Capítulo 2 Lei de Gauss · 2017. 11. 11. · do campo elétrico iria variar ao longo da...

Capítulo 2

Lei de Gauss

Nesse capítulo, descreveremos a Lei de Gauss e um procedimento alternativo para cálculode campos elétricos a partir dessa lei.

2.1 Fluxo Elétrico

O fluxo do campo elétrico é proporcional ao número de linhas de campo que passam poruma dada superfície.

Consideremos uma superfície qualquer divida em um número muito grande de elementosde área que são suficientemente pequenos, de área dA, onde o campo elétrico é uniforme umavez que o elemento de superfície é suficientemente pequeno. Desta forma, o fluxo elétricod�

E

através desse elemento de área é

d�

E

= EdA

Se a superfície em consideração não é perpendicular ao campo, o fluxo através dela podemudar. É fácil entender pela figura a seguir, onde a normal à superfície dA2 faz um ângulo✓ com o campo elétrico, enquanto a normal à superfície dA1 é paralela a ele.

17

18 CAPÍTULO 2. LEI DE GAUSS

Porém, o número de linhas de campo que atravessam a superfície dA1 é o mesmo queatravessam a superfície dA2, uma vez que dA1 = dA2 cos ✓ é a projeção da superfície dA2,nesse caso. Então, o fluxo elétrico sobre as duas superfícies é igual nesse caso a

d�

E

=

~

E · n1dA1 =~

E · n2dA2 ⌘ ~

E · d ~A

Se quisermos calcular o fluxo elétrico sobre uma superfície, devemos calcular a soma dofluxo de cada elemento de superfície infinitesimal, conforme a figura. Sendo assim, o fluxoelétrico se reduz a integral

�

E

=

Z~

E · d ~A (2.1)

que é uma integral feita sobre a superfície desejada, ou seja, ela depende do campo elétricoe da forma da superfície em questão.

Exemplo 2.1. Fluxo através do CuboConsideremos um campo elétrico uniforme ~

E orientado ao longo da direção x positivo.Vamos calcular o fluxo elétrico total através da superfície de um cubo de arestas l, comomostra a figura.

2.1. FLUXO ELÉTRICO 19

O fluxo total é a soma dos fluxos atravésde todas superfícies do cubo. Primeira-mente, notamos que o fluxo através dasfaces 3�, 4� e daquelas não numeradas ézero pois ~

E é perpendicular a d

~

A nessasfaces.O fluxo através das faces 1� e 2� é

�

E

=

Z1

~

E · d ~A+

Z2

~

E · d ~A

Na face 1�, ~

E é constante e tem a direção oposta ao vetor d

~

A1, de modo que o fluxosobre essa face é Z

1

~

E · d ~A =

Z1

(Ex) · (�xdA1) = �E

Z1

dA1 = �El

2

Na face 2�, ~

E é constante e tem a mesma direção do vetor d ~A2, de modo que o fluxosobre essa face é Z

2

~

E · d ~A =

Z2

(Ex) · (xdA2) = E

Z2

dA2 = El

2

Portanto, o fluxo total sobre a superfície do cubo é

�

E

= �El

2+ El

2+ 0 + 0 + 0 + 0

�

E

= 0

Exemplo 2.2. Fluxo através da Esfera devido a uma CargaConsideremos uma carga puntiforme positiva q localizada no centro de uma esfera de

raio R, como mostra a figura.


+

O fluxo total através da superfície da es-fera deve ser calculado como

�

E

=

I~

E · d ~A

onde o elemento de área da esfera éd

~

A = rdA, de modo que o fluxo atra-vés da esfera é

�

E

=

I ⇣k

q

R

2r

⌘· (rdA) = k

q

R

2(4⇡R

2)

Lembrando que k = 1/4⇡✏0, podemos escrever o fluxo através da esfera como

�

E

=

q

✏0

Notamos que o fluxo total através da superfície da esfera é proporcional a carga interna.O fluxo é independente do raio R porque a área da superfície da esfera é proporcionala R

2 e, o campo elétrico é proporcional a 1/R

2. Então, o produto da área pelo campoelétrico independe do raio R.

2.2 Lei de Gauss

Vamos considerar algumas superfícies fechadas em volta de uma carga q, conforme afigura. A superfície A1 é esférica, mas as superfícies A2 e A3 não são.

