Lista de Probabilidade Wr 2013

ALUNO (A) :____________________________________SALA:_____ TURMA: ______

PROFESSOR (A): ANDRÉ DISCIPLINA: MATEMÁTICA DATA: 25 / 11 / 2013

1. (Fuvest 2012) Francisco deve elaborar uma pesquisa sobre doisartrópodes distintos. Eles serão selecionados, ao acaso, daseguinte relação: aranha, besouro, barata, lagosta, camarão,formiga, ácaro, caranguejo, abelha, carrapato, escorpião egafanhoto.Qual é a probabilidade de que ambos os artrópodes escolhidospara a pesquisa de Francisco não sejam insetos?

a)49

144b)

1433

c)722

d)522

e)15

144

2. (Cesgranrio 2011) Um circuito é composto por uma bateria,cuja diferença de potencial elétrico (d.d.p.) vale V, além de duaslâmpadas idênticas e duas chaves (interruptores). Todos oscomponentes do circuito estão em perfeito funcionamento. Aprobabilidade de que a chave 1C esteja aberta é de 60%. A

probabilidade de que a chave 2C esteja aberta é de 40%.

Qual a probabilidade de que pelo menos uma das duas lâmpadasesteja apagada?a) 76% b) 60% c) 52% d) 40% e) 24%

3. (Uerj 2014) Em uma sala, encontram-se dez halteres,distribuídos em cinco pares de cores diferentes. Os halteres demesma massa são da mesma cor. Seu armazenamento édenominado “perfeito” quando os halteres de mesma cor sãocolocados juntos.Nas figuras abaixo, podem-se observar dois exemplos dearmazenamento perfeito.

Arrumando-se ao acaso os dez halteres, a probabilidade de queeles formem um armazenamento perfeito equivale a:

a)1

5040b)

1945

c)1

252d)

1120

4. (Uerj 2014) Em um escritório, há dois porta-lápis: o porta-lápisA, com 10 lápis, dentre os quais 3 estão apontados, e o porta-lápisB, com 9 lápis, dentre os quais 4 estão apontados.

Um funcionário retira um lápis qualquer ao acaso do porta-lápisA e o coloca no porta-lápis B. Novamente ao acaso, ele retira umlápis qualquer do porta-lápis B.

A probabilidade de que este último lápis retirado não tenha pontaé igual a:a) 0,64 b) 0,57 c) 0,52 d) 0,42

5. (Espcex (Aman) 2014) Se escolhermos, ao acaso, um elementodo conjunto dos divisores inteiros positivos do número 360, aprobabilidade de esse elemento ser um número múltiplo de 12 é:

a)12

b)35

c)13

d)23

e)38

6. (Upe 2013) Em uma turma de um curso de espanhol, trêspessoas pretendem fazer intercâmbio no Chile, e sete na Espanha.Dentre essas dez pessoas, foram escolhidas duas para umaentrevista que sorteará bolsas de estudo no exterior. Aprobabilidade de essas duas pessoas escolhidas pertencerem aogrupo das que pretendem fazer intercâmbio no Chile éa) 1/5 b) 1/15 c) 1/45 d) 3/10 e) 3/7

7. (Espcex (Aman) 2013) A probabilidade de se obter um númerodivisível por 2 na escolha ao acaso de uma das permutações dosalgarismos 1, 2, 3, 4, 5 é

a)15

b)25

c)34

d)14

e)12

8. (Fgv 2013) No estande de vendas da editora, foramselecionados 5 livros distintos, grandes, de mesmo tamanho, e 4livros distintos, pequenos, de mesmo tamanho. Eles serãoexpostos em uma prateleira junto com um único exemplar deDescobrindo o Pantanal.

a) De quantas maneiras diferentes eles podem ser alinhados naprateleira, se os de mesmo tamanho devem ficar juntos eDescobrindo o Pantanal deve ficar em um dos extremos?

b) No final da feira de livros, a editora fez uma promoção.Numerou os livros da prateleira de 1 a 10, e sorteou um livropara o milésimo visitante do estande. Qual é a probabilidadeexpressa em porcentagem de o visitante receber um livro cujonúmero seja a média aritmética de dois números primosquaisquer compreendidos entre 1 e 10?

