Como resolver derivadas e integrais mais de 150 exercícios res

Christiane Mázur Lauricella

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 exercícios resolvidos

Copyright© Editora Ciência Moderna Ltda., 2011.Todos os direitos para a língua portuguesa reservados pela EDITORA CIÊNCIA MODERNA LTDA.De acordo com a Lei 9.610, de 19/2/1998, nenhuma parte deste livro poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Editora.

Editor: Paulo André P. MarquesSupervisão Editorial: Aline Vieira MarquesCopidesque: Paula Regina PilastriCapa: Cristina Satchko HodgeDiagramação: Tatiana NevesAssistente Editorial: Vanessa Motta

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FICHA CATALOGRÁFICA

LAURICELLA, Christiane Mázur Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 exercícios resolvidosRio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., 2011

1. Matemática.I — Título

ISBN: 978-85-399-0113-5 CDD 510

Editora Ciência Moderna Ltda.R. Alice Figueiredo, 46 – Riachuelo Rio de Janeiro, RJ – Brasil CEP: 20.950-150 Tel: (21) 2201-6662 / Fax: (21) [email protected] 08/11

SumárioSumárioSumárioSumárioSumário

IntroduçãoIntroduçãoIntroduçãoIntroduçãoIntrodução ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... VIIVIIVIIVIIVII

Capítulo 1Capítulo 1Capítulo 1Capítulo 1Capítulo 1

Derivadas de Funções Simples de uma VariávelDerivadas de Funções Simples de uma VariávelDerivadas de Funções Simples de uma VariávelDerivadas de Funções Simples de uma VariávelDerivadas de Funções Simples de uma Variável ..................................................................................................................................................................................................................................................... 11111

Exercícios Propostos – Capítulo 1. ....................................................................................... 25

Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 1. ................................................................ 26


Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelDerivadas de Funções Compostas de uma VariávelDerivadas de Funções Compostas de uma VariávelDerivadas de Funções Compostas de uma VariávelDerivadas de Funções Compostas de uma Variável .................................................................................................................................................................................................................. 2929292929




Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisDerivadas Parciais de Funções de duas VariáveisDerivadas Parciais de Funções de duas VariáveisDerivadas Parciais de Funções de duas VariáveisDerivadas Parciais de Funções de duas Variáveis ............................................................................................................................................................................................................................ 5959595959




Integrais Simples - Diretíssimas da TIntegrais Simples - Diretíssimas da TIntegrais Simples - Diretíssimas da TIntegrais Simples - Diretíssimas da TIntegrais Simples - Diretíssimas da Tabelaabelaabelaabelaabela ................................................................................................................................................................................................................................................................................... 7777777777



I VI VI VI VI V Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos


Integrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da Tabelaabelaabelaabelaabela ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 9797979797

Exercícios Propostos – Capítulo 5. ..................................................................................... 108

Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 5. .............................................................. 109


Integrais Simples - Método da SubstituiçãoIntegrais Simples - Método da SubstituiçãoIntegrais Simples - Método da SubstituiçãoIntegrais Simples - Método da SubstituiçãoIntegrais Simples - Método da Substituição .......................................................................................................................................................................................................................................................... 111111111111111




Integrais Simples – Integração por PartesIntegrais Simples – Integração por PartesIntegrais Simples – Integração por PartesIntegrais Simples – Integração por PartesIntegrais Simples – Integração por Partes ......................................................................................................................................................................................................................................................................... 131131131131131




Integrais Simples – Integrais DefinidasIntegrais Simples – Integrais DefinidasIntegrais Simples – Integrais DefinidasIntegrais Simples – Integrais DefinidasIntegrais Simples – Integrais Definidas ............................................................................................................................................................................................................................................................................................. 151151151151151




Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoIntegrais Duplas e Regiões de IntegraçãoIntegrais Duplas e Regiões de IntegraçãoIntegrais Duplas e Regiões de IntegraçãoIntegrais Duplas e Regiões de Integração ................................................................................................................................................................................................................................................................................... 161161161161161

Exercícios Propostos – Capítulo 9 ...................................................................................... 196

Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 9 ............................................................... 197

VVVVVSumárioSumárioSumárioSumárioSumário


Integrais Duplas – Mudança de VariávelIntegrais Duplas – Mudança de VariávelIntegrais Duplas – Mudança de VariávelIntegrais Duplas – Mudança de VariávelIntegrais Duplas – Mudança de Variável ........................................................................................................................................................................................................................................................................................ 199199199199199

Exercícios Propostos – Capítulo 10 .................................................................................... 234

Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 10 ............................................................ 235

IntroduçãoIntroduçãoIntroduçãoIntroduçãoIntrodução

Este trabalho não pretende ser mais um livro de Cálculo Diferencial e Integral. Suaintenção é auxiliar os interessados, por meio de exemplos, a aprenderem a resolverderivadas e integrais. Em cada exemplo há uma conversa com o leitor, na qual, emlinguagem simples e direta, descreve-se o passo a passo de todas as etapas envolvi-das na resolução de derivadas e integrais.

A estrutura da organização do texto é baseada em três grandes blocos: o dasderivadas, o das integrais simples e o das integrais duplas, conforme mostrado noquadro abaixo.

Inicialmente, são feitos exemplos com resoluções detalhadas de derivadas de funçõessimples de uma variável, incluindo o uso de propriedades de derivação relativas àsoma, ao produto e ao quociente de funções bem como ao produto de uma constantepor uma função. Em seguida, há soluções minuciosas de derivadas de funções com-postas. Finalizando o bloco das derivadas, são abordadas várias situações envolven-do funções de duas variáveis.

As integrais chamadas de “diretíssimas da tabela”, ou imediatas, são as que estão emtabelas básicas de integração ou que, para serem resolvidas, dependem de duas pro-priedades algébricas fundamentais das integrais. As integrais denominadas de “dire-

DERIVADAS

INTEGRAIS SIMPLES

INTEGRAIS DUPLAS

Derivadas de funções simples de uma variávelDerivadas de funções compostas de uma variávelDerivadas parciais de funções de duas variáveisIntegrais diretíssimas da tabelaIntegrais diretas da tabelaMétodo da integração por substituiçãoMétodo da integração por partesIntegrais definidasIntegrais duplas e regiões de integraçãoMudança de variável nas integrais duplas

VIIIVIIIVIIIVIIIVIII Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

tas da tabela” são as que, por desenvolvimentos da função a ser integrada, chegam aum caso previsto em tabelas básicas de integração. Os métodos de integração porsubstituição e por partes são utilizados em diversos exemplos. O bloco das integraissimples é concluído com as integrais definidas.

Finalmente, são realizadas integrais duplas em vários tipos de domínios de integraçãoe, também, integrais duplas resolvidas por meio de mudanças de variáveis.


Derivadas de Funções SimplesDerivadas de Funções SimplesDerivadas de Funções SimplesDerivadas de Funções SimplesDerivadas de Funções Simplesde uma Vde uma Vde uma Vde uma Vde uma Variávelariávelariávelariávelariável

A derivada da função y = f (x), em relação à sua única variável independente x, pode serindicada por:

y f x D dydx

df xx

, ,x= = = =( ) ( )

.

Sendo f (x) e g (x) duas funções da variável x e k uma constante, temos as seguintespropriedades das derivadas:

D1. f x g x f x g x �ou�d f x g x

dxdf xdx

dg xdx

, ,( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ),±( ) = ±

±( )= ± .

D2. k.f x k.f x �ou�d k.f xdx

k df xdx

,( ) ( )( )

. ( ),( ) =( )

= .

D3. f x .g x f x g x f x g x �ou�d f x g x

dxdf x, ,( ) ( ) ( ). ( ) ( ). ( )

( ). ( ) ( ),( ) = +( )

=ddx

g x f x dg xdx

. ( ) ( ). ( )+ .

D4. f xg x

f x g x f x g xg x

�ou�d f x g x, ,( )

( )( ). ( ) ( ). ( )

( )

( ). ( ),⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = −

( )2(( )

=−

( )dx

df xdx

g x f x dg xdx

g x

( ) . ( ) ( ). ( )

( ) 2

Essas propriedades são enunciadas como descrito abaixo.

D1. A derivada da soma (ou subtração) de duas funções é igual à soma (ousubtração) das derivadas das funções. Isso também é válido para mais de duasfunções.

22222 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

D2. A derivada do produto (multiplicação) de uma constante por uma função éigual ao produto da constante pela derivada da função. Essa constante podeser qualquer número real.

D3. A derivada do produto (multiplicação) de duas funções é igual à soma daderivada da primeira função multiplicada pela segunda função com a primeirafunção multiplicada pela derivada da segunda função.

D4. A derivada do quociente (divisão) de duas funções é igual à subtraçãoentre a derivada da função do numerador multiplicada pela função do denomi-nador e a função do numerador multiplicada pela derivada da função do deno-minador, sendo “toda” essa subtração dividida pela função do denominadorelevada ao quadrado. Inclui-se a condição da função do denominador ser dife-rente de zero.

Sendo k e n constantes, as derivadas das principais funções simples de uma vari-ável estão mostradas na tabela a seguir. A primeira delas refere-se à derivada dafunção constante que é zero (também lida como “a derivada da constante é igual azero”).

Tabela de derivadas (funções simples)

33333Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável

Exemplo 1.1. Derive f (x) = x5.

Esse é um dos casos mais simples de uso da tabela de derivadas. Temos de derivar, emrelação à variável x, uma função do tipo “base x elevada à 5ª potência”, lida apenascomo “x elevado ao expoente 5” ou “x elevado a 5”.

Vamos usar a seguinte regra da tabela de derivadas:

x ' dxdx

n.xnn

n( ) = = −1 .


No caso, n vale 5 (n = 5). Ou seja, a derivada de “x elevado a 5” é “5 multiplicado por xelevado a 5 − 1”, resultando em “5 vezes x elevado a 4”, conforme segue.

f x x dxdx

x x, ,( ) = ( ) = = =−5

55 1 45 5

Exemplo 1.2. Derive y = x−7

Este também é um caso de uso direto da tabela de derivadas. Temos de derivar, emrelação à variável x, a função dada por “x elevado a −7”.

Vamos usar a seguinte regra da tabela de derivadas:

x dxdx

n.xnn

n( ) = = −, 1 .

No caso, n vale −7 (n = −7). Ou seja, a derivada de “x elevado a −7” é “−7 multiplicadopor x elevado a −7 −1”, resultando em “−7 vezes x elevado a −8”, conforme segue.

y x dxdx

x xx x

, ,= ( ) = = − = − = − = −−

−− − −7

77 1 8

8 87 7 7 1 7

Lembre-se que, subtraindo 1 de −7, temos −8 e não −6! Ou seja, a

derivada de x −7 em relação à variável x é −7x −8 e não −7x −6.

Na “transformação” de −7x −8 em −78x

não usamos qualquer regra de

derivação: apenas aplicamos a equivalência xx

xx

aa

− −= → =1 188

.

Exemplo 1.3. Derive f (x) = x 5/6.

Temos de derivar, em relação à variável x, a função dada por “x elevado à fração 5/6”.

Usamos a seguinte regra da tabela de derivadas:

x dxdx

n.xnn

n( ) = = −, 1 .


No caso, n vale 56

. Ou seja, a derivada de “x elevado a 56

” é “a fração 56

multiplicada por

x elevado à subtração 56

− 1”, resultando em 56

“ vezes x elevado a −16

”, conforme segue.

f x x dxdx

x xx x x

,( ),

= ( ) = = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= = = =− −56

56 5

6 116

16

16 6

56

56

561 5

6

56

Lembre-se que, para subtrair 1 de 5/6, devemos fazer:561 5 1 6

65 66

16

− = − = − = −..

Na “transformação” de 56

16x

− em 5

6

561

6 6x x= não usamos

qualquer regra de derivação, apenas aplicamos as equivalênci-

as: xx

xx

aa

− −= → =1 11

616

e x x x x xba ba= → = =

16 16 6 .

Exemplo 1.4. Derive f x x( ) .= 1

5

Para podermos usar a tabela na derivação da função f xx

( ) = 15 , antes devemos

“prepará-la”, de modo que a base x fique no numerador, sem que haja alteração da

função original.

Sabemos que:

1 15

5

xx

xxn

n= → =− −

Escrevendo f xx

( ) = 15 como f (x) = x−5, podemos utilizar a seguinte regra da tabela de

derivadas:

x dxdx

n.xnn

n( ) = = −, 1 .


Ou seja,

f xx

x dxdx

x xx x

,,

,( ) = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= ( ) = = −( ) = − = − = −−−

− − −1 5 5 5 1 55

55

5 1 66 6

Observe que n, indicado na regra de derivadas, é −5 e não 5!Lembre-se que, subtraindo 1 de −5, temos −6 e não −4. Ou seja,a derivada de x −5 em relação à variável x é −5x −6 e não −5x −4!

Exemplo 1.5. Derive f x x( ) .=

Para podermos usar a tabela na derivação da função raiz quadrada de x, antes devemosescrevê-la como “base x elevada a um expoente numérico”.

Sabemos que:

x x x x xba ba= → = =12 1

2

Escrevendo a raiz quadrada de x como “x elevado ao expoente ½”, podemos usardiretamente a seguinte regra da tabela de derivadas, com n = 1/2:

x dxdx

n.xnn

n( ) = = −, 1

Ou seja,

f x x x dxdx

x x x, , ,

( ) = ( ) = ( ) = = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=−− −1

2

12 1

2 11 22

112

12

12

2212

12 12

121 1

2

1

2

12

= = = =x x x x


De agora em diante, podemos aplicar xx

( ) =, 12 na deriva-

ção da função f x x( ) .=

Exemplo 1.6. Derive f x x( ) .= 23

Este exemplo é muito parecido com o exemplo 1.5. Sendo assim, antes de usarmos atabela, vamos escrever a função raiz cúbica de x ao quadrado como “base x elevada aoexpoente 2/3”.

Vejamos:

x x x xba ba= → =23 2

3

Em seguida, usamos diretamente a seguinte regra da tabela de derivadas:

x dxdx

n.xnn

n( ) = = −, 1

Ou seja,

f x x x dxdx

x x x,, ,

( ) = ( ) = ( ) = = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=−−

23 23

23 2

3 12 332

323

23

−−= =

13

13 3

2

3

23x x

Exemplo 1.7. Derive f (x) = x −3 + x3.

Temos de derivar, em relação à variável x, a soma de “x elevado a −3” com “x elevado a 3”.

Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar a propriedade D1, que afirmaque a derivada da soma (ou subtração) de duas funções é igual à soma (ou subtração)das derivadas das funções:

f x g x f x g x �ou�d f x g x

dxdf xdx

dg xdx

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ), , ,±( ) = ±

±( )= ±


Ou seja,

f x x x dxdx

dxdx

x x, , , ,( ) = +( ) = + = ( ) + ( )−

−−3 3

3 33 3

Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela, conforme segue.

(x -3)’ = -3x -3-1 = -3x -4, pois x dxdx

n.xnn

n( ) = = −, 1 e, no caso, n = -3.

(x3)’ = 3x3-1 = 3x2, pois x dxdx

n.xnn

n( ) = = −, 1 e, no caso, n = 3.

Logo,

f ’(x) = (x −3 + x3)’ = (x −3)’ + (x3)’ = −3x −4 + 3x 2

A derivada já foi finalizada, mas ainda podemos escrever −3x −4 como −34x

. Sendo assim,

f ’(x) = (x −3 + x3)’ = −3x −4 + 3x 2 = −34x

+ 3x 2

Exemplo 1.8. Derive f (x) = 4x3

Temos de derivar, em relação à variável x, a constante 4 multiplicada por x elevado aocubo. Ou seja, trata-se da derivação do produto da constante k = 4 pela função x3.

Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar a propriedade D2, que afirma que derivadado produto (multiplicação) de uma constante por uma função é igual ao produto daconstante pela derivada da função:

k.f x k.f x �ou�d k.f xdx

k df xdx

( ) ( )( ) ( ), ,( ) =

( )=

Ou seja,

f x d xdx

x x, , ,( ) ( )= = ( ) = ( )4 4 4

33 3


Agora, usando a regra

xdxdx

n.xnn

n( ) = = −, 1 ,

para n = 3, temos que:

f x x x x, , ,( ) = ( ) = ( ) = ( ) =−4 4 4 3 123 3 3 1 2x

Exemplo 1.9. Derive f x x( ) .= +7 5

Antes de derivarmos a função

f xx x

( ) = + = +7 5 7 5 1 ,

vamos escrevê-la como f (x) = 7 + 5x −1. Isso não altera a função original, pois, se

1x

xaa= − então

1 11

1

x xx= = − .

Agora, começamos a derivada aplicando as propriedades D1 e D2, dadas, respectiva-mente, por:

f x g x f x g x � � k.f x k.f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,±( ) = ± ( ) =e .

Ou seja,

f x xx

dxx x, , , , , ,

( ) = +( ) =+( )

= ( ) + ( ) = ( ) + ( )−−

− −7 57 5

7 5 7 511

1 1d


Cada uma das derivadas anteriores pode ser resolvida diretamente pela tabela, conformesegue.

(7)’ = 0, pois ( ),kdkdx

= = 0 (a derivada da constante é zero) e, no caso, k = 7.

x x xx

− − − −( ) = − = − = −1 1 1 221 1 1,

, pois xdxdx

n.xnn

n( ) = = −, 1 e, no caso, n = −1.

Logo,

f x x xx

, , , ,( ) = +( ) = ( ) + ( ) = ( ) + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= −− −7 5 7 5 0 5 1 51 12 2x

Exemplo 1.10. Derive y = 8 + cos x

Temos de derivar a soma de 8 com o cosseno de x.

Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar a propriedade D1 abaixo:

f x g x f x g x( ) ( ) ( ) ( ), , ,±( ) = ±

Ou seja,

f x xd x

dxx, , , ,( ) cos

coscos= +( ) =

+( )= ( ) + ( )8

88

Desse modo, ficamos com duas derivadas presentes na tabela, resolvidas por:

( ),k dkdx

= = 0 (a derivada da constante é zero) e cos cos,x d xdx

x( ) = = −sen .

Vejamos:

f x x x x x, , , ,( ) cos cos= +( ) = ( ) + ( ) = ( ) + −( ) = −8 8 0 sen sen


Observe que o cosseno de x, indicado por cosx, é uma funçãotrigonométrica, ou seja, não é a multiplicação de “alguma coi-sa” por x!

Exemplo 1.11. Derive f (x) = 5 tgx + 3 senx.

Temos de derivar, em relação à variável x, a soma do quíntuplo da tangente de x com otriplo do seno de x. Ou seja, a soma da tangente de x multiplicada pela constante 5 como seno de x multiplicado pela constante 3.

Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar as propriedades D1 e D2,dadas, respectivamente, por:

f x g x f x g x k.f x k.f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,±( ) = ± ( ) =e

Ou seja,

f x tgx senx tgx senx tgx senx, , , , , ,( ) ( )= + = ( ) + ( ) = ( ) + ( )5 3 5 3 5 3

Desse modo, ficamos com duas derivadas presentes na tabela, resolvidas por

( ) xdx

dtgxtgx 2, sec== e xdx

dsenxsenx cos)( , ==

Logo,

f x tgx senx tgx senx tgx senx, , , , , ,( ) ( ) sec= + = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) =5 3 5 3 5 3 5 22 3x + cos x

Observe que a tangente de x, indicada por tgx, o seno de x,indicado por senx, o cosseno de x, indicado por cosx, e asecante ao quadrado de x, indicada por sec2x, são funçõestrigonométricas, ou seja, não são multiplicações de “algumacoisa” por x!


Exemplo 1.12. Derive y = e xx + 17.

Temos de derivar, em relação à variável x, a soma do “número e elevado a x” com “xmultiplicado pela constante 1/7”.

Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar as propriedades D1 e D2abaixo:

f x g x f x g x k.f x k.f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,±( ) = ± ( ) =e

Ou seja,

y e x e x e xx x x,,

,,

,( )= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ( ) + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= +17

17

17

Desse modo, ficamos com duas derivadas presentes na tabela, resolvidas por:

e dedx

e x dxdx

xx

x( ) = = ( ) = =, ,e 1

Logo,

y e x e x e x e ex x x x x,,

,,

,( ) .= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ( ) + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= + = + = +17

17

17

171 1

7

Observe que o número neperiano e é um número irracional, muitas vezes aproximadopor 2,72.

Exemplo 1.13. Derive t x x x( ) ln arccos .= − +3 2 5x

Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar a propriedade D2,

f x g x f x g x( ) ( ) ( ) ( ), , ,±( ) = ± , expandida para o caso da soma/subtração de três fun-

ções da variável x: 3x

, 2 1n x e 5 arccos x. Ou seja,


t x x xx

x x,, ,

,( ) ln arccos ln arccos= − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− ( ) + ( )3 2 5 3 2 5x

,,

Agora, para as três derivadas acima, vamos aplicar a propriedade (k.f (x))’ = k.f ’ (x):

t xx

x xx

x,,

, ,,

,( ) ln arccos ln ar= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− ( ) + ( ) = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− ( ) +3 2 5 3 1 2 5 cccos ,x( )

Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente por regras da tabela,conforme segue.

1 1 1 11 1 1 22x

x x xx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ( ) = − = − = −− − − −,

,( ) . , pois x dx

dxn.xn

nn( ) = = −, 1 e, no caso, n = −1.

ln ,xx

( ) = 1

arccos ,xx

( ) = −

−

1

1 2

Finalizando a derivada:

t xx

x xx x

,,

, ,( ) ln arccos== ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− ( ) + ( ) = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− ⎛⎝⎜

⎞⎠

3 1 2 5 3 1 2 12 ⎟⎟ + −

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = − − −

−5 1

1

3 2 5

12 2 2.

x x x x

Exemplo 1.14. Derive h (x) = 3x + arctgx

Este exemplo trata da derivada da soma de duas funções da variável x: as funções 3x

(exponencial de base 3) e arctgx (arcotangente de x). Inicialmente, vamos aplicar a pro-priedade D1, relativa à derivada da soma de funções: f x g x f x g x( ) ( ) ( ) ( ), , ,±( ) = ± .

Ou seja,

h x arctgx arctgxx x, , , ,( ) ( )= +( ) = ( ) +3 3

Cada uma das duas derivadas acima pode ser resolvida diretamente por regras databela, conforme segue.


(3x)’ = 3x 1n 3, pois a d adx

a axx

x( ) = =, ( ) ln e, no caso, a = 3

arctgxd arctgxdx x

( ) =( )

=+

, 11 2


h x arctgxx

x x, , ,( ) ( ) ln= ( ) + = ++

3 3 3 11 2

Observe que 3x não é a multiplicação de 3 por x. Trata-se dafunção de “base 3 elevada ao expoente x”.

Exemplo 1.15. Derive h(x) = x2 cos x.

Queremos derivar a multiplicação de duas funções da variável x: a função do segun-do grau x2 multiplicada pela função trigonométrica cosx. Então, vamos começar aresolução aplicando a propriedade D3, referente à derivada do produto de duasfunções:

(f (x).g(x))’ = f ’(x).g(x) + f (x).g’(x)

Ou seja, a derivada do produto (multiplicação) da função x elevado ao quadrado (x2)pela função cosseno de x (cosx) é igual à soma da derivada de x elevado ao quadrado,multiplicada pelo cosseno de x, com x elevado ao quadrado multiplicado pela derivadade cosseno de x, conforme segue.

h’ (x) = (x2 cos x)’ = (x2)’ cos x + x2 (cos x)’

Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela, conformesegue.

(x2)’ = 2x2−1 = 2x1 = 2x, pois xdxdx

n.xnn

n( ) = = −, 1 e, no caso, n = 2.

(cos x)’ = − senx



h’(x) = (x2)’ cos x + x2 (cos x)’ = 2x cos x + x2 (−senx) = 2x cos x − x2 senx

Já terminamos a derivada, mas, ainda, podemos colocar x em evidência na subtraçãoacima. Logo,

h’(x) = 2x cos x − x2 senx = x (2cos x − xsenx)

Exemplo 1.16. Derive h(x) = cos x.senx.

Precisamos derivar a multiplicação de duas funções da variável x: as funçõestrigonométricas cos x e senx. Vamos iniciar a resolução aplicando a propriedade D3,referente à derivada do produto de duas funções: (f (x).g(x))’ = f ’(x).g(x) + f (x).g’(x).

Vejamos:

h’(x) = (cos x.senx)’ = (cos x)’.senx + cos x.(senx)’


(cos x)’ = − senx(senx)’ = cos x


h’(x) = (cos x.senx)’= (cos x)’.senx + cos x.(senx)’= − senx.senx +cos x.cos x = cos2 x − sen2x

Exemplo 1.17. Derive h(x) = x5 ex.

Temos de derivar a multiplicação de duas funções da variável x: a função x5 multiplica-da pela função exponencial de base e (ex). Vamos iniciar a resolução aplicando a propri-edade D3, referente à derivada do produto de duas funções:

(f (x).g(x))’ = f ’(x).g(x) + f (x).g’(x)

Vejamos:

h’(x) = (x5 ex)’ = (x5)’ ex + x5 (ex)’



(x5)’ = 5x5-1 = 5x4, pois xdxdx

n.xnn

n( ) = = −, 1 e, no caso, n = 5.

(ex)’ = ex


h’(x) = (x5 ex)’ = (x5)’ ex + x5 (ex)’ = 5x4 ex + x5 ex

A derivada já foi terminada, mas podemos “melhorar” a resposta final colocando x4.ex

em evidência:

h’(x) = 5x4 ex + x5 ex = x4 ex (5 + x)

Exemplo 1.18. Derive y = 3 arccosx + x2 ex.

Inicialmente, temos de derivar a soma de duas funções da variável x: a função 3arccos xsomada com a função x2 ex. Vamos começar aplicando a propriedade D1, referente àderivada da soma de duas funções: f x g x f x g x( ) ( ) ( ) ( ), , ,±( ) = ±

Vejamos:

y dydx

x x e x x ex x, , ,arccos arccos,= = +( ) = ( ) + ( )3 32 2

Como a função é formada pelo produto da constante k = 3 pela função arcocosseno de x,podemos aplicar a propriedade D2, que trata da derivada do produto de uma constantepor uma função: (k.f (x))’ = k.f ’ (x)

Ou seja,

y dydx

x x e x x e x xx x, , , ,arccos arccos arccos,= = +( ) = ( ) + ( ) = ( ) +3 3 32 2 22ex( ),

Há duas parcelas presentes na derivada acima.


A primeira parcela, correspondente ao triplo da derivada da função arcocosseno de x,é obtida diretamente da tabela, na qual consta que

arccosarccos,x

d xdx x

( ) =( )

= −

−

1

1 2 .

Logo,

3 3 1

1

3

12 2arccos ,x

x x( ) = −

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = −

−

A segunda parcela, correspondente ao produto de x elevado ao quadrado pelaexponencial de base e (e elevado ao expoente x), deve ser, inicialmente, resolvida pelouso da propriedade D3 a seguir: (f (x).g(x))’ = f ’(x).g(x) + f (x).g’(x).

Vejamos:

( x2 ex)’ = ( x2 )’ ex + x2 (ex)’

A derivada de x2, em relação à variável x, é ( x2 )’ = 2x2−1 = 2x1 = 2x, pois, de acordo coma tabela,

x dxdx

n.xnn

n( ) = = −, 1 .

A derivada de ex, em relação à variável x, é ex, pois, de acordo com a tabela,

e dedx

exx

x( ) = =,

.

Ou seja,

( x2 ex)’ = ( x2 )’ ex + x2 (ex)’ = 2xex + x2 ex

A derivada do produto x2 ex já foi terminada na linha anterior, mas ainda podemoscolocar xex em evidência na soma 2xex + x2 ex:

( x2 ex)’ = ( x2 )’ ex + x2 (ex)’ = 2xex + x2 ex = xex (2 + x)


Finalizando a derivada de y = 3 arccosx + x2 ex:

y dydx

x x ex

xe xx x, , ,arccos= = ( ) + ( ) = −

−+ +( )3 3

122

2

Exemplo 1.19. Derive h x xx

( ) .=+

2

1

Precisamos derivar a divisão de duas funções da variável x: a função x2, no numerador,e a função x + 1, no denominador. Então, vamos iniciar a resolução aplicando a propri-edade D4, referente à derivada do quociente de duas funções:

f xg x

f x g x f x g xg x

( )( )

( ). ( ) ( ). ( )( )

, , ,⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = −

( )2

No caso, a derivada da divisão de f(x) = x2 por g(x) = x + 1 é igual à subtração entre aderivada de f (x) = x2 multiplicada por g(x) = x+1 e f (x) = x2 multiplicada pela derivada deg(x) = x + 1, sendo essa subtração dividida pela função g(x) = x + 1 elevada ao quadrado.

Vejamos:

h x xx

x x x xx

,, , ,

( )( ) .

( )=

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

( ) + − ( ) +( )+

2 2 2

21

1 1

1

Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela ou pelapropriedade D1, referente à derivada da soma de duas funções, conforme segue.

(x2)’ = 2x2-1 = 2x1 = 2x, pois x dxdx

n.xnn

n( ) = = −, 1

(x + 1)’ = (x)’ + (1)’ = 1 + 0 = 1


h x xx

x x x xx

x x,

, , ,

( )( ) .

( )

( )=

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

( ) + − ( ) +( )+

=( ) + −2 2 2

21

1 1

1

2 1 xxx

x x xx

x xx

2

2

2 2

2

2

2

1

12 2

121

( ) ( )+

= + −+

= ++

.

( ) ( ) ( )


A derivada já foi terminada, mas, ainda, podemos colocar x em evidência no numeradordo quociente:

h x x xx

x xx

, ( )( ) ( )

= ++

=+( )

+

2

2 2

21

21

Exemplo 1.20. Derive t xx xsenx

( ) .= −3 6

Vamos derivar a divisão de duas funções da variável x: a função x3 − 6x, no numerador,e a função senx, no denominador. Começamos a resolução aplicando a propriedade D4,referente à derivada do quociente de duas funções:

f xg x

f x g x f x g xg x

( )( )

( ). ( ) ( ). ( )( )

, , ,⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = −

( )2

Vejamos:

t x x xsenx

x x senx x x senx

senx,

, , ,

( ) = −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−( ) − −( )( )( )

3 3 3

2

6 6 6

Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida pela tabela ou pelas propriedadesD1 (relativa à derivada da soma de duas funções) e D2 (referente à derivada do produ-to de uma constante por uma função), conforme segue.

(x3 − 6x)’ = (x3)’ − (6x)’ = (x3)’ − 6 (x)’ = 3x2 − 6.1 = 3x2 − 6

(senx)’ = cos x


t x x xsenx

x x senx x x senx

senx,

, , ,

( ) = −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−( ) − −( )( )( )

=3 3 3

2

6 6 6 33 6 62 3

2

x senx x x xsen x

−( ) − −( )( )cos


Observe que a função seno ao quadrado de x pode ser escritacomo (senx)2 ou como sen2x. Nesse caso, é o seno que está aoquadrado, e não o argumento x.

Exemplo 1.21. Derive t xxex

( ) .=−

7

3Queremos derivar a divisão de duas funções da variável x: a função x7, no numerador,e a função ex − 3, no denominador. Começamos a resolução aplicando a propriedadeD4, referente à derivada do quociente de duas funções:

f xg x

f x g x f x g xg x

( )( )

( ). ( ) ( ). ( )( )

, , ,⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = −

( )2

Vejamos:

t x xe

x e x e

ex

x x

x

,, , ,

( ). .

=−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

( ) −( ) − −( )−( )

7 7 7

23

3 3

3

Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida pela tabela ou pela propriedade D1(relativa à derivada da soma de duas funções), conforme segue.

(x7)’ = 7x7-1 = 7x6

(ex − 3)’ = (ex)’ − (3)’ = ex − 0 = ex


t x xe

x e x e

e

x ex

x x

x

x,

, , ,

( ).

=−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

( ) −( ) − −( )−( )

=−(7 7 7

2

6

3

3 3

3

7 3)) − ( )−( )

=−( ) −

−( )x e

e

x e x e

e

x

x

x x

x

7

2

6 7

23

7 3

3


Exemplo 1.22. Derive yxx

= sec .

Vamos derivar a divisão de duas funções da variável x: a função sec x, no numerador,e a função x, no denominador. Começamos a resolução aplicando a propriedade D4,referente à derivada do quociente de duas funções:

f xg x

f x g x f x g xg x

( )( )

( ). ( ) ( ). ( )( )

, , ,⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = −

( )2

Vejamos:

y dydx

xx

x x x xx

,, , ,

sec sec . sec .= = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

=( ) − ( ) ( )

2


sec sec sec,x d xdx

x.tgx( ) = =

x dxdx

, = =1


y dydx

xx

x x x xx

x.tgx x,, , ,

sec sec sec sec sec= = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

=( ) − ( )( )

=( ) −

2

xxx

x x.tgx xx

( )( )= −1

2 2

.sec sec

A derivada já foi terminada, mas ainda podemos colocar a secante de x em evidência nasubtração presente no numerador. Vejamos:

y dydx

xx

x x.tgx xx

x xtgxx

,,sec .sec sec sec ( )= = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= − = −2 2

1


Observe que a função secante de x, indicada por sec x, não serefere ao produto de “alguma coisa” por x. Sendo assim, não háqualquer sentido em “cancelar” x do numerador com x do de-nominador no quociente sec x

x.

Exemplo 1.23. Derive 2 cos3�y x � �= � ��

Para resolvermos a derivada do exemplo 1.23, não precisamos aplicar a propriedade D3,referente à derivada a multiplicação de duas funções.

Isso porque cos3��

, lido como cosseno de PI sobre 3, é uma constante, sen-

do ocos cos 60 0,5.3�� = =� ��

Vale lembrar, também, que não há qualquer sentido em pensar em cos3��

como amultiplicação de “cos” por 3

� .

Voltando à derivada de

2 cos3�y x � �= � ��

, ou 2cos

3�y x� �� = � ��

,

temos a situação de uma constante, cos3��

, multiplicada por uma função da variável

x, x2. Pela propriedade D2, a derivada do produto (multiplicação) de uma constante k

por uma função é igual ao produto da constante k pela derivada da função. No caso, k

é cos3��

.

Vejamos:

( ),

,, 2 2cos cos3 3� �y x x

� �� = =� ��


Vimos que

(x2)’ = 2x 2-1 = 2x1 = 2x, pois xdxdx

n.xnn

n( ) = = −,.1

Logo,

( ) ( ),

,, 2 2cos cos cos 2 2 cos3 3 3� � � �y x x x x

3� �� = = = =� ��

� � � � � � � ��

Exemplo 1.24. Derive yxe

=3

5

Para resolvermos a derivada do exemplo 1.24, não precisamos aplicar a propriedade D4,referente à divisão de duas funções.

Isso porque e5, lido como “e elevado a 5”, é uma constante, visto que e é um númeroirracional, aproximado por 2,72.

Se e5 é uma constante, então 15e também é uma constante.

Reescrevendo y xe

=3

5 como y = 15e

x3, temos de derivar uma constante, 15e

, multipli-

cada por uma função da variável x, x3. Pela propriedade D2, a derivada do produto

(multiplicação) de uma constante k por uma função é igual ao produto da constante k

pela derivada da função. No caso, k é 15e

.

Vejamos:

y xe e

x,,

,=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ( )

3

5 531

Vimos que (x3)’ = 3x 3-1 = 3x2, pois xdxdx

n.xnn

n( ) = = −,.1

Logo,

y xe e

xe

x xe

,,

,=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ( ) = ( ) =

3

5 53

52

2

5

1 1 3 3


Exemplo 1.25. Derive y = (3x5 − 6x3).(5x10 − 4x3).