Pelo exemplo anterior, o fluxo que passa através da superfície A1 é q/✏0. Como discutidoanteriormente, o fluxo é proporcional ao número de linhas de campo elétrico que passamatravés da superfície. E da figura vemos que o número de linhas que passam através de A1

2.2. LEI DE GAUSS 21

é igual ao número de linhas que passam pelas superfícies não-esféricas A2 e A3. Portanto,concluímos que o fluxo total através de qualquer superfície fechada envolta de uma carga q é

dado por q/✏0 e é independente da forma dessa superfície.

Agora, vamos considerar uma carga localizada fora de uma superfície de forma arbitrária,conforme a figura.

Como podemos ver, qualquer linha de campo que entra na superfície sai da mesma poroutro ponto. O número de linhas de campo entrando na superfície é igual ao número deixandoa superfície. Portanto, concluímos que o fluxo total através de uma superfície fechada que

não engloba nenhuma carga é zero.

Consideremos agora o sistema de cargas e superfícies conforme a figura a seguir.

A superfície S engloba somente uma carga, q1; assim, o fluxo total através de S é q1/✏0.O fluxo através de S devido às cargas q2, q3, e q4 fora dela é zero pois cadas linha de campoque entra em S num ponto sai da superfície por outro ponto. A superfície S

0 engloba ascargas q2 e q3; assim, o fluxo total através dela é (q2 + q3)/✏0. E finalmente, o fluxo totalatravés de S

00 é zero pois não há nenhuma carga no interior da superfície. Isso é, todas aslinhas de campo que entram em S

00 por um ponto saem dela em outros pontos. Notemos que


a carga q4 não contribui para o fluxo em nenhuma superfície porque ela está fora de todasas superfícies.

Assim, a Lei de Gauss, que é a generalização do que descrevemos aqui, estabelece que ofluxo total sobre qualquer superfície fechada é

�

E

=

I~

E · d ~A =

Q

int

✏0(2.2)

onde Q

int

representa a carga total no interior da superfície e ~

E representa o campo elétricoem qualquer ponto na superfície.

2.3 Aplicações da Lei de Gauss

A lei de Gauss é útil para determinar campos elétricos de distribuições de cargas comalto grau de simetria.

A idéia é escolher uma superfície gaussiana que satisfaz uma ou mais condições a seguir:

1. O valor do campo elétrico pode ser constante sobre a superfície devido à simetria.

2. O produto escalar ~

E · d ~A é zero porque ~

E e d

~

A são perpencilares, enquanto ~

E · d ~A é±EdA pois ~

E e d

~

A são paralelos.

3. O campo pode ser zero sobre a superfície.

Essas condições serão usadas nos exemplos a seguir.

Exemplo 2.3. Campo Elétrico de uma Carga Puntiforme

Vamos determinar o campo elétrico de uma carga puntiforme q a partir da Lei deGauss.

+

Como qualquer ponto a uma mesma dis-tância r da partícula está contido na su-perfície de uma esfera, dizemos que oespaço em volta da carga tem simetriaesférica, e essa simetria nos diz que ocampo elétrico deve depender apenas dacoordenada radial, de forma que escre-vemos

~

E = E

r

(r)r

Escolheremos uma superfície gaussiana que satisfaça algumas das propriedades listadasacima, e a melhor opção parece ser uma superfície gaussiana esférica de raio r centrada na

2.3. APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS 23

carga puntiforme, conforme figura. Com isso, podemos escrever o fluxo do campo elétricocomo

�

E

=

I~

E · d ~A =

IE

r

(r)dA =

q

✏0

onde usamos o fato que o campo elétrico é normal à superfície gaussiana. Além disso,o campo elétrico possui a mesma intensidade em todos os pontos da superfície esférica,devido à distância ser a mesma em todos os pontos, de modo queI

E

r

(r)dA = E

r

(r)

IdA = E

r

(r)(4⇡r

2) =

q

✏0

E

r

(r) =

q

4⇡✏0r2= k

q

r

2

Obs: Se a carga não estivesse no centro da esfera, a lei de Gauss permaneceria válida,mas não haveria simetria suficiente para determinar o campo elétrico, pois a intensidadedo campo elétrico iria variar ao longo da superfície gaussiana.

Exemplo 2.4. Campo Elétrico de uma Esfera Carregada UniformementeVamos determinar o campo elétrico de uma esfera isolante de raio a e carregada uni-

formemnte com uma carga Q.Como a distribuição de cargas é esfericamente simétrica, sabemos que o campo deve

ser radial para fora

~

E = E(r)r

e que a superfície gaussiana deve ser uma superfície esférica, conforme as figuras abaixo.


