LimiteAutores:

Sílvia Maria Medeiros CaporaleJoão Paulo Rezende

Karine Angélica de DeusColaboradores:

José Antônio Araújo Andrade Marielle Aparecida Silva

A ideia intuitiva de limite

O estudo de funções exige, em diversas situações, certos cuidados.

A função f: R -> R, definida por, f(x) = x², por exemplo, não tem

restrições em seu domínio.

Observamos que quando o lado do quadrado tende a zero (l -> 0) , a área também tende a zero

(A -> 0) sendo este o valor limite dessa aproximação.

Podemos reescrever essa informação usando a notação de limite da seguinte forma:

ou

Lê-se:

Limite de A, quando x tende a zero é zero,

ou

Limite de l² , quando x tende a zero é zero.

ou

Essa mesma análise pode ser feita com a função f(x) = x², basta fazer os valores de x se

aproximarem de zero e observar o que acontece com a função.

A função está definida tanto para valores negativos quanto para valores positivos

Por isso podemos fazer x se aproximar de zero, por qualquer um dos lados, ou seja,

pela esquerda ou pela direita.

x se aproxima de zero pela

esquerda

x se aproxima de zero pela

direitaou seja, x assume

valores cada vez mais

próximos de zero, mas sempre

menores que zero

ou seja, x assume

valores cada vez mais

próximos de zero, mas sempre

maiores que zero.

x f(x) = x²

x se aproxima de zero pela

esquerda

Façamos então, nossas aproximações para a função f(x) = x².

- 2 4- 1 1

- 0,5 0,25- 0,25 0,0625- 0,05 0,0025

x f(x) = x²

x se aproxima de zero pela

direita

Façamos então, nossas aproximações para a função f(x) = x².

2 4 1 1

0,5 0,250,25 0,06250,05 0,0025

Observamos que quando x -> 0, y -> 0 , tanto pela direita como pela esquerda, o limite dessa

aproximação é zero, assim como acontecia no caso do quadrado.

ouPodemos reescrever essa informação usando a

notação de limite da seguinte forma:

ouLê-se:

Limite de f(x), quando x tende a zero é zero,

ou

Limite de x² , quando x tende a zero é zero.

Definição de limite –um ponto de vista informal

Dada uma função f, se tomarmos valores de x tão próximos de b quanto quisermos e f(x) se aproximar

cada vez mais de um valor L, dizemos que:

ou

Observação: O fato de

Não implica na função estar definida no ponto b.

Exemplo 1:

Seja a função

Não existe um número L que é limite da função

f(x), pois essa cresce sem cota quando x se aproxima de 0.

Portanto, trata-se de um limite infinito.

Limites laterais

Anteriormente para a função f(x) = x^2, mostramos que:

Quando x se aproxima de 0 pela direita, observamos que f(x) também se aproximava de 0.

Podemos denotar essas situações da seguinte forma:

E quando x se aproxima de 0 pela esquerda, observamos que f(x) também se aproximava de 0.

Definição: Limites laterais

Limite bilateral

Vimos anteriormente que para a função

Como

Dizemos que

é bilateral

Definição: Limite bilateral

Então, é um limite bilateral

Existência de um limiteDizemos que o limite bilateral de

uma função em um ponto b existe, se e somente se, os limites laterais

existem e são iguais.

Vejamos um exemplo...

Explique por que não existe Os limites laterais existem, mas são diferentes.

Cálculo de limitese

técnicas de determinação

Como calcular o seguinte limite?

Observe que bastava substituir o valor x=5 na função f(x)=x²-4x+3

Logo, lim p(x) = p(5)

Para qualquer polinômiotemos que

Determine o lim 5x = 4

O método utilizado no último exemplo não funciona para funções racionais em que o

denominador é nulo.

Há dois casos a considerar:

sendo

sendo

O limite pode ser

pela direita e

pela esquerda ouvice-versa.

Vejamos alguns exemplos...

Há dois casos a considerar:

sendo

Função racional

Limites infinitos

F(x) cresce sem cota quando x tende a b pela esquerda ou pela direita, logo

F(x) decresce sem cota quando x tende a b pela esquerda ou pela direita, logo

Vejamos alguns exemplos...