(01) Considere as matrizes A = (aij)2x2 tal que aij= i + j; i = j e B = (bij)2x2 , tal que (bij) = 2i – 3j.

0, i ≠ j

Determine A+B.

(02) Seja A = 1 2

3 6 . Ache uma matriz B = (bij)2x3 , com todos os elementos distintos, tal que

AB = 0 (AB não implica A = 0 ou B = 0).

(03) Construa a matriz real quadrada A de ordem 3, definida por:

aij = 2i + j

; i < j

i² – j + 1; i ≥ j

(04) Dadas as matrizes A = a 0

0 a e B = 1 b

b 1 , determine a e b de modo que AB = I , em que I

é a matriz identidade.

(05) Dada a matriz A = 1 −2

0 3 , calcule A³.

(06) Determine os valores de x, y e z na igualdade abaixo, envolvendo matrizes reais de ordem 2:

0 0

x 0 . 0 x

0 0 = x− y 0

x z + z− y 0

y− z 0

(07) Nos problemas abaixo, supondo as matrizes A, B e C quadradas, de mesma ordem e

inversíveis, resolva as equações matriciais nas quais X é a variável.

(a) A B X = C

(b) C A XT = C

LISTA DE EXERCÍCIOS 01 – Matrizes, Determinantes e Sistemas LinearesDisciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear Turma: 0002001DP2

Professor: Anderson

(c) A D X = A B C

(08) Dada a matriz M = cos x −sen x 0

sen x cos x 0

0 0 1 , calcule Q = MM

T e classifique a matriz Q.

(09) Dadas as matrizes A = 2 3 8

−5 9 6

7 4 −1 , B = −3 7 1

−4 2 6

6 9 4 e C = 7 −8 3

4 −3 2

9 −5 1 , calcule A + B,

C – A e 3A – 2B + 4C.

(10) Dadas as matrizes A = −1 −1 0

0 −1 −1

1 −1 −3 e B = −2 3 −1

1 −3 1

−1 2 −1 . Verifique se B é a inversa de A.

(11) Dadas as matrizes A = 9 5

7 4 e B = 4 n

m 9 , calcule m e n para que B seja a inversa de A.

(12) Dada a matriz A = 6 1 4

−3 8 −5

2 −6 7 , encontre P

T, sendo que P = A – A

T .

(13) Reduza a matriz abaixo à forma escalonada.

A = 1 2 −4 −4 5

2 4 0 0 2

2 3 2 1 5

−1 1 3 6 6

(14) Calcule os determinantes das matrizes abaixo:

(a) A = 7 5

2 4 (b) B = 2 5 7

3 1 4

6 8 2

(15) Resolver as equações:

(a) ∣x−2 x−3 x−1

2 1 3

3 2 1∣=60 (b) ∣x 3 2

5 x 1

1 3 1∣=12 (c) ∣ 3 5 7

2 x x 3 x

4 6 7∣=39

(16) Calcule o determinante da matriz abaixo:

det D = ∣0 a b 1

0 1 0 0

a a 0 b

1 b a 0∣

(17) Determine x e y de modo que as matrizes A = 1 2

1 0 e B = 0 1

x y comutem.

(18) Obter todas as matrizes B = (bij)2x2 que comutem com A = 1 −1

3 0 .

(19) Considere A = 2 x2

2 x−1 0 . Se AT

= A, calcule x.

(20) Resolva:

5 x – 2 y + 3 z = 2

3 x + y + 4 z = -1

4 x – 3 y + z = 3

(21) Sejam A = 2 1 0

1 2 1 , B = 0 0 2

6 4 2 e C = 3 2 0

0 1 0 , matrizes de M2X3 (ℝ).

Calcular 3 ( A - ½ B) + C.

(22) Determinar a matriz X ∈ M2X3 (ℝ) tal que ½ ( X + A) = 3 (X + (B – A)) – C, sendo A, B e C

matrizes do exercício anterior.

(23) Determinar X e Y ∈ M2X3 (ℝ) tais que:

2 X – Y = A

X + 3 Y = B , em que A e B são as matrizes do exercício 21.

(24) Determinar x, y, s e t, números reais, sabendo-se que:

x 1

1 2 + 2 y

0 −1 = 3 2

z t .

(25) Determine a.b, sabendo-se que:

1 a

b 2 . 2 3

1 0 = 4 3

2 0

(26) Dadas as matrizes A = a b 1

−1 1 a e B = 1 −1 0

0 1 0 com a, b ∈ ℝ. Se A.BT

= 3 4

−2 1 ,

determine a e b.

