Lista 2 - FUV - Resolução

Rodrigo Thiago Passos Silva

Universidade Federal do ABC – Santo André

Bacharelado em Ciência e Tecnologia

RESOLUÇÃO DA LISTA 2 Funções de uma variável

Prof. Cláudio N. Meneses

1 Defina os seguintes termos:

1. Função f: D E, domínio de f, contra-domínio de f, imagem de f e gráfico de f;

Função f: D E é uma relação entre os conjuntos D e E, na qual vale a seguinte

condição:

O conjunto D é chamado de domínio e o E contra-domínio.

A imagem de f é um conjunto numérico contido em E (podendo ser o próprio

conjunto E), que contém todos os valores de f(x) para todo x do domínio.

Gráfico de f é o conjunto dos pares ordenados (x,y), tal que

2. Função definida por partes;

São funções que são definidas de diferentes formas em diferentes intervalos do

domínio.

Ex.:

3. Função valor absoluto;

É a função denotada por f(x) = |x| e definida por:

4. Função par;

São funções que possuem simetria com o eixo y, i.e., funções que f(x) é sempre

igual a f(-x).

5. Função impar;

São funções que possuem simetria com a origem do plano cartesiano, o ponto O

= (0,0), i.e., funções em que f(x) é sempre igual a –f(-x).

6. Função crescente em um dado intervalo;

Uma função é crescente em determinado intervalo se, e somente se

7. Função decrescente em um dado intervalo;

Uma função é decrescente em determinado intervalo, se e somente se




8. Função linear e coeficiente angular de uma função linear;

É uma função do tipo: f(x) = ax + b, sendo a e b números reais. Conjunto

domínio e o conjunto imagem são iguais ao conjunto dos números reais

(considerando o domínio mais amplo).

A constante a representa o coeficiente angular da reta, que é definido como a

tangente do menor ângulo que a reta forma com o eixo x.

9. Polinômio;

Polinômio é uma expressão algébrica definida da seguinte forma

onde, O domínio de uma função polinomial é o conjunto dos números reais.

10. Função racional;

É uma função definida como sendo o quociente de dois polinômios, ou seja, se

h(x) é uma função racional, então pode ser escrita da seguinte forma

Seu domínio é .

11. Função algébrica;

São funções que podem ser escritas a partir de operações algébricas (soma,

subtração, multiplicação, divisão, exponenciação e extração de raízes)

envolvendo polinômios.

12. Funções exponenciais;

São funções definidas assim:

13. Funções logarítmicas;

São funções assim definidas:

14. Funções transcedentais;

São funções não algébricas, tais como as logarítmicas, exponenciais,

trigonométricas etc.




15. Limite de uma função, limite à esquerda de um ponto, limite à direita de um

ponto;

Dizemos “o limite de f(x), quando x tende a a, é igual a L” e escrevemos

se pudermos tomar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L (tão

próximos quanto quisermos), tomando x suficientemente próximo de a (por

ambos os lados), mas não igual a a.

Dizemos que “o limite de f(x) quando x tende a a pela esquerda é igual a L” e

escrevemos

se pudermos tomar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L, para x

suficientemente próximo de a e x menor que a.

Dizemos que “o limite de f(x) quando x tende a a pela direita é igual a L” e

escrevemos

se pudermos tomar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L, para x

suficientemente próximo de a e x maior que a. 1

16. Limites infinitos;

Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em a.

Então

significa que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes

(para +∞) ou pequenos (para -∞) tomando x suficientemente próximo de a, mas

não igual a a.

17. Assíntota vertical de uma curva;

Dada uma função f, que ou , dizemos

que a reta vertical x = a é a assíntota vertical da curva definida pela função f. Ou

seja, a assíntota vertical é uma reta paralela ao eixo y, que cruza o eixo x no

ponto a.

18. Definição precisa de limites e definição precisa de limites laterais;

Seja f uma função definida para todo número em algum intervalo aberto

contendo a, exceto possivelmente o número a. O limite de f(x) quando x tende a

a será L, se a seguinte afirmativa for verdadeira: 2

1 STEWART, James. Cálculo 1. 6 ed. Cengage Learning. p. 78

2 LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. v1. 3 ed. Harbra. p. 58




Seja f uma função que está definida em todos os números de algum intervalo

aberto (a, c). Então o limite de f(x) quando x tende a a pela direita é L se, 3

Seja f uma função que está definida em todos os números de algum intervalo

aberto (d, a). Então o limite de f(x) quando x tende a a pela esquerda é L se, 3

19. Função contínua em um número;

Uma função é contínua em um número quando seu gráfico não apresenta um

“salto” naquele ponto.

Formalmente, uma função f é contínua no ponto a, com , se, e

somente se,

20. Função contínua à esquerda de um dado número;

Uma função f é contínua à esquerda de um dado ponto a, com , se, e

somente se,

21. Função contínua à direita de um dado número;

Uma função f é contínua à direita de um dado ponto a, com , se, e

somente se,

22. Função contínua em um intervalo;

Uma função é contínua em um intervalo aberto, se, e somente se, ela for

contínua em todos os números do intervalo aberto.

