1.5.


3.3.3 Verificação da segurança em relação ao derrubamento


Considere-se a estrutura de suporte representada na Figura 3.6. Admitindo a possibilidade

de rotação da estrutura em torno do ponto O, há que garantir que os momentos instabilizadores

de cálculo em relação a este ponto são inferiores ou iguais aos momentos estabilizadores de

cálculo, ou seja, que se verifica a inequação:

Minstab,d ≤Mestab,d (3.38)

δ

Fa

Ia

Iph

h/3

O

H

B

H/3

aWb

Figura 3.6: Verificação da segurança ao derrubamento de uma estrutura de suporte rígida.

No exemplo da Figura, o momento instabilizador de cálculo é dado por:

Minstab,d = IaHd ×H

3− IaV d ×B − Ipd ×

h

3(3.39)

e o momento estabilizador de cálculo é:

Mestab,d = Wb × a (3.40)


Prosseguindo o exemplo de aplicação a que se refere a Figura 3.3, tem-se que o momento

instabilizador de cálculo é:

Minstab,d = IaHd ×6

3− IaV d × 4 + IsHd ×

6

2− IsV d × 4 − IpHd ×

1.2

3=

= 113.4 × 6

3− 33.0 × 4 + 13.6 × 6

2− 4.0 × 4 − 15.3 × 1.2

3= (3.41)

= 113.48kNm/m

Por outro lado, o momento estabilizador de cálculo é:

Mestab,d = 115.2× 2 + 126.72× 2

3× (4 − 1.8) + 207.36×

(

4 − 1.8

2

)

= 1059.07kNm/m (3.42)


Constata-se, assim, que:

Minstab,d = 113.48kNm/m ≤ 1059.07kNm/m = Mestab,d (3.43)

pelo que se conclui estar verificada a segurança.


bal

De acordo com o procedimento tradicional, a avaliação da segurança é feita através de um

coeficiente de segurança global (ver Figura 3.4), definido como:

Fderrub =Mestab

Minstab(3.44)

em que Mestab é o somatório dos momentos estabilizadores e Minstab é o somatório dos mo-

mentos instabilizadores.

Tal como realizado a propósito do deslizamento, poderá definir-se coeficiente de segurança

ao derrubamento através de (Matos Fernandes, 1990):

Fderrub,1 =W × a

IaH × H3 − IaV ×B

(3.45)

ou

Fderrub,2 =W × a+ IaV ×B

IaH × H3

(3.46)

A Figura 3.7 apresenta os valores mínimos da relação B/H que verificam a segurança,

usando a metodologia dos coeficientes de segurança parciais, para as duas situações analisadas

(δ = 0 e δ = 23φ

′).

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

25 30 35 40 45 1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

1.45

1.5

1.55

B/H

F der

rub

φ’ (o)

B/H: δ=0B/H: δ=2/3 φ’Fderrub,1=Fderrub,2: δ=0Fderrub,1: δ=2/3 φ’Fderrub,2: δ=2/3 φ’

Figura 3.7: Relações B/H e coeficientes de segurança globais ao derrubamento obtidos.


Na mesma Figura apresenta-se igualmente os resultados dos dois coeficientes de segurança

globais apresentados. A análise desta Figura permite concluir que:

• as três formas de verificação da segurança não são coincidentes;

• os dois coeficientes de segurança globais analisados conduzem a resultados consideravel-

mente diferentes; os resultados são, naturalmente, idênticos para δ = 0;

• o coeficiente Fderrub,1 assume valores consideravelmente mais elevados do que o coefici-

ente Fderrub,2, apesar de menos variáveis; o dimensionamento com Fderrub,1 igual a 1.5

conduz, assim, a um nível de segurança inferior àquele que se obtém com Fdesliz,2 = 1.5;

• a utilização dos coeficientes de segurança parciais resulta, para os valores mais correntes

do ângulo de atrito, num ligeiro decréscimo do nível de segurança, para δ = 23φ

′ e num

decréscimo um pouco mais significativo para a situação de δ = 0.

3.3.4 Verificação da segurança em relação à rotura da fundação


Não cabe no âmbito deste texto a apresentação detalhada da metodologia de verificação

da segurança em relação à rotura da fundação, uma vez que este assunto foi já abordado

na disciplina de Fundações. Apresenta-se, assim, apenas uma abordagem muito breve deste

assunto, focando apenas os aspectos essenciais.

Para a verificação da segurança em relação à rotura da fundação usando a metodologia

dos coeficientes de segurança parciais, há que determinar as acções de cálculo, ou seja, Vd,

Hd e Md, respectivamente as cargas vertical, horizontal e momento de cálculo (calculado no

centro da fundação).

No caso da Figura 3.8 estas cargas podem ser determinadas a partir de:

Vd = W + IaV d + IsV d (3.47)

Hd = IaHd + IsHd − Ipd (3.48)

Md = IaHd ×H

3− IaV d ×

B

2+ IsHd ×

H

2− Ipd ×

h

3−W × b (3.49)

A partir dos parâmetros de resistência de cálculo e da utilização de uma formulação de

capacidade de carga de fundações (o Eurocódigo 7 sugere uma formulação) estima-se a tensão

resistente de cálculo, q′rd.

Sendo B′ a largura efectiva da fundação (igual a B−2ed), a verificação da segurança exige

o respeito pela inequação:

Vd ≤ Rd = B′qrd (3.50)


δ

Ia

Iph

h/3

H

B

B′

H/3

b

2e

Wb

Figura 3.8: Verificação da segurança ao derrubamento de uma estrutura de suporte rígida.


Conforme se viu na secção 3.3.2, a acção de cálculo é:

Vd = 481.88kN/m (3.51)

Hd = 111.7kN/m (3.52)

Md = 18.168kN/m (3.53)

sendo a excentricidade de cálculo:

ed = 0.038m (3.54)

e a largura efectiva:

B′ = B − 2e = 3.924m (3.55)

Atendendo à Figura 3.3, a capacidade de carga de cálculo da fundação da estrutura de

suporte deve ser determinada através dos parâmetros de resistência de cálculo φ′2d e c′2d (em

condições drenadas) e cud (em condições não drenadas).

Usando a formulação de capacidade de carga sugerida no Eurocódigo 7, a tensão resistente

de cálculo, em condições drenadas, pode ser determinada a partir de:

qrd =1

2γB′Nγiγ + c′2dNcic + qNqiq (3.56)

em que Nγ = 11.58, Nc = 23.18, Nq = 12.59, iγ = 0.4734, ic = 0.5704, iq = 0.6045, o que

conduz, portanto, a:

qrd = 420.5kPa (3.57)

A verificação da segurança implica que:

Vd = 481.88kN/m ≤ 420.5 × 3.924 = 1650kN/m (3.58)

concluindo-se que está verificada a segurança em condições drenadas.


Em condições não drenadas, a tensão resistente de cálculo é:

qrd = 5.14cudic + q (3.59)

pelo que, sendo ic = 0.7898, se obtém:

qrd = 370kPa (3.60)

Dado que

Vd = 481.88kN/m ≤ 370 × 3.924 = 1452kN/m (3.61)

constata-se que está verificada a segurança da fundação em condições não drenadas.


bal

Não cabe no âmbito deste texto a comparação entre metodologias de verificação de segu-

rança com coeficientes de segurança parciais e global. Tal como anteriormente, no entanto,

procedeu-se também à determinação da relação B/H da estrutura de suporte apresentada na

Figura 3.4 que verifica a segurança, usando a metodologia de determinação da capacidade de

carga proposta pelo Eurocódigo 7.

Os resultados obtidos são apresentados na Figura 3.9, para as duas situações analisadas

(δ = 0 e δ = 23φ

′).

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

25 30 35 40 45

B/H

φ’ (o)

B/H: δ=0B/H: δ=2/3 φ’

Figura 3.9: Relações B/H que verificam a segurança pela formulação do Eurocódigo 7.

3.3.5 Observações

Tendo-se determinado as relações B/H que verificam a segurança através da metodolo-

gia dos coeficientes de segurança parciais, pode verificar-se qual dos aspectos estudados —


deslizamento, derrubamento e fundação — condicionam o dimensionamento do muro.

As Figuras 3.10 e 3.11 mostram os resultados da referida relação obtidos para cada uma

das verificações e para δ = 0 e δ = 23φ

′, respectivamente.

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

25 30 35 40 45

B/H

φ’ (o)

DeslizamentoDerrubamento

Fundação

Figura 3.10: Relações B/H relativas ao dimensionamento considerando o deslizamento, der-rubamento e rotura da fundação da estrutura de suporte analisada, para δ = 0.

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

25 30 35 40 45

B/H

φ’ (o)

DeslizamentoDerrubamento

Fundação

Figura 3.11: Relações B/H relativas ao dimensionamento considerando o deslizamento, der-rubamento e rotura da fundação da estrutura de suporte analisada, para δ = 2

3φ′.

A análise destas Figuras permite constatar que:

• a verificação da segurança ao derrubamento nunca é condicionante das dimensões da

estrutura de suporte, para as situações analisadas (apenas o seria para ângulos de atrito

base do muro – solo muito elevados);

• as verificações condicionantes são, assim, o deslizamento e a rotura da fundação que,

aliás, fornecem, nos casos estudados, valores similares das relações B/H.


3.4 Casos particulares do dimensionamento de estruturas de

suporte (baseado em Matos Fernandes (1990))

Conforme se viu anteriormente, a verificação ao deslizamento constitui com frequência o

aspecto condicionante do dimensionamento de estruturas de suporte rígidas. Com o objectivo

de melhorar o nível de segurança pode executar-se o muro com base inclinada, conforme ilustra

a Figura 3.12. A inclinação da base reduz a grandeza da projecção do impulso sobre o seu

plano.

Figura 3.12: Inclinação da base do muro, para aumentar a segurança ao deslizamento.

Os muros de alvenaria de pedra ou de gabiões têm muitas vezes o paramento do tardoz

com as irregularidades apresentadas na Figura 3.13.

��

��

δ=φ

Figura 3.13: Muro de alvenaria com paramento de tardoz não rectilíneo.

Nestas situações, para a avaliação do impulso activo, pode substituir-se o paramento real,

irregular, por um paramento fictício, rectilíneo, conforme se assinala na Figura, sendo o ângulo

de atrito solo–estrutura assumido igual ao ângulo de atrito do solo.

No caso de estruturas de suporte de betão ciclópico (não armado) o paramento de tardoz

é frequentemente constituído por dois troços rectilíneos, com diferentes inclinações (Figura

3.14).

O problema pode resolver-se calculando as pressões no paramento AB como se o muro

terminasse em B. Em seguida, calculam-se as pressões como se o paramento do muro fosse

a linha DBC, considerando-se, naturalmente, apenas as que se exercem ao longo de BC.

A metodologia poderia aplicar-se a casos com mais do que dois troços e, eventualmente, a

situações como a que a Figura 3.13 ilustra.


C

D

A

δ

δB

Figura 3.14: Estrutura de suporte com paramento constituído por troços rectilíneos.

Caso o problema, devido à geometria do talude e (ou) à eventual presença de sobrecargas

não tenha solução analítica (Figura 3.15), a solução pode ser obtida começando por calcular

o impulso ao longo de AB, utilizando o método de Coulomb. Em seguida, o mesmo método

é usado, para determinação através do traçado do polígono de forças para diversas superfícies

de deslizamento, com vista à determinação do impulso em BC.

A

B

C

δ W

δ

Figura 3.15: Determinação dos impulsos num muro com tardoz quebrado, pelo método deCoulomb.

Os muros “em L” (ou “em T invertido”), devido ao facto de não possuírem uma superfície

de tardoz claramente identificável na qual se possam calcular os impulsos de terras, podem ser

classicamente calculados considerando a metodologia de Rankine e o processo sugerido pela

Figura 3.16(a).

W H=6 m

B=?

0.4m

0.6m

Wb1

Wb2

Ia

(a) Rankine

W H=6 m

B=?

0.4m

0.6m

δWb1 Ia

Wb2

(b) Coulomb (I)

H=6 m

0.4m

0.6m

W

δ=φ

B

Wb1

Ia

Wb2

(c) Coulomb (II)

Figura 3.16: Determinação de impulsos sobre muro “em L”


De acordo com este processo, os impulsos sobre estas estruturas, para a verificação do

deslizamento e do derrubamento, são determinados assumindo que os impulsos de Rankine

são aplicados num paramento imaginário, vertical, conforme indicado na referida Figura.

Considerando a estrutura representada na Figura 3.16(a), procedeu-se à determinação da

largura B que, utilizando a metodologia de segurança proposta no Eurocódigo 7, verifica a

segurança em relação ao deslizamento. Admitiu-se, conforme sugerido pela figura, o mesmo

solo no tardoz da estrutura e na base da fundação. Os cálculos foram realizados para dois

solos, com ângulo de atrito igual a 30o e 35o e peso volúmico igual a 18kN/m3. O ângulo de

atrito solo-estrutura (para avaliação da força de atrito na base do muro) foi admitido igual a23φ. Os resultados obtidos são:

• para φ = 30o: B = 4.02 m;

• para φ = 35o: B = 2.74 m.

Admitindo agora a mesma superfície vertical mas a utilização da teoria de Coulomb para o

cálculo de impulsos (ver Figura 3.16(b)) obtém-se para a largura B um valor consideravelmente

menor (B = 2.79 m para φ = 30o).

Considere-se agora que a superfície que delimita o terreno que “acompanha” a estrutura

de suporte no seu movimento não é vertical mas sim inclinada, com a inclinação sugerida pela

Figura 3.16(c). Para esta situação, a determinação da largura B necessária para a verificação

da segurança não é tão simples como nos casos anteriores e obriga a um processo iterativo

(uma vez que diferentes valores de B conduzem a diferentes valores da inclinação da referida

superfície e, consequentemente, a diferentes valores dos impulsos de terras). Para evitar tal

processo iterativo, optou-se por usar os valores de B determinados a partir do método sugerido

pela Figura 3.16(a) e verificar a segurança para o caso indicado pela Figura 3.16(c).

Constata-se, assim, que:

• para φ = 30o e B = 4.02 m: Hd = 132.5kN/m ≤ 137.7kN/m = Sd;

• para φ = 35o e B = 2.74 m: Hd = 108.2kN/m ≤ 117.4kN/m = Sd.

A análise destes valores permite concluir que, sendo os valores das acções de cálculo consi-

deravelmente próximos dos valores das resistências de cálculo, tem-se que os resultados obtidos

pelas metodologias apresentadas na Figuras 3.16(a) e (c) são, para as situações analisadas,

bastante semelhantes.

Admitindo que a metodologia sugerida pela Figura 3.16(c) (superfície inclinada) é mais

realista, pode-se concluir que o método que admite a superfície vertical e considera a determi-

nação dos impulsos através da teoria de Coulomb (Figura 3.16(b)) conduz a resultados contra

a segurança, pelo que não deverá ser utilizado.

Retome-se, então, a metodologia indicada na Figura 3.16(c). Apesar de a cunha de solo

que aí se representa e que se considera que acompanha a estrutura de suporte, contribuindo


directamente com o seu peso para a sua estabilidade parecer adequada, nada obriga, no en-

tanto, a que essa cunha seja exactamente a que aí se encontra representada. Com efeito,

compreender-se-á que a altura da cunha possa ser significativamente afectada pelo próprio

valor de B, podendo a metodologia de cálculo mais adequada ser mais próxima da que se

apresenta na Figura 3.17.

H

W

B

δ=φ

δ

δ

IaWb1

Wb2

Figura 3.17: Determinação de impulsos de terras em muros em “L” (Matos Fernandes, 1990).

Tal como referido por Matos Fernandes (1990), parece adequado procurar-se a cunha que

maximiza o impulso aplicado na estrutura de suporte, sendo os impulsos de terras sobre a

estrutura determinados através da metodologia indicada nas Figuras 3.14 e 3.14.

A verificação da capacidade de carga de fundações superficiais sujeitas a cargas excêntricas

é realizada da forma anteriormente apresentada na secção 3.3.4, através da determinação de

uma largura efectiva da fundação, B′, igual a B − 2e. Esta metodologia pode ser usada para

qualquer valor da excentricidade, e, desde que inferior a B2 . No entanto, não é conveniente

que as fundações em geral (e, em particular, as fundações das estruturas de suporte) este-

jam sujeitas a cargas com excentricidades elevadas (no que respeita a combinações de cargas

frequentes), uma vez que tais excentricidades, em especial nos casos de solos de fundações

razoavelmente deformáveis, têm como consequência rotações da estrutura de suporte que irão,

por sua vez, agravar a excentricidade, podendo este processo conduzir à rotura.

Por esse motivo, é frequente procurar limitar-se a excentricidade da carga aos valores

indicados na Figura 3.18, correspondente ao núcleo central da secção da base da estrutura de

suporte.

e<B/6

Figura 3.18: Limitação da excentricidade em estruturas de suporte.


3.5 Drenagem

A existência de uma toalha freática no maciço suportado é altamente desfavorável, uma vez

que agrava substancialmente o impulso total. Muitos acidentes envolvendo muros de suporte

estão, aliás, relacionados com a acumulação de água no solo contido.

A construção de sistemas de drenagem eficientes é um aspecto de fundamental importância

para o comportamento adequado de estruturas de suporte. A escolha do sistema mais ade-

quado depende sobretudo da permeabilidade do terreno suportado pela estrutura de suporte.

Em solos muito permeáveis, é suficiente a construção de boeiros, se não houver inconveni-

ente em que a água seja drenada para a frente do muro, e um dreno longitudinal (Figura 3.19(a)

e (b)). A escolha do diâmetro e do afastamento dos boeiros deve ter em atenção a necessidade

de escoar o caudal que aflui à estrutura. O dreno longitudinal é constituído por tubo furado

na zona superior e funciona como caleira na zona inferior, conduzindo a água por gravidade.

Deverão ser envolvidos por material de filtro constituído por material granular ou geotêxtil,

para impedir a colmatação e o arraste de partículas.

Figura 3.19: Dispositivos de drenagem (adaptado de Brito (1988)).

No caso de solos menos permeáveis, para além dos dispositivos já indicados, devem ser

colocadas faixas drenantes verticais (Figura 3.19(c) e (d)), havendo, nos solos finos que instalar

tapete drenante subvertical ou inclinado (Figura 3.19(e) e (f)).


3.6 O Eurocódigo 7. Comentários

Sendo o Eurocódigo 7, actualmente, a referência para a verificação da segurança das es-

truturas geotécnicas, tem interesse analisar e comentar alguns aspectos deste código.

No que respeita à determinação dos impulsos sobre uma estrutura, pode ler-se no Eurocó-

digo 7 que:

2.4.2(17) – Na determinação dos valores de cálculo das pressões de terras para

o Caso B(...)

Todos os valores característicos das pressões permanentes de terras, em ambos

os lados da estrutura de suporte, são multiplicados por 1.35, se o efeito da acção

total for desfavorável, ou por 1.00, se o efeito resultante da acção total é favorável

(...)

Isto significa que, numa estrutura de suporte, se calculada admitindo o caso B, há que de-

terminar previamente se a resultante é favorável ou desfavorável e, no caso de ser desfavorável,

a diferença das forças (ou, o que é equivalente, cada uma delas) deve ser multiplicada por 1.35.

No entanto, a propósito da verificação da segurança ao deslizamento o mesmo Eurocódigo 7

afirma:

6.5.3. Rotura por deslizamento

(2) Para a verificação da segurança ao deslizamento de uma fundação com base

horizontal deve verificar-se a inequação:

Hd ≤ Sd + Epd (3.62)

onde:

• Hd é o valor de cálculo da componente horizontal da carga incluindo o valor

de cálculo dos impulsos activos;

• Sd é o valor de cálculo da resistência ao deslizamento entre o terreno e a

fundação;

• Epd é o valor de cálculo da resistência passiva do terreno na zona lateral da

fundação que pode ser mobilizada com um deslocamento apropriado a este

estado limite e se mantém mobilizável ao longo da vida da estrutura.

A comparação desta citação com a anterior aparenta evidenciar uma incompatibilidade,

uma vez que a força Epd, correspondente ao impulso passivo de cálculo, aparece na inequação

do lado direito, como força resistente, ao passo que a citação anterior chamava a atenção para

a necessidade de se considerar a diferença das duas forças, sugerindo, portanto, que o impulso

passivo devesse ser considerado uma força actuante, com sinal negativo.


Na realidade, no entanto, esta incompatibilidade acaba, na prática, por não ter qualquer

efeito, uma vez que a verificação da segurança ao deslizamento a verificação a realizar corres-

ponde ao caso C, em que os referidos coeficientes são unitários, sendo portanto indiferente se

o impulso passivo de cálculo é considerado positivo do lado das resistências ou negativo do

lado das acções.

Chama-se ainda a atenção para a parte final da citação, em que o Eurocódigo 7 prevê a

hipótese de um factor minorativo do impulso passivo, para ter em atenção a ocorrência de um

nível de deslocamentos compatível com o funcionamento da estrutura, ou até de se desprezar

o impulso passivo, caso se considere que, durante vida da estrutura, a sua mobilização poderá,

em algum momento, ser comprometida.

Considere-se, ainda a propósito da verificação da estrutura de suporte ao deslizamento, a

seguinte citação do EC7:

6.5.3.(4) – Para fundações de base inclinada deve adoptar-se uma condição

análoga à inequação (3.62).

(8) O valor de cálculo do ângulo de atrito, δd, pode ser considerado igual ao

valor de cálculo do ângulo de atrito interno, φ′d, para fundações betonadas contra

o terreno e igual a 23φ

′d para fundações pré-fabricadas com superfície de contacto

com o terreno de baixa rugosidade. É aconselhável desprezar a coesão efectiva, c′.

(9) Para condições não drenadas o valor de cálculo da resistência ao desliza-

mento, Sd, deve, em geral, ser limitado por:

Sd = A′cu (3.63)

onde A′ é a área da base efectiva (...); cu é a resistência não drenada.

Sobre esta parte do EC7 fazem-se os seguintes comentários:

• a primeira frase da citação chama a atenção para o facto de a expressão utilizada na

inequação (3.62) admitir a base horizontal (o próprio símbolo usado para a acção de

cálculo, Hd, o sugere); no caso de a base ser inclinada, a verificação da segurança é,

naturalmente, feita na direcção da base, pelo que há que calcular as forças segundo essa

direcção;

• o ponto (8) da citação sugere que os ângulos de atrito entre o solo e a estrutura sejam

iguais ao ângulo de atrito do solo no caso de base betonada contra o terreno; no entanto, a

consideração de tal hipótese não é habitual na prática corrente em Portugal, admitindo-

se dificilmente que possam ser usados coeficientes de atrito entre o solo e a estrutura

superiores a 90% do ângulo de atrito do solo (a menos, claro, dos contactos solo-solo);

• o mesmo ponto sugere que a coesão efectiva deva ser desprezada no cálculo da força

de corte que se desenvolve na base de estruturas de suporte, sugestão que se considera

aceitável;


• parece razoável a utilização da área efectiva – sugerida no ponto (9) – para o cálculo da

força de corte na base; julga-se no entanto que a referência à resistência não drenada

deva ser, com vantagem, substituída pela de adesão de cálculo; com efeito, tratando-se de

avaliar uma força resistente, parece mais razoável que o valor do parâmetro de resistência

que é usado no cálculo seja um valor de cálculo, isto é, afectado dos coeficientes parciais

que minoram as propriedades resistentes; por outro lado, o parâmetro que deve estar

presente na referida expressão é a adesão, isto é a tensão tangencial resistente no contacto

do solo com a estrutura, que em alguns casos (argilas moles a médias) é igual à resistência

não drenada mas, noutros, assume valores diferentes daquele parâmetro.

Faz-se, finalmente, uma breve referência ao Anexo G do Eurocódigo 7. Neste anexo são

apresentados alguns gráficos para a obtenção de coeficientes de impulsos. A metodologia

numérica sugerida pelo referido anexo, como alternativa à consulta dos gráficos, fornece valores

dos coeficientes de impulso que podem ser consideravelmente conservativos.

Capítulo 4

Estruturas de contenção flexíveis:

cortinas autoportantes e

mono-apoiadas

4.1 Introdução

As estruturas de suporte analisadas nos capítulos anteriores são estruturas rígidas. Com

efeito, os movimentos a que estão sujeitos são, sobretudo, movimentos de corpo rígido e as

pressões de terras que neles se desenvolvem puderam ser determinadas por diversas teorias de

cálculos de impulsos.

Isto significa que os impulsos de terras foram calculados independentemente da estrutura de

suporte, uma vez que o aspecto que condiciona a determinação desses impulsos é a ocorrência

do referido deslocamento de corpo rígido.

Há, no entanto, estruturas de suporte que não podem ser consideradas rígidas. Estas

estruturas, habitualmente designadas genericamente por “estruturas de suporte flexíveis”, são

aquelas que experimentam em serviço deformações por flexão susceptíveis de condicionar a

grandeza e a distribuição das pressões de terras que actuam sobre elas e, logo, dos esforços para

que são dimensionadas (Terzaghi, 1943). Assim, a deformabilidade da estrutura de suporte

altera o diagrama de pressões, o que modifica os esforços e novamente as deformações da

estrutura. Nestes casos, o problema em causa é de interacção solo-estrutura.

Refere-se ainda que a grandeza e distribuição das pressões de terras dependem, para além

da deformabilidade da cortina, das suas condições de apoio (posição e rigidez de escoras e

ancoragens) e, como se verá, do estado de tensão inicial do terreno.