(27) Determine o valor do seguinte determinante: det A = ∣k−1 2

4 k−3∣ .

(28) Encontre todos os valores de m para que os quais det (A) = 0 em cada item:

(a) A = m−1 −2

1 m−4 (b) Agora, considere A = m−6 0 0

0 m −1

0 4 m−4 .

(29) Calcule o determinante da matriz A = 1 x x2

1 2 4

1 −3 9 e os valores de x que anulam esse

determinante.

(30) Dada a matriz M = −1 0

0 1 , determinar o número real k, tal que M + M-1

= k M.

(31) Seja o sistema:

3 x + y = k² - 9

x – 2 y = k + 3

Calcule k para que o sistema seja homogêneo.

(32) Calcule os valores de x, y e z nos sistemas:

(a) x + 2y – z = 2 (b) x + y – 10 = 0

2 x - y + 3 z = 9 x – z – 5 = 0

3 x + 3 y – 2 z = 3 y – z – 3 = 0

(33) Calcular m e n de modo que sejam equivalentes os sistemas:

x – y = 1 mx – ny = - 1

2 x + y = 5 nx + my = 2

(34) Resolver por escalonamento:

(a) x – 2 y - 3 z = 0 (b) Escreva o sistema na forma matricial.

S : x + 4 y – z = 1

2 x - y + z = 2

(35) Resolva os seguintes sistemas:

(a) x + 2 y + 3 z = 1 (b) x + 2 y + z = 0

4 x + 7 y + 7 z = 3 4 x + 10 y + 10 z = 0

2 x + 3 y + z = 0 x + 3 y + 4 z = 0

(36) Sejam A = 1 2

0 −1 , B = 0 −3 4

1 2 −1 e C = 1 1 1

2 −1 0 . Determine a matriz X tal que

X + 2C = A² (B – 3C)

(37) Determine a matriz inversa, se houver:

(a) A = 2 −1

6 −4 (b) 2 1 3

2 3 −2

−1 0 −3

(38) Sejam A = 3 2

4 1 e 2 3

1 1 . Determine det [ (A.B)t] -1

(39) Sejam 3 7

−1 −2 , C = 0 2

2 −1 e 1 6

3 2 . Sabendo que A.B + C = A. D. A -1, determine

det (B).

(40) Calcule o determinante da matriz D = 2 −2 0

7 5 1

3 0 7 pelas regras de Sarrus e Laplace.

(41) Calcule a matriz inversa usando operações elementares:

(a)A = 1 2

3 −4 (b) B = 1 2 −1

3 4 2

1 1 1 (c) C = 0 3 −1

3 −1 2

2 1 1

Respostas:

(01) 1 −4

1 2 (02) 2 4 6

−1 −2 −3 (03) 1 8 16

4 3 32

9 8 7 (04) a =1, b = 0 (05) 1 −26

0 27

(06) x = 0, y = 0, z = 0 ou x = 3, y = 6, z = 9 (07) (a) X = B-1 A-1 C (b) X = (A-1) T (c) X = D-1 B C

(08) Matriz Identidade de ordem 3 (10) não (11) m= -7, n =-5 (12) 0 −4 −2

4 0 −1

2 1 0

(13) 1 2 −4 −4 5

0 −1 10 9 −5

0 0 1 1 −1

0 0 0 0 24 (14) (a) 18 (b) 156 (15) (a) x = 24 (b) x = 3 ou x = 2 (c) x = 3

(16) a² + b² (17) x = ½ e y = - ½ (18) a b

−3b ab a, b ∈ ℝ (19) x = 1 (20) SPI, S = {(-k, -1-k, k)/

k ∈ ℝ} variável livre z = k. (21) 9 5 −3

−6 1 0

(22) 4 11/5 −12 /5−29 /5 −8/5 −1 (23) X = 6 /7 3 /7 2 /7

9 /7 10 /7 5 /9 , Y = −2 /7 −1/7 4/711 /7 6/7 3/7

(24) x = y = z = t = 1 (25) a.b = 0 (26) a = 7, b = 4 (27) k² – 4 k – 5 (28) (a) m = 2 ou m = 3 (b) m = 6

ou m =2 (29) det A = 5 x² – 5 x + 30, x = -3 ou x = 2 (30) k = 2 (31) k = -3 (32) (a) S = { (1, 2, 3)}

(b) S = {(6, 4, 1)} (33) m =0 e n = 1 (35) (a) SI (b) S = {( 5k, -3k, k) / k ∈ ℝ} variável livre k = z.