Lista 5 - Introdução á Algebra Linear
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Universidade de Bras´ ılia Departamento de Matem´atica C´ alculo 2- 5a Lista de Fixa¸c˜ ao - M´ odulo 2 1. Determine a solu¸c˜ ao geral de cada uma das seguintes equa¸c˜ oes: a) y 00 - 2y 0 - 3y =3e 2t b) y 00 - 2y 0 - 3y = -3te -t c) 2y 00 +3y 0 + y = t 2 + 3sen t d) y 00 + ω 2 0 y = cos(ωt), ω 2 6= ω 2 0 e) y 00 + ω 2 0 y = cos(ω 0 t), f) y 00 + y 0 +4y = 2senh t , usar que senh t = e t -e -t 2 2. Determine a solu¸c˜ ao de cada um dos seguintes PVI’s a) y 00 - 2y 0 + y = te t + 4, y(0) = 1 e y 0 (0) = 1 b) y 00 +2y 0 +5y =4e -t cos(2t), y(0) = 1 e y 0 (0) = 0. 3. Determine uma forma apropriada para uma solu¸c˜ ao particular da equa¸c˜ ao: y 00 +3y 0 =2t 4 + t 2 e -3t + sen (3t). 4. Determine a solu¸c˜ ao geral de y 00 + λ 2 y = N X m=1 a m sen (mπt), onde λ> 0e λ 6= mπ, com m =1,...,N . 5. Resolva pelo m´ etodo da varia¸ c˜ao dos parametros as seguintes equa¸c˜ oes a) y 00 + y = tan t, 0 < t < π/2 b) y 00 +4y 0 +4y = t -2 e 2t , t> 0 c) y 00 - 2y 0 + y = e t /(1 + t 2 ) d) t 2 y 00 - 2y =3t 2 - 1, t> 0, y 1 (t)= t 2 , y 2 (t)= t -1 e) ty 00 - (1 + t)y 0 - y = t 2 e 2t , t> 0 y 1 (t)= e t , y 2 (t)=1+ t f) t 2 y 00 - 3ty 0 +4y = t 2 ln t, t> 0 y 1 (t)= t 2 , y 2 (t)= t 2 ln t. 6. Verifique que a solu¸c˜ ao do PVI y 00 + p(t)y 0 + q(t)y = g(t), y(t 0 )= y 0 y 0 (t 0 )= y 0 0 , pode ser escrita como y(t)= u(t)+ v(t) onde u(t)´ esolu¸c˜ o de y 00 + p(t)y 0 + q(t)y =0, y(t 0 )= y 0 y 0 (t 0 )= y 0 0 , e v(t)´ esolu¸c˜ ao de y 00 + p(t)y 0 + q(t)y = g(t), y(t 0 )=0 y 0 (t 0 )=0. 1
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Lista 5, IAL, áLGEBRA, lINEAR.
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Universidade de BrasliaDepartamento de Matematica
Calculo 2- 5a Lista de Fixacao - Modulo 2
1. Determine a solucao geral de cada uma das seguintes equacoes:a) y 2y 3y = 3e2tb) y 2y 3y = 3tetc) 2y + 3y + y = t2 + 3sen td) y + 20y = cos(t),
2 6= 20e) y + 20y = cos(0t),f) y + y + 4y = 2senh t , usar que senh t = e
tet2
2. Determine a solucao de cada um dos seguintes PVIsa) y 2y + y = tet + 4, y(0) = 1 e y(0) = 1b) y + 2y + 5y = 4et cos(2t), y(0) = 1 e y(0) = 0.
3. Determine uma forma apropriada para uma solucao particular da equacao:
y + 3y = 2t4 + t2e3t + sen (3t).
4. Determine a solucao geral de
y + 2y =N
m=1
amsen (mt),
onde > 0 e 6= m, com m = 1, . . . , N .
5. Resolva pelo metodo da variacao dos parametros as seguintes equacoesa) y + y = tan t, 0 < t < /2b) y + 4y + 4y = t2e2t, t > 0c) y 2y + y = et/(1 + t2)d) t2y 2y = 3t2 1, t > 0, y1(t) = t2, y2(t) = t1e) ty (1 + t)y y = t2e2t, t > 0 y1(t) = et, y2(t) = 1 + tf) t2y 3ty + 4y = t2 ln t, t > 0 y1(t) = t2, y2(t) = t2 ln t.
6. Verifique que a solucao do PVI
y + p(t)y + q(t)y = g(t), y(t0) = y0 y(t0) = y
0,
pode ser escrita como y(t) = u(t) + v(t) onde u(t) e soluco de
y + p(t)y + q(t)y = 0, y(t0) = y0 y(t0) = y
0,
e v(t) e solucao de y + p(t)y + q(t)y = g(t), y(t0) = 0 y(t0) = 0.
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7. Escolhendo o ponto inicial t0 como limite inferior de integracao obtem-se que a solucaoparticular no metodo da variacao dos parametros e dada por
Y (t) =
tt0
y1(s)y2(t) y1(t)y2(s)y1(s)y2(s) y1(s)y2(s)
g(s)ds.
Verifique que Y (t) e solucao do PVI
y + p(t)y + q(t)y = g(t), y(t0) = 0, y(t0) = 0.
Aplicar este resultado para o
y + y = g(t), y(t0) = 0, y(t0) = 0.
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