No que respeita ao procedimento construtivo, as cortinas de contenção flexíveis podem

ser de diversos tipos: estacas-pranchas, paredes moldadas, paredes de estacas, paredes tipo

Berlim, etc. No que respeita à forma como é assegurada a estabilidade (e, portanto, no que

respeita também ao tipo de dimensionamento realizado) podem ser:

85

86 Capítulo 4. Estruturas de contenção flexíveis: cortinas autoportantes e mono-apoiadas

• simplesmente encastradas, ou auto-portantes (Figura 4.1(a));

• mono-apoiadas – mono-ancoradas ou mono-escoradas (Figura 4.1(b));

• multi-apoiadas – multi-ancoradas ou multi-escoradas (Figura 4.1(c)).

(a) Auto-portante (b) Mono-apoiada (c) Multi-apoiada

Figura 4.1: Tipos de estruturas de suporte flexíveis.

4.2 Dimensionamento de cortinas simplesmente encastradas ou

auto-portantes

4.2.1 Descrição do método de cálculo

Considere-se a estrutura de suporte simplesmente encastrada esquematicamente represen-

tada na Figura 4.2. Para o dimensionamento deste tipo de estrutura, admite-se que do lado do

terreno suportado se desenvolvem impulsos activos e, do lado da escavação, impulsos passivos

(ver Figura 4.2 à esquerda).

f0

f = 1.2f0

R

O

Figura 4.2: Dimensionamento de cortinas simplesmente encastradas (ou auto-portantes.

Para o cálculo de impulsos é habitualmente usada a teoria de Rankine. A determinação

destes impulsos e o respeito pelas condições de equilíbrio permite escrever a equação:

∑

MO = 0 (4.1)

que tem f0 como incógnita. O coeficiente de segurança pode ser considerado, tradicionalmente,

aplicado ao impulso passivo ou, de acordo com o Eurocódigo 7, o cálculo pode ser realizado

Capítulo 4. Estruturas de contenção flexíveis: cortinas autoportantes e mono-apoiadas 87

através de coeficientes de segurança parciais. O valor de f0 assim obtido é, portanto, o valor

de cálculo.

Uma vez conhecido f0, a equação de equilíbrio de forças horizontais conduz a um valor de

R com a direcção indicada na Figura 4.2 à direita e que é designada como “contra-impulso

passivo”.

A materialização da possibilidade de mobilização desta força implica, necessariamente, o

prolongamento da altura enterrada f0 para um valor f que, do lado da segurança, se considera

habitualmente igual a 1.2f0. Note-se que este coeficiente de 1.2 não é um coeficiente de

segurança. A sua aplicação tem implícita a necessidade de mobilização no pé da cortina

do referido “contra-impulso passivo”, pelo que não está relacionado com qualquer noção de

segurança (a não ser, naturalmente, pelo facto de ser superior ao estritamente necessário).

O diagrama de momentos flectores tem a configuração também esquematicamente repre-

sentada na Figura 4.2. Com base neste diagrama pode, assim, proceder-se ao dimensionamento

da cortina.

Apesar de, na maior parte das situações, se recorrer à teoria de Rankine para o cálculo

de impulsos, pode, naturalmente, querer considerar-se, na avaliação dos impulsos de terras, o

atrito solo–estrutura, pelo que outras teorias de cálculo de impulsos, como a de Coulomb ou

a de Caquot–Kérisel poderão ser usadas.

4.2.2 Exemplo de cálculo

Considere-se a estrutura de suporte simplesmente encastrada esquematicamente represen-

tada na Figura 4.3. O solo é uma areia com φ′ = 30o, γh = 18kN/m3 e γsat = 20kN/m3.

f0f

O

x

H1 = 4m

H2 = 2m

Ia1d

Ia2d

Ia3dIpd

Figura 4.3: Exemplo de cálculo de uma cortina de contenção auto-portante.

Usando o caso C do Eurocódigo 7 e a teoria de Rankine para o cálculo de impulsos, tem-se

que:

φ′d = 24.79o; Kad = 0.409; Kpd = 2.445 (4.2)


sendo os impulsos:

Ia1d =1

2KadγhH

21 =

1

2× 0.409 × 18 × 42 = 58.9kN/m (4.3)

Ia2d = KadγhH1 (H2 + f0) = 0.409 × 18 × 4 × (2 + f0) = 29.448 (2 + f0) (4.4)

Ia3d =1

2Kadγ

′ (H2 + f0)2 =

1

2× 0.409 × 10 × (2 + f0)

2 = 2.045 (2 + f0)2 (4.5)

Ipd =1

2Kpdγ

′f20 =

1

2× 2.445 × 10 × f2

0 = 12.225f20 (4.6)

A equação de equilíbrio de momentos em relação ao ponto O conduz a:

∑

M0 = 0 ⇒ 58.9 ×(

1

3+ f0

)

+ 29.448 (2 + f0)2 + f0

2+ 2.045 (2 + f0)

2 2 + f0

3

− 12.225f20

f0

3= 0 ⇒ f0 = 10.02m (4.7)

o que resulta em:

f = 1.2f0 = 1.2 × 10.02 = 12.02m (4.8)

Sento frequentemente este tipo de estrutura associada à utilização de estacas-pranchas

metálicas, é habitual pretender-se, simplesmente, determinar o momento máximo, em lugar

do diagrama de momentos que seria preferível obter se se tratasse de uma estrutura de betão

armado. A determinação do ponto em que o momento flector é máximo pode ser feita através

da procura do ponto em que o esforço transverso é nulo. Este ponto localiza-se à distância

x da superfície do terreno do lado passivo, conforme se poderá concluir da observação da

Figura 4.3.

A equação de esforço transverso nulo conduz a:

VSd = 0 ⇒ 58.9 + 29.448(2 + x) + 2.045(2 + x)2 − 12.225x2 = 0 ⇒ x = 5.82m (4.9)

e o momento máximo é:

MmaxSd = 58.9

(

4

3+ 2 + x

)

+29.448(2+x)2 + x

2+2.045(2+x)2

2 + x

3−12.225x2 x

3= 962kNm/m

(4.10)

A verificação da segurança obriga a queMRd ≥MSd pelo que, considerando-se uma cortina

de estacas-pranchas de aço S235 ter-se-á, aplicando o Eurocódigo 3, que:

MRd ≥MSd ⇒ W × 235 × 103

1.1⇒W ≥ 4504 × 10−6m3/m (4.11)

Aplicando o caso B:

φ′d = 30o; Kad =1

3; Kpd = 3 (4.12)

sendo os impulsos:

Ia1d = 1.351

2KadγhH

21 = 1.35 × 1

2× 1

3× 18 × 42 = 64.8kN/m (4.13)


Ia2d = 1.35KadγhH1 (H2 + f0) = 1.35 × 1

3× 18 × 4 × (2 + f0) = 32.4 (2 + f0) (4.14)

Ia3d = 1.351

2Kadγ

′ (H2 + f0)2 = 1.35 × 1

2× 1

3× 10 × (2 + f0)

2 = 2.25 (2 + f0)2(4.15)

Ipd = 1.351

2Kpdγ

′f20 = 1.35 × 1

2× 3 × 10 × f2

0 = 20.25f20 (4.16)

A equação de equilíbrio de momentos em relação ao ponto O conduz a:

∑

M0 = 0 ⇒ 64.8 ×(

1

3+ f0

)

+ 32.4 (2 + f0)2 + f0

2+ 2.25 (2 + f0)

2 2 + f0

3

− 20.25f20

f0

3= 0 ⇒ f0 = 7.43m (4.17)

o que resulta em:

f = 1.2f0 = 1.2 × 7.43 = 8.92m (4.18)

A equação de esforço transverso nulo conduz a:

VSd = 0 ⇒ 64.8 + 32.4(2 + x) + 2.25(2 + x)2 − 20.25x2 = 0 ⇒ x = 4.15m (4.19)

e o momento máximo é:

MmaxSd = 64.8

(

4

3+ 2 + x

)

+ 32.4(2 + x)2 + x

2+ 2.25(2 + x)2

2 + x

3− 20.25x2 x

3= 790kNm/m

(4.20)

Verifica-se assim que o dimensionamento estrutural através do caso C é mais condicionante,

para a situação analisada, do que através do caso B. Ver-se-á que esta situação, nas estruturas

de suporte flexíveis, constitui a norma.

4.2.3 Metodologia de verificação da segurança através de coeficiente de

segurança global

A metodologia de verificação da segurança através de coeficientes de segurança parciais é

aplicada, conforme se viu, através da determinação de impulsos de cálculo, determinados com

parâmetros de resistência minorados e coeficientes de segurança aplicados às cargas perma-

nentes e às cargas variáveis.

A metodologia de verificação da segurança tradicional, no caso das cortinas simplesmente

encastradas (ou auto-portantes) corresponde à aplicação de um coeficiente global (tomado

igual a 1.5) aplicado ao impulso passivo. Procura-se agora comparar as duas metodologias de

segurança, assim como os resultados obtidos pelos casos B e C do Eurocódigo 7.

Para tal, considerou-se o caso de estudo que se representa na Figura 4.4, correspondente

a uma cortina auto-portante em meio arenoso, e procedeu-se à determinação das relações f0

h

e MSd

γh3 para diferentes valores do ângulo de atrito, φ′.

Os resultados de f0

hsão apresentados na Figura 4.5 e os de MSd

γh3 constam da Figura 4.6.


f0

h

Figura 4.4: Caso de estudo para a comparação das metodologias de segurança.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

20 25 30 35 40 45 50

f 0/h

φ’ (º)

Caso BCaso C

Fglob=1.5

Figura 4.5: Comparação entre as relações f0

hobtidas por diversas metodologias de verificação

da segurança (os valores de fh

podem ser obtidos multiplicando os de f0

hpor 1.2.

A análise destas Figuras permite tirar as seguintes conclusões:

• entre os dois casos do Eurocódigo 7 considerados, o caso C é o condicionante no que

respeita à determinação da altura enterrada; este resultado não surpreende dado que o

caso B, nas situações em que não haja cargas variáveis (como o caso em análise), não

considera qualquer coeficiente de segurança para a determinação da geometria de uma

cortina de contenção;

• ainda no que respeita à altura enterrada, o caso C fornece resultados razoavelmente

próximos da metodologia tradicional que aplica um coeficiente de segurança global ao

impulso passivo; os resultados são praticamente idênticos para φ′ = 30o e são mais

conservativos no caso da metodologia tradicional para ângulos de atrito inferiores a este

e ligeiramente menos conservativos para ângulos superiores;

• os resultados dos momentos flectores mostram-se bastante semelhantes para os casos B e

C; os resultados do caso C conduzem, no entanto, a valores ligeiramente mais elevados dos

momentos, pelo que este se torna também o caso condicionante para o dimensionamento

estrutural;


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

20 25 30 35 40 45 50

MS

d/γ/

h3

φ’ (º)

Caso BCaso C

Fglob=1.5Fglob=1.5; MSd=1.35M

Figura 4.6: Comparação entre as relações MSd

γh3 obtidas por diversas metodologias de verificaçãoda segurança

• a adopção de um coeficiente de segurança global afectando os impulsos passivos inclui,

por si só, uma majoração de momentos; se se considerarem estes momentos como os de

dimensionamento (indicados na Figura 4.6 com “Fglob = 1.5”), os resultados obtidos são

menos conservativos do que os obtidos com o caso C; se aos momentos obtidos se aplicar

ainda um coeficiente de 1.35 para o dimensionamento estrutural, obtêm-se resultados

ligeiramente mais conservativos para φ′ = 30o e muito próximos dos do caso C para

ângulos superiores a este; para ângulos inferiores os resultados são consideravelmente

mais conservativos.

4.2.4 Verificação numérica do cálculo de cortinas auto-portantes

Para a verificação numérica do cálculo de cortinas auto-portantes considerou-se o caso

de estudo esquematicamente representado na Figura 4.4 para a situação de γ = 20kN/m3,

φ′ = 30o e h = 4 m. A parede tem a rigidez à flexão de uma parede de betão armado com

0.4m de espessura.

Usando o caso C do Eurocódigo 7, obtém-se f0 = 4.91m, o que conduz a f = 1.2f0 = 1.2×4.91 = 5.89m, tendo-se, portanto, que a altura total da cortina éH = h+f = 4+5.89 = 9.89m,

aproximadamente igual a 10m, que foi o valor considerado.

Usou-se, assim, a malha de elementos finitos que se apresenta na Figura 4.7 e procedeu-se

à simulação da escavação, correspondente ao cálculo 4.1.

A Figura 4.8 mostra os resultados dos deslocamentos da cortina obtidos através do cálculo

por elementos finitos.

A análise destes resultados permite verificar que:


0. 10. 20. 30. 40. 50. 60.

0.

5.

10.

15.

Figura 4.7: Cálculo 4.1: malha de elementos finitos para h=4m.

• os deslocamentos são bastante significativos, quando a escavação atinge 4m; tal facto é

inerente à própria solução de cortina auto-portante, que não é particularmente adequada

a situações em que se pretenda minimizar os deslocamentos;

• a modelação da escavação pôde prosseguir para os 4.5m de profundidadem tendo-se

verificado um importante acréscimo de deslocamentos, mas tendo-se ainda obtido a con-

vergência do cálculo; este facto é devido à utilização, no dimensionamento da estrutura,

de coeficientes de segurança; a escavação pode, assim, atingir profundidades superiores

às de dimensionamento sem que se verifique a rotura;

• os elevados deslocamentos obtidos do cálculo quando a escavação atingiu os 5m de pro-

fundidade são bem demonstrativos da situação para esta profundidade: o cálculo não

convergiu.

Constata-se, assim, que a rotura foi obtida quando a escavação realizada passou de 4.5m de

profundidade para 5.0m. Para verificar este valor, foi averiguar-se, para a cortina de 10m de

altura total, qual a profundidade que deveria ser escavada para que fosse obtida uma situação

de equilíbrio limite. O valor obtido foi de 4.74m que, estando compreendido entre 4.5m e

5.0m, confirma os resultados obtidos por elementos finitos.

Faz-se ainda notar que, para a determinação do valor de 4.74m se considerou ainda que a

ficha mínima f0 seria multiplicada por 1.2, para a mobilização do contra-impulso passivo, pelo

que, caso a malha de elementos finitos o permitisse, seria possível que o valor da profundidade

de escavação obtido fosse superior a 4.74m, uma vez que há um coeficiente de segurança

implícito no valor de 1.2.

A Figura 4.9 mostra os resultados das pressões de terras dos lados passivo e activo para

h=4m, 4.5m e 5m. A análise dos resultados mostra que se verifica uma boa aproximação

relativamente aos diagramas teóricos de Rankine, quer do lado passivo, quer do lado activo.

Constata-se ainda que, para a profundidade de escavação de 4m, as pressões do lado activo

não estão completamente mobilizadas (veja-se a zona inferior da cortina), o que se justifica

pela influência dos coeficientes de segurança.

Em todos os casos verifica-se a mobilização, do lado activo, junto ao pé da cortina, de uma


4

6

8

10

12

14

16

−0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1

y (m

)

Deslocamento horizontal (m)

4.0m4.5m5.0m

Figura 4.8: Cálculo 4.1: deslocamentos da cortina para h=4m, 4.5m e 5m.

pressão consideravelmente elevada, que corresponde ao contra-impulso passivo, indispensável

para o equilíbrio.

A Figura 4.10 apresenta os esforços transversos e os momentos flectores na cortina. Não se

apresentam na Figura, para simplificação desta, os diagramas correspondentes à profundidade

de escavação igual a 4.0m; estes diagramas, no entanto, não correspondem aos provenientes

do cálculo, pelo facto de, nestes últimos, se incluírem coeficientes de segurança.

A Figura mostra, assim, o diagrama de momentos flectores teórico correspondente à pro-

fundidade de escavação de 4.74m que, de acordo com o método de cálculo utilizado, conforme

referido, é a profundidade que coloca a estrutura em situação de equilíbrio limite. A compara-

ção com os resultados obtidos por elementos finitos mostra que a curva teórica (correspondente

a h=4.74m) está entre os valores obtidos pelo cálculo para h=4.5m e 5.0m.

Calculou-se ainda a curva teórica admitindo que a profundidade de escavação poderia

atingir 5.0m, confirmando-se, praticamente, a coincidência entre os resultados da teoria com

os obtidos por elementos finitos.

Quando aos esforços transversos, verifica-se igualmente uma boa correlação entre os re-

sultados teóricos e os obtidos numericamente, com excepção dos valores obtidos próximo do

pé da cortina. Com efeito, próximo do pé, há um significativo desvio, com os valores teóri-

cos a exceder substancialmente os resultados por elementos finitos. Os valores obtidos pela

curva teórica são, no entanto, pouco realistas, dado que admitem a existência de uma força

concentrada correspondente ao contra-impulso passivo, o que na realidade não se verifica.


6

8

10

12

14

−300 −200 −100 0

y (m

)


Kp=3H=4.0mH=4.5mH=5.0m

(a) Passivo

6

8

10

12

14

0 50 100 150 200 250

y (m

)


Ka=1/3H=4.0mH=4.5mH=5.0m

(b) Activo

Figura 4.9: Cálculo 4.1: pressões de terras.

Procedeu-se seguidamente à realização do cálculo 4.2, em tudo igual ao cálculo 4.1, com

excepção do valor do ângulo de atrito entre o solo e a cortina, admitido igual a 20o. Dado que

se pretendia manter a malha de elementos finitos utilizada, foi determinar-se a profundidade

de escavação que coloca a cortina em situação de equilíbrio limite correspondente à altura

total da cortina de 10m, tendo-se obtido h=5.8m.

Na Figura 4.11 mostra-se as pressões de terras dos lados passivo e activo quando a escavação

atingiu 6m de profundidade, evidenciando o acordo entre a distribuição de pressões teórica e

os resultados obtidos por elementos finitos.

Faz-se notar que, quanto ao lado activo, as soluções de Coulomb e de Caquot-Kérisel

coincidem e que, tal como anteriormente se verificou, do lado passivo a solução de Coulomb

fornece resultados superiores aos da solução por elementos finitos. Constata-se igualmente uma

quase perfeita sobreposição entre os resultados da teoria de Caquot-Kérisel e os resultados do

cálculo.


4

6

8

10

12

14

16

−300 −200 −100 0 100

y (m

)

Esforço transverso (kN/m)

Teoria (H=4.74m)Teoria (H=5.00m)Cálc. 4.1 (H=4.5m)Cálc. 4.1 (H=5.0m)

(a) Esforço transverso

4

6

8

10

12

14

16

0 50 100 150 200 250 300 350

y (m

)Momento flector (kNm/m)

Teoria (H=4.74m)Teoria (H=5.00m)

Cálc. 4.1 (H=4.5m)Cálc. 4.1 (H=5.0m)

(b) Momento flector

Figura 4.10: Cálculo 4.1: esforços na cortina.

4.3 Dimensionamento de cortinas mono-apoiadas através do

método do apoio simples

4.3.1 Introdução

O dimensionamento de cortinas mono-apoiadas é tradicionalmente feito recorrendo a dois

tipos de métodos: métodos de apoio simples, que considera a existência, no pé da cortina, de

um apoio simples (ou móvel) e métodos de apoio fixo, que consideram a existência, no pé da

cortina, de um apoio fixo.

4.3.2 Descrição do método de cálculo

Conforme referido, o método do apoio simples considera que, no pé da cortina, existe

um apoio simples (ver Figura 4.12), o que significa que não existe a mobilização de uma

força horizontal do tipo “contra-impulso passivo” que se descreveu a propósito das cortinas

simplesmente encastradas ou auto-portantes.

Tal como para o cálculo das cortinas simplesmente encastradas, admite-se que, no caso da

Figura, se mobilizam impulsos activos do lado direito da cortina e impulsos passivos do lado

esquerdo.

Também como no cálculo de cortinas simplesmente encastradas, considera-se habitual-

mente a teoria de Rankine para o cálculo de impulsos. A equação de equilíbrio de momentos

relativamente ao ponto A permite conhecer a altura enterrada f = f0.


6

8

10

12

14

−300 −200 −100 0

y (m

)


KpH=5.737 (Coul.)KpH=5.115 (C−K)

H=6.0m

(a) Passivo

6

8

10

12

14

0 50 100 150 200 250

y (m

)


Ka=0.279H=6.0m

(b) Activo


A equação de equilíbrio de forças horizontais permite determinar a força no apoio (escora

ou ancoragem) que, habitualmente, para efeitos de dimensionamento, deverá ser multiplicada

por 1.2 a 1.3.

O diagrama de momentos flectores tem o andamento aproximado apresentado na Figura

4.12, podendo, com base neste diagrama, proceder-se ao dimensionamento da cortina.

Os coeficientes são, tradicionalmente, aplicados ao impulso passivo (valor habitualmente

de 1.5) ou posteriormente à determinação da altura enterrada, ao valor desta altura (através de

coeficiente igual a 1.7). A utilização do Eurocódigo 7 e dos coeficientes de segurança parciais

AF

f0

Figura 4.12: Dimensionamento de cortinas mono-apoiadas através do método do apoio móvel.


é uma outra forma de proceder ao dimensionamento.

4.3.3 Exemplo de cálculo

Considere-se a estrutura de suporte mono-apoiada esquematicamente representada na Fi-

gura 4.13. O solo é uma areia com φ′ = 30o, γh = 18kN/m3 e γsat = 20kN/m3.

f0

x

H1 = 4m

H2 = 2m

H3 = 2mAF

Ia1d

Ia2d

Ia3dIpd

Figura 4.13: Exemplo de cálculo de uma cortina de contenção mono-apoiada.

Usando o caso C do Eurocódigo 7 e a teoria de Rankine para o cálculo de impulsos, tem-se

que:

φ′d = 24.79o; Kad = 0.409; Kpd = 2.445 (4.21)

sendo os impulsos:

Ia1d = 58.9kN/m (4.22)

Ia2d = 29.448 (2 + f0) (4.23)

Ia3d = 2.045 (2 + f0)2 (4.24)

Ipd = 12.225f20 (4.25)

A equação de equilíbrio de momentos em relação ao ponto A:

∑

Ma = 0 ⇒

0 = 58.9 × 2

3+ 29.448 (2 + f0)

(

3 +f0

2

)

+ 2.045 (2 + f0)2(

10

3+

2

3f0

)

− (4.26)

− 12.225f20

(

4 +2

3f0

)

conduz a:

f0 = 4.16m (4.27)

A equação de equilíbrio de forças horizontais:

∑

H = 0 ⇒ F + 12.225f20 − 58.9 − 29.448 (2 + f0) − 2.045 (2 + f0)

2 = 0 (4.28)


que conduz a a:

F = 106.3kN/m (4.29)

Pretendendo-se conhecer o momento máximo, há que conhecer a localização do ponto da

cortina em que o esforço transverso é nulo. Considerando este ponto à distância x do nível de

água, tem-se que:

V = 0 ⇒ 58.9 + 29.448x + 2.045x2 − 106.3 = 0 (4.30)

que resulta em:

x = 1.46m (4.31)

O momento máximo é, assim:

MmaxSd = 58.9

(

x+4

3

)

+ 29.448xx

2+ 2.045x2 x

3− 106.3(x + 2) = −169.8kNm/m (4.32)

Com base neste momento, poderá proceder-se ao dimensionamento estrutural da estrutura

de suporte.

De forma análoga, poder-se-ia proceder ao dimensionamento através do caso B do Euro-

código 7. Verificar-se-ia, no entanto, que a situação condicionante, quer no que respeita à

definição da geometria quer quanto ao dimensionamento estrutural, seria o caso C.

4.3.4 Metodologia de verificação da segurança através de coeficiente de

segurança global

A metodologia de verificação de segurança tradicional aplicada a cortinas mono-apoiadas

é realizada através de um coeficiente de segurança global igual a 1.5, aplicado ao impulso

passivo ou, em alternativa, à aplicação de um coeficiente de segurança de 1.7 aplicado à altura

enterrada.

Procurando-se, tal como anteriormente realizado, comparar os resultados das metodologias

tradicionais com as que recorrem aos coeficientes de segurança parciais, considerou-se o caso

de estudo que se representa na Figura 4.14, correspondente a uma cortina mono-apoiada em

meio arenoso e procedeu-se à determinação das relações f0

he MSd

γh3 e FSd

γh2 para diferentes valores

do ângulo de atrito, φ′.

f0

h

F

Figura 4.14: Caso de estudo para a comparação das metodologias de segurança.


