DISCIPLINA : Cálculo Diferencial e Integral I. CURSO:

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LISTA DE EXERCÍCIOS - DERIVADAS(Atualizada em 27 de abril de 2012)

"A ciência humana de maneira nenhuma nega a existência de Deus. Quando considero quantas e quão

maravilhosas coisas o homem compreende, pesquisa e consegue realizar, então reconheço claramente

que o espírito humano é obra de Deus, e a mais notável." Galileu Galilei

Derivadas

Definição

f ′(x) =dy

dx= lim

∆x→0

f (x +∆x)− f (x)

∆x= lim

x→x0

f (x)− f (x0)

x − x0.

Interpretação Geométrica

x

y

α

dy ≈ ∆y

dx = ∆x

dy

f (x)

f (x +∆x)

x x +∆x

graf (f )

graf (t)

http:// al uloifba onquista.webnode. om.brDerivadas Imediatas

1. k ′ = 0, ∀ k ∈ C;

2. (xn)′ = nxn−1;

3. (ax)′ = ax · ln(a),em particular, (ex)′ = ex ;

4. (sen(x))′ = cos(x);

5. (cos(x))′ = − sen(x);

6. (tg(x))′ = sec2 x ;

7. (cotg(x))′ = − cossec2 x ;

8. (sec(x))′ = tg(x) · sec(x);

9. (cossec(x))′ = cotg(x) · cossec(x);

10. (loga x)′ =

1

x · ln(a) , ∀x ∈ R∗+, 0 < a 6= 1,

em particular, (ln x)′ =1

x;

11. (arcsen x)′ =1√

1− x2;.

12. (arccos(x))′ =−1√1− x2

;

13. (arctg(x))′ =1

1 + x2;

Regras da derivação

1. d(f ± g) = df ± dg ; 2. d(f · g) = f · dg + g · df ; 3. d

�f

g

�=

gdf − f dg

g 2.

Equações das Retas Tangente e Normal

1. Reta TANGENTE: y − f (a) = f ′(a)(x − a);

2. Reta NORMAL: y − f (a) =−1

f ′(a)(x − a).

Derivada da Função Composta

h(x) = f (g(x)) ⇒ h′(x) = [f (g(x))]′ · g ′(x).

Derivada da função inversa

y−1 =1

f (x)⇒ (y−1)′ =

1

f ′(x).

Derivada da função exponencial composta

y = [u(x)v(x)] ⇒ y ′ = v · uv−1 · u′ + uv · v ′ · ln x .

Definição, Interpretação Geométrica e Regras Operacionais

1. Usando a definição, determine a função primeira derivada e as derivadas nos pontos indicados.

(a) f (x) = x2 − 1, f ′(0) e f ′(1)

LISTA DE EXERCÍCIOS CALC 1 # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 2

http:// al uloifba onquista.webnode. om.br(b) f (x) = x2 − 3x + 6, f ′(−1) e f ′(2)

(c) f (x) =1

x, f ′

�1

3

�e f ′(3)

(d) f (x) = sen(x), f ′(0), f ′�π

2

�e f ′(π)

2. Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em a e, em caso afirmativo, determine

f ′(a).

(a) f (x) = 2x − 3, a = 1 (b) f (x) = 2x2 − 5, a = −1(c) f (x) =√x − 1, a = 1 (d) f (x) = x2 · |x | − 1, a = 0

3. Em que ponto da curva y = x2 + 8 a inclinação da tangente é 16? Escreva a equação dessa retatangente.

4. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função dada no ponto indicado.

(a) f (x) = 2x2 − 7 em (2, 1) (b) f (x) =x2 − 1

x2 + 1em (1, 0)

5. Encontre a derivada de cada uma das funções.

(a) f (x) = 2x4 − 3x2 + 5x − 2

(b) f (x) =3

2x+ 2x(

5√x3)− 2√

x

(c) f (x) = (3x5 − 1)(2− x4)

(d) f (s) =√3(s3 − s2)

(e) f (t) =t3 − 3t

t5 − 5t(t2 − 2t)

(f) f (x) =x3

ex+

ex

x3

(g) f (x) = x2 sen(x)− ln(x) cos(x)

(h) f (θ) = 2cotg(θ)

1− sen(θ)

6. Se f (x) = ex · g(x), em que g(0) = 2 e g ′(0) = 5. É correto dizer que f ′(0) é:

(a) 7 (b) 2 (c) 5 (d) 10

Derivada da Função Composta

7. Calcule a derivada de:

(a) y = 3√3x − 1

(b) z(x) = ln(x2 − 6)

(c) f (t) = e4t3

(d) f (t) = ln(sec(x))

(e) y = cos[tg(3− 5x)]

(f) y = sen(x2 − 2x)

(g) f (t) = e4t3

t+4

(h) y =√−3− 7x cos(−15x)

(i) y = sec�log2

�4√x3 −

√2��

8. Encontre a derivadas das funções dadas.

(a) f (x) = (3x5 − 1)10(2− x4)

