PEF5735 - Anlise Dinmica de Estruturas com Comportamento Linear (2 Parte)

27 de maio de 2012

Lista de exerccios - Anlise Modal

Daniel Prata Vieira - 5144747

Exerccio 01Energia cintica:T =2 1 2 0 l

m h3 (x)U1

2

dx +

M a2 2 U2 2

(1)

Para a qual temos:h3 (x) = x 2x2 x3 + 2 l l

(2)

Sendo assim a equao da energia cintica do sistema recai em:T = ml3 2 M a2 2 U + U2 105 1 2

(3)

A energia potencial dada por:V = K1 2 K2 U + (U1 U2 ) 2 2 1 2 dAdx = 2EA I

(4)

Onde K1 dado por: l K1 = 2E0 A

z

d2 h3 (x) dx2

2

z 2 dA0

l

z

d2 h3 (x) dx2

2

dx =

8EI l

(5)

Logo a equao da energia potencial do sistema ca:V = 4EI 2 K2 U1 + (U1 U2 ) 2 l 2

(6)

Pela equao de Euler-Lagrange temos que:d dt T Ui T V = + pi (t) + Ni Ui Ui i = 1, 2

(7)

1

Como no h forantes externas, amortecimento e a energia cintica no depende da posio em nenhum dos graus de liberdade podemos escrever o seguinte sistemas de equaes: d dt d dt T U1 T U2 V =0 U1 V + =0 U2 +

(8)

Calculando as derivadas parciais obtemos o seguinte sistema de equaes j escrito na forma matricial:2ml3 105 0 0 M a2 U1 U2 8EI + K2 + l K2 K2 K2 U1 U2 = 0 0

(9)

Substituindo os valores numricos obtemos:125 0 0 6.25 U1 U2 + 3.36 106 1.6 105

1.6 105 1.6 105

U1 U2

=

0 0

(10)

Assumindo em regime permanente uma soluo do tipo {U } = {U0 } eit a equao acima pode ser reescrita como:3.36 106 125 2 1.6 105 1.6 105 1.6 105 6.25 2 U1 U2 = 0 0

(11)

Para a equao acima ser vlida necessrio que o determinante da matriz seja nulo, ou seja:=0 (12) 1.6 105 1.6 105 6.25 2 Resolvendo essa equao obtemos 1 = 64 5 rad/s 143.11 rad/s e 2 = 80 5 rad/s 178.89 rad/s. Para o 1 modo, assumindo um deslocamento unitrio para a coordenada generalizada U11 obtemos: 1.6 105 + 1.6 105 6.25 64 52

3.36 106 125 2

1.6 105

U12 = 0 U12 = 5

(13)

Ou seja: U1 = 1 5

(14)

Para o 2 modo, assumindo um deslocamento unitrio para a coordenada generalizada U21 obtemos: 1.6 105 + 1.6 105 6.25 80 52

U22 = 0 U22 = 4

(15)

Ou seja: U2 = 1 4

(16)

Podemos agora compor a matriz modal [] do seguinte modo:

2

[] =

1 5

1 4

(17)

E de posse da matriz modal podemos obter a matriz de massa modal [M ]:[M ] = [] [M ] [] =T

1 1

5 4

125 0

0 6.25

1 5

1 4

=

281.25 0

0 225

(18)

E a matriz de rigidez modal [K ]:3.36 106 1.6 105

[K ] = [] [K] [] =

T

1 1

5 4

1.6 105 1.6 105

1 5

1 4

=

5.76 106 0

0 7.2 106

(19)

Exerccio 02Se o sistema no possuisse as barras seu equacionamento seria:m 0 0 m[M ]

U1 U2

+

c 0

0 c

U1 U2

+

k 0

0 k

U1 U2

=

0 0

(20)

[C]

[K]

Sendo as barras imponderveis a nica inuncia destas ser na matriz de rigidez:[K ] = [K] + [Kbarras ]

(21)

Onde [K ] a matriz de rigidez do sistema com as barras e [Kbarras ] a componente da matriz de rigidez devido presena das barras. A matriz [Kbarras ] pode ser obtida atravs da matriz de exibilidade do sistema de barras.

Figura 1: Esquema prtico para determinao da matriz de exibilidade. Adotando as coordenadas como na gura podemos escrever a equao da linha elstica, segundo Gere (2003), como:fS2 ax f (x) = 16a2 a2 x2 24aEI

(22)

Sendo fS2 = 1, temos:

3

7a3 f12 = f (a) = 12EI 9a3 f22 = f (3a) = 12EI Como o sistema simtrico temos que f11 = f22 e f21 = f12 , logo a matriz de exibilidade ca: [F ] = a3 12EI 9 7 7 9

(23) (24)

(25)

A matriz de rigidez do sistema de barras obtida invertendo-se a matriz [F ]:[Kbarras ] = [F ]1

=

3EI 8a3

9 7

7 9

= 2625

9 7

7 9

(26)