No caso em que r > a, conforme figura (a) e do exemplo anterior, sabemos que

�

E

=

IE(r)dA = E(r)

IdA = E(r)(4⇡r

2) =

Q

✏0

cujo resultado é

E(r > a) = k

Q

r

2

No caso em que r < a, conforme figura (b), o fluxo do campo elétrico deve ser

�

E

=

IE(r)dA = E(r)

IdA = E(r)(4⇡r

2) =

Q

int

✏0

porém, nesse caso, a carga interna à superfície gaussiana é dada a partir da densidade decarga da esfera ⇢ = Q/

43⇡a

3 na forma

Q

int

= ⇢

✓4

3

⇡r

3

◆= Q

r

3

a

3

que juntos resultam em

E(r < a) = k

Q

a

3r

Sendo assim, o campo elétrico dentro e forada esfera tem formas diferentes e podemosanalisá-los na forma de um gráfico.

E(r) =

8<:k

Q

a

3 r se r < a

k

Q

r

2 se r > a

Exemplo 2.5. Campo Elétrico de um Fio Infinito Carregado UniformementeVamos determinar o campo elétrico de um fio delgado infinito e isolante carregado

uniformemente com uma densidade de carga linear �.

2.3. APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS 25

+++

+++

Como a distribuição de cargas é cilin-dricamente simétrica, sabemos que ocampo deve ser radial cilíndrico parafora, conforme a figura (b)

~

E = E(s)s

e que a superfície gaussiana deve seruma superfície cilíndrica, conforme afigura (a).

Usando a Lei de Gauss, sabemos que ofluxo do campo elétrico através da su-perfície gaussiana é proporcional à cargainterna à gaussiana

�

E

=

H~

E · d ~A = E(s)

RdA

= E(s)(2⇡sl) =

�l

✏0

onde usamos o fato que o campo elétrico~

E é perpendicular aos vetores d

~

A nassuperfícies da tampa e do fundo do ci-lindro, de modo que o resultado é

E(s) =

�

2⇡✏0s

Assim, o campo elétrico de uma distribuição de cargas com simetria cilíndrica cai com1/r enquanto que o de uma distribuição com simetria esférica cai com 1/r

2. Tal campofoi encontrado no exemplo do fio carregado, no capítulo anterior, no limite em que o fio éinfinito.

Obs: Se o fio fosse finito, não poderíamos afirmar que na borda desse fio o campo teriaa forma ~

E = E(s)s. Na verdade, apareceriam componentes do campo que são parelelasao fio.

Exemplo 2.6. Campo Elétrico de um Plano Infinito Carregado UniformementeVamos determinar o campo elétrico de um plano delgado infinito e isolante carregado

uniformemente com uma densidade de carga superficial �.


+ + + + + + +

+ + + + + +

+ + ++ +

+ +

+

+ + +

+ + + + +

+ + + + + + +

Como a distribuição de cargas tem sime-tria planar, ou seja, simetria na forma deum plano, sabemos que o campo deve serperpendicular à superfície

~

E = E(n)n

e que a superfície gaussiana pode seruma superfície cilíndrica, conforme afigura.

Usando a Lei de Gauss, sabemos que o fluxo do campo elétrico através da superfíciegaussiana é proporcional à carga interna à gaussiana

�

E

=

I~

E · d ~A = E(n)

ZdA = 2E(n)A =

�A

✏0

onde usamos o fato que o campo elétrico ~

E é perpendicular aos vetores d ~A na lateral docilindro e somente há fluxo nas tampas do cilindro, de modo que o resultado é

E(n) =

�

2✏0

Assim, o campo elétrico de uma distribuição de cargas plana infinita independe dadistância ao plano. Tal campo foi encontrado no exemplo do disco carregado, no capítuloanterior, no limite em que o disco é infinito.

2.4 Cargas em Condutores

Como vimos no capítulo anterior, um bom condutor elétrico contem cargas (elétrons) quenão estão ligados aos átomos e portanto estão livres para se moverem dentro do material.

Quando não há nenhum movimentoUm condutor em equilíbrio eletrostático tem as seguintes propriedades:

1. O campo elétrico é zero em qualquer lugar no interior do condutor.

2. Se um condutor isolado está carregado, sua carga reside na superfície.

3. O campo elétrico no exterior muito próximo do condutor é perpendicular à superfíciee de módulo �/✏0.

4. Num condutor de forma irregular, a densidade de carga � é maior onde menor for oraio de curvatura da superfície.

2.4. CARGAS EM CONDUTORES 27

Vamos verificar as primeiras três propriedades a seguir, e a quarta propriedade é apre-sentada aqui apenas para completar a lista de propriedades de um condutor em equilíbrioeletrostático, mas será verificada apenas no capítulo seguinte.