O exemplo 1.25 solicita a derivada da multiplicação de duas funções da variável x: afunção (3x5 − 6x3) multiplicada pela função (5x10 − 4x3). Logo, vamos começar a deriva-da usando a propriedade D3, referente à derivada a multiplicação de duas funções:

(f (x).g(x))’ = f ’(x).g(x) + f (x).g’(x)

Ou seja,

y’ = ((3x5 − 6x3).(5x10 − 4x3))’ = (3x5 − 6x3)’.(5x10 − 4x3) + (3x5 − 6x3).(5x10 − 4x3)’

Prosseguindo com a derivada de y = (3x5 − 6x3)(5x10 − 4x3), devemos derivar, em relaçãoà variável x, as funções (3x5 − 6x3) e (5x10 − 4x3). Para derivá-las, vamos usar as propri-edades D1 e D2 (respectivamente f x g x f x g x � � k.f x k.f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,±( ) = ± ( ) =e )e a regra

x dxdx

n.xnn

n( ) = = −,.1

Vejamos:

(3x5 − 6x3)’ = (3x5 )’ − (6x3)’ = 3(x5 )’ − 6(x3)’ = 3.5x4 − 6.3x2 = 15x4 − 18x2

(5x10 − 4x3)’ = (5x10 )’ − (4x3)’ = 5(x10 )’ − 4(x3)’ = 5.10x9 − 4.3x2 = 50x9 − 12x2

Finalizando a derivada original:

y’ = (3x5 − 6x3)’.(5x10 − 4x3) + (3x5 − 6x3).(5x10 − 4x3)’

y’ = (15x4 − 18x2).(5x10 − 4x3) + (3x5 − 6x3).(50x9 − 12x2)

A derivada já foi terminada. Para darmos a resposta final, podemos fazer as seguintes“distributivas”:

y’ = 15x4.5x10 +15x4 (−4x3) −18x2.5x10−18x2 (−4x3)+3x5.50x9+3x5 (−12x2) −6x3.50x9−6x3 (−12x2)

Agora, utilizamos a regra de multiplicação de potências de mesma base, escrita comoxa.xb = xa+b e enunciada como “mantém-se a base e somam-se os expoentes”.


Logo,

y’ = 75x14 − 60x7 − 90x12 + 72x5 + 150x14 − 36x7 − 300x12 + 72x5

y’ = 225x14 − 390x12 − 96x7 + 144x5

Exercícios Propostos – Capítulo 1.Exercícios Propostos – Capítulo 1.Exercícios Propostos – Capítulo 1.Exercícios Propostos – Capítulo 1.Exercícios Propostos – Capítulo 1.

Exercício 1.1. Derive f (x) = x8

Exercício 1.2. Derive y = x − 6

Exercício 1.3. Derive f (x) = x3/5

Exercício 1.4. Derive f x x( ) = 1

7

Exercício 1.5. Derive f x x( ) = + 2

Exercício 1.6. Derive f x x( ) = 45

Exercício 1.7. Derive f x xx( ) = +154

Exercício 1.8. Derive f (x) = 7x6

Exercício 1.9. Derive f (x) = 12 + 5x4

Exercício 1.10. Derive y = 3 + senx

Exercício 1.11. Derive f (x) = 5 cos x + 3 cot gx

Exercício 1.12. Derive y x x= +ln 25

Exercício 1.13. Derive t x xe arcsenxx( ) = − +6 5 7

Exercício 1.14. Derive h(x) = 9x + tgx

Exercício 1.15. Derive h(x) = x3 senx


Exercício 1.16. Derive h(x) = (ex − 5) cos x

Exercício 1.17. Derive h(x) = 2x3 ex

Exercício 1.18. Derive h xxx

( ) =+

5

2 3

Exercício 1.19. Derive t xx x

x( )

cos= −2 7

Exercício 1.20. Derive xexxt−

=4

)(4

Exercício 1.21. Derive yxx

=sec

Exercício 1.22. Derive y = 7 arcsenx + x3 senx

Exercício 1.23. Derive yx

e= cos3

Exercício 1.24. Derive ��

��=

5. πsenxy

Exercício 1.25. Derive y = (4x2 − 7x5).(x9 − 3x4)

Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 1.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 1.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 1.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 1.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 1.

Exercício 1.1. f ’(x) = 8x7

Exercício 1.2. y x, = −6

7

Exercício 1.3. f xx

, ( ) = 3

5 25


, ( ) = −78



, ( ) = 12


, ( ) = 455


x, ( ) = − +5 463



Exercício 1.10. y’ = cos x

Exercício 1.11. f ’(x) = −5 senx − 3cos sec2 x

Exercício 1.12. y x, = +1 2

5

Exercício 1.13. t x xe

xx, ( ) = − − +

−

6 5 7

12 2

Exercício 1.14. h’(x) = 9x 1n 9 + sec2 x

Exercício 1.15. h’(x) = x2 (3senx + x cos x)

Exercício 1.16. h’(x) = ex cos x − (ex − 5)senx

Exercício 1.17. h’(x) = 2x2 ex (3 + x)

Exercício 1.18. h xx xx

, ( )( )

=+( )

+

3 5

3

4 2

2 2

Exercício 1.19. t xx x x x senx

x, ( ) ( ) cos ( )

cos= − + −2 7 72

2


Exercício 1.20.( )( )2

43,

444)(

x

xx

eexexxt

−+−=

Exercício 1.21. yxtgxx

,

sec= −1

Exercício 1.22. yx

x senx x x, ( cos )=−

+ +7

13

2

2

Exercício 1.23. 3,

esenxy −=

Exercício 1.24. ��

��=

521, πsen

xy

Exercício 1.25. y’ = − 98x13 + 44x10 + 189x8 − 72x5


Derivadas de Funções Compostas de umaDerivadas de Funções Compostas de umaDerivadas de Funções Compostas de umaDerivadas de Funções Compostas de umaDerivadas de Funções Compostas de umaVVVVVariávelariávelariávelariávelariável

Vamos “escolher” duas funções simples quaisquer de uma única variável x, por exemplo,as funções f (x) = cos x e u(x) = x3. Com essas duas funções, podemos “criar” váriasoutras funções por meio de operações de soma, subtração, multiplicação, divisão eproduto de constante por função. Vejamos alguns exemplos:

• h1 (x) = f (x) + u(x) = cos x + x3

• h2 (x) = 5 f (x) − 2u(x) = 5cos x − 2x3

• h3 (x) = f (x).u(x) = (cos x).x3 = x3 cos x

• h x f xu x

xx

x4 33 0( ) ( )

( )cos ,= = ≠

Se quiséssemos derivar as funções acima, usaríamos as propriedades D1, D2, D3 e D4e a tabela de derivadas, vistas no capítulo 1.

Também é possível “associarmos” as funções f (x) = cos x e u(x) = x3 não apenas pormeio das operações de soma, subtração, multiplicação e divisão, ou seja, de mododiferente do que feito acima. Poderíamos fazer uma composição entre elas, gerando,por exemplo, a função composta f (u(x)), lida como “f de u de x” e escrita como

f (u(x)) = f (x3) = cos(x3) = cos x3.


Para derivarmos a função f (u(x)) = cos x3, precisamos usar a chamada “regra doencadeamento”, também conhecida como “regra da cadeia”, conforme segue abaixo.

f u x df u xdx

dudx

dfdu

u x f u( ( )) ( ( )) . ( ). ( ), , ,( ) = = =

No caso da função f (u(x)) = cos x3, temos que:

u(x) = x3 → u’(x) = 3x2

f (u) = cosu → f ’(u) = − senu

(f (u(x)))’ = (cos x3)’ = u’(x).f ’(u) = 3x2 (− senu) = 3x2 (− senx3) = − 3x2 senx3

Há uma maneira mais “rápida” de fazermos essa derivada, usando a seguinte regra dederivação para a função composta (cosu)’ = − u’(x).senu . Ou seja,

(cos x3)’ = − (x3)’. senx3 = − 3x2 senx3

A tabela das derivadas das funções compostas é apresentada a seguir.

Tabela de derivadas (funções compostas)

3131313131Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável

Exemplo 2.1. Derive f (x) = (x2 + 1)50.

Temos de derivar uma função composta dada por u = u (x) = x2 + 1 e f (u) = u50.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (un)’ = n.u’.un-1.


Sendo, no caso, n = 50 e u = x2 + 1, a derivada da função f (x) = (x2 + 1)50 em relação àvariável x é:

f ’(x) = ((x2 + 1)50)’ = 50 (x2 + 1)’(x2 + 1)50 −1 = 50 (x2 + 1)’(x2 + 1)49

Agora, vamos derivar, em relação à variável x, a soma x2 + 1. Aplicando a propriedadeD1 vista no capítulo 1, enunciada como “a derivada da soma é a soma das derivadas”,temos que:

f ’(x) = ((x2 + 1)50)’ = 50 (x2 + 1)’(x2 + 1)49 = 50 ((x2)’ + (1)’)(x2 + 1)49

Vimos que a derivada de x2 em relação à variável x é (x2)’ = 2x2-1 = 2x, pois, de acordocom a tabela de derivadas,

x dxdx

n.xnn

n( ) = = −, 1 , com n = 2.

Também vimos que a derivada da constante k = 1 em relação à variável x é zero, pois, deacordo com a tabela de derivadas,

k dkdx

( ) = =, 0 .

Logo,

f ’(x) = ((x2 + 1)50)’ = 50 (x2 + 1)’(x2 + 1)50 −1 = 50 ((x2)’ + (1)’)(x2 + 1)49 = 50(2x + 0)(x2 + 1)

f ’(x) = ((x2 + 1)50)’ = 50(2x)(x2 + 1)49 = 100x (x2 + 1)49

Exemplo 2.2. Derive f (x) = (x3 + 1)−50.

Queremos derivar uma função composta dada por u = u (x) = x3 + 1 e f (u) = u−50 .

Da tabela de derivadas de funções compostas, vamos usar a seguinte regra:

(un)’ = n.u’.u n−1.


Sendo, no caso, n = − 50 e u = x3 + 1, a derivada de f (x) = (x3 + 1)−50 em relação àvariável x é:

f ’(x) = ((x3 + 1)−50)’ = − 50(x3 + 1)’(x2 + 1)−50 −1 = − 50(x3 + 1)’(x3 + 1)−51

Agora, vamos derivar, em relação à variável x, a soma x3 + 1. Como a derivada da somade duas funções é igual à soma das derivadas dessas funções, temos que:

f ’(x) = − 50(x3 + 1)’(x3 + 1)−51 = − 50((x3)’ + (1)’)(x3 + 1)−51

A derivada de x3 em relação à variável x é (x3)’ = 3x3−1 = 3x2, pois, de acordo com a tabelade derivadas,

x dxdx

n.xnn

n( ) = = −, 1 , com n = 3.

A derivada da constante k = 1 em relação à variável x é zero, pois, de acordo com atabela de derivadas,

k dkdx

( ) = =, 0 .

Logo,

f ’(x) = − 50(x3 + 1)’(x3 + 1)−51 = − 50((x3)’ + (1)’)(x3 + 1)−51 = − 50(3x2 + 0)(x3 + 1)−51

f ’(x) = − 150 x2 (x3 + 1)−51

Acabamos a derivada. Mas, como

mm

xx

aa

− −= → +( ) =

+( )1 1 1

13 51

3 51 ,

podemos escrever a resposta final assim:

f x x x xx

x

x, ( ) = − +( ) = −

+( )= −

+( )−

150 1 150 1

1

150

12 3 51 2

3 51

2

3 51


Exemplo 2.3. Derive f (x) = (x3 − x4)5.

Temos de derivar uma função composta dada por u = u (x) = x3 − x4 e f (u) = u5.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (un)’ = n.u’.u n−1.

Sendo, no caso, n = 5 e u = x3 − x4, a derivada da função f (x) = (x3 − x4)5 é:

f ’(x) = ((x3 − x4)5)’ = 5(x3 − x4)’(x3 − x4)5−1 = 5(x3 − x4)’(x3 − x4)4

Ainda temos de derivar, em relação à variável x, a diferença (subtração) x3 − x4. Jávimos, no capítulo 1, que a derivada da subtração de duas funções é a subtração dasderivadas dessas funções. Sendo assim, temos que:

f ’(x) = ((x3 − x4)5)’ = 5(x3 − x4)’(x3 − x4)4 = 5((x3)’ − (x4)’)(x3 − x4)4

De acordo com a tabela, a derivada de x3 em relação à variável x é (x3)’ = 3x3−1 = 3x2 e aderivada de x4 em relação à variável x é (x4)’ = 4x4−1 = 4x3, pois

x dxdx

n.xnn

n( ) = = −, 1 .

Logo,

f ’(x) = ((x3 − x4)5)’ = 5((x3)’ − (x4)’)(x3 − x4)4 = 5(3x2 − 4x3)(x3 − x4)4

A derivada já foi terminada. Para darmos a resposta final, podemos colocar x2 emevidência:

f ’(x) = 5(3x2 − 4x3)(x3 − x4)4 = 5x2 (3 − 4x)(x3 − x4)4

Exemplo 2.4. Derive f x x x( ) .= −( )6 534

Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = x6 − x5 e f u u( ) =34 .

Vamos utilizar a seguinte regra da tabela de derivadas de funções compostas:

(un)’ = n.u’.u n−1.


Como, no caso, n = 34

e u = x6 − x5 , a derivada da função f x x x( ) = −( )6 534 é:

f x x x x x x x x x x,,

, ,( )= −( )⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= −( ) −( ) = −( ) −−6 5

34 6 5 6 5

341 6 5 63

434

xx x x x x53 44 6 5 6 5

143

4( ) = −( ) −( )

− −,

Sabemos que a derivada da subtração de duas funções é igual à subtração das deriva-das dessas funções e que a derivada de funções do tipo f (x) = xn é

x dxdx

n.xnn

n( ) = = −, 1 .

Logo, a derivada, em relação à variável x, da diferença x6 − x5 é 6x5 − 5x4, pois

(x6 − x5)’ = (x6)’− (x5)’ = 6x6−1 − 5x5−1 = 6x5 − 5x4.

Sendo assim, prosseguindo com a derivada do exemplo 2.4 temos que:

f x x x x x x x x x x,,

,( ) = −( )⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= −( ) −( ) = −( ) −−

6 534 6 5 6 5

14 5 4 63

4346 5 xx5

14( )−

Já terminamos as derivadas. Mas podemos “melhorar” a expressão acima. Vejamos:

f x x x x x x xx x

x,

,

( ) = −( )⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −( ) −( ) =−( )−

6 534 5 4 6 5

14

5 4

6

346 5 3

4

6 5

−−( )=

−( )−x

x x

x x514

5 4

6 54

34

6 5

Fizemos o seguinte:

mm

x xx x

aa

−−

= → −( ) =−( )

1 16 514

6 514

e

m m x x x x x xba ba= → −( ) = −( ) = −6 5

14 6 5 1

4 6 54 .


Para darmos a resposta final, ainda podemos colocar x4 em evidência:

f xx x

x x

x x

x x, ( ) =

−( )−

=−( )

−

34

6 5 3 6 5

4

5 4

6 54

4

6 54

Exemplo 2.5. Derive y = 1n(3x3 − 7x)

Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = 3x3 − 7x e f (u) = 1n u.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que ln,

,

u uu

( ) = .

Ou seja,

y x xx xx x

, ,,

ln= −( )( ) =−( )−

3 73 7

3 73

3

3

Vimos que a derivada da subtração de duas funções é a subtração das derivadasdessas funções, a derivada de f (x) = xn é

x dxdx

n.xnn

n( ) = = −, 1

e a derivada de f (x) = x é

x dxdx

( ) = =, 1 .

Por isso, a derivada de 3x3 − 7x, em relação à variável x, é 9x2 − 7, pois

(3x3 − 7x)’ = (3x3)’ − (7x)’ = 3(x3)’ − 7(x)’ = 3(3x2) − 7(1) = 9x2 − 7.

Logo,

y x xx xx x

x xx x

x, ,

, , , ,

ln= −( )( ) =−( )−

=( ) −( )

−=

( )3 7

3 7

3 7

3 7

3 7

33

3

3

3

3

3 −− ( )−

=( )− ( )

−= −

−

7

3 7

3 3 7 1

3 79 73 73

2

3

2

3

xx x

xx x

xx x

,


Observe que a função 1n(3x3 − 7x), lida como o logaritmoneperiano de 3x3 − 7x, não é a multiplicação de “alguma coisa”por 3x3 − 7x!

Exemplo 2.6. Derive y = 1n (cos x).

Precisamos derivar uma função composta dada por u = u (x) = cos x e f (u) = 1n u, lidacomo o logaritmo neperiano do cosseno de x.


,

u uu

( ) = .

Ou seja,

y xx, ,,

ln coscoscos

= ( )( ) =( )

x

Segundo a tabela, a derivada do cosseno de x, em relação à variável x, é

cos (cos ),x d xdx

senx( ) = = − .

Logo,

y xxx

senxx

, ,,

ln coscoscos cos

= ( )( ) =( )

= −

A derivada já foi acabada. Como, da trigonometria, temos que o quociente entre “oseno e o cosseno é a tangente”, escrevemos:

y x senxx

tgx, ,ln cos

cos= ( )( ) = − = −


Exemplo 2.7. Derive y = 1n (x + 1n x).

Vamos derivar uma função composta dada por u = u(x) = x + 1n x e f (u) = 1n u.


,

u uu

( ) = .

Ou seja,

y x xx xx x

, ,,

ln lnlnln

= +( )( ) =+( )+

A derivada da soma de duas funções é a soma das derivadas dessas funções, a deriva-da de f (x) = x é

x dxdx

( ) = =, 1

e a derivada de f (x) = 1n x é

lnln,x

d xdx x

( ) =( )

= 1 .

Logo, a derivada da soma x + 1n x, em relação à variável x, é

x x x xx

+( ) = ( ) + ( ) = +ln ln, , , 1 1.

Logo,

y x xx xx x

xx x

, ,,

ln lnlnln ln

= +( )( ) =+( )+

=+

+

1 1

A derivada já foi terminada. Para escrevermos a resposta final, podemos “fazer a con-ta” do numerador da fração:

y x x xx x

xx

x xxx x x

xx x x

, ,ln ln

ln ln.

ln ln= +( )( ) =

+

+=

+

+= +

+= +

+(1 1 1

1 1 1))


Exemplo 2.8. Derive f (x) = sen (3x − 2)

Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = 3x − 2 e f (u) = senu.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (senu) = u’ cos u.

Ou seja,

f ’(x) = (sen (3x − 2))’ = (3x − 2)’ cos (3x − 2)

Agora, para derivarmos 3x − 2 em relação à variável x, usamos as propriedades D1 e D2vistas no capítulo 1:

D1. f x g x f x g x � �d f x g x

dxdf xdx

dg xdx

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ), , ,±( ) = ±

±( )= ±ou ;


k df xdx

( ) ( )( )

. ( ), ,( ) =( )

= .

Ou seja,

(3x − 2)’ = (3x)’ − (2)’ = 3(x)’ − (2)’

A derivada de x em relação a x é 1 e a derivada da constante 2 é zero. Logo,

(3x − 2)’ = 3(x)’ − (2)’ = 3.1 − 0 = 3


f ’(x) = (3x − 2)’ cos (3x − 2) = 3 cos (3x − 2)

Observe que a função trigonométrica sen (3x − 2), lida comoo seno de 3x − 2, não é a multiplicação de “alguma coisa”por 3x − 2!


Exemplo 2.9. Derive f (x) = senx2.

Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = x2 e f (u) = senu.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (senu)’ = u’ cos u .

Ou seja,

f ’(x) = (senx2)’ = (x2)’ cos x2

Ainda precisamos derivar x2 em relação à variável x. Como

x dxdx

n.xnn

n( ) = = −, 1 ,

então (x2)’ = 2x 2 − 1 = 2x.

Logo,

f ’(x) = (senx2)’ = (x2)’ cos x2 = 2x cos x2

Exemplo 2.10. Derive f (x) = sen2x.

Podemos escrever a função f (x) = sen2x como f (x) = (senx)2. Assim, fica claro que temosa função seno de x elevada ao quadrado, lida também como seno ao quadrado de x, enão o seno do argumento x elevado ao quadrado.

Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = senx e f (u) = u2.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (un)’ = n.u’.u n −1.

Sendo, no caso, n = 2 e u = senx, a derivada da função f (x) = sen2x = (senx)2 é:

f ’ (x) = ((senx)2)’ = 2(senx)’(senx)2 − 1 = 2(senx)’(senx)1 = 2(senx)’ senx

A derivada do seno de x, em relação à variável x, é

senx d senxdx

x( ) = =, ( ) cos .


Logo,

f ’ (x) = ((senx)2)’ = 2(senx)’ senx = 2 cos x senx

Exemplo 2.11. Derive f (x) = sen (senx).

Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = senx e f (u) = senu, lidacomo o seno do seno de x. Não se trata da multiplicação do seno de x pelo seno de x.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (senu)’ = u’ cos u.

Ou seja,

f ’(x) = (sen (senx))’ = (senx)’cos (senx)

Para terminarmos, precisamos fazer a derivada do seno de x, em relação à variávelx, que é

senx d senxdx

x( ) = =, ( ) cos .

Logo,

f ’(x) = (sen (senx))’ = cosx cos(senx)

Exemplo 2.12. Derive f (x) = e x5− 7

Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = x5 − 7 e f (u) = eu.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (eu)’ = u’eu.

Logo,

f ’(x) =(e x5− 7)’ = (x5 − 7)’e x5− 7x

Agora, para derivarmos x5 − 7 em relação à variável x, usamos a propriedade D1 vistano capítulo 1 (“a derivada da soma é a soma das derivadas”):

(x5 − 7)’ = (x5)’ − (7)’


A derivada de x5 em relação à variável x é 5x5 − 1 = 5x4, pois

x dxdx

n.xnn

n( ) = = −, 1

e, no caso, n = 5. A derivada da constante 7 é zero. Logo,

(x5 − 7)’ = (x5)’ − (7)’ = 5x4 − 0 = 5x4

Finalizando:

f ’(x) =(e x5− 7)’ = (x5 − 7)’e x5− 7x = 5x4 e x5− 7x

Exemplo 2.13. Derive f (x) = e e x

Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = e x e f (u) = e u, ou seja, a“exponencial da exponencial”.


Logo,

f ’(x) = (e e x)’ = (e x )’e e x

A derivada de e x em relação à variável x é e x.

Logo,

f ’(x) = (e e x)’ = (e x )’e e x = e x e e x

Já terminamos a derivada. Para a resposta final, lembramos que “o produto de potênci-as de mesma base é a base elevada à soma dos expoentes”, ou seja,

ma.mb = ma+b → e x e e x = e x+e x.

Sendo assim,

f ’(x) = (e e x)’ = e x e e x = e x+e x


Exemplo 2.14. Derive y = sec(x2 + 4x)

Vamos derivar uma função composta dada por u = u(x) = x2 + 4x e f (u) = secu.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (secu)’ = u’sec utgu.

Logo,

y’ = (sec(x2 + 4x))’ = (x2 + 4x)’ sec(x2 + 4x) tg(x2 + 4x).

Agora, para derivarmos x2 + 4x em relação à variável x, usamos as propriedades D1 e D2vistas no capítulo 1:

(x2 + 4x)’ = (x2)’ + (4x)’ = (x2)’ + 4(x)’

A derivada de x2 em relação à variável x é 2x e a derivada de x em relação à variável x é 1.

Logo,

(x2 + 4x)’ = (x2)’ + (4x)’ = (x2)’ + 4(x)’ = 2x + 4.1 = 2x + 4

A derivada fica assim:

y’ = (sec(x2 + 4x))’ = (x2 + 4x)’ sec(x2 + 4x) tg(x2 + 4x) = (2x + 4) sec(x2 + 4x) tg(x2 + 4x)

Já terminamos a derivada, mas, ainda, podemos colocar a constante 2 em evidência:

y’ = (sec(x2 + 4x))’ = (2x + 4) sec(x2 + 4x) tg(x2 + 4x) = 2(x + 2) sec(x2 + 4x) tg(x2 + 4x)

Exemplo 2.15. Derive y = 5senx

Vamos derivar uma função composta dada por u = u(x) = senx e f (u) = au, com a = 5.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (au)’ = u’au. 1n a

Logo,

y’ = (5senx)’ = (senx)’ 5senx 1n 5

A derivada de senx em relação à variável x é cosx.


Logo,

y’ = (5senx)’ = (senx)’ 5senx 1n 5 = (cosx)5senx 1n 5

Exemplo 2.16. Derive y = 7e x

Vamos derivar uma função composta dada por u = u(x) = ex e f (u) = au, com a = 7.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (au)’ = u’au. 1n a.

Logo,

y’ = ( 7e x)’ = (ex)’7e x 1n 7

A derivada de ex em relação à variável x é ex.

Logo,

y’ = ( 7e x)’ = (ex)’7e x 1n 7 = ex 7e x 1n 7

Exemplo 2.17. Derive h(x) = x5 esenx

Inicialmente, vamos aplicar a regra da derivada do produto de duas funções (a funçãox5 multiplicada pela função esenx), ou seja, a regra D3 vista no capítulo 1:

D3. (f (x). g(x))’ = f ’(x). g(x) + f (x). g’(x) ou d f x g xdx

df xdx

g x f x dg xdx

( ). ( ) ( ) . ( ) ( ). ( )( )= + .

No caso, temos que:

h’(x) = (x5 esenx)’ = (x5)’ esenx + x5 (esenx)’

Agora, vamos prosseguir com as derivadas, em relação à variável x, das funçõesx5 e esenx.

A função x5 é uma função simples de x, cuja derivada é (x5)’ = 5x5−1 = 5x4.

Já a função esenx é uma função composta dada por u = u(x) = senx e f (u) = eu.



Logo,

(esenx)’ = (senx)’esenx = cos x esenx


h’(x) = (x5 esenx)’ = (x5)’ esenx + x5 (esenx)’ = 5x4 esenx + x5 cos x esenx

A derivada já foi terminada, mas ainda é possível simplificarmos a resposta colocando“x4 vezes e elevado ao seno de x” em evidência:

h’(x) = 5x4 esenx + x5 cos x esenx = x4 esenx (5 + x cos x)

Exemplo 2.18. Derive y = tgx5.1n (3x2 + 8)

Vamos começar este exemplo aplicando a regra da derivada do produto de duas fun-ções (a função tangente de x5 multiplicada pela função logaritmo neperiano de 3x2 + 8),ou seja, a regra D3 vista no capítulo 1:

D3. (f (x). g(x))’ = f ’(x). g(x) + f (x). g’(x) ou d f x g xdx

df xdx

g x f x dg xdx

( ). ( ) ( ) . ( ) ( ). ( )( )= + .

No caso, temos que:

y’ = (tgx5.1n (3x2 + 8))’ = (tgx5)’.1n (3x2 + 8) + tgx5.(1n (3x2 + 8))’

Agora, vamos prosseguir com as derivadas, em relação à variável x, das funções tgx5

e 1n (3x2 + 8).

A função tgx5 é uma função composta dada por u = u(x) = x5 e f (u) = tgu.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (tgu)’ = u’sec2 u.

Logo,

(tgx5)’ = (x5)’sec2 x5 = 5x4 sec2 x5

A função (3x2 + 8) é uma função composta dada por u = u(x) = 3x2 + 8 e f (u) = 1n u.


,

u uu

( ) = .


Logo,

ln,

, , , ,

3 83 8

3 8

3 8

3 8

3 0

32

2

2

2

2

2

2xxx

xx

xx

+( )( ) =+( )+

=( ) + ( )

+=

( ) + ( )+88

3 23 8

63 82 2=

+=

+. xx

xx


y tgx x tgx x x x x, , ,.ln . ln sec ln= ( ) +( ) + +( )( ) = ( ) +(5 2 5 2 4 2 5 23 8 3 8 5 3 8)) +

+tgx x

x5

2

63 8

Exemplo 2.19. Derive yesenx

x x

=−7 8

4 .

Iniciamos a resolução deste exemplo aplicando a regra da derivada do quociente deduas funções (a função “base e elevada ao expoente x7 − 8x” dividida pela função“seno de x4”), ou seja, a regra D4 vista no capítulo 1:

D4. f xg x

f x g x f x g xg x

� �d f x g x( )

( )( ). ( ) ( ). ( )

( )

( ). ( ), , ,⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = −

( )2ou

(( )=

−

( )dx

df xdx

g x f x dg xdx

g x

( ) . ( ) ( ). ( )

( ) 2

No caso, temos que:

y esenx

e senx e senx

senx

x x x x x x

,

,, ,

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

( ) − ( )− − −77 7

8

4

8 4 8 4

4(( )2

Para concluirmos a derivada, precisamos derivar, em relação à variável x, as funçõesex7−8x e senx4.

A função ex7−8x é uma função composta dada por u = u(x) = x7 − 8x e f (u) = eu.



Logo,

(ex7− 8x)’ = (x7 − 8x)’ex7− 8x = ((x7)’ − (8x)’)ex7− 8x = (7x6 − 8)ex7− 8x

A função senx4 é uma função composta dada por u = u(x) = x4 e f (u) = senu.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (senu)’ = u’cos u.

Logo,

(senx4)’ = (x4)’ cos x4 = 4x 3 cos x4


y esenx

e senx e senx

senx

x x x x x x

,

,, ,

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

( ) − ( )− − −77 7

8

4

8 4 8 4

4(( )=

−( )( ) − ( )− −

2

6 8 4 8 3 4

2 4

7 8 47 7

x e senx e x x

sen x

x x x x cos

A derivada já foi terminada, mas ainda é possível simplificarmos a resposta colocando“e elevado a x7 − 8x” em evidência:

y esenx

x e senx e x xx x x x x x

,

, cos=

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

−( )( ) −− − −77 7

8

4

6 8 4 8 37 8 4 44

2 4

8 6 4 3 4

2 4

7

7 8 4( )=

( ) −( ) −⎡⎣ ⎤⎦−

sen x

e x senx x x

sen x

x x cos

Observe que podemos escrever a função seno ao quadrado dex elevado a 4 como (senx4)2 ou como sen2x4.

Exemplo 2.20. Derive y x x arctg x x= + + −( )5 3 44 2 3 .

Começamos este exemplo usando a regra da derivada da soma de duas funções (afunção “5 vezes a raiz quadrada de 3x4 + x2” mais a função “arcotangente de x3 − 4x”),ou seja, a regra D1 vista no capítulo 1:

D1. f x g x f x g x � �d f x g x

dxdf xdx

dg xdx

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ), , ,±( ) = ±

±( )= ±ou .


No caso, temos que:

y x x arctg x x x x arctg x x,, , ,

= + + −( )( ) = +( ) + −( )( )5 3 4 5 3 44 2 3 4 2 3

Aplicando a regra da derivada de uma constante multiplicada por uma função para aparcela que contém a raiz quadrada de 3x4 + x2, ou seja, a regra D2 vista no capítulo 1:


k df xdx

( ) ( )( )

. ( ), ,( ) =( )

= .

No caso, temos que:

y x x arctg x x x x arctg x x,, , , ,

= +( ) + −( )( ) = +( ) + −( )( )5 3 4 5 3 44 2 3 4 2 3

A função 3 4 2x x+ é uma função composta dada por u = u(x) = 3 x4 + x2 e f (u) = u .

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que u uu

( ) =, ,

2.

Logo,

33

2 3

3

2 3

3 4 24 2

4 2

4 2

4 2

4 2

3

x xx x

x x

x x

x x

x x+( ) =

+( )+

=( ) +( )

+=

( )+( ),, , ,

22 3

12 2

2 3

2 6 1

2 3

6 1

34 2

3

4 2

2

4 2

2

4 2x xx xx x

x x

x x

x x

x x+= +

+=

+( )+

=+( )

+

A função arctg(x3 − 4x) é uma função composta dada por u = u(x) = x3 − 4x e f (u) = arctgu.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que arctguuu

( ) =+

,,

1 2 .

Logo,

( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )23

2

23

,,3

23

,,3

23

,3,3

4143

414

414

4144

xxx

xxxx

xxxx

xxxxxxarctg

−+−=

−+−=

−+−=

−+−=−



( ) ( )( ) ( )( )

( )( )23

2

24

2

23

2

24

2,3

,24,

4143

3165

4143

3165435

xxx

xxxx

xxx

xxxxxxarctgxxy

−+−+

++=

−+−+��

�

��

�

++=−++=

Exemplo 2.21. Derive .xx eey +=

Temos de derivar, inicialmente, a função dada pela soma de duas funções de x: afunção xe , lida como raiz quadrada de xe , e a função xe , lida como e elevado à raizquadrada de x.

Vamos, então, aplicar a propriedade D1, ( ) )()()()( ,,, xgxfxgxf ±=± . No caso,

( ) ( ) ( ),,,, xxxx eeeey +=+=

Agora, precisamos usar a regra da cadeia para derivarmos duas funções compostasde x: xe e xe .

A derivada de xe , em relação à variável x, é:

( ) ( )x

xx

eee

2

,,

= , pois ( )u

uu2

,,= , sendo, no caso, u = ex.

Da tabela de derivadas de funções simples, temos que a derivada de ex é ex.

Ou seja,

( ) ( )x

x

x

xx

ee

eee

22

,,

==

A derivada de xe , em relação à variável x, é:

( ) ( ) xx exe,,

= ,

pois (eu)’ = u’eu, sendo, no caso, xu = .


Da tabela de derivadas de funções simples, temos que a derivada de x é x2

1 .

Ou seja,

( ) ( )x

eex

exex

xxx

221,,

===

Finalizando a derivada da função xx eey += :

( ) ( ) ( )x

ee

eeeeeyx

x

xxxxx

22

,,,, +=+=+=

A derivada já foi terminada. Para darmos a resposta final, ainda podemos colocar aconstante ½ em evidência:

( ) ��

��

�+=+=+=

xe

ee

xe

eeeey

x

x

xx

x

xxx

21

22

,,

Exemplo 2.22. Derive .57

3 3

��

�� ++= xesenxy

Temos de derivar uma função composta dada por 3

5)( 3 xesenxxuu ++== ef (u) = u7.


Sendo, no caso, n = 7 e 3

5)( 3 xesenxxuu ++== , a derivada da função

73 3

5 ��

�� ++= xesenxy é:

173

,3

,73, 333

5.575−

��

�� ++�

��

�� ++=��

�

��

��

�� ++= xxx esenxesenxesenxy

63

,3

,73, 333

5.575 ��

�� ++�

��

�� ++=��

�

��

��



Para prosseguirmos, temos de derivar, em relação à variável x, a função

��

�� ++

3

53 xesenx .

Vamos aplicar, inicialmente, a propriedade D1, ( ) )()()()( ,,, xgxfxgxf ±=± , vistoque a função a ser derivada é formada pela soma de duas funções de x, as funçõessenx3 e 3

5 xe+ .

Vejamos:

( ),

,3,

3 33

55 ��

�� ++=�

��

�� ++ xx esenxesenx

Agora, precisamos usar a regra da cadeia para derivarmos duas funções compostas dex, as funções senx3 e 3

5 xe+ .

A derivada de senx3, em relação à variável x, é:

(senx3)’ = (x3)’ cos x3 = 3x2 cos x3,

pois (senu)’ = (u)’cos u, sendo, no caso, u = x3.

A derivada de 3

5 xe+ , em relação à variável x, é:

( )3

33

52

55,,

x

xx

e

ee+

+=��

�� + ,

pois ( )u

uu2

,,= , sendo, no caso, u = 5 + ex3.