Deste modo o sistema ca:[M ] U1 U2 + [C] U1 U2 + [K ] U1 U2 = 0 0

(27)

Substituindo os valores numricos obtemos: U1 U2 U1 U2 18375 55125

480 0

0 480

+

1000 0

0 1000

+

55125 18375

U1 U2

=

0 0

(28)

Resolvendo o sistema:det [K] 2 [M ] = 0

(29)

Obtemos as frequncias naturais no amortecidas 1 = 8.75 rad/s e 2 = 12.37 rad/s. A matriz modal pode ser obtida a partir da substituio das frequncias assumindo, por exemplo, U11 e U21 iguais a unidade. Deste modo obtemos: U1 = 1 1

(30)

e U2 = 1 1

(31)

As duas equaes acima descrevem o 1 e o 2 modo de vibrar, respectivamente. O primeiro modo trata de as duas massas se movimentarem em fase e o segundo do movimento de contrafase. A matriz modal ca ento:[] = 1 1 1 1

(32)

Sendo o amortecimento do tipo Rayleigh este pode ser escrito como: 4

[C] = [M ]

(33)

Onde = 25/12 s1 . A matriz [C] ento diagonalizvel. Multiplicando-se as matrizes de massa, amortecimento e rigidez esquerda por []T e a direita por [] obtemos, respectivamente, as matrizes de massa modal, amortecimento modal e rigidez modal, cujos valores numricos so:[M ] = 960 0 2000 0 73500 0 0 960 0 2000 0 147000

(34) (35) (36)

[C ] =

[K ] =

Exerccio 03A energia cintica do sistema dada por:T = 1 2 1 2 1 2 m1 U1 + m2 U2 + m3 U3 2 2 2

(37)

A energia potencial dada por:2 U = k3 U3 + k2 (U2 U3 ) + k1 (U1 U2 ) 2 2

(38)

Pelas equaes de Euler-Lagrange obtemos: m1 0 m2 0 0 m3 0 U1 2k1 2 + 2k1 U U3 0 2k1 2k1 + 2k2 2k2 U1 0 = 0 U2 2k2 0 U3 2k2 + 2k3 0

0 0

(39)

Substituindo os valores numricos temos: 1 0 1.5 0[M ]

0 0

0 2 0

U1 1200 2 + 1200 U U3 0

1200 3600 2400[K]

U1 0 = U2 2400 0 6000 U3 0 0

(40)

Para determinar as frequncias naturais devemos ento resolver a equao:det [K] 2 [M ] = 0

(41)

Obtendo ento 1 = 20.54 rad/s, 2 = 43.91 rad/s e 3 = 65.19 rad/s. Seguindo o procedimento como nos exerccios anteriores obtm-se a matriz modal: 1 0.302 1 0.607 0.679 1

[] = 0.648

2.542 2.440

(42)

5

O que nos fornece as seguintes matrizes de massa modal e rigidez modal: [M ] = [K ] = 104 1.813 0 0 0.076 0 0 0 2.474 0 0 0.477 0 0 0 22.60 0 0 9.604

(43)

(44)

Exerccio 04(a) Para a determinao da matriz de exibilidade necessrio escrever os deslocamentos na barra se aplicado uma fora unitria em cada grau de liberdade. A gura a seguir, extrada de Chopra (1995, pp 329), apresenta o esquema para determinao dos deslocamentos:

Figura 2: Esquema prtico para determinao da matriz de exibilidade. Para seguir a nomenclatura da gura vamos assumir um novo sistema de coordenadas tal queT T

U1

U2

=

U2

U1

. Segundo Gere (2003), os deslocamentos para a primeira gura so dados por:fS1 x2 f (x) = (3L x) 6EI

(45)

Assim para x = L/2, x = L e fS1 = 1 obtemos: f11 = f21 =16L3 48EI 5L3 48EI

(46)

Para a segunda gura temos: 6

fS2 (L/2) f (x) = (3L/2 x) 6EI

2

(L/2 x L)

(47)

Assim para x = L/2, x = L e fS2 = 1 obtemos: f12 = f22 =5L3 48EI 2L3 48EI

(48)

Assim a matriz de exibilidade [F ] ca denida por:[F ] = L3 48EI 16 5 5 2 = 1 4800 16 5 5 2

(49)

(b) Para a obteno da matriz de rigidez [K] basta invertermos a matriz [F ]uma vez que [K] = [F ]1 :[K] = 48EI 7L3 2 5 5 16 = 4800 7 2 5 5 16

(50)

(c) A matriz de massa dada diretamente por:[M ] = m 0 0 m =I

(51)

(d) Resolvendo:det [K] 2 [M ] = 0

(52)

Obtemos:1 = 16.51 rad/s 2 = 109.86 rad/s

(53)

Os modos de vibrar so dados pela matriz modal []:[] = 1 1

0.32 3.12

(54)

Referncias

Chopra, A. (1995). Gere, J. (2003).

Dynamics of structures, volume 1. Prentice Hall.

Mecnica dos materiais. Thomsom Learning.

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