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Lei de Gauss

Cap. 23

Copyright © 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

23-1 Fluxo Elétrico

Vetores campo elétrico e

linhas de campo transpassam

uma superfície Gaussiana

esférica imaginária que

engloba uma partícula com

carga +Q.

Agora a partícula envolvida

possui carga +2Q.

Você pode dizer qual a

carga envolvida agora?

Resp.: -0.5Q

© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

A lei de Gauss relaciona os campos elétricos nos pontos de uma

superfície gaussiana (fechada) à carga total envolvida pela superfície.

Superfície

Gaussiana

Linha de campo


O vetor área dA para um elemento de área em uma superfície é um vetor que é

perpendicular ao elemento e tem módulo igual à área dA do elemento.

O fluxo elétrico dϕ através de um elemento de área com vetor área dA é dado

pelo produto interno:

(a) Um vetor campo elétrico atravessa

um pequeno quadrado numa

superfície plana.

(b) Apenas a componente x atravessa

o quadrado; a componente y é

paralela ao quadrado.

(c) O vetor área do quadrado é

perpendicular ao quadrado e tem

um módulo igual à área do

quadrado.


Agora podemos encontrar o fluxo total integrando

o produto interno em toda a superfície.

O fluxo através da superfície é dado por

O fluxo total através de uma superfície fechada

(a qual é utilizada na Lei de Gauss) é dada por

onde a integral é calculada sobre toda a

superfície.



Se o sentido do campo elétrico é para fora da superfície, o fluxo é positivo; se o sentido do campo elétrico é

para dentro da superfície, o fluxo é negativo; se o campo elétrico é paralelo à superfície, o fluxo é zero.


Fluxo através de um cilindro fechado em campo uniforme


A Lei de Gauss relaciona o fluxo total ϕ de um

campo elétrico através de uma superfície fechada

(uma superfície Gaussiana) com a carga total qenv

que é envolvida pela superfície. Mostra que

podemos escrever a lei de Gauss também como

23-2 Lei de Gauss

Duas cargas, iguais em módulo mas com sinais opostos, e

as linhas de campo que representam o campo elétrico total.

Quatro superfícies Gaussianas são mostradas em seção

transversal.


23-2 Lei de Gauss

Superfície S1.O campo elétrico aponta para fora

para todos os pontos sobre a superfície. Então, o

fluxo do campo elétrico através da superfície é

positivo, e também é a carga total dentro desta

superfície, como requer a Lei de Gauss

Superfície S2.O campo elétrico aponta para

dentro para todos os pontos sobre a superfície.

Então, o fluxo do campo elétrico através da

superfície é negativo e também a carga

encerrada, como requer a Lei de Gauss.





transversal.

23-2 Lei de Gauss

Superfície S3.Esta superfície não engloba carga,

e então qenv = 0. A Lei de Gauss requer que o

fluxo total de campo elétrico através da superfície

seja zero. Isto é razoável porque todas as linhas

de campo passam inteiramente pela superfície,

entrando no topo e saindo no fundo.

Superfície S4.Esta superfície não engloba carga

líquida, porque as cargas positiva e negativa

envolvidas têm o mesmo módulo. A Lei de Gauss

requer que o fluxo total do campo elétrico através

da superfície seja zero. Isto é razoável porque

existem tantas linhas entrando quanto saindo de

S4.





transversal.

23-3 Um Condutor Carregado Isolado

(a) Vista de perspectiva

(b) Vista lateral de uma pequena parte de um

condutor de grande extensão com uma carga

positiva na superfície. Uma superfície gaussiana

cilíndrica, engastada perpendicularmente no

condutor, envolve parte das cargas. Linhas de

campo elétrico atravessam a base do cilindro que

está do lado de fora do condutor, mas não a base

que está do lado de dentro. A base que está do

lado de fora tem área A e o vetor área é A.© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Se uma carga em excesso é introduzida em um condutor, a carga se concentra

na superfície do condutor; o interior do condutor permanece neutro.

Existe fluxo apenas

através da face

externa final

23-4 Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Cilíndrica

A figura mostra uma seção de um bastão plástico

cilíndrico infinitamente longo com uma carga

superficial λ. A distribuição de carga e o campo tem

simetria cilíndrica. Para encontrar o campo num raio r,

nós envolvemos a seção do bastão com um cilindro

Gaussiano concêntrico de raio r e altura h.