Ainda temos de derivar 5 + ex3 em relação à variável x. Vamos aplicar, novamente, apropriedade D1, ( ) )()()()( ,,, xgxfxgxf ±=± :

A derivada da constante 5, em relação à variável x, é zero, ou seja, (5)’ = 0

A derivada da função ex3, em relação à variável x, é (ex3)’ = (x3)’ex3 = 3x2ex3, pois (eu)’ = (u)’eu.


Concluindo a derivada de 3

5 xe+ :

( ) ( ) ( )3

3

3

3

3

3

3

33

52

3

52

30

52

5

52

5522,,,,

x

x

x

x

x

x

x

xx

e

ex

e

ex

e

e

e

ee+

=+

+=+

+=+

+=��

�� +

Finalizando derivada da função 7

3 3

5 ��

�� ++= xesenxy :

63

,3

,73, 333

5.575 ��

�� ++�

��

�� ++=��

�

��

��


( )6

3,

,3,7

3, 333

5.575 ��

�� ++��

��

��

�� ++=��

�

��

��


63

232

,73, 3

3

33

5.52

3cos375 ��

�� ++��

��

�

++=��

�

��

��

�� ++= x

x

xx esenx

e

exxxesenxy

A derivada já foi terminada. Para darmos a resposta final, ainda podemos colocar 3x2 emevidência:

6332

,73, 3

3

33

552

cos3.75 ��

�� ++��

��

�

++=��

�

��

��

�� ++= x

x

xx esenx

e

exxesenxy

6332

,73, 3

3

33

552

cos215 ��

�� ++��

��

�

++=��

�

��

��

�� ++= x

x

xx esenx

e

exxesenxy

Exemplo 2.23. Derive y = cossec(x5 − 7x) + cot g(ex)

Temos de derivar, inicialmente, a função dada pela soma de duas funções de x: asfunções trigonométricas cossec(x5 − 7x) e cot g(ex).

Vamos, então, aplicar a propriedade D1, relativa à derivada da soma de duas funções:f x g x f x g x( ) ( ) ( ) ( ), , ,±( ) = ± . Ou seja,


y’ = (cossec(x5 − 7x) + cot g(ex))’ = (cossec(x5 − 7x))’ + (cot g(ex))’

Agora, precisamos usar a regra da cadeia para derivarmos duas funções compostas dex, (x5 − 7x) e cot g(ex).

A derivada de cossec (x5 − 7x), em relação à variável x, é:

(cossec(x5 − 7x))’ = − (x5 − 7x)’ cossec(x5 − 7x) cot g(x5 − 7x), pois

(cossec u) = u’ cossec u.cot gu.

Visto que

(x5 − 7x)’ = (x5)’− (7x)’ = (x5)’− 7(x)’ = 5x4 − 7.1 = 5x4 − 7,

a derivada original fica:

(cossec(x5 − 7x))’ = − (x5 − 7x)’ cossec(x5 − 7x) cot g(x5 − 7x)

(cossec(x5 − 7x))’ = − (5x4 − 7) cossec(x5 − 7x) cot g(x5 − 7x)

Podemos escrever − (5x4 − 7) como + (− 5x4 + 7) = (7 − 5x4). Sendo assim:

(cossec(x5 − 7x))’ = (7 − 5x4) cossec(x5 − 7x) cot g(x5 − 7x)

A derivada de cot g(ex), em relação à variável x, é:

(cot g(ex))’ = − (ex)’ cossec2(ex), pois

(cot gu)’ = − (u)’ cossec2(u).

Visto que (ex)’ = ex, a derivada da cotangente do exemplo 2.23 fica:

(cot g(ex))’ = − (ex)’ cossec2(ex) = − ex cossec2(ex)

Finalizando derivada da função y = cossec(x5 − 7x) + cot g(ex):

y = (cossec(x5 − 7x) + cot g(ex))’ = (cossec(x5 − 7x))’ + (cot g(ex))’

y = (7 − 5x4) cossec(x5 − 7x) cot g(x5 − 7x) + (− ex cossec2(ex))

y = (7 − 5x4) cossec(x5 − 7x) cot g(x5 − 7x) − ex cossec2(ex)


Exemplo 2.24. Derive y = arccos(senx).

A primeira observação a ser feita é a de que não há multiplicações na função y = arccos(senx),lida como o arcocosseno do seno de x.

Se enxergarmos a função u = u(x) como u = senx, temos de derivar uma função com-posta dada por f (u) = arccosu.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que ( )2

,,

1arccos

uuu

−−= .

Ou seja,

( )( ) ( )( )2

,,,

1arccos

senxsenxsenxy

−

−==

Visto que (senx)’ = cos x e que (senx)2 = sen2x, a derivada do exemplo 2.24 fica:

( )( )

1coscos

coscos

1cos

1

)()(arccos222

,,, −=−=−=

−−=

−

−==xx

xx

xsenx

senx

senxsenxy

Exemplo 2.25. Derive y = cos5 (1n (x4 + x2)).

Assim como no exemplo anterior, a primeira observação a ser feita é a de que nãohá multiplicações na função y = cos5 (1n (x4 + x2)), que também pode ser escritacomo y = (cos (1n (x4 + x2)))5. Essa função é lida como o cosseno a quinta do logaritmoneperiano da soma x4 + x2.

Se enxergarmos a função u = u(x) como u = cos(1n (x4 + x2)), temos de derivar umafunção composta dada por f (u) = u5.


Sendo, no caso, n = 5 e u = cos(1n (x4 + x2)), a derivada da função y = (cos(1n(x4 + x2)))5 é:

( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 1524,24,524, lncoslncos5lncos −++=+= xxxxxxy

( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )424,24,524, lncoslncos5lncos xxxxxxy ++=+=


Visto que

( )( )( ) ( )( )244424 lncoslncos xxxx +=+ :

( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )244,24,524, lncoslncos5lncos xxxxxxy ++=+=

Para prosseguirmos, temos de derivar, em relação à variável x, a função cos(1n (x4 + x2)).Vamos aplicar a seguinte regra de derivação da função composta: (cosu)’ = − u’ senu.

Ou seja,

( )( )( ) ( )( ) ( )( )24,24,24 lnlnlncos xxsenxxxx ++−=+

Agora, precisamos derivar, em relação à variável x, a função 1n (x4 + x2). Vamos aplicarseguinte regra de derivação da função composta: ( )

uuu

,,ln = .

Vejamos:

( )( ) ( ) ( ) ( )24

3

24

,2,4

24

,24,24 24ln

xxxx

xxxx

xxxxxx

++=

++=

++=+

A derivada de 1n (x4 + x2) já foi concluída, mas, ainda, podemos fazer as seguintessimplificações, colocando 2x em evidência no numerador e x2 em evidência nodenominador:

( )( ) ( )( )

( )( )1

122112224ln 2

2

22

2

24

3,24

++=

++=

++=+

xxx

xxxx

xxxxxx

Finalizando derivada da função y = cos5 (1n (x4 + x2)):

y x x x x x x sen x,, ,

cos ln cos ln ln ln= +( )( )( ) +( )( )= − +( )( )5 54 2 4 4 2 4 2 4 ++( )( )( ) +( )( )x x x2 4 4 2cos ln

( )( ) ( )( )2442424

3, lncosln245 xxxxsen

xxxxy +��

�

��

�+��

�

��

�++−=


( )( ) ( )( )2442424

3, lncosln245 xxxxsen

xxxxy ++��

��

�++−=

( )( ) ( )( ) ( )( )24424

22

2, lncosln

11225 xxxxsen

xxxxy ++��

�

��

�++−=

( )( ) ( )( )244242

2, lncosln

11210 xxxxsen

xx

xy ++��

�

��

�++−=


Exercício 2.1. Derive f (x) = (x5 − 7)60.

Exercício 2.2. Derive f (x) = (x5 + x6)3.

Exercício 2.3. Derive f (x) = (x8 + 3)− 63.

Exercício 2.4. Derive ( ) .74)( 545 += xxf

Exercício 2.5. Derive .32 52 ��

�� += x

xy

Exercício 2.6. Derive y = 1n(2x + 3x2).

Exercício 2.7. Derive ( ).2ln += xy

Exercício 2.8. Derive y = 1n(ex + x2).

Exercício 2.9. Derive f (x) = cos(3x − 2).

Exercício 2.10. Derive f (x) = cos x3.

Exercício 2.11. Derive f (x) = cos3 x.


Exercício 2.12. Derive f (x) = cos(ex).

Exercício 2.13. Derive f (x) = ecosx.

Exercício 2.14. Derive f (x) = e4x − 5x3.

Exercício 2.15. Derive .)( 32+= xexf

Exercício 2.16. Derive h (x) = senx esenx.

Exercício 2.17. Derive y = cotgx3 1n(cosx + 5).

Exercício 2.18. Derive .2

56 2

senxey

xx−

=

Exercício 2.19. Derive ( ).3arccos747 32 xxxy −++=

Exercício 2.20. Derive ( ).528 33 2 xxarcsenxxy −++=


Exercício 2.1. ( )5954, 7300)( −= xxxf

Exercício 2.2. ( )( )2654, 653)( xxxxxf ++=

Exercício 2.3. ( )648

7,

3504)(+

−=x

xxf

Exercício 2.4. 5 5

4,

7416)(

+=

xxxf

Exercício 2.5. 4

22

, 323110 ��

�� +��

�� +−= x

xx

xy

Exercício 2.6. )32()31(2,

xxxy

++=

Exercício 2.7. ( )221,

+=

xxy


Exercício 2.8. 2, 2

xexey x

x

++=

Exercício 2.9. ( )233)(, −−= xsenxf

Exercício 2.10. 32, 3)( senxxxf −=

Exercício 2.11. xsenxxf 2, cos3)( −=

Exercício 2.12. xxseneexf −=)(,

Exercício 2.13. senxexf xcos, )( −=

Exercício 2.14. 354, )154()( xxexxf −−=

Exercício 2.15. 32

3,

2

+=

+

xxey

x

Exercício 2.16. h’ (x) = esenx cosx(1 + senx).

Exercício 2.17. ( )5cos

cot.5cosln.seccos33

322,

+−+−=

xgxsenxxxxy .


2256, cos)53(2

2

xsenxxsenxxey

xx −−=−

.

Exercício 2.19. 23

2

2,

)3(119

7428

xxx

xxy

−−−−

+= .

Exercício 2.20. 23

2

3 22,

)52(156

)8(3)4(2

xxx

xxxy

−−−+

++= .


Derivadas Parciais de Funções de duasDerivadas Parciais de Funções de duasDerivadas Parciais de Funções de duasDerivadas Parciais de Funções de duasDerivadas Parciais de Funções de duasVVVVVariáveisariáveisariáveisariáveisariáveis

Vamos pensar em uma função que tenha “duas entradas”, ou seja, uma função de duasvariáveis, as variáveis x e y, indicada por z = f (x, y).

Podemos calcular a derivada de z = f (x, y) apenas em relação à variável x, indicada por

xyxfou

xz

∂∂

∂∂ ),(

,

lida como “deo z deo x”. Nesse caso, imaginamos que a variável y “atua como umaconstante”.

Podemos, também, calcular a derivada de z = f (x, y) apenas em relação à variável y,indicada por

yyxfou

yz

∂∂

∂∂ ),(

,

lida como “deo z deo y”. Nesse caso, imaginamos que a variável x “atua como umaconstante”.

Exemplo 3.1. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = x5 + y5.

Para derivarmos z = f (x, y) = x5 + y5 em relação à variável x, imaginamos que a variávely é uma constante e, consequentemente, y5 também é uma constante. Aplicando a


propriedade D1 do capítulo 1, que afirma que a derivada da soma de duas funções éigual à soma das derivadas dessas funções, temos que:

( ) ( ) ( )xy

xx

xyx

xyxf

xz

∂∂+

∂∂=

∂+∂=

∂∂=

∂∂ 5555),(

Já vimos que a derivada de x5 em relação à variável x é 5x5−1 = 5x4.

A derivada de y5 em relação à variável x é equivalente à derivada de uma constante emrelação à variável x, ou seja, é zero.

Sendo assim,

( ) ( ) ( ) 445555

505),( xxxy

xx

xyx

xyxf

xz =+=

∂∂+

∂∂=

∂+∂=

∂∂=

∂∂

Para derivarmos z = f (x, y) = x5 + y5 em relação à variável y, imaginamos que a variávelx é uma constante e, consequentemente, x5 também é uma constante. Aplicando apropriedade D1 do capítulo 1, que afirma que a derivada da soma de duas funções é asoma das derivadas dessas funções, temos que:

( ) ( ) ( )yy

yx

yyx

yyxf

yz

∂∂+

∂∂=

∂+∂=

∂∂=

∂∂ 5555),(

A derivada de x5 em relação à variável y é equivalente à derivada de uma constante emrelação à variável y, ou seja, é zero.

A derivada de y5 em relação à variável y é 5y5−1 = 5y4.

Sendo assim,

( ) ( ) ( ) 445555

550),( yyyy

yx

yyx

yyxf

yz =+=

∂∂+

∂∂=

∂+∂=

∂∂=

∂∂

Exemplo 3.2. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = x5 y5.

Para derivarmos z = f (x, y) = x5 y5 em relação à variável x, imaginamos que a variável yé uma constante e, consequentemente, y5 também é uma constante. Aplicando a pro-

6161616161Capítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis

priedade D2 do capítulo 1, que afirma que a derivada do produto de uma constante poruma função é igual ao produto da constante pela derivada da função, temos que:

( ) ( )xxy

xyx

xyxf

xz

∂∂=

∂∂=

∂∂=

∂∂ 5

555.),(

Já vimos que a derivada de x5 em relação à variável x é 5x5−1 = 5x4. Sendo assim,

( ) ( ) ( ) 54455

555

55.),( yxxyxxy

xyx

xyxf

xz ==

∂∂=

∂∂=

∂∂=

∂∂

.

Para derivarmos z = f (x, y) = x5 y5 em relação à variável y, imaginamos que a variável xé uma constante e, consequentemente, x5 também é uma constante. Aplicando a pro-priedade D2 do capítulo 1, que afirma que a derivada do produto de uma constante poruma função é o produto da constante pela derivada da função, temos que:

( ) ( )yyx

yyx

yyxf

yz

∂∂=

∂∂=

∂∂=

∂∂ 5

555.),(

Já vimos que a derivada de y5 em relação à variável y é 5y5−1 = 5y4. Sendo assim,

( ) ( ) ( ) 45455

555

55.),( yxyxyyx

yyx

yyxf

yz ==

∂∂=

∂∂=

∂∂=

∂∂

.

Exemplo 3.3. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 7x2y + 5y3 1n x.

Para derivarmos z = f (x, y) = 7x2y + 5y3 1n x em relação à variável x, imaginamos que avariável y “funciona” como constante. Se a variável y é considerada constante, então7y e 5y3 também “funcionam” como constantes. Vamos aplicar as propriedades D1 e D2do capítulo 1:

D1. A derivada da soma (ou subtração) de duas funções é igual à soma (ousubtração) das derivadas das funções. Isso também é válido para mais de duasfunções.

D2. A derivada do produto (multiplicação) de uma constante por uma função éigual ao produto da constante pela derivada da função. Essa constante podeser qualquer número real.


No caso, temos que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )x

xyxxy

xxy

xyx

xxyyx

xyxf

xz

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂=

∂+∂=

∂∂=

∂∂ ln57ln57ln57),( 3

23232

A derivada de x2 em relação à variável x é 2x2−1 = 2x.

A derivada de 1n x em relação à variável x é x1

.

Sendo assim,

( ) ( ) ( )xyxy

xyxy

xxy

xxy

xyxf

xz 3

332 5141527ln57),( +=+=

∂∂+

∂∂=

∂∂=

∂∂

Para derivarmos z = f (x, y) = 7x2y + 5y3 1n x = 7x2y + 5 (1n x)y3 em relação à variável y,imaginamos que a variável x “funciona” como constante. Se a variável x é consideradaconstante, então 7x2 e 5 1n x também “funcionam” como constantes. Aplicando aspropriedades D1 e D2 do capítulo 1, temos que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )yyx

yyx

yxy

yyx

yxyyx

yyxf

yz

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂=

∂+∂=

∂∂=

∂∂ 3

23232

ln57ln57ln57),(

A derivada de y em relação à variável y é 1.


Sendo assim,

( ) ( ) ( ) ( ) xyxyxxyyx

yyx

yyxf

yz ln1573ln517ln57),( 2222

32 +=+=

∂∂+

∂∂=

∂∂=

∂∂

Exemplo 3.4. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 3y cos x + 2xseny.

Para derivarmos z = f (x, y) = 3y cos x + 2xseny em relação à variável x, imaginamos quea variável y “funciona” como constante. Se a variável y é considerada constante,então 3y e 2seny também “funcionam” como constantes. Aplicando as propriedadesD1 e D2 do capítulo 1, temos que:


( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxseny

xxy

xxseny

xxy

xxsenyxy

xyxf

xz

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂=

∂+∂=

∂∂=

∂∂ 2cos32cos32cos3),(

A derivada de cos x em relação à variável x é − senx.

A derivada de x em relação à variável x é 1.

Sendo assim,

( ) ( ) ( ) ( ) senyysenxsenysenxyxxseny

xxy

xyxf

xz 231232cos3),( +−=+−=

∂∂+

∂∂=

∂∂=

∂∂

Para derivarmos z = f (x, y) = 3y cos x + 2xseny em relação à variável y, imaginamos quea variável x “funciona” como constante. Se a variável x é considerada constante,então 3cosx e 2x também “funcionam” como constantes. Aplicando as propriedadesD1 e D2 do capítulo 1, temos que:

A derivada de y em relação à variável y é 1.

A derivada de seny em relação à variável y é cos y.

Sendo assim,

∂∂

= ∂∂

=∂ ( )

∂+

∂ ( )∂

= ( ) + ( ) =zy

f x,yy

xyy

xsenyy

x x y( ) cos cos cos3 2 3 1 2 3ccos cosx x y+ 2

Exemplo 3.5. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 3y4 cos x2 − 8xseny3.

Para derivarmos z = f (x, y) = 3y4 cos x2 − 8xseny3 em relação à variável x, imaginamos quea variável y “funciona” como constante. Se a variável y é considerada constante,então 3y4 e 8seny3 também “funcionam” como constantes. Aplicando as propriedadesD1 e D2 do capítulo 1, temos que:

∂∂

= ∂∂

=∂ −( )

∂=

∂ ( )∂

−∂z

xf x,yx

y x xsenyx

y xx

xseny( ) cos cos3 8 3 84 2 3 4 2 33( )∂x

∂∂

=∂∂

=∂ +( )

∂=

∂ ( )∂

+∂ ( )

∂=z

yf x,yy

y x xsenyy

y xy

xsenyy

( ) cos cos3 2 3 233 2cos x

yy

xsenyy

∂ ( )∂

+∂ ( )

∂


( ) ( )xxseny

xxy

xyxf

xz

∂∂−

∂∂=

∂∂=

∂∂ 3

24 8cos3),(

A derivada de cos x2 em relação à variável x é − (x2)’ senx2 = − 2xsenx2. Trata-se deuma função composta que, segundo tabela dada no capítulo 2, é derivada por(cos u)’ = − u’senu. No caso, u = x2 e u’ é a derivada de u em relação à variável x, ouseja, u’ = 2x.

A derivada de x em relação à variável x é 1.

Sendo assim,

( ) ( ) ( ) ( )18238cos3),( 32432

4 senyxsenxyxxseny

xxy

xyxf

xz −−=

∂∂−

∂∂=

∂∂=

∂∂

324 86),( senysenxxyx

yxfxz −−=

∂∂=

∂∂

Para derivarmos z = f (x, y) = 3y4 cos x2 − 8xseny3 em relação à variável y, imaginamos quea variável x “funciona” como constante. Se a variável x é considerada constante,então 3cosx2 e 8x também “funcionam” como constantes. Aplicando as propriedadesD1 e D2 do capítulo 1, temos que:

∂∂

= ∂∂

=∂ −( )

∂=

∂ ( )∂

−∂z

yf x,yy

y x xsenyy

y xy

xseny( ) cos cos3 8 3 84 2 3 4 2 332

4 3

3 8( )

∂=

∂ ( )∂

−∂ ( )

∂yx

yy

xsenyy

cos


A derivada de seny3 em relação à variável y é (y3)’cosy3 = 3y2 cosy3. Trata-se de uma funçãocomposta que, segundo tabela dada no capítulo 2, é derivada por (senu)’ = u’ cos u. Nocaso, u = y3 e u’ é a derivada de u em relação à variável y, ou seja, u’ = 3y2.

Sendo assim,

∂∂

= ∂∂

=∂ ( )

∂−

∂ ( )∂

= ( ) −zy

f x,yy

xyy

xsenyy

x y x y( ) cos cos3 8 3 4 8 324 3

2 3 22 3

3 2 2 312 24

cos

( ) cos cos

y

zy

f x,yy

y x xy y

( )∂∂

= ∂∂

= −


Exemplo 3.6. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = e8x3+y5.

A derivada de z = f (x, y) = e8x3+y5 em relação à variável x é indicada por:

( )x

ex

yxfxz yx

∂∂=

∂∂=

∂∂ + 538),(

Para derivarmos e8x3+y5 em relação à variável x, imaginamos que a variável y “funciona”como constante e, consequentemente, y5 também “funciona” como constante. Sendoassim, a derivada de y5 em relação à variável x é zero.

Além disso, trata-se de uma função composta que, segundo a tabela dada no capítulo2, é derivada por (eu)’ = u’eu. Ou seja, a derivada de e8x3+y5 em relação à variável x é

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 5353535353 82828,5,38,5,38,53 24.03.888)8( yxyxyxyxyx exexeyxeyxeyx +++++ =+=+=+=+

Logo,

( ) 53853

28

24),( yx

exx

ex

yxfxz yx

+

=∂

∂=∂

∂=∂∂ +

A derivada de z = f (x, y) = e8x3+y5 em relação à variável y é indicada por:

( )y

ey

yxfyz yx

∂∂=

∂∂=

∂∂ + 538),(

Para derivarmos e8x3+y5 em relação à variável y, imaginamos que a variável x “funciona”como constante e, consequentemente, 8x3 também “funciona” como constante. Sendoassim, a derivada de 8x3 em relação à variável y é zero.

Além disso, trata-se de uma função composta que, segundo tabela dada no capítulo 2,é derivada por (eu)’ = u’eu. Ou seja, a derivada de e8x3+y5 em relação à variável y é

( ) ( )( ) ( ) 53535353 84848,5,38,53 5508)8( yxyxyxyx eyeyeyxeyx ++++ =+=+=+ .

Logo,

( ) 53853

48

5),( yx

eyy

ey

yxfyz yx

+

=∂

∂=∂

∂=∂∂ +


Exemplo 3.7. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = ey3 1n(5x2 + 6x).

Para derivarmos z = f (x, y) = ey3 1n(5x2 + 6x) em relação à variável x, imaginamos que avariável y “funciona” como constante. Logo, ey3 também “funciona” como constan-te. Aplicando a propriedade D2 do capítulo 1, ou seja, a derivada do produto deuma constante por uma função é o produto da constante pela derivada da função,temos que:

( )( ) ( )( )x

xxex

xxex

yxfxz y

y

∂+∂=

∂+∂=

∂∂=

∂∂ 65ln65ln.),( 22

33

A derivada de 1n(5x2 + 6x) em relação à variável x é

( )xx

xxxxx

65610

6565

22

,2

++=

++ ,

pois 1n(5x2 + 6x) é uma função composta de x que, segundo a tabela dada no capítulo2, é derivada por

( )uuu

,,ln = .

No caso, u = 5x2 + 6x e u’ é a derivada de u em relação à variável x, ou seja,

u’ = (5x2 + 6x)’ = (5x2)’ + (6x)’ = 5(x2)’ + 6(x)’ = 5(2x) + 6(1) = 10x +6.

Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável x:

( )( )��

��

++=

∂+∂=

∂∂=

∂∂

xxxe

xxxe

xyxf

xz yy

6561065ln),(

2

233

Podemos colocar a constante 2 em evidência no numerador e x em evidência no deno-minador:

��

��

++=��

�

��

�++=�

��

��

++=

∂∂=

∂∂

65352

)65()35(2

65610),(

333

2 xx

xe

xxxe

xxxe

xyxf

xz y

yy


Para derivarmos z = f (x, y) = ey3 1n(5x2 + 6x) em relação à variável y, imaginamos que avariável x “funciona” como constante. Logo, 1n(5x2 + 6x) também “funciona” comoconstante. Aplicando a propriedade D2 do capítulo 1, ou seja, a derivada do produtode uma constante por uma função é o produto da constante pela derivada da função,temos que:

( )( ) ( ) ( )y

exxy

xxey

yxfyz yy

∂∂+=

∂+∂=

∂∂=

∂∂

33

65ln65ln.),( 22

A derivada de ey3 em relação à variável y é (y3)’ey3 = 3y2 ey3, pois ey3 é uma funçãocomposta de y que, segundo a tabela dada no capítulo 2, é derivada por (eu)’ = u’eu. Nocaso, u = y3 e u’ é a derivada de u em relação à variável y, ou seja, u’ = (y3)’ = 3y2.

Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável y:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )xxeyeyxxy

exxy

yxfyz yy

y

65ln3365ln65ln),( 22222 333

+=+=∂

∂+=∂

∂=∂∂

Exemplo 3.8. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = arctg(10x3 +3y4).

Para derivarmos z = f (x, y) = arctg(10x3 + 3y4) em relação à variável x, imaginamosque a variável y “funciona” como constante. Logo, 3y4 também “funciona” comoconstante.

Essa derivada parcial é indicada por:

( )( )x

yxarctgx

yxfxz

∂+∂=

∂∂=

∂∂ 43 310),(

A derivada de arctg(10x3 + 3y4) em relação à variável x é

( )243

2

243

,43

)310(130

)310(1310

yxx

yxyx

++=

+++

,

pois se trata de uma função composta que, segundo a tabela dada no capítulo 2, éderivada por ( ) 2

,,

1 uuarctgu+

= . No caso, u = 10x3 + 3y4 e u’ é a derivada de u em relaçãoà variável x, ou seja, u’ = (10x3 + 3y4)’ = (10x3)’ + (3y4)’ = 10(x3)’ + (3y4)’ = 10(3x2) + (0) = 30x2.Lembre-se que a derivada de 3y4 em relação à variável x é zero.



( )( )243

243

)310(130310),(

yxx

xyxarctg

xyxf

xz

++=

∂+∂=

∂∂=

∂∂

Para derivarmos z = f (x, y) = arctg(10x3 +3y4) em relação à variável y, imaginamos que avariável x “funciona” como constante. Logo, 10x3 também “funciona” como constante.

Essa derivada parcial é indicada por:

( )( )y

yxarctgy

yxfyz

∂+∂=

∂∂=

∂∂ 43 310),(

A derivada de arctg(10x3 +3y4) em relação à variável y é

( )

243

3

243

,43

)310(112

)310(1310

yxy

yxyx

++=

+++

,

pois se trata de uma função composta que, segundo a tabela dada no capítulo 2, é

derivada por ( ) 2

,,

1 uuarctgu+

= . No caso, u = 10x3 +3y4 e u’ é a derivada de u em relação

à variável y, ou seja, u’ = (10x3 + 3y4)’ = (10x3)’ + 3(y4)’ = (0) + 3(4y3) = 12y3. Lembre-se que

a derivada de 10x3 em relação à variável y é zero.


( )( )243

343

)310(112310),(

yxy

yyxarctg

yyxf

yz

++=

∂+∂=

∂∂=

∂∂

Exemplo 3.9. Calcule as derivadas parciais de .2),( 33 yxsenyxyxfz

++==

A derivada parcial de 332),(

yxsenyxyxfz

++== em relação à variável x é indicada por:

xyx

senyx

xyxf

xz

∂

��

��

�+

+∂=

∂∂=

∂∂ 33

2),(


Para prosseguirmos com essa derivada, utilizamos a propriedade D4 vista no capítulo1, relativa à derivação do quociente (divisão) de duas funções:

( ) ( ) ( ) ( )

( )233

3333

33 .2.22),(

yxx

yxsenyxyxxsenyx

xyx

senyx

xyxf

xz

+∂+∂+−+

∂+∂

=∂

��

��

�+

+∂=

∂∂=

∂∂

Sabemos a que derivada da soma das funções é a soma da derivada de duas funções(propriedade D1 do capítulo 1) e que a derivada do produto de uma constante poruma função é o produto da constante pela derivada da função (propriedade D2 docapítulo 1). Sendo assim:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )x

senyxx

xseny

xx

xsenyx

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂=

∂+∂ 222

( ) ( ) ( )xy

xx

xyx

∂∂+

∂∂=

∂+∂ 3333

A derivada de x em relação à variável x é 1.A derivada de seny em relação à variável x é 0.A derivada de x3 em relação à variável x é 3x2.A derivada de y3 em relação à variável x é 0.

Logo,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20)1(2222 =+=∂

∂+∂

∂=∂

∂+∂

∂=∂+∂

xseny

xx

xseny

xx

xsenyx

( ) ( ) ( ) 223333

303 xxxy

xx

xyx =+=

∂∂+

∂∂=

∂+∂


( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )233

233

233

3333

322.2.2

yxxsenyxyx

yxx

yxsenyxyxxsenyx

xz

++−+=

+∂+∂+−+

∂+∂

=∂∂

( ) ( )( )233

233 232yx

senyxxyxxz

++−+=

∂∂


A derivada parcial de 332),(

yxsenyxyxfz

++== em relação à variável y é indicada por:

yyx

senyx

yyxf

yz

∂

��

��

�+

+∂=

∂∂=

∂∂ 33

2),(

Para prosseguirmos com essa derivada, utilizamos a propriedade D4 vista no ca-pítulo 1, relativa à derivação do quociente (divisão) de duas funções:

( ) ( ) ( ) ( )

( )233

3333

33 .2.22),(

yxy

yxsenyxyxysenyx

yyx

senyx

yyxf

yz

+∂+∂+−+

∂+∂

=∂

��

��

�+

+∂=

∂∂=

∂∂

Sabemos que a derivada da soma das funções é a soma da derivada de duas funções(propriedade D1 do capítulo 1) e que a derivada do produto de uma constante poruma função é o produto da constante pela derivada da função (propriedade D2 docapítulo 1). Sendo assim:

( ) ( ) ( )y

senyyx

ysenyx

∂∂+

∂∂=

∂+∂ 22

( ) ( ) ( )yy

yx

yyx

∂∂+

∂∂=

∂+∂ 3333

A derivada de 2x em relação à variável y é 0.A derivada de seny em relação à variável y é cosy.A derivada de x3 em relação à variável y é 0.A derivada de y3 em relação à variável y é 3y2.

Logo,

( ) ( ) ( ) yyy

senyyx

ysenyx coscos022 =+=

∂∂+

∂∂=

∂+∂



( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )( )

( )233

233

233

3333

32cos.2.2

yxysenyxyxy

yxy

yxsenyxyxysenyx

yz

++−+=

+∂+∂+−+

∂+∂

=∂∂

( ) ( )( )233

233 23cosyx

senyxyyyxyz

++−+=

∂∂

Exemplo 3.10. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = x3 y4 1n(x2 + y2).

Para derivarmos z = f (x, y) = x3 y4 1n(x2 + y2) em relação à variável x, imaginamos quea variável y “funciona” como constante. Logo, y4 “funciona” como uma constante quemultiplica x31n(x2 + y2).

Aplicando a propriedade D2 do capítulo 1, enunciada como “a derivada do produtoda constante por uma função é o produto da constante pela derivada da função”,temos que:

( )( ) ( )( )x

yxxyx

yxyxx

yxfxz

∂+∂=

∂+∂=

∂∂=

∂∂ 223

42243 lnln),(

Para prosseguirmos com a derivada parcial de z em relação à variável x, temos de usara propriedade D3 do capítulo 1, que afirma que a derivada do produto de duas funçõesé igual à soma do produto entre a derivada da primeira função e a segunda função como produto entre a primeira função e a derivada da segunda função. Vejamos:

( )( ) ( ) ( )( )�

��

∂

+∂++∂

∂=∂

+∂=∂

∂=∂∂

xyxxyx

xxy

xyxxy

xyxf

xz 22

3223

4223

4 lnln)(ln),(

A derivada de x3 em relação à variável x é 3x3−1 = 3x2.

A derivada de 1n(x2 + y2) em relação à variável x é

( )2222

,22 2yx

xyxyx

+=

++

,


pois se trata de uma função composta que, segundo a tabela dada no capítulo 2, éderivada por ( ) .ln

,,

uuu = No caso, u = x2 + y2 e u’ é a derivada de u em relação à variável

x, ou seja, u’ = (x2 + y2)’ = (x2)’ + (y2)’ = 2x +0 = 2x. Lembre-se que a derivada de y2 emrelação à variável x é zero.


( ) ( )( ) ( ) ( ) �

��

��

��

�+

++=�

��

∂

+∂++∂

∂=∂

∂=∂∂

2232224

22322

34 2ln3lnln)(),(

yxxxyxxy

xyxxyx

xxy

xyxf

xz

( ) �

��

+

++=∂

∂=∂∂

22

42224 2ln3),(

yxxyxxy

xyxf

xz

A derivada parcial em relação à variável x já foi terminada, mas, para darmos a respostafinal, ainda podemos “colocar x2 em evidência”:

( ) ( ) �

��

+

++=�

��

+

++=∂

∂=∂∂

22

22242

22

22224 2ln32ln3),(

yxxyxyx

yxxyxxy

xyxf

xz

Para derivarmos z = f (x, y) = x3 y4 1n(x2 + y2) em relação à variável y, imaginamos que avariável x “funciona” como constante. Logo, x3 “funciona” como uma constante quemultiplica y4 1n(x2 + y2).

Aplicando a propriedade D2 do capítulo 1, enunciada como “a derivada do produtoda constante por uma função é o produto da constante pela derivada da função”,temos que:

( )( ) ( )( )y

yxyxy

yxyxy

yxfyz

∂+∂=

∂+∂=

∂∂=

∂∂ 224

32243 ln.ln.),(

Para prosseguirmos com a derivada parcial de z em relação à variável y, temos de usara propriedade D3 do capítulo 1, que afirma que a derivada do produto de duas funçõesé igual à soma do produto entre a derivada da primeira função e a segunda função como produto entre a primeira função e a derivada da segunda função. Vejamos:

( )( ) ( ) ( ) ( )( )�

��

∂

+∂++∂

∂=∂

+∂=∂

∂=∂∂

yyxyyx

yyx

yyxyx

yyxf

yz 22

4224

3224

3 lnlnln),(



A derivada de 1n(x2 + y2) em relação à variável y é

( )2222

,22 2yx

yyxyx

+=

++

,

pois se trata de uma função composta que, segundo a tabela dada no capítulo 2, éderivada por ( ) .ln

,,

uuu = No caso, u = x2 + y2 e u’ é a derivada de u em relação à variável

y, ou seja, u’ = (x2 + y2)’ = (x2)’ + (y2)’ = 0 + 2y = 2y. Lembre-se que a derivada de x2 emrelação à variável y é zero.


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) �

��

��

��

�+

++=�

��

∂

+∂++∂

∂=∂

∂=∂∂

2242233

22422

43 2ln4lnln),(

yxyyyxyx

yyxyyx

yyx

yyxf

yz

( ) �

��

+

++=∂

∂=∂∂

22

52233 2ln4),(

yxyyxyx

yyxf

yz

A derivada parcial em relação à variável y já foi terminada, mas, para darmos a respostafinal, ainda podemos “colocar 2y3 em evidência”:

( ) ( ) �

��

+

++=�

��

+

++=∂

∂=∂∂

22

22233

22

22233 ln22ln22),(

yxyyxyx

yxyyxyx

yyxf

yz


Exercício 3.1. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = x7 + y8.

Exercício 3.2. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = x3 y11.