Os resultados de f0

h, MSd

γh3 e FSd

γh2 são apresentados nas Figuras 4.15, 4.16 e 4.17, respectiva-

mente.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

20 25 30 35 40 45 50

f 0/h

φ’ (º)

Caso BCaso C

Fglob=1.5Fficha=1.7

Figura 4.15: Comparação entre as relações f0

hobtidas por diversas metodologias de verificação

da segurança

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

20 25 30 35 40 45 50

MS

d/γ/

h3

φ’ (º)

Caso BCaso C

Fglob=1.5Fglob=1.5; MSd=1.35MFficha=1.7; MSd=1.35M

Figura 4.16: Comparação entre as relações MSd

γh3 obtidas por diversas metodologias de verifi-cação da segurança

A análise destas Figuras permite concluir que:

• entre os resultados dos casos B e C do EC7, que utilizam a metodologia dos coeficientes

de segurança globais, o caso C é o condicionante em todas as situações (altura enterrada,

momento flector máximo e força no apoio); este resultado corresponde ao esperado no

caso da altura enterrada, dado que o caso B, nos casos, como o analisado, em que não

há cargas variáveis, não considera qualquer coeficiente de segurança na definição da


0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

20 25 30 35 40 45 50

F Sd/

γ/h2

φ’ (º)

Caso BCaso C

Fglob=1.5Fficha=1.7

Figura 4.17: Comparação entre as relações NSd

γh2 obtidas por diversas metodologias de verifica-ção da segurança

geometria; no que respeita ao momento flector máximo e à força no apoio, no entanto,

os resultados contrariam o que poderia ser esperado inicialmente, uma vez que o caso B

é habitualmente condicionante nas verificações estruturais;

• a metodologia que considera o o coeficiente de segurança global aplicado ao impulso

passivo fornece resultados razoavelmente próximos do caso C, no que diz respeito à

determinação da altura enterrada; a adopção de um coeficiente de 1.7 aplicado à altura

enterrada fornece resultados mais conservativos;

• a metodologia que aplica o coeficiente de 1.7 à altura enterrada fornece os mesmos re-

sultados dos momentos que o caso B, sendo ligeiramente menores do que os obtidos

do caso C; a metodologia que considera o coeficiente de 1.5 fornece momentos superi-

ores ou inferiores ao caso C, consoante se aplique ou não o coeficiente de 1.35 para o

dimensionamento da cortina;

• as metodologias de coeficientes de segurança globais fornecem resultados da carga no

apoio inferiores aos obtidos dos casos B e C.

4.4 O método de Rowe (baseado em Matos Fernandes (1990))

4.4.1 Introdução

Na década de 50, Rowe (1952), utilizando ensaios em modelo reduzido, quantificaram

o efeito da flexibilidade da cortina nas pressões de terras e nos esforços a elas associados,

tendo proposto métodos de dimensionamento mais económicos. O método de Rowe consiste

essencialmente numa correcção do momento máximo calculado segundo o método do apoio


móvel, baseada nos resultados dos seus ensaios em modelo reduzido.

4.4.2 Redução dos momentos devido às redistribuições das pressões passi-

vas

Nos ensaios em modelo reduzido que efectou, Rowe constatou que a distribuição das pres-

sões passivas mobilizadas em frente da cortina é altamente influenciada pela flexibilidade desta.

Quando essa flexibilidade é reduzida, a deformação por flexão à profundidade da escavação

é pequena e o movimento da parte enterrada é praticamente de translacção. Desenvolvem-

se, então, pressões passivas que se distribuem de forma aproximadamente triangular. Se, pelo

contrário, a flexibilidade da parede é elevada, o movimento da sua parte enterrada aproxima-se

de uma rotação em torno de um ponto algures abaixo do nível da escavação. Esta redistribui-

ção das pressões passivas, tanto mais pronunciada quanto mais flexível é a cortina, ocasiona

uma substancial redução do momento flector máximo mobilizado, M , relativamente ao valor

do mesmo fornecido pelo método que admite o apoio simples no pé da cortina, Mmax.

A Figura 4.18 ilustra, para dois tipos de areias, a dependência da razão daqueles dois

momentos em relação à flexibilidade da cortina, definida pelo chamado número de flexibilidade,

ρ, de expressão:

ρ =H4

EI(4.33)

em que H é a altura total da cortina e EI é a sua rigidez à flexão.

Tem-se, assim, que o momento actuante é tanto menor quanto menor for a rigidez, ou seja,

quanto maior for o número de flexibilidade. Considerando que se está a dimensionar uma

cortina de estacas-pranchas, após proceder aos cálculos através do método do apoio simples,

começa por se traçar a chamada “curva estrutural” (ver Figura 4.19, que fornece, para cada

valor de ρ, correspondente a um dado perfil comercial, o momento resistente. Usando o

Eurocódigo 3 e considerando apenas os esforços por flexão, tem-se que:

MRd = Wfyd =Wfy

1.1(4.34)

em que W é o módulo de flexão e fyd é o valor de cálculo da tensão de cedência do aço.

Traça-se, em seguida, a “curva de serviço”, representativa, para cada valor de ρ, do momento

efectivamente mobilizado (momento actuante de cálculo). Essa curva é, assim, a da Figura

4.18 correspondente ao caso em estudo (tipo de solo e geometria).

A abcissa correspondente ao ponto de intersecção das duas curvas fornece o perfil a adoptar.

Para este perfil o momento actuante de cálculo é exactamente igual ao momento resistente

de cálculo. Como se compreende, só por acaso existirá um perfil correspondente exactamente

à intersecção das duas curvas. Haverá, assim, que se escolher o perfil cuja representação, na

Figura 4.19, esteja à esquerda do ponto de intersecção. Para um ponto nestas condições, a

curva estrutural estará acima da curva de serviço, o que significa que os momentos resistentes

de cálculo são, conforme é desejável, superiores aos momentos actuantes de cálculo.


Figura 4.18: Correcção de Rowe por redistribuição das pressões passivas (Matos Fernandes,1990)

3

ρ

M/H

CURVA DE SERVIÇO

CURVA ESTRUTURAL

log

Figura 4.19: Determinação da secção através do método de Rowe.

4.4.3 Aplicação

Aplicando a metodologia descrita ao caso anteriormente apresentado na secção 4.3.3, pode

traçar-se a curva estrutural, com base nos elementos indicados no Quadro 4.1. Neste Quadro

são indicados os módulos de flexão e os momentos de inércia de alguns perfis comerciais, tendo-

se, para o cálculo de MRd, admitido a utilização de aço S235 (fy = 235MPa) e a utilização do

Eurocódigo 3 (ver equação 4.34).

Os valores de logρ foram determinados com H = 10.16m e E = 200GPa.

O Quadro 4.2 apresenta os valores necessários para o traçado da curva de serviço. Neste


Quadro 4.1: Dados para a curva estruturalPerfil W I logρ MRd

(cm3/m) (cm4/m) (kNm/m)

oo 128 476 1.049 27.3Io 257 1285 0.618 54.9Ia 380 2470 0.334 81.2I 500 3696 0.159 106.8

Quadro os valores indicados consideram

α =h

H=

6

10.16= 0.6 (4.35)

e correspondem aos valores indicados na Figura 4.19 para areias soltas.

Quadro 4.2: Dados para a curva de serviçologρ M

MmaxMSd

(kNm/m)

0 0.56 95.10.25 0.45 76.40.50 0.38 64.50.75 0.31 52.6

Através dos valores indicados nos Quadros 4.1 e 4.2 pode traçar-se as curvas estrutural e

de serviço, tal como se representa na Figura 4.20.

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

MR

d; M

Sd

(kN

−1 m

2 )

log ρ

oo

Io

Ia

I

Curva estruturalCurva de serviço

Figura 4.20: Traçado das curvas estrutural e de serviço.

A análise da Figura permite concluir que o perfil Ia é o mais adequado, dado que corres-

ponde à solução imediatamente à esquerda da solução ideal.


4.4.4 Redução de momentos devido a redistribuição de pressões activas

Novos ensaios em modelo reduzido realizados por Rowe em condições em que o apoio

conferido pela ancoragem garantia que o ponto de ligação do tirante à cortina experimentava

deslocamentos muito pequenos permitiram-lhe verificar que para além do afastamento da

forma triangular dos diagramas de pressões passivas, também os diagramas de pressões activas

sofriam alteração.

Por um mecanismo de efeito de arco, como se ilustra na Figura 4.21, as pressões do lado

activo redistribuem-se, diminuindo na zona central, onde são maiores os deslocamentos da

parede e concentrando-se nas regiões onde aqueles são menores, ou seja, junto à ancoragem e

na parte inferior da cortina. Esta redistribuição de pressões implica reduções nos momentos

flectores acumuláveis às anteriormente postas em evidência.

Figura 4.21: Coeficientes de redução do momento máximo devido ao efeito de arco do maciçosuportado (Rowe, 1956)

4.4.5 Esforço no tirante de ancoragem

Àcerca do esforço mobilizado no tirante da ancoragem, os ensaios realizados por Rowe

indicam que, em relação ao valor estimado pelo método do apoio simples, tal esforço pode

evoluir em dois sentidos opostos:

• por um lado, as redistribuições das pressões passivas em frente da parede, ao melhorarem

as condições de fixação da altura enterrada, tendem a reduzir a reacção mobilizada no

tirante;


• por outro lado, as redistribuições por efeito de arco das pressões activas, ao concentrarem

estas pressões junto ao ponto de ligação do tirante, tendem a agravar o esforço neste

mobilizado.

A Figura 4.22 ilustra o factor rT que, segundo Rowe, deve afectar o valor do esforço

deduzido do método do apoio simples. A zona tracejada corresponde aos casos mais correntes,

constatando-se então que, para efeitos práticos, aquele esforço deve ser majorado entre 1.0 e

1.3.

Figura 4.22: Coeficientes de majoração do esforço no tirante de ancoragem para ter em conta,segundo Rowe, as redistribuições de pressões no maciço (Matos Fernandes, 1990).

O mesmo autor e outros sublinham a conveniência de um dimensionamento conservativo

da ancoragem, sugerindo coeficientes de segurança de 2.0 para passar da estimativa do valor

de serviço para o valor de cálculo do esforço de tracção. Com efeito, este pode experimentar

significativos aumentos devido a assentamentos do terrapleno, vibrações, cedências diferenciais

entre ancoragens e, sobretudo, em consequência da acção de sobrecargas no terrapleno, as quais

induzem pressões de terras que se concentram em grande parte na região superior da parede,

isto é, nas vizinhanças da ancoragem, e que tendem a crescer de forma substancial com o

número de aplicações.

4.5 Verificação numérica do cálculo de cortinas mono-apoiadas.

Limitações do método de Rowe (Matos Fernandes et al.,

2003, 2004).

Considere-se a estrutura de suporte esquematicamente representada na Figura 4.14, para

a situação de γ = 20kN/m3, φ′ = 30o e h = 6.5m.


Usando o caso C do Eurocódigo 7 pode concluir-se que f0 = 3.59m, pelo que a altura total

da cortina será H = 6.5 + 3.59 = 10.09m, ou seja, aproximadamente 10m.

A carga no apoio (escora ou ancoragem) é, assim, igual a 101.5kN/m.

Usando a malha de elementos finitos anteriormente apresentada na Figura 4.7 procedeu-se

à modelação da escavação, simulando o efeito do apoio através de uma força concentrada de

valor igual a 101.5kN/m (cálculo 5.1). Admitiu-se que a parede teria uma rigidez à flexão,

EI, igual à de uma parede de betão armado de 0.4m de espessura.

A Figura 4.23 mostra os resultados dos deslocamentos horizontais da cortina e dos mo-

mentos flectores obtidos do cálculo. No caso dos momentos flectores, apresenta-se ainda o

diagrama de momentos obtidos do método do apoio móvel, considerando no entanto a inexis-

tência de qualquer coeficiente de segurança (para ter em atenção que se trata de uma situação

de serviço).

4

6

8

10

12

14

16

−0.12 −0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0

y (m

)


5.15.2

(a) Deslocamentos horizontais

4

6

8

10

12

14

16

−250 −200 −150 −100 −50 0 50

y (m

)

Momento flector (kNm/m)

Apoio Móvel5.15.2

(b) Momentos flectores

Figura 4.23: Cálculos 5.1 e 5.2: deslocamentos horizontais da parede e momentos flectores.

A análise da Figura permite constatar que os valores dos momentos obtidos não são exac-

tamente iguais, o que era esperado por:

• a cortina de betão armado, apesar de razoavelmente rígida, apresenta alguma deforma-

bilidade, pelo que de acordo com o que se viu pelo método de Rowe, o momento de

uma cortina rígida poderá ser ainda superior ao que resulta do cálculo (afastando-se um

pouco mais, ainda, da solução teórica);

• o diagrama de momentos foi determinado tendo em atenção a inexistência de qualquer

coeficiente de segurança, ao passo que a carga na ancoragem (considerada, no modelo,


através da aplicação de uma força) resultou do caso C, logo envolvendo coeficientes

de segurança; este facto levaria a força aplicada a ser menor e, portanto, a ser menor

igualmente o momento flector.

Procurando ter ambos os factos em atenção, foi realizado um cálculo 5.2, idêntico ao

5.1 com excepção do valor da força aplicada (que foi de 72.7kN/m, valor que resulta da

aplicação sem qualquer coeficiente de segurança do método do apoio móvel) e da rigidez à

flexão, admitida 100 vezes superior.

Os resultados obtidos estão igualmente representados na Figura 4.23, verificando-se a ocor-

rência de deslocamentos elevados (devido à não consideração de coeficiente de segurança na

avaliação da força no apoio) e a exacta sobreposição dos resultados numéricos do cálculo 5.2

com a curva teórica dos momentos flectores.

Admitindo agora que o efeito da escora ou ancoragem seria substituído por um apoio móvel

(ver Figura 4.24), foram feitos quatro cálculos, idênticos entre si com excepção da rigidez à

flexão da cortina, tal como se indica no Quadro 4.3.

f0

6.5m

Figura 4.24: Apoio móvel nos cálculos 5.3 a 5.6.

Quadro 4.3: Rigidez à flexão dos cálculos 5.3 a 5.6Cálculo EI ρ = logH4

EI

(kNm2) (kN−1m2)

5.3 100EI = 15466700 -3.195.4 EI = 154667 -1.195.5 EI/15.5 = 10000 05.6 EI/50 = 3093 0.51

A Figura 4.25 mostra os resultados dos deslocamentos horizontais e dos momentos flectores

da cortina. A análise desta Figura permite constatar que:

• a cortina, no cálculo 5.6, é extremamente flexível, como o demonstram os resultados dos

deslocamentos;

• os momentos flectores da cortina de maior rigidez (cálculo 5.3) são consideravelmente

superiores à solução teórica;


4

6

8

10

12

14

16

−0.45−0.4−0.35−0.3−0.25−0.2−0.15−0.1−0.05 0

y (m

)


5.3 (100EI)5.4 (EI)5.5 (EI/15.5)5.6 (EI/50)

(a) Deslocamentos horizontais

4

6

8

10

12

14

16

−350 −300 −250 −200 −150 −100 −50 0 50 100

y (m

)


Apoio Móvel5.3 (100EI)5.4 (EI)5.5 (EI/15.5)5.6 (EI/50)

(b) Momentos flectores

Figura 4.25: Cálculos 5.3 a 5.6: deslocamentos horizontais da parede e momentos flectores.

• os momentos flectores da cortina com rigidez EI (cálculo 5.4) são ligeiramente superiores

à solução teórica;

• os dois cálculos com maior rigidez à flexão (5.3 e 5.4) correspondem a valores do número

de flexibilidade, ρ, inferiores aos testados por Rowe (de acordo com a Figura 4.18);

• os cálculos 5.5 e 5.6 mostram um significativo decréscimo do momento flector máximo;

Em relação a este último ponto, faz-se notar, no entanto, que a redução de momento flector

é inferior à que poderia ser esperada. Com efeito, verifica-se que o momento máximo teórico

é de 226kNm/m. O momento máximo obtido do cálculo 5.6 é igual a 160kNm/m, pelo que a

relação de momentos é 160/226 = 0.71. Tendo em atenção que o número de flexibilidade, ρ,

é (ver Quadro 4.3) 0.51 e que o parâmetro α indicado na Figura 4.18 é

α =6.5

10= 0.65 (4.36)

conclui-se, consultando a referida Figura e admitindo, conservativamente, que se trata de uma

areia solta, que a relação M/Mmax deveria ser da ordem de 0.39, bem inferior, portanto, ao

valor obtido do cálculo.

Conclusão semelhante pode ser tirada do cálculo 5.5, com relação de momentos de 0.75

face ao valor de 0.57 que se pode retirar da Figura 4.18.

Para se tentar compreender estes resultados, analise-se os diagramas de pressões sobre a

cortina nos cálculos 5.3 a 5.6 (Figura 4.26).


6

8

10

12

14

−200 −100 0

y (m

)


Kp=35.3 (100EI)

5.4 (EI)5.5 (EI/15.5)

5.6 (EI/50)

(a) Passivo

6

8

10

12

14

0 20 40 60 80 100 120 140 160y

(m)


Ka=1/3K0=0.5

5.3 (100EI)5.4 (EI)

5.5 (EI/15.5)5.6 (EI/50)

(b) Activo

Figura 4.26: Cálculos 5.3 a 5.6: pressões de terras.

A análise desta Figura permite tirar as seguintes conclusões:

• os impulsos do lado activo são tanto menores quanto mais flexível é a cortina; nos casos

em que a cortina tem maior rigidez os impulsos mobilizados são maiores do que os

correspondentes ao impulso activo; nos casos em que a cortina tem menor rigidez podem

verificar-se impulsos menores do que os activos; verifica-se, assim, aparentemente, uma

redistribuição de pressões do lado activo, o que é observável igualmente pelo facto de o

efeito de concentração de tensões nas imediações do apoio que simula o nível de escoras

(ou de ancoragens) ser bem mais visível no caso das cortinas mais flexíveis;

• não parece manifestar-se redistribuição dos impulsos passivos; a mobilização dos impul-

sos passivos faz-se em maior grau próximo do nível de escavação (às maiores cotas –

menores profundidades) e para as cortinas mais flexíveis; os diagramas de impulsos não

ultrapassam, no entanto, o correspondente à teoria de Rankine.

A conclusão mais relevante parece, assim, ser o facto de não se verificar a redistribuição

de pressões passivas sugerida pela Figura 4.18.

Voltando às origens do método de Rowe, recorda-se que os resultados foram obtidos recor-

rendo a modelo reduzido. Ora os cálculos realizados agora consideram a inexistência de atrito

entre o solo e a cortina, dado que foram essas as hipóteses assumidas no cálculo da estrutura

através do método do apoio simples. No entanto, os modelos de Rowe tinham, naturalmente,

atrito solo–estrutura.

Considere-se, assim, uma série de cálculos 5.7 a 5.10, análogos aos cálculos 5.3 a 5.6, mas

admitindo agora um ângulo de atrito solo-estrutura igual a 20o.


Representando os diagramas de pressões obtêm-se os resultados da Figura 4.27.

6

8

10

12

14

−200 −100 0

y (m

)


Kp=3KpH (C−K)=5.115

5.7 (100EI)5.8 (EI)

5.9 (EI/15.5)5.10 (EI/50)

(a) Passivo

6

8

10

12

14

0 20 40 60 80 100 120 140 160

y (m

)


Ka=1/3K0=0.5

5.7 (100EI)5.8 (EI)

5.9 (EI/15.5)5.10 (EI/50)

(b) Activo

Figura 4.27: Cálculos 5.7 a 5.10: pressões de terras.

Verifica-se claramente, do lado passivo, uma forma dos diagramas bem mais semelhante à

sugerida pela Figura 4.18. Refere-se, no entanto, que uma vez mais esta forma não corresponde

exactamente a uma redistribuição do diagrama de pressões; uma vez mais, verifica-se uma

influência da flexibilidade da cortina no grau de mobilização das pressões do lado passivo, mas

há que ter em atenção que, uma vez que se considerou a existência de atrito solo–estrutura, o

diagrama de referência já não é o de Rankine mas o de Caquot-Kérisel, que também se mostra

na Figura. Confirma-se, assim, que não há mobilização de pressões passivas superiores às que

seriam de esperar; tal só pode ser verificado se se comparar com um diagrama (inapropriado

ao caso em estudo) que não considere a existência de atrito.

Veja-se, agora, quais os momentos flectores mobilizados (Figura 4.28).

Considerando o diagrama de momentos inicialmente obtido do método do apoio móvel,

ter-se-á que, para o cálculo 5.9, a relação de momentos é 106/226 = 0.47, agora inferior a

ao valor anteriormente indicado de 0.57, dado pelo método de Rowe. Analogamente, para

o cálculo 5.10, a relação de momentos é de 95/226 = 0.42, próximo de 0.39, fornecido pelo

método de Rowe.

A conclusão que se pode tirar é, então, que a validade do método de Rowe implica que a

estrutura tenha sido calculada através do método do apoio móvel sem que tenha sido conside-

rado o atrito solo-estrutura. Veja-se na Figura 4.28 o diagrama de momentos que seria obtido

se, em lugar de δ = 0, se tivesse inicialmente usado δ = 20o (ou seja, se se tivesse usado a

teoria de Caquot-Kérisel para o dimensionamento da estrutura). Como facilmente se poderá

concluir, a utilização do método de Rowe em que as correcções do momento seriam aplicadas


4

6

8

10

12

14

16

−300 −250 −200 −150 −100 −50 0 50 100

y (m

)


Apoio MóvelA.M. (C−K)5.7 (100EI)5.8 (EI)5.9 (EI/15.5)5.10 (EI/50)

Figura 4.28: Momentos flectores nos cálculos 5.7 a 5.10.

a este diagrama de momentos resultaria facilmente num sub-dimensionamento.

Mostrou-se, assim que a flexibilidade da cortina não dá origem a uma redistribuição do

diagrama de pressões passivas para além das que podem ocorrer no limite do diagrama tri-

angular de Caquot-Kérisel ou de Rankine, consoante o caso aplicável. Como explicar, então,

que na Figura 4.26 seja possível que o diagrama de pressões do lado activo seja inferior (sem

que haja atrito solo–estrutura) ao diagrama de triangular de Rankine?

Como se sabe, o diagrama de Rankine corresponde às mínimas pressões (horizontais)

possíveis de aplicar numa estrutura de suporte, pelo que, se as pressões lhe são inferiores, tal

só se pode dever a uma incorrecta avaliação das tensões verticais (recorde-se que σ′ha = Kaσ′v).

Apresenta-se na Figura 4.29 a distribuição de tensões verticais, podendo verificar-se que

junto à estrutura de suporte se constata um decréscimo nas tensões, imediatamente antecedido,

em zona um pouco mais afastada da parede, de um incremento, como se de um efeito de arco

(na horizontal) se tratasse.

É, de facto, este decréscimo de tensões verticais nas proximidades da estrutura de suporte

que justifica que as pressões na parede possam ser inferiores às que resultam da aplicação do

coeficiente de impulso activo a γz.


60.0

120.0

180.0

240.0

0. 10. 20. 30. 40. 50. 60.

0.

5.

10.

15.

Figura 4.29: Cálculo 5.5: tensões verticais.

Capítulo 5


cortinas multi-escoradas

5.1 Introdução

As cortinas apoiadas em vários níveis de escoras constituem um procedimento frequente-

mente utilizado para a execução de escavações, desde valas para a instalação ou reparação de

infra-estruturas urbanas até à execução de túneis de metropolitano a céu aberto, passando

pela execução de escavações para as caves de edifícios. Alguns exemplos destas estruturas

encontram-se esquematizados na Figura 5.1. Em algumas situações e em casos em que as

características geotécnicas o permitam, muitas das soluções escoradas são frequentemente

substituídas por soluções que recorrem a cortinas ancoradas, que serão objecto de análise num

outro capítulo.

No caso das escavações para a execução de valas (entivações) o material empregue é es-

sencialmente a madeira, sendo em geral a estrutura de suporte instalada após a execução do

corte.

Para a execução de escavações de profundidade média e, em alguns casos, elevada, usa-se

frequentemente perfis metálicos, instalados no terreno antes de realizar a escavação e com

pranchas de madeira dispostas entre os perfis e apoiadas nos banzos destes (cortinas tipo

Berlim; ver Figura 5.2).

Em alternativa a estas soluções são também usadas estacas-pranchas metálicas, paredes de

estacas (constituídas por fiadas de estacas realizadas tangentes umas às outras ou a pequena

distância) ou paredes moldadas no terreno.

Nos casos mais frequentes, as escoras são dispostas em níveis, apoiadas nas duas faces

opostas da escavação. Nas escavações de largura elevada tal procedimento deixa de ser con-

veniente, podendo a escavação ser executada utilizando um sistema de escoras inclinadas,

ligadas a blocos de betão fundados na base da escavação, previamente executados com obras

de contenção mais reduzidas ou através de escavação em talude.

113

114 Capítulo 5. Estruturas de contenção flexíveis: cortinas multi-escoradas

Figura 5.1: Tipos de cortinas escoradas correntes: a) estrutura usada em pequenas entivações;b) forma mais corrente para profundidades médias a elevadas; c) cortina de estacas-pranchasde aço; d) cortina de betão armado moldada no terreno (Matos Fernandes, 1990).

Capítulo 5. Estruturas de contenção flexíveis: cortinas multi-escoradas 115

Figura 5.2: Cortina tipo Berlim escorada.

Viu-se anteriormente que quando se considera uma rotação em torno da base ou uma

translação da estrutura de suporte, se desenvolvem pressões que podem ser descritas pelas

teorias de Rankine e (ou) de Coulomb. As soluções escoradas, no entanto, não causam um

movimento deste tipo, pelo que estas teorias não serão, à partida, válidas.