9. (Upe 2013) Nove cartões, com os números de 11 a 19 escritosem um dos seus versos, foram embaralhados e postos um sobre o

2

outro de forma que as faces numeradas ficaram para baixo. Aprobabilidade de, na disposição final, os cartões ficaremalternados entre pares e ímpares é de

a)1

126b)

1140

c)1

154d)

2135

e)3

136

10. (Fgv 2013) Quatro pessoas devem escolher ao acaso, cadauma, um único número entre os quatro seguintes: 1, 2, 3 e 4.Nenhuma fica sabendo da escolha da outra.A probabilidade de que escolham quatro números iguais é

a)1

256b)

1128

c)1

64d)

132

e)1

16

11. (Ufrn 2013) Uma escola do ensino médio possui 7 servidoresadministrativos e 15 professores. Destes, 6 são da área de ciênciasnaturais, 2 são de matemática, 2 são de língua portuguesa e 3 sãoda área de ciências humanas. Para organizar a Feira doConhecimento dessa escola, formou-se uma comissão com 4professores e 1 servidor administrativo.Admitindo-se que a escolha dos membros da comissão foialeatória, a probabilidade de que nela haja exatamente umprofessor de matemática é de, aproximadamente,a) 26,7%. b) 53,3%. c) 38,7%. d) 41,9%.

12. (Ita 2013) Seja p uma probabilidade sobre um espaçoamostral finito . Se A e B são eventos de tais que

1p A ,2 1p B

3 e 1p A B ,

4 as probabilidades dos

eventos A \ B, A B e C CA B são, respectivamente,

a)1,4

56

e1.4

b)1,6

56

e1.4

c)1,6

712

e3 .4

d)1,3

56

e1.3

e)1,4

712

e3 .4

13. (Pucrj 2013) Se a = 2n + 1 com 1, 2, 3, 4 ,n então a

probabilidade de o número a ser par éa) 1 b) 0,2 c) 0,5 d) 0,8 e) 0

14. (Fgv 2013) O quadrado ABCD está inscrito em umacircunferência de raio r. Marcando-se ao acaso um ponto na regiãointerior dessa circunferência, a probabilidade de que esse pontoesteja na região interior do quadrado ABCD é igual a

a)2π b)

2π c)3 34π d)

1π e)1

2π15. (Ime 2013) Um menino, na cidade do Rio de Janeiro, lançauma moeda. Ele andará 1 m para leste se o resultado for cara ou 1m para oeste se o resultado for coroa. A probabilidade destemenino estar a 5 m de distância de sua posição inicial, após 9lançamentos da moeda, é

a) 692

b) 6352

c)29!

d) 9352

e) 99!2

16. (Pucrj 2013) Em uma caixa, existem 10 bolas vermelhasnumeradas de 1 a 10 e também 10 bolas verdes numeradas de 1 a10.a) Ivonete retira uma bola da caixa. Qual a probabilidade de que

a bola retirada seja uma de número 3?b) Marcos retira duas bolas da caixa. Qual a probabilidade de ele

obter 2 bolas com o mesmo número?c) Joana retira uma bola da caixa. Qual a probabilidade de que a

bola retirada seja uma verde com um número par?

17. (Uepb 2013) Inscreve-se em uma circunferência de raio 4 cmum hexágono regular, e escolhe-se aleatoriamente um ponto nointerior da circunferência. A probabilidade deste ponto estar nointerior do hexágono é:

a)3 32π b)

2 33π c)

2 3π d)3 3π e)

23 3π

18. (Ufpr 2013) Durante um surto de gripe, 25% dos funcionáriosde uma empresa contraíram essa doença. Dentre os que tiveramgripe, 80% apresentaram febre. Constatou-se também que 8% dosfuncionários apresentaram febre por outros motivos naqueleperíodo. Qual a probabilidade de que um funcionário dessaempresa, selecionado ao acaso, tenha apresentado febre durante osurto de gripe?a) 20%. b) 26%. c) 28%. d) 33%. e) 35%.

