Livro de Geometria Espacial - Triangulos, Tales, Teoremas

Universidade do Sul de Santa Catarina

Palhoça

UnisulVirtual

2006

Geometria I

Disciplina na modalidade a distância

GI_MTM.indb 1GI_MTM.indb 1 13/9/2007 10:18:3113/9/2007 10:18:31

Apresentação

Este livro didático corresponde à disciplina Geometria I.

O material foi elaborado, visando a uma aprendizagem autônoma. Aborda conteúdos especialmente selecionados e adota linguagem que facilite seu estudo a distância.

Por falar em distância, isso não signifi ca que você estarásozinho/a. Não se esqueça de que sua caminhada nesta disciplina também será acompanhada constantemente pelo Sistema Tutorial da UnisulVirtual. Entre em contato, sempre que sentir necessidade, seja por correio postal, fax, telefone, e-mail ou Ambiente Virtual de Aprendizagem. Nossa equipe terá o maior prazer em atendê-lo/a, pois sua aprendizagem é nosso principal objetivo.

Bom estudo e sucesso!

Equipe UnisulVirtual.


Christian Wagner

Kelen R. S. Silva

Palhoça

UnisulVirtual

2006

Design instrucionalKarla Leonora Dahse Nunes

Geometria I

Livro didático


Copyright © UnisulVirtual 2006 N enhum a parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer m eio sem a prévia autorização desta instituição.

515.15 W13 Wagner, Christian Geometria I : livro didático / Christian Wagner, Kelen R. S. Silva ; design instrucional Karla Leonora Dahse Nunes. – Palhoça : UnisulVirtual, 2006. 228 p. : il. ; 28 cm. Inclui bibliografia. ISBN 978-85-60694-45-7 1. Cálculo. 2. Geometria. I. Silva, Kelen R. S. II. Nunes, Karla Leonora Dahse. III. Título. Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul

Créditos Unisul - Universidade do Sul de Santa Catarina

UnisulVirtual - Educação Superior a Distância Cam pus UnisulVirtual Rua João Pereira dos Santos, 303 Palhoça - SC - 88130-475 Fone/fax: (48) 3279-1541 e 3279- 1542 E-m ail: [email protected] Site: www.virtual.unisul.br Reitor Unisul Gerson Luiz Joner da Silveira Vice-Reitor e Pró-Reitor Acadêm ico Sebastião Salésio Heerdt

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Adm inistração Renato André Luz Valm ir Venício Inácio Bibliotecária Soraya Arruda W altrick Coordenação dos Cursos Adriano Sérgio da Cunha Ana Luisa Mülbert Ana Paula Reusing Pacheco Cátia Melissa S. Rodrigues (Auxiliar) Charles Cesconetto Diva Marília Flemm ing Elisa Flemm ing Luz Itamar Pedro Bevilaqua Janete Elza Felisbino Jucim ara Roesler Lilian Cristina Pettres (Auxiliar) Lauro José Ballock Luiz Guilherm e Buchmann Figueiredo Luiz Otávio Botelho Lento Marcelo Cavalcanti Mauri Luiz Heerdt Mauro Faccioni Filho Nélio Herzm ann Onei Tadeu Dutra Patrícia Alberton Patrícia Pozza Rafael Pete. da Silva Raulino Jacó Brüning Design Gráfi co Cristiano Neri Gonçalves Ribeiro (coordenador) Adriana Ferreira dos Santos Alex Sandro Xavier Evandro Guedes Machado

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Suporte Arthur Emm anuel F. Silveira (coordenador) Francisco Asp

Projetos Corporativos Diane Dal Mago Vanderlei Brasil

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Maria Isabel Aragon Olavo Lajús Priscilla Geovana Pagani Silvana Henrique Silva

Secretária Executiva Viviane Schalata Martins Tecnologia Osm ar de Oliveira Braz Júnior (coordenador) Ricardo Alexandre Bianchini Rodrigo de Barcelos Martins Edição – Livro Didático

Professor Conteudista Christian W agner Kelen R. S. Silva Design Instrucional Karla Leonora Dahse Nunes Projeto Gráfi co e Capa Equipe UnisulVirtual

Diagram ação Duarte M iguel Machado Neto Fernando Roberto Dias Zimm erm ann Ilustrações Edison Valim

Revisão Ortográfi ca Amaline Issa Mussi

Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3Palavras dos professores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

UNIDADE 1 – Representação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17UNIDADE 2 – Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67UNIDADE 3 – Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113UNIDADE 4 – Áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Sobre os professores conteudistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Respostas e comentários das atividades de auto-avaliação . . . . . . . . . . . . 201Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Sumário


Palavras dos professores

Neste texto, apresentamos o conteúdo da disciplina de Geometria I em conformidade com as defi nições do projeto pedagógico do curso.