Como calcular, então, as pressões de terras? Transcreve-se em seguida um excerto de um

trabalho de Peck (1990) descrevendo as dificuldades nessa previsão no início do século XX:

Confusion and disagreement concerning the distribution of earth pressure were

highlighted in the discussions to a paper by J. C. Meem in 1908. Meem was not

particularly interested in retaining walls. His field was the construction of subways,

as chief engineer for the contractor of many projects in Brooklyn and elsewhere in

the New York city area. He knew from experience that the struts in the upper parts

of his braced cuts were loaded more heavily than those in the lower parts, and he

concluded that the center of pressure was more nearly at the upper third point than

at the lower third point. His paper began with a theory, unfortunately incorrect,

explaining why this should be so, and went on to present examples that demons-

trated clearly the correctness of his conclusions. Needless to say, the discussions

to his paper were uncomplimentary. At best the discussers recognized his experi-

ence, but dismissed his findings because they disagreed with accepted theory. One

of the discussers, J. F. O’Rourke, who was also a New York contractor, cautioned

the readers not to be misled by Meem’s belief that strut loads decreased near the


bottom and recommended that they should stick to putting the big timbers where

theory said they belonged. Meem’s frustration appears in his closing discussion,

“Now, just a word to those who say that the assumptions made in this paper are

contrary to all accepted theories. It appears to the writer to be beyond the range

of successful contradiction, if the accepted theories are absolutely true, that there

could have been no deep tunnels driven in soft ground by ordinary methods, and

also that the sheeting at the bottom of deep trenches in sand would have been im-

practical, as the sand would have burst through at the bottom before the sheeting

could have been set in place; and further, that all theory is the result of practical

experience, experiment, and research tabulated and formulated... In conclusion, it

is well, as Mr. O’Rourke suggests, to ’stick to the big timber’, when in doubt. But

it is the function of the engineer to find where these big timbers properly belong

and to eliminate them elsewhere. It is the earnest wish of the writer, particularly

in these days of forest conservation, that the Society shall not let this matter rest

until the responsability on these big timbers is properly placed (...)”

5.2 Pressões de terras: hipótese da rotação em torno do topo

Uma cortina escorada funciona sobretudo através da elevada rigidez das escoras que, por

esse motivo, “impedem” os deslocamentos. Poderá, assim, admitir-se como primeira aproxi-

mação, que os deslocamentos de uma cortina escorada sejam relativamente pequenos no topo,

crescendo em profundidade. Com efeito, se se considerar uma cortina como uma parede mol-

dada (ou uma cortina de estacas-pranchas), inicialmente instalada no terreno, ter-se-á que

o primeiro nível de escoras será colocado relativamente próximo do topo, para minimizar os

deslocamentos. Admitindo que a partir do momento em que o primeiro nível de escoras é

instalado os deslocamentos se mantêm praticamente nulos (ver-se-á posteriormente que tal

não é necessariamente verdadeiro), a execução da escavação abaixo deste nível irá provocar

um movimento semelhante à rotação em torno do topo. Colocado o segundo nível, a fase de

escavação seguinte irá provocar novos deslocamentos abaixo desse nível.

De uma forma simplificada e nas hipóteses anteriormente indicadas, o movimento de uma

cortina escorada poderia descrever-se como uma rotação em torno do topo, dirigida para o

interior da escavação (Figura 5.3).

Como são, então, as pressões de terras quando a rotação se verifica em torno do topo? Para

responder a esta questão, considerou-se a malha de elementos finitos anteriormente usada no

cálculo 3.1 e realizou-se o cálculo 6.1, análogo ao 3.1 com excepção do tipo de movimento da

estrutura de suporte (ver Figura 5.4). O solo considerado foi, tal como no cálculo 3.1, uma

areia com ângulo de atrito de 30o e peso volúmico de 20kN/m3; a interface solo-estrutura foi

admitida lisa.

A Figura 5.5 mostra a distribuição de pressões na estrutura para diversos valores do des-

locamento aplicado na base.


Figura 5.3: Movimento de cortina escorada: hipótese de rotação em torno do topo.

0. 5. 10. 15. 20. 25. 30.

0.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Figura 5.4: Malha de elementos finitos deformada correspondente ao cálculo 6.1.

A análise desta Figura permite concluir que:

• a distribuição de pressões não é triangular; tal pode ser observado desde as primeiras

fases;

• há uma concentração de tensões na zona superior, motivada pelo apoio; esta concentra-

ção de tensões atinge mesmo, em algumas zonas, o valor da pressão passiva;

• a concentração de tensões na zona superior da cortina é acompanhada do alívio de

tensões na zona inferior; nesta zona, as pressões atingem mesmo valores inferiores às

pressões activas.

Conforme se viu a propósito da apresentação e discussão do método de Rowe, o facto de

as pressões serem inferiores às activas só é possível na medida em que as pressões activas

tenham sido determinadas com base em valores incorrectos da tensão vertical. Com efeito, o

diagrama triangular correspondente a Ka = 1/3 admite que a tensão vertical é dada por γH.

Na realidade, no entanto, a tensão vertical tem valor inferior, conforme se pode ver na Figura

5.6.

Note-se, no entanto, que o tipo de deslocamento experimentado pelas cortinas reais se

afasta por vezes substancialmente do modelo simplificado de rotação em torno do topo. A


5

6

7

8

9

10

0 10 20 30 40 50 60 70

y (m

)


Ka=1/3Kp=3

d=00.004m0.020m0.040m0.060m0.120m


40.0

80.0

120.0

160.0

0. 5. 10. 15. 20. 25. 30.

0.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Figura 5.6: Cálculo 6.1: tensões verticais.

deformada real depende, assim, de diversos factores como a existência de altura enterrada

da cortina, as condições de apoio do escoramento, existência (ou não) de estrato firme e sua


distância do pé da cortina, da rigidez da cortina, etc. Como consequência, a grandeza do

impulso e a forma do diagrama de pressões podem sofrer importantes alterações em relação à

idealização apresentada.

5.3 Pressões de terras: os diagramas aparentes

5.3.1 Os diagramas aparentes de Terzaghi e Peck

Foi ficando claro, sobretudo a partir de alguns trabalhos de Terzaghi, que não seria possível

desenvolver uma teoria para o cálculo de impulsos em estruturas de contenção flexíveis, pelo

facto de estes dependerem de factores como as deformações permitidas pelo sistema de suporte,

da localização do próprio sistema, e a rigidez da cortina de contenção. Trata-se, assim, de

um problema de interacção solo-estrutura, pelo que a pressão no contacto entre o solo e a

estrutura não pode ser explicada por nenhuma teoria de impulsos, mas é antes o resultado do

processo de interacção.

Um conjunto numeroso de medições de esforços em escoras para suporte de cortinas deste

tipo foi sendo realizado, conforme sugerido pela Figura 5.7 e daí inferidos os correspondentes

diagramas de pressões na cortina.

p

a F

DIAGRAMADE PRESSÕESAPARENTES

1

1

CÉLULAS DE CARGA

1

FORÇAS NASESCORAS

Figura 5.7: Determinação de diagramas de pressões aparentes a partir das forças medidas nasescoras.

Os resultados das observações mostraram que a forma dos diagramas de pressões aparentes

e a sua grandeza podem variar muito substancialmente, mesmo na mesma escavação, o que se

deve a factores relacionados com o processo construtivo.

Terzaghi e Peck resumiram e analisaram os resultados das observações disponíveis e pro-

puseram os diagramas envolventes que se indicam na Figura 5.8.

Estes diagramas podem ser usados da forma inversa àquela que levou à sua obtenção,

isto é, com base nestes diagramas poderá estimar-se as cargas nas escoras. Refere-se a este

propósito que é habitual que as cargas das escoras sejam, para efeitos de dimensionamento,

multiplicadas por factores da ordem de 1.2 para o caso de solos arenosos e 2, para o caso de

solos argilosos.


0.25H

0.5H

0.25H

AREIAS ARGILAS

0.65KaγH γH − 4cu 0.2 a 0.4γH

Figura 5.8: Diagramas de Terzaghi e Peck.

5.3.2 Constatação por elementos finitos da adequabilidade do diagrama de

Terzaghi e Peck das areias

Considere-se a situação que se indica na Figura 5.9, de uma cortina multi-escorada com 10m

de profundidade, em solo arenoso, com ângulo de atrito de 30o e peso volúmico de 20kN/m3.

A cortina corresponde a uma parede moldada de betão armado com 0.4m de espessura, com

altura total de 10.5m.

H=10m

1m

3m

3m

3m

Figura 5.9: Cálculos 7.1 a 7.3: geometria.

Considere-se inicialmente (cálculo 7.1) que as escoras são infinitamente rígidas e que, por-

tanto, podem simuladas por apoios móveis. Os diagramas de pressões de terras, para as várias

fases, são os indicados na Figura 5.10(a), podendo verificar-se que as pressões não se afastam

muito substancialmente dos diagramas de impulso em repouso. Os maiores desvios em relação

a estes diagramas ocorrem às maiores profundidades, onde o movimento da cortina é maior.

Considerando uma rigidez à flexão da cortina 100 vezes inferior (cálculo 7.2) obtém-se a

distribuição de pressões que se apresenta na Figura 5.10(b), semelhante ao do cálculo 7.1, mas

com um desvio mais significativo relativamente ao diagrama de impulsos em repouso, o que é

explicado pelos maiores deslocamentos sofridos por esta cortina.

Admitindo agora que as escoras são simuladas por elementos com rigidez efectiva EAef

(abordar-se-á a questão da rigidez efectiva posteriormente) igual a 40000kN/m, a distribuição

de pressões altera-se substancialmente, conforme se pode verificar da análise da Figura 5.11.

Os cálculos 7.3 e 7.4 correspondem a esta situação.

Usando o diagrama de Terzaghi e Peck para as areias, ter-se-á que, para a situação em


4

6

8

10

12

14

16

0 20 40 60 80 100 120

y (m

)


0m1m4m7m

10m

(a) Cálculo 7.1 (EI)

4

6

8

10

12

14

16

0 20 40 60 80 100 120

y (m

)


0m1m4m7m

10m

(b) Cálculo 7.2 (EI/100)

Figura 5.10: Cálculos 7.1 e 7.2: pressões de terras.

análise, a pressão horizontal vale:

0.65KaγH = 0.65 × 1

3× 20 × 10 = 43.33kPa (5.1)

Apesar das claras diferenças, poderá concluir-se, da análise da Figura 5.11, que os re-

sultados de um diagrama de pressões rectangular, com o valor indicado, fornecerá uma boa

aproximação das cargas para o dimensionamento das escoras.

5.3.3 Aplicação dos diagramas de Terzaghi e Peck a solos argilosos

Considere-se uma situação análoga à que está esquematicamente descrita na Figura 5.9

mas em que o solo é agora um material argiloso com resistência não drenada, cu, igual a

100kPa, módulo de deformabilidade não drenado, Eu, igual a 400cu e adesão solo-estrutura,

ca, igual a 50kPa. O coeficiente de impulso em repouso (definido – de forma teoricamente

incorrecta – em tensões totais) foi assumido igual a 0.6.

Considere-se em primeiro lugar, como hipótese académica, que a escavação era realizada

sem qualquer escoramento (cálculo 8.1). A Figura 5.12 apresenta os diagramas de pressões de

terras dos lados “passivo” e “activo” para as diversas fases (níveis de escavação).

A observação desta Figura permite concluir que, na última fase, não há praticamente


4

6

8

10

12

14

16

0 20 40 60 80 100 120

y (m

)


0m1m4m7m

10m

(a) Cálculo 7.3 (EI)

4

6

8

10

12

14

16

0 20 40 60 80 100 120

y (m

)


0m1m4m7m

10m

(b) Cálculo 7.4 (EI/100)

Figura 5.11: Cálculos 7.3 e 7.4: pressões de terras.

impulsos (os que existem, apenas na base da cortina, são devidos ao facto de a altura enterrada

não ser nula e permitirem, portanto, uma concentração de tensões).

Recordando o que se viu em 2.6.2 pode constatar-se que, para a situação a que corresponde

o cálculo 8.1, a relação γH/cu é:

Nb =γH

cu=

20 × 10

100= 2 (5.2)

menor, portanto, do que 3.76, o que significa que a escavação do cálculo 8.1 não necessita

de suporte para se realizar (se a condição não drenada for válida e à custa de deslocamentos

relativamente elevados). Isto justifica, portanto, que tenha sido possível modelar a escavação

de forma não suportada (sem escoras), sem que se tenha verificado a sua rotura.

Veja-se, agora, qual a distribuição de pressões que ocorre do lado activo quando se consi-

deram as escoras com diferentes valores de rigidez, EA. O Quadro 5.1 indica os valores desta

rigidez para os diferentes cálculos; a rigidez de referência, EA, é a do cálculo 8.3 e é igual a

40000kN/m.

Os resultados das pressões são apresentados na Figura 5.13(a) e os deslocamentos hori-

zontais da cortina constam da Figura 5.13(b). Na Figura 5.13(a) representa-se igualmente os

diagramas de Terzaghi e Peck correspondentes à distribuição trapezoidal com os dois valores

limites.


4

6

8

10

12

14

16

0 50 100 150 200 250

y (m

)


0m1m4m7m

10m

(a) Lado passivo

4

6

8

10

12

14

16

0 50 100 150 200 250

y (m

)


0m1m4m7m

10m

(b) Lado activo


Quadro 5.1: Cálculos 8.2 a 8.5: Rigidez à compressão das escorasCálculo EA

(kN/m)

8.2 EA/5 = 8000

8.3 EA = 40000

8.4 10EA = 400000

8.5 100EA = 4000000

A análise desta Figura permite fazer algumas observações:

• as pressões podem variar desde 0 (zero) até um valor próximo do dado pelo diagrama de

Terzaghi e Peck com pressão igual a 0.2γH; a inexistência de escoramento resulta, como

se viu, em pressões nulas; a existência de um escoramento com rigidez elevada resulta

em pressões bastante significativas;

• os deslocamentos horizontais da cortina variam numa gama de valores bastante larga;

podem conseguir-se deslocamentos bastante reduzidos se se adoptar rigidez elevada para

as escoras (e, consequentemente, pressões significativas exercidas sobre a cortina); as

soluções com rigidez mais baixa conduzem a deslocamentos muito elevados;

• o diagrama de pressões mais adequado, para o caso analisado, parece ser o que corres-

ponde à pressão de 0.2γH.


4

6

8

10

12

14

16

0 20 40 60 80 100 120 140

y (m

)


EA=0EA/5

EA10EA

100EA0.2 γ h0.4 γ h


4

6

8

10

12

14

16

−0.03−0.025−0.02−0.015−0.01−0.005 0 0.005

y (m

)


EA=0EA/5

EA10EA

100EA

(b) Deslocamentos horizontais

Figura 5.13: Cálculos 8.1 a 8.5: pressões de terras e deslocamentos horizontais da cortina.

A partir destas observações pode concluir-se que nas situações em que a existência de

escoramento não seja indispensável para a estabilidade (números de estabilidade até cerca de

3.76) ou mesmo quando seria necessário apenas um escoramento relativamente limitado, as

pressões de terras são tanto mais elevadas quanto mais rígido for o escoramento; o diagrama

trapezoidal apresentado na Figura 5.8 à direita representa, assim, um diagrama de pressões

mínimas para as quais deverá dimensionar-se o escoramento e a cortina.

Em relação à última observação, faz-se notar que a validade da análise realizada compre-

ende apenas o caso estudado; diagramas com pressões mais elevadas são facilmente obtidos

considerando algumas alterações ao problema. Admitindo, por exemplo, análises idênticas às

análises 8.3 e 8.4 mas em que o coeficiente de impulso em repouso era 1.2, em lugar de 0.6,

obtêm-se os resultados que constam da Figura 5.14.

As pressões, como se vê, crescem significativamente, atingindo a ordem de grandeza, no

cálculo com maior rigidez, do diagrama máximo de Terzaghi e Peck. Igualmente se constata

um aumento também significativo dos deslocamentos.

Considere-se agora cálculos análogos ao cálculo 8.3, mas em que o solo tem, num caso,

resistência não drenada igual a 33.3kPa (cálculo 9.1) e, no outro, igual a 25kPa (cálculo 9.2).

O Quadro 5.2 resume as características destes cálculos.

Não foi possível obter a convergência do cálculo 9.2. Os resultados que se apresentam para


4

6

8

10

12

14

16

0 20 40 60 80 100 120 140

y (m

)


8.3 (EA)8.4 (10EA)

8.6 (EA; 2K0)8.7 (10EA; 2K0)

0.2 γ h0.4 γ h


4

6

8

10

12

14

16

−0.03−0.025−0.02−0.015−0.01−0.005 0 0.005

y (m

)


8.3 (EA)8.4 (10EA)

8.6 (EA; 2K0)8.7 (10EA; 2K0)


Figura 5.14: Cálculos 8.3, 8.4, 8.6 e 8.7: pressões de terras e deslocamentos horizontais dacortina.

Quadro 5.2: Cálculos 8.3, 9.1 e 9.2: resistência não drenada e número de estabilidade da baseCálculo cu Nb

(kPa)

8.3 100 29.1 33.3 69.2 25 8

este cálculo são os correspondentes ao último incremento do cálculo, mas em que o equilíbrio

não foi satisfeito com a precisão desejada e conseguida para os outros cálculos. A Figura 5.15

mostra os resultados das pressões de terras e dos deslocamentos horizontais da cortina. Na

mesma Figura são apresentados os resultados de um cálculo 9.3 a que se fará referência em

seguida e indicam-se os diagramas aparentes de Terzaghi e Peck correspondentes à distribuição

trapezoidal indicada ao centro da Figura 5.8.

As pressões correspondentes ao cálculo 9.1 correspondem, com razoável aproximação, às

do correspondente diagrama de Terzaghi e Peck. As pressões correspondentes ao cálculo

9.2, contudo, afastam-se muito significativamente daquele diagrama. Conforme referido, este

cálculo não convergiu, estando a justificação para esse facto na Figura 5.15(b): verificou-se a

rotura do solo envolvido na escavação, como o atesta os elevados deslocamentos da cortina. A

rotura desta escavação fica a dever-se a um fenómeno conhecido por “rotura de fundo”.


4

6

8

10

12

14

16

0 20 40 60 80 100 120 140 160

y (m

)


8.3 (cu=100kPa)9.1 (cu=33.3kPa)

9.2 (cu=25kPa)9.3 (cu=25kPa)

γh−4x33.3γh−4x25


4

6

8

10

12

14

16

−0.3 −0.2 −0.1 0 0.1

y (m

)


8.3 (cu=100kPa; Nb=2)9.1 (cu=33.3kPa; Nb=6)9.2 (cu=25kPa; Nb=8)9.3 (cu=25kPa; Nb=8)


Figura 5.15: Cálculos 8.3, 9.1, 9.2 e 9.3: pressões de terras e deslocamentos horizontais dacortina.

Conforme é sabido do cálculo de fundações superficiais, a capacidade de carga de uma

fundação em condições não drenadas (ver Figura 5.16) é dada pela expressão:

qr = Nccu = 5.14cu (5.3)

qr

q

q =c N +qcur

Figura 5.16: Rotura de uma fundação superficial.

Conforme é sugerido pela Figura 5.17, o problema de uma escavação em solo argiloso

acaba por ser semelhante, podendo definir-se um coeficiente de segurança (global) em relação

à rotura de fundo dado por:

F =NccuγH

(5.4)

O factor de capacidade de carga, tal como acontece com as fundações superficiais, deve ser

corrigido para ter em consideração a forma da fundação e a resistência ao corte acima da base


45o

B

H

Figura 5.17: Rotura de fundo de escavação.

daquela. Como se verá, este coeficiente apresenta valores que podem variar entre 5.14 e 9.

Numa situação de rotura de fundo iminente (F=1), ter-se-á que:

γH

cu= Nc (5.5)

ou seja, o número de estabilidade da base (crítico) é igual ao factor de capacidade de carga:

Nbc = Nc (5.6)

O diagrama trapezoidal da direita da Figura 5.8 encontra-se, portanto, limitado a Nc.

O caso analisado corresponde a uma situação em que o número de estabilidade da base era

superior ao valor crítico, pelo que ocorreu rotura de fundo. Tal fenómeno é sugerido pelos

deslocamentos da cortina mas pode mais detalhadamente ser observado na Figura 5.18.

0.0000

0.0364

0.0727

0.1091

0.1455

0.1818

0.2182

0.2545

0.2909

0.3273

0.3636

0.4000

0. 10. 20. 30. 40. 50. 60.

0.

5.

10.

15.

Figura 5.18: Cálculo 9.2: valores absolutos dos deslocamentos verticais na última fase (con-vergência não obtida).


Quando Nb ultrapassa o valor crítico só é possível efectuar a escavação à custa do pro-

longamento da cortina para além do fundo da escavação, procurando, em geral, atingir um

estrato inferior mais resistente de modo a dotar a parte enterrada de boas condições de apoio

no respectivo pé, incrementando-se a sua resistência aos elevados esforços de flexão que tendem

a mobilizar-se (ver Figura 5.19).

N >Nb bc

Figura 5.19: Escavação escorada em argila mole; estabilidade assegurada por prolongamentoda cortina até um estrato mais resistente.

As pressões que o solo subjacente à escavação não pode equilibrar são redistribuídas pela

própria cortina, quer para o estrato rijo inferior quer para a parte superior escorada. Tal vai

acarretar esforços de compressão muito elevados, em especial nas escoras mais próximas do

fundo do corte.

Os diagramas de Terzaghi e Peck não podem, para estas situações, estimar os esforços nas

escoras, dependendo a distribuição de pressões de numerosos factores.

Para o caso em análise prolongou-se, assim, a parede até ao “estrato rijo” que corresponde

ao limite inferior da malha de elementos finitos usada (cálculo 9.3). As pressões de terras

e os deslocamentos assumem as distribuições que constam da Figura 5.15. Faz-se notar, no

entanto, que tal procedimento implicaria, provavelmente, a utilização de uma cortina com

maior espessura (mais resistente) assim como escoras com maior capacidade, o que não foi

considerado no cálculo.

5.4 Pressões associadas à água e a sobrecargas na superfície

5.4.1 Pressões devidas à água

Quando o nível frático está perto da superfície do terreno e a cortina de suporte é imper-

meável, grande parte das pressões sobre a cortina são devidas à água, pelo que a previsão dos

impulsos de terras se torna menos importante do que uma correcta estimativa da distribuição

das pressões de água.

Quando a passagem da água para a escavação contornando inferiormente a cortina não é

possível (porque esta foi prolongada até um estrato impermeável) a estrutura de suporte tem


que ser dimensionada para suportar o impulso hidrostático (Figura 5.20).

IMPERMEÁVEL

NF

Figura 5.20: Cortina impermeável conduzida até estrato impermeável: impulsos da água.

Nos casos em que seja possível a passagem de água para a escavação, sob a cortina, o

cálculo das pressões implica, normalmente, traçado da rede de fluxo. Nas condições mais

simplificadas o traçado da rede pode fazer-se por métodos gráficos; para as restantes pode

obter-se a rede de percolação recorrendo, por exemplo, ao método dos elementos finitos.

Nas situações mais simples, de solo homogéneo, pode considerar-se a distribuição de pres-

sões simplificada que se indica na Figura 5.21.

NF

Aproximado

Figura 5.21: Distribuição simplificada das pressões da água: situação de percolação para ointerior da escavação.

Em relação à situação exposta na Figura 5.20, no caso que se apresenta na Figura 5.21

constata-se que as pressões da água aumentam do lado passivo e diminuem do lado activo.

Por outro lado, no entanto, as forças de percolação causam, do lado activo, um incre-

mento do peso volúmico (e, consequentemente, das pressões de terras) e, do lado passivo, uma

diminuição destas.

São, portanto, efeitos contraditórios, devendo a sua acção global ser analisada caso a caso.


5.4.2 Pressões associadas a sobrecargas (adaptado de Matos Fernandes

(1990))

Introdução

Uma parte muito significativa das roturas nas estruturas de suporte que a bibliografia

regista pode ser atribuída às sobrecargas na superfície do terreno. Tal explica-se, sobretudo,

por uma deficiente estimativa do valor que aquelas vêm a assumir durante a vida da obra, em

especial nas estruturas de carácter permanente.

Para além das sobrecargas cuja necessidade de consideração explícita nos cálculos seja óbvia

(gruas rolantes e mercadorias nos muros-cais, fundações de edifícios vizinhos nas escavações

urbanas, etc.) é em regra conveniente considerar, no mínimo, o efeito de uma sobrecarga que

pode, simplificadamente, ser assimilada a uma pressão uniformemente distribuída de 10kPa,

para ter em conta, por exemplo, o solo escavado que provisoriamente é colocado nas imediações

do corte, a maquinaria e os materiais usados na obra, tráfego ligeiro nas imediações, etc.

Sobrecargas uniformemente distribuídas

A consideração das sobrecargas uniformemente distribuídas na superfície do terreno é, em

regra, efectuada da forma apresentada anteriormente, a propósito das estruturas de suporte

rígidas, através de um diagrama constante em profundidade.

A adopção do coeficiente de impulso deve ser ponderada em cada caso, devendo no entanto

ser superior ao coeficiente de impulso activo, uma vez que nas estruturas multi-escoradas as

pressões assumem valores superiores às que resultam da aplicação de tal coeficiente.

Desta forma, sugere-se que o coeficiente de impulso a adoptar esteja em correspondência

com aquele que explícita ou implicitamente foi adoptado para a determinação das pressões de

terras. Tal significa, por exemplo, que se numa dada escavação foi adoptado o diagrama de

Terzaghi e Peck para as areias (que tem como resultante um impulso 30% superior ao impulso

activo), o coeficiente de impulso a adoptar para o cálculo das pressões as associadas a uma

sobrecarga uniforme deverá ser de 1.3Ka.