19. (Ufrgs 2013) Sobre uma mesa, há doze bolas numeradas de 1a 12; seis bolas são pretas, e seis, brancas. Essas bolas serãodistribuídas em 3 caixas indistinguíveis, com quatro bolas cadauma.

Escolhendo aleatoriamente uma caixa de uma dessasdistribuições, a probabilidade de que essa caixa contenha apenasbolas pretas é

a)1 .

33b)

1 .23

c)2 .

33d)

1 .11

e)1 .3

20. (Epcar (Afa) 2013) Um dado cúbico tem três de suas facesnumeradas com “0”, duas com “1” e uma com “2”. Um outrodado, tetraédrico, tem duas de suas faces numeradas com “0”, umacom “1” e uma com “2”. Sabe-se que os dados não são viciados.Se ambos são lançados simultaneamente, a probabilidade de asoma do valor ocorrido na face superior do dado cúbico com ovalor ocorrido na face voltada para baixo no tetraédrico ser iguala 3 é dea) 12,5% b) 16,6% c) 37,5% d) 67,5%

21. (Ufrgs 2013) Observe a figura abaixo.

Na figura, um triângulo equilátero está inscrito em um círculo, eum hexágono regular está circunscrito ao mesmo círculo. Quandose lança um dardo aleatoriamente, ele atinge o desenho.

A probabilidade de que o dardo não tenha atingido a regiãotriangular éa) 32,5%. b) 40%. c) 62,5%. d) 75%. e) 82,5%.

22. (Uerj 2013) Em uma escola, 20% dos alunos de uma turmamarcaram a opção correta de uma questão de múltipla escolha quepossui quatro alternativas de resposta. Os demais marcaram umadas quatro opções ao acaso.Verificando-se as respostas de dois alunos quaisquer dessa turma,a probabilidade de que exatamente um tenha marcado a opçãocorreta equivale a:a) 0,48 b) 0,40 c) 0,36 d) 0,25

3

Gabarito:Resposta da questão 1:[C]

Resposta de Biologia: São artrópodes da classe inseto: besouro,barata, formiga, abelha e gafanhoto. Portanto, 5 animais. Sãoartrópodes não insetos: aranha, escorpião, carrapato e ácaro(aracnídeos); lagosta, camarão e caranguejo (crustáceos).

Resposta de Matemática: Escolhendo dois animaisaleatoriamente, temos o espaço amostral do experimento:

12,212!C 66

2!.10!

Escolhendo artrópode que não seja inseto, temos

7,27!C 21

2!.5!

Portanto, a probabilidade pedida será: P =21 7P66 22 .

Resposta da questão 2:[A]

Se a chave 1C estiver aberta, ambas as lâmpadas ficarão

apagadas, independentemente do estado da chave 2C . Por outro

lado, se a chave 1C estiver fechada e a 2C estiver aberta, a

lâmpada 2L ficará apagada.

Portanto, a probabilidade pedida é dada por:0,6 (1 0,6) 0,4 0,76 76%.

Resposta da questão 3:[B]

Um armazenamento perfeito pode ser feito de 5P 5! modos.

Além disso, os halteres podem ser armazenados de

(2, 2, 2, 2, 2)10

10!P2! 2! 2! 2! 2!

maneiras. Portanto, a

probabilidade pedida é dada por

5! 2 2 2 2 2 1 .10! 10 9 8 7 6 945

2! 2! 2! 2! 2!


Probabilidade do lápis retirado de A ser apontado e o lápisretirado de B não ter ponta:

3 5 1510 10 100

Probabilidade do lápis retirado de A não ter ponta e o lápisretirado de B não ter ponta:

7 6 4210 10 100

Portanto, a probabilidade do último lápis retirado não ter pontaserá dada por:

15 42 57P 0,57.100 100 100

Resposta da questão 5:[C]

360 = 23.32.5

Número de divisores positivos de 360: (3 + 1).(2 + 1).( 1 + 1) =24Divisores de 360 que são múltiplos de 12:{12,24,36,60,72,120,180,360} n = 8

Portanto, a probabilidade pedida será: P = 8/24 = 1/3.