Primeira propriedade: Vamos considerar uma chapa condutora imersa num campoelétrico externo ~

E.

++++++++

––––––––

O campo elétrico dentro do condutor deveser zero sobre a hipótese que estamos emequilíbrio eletrostático. Se o campo nãofosse zero, os elétrons livres experimentariamuma força elétrica e iriam acelerar devidoa essa força. Esse movimento dos elétrons,contudo, significaria que o condutor não estáem equilíbrio eletrostática.

Assim, a existência do equilíbrio eletrostático

é consistente apenas com o campo zero no con-

dutor.

Segunda propriedade: Vamos considerar um condutor de forma arbitrária. Umasuperfície gaussiana é desenhada dentro do condutor e pode estar próxima da superfície docondutor o quanto quisermos.

Como já mostramos, o campo elétrico nointerior do condutor deve ser nulo quandoestá em equilíbrio eletrostático. Portanto,o campo elétrico deve ser nulo em todos ospontos da gaussiana, de modo que o fluxototal sobre essa superfície deve ser nulo. Epela Lei de Gauss, concluímos que a cargatotal no interior da gaussiana é zero.

Assim, como a carga total dentro do condutordeve ser nula, a carga total no condutor reside

na sua superfície.

Terceira propriedade: Vamos usar a lei de Gauss para mostrar essa propriedade.Notamos que se o campo elétrico ~

E tiver componente paralela à superfície do condutor,elétrons livres sofrerão força e estarão postos a se mover ao longo da superfície, o que nocaso de equilíbrio eletrostático é proibido. Então, o vetor ~

E deve ter apenas componentenormal à superfície.


+ + + +

+

+++

++++++++

++

++

Vamos usar uma gaussiana na forma de umcilindro tão pequeno quanto quisermos, cujasfaces planas são paralelas à superfície do con-dutor, enstando parte do cilindro fora do con-dutor e parte dentro. O fluxo sobre a super-fície lateral do cilindro é zero, pois o campo éparalelo à superfície, e na superfície dentro docondutor é zero pois o campo é zero naquelaregião.

Então, o fluxo na gaussiana é apenas

�

E

=

IEdA = EA =

Q

int

✏0=

�A

✏0

de modo que o campo na superfície do condutor deve ter módulo igual a

E =

�

✏0

tendo a direção perpendicular à superfície do condutor.

Exemplo 2.7. Esfera dentro de uma Casca Esférica CondutoresVamos determinar o campo elétrico de um plano delgado infinito e isolante carregado

uniformemente com uma densidade de carga superficial �.

Como a distribuição de cargas tem simetriaesférica, a direção do campo elétrico deve serradial de tal forma que

~

E = E(r)r

Região 1: Para encontrar o campo dentro da esfera sólida, consideremos uma super-fície gaussiana de raio r < a. Como a carga total dentro de um condutor em equilíbrioeletrostático é zero, Q

int

= 0 , então, usando a Lei de Gauss e simetria, E(r < a) = 0.

Região 2: Nessa região, consideremos uma gaussiana esférica de raio r onde a < r < b

e notemos que a carga no interior dessa superfície é +2Q (a carga da esfera sólida). Devidoà simetria esférica, o campo elétrico deve ser radial, de modo que pela Lei de Gauss

2.4. CARGAS EM CONDUTORES 29

E(4⇡r

2) =

2Q

✏0

e assim

E(a < r < b) = k

2Q

r

2

Região 3: Nessa região, o campo elétrico deve ser zero pois a casca esférica é tambémum condutor em equilíbrio, então E(b < r < c) = 0.

Região 4: Usando uma gaussiana esférica de raio r onde r > c e notando que a cargainterna a essa superfície é Q

int

= +2Q+ (�Q) = Q, temos

E(r > c) = k

Q

r

2

Desta forma, o campo elétrico dessa distribuição de cargas pode ser escrito e repre-sentado num gráfico como a seguir.

E(r) =

8>>>>>><>>>>>>:

0 se r < a

k

2Qr

2 se a < r < b

0 se b < r < c

k

Q

r

2 se r > c

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