Lista de Exercícios para a 2a da 1

a NP de Álgebra Linear – 2013.2

1 Dê uma matriz 2X2, que não seja a matriz identidade, tal que seu determinante é 1 e cuja matriz inversa é a sua matriz

transposta.

2. Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes e, justificando, indique se a referida matriz é inversível:

(a) (aij)2x2 tal que aij = i + 2j – 2; (b) (aij)3x3 tal que aij = 3i – 2j; (c)

1002141300012130

; (d)

3100

0001

0243

1201

3. (a) Dada a matriz A =

35

23 determine: (i) cof(A); (ii) adj(A); (ii) A

-1 , com o uso de determinante.

(b) Considere a matriz M =

102754321

. Determine: (i) detM; (ii) adjM; (ii) M–1

(sem escalonar).

(c) Resolva a equação det

x43

3x4 = 0.

(d) Calcule λ sabendo que B – λI é não inversível, onde B =

2110

.

4. (a) A é uma matriz 5X5 e seu determinante é 1/4. Determine det(2A).

(b) P é uma matriz 5x5 e seu determinante é 3. Calcule det(2P)

(c) O determinante de uma matriz A , de ordem 7x7 é 5. Qual é o determinante da matriz –2(At)

–1 .

(d) Q é uma matriz 4x4 tal que adjQ = Q. Calcule detQ.

(e) Q é uma matriz anti-simétrica tal que adjQ = Q. Calcule detQ.

(f) A é uma matriz 2x2, tal que

0132

adj(A) . Determine det(A).

5. Usando a Regra de Cramer, se possível, resolva o sistema:

(a) AX = B onde A =

122754301

e Β = .

(b) AX = B, onde A=

1002141300012130

e Bt = (1,0,0,0);

(c)

5y3x3yx

; (d)

12z2y2x3zyx2zyx

; (e)

42z2y2x3zyx2zyx

; (f) ; (g) ;

(h)

3235254zy

4z3yx132z2yx

wzyxw

ww

;(i)

12w3z5yx 34wzyx 2wz3yx 13w2z2y

;(j)

3wzy82x 12wzy5x

2w3yx 13wz2y

; (k)

1zy1yx

7zyx; (l)

1yx32yx

;

6. Matrizes quadradas gozam da propriedade: det(PQ) = detP detQ. Se P é uma matriz 2X2 e detP = 3, determine det(adjP).

7. R é uma matriz 2X2 tal que det(3R) = 5det(R) + 8. Qual é o valor de det(R)?

8. Matrizes quadradas gozam da propriedade: det(PQ) = detP detQ. Se P é uma matriz 2X2 e detP = 3, determine det(cofP).

9. A é uma matriz 4X4 com e detA = 2. Determine o valor de det[(adjA)(cofA)]

10. O determine da matriz A a seguir é 5. Determine x e a matriz inversa da matriz A: A =

1000000100100x00

11. (a) O determinante da matriz A =

1000000x00x00x00

é – 8. Determine x e a matriz inversa da matriz A.

(b) O determinante da matriz A = é 6. Determine x e a matriz inversa da matriz A.

(c) O determinante da matriz A =

1000000100100x00

é 5. Determine x e a matriz inversa da matriz A.

12. Considere a matriz A = .

(a) Quais são os possíveis valores de x, para que A seja inversível?

(b) Determine a inversa de A, quando possível

13. Usando determinantes, justifique porque o sistema

0yax1ayx

é possível para todo número real a.

14. Considerando A e B matrizes quadradas de mesma ordem, quais das seguintes afirmações são verdadeiras?

(a) det(A – B) pode ser detA – detB;

(b) Se det(A) = 5 e A tem ordem 3, então det(2A) = 40.

(c) Se det(AB) = 0, então ou A não é inversível ou B não é inversível.