Sobrecargas concentradas ou distribuídas em áreas reduzidas

Considere-se uma carga linear aplicada à superfície de um meio elástico semi-infinito (Fi-

gura 5.22(a)). As tensões horizontais num plano vertical podem ser calculadas através da

Teoria da Elasticidade, correspondendo-lhes deformações horizontais, εx.

Suponha-se agora que do outro lado do plano existe uma carga de igual valor, simétrica da

anterior, a actuar em simultâneo (Figura 5.22(b)). Neste caso, exercer-se-ão sobre o paramento

tensões de valor duplo, sendo nulas as deformações.

Na situação em que em lugar da carga simétrica exista uma estrutura de suporte admitida

imóvel (Figura 5.22(c)), as tensões terão, portanto, valor igual às do caso anterior.


εx

σx

(a) carga em semi-espaço

σx

(b) cargas simétricas

σx

(c) acção sobre cortina

Figura 5.22: Tensões horizontais associadas a cargas aplicadas à superfície de um meio elástico

Em conclusão, quando é dimensionada determinada estrutura de suporte, deve ter-se em

conta que cargas aplicadas na superfície implicam pressões sobre o paramento que podem

atingir valores duplos dos fornecidos pelas expressões da teoria da elasticidade para as tensões

induzidas por cargas do mesmo tipo em meios elásticos semi-indefinidos.

No Quadro 5.3 apresentam-se as expressões da Teoria da Elasticidade para alguns tipos

de carregamento à superfície mais comuns.

Quadro 5.3: Acções de sobrecargas dadas pela Teoria da ElasticidadeSobrecarga Esquema Tensão lateral

Carga pontualRz

P

r σr = P2πR2

[

−3r2zR3 + (1−2ν)R

R+z

]

Carga linearRz

P

x σx = 2Pπ

x2zR4

Carga unif. distrib. (B ×∞)

p

δx

αz σx = pπ

[α− senαcos(α+ 2δ)]

5.4.3 Pressões associadas a outras causas

Diversos autores referem ainda outras causas de pressões, cuja análise detalhada excede

o âmbito deste texto: variações de temperatura (sobretudo no que respeita à sua acção no

escoramento), formação de gelo no solo suportado, expansão do solo suportado, execução de

obras nas proximidades da cortina (em particular, a cravação de estacas).

Estas acções e, eventualmente, outras, deverão, no entanto, ser consideradas sempre que

tal seja relevante.


5.5 Estabilidade do fundo da escavação

5.5.1 Escavações em argilas

Introdução

Como se viu em 5.3.3, a rotura do fundo em solos argilosos ocorre quando o peso da massa

de solo dos lados da escavação excede a capacidade do solo subjacente.

Escavações pouco profundas

Terzaghi (1943) propôs, para a verificação da segurança em relação à rotura do fundo, a

metodologia que se esquematiza na Figura 5.23. Esta metodologia considera que o desenvol-

vimento longitudinal da escavação é infinito, que a altura enterrada da cortina é nula e que a

resistência ao corte ao longo da altura H está totalmente mobilizada.

45o

c Hu

B

H

B 2 / 2

B 2 / 2

Figura 5.23: Rotura de fundo de escavação (Terzaghi, 1943).

A capacidade de carga da fundação é

qr = Nccu (5.7)

e a carga aplicada por unidade de comprimento da escavação é:

Qapl = γHB√

2

2− cuH (5.8)

pelo que a tensão aplicada é:

qapl =Qapl

B√

22

= γH − cuHB√

22

(5.9)

e o coeficiente de segurança (global) em relação à rotura do fundo é dado por:

F =qrqapl

=Nccu

γH − cuHB√

2

2

=1

H

Nccu

γ −√

2cu

B

(5.10)

Tschebotarioff (1951) indica uma expressão semelhante, para o caso de escavação com

desenvolvimento L finito:

F =1

H

Nccu

γ −(

1 + 2BL

)

cu

B

(5.11)


Nestas expressões o factor de capacidade de carga Nc toma o valor de 5.14.

Quando, abaixo do nível da base da escavação, exista um estrato mais resistente a pequena

distância (Figura 5.24, o coeficiente de segurança em relação à rotura do fundo vem dado por:

F =1

H

Nccuγ − cu

D

(5.12)

passando o coeficiente de segurança a ser independente da largura da escavação.

B

D

HD

Figura 5.24: Rotura de fundo de escavação em escavações pouco profundas limitadas inferior-mente por estrato rígido.

Em todos os casos apresentados a cortina não se prolonga para baixo da base da escavação.

Se houver tal prolongamento, há que contar com a contribuição (favorável à segurança) do

peso de solo com altura correspondente à ficha da cortina e a adesão entre a cortina e o solo

(Figura 5.25), sendo o coeficiente de segurança dado por:

F =1

H

Nccu + γd+ 2dca

B

γ −√

2cu

B

(5.13)

45o

c Hu

B

d

HB 2 / 2

B 2 / 2

Figura 5.25: Análise de estabilidade do fundo quando a cortina penetra abaixo da base daescavação.

Escavações profundas

No caso de escavações profundas, é possível ocorrer rotura de fundo sem que ocorra a

mobilização da resistência ao corte ao longo da altura H. É a esta situação que corresponde

a equação 5.4 anteriormente apresentada.

Para esta situação, o factor de capacidade de carga deverá ser corrigido para ter em

conta a forma da fundação e a resistência ao corte do solo acima da base. A Figura 5.26


fornece os valores de Nc já afectados destas correcções, propostos por Skempton (1951) para

o dimensionamento de fundações superficiais em maciços argilosos.

Figura 5.26: Factores para o cálculo do coeficiente de segurança à rotura do fundo em escava-ções em solos argilosos moles (Matos Fernandes, 1990).

A partir da análise de casos em que ocorreu a rotura de fundo em argilas moles, Bjerrum e

Eide (1956) mostraram que estes factores podem ser usados na expressão (5.4) anteriormente

apresentada.

Para ter em conta a proximidade de um estrato resistente à profundidade D abaixo do

fundo da escavação, a expressão (5.4) pode ser usada sendo Nc determinado com base na

Figura 5.26 mas em que B é substituído por D se D < B√

22 .

Para casos do tipo dos representados na Figura 5.27 a expressão do coeficiente de segurança

fica igual a:

F =Nccu + γd+ 2dca

B

γH(5.14)

45o

B

d

H

B 2 / 2

Figura 5.27: Análise de estabilidade do fundo quando a cortina penetra abaixo da base daescavação.

Observações

O assunto da segurança em relação à rotura de fundo foi apresentado à luz do coefici-

ente de segurança global. Julga-se, no entanto, face às anteriores aplicações da metodologia


de verificação da segurança que consta do Eurocódigo 7, que a aplicação de coeficientes de

segurança parciais a esta situação não apresenta particulares dificuldades.

5.5.2 Escavações em areias

A realização de escavações em solos arenosos abaixo do nível freático pode implicar a pas-

sagem da água para o interior da escavação contornando inferiormente a cortina impermeável.

Este fenómeno pode causar “piping” ou levantamento hidráulico e a consequente rotura do

fundo de escavações, sendo, para os materiais granulares, pouco provável a rotura por falta de

capacidade de carga.

O assunto do “piping” e do levantamento hidráulico é provavelmente um assunto já estu-

dado pelo leitor, estando fora do âmbito deste texto a sua análise detalhada. Refere-se apenas

que o “piping”, ou erosão hidráulica, está associado com elevados gradientes hidráulicos junto

à base da escavação, manifestando-se por um arraste progressivo de partículas e a criação de

“galerias” no solo, com a consequente rotura.

O levantamento hidráulico verifica-se quando as forças de percolação associadas ao fluxo

ascendente anulam as tensões efectivas numa dada secção, manifestando-se pela invasão do

fundo da escavação pela massa de solo situada acima da referida secção.

O conhecimento da rede de fluxo permite determinar o máximo gradiente de saída, is,

sendo o coeficiente de segurança ao “piping” dado pela relação:

F =icis

(5.15)

sendo ic o gradiente crítico, ou seja, o gradiente hidráulico para o qual as forças de percolação

ultrapassam o peso submerso do solo, e é dado por:

ic =γsat − γw

γw(5.16)

No que respeita à verificação da segurança em relação ao levantamento hidráulico, esta

deve ser feita numa zona do solo imediatamente adjacente à cortina, no interior da escavação,

e com largura igual a metade da ficha da cortina. A verificação a fazer é do mesmo tipo da

do “piping” e o coeficiente de segurança corresponde à relação entre as forças de percolação e

o peso submerso do bloco em análise.

5.6 A rigidez efectiva e a rigidez teórica das escoras

O parâmetro referente às escoras que mais influencia os deslocamentos de uma estrutura

de suporte escorada é a sua rigidez axial. Verifica-se, no entanto, que a rigidez efectiva pode,

frequentemente, assumir valores consideravelmente inferiores à rigidez real (a relação Kef/Kt

pode variar de 2 a 75%).


A curva força-deslocamento típica de uma escora corresponde à que se representa na Figura

5.28, podendo a rigidez efectiva variar entre K ′ e Kt.

d

F

K

K’

t

Figura 5.28: Curva força-deslocamento de uma escora.

O facto de esta relação poder ter valores tão baixos está relacionado com o sistema de

ligação do escoramento à cortina, devido a folgas e (ou) presença de elementos com menor

rigidez. Este aspecto constitui uma considerável dificuldade para a previsão dos deslocamentos.

Para tentar minimizar estes aspectos, em particular no que respeita aos efeitos das folgas,

pode aplicar-se pré-esforço às escoras, habitualmente de uma parcela relativamente pequena

da carga de projecto.

5.7 O Eurocódigo 7

Indicam-se nesta secção algumas referências do Eurocódigo 7 relativas às estruturas de

contenção flexíveis.

Em relação à definição, o Eurocódigo 7 dá ênfase ao funcionamento à flexão deste tipo de

estrutura e à fraca contribuição do peso da própria no desempenho da sua função de contenção

(em oposição ao que acontece nas estruturas de suporte rígidas):

8.1 (...) as cortinas são muros ou paredes de espessura relativamente reduzida em

aço, betão armado ou madeira, suportados por ancoragens, escoras e (ou) por pres-

sões de terras de tipo passivo. A resistência à flexão destas estruturas desempenha

uma função significativa na contenção, enquanto que a contribuição do seu peso é

desprezável. Exemplos destas estruturas incluem: as cortinas de estacas-pranchas

auto-portantes, as cortinas ancoradas ou escoradas de aço ou betão, as paredes

moldadas, etc.

Tal como apontado em 5.4.2, é de grande importância a consideração das sobrecargas à

superfície do terreno ou devida a edifícios vizinhos, assunto a que o Eurocódigo 7 faz também

referência:

8.3.1.2 (1) A determinação dos valores de cálculo das sobrecargas deve ter em

conta a presença na superfície do terreno ou perto dela de edifícios vizinhos, veí-


culos e gruas estacionados ou em movimento, materiais granulares armazenados,

mercadorias, contentores, etc.

Viu-se no capítulo anterior que nas estruturas simplesmente encastradas (auto-portantes)

e nas estruturas mono-apoiadas é fundamental o papel da altura enterrada na sua segurança.

Também em algumas estruturas multi-escoadas (ver 5.5.1) esta altura enterrada tem uma

função fundamental. Sendo assim, o Eurocódigo 7 preconiza que a segurança seja avaliada

tendo em consideração a ocorrência de erros geométricos na avaliação desta altura:

8.3.2. Dados geométricos

8.3.2.1. Superfície do terreno

(1) (...) Os valores de cálculo devem ter em conta a possibilidade de escavação ou

infra-escavação (erosão) em frente da estrutura de suporte.

(2) Quando a estabilidade da estrutura de suporte depende da resistência passiva

do terreno em frente da estrutura, é conveniente rebaixar o nível do terreno do

lado passivo de uma altura ∆a nos cálculos dos estados limites últimos. Para uma

cortina auto-portante ∆a pode ser igual a 10% da sua altura e para uma cortina

suportada ∆a pode ser igual a 10% da altura abaixo do último nível de apoios, com

um máximo de 0.5 m.

Em relação às tensões de corte a considerar na interface solo–estrutura, o Eurocódigo 7

refere o seguinte:

8.5.1. Valores de cálculo das pressões de terras

(4) (...) A grandeza das tensões de corte que podem ser mobilizadas na interface

muro-terreno está limitada pelos parâmetros de resistência da interface δ e a. Para

um muro totalmente liso δ = 0 e a = 0 e para um muro de elevada rugosidade

δ = φ e a = c.

Para um muro de betão ou cortina de aço suportando areia ou cascalho pode em ge-

ral admitir-se que δ = kφ e a = 0, em que φ, devido à perturbação do terreno junto

da interface, não pode ultrapassar o ângulo de atrito do terreno correspondente ao

estado crítico, e em que k não pode ultrapassar 2/3 para betão pré-fabricado e

estacas-pranchas metálicas, enquanto que pode ser tomado igual a 1 para muros

betonados contra o terreno. Para uma cortina de estacas-pranchas em argila, em

condições não drenadas, pode em geral adoptar-se δ = 0 e a = 0 imediatamente

após a cravação. A recuperação da resistência pode demorar um determinado pe-

ríodo de tempo.

A este propósito, refere-se apenas que a prática em Portugal parece ser a de utilização de

valores um pouco mais baixos para δ do que os indicados no Eurocódigo 7, mesmo tendo em

atenção que o ângulo de atrito φ, no texto do Eurocódigo, é o ângulo de atrito crítico.

Capítulo 6


cortinas multi-ancoradas

6.1 Introdução

Pela flexibilidade que proporciona, pela redução dos tempos de construção e por vantagens

económicas, as escoras são muito frequentemente substituídas por ancoragens pré-esforçadas,

seladas no terreno.

Neste capítulo, aborda-se este tipo de estrutura de contenção (cortinas multi-ancoradas)

e os problemas que lhes são característicos. Refere-se, no entanto, que muitos dos assuntos

abordados no capítulo anterior são também relevantes para as cortinas ancoradas.

6.2 Pressões de terras numa cortina ancorada

No caso das cortinas escoradas, o estudo efectuado anteriormente relativo ao tardoz da

estrutura de suporte permitiu chegar à conclusão de que não poderia haver qualquer teoria

para a determinação de tais pressões, mas a observação de esforços em escoras tinha levado à

definição de envolventes de pressões, que correspondem aos diagramas de Terzaghi e Peck.

No caso das cortinas ancoradas, a questão não é a de quais as pressões que se desenvolvem

no tardoz da estrutura, mas sim para que valores das pressões se procede à escolha do pré-

esforço das ancoragens, isto é, qual a carga a aplicar nas ancoragens.

O objectivo último é, claro um adequado comportamento da cortina e do terreno suportado,

com deslocamentos compatíveis com o meio envolvente. A carga a aplicar é, assim, função

desse meio, mas pode concluir-se que a aplicação de pré-esforço nas ancoragens distribuído de

forma a equilibrar os diagramas de Terzaghi e Peck corresponde, normalmente, a um adequado

comportamento da escavação.

139

140 Capítulo 6. Estruturas de contenção flexíveis: cortinas multi-ancoradas

6.3 Funcionamento de uma cortina ancorada

6.3.1 A questão da rigidez

Viu-se no capítulo anterior que o funcionamento de uma cortina escorada se baseia, so-

bretudo, na rigidez axial das escoras que, sendo elevada, permite que os deslocamentos sejam

pequenos. Nas soluções ancoradas, as escoras são substituídas por elementos com rigidez axial

de uma ordem de grandeza inferior à das escoras. Não será, portanto, devido a este aspecto

que a solução de ancoragens fornece um adequado comportamento da estrutura.

Para o confirmar, considere-se a situação esquematicamente apresentada na Figura 6.1. O

solo é constituído por uma areia com ângulo de atrito de 30o, peso volúmico de 20kN/m3 e o

ângulo de atrito solo-estrutura é de 20o. A cortina assenta num estrato com boas características

resistentes e tem as propriedades elásticas de uma parede de betão armado com 0.40m de

espessura.

H=10m

2m

2.5m

2.5m

3m

5m

Figura 6.1: Cálculo 10.1: geometria.

Num cálculo 10.1 considerou-se que as ancoragens, inclinadas a 30o, seriam realizadas mas

não seria aplicado qualquer pré-esforço, ou seja, funcionariam apenas através da sua rigidez

(igual a 3cm2/m). Apresenta-se na Figura 6.2 a malha de elementos finitos correspondente à

última fase, ou seja, à escavação de 10m de profundidade.

0. 10. 20. 30. 40. 50. 60.

0.

5.

10.

15.

Figura 6.2: Cálculo 10.1: Malha de elementos finitos.

Os resultados dos deslocamentos da cortina, dos assentamentos do terreno suportado e

Capítulo 6. Estruturas de contenção flexíveis: cortinas multi-ancoradas 141

das pressões sobre a cortina estão representados na Figura 6.3. Nesta Figura indicam-se

igualmente os resultados das mesmas grandezas para o cálculo 10.2, análogo ao 10.1, mas em

que são aplicadas forças nas ancoragens correspondentes ao diagrama de Terzaghi e Peck para

as areias.

−14

−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

100 50 0 5 10 15 20 25

−0.06−0.05−0.04−0.03−0.02−0.01 0

150100500.02.04.06.08.10

Pro

fund

idad

e (m

)

Des

loca

men

to v

ertic

al (

m)

Tensão normal (kPa) Distância à parede (m)

Deslocamento horizontal (m) Tensão normal (kPa)

10.1 (Σ Fa=0)10.2 (Σ Fa=433kN/m)

K0=0.5KaH=0.279

Figura 6.3: Cálculos 10.1 e 10.2: deslocamentos horizontais da cortina, assentamentos doterreno suportado e pressões de terras.

A análise desta Figura permite constatar que:

• os deslocamentos correspondentes ao cálculo 10.1 são muito elevados quer no que respeita

à cortina quer ao terreno suportado;

• a ocorrência de deslocamentos elevados (no cálculo 10.1) traduz-se, naturalmente, na

mobilização de um diagrama de pressões no tardoz da cortina que corresponde ao impulso

activo;

• os deslocamentos obtidos do cálculo 10.2 são bastante pequenos e o diagrama de pressões

obtido corresponde, muito aproximadamente, ao diagrama rectangular que correspondeu

à escolha das cargas a aplicar nas ancoragens.

Conclui-se, assim, que, como se esperava, não é a rigidez das ancoragens a responsável pela

limitação dos deslocamentos.

6.3.2 A questão da imposição de deslocamentos

Poderá pensar-se que os deslocamentos são mantidos relativamente baixos, nas cortinas

ancoradas, através do efeito de imposição de deslocamentos causado pelo pré-esforço, isto é,

pelo movimento da cortina em sentido contrário ao que ocorre nas fases de escavação.

Mostra-se, assim, na Figura 6.4 os resultados dos deslocamentos da cortina e do solo para

um caso (10.3) análogo ao 10.2 mas em que não foram contabilizados os deslocamentos nas


fases correspondentes à aplicação de pré-esforço, ou seja, não foi considerado o efeito (sob o

ponto de vista dos deslocamentos) da aplicação do pré-esforço.

−14

−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

100 50 0 5 10 15 20 25

−0.06−0.05−0.04−0.03−0.02−0.01 0

150100500.02.04.06.08.10

Pro

fund

idad

e (m

)

Des

loca

men

to v

ertic

al (

m)



10.1 (Σ Fa=0)10.2 (Σ Fa=433kN/m)10.3 (Σ Fa=433kN/m)

K0=0.5KaH=0.279

Figura 6.4: Cálculos 10.1 a 10.3: deslocamentos horizontais da cortina, assentamentos doterreno suportado e pressões de terras.

A análise desta Figura permite concluir que os deslocamentos são razoavelmente seme-

lhantes aos obtidos da análise 10.2, sendo portanto bastante afastados dos do cálculo 10.1.

Mostra-se, assim, que não é a imposição de deslocamentos nas fases de pré-esforço que justifica

a utilização de ancoragens, dado que temos dois cálculos (10.1 e 10.3) em que não há qualquer

deslocamento na fase de pré-esforço (no caso do cálculo 10.1 porque tal fase não existe) mas

em que os deslocamentos são consideravelmente diferentes.

6.3.3 A alteração do estado de tensão

Conclui-se, dos pontos anteriores, que as ancoragens não funcionam pela sua rigidez nem

pela imposição de deslocamentos. Apesar destes aspectos poderem também contribuir para o

funcionamento das ancoragens nas estruturas de contenção flexíveis, as ancoragens trabalham,

sobretudo, pela alteração do estado de tensão que causam no solo suportado.

De uma forma simplificada, pode analisar-se o problema através do que se indica na Figura

6.5. Considere-se, assim, um elemento do solo no tardoz de uma cortina ancorada. Considere-

se ainda que, devido à escavação (fase 1 da Figura), a tensão vertical, σ1, neste elemento não

se altera e que a tensão horizontal σ3 sofre um decréscimo. As tensões σ1 e σ3 são principais

e admita-se que se mantêm principais durante a escavação e o pré-esforço.

Verifica-se, assim, que devido à escavação se verifica um incremento da tensão deviatórica

σ1 − σ3, o que tem como consequência a evolução tensão-deformação também indicada na

Figura. Realizando-se o pré-esforço (fase 2), considere-se, também, que apenas a tensão

horizontal sofre alteração, o que tem como consequência um decréscimo da tensão deviatórica.

A execução de nova escavação causa no mesmo ponto um acréscimo de tensão deviatórica


13

3Aδ3

δ3Α

δ

δ1 1

2

3

3σ −σ1

2

Figura 6.5: Representação esquemática da evolução do estado de tensão em elemento de solosuportado por cortina ancorada.

(fase 3), o que resulta em nova evolução na curva tensão deformação indicada na Figura.

A consequência desta sequência de escavação, pré-esforço e escavação é, assim, a deforma-

ção δ3 que se indica na Figura.

Considere-se, agora, que não seria realizado pré-esforço. A segunda fase de escavação

causaria o mesmo incremento de tensão, mas o ponto da curva tensão-deformação seria o

ponto “1”, pelo que a deformação final seria δ3A em lugar de δ3, ou seja, substancialmente

maior e mais próximo da rotura.

Tem-se, assim, que uma cortina ancorada trabalha, sobretudo, pela alteração do estado de

tensão causada pelas ancoragens, como preparação das fases seguintes.

6.4 Nível de pré-esforço

Considere-se dois cálculos adicionais, 10.4 e 10.5, análogos ao cálculo 10.2, com excepção

do nível de pré-esforço aplicado. No cálculo 10.4, considerou-se que o pré-esforço aplicado era

metade do fornecido pelos diagramas de Terzaghi e Peck; no cálculo 10.5, admitiu-se que o

pré-esforço aplicado seria o dobro do fornecido por aqueles diagramas.

Os resultados obtidos, no que respeita a deslocamentos horizontais da parede, assentamen-

tos do terreno suportado e pressões na interface solo-cortina, encontram-se representados na

Figura 6.6.

A análise desta Figura permite constatar que:

• o cálculo 10.4 fornece, como seria de esperar, deslocamentos superiores aos que se obtêm

da análise 10.2; o diagrama de pressões na interface solo-cortina é no caso do cálculo

10.4, bastante próximo do diagrama de impulsos activos (note-se que, para o cálculo

10.2, a resultante do diagrama de Terzaghi e Peck é 30% superior ao impulso activo; a

consideração de um diagrama de pressões igual a metade deste resulta, naturalmente,

numa resultante inferior ao diagrama de pressões correspondente ao impulso activo;

verifica-se, portanto, uma alteração de carga das ancoragens de tal modo que a pressão

na interface fique aproximadamente igual ao diagrama de impulsos activos);


−14

−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

100 50 0 5 10 15 20 25

−0.06−0.05−0.04−0.03−0.02−0.01 0

150100500.02.04.06.08.10

Pro

fund

idad

e (m

)

Des

loca

men

to v

ertic

al (

m)



10.1 (Σ Fa=0)10.2 (Σ Fa=433kN/m)10.4 (Σ Fa=216kN/m)10.5 (Σ Fa=866kN/m)

K0=0.5KaH=0.279

Figura 6.6: Cálculos 10.1, 10.2, 10.4 e 10.5: deslocamentos horizontais da cortina, assenta-mentos do terreno suportado e pressões de terras.

• o cálculo 10.5, correspondente a um nível de pré-esforço duplo do fornecido pelo diagrama

de Terzaghi e Peck, conduz a deslocamentos excessivos; as tensões normais na interface

são, como se pode ver, razoavelmente coincidentes com a distribuição de pré-esforço

aplicada.

Faz-se no entanto notar, a propósito dos deslocamentos obtidos do cálculo 10.5, que o mo-

delo de comportamento adoptado para o solo é elástico-perfeitamente plástico, o que significa

que o módulo na descarga coincide com o módulo na carga, tendo como consequência que os

deslocamentos obtidos poderão ser significativamente superiores aos que seriam obtidos numa

situação real (ou se se utilizasse nos cálculos um modelo de comportamento mais adequado).

A Figura 6.7 mostra a evolução das variações de carga nas ancoragens com o faseamento

construtivo. Pode verifica-se, desta figura, que no caso do cálculo 10.1 as cargas aumentam

significativamente, o que se justifica pela necessidade de equilíbrio das pressões activas.

