Lei de Gauss - cricte2004.eletrica.ufpr.br · 10/10/2011 7 Lei de Gauss: Analogia gráfica O...
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10/10/2011 1 LEI DE GAUSS Ewaldo Luiz de Mattos Mehl Universidade Federal do Paraná Departamento de Engenharia Elétrica [email protected] Lei de Gauss AGENDA • Revisão: Produto escalar • Quem foi Gauss? • Lei de Gauss – Analogia • Linhas de campo elétrico • Fluxo do campo elétrico • Simetria • Uso da Lei de Gauss para geometrias simétricas Fio infinito
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LEI DE GAUSS
Ewaldo Luiz de Mattos Mehl
Universidade Federal do ParanáDepartamento de Engenharia Elé[email protected]
Lei de GaussAGENDA
• Revisão: Produto escalar
• Quem foi Gauss?
• Lei de Gauss – Analogia
• Linhas de campo elétrico
• Fluxo do campo elétrico
• Simetria
• Uso da Lei de Gauss para geometrias simétricas
Fio infinito
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Revisão: Produto Escalar de dois vetores
Em coordenadas cartesianas:
sen
cos
Revisão: Vetor x Escalar
Em coordenadas cartesianas:
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Carl Friedrich Gauss
• Braunschweig, 30 de Abril de 1777Göttingen, 23 de Fevereiro de 1855)
• Príncipe dos matemáticos
• Eletricidade: Lei de Gauss
• Estatística: Curva de Gauss
• Cálculo Numérico: Método de Gauss-Seidel
• Astronomia: Lei de Gauss da gravitação
• Matemática: Algoritmo de Gauss-Newton
• Cálculo do : Algoritmo de Gauss–Legendre
• ...
Lei de Gauss: Analogia
Desejamos medir a “intensidade da chuva” em um dia chuvoso Método 1: obter o volume de água de um pingo de chuva e contar o
número de pingos que caírem sobre uma superfície em umdeterminado intervalo de tempo Procedimento análogo à aplicação da Lei de Coulomb
Método 2: Estender um tecido seco com uma certa área e, apósalgum tempo na chuva, remove-lo e torcê-lo, medindo o volume deágua resultante Procedimento análogo à aplicação da Lei de Gauss
O método 1 é um procedimento “trabalhoso” ou “microscópico” O método 2 é um procedimento “mais elegante” ou “macroscópico”
Ambos os métodos devem conduzir à MESMA RESPOSTA!
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1C 1C 1C
Todas estas representações estão “corretas”, pois os vetores são apenas uma forma de representação gráfica de um fenômeno físico. Nos desenhos seguintes vamos convencionar que uma carga elétrica de 1C dá origem a um vetor de campo elétrico.
Linhas de Campo Elétrico
8C
Quantas linhas saem da esfera?
8C 8 linhas
16C 16 linhas
16C32C 32C 32 linhas
Conclusão: O fluxo é proporcional à carga no interior da esfera
Linhas de Campo Elétrico
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8C
Quantas linhas saem dasuperfície?
8C 8 linhas
16C 16 linhas
16C32C 32C 32 linhas
Linhas de Campo Elétrico
Conclusão: A forma da superfície é indiferente, desde que seja FECHADA
8C
Linhas que saem = +Linhas que entram = -
8C 0 linhas
16C 0 linhas
16C32C 32C 0 linhas
Conclusão:Quando a carga envolvida pela superfície fechada é zero, o número efetivo de linhas de campo que cortam a superfície é zero!
Linhas de Campo Elétrico
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Superfícies gaussianasNão!
Superfícies gaussianasAtenção!
As superfícies gaussianas são imaginárias!Não é necessário que exista um corpo sólido com o formato da superfície!
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Lei de Gauss: Analogia gráfica
O número de linhas do campo elétrico que saem de uma superfície fechada (gaussiana) é proporcional à carga elétrica envolvida por esta superfície
S(linhas de campo E) aCarga envolvida pela superfície fechada
N Coulombs aN linhas de campo elétrico
Fluxo do Campo Elétrico• Como visto anteriormente, o número de linhas de campo é um conceito arbitrário e dependente da convenção gráfica utilizada.