Exercício 3.3. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 4x3y + 5x5 1n y.


Exercício 3.4. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 5x2 cos y + 3 ysenx.

Exercício 3.5. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 7y5 cos x3 − 4x2 seny4.

Exercício 3.6. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = e9y3 + e3x5.

Exercício 3.7. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = e9y3+ 3x5.

Exercício 3.8. Calcule as derivadas parciais de .),( 22 yxyxfz +==

Exercício 3.9. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = ex3+ 5x 1n (3y2 + 8).

Exercício 3.10. Calcule as derivadas parciais de .3

6),(4

5��

��

�+== yxarcsenyxfz

Exercício 3.11. Calcule as derivadas parciais de .45cos2),( 24 yx

senxyyxfz++==

Exercício 3.12. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 5x2y5 1n(3x2 + y4).

Exercício 3.13. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = xy7 + cot g(x2 + x4).

Exercício 3.14. Calcule as derivadas parciais de .1

sec),( 2

3

��

��

�+

==x

yyxfz

Exercício 3.15. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 5cos x + seny.

RRRRRespostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 3.espostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 3.espostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 3.espostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 3.espostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 3.

Exercício 3.1. 76 87 y

yfex

xf =

∂∂=

∂∂

Exercício 3.2. ∂∂

= ∂∂

=fx

x y e fy

x y3 112 11 3 10



= +( ) ∂∂

= +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

fx

x y x y fy

x xy

2 2 32

12 25 4 5ln e

Exercício 3.4. ∂∂fx = 10x cos y + 3y cosx e ∂

∂fy

= − 5x2 seny + 3 senx

Exercício 3.5. ∂∂fx = − 21x2 y5 senx3 − 8 xseny 3 e ∂

∂fy

= 35y4 cos x3 − 16x2 y3 cos y4

Exercício 3.6. ∂∂fx = 15x4 e3x5 e ∂

∂fy

= 27y2 e9y3

Exercício 3.7. ∂∂fx = 15x4 e9y3+ 3x5 e ∂

∂fy

= 27y2 e9y3+ 3x5


=+

∂∂

=+

fx

xx y

fy

yx y2 2 2 2

e


= + + ∂∂

=+

++f

xx y f

yyey

x xx x

( ) .ln( )3 5 3 8 63 8

2 5 25

2

33

e e

Exercício 3.10. 245

3

245

4

3613

4

361

30

��

��

�+−

=∂∂

��

��

�+−

=∂∂

yx

yyfe

yx

xxf

Exercício 3.11.

∂∂

=+( ) − +( )

+( )∂∂

=−f

xx x y x y senx

x y

fy

seny x5 4 4 2 5

4

24 2 3

4 2 2

4cos cose

++( ) − +( )+( )

4 8 2 5

4

2

4 2 2

y y y senx

x y

cos

Exercício 3.12.

( ) ( ) ( ) ( ) ��

��

�

+++=

∂∂

��

��

�

+++=

∂∂

242

44242

242

2425

343ln55

333ln10

yxyyxyx

yfe

yxxyxxy

xf


Exercício 3.13. ( ) ( ) 642237 7seccos42 xyyfexxxxy

xf =

∂∂++−=

∂∂

Exercício 3.14.

∂∂

= −

+( ) +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

∂∂

=+

fx

xy

x

yx

tg yx

fy

yx

2

1 1 133

2 2

3

2

3

2

2

2sec e

11 1 1

3

2

3

2( ) +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟sec y

xtg y

x

Exercício 3.15. ∂∂fx = (− senx)5cos x + seny.1n 5 e ∂

∂fy

= (cos y)5cos x + seny.1n 5


Integrais Simples - Diretíssimas da TIntegrais Simples - Diretíssimas da TIntegrais Simples - Diretíssimas da TIntegrais Simples - Diretíssimas da TIntegrais Simples - Diretíssimas da Tabelaabelaabelaabelaabela

Podemos pensar na integração como o processo contrário da derivação, também co-nhecido como antiderivação.

Vejamos um exemplo: dada a função f (x) = x2, queremos determinar outra função,chamada de F(x), cuja derivada seja f (x) = x2, ou F’(x) = f (x). Em outras palavras,queremos achar a função F(x) que é a primitiva (integral) de f (x) = x2.

Será que F(x) poderia ser a função “x elevado ao cubo”, ou seja, F(x) = x3 ?

A derivada de F(x) = x3 é a função 3x3, pois

213, 33)( xxdxdFxF === − .

Ou seja, a derivada de F(x) = x3 não é exatamente x2, mas é “quase isso”.

Vamos tentar a função 3

)(3xxF = ?

A derivada de3

3

31

3)( xxxF ==

é a função x2, pois

( ) 2213,3,3

, 3313

31

31

3)( xxxxx

dxdFxF ====��

�

��

�== −

.


Ou seja, a derivada de3

)(3xxF = é exatamente x2.

Será que existe outra função F(x), além de3

)(3xxF = , cuja derivada seja f (x) = x2?

Vamos tentar 53

)(3

+= xxF . A derivada de 53

)(3

+= xxF também é a função x2, pois

( ) 2213,,3,3

, 33103

315

35

3)( xxxxx

dxdFxF ==+=+��

�

��

�=��

�

��

�+== −

,

lembrando que a derivada da constante 5 é zero.

Poderíamos ter testado, por exemplo,43

3)(

3

−= xxF e, novamente, obteríamos comoderivada f (x) = x2.

Pensando em termos mais gerais, qualquer função do tipo CxxF +=3

)(3

, sendo Cuma constante, tem como derivada f (x) = x2. A constante C pode ser qualquer númeroreal (positivo, negativo, inteiro, fracionário, racional ou irracional).

O processo descrito anteriormente é chamado de integração indefinida, ou apenasintegração. A integral indefinida da função f (x) = x2 é indicada por

� � +== Cxdxxdxxf3

)(3

2 .

Lemos que a integral de “x elevado ao quadrado” é “x elevado ao cubo, sobre 3”, maisa constante de integração C.

A integral indefinida de uma função f (x) é indicada por � += CxFdxxf )()( . A funçãoF(x) é dita primitiva de f (x).

Vejamos...

• � � +== Cxdxdx 1 ,pois a derivada de x + C, em relação à variável x, é 1.

7979797979Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da Tabelaabelaabelaabelaabela

• � � +== − Cxdxxdxx

ln1 1 ,

pois a derivada de 1n|x|+ C , em relação à variável x, é x1 .

• � ++

=+

Cnxdxx

nn

1

1

, pois a derivada de Cnxn

++

+

1

1

, em relação à variável x, é

nn

xn

xn =+

+ −+

1)1( 11

.

• � += Cedxe xx , pois a derivada de ex, em relação à variável x, é ex.

• � +−= Cxsenxdx cos , pois a derivada de − cos x, em relação à variável x, é− (− senx) = senx.

• � += Csenxxdxcos , pois a derivada de senx, em relação à variável x, é cos x.

• � += Ctgxxdx2sec , pois a derivada de tgx, em relação à variável x, é sec2 x.

• � +−= Cgxxdx cotseccos 2 , pois a derivada de − cot gx, em relação à variávelx, é cos sec2 x.

• � += Cxtgxdxx sec.sec , pois a derivada de sec x, em relação à variável x, ésec x.tgx.

• � +−= Cxgxdxx seccoscot.seccos , pois a derivada de − cos sec x, em relaçãoà variável x, é − (− cos sec x) = − (− cos sec . cot gx) = cos sec x . cot gx.

Seguindo o raciocínio anterior, podemos elaborar a tabela de integrais imediatas quesegue.


Tabela de integrais imediatas

Há duas propriedades designadas como P1 e P2 que podem ser usadas para resolverintegrais:

• P1. � � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( ,

• P2. � �= dxxfkdxxfk )(.)(. , sendo k uma constante.

A propriedade P1 afirma que a integral da soma (ou subtração) de duas funções é igualà soma (ou subtração) das integrais de cada uma das funções. Essa propriedade tam-bém é válida para mais de duas funções.

A propriedade P2 afirma que a integral de uma constante multiplicada por uma funçãoé igual à constante multiplicada pela integral da função.

Nos exemplos que seguem, chamaremos de “integrais diretíssimas da tabela” as queestão na tabela de integrais imediatas ou que, para serem resolvidas, dependem daspropriedades P1 e P2.


Exemplo 4.1. Calcule .5� dxx

Esse é um dos casos mais simples de uso diretíssimo da tabela de integrais. Temos deintegrar uma função do tipo “base x elevada à 5ª potência”, lida apenas como “xelevado a 5”.

Da tabela, temos que

� ++

=+

Cnxdxx

nn

1

1

.

No caso, n = 5. Ou seja, a integral de “x elevado a 5” é “x elevado a 5 + 1, dividido por5 + 1”, resultando em “x elevado a 6, dividido por 6”, além da constante de integração,conforme segue.

� +=++

=+

CxCxdxx615

6155

Exemplo 4.2. Calcule .7� − dxx

Esse também é um caso de uso diretíssimo da tabela. Temos de integrar “x elevado a − 7”.

Da tabela, temos que

� ++

=+

Cnxdxx

nn

1

1

.

No caso, n = − 7. Ou seja, a integral de “x elevado a − 7” é “x elevado a − 7 + 1, divididopela soma − 7 + 1”, resultando em “x elevado a − 6, dividido por − 6”, além da constantede integração, conforme segue.

Cx

CxCxdxx +−=+−

=++−

=�−+−

−6

6177

61

617


Lembre-se que, somando 1 a − 7, temos − 6 e não − 8! Ou seja,

a integral de x −7 é 6

6

−

−x . Na “transformação” de 6

6

−

−x em 661

x−

não usamos qualquer regra de derivação: apenas aplicamos a

equivalência 61 xx

x aa →= −− .

Exemplo 4.3. Calcule .65

� dxx

Temos de integrar “x elevado à fração 5/6”. Usamos a seguinte regra da tabela:

� ++

=+

.1

1

Cnxdxx

nn

No caso, 65=n . Ou seja, a integral de “x elevado a

65 ” é “x elevado a 1

65 + , dividido

pela soma 165 + ”, resultando em “x elevado a

611 , dividido por

611 ”, além da constante

de integração, conforme segue.

CxCxCxCxdxx +=+=++=++

=�+

+

116

611

66516

56

116

116

6516

5

65

Lembre-se que, para somar 5/6 com 1, devemos fazer:

611

665

66.151

65 =+=+=+ .

1x

=6


Exemplo 4.4. Calcule .)( 33� +− dxxx

Temos de integrar a soma de “x elevado a − 3” com “x elevado a 3”.

Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar a propriedade P1, que afirma que a integralda soma (ou subtração) de duas funções é igual à soma (ou subtração) das integraisdas funções:

.)()())()((� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf

Ou seja,

� � �+=+ −− dxxdxxdxxx 3333 )(

Desse modo, temos duas integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por

.1

1

� ++

=+

Cnxdxx

nn

Logo,

� � � ++−=++−

=++

++−

=+=+−++−

−− Cxx

CxxCxxdxxdxxdxxx42

1421313

)(4

2

4213133333

Observe que se integrarmos duas funções, cada uma delas“gera” sua constante de integração. Quando somamos as inte-grais dessas duas funções, temos a soma das constantes deintegração. Como a soma de duas constantes resulta, sempre,em uma constante, podemos expressar essa soma como uma“única” constante C.

Exemplo 4.5. Calcule .)37( 4� + dxx

Temos de integrar a soma de 7 com o triplo de “x elevado a 4”. Ou seja, a soma de 7 comx4 multiplicado pela constante 3.


Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar as propriedades P1 e P2, as quais, respecti-vamente, afirmam que:

• a integral da soma (ou da subtração) de duas funções é igual à soma (ousubtração) das integrais das funções (P1);

• a integral do produto (multiplicação) de uma constante k por uma função éigual à constante k multiplicada pela integral da função (P2).

Ou seja,

� � �� +=+=+ dxxdxdxxdxdxx 444 3737)37(

Desse modo, temos duas integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por

� ++

=+

Cnxdxx

nn

1

1

e .� += Cxdx

Vejamos:

CxxCxxCxxdxxdxdxx ++=++=++

+=+=+� � �+

537

537

143737)37(

551444

Exemplo 4.6. Calcule .)cos8(� + dxx

Temos de integrar a soma de 8 com o cosseno de x.

Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar as seguintes propriedades:

� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e .)(.)(.� �= dxxfkdxxfk

Ou seja,

� � �� +=+=+ xdxdxxdxdxdxx cos8cos8)cos8(


Desse modo, temos duas integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por:

� += Cxdx e .cos� += Csenxxdx

Logo,

� � � ++=+=+ Csenxxxdxdxdxx 8cos8)cos8(

Exemplo 4.7. Calcule .)3sec5( 2� + dxsenxx

Temos de integrar a soma do quíntuplo da secante ao quadrado de x com o triplo doseno de x. Ou seja, a soma da secante ao quadrado de x multiplicada pela constante 5com o seno de x multiplicado pela constante 3.



Ou seja,

� � �� +=+=+ senxdxxdxsenxdxxdxdxsenxx 3sec53sec5)3sec5( 222


� += Ctgxxdx2sec e � +−= Cxsenxdx cos

Vejamos:

� � � +−=+−+=+=+ CxtgxCxtgxsenxdxxdxdxsenxx cos35)cos(353sec5)3sec5( 22


� ��

�� + dxxex

Temos de integrar a soma do “número neperiano e elevado a x” com “x multiplicadopela constante 1/7”.



� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e � �= dxxfkdxxfk )(.)(.

Ou seja,

� � �� +=+=��

�� + xdxdxexdxdxedxxe xxx

71

71

71


� += Cedxe xx e � ++

=+

Cnxdxx

nn

1

1

Vejamos:

CxeCxeCxexdxdxedxxe xxxxx ++=++=++

+=+=��

�� +� � �

+

142.

71

11.

71

71

71 2211

Exemplo 4.9. Calcule .seccos1 2� ��

�� +− dxxx

x

Temos de integrar x1

“menos” x “mais” a cossecante ao quadrado de x.

Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar a propriedade

� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( ,

expandida para o caso de três funções.

Ou seja,

� � � �+−=��

�� +− xdxdxxdx

xdxxx

x212 seccos1seccos1


Desse modo, chegamos a três integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por:

� � +== − Cxdxxdxx

ln1 1 , � ++

=+

Cnxdxx

nn

1

1

e � +−= Cgxxdx cotseccos 2

Vejamos:

� � � � +−−=+−=��

�� +− Cgxxxxdxdxxdx

xdxxx

xcot

2lnseccos1seccos1 2

212


52� −

dxx

Temos de integrar a função 222 31

91

xx −=

− multiplicada pela constante 5. Veja

que escrevemos a constante 9 como 32 a fim de nos “adequarmos” a um caso presente

na tabela de integrais.

Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar a seguinte propriedade:

� �= dxxfkdxxfk )(.)(. .

Ou seja,

� � −=

−dx

xdx

x 222 315

95

Desse modo, temos uma integral diretíssima da tabela, resolvida por:

.122� +�

��

��=

−C

axarcsendx

xa

Vejamos:

� � +��

��=

−=

−Cxarcsendx

xdx

x 35

315

95

222


Exemplo 4.11. Calcule .)23(� +− dxx

Temos de integrar a soma da constante − 3 com a função exponencial de base 2 (“2elevado a x” ou 2x).



Ou seja,

� � �� +−=+−=+− dxdxdxdxdx xxx 2323)23(


� += Cxdx e � += Caa

dxa xx

ln1

Vejamos:

� � �� ++−=+−=+−=+− Cxdxdxdxdxdx xxxx 2.2ln

132323)23(

Observe que, na parcela dada por 2 elevado a x, ou 2x, o núme-ro 2 não é uma constante que multiplica uma função: o número2 é a própria base da função exponencial.

Exemplo 4.12. Calcule .cot.seccos4� �

��

�� + dxgxx

xPodemos escrever

� ��

�� + dxgxx

xcot.seccos4


como

� ��

�� + dxgxx

xcot.seccos14 .

Vamos integrar a soma de x1 , multiplicado pela constante 4, com o produto da cossecante

de x pela cotangente de x.



Ou seja,

� � �� +=+=��

�� + gxdxxdx

xgxdxxdx

xdxgxx

xcot.seccos14cot.seccos4cot.seccos4


� � +== − Cxdxxdxx

ln1 1 e � +−= Cxgxdxx seccoscot.seccos

Vejamos:

� � �� +=+=��

�� + gxdxxdx

xgxdxxdx

xdxgxx

xcot.seccos14cot.seccos4cot.seccos4

� +−=��

�� + Cxxdxgxx

xseccosln4cot.seccos4

Embora o produto da cossecante pela cotangente possa pare-cer complicado, a integral desse produto está na tabela deintegração. Ou seja, a integral de cosecx.cotgx é diretíssimada tabela!



72� −

dxx

Podemos escrever

.4

174

716

722222 � �� −

=−

=−

dxx

dxx

dxx

Ou seja, temos de integrar a constante 7 multiplicada pela função 22 41−x . Pela

propriedade P2, que afirma que a integral do produto de uma constante por uma função

é o produto da constante pela integral da função, a constante 7 pode ser “colocada

fora da integral”.

Ou seja,

.4

174

1716

722222 �� −

=−

=−

dxx

dxx

dxx

Da tabela de integrais, temos que:

� +−+=−

Caxxdxax

22

22ln1

No caso, a = 4. Logo,

CxxCxxdxx

dxx

+−+=+−+=−

=− �� 16ln74ln7

417

167 222

222


82� −

dxx

Podemos escrever

( ) ( ) .5

185

85

8222 22� � �

−=

−=

−dx

xdx

xdx

x


Veja que escrevemos a constante 5 como “a raiz quadrada de 5 elevada ao quadrado( )255 = ”. Como veremos a seguir, fizemos isso para nos “adequarmos” a um caso

presente na tabela de integrais imediatas.

Ou seja, temos de integrar a constante 8 multiplicada pela função ( ) 22

5

1

x− . Pelapropriedade P2, que afirma que a integral do produto de uma constante por uma funçãoé o produto da constante pela integral da função, a constante 8 pode ser “colocadafora da integral”.

Ou seja,

( ) ( ) .5

185

185

8222 22� ��

−=

−=

−dx

xdx

xdx

x


� +−+=

−C

axax

adx

xaln

211

22

No caso, 5=a . Logo,

( ) 55ln

54

55ln

5218

5

185

822 2 −

+=−+=

−=

−� � xx

xxdx

xdx

x


cos�

+ dxxsenx

Podemos escrever:

( ) .cos21

2cos

�� +=+ dxxsenxdxxsenx

Ou seja, temos de integrar a constante 21

multiplicada pela soma senx + cos x.

Vamos aplicar as seguintes propriedades:



Ou seja,

( ) ( ) ( )� � �� +=+=+=+ xdxsenxdxdxxsenxdxxsenxdxxsenx cos21cos

21cos

21

2cos


� +−= Cxsenxdx cos e � += Csenxxdxcos

Logo,

( ) ( ) Csenxxxdxsenxdxdxxsenx ++−=+=+� � � cos

21cos

21

2cos

Há como sabermos se o resultado da integral indefinida está certo?Sim!

Como a integração é o processo inverso da derivação, se derivarmos o resultado daintegral devemos chegar à função que tínhamos de integrar!

Vejamos o caso do exemplo 4.15: integramos a função

2cos)( xsenxxf +=

e obtivemos a função

( ) CsenxxxF ++−= cos21)( .

Vamos conferir se a derivada de F(x) resulta em f (x).

Como a derivada da soma de duas funções é igual à soma das derivadas das funções,podemos escrever:

( ) ( ) ( ),,,

, cos21cos

21)( CsenxxCsenxxxF +�

��

�� +−=�

��

�� ++−=


Lembrando que a derivada da constante é zero e usando novamente que a derivada dasoma de duas funções é igual à soma das derivadas das funções, temos o seguinte:

( ) ( ) ( )( ),,,, cos210cos

21)( senxxsenxxxF +−=++−=

As derivadas das funções cosseno e seno são obtidas diretamente da tabela de deri-vadas:

( ) ( )( ) ( ) )(2

coscos21cos

21)(, xfxsenxxsenxxsenxxF =+=+=+−−=

Conclusão: a integral realmente está correta!

Ou seja, verificamos que a derivada de F(x) é exatamente a f (x).


Exercício 4.1. Calcule .11� dxx

Exercício 4.2. Calcule .4� − dxx

Exercício 4.3. Calcule .43

� dxx

Exercício 4.4. Calcule .)45( 52� +− dxxx

Exercício 4.5. Calcule .)15( 3� −− dxx

Exercício 4.6. Calcule .)12(� + dxsenx

Exercício 4.7. Calcule .)cos5seccos3( 2� + dxxx

Exercício 4.8. Calcule .312 2� �

��

�� + dxxex


Exercício 4.9. Calcule .sec18 2� ��

�� +− dxx

xx


62� −

dxx

Exercício 4.11. Calcule .)7( 7� + dxxx

Exercício 4.12. Calcule ..sec2� �

��

�� + dxtgxx

x


32� −

dxxx


52� +

dxx

Exercício 4.15. Calcule ( ) .7� + dxe xx


Exercício 4.1. Cx +12

12

Exercício 4.2. Cx

+−331


4 47

Exercício 4.4. Cxx

++−3

25 6

Exercício 4.5. Cxx

+−− 225

Exercício 4.6. 12x − cos x + C

Exercício 4.7. − 3 cot gx + 5 senx + C

Exercício 4.8. Cxex ++9

23


Exercício 4.9. 4x2 − 1n|x| + tgx + C

Exercício 4.10. Cxarcsen +��

��

26

Exercício 4.11. Cxx ++8

77ln

1 8

Exercício 4.12. 2 1n|x| + sec x + C

Exercício 4.13. .4

sec43 Cxarc +�

��

��


��

�=+�

��

��

22

225

225 xarctgCxarctg + C

Exercício 4.15. .77ln

1 Ce xx ++


Integrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da Tabelaabelaabelaabelaabela

Neste capítulo, são feitos exemplos de integrais que, após desenvolvimentos da fun-ção a ser integrada, chegam a uma situação prevista na tabela de integrais imediatas.Neste trabalho, essas integrais são chamadas de “integrais diretas da tabela”.

Exemplo 5.1. Calcule .15� dx

x

Para podermos usar a tabela na integração da função 51x

, antes devemos “prepará-la”,de modo que a base x fique no numerador, sem que haja alteração na função original.

Sabemos que:

1 15

5

xx

xxn

n= → =− −

Ou seja,

� � −= dxxdxx

55

1

Escrevendo 51x como x−5, podemos usar diretamente a seguinte regra da tabela de

integrais:

� ++

=+

Cnxdxx

nn

1

1


Ou seja,

Cx

Cx

CxCxdxxdxx

+−=+−=+−

=++−

==� �−+−

−44

4155

5 411.

41

4151

Observe que, no caso, n, indicado na regra de integração, é − 5e não 5!

Exemplo 5.2. Calcule .� dxx

Para podermos usar a tabela para integrar a função raiz quadrada de x, antes devemosescrevê-la como “base x elevada a um expoente numérico”.

Sabemos que:

212 1 xxxxx a

ba b ==→=

Ou seja,

� �= dxxdxx 21

Escrevendo a raiz quadrada de x como x elevado a 1/2, podemos usar diretamente aseguinte regra da tabela:

� ++

=+

Cnxdxx

nn

1

1

Logo,

CxCxCxCxdxxdxx +=+=++=++

==� �+

+

32

23

22112

1

2323

221

121

21

9999999999Capítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da Tabelaabelaabelaabelaabela

Observe que n, indicado na regra de integração, é a constante ½.

Exemplo 5.3. Calcule .3 2� dxx

Este exemplo é muito parecido com o exemplo 5.2. Sendo assim, antes de usarmos atabela, devemos escrever a função raiz cúbica de x ao quadrado como “base x elevadaao expoente 2/3”.

Vejamos:

323 2 xxxx a

ba b =→=

Ou seja,

� �= dxxdxx 323 2

Podemos usar diretamente a seguinte regra da tabela de integrais, com n igual a 2/3:

� ++

=+

Cnxdxx

nn

1

1

Logo,

CxCxCxCxdxxdxx +=+=++=++

==� �+

+

53

35

33213

23

53

53

3213

2

323 2

Exemplo 5.4. Calcule .)3( 2� + dxx

Não há regra na tabela que mostre como integrar uma função cuja base seja compostapor uma soma (no caso, a soma 3 + x) elevada a um expoente numérico.


Inicialmente, podemos desenvolver essa soma ao quadrado como “o quadrado doprimeiro mais duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo” e,depois, separarmos essas três parcelas em três integrais independentes.

Vejamos:

2222222 69.3.23)3(2)( xxxxxbababa ++=++=+→++=+

Ou seja,

�� ++=+ dxxxdxx )69()3( 22

Podemos, então, usar as propriedades P1 (ampliada para o caso da soma de três fun-ções) e P2 abaixo:

� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e � �= dxxfkdxxfk )(.)(. .

Ou seja,

� � � � � � �� ++=++=++=+ dxxdxxdxdxxxdxdxdxxxdxx 21222 6969)69()3(

Agora, chegamos a três integrais presentes na tabela de integrais imediatas, resolvi-das pelas seguintes regras:

� ++

=+

Cnxdxx

nn

1

1

e � += Cxdx

Logo,

CxxxCxxxdxxdxxdxdxx +++=+++=++=+ � � �� 339

326969)3(

32

32212

Exemplo 5.5. Calcule .)3( 23� + dxxx

Este exemplo parte do que já foi feito no exemplo 5.4, ou seja, do desenvolvimento de(3 + x)2 para obtermos três parcelas que se somam. Inclui-se, após o desenvolvimento,


a multiplicação de cada uma das três parcelas por x3. Depois disso, chegaremos a trêsintegrais independentes, que podem ser resolvidas diretamente pela tabela.

Vejamos:

2222222 69.3.23)3(2)( xxxxxbababa ++=++=+→++=+

Multiplicando-se x3 por (3 + x)2 = 9 + 6x + x2:

54332313323132323 696969)69()3( xxxxxxxxxxxxxxxx ++=++=++=++=+ ++

Ou seja,

�� ++=+ dxxxxdxxx )69()3( 54323

Podemos, então, usar as propriedades P1 (ampliada para o caso da soma de três fun-ções) e P2 abaixo:

� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e � �= dxxfkdxxfk )(.)(. .

Logo,

� � � �� ++=++=+ dxxdxxdxxdxxxxdxxx 54354323 69)69()3(

� � �� ++=+ dxxdxxdxxdxxx 54323 69)3(

Agora, chegamos a três integrais presentes na tabela de integrais imediatas, resolvi-das pelas seguintes regras:

� ++

=+

Cnxdxx

nn

1

1

e � += Cxdx

Logo,

CxxxCxxxdxxdxxdxxdxxx +++=+++=++=+ � � �� 656

49

656

4969)3(

65465454323


Observe que seria um grande erro resolvermos esse exemplomultiplicando a integral de x3 pela integral de (3 + x)2, pois não hápropriedade que permita que a integral do produto de duas fun-ções seja escrita como o produto das integrais de cada função.


5

�− dxx

xx

Antes de resolvermos a integral deste exemplo, precisamos escrever a função a serintegrada (ou seja, 5x − 9x5, dividido por x2) em uma subtração de duas parcelas. Depoisdisso, chegaremos a duas integrais independentes, que podem ser resolvidas direta-mente pela tabela.

Vejamos:

31252125212

5

22

5

9595959595 xxxxxxxxxx

xx

xxx

−=−=−=−=− −−−−−

No desenvolvimento acima, lembramos que o produto (multiplicação) de potências demesma base é a base elevada à soma das potências. Por exemplo, x1 e x-2 possuem amesma base x. Logo, o produto de x1 e x −2 é igual à base x elevada à soma de 1 com − 2,ou seja, x elevado a − 1.

Ou seja,

� � −=− − dxxxdxx

xx )95(95 312

5

Feito isso, podemos usar as seguintes propriedades:


Ou seja,

� � � � �� −=−=−=− −−− dxxdxxdxxdxxdxxxdxx

xx 3131312

5

9595)95(95


Agora, podemos resolver as duas integrais acima utilizando as seguintes regras databela:

� ++

=+

Cnxdxx

nn

1

1

e � � +== − Cxdxxdxx

ln1 1

Logo,

� � � +−=−=− − Cxxdxxdxxdxx

xx4

9ln59595 431

2

5

Observe que seria um grande erro resolvermos esse exemplodividindo a integral de 5x - 9x5 pela integral de x2, pois não hápropriedade que permita que a integral do quociente (divisão)de duas funções seja escrita como o quociente das integraisde cada função.

Exemplo 5.7. Calcule .)5(2

2

� ��

��

�+

− dxex

x x

Antes de resolvermos a integral desse exemplo, precisamos desenvolver o quadradoda diferença (x − 5) e escrever o resultado desse desenvolvimento, dividido por x2,como uma subtração de três parcelas. Depois disso, chegaremos a quatro integraisindependentes, incluindo a integral da exponencial de base e (“e elevado a x”), quepodem ser resolvidas diretamente pela tabela.

Vejamos:

251055..2)5(2)( 2222222 +−=+−=−→+−=− xxxxxbababa

Dividindo-se (x − 5)2 = x2 − 10x + 25 por x2:

221221222

2

2

2

2

2

251012510125102510)5( −−−− +−=+−=+−=+−

=− xxxxx

xxx

xx

xxx

xx

212

2

25101)5( −− +−=− xxx

x


Ou seja,

�� ++−=��

��

�+

− −− dxexxdxex

x xx )25101()5( 212

2

Feito isso, vamos usar as seguintes propriedades:


Ou seja,

� � � � �� ++−=++−=��

��

�+

− −−−− dxedxxdxxdxdxexxdxex

x xxx 21212

2

25101)25101()5(

� � � �� ++−=��

��

�+

− −− dxedxxdxxdxdxex

x xx 212

2

2510)5(

Agora, utilizamos as seguintes regras para resolvermos as integrais anteriores:

� ++

=+

Cnxdxx

nn

1

1

, � � +== − Cxdxxdxx

ln1 1 e � += Cedxe xx

Logo,

� � � �� ++−

+−=++−=��

��

�+

− −−− Cexxxdxedxxdxxdxdxe

xx xxx

125ln102510)5( 1

212

2

Cex

xxdxex

x xx ++−−=��

��

�+

−�

25ln10)5(2

2

Exemplo 5.8. Calcule .cos53

2� ��

��

�+ dxx

x

Antes de resolvermos este exemplo, precisamos reescrever a função a ser integrada.

Vejamos:

xxxx

xx

xx

cos5cos5cos5cos5 323

32

3

3 2

33

2 +=+=+=+−


No desenvolvimento anterior, foram feitas as seguintes equivalências:

3 2

33

255xxn

mnm

a

aa =→=

32

3 2 xxmm ab

a b =→=

32

3211 −− =→= x

xm

mc

c

Ou seja,

� � +=��

��

�+

−dxxxdxx

x)cos5(cos5 3

2332

Feito isso, podemos usar as seguintes propriedades:


Ou seja,

� � �� +=+=+=��

��

�+

−−−xdxdxxxdxdxxdxxxdxx

xcos5cos5)cos5(cos5 3

233233

2332

As integrais acima são resolvidas pelas seguintes regras da tabela:

� ++

=+

Cnxdxx

nn

1

1

e � += Csenxxdxcos

Logo,

CsenxxCsenxxCsenxxdxxx

++=+++−

=+++−

=��

��

�+

+−+−

�3

15

3325

1325cos5 3

1

33

32

313

2

332

CsenxxCsenxxdxxx

++=++=��

��

�+� 33

31

332 53

135cos5


No desenvolvimento anterior, foi feita a seguinte equivalência:

33 131

xxxmm a bab

==→=

Exemplo 5.9. Calcule .5� �

��

�� − dx

xxx

Precisamos “preparar” a função a ser integrada a fim de chegarmos a uma situaçãoprevista na tabela de integrais.

Inicialmente, vamos escrever a raiz quadrada de x como x elevado a 21

, pois

212 1 xxx == .

Também vamos fazer o seguinte:

.5155 11

−== xxx

Vejamos:

( ).55 1121 −−=�

��

�� − xxx

xxx

Podemos aplicar a propriedade distributiva e usar que o produto de potências demesma base é igual à base elevada à soma dos expoentes. Ou seja,

( ) 21

23

221

221

12112

112112

11121

555555 −−+

−+−− −=−=−=−=−=��

�� − xxxxxxxxxxxxx

xxx

Logo,

dxxxdxx

xx ��

�� −=�

��

�� −

−2

12

355


Agora, podemos usar as seguintes propriedades:


Ou seja,

dxxdxxdxxdxxdxxxdxx

xx ��−−−

−=−=��

�� −=�

��

�� − 2

12

32

12

32

12

35555

As integrais acima são resolvidas pela seguinte regra da tabela de integração:

� ++

=+

Cnxdxx

nn

1

1

Finalmente:

CxxCxxdxxdxxdxx

xx ++−

−+

=++−

−+

=−=��

�� −

+−++−+

−

��2

215

22312

1512

355 221

223

12112

3

21

23

CxxCxxCxxdxx

xx +−=+−=+−=��

�� −�

21

21

21

105

21

255

2

215

25

5 25

25

25

Exemplo 5.10. Calcule .4� �

��

�� − dxx

π

Vamos analisar a função a ser integrada: trata-se da diferença ou subtração x − 4,dividida pela constante π (um número irracional muitas vezes aproximado por 3,14).Podemos fazer o seguinte:

πππππ4144

−=−=− xxx

Ou seja, temos a seguinte igualdade:

��

�� −=�

��

�� − dxxdxx

πππ414


Aplicando a propriedade P1, enunciada como “a integral da soma (ou subtração) deduas funções é a soma (ou subtração) das integrais das funções”, temos que:

�� −=��

�� −=�

��

�� − dxxdxdxxdxx

πππππ41414

Como 1, 4 e π são constantes, então os quocientes π1

e π4

também são constantes.Sendo assim, podemos utilizar a propriedade P2, enunciada como “a integral doproduto de uma constante por uma função é o produto da constante pela integral dafunção”. Vejamos:

�� −=−=−=��

�� −=�

��

�� − dxdxxdxxdxdxxdxdxxdxx

πππππππππ414141414 1

As integrais acima são resolvidas pela seguinte regra da tabela de integração:

� ++

=+

Cnxdxx

nn

1

1

e � += Cxdx

Finalmente:

CxxCxxCxxdxdxxdxx+−=+−=+−

+=−=�

��

�� − +

�� πππππππππ4

24

214

111414 2211

1


Exercício 5.1. Calcule .17� dx

x

Exercício 5.2. Calcule .3� dx

x

Exercício 5.3. Calcule .5 3� dxx

Exercício 5.4. Calcule .)5( 22� + dxx


Exercício 5.5. Calcule .)5( 24� − dxxx


52

�+ dxx

xx

Exercício 5.7. Calcule .)4(3 23� + dxx

x

Exercício 5.8. Calcule .)5( 2

� ��

��

� −− dx

xxsenx

Exercício 5.9. Calcule � ��

��

�+ .4

5 3dxsenx

x


��

� +− .cos7 dxexx

x


Exercício 5.1. Cx

+−

661


Exercício 5.3. Cx+

85 5

8

Exercício 5.4. Cxxx+++ 25

310

5

35

Exercício 5.5. Cxxx ++−73

5576

5

Exercício 5.6. Cxx ++3

4ln63

Exercício 5.7. Cxx

x +��

�� −− 2

88ln3

Exercício 5.8. Cxxxx +−+−− ln25102

cos2


Exercício 5.9. Cxx +− cos10 52

Exercício 5.10. Cesenxx x ++−14


Integrais Simples - Método da SubstituiçãoIntegrais Simples - Método da SubstituiçãoIntegrais Simples - Método da SubstituiçãoIntegrais Simples - Método da SubstituiçãoIntegrais Simples - Método da Substituição

O método da substituição trata da mudança de variável na integral.