O fluxo total através do cilindro a partir da Lei de

Gauss se reduz à

levando àUma superfície Gaussiana na

forma de um cilindro fechado

envolve uma seção de um

bastão plástico cilíndrico

infinitamente longo e

uniformemente carregado.


Existe fluxo

apenas através da

superfície curva

Superfície

Gaussiana

(linha de carga)

Existe fluxo

apenas através

das bases

Superfície

Gaussiana

23-5 Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Planar

As figuras (a-b) mostram uma parte de uma placa

fina, infinita, não-condutora com uma densidade de

carga superficial uniforme (positiva) σ. Uma folha de

plástico fino, com uma das superfícies uniformemente

carregada pode servir como um bom exemplo.

Aqui,

É simplesmente EdA e então a Lei de Gauss,

torna-se

onde σA é a carga envolvida pela superfície

Gaussiana. Isto leva à:

Placa Isolante


23-5 Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Planar

A Figura (a) mostra uma seção transversal

de uma placa condutora fina e infinita com

excesso de carga positiva. A Figura (b)

mostra uma placa idêntica com excesso de

carga negativa com o mesmo módulo de

densidade de carga superficial σ1.

Suponha trazermos as placas das Figs. a e

b para perto uma da outra mantendo-as

paralelas entre si (c). Uma vez que as

placas são condutoras, quando fazemos

isto, o excesso de carga numa placa atrai o

excesso de carga na outra placa e todo o

Duas Placas Condutoras

Excesso de carga se move para as faces internas das placas como na Fig.(c). Com

duas vezes mais carga agora em cada face interna, o campo elétrico em qualquer

ponto entre as placas tem módulo


23-6 Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Esférica

Vista em seção reta de uma casca

esférica fina, uniformemente carregada,

com uma carga total q. Duas superfícies

gaussianas, S1 e S2, também são

mostradas. A superfície S2 envolve a

casca, e a superfície S1 envolve apenas

a cavidade vazia que existe no

interior da casca.

Na figura, aplicando a Lei de Gauss para a

superfície S2, para a qual r ≥ R, encontramos que

E aplicando a Lei de Gauss para a superfície S1,

para a qual r < R,


Uma partícula carregada situada do lado de fora de uma casca esférica com uma distribuição

uniforme de carga é atraída ou repelida como se toda a carga estivesse situada no centro da casca.

23-6 Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Esférica

No interior de uma esfera com uma densidade volumétrica

uniforme de carga, o campo é radial e tem o mesmo módulo

onde q é a carga total, R é o raio da esfera, e r é a distância

radial desde o centro da esfera até o ponto de medida como

mostrado na figura.

Uma superfície Gaussiana esférica concêntrica

com r > R é mostrada em (a). Uma superfície

Gaussiana similar com r < R é mostrada em (b).


Uma partícula carregada situada no interior de uma casca esférica com uma

distribuição uniforme de carga não é atraída nem repelida pela casca.

23 Sumário

Lei de Gauss• A lei de Gauss é

• O fluxo líquido de campo elétrico

através da superfície:

• Placa isolante infinita

• Fora de uma casca esférica

carregada

• Dentro de uma casca esférica

uniforme

• Dentro de uma casca esférica

uniforme carregada

Eq. 23-15

Eq. 23-20

Aplicações da Lei de Gauss• Superfície de um conductor

carregado

• Dentro da superfície E=0.

• linha de carga

Eq. 23-6

Eq. 23-11

Eq. 23-6

Eq. 23-12

Eq. 23-13

Eq. 23-16


23 Exercícios


Halliday 10ª. Edição (atenção a partir do

capítulo passado é a 10ª. Edição)

Cap. 23:

Problemas 1; 3; 8; 12; 19; 23; 37; 42; 47; 51

23 Problema 23-1


A superfície quadrada da figura abaixo tem 3,2 mm de lado e está imersa em

um campo elétrico uniforme de módulo E = 1800 N/C e com linhas de campo

fazendo um ângulo de 35o com a normal, como mostra a figura. Tome essa

normal como apontando “para fora”, como se a superfície fosse a tampa de

uma caixa. Calcule o fluxo elétrico através da superfície.

23 Problema 23-3


O cubo da figura abaixo tem 1,40 m de aresta e está orientado da forma

mostrada na figura em uma região onde existe um campo elétrico uniforme.