• É melhor portanto definir uma forma mais precisa que expresse a “quantidade” de linhas de campo elétrico que atravessa uma determinada superfície.
• Esta “quantidade” é chamada de Fluxo do Campo Elétrico
• Unidade: N.m2/C
1C 1C 1C
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Lei de Gauss e Fluxo do Campo Elétrico ()
(Fluxo do campo elétrico) proporcional a (Carga envolvida)
proporcional a qenvolvida
o= 8,85 x 10-12 C/N.m2
Constante de permissividade do vácuo
Questão no 1
Uma superfície Gaussiana esférica(#1) contém em seu centrogeométrico uma carga elétrica +q.Uma segunda superfície Gaussianaesférica (#2) do mesmo tamanhotambém contém a carga +q no seuinterior, porém deslocada do seucentro geométrico.
Comparativamente ao fluxo do campoelétrico que atravessa a superfície#1, o fluxo do campo elétrico queatravessa a superfície #2 é:
A. maior.
B. o mesmo.
C. menor, mas não zero.
D. zero.
E. Não se tem informações suficientes para responder.
+q
Superfície Gaussiana
#1
Superfície Gaussiana
#2
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A. maior.
B. o mesmo.
C. menor, mas não zero.
D. zero.
E. Não se tem informações suficientes para responder.
+q
Superfície Gaussiana
#1
Superfície Gaussiana
#2
Questão no 1
Uma superfície Gaussiana esférica(#1) contém em seu centrogeométrico uma carga elétrica +q.Uma segunda superfície Gaussianaesférica (#2) do mesmo tamanhotambém contém a carga +q no seuinterior, porém deslocada do seucentro geométrico.
Comparativamente ao fluxo do campoelétrico que atravessa a superfície#1, o fluxo do campo elétrico queatravessa a superfície #2 é:
Revisão: Integral de Área
Esta área ficará mais molhada!
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dA
Chuva
Chuva
Esta área ficará mais molhada!
Integral de Área
dA
Chuva Chuva
Como as áreas são iguais, fica evidente que a quantidade de chuva que “molha” cada área retangular depende do ânguloentre a área e a direção de caída da chuva!
Integral de Área
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dAdA
Chuva [C] Chuva [C]
Casos extremos• Vetores C e dA em 180°: máximo “molhamento”• Vetores C e dA em 90°: a chuva não molha a superfície
Integral de Área
Fluxo de chuvaatravés de uma área dA
Fluxochuva = CdA (produto escalar de dois vetores)
|C||dA|cos(q)
C.dA cos(q)
Fluxochuva = 0 para q=90° cos(q) = 0
Fluxochuva = -C.dA para q=180° cos(q) = -1
Generalizando:Fluxochuva = C.dA cos(q)
Para -1 < cos(q) < +1Cq
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Fluxo do Campo Elétrico ()na forma integral
O Fluxo do Campo Elétrico pode ser calculado através do produto do campo elétrico pela área, considerando-os como vetores:
qcos.AE
AE
=
=
• Caso 2: Se os vetores A e E não são paralelos, o fluxo é dado pelo produto escalar dos dois vetores:
AE=
• Caso 1: Os vetores E e A são paralelos
n̂
n̂n̂
SuperfícieGaussiana
1. Dividir a superfície em pequenos “elementos” de área A
2. Para cada elemento de área A calcular o termo:
qcos.. AEAE =
3. Somar todos os termos calculados anteriormente:
AE
= .
4. Tomar o limite quando cada elemento de área é infinitesimal:
0A
5. A somatória dos elementos infinitesimais torna-se então a integral, que é o fluxo:
AdE
.=
Fluxo do Campo Elétrico ()na forma integral
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Questão no 2
Duas cargas elétricaspontuais +q (emvermelho) e –q (emazul) estão dispostas noespaço como na figura.
Através de qual(is)superfície(s) Gaussianaso fluxo do campoelétrico é igual a zero?
A. Superfície Gaussiana A
B. Superfície Gaussiana B
C. Superfície Gaussiana C
D. Superfície Gaussiana D
E. Ambas as superfícies C e D
F. Ambas as superfícies A e B
Questão no 2
Duas cargas elétricaspontuais +q (emvermelho) e –q (emazul) estão dispostas noespaço como na figura.