No caso do cálculo 10.2 as cargas variam pouco. No caso do cálculo 10.4, correspondente

a metade das cargas correspondentes ao diagrama de Terzaghi e Peck, as variações de carga

são mais significativas, no sentido do aumento. Este aumento prende-se com a necessidade

existente, tal como no caso do cálculo 10.1, de equilibrar as pressões activas. O resultado

obtido do cálculo 10.5 é o de uma diminuição das cargas nas ancoragens. Verifica-se, assim,

que nas situações bem dimensionadas, as variações de pré-esforço são pequenas. Nos casos

em que o pré-esforço aplicado é inferior ao correspondente a um adequado dimensionamento

há aumento da carga nas ancoragens (o que tem a situação extrema no caso do cálculo 10.1).

Nas situações de aplicação excessiva de pré-esforço, constata-se que as cargas nas ancoragens

tendem a diminuir. Este efeito de diminuição seria provavelmente menos claro se o modelo

adoptado para o comportamento do solo considerasse uma curva tensão-deslocamento não

linear, com módulo de descarga superior aos módulos na carga.


−40

−20

0

20

40

60

80

100

0 1 2 3 4 5 6 7

Acr

ésci

mo

de fo

rça

(kN

/m)

Fase

10.1 (Fa=0)10.2 (Fa=433kN/m)10.4 (Fa=216kN/m)10.5 (Fa=866kN/m)

Figura 6.7: Cálculos 10.1, 10.2, 10.4 e 10.5: variações de carga nas ancoragens.

6.5 Dimensionamento estrutural

O recurso ao método dos elementos finitos (ou a outros métodos que permitem considerar

o comportamento tensão-deformação do terreno) tem diversas vantagens, entre as quais se

destaca a possibilidade de previsão de deslocamentos, de realização com custo relativamente

reduzido de análises de sensibilidade, etc. Para além destas, o método permite igualmente o

conhecimento, fase a fase, dos esforços instalados na estrutura de suporte.

A Figura 6.8 apresenta os momentos flectores instalados na cortina para as diversas fases

construtivas para o caso do cálculo 10.2, podendo a partir destes diagramas, proceder-se ao

seu dimensionamento estrutural.

Poderia, naturalmente, obter-se diagramas do mesmo tipo para o esforço normal e para o

esforço transverso.

6.6 Equilíbrio vertical de estruturas de contenção

6.6.1 Introdução

As cortinas de contenção flexíveis ancoradas apresentam, como se viu anteriormente, algu-

mas significativas vantagens sobre as cortinas escoradas, reduzindo o tempo necessário para a

execução e permitindo uma maior flexibilidade no processo construtivo devido ao maior espaço

disponível no interior da escavação.

As soluções de contenção que recorrem a ancoragens começaram a ser utilizadas a partir da

Segunda Guerra Mundial e, especialmente, a partir dos anos 60, verificando-se que se têm vindo

a impor em detrimento do recurso a escoramento (Gould, 1990). A ilustrá-lo, O’Rourke e Jones


0

2

4

6

8

10

12

14

16

−200 −150 −100 −50 0 50 100

y (m

)


fase 0fase 1fase 2fase 3fase 4fase 5fase 6fase 7

Figura 6.8: Cálculo 10.2: momentos flectores para as diversas fases construtivas.

(1990) estimam que 85% das escavações eram, à data da publicação, realizadas com recurso

a ancoragens pré-esforçadas. Parece também demonstrada a eficácia das cortinas ancoradas.

Schnore (1990), por exemplo, traduzindo a experiência do New York State Department of

Transportation, classifica de “baixo” o risco de assentamentos significativos do solo suportado

por paredes ancoradas.

As ancoragens, no entanto, aplicam à cortina significativas forças verticais de sentido

descendente, que não existem nas estruturas escoradas e que tornam importante a verificação

da segurança em relação à estabilidade vertical da parede.

Para que haja equilíbrio nesta direcção é necessário, tal como se pretende representar na

Figura 6.9(a), que a força vertical devida às componentes verticais das forças das ancoragens

e ao peso próprio da parede seja compensada pela força vertical que se desenvolve no pé da

parede e pela resultante das tensões de corte nas interfaces solo-parede devido às forças de

corte, de modo a que seja verificada a equação

Ntotal = Wparede +∑

Fancsenα = Fb + F pa + F a

a (6.1)

ondeNtotal é a força total vertical “actuante” na parede, Wparede é o peso da parede,∑

Fancsenα

é a força vertical total devida às ancoragens, Fb é a força que se desenvolve na base da parede,

F pa é a força de corte na interface solo-parede do lado passivo e F a

a é a força de corte na

interface do lado activo.

A força Fb deverá verificar a segurança em relação à capacidade resistente vertical do

terreno e o seu cálculo é conhecido para os casos de estruturas de contenção como as pare-


W

Equilíbrio


Fancsenα

= Fb + F aa + F p

a

F aa

F pa

Fb

Fanc

Fanc

α

α

(a) Parede moldada

W

F

Equilíbrio


Fancsenα

= Nperfil + Fa

Fanc

Fanc

Fa

α

α

(b) Parede tipo Berlim

Figura 6.9: Equilíbrio vertical de paredes de contenção flexíveis.

des moldadas, podendo para tal seguir-se o referido em Xanthakos (1994) ou metodologias

semelhantes, normalmente baseados nas formulações de capacidade de carga de fundações

profundas. No caso de paredes como cortinas de estacas-pranchas, no entanto, a menos que a

cortina esteja assente num estrato muito resistente, não há a possibilidade de desenvolvimento

de reacção na base (Fb ≃ 0), por esta não possuir largura significativa.

Matos Fernandes (1983) mostrou que a mobilização da resistência na interface solo-parede

do lado passivo, F pa , tem um papel importante no equilíbrio vertical, em estruturas como

as paredes moldadas ou cortinas de estacas-pranchas, inclusivamente nos casos em que os

assentamentos da parede sejam muito reduzidos. Pelo contrário, mesmo que a estrutura sofra

assentamentos muito elevados, a resistência na interface solo-parede do lado activo, F aa , não é

completamente mobilizada (Matos Fernandes, 1983, 1985; Trigo, 1990; Matos Fernandes et al.,

1993, 1994).

Verifica-se, no entanto, que mesmo em literatura actual se admite serem adequadas as

tensões de corte entre a parede e o solo suportado para fornecer a reacção vertical indispensável

ao equilíbrio (ASCE, 1997). O Canadian Foundation Engineering Manual (1978) considera

mesmo que apenas deverá ser contabilizada a resistência lateral do lado activo. A importância

deste assunto parece, contudo, estar clara desde o início da utilização de ancoragens pré-

esforçadas em obras de contenção. Com efeito, Broms (1968) identificara já a importância de

F pa e a difícil mobilização de F a

a e Hanna (1968) referira que nos casos de rotura de paredes

ancoradas de que tinha conhecimento, a causa tinha sido, invariavelmente, o apoio inadequado

da base da parede. A mesma ideia é transmitida por Goldberg et al. (1976), ao afirmarem que

a maior parte dos problemas que ocorrem relacionados com cortinas ancoradas dizem respeito

aos movimentos verticais excessivos.


A difícil mobilização da resistência na interface do lado activo, tal como apontado por

Hanna (1968), Matos Fernandes (1985) e Matos Fernandes et al. (1993, 1994), faz com que

a verificação do equilíbrio vertical em paredes de contenção tipo Berlim seja uma questão

de grande importância. Com efeito, neste tipo de parede de contenção são executados furos

verticais ao longo do perímetro da escavação a realizar, no interior dos quais são instalados

perfis metálicos verticais. À medida que a escavação progride, vai sendo executada uma parede

de betão armado, betonada directamente contra o terreno, envolvendo os perfis metálicos

verticais. Este procedimento implica que não exista lado passivo da parede de contenção,

uma vez que abaixo do nível de escavação, em cada fase, não há parede mas apenas os perfis

verticais.

Os perfis verticais e, eventualmente, o lado activo da parede, devem assim garantir o

equilíbrio das forças verticais, o que significa, conforme apresentado na Figura 6.9(b), que


Fancsenα = Nperfil + Fa (6.2)

onde Wparede e∑

Fancsenα têm o significado já referido, Nperfil é a força transmitida aos perfis

metálicos verticais e Fa é a força de corte, mobilizada por adesão e (ou) atrito na interface

solo-parede.

Esclarecer em que medida se poderá mobilizar a força de corte do lado activo constitui

uma questão importante para o equilíbrio expresso pela equação 6.2 e para o dimensionamento

deste tipo de estrutura de contenção (Guerra, 1999).

Importa pois conhecer o comportamento das cortinas de contenção flexíveis no que se refere

às cargas verticais, nomeadamente no que respeita a casos em que o equilíbrio nesta direcção

tenha sido deficiente. É ainda importante estudar as parcelas que compõem a equação 6.2,

quer no que respeita aos seus valores limites e de dimensionamento, quer no que respeita à

sua determinação em casos de obra.

6.6.2 Comportamento evidenciado por modelos físicos

Hanna e Matallana (1970) realizaram um conjunto de ensaios de laboratório em modelo

reduzido destinados a comparar o comportamento de estruturas de contenção ancoradas em

função de diferentes diagramas de pré-esforço das ancoragens. Numa série de ensaios realiza-

dos por estes autores foram considerados 3 níveis de ancoragens horizontais; na outra estas

ancoragens eram inclinadas a 30o com a horizontal. Em ambos os casos foi considerada a

sequência construtiva sugerida pela Figura 6.10.

Comparando os resultados de dois ensaios com o mesmo diagrama de pré-esforço das anco-

ragens mas com diferentes inclinações (0 e 30o) os referidos autores verificaram normalmente

pequenas variações de carga nas ancoragens com excepção do ensaio em que a altura enterrada

da cortina se anulou e para a inclinação de 30o. Para esta situação foi detectada uma perda

significativa da carga nos dois primeiros níveis de ancoragens (até cerca de 40%) e um aumento

substancial no nível mais profundo (ver Figura 6.11).


Hβ

0.50

H

0.81

H

H=

0.61

m

0.23

H

0.54

H

0.85

H

0.19

H

α

α

α

Figura 6.10: Sequência construtiva adoptada nos modelos físicos de Hanna e Matallana (1970).

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

1 2 3 4 5 6 7 8

Var

iaçã

o de

car

ga n

as a

ncor

agen

s (%

)

Nível 1

Ancoragens 0o

Ancoragens 30o

2 3 4 5 6 7 8

Fase

Nível 2

4 5 6 7 8

Nível 3

Figura 6.11: Evolução das cargas nas ancoragens dos modelos físicos de Hanna e Matallana(1970).

Inicialmente, não há praticamente movimento vertical da parede. À medida que aumenta

a profundidade escavada, verifica-se a ocorrência de deslocamentos laterais ao nível da base da

parede ultrapassando os deslocamentos do topo, no caso de as ancoragens serem horizontais.

Estes deslocamentos são acompanhados do assentamento da parede. No caso das ancora-

gens inclinadas, verifica-se uma translação global da parede no sentido da escavação, também

acompanhada de assentamentos que são, por exemplo, na fase 8, cerca de 13 vezes os que se

verificam na parede suportada por ancoragens horizontais (Figura 6.12).

A superfície da areia suportada assentou conforme representado na Figura 6.13, mostrando-

se os assentamentos particularmente sensíveis à inclinação das ancoragens, sendo, para o caso

das ancoragens inclinadas a 30o, várias vezes superiores aos que se verificaram na situação de

ancoragens horizontais.

Como mostram os resultados de outra série de ensaios apresentados por Hanna e Abu-Taleb


−0.6

−0.4

−0.2

0

P

rofu

ndid

ade

(m)

Deslocamento

5 mm

InicialAncoragens 0o

Ancoragens 30o

Figura 6.12: Deslocamentos verticais e horizontais da parede dos modelos físicos de Hanna eMatallana (1970).

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Ass

enta

men

to (

m)

Distância à parede (m)

Fase 7 (α=0)Fase 8 (α=0)

Fase 7 (α=30o)Fase 8 (α=30o)

Figura 6.13: Assentamentos da superfície do terreno suportado dos modelos físicos de Hannae Matallana (1970).

(1972), a existência de um substrato rígido ao nível do pé da parede impede o assentamento

desta, pelo que todos os movimentos ocorrem na direcção horizontal e o mecanismo associado

ao movimento da parede é, no caso de as ancoragens serem inclinadas, semelhante ao que se

verifica no caso de estas serem horizontais. Este comportamento traduz-se, assim, em:

• deslocamentos consideravelmente menores;

• movimentos de rotação da parede, inicialmente em torno da base e, à medida que a

profundidade de escavação aumenta, em torno de um ponto localizado a meia altura;

• a inclinação das ancoragens deixa de ter uma relevância significativa no comportamento.


Plant (1972) realizou estudos semelhantes, também em modelo físico, com o objectivo de

estudar a influência da inclinação das ancoragens no comportamento de cortinas de contenção,

tendo detectado diminuições de carga nas ancoragens que chegaram a atingir 50% nos casos

das maiores inclinações, face ao máximo de 12% detectado no caso das ancoragens horizontais.

Os assentamentos do terreno suportado, o movimento da parede e as variações das cargas nas

ancoragens tiveram comportamento do tipo do obtido por Hanna e Matallana (1970).

O referido autor detectou ainda ângulos de atrito mobilizados entre o solo suportado e

a parede (de alumínio) com o valor máximo de 11o, o que ocorreu para uma inclinação das

ancoragens de 30o. Aumentando a inclinação para 45o, apesar de o assentamento ser três

vezes superior, o ângulo de atrito mobilizado é apenas da ordem de 5o. Ver-se-á, conforme

observado por Matos Fernandes et al. (1993), que este comportamento é confirmado pelos

resultados numéricos obtidos por estes autores.

Outros estudos em modelo físico do mesmo tipo foram realizados por Anderson et al. (1975,

1982), tendo sido obtidas conclusões análogas.

6.6.3 Comportamento evidenciado por modelos numéricos

O recurso a modelos numéricos permite, tal como os modelos físicos, tirar importantes

conclusões sobre o comportamento de cortinas de contenção quando são deficientes as con-

dições de equilíbrio vertical. Diversos trabalhos abordam este assunto, destacando-se os de

Matos Fernandes (1983, 1985), Trigo (1990) e Matos Fernandes et al. (1993, 1994).

Matos Fernandes et al. (1993) identificaram os principais aspectos do comportamento de

cortinas flexíveis em relação às cargas verticais, através de análise por elementos finitos do

caso de estudo cujas principais características se indicam na Figura 6.14. As análises foram

realizadas em 9 fases: escavação nas fases 1, 3, 5, 7 e 9 e aplicação do pré-esforço das ancoragens

(supostas com selagem fixa na fronteira inferior da malha, coincidente com o tecto do firme)

nas fases 2, 4, 6 e 8. Os 4 cálculos realizados, conforme indicado na Figura 6.14, diferem no

valor da altura enterrada da cortina.

A Figura 6.15 mostra os deslocamentos da parede obtidos das análises A a D, para as

últimas 4 fases construtivas. Pode verificar-se que à medida que a construção se aproxima

da última fase o comportamento da parede é fortemente influenciado pela altura enterrada.

Com efeito, nas análises A e B, em que a altura enterrada pode ser considerada satisfatória, o

movimento da parede é, sobretudo, horizontal, aumentando suavemente com o progredir da es-

cavação. Nos casos em que a altura enterrada é insuficiente (análises C e D) os deslocamentos

verticais e horizontais tornam-se, nas últimas fases construtivas, sucessivamente mais impor-

tantes, contribuindo as próprias fases de pré-esforço para aumentar ambas as componentes do

deslocamento.

Na Figura 6.16 os autores representam os deslocamentos finais da parede e da superfície

do terreno para as análises A, C e D. A análise A evidencia assentamento vertical da parede

praticamente nulo, pelo que esta aplica forças de corte de sentido ascendente ao solo suportado,


γ =20kN/m

σv’c =20+0.30u (kPa)

��

��

��

��

10m

8m

45o

6m 0.6m

0.4 Hγ

3

K =0.50

E =300cu uν =0.49

c =70 kPau

d

variávelABCD

8.05.02.80.0

c =ca u

τ

2mm δ

Interfacesolo−parede

Análise d(m)

Figura 6.14: Características do caso de estudo numérico apresentado por Matos Fernandeset al. (1993).

Figura 6.15: Deslocamentos da parede nas fases 6 a 9, nas análises A a D (Matos Fernandeset al., 1993).

causando uma redução do assentamento nas proximidades da escavação e induzindo uma

curvatura côncava na superfície do terreno. Verifica-se ainda a convexidade da face da frente

da parede.


Este comportamento não se evidencia nos casos das análises C e D, com fracas condições

de apoio vertical: a parede não apresenta qualquer convexidade e a superfície do terreno

suportado torna-se convexa, devido à aplicação àquele terreno de forças de corte descendentes.

Igual comportamento pode ser observado nos resultados obtidos por Hanna e Matallana (1970)

que se apresentaram na Figura 6.13.

Figura 6.16: Deslocamentos finais da parede e da superfície do terreno nas análises A, C e D(Matos Fernandes et al., 1993).

Na Figura 6.17 pode observar-se as variações das cargas nas ancoragens (expressas em per-

centagem do respectivo pré-esforço) dos níveis 1 e 3 ao longo da construção. No caso da análise

A, verifica-se a evolução típica de escavações com adequado comportamento (Matos Fernandes

et al., 1993):

• as cargas das ancoragens de dado nível aumentam nas fases de escavação e diminuem

quando qualquer outro nível é pré-esforçado;

• a carga máxima em cada nível é atingida na fase de escavação imediatamente seguinte

à do seu pré-esforço;

• as variações de carga são pequenas.

Na análise D verifica-se um comportamento consideravelmente diferente, ocorrendo uma

redução substancial da carga nas ancoragens, o que é compatível com os deslocamentos da

parede evidenciados nas Figuras 6.15 e 6.16, dado que quando a estabilidade se torna precária,

a parede move-se para uma posição que permita a redução das cargas verticais das ancoragens.

Matos Fernandes et al. (1993) apresentam ainda (Figura 6.18) a evolução durante a cons-

trução da mobilização da resistência lateral nas faces da frente e de trás da parede. Na face da

frente, verifica-se, com excepção da análise A, a completa mobilização da resistência lateral,

mesmo para assentamentos da parede praticamente nulos, o que se deve ao facto de parede e

terreno sofrerem movimentos verticais de sentidos opostos. Quanto à face de trás, quando a

altura enterrada é elevada a resistência mobilizada é muito baixa e com sentido descendente,

significando que o solo suportado assenta mais do que a parede. A mobilização significativa

da resistência na interface com sentido ascendente só se verifica nas fases finais das análises C


−50

−40

−30

−20

−10

0

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Var

iaçã

o de

car

ga n

as a

ncor

agen

s (%

)

Nível 1

ABCD

3 4 5 6 7 8 9

Fase de construção

Nível 2

5 6 7 8 9

Nível 3

7 8 9

Nível 4

Figura 6.17: Evolução das cargas nas ancoragens dos níveis 1 e 3 nas análises A a D (Ma-tos Fernandes et al., 1993).

e D, mas mesmo no caso da análise D não é atingida a completa mobilização desta resistência,

apesar do elevado assentamento. Ocorre mesmo um decréscimo da resistência mobilizada na

última fase de construção, o que se deve ao movimento da parede, que permite que o solo

suportado assente com a parede, diminuindo o deslocamento relativo da interface solo-parede

e, consequentemente, a resistência na interface. Conforme é salientado pelos autores atrás

referidos, este comportamento fora igualmente observado por Plant (1972) nos seus estudos

com modelo reduzido a que se fez referência em 6.6.2.

−40

−20

0

20

40

60

80

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Res

istê

ncia

late

ral m

obili

zada

(%

)


A−passivoB−passivoC−passivoD−passivoA−activoB−activoC−activoD−activo

Figura 6.18: Mobilização da resistência lateral nas análises A a D (Matos Fernandes et al.,1993).

Matos Fernandes et al. (1994) resumem o padrão de comportamento de cortinas de con-

tenção com deficiente apoio vertical, caracterizando-o da seguinte forma:


• a parede exibe grandes assentamentos, acompanhados de deslocamentos horizontais im-

portantes no sentido da escavação;

• os deslocamentos verticais e horizontais do solo suportado são também muito elevados,

aumentando especialmente nas proximidades da escavação;

• as cargas nas ancoragens registam em geral redução muito significativa.

6.6.4 Comportamento evidenciado por casos de obra

As estruturas de contenção flexíveis mais tradicionais, como as cortinas de estacas-pranchas

ou as tipo Berlim provisórias, eram habitualmente utilizadas em conjugação com escoras e

ancoragens de placa ou viga, com componente vertical inexistente ou pouco significativa. A

associação de ancoragens pré-esforçadas inclinadas a estes tipos de cortina tem como principal

inconveniente a existência de forças verticais de grandeza substancial, tornando obrigatória a

análise do equilíbrio na direcção correspondente.

Este problema é minimizado quando há a possibilidade de transmissão das cargas verticais

a um estrato com boas características mecânicas abaixo da escavação.

A existência de um estrato de elevadas características mecânicas não constitui, no entanto,

por si só, garantia da impossibilidade de ocorrência de problemas de estabilidade vertical.

Finno (1992) refere o caso de uma cortina tipo Berlim provisória que só foi possível fazer pe-

netrar por cravação até uma profundidade inferior à da escavação devido à existência acima da

base desta de um maciço rochoso. A escavação prolongou-se, assim, abaixo do pé da cortina,

tal como se representa esquematicamente na Figura 6.19. Devido à orientação desfavorável

das descontinuidades do maciço rochoso, verificou-se a rotura do apoio vertical da cortina, o

que se traduziu em importantes deslocamentos verticais da parede. Apesar de as componentes

verticais das ancoragens serem uma das principais causas da instabilidade vertical das conten-

ções, refere-se que neste caso houve igualmente a contribuição de cargas transmitidas pelas

sobrecargas devidas ao tráfego.

Casos semelhantes são também apresentados por White (1974) e por Barley (1997). Finno

(1992) apresenta igualmente uma metodologia de cálculo para ter em atenção este modo de

rotura, através do reforço do maciço rochoso com ancoragens ou pregagens.

Os casos de rotura mais frequentes são, no entanto, aqueles que estão associados a condições

deficientes de apoio do pé da cortina em maciços terrosos brandos, como os apresentados por

Broms e Stille (1976) envolvendo cortinas de estacas-pranchas e por Shannon e Strazer (1970) e

Dietrich et al. (1971), de algumas cortinas tipo Berlim provisórias. Em todos os casos verificou-

se assentamentos muito significativos da estrutura de contenção. Slater (1967) apresenta um

caso de estudo também de uma parede tipo Berlim provisória em que foi detectado um elevado

movimento horizontal associado a um movimento vertical que atingiu cerca de 0.90 m.

A ocorrência de deslocamentos significativos, em especial de assentamentos da cortina, é

aliás um importante indício do inadequado comportamento em relação às cargas verticais.


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Solo suportado

Maciço rochoso

Ancoragem

Escoras

Atitude das descontinuidadesdesfavorável

Plataforma para passagem de tráfego

Estrutura tipo Berlimprovisória

Figura 6.19: Representação esquemática de caso de estudo que resultou na rotura da fundaçãoda cortina em maciço rochoso, acima da base da escavação e fotografia do local. (Finno, 1992).

Ulrich (1989) que, para muitos casos de obras de escavação que observou, tinha registado

deslocamentos verticais inferiores a metade dos horizontais máximos da parede, verificando

inclusivamente, algumas vezes, a ocorrência de movimento ascensional desta, mediu numa

parede de estacas assentamentos anormalmente elevados face ao movimento horizontal, con-

cluindo da importância de realizar o dimensionamento dando particular atenção às cargas

verticais.

Num caso de uma cortina tipo Berlim ancorada, Winter (1990) regista deslocamentos

horizontais pouco significativos nos inclinómetros mas assentamentos com alguma importância

(da ordem de 6 cm) no solo atrás da cortina. O autor atribui estes deslocamentos à eventual

perda de solo devido à furação para instalação dos perfis verticais, mas uma outra possibilidade

parece ser a de estes assentamentos serem justificados pelo deslocamento vertical da própria

cortina.


Há ainda alguns casos em que, através da instrumentação, as cortinas evidenciam com-

portamentos de difícil explicação mas que poderão estar igualmente associados a eventuais

assentamentos da cortina, eventualmente não medidos. Cacoilo et al. (1998) descrevem um

caso de uma escavação realizada com uma cortina de estacas-pranchas em solo argiloso mole

a médio, com recurso a ancoragens pré-esforçadas inclinadas, aparentemente sem significativo

apoio do pé da cortina, em que foram medidos elevados deslocamentos horizontais mas não

foram registados significativas variações de carga nas ancoragens. Uma possível interpreta-

ção do fenómeno poderá ser a de que importantes deslocamentos verticais da parede tenham

igualmente ocorrido, contrabalançando o aumento tendencial das forças das ancoragens devido

aos deslocamentos horizontais. Um contacto com os autores (Cacoilo, 1999) revelou que, com

efeito, se registaram assentamentos da ordem de 25 a 50 mm, que estarão também relaciona-

dos com o movimento global da cunha de solo suportado. Situação semelhante pode ter sido

verificada por Maertens e Theys (1997), também para uma cortina de estacas-pranchas.