Suponha que seja possível, pela utilização das propriedades P1 e P2 e da tabela deintegração dadas no capítulo 4, resolver a seguinte integral: .)(� duuf

Imagine que u seja uma função de x, ou seja, u = u(x). Temos que a derivada de u = u(x),em relação à variável x, é

dxxuduxudxdu )()( ,, =→=

Assim, por substituição, temos de resolver integrais do tipo

�� = duufdxxuxuf )()()).(( ,

Exemplo 6.1. Calcule � + .2)3( 52 xdxx

Seria possível “enxergarmos” uma função e sua derivada no exemplo 6.1?

Se chamarmos a soma x2 + 3 de u, sendo u uma função de x, u = u(x), temos que:

( ) ( ) ( ) xdxduxdxduxxx

dxduxxuu 2202333)( ,,2,22 =→=→+=+=+=→+==


Concluímos que o exemplo 6.1 trata de uma integral formada por u elevado ao expoente5 e pela derivada da função u, possibilitando o uso do método da substituição. Afunção x2+3 é substituída por u e 2xdx é substituído por du, conforme segue.

� �=+ duuxdxx 552 2)3(

Continuamos a integração usando a seguinte regra, com n igual a 5:

� ++

=+

Cnuduu

nn

1

1

Ou seja,

� � +=++

==++

CuCuduuxdxx615

2)3(615

552

Agora, retornamos com a variável x:

CxCuduuxdxx ++=+==+� � 6)3(

62)3(

626552

Observe que, se tivéssemos chamado (x2 + 3)5 de u, não have-ria sucesso na substituição. A derivada de (x2 + 3)5, segundo atabela de derivadas de funções compostas vista no capítulo 2,é 5.(2x).(x2 + 3)4 =10x.(x2 + 3)4 e não apenas 2x.

Exemplo 6.2. Calcule .)3( 52� + xdxx

Este exemplo é muito parecido com o 6.1. Se fizermos da mesma maneira do exemploanterior, e chamarmos a soma x2 + 3 de u, sendo u uma função de x, u = u(x), temos que:

( ) ( ) ( ) xdxduxdxduxxx

dxduxxuu 2202333)( ,,2,22 =→=→+=+=+=→+==

113113113113113Capítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da Substituição

A “falta” da constante 2, ou seja, o fato de termos apenas xdx e não 2xdx na integraloriginal, não compromete o sucesso da substituição, pois xdx equivale a du/2, confor-me segue.

� � �==+ duuduuxdxx 5552

21

2)3(

Como a constante ½ multiplica a função, continuamos a integração usando a propriedade:

� �= dxxfkdxxfk )(.)(.

Ou seja,

�� ===+ duuduuduuxdxx 55552

21

21

2)3(

Agora, usamos a seguinte regra da tabela de integrais, com n igual a 5:

� ++

=+

Cnuduu

nn

1

1

Logo,

CuCuduuduuduuxdxx +=+====+� � � � 126.

21

21

21

2)3(

6655552

Retornamos com a variável x:

CxCuCuduuduuduuxdxx ++=+=+====+� � � � 12)3(

126.

21

21

21

2)3(

626655552

Exemplo 6.3. Calcule .)12(

574

3

� −dx

xx

Inicialmente, vamos usar a propriedade � �= dxxfkdxxfk )(.)(. para reescrever a inte-gral a ser resolvida:

�� −=

−=

− 74

3

74

3

74

3

)12(5

)12(5

)12(5

xdxxdx

xxdx

xx


Se chamarmos a subtração 2x4 − 1 de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x), temos que:

u = u(x) = 2x4 − 1

( ) ( ) ( ) dxxdudxxduxxxxdxdu 3333,,4,4

88804.21212 =→=→=−=−=−=

A função 2x4 − 1 é substituída por u e x3dx é substituído por du/8, conforme segue.

� � �� ==−

=− 7774

3

74

3

.81585

)12(5

)12(5

udu

u

du

xdxxdx

xx

Usando novamente a propriedade � �= dxxfkdxxfk )(.)(. e utilizando a equivalência

77

1 −= uu ,

temos que:

� � �� −− ===−

duuduuududx

xx 77

774

3

85

815.

815

)12(5

Continuamos a integração usando a seguinte regra, com n igual a −7:

� ++

=+

Cnuduu

nn

1

1

Logo,

Cu

CuCuduudxx

x +−=+−

=++−

==−

−+−−�� 6

6177

74

3

485

685

1785

85

)12(5


Cx

Cu

dxx

x +−

−=+−=−� 64674

3

)12(485

485

)12(5


Exemplo 6.4. Calcule � +dx

xx

538

2

Inicialmente, vamos usar a propriedade � �= dxxfkdxxfk )(.)(. para reescrever aintegral a ser resolvida:

� �� +=

+=

+ 538

538

538

222 xxdx

xxdxdx

xx

Escrevendo 2 122 )53(53 +=+ xx como 212 )53( +x :

( )�� +

=+

=+ 2

1222 538

538

538

x

xdxxxdxdx

xx

Se chamarmos a soma 3x2 +5 de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x), temos que:

u = u(x) = 3x2 +5

( ) ( ) ( ) xdxduxdxduxxxxdxdu =→=→=+=+=+=

66602.35353 ,,2,2

A função 3x2 +5 é substituída por u e xdx é substituído por du/6, conforme segue.

( )� � � �==+

=+ 2

12

12

122 61868

538

538

u

du

u

du

x

xdxdxx

x

Usamos novamente a propriedade � �= dxxfkdxxfk )(.)(. e escrevemos 2

1

211 −

= uu

:

� � � �−−

===+

duuduuu

dudxx

x 21

21

212 3

461.8

618

538

Continuamos a integração usando a seguinte regra, com n igual a −1/2:

� ++

=+

Cnuduu

nn

1

1


Logo,

� � +===++−=++−==

+

+−+−

−CuuuCuCuduudx

xx

38

12.

34

21.

34

221.

34

121.

34

34

538 2

12

12

2112

1

21

2


� ++=+=+

CxCudxx

x 5338

38

538 2

2

Exemplo 6.5. Calcule .55 6

� − dxex x

Podemos escrever a integral deste exemplo como .)( 5555 66

�� −− = dxxedxex xx

Seria possível enxergarmos uma função e sua derivada no exemplo 6.5?

Se chamarmos a subtração x6 − 5 de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x),temos que:

( ) ( ) ( ) dxxdudxxduxxxdxduxxuu 555,,6,66

666555)( =→=→=−=−=→−==

Concluímos que o exemplo trata de uma integral formada pela exponencial de base e,elevada à função u = x6 − 5, e pela derivada de u, com exceção da constante 6, possibi-litando o uso do método da substituição. A função x6 − 5 é substituída por u e x5dx ésubstituído por du/6, conforme segue.

�� === −− dueduedxxedxex uuxx

61

6)( 5555 66

Usamos a propriedade � �= dxxfkdxxfk )(.)(. :

�� === −− dueduedxxedxex uuxx

61

61)( 5555 66

Continuamos a integração usando a seguinte regra:

� += Cedue uu


Logo,

Cedueduedxxedxex uuuxx +==== � � �� −−

61

61

6)( 5555 66


CeCedxex xux +=+= −−� 555 66

61

61

Observe que, se tivéssemos chamado ex6−5 de u, não haveriasucesso na substituição. A derivada de ex6−5, segundo a tabe-la de derivadas de funções compostas vista no capítulo 2, é6x5ex6−5 e não apenas 6x5.

Exemplo 6.6. Calcule .cos 2� dxxx

Podemos escrever a integral deste exemplo como .)(coscos 22 �� = xdxxdxxx


Se chamarmos x2 de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x), temos que:

( ) xdxduxdxduxxdxduxxuu =→=→==→==

222)( ,22

Concluímos que o exemplo trata de uma integral formada pelo cosseno de x2, indicadopor u, e pela derivada de u, com exceção da constante 2, possibilitando o uso dométodo da substituição. A função x2 é substituída por u e xdx é substituído por du/2,conforme segue.

� � �==2

)(cos)(coscos 22 duuxdxxdxxx



� � � �=== ududuuxdxxdxxx cos21

2)(cos)(coscos 22

Continuamos a integração utilizando a seguinte regra:

� += Csenuuducos

Logo,

� � � � +==== Csenuududuuxdxxdxxx21cos

21

2)(cos)(coscos 22


dxsenxCsenudxxx 22

21

21cos� =+=

Observe que, se tivéssemos chamado cosx2 de u, não haveriasucesso na substituição. A derivada de cosx2, conforme dadopela tabela de derivadas de funções compostas do capítulo2, é(2x).(−1)senx2 = −2x.senx2 e não apenas 2x.

Exemplo 6.7. Calcule � + dxxsen )7( π

Se chamarmos 7x + π de u, sendo u uma função de x e π um número irracional (constante)que vale, aproximadamente, 3,14, temos que:

( ) ( ) ( ) dxdudxduxxdxduxxuu =→=→=+=+=+=→+==

77707777)( ,,, πππ

Concluímos que o exemplo trata de uma integral composta pelo seno de u = 7x + π e peladerivada de u, com exceção da constante 7, possibilitando o uso do método da substitui-ção. A função 7x + π é substituída por u e dx é substituído por du/7, conforme segue.


�� ==+ senududusenudxxsen71

7)7( π

Usamos a propriedade � �= dxxfkdxxfk )(.)(. para colocarmos a constante k=1/7que multiplica a função “fora” da integral:

� �� ==+ senudusenududxxsen71

71)7( π


� +−= Cusenudu cos

Logo,

CuCusenududusenudxxsen +−=+−===+ � �� cos71)cos(

71

71

7)7( π


CxCudxxsen ++−=+−=+� )7cos(71cos

71)7( ππ

Observe que, se tivéssemos chamado sen(7x + π) de u, nãohaveria sucesso na substituição. Pela tabela de derivadas defunções compostas vista no capítulo 2, a derivada de sen(7x + π)é 7.cos(7x + π) e não apenas 7.

Exemplo 6.8. Calcule .cos.� xdxsenx


Se chamarmos senx de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x), temos que:

( ) xdxduxsenxdxdusenxxuu coscos)( , =→==→==


Concluímos que o exemplo trata de uma integral composta pelo seno de x, indicado poru, e pela derivada de u, possibilitando o uso do método da substituição. A função senxé substituída por u e cosxdx é substituído por du, conforme segue.

� � �== duuuduxdxsenx 1cos.

Continuamos a integração usando a seguinte regra, com n igual a 1:

� ++

=+

Cnuduu

nn

1

1

Logo,

CuCuduuuduxdxsenx +=++

===+

� � � 211cos.

2111


CxsenCsenxCuxdxsenx +=+=+=� 22)(

2cos.

222

Observe que não utilizamos as regras de integração de cossenode x ou de seno de x para resolvermos a integral do exemplo 6.8.

Exemplo 6.9. Calcule .)cos3( 5� +

dxx

senx

Se chamarmos 3 + cosx de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x), temos que:

u = u(x) = 3 + cos x

( ) ( ) ( ) senxdxdusenxdxdusenxxxdxdu =−→−=→−+=+=+= )(0cos3cos3 ,,,


Concluímos que o exemplo trata de uma integral composta pela soma 3 + cos x, indicadapor u, e pela derivada de u, a menos da constante −1, possibilitando o uso do métododa substituição. A soma 3 + cos x é substituída por u e senxdx é substituído por − du,conforme segue.

�� −=−=+ 555 )1(

)cos3( udu

ududx

xsenx


� � �−=−=+

duuu

dudxx

senx555

1)1()cos3(

Escrevemos 51u como u−5:

� � � −−=−=+

duuududx

xsenx 5

55)cos3(

Continuaremos a integração usando a seguinte regra, com n igual a − 5:

� ++

=+

Cnuduu

nn

1

1

Logo,

� � +=+−

−=++−

−=−=+

−+−− C

uCuCuduudx

xsenx

4

4155

5 41

415)cos3(


Cx

Cu

dxx

senx ++

=+=+� 445 )cos3(4

141

)cos3(

Observe que não utilizamos as regras de integração de cossenode x ou de seno de x para resolvermos a integral do exemplo 6.9.Além disso, se tivéssemos chamado (3 + cos x)5 de u, e nãoapenas 3 + cos x, não haveria sucesso na resolução da integralpor substituição.


Exemplo 6.10. Calcule .� tgxdx

Visto que a tangente é o quociente entre o seno e o cosseno, podemos escrever aintegral deste exemplo como

�� = dxx

senxtgxdxcos

Se chamarmos cosx de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x), temos que:

( ) senxdxdusenxdxdusenxxdxduxxuu =−→−=→−==→== ,coscos)(

Concluímos que o exemplo trata de uma integral composta pelo cos x, indicado por u, e peladerivada de u, a menos da constante − 1, possibilitando o uso do método da substituição.A função cos x é substituída por u e senxdx é substituído por − du, conforme segue.

� ��−==

ududx

xsenxtgxdxcos


�� −=−==udu

ududx

xsenxtgxdxcos


� � +== − Cuduuduu

ln1 1

Logo,

� � �� +−=−=−== Cuduuu

dudxx

senxtgxdx ln1cos



CxCutgxdx +−=+−=� coslnln

Observe que não utilizamos as regras de integração de cossenode x ou de seno de x para resolvermos a integral do exemplo 6.10.

Exemplo 6.11. Calcule .cos2� xdx

Antes de resolvermos a integral, vamos usar a seguinte equivalência trigonométrica:

22cos

21

22cos1cos2 xxx +=+=

Ou seja,

��

�� += dxxxdx

22cos

21cos2

Podemos, então, usar as seguintes propriedades:


Ou seja,

� � � � �� +=+=��

�� += xdxdxdxxdxdxxxdx 2cos

21

21

22cos

21

22cos

21cos2

Assim, temos duas integrais a serem resolvidas. A primeira é diretíssima da tabela e asegunda é resolvida por substituição, conforme segue.


Primeira integral:

� += )( tabeladaadiretíssimCxdx

Segunda integral:

� �� +=+=== CxsenCsenuududuuxdx 221

21cos

21

2cos2cos

A segunda integral foi resolvida chamando-se 2x de u, por meio da seguinte substituição:

( ) dxdudxduxdxduxxuu =→=→==→==

22222)( ,

Logo,

� � � � �� +=+=��

�� += xdxdxdxxdxdxxxdx 2cos

21

21

22cos

21

22cos

21cos2

Cxsenxxdx +��

��+=� 2

21

21

21cos2

Cxsenxxdx ++=� 241

21cos2

Exemplo 6.12. Calcule .3� xdxsen

Antes de resolvermos a integral, podemos escrever o seno ao cubo de x como oproduto do seno de x pelo seno ao quadrado de x:

�� = xdxsensenxxdxsen 23 .

Agora, podemos usar a seguinte identidade trigonométrica:

xxsenxxsen 2222 cos11cos −=→=+


Substituindo o seno ao quadrado de x por 1 menos o cosseno ao quadrado de x, temos:

� �� −=−== senxdxxdxxsenxxdxsensenxxdxsen ).cos1()cos1(. 2223

Assim, temos de resolver a integral:

� − senxdxx).cos1( 2

Esta integral pode ser resolvida pela seguinte substituição:

( ) senxdxdusenxdxdusenxxdxduxxuu =−→−=→−==→== ,coscos)(

Ou seja,

� �� −−=−= ))(1()cos1( 223 duusenxdxxdxsen

Pelas propriedades abaixo, temos que:


� � �� −−=−−=−= duuduusenxdxxdxsen )1())(1().cos1( 2223

� � � �� +−=+−= duududuududxsen 223 1

Sabemos que:

� ++

=+

Cuuduu

nn

1

1

e � += Cudu

Sendo assim, as duas integrais finais são resolvidas pelo uso diretíssimo da tabela:

CuuCuuduududxsen ++−=++

+−=+−= � ��+

312

31223


Voltando com a variável x, visto que u = cos x, concluímos a integração do seno aocubo de x:

CxxCxxCuudxsen +−=++−=++−=� cos3

cos3

coscos3

3333

Exemplo 6.13. Calcule .5� dxexex

Se chamarmos o ex “situado” no expoente de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x),temos que:

( ) dxedueedxduexuu xxxx =→==→== ,)(

Fazendo a mudança de variáveis:

�� = dudxe uxex

55

Chegamos a uma integral presente na tabela, conforme segue:

� += Caa

dxa uu

ln1


� += Cdu uu 55ln

15


CCdudxexx euuxe +=+== �� 5

5ln15

5ln155


cos2� −

dxxsen

x

Antes de aplicarmos o método da substituição, vamos escrever a seguinte igualdade:

( ) .cos2

14

cos222 �� −

=−

xdxsenx

dxxsen

x


Agora, vamos chamar seno de x de u e calcular a derivada de u em relação à variável x:

( ) xdxduxsenxdxdusenxxuu coscos)( , =→==→==


( ) �� −=

−=

−du

uxdx

senxdx

xsenx

22222 21cos

21

4cos

Chegamos a uma integral presente na tabela, conforme segue:

� +−+=

−C

uxux

adx

ualn

211

22


( ) CuuC

uudu

uxdx

senxdx

xsenx +

−+=+

−+=

−=

−=

− �� 22ln

41

22ln

2.21

21cos

21

4cos

22222


CsenxsenxC

uudx

xsenx +

−+=+

−+=

−� 22ln

41

22ln

41

4cos

2

Exemplo 6.15. Calcule .� + dxe xex

A função a ser integrada pode ser desenvolvida em um produto. Vejamos: eex+x = eex ex,pois ma+b = ma mb. Ou seja, “voltamos” a regra que afirma que “o produto de potênciasde mesma base é a base elevada à soma dos expoentes”.

Assim, as integrais � + dxe xex

e � dxee xex

são equivalentes. Logo �� =+ dxeedxe xexe xx

Se chamarmos o ex “situado” no expoente de u, sendo u uma função de x, ou seja,u = u(x), temos que:

( ) dxedueedxduexuu xxxx =→==→== ,)(



�� ==+ duedxeedxe uxexe xx

Da tabela de integrais sabemos que

� += Cedue uu .

Logo

Ceduedxeedxe uuxexe xx

+=== �� +


CeCeduedxeedxexxx euuxexe +=+=== �� +

Pela aplicação do método da substituição, podemos expandir a tabela de integraisimediatas, dada no capítulo 4, obtendo a tabela de integrais ampliada abaixo.

Tabela ampliada de integrais



Exercício 6.1. Calcule .)1( 62� + xdxx

Exercício 6.2. Calcule .)23( 62� + xdxx

Exercício 6.3. Calcule .)2(

795

4

� −dx

xx


32� +

dxx

x

Exercício 6.5. Calcule .133 4

� − dxex x

Exercício 6.6. Calcule .2� dxxsenx

Exercício 6.7. Calcule .)cos(� − dxx π

Exercício 6.8. Calcule .cos.3� xdxxsen

Exercício 6.9. Calcule .)1(

cos4� −

dxsenx

x

Exercício 6.10. Calcule .cot� gxdx

Exercício 6.11. Calcule .2� xdxsen

Exercício 6.12. Calcule .cos3� xdx

Exercício 6.13. Calcule .7 23

� dxxx

Exercício 6.14. Calcule .cos2� − senxdxe x


Exercício 6.15. Calcule .cos9 2� +

dxx

senx

Respostas dos ERespostas dos ERespostas dos ERespostas dos ERespostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 6.xercícios Propostos – Capítulo 6.xercícios Propostos – Capítulo 6.xercícios Propostos – Capítulo 6.xercícios Propostos – Capítulo 6.

Exercício 6.1. Cx+

+14

)1( 72

Exercício 6.2. Cx+

+42

)23( 72

Exercício 6.3. Cx

+−

−85 )2(40

7

Exercício 6.4. Cx+

+2

23 2

Exercício 6.5. Ce x +−13 4

121

Exercício 6.6. Cx +− 2cos21

Exercício 6.7. Cxsen +− )( π

Exercício 6.8. Cxsen+

4

4

Exercício 6.9. Csenx

+−

−3)1(3

1

Exercício 6.10. Csenx +ln

Exercício 6.11. Cxsenx +− 241

21

Exercício 6.12. Cxsensenx +−3

3

Exercício 6.13. Cx

+7ln3

7 3

Exercício 6.14. Ce x +−cos2

Exercício 6.15. Cxarctg +��

��

3cos

31


Integrais Simples – Integração por PartesIntegrais Simples – Integração por PartesIntegrais Simples – Integração por PartesIntegrais Simples – Integração por PartesIntegrais Simples – Integração por Partes

O método da integração por partes consiste em “desenvolver” a integral de udv comoa subtração entre o produto u.v e a integral de vdu, conforme segue.

�� −= vduvudvu .

Se tivermos a função u = u(x), podemos determinar du = u’(x)dx, visto que

)(, xudxdu = .

Se tivermos dv, podemos determinar v = v(x), visto que �= dvv .

Em geral, esse método é adequado para as situações em que a integral de vdu é maisfácil do que a integral de udv.

Observação: quando substituímos �= dvv em � vdu , não usamos, nesse momento, aconstante de integração vinda da integral de dv.

Exemplo 7.1. Calcule .� dxxex

Façamos as seguintes equivalências:

( ) dxdudxduxdxduxxuu =→=→==→== 11)( ,


Cedxedvvdxedv xxx +===→= � �

Aplicando o método da integração por partes:


�� −= dxexedxxe xxx

Prosseguimos utilizando a seguinte regra da tabela de integrais imediatas Cedxe xx +=� :

Cexedxexedxxe xxxxx +−=−= ��

A integral já foi acabada, mas ainda podemos colocar ex em evidência para dar a res-posta final:

CxeCexedxxe xxxx +−=+−=� )1(

Exemplo 7.2. Calcule .)73( 2� − dxex x


( ) ( ) ( ) dxduxxdxduxxuu 3301.3737373)( ,,, =→=−=−=−=→−==

dxedv x2=

Logo,

Cedxedvv xx +=== � � 22

21

,

visto que, segundo a tabela ampliada de integrais dada no capítulo 6,

Cedxe xx +=� αα

α1

,

com α igual a 2.

133133133133133Capítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por Partes



�� −−=− dxeexdxex xxx 321

21)73().73( 222

Podemos, então, usar a seguinte propriedade:


Ou seja,

dxeexdxeexdxex xxxxx �� −−=−−=− 22222

23)73(

213

21

21)73().73(

Utilizamos, novamente, a seguinte regra da tabela ampliada de integrais imediatas

Cedxe xx +=� αα

α1

,

com α igual a 2:

Ceexdxeexdxex xxxxx +−−=−−=− �� 22222

21.

23)73(

21

23).73(

21).73(

Ceexdxex xxx +−−=−� 222

43)73(

21).73(

A integral já foi acabada, mas podemos colocar xe2

21

em evidência:

CxeCxeCxedxex xxxx +��

�� −=+��

�

��

��

�� +−=+�

��

�� −−=−� 2

17321

23143

21

23)73(

21).73( 2222


Exemplo 7.3. Calcule .� − dxxe x



dxedv x−=

Logo,

CeCedxedxedvv xxxx +−=+−

==== −−−− �� 11

11

,

visto que, segundo a tabela ampliada de integrais, dada no capítulo 6,

Cedxe xx +=� αα

α1

,

com α igual a −1.



( ) �� −−−−− +−=−−−= dxexedxeexdxxe xxxxx

Usamos, novamente, que Cedxe xx +−= −−� :

Cexedxexedxxe xxxxx +−−=+−= −−−−− ��

A integral já foi acabada, mas ainda podemos colocar −e−x em evidência para dar aresposta final:

( ) CxeCexedxxe xxxx ++−=+−−= −−−−� 1


Exemplo 7.4. Calcule .cos)35(� − xdxx


dxdudxduxxuu 5535)( =→=→−==

Csenxxdxdvvxdxdv +===→= � �coscos



�� −−=− dxsenxsenxxxdxx 5)().35(cos).35(



Ou seja,

� �� −−=−−=− senxdxsenxxdxsenxsenxxxdxx 5)35(5)()35(cos)35(

Finalizamos utilizando a seguinte regra da tabela de integrais Cxsenxdx +−=� cos :

xsenxxCxsenxxxdxx cos5)35()cos(5)35(cos)35( +−=+−−−=−� + C

Exemplo 7.5. Calcule .7)12(� + xdxsenx


dxdudxduxxuu 2212)( =→=→+==

dv = sen7xdx


Logo,

Cxxdxsendvv +−=== � � 7cos717 ,

visto que, segundo a tabela ampliada de integrais dada no capítulo 6,

Cxsendxxsen +−=� αα

α 1,

com α igual a 7.



��−−�

��

�� −+=+ dxxxxxdxsenx 2)7(cos

717cos

71)12(7).12(



Ou seja,

��−−�

��

�� −+=+ dxxxxxdxsenx 2)7(cos

717cos

71)12(7).12(

�� ++−=+ xdxxxxdxsenx 7cos727cos)12(

717).12(

Utilizamos a seguinte regra da tabela ampliada de integrais

Cxsenxdx +=� αα

α 1cos ,

com α igual a 7.


Cxsenxxxdxsenx +++−=+� 7.71.

727cos)12(

717).12(

Cxsenxxxdxsenx +++−=+� 74927cos)12(

717).12(

Exemplo 7.6. Calcule � xdxln


dxx

duxdx

duxxuu 11ln)( =→=→==

Cxdxdvvdxdv +===→= � �



� � � +−=−=−= Cxxxdxxxdxx

xxxxdx lnln1)(lnln

A integral já foi acabada, mas ainda podemos colocar x em evidência para dar a respos-ta final:

� −=−= )1(lnlnln xxxxxxdx

Exemplo 7.7. Calcule .ln2� xdxx


dxx

duxdx


CxCxdxxdvvdxxdv +=++

===→=+

� � 312

31222




�� −=−== dxxxxdxx

xxxdxxxxdxx33

)(ln133

)(ln)(lnln2333

22

�� −= dxxxxxdxx 23

2

31

3)(lnln



Ou seja,

� � �� −=−== dxxxxdxxxxdxxxxdxx 23

23

22

31ln

331

3)(ln)(lnln


� ++

=+

Cnxdxx

nn

1

1

Logo,

� � +−=−= Cxxxdxxxxxdxx33

1ln33

1ln3

ln33

23

2

A integral já foi acabada, mas ainda podemos colocar x3/3 em evidência para dar aresposta final:

CxxCxxxxdxx +��

�� −=+−=� 3

1ln33

.31ln

3ln

3332


Exemplo 7.8. Calcule .ln� xdxx

Como a raiz quadrada de x pode ser expressa como x elevado ao expoente meio, vamos

escrever: .lnln 21

�� = xdxxxdxx

Agora, vamos fazer as seguintes equivalências:

dxx

duxdx


CxCxCxCxdxxdvvdxxdv +=+=++=++

===→=

++

� � 232

3221

121

21

21

32

23

22112

1



( ) �� −=−== dxx

xxxdxx

xxxxdxxxdxx2

3

23

23

23

21

32ln

321

32

32lnlnln

A divisão de x3/2 por x = x1 “contida” na integral a ser resolvida pode ser desenvolvidacomo:

21

223

)1(2312

3

1

23

23

xxxxxx

xx

x =====−

−+− .

Ainda não fizemos a integral, apenas aplicamos as seguintes propriedades:

11

11 −− =→= xx

mm

aa e 2

1)1(2312

3xxxxmmm baba ==→= −+−+ .

Ou seja,

�� −=−== dxxxxdxx

xxxxdxxxdxx 21

232

3

23

21

32ln

32

32ln

32lnln




Logo,

�� −=−= dxxxxdxxxxxdxx 21

23

21

23

32ln

32

32ln

32ln

Prosseguimos a integração utilizando a regra � ++

=+

Cnxdxx

nn

1

1

para 21=n :

CxxxCxxxdxxxxxdxx +−=+−=−= +

+

+

+

��221

221

23

121

121

23

21

23

32ln

32

32ln

32

32ln

32ln

CxxxCxxxxdxx +−=+−=� 23

232

3

23

32.

32ln

32

233

2ln32ln

Já terminamos a integração por partes, mas, ainda, podemos colocar 23

32 x em evidên-

cia para expressarmos a resposta final:

CxxCxxxxdxx +��

�� −=+−=� 3

2ln32

32.

32ln

32ln 2

32

32

3

Exemplo 7.9. Calcule .5ln

3� dxxx

Antes de começarmos a integral precisamos preparar a função a ser integrada daseguinte maneira:

( ) .ln51ln

51

5ln 3

33 �� −== dxxxdxx

xdxxx

Podemos colocar o fator 51

que multiplica a função “para fora da integral”, pois

� �= dxxfkdxxfk )(.)(. . Vejamos:

( ) ( )�� −− == dxxxdxxxdxxx 333 ln

51ln

51

5ln


Agora, vamos fazer as seguintes equivalências:

dxx

duxdx


Cx

CxCxdxxdvvdxxdv +−=+−

=++−

===→=−+−

−− � � 2

21333

21

213



( ) ( ) ��

�� +−=�

��

�� −−−== �� − dx

xxx

xdx

xxxxdxxxdx

xx

22223

31

21ln

2)1(

511

21

2)1(ln

51ln

51

5ln

Podemos desenvolver a função a ser integrada:

3312122

1111 −+ ==== x

xxxxxx .

Note que ainda não fizemos a integral, apenas aplicamos as seguintes propriedades:

31212 xxxxmmm baba ==→= ++ e 33

11 −− =→= xx

mm

aa .

Ou seja,

��

�� +−=�

��

�� +−= �� − dxxx

xdx

xxx

xdx

xx 3

2223 21ln

2)1(

511

21ln

2)1(

51

5ln



Logo,

��

�� +−= �� − dxxx

xdx

xx 3

23 21ln

2)1(

51

5ln


Continuamos a integração utilizando a regra � ++

=+

Cnxdxx

nn

1

1

para n = − 3:

Cxxx

Cxxx

dxxxx

dxxx +��

�

��

�−

+−=+��

��

�+−

+−=��

�� +−=

−+−−�� 22

1ln2

)1(51

1321ln

2)1(

51

21ln

2)1(

51

5ln 2

2

13

23

23

Cx

xx

Cx

xx

dxxx +�

��

�� −−=+�

��

�� −+−=� 22223 2

121ln

2)1(

51

21

21ln

2)1(

51

5ln

Deixamos a constante C “fora” dos parênteses porque uma constante multiplicada por1/5 continua sendo uma constante.

Já terminamos a integração por partes, mas, ainda, podemos colocar 221x

− em evidên-cia para expressarmos a resposta final:

Cxx

Cxx

dxxx +�

��

�� +−=+�

��

�� +−=� 2

1ln10

121ln

2)1(

51

5ln

223

Exemplo 7.10. Calcule � dxex x2


xdxduxdxduxxuu 22)( 2 =→=→==

Cedxedvvdxedv xxx +===→= � �



�� −= xdxeexdxex xxx 2. 22




Ou seja,

�� −=−= dxxeexxdxeexdxex xxxxx 22 222

Caímos em uma integral que deve ser resolvida novamente por partes. Esta integral jáfoi feita no exemplo 7.1:

Cexedxexedxxe xxxxx +−=−= ��

Logo,

xxxxxxxxx exeexexeexdxxeexdxex 22)(22 2222 +−=−−=−= ��A integral já foi acabada, mas ainda podemos colocar ex em evidência para dar a res-posta final:

( )2222 222 +−=+−=� xxeexeexdxex xxxxx

Exemplo 7.11. Calcule .cos2� xdxx


( ) xdxduxxdxduxxuu 22)( ,22 =→==→==

Csenxxdxdvvxdxdv +===→= � �coscos



�� −= xdxsenxsenxxxdxx 2cos 22




Ou seja,

�� −=−= xsenxdxsenxxxdxsenxsenxxxdxx 22cos 222

Caímos em uma integral que deve ser feita novamente por partes: a integral do produtode x pelo seno de x. Vamos resolvê-la:

dxdtdxdtdxdtxt =→=→=→= 11

Cxsenxdxdzzsenxdxdz +−===→= � � cos

�� −= zdtztdzt .

�� ++−=+−=−−−= Csenxxxxdxxxdxxxxsenxdxx coscoscos)cos()cos(.

Logo,

Csenxxxsenxxsenxxxsenxxxdxx +−+=+−−=� 2cos2)cos(2cos 222

Exemplo 7.12. Calcule � xdxx 2sec

Como a integral da secante ao quadrado de x é diretíssima da tabela, � += Ctgxxdx2sec ,no uso do método da integração por partes vamos chamar essa função de dv. A funçãou = u(x) é, então, u = u(x) = x. Vejamos:


Ctgxxdxdvvxdxdv +===→= � � 22 secsec



�� −= tgxdxxtgxxdxx 2sec


A integral da tangente de x foi feita no exemplo 6.10 e consta da tabela ampliada deintegrais:

xtgxdx cosln−=� .

Logo,

( ) CxxtgxCxxtgxxdxx ++=+−−=� coslncoslnsec2

Exemplo 7.13. Calcule � xdx3sec

Vamos começar escrevendo a secante ao cubo de x como o produto da secante de xpela secante ao quadrado de x: sec3 x = sec x sec2 x. Logo,

�� = xdxxxdx 23 secsecsec

Agora, chamamos a secante ao quadrado de x de dv. A função u = u(x) é, então,u = u(x) = sec x. Vejamos:

( ) xtgxdxduxtgxxdxduxxuu secsecsecsec)( , =→==→==

Ctgxxdxdvvxdxdv +===→= � � 22 secsec



�� −=−== xdxxtgxtgxxtgxdxtgxxtgxxdxxxdx 223 secsecsecsecsecsecsec

Agora, vamos utilizar a seguinte identidade trigonométrica:

1sec1sec 2222 −=→+= xxtgxtgx

Substituindo a equivalência acima na integral:

( ) ( )�� −−=−−= xdxxxxtgxxdxxxxtgxxdx secsecsec1secsecsecsec 323


Podemos “separar” a integral da subtração das funções sec3 x e sec x na subtração dasintegrais de sec3 x e sec x, conforme a propriedade P1 vista no capítulo 4:

( ) ( )�� −−=−−= xdxxdxxtgxxdxxxxtgxxdx secsecsecsecsecsecsec 333

Usando a propriedade distributiva para “retirarmos” os parênteses:

�� +−= xdxxdxxtgxxdx secsecsecsec 33

Como a integral da secante de x está na tabela ampliada de integrais:

� ++= Ctgxxxdx seclnsec .

Também podemos “passar” a integral da secante ao quadrado de x do lado direito parao lado esquerdo da igualdade como soma.

Ou seja,

Ctgxxxtgxxdxxdx +++=+ �� seclnsecsecsec 33

Ctgxxxtgxxdx +++=� seclnsecsec2 3

“Passando” a constante 2 “dividindo” para o lado direito da equação, finalizamos aintegral:

( ) Ctgxxxtgxxdx +++=� seclnsec21sec3

Exemplo 7.14. Calcule ( )� dxsenxx lncos

Temos que: ( ) ( )( )�� = xdxsenxdxsenxx coslnlncos .

Façamos as equivalências abaixo para usarmos o método da integração por partes:

( ) ( ) dxsenx

xdusenx

xsenxsenxsenx

dxdusenxxuu coscos)ln()ln()(

,, =→===→==

Csenxxdxdvvxdxdv +===→= � � coscos


Veja que, para derivarmos o logaritmo neperiano do seno de x, utilizamos a regra dacadeia, pois tínhamos uma função composta.