Através de qual(is)superfície(s) Gaussianaso fluxo do campoelétrico é igual a zero?
A. Superfície Gaussiana A
B. Superfície Gaussiana B
C. Superfície Gaussiana C
D. Superfície Gaussiana D
E. Ambas as superfícies C e D
F. Ambas as superfícies A e B
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A superfície gaussiana deve ser decomposta por um conjunto de áreas, cada qual representada por um vetorperpendicular ao elemento de área.
Nos cálculos envolvendo Lei de Gauss, o vetor elemento de área sempre aponta “para fora” da superfície gaussiana.
O cálculo do fluxo do campo elétrico é feito através do produto escalar em cada elemento de área:EdA = E.dA cos(q)
O ‘truque’ é escolher uma superfície gaussiana conveniente, de modo que a integral de área ( ) possa ser facilmente calculada.
n̂
dA
SuperfícieGaussiana
Fluxo do Campo Elétrico ()na forma integral: anote!
Fluxo do Campo Elétrico ()na forma integral: anote!
A escolha da superfície gaussiana geralmente é o maior problema para se
aplicar a Lei de Gauss!
O procedimento é buscar a SIMETRIA
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Simetria: Diz-se que um objeto possui simetria em relação a umadeterminada operação matemática (ex.: rotação, translação, … ) se umobservador não verifica mudança no objeto após a aplicação da operação.
Atenção: Simetria é uma noção intuitiva!
Esfera semdefeitos
superficiais
Eixo deRotação
ObservadorSimetria
rotacional
Esfera semdefeitos
superficiais
Eixo deRotação
ObservadorSimetria
rotacional
Cilindrosem defeitossuperficiais
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Observador
Tapete mágico
Simetria de Translação
Plano infinitoe sem defeitos
Linear
Superficial
Simbologia para cargas uniformemente distribuídas
Volumétrica
ELETROMAGNETISMO - WILLIAM H. HAYT JÚNIOR
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Linear
Superficial
Simbologia para cargas uniformemente distribuídas
Volumétrica
FÍSICA – HALLIDAY, RESNICK & WALKER
Exemplo de uso da Lei de Gauss:Campo Elétrico produzido por um fio longo com carga uniforme l [C/m]
l C/m
L
Escolhe-se uma superfície gaussiana que aproveite a simetria da estrutura; no caso, um cilindro:
dA
dA
E
dA
E
r
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Nas “tampas” do cilindroE e dA são perpendiculares
Então:
Não existe fluxo do campo elétrico atravésdas “tampas” do cilindro!
dA
E
r
Cálculo do Fluxo:
21 tampalateraltampa =
21 ... tampalateraltampa AdEAdEAdE =
0)90cos(.
0)90cos(.
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==
==
tampatampa
tampatampa
dAE
dAE
0.0 = lateralAdE
l C/m
L
dA
dA
E E & dA são paralelosEdA = |E||dA| = E.dA
Cálculo do Fluxo:
0.0 = lateralAdE
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l C/m
L
E
A superfície cilíndrica tem uma distância constante do fio. Portanto o Campo Elétrico é constante nesta superfície
Cálculo do Fluxo:
0.0 = lateralAdE
E = constante
A integral de todos os dAé a superfície lateral do cilindro:
Então:
l C/m
rL
2r
0.0 = lateralAdE
Cálculo do Fluxo:
00 = lateralAdE
L
2r
πrL2= lateralAd
πrL2E=
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A Lei de Gauss também pode ser escrita como:
A carga dentro da superfície gaussiana é:
Então:
Cálculo do Campo Elétrico:
l C/m
rL
2r
o
E r..2
ρl=
Discussão do resultado obtido
|E| é proporcional a 1/r A medida que nos afastamos do fio carregado o campo
elétrico fica mais fraco.
Intuitivamente correto!
O vetor E aponta no sentido radial do fio carregado Intuitivamente correto!
A intensidade do campo elétrico é proporcional à densidade de carga no fio (l) Fio com maior densidade de carga = campo elétrico mais
intenso
Intuitivamente correto!
o
E r..2
ρl=