Pensamos que um livro de matemática deve ser acessível, coerente e informativo. Assim, escolhemos adotar diálogos informais introdutórios a cada unidade e seção, tendo como interlocutores as personagens George, um aluno igual a você, que deseja vencer no campo da matemática, e seus amigos, os matemáticos, Euclides, Pitágoras, Tales e Arquimedes. Através desses diálogos informais, você terá acesso a aspectos históricos da geometria, a pequenos lembretes, à formalização de alguns conceitos, ou, mesmo, a assuntos complexos.

De outro lado, no desenvolvimento de cada unidade, você verá discorrer sobre a geometria com o rigor que a matemática exige, isto através de linguagem que colabore com o processo de ensino-aprendizagem.

Em suma, o ensino, aqui, não resulta banalizado em nome da simplicidade. Tampouco foi sofi sticado às expensas de uma linguagem hermética, não-assimilável.

Motivamos o aluno, em muitas partes do livro, a buscar ferramentas computacionais para o estudo da geometria, entre eles o Cabri-Géomètre. Compareça!

Outra recomendação: não deixe de fazer os exercícios que lhe são propostos. Nós, autores e tutores, nos colocamos à disposição para atendê-lo da melhor maneira possível, e, para isso, estaremos interagindo por meio das ferramentas disponíveis no ambiente virtual do seu curso.


Vamos nos socializar e construir o conhecimento juntos, esse é o caminho para o sucesso!

Vamos à luta!

E mãos à obra!

Prof. Christian Wagner, Msc

Profª. Kelen Regina Salles Silva, Msc


Plano de estudo

O plano de estudos visa a orientá-lo/a no desenvolvimento da Disciplina. Nele, você encontrará elementos que esclarecerão o contexto da Disciplina e sugerirão formas de organizar o seu tempo de estudos.

O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se complementam. Assim, a construção de competências se dá sobre a articulação de metodologias e por meio das diversas formas de ação/mediação.

São elementos desse processo:

o livro didático;

o Ambiente Virtual de Aprendizagem - AVA;

as atividades de avaliação (complementares, à distância e presenciais).

Ementa da disciplina:

Representação axiomática da Geometria Plana. Elementos de Geometria plana aplicada em situações práticas. Construções geométricas. A geometria integrada aos diversos conteúdos específi cos de Matemática. Análise de ferramentas computacionais aplicáveis à geometria.

Carga horária:

60 horas – 4 créditos


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Objetivo(s):

Geral

Propiciar ao futuro educador, condições para que o mesmo trabalhe na sala de aula o ensino de Geometria dentro de uma abordagem atual.

Específi cos

Proporcionar ao aluno uma visão dos conteúdos da geometria plana, previstos nas Diretrizes Curriculares do Ensino fundamental e Médio.

Aprofundar conceitos da geometria plana, estudados no ensino fundamental e médio.

Adaptar estratégias e material didático para o ensino fundamental e médio.

Explorar as relações entre a Geometria e a Álgebra.

Criar hábitos de dedução matemática.

Desenvolver conceitos de geometria plana dentro do ambiente Cabri-géomètre.

Analisar conteúdos de geometria em livros-textos do ensino fundamental e médio.

Mostrar através de materiais didáticos a aplicação da geometria no dia-a-dia.

Conteúdo programático/objetivos

Os objetivos de cada unidade defi nem o conjunto de conhecimentos que você deverá deter para o desenvolvimento de habilidades e competências necessárias à sua formação. Neste sentido, veja a seguir as unidades que compõem o Livro Didático desta Disciplina, bem como os seus respectivos objetivos.


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Unidades de estudo: 4

Unidade 1 - Representação Axiomática da Geometria Plana

Conhecer alguns períodos da história da geometria.

Identifi car os principais axiomas da geometria.

Resolver problemas envolvendo segmentos e ângulos.

Unidade 2 - Triângulos

Conhecer e classifi car triângulos.

Identifi car triângulos retângulos e seus elementos.

Compreender e Aplicar o Teorema de Pitágoras.

Sintetizar relações trigonométricas num triangulo retângulo.

Identifi car triângulos congruentes, bem como o caso de congruência.

Conhecer os pontos notáveis e algumas conclusões.

Unidade 3 – Teorema de Tales

Conhecer o axioma das paralelas.

Sintetizar o Teorema de Tales, e conhecer algumas aplicações.

Aplicar os casos de semelhança de triângulos, quando necessário.

Compreender uma demonstração do Teorema de Pitágoras.

Aplicar as relações métricas no triângulo retângulo.

Compreender o cálculo da altura das pirâmides.