Encontra-se também na bibliografia consultada algumas referências a casos de estudo em

que o problema das cargas verticais e da garantia da sua estabilidade mereceu especial aten-

ção e destaque ou foi a causa do recurso a soluções pouco habituais. É o caso apresentado

por Hanna e Seeton (1967), referente a uma das primeiras estruturas tipo Berlim provisó-

rias executadas com o recurso a ancoragens, em que as inclinações destas com a horizontal

eram extremamente elevadas, chegando a atingir 70o. Por este motivo os autores concluíram

da necessidade de fazer penetrar significativamente as extremidades inferiores dos perfis no

maciço rochoso, por forma a garantir-lhes uma boa fundação e, consequentemente, adequado

comportamento em relação às acções verticais.

Mais recentemente, também em escavações com contenções tipo Berlim provisórias, Day

(1990) refere o prolongamento em 6 m dos perfis para suporte da totalidade das cargas ver-

ticais devidas à acção das ancoragens abaixo do nível de escavação e Caliendo et al. (1990)

apresentam um caso de estudo em que perfis metálicos verticais foram instalados em furos de

0.6 m de diâmetro, com selagem de betão ao longo de um comprimento de aproximadamente

7 m. Também Reinfurt et al. (1994) mostra preocupação com este assunto, referindo a uti-

lização de níveis de ancoragens com inclinação relativamente pequena, justificando assim a

pequena profundidade de encastramento da base dos perfis abaixo da base da escavação.

McRostie et al. (1972) destaca, como aspecto que teria merecido mais atenção do pro-

grama de instrumentação implementado numa escavação com estacas-pranchas, a questão dos

movimentos verticais da cortina, apesar de esta estar assente em rocha. Como motivo, refere o

assentamento da ordem de 1 cm no período de cerca de 1 mês, valor que todavia não justifica

por si só as perdas de carga muito significativas registadas nas ancoragens.

Kérisel et al. (1981) referem uma escavação realizada utilizando o método monegasco em

que se verificaram acréscimos de assentamentos quando, a partir de determinada profundidade,

as ancoragens passaram a ser mais inclinadas.

Constata-se assim que a bibliografia consultada contém um número significativo de situa-

ções em que o problema da estabilidade vertical esteve bem evidenciado. Verifica-se igualmente


que muitas destas situações se referem a paredes tipo Berlim provisórias, estruturas que, tal

como as definitivas, são particularmente sensíveis a este problema.

6.6.5 O caso das cortinas tipo Berlim definitivas

A questão das cargas verticais no Projecto

Apesar de as cortinas de contenção tipo Berlim definitivas serem muito frequentes em

Portugal, não há, praticamente, referências na bibliografia a este tipo de cortinas de contenção.

Os elementos que se apresentam sobre este assunto e, em particular sobre o comportamento

em relação às cargas verticais, provêm, assim, do que foi possível recolher pelo autor.

Há alguns anos parecia ser frequente a adopção da solução de suporte vertical de forma

quase independente da geometria da escavação ou das cargas verticais envolvidas: desde que

se tratasse de uma escavação realizada em formações argilosas sobreconsolidadas, os perfis

metálicos utilizados eram dois HEB120 nos painéis primários e nenhum perfil metálico nos

secundários, este último aspecto com a justificação de que, sendo realizados posteriormente,

as cargas verticais seriam transmitidas aos painéis primários.

A explicação para esta opção era necessariamente empírica e baseada no comportamento

aparentemente adequado exibido pelas cortinas de contenção em que esta solução ou outras

similares eram usadas. No entanto, a utilização cada vez mais generalizada de cortinas de

contenção deste tipo associadas a grandes profundidades de escavação (Figura 6.20), por vezes

em maciços de fracas características mecânicas, despertou nos projectistas novas preocupações

e a consciência de que soluções do tipo da descrita muito dificilmente verificariam a segurança

em relação, por exemplo, à encurvadura dos perfis metálicos verticais, uma vez que nas fases

da escavação eles são expostos em comprimento correspondente à profundidade escavada,

retirando-se-lhes, neste comprimento, qualquer confinamento lateral (Figuras 6.21 e 6.22).

Começou, então, a ser mais frequente o recurso a perfis com menor espaçamento, o que implica

a sua utilização também nos painéis secundários. Esta solução parece, aliás, fazer todo o

sentido, dado que o uso de uma “almofada” de areia na base dos painéis para garantir o

adequado comprimento de amarração das armaduras, para a ligação ao painel inferior (Figura

6.22) dificilmente permite transmitir ao terreno através da base dos painéis cargas verticais

significativas.

Esta necessidade de utilização de perfis nos painéis secundários pode estar também re-

lacionada com o progressivo abandono da utilização de aço macio na construção do betão

armado destas paredes, que permitia com alguma facilidade a sua colocação dobrado a 90o

na extensão do comprimento de amarração e a consequente possibilidade de evitar a referida

“almofada” de areia. Este procedimento tornava possível a betonagem do painel garantindo o

contacto directo do betão na base deste com o terreno, o que assegurava uma transmissão das

cargas verticais mais eficaz. A generalização nas cortinas de contenção dos aços A400NR e

NE, endurecidos, deixou de permitir o procedimento descrito e passou a obrigar à utilização da

referida “almofada” de areia, criando a necessidade de transmissão das cargas verticais através


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1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000

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Ano

Total3 caves ou +4 caves ou +5 caves ou +6 caves ou +

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Figura 6.20: Número de caves dos projectos de escavação apresentados na Câmara Municipalde Lisboa entre 1989 e 1999 (Almeida, 1999).

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1 2 3 4 5 6 7 8

Fase Descrição

1 furação, instalação dos perfis e selagem

2 execução da viga de coroamento

3 escavação do 1o nível, por painéis alternados

4 execução, por painéis alternados, dos painéis do 1o nível; realização e pré-esforço das ancoragens

5 escavação do 2o nível, por painéis alternados;

6 execução, por painéis alternados, dos painéis do 2o nível; realização e pré-esforço das ancoragens


8 execução, por painéis alternados, dos painéis do 3o nível.

Figura 6.21: Descrição esquemática do processo construtivo das estruturas de contenção tipoBerlim definitivas.

de outros elementos.

A própria utilização de perfis metálicos HEB120 parece ser mais justificada por aspectos


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areia

5 5A 5B

betão

5C 5D 6

Fase Descrição


5A montagem da armadura;

5B colocação de almofada de areia na base do painel, para ligação da armadura ao painel do nível

seguinte;

5C instalação da cofragem e betonagem;

5D retirada da cofragem após a presa do betão; execução do furo para a ancoragem e selagem dos

cabos;

6 execução, por painéis alternados, dos painéis do 2o nível; realização e pré-esforço das ancoragens.

Figura 6.22: Detalhe do faseamento construtivo entre as fases 5 e 6 referidas na Figura anterior.


práticos do que técnicos, estando relacionado com a facilidade de associação deste tipo de perfil

metálico a furos de 8 polegadas (aprox. 0.2 m), o que se apresenta com maior dificuldade no

caso de perfis de maior dimensão. Mais recentemente, no entanto, e provavelmente associado

à generalização de equipamentos mais potentes, que permitem a execução de furos no terreno

de maior diâmetro, e à maior consciência para a importância destes problemas, têm sido

utilizados, por vezes, perfis metálicos HEB140 e HEB160. Muito raramente são usados perfis

tubulares, em princípio muito mais adequados para este fim, tendo em conta que a solicitação

predominante é o esforço normal. A adopção de perfis tubulares ou de tipo semelhante permite

aliás o seu preenchimento interior com calda de cimento ou betão, o que contribui com um

acréscimo de resistência.

Para além da questão do tipo de perfil a utilizar, há o problema da selagem ao maciço da

sua parte inferior. Sob este ponto de vista, tanto quanto é do conhecimento do autor, não se

tem registado grande evolução nas soluções adoptadas, sendo muito frequente a utilização de

zonas de selagem dos perfis verticais com comprimento de 1.5 m ou muito próximo deste valor.

Dado o facto de esta selagem se realizar por gravidade, isto é, sem qualquer pressão, é todavia

questionável se comprimentos desta ordem de grandeza podem suportar carregamentos muito

significativos, a menos que a extremidade inferior do perfil fique assente em terreno com muito

boas características mecânicas.

O problema da fundação dos perfis verticais parece ser particularmente importante nas

obras de escavação com contenção tipo Berlim realizada em formações como os granitos do

Porto. Conforme é sabido, estes materiais apresentam perfis de alteração que podem ser

bastante irregulares, sucedendo-se, por vezes, a núcleos bastante resistentes e pouco alterados,

amplas zonas de solos residuais com características resistentes baixas. Esta heterogeneidade

faz com que os problemas de fundação dos perfis nestas formações sejam mais frequentes do

que, por exemplo, nas formações miocénicas de Lisboa.

De uma forma geral, dir-se-á, assim, que se tem registado uma sensibilização crescente para

a questão da resistência dos perfis metálicos verticais e sua fundação. Passo particularmente

importante constituiu a inclusão na “Proposta de Normas a que devem obedecer os projectos

de escavação e contenção periférica”, apresentada em Brito et al. (1997), de uma referência à

necessidade de justificação das “características dos elementos verticais provisórios e definitivos”.

Também relacionado com este problema, embora com objectivos muito mais alargados,

é de referir o próprio aparecimento das referidas normas, na sequência do pedido feito pela

Câmara Municipal de Lisboa ao Grupo de Trabalho de Geotecnia da Ordem dos Engenheiros,

o que mostra a preocupação com os assuntos da segurança nas grandes escavações urbanas

por parte de alguns municípios.

Registam-se ainda, no entanto, muitas deficiências na forma como a questão do equilí-

brio vertical das contenções tipo Berlim é tratada, o que é motivado pelo facto de o próprio

problema estar ainda insuficientemente estudado.


A questão das cargas verticais e a construção

Os problemas da estabilidade vertical das contenções tipo Berlim não se colocam apenas

ao nível de projecto, estando muitas vezes relacionados com a própria execução, merecendo

esta, assim, uma atenção especial.

O primeiro aspecto diz respeito à selagem dos perfis, fundamental para o adequado fun-

cionamento da solução. Para além de dever ser executada com o necessário respeito pelas

indicações do projecto, é fundamental ter em atenção a qualidade da selagem, que deve prefe-

rencialmente ser realizada com recurso a mangueira, feita descer com o perfil metálico, e não

por queda livre desde a boca do furo. Chama-se ainda a atenção para o facto de, durante e

após a selagem, até à presa da calda, o perfil dever ser mantido centrado no interior do furo,

aspecto tanto mais importante quanto maior for o diâmetro do furo e menor a secção de aço

usada. É interessante mencionar que em diversa bibliografia consultada, se refere, a propó-

sito da fundação dos perfis, o recurso a diâmetros de furação substancialmente superiores aos

praticados usualmente em Portugal, sendo a selagem realizada com betão.

A ilustrar a importância da qualidade da fundação dos elementos verticais, Stocker (1991)

refere um caso de uma parede de estacas secantes de 880 mm de diâmetro, com 17 m de altura,

para estabilização de um talude vertical com 13 m de altura, com 3 níveis de ancoragens

pré-esforçadas inclinadas, no qual, após a execução da parede e a aplicação das cargas nas

ancoragens, se verificou um súbito assentamento das estacas de quase 15 cm. Veio a verificar-

se que a causa para este comportamento inesperado tinha sido o acumular de detritos na base

das estacas, quando da furação, tendo o problema sido resolvido procedendo à injecção da

base das estacas e ao re-tensionamento das ancoragens.

Brito (1999) refere um caso de uma escavação em Lisboa que atesta a importância de um

adequado estudo geotécnico que tome em devida atenção a história do local. Com efeito, o

plano de prospecção não detectou a existência no local de uma antiga pedreira, o que implicou

que, em parte substancial da obra, devido à grande irregularidade do substrato resistente, os

perfis verticais ficassem fundados no material de aterro que preenchia a antiga zona explorada.

Dado que o material de aterro apresentava características mecânicas muito fracas, a parede

sofreu, após a realização de algumas ancoragens, assentamentos e deslocamentos horizontais

importantes, que implicaram deformações do terreno suportado bastante significativas. Tendo-

se constatado estes importantes deslocamentos, foram realizadas ancoragens adicionais, que

incrementaram ainda os deslocamentos. Só após este evoluir da situação se procedeu a uma

campanha de prospecção que permitiu caracterizar a situação geotécnica, interpretar o com-

portamento da obra e proceder às medidas correctivas que permitiram a conclusão da mesma

(Cenor, 1996a,b).

O incidente mostrou ainda que os trabalhos de execução dos furos para a instalação dos

perfis metálicos verticais não foram usados para uma avaliação, mesmo que sumária, das ca-

racterísticas das formações atravessadas, função para que estão particularmente vocacionados.

Uma outra questão está relacionada com o preenchimento com areia do espaço compre-


endido entre o perfil e as paredes do furo, aspecto que muitas vezes não é cumprido em

obra. A propósito desta questão, é preferível que o material de preenchimento seja incom-

pressível (ASCE, 1997), sendo, aliás, prática internacional corrente o preenchimento dos furos

com betão pobre ou calda de cimento, contrariamente ao habitualmente realizado entre nós.

Klosinsky e Rafalski (1994) referem a execução de furos recorrendo a suspensão bentonítica,

constituindo a própria suspensão, após a instalação do perfil e o endurecimento daquela, o

material de enchimento do furo, apresentando ainda resultados de ensaios de carga de perfis

metálicos instalados nestas condições.

A função principal da areia ou de outro material de preenchimento, para além de contribuir

para a redução dos deslocamentos, diminuindo a deformação das paredes dos furos, é a de

evitar a encurvadura do perfil no seu interior, que conduza a uma redução substancial da

sua capacidade para a absorção de esforços normais. Este problema é naturalmente tanto

mais importante quanto maiores forem o diâmetro do furo e o comprimento do perfil e quanto

menor for a secção de aço.

A ilustrar este problema está um incidente ocorrido numa obra em que, devido à difi-

culdade de furação, motivada pela heterogeneidade das formações, o Empreiteiro recorreu a

equipamento de execução de estacas para a realização dos furos para a instalação dos per-

fis metálicos verticais. A utilização desta técnica conduziu, no entanto, a furos com diâmetro

muito superior ao habitualmente utilizado, não se tendo, contudo, procedido ao preenchimento

do espaço compreendido entre o perfil metálico e as paredes do furo, acima da zona selada ao

maciço. A conjugação destes dois procedimentos conduziu à encurvadura de alguns perfis no

interior dos respectivos furos, como ilustra a Figura 6.23.

Figura 6.23: Encurvadura de um perfil metálico.

A anomalia, no entanto, fez-se sentir em primeiro lugar através de assentamentos e des-

locamentos importantes da parede de contenção. Sendo este o caso, poderá haver a tentação

de reforçar a solução de contenção através de novas ancoragens, processo que se revela ina-

dequado caso o problema seja, de facto, o equilíbrio vertical, uma vez que tal acção implica


um acréscimo de carga vertical que irá, provavelmente, agravar o problema. Para o solucionar

recorreu-se a escoras inclinadas, apoiadas em sapatas já betonadas na zona central de escava-

ção, para evitar a ocorrência de assentamentos adicionais. Ware et al. (1973) refere também

o recurso a esta solução.

Há igualmente notícia de outras duas obras recentes na cidade do Porto com incidentes

relacionados com a deficiente estabilidade em relação às cargas verticais, tendo-se numa delas

registado a encurvadura generalizada dos perfis metálicos verticais, com a consequência de

elevados deslocamentos verticais e horizontais da cortina e dos arruamentos vizinhos.

Considera-se igualmente de particular importância um correcto posicionamento dos perfis,

no que respeita quer à sua localização em planta, quer à sua verticalidade. Um perfil que

se afaste significativamente da vertical é, naturalmente, um perfil mais fortemente sujeito a

efeitos de segunda ordem, pelo que há que evitá-lo. Por outro lado, um perfil mal posicionado

em planta pode dificultar a transmissão das cargas verticais ou ainda provocar a necessidade

de inutilizar a sua acção através do seu corte, total ou parcial, que será necessário para permitir

a colocação da cofragem ou da armadura dos painéis.

Será ainda de evitar o recurso a perfis assumidamente exteriores à parede, como é o caso

dos perfis apresentados na Figura 6.24. O recurso a esta solução é, por vezes, justificado pela

dificuldade de realização dos furos tangentes ou muito próximos da empena de um edifício vizi-

nho. Como é fácil de compreender, o funcionamento de tais perfis será sempre menos adequado

do que o de perfis incorporados na parede a construir, pelo que se considera tal expediente alta-

mente desaconselhável, tanto mais pelo facto de existirem actualmente equipamentos dotados

de características e manobrabilidade para realizar os furos nos locais adequados. Chama-se a

atenção para o facto de também os perfis representados na Figura 6.24 exibirem alguns sinais

de encurvadura.

Uma outra razão para se evitar esta solução é a maior exposição dos perfis aos equipamentos

e materiais que circulam no interior da escavação, o que, em caso de impacto, poderá provocar

danos e diminuir a capacidade dos perfis para a transmissão de cargas verticais.

A propósito deste aspecto, referem-se ainda os impactos dos equipamentos de escavação e

de remoção de terras, com especial ênfase para os primeiros, que necessitam de uma grande

proximidade aos perfis e são, portanto, susceptíveis de lhes causar importantes danos, mesmo

quando tais perfis não são exteriores à parede a construir. Este aspecto é de particular impor-

tância dada a potência dos equipamentos que, hoje em dia, estão disponíveis para a realização

da escavação, sendo ainda relativamente frequente observar-se perfis com deformações de tal

forma significativas que os tornam completamente ineficazes.

De uma forma geral, a execução de uma obra deste tipo faz-se com maiores cuidados nas

proximidades dos edifícios e nos primeiros níveis de escavação, em particular no que respeita à

dimensão das frentes escavadas ou aos intervalos de tempo em que estas permanecem abertas

sem que a betonagem se realize. A adopção destas medidas nas primeiras fases da obra está

naturalmente relacionada com a maior proximidade das fundações dos edifícios vizinhos, com

um menor conhecimento das condições do terreno e com a frequente ocorrência superficial


Figura 6.24: Perfis exteriores com alguns sinais de encurvadura, numa obra em Lisboa.

de níveis de aterro ou de solos descomprimidos, a exigirem especial atenção. Com o evoluir

da obra e com a melhoria das características dos solos que se vai, regra geral, verificando

à medida que a escavação progride, há a tendência, aliás compreensível, para ir alargando

as frentes de escavação, em particular nas zonas mais afastadas dos edifícios vizinhos, sob

pretexto de melhores condições do terreno e melhor conhecimento deste. Não negando estes

factos, chama-se no entanto a atenção para que a situação condicionante sob o ponto de vista

do equilíbrio vertical é, precisamente, a última fase de escavação, em que a acção vertical total

tem o valor mais elevado, dado que todas as ancoragens estão já realizadas e a parede está,

em grande parte, executada.

Um exemplo em que este procedimento teve graves consequências foi o que ocorreu no

início da década de 80, em Lisboa. Para a realização do nível de escavação a que correspondia

a profundidade de 12 m foi executado inicialmente apenas um painel de canto, tendo em

seguida sido realizada toda a restante escavação, em toda a extensão de um dos alçados, até

ao outro canto. A agravar este comportamento, a obra estava a ser realizada não recorrendo

à utilização de perfis verticais, pelo que, na referida parede, era apenas a resistência ao corte

da interface posterior a suportar toda a carga vertical aplicada. Como resultado, ocorreu no

alçado em causa o colapso da escavação (Figura 6.25).

A ocorrência de deslocamentos importantes, para além de provocar danos significativos

nas estruturas vizinhas, pode ainda implicar a rotura de serviços, como por exemplo condutas

de água ou esgoto que, sendo de elevada dimensão, provoquem um excessivo aumento das


Figura 6.25: Rotura vertical de parede de contenção tipo Berlim definitiva, não apoiada emperfis metálicos.

pressões sobre a parede. É o caso da obra que se apresenta na Figura 6.26 que, conforme

se pode observar, resultou no acidente bem visível na fotografia. Não se pode afirmar que o

problema da estabilidade vertical tenha sido o factor que mais contribuiu para a rotura da

estrutura de contenção, julgando-se que diversos factores terão contribuído para o acidente.

A causa directa do acidente foi, como se referiu, o incremento de pressões causado pela

água após a rotura da conduta. Todo o processo de rotura decorreu em pouco mais de 30

minutos, tendo a particularidade de ter sido assistido por um Engenheiro Civil, que o descreve

da seguinte forma: rotura do betão nos painéis inferiores, incluindo a rotura por punçoamento

das ancoragens; propagação da rotura do betão armado para os painéis superiores; rotura das

escoras de canto nas ligações ao betão; rotura do betão na zona de um perfil metálico, que,

liberto do confinamento, encurva para o interior da escavação, sob a acção das cargas que su-

portava; rotura de algumas ancoragens; progressão sucessiva da fendilhação do betão armado,

de segundo a segundo, abertura de fenda vertical em toda a altura da parede, conduzindo ao

colapso completo.

Nesta figura é igualmente visível o modo de rotura, que evidencia a ocorrência de desloca-


Figura 6.26: Estrutura de contenção tipo Berlim após rotura.

mentos verticais acompanhados de deslocamentos horizontais, sendo estes últimos maiores em

profundidade do que próximo da superfície. Observação semelhante pode fazer-se a propósito

da Figura 6.25.

Avaliação do comportamento por via numérica

Nesta secção descreve-se o faseamento e apresenta-se os resultados da modelação de es-

truturas de contenção tipo Berlim definitivas, com destaque para o mecanismo de colapso por

perda de equilíbrio vertical.

Para auxiliar a descrição das diversas fases construtivas, considere-se o esquematicamente

apresentado na Figura 6.27 e a sequência que se indica em seguida:

• fase 0 – cálculo das tensões iniciais;

• fase 1 – escavação inicial para a construção da viga de coroamento (retirada de elementos

de solo) e instalação dos perfis metálicos verticais:

– estes perfis metálicos inicialmente instalados têm a resistência dada pela tensão

de cedência média fym e a rigidez axial real EA; a tensão de cedência média não

considera, nesta fase, a possibilidade de encurvadura do perfil, uma vez que este se

encontra confinado;

– os perfis são simulados por uma sequência de elementos barra na direcção vertical,

sendo o número de barras igual ao número de fases de escavação;


(a) fase 0 (b) fase 1

(c) fase 2 (d) fase 3

(e) fase 4 (f) fase 5

(g) fase 6 (h) fase 7

(i) fase 8 (j) fase 9

Figura 6.27: Representação esquemática da modelação das fases construtivas de uma paredede contenção tipo Berlim.

– os apoios representados nas figuras restringem os deslocamentos horizontais e são

necessários pelo facto de os elementos barra apenas transmitirem esforço normal;

– o elemento barra inferior simula as características da fundação;


– o elemento inferior é unido a um ponto que, nesta fase, é fixo;

– os elementos barra são, assim, nesta fase, completamente independentes da restante

malha de elementos finitos; não se considera, igualmente, qualquer efeito da sua

instalação;

• fase 2 – betonagem da viga de coroamento:

– colocação de elementos junta horizontais no futuro contacto da viga de coroamento

com a superfície do terreno escavado;

– aplicação das cargas verticais devidas ao peso da viga de coroamento nos elementos

junta; estes elementos junta não têm qualquer ligação aos perfis metálicos;

– apesar de, na maior parte dos casos, a aplicação das cargas devidas ao peso da

viga não ter grande influência nos deslocamentos e, portanto, este efeito não ter,

nesta fase, consequências significativas considera-se, a partir desta fase, a aplica-

ção de deslocamentos ao nó inferior dos elementos barra iguais aos que o nó com

coordenadas mais próximas do terreno sofrer;

– nenhum carregamento é, no entanto, aplicado aos perfis metálicos, uma vez que se

pretende simular a betonagem, em que o betão fresco é colocado em contacto com

os perfis mas nenhuma carga lhes é transmitida;

• fase 3 – presa do betão da viga de coroamento:

– instalação dos elementos bidimensionais que simulam a viga e dos elementos junta

verticais que simulam o contacto entre a viga e a superfície vertical do terreno

escavado; os elementos bidimensionais não têm peso, uma vez que as cargas devidas

ao peso foram já aplicadas de forma independente na fase 2;

– a partir desta fase a viga de coroamento fica solidarizada com os perfis metálicos;

para simular o contacto recorre-se a uma barra de grande rigidez e resistência mas

de comprimento muito pequeno; esta barra não tem, neste caso, qualquer efeito,

uma vez que será retirada na fase construtiva seguinte e não há ainda ancoragens

instaladas; no entanto, por simplicidade optou-se por usar exactamente o mesmo

procedimento que se utilizará na fase 6, na qual haverá carga vertical devida ao

primeiro nível de ancoragens;

• fase 4 – 1a fase de escavação:

– a barra de pequeno comprimento e de elevada rigidez, assim como a barra superior

do perfil inicialmente instalada são retiradas e substituídas por uma barra com

comportamento elástico perfeitamente plástico cuja carga limite é a capacidade

resistente à encurvadura; ao mesmo tempo atribui-se à nova barra o estado de

tensão da barra inicialmente existente;

– procede-se ainda nesta fase à escavação do nível seguinte, o que se traduz pela

retirada de elementos de solo e dos elementos de junta horizontais; esta escavação

deverá provocar a transmissão de cargas verticais ao perfil metálico;


• fase 5 – betonagem do 1o painel:

– instalação de elementos junta horizontais no contacto do 1o painel da parede com

a superfície horizontal do terreno escavado, à semelhança do descrito na fase 2;

– aplicação nestes elementos junta das cargas verticais devidas ao peso do betão;

• fase 6 – presa do betão do 1o painel e aplicação do pré-esforço:

– instalação dos elementos de parede e dos elementos junta verticais que simulam o

contacto entre o solo e a superfície vertical escavada; os elementos bidimensionais

que simulam a parede não têm peso, uma vez que as cargas devidas a esta acção

foram consideradas na fase anterior;

– a barra que foi instalada na fase 4 é retirada; a ligação da parede aos perfis faz-se

através da activação de uma nova barra de pequeno comprimento que une a parede

ao topo do perfil inicialmente instalado;

– as cargas devidas ao pré-esforço são aplicadas através de uma força concentrada;

• fases 7 a 9 – similares ao faseamento descrito nas fases 4 a 6, podendo repetir-se para

outros níveis de escavação, caso existam.

