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4 LISTA DE EXERC ´ ICIOS - INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS Prof. Benito Fraz˜ ao Pires 1. Calcule as integrais duplas sobre o retˆ angulo R =[0, 1] × [1, 2]. (a) R 1 (2x + 3y) 2 dA (b) R xe xy dA (c) R x cos 2 (y) dA (d) R x ln (x + y) dA 2. Inverta a ordem de integrac ¸˜ ao e calcule a integral dada. (a) 2 1 y 1 y sen (x) x dx dy (b) 1 0 y 0 ye x 3 dx dy (c) 1 0 x 3 0 xy dx dy (d) 1 0 √ 1-y 2 - √ 1-y 2 1 dx dy 3. Calcule a integral dada. (a) 1 0 v 0 √ 1 - v 2 du dv (b) D y x 5 + 1 dA, D = {(x, y) | 0 x 1, 0 y x 2 } 4. Calcule o volume do s´ olido limitado superiormente pelo plano x - 2y + z = 1 e inferiormente pelas curvas x + y = 1 e x 2 + y = 1. 5. Esboce o s´ olido cujo volume ´ e dado por 2 0 x-2 0 (x + y - 1) dy dx. 6. Expresse a ´ area da regi˜ ao delimitada pelas curvas y = x + 1 e y = x 2 como uma integral dupla. 7. Calcule a integral dada, convertendo-a primeiro para coordenadas polares. (a) 2 -2 4 0 cos (x 2 + y 2 ) dy dx (b) 2 √ 2 y √ 4-y 2 dy dx 8. Calcule as integrais triplas. (a) 2 -2 4 0 2 1 xyz dV (b) 1 0 1-x 2 1 4-x 2 -y 3 x dz dy dx 9. Encontre a altura m´ edia da superf´ ıcie z = a 2 - x 2 - y 2 acima do disco x 2 + y 2 a 2 no plano xy. Atualizado em 10 de Junho de 2015. 1
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4L I S TA D E E X E R C I C I O S - I N T E G R A I S D U P L A S E T R I P L A S
� Prof. Benito Frazao Pires
1. Calcule as integrais duplas sobre o retangulo R = [0, 1]× [1, 2].
(a)
∫∫R
1
(2x+ 3y)2dA (b)
∫∫R
xexy dA (c)
∫∫R
x cos2(y)dA (d)
∫∫R
x ln (x+ y)dA
2. Inverta a ordem de integracao e calcule a integral dada.
(a)
∫21
∫y1
ysen (x)
xdxdy (b)
∫ 10
∫y0
yex3
dxdy (c)
∫ 10
∫x30
xydxdy (d)
∫10
∫√1−y2
−√
1−y21dxdy
3. Calcule a integral dada.
(a)
∫10
∫v0
√1− v2 dudv (b)
∫∫D
y
x5 + 1dA, D = {(x,y) | 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 x2}
4. Calcule o volume do solido limitado superiormente pelo plano x− 2y + z = 1 e
inferiormente pelas curvas x+ y = 1 e x2 + y = 1.
5. Esboce o solido cujo volume e dado por
∫ 20
∫x−2
0
(x+ y− 1)dydx.
6. Expresse a area da regiao delimitada pelas curvas y = x+ 1 e y = x2 como uma
integral dupla.
7. Calcule a integral dada, convertendo-a primeiro para coordenadas polares.
(a)
∫2−2
∫40
cos (x2 + y2)dydx (b)
∫2√2
∫y√
4−y2dydx
8. Calcule as integrais triplas.
(a)
∫2−2
∫40
∫21
xyzdV (b)
∫ 10
∫1−x2
1
∫4−x2−y
3
xdzdydx
9. Encontre a altura media da superfıcie z =√
a2 − x2 − y2 acima do disco x2+y2 6 a2
no plano xy.
Atualizado em 10 de Junho de 2015.
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