Uma função será contínua no intervalo [a,b] se, e somente se, ela for contínua no

intervalo aberto (a,b), contínua à direita de a e contínua à esquerda de b.

2 Explique, com suas próprias palavras, os significados dos seguintes resultados:

1. Uma curva no plano xy é o gráfico de uma função de x se e somente se nenhuma

reta vertical cortar a curva mais de uma vez;

Pela definição de função todo x pertencente ao domínio deve estar relacionado a

um, e único, y pertencente ao contra-domínio. Se traçada uma reta vertical ao

3 LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. v1. 3 ed. Harbra. p. 73-74




gráfico e ela cortar a curva mais de uma vez significa que um único valor de x

está relacionado a mais de um valor de y, fazendo, assim, com que a curva não

seja uma função.

2. se e somente se e ;

L só pode ser o limite de f(x), quando x tende a a, se quando x tender a a pelos

dois lados, faz com que f(x) se aproxime cada vez mais perto de L, de forma

convergente.

3. Se f(x) = g(x) quando x ≠ a, então , desde que o

limite exista;

É trivial que se duas funções são iguais seus limites também serão. Cabe apenas

a ressalva da importância da informação x ≠ a. Essa informação é disposta pois

mesmo as duas funções sendo iguais, elas podem estar escritas de formas

diferentes, de modo que uma delas não esteja definida no ponto a.

4. Se f(x) ≤ g(x) quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e os

limites de f e g existem quando x tende a a, então

É trivial que se há uma relação de „grandeza‟ entre duas funções, seus limites

terão a mesma relação, se considerando a tendência da abscissa a um mesmo

ponto. Sem perda de generalidade é possível - imaginando no plano cartesiano

duas retas, ambas com o mesmo coeficiente angular e separadas horizontalmente

por alguns pontos - visualizar que o limite da função menor será menor que da

função maior, para x tendendo ao mesmo ponto.

5. Se f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e

então

Intuitivamente, se as funções f e h tiverem o mesmo limite quando x tende a um

determinado ponto a, uma função de valores intermediários terá,

necessariamente, o mesmo limite. As proximidades desse ponto a (ou,

possivelmente o próprio a) serão iguais nas três funções. O ponto a, ou

proximidades, é um ponto convergente das três funções.

6. Se f e g forem contínuas no número a e se c for uma constante, então as

seguintes funções também são contínuas em a:

(a) f + g

Como f(x) e g(x) são contínuas em a, então pela definição de continuidade:

Utilizando as propriedades de limites, sabe-se que:




Portanto, f + g é contínua no ponto a.

(b) f – g

Considerando que f – g = f + (-g) observa-se que este é um caso particular do

item (a).

(c) cf

Como f(x) é contínuas em a, então pela definição de continuidade:

Logo, para cf(x):

o que confirma que a função é contínua em a.

(d) fg

Pela definição de continuidade:

Portanto, fg é contínua.

(e)

Pela definição de continuidade:

Portanto,

é contínua.

7. (a) Qualquer polinômio é contínuo em todo o seu domínio; ou seja em .

Tomando um ponto qualquer e a função polinomial genérica

.

f é uma função contínua, se, e somente se,

Resolvendo o limite, a partir das propriedades:

Portanto, toda função polinomial e contínua.

(b) Qualquer função racional é contínua sempre que estiver definida; ou seja, é

contínua em seu domínio.

Tomando um ponto qualquer e a função

h é contínua se, e somente se,




Calculando o limite por meio das propriedades:

Portanto, toda função racional é contínua em seu domínio.

8. Os seguinte tipos de funções são contínuas para todo número em seus domínios:

(a) polinômios

(b) funções racionais

Demonstração de ambos feita acima.

(c) funções raízes

(d) funções trigonométricas

(e) funções trigonométricas inversas

(f) funções exponenciais

(g) funções logarítmicas

Basta um esboço dos gráficos de cada função acima para notar que são

contínuas. Algumas funções trigonométricas inversas possuem “saltos” em

seu gráfico, por exemplo, a função arccos no ponto , entretanto são

pontos que não pertencem ao domínio da função, portanto não faz sentido

falar em continuidade nesses valores.

9. Seja f contínua em b e , então .

Significa que

Esta é a propriedade que permite algumas, entre outras, manipulações

conhecidas, como:

i)

ii)

iii)

10. Se g for contínua em um número a e f contínua em g(a), então a função

composta dada por é contínua em a.

Sendo g uma função continua em a, temos que

Sendo f contínua em b = g(a), temos, pelo teorema explicado no exercício

anterior:

comprovando, assim, que é contínua em a.




11. Suponha que f seja contínua em um intervalo fechado [a,b] e seja N um número

qualquer entre f(a) e f(b), em que f(a) ≠ f(b). Então existe um número c em (a,b)

tal que f(c) = N.

Se a função é contínua, no gráfico existirão infinitos pontos entre f(a) e f(b).

Certamente traçando uma a reta horizontal y = N entre os pontos, essa reta

cortará um ou mais pontos do gráfico, que correspondem à abscissa c.

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