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Unidade 4 – Áreas de Figuras Planas

Identifi car um polígono.

Calcular a área das principais fi guras planas.

Conhecer a diferença entre círculo e circunferência.


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Agenda de atividades/ Cronograma

Verifi que com atenção o AVA. Organize-se para acessar periodicamente o espaço da Disciplina. O sucesso nos seus estudos depende da priorização do tempo para a leitura; da realização de análises e sínteses do conteúdo; e da interação com os seus colegas e tutor.

Não perca os prazos das atividades. Registre as datas no espaço a seguir, com base no cronograma da disciplina disponibilizado no AVA.

Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da Disciplina.

Atividades

Avaliação a Distância

Avaliação Final (caso necessário)

Demais atividades (registro pessoal)


UNIDADE 1

Representação Axiomática da Geometria Plana

Objetivos de aprendizagem

Conhecer alguns períodos da história da geometria.

Identifi car os principais axiomas da geometria.

Resolver problemas envolvendo segmentos e ângulos.

Seções de estudo

Seção 1 Aspectos históricos e noção intuitiva

Seção 2 Axiomas de Incidência e Ordem

Seção 3 Axiomas sobre medição de segmentos

Seção 4 Axiomas sobre medição de ângulos

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Para início de conversa

Nesta unidade, você terá contato com um pouco da história da geometria, sua evolução no tempo e a contribuição de alguns povos na sua contextualização. Verá também que a geometria, para ser construída, requer uma base sólida que se fundamenta em algumas noções intuitivas e também numa série de propriedades tidas como válidas, sem demonstração, os chamados axiomas ou postulados. Ao fi nal da unidade, pense e refl ita como a geometria é importante no seu caminho e no seu dia-a-dia.

Procure analisar e discutir bastante as atividades propostas nesta unidade, para que todas as suas dúvidas sejam esclarecidas. Lembre-se, o sucesso no campo da matemática requer esforço.

Nesta imensa aventura, que é o estudo da geometria, você vai encontrar-se com vários personagens importantes da história da matemática. Neste primeiro capítulo, você conhecerá Euclides e um jovem que, como você, também está estudando geometria. Seu nome é George. Toda vez que um assunto importante requerer um pouco mais de cuidado, Euclides encontrará George em um sonho e o ajudará no aprendizado. George gosta de ler, estudar e, claro, de estar com a família. Ele não dispensa uma balada com os amigos.

E então? Vamos conhecê-los e iniciar o estudo desta importante área da matemática?

Acompanhe, a seguir, o diálogo entre Euclides e George.


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Geometria I

Unidade 1

George: Estou tão preocupado com geometria que já estou até sonhando com ela.

Euclides: Calma, meu rapaz.

George: Euclides? É você mesmo?

Euclides: Claro, quem mais poderia ser?

George: Devo estar sonhando.

Euclides: E está, vim aqui para ajudá-lo. Que mal o afl ige?

George: A geometria. Estou preocupado, será que consigo entendê-la?

Euclides: Com certeza. Veja bem, quando você contempla um prédio, o que o faz estar em pé?

George: Ora, a sua base bem sólida.

Euclides: Então, para você estar intimamente conectado com a geometria, você tem de construir uma base sólida para ela.

George: E nisso você é craque, pois suas idéias de axiomas e postulados fi zeram com que a geometria fosse toda construída a partir deles.

Euclides: Então, meu jovem, parabéns, você já sabe por onde começar. Mãos a obra.

George: Obrigado, Euclides! Vou começar agora mesmo, ou melhor, assim que eu acordar.

Figura 1.1 - Teorema de Pitágoras na Babilônia?


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SEÇÃO 1 – Aspectos históricos e noção intuitiva

Aspectos Históricos

Não se sabe ao certo quando a geometria teve início, mas sabe-se que muitos povos da antiguidade já a utilizavam nas suas comunidades para muitos fi ns. Na Grécia antiga, por volta de 300 a.C., era afi xada a seguinte frase nas portas das principais escolas:

Não entre nesta escola, se você não souber geometria.

Mas foi nos idos de 600 a.C. que aconteceram alguns dos grandes momentos no desenvolvimento da geometria. Pitágoras e Tales de Mileto deram os primeiros passos na sistematização dos conhecimentos geométricos. Naquela época, a geometria era puramente experimental, sem demonstrações e conceitos dedutivos.

Contudo é Euclides que, em 300 a.C., na Grécia, deu ordem lógica aos conhecimentos geométricos adquiridos por tantos povos ao longo de anos. Ele desenvolveu o raciocínio dedutivo, o qual diz que a geometria, por sua vez, pode ser desenvolvida a partir do conhecimento de apenas algumas idéias básicas - os chamados postulados ou axiomas. O seu grande trabalho foi a publicação de treze livros chamados de Elementos, nos quais apresenta todo o desenvolvimento da geometria até sua época. Sua contribuição foi tão espantosa, que a maioria das proposições existentes nos seus livros são adotadas até hoje, motivo pelo qual a geometria usada por nós é chamada de Geometria Euclidiana.

