Mestrado em Finanas e Economia EmpresarialMicroeconomia - 6a Lista de Exerccios

Prof.: Carlos EugnioMonitora:Amanda Schutze

(schutze@fgvmail.br)

Parte I - Exerccios Bsicos

1a Questo As funes de produo relacionadas a seguir apresentam rendimentosdecrescentes,constantes ou crescentes de escala?

a. Y = 0; 9KL

R. ) 0; 9:(K)(L) = 0; 9:2KL = 2Y , dado > 1, temos que a funoapresenta rendimentos crescentes de escala.

b. Y = 10K + 5L R) 10(K) + 5(L) = (10K + 5L) = Y .)a funoapresenta rendimentos constantes de escala.

c. Y = 10(K0;8L0;2) R) 10(K)0;8(L)0;2 = 100;8+0;2K0;8L0;2 = 10K0;8L0;2 =Y ) A funo possui rendimentos constantes de escala

2a Questo (Funo de produo Cobb-Douglas) Se a funo de produo tem a forma

Y = f(K;L) = AK0;5L0;5

Calcule:

a. Produtividade Mdia do Trabalho e do Capital;

b. Produtividade Marginal do Trabalho e do Capital

Soluo

a) Produtividade Mdia do Trabalho e do Capital;PmeL = f(K;L)L =

AK0;5L0;5

L = AK0;5L0;5 = A

KL

0;5PmeK = f(K;L)K =

AK0;5L0;5

K = AK0;5L0;5 = A

LK

0;5b) Produtividade Marginal do Trabalho e do Capital.PMgL = @f(K;L)@L onde, f(K;L) = AK

0;5L0;5

PMgL = 12AKL

0;5:

Analogamente,PMgK = 12A

LK

0;53a Questo Considere a funo custo c(y) = y2 + 1: Pede-se:

a. Custos Fixo, Mdio e Varivel Mdio.

b. Custo Marginal

1

c. Nvel de produo que minimiza o custo mdio.

Soluo:custos variveis;R. CV = y2

custos xos;R. CF = 1custos variveis mdios;R. CVMe = CVy =

y2

ycustos xos mdios;R. CFMe = CFy =

1:y

custos mdios;R. CMe = C(y)y =

y2+1y

custo marginal;R. CMg = 2ynvel de produo que minimiza o custo mdio.R. Lembre-se que a curva de custo marginal corta a curva de custo mdio

no seu ponto mnimo, portanto, fazendoCMg = CMe teremos o nvel de produto que minimiza o custo mdio:) 2y = y2+1y ) 2y2 = y2 + 1) y = 1

4a Questo Suponha que uma determinada rma possui uma tecnologia de produodo tipo C.E.S, ou seja,

f(x1; x2) = (x1 + x

2)

1

onde a mesma utiliza dois insumos (x1 e x2) cujos preos so (w1 e w2),respectivamente.

a. Resolva o problema de minimizao de custos da rma e encontre a funocusto

b. Calcule a elasticidade substituio entre os insumos 1 e 2.

Soluo:a) O problema da rma :

Minx1;x2

w1x1 + w2x2

s:a: (x1 + x2)

1 y

O lagrangeano do problema :L = w1x1 + w2x2 + [y (x1 + x2)

1 ]

@L@x1

= 0) 1 (x1 + x2)11x11 = w1

@L@x2

= 0) 1 (x1 + x2)11x12 = w2

) x1 = x2w1w2

11

2

Na R.O

)" x2

w1w2

11!+ x2

# 1

= y

)"x2

w1w2

1

+ x2

# 1

= y

) x2"w1w2

1

+ 1

#= y

) x2

0@w 11 + w 12w

12

1A = y) x2 =

yw

12

w

11 + w

12

) x2 =yw

112

w

11 + w

12

1

Analogamente:

x1 =yw

111

w

11 + w

12

1

A funo custo ser:

c(!w ; y) = w1x1(!w ; y) + w2x2(!w ; y)

