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Quarta Lista de Exerc´ ıcios de F´ ısica Matem´ atica I (Equa¸c˜ oes a Derivadas Parciais N˜ ao-Homogˆ eneas e S´ eries de Fourier) IFUSP - 17 Setembro 2015 Exerc´ ıcio 1 Uma fonte externa fornece calor a uma taxa e -t uniformemente ao longo de uma barra condutora de extens˜ ao π, cuja temperatura inicial ´ e x(π - x)/2 e em cujas faces: x =0 e x = π, a temperatura ´ e mantida igual a zero. Nestas condi¸ c˜ oes, o problema de valores inicial e de fronteira (PVIF) ´ e dado por 1 κ u t - u xx = e -t , em R = {(t, x): t> 0 , 0 <x<π}, com u(t, 0) = u(t, π)=0 , t> 0 e u(0,x)= x 2 (π - x) para 0 ≤ x ≤ π. Resolva o PVIF. Exerc´ ıcio 2 Mostre que a solu¸ c˜ ao do seguinte PVIF u t - u xx + k 2 u =0 , k ∈ R/{0} , em R = {t> 0 , 0 <x<π}, com u x (t, 0) = 0 e u x (t, π)=1 , t> 0 e condi¸ c˜ ao inicial u(0,x)=0 , 0 ≤ x ≤ π ´ e dada por u(t, x)= cosh kx k sinh kπ - 1 π e -k 2 t 1 k 2 +2 ∞ X n=1 (-1) n n 2 + k 2 e -n 2 t cos nx ! . 1
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Quarta Lista de Exercıcios de Fısica Matematica I
(Equacoes a Derivadas Parciais Nao-Homogeneas e Series de Fourier)
IFUSP - 17 Setembro 2015
Exercıcio 1 Uma fonte externa fornece calor a uma taxa e−t uniformemente ao longo de umabarra condutora de extensao π, cuja temperatura inicial e x(π − x)/2 e em cujas faces: x = 0 ex = π, a temperatura e mantida igual a zero. Nestas condicoes, o problema de valores inicial e defronteira (PVIF) e dado por
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κut − uxx = e−t ,
em R = {(t, x) : t > 0 , 0 < x < π}, com
u(t, 0) = u(t, π) = 0 , t > 0
eu(0, x) =
x
2(π − x)
para 0 ≤ x ≤ π. Resolva o PVIF.
Exercıcio 2 Mostre que a solucao do seguinte PVIF
ut − uxx + k2u = 0 , k ∈ R/{0} ,
em R = {t > 0 , 0 < x < π}, com
ux(t, 0) = 0 e ux(t, π) = 1 , t > 0
e condicao inicialu(0, x) = 0 , 0 ≤ x ≤ π
e dada por
u(t, x) =cosh k x
k sinh k π− 1
πe−k
2t
(1
k2+ 2
∞∑n=1
(−1)n
n2 + k2e−n
2t cosnx
).
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