Existem3

32

modos de escolher duas pessoas dentre

aquelas que pretendem fazer intercâmbio no Chile, e

10 10! 452! 8!2

maneiras de escolher duas pessoas

quaisquer. Logo, a probabilidade pedida é3 1 .45 15


As permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 que terminam em

2 ou 4 são divisíveis por 2. Logo, existem 42 P 2 4! permutações nessas condições.Por outro lado, existem 5P 5! permutações dos algarismos

1, 2, 3, 4 e 5.Desse modo, a probabilidade pedida é dada por

2 4! 2 4! 2 .5! 5 4! 5

Resposta da questão 8:a) Temos 2 maneiras de dispor os blocos de livros grandes e

pequenos, e 2 maneiras de escolher onde ficará o exemplarde Descobrindo o Pantanal. Além disso, os livros grandespodem ser dispostos de 5! maneiras, e os livros pequenos de4! modos. Portanto, pelo PFC, segue que o resultado é2 2 5! 4! 4 120 24 11.520.

b) Os primos compreendidos entre 1 e 10 são: 2, 3, 5 e 7. Logo,

os casos favoráveis são: 2 (média aritmética de 2 e 2), 3(média aritmética de 3 e 3), 4 (média aritmética de 3 e 5), 5(média aritmética de 3 e 7), 6 (média aritmética de 5 e 7) e

7 (média aritmética de 7 e 7). Portanto, como podem ser

sorteados 10 números, segue que a probabilidade pedida é6 100% 60%.

10


Observando que de 11 a 19 existem cinco números ímpares equatro números pares, segue que o primeiro e o último cartãodevem ser, necessariamente, ímpares. Desse modo, existem 5!modos de dispor os cartões ímpares e 4! modos de dispor oscartões pares.Portanto, como existem 9! maneiras de empilhar os novecartões aleatoriamente, a probabilidade pedida é

5! 4! 5! 4 3 2 1 .9! 9 8 7 6 5! 126


4

Os casos favoráveis são exatamente quatro: 1111, 2222, 3333 e

4444. Por outro lado, existem 44 4 4 4 4 casos possíveis.

Desse modo, a probabilidade pedida é igual a 44 1 .

644

Resposta da questão 11:[D]

Podemos escolher um professor de matemática de 2 modos e 3

professores das outras disciplinas de13 13! 2 13 11

3! 10!3

maneiras. Além disso, como podemos escolher 4 professores

quaisquer de15 15! 15 13 7

4! 11!4

maneiras, segue que a

probabilidade pedida é dada por2 2 13 11 100% 41,9%.15 13 7

Resposta da questão 12:[E]

Sabendo que p(A \ B) p(A) p(A B), vem

1 1 1p(A \ B) .2 4 4

Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, obtemos

p(A B) p(A) p(B) p(A B)1 1 12 3 47 .

12

Por De Morgan, encontramosC C Cp(A B ) p[(A B) ]

p( ) p(A B)114

3 .4

Ω

Resposta da questão 13:[E]

Dado que n {1, 2, 3, 4}, segue que a é ímpar para todo n.Portanto, como “ a par” é um evento impossível, segue que aprobabilidade de a ser par é zero.


A área do quadrado ABCD é dada por 2 2r 2 2r . Por outro

lado, a área do círculo é igual a 2r .π Portanto, a probabilidade

pedida é2

22r 2 .

r ππ


Vamos considerar x o número de caminhos para leste e y onúmero de caminhos para oeste.Para que o menino fique 5 m da sua posição inicial: x – y = 5 ouy – x = 5.Vamos admitir o caso que x – y = 5 e resolver o sistema:

x y 9.

x y 5

Portanto, x = 7 e y = 2, se considerássemos y –x = 5, teríamos x= 2 e y = 7.