Para melhor compreender o problema e os fenómenos envolvidos no equilíbrio vertical das

paredes de contenção tipo Berlim, levou-se a cabo um estudo numérico que se apresenta em

seguida.

Trata-se de uma escavação simétrica, esquematicamente representada na Figura 6.28, de

19 m de profundidade e 20 m de largura, realizada em terreno argiloso com resistência não

drenada constante em profundidade, com um coeficiente de impulso em repouso, K0, de 0.7,

com um peso volúmico, γ, de 20 kN/m3 e com o nível freático à superfície. Considerou-se um

módulo de deformabilidade não drenado Eu de 300cu e uma adesão solo-parede de 40 kPa. Sob

o maciço argiloso considerou-se que existia um estrato com elevadas características mecânicas.

A parede foi considerada com 0.40 m de espessura e o pré-esforço das ancoragens foi definido

por forma a que as suas componentes horizontais equilibrassem o diagrama semi-empírico de

Terzaghi e Peck para argilas rijas a duras, de forma trapezoidal e com tensão máxima de

0.3γH. Considerando as ancoragens inclinadas a 45o, distribuídas em 5 níveis, e admitindo,

por simplificação, uma carga idêntica em todas as ancoragens, é-se conduzido a cargas nas

ancoragens de 460 kN/m. Para as armaduras das ancoragens foi considerada uma secção de

4.2 cm2/m. Admitiu-se ainda a rigidez efectiva das ancoragens igual a 90% da rigidez teórica;

esta redução foi introduzida através da alteração do valor do módulo de elasticidade do aço,

pelo que o valor usado foi de 0.9 × 210 = 189GPa.

Supôs-se que os perfis verticais eram HEB120 de aço Fe360, afastados, em média, de 1 m,

com secção de 34 cm2/m e módulo de elasticidade de 210 GPa.

A Figura 6.28 inclui igualmente parte da malha de elementos finitos utilizada nos cálculos.

As malhas de elementos finitos completas, para a situação inicial e para a última fase de


10m 0.4m

19m

6m

cu=80 kPa;ca=0.5cuEu=300cu;νu=0.49

K0=0.7

γ=20 kN/m3

Aanc=4.2 cm2/m

Aperfis=34 cm2/m

Figura 6.28: Geometria do caso de estudo e propriedades dos materiais.

escavação, são apresentadas na Figura 6.29. O solo e o terreno foram modelados por elementos

de 8 nós, o contacto entre o solo e a parede com elementos junta de 6 nós e as ancoragens e

os perfis metálicos verticais através de elementos barra de 2 nós.

Dado que as zonas de selagem das ancoragens e dos perfis verticais estão localizadas no

substrato de elevadas características mecânicas, não existem, praticamente, movimentos destas

zonas. Por este motivo, os pontos representativos das zonas de selagem podem ser considerados

fixos. Além disso, no que respeita aos perfis metálicos verticais, admitiu-se que não poderia

ocorrer rotura da sua fundação, pelo que a instabilidade vertical, a dar-se, será motivada pela

encurvadura.

0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80. 90.

0.

5.

10.

15.

20.

25.

(a) Situação inicial

0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80. 90.

0.

5.

10.

15.

20.

25.

(b) Fim da escavação

Figura 6.29: Malhas de elementos finitos no início e no final da escavação.


As análises foram efectuadas em tensões totais, admitindo comportamento elástico perfei-

tamente plástico, usando o critério de cedência de Tresca. A parede foi considerada elástica

linear, com as propriedades de um B25 (REBAP, 1986).

A rigidez tangencial dos elementos junta foi escolhida de modo a que mobilizasse a resistên-

cia para um deslocamento relativo de 2 mm, tendo-se usado um valor elevado para a rigidez

normal. Os elementos barra (ancoragens e perfis) foram considerados com comportamento

elástico perfeitamente plástico.

A escavação foi modelada de acordo com o procedimento esquematicamente representado

na Figura 6.27. O cálculo foi realizado em 19 fases, sumariamente descritas no Quadro 6.1.

Quadro 6.1: Faseamento construtivo adoptado nas análises.

Fase Descrição

1 escavação para a execução da viga de coroamento (0.75 m)

2 aplicação das cargas devidas ao peso da viga

3 presa do betão da viga

4 1a fase de escavação (3.0 m)

5 aplicação das cargas devidas ao peso do betão do 1o painel da parede

6 presa do betão do 1o painel e pré-esforço do 1o nível de ancoragens














Foram inicialmente realizadas duas análises – A e B. Na análise A não foi admitida qualquer

limitação para as cargas que podem ser suportadas pelos perfis metálicos, o que significa que,

nesta análise, não foi considerada a encurvadura. A análise B é idêntica à anterior, com excep-

ção de que foi considerado comportamento elástico perfeitamente plástico para os elementos

que simulam os perfis verticais. A carga limite para estes elementos depende da existência

de confinamento do perfil. Desta forma, nas situações em que o perfil se encontra confinado,

foi considerada a limitação na tensão correspondente ao valor médio fym = 249MPa, o que

conduz à carga de 847 kN/m. Optou-se por usar o valor médio, em lugar do característico

dado que se está a analisar uma situação de rotura, mas o detalhe não é muito relevante

para o assunto em estudo. Nas situações sem confinamento obtém-se uma capacidade resis-

tente à encurvadura de 605 kN/m, adoptando um comprimento de encurvadura de 2.0 m (a

profundidade de escavação em cada fase é de 3 m).


Se, de uma forma simplificada, se designar por “carga vertical total” (Ntotal) o lado es-

querdo da equação 6.2 e “esforço resistente” (NR) o valor máximo do lado direito da mesma

equação, tem-se, admitindo que as cargas nas ancoragens são constantes ao longo do processo

construtivo, os resultados que se apresentam no Quadro 6.2. Não é possível apresentar um

quadro semelhante para a análise A uma vez que se considera, nesta análise, que a carga

resistente é infinita.

Quadro 6.2: Verificação a priori simplificada do equilíbrio para a análise B

NR

Nível de Fase Ntotal Nperfil Fa Nperfil + Fa

escavação (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m)

2 7 355 605 120 725

3 10 710 605 240 845

4 13 1065 605 360 965

5 16 1420 605 480 1085

6 19 1775 605 600 1205

Ntotal – carga vertical total (peso da parede + componente vertical do pré-esforço nas ancoragens);Fa – força de corte máxima na interface solo-parede;Nperfil – força axial máxima nos perfis metálicos.

Da análise do Quadro 6.2, conclui-se que, nos pressupostos apresentados, o equilíbrio deixa

de ser possível para as fases 13 e seguintes, o que significa que serão de esperar, na análise

B, plastificação do terreno e deslocamentos elevados, motivados pela plastificação do perfil

metálico e, eventualmente, da interface solo-parede, com consequente diminuição das forças

nas ancoragens.

Apresenta-se na Figura 6.30 as tensões tangenciais no contacto solo parede nas fases de

escavação 7, 10, 13, 16 e 19, para as análises A e B. Para a fase 19, apresentam-se também os

resultados da análise B1; trata-se de uma análise realizada com precisão superior à análise B

e que só é relevante na fase 19, fase em que ocorre a rotura. O assunto não está, no entanto,

no âmbito deste texto. Pode verificar-se que, nas fases 7 e 10, correspondentes aos primeiro e

segundo níveis de escavação, as análises A e B apresentam resultados iguais, sendo de notar

que se mobiliza na primeira fase de escavação uma parte substancial da resistência ao corte

na interface (igual a 40 kPa). Faz-se igualmente notar a irregularidade que se verifica na zona

inferior de cada nível de escavação, em cada uma das fases representadas e que se justifica pela

perturbação provocada pela existência, na base da parede, de elementos junta horizontais.

A análise da Figura 6.30 permite igualmente verificar que, na fase 13 – terceira fase de

escavação – os resultados obtidos diferem substancialmente nas análises A e B, pelo facto

de nesta última se ter verificado a cedência do perfil metálico, implicando a mobilização da

resistência da interface solo-parede.

Verifica-se, assim, que nesta fase a resistência na interface solo-parede se encontra pratica-

mente mobilizada para a análise B, ao longo de toda a parede. Tal não ocorreria se a adesão

fosse ligeiramente maior (igual a 50kPa, por exemplo (Guerra et al., 2001)) Quanto à análise

A, contrariamente à mobilização substancial que ocorre na fase 7, verifica-se nas fases 10, 13


8

10

12

14

16

18

20

22

24

−40−20 0 20 40

z (m

)

Fase 7

AB

−40−20 0 20 40

Fase 10

−40−20 0 20 40


Fase 13

−40−20 0 20 40

Fase 16

−40−20 0 20 40

Fase 19

ABB1

Figura 6.30: Tensões tangenciais no contacto solo-parede nas análises A e B, nas fases 7, 10,13, 16 e 19.

e 16 um sucessivo decréscimo da resistência ao corte mobilizada. Este decréscimo faz-se notar

de fase para fase à medida que o cálculo e a escavação prosseguem e, em cada fase, ao longo da

altura da parede, mantendo-se a resistência mobilizada em níveis relativamente elevados nas

zonas mais superficiais e assumindo valores baixos nas mais profundas, onde chega a atingir

valores negativos, que significam que o solo tem movimento descendente em relação à parede.

Nas fases seguintes à fase 13 continua a verificar-se a total mobilização da interface solo-

parede na análise B, observando-se, em contrapartida, na fase 19, uma grande irregularidade

nos valores das tensões de corte. Este facto é motivado por não se ter conseguido no processo

iterativo o mesmo nível de convergência obtido para as fases anteriores. Para a fase 19,

apresentam-se as curvas correspondentes ao cálculo B.

Verificando-se da fase 10 para a fase 13 uma muito significativa modificação na resistência

ao corte mobilizada no contacto solo-parede, apresenta-se na Figura 6.31 a evolução da referida

grandeza para todas as fases entre a 10 e a 19, com o objectivo de se perceber com maior

detalhe o fenómeno de mobilização da resistência na interface. Assim, na fase 11, em que

se modela a betonagem da parede, que consiste na aplicação das cargas devidas ao peso do

betão, as alterações nas tensões tangenciais motivadas por este carregamento são praticamente

inexistentes. Na fase 12 simula-se a presa do betão através da activação dos elementos da

parede e do contacto solo-parede e realiza-se o pré-esforço das ancoragens do terceiro nível, o

que não provoca, aparentemente, a plastificação do perfil metálico (em situação confinada),

pelo que, até esta fase, as análises A e B continuam a coincidir.

A plastificação do perfil ocorre na fase 13, fase de escavação em que o perfil fica exposto


8

10

12

14

16

18

20

22

24

−40−20 0 20 40

z (m

)

Fase 10

AB

−40−20 0 20 40

Fase 11

−40−20 0 20 40


Fase 12

−40−20 0 20 40

Fase 13

−40−20 0 20 40

Fase 14

8

10

12

14

16

18

20

22

24

−40−20 0 20 40

z (m

)

Fase 15

AB

−40−20 0 20 40

Fase 16

−40−20 0 20 40


Fase 17

−40−20 0 20 40

Fase 18

−40−20 0 20 40

Fase 19

ABB1

Figura 6.31: Tensões tangenciais no contacto solo-parede nas análises A e B, nas fases 10 a19.

e em que, portanto, lhe é atribuída a resistência correspondente à capacidade resistente à

encurvadura, verificando-se por isso que a mobilização da resistência ao corte da interface

solo-parede se faz de uma forma súbita, mantendo-se nas fases seguintes. Apenas nas fases

de aplicação de pré-esforço (e de presa do betão) uma parte do contacto solo-parede não se

encontra com a resistência ao corte totalmente mobilizada, o que se explica pela introdução

de novos elementos no cálculo. É o que se observa nas fases 15 e 18. As fases seguintes, de


escavação, vão, no entanto, provocar a mobilização total desta resistência.

A análise feita anteriormente no que diz respeito à resistência ao corte mobilizada na

interface solo-parede teve em atenção os valores das tensões e da sua evolução ao longo da

interface, para cada face construtiva. O que se mostra na Figura 6.32(a) considera a resultante

das forças de corte mobilizadas dividida pela resistência ao corte total na interface para cada

fase construtiva. A resultante das forças de corte é obtida através da integração em altura das

tensões de corte apresentadas e a resistência total através da integração das tensões resistentes.

Na avaliação destas resultantes há que ter em atenção o facto de o comprimento da parede

em contacto com o terreno variar de fase para fase, devido à construção da parede após a

execução da escavação.

Verifica-se, tal como seria de esperar em face dos resultados anteriormente descritos, que

as análises A e B apresentam, ao longo do faseamento construtivo, o mesmo comportamento

da interface até à fase 12, constatando-se, a partir da fase 13, que na análise A continua a

tendência para a diminuição da resistência ao corte mobilizada, ao passo que na análise B se

observa um significativo aumento desta grandeza, ficando totalmente mobilizada a resistência

ao corte.

−40

−20

0

20

40

60

80

100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819

Res

istê

ncia

mob

iliza

da (

%)


ABB1

(a) Interface

0

20

40

60

80

100

120

140

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819

Res

istê

ncia

mob

iliza

da (

%)


BB1

(b) Perfis

Figura 6.32: Resistência mobilizada na interface solo-parede e nos perfis nas análises A, e B(fase 19).

Confirmando o que já se referiu, na análise A a resistência ao corte na interface solo-parede

mobiliza-se numa percentagem elevada – cerca de 80% – no primeiro nível de escavação (fase

7), decrescendo nas fases seguintes para cerca de 55% na fase 10 e para 30% na fase 13.

Verifica-se, no entanto, um aumento da percentagem da resistência ao corte mobilizada na

interface nas fases de pré-esforço como as fases 15 e 18.

É nestas mesmas fases que, na análise B, após se ter mobilizado 100% da resistência ao

corte, se verifica um decréscimo, motivado não propriamente pelo pré-esforço – que deveria

conduzir a um incremento da tensão tangencial mobilizada – mas pelo facto de, nestas fa-

ses ocorrer igualmente a presa do betão, conforme anteriormente referido, o que implica um

aumento da área da interface e, consequentemente, da resistência ao corte mobilizável.

Para além da resistência mobilizada na interface solo-parede, a Figura 6.32 apresenta


igualmente a percentagem da força resistente mobilizada nos perfis verticais. Os resultados

que se apresentam dizem apenas respeito à análise B, uma vez que na análise A os perfis foram

considerados com resistência ilimitada.

A observação da figura permite concluir que a carga actuante nos perfis metálicos é cres-

cente, aumentando em particular nas fases de pré-esforço (como as fases 6 e 9) e de alguma

forma também nas fases de escavação. O aumento da força nos perfis nas fases de escavação

deve-se ao facto de, nestas fases, ser retirado o apoio vertical dos painéis de betão armado no

solo, havendo, por este motivo, a necessidade de transferir esta carga para os perfis metálicos.

Quando da escavação do terceiro nível, a que corresponde a fase 10, verifica-se a mobilização

de quase 100% da resistência do perfil vertical. É de notar que, nesta fase, estava mobilizada

cerca de 50% da resistência lateral. Na fase seguinte, correspondente à aplicação do peso do

painel, não houve, praticamente, alteração, mas na fase 12, de pré-esforço, a carga mobilizada

é, de acordo com o gráfico apresentado, de cerca de 140% da resistência. Isto deve-se ao facto

de, nesta fase, o perfil se encontrar confinado, pelo que a sua resistência resulta da tensão de

cedência média, superior, naturalmente, à tensão a que corresponde a capacidade resistente à

encurvadura, em relação à qual as resistências mobilizadas nos perfis metálicos apresentadas

na figura são referidas1.

Tal significa, portanto, que a partir da fase 10 e, especialmente, a partir da fase 13, se

verifica a total mobilização da resistência dos perfis verticais, quer estejam confinados quer

não, assim como se verifica a total mobilização da resistência do contacto solo-parede.

Havendo a total mobilização da resistência dos perfis metálicos e da interface, tendo em

atenção a equação 6.2, tem-se que a carga actuante não pode aumentar, o que significa que,

continuando a realizar-se a escavação e a executar o pré-esforço, um decréscimo da carga nas

ancoragens terá que ocorrer.

É este o fenómeno claramente evidenciado pela Figura 6.33. Até à fase 12 não há qualquer

diferença entre o comportamento das ancoragens nas análises A e B; a partir desta fase as

variações de carga nas ancoragens na análise A continuam a ser modestas, mas na análise B

verifica-se uma significativa diminuição daquela carga. Este efeito é já bem evidente na fase

13 mas aumenta de forma muito significativa a partir desta fase. Verifica-se que as ancoragens

mais profundas apresentam maiores variações de carga, constatando-se decréscimos de cerca de

30% na fase 16 e de quase 100% na fase 19. De facto, os decréscimos de carga nas ancoragens

dos níveis 1 a 4 são, na análise B, de 100%.

A maior variação de carga nas ancoragens da análise A, de cerca de 12%, é a que ocorre na

última fase – fase 19 – na ancoragem do último nível. A mobilização da capacidade resistente à

encurvadura nos perfis metálicos implica a ocorrência de deslocamentos verticais importantes,

que fazem diminuir a carga nas ancoragens. Os deslocamentos verticais, no entanto, são

acompanhados por deslocamentos horizontais que, na fase 19, são bastante significativos e que

tendem a fazer aumentar a carga nas ancoragens. Na fase 19, na análise B este efeito acaba por

1O valor de 140% resulta da relação entre a tensão média - 249 MPa - e a tensão correspondente à cargade encurvadura - 178 MPa: 249/178=1.4.


−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

5 6 7 8 9 10111213141516171819

Var

iaçã

o de

car

ga (

%)

Fase

Nível 1

ABB1

8 9 10111213141516171819

Fase

Nível 2

111213141516171819

Fase

Nível 3

141516171819

Fase

Nível 4

171819

Fase

Nível 5

Figura 6.33: Variação de carga nas ancoragens nas análises A e B.

ser condicionante no comportamento da ancoragem do nível 5, constatando-se um aumento de

carga que poderá ser mesmo muito significativo. O mesmo tipo de comportamento – cargas

nas ancoragens superiores e a meia altura com tendência para diminuir e nas inferiores com

tendência para aumentar fora também observado por Hanna e Matallana (1970), em ensaios

em modelo reduzido.

Apresenta-se na Figura 6.34 as forças verticais na parede de contenção ao longo das diversas

fases construtivas, para os cálculos A e B. Os dois gráficos do lado esquerdo da figura referem-

se à análise A e os dois da direita à análise B; os gráficos superiores referem-se às cargas

aplicadas, correspondentes ao lado esquerdo da equação 6.2 e os gráficos inferiores às reacções,

correspondentes ao lado direito da mesma equação.

A análise das acções e das reacções para o cálculo A permite fazer as seguintes observações:

• a quase totalidade das cargas verticais é causada pelas ancoragens, ao longo de todas as

fases construtivas, o que significa que o peso da parede tem uma acção pouco relevante

nos casos estudados;

• a quase totalidade das cargas verticais é suportada pelos perfis verticais, verificando-se

que a mobilização da tensão tangencial no contacto solo-parede é pouco significativo;

esta tensão aumenta no início da análise, mantém-se praticamente constante nas fases

construtivas intermédias e tende a decrescer nas últimas fases; este facto, conforme

anteriormente indicado, indicia movimento relativo entre o solo e a parede em que aquele

desce em relação a esta, o que faz aumentar a carga nos perfis metálicos.

No que respeita à análise B, e tendo igualmente em atenção o que se observou na análise A,

pode constatar-se o seguinte:

• as cargas verticais continuam a ser sobretudo causadas pela componente vertical das

cargas nas ancoragens, embora os valores atingidos por estas sejam substancialmente

menores na análise B do que na análise A, após o início da plastificação;


0

500

1000

1500

2000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819

For

ça v

ertic

al (

kN/m

)


Força totalPeso da parede (Pparede)Força vertical nas ancoragens (Fanc,v)

(a) A - acções

0

500

1000

1500

2000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819

For

ça v

ertic

al (

kN/m

)


Força totalPeso da parede (Pparede)Força vertical nas ancoragens (Fanc,v)

(b) B - acções

0

500

1000

1500

2000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819

For

ça v

ertic

al (

kN/m

)


Força totalForça de adesão solo−parede (Fa)Força no perfil (Fperfil)

(c) A - reacções

0

500

1000

1500

2000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819

For

ça v

ertic

al (

kN/m

)


Força totalForça de adesão solo−parede (Fa)Força no perfil (Fperfil)

(d) B - reacções

Figura 6.34: Evolução durante o processo construtivo das cargas verticais e das forças resis-tentes nos perfis e na interface

• dado que é aplicado em ambas as análises o mesmo nível de pré-esforço, isso significa

que as cargas nas ancoragens sofrem significativos decréscimos ao longo do processo de

escavação;

• após a plastificação dos perfis metálicos, verifica-se o sucessivo aumento da carga tan-

gencial mobilizada na interface solo-parede, assumindo valores, nesta análise, da mesma

ordem de grandeza dos que se observam nos perfis metálicos, contrariamente ao que

acontece na análise A;

• na última fase, devido ao colapso do solo, deixa de ser possível a mobilização de força

de corte na interface solo-parede.

No que respeita aos deslocamentos do terreno, conforme se pode observar na Figura 6.35,

os respeitantes à análise A mantêm-se em valores aceitáveis, enquanto os da análise B atingem

valores bastante significativos e mesmo muito elevados na fase 16 e, especialmente, na fase 19.

Para além de ocorrerem deslocamentos horizontais bastante mais significativos na análise B do

que na análise A, a partir da fase 13, ocorrem igualmente assentamentos do terreno bastante

mais importantes naquela análise do que nesta.


2.5m; 0.10m

fase 4/nível 1fase 7/nível 2fase 10/nível 3fase 13/nível 4fase 16/nível 5fase 19/nível 6

(a) Análise A

2.5m; 0.10m

fase 4/nível 1fase 7/nível 2fase 10/nível 3fase 13/nível 4fase 16/nível 5fase 19/nível 6

(b) Análise B

Figura 6.35: Deslocamentos do solo nas análises A e B.

Apesar de os deslocamentos horizontais serem também consideravelmente superiores na

análise B, faz-se notar os resultados dos deslocamentos verticais obtidos nesta análise, po-

dendo constatar-se, na fase 13 e, de forma particularmente evidente, na fase 16, a ocorrência

de uma zona de terreno nas imediações da parede de contenção, com deslocamentos verti-

cais particularmente elevados e que são motivados pelos movimentos verticais da parede, que

parecem arrastar consigo o solo.

Este efeito culmina, na fase 19, com a formação de uma cunha de solo com valores dos

deslocamentos muito significativos, envolvendo o solo a uma distância da parede muito mais

considerável do que anteriormente, verificando-se, portanto, a iminência do colapso de toda a

escavação.

Conclusões

O mecanismo de colapso de paredes de contenção tipo Berlim foi, assim, descrito através

da comparação de dois casos de estudo numéricos: um em que não é permitida a plastificação

dos elementos que modelam os perfis verticais e um outro em que a carga nestes elementos é

limitada à capacidade resistente à encurvadura. Pôde, assim, constatar-se que:

• a resistência na interface é totalmente mobilizada após a plastificação do perfil; esta

mobilização faz-se de forma súbita e mantém-se até ao colapso da escavação; no caso da

análise em que não é permitida a plastificação, a força na interface vai sofrendo redução

sucessiva, ao longo da análise;

• as cargas nas ancoragens sofrem significativos decréscimos, chegando mesmo a anular-se,

quando se verifica o colapso da escavação, com excepção da ancoragem do último nível,

que sofre significativos aumentos de carga;

• a força de corte na interface solo-parede mantém-se em valores muito baixos e decrescen-


tes quando não se admite a possibilidade de plastificação do perfil mas assume valores

crescentes e atingindo a mesma ordem de grandeza das carga transmitidas aos perfis

quando se considera a possibilidade de estes plastificarem;

• os deslocamentos horizontais e verticais sofrem significativos acréscimos a partir da plas-

tificação dos perfis metálicos, atingindo valores extremamente elevados e traduzindo o

colapso da escavação; os deslocamentos verticais da parede são superiores aos desloca-

mentos verticais do solo adjacente;

• a partir da plastificação dos perfis verifica-se um aumento sucessivo da zona plastificada

do solo suportado, que continua até ao colapso;

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