(b) f (t) =(t3 − 3t)3

(t5 − 5t)5

(c) f (s) = ln(e5s−3)

(d) f (x) =1

2ln(7x2 − 4)

(e) f (x) = ex2

+ 4

(f) f (θ) = 2 cos(2θ2 − 3θ + 1)

(g) f (θ) = 2 cos2(θ) sen(θ)

(h) f (θ) = sen2(θ) + cos2(θ)

(i) f (x) = ln

�x + 1

ex

�(j) f (x) = ln(sen2(x))

(k) f (x) = arctg(x2 + 1)

(l) f (θ) = earcsen(θ)

LISTA DE EXERCÍCIOS CALC 1 # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 3

http:// al uloifba onquista.webnode. om.brL’Hospital, Derivação Implícita, Diferencial e Taxas de Va riação

9. Calcule o limite utilizando as regras de L’Hospital.

(a) limx→0

x

tg(x)

(b) limx→0

ex − cos(x)

x sen(x)

(c) limx→+∞

ln(x)√x

(d) limx→0

x2 + 6x

x3 + 7x2 + 5x

(e) limx→+∞

�ln

x

x + 1

�(f) lim

x→+∞

x99

ex

10. Ache∂y

∂xpor derivação implícita:

(a) x2 + y2 = 16

(b)1

x+

1

y= 1

(c) y2 = cos(x − y)

(d) ex+y = arctg(y)

11. Calcular a derivada das seguintes funções:

(a) y = (2x2 + x + 1)ex2

(b) y =Èln[tg(3x)] (c) y = 2sen(x) (d)

x + 1

ex

Crescimento, Extremante, Inflexão e Esboço de Gráficos

12. Verifique se estão satisfeitas as hipóteses do Teorema de Rolle para as funções a seguir, nos intervalos

especificados. Ache, então, um valor de c em cada um desses intervalos para os quais f ′(c) = 0.

(a) f (x) = 4x3 − 9x , I1 =�−3

2, 0

�, I2 =

�0,

3

2

�e I3 =

�−3

2,3

2

�.

(b) f (x) =

¨x + 2 , x ≤ 2

4− x , x > 1e I = [−2, 4]

13. Verifique se estão satisfeitas as hipóteses do Teorema de Lagrange para as funções a seguir, nos

intervalos I especificados. Em seguida, obtenha um c ∈ I que satisfaça a tese do teorema.

(a) f (x) = x2 + 2x − 1 e I = [0, 1];

(b) f (x) = 3√x2 e I = [0, 2];

(c) f (x) =x2 + 4x

x − 1e I = [2, 6]

LISTA DE EXERCÍCIOS CALC 1 # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 4

http:// al uloifba onquista.webnode. om.brGabarito1. (a) f ′(x) = 2x, f ′(0) = 0 e f ′(1) = 2; (b) f ′(x) = 2x − 3, f ′(−1) = −5 e f ′(2) = 1; (c) f ′(x) = −

1

x2, f ′�1

3

�= −9 e f ′(3) = −1/9; (d)

f ′(x) = cos(x), f ′(0) = 1, f ′�π

2

�= 0 e f ′(π) = −1. 2. 3. (8, 72) e y = 16x − 56. 4. (a) y = 8x − 15; (b) y = x − 1. 5. (a) 8x3 − 6x + 5

(b) −3

2x2+ 16

5

5√x3 +

1√x

(c) −12x8 − 15x5 + 4x3 + 30x (d)√3(3s2 − 2s) (e)

2t8 + 6t7 − 18t6 − 20t5 + 30t4 + 30t3 − 30t2

(t5 − 5t)2(f)

−x3 + 3x2

ex+

ex�

1

x3−

3

x4

�(g) 2x sen(x)+x2 cos(x)−

1

x+tg(x) (h)

cotg(θ)

[1 − sen(θ)]2[2−2 cossec(θ)+cos(θ)] 6. 7. 8. (a) (3x5−1)9(−162x8+300x4+4x3);

(b)(t3 − 3t2)(9t7 − 9t5 − 95t3 + 15t)

(t5 − 5t)6; (c) 5; (d)

7x

7x2 − 8; (e) 2xex

2; (f) − sen(2θ2 − 3θ+ 1)(4θ− 3); (g) 2 cos2(θ) cos(θ)− 4θ sen2(θ) sen(θ);

(h) 0; (i)1

x + 1− 1; (j) 2 cotg(x); (k)

2x

x4 + 2x2 + 2; (l)

earcsen(θ)p1 − θ2

. 9. (a) 1; (b) +∞; (c) 0; (d) 0; (e) 0; (f) 0. 10. (a) − xy

; (b) −�y

x

�2

; (c)

−sen(x − y)

2y + sen(x − y); (d)

(1 + y2)ex+y

ex+y − 1. 11. (a) dy = (4x3 + 2x2 + 6x + 1)ex

2dx; (b) dy =

3 sec 3x cossec 3x

2p

ln[tg(3x)]dx; (c) ln(2) · 2sen(x) · cos(x)dx;

(d) dy = −x

exdx 12. 13.

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