Portanto, temos duas opções:

1. uma sequência com 7 lestes e 2 oestes2. um sequência com 7 oestes e 2 lestes

O espaço amostral tem 2.2.2.2.2.2.2.2.2 = 29 elementos, portantoa probabilidade pedida será dada por : P =

7,299 9 6

2.P 2.4.9 9 .2 2 2

Resposta da questão 16:a) Como existem duas bolas com o número 3, segue que a

probabilidade pedida é igual a2 1 .

20 10

b) 1ª Solução: Supondo que as retiradas são feitassucessivamente e sem reposição, vem que, após a retirada daprimeira bola, a probabilidade de que a segunda tenha o mesmo

número da primeira é igual a1 .

19

2ª Solução: Supondo que as bolas são retiradas simultaneamente

da caixa, temos que Marcos pode retirar 2 bolas de20

1902

maneiras. Além disso, como os casos favoráveis são(1,1), (2, 2), , (10,10), segue que a probabilidade pedida é

dada por10 1 .

190 19

c) Sabendo que existem 5 bolas verdes com números pares,temos que a probabilidade de retirar uma bola verde com um

número par é igual a5 1.20 4


A probabilidade pedida é dada pela razão entre a área dohexágono e a área do círculo, ou seja,

2

2

3 r 33 32 .2r ππ


x é o número de habitantes da cidade.0,25x contraíram a gripe.0,80 0,25x = 0,20x contraíram gripe e tiveram febre: 0,20x.

Funcionários que apresentaram febre por outros motivos 0,08 0,75x

Funcionários com febre: 0,20x + 0,08 0,75x = 0,26x

Portanto, a probabilidade dos funcionários que apresentaramfebre durante o surto de gripe foi de:

0,26xP 26%.x

Obs.: Para atender ao gabarito oficial, a solução leva emconsideração 8% dos funcionários que não apresentaram a gripe.

5


O número de modos que podemos distribuir as bolas, de modoque uma caixa contenha apenas bolas pretas, é igual a

2

6 8 4 6! 8!4 4 4 4! 2! 4! 4! 5 7.

3! 3!

Por outro lado, o número total de maneiras de distribuir as bolasé

2

12 8 4 12! 8!4 4 4 4! 8! 4! 4! 11 7 5 3.

3! 3!

Portanto, a probabilidade pedida é igual a

2

27 5 1 .

3311 7 5 3


Resultados do dado cúbico: {0, 0, 0, 1, 1, 2}Dado tetraédrico: {0, 0, 1, 2}

Somas possíveis (contanto as repetidas) = 6 4 = 24

Soma igual a 3: {(1,2), (1,2), (2,1)}

Portanto, a probabilidade de que a soma dos valores ocorridosem cada dado seja três, será dada por:

3 1P 12,5%.24 8


Seja r o raio do círculo.

Sabendo que o lado do triângulo equilátero inscrito mede r 3, e

o lado do hexágono regular circunscrito mede2r 3 ,

3segue que

a probabilidade do dardo ter atingido a região triangular é igual a

2

2

(r 3) 334 .82r 33 3

32

Portanto, a probabilidade do dardo não ter atingido a regiãotriangular é

3 51 100% 62,5%.8 8


A probabilidade de acertar a questão marcando uma alternativa

ao acaso é1,4

e a de errar é1 31 .4 4

Tomando as respostas de dois alunos quaisquer da turma, temosos seguintes casos favoráveis:

i. um aluno está entre os 20% que marcaram a opção correta e ooutro está entre os 80% que marcaram a resposta errada aoacaso;

ii. os dois alunos estão entre os 80% que marcaram a resposta aoacaso, tendo um deles acertado a questão e o outro errado.

Logo, a probabilidade de (i) ocorrer é

3 30,2 0,8 0,8 0,2 0,24,4 4

enquanto que a probabilidade de (ii) ocorrer é

1 3 3 10,8 0,8 0,8 0,8 0,24.4 4 4 4

Portanto, a probabilidade pedida é igual 0,24 0,24 0,48.

Lista de Probabilidade Wr 2013

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