( ) ( ) ( ) �� −== dxsenx

xsenxsenxsenxxdxsenxdxsenxx cos)ln(cos)ln(lncos

Simplificando a função a ser integrada, ficamos apenas com a integral do cosseno de x,que é diretíssima da tabela:

( ) Csenxsenxsenxxdxsenxsenxdxsenxx +−=−= �� )ln(cos)ln(lncos

A integral já foi acabada, mas, ainda, podemos colocar o seno de x em evidência:

( ) ( ) Csenxsenxdxsenxx +−=� 1)ln(lncos

Exemplo 7.15. Calcule ( )� dxx 2ln

Temos que: ( ) �� = xdxxdxx ln.lnln 2 .

Façamos as equivalências abaixo para usarmos o método da integração por partes:

( ) dxx

dux

xdxduxxuu 11lnln)( , =→==→==

Cxxxdxdvvxdxdv +−===→= � � )1(lnlnln

Para integrarmos a função 1n x, utilizamos o resultado do exemplo 7.6:

� −=−= )1(lnlnln xxxxxxdx .




ln ln .ln ln ln ln ln lnx dx x xdx x x x x xxdx x x x( ) = =( ) −( )− −( ) = −∫ ∫ ∫

2 1 1 1 1(( )− −( )∫ ln x dx1

Podemos “separar” a integral da subtração das funções 1n x e 1n a subtração dasintegrais de 1n x e 1, conforme a propriedade P1 vista no capítulo 4:

( ) ( ) ( ) ( ) �� +−−=−−−= dxxdxxxxdxxdxxxxdxx ln1lnln1ln1lnlnln 2

Da tabela de integrais temos que � += Cxdx e do exemplo 7.6 sabemos que

� −=−= )1(lnlnln xxxxxxdx .

Logo,

( ) ( ) ( ) ( ) Cxxxxxxdxxdxxxxdxx ++−−−=+−−= �� 1ln1lnlnln1lnlnln 2

Já terminamos a integral, mas podemos colocar x em evidência:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) CxxxxCxxxxxxdxx ++−−−=++−−−=� 11ln1lnln1ln1lnlnln 2

( ) ( )( ) ( )( ) CxxxxCxxxxdxx ++−−=+++−−=� 2ln1lnln11ln1lnlnln 2


Exercício 7.1. Calcule � dxxe x5

Exercício 7.2. Calcule � − dxxe x 12

Exercício 7.3. Calcule � − dxex x4)2(

Exercício 7.4. Calcule � +− dxex x 3)15(


Exercício 7.5. Calcule � + xdxx cos)8(

Exercício 7.6. Calcule � − xdxx 3cos)47(

Exercício 7.7. Calcule � − xdxsenx 2)15(

Exercício 7.8. Calcule � dxx3

ln

Exercício 7.9. Calcule � + xdxx ln)12(

Exercício 7.10. Calcule � xdxx ln3

Exemplo 7.11. Calcule � senxdxx2

Exercício 7.12. Calcule � dxex x22

Exercício 7.13. Calcule � xtgxdxx sec

Exercício 7.14. Calcule � xdxsene x 54

Exercício 7.15. Calcule ( )� dxxsenx cosln


Exercício 7.1. Cxe x +��

�� −

51

51 5


�� −−

21

21 12


�� −

49

41 4

Exercício 7.4. ( ) Cxe x +−+ 653

Exercício 7.5. Cxsenxx +++ cos)8(

Exercício 7.6. Cxxsenx +−��

�� − 3cos

943

347


Exercício 7.7. − Cxsenxx ++��

�� − 2

452cos

215

Exercício 7.8. ( ) Cxx +−1ln3

Exercício 7.9. ( ) Cxxxxx +−−+2

ln2

2

Exercício 7.10. Cxx +��

�� −

41ln

4

4

Exemplo 7.11. − x2 cos x + 2xsenx + 2 cos x + C

Exercício 7.12. Cxxe x +��

�� +−

21

21 22

Exercício 7.13. x sec x − 1n|sec x + tgx| + C

Exercício 7.14. ( ) Cxxsene x +− 5cos554411 4

Exercício 7.15. cos x(1 − 1n(cos x)) + C


Integrais Simples – Integrais DefinidasIntegrais Simples – Integrais DefinidasIntegrais Simples – Integrais DefinidasIntegrais Simples – Integrais DefinidasIntegrais Simples – Integrais Definidas

A integral definida de uma função contínua f (x) em um intervalo que contenha a e b,desde x = a até x = b, é dada por:

� � −====

=

b

a

ba

bx

ax

aFbFxFdxxfdxxf )()()()()(

Na expressão acima, F(x) é uma primitiva de f (x), x = a é o extremo inferior da integrale x = b é o extremo superior da integral.

Vale o seguinte:

� �−=b

a

a

b

dxxfdxxf )()(


1

2� dxx

A integral indefinida relativa ao exemplo 8.1 pode ser feita pelo uso diretíssimo databela, ou seja,

CxCxdxx +=++

=+

� 312

3122


A partir da integral indefinida, podemos resolver a integral definida pedida no exemplo,com extremo inferior x=1 e extremo superior x=2:

37

31

38

3)1(

3)2(

3

232

1

32

1

2 =−=−=�

��

=�

xdxx


2

2� dxx

Pelo exemplo 8.1, já resolvemos a integral indefinida referente à função x ao quadra-do. A partir da integral indefinida, podemos resolver a integral definida pedida noexemplo, com extremo inferior x = 2 e extremo superior x = 1:

37

38

31

3)2(

3)1(

3

231

2

31

2

2 −=−=−=�

��

=�

xdxx

Poderíamos, também, ter aproveitado o resultado do exemplo 8.1 da seguinte maneira:

37

372

1

21

2

2 −=��

��−=−= �� dxxdxx


1� �

��

�� + dx

x

Façamos a seguinte integral indefinida:

� � � �� ++=+=+=��

�� + Cxxdxdx

xdxdx

xdx

x2ln32132323

Sendo assim:

[ ] ( ) ( ) 64ln320.384ln31.21ln34.24ln32ln323 4

1

4

1

+=−−+=+−+=+=��

�� +� xxdx

x

153153153153153Capítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais Definidas

Exemplo 8.4. Calcule � +1

0

)2( dxxx

Façamos a seguinte integral indefinida:

� � � �� ++=+++

=+=+=++

CxxCxxxdxdxxxdxdxxdxxx 22

32121

21

232

212

122)2(

� ++=+ Cxxdxxx 22

3

32)2(

Sendo assim, desde x = 0 até x = 1:

35

3321

32)0(

3)0(2)1(

3)1(2

32)2( 2

232

231

0

2231

0

=+=+=��

��

�+−��

�

��

�+=�

��

+=+� xxdxxx

Exemplo 8.5. Calcule �2

0

cosπ

xdx

A integral indefinida relativa a este exemplo pode ser feita pelo uso diretíssimo databela, ou seja,

� += Csenxxdxcos

Aplicando-se os extremos indicados, temos que:

[ ] 10102

cos 20

2

0

=−=−==� sensensenxxdx πππ

Exemplo 8.6. Calcule .)cos6(0� +π

dxx

A integral indefinida relativa a esse exemplo é

� � � �� ++=+=+=+ Csenxxxdxdxxdxdxdxx 6cos6cos6)cos6(


A integral indefinida é

[ ] ππππππ

6)00()06()00.6()6(6)cos6( 00

=+−+=+−+=+=+� sensensenxxdxx

Exemplo 8.7.Calcule �−

+1

1

23 )3( dxxx

No exemplo 5.5, vimos que

Cxxxdxxx +++=+� 656

49)3(

65423

Agora, podemos fazer facilmente a integral definida, desde x = −1 até x = 1:

��

��

� −+−+−−��

��

�++=�

��

++=+

−−� 6

)1(5

)1.(64

)1.(96)1(

5)1.(6

4)1.(9

656

49)3(

6546541

1

6541

1

23 xxxdxxx

512

61

56

49

61

56

49

61

56

49

61

56

49)3(

1

1

23 =−+−++=��

�� +−−�

��

�� ++==+�

−

dxxx

Exemplo 8.8. Calcule � −

2

174

3

)12(5 dx

xx


Cx

dxx

x +−

−=−� 6474

3

)12(485

)12(5

A partir desse resultado, temos que:

� ��

��

�−

−−

−=�

��

−

−=�

��

−

−=−

2

16464

2

164

2

16474

3

)11.2(1

)12.2(1

485

)12(1

485

)12(485

)12(5

xxdx

xx

� ��

��

� −=��

��

� −−=��

��

�−−=

−

2

16

6

6

6

6674

3

31131

485

31311

485

)1(1

)31(1

485

)12(5 dx

xx


Exemplo 8.9. Calcule �−

−1

1

55 6

dxex x


Cedxex xx += −−� 555 66

61

Assim, a integral definida referente ao exemplo 8.9 é calculada da seguinte maneira:

[ ] ( ) ( ) 061

61

61

61 445)1(511

15

1

1

51

1

55 66666

=−=−==�

�� = −−−−−

−−

−

−

−

−� eeeeeedxex xxx

Exemplo 8.10. Calcule �π

π2

2cos xdx


Cxsenxxdx ++=� 241

21cos2

Agora, podemos fazer facilmente a integral definida:

( )444

2222.

41

2.

212

41

212

41

21cos

22

2 πππππππππ

π

π

π

sensensensenxsenxxdx −−+=��

�� +−�

��

�� +=�

�� +=�

442cos

2

2 ππππ

π=−=� xdx


0

6 dxx

Da tabela ampliada de integrais, vimos que

� += Caa

dxa xx

ln1

.


Fazendo a igual a 6, podemos calcular a integral indefinida relacionada ao exemplo 8.11:

� += Cdx xx 66ln

16

A partir da integral indefinida, podemos resolver a integral definida pedida no exemplo,com extremo inferior x = 0 e extremo superior x = 2:

( ) ( )6ln

351366ln

1666ln

166ln

16 022

0

2

0

=−=−=�

�� =

=

=�

x

x

xx dx

Se aproximarmos o logaritmo neperiano de 6 por 1,79, temos que

95,16ln

3562

0

≅=� dxx.

Esses cálculos foram feitos com o auxílio da calculadora.

Exemplo 8.12. Calcule �π

0

2 3sec xdx


� += Ctgaxa

axdx 1sec2 .


� += Cxtgxdx 3313sec2

A partir da integral indefinida, podemos resolver a integral definida pedida no exemplo,com extremo inferior x = 0 e extremo superior x = π:

( ) ( ) 0003103

313

313sec

00

2 =−=−=�

�� =

=

=� tgtgxtgxdx

x

x

πππ



0

2π

xdxtg


� +−= Caxa

tgaxdx cosln1.


� +−= Cxxdxtg 2cosln212

A partir da integral indefinida, podemos resolver a integral definida pedida no exemplo,com extremo inferior x = 0 e extremo superior x = π/8:

��

��

� −−=��

��

� −−=�

�� −=

=

=� 0cosln

4cosln

210.2cosln

8.2cosln

212cosln

212

8

0

8

0

ππππ x

x

xxdxtg

22ln

210

22ln

211ln

22ln

212

8

0

−=��

��

�−−=�

��

��

�−−=�

π

xdxtg

Exemplo 8.14. Calcule � −2

1

53 dxe x


� += ++ Cea

dxe baxbax 1.

Fazendo a igual a 3 e b igual a − 5, podemos calcular a integral indefinida relacionada aoexemplo 8.14:

� += −− Cedxe xx 5353

31



( ) ( ) ��

�� −=−=−=�

�� = −−−

=

=

−−� 22151.352.3

2

1

532

1

53 131

31

31

31

eeeeeeedxe

x

x

xx

Exemplo 8.15. Calcule � −

5

422 3

1 dxx


� +−+=−

Caxxa

dxax

2222

ln11.


� +−+=−

Cxxdxx

2222

3ln31

31


��

�� −+−−+=�

�� −+=

−

=

=� 2222

5

4

225

422

344ln355ln313ln

31

31 x

x

xxdxx

( ) ( )74ln45ln319164ln9255ln

31

315

422

+−+=−+−−+=−� dx

x

( )74ln9ln31

315

422

+−=−� dx

x

Como 9 e 74 + são positivos, podemos “tirar” os módulos:

( )( )74

9ln3174ln9ln

31

315

422 +

=+−=−� dx

x


Lembre que

( )74

9ln74ln9lnlnlnln+

=+−→=−baba .


Exercício 8.1. Calcule �3

2

3dxx


2

1 dxx


�� −

5

1

32 dxx

Exercício 8.4. Calcule � −1

0

)3( dxxx


0

π

senxdx

Exercício 8.6. Calcule � +π

0

)34( dxsenx

Exercício 8.7. Calcule �−

+1

1

22 )45( dxxx

Exercício 8.8. Calcule � −

3

233

2

)1(6 dx

xx

Exercício 8.9. Calcule �−

−1

1

24 5

dxex x


3

2

π

π

xdxsen



Exercício 8.1. 465

Exercício 8.2. 23ln2ln3ln =−

Exercício 8.3. 21n 5 − 12

Exercício 8.4. 23

Exercício 8.5. 1

Exercício 8.6. 4π + 6


Exercício 8.8. 33124627


�� − 3

1151

ee

Exercício 8.10. 4π


Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoIntegrais Duplas e Regiões de IntegraçãoIntegrais Duplas e Regiões de IntegraçãoIntegrais Duplas e Regiões de IntegraçãoIntegrais Duplas e Regiões de Integração

A integral dupla da função de duas variáveis z = f (x, y), sobre determinada região R doplano xOy, é indicada por ��

R

dxdyyxf ),( .

Há duas propriedades, designadas por I1 e I2, similares às propriedades P1 e P2 vistasno capítulo 4 e referentes às integrais de funções de uma variável, que podem serusadas para resolver integrais duplas:

• I1. �� ±=±RRR

dxdyyxgdxdyyxfdxdyyxgyxf ),(),()),(),(( ;

• I2. �� =RR

teconsumaksendodxdyyxfkdxdyyxfk tan,),(),(. .

Conforme será visto nos exemplos a seguir, o cálculo da integral dupla está relaciona-do com as integrais definidas.

Exemplo 9.1. Calcule ��R

dxdy5 , sendo { }2020:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yexyxR .

A região R corresponde ao quadrado esboçado na figura 9.1.


Figura 9.1. Região { }2020:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yexyxR .

Vamos usar a propriedade I2 e escrever a constante 5 como um fator de multiplicaçãoda integral dupla, ou seja, “colocamos a constante 5 que multiplica a função para forada integral”:

�� ==RRR

dxdydxdydxdy 1555

Escrevendo a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região de integração:

� ��=

=

=

=

==2

0

2

0

15155y

y

x

xRR

dxdydxdydxdy

Optamos em fazer, primeiramente, a integração simples em relação à variável x. A inte-gral indefinida da função f (x, y) = 1, em relação à variável x, é diretíssima da tabela eresulta em x, além da constante de integração: � += Cxdx1 . Para os extremos dadospela região R, temos o que segue abaixo.

[ ] �� =

=

=

=

=

=

=

=

==

=

=

=

=

==−==��

��

�==

2

0

2

0

2

0

2

0

20

2

0

2

0

2.525)02(5515155y

y

y

y

y

y

y

y

xx

y

y

x

xRR

dydydydyxdydxdxdydxdy

��=

=

=

=

==2

0

2

0

110105y

y

y

yR

dydydxdy

Agora, precisamos fazer a integral simples da função 1 em relação à variável y.

163163163163163Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração

A integral indefinida da função f (x, y) = 1, em relação à variável y, é diretíssima da tabelae resulta em y, além da constante de integração: � += Cydy1 . Para os extremosdados pela região R, temos o que segue.

[ ]��=

=

== =−===

2

0

20 20)02(10101105

y

y

yy

R

ydydxdy

Logo, o resultado da integral dupla do exemplo 9.1 é 20.

Poderíamos, alternativamente, ter iniciado a integração pela variável y. Chegaríamosao mesmo resultado, ou seja, 20. Vejamos:

5 5 1 5 1 50

2

0

2

0

2dxdy dxdy dy dx y dxR R y

y

x

x

∫∫ ∫∫ ∫∫= =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = [ ]

=

=

=

=

=

=

y

y == − = = ==

=

=

=

=

=

=

=

=∫ ∫ ∫ ∫x

x

x

x

x

x

x

x

x

xdx dx dx dx

0

2

0

2

0

2

0

2

05 2 0 5 2 5 2 10( ) .

==

=

=

=

=

∫

∫∫ ∫= = [ ] = − =

2

0

2

0

25 10 1 10 10 2 0 20dxdy dx xR x

x

x

x ( )

Exemplo 9.2. Calcule�� +R

dxdyyx )53( , sendo { }1020:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yexyxR .

A região R corresponde ao retângulo esboçado na figura 9.2.


Escrevendo a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região de integração:

� ��=

=

=

=

+=+1

0

2

0

)53()53(y

y

x

xR

dxdyyxdxdyyx


Optamos em fazer, primeiramente, a integração simples em relação à variável x. Paraintegrarmos a função 3x + 5y em relação à variável x, pensamos que y representa umaconstante. Se a variável y é interpretada, momentaneamente, como constante, o pro-duto 5y também representa uma constante. Segundo a tabela de integrais, a integralindefinida de 5y, em relação à variável x, é 5yx e a integral indefinida de 3x = 3x1, emrelação à variável x, é

CxCxCx +=+=++

+2

211

23

23

113 ,

além das constantes de integração.Como “a integral da soma é a soma das integrais” (propriedade I1):

Cyxxdxyxdxydxxdxdxyx ++=+=+=+ � �� 5235353)53( 2 .

Para os extremos dados pela região R, temos que

dyyxxdydxyxdxdyyxx

x

y

y

y

y

x

xR

2

0

1

0

21

0

2

0

523)53()53(

=

=

=

=

=

=

=

=��

�� +=��

�

��

�+=+

( )��=

=

=

=

+=�

��

��

��

�+−��

�

��

�+=+

1

0

1

0

22

106)0(52)0(3)2(5

2)2(3)53(

y

y

y

yR

dyydyyydxdyyx

Agora, temos de fazer uma integral simples: a integral da função 6 + 10y, em relação àvariável y. Segundo a tabela de integrais, a integral indefinida de 6, em relação àvariável y, é 6y e a integral indefinida de 10y = 10y1, em relação à variável y, é

CyCyCy +=+=++

+2

211

52

1011

10 ,

além das constantes de integração.

Como “a integral da soma é a soma das integrais”:

Cyyydydydyy ++=+=+ � �� 256106)106( .


Para os extremos dados, temos que

( ) [ ] ( ) ( ) 11)0(5)0(6)1(5)1.(656106)53( 2210

21

0

=+−+=+=+=+ ==

=

=��

yy

y

yR

yydyydxdyyx

Poderíamos, alternativamente, ter iniciado a integração pela variável y. Para integrar-mos a função 3x + 5y, em relação à variável y, pensamos que x representa uma constan-te. Se a variável x é interpretada, momentaneamente, como constante, o produto 3xtambém representa uma constante. Segundo a tabela de integrais, a integral indefinidade 3x, em relação à variável y, é 3xy e a integral indefinida de 5y = 5y1, em relação àvariável y, é

CyCyCy +=+=++

+2

211

25

25

115 ,

além das constantes de integração.


Cyyxydyxdydyyx ++=+=+ � �� 2

25353)53( .


dxyxydxdyyxdxdyyxy

x

x

x

x

x

y

yR

1

0

2

0

22

0

1

0 253)53()53(

=

=

=

=

=

=

=

=��

�� +=�

��

��

�+=+

��=

=

=

=

��

�� +=�

��

��

��

�+−��

�

��

�+=+

2

0

2

0

22

253

2)0(5)0(3

2)1(5)1(3)53(

x

x

x

xR

dxxdxxxdxdyyx

Agora, temos de fazer uma integral simples: a integral da função 253 +x , em relação à

variável x. Segundo a tabela de integrais, a integral indefinida de 3x, em relação àvariável x, é

CxCxCx +=+=++

+2

211

23

23

113


e a integral indefinida de 25

, em relação à variável x, é x25

, além das constantes deintegração.


Cxxdxxdxdxx ++=+=��

�� + � �� 2

523

253

253 2

.


��

��

�+−��

�

��

�+==�

�� +=�

��

�� +==+ ��

=

=

=

= 2)0(5

2)0(3

2)2(5

2)2(3

25

23

253)53(

222

0

2

0

2x

x

x

xR

xxdxxdxdyyx

( ) 11056)53( =−+=+��R

dxdyyx

Exemplo 9.3. Calcule �� −R

dxdyxyy )2( 32 , sendo { }2132:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yexyxR .

A região R corresponde ao quadrado esboçado na figura 9.3.


Podemos escrever a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região deintegração:

�� =

=

=

=

−=−R

y

y

x

x

dxdyxyydxdyxyy2

1

3

2

3232 )2()2(


Para integrarmos a função 2y2 − xy3 em relação à variável x, inicialmente pensamos quey representa uma constante. Se a variável y é interpretada, momentaneamente, comoconstante, o produto 2y2 também representa uma constante e o produto xy3 representax multiplicado pela, neste momento, “constante” y3. A integral de 2y2, em relação àvariável x, é 2y2 x + C. A integral de xy3 = y3 x1, em relação à variável x, é

CxyCxy +=++

+

211

23113 .

Como a integral da subtração de duas funções é a subtração das integrais das funções:

Cxyxydxxydxydxxyy +−=−=− � �� 222)2(

2323232 .

Sendo assim, para os extremos dados pela região R, temos que

� ��

��

��

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

��

��

�−=��

�

��

�+−−=−

�

��

��

��

�−−��

�

��

�−=−

�

��

−=��

�

��

�−=−

2

1

2

1

3232

3232

2

1

232

23232

3

2

2

1

232

2

1

3

2

3232

25224

296)2(

2)2()2(2

2)3()3(2)2(

22)2()2(

y

y

y

yR

y

yR

x

x

y

y

y

y

x

xR

dyyydyyyyydxdyxyy

dyyyyydxdyxyy

dyxyxydydxxyydxdyxyy

Agora, temos de fazer uma integral simples: a integral da função

323

2

252

252 yyyy −=−

em relação à variável y. Ou seja,

� �� −=−=��

��

�−=��

�

��

�− dyydyydyydyydyyydyyy 32

32

32

32

252

252

252

252

Cyydyyy +−=��

��

�−� 42

53

22

52433

2

Cyydyyy +−=��

��

�−� 8

53

22

52433

2


Continuando com a integral �� −R

dxdyxyy )2( 32 :

2

1

432

1

3232

85

32

252)2(

=

=

=

=�

��

−=��

�

��

�−=− ��

y

y

y

yR

yydyyydxdyxyy

24113

85

3210

316

8)1(5

3)1(2

8)2(5

3)2(2)2(

434332 −=+−−=��

�

��

�−−��

�

��

�−=−��

R

dxdyxyy

Também poderíamos ter iniciado a integração pela variável y. Para integrarmos a fun-ção 2y2 − xy3 em relação à variável y, pensamos que x representa uma constante. Se avariável x é interpretada, momentaneamente, como constante, o produto xy3 represen-ta y3 multiplicado por uma constante. A integral de 2y2, em relação à variável y, é

CyCy +=++

+

32

122

312

.

A integral de xy3, em relação à variável y, é

Cxyyx +=+

+

413

413

.

Como a integral da subtração de duas funções é a subtração das integrais das funções:

Cxyydyyxdyydyxydyydyxyy +−=−=−=− � � � �� 43222)2(

43323232 .


dxxyydxdyxyydxdyxyyy

y

x

x

x

x

y

yR

2

1

3

2

433

2

2

1

3232

432)2()2(

=

=

=

=

=

=

=

=��

��

−=�

��

��

�−=−

dxxxdxdyxyyx

xR��=

=��

��

��

��

�−−��

�

��

�−=−

3

2

434332

4)1(

3)1(2

4)2(

3)2(2)2(

� ��=

=

=

=

��

�� −=�

��

�� +−−=−

3

2

3

2

32

415

314

4324

316)2(

x

x

x

xR

dxxdxxxdxdyxyy


Agora, precisamos fazer uma integral simples: a integral da função 415

314 x− , em rela-

ção à variável x. Vejamos:

143

154

143

154

143

154

143

154 2

12

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − = − = −∫ ∫x dx dx xdx dx x dx x x. ++ = − +∫∫∫ C x x C14

3158

2

Continuando com a integral �� −R

dxdyxyy )2( 32 :

��=

=

=

=�

��

−==�

��

�� −=−

3

2

3

2

232

815

314

415

314)2(

x

x

x

xR

xxdxxdxdyxyy

24113

215

328

813514

8)2(15

3)2(14

8)3(15

3)3(14)2(

2232 −=+−−=��

�

��

�−−��

�

��

�−=−��

R

dxdyxyy


xsenydxdy , sendo ��

�� ≤≤≤≤ℜ∈=

3051:),( 2 πyexyxR .

A região R corresponde ao retângulo esboçado na figura 9.4.

Figura 9.4. Região ��

�� ≤≤≤≤ℜ∈=

3051:),( 2 πyexyxR .


� ��=

=

=

=

=3

0

5

1

)(πy

y

x

xR

xdxdysenyxsenydxdy


Para integrarmos a função xseny = (seny) x em relação à variável x, inicialmente pensamosque y representa uma constante. Se a variável y é interpretada, momentaneamente,como constante, então seny também representa uma constante. A integral indefinidade xseny = (seny) x, em relação à variável x, é

( ) ( ) ( ) CxsenyCxsenyCxseny +=+=++

+2

211

21

221.


[ ] [ ]dysenydyxsenydyxdxsenysenydxdyxy

y

x

x

y

y

y

y

x

xR��

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

−==��

��

�=

3

0

22

5

1

3

0

23

0

5

1

)1()5(21)(

21)()(.

πππ

dysenydysenysenydxdyxy

y

y

yR��

=

=

=

=

==3

0

3

0

122421)(.

ππ

Agora, vamos fazer uma integral simples: a integral da função seny em relação à variá-vel y. Essa integral está na tabela e é − cos y + C. Sendo assim, para os extremos dadospela região R, temos que

[ ] [ ] ��

�� −−=−=−== =

===

=

=�� 0cos

3cos12cos12cos1212. 3

03

0

3

0

ππππ

yy

yy

y

yR

yydysenysenydxdyx

62112

221121

2112. =�

��

�� −−=�

��

�� −−=�

��

�� −−=��

R

senydxdyx

Exemplo 9.5. Calcule �� +R

dxdyyx

5, sendo R o quadrado [0,2]x[1,3].

A região R corresponde ao quadrado esboçado na figura 9.5. Essa região também podeser escrita como { }3120:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yexyxR



Podemos aplicar a propriedade I2, que permite que a integral de uma constante multi-plicada por uma função seja expressa como a constante multiplicada pela integral dafunção e escrever a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região deintegração:

� ��=

=

=

= +=

+=

+

3

1

2

0

15155 y

y

x

xRR

dxdyyx

dxdyyx

dxdyyx

Precisamos resolver, inicialmente, a seguinte integral:

� +dx

yx1

.

Como estamos integrando em relação à variável x, pensamos que y representa, momen-taneamente, uma constante. Sendo assim, temos que

( ) Cyxdxyx

++=+� ln1

Fazendo a integral definida:

( )[ ] ( ) ( ) ( ) yyyyyxyx

xx

x

x

ln2ln0ln2lnln1 20

2

0

−+=+−+=+=+

==

=

=�


Prosseguindo com a integral dupla:

( )( )� ��=

=

=

=

=

=

−+=��

��

�

+=

+

3

1

3

1

2

0

ln2ln5155 y

y

y

y

x

xR

dyyydydxyx

dxdyyx

( ) ��

��

�−+=

+ ��=

=

=

=

3

1

3

1

ln2ln55 y

y

y

yR

ydydyydxdyyx

Conforme visto no capítulo 7, as integrais � ydyln e � + dyy)2ln( são resolvidaspelo método da integração por partes. Vejamos:

?ln =� ydy

dyy

duydy

duyu 11ln =→=→=

Cydydvvdydv +===→= � �



� � � +−=−=−= Cyyydyyydyy

yyyydy lnln.1.).(lnln

Fazendo a integral definida desde y = 1 até y = 3:

[ ] ( ) ( ) 23ln3133ln311ln133ln3lnln 31

3

1

−=+−=−−−=−= ==

=

=� y

y

y

y

yyyydy

?)2ln( =+� dyy

( ) dyy

duydy

duyu+

=→+

=→+=2

12

12ln

Cydydvvdydv +===→= � �




� � � ++

−+=+

−+=+ Cdyy

yyydyy

yyydyy2

)2ln(.2

1.)).2(ln()2ln(

?2

=+� dy

yy

Façamos a seguinte substituição:

dydzdydzzyeyz =→=→−=+= 122

� �� −=��

�� −=�

��

�� −=�

��

�� −=−=

+dz

zdzdz

zdz

zdz

zzzdz

zzdy

yy 1211212122

2

� �� ++−+=+−=−=+

Cyyczzdzz

dzdyy

y )2ln(22ln21212

Logo,

( )� � ++−+−+=+

−+=+ Cyyyydyy

yyydyy )2ln(22)2ln(2

)2ln()2ln(

Cyyyydyy +++−−+=+� )2ln(22)2ln()2ln(

� +−−++=+ Cyyydyy 2)2ln()2()2ln(

Fazendo a integral definida desde y = 1 até y = 3:

( ) ( )�=

=

−−++−−−++=+3

1

12)12ln()21(32)32ln()23()2ln(y

y

dyy

�=

=

−−=+−−=+3

1

23ln35ln533ln355ln5)2ln(y

y

dyy


Finalizando a integral dupla original:

( ))23ln3()23ln35ln5(5ln)2ln(55 3

1

3

1

−−−−=��

��

�−+=

+ � ��=

=

=

=

y

y

y

yR

ydydyydxdyyx

( )23ln323ln35ln555 +−−−=+��

R

dxdyyx

( ) ( ) 6

5

6

565

35ln5

35ln53ln5ln53ln65ln555 =��

��

�=−=−=

+��R

dxdyyx

Observe que, nas etapas finais, já depois de termos acabadode resolver a integral, usamos as propriedades de logaritmoscitadas abaixo.

6

565

65

35ln3ln5lnlnlnln

3ln3ln65ln5ln5lnln.

=−→=−

==→=

dcdc

ebba a

Exemplo 9.6. Calcule �� +

R

yx dxdyxe2

, sendo R o retângulo [0,1]x[−1,1].

A região R corresponde ao retângulo esboçado na figura 9.6. Essa região também podeser escrita como { }1110:),( 2 ≤≤−≤≤ℜ∈= yexyxR

Figura 9.6. Região { }1110:),( 2 ≤≤−≤≤ℜ∈= yexyxR .


Antes de começarmos a resolver a integral, vamos usar que ab+c = ab .ac → ex2+y = ex2 .ey

para “preparar” a função. Sendo assim,

�� =+

R

yx

R

yx dxdyexedxdyxe22


� ��=

=

=

−=

+ ==1

0

1

1

222x

x

y

y

yx

R

yx

R

yx dydxexedxdyexedxdyxe

Vamos resolver, inicialmente, a integral da função xex2 e y em relação à variável y. Comoestamos integrando em relação à variável y, pensamos que x representa, momentanea-mente, uma constante e, consequentemente, xex2 também representa uma constante.Ou seja,

Cexedyexedyexe yxyxyx +== ��222

.

Sendo assim, temos que

� �� =

=

=

−=

=

=

=

−=

+

��

��

�===

1

0

1

1

1

0

1

1

2222x

x

y

y

yxx

x

y

y

yx

R

yx

R

yx dxdyexedydxexedxdyexedxdyxe

A integral de e y, em relação à variável y, é obtida diretamente da tabela: Cedye yy +=� .Para os extremos da integral em questão:

[ ] ( ) ( ) �� =

=

−=

=

−=

=

=−=

=

=

=

−=

+ −=−==��

��

�=

1

0

111

0

111

0

11

1

0

1

1

22222x

x

xx

x

xx

x

yy

yxx

x

y

y

yx

R

yx dxxeeedxeexedxexedxdyexedxdyxe

Agora, temos de fazer a integral da função xex2 em relação à variável x. Essa integral éresolvida pelo método da substituição, conforme explicado no capítulo 6.


xdxduxdxduxdxduxu =→=→=→=

2222


Ou seja,

CeCedueduexdxedxxe xuuuxx +=+==== ��222

21

21

21

2

A integral definida fica:

[ ] ( ) ( ) ( )121

21

21

21 0101

1

0

1

02222

−=−=−==�=

=

=

= eeeeeedxxex

x

x

xxx


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )11211

211

21 11

1

0

11 22

−��

�� −=−−=−−=−= −−

=

=

−+ �� ee

eeeeeeedxxeeedxdyxex

x

x

R

yx


dxdyyx )( , sendo R o semicírculo x2 + y2 ≤ 1, com x ≥ 0.

A região R corresponde ao semicírculo esboçado na figura 9.7. Essa região tambémpode ser escrita como { }222 1110:),( xyxexyxR −+≤≤−−≤≤ℜ∈=

Figura 9.7. Região { }222 1110:),( xyxexyxR −+≤≤−−≤≤ℜ∈= .


Devemos lembrar o que segue.

• A equação x2 + y2 = 12 corresponde à circunferência de raio 1 com centro naorigem (0,0).

• A equação x2 + y2 = 12, na condição x ≥ 0, corresponde à semicircunferênciade raio 1 com centro na origem (0,0), que ocupa o 1º e o 4º quadrantes doplano xOy.

• A equação x2 + y2 = 12, na condição x ≥ 0, corresponde a duas funções:21 xy −+= , para 0 ≤ y ≤ 1, e 21 xy −−= , para −1 ≤ y ≤ 0, conforme indica-

do na figura 9.7.


� ��=

=

−+=

−−=��

�

�

��

�

�−=−

1

0

1

1

2

2

)()(x

x

xy

xyR

dxdyyxdxdyyx

Precisamos resolver, inicialmente, a integral da função (x − y) em relação à variável y.Como estamos integrando em relação à variável y, pensamos que x representa, momen-taneamente, uma constante e, consequentemente, a função (x − y) representa a função“constante menos y”. A integral de x, em relação à variável y, é xy e a integral de y = y1,em relação à variável y, é

CyCy +=++

+

211

211

.

Visto que a integral da subtração de duas funções é igual à subtração das integrais dasfunções, temos que

� � � +−=−=− Cyxyydyxdydyyx2

)(2

.


�� =

=

−+=

−−=

=

=

−+=

−−=

�

��

−=�

�

�

�

��

�

�−=−

1

0

1

1

21

0

1

1

2

2

2

2 2)()(

x

x

xy

xy

x

x

xy

xyR

dxyxydxdyyxdxdyyx


( ) ( ) ( )��=

= ��

��

�

��

�

�

��

�

� −−−−−−��

�

�

��

�

� −−−=−1

0

22

2

22

2

211

211)(

x

xR

dxxxxxxxdxdyyx

( ) ( )��=

=��

��

� −+−+−−−=−1

0

22

22

211

211)(

x

xR

dxxxxxxxdxdyyx

��=

=

=

=

−=−=−1

0

21

0

2 2112)(x

x

x

xR

xdxxdxxxdxdyyx

Agora, temos de fazer a integral da função xx 21 2− em relação à variável x. Essaintegral é resolvida pelo método da substituição, conforme explicado no capítulo 6.


xdxduxdxduxdxduxu 2221 2 =−→−=→−=→−=

Ou seja,

( ) CxCuxdxx

CuCuCuduuduuduuxdxx

+−−=+−=−

+−=++−=++

−=−=−=−=−

�

� � ��+

+

2322

32

23

221

121

212

132

3221

23

22112

1)(21


( ) ( ) ( ) ( )3210

32)0(1)1(1

321

3221 2

32232

1

0

232

1

0

2 =−−=�

�� −−−−=�

�� −−=−

=

=

=

=�

x

x

x

x

xxdxx


32)()(

1

0

1

1

2

2

=��

�

�

��

�

�−=− � ��

=

=

++=

−−=

x

x

xy

xyR

dxdyyxdxdyyx



dxdyxy2

, sendo R a região do primeiro quadrante limitada pelacircunferência com centro na origem (0,0) e raio igual a 3.