) c(!w ; y) = w1

26664 yw1

11

w

11 + w

12

1

37775+ w226664 yw

112

w

11 + w

12

1

37775

) c(!w ; y) = y

26664 w

11 + w

12

w

11 + w

12

1

37775) c(!w ; y) = y

w

11 + w

12

1 1) c(!w ; y) = y

w

11 + w

12

1

3

b) A elasticidade de substituio entre os insumos x1 e x2 denida por:

12 d ln(x2=x1)d ln(f1(x1; x2)=f2(x1; x2))

=d(x2=x1)

d [f1(x1; x2)=f2(x1; x2)]

f1(x1; x2)=f2(x1; x2)

x2=x1

d ln(x2=x1) = d lnx2 d lnx1 = 1x2dx2 1

x1dx1 ((1))

logo : d ln(x2=x1) = 1

x1dx1 1

x2dx2

Para a CES, temos das condies de primeira ordem que :

ln(f1(x1; x2)=f2(x1; x2)) = ln

1 (x

1 + x

2)

11x11

1 (x

1 + x

2)

11x12

!= ln

x11x12

!= ln

x1x2

1Portanto;

d ln(f1(x1; x2)=f2(x1; x2)) = d ln

x1x2

1((2))

= ( 1) [d lnx1 d lnx2]= ( 1)

1

x1dx1 1

x2dx2

Substituindo na denio, de (1) e (2) obtemos:

12 d ln(x2=x1)d ln(f1(x1; x2)=f2(x1; x2))

=1x1dx1 1x2 dx2

( 1)

h1x1dx1 1x2 dx2

i = 1( 1) =

1

1

5a Questo Calcule as funes oferta e lucro para as funes de produo abaixo (x 0):

a. f(x) = x; 0 1b. f(x) = minfx1;x2gSoluo:a) O problema de maximizao de lucro dado por:

maxx0

px wx

Calculando a condio necessria de primeira ordem do problema, obtemos:

px1 = w

4

A condio suciente de segunda ordem para mximo garantida se 0 1.Logo, a demanda pelo fator :

x (p; w) =pw

11

Segue que as funes oferta e lucro so dadas por:

y (p; w) =pw

1

(p; w) = ppw

1 w

pw

11

= w

1

pw

11

b) O problema de maximizao de lucro dado por:

maxx0

[minfx1;x2g w1x1 w2x2]

Se x1 6= x2 ento possvel aumentar o lucro reduzindo algum dos in-sumos.Segue que x1 = x2. Substituindo na funo objetivo, obtemos:

maxx0

x2 w1 x2 w2x2

= maxx0

x2

w1

w2

Caso 1) Se w1 w2 > 0 (ie., > w2w1 ), ento possvel obter lucro

to grande quanto se queira tomando x2 arbitrariamente grande. Segue que oproblema no tem soluo neste caso.Caso 2) Se w1 w2 < 0 (ie., < w2w1 ), ento x (p; w) = 0. Neste

caso, y (p; w) = (p; w) = 0Caso 3) w1 w2 = 0 (ie., = w2w1 ), ento existem innitas solues

pois todo x positivo fornece lucro zero. Segue que x (p; w) 2

Soluo:a- Qual ser o nvel de produo escolhido pela empresa?R. Como a empresa opera em concorrncia perfeita, teremos:P = CMg(q)) 9 = 3 + 2q ) 2q = 6) q = 3b- Qual o excedente do produtor para esta empresa?R. Lembre que o excedente do produtor corresponde rea acima da curva

de oferta e abaixo do preo de mercado e que a curva de oferta corresponde curva de custo marginal a partir do ponto em que esta cruza a curva de custovarivel mdio. Ento:Excedente=AT = b:h2 =

632 = 9

c- Ser que a empresa est auferindo lucro positivo, negativo ou zero nocurto prazo?R. O lucro da empresa dado por:

= RT CT) = P:q CT) = 9 3 (32 + 3 3 + CF )) = 9 CF) = 1

Logo, vemos que a rma incorrer em prejuzo, porm, como se est cobrindoparte dos custos xos, a sua empresa dever continuar produzindo.