Determine o fluxo elétrico através da face direita do cubo se o campo elétrico,

em newtons por coulomb, é dado por (a) 6,00î, (b) –2,00ĵ e (c) –3,00î + 4,00k.

(d) Qual é o fluxo total através do cubo nos três casos?

23 Problema 23-8


Quando um chuveiro é aberto em um banheiro fechado, os respingos de água

no piso do boxe podem encher o ar de íons negativos e produzir um campo

elétrico no ar de até 1000 N/C. Considere um banheiro de dimensões 2,5 m ×3,0 m × 2,0 m. Suponha que no teto, no piso e nas quatro paredes o campo

elétrico no ar seja perpendicular à superfície e possua um módulo uniforme de

600 N/C. Suponha também que o teto, o piso e as paredes formem uma

superfície gaussiana que envolva o ar do banheiro. Determine (a) a densidade

volumétrica de carga ρ e (b) o número de cargas elementares e em excesso

por metro cúbico de ar.

23 Problema 23-12


A figura abaixo mostra duas cascas esféricas isolantes mantidas fixas no lugar.

A casca 1 possui uma densidade superficial de carga uniforme de +6,0 μC/m2

na superfície externa e um raio de 3,0 cm; a casca 2 possui uma densidade

superficial de carga uniforme de +4,0 μC/m2 na superfície externa e um raio de

2,0 cm; os centros das cascas estão separados por uma distância L = 10 cm.

Qual é o campo elétrico no ponto x = 2,0 cm, na notação dos vetores

unitários?

23 Problema 23-19


Os veículos espaciais que atravessam os cinturões de radiação da Terra

podem interceptar um número significativo de elétrons. O acúmulo de carga

resultante pode danificar componentes eletrônicos e prejudicar o

funcionamento de alguns circuitos. Suponha que um satélite esférico feito de

metal, com 1,3 m de diâmetro, acumule 2,4 μC de carga. (a) Determine a

densidade superficial de carga do satélite. (b) Calcule o módulo do campo

elétrico nas vizinhanças do satélite devido à carga superficial.

23 Problema 23-23


(a) O cilindro condutor de uma máquina tem um comprimento de 42 cm e um

diâmetro de 12 cm. O campo elétrico nas proximidades da superfície do

cilindro é 2,3 × 105 N/C. Qual é a carga total do cilindro? (b) O fabricante

deseja produzir uma versão compacta da máquina. Para isso, é necessário

reduzir o comprimento do cilindro para 28 cm e o diâmetro para 8,0 cm. O

campo elétrico na superfície do tambor deve permanecer o mesmo. Qual deve

ser a carga do novo cilindro?

23 Problema 23-37


Uma placa metálica quadrada, de 8,0 cm de lado e espessura insignificante,

possui uma carga total de 6,0 × 10–6 C. (a) Estime o valor do módulo E do

campo elétrico perto do centro da placa (a 0,50 mm do centro, por exemplo)

supondo que a carga está distribuída uniformemente pelas duas faces da

placa. (b) Estime o valor de E a 30 m de distância (uma distância grande, em

comparação com as dimensões da placa) supondo que a placa é uma carga

pontual.

23 Problema 23-42


Duas grandes placas de metal com 1,0 m2 de área são mantidas paralelas a

5,0 cm de distância e possuem cargas de mesmo valor absoluto e sinais

opostos nas superfícies internas. Se o módulo E do campo elétrico entre as

placas é 55 N/C, qual é o valor absoluto da carga em cada placa? Despreze o

efeito de borda.

23 Problema 23-47


Uma esfera condutora com 10 cm de raio tem uma carga desconhecida. Se o

módulo do campo elétrico a 15 cm do centro da esfera é 3,0 × 103 N/C e o

campo aponta para o centro da esfera, qual é a carga da esfera?

23 Problema 23-51


Na figura abaixo, uma casca esférica, isolante, com um raio interno a = 2,00

cm e um raio externo b = 2,40 cm, possui uma densidade volumétrica uniforme

de carga positiva ρ = A/r, em que A é uma constante e r é a distância em

relação ao centro da casca. Além disso, uma pequena esfera de carga q =

45,0 fC está situada no centro da casca. Qual deve ser o valor de A para que o

campo elétrico no interior da casca (a ≤ r ≤ b) seja uniforme?

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