Como xyxy21

2= , aplicando a propriedade I2, podemos escrever a integral “colocando

o fator de multiplicação ½ fora da integral”:

�� ==RRR

xydxdyxydxdydxdyxy21

21

2

A circunferência de centro na origem (0,0) e raio igual a 3 tem equação x2 + y2 = 32. Noprimeiro quadrante, temos x ≥ 0 e y ≥ 0, e a função correspondente ao arco de circun-ferência é 29 xy −= , conforme ilustrado na figura 9.8.

Figura 9.8. Região do 1º quadrante do plano xOy limitadapela circunferência de centro na origem e raio 3.

A região R também pode ser escrita como { }22 9030:),( xyexyxR −≤≤≤≤ℜ∈= .


� ��=

=

−=

=��

�

�

��

�

�===

3

0

9

0

2

21

21

21

2

x

x

xy

yRRR

dxxydyxydxdyxydxdydxdyxy


Precisamos resolver, inicialmente, a integral da função xy em relação à variável y. Comoestamos integrando em relação à variável y, pensamos que x representa, momentanea-mente, uma constante e, consequentemente, a função xy representa o produto de y poruma constante.

A integral de xy = xy1, em relação à variável y, é

CxyCyxCyx +=+=++

+2

211

21

211.

Sendo assim, para os extremos dados, temos que

[ ]�� =

=

−==

=

=

−=

=

=

=

−=

=

=�

�� =�

�

�

�

��

�

�=

3

0

90

23

0

9

0

23

0

9

0

222

21

21

21

21

21

2

x

x

xyy

x

x

xy

y

x

x

xy

yR

dxyxdxxydxxydydxdyxy

( ) ( ) ( )��=

=

=

=

=

=

−=−=�

�� −−=

3

0

33

0

23

0

22

2 9419

41)0(9

21.

21

2

x

x

x

x

x

xR

dxxxdxxxdxxxdxdyxy

Agora, temos de fazer a integral da função (9x − x3) em relação à variável x. Essaintegral é resolvida diretamente pela tabela, usando-se as propriedades I1 e I2 dadasno capítulo 4. Vejamos:

( ) ��

��

�−=−= ��

=

=

=

=

=

=

3

0

33

0

3

0

3 9419

41

2

x

x

x

x

x

xR

dxxxdxdxxxdxdyxy

��

�� −=��

�

��

��

��

�−−��

�

��

�−=�

��

−=

=

=�� 4

8129.9

41

4)0(

2)0(9

4)3(

2)3(9

41

429

41

2

42423

0

42 x

xR

xxdxdyxy

1681

481162

41

2=�

��

�� −=��

R

dxdyxy

Exemplo 9.9. Calcule �� −

R

y dxdye2

, sendo R o triângulo de vértices (0,0), (0,1) e (1,1).

A região R corresponde ao triângulo esboçado na figura 9.9. Essa região também podeser escrita como { }2R (x, y) : 0 x 1 e x y 1= ∈ ℜ ≤ ≤ ≤ ≤


Figura 9.9. Região { }110:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yxexyxR .

Devemos lembrar o que segue abaixo.

• A reta que passa pelos pontos (0,0) e (1,1) corresponde à função y = x.

• Na região triangular ilustrada na figura 9.9, a variável x varia desde x = 0até x = 1, enquanto a variável y varia desde y = x até y = 1 (reta vertical dealtura y = 1).


� ��=

=

=

=

−−

��

��

�=

1

0

122

x

x

y

xy

y

R

y dxdyedxdye

Precisaríamos resolver, inicialmente, a integral da função e−y2 em relação à variável y.No entanto, essa integral não é direta da tabela e não pode ser resolvida pelos méto-dos da substituição ou da integração por partes.

Há alguma alternativa para chegarmos a uma integral mais fácil de ser resolvida?

Sim, podemos reescrever a região de integração. Se fizermos uma rotação da figura 9.9,obteremos a região B mostrada na figura 9.10.

Nesse caso, a região B pode ser escrita como { }100:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yeyxyxB .


Figura 9.10. Região { }100:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yeyxyxB .

Se começarmos a integral pela variável x:

� �� =

=

=

=

−−−��

��

�==

1

0 0

222y

y

yx

x

y

B

y

R

y dydxedxdyedxdye

Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável x, pensamos que yrepresenta, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função e−y2 tam-bém representa “uma constante que pode ser colocada para fora da integral”. Sendoassim, segundo a propriedade I2 vista no capítulo 4, temos que �� −− = dxedxe yy 22

,sendo que tivemos a “vantagem” de ficar com uma integral diretíssima da tabela. Ou seja,

� �� =

=

=

=

−=

=

=

=

−=

=

=

=

−−−��

��

�=�

��

��

�=�

��

��

�==

1

0 0

1

0 0

1

0 0

122222

y

y

yx

x

yy

y

yx

x

yy

y

yx

x

y

B

y

R

y dydxedydxedydxeedxdye

Temos de fazer a integral da função 1 em relação em relação à variável x. Essa integralé resolvida diretamente pela tabela, pois “a integral de 1 em relação à variável x é x”.Vejamos:

[ ] ( )� � �� =

=

=

=

=

=

−−==

−=

=

=

=

−− =−==��

��

�=

1

0

1

0

1

00

1

0 0

22222

01y

y

y

y

y

y

yyyxx

yy

y

yx

x

y

R

y ydyedyyedyxedydxedxdye


Agora, a integral a ser resolvida é a integral de y em relação à variável y, que é feita pelométodo da substituição. Ou seja,

[ ] ( ) ��

�� −=−−=−== −=

=−

=

=

−− �� eeeeydyeydxdye

y

yy

y

y

y

R

y 1121

21

21 011

0

1

0

222

Em resumo:

� ��

�� −== −−

eedxdye

B

y

R

y 112122


dxdysenx3 , sendo { }22 010:),( xyexyxR ≤≤≤≤ℜ∈= .

A região R corresponde à área colorida em cinza na figura 9.11.

Figura 9.11. Região { }22 010:),( xyexyxR ≤≤≤≤ℜ∈= .


dxdysenxdxdysenxx

x

xy

yR� ��=

=

=

=��

�

�

��

�

�=

1

0 0

33

2


Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável y, pensamos que xrepresenta, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função senx3 tam-bém representa “uma constante que pode ser colocada para fora da integral”. Sendo assim,segundo a propriedade I2 vista no capítulo 4, temos que �� = dysenxdysenx 33 . Ou seja,

dxdysenxdxdysenxdxdysenxdxdysenxxy

y

x

x

xy

y

x

x

x

x

xy

yR��

�

�

��

�

�=

��

�

�

��

�

�=

��

�

�

��

�

�= ��

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

222

0

1

0

3

0

1

0

31

0 0

33 1

Precisamos fazer a integral da função 1 em relação em relação à variável y. Essaintegral é resolvida diretamente pela tabela, pois “a integral de 1 em relação à variá-vel y é y”. Vejamos:

[ ] ( )( ) ( )��=

=

=

=

==

=

=

=

=

=

=

=−==��

�

�

��

�

�=

1

0

231

0

2230

1

0

3

0

1

0

33 012

2 x

x

x

x

xyy

x

x

xy

y

x

xR

dxxsenxdxxsenxdxysenxdxdysenxdxdysenx

A integral a ser resolvida agora pode ser feita pelo método da substituição, conformevisto no capítulo 6.


dxxdudxxduxdxduxu 2223

333 =→=→=→=

Ou seja,

( )� �� +−=+−=+−==��

��= CxCuCusenududusenudxxsenx 323 cos

31cos

31cos

31

31

3)(


[ ] ( ) ( ) ( )1cos13111cos

310cos1cos

31cos

31)( 1

03

1

0

23 −=−−=−−=−= ==

=

=�

xx

x

x

xdxxsenx

Finalizando a integral original:

( )1cos1313 −=��

R

dxdysenx


Exemplo 9.11. Calcule ( )�� +R

dxdyxyx2 , sendo { }232 10:),( xyxexyxR ≤≤≤≤ℜ∈= .

A região R é a área colorida em cinza na figura 9.12.

Figura 9.12. Região { }232 10:),( xyxexyxR ≤≤≤≤ℜ∈= .

Na região R, a variável x varia desde x = 0 até x = 1, que são as abscissas dos pontosde intersecção entre as funções y1 = x3 e y2 = x2 (fazendo x3 = x2, obtemos que x = 0 oux = 1). A variável y varia desde y1 = x3 até y2 = x2. Sendo assim, podemos escrever:

( ) dxdyxyxdxdyxyxx

x

xy

xyR� ��=

=

=

=��

�

�

��

�

�+=+

1

0

22

2

3

)(


Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável y, pensamos que xrepresenta, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função x2 tam-bém representa uma constante. A função x.y é primeiramente interpretada como oproduto da variável y por uma constante.

A integral de x2, em relação à variável y, é

�� +== Cyxdyxdyx 222 .

A integral de xy, em relação à variável y, é

�� +== Cyxdyyxxydy2

21 .

Visto que a integral da soma de duas funções é igual à soma das integrais das funções,temos que

� � � ++=+=+ .2

)(2

222 Cyxyxxydydyxdyxyx

Para os extremos dados pela região R:

( ) �� =

=

=

=

=

=

=

=�

��

+=

��

�

�

��

�

�+=+

1

0

22

1

0

22

2

3

2

3 2)(

x

x

xy

xy

x

x

xy

xyR

dxyxyxdxdyxyxdxdyxyx

( ) ( )��=

= ��

��

��

��

�+−�

��

��

�+=+

1

0

2332

22222

22)(

x

xR

dxxxxxxxxxdxdyxyx

��=

=

++��

��

�−−+=+

1

0

2.332

2.2222

22)(

x

xR

dxxxxxxxdxdyxyx

��=

=��

��

�−−+=+

1

0

65

442

22)(

x

xR

dxxxxxxxdxdyxyx

��=

=

=

=��

��

�−−=��

�

��

�−−+=+

1

0

754

1

0

75

542

2222)(

x

x

x

xR

dxxxxdxxxxxdxdyxyx


Do capítulo 4, sabemos que:

� � �� −−=−−=��

��

�−− dxxdxxdxxdxxdxxdxxdxxxx 754

754

754

21

21

2222

CxxxCxxxdxxxx +−−=++

−+

−+

=��

��

�−−

+++

� 821

621

51721

1521

1422

865171514754

Prosseguindo com a integral definida:

1

0

8651

0

7542

821

621

522)(

=

=

=

=�

��

−−=��

�

��

�−−=+ ��

x

x

x

xR

xxxdxxxxdxdyxyx

24013

240152048)(

161

121

51

8)0(.

21

6)0(.

21

5)0(

8)1(.

21

6)1(.

21

5)1()(

2

8658652

=−−=+

−−=�

��

��

��

�−−−��

�

��

�−−=+

��

��

R

R

dxdyxyx

dxdyxyx


xydxdy2 , sendo { }xyxexyxR ≤≤≤≤ℜ∈= 22 10:),( .

Aplicando a propriedade I2, podemos escrever:

�� =RR

xydxdyxydxdy 22



Figura 9.13. Região { }xyxexyxR ≤≤≤≤ℜ∈= 22 10:),( .

Na região R, a variável x varia desde x = 0 até x = 1, que são as abscissas dos pontosde intersecção entre as funções y1 = x2 e xy =2 (fazendo xx =2 , obtemos x = 0 oux = 1). A variável y varia desde y1 = x2 até xy =2 . Sendo assim, podemos escrever:

� ��=

=

=

=��

�

�

��

�

�==

1

0 2

222x

x

xy

xyRR

dxxydyxydxdyxydxdy

Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável y, pensamos que xrepresenta, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função x.y éinterpretada como o produto da variável y por uma constante. Sendo assim,

.21

2112

2111 CxyCyxCyxdyyxxydy +=+=+

+==

+

��

Ou seja,

[ ]�� =

=

==

=

=

=

=

=

=

=

=

��

��=

��

�

�

��

�

��

�� =

��

�

�

��

�

�==

1

0

21

0

21

0

2

22 212

212222

x

x

xyxy

x

x

xy

xy

x

x

xy

xyRR

dxyxdxxydxxydyxydxdyxydxdy

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )��=

=

=

=

=

=

=

=

−=−=−=��

��

��

�� −=

1

0

521

0

41111

0

41

0

222

21.22

x

x

x

x

x

x

x

xR

dxxxdxxxxxdxxxxdxxxxxydxdy


Agora, temos de resolver, em relação à variável x, a integral da diferença x2 − x5. Essaintegral equivale, em relação à variável x, à subtração entre a integral de x2 e a integralde x5, que são resolvidas diretamente pela tabela.

Vejamos:

( ) CxxCxxdxxdxxdxxx +−=++

−+

=−=−++

� � � 631512

6315125252

Finalizando a integral original:

( )61

612

61

31

6)0(

3)0(

6)1(

3)1(

632

63631

0

631

0

52 =−=−=��

��

�−−��

�

��

�−=�

��

−=−=

=

=

=

=��

x

x

x

xR

xxdxxxxydxdy

Exemplo 9.13. Calcule ( )�� −R

dxdyxyx 32 , sendo R x,y x x y x= ∈ℜ ≤ ≤ ≤ ≤ −{ }( ) :2 0 1 2e.


Figura 9.14. Região { }xyxexyxR −≤≤≤≤ℜ∈= 210:),( 2 .


Na região R, a variável x varia desde x = 0 até x = 1. A variável y varia desde xy =1 atéy2 = 2 − x. Sendo assim, podemos escrever:

( ) ( )� ��=

=

−=

=��

��

�−=−

1

0

222 33

x

x

xy

xyR

dxdyxyxdxdyxyx

Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável y, pensamos que xrepresenta, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, x2 representauma constante e 3xy representa o produto da variável y por uma constante.

A integral de x2 em relação à variável y é

�� +== Cyxdyxdyx 222 .

A integral de 3xy em relação à variável y é

�� +== Cyxdyyxxydy2

3332

1 .

Visto que a integral da subtração de duas funções é igual à subtração das integrais dasfunções, temos que

� � � +−=−=− .2

33)3(2

222 Cyxyxxydydyxdyxyx


( ) ( ) �� =

=

−=

=

=

=

−=

=��

�

�

��

�

��

��

−=�

��

��

�−=−

1

0

222

1

0

222

2333

x

x

xy

xy

x

x

xy

xyR

dxyxyxdxdyxyxdxdyxyx

( ) ��=

=��

��

��

��

�−−��

�

��

� −−−=−1

0

22

222

2)(3)(

2)2(3)2(3

x

xR

dxxxxxxxxxdxdyxyx

( ) ( )��=

=��

��

��

�� −−��

�

��

� +−−−=−1

0

212

2322

23

244323

x

xR

dxxxxxxxxxxdxdyxyx


( ) ( )��=

=

+

��

��

��

��

�−−��

�

��

� +−−−=−1

0

22

1432322

23

23121223

x

xR

dxxxxxxxxdxdyxyx

( ) ��=

=��

��

�+−−+−−=−

1

0

22

532322

23

236623

x

xR

dxxxxxxxxdxdyxyx

( ) ��=

=��

��

�+−−−−=−

1

0

22

53322

23

23683

x

xR

dxxxxxxxdxdyxyx

( ) ��=

=��

��

�−−−−++=−

1

0

253322

2 62

322

3163x

xR

dxxxxxxxdxdyxyx

( ) � ��=

=

=

=

��

�� −−−=��

�

��

�−−−=−

1

0

1

0

25322

5322 6

25

2196

25

2193

x

x

x

xR

dxxxxxdxxxxxdxdyxyx

Agora, temos de resolver uma integral simples, em relação à variável x. Essa integral édiretíssima da tabela. Vejamos:

( )1

0

27

243

1

0

125243

2

273

85

619

1252

642

532

193

=

=

=

=

+

��

��

−−−=

��

��

+−−−=−��

x

x

x

xR

xxxxxxxxdxdyxyx

( )1

0

272

432

723

85

6193

=

=�

��

−−−=−��

x

xR

xxxxdxdyxyx

( ) ��

��

�−−−−��

�

��

�−−−=−�� 2

7243

272

432 )0(

72)0(3

8)0(5

6)0(19)1(

72)1(3

8)1(5

6)1(193

R

dxdyxyx

( )168125

336250

3369610082101064

723

85

61932 −=−=−−−=−−−=−��

R

dxdyxyx


ydxdyx cos4 sendo R a região limitada pelo gráfico da parábola

y = x2 e por x = 1 e y = 0.

Se aplicarmos a propriedade I2 vista no capítulo 4, podemos escrever:

�� =RR

ydxdyxydxdyx cos4cos4


A região R, que pode ser escrita como { }22 010:),( xyexyxR ≤≤≤≤ℜ∈= , é aárea colorida em cinza indicada na figura 9.15.

Figura 9.15. Região { }22 010:),( xyexyxR ≤≤≤≤ℜ∈= .

Na região R, a variável x varia desde x = 0 até x = 1. A variável y varia desde y = 0 atéy = x2. Sendo assim, podemos escrever:

� ��=

=

=

=��

�

�

��

�

�==

1

0 0

2

cos4cos4cos4x

x

xy

yRR

dxydyxydxdyxydxdyx

Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável y, pensamos que xrepresenta, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função x.cos yé interpretada como o produto de uma constante pela função cosseno de y.

A integral de x.cos y, em relação à variável y, é

�� +== Cxsenyydyxydyx coscos. .


Sendo assim, para o caso em estudo, temos que

[ ]( )�� =

=

==

=

=

=

=

=��

�

�

��

�

�==

1

00

1

0 0

22

4cos4cos4cos4x

x

xyy

x

x

xy

yRR

dxsenyxdxydyxydxdyxydxdyx

( ) ( ) ��=

=

=

=

=

=

=

=

==−=−=1

0

21

0

21

0

21

0

2 )(440404cos4x

x

x

x

x

x

x

xR

xdxsenxdxxsenxdxsenxxdxsensenxxydxdyx

Agora, temos de resolver uma integral simples, em relação à variável x, feita pelométodo da substituição, conforme visto no capítulo 6.


xdxduxdxduxdxduxu =→=→=→=

2222

Ou seja,

( )� �� +−=+−=+−==��

��= CxCuCusenududusenuxdxsenx 22 cos

21cos

21cos

21

21

2)(


[ ] ( ) ( ) ( )1cos12111cos

210cos1cos

21cos

21)( 1

02

1

0

2 −=−−=−−=−= ==

=

=�

xx

x

x

xxdxsenx

Finalizando:

( ) ( )1cos121cos121.4)(4cos4

1

0

2 −=−== ��=

=

x

xR

xdxsenxydxdyx



dxdyy3

3

sendo R a região limitada por y = x − 6 e x = y2.

Sabendo que 33

31

3yy

= e que a integral do produto de uma constante por uma funçãoé igual ao produto da constante pela integral da função (propriedade I2), podemosescrever:

�� ==RRR

dxdyydxdyydxdyy 333

31

31

3

Vamos calcular os pontos I1 e I2 que são as intersecções entre y = x − 6 e x = y2. Vejamos:

y = x − 6 e x = y2 → y = y2 − 6 → y2 − y − 6 = 0

Vamos utilizar a fórmula de Báskaras para resolver a equação do segundo grau acima.

Δ = b2 − 4.a.c = (− 1)2 − 4.(1).(− 6) = 1 + 24 = 25

Logo, os pontos I1 e I2 têm, respectivamente, ordenadas iguais a y1 = − 2 e y2 = 3.

A abscissa correspondente a y1 = − 2 é x1 = (− 2)2 = 4. Logo, I1 = (4,− 2).

A abscissa correspondente a y2 = 3 é x2 = (3)2 = 9. Logo, I2 = (9,3).

Na região R, a variável y varia desde y = − 2 até y = 3. A variável x varia desde a funçãox1 = y2 até a função x2 = 6 + y.

Essa região R, que pode ser escrita como , éa área colorida em cinza na figura 9.16. No gráfico a seguir, utilizamos o eixo x como oeixo vertical e o eixo y como o eixo horizontal.


Figura 9.16. Região { }632:),( 22 +≤≤≤≤−ℜ∈= yxyeyyxR .

Sendo assim, podemos escrever:

� ��=

−=

+=

=��

��

�

==

3

2

633

3

231

31

3

y

y

yx

yxRR

dydxydxdyydxdyy

Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável x, pensamos que yrepresenta, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função y3 éinterpretada como uma constante. A integral de y3 em relação à variável x é

Cxydxydxydxy +=== �� 3333 1 .

Ou seja,

[ ] ( ) ( )( )�� =

−=

=

−=

+=

=

=

−=

+=

=

−+==��

��

�

==

3

2

233

2

633

2

633

3

631

31

31

31

3 2

2

y

y

y

y

yxyx

y

y

yx

yxRR

dyyyydyxydydxydxdyydxdyy

( ) ( )��=

−=

=

−=

−+=−+=3

2

5433

2

233

6316

31

3

y

y

y

yR

dyyyydyyyydxdyy


Agora, temos de resolver uma integral simples, em relação à variável y, feita pelaaplicação das propriedades P1 e P2, dadas no capítulo 4, e da tabela de integraisimediatas. Ou seja,

( )3

2

6543

2

6543

2

5433

6523

31

6546

316

31

3

=

−=

=

−=

=

−=�

��

−+=�

��

−+=−+= ��

y

y

y

y

y

yR

yyyyyydyyyydxdyy

��

��

��

��

� −−−+−−��

��

�−+=�� 6

)2(5

)2(2

)2(36)3(

5)3(

2)3(3

31

3

6546543

R

dxdyy

��

�� +−+++−=�

��

�� ++−−+=�� 6

647295

322432

4824331

664

532

248

6729

5243

2243

31

3

3

R

dxdyy

9125

30332516502925

31

6665

5275

2195

31

3

3

=��

�� −+=�

��

�� −+=��

R

dxdyy

Exercícios Propostos – Capítulo 9Exercícios Propostos – Capítulo 9Exercícios Propostos – Capítulo 9Exercícios Propostos – Capítulo 9Exercícios Propostos – Capítulo 9

Exercício 9.1. Calcule ��R

dxdy4 , sendo { }5311:),( 2 ≤≤≤≤−ℜ∈= yexyxR .

Exercício 9.2. Calcule �� +R

dxdyyx )32( , sendo { }1131:),( 2 ≤≤−≤≤ℜ∈= yexyxR .

Exercício 9.3. Calcule �� −R

dxdyxyx )5( 42 , sendo { }5211:),( 2 ≤≤≤≤−ℜ∈= yexyxR


senydxdyx.2 , sendo ��

�� ≤≤≤≤ℜ∈=

6041:),( 2 πyexyxR .


dxdyyx

2, sendo R o quadrado [1,2]x[0,1].


xydxdyye3 , sendo R o retângulo [1,3]x[0,1].


senxydxdyy3

, sendo R o retângulo [ ] �

�� ππ ,

21,0 x .

Exercício 9.8. Calcule ��

�� +

R

dxdyyx2

, sendo { }xyxexyxR 220:),( 22 ≤≤≤≤ℜ∈= .


Exercício 9.9. Calcule �� −

R

y dxdye2

8 , sendo R a região limitada por y = 4x, y = 4 e x = 0.

Exercício 9.10. Calcule ( )�� −−R

dxdyyx823 , sendo R a região limitada por y = 4 e y = x2.

Exercício 9.11. Calcule ( )��R

dxdyyxseny2 , sendo R a região limitada por x = 0, 2π=y

e y = x2.


xdxdyxy ln3 , sendo R o retângulo [1,2]x[−1,1].


dxdyy2

5 , sendo R a região limitada por y = 3x − 2 e y = x2.


xsenydxdy sendo R a região limitada pelo gráfico da parábolay = x2 e por x = 1 e y = 0.

Exercício 9.15. Calcule ��

��

�

R

dxdyyx

22 sendo R a região limitada por y = x, x

y 1= e x = 2

Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 9Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 9Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 9Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 9Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 9

Exercício 9.1.16.

Exercício 9.2. 16.

Exercício 9.3. 10.


15 − .

Exercício 9.5. 1627ln2 .

Exercício 9.6. e3 − 3e + 2.


�� +

21

31 π

.



.

Exercício 9.9. 1 − e−16.


.

Exercício 9.11. π − 2.

Exercício 9.12. 0.

Exercício 9.13. 1.

Exercício 9.14. ( )1121 sen− .

Exercício 9.15. 9.


Integrais Duplas – Mudança de VIntegrais Duplas – Mudança de VIntegrais Duplas – Mudança de VIntegrais Duplas – Mudança de VIntegrais Duplas – Mudança de Variávelariávelariávelariávelariável

Suponha que tenhamos dificuldades para resolver a seguinte integral: .),( dxdyyxfR��

Se for possível resolvê-la por meio de uma mudança de variáveis, teremos o seguinte:

( ) dudvJvufdxdyyxfBR

)(.),(),( ϕϕ�� =

Na igualdade acima,

• ϕ(u, v) = (x, y) é a transformação que leva as variáveis (x, y) até as variáveis (u, v);

• J(ϕ) é o jacobiano da transformação ϕ(u, v) = (x, y);

• a região B, nas variáveis (u, v), é a região relacionada com a região R nas variáveisoriginais (x, y).

Na mudança de variáveis na integral dupla, temos de fazer o que segue abaixo.

• Trocar (x, y) por (u, v), sendo x uma função das variáveis u e v (x = x(u, v)) ey uma função das variáveis u e v (y = y(u, v)).

• Chamar de (x, y) = ϕ(u, v) a transformação que leva (x, y) a (u, v).

• Calcular o jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(u, v).

• Substituir dxdy em dxdyyxfR

),(�� por J(ϕ)dudv, ou seja, dxdy = |J(ϕ)|dudv.


Para calcularmos o jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(u, v), precisamos dasderivadas parciais de x e de y em relação às variáveis u e v, pois

��

��

∂∂

∂∂−�

��

��

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=uy

vx

vy

ux

vy

uy

vx

ux

J ..)(ϕ

Muitas vezes, a mudança de coordenadas na integral dupla é feita com coordenadaspolares, conforme veremos em vários exemplos. Essa mudança de variáveis é tal que(x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ), ou seja, x = ρ.cosθ e y = ρ.senθ .

As derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis ρ e θ são:

θρθρθ

θθρ

θρ

θρθρθ

θθρ

θρ

cos.)(cos.1.

.)(coscos.1cos.

==∂∂==

∂∂→=

−=−=∂∂==

∂∂→=

yesensenyseny

sensenxexx

O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ) é:

ρρθθρθρθρϕ

θθρθθρθρθθρθ

θρ

θρϕ

==+=+=

−−=−

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

1.)(coscos)(

)).(.(cos.cos.cos..cos

)(

2222 sensenJ

sensensen

senyy

xx

J

Na mudança de variáveis utilizando coordenadas polares, temos que:

dxdy = |J(ϕ)|.dρdθ = ρdρdθ

Seguem algumas revisões úteis para uso em casos de mudanças de variáveis utilizan-do coordenadas polares.

A equação da circunferência de raio r com centro na origem (0,0), ilustrada na figura10.1, é x2 + y2 = r2.

201201201201201Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável

Figura 10.1. Circunferência de raio r com centro na origem (0,0).

A circunferência de raio r com centro na origem (0,0) limita o círculo de mesmo raio rcom centro na origem, conforme ilustrado na figura 10.2. A inequação referente aocírculo de raio r que passa pela origem (0,0) é x2 + y2 ≤ r2.

Figura 10.2. Círculo de raio r com centro na origem (0,0).

A função relacionada à semicircunferência de raio r com centro na origem (0,0), paray ≥ 0, ilustrada na figura 10.3, é 22 yry −+= ou simplesmente .22 yry −=


Figura 10.3. Semicircunferência de raio r com centro na origem (0,0), y ≥≥≥≥≥ 0.

A função relacionada à semicircunferência de raio r com centro na origem (0,0), paray ≤ 0, ilustrada na figura 10.4, é 22 yry −−= .

Figura 10.4. Semicircunferência de raio r com centro na origem (0,0), y ≤≤≤≤≤ 0.

A equação da circunferência de raio r com centro no ponto (a,b), ilustrada na figura10.5, é (x − a)2 + (y − b)2 = r2.

Figura 10.5. Circunferência de raio r com centro no ponto (a,b).



xdxdy , sendo R o disco de centro na origem (0,0) e raio 5.

A região R é a área colorida em cinza na figura 10.6. Nessa figura, também estãoindicadas as coordenadas polares que identificam um ponto qualquer pertencente àregião em estudo.

Figura 10.6. Disco de centro na origem e raio 5,incluindo indicação de coordenadores polares.

Observando a figura 10.6, verificamos que, em um disco (círculo) de centro na origem(0,0) e de raio 5, a variável θ varia desde θ = 0 até θ = 2π (ou seja, 360º). A variável ρvaria desde ρ = 0 até ρ = 5.

Em termos de coordenadas polares, a região em estudo é representada por{ }πθρθρ 2050:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= eB .

A mudança de variáveis a ser feita é tal que (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ).

Podemos determinar as derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis ρ e θ,conforme segue abaixo.

θρθρθ

θθρ

θρ

θρθρθ

θθρ

θρ

cos.)(cos.1.

.)(coscos.1cos.

==∂∂==

∂∂→=

−=−=∂∂==

∂∂→=

yesensenyseny

sensenxexx



ρρθθρθρθρϕ


θρ

θρϕ

==+=+=

−−=−

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

1.)(coscos.)(


)(

2222 sensenJ

sensensen

senyy

xx

J

Na mudança de variáveis, temos que: dxdy = |J(ϕ)|.dρdθ = ρdρdθ.

Sendo assim,

� �� =

=

=

=��

��

�===

πθ

θ

ρ

ρ

θρρθθρθρθρρθρ2

0

5

0

22 .coscos.cos. ddddddxdxdyB BR

Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável ρ, pensamos que θrepresenta, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função cosθtambém é interpretada como uma constante. Desse modo, primeiramente, a funçãocosθ.ρ2 é interpretada como uma constante que multiplica ρ elevado ao quadrado.Logo, em relação à variável ρ, a integral indefinida de cosθ.ρ2 é

( ) CCCdd +=+=++

==+

� � 3312

22 cos31

3.cos

12.coscos)(cos ρθρθρθρρθρρθ .

Aplicando os extremos da região de integração e a propriedade I1, que afirma que aintegral do produto da constante por uma função é igual ao produto da constante pelaintegral da função, temos o seguinte:

[ ] θρθθρρθθρρθρπθ

θ

ρρ

πθ

θ

ρ

ρ

dddddxdxdyBR

�� =

=

==

=

=

=

=

=��

��

�==

2

0

50

32

0

5

0

2 cos31.cos.cos.

[ ] ��=

=

=

=

== =−==

ππθ

θ

πθ

θ

ρρ θθθθθρθ

2

0

2

0

332

0

50

3 cos3

125)05(cos31cos

31 dddxdxdy

R


Agora, precisamos resolver uma integral simples, em relação à variável θ, feita direta-mente pela tabela. Ou seja,

[ ] 0)00.(3

125)02(3

1253

125cos3

1252

0

2

0

=−=−=== �� sensensendxdxdyR

πθθθππ


xydxdy , sendo R a região do primeiro quadrante limitada

pelas circunferências x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 9.

A região R é a área colorida em cinza na figura 10.7. Trata-se da área, no primeiroquadrante, limitada inferiormente pela circunferência de centro (0,0) e raio 2, ou seja, deequação x2 + y2 = 22, e limitada superiormente pela circunferência de centro (0,0) e raio3, ou seja, de equação x2 + y2 = 32.

Figura 10.7. Região do 1o quadrante limitada pelascircunferências x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 9.

Observando a figura 10.7, verificamos que, na região colorida em cinza, a variável θvaria desde θ = 0 até θ = π/2 (ou seja, 90º). A variável ρ varia desde ρ = 2 até ρ = 3.

Em termos de coordenadas polares, a região em estudo é representada por{ }2032:),( 2 πθρθρ ≤≤≤≤ℜ∈= eB .




θρθρθ

θθρ

θρ

θρθρθ

θθρ

θρ

cos.)(cos.1.

.)(coscos.1cos.

==∂∂==

∂∂→=

−=−=∂∂==

∂∂→=

yesensenyseny

sensenxexx


ρρθθρϕ


θρ

θρϕ

==+=

−−=−

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

1.)(cos)(


)(

22 senJ

sensensen

senyy

xx

J


A função a ser integrada é xy = (ρ.cosθ ).(ρ.senθ ) = ρ2.cosθ.senθ .

Sendo assim,

�� ==BBR

ddsenddsenxydxdy θρθθρθρρθθρ .cos...cos. 32

θρρθθπθ

θ

ρ

ρ

ddsenxydxdyR

� ��=

=

=

=��

��

�=

2

0

3

2

3..cos

Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável ρ, pensamosque θ representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a fun-ção cosθ.senθ é interpretada como uma constante. Desse modo, primeiramente, afunção cosθ.senθ.ρ3 é interpretada como uma constante que multiplica ρ elevadoao cubo. Ou seja,


�� =

=

=

=

=

=

=

=�

��

=�

��

��

�=

2

0

3

2

42

0

3

2

3

4.cos..cos

πθ

θ

ρ

ρ

πθ

θ

ρ

ρ

θρθθθρρθθ dsenddsenxydxdyR

[ ] ( ) ��=

=

=

=

=

=

=−=−=2

0

2

0

2

0

44 .cos4651681.cos

41)2()3(.cos

41

πθ

θ

πθ

θ

πθ

θ

θθθθθθθθθ dsendsendsenxydxdyR

Agora, temos de resolver um integral simples, em relação à variável θ, feita pelo méto-do da substituição, conforme descrito no capítulo 6.


θθθθ

θ dduddusenu coscos =→=→=

Ou seja,

CsenCsenCuududsendsen +=+=+=== �� 22)(

2cos..cos

222 θθθθθθθθ


[ ] ( )2101

210

221

21

2.cos 222

02

2

0

22

0

=−=��

�� −==�

��

= =

=

=

=

=

=� sensensensendsen πθθθθθ

πθθ

πθ

θ

πθ

θ

Finalizando:

865

21.

465.cos

465 2

0

=== ��=

=

πθ

θ

θθθ dsenxydxdyR


dxdyy)6( , sendo R a região do primeiro quadrante limitada


A região R é a mesma área colorida em cinza na figura 10.7. Ou seja, trata-se da área, noprimeiro quadrante, limitada inferiormente pela circunferência de centro (0,0) e raio 2,ou seja, de equação x2 + y2 = 22, e limitada superiormente pela circunferência de centro


(0,0) e raio 3, ou seja, de equação x2 + y2 = 33. Nessa região colorida em cinza, a variávelq varia desde θ = 0 até θ = π/2 (ou seja, 90º). A variável ρ varia desde ρ = 2 até ρ = 3.

Em termos de coordenadas polares, a região em estudo é representada por{ }2032:),( 2 πθρθρ ≤≤≤≤ℜ∈= eB .



θρθρθ

θθρ

θρ

θρθρθ

θθρ

θρ

cos.)(cos.1.