7a Questo Considere uma rma que produz utilizando uma tecnologia do tipo Cobb-Douglas de retornos constantes com dois insumos e onde o segundo insumo mantido xo (x2 = x2), de forma que

f(x1; x2) = x1 x

12

a. Calcule a funo lucro de curto prazo desta rma.

b. Calcule a oferta de curto prazo desta rma.

Soluo:a)O problema ento solucionar:

Maxy;x1

py w1x1 w2x2s:a x1x

12 y

Assumindo soluo interior, a restrio se mantm com igualdade e, por-tanto, podemos substituir a restrio na funo objetivo, de forma que o prob-lema se resume :

6

Maxx1

px1x12 w1x1 w2x2

A condio de primeira ordem para escolha de x1 requer que:

px11 x12 = w1

) x11 =w1

px12

) x1 = w1

11

1

1 p1

1x112

) x1 = p 11 11w1

11 x2

A funo lucro de curto prazo ser, ento:

(p; w1; w2; x2) = p

p

11

11w

111 x2

x12 w1

p

11

11w

111 x2

w2x2

) (p; w1; w2; x2) = p:p 1 : 1 :w

11 :x

2 :x

12 w1:w

111

p

11

11x2

w2x2

) (p; w1; w2; x2) =p

11 :

1 :w

11 :x2

w

11 p

11

11x2

w2x2

) (p; w1; w2; x2) = p 11w

11 x2

1 11

w2x2

) (p; w1; w2; x2) = p 11w

11 x2

1 (1 ) w2x2

b) Pelo Lema de Hotelling, a funo oferta de curto prazo pode ser obtidadiretamente diferenciando a funo lucro de curto prazo com respeito a p:

y(p; w1; w2; x2) =1

1 hp

111w

11 x2:

1 (1 )

iy(p; w1; w2; x2) = p

1w

11 x2:

1

8a Questo Uma rma tem funo de produo

f(x1; x2) = x1x

2

Supondo que os preos dos insumos so w1 e w2, respectivamente, e queo preo do produto seja p, calcule, supondo + < 1 :

a. A funo custo da rma e a demanda condicional de x1 e x2.

b. A funo lucro, as demandas incondicionais de x1 e x2 e a oferta.

c. Admitindo que no curto prazo a quantidade do insumo 1 seja xa em x1a um preo w1:

7

(a) i. Encontre a funo custo de curto prazo da rma e sua funolucro de curto prazo, explicitando custo xo e custo varivel.

ii. Encontre a funo oferta de curto prazo.

Soluo:a) A rma resolve:

Maxx1;x2

w1x1 + w2x2

s:a f(x1; x2) yL = w1x1 + w2x2 + (y x1 x2 )C.P.O:@L@x1

= 0) w1 = x11 x2@L@x2

= 0) w2 = x1x12) w1w2 = x2x1 ) x2 =

w1w2

x1

Na R.O.:

x1

hw1w2

x1

i= y ) x+1

w1w2

= y

) x1 = y1

+

w2w1

+

logo: x2 =w1w2

y

1+

w2w1

+ ) x2 = y 1+

w2w1

1 w2w1

+

) x2 = y 1+w2w1

+

) x2 = y1

+

w1w2

+

Decorre que

c(!w ; y) = w1:y 1+w2w1

+

+ w2:y1

+

w1w2

+

) c(!w ; y) = y 1+w1:w2w1

+

+

+ y1

+w2:

w1w2

+

+

) c(!w ; y) =b) Problema da rma:

Maxx1;x2

py w1x1 w2x2s:a x1x

2 y

) Maxx1;x2

px1x2 w1x1 w2x2

8

C.P.O:@@x1

= 0) px11 x2 = w1@@x2

= 0) px1 x12 = w2) x2 =

w1w2

x1

Na 1a C.P.O.:

px11h

w1w2

x1

i= w1

......................................

9