.)(coscos.1cos.

==∂∂==

∂∂→=

−=−=∂∂==

∂∂→=

yesensenyseny

sensenxexx


ρρθθρϕ


θρ

θρϕ

==+=

−−=−

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

1.)(cos)(


)(

22 senJ

sensensen

senyy

xx

J


A função a ser integrada é (6 − y) = (6 − ρsenθ ).

Sendo assim,

�� −=−=−BBR

ddsenddsendxdyy θρθρρθρρθρ )6().6()6( 2

θρθρρπθ

θ

ρ

ρ

ddsendxdyyR

� ��=

=

=

=��

��

�−=−

2

0

3

2

2 )6()6(


Vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável ρ, logo pensamos que θrepresenta, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função senθ éinterpretada como uma constante.

Como a derivada da subtração de duas funções é a subtração das derivadas dasfunções, temos a seguinte derivada indefinida relacionada à situação em estudo:

�� −=−=− ρθρρρρθρρρρθρρ dsenddsenddsen 222 66)6(

Na primeira integral, temos de integrar o produto da constante 6 por ρ, em relação àvariável ρ. Como a integral do produto da constante por uma função é o produto daconstante pela integral da função:

� �� == ρρρρρρ ddd 1666

A integral a ser resolvida pode ser feita pelo uso da tabela direto da tabela:

CCCdd +=+=++

== ��+

2211

1 32

611

666 ρρρρρρρ

Na segunda integral, temos de integrar o produto de senθ por ρ2, em relação à variávelρ. Ou seja, consideramos que senq representa, momentaneamente, uma constante.Como a integral do produto da constante por uma função é o produto da constantepela integral da função:

�� = ρρθρθρ dsendsen 22

A integral a ser resolvida pode ser feita pelo uso da tabela direto da tabela:

CsenCsenCsendsendsen +=+=++

==+

�� 3312

22 )(31

312ρθρθρθρρθρθρ

Logo,

Csendsenddsen +−=−=− �� 3222 )(3136)6( ρθρρθρρρρθρρ


Voltando à integral dupla:

θρθρθρθρρπθ

θ

ρ

ρ

πθ

θ

ρ

ρ

dsenddsendxdyyR

�� =

=

=

=

=

=

=

=��

��

��

�� −=�

��

��

�−=−

2

0

3

2

322

0

3

2

2 )(313)6()6(

θθθπθ

θ

dsensendxdyyR

��=

=��

��

��

�� −−�

��

�� −=−

2

0

3232 2)(312.33)(

313.3)6(

( ) θθθθθθπθ

θ

πθ

θ

dsensendsensendxdyyR

��=

=

=

=

��

�� +−−=��

�

��

��

�� −−−=−

2

0

2

0 3812927

3812927)6(

θθθθπθ

θ

πθ

θ

dsendsendxdyyR

��=

=

=

=

��

�� −=��

�

��

��

�� +−+=−

2

0

2

0 31915

382715)6(

Agora, temos de fazer uma integral simples da variável θ. Vamos resolver, primeiramen-te, a integral indefinida relacionada com a integral definida acima. Começamos aplican-do a propriedade que afirma que “a integral da soma é a soma das integrais”:

�� −=��

�� − θθθθθ dsenddsen

31915

31915

Como a integral do produto da constante por uma função é o produto da constantepela integral da função:

� �� −=−=��

�� − θθθθθθθθ dsenddsenddsen

31915

31915

31915

As integrais a serem resolvidas podem ser feitas pelo uso da tabela direto da tabela:

( ) CCdsenddsen ++=+−−=−=��

�� − � �� θθθθθθθθθ cos

31915cos

31915

31915

31915


Voltando à integral definida:

2

0

2

0

cos3

19153

1915)6(πθ

θ

πθ

θ

θθθθ=

=

=

=�

�� +=�

��

�� −=− �� dsendxdyy

R

��

�� +−�

��

�� +=�

��

�� +−�

��

�� +=−�� 1.

31900.

319

2150cos

3190.15

2cos

319

215)6( πππ

R

dxdyy

319

215)6( −=−�� π

R

dxdyy


dxdyyxsen )( 22 , sendo R o semicírculo x2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0.

A região R é a área colorida em cinza na figura 10.8. Nessa figura, também estãoindicadas as coordenadas polares que identificam um ponto pertencente à regiãoem estudo.

Figura 10.8. Semicírculo x2 + y2 ≤≤≤≤≤ 1, y ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ 0.

Em termos de coordenadas polares, a região em estudo é representada por{ })010:),( 2 πθρθρ ≤≤≤≤ℜ∈= eB .



θρθρθ

θθρ

θρ

θρθρθ

θθρ

θρ

cos.)(cos.1.

.)(coscos.1cos.

==∂∂==

∂∂→=

−=−=∂∂==

∂∂→=

yesensenyseny

sensenxexx



ρρθθρϕ


θρ

θρϕ

==+=

−−=−

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

1.)(cos)(


)(

22 senJ

sensensen

senyy

xx

J


A função seno da soma de x ao quadrado com y ao quadrado pode ser escrita daseguinte maneira, em coordenadas polares:

( ) ( )( ) ( )θρθρθρθρ 22222222 .cos..cos.)( sensensensenyxsen +=+=+

( )( ) ( ) 2222222 1.cos)( ρρθθρ sensensensenyxsen ==+=+

Sendo assim,

� �� =

=

=

=��

��

�===+

1

0 0

22222 )()(ρ

ρ

πθ

θ

ρθρρθρρρθρρρ ddsenddsenddsendxdyyxsenB BR

Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável θ, pensamos que ρrepresenta, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função ρsenρ2

é interpretada como uma constante. Ou seja,

[ ]

ρρρπρπρρ

ρθρρρθρρθρρρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

πρ

ρ

πθ

θ

dsendsendxdyyxsen

dsenddsenddsendxdyyxsen

R

BR

��

�� =

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=−=+

=��

��

�==+

1

0

21

0

222

1

00

21

0 0

2222

).0()(

.)()(

Agora, temos de resolver uma integral simples, em relação à variável ρ, feita pelométodo da substituição, conforme discutido no capítulo 6.



ρρρρρρ

ρ dduddudduu =→=→=→=

2222

Ou seja,

( )� �� +−=+−=+−==��

��= CCuCusenududusenudsen 22 cos

21cos

21cos

21

21

2)( ρρρρ


[ ] ( ) ( ) ( )1cos12111cos

210cos1cos

21cos

21)( 221

02

1

0

2 −=−−=−−=−= ==

=

=�

ρρ

ρ

ρ

ρρρρ dsen

Finalizando:

( )1cos12

)(1

0

222 −==+ ��=

=

πρρρπρ

ρ

dsendxdyyxsenR

Exemplo 10.5. Calcule �� +

R

yx dxdye22

, sendo

{ }xyxeyxyxR ≤≤−≤+≤ℜ∈= 161:),( 222 .



Figura 10.9. Região { }xyxeyxyxR ≤≤−≤+≤ℜ∈= 161:),( 222 .

Em termos de coordenadas polares, a região em estudo é representada por{ }4441:),( 2 πθπρθρ ≤≤−≤≤ℜ∈= eB .



θρθρθ

θθρ

θρ

θρθρθ

θθρ

θρ

cos.)(cos.1.

.)(coscos.1cos.

==∂∂==

∂∂→=

−=−=∂∂==

∂∂→=

yesensenyseny

sensenxexx


ρρθθρϕ


θρ

θρϕ

==+=

−−=−

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

1.)(cos)(


)(

22 senJ

sensensen

senyy

xx

J



A função a ser integrada é

22222222222 1.)(cos.cos. ρρθθρθρθρ eeeee sensenyx ==== +++ .

Sendo assim,

ρθρθρρρ

ρ

πθ

πθ

ρρ ddeddedxdyeBR

yx � ��=

=

=

−=

+

��

�

�

��

�

�==

4

1

4

4

2222

Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável θ, pensamos que ρrepresenta, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função eρ2ρtambém é interpretada como uma constante. Ou seja,

[ ] ρππρρθρρθρθρρρ

ρ

ρρ

ρ

πθπθ

ρρ

ρ

πθ

πθ

ρρ dededdeddedxdyeBR

yx �� =

=

=

=

=−=

=

=

=

−=

+�

��

��

�� −−�

��

��==

��

�

�

��

�

�==

4

1

4

1

4

4

4

1

4

444

222222

ρρπρπρρππρρ

ρ

ρρ

ρ

ρρ

ρ

ρ dedededxdyeR

yx ��=

=

=

=

=

=

+ =��

��=�

��

�� +=

4

1

4

1

4

1

22222

2244

Agora, temos de resolver um integral simples, em relação à variável ρ, feita pelo méto-do da substituição, conforme discutido no capítulo 6.


ρρρρρρ

ρ dduddudduu =→=→=→=

2222

Ou seja,

� �� +=+==��

��= CeCedueduede uuu 22

21

21

21

2ρρ ρρ


[ ] ( ) ( )eeeeede −=−===

=

=

=� 16144

1

4

1 21

21

21 2222 ρ

ρρ

ρ

ρ

ρ ρρ


Finalizando:

( ) ( )eeeededxdyeR

yx −=−== ��=

=

+ 16164

1 421.

22222 ππρρπ ρ

ρ

ρ

Exemplo 10.6. Calcule ��+

R

dxdyyx

4

22

, sendo

{ }01)1(:),( 222 ≥≤+−ℜ∈= yeyxyxR .

Se aplicarmos a propriedade I2 (“a integral do produto da constante por uma função éo produto da constante pela integral da função”), podemos escrever:

�� +=+=+

RRR

dxdyyxdxdyyxdxdyyx 2222

22

41

41

4

A inequação (x − 1)2 + y2 ≤ 1 corresponde ao círculo de raio 1 e centro em (1,0). Seadicionarmos a condição y ≥ 0, estamos pensando na parte superior do círculo, ouseja, no semicírculo de inequação (x − 1)2 + y2 ≤ 1 que ocupa o primeiro quadrante,conforme ilustrado na região colorida em cinza na figura 10.10. Nessa figura, tambémestão indicadas as variáveis ρ e θ que serão usadas na mudança de variáveis.

Figura 10.10. Região { }01)1(:),( 222 ≥≤+−ℜ∈= yeyxyxR .



Se aplicarmos a mudança de variável acima para uma circunferência de centro (1,0) eraio igual 1, ou seja, de equação (x − 1)2 + y2 = 1, temos os desenvolvimentos abaixo.

021121121)1( 22222222 =+−→−=+−→=++−→=+− yxxyxxyxxyx

Se x2 − 2x + y2 = 0, então

0).()cos.(2)cos.( 22 =+− θρθρθρ sen .

Ou seja,

0cos.2).(cos0.cos.2cos. 2222222 =−+→=+− θρθθρθρθρθρ sensen

Da trigonometria, sabemos que cos2θ + sen2θ = 1. Logo,

θρρθρρθρθθρ cos.20cos.21.0cos.2).(cos 22222 =→=−→=−+ sen

Podemos escrever: ρ = 2 cosθ.

Ou seja, a variável θ varia desde 0 até π/2 e a variável ρ varia desde 0 até ρ = 2.cosθ.

Em termos de coordenadas polares, a região em estudo é representada por{ }20cos20:),( 2 πθθρθρ ≤≤≤≤ℜ∈= eB .


θρθρθ

θθρ

θρ

θρθρθ

θθρ

θρ

cos.)(cos.1.

.)(coscos.1cos.

==∂∂==

∂∂→=

−=−=∂∂==

∂∂→=

yesensenyseny

sensenxexx



ρρθθρϕ


θρ

θρϕ

==+=

−−=−

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

1.)(cos)(


)(

22 senJ

sensensen

senyy

xx

J



( ) ( ) 1.)(cos.cos..cos. 222222222222 ρθθρθρθρθρθρ =+=+=+=+ sensensenyx

ρ=+ 22 yx

Sendo assim,

�� ==+=+=+

BBRRR

dddddxdyyxdxdyyxdxdyyx θρρθρρρ 22222

22

41.

41

41

41

4

� ��=

=

=

=��

��

�==

+ 2

0

cos2

0

2222

41

41

4

πθ

θ

θρ

ρ

θρρθρρ dddddxdyyx

BR

Vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável ρ. Ou seja,

[ ]�� =

=

==

=

=

=

=

=

=

=

=

=�

��

=�

��

��

�=

+ 2

0

cos20

32

0

cos2

0

32

0

cos2

0

222

31

41

341

41

4

πθ

θ

θρρ

πθ

θ

θρ

ρ

πθ

θ

θρ

ρ

θρθρθρρ dddddxdyyx

R

[ ] ( ) ( )[ ] ��=

=

=

=

=

=

== =−==

+ 2

0

32

0

332

0

cos20

322

cos81210cos2

121

31.

41

4

πθ

θ

πθ

θ

πθ

θ

θρρ θθθθθρ ddddxdy

yx

R

��=

=

=

=

==+ 2

0

32

0

322

cos32cos8.

121

4

πθ

θ

πθ

θ

θθθθ dddxdyyx

R

Agora, temos de resolver uma integral simples, da função cosseno ao cubo de θ emrelação à variável θ. Para resolvê-la, vamos lembrar que, se cos2θ + sen2θ = 1, entãocos2θ = 1− sen2θ.


Escrevendo cosseno ao cubo de θ como o produto (multiplicação) de cosseno de θpelo cosseno ao quadrado de θ e usando a relação trigonométrica acima, temos que

( ) θθθθθθθθ 2223 .coscos1coscos.coscos sensen −=−==

Prosseguindo com a integração:

( )��=

=

=

=

−==+ 2

0

22

0

322

.coscos32cos

32

4

πθ

θ

πθ

θ

θθθθθθ dsenddxdyyx

R

Vamos aplicar a propriedade P1 vista no capítulo 1 para “separarmos” a integral dasubtração de duas funções na subtração das integrais das duas funções:

( )��

�

�

��

�

�−=−=

+��

=

=

=

=

=

=

2

0

22

0

2

0

222

.coscos32.coscos

32

4

πθ

θ

πθ

θ

πθ

θ

θθθθθθθθθ dsenddsendxdyyx

R

A integral de cosseno de θ em relação à variável θ é direta da tabela. Vejamos:

[ ] 10102

cos 20

2

0

=−=��

�� −== =

=

=

=� sensensend πθθθ

πθθ

πθ

θ

A integral do produto (multiplicação) do cosseno de θ pelo seno ao quadrado de θ,em relação à variável θ, é resolvida pelo método da substituição, conforme visto nocapítulo 6.


θθθθ

θ dduddusenu coscos =→=→=

Ou seja,

( ) ( ) CsenCsenCuduudsendsen +=+=+=== � �� 333cos.cos

333222 θθθθθθθθ


Aplicando os extremos da integral:

[ ] ( )31)0()1(

310

231

31

3.cos 33332

03

2

0

32

0

2 =−=��

�� −==�

��

= =

=

=

=

=

=� sensensensendsen πθθθθθ

πθθ

πθ

θ

πθ

θ

Finalizando:

94

313

32

311

32.coscos

32

4

2

0

22

0

22

=��

�� −=�

��

�� −=

��

�

�

��

�

�−=

+��

=

=

=

=

πθ

θ

πθ

θ

θθθθθ dsenddxdyyx

R


ydxdy , sendo R a região limitada por x2 + y2 − 2x = 0.

A equação x2 + y2 − 2x = 0 corresponde à circunferência de raio 1 e centro em (1,0).Vejamos:

( ) 222222222 11112011202 =+−→=++−→=−+−+→=−+ yxyxxxyxxyx

A região limitada pela circunferência de equação é o círculo de raio 1 e centro em (1,0)indicado na figura 10.11. Nessa figura, também estão indicadas as variáveis ρ e θ queserão usadas na mudança de variáveis.

Figura 10.11. Região R limitada por x2 + y2 −−−−− 2x = 0.



Se x2 + y2 − 2x = 0, então

0).()cos.(2)cos.( 22 =+− θρθρθρ sen .

Ou seja,

0cos.2).(cos0.cos.2cos. 2222222 =−+→=+− θρθθρθρθρθρ sensen

Da trigonometria, sabemos que cos2θ + sen2θ = 1. Logo,

θρρθρρθρθθρ cos.20cos.21.0cos.2).(cos 22222 =→=−→=−+ sen

Podemos escrever: ρ = 2 cosθ.

A variável θ varia desde 2π− até 2

πe a variável ρ varia desde 0 até ρ = 2.cosθ.

Em termos de coordenadas polares, a região em estudo é representada por

��

�� ≤≤−≤≤ℜ∈=

22cos20:),( 2 πθπθρθρ eB .


θρθρθ

θθρ

θρ

θρθρθ

θθρ

θρ

cos.)(cos.1.

.)(coscos.1cos.

==∂∂==

∂∂→=

−=−=∂∂==

∂∂→=

yesensenyseny

sensenxexx


ρρθθρϕ


θρ

θρϕ

==+=

−−=−

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

1.)(cos)(


)(

22 senJ

sensensen

senyy

xx

J



A função a ser integrada é y = ρsen θ.

Sendo assim,

�� =

−=

=

=��

��

�===

B BR

ddsenddsenddsenydxdy2

2

cos2

0

22 )()().(πθ

πθ

θρ

ρ

θρρθθρρθθρρθρ

Vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável ρ. Ou seja, senθ é inter-pretado, momentaneamente, como uma constante que multiplica a função ρ2, podendoser “colocado para fora da integral”, conforme indicado a seguir, na integral indefinidarelacionada com a integral anterior:

�� +=+=++

==+

CsenCsenCsendsendsen 3312

22 )(31

312)( ρθρθρθρρθρρθ

Retomando a integral dupla:

( ) [ ] θρθθρθθρρθπθ

πθ

θρρ

πθ

πθ

θρ

ρ

πθ

πθ

θρ

ρ

dsendsenddsenydxdyR

�� =

−=

==

=

−=

=

=

=

−=

=

=

=�

�� =�

��

��

�=

2

2

cos20

32

2

cos2

0

32

2

cos2

0

2

31

31)(

( )( ) ( )( ) ( ) θθθθθθθθθπθ

πθ

πθ

πθ

πθ

πθ

dsendsendsenydxdyR

��=

−=

=

−=

=

−=

==−=2

2

32

2

32

2

33 cos38cos8

310cos2

31

A integral do produto (multiplicação) do cosseno ao cubo de θ pelo seno de θ, emrelação à variável θ, é resolvida pelo método da substituição, conforme visto nocapítulo 6.


θθθθθθ

θ dsendudsendusendduu =−→−=→−=→= cos

Ou seja,


( ) ( )� �� +−=+−=+

+−=−=−=

+

CCuCuduuduudsen4

cos413

)(cos4413

333 θθθθ

CCdsen +−=+−=� θθθθθ 44

3 cos41

4cos)(cos

Aplicando os extremos da integral:

( ) [ ] ��

��

��

�� −−�

��

��−=−=�

��

−= =

−=

=

−=

=

−=� 2

cos2

cos41cos

41

4coscos 442

2

42

2

42

2

3 ππθθθθθπθ

πθ

πθ

πθ

πθ

πθ

dsen

( ) ( ) ( )( ) 00041cos 44

2

2

3 =−−=�=

−=

θθθπθ

πθ

dsen

Finalizando a integral dupla:

( ) 00.38cos

38 2

2

3 === ��=

−=

θθθπθ

πθ

dsenydxdyR


dxdyyx 22

2, sendo R a região exterior à circunferência de

centro na origem e raio igual a 1 e interior à cardioide ρ = 1 + senθ.

Aplicando a propriedade I2, podemos escrever:

�� +=

+=

+ RRR

dxdyyx

dxdyyx

dxdyyx 222222

121.22

A região exterior à circunferência de centro na origem e raio igual a 1 e interior àcardioide ρ = 1 + senθ está indicada, na cor cinza, na figura 10.12.


Figura 10.12. Região exterior à circunferência de centro na origeme raio igual a 1 e interior à cardioide ρρρρρ = 1 + senθθθθθ.


Observando a figura 10.12, verificamos que a variável θ varia desde θ = 0 atéθ = π e a variável ρ varia desde ρ = 1 até ρ = 1 + senθ. Desse modo, a região emestudo, usando-se mudança de variável para coordenadas polares, é

{ }θρπθθρ seneB +≤≤≤≤ℜ∈= 110:),( 2 .


θρθρθ

θθρ

θρ

θρθρθ

θθρ

θρ

cos.)(cos.1.

.)(coscos.1cos.

==∂∂==

∂∂→=

−=−=∂∂==

∂∂→=

yesensenyseny

sensenxexx


ρρθθρϕ


θρ

θρϕ

==+=

−−=−

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

1.)(cos)(


)(

22 senJ

sensensen

senyy

xx

J




( ) ( ) )(cos1

.cos.1

.cos.

1122222222222 θθρθρθρθρθρ sensensenyx +

=+

=+

=+

ρρ1

1.11

222==

+ yx

Sendo assim,

�� ==+

=+

=+ BBRRR

dddddxdyyx

dxdyyx

dxdyyx

θρθρρρ

2.12121.22222222

θρπθ

θ

θρ

ρ

dddxdyyx

sen

R� ��=

=

+=

=��

��

�=

+ 0

1

122

22

Vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável ρ. Ou seja,

[ ] ( )[ ] θθθρθρπθ

θ

πθ

θ

θρρ

πθ

θ

θρ

ρ

dsenddddxdyyx

sensen

R�� =

=

=

=

+==

=

=

+=

=

−+==��

��

�=

+ 00

11

0

1

122

)1(12222

θθπθ

θ

dsendxdyyxR

��=

=

=+ 0

2222

Agora, temos de resolver um integral simples e diretíssima da tabela, da função senode θ em relação à variável θ. Ou seja,

[ ] [ ] ( )0coscos2cos2cos22200

022

−−=−=−==+

==

==

=

=�� πθθθθ πθ

θπθ

θ

πθ

θ

dsendxdyyxR

( ) 4112222

=−−−=+��

R

dxdyyx


Exemplo 10.9. Calcule ( ) ( )�� +−R

dxdyyxsenyx 2, sendo R o paralelogramo de vértices

(2π,π), (π,2π), (π, 0) e (0, π).

Façamos a seguinte mudança de variáveis:

(x, y) = ϕ(u, v)u = x − yv = x+ y

Ou seja,

22 vuxxvu

yxvyxu

+=→=+

��

+=−=

222222

2222vuyvuvuvuvvuvxvyyxv +−=→+−=−+−=−−=�

��

�� +−=−=→+=

A mudança de variáveis a ser feita é tal que

��

�� +−+==

2,

2),(),( vuvuvuyx ϕ .

Observe que a mudança de variáveis acima não envolve coordenadas polares.

Podemos determinar as derivadas parciais de x em relação às variáveis u e v, conformesegue abaixo.

211.

210.

21

21

21

21

21

21

21

210.

211.

21

21

21

21

21

21

21

21

21

2

=+=∂∂+

∂∂=�

��

��

∂∂+�

��

��

∂∂=�

��

�� +

∂∂=

∂∂

=+=∂∂+

∂∂=�

��

��

∂∂+�

��

��

∂∂=�

��

�� +

∂∂=

∂∂

+=+=

vv

vuv

vu

vvu

vvx

uv

uuv

uu

uvu

uux

vuvux


Podemos determinar as derivadas parciais de y em relação às variáveis u e v, conformesegue abaixo.

211.

210.

21

21

21

21

21

21

21

210.

211.

21

21

21

21

21

21

21

21

21

2

=+−=∂∂+

∂∂−=�

��

��

∂∂+�

��

��−

∂∂=�

��

�� +−

∂∂=

∂∂

−=+−=∂∂+

∂∂−=�

��

��

∂∂+�

��

��−

∂∂=�

��

�� +−

∂∂=

∂∂

+−=+−=

vv

vuv

vu

vvu

vvy

uv

uuv

uu

uvu

uuy

vuvuy

O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação

��

�� +−+==

2,

2),(),( vuvuvuyx ϕ é:

21

42

41

41

21.

21

21.

21

21

21

21

21

)( ==+=��

��−−=

−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

vy

uy

yx

ux

J ϕ

Na mudança de variáveis, temos que: dudvdudvJdxdy21.)( == ϕ .

A função a ser integrada fica assim:

( ) ( ) ��

�� +−+

��

�� −++=�

��

�� +−++

��

�� +−−+=+−

222222

222 vuvusenvuvuvuvusenvuvuyxsenyx

( ) ( ) senvuvsenuyxsenyx 22

2

22

22 =�

��

��

��

��=+−

Em termos das variáveis originais (x,y), a região R de integração é o paralelogramo devértices (2π,π), (π,2π), (π, 0) e (0, π) esboçado na figura 10.13.


Figura 10.13. Região de integração em termos das variáveis originais (x,y).

A semirreta indicada por (I) na figura 10.13 tem equação y = x + π. Como u = x − y, nessaregião temos o seguinte: u = x − (x + π) = x − x − π = −π (ou seja, u é constante e iguala −π ). Como v = x + y, nessa região temos o seguinte: v = x + (x + π) = 2x + π (ou seja,visto que x varia desde x = 0 até x = π, então v varia desde v = π até v = 3π).

A semirreta indicada por (II) na figura 10.13 tem equação y = − x + 3π. Como v = x + y,nessa região temos o seguinte: v = x + (−x + 3π) = x − x + 3π = 3π (ou seja, v éconstante e igual a 3π). Como u = x − y, nessa região temos o seguinte: u = x − (−x + 3π) =x + x − 3π = 2x − 3π (ou seja, visto que x varia desde x = π até x = 2π, então u varia desdeu = −π até u = π).

A semirreta indicada por (III) na figura 10.13 tem equação y = x − π. Como u = x − y, nessaregião temos o seguinte: u = x − (x − π) = x − x + π = π (ou seja, u é constante e igual a π).Como v = x + y, nessa região temos o seguinte: v = x + (x − π) = 2x − π (ou seja, visto quex varia desde x = π até x = 2π, então v varia desde v = π até v = 3π).

A semirreta indicada por (IV) na figura 10.13 tem equação y = − x + π. Como v = x + y,nessa região temos o seguinte: v = x + (− x + π) = x − x + π = π (ou seja, v é constante eigual a π). Como u = x − y, nessa região temos o seguinte: u = x − (−x + 3π) = x + x − 3π= 2x − 3π (ou seja, visto que x varia desde x = π até x = 2π, então u varia desde u = −πaté u = π).

Em termos das variáveis (u,v), a região R de integração é “transformada” no quadradoesboçado na figura 10.14.


Figura 10.14. Região de integração em termos das variáveis (u,v).

A região indicada na figura 10.14 pode ser escrita, em termos das variáveis (u,v), como{ }ππππ 3:),( 2 ≤≤≤≤−ℜ∈= veuvuB .

Sendo assim,

( ) ( ) �� ==+−BBR

dudvsenvududvsenvJudxdyyxsenyx21)( 222 ϕ

A constante ½ que multiplica a função pode ser “colocada para fora da integral”:

( ) ( ) �� =+−BR

senvdudvudxdyyxsenyx 22

21

Escrevendo os extremos da região de integração B:

( ) ( ) � ��=

=

=

−=��

��

�==+−

π

π

π

π

3222

21

21 v

v

u

uBR

dvsenvduusenvdudvudxdyyxsenyx

( ) ( ) ( )� ��=

=

=

−=��

��

�=+−

π

π

π

π

322

21 v

v

u

uR

dvduusenvdxdyyxsenyx


Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável u, pensamos que vrepresenta, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função senvtambém é interpretada como uma constante. Ou seja,

( ) ( ) ( ) � �� =

=

=

−=

=

=

=

−=��

��

�=��

�

��

�=+−

π

π

π

π

π

π

π

π

32

322

21

21 v

v

u

u

v

v

u

uR

dvduusenvdvduusenvdxdyyxsenyx

Vamos resolver, primeiramente, a integral indefinida relacionada com a integral defini-da, na variável u, indicada acima:

CuCuCuduu +=+=++

=�+

3312

2

31

312

Ou seja,

( ) ( ) �� =

=

=

−=

=

=

=

−=�

�� =��

�

��

�=+−

π

π

π

π

π

π

π

π

33

322

31

21

21 v

v

u

u

v

v

u

uR

dvusenvdvduusenvdxdyyxsenyx

( ) ( ) [ ] ( ) ( )( )��=

=

=

=

=−= −−==+−

π

π

π

π

ππ ππ

333

332

61

31.

21 v

v

v

v

uu

R

dvsenvdvusenvdxdyyxsenyx

( ) ( ) ( ) ( ) ��=

=

=

=

=

=

==+=+−π

π

π

π

π

π

ππππ3

33

33

332 2612

61

61 v

v

v

v

v

vR

senvdvdvsenvdvsenvdxdyyxsenyx

( ) ( ) ��=

=

=+−π

π

π3

32

31 v

vR

senvdvdxdyyxsenyx

Agora, temos de resolver uma integral simples da variável v, que pode ser resolvidacom o auxílio direto da tabela de integrais:

( ) ( ) [ ] [ ] ππ

ππ

π

π

πππ 33333

32 cos31cos

31

31 =

===

=

=

−=−==+− �� vv

vv

v

vR

vvsenvdvdxdyyxsenyx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0031)1(1

31cos3cos

31 3332 =−=−−−−=−−=+−�� πππππ

R

dxdyyxsenyx


Exemplo 10.10. Calcule ( ) ( )�� −+R

dxdyyxsenyx 3 , sendo R o paralelogramo de vértices

(2π,π), (π,2π), (π, 0) e (0, π).

A mudança de variáveis a ser feita no exemplo 10.10 é a mesma realizada no exemplo10.9, ou seja,

u = x − yv = x+ y

Vimos que, nesse caso,

��

�� +−+==

2,

2),(),( vuvuvuyx ϕ .

Também já calculamos as derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis u e v,conforme segue abaixo.

21

21,

21,

21 =

∂∂−=

∂∂=

∂∂=

∂∂

vye

uy

vx

ux

O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação

��

�� +−+==

2,

2),(),( vuvuvuyx ϕ é:

21

42

41

41

21.

21

21.

21

21

21

21

21

)( ==+=��

��−−=

−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

vy

uy

yx

ux

J ϕ

Na mudança de variáveis, temos que: dudvdudvJdxdy21.)( == ϕ .

( ) ( )�� −+R

dxdyyxsenyx 3


A função a ser integrada fica assim:

( ) ( ) ��

�� −++

��

�� +−+=�

��

�� +−−+

��

�� +−++=−+

222222

333 vuvusenvuvuvuvusenvuvuyxsenyx

( ) ( ) senuvusenvyxsenyx 33

3

22

22 =�

��

��

��

��=−+

Em termos das variáveis (u,v), o paralelogramo de vértices (2π,π), (π,2π), (π, 0) e (0, π), ouseja a região R de integração, é “transformado” no quadrado esboçado na figura 10.15,ou seja, região B de integração.

Figura 10.15. Região B de integração em termos das variáveis (u,v).

A região indicada na figura 10.15 pode ser escrita, em termos das variáveis (u,v), como{ }ππππ 3:),( 2 ≤≤≤≤−ℜ∈= veuvuB .

Sendo assim,

( ) ( ) �� ==−+BBR

dudvsenuvdudvsenuJvdxdyyxsenyx21)( 333 ϕ

A constante ½ que multiplica a função pode ser “colocada para fora da integral”:

( ) ( ) �� =−+BR

senududvvdxdyyxsenyx 33

21


Escrevendo os extremos da região de integração B:

( ) ( ) � ��=

−=

=

=��

��

�==−+

π

π

π

π

u

u

v

vBR

dudvvsenusenududvvdxdyyxsenyx3

333 )(21

21

Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável v, pensamos que urepresenta, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função senutambém é interpretada como uma constante. Ou seja,

( ) ( ) � �� =

−=

=

=

=

−=

=

=��

��

�=��

�

��

�=−+

π

π

π

π

π

π

π

π

u

u

v

v

u

u

v

vR

dudvvsenududvvsenudxdyyxsenyx3

33

33

21)(

21

Vamos resolver, primeiramente, a integral indefinida relacionada com a integral defini-da, na variável v, indicada acima:

CvCvCvdvv +=+=++

=�+

4413

3

41

413

Ou seja,

( ) ( ) �� =

−=

=

=

=

−=

=

=�

�� =��

�

��

�=−+

π

π

π

π

π

π

π

π

u

u

v

v

u

u

v

vR

duvsenududvvsenudxdyyxsenyx3

43

33

41

21

21

( ) ( ) [ ] ( ) ( )( )��=

−=

=

−=

== −==−+

π

π

π

π

ππ ππ

u

u

u

u

vv

R

dusenuduvsenudxdyyxsenyx 44343 381

41.

21

( ) ( ) ( ) ( ) ��=

−=

=

−=

=

−=

==−=−+π

π

π

π

π

π

ππππu

u

u

u

u

uR

senududusenudusenudxdyyxsenyx8

80808181

81 4

4443

( ) ( ) ��=

−=

=−+π

π

πu

uR

senududxdyyxsenyx 43 10

Agora, temos de resolver uma integral simples da variável u, que pode ser resolvidacom o auxílio direto da tabela de integrais:

( ) ( ) [ ] [ ] ππ

ππ

π

π

πππ =−=

=−=

=

−=

−=−==−+ �� uu

uu

u

uR

uusenududxdyyxsenyx cos10cos1010 4443

( ) ( ) ( )( ) ( ) 0)1(110coscos10 443 =−−−−=−−−=−+�� ππππR

dxdyyxsenyx


Exercícios Propostos – Capítulo 10Exercícios Propostos – Capítulo 10Exercícios Propostos – Capítulo 10Exercícios Propostos – Capítulo 10Exercícios Propostos – Capítulo 10

Exercício 10.1.Calcule ��R

dxdyx2

, sendo R o disco de centro na origem (0,0) e raio 4.

Exercício 10.2.Calcule ��R

dxdyxy3

, sendo R a região do segundo quadrante limitada


Exercício 10.3. Calcule �� −R

dxdyy)5( , sendo R a região do primeiro quadrante e do

segundo quadrante limitada pelas circunferências x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.


dxdyyx )cos( 22 , sendo R o semicírculo x2 + y2 ≤ 4, y ≥ 0.

Exercício 10.5. Calcule ��+

R

yx

dxdye2

22

, sendo R x,y x y e x y x= ∈ℜ ≤ + ≤ − ≤ ≤{ }( ) :2 2 29 25 .

Exercício 10.6. Calcule ( )�� +

R

yx dxdye2222 , sendo { }4:),( 222 ≤+ℜ∈= yxyxR .


xdxdy3 , sendo R a região limitada por x2 + y2 − 4x = 0.

Exercício 10.8. Calcule �� ++R

dxdyyx 1

122π

, sendo R a região do primeiro quadrante

limitada pelareta y = x, pela circunferência x2 + y2 = 4 e pelo eixo x.

Exercício 10.9. Calcule ( ) ( )�� +−R

dxdyyxyx cos4 , sendo R o paralelogramo de vértices

(2π,π), (π,2π), (π, 0) e (0, π).

Exercício 10.10. Calcule ( )�� −+R

dxdyyxyx cos , sendo R o paralelogramo de vértices

(2π,π), (π,2π), (π, 0) e (0, π).


Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 10Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 10Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 10Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 10Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 10

Exercício 10.1. 0.

Exercício 10.2. − 10/3.


215 −π

Exercício 10.4. 42

senπ .


8 ee −π .

Exercício 10.6. π (e8 − 1).

Exercício 10.7. 24π .

Exercício 10.8.4

15 − .

Exercício 10.9. 0.

Exercício 10.10. 0.

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Teoria dos Conjuntos��

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Como resolver derivadas e integrais mais de 150 exercícios res

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