Curiosidades: Existem algumas geometrias que são chamadas de Não-Euclidianas. São geometrias que não obedecem às regras ditadas por Euclides. Essas geometrias foram responsáveis pelo desenvolvimento, por exemplo, da teoria da relatividade de Einstein. O seu surgimento ocorreu a partir da tentativa de provar o Axioma das Paralelas, que aparecerá na unidade III.


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Geometria I

Unidade 1

Mas, afi nal, o que signifi ca a palavra Geometria?

Os agrimensores egípcios já usavam a geometria para medir terrenos e suas terras, o mesmo faziam os gregos e outros povos. Esta atividade de medir terras, que com o tempo transformou-se em ciência, recebeu o nome de:

A geometria, como se pode observar, é uma ciência de suma importância, inclusive para o desenvolvimento da humanidade. Deste modo, não é necessário buscar mais justifi cativas para estudá-la: basta enumerar suas bases e contemplar o que há de mais interessante na sua concepção.

Noção Intuitiva

Está lá, no diálogo entre Euclides e George, transcrito no início desta unidade:

Quando contemplamos um edifício, sabemos que, para se sustentar, deve ter uma base sólida. Partindo desta idéia, pode-se imaginar a geometria como um imenso edifício e, portanto, exigindo uma base onde possa ser erguida. Diferente de muitas áreas da matemática, a geometria é construída através de conceitos primitivos ou intuitivos (ponto, reta e plano) e, também, através de postulados e axiomas.

Axioma ou postulado é uma proposição admitida como verdadeira, sem demonstração.


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Como você viu anteriormente, foi o geômetra grego Euclides, em seu livro Elementos, o primeiro a desenvolver um sistema de idéias em geometria, no qual utiliza algumas afi rmações simples, como verdadeiras (axiomas), para demonstrar outras mais complexas. Este sistema de idéias é chamado de dedutivo e inspirou muitas outras áreas, entre elas, a física, estudada por Newton.

Observe a letra da música Aquarela, do cantor e compositor Toquinho:

Numa folha qualquer eu desenho um sol amarelo E com cinco ou seis retas é fácil fazer um castelo

Corro o lápis em torno da mão e me dou uma luva E se faço chover com dois riscos tenho um guarda-chuva

Se um pinguinho de tinta cai num pedacinho azul do papel Num instante imagino uma linda gaivota a voar no céu

Vai voando, contornando a imensa curva, Norte-Sul Vou com ela viajando Havaí, Pequim ou Istambul

Pinto um barco à vela, branco navegando É tanto céu e mar num beijo azul

Entre as nuvens vem surgindo um lindo avião, rosa e grená Tudo em volta colorindo com suas luzes a piscar Basta imaginar e ele está partindo, sereno indo

E se a gente quiser, ele vai pousar.

Esta letra de música expressa bem o que a geometria representa, ou seja, que ela está presente no nosso cotidiano. Note que apareceram muitas noções geométricas como retas, riscos e curva. E algumas palavras usadas na composição musical sugerem uma noção geométrica, por exemplo, um pingo de tinta nos dá a noção de um ponto. O mar, por exemplo, parece um imenso plano, até se perder na linha do horizonte. Com isso quer-se salientar que a geometria está presente a sua volta e que, principalmente, as três primeiras idéias intuitivas são:


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Geometria I

Unidade 1

Ponto: Não tem dimensão, não possui comprimento, largura ou espessura.

Representa-se um ponto por letras latinas maiúsculas: Ponto A, Ponto B, Ponto P e etc.

Por exemplo, as marcas que mostram as cidades em um mapa nos dão idéia de ponto:

Figura 1.2 – Mapa de SC.

Reta: A reta tem somente uma dimensão, isto é, comprimento infi nito. Não possui largura nem espessura. No papel, representamos apenas “uma parte” da reta.

Representa-se uma reta por letras latinas minúsculas: Reta a, Reta b, Reta r, e etc.


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Por exemplo, um barbante esticado nos dá a noção de reta:

Plano: O plano tem duas dimensões: comprimento e largura. Não possui espessura. Assim como a reta, para representarmos o plano no papel, desenhamos apenas “uma parte” dele.

Representa-se um plano por letras gregas minúsculas: Plano α, Plano β,...

Por exemplo, uma quadra de tênis nos dá noção de plano:

Figura 1.3 – Noção de plano.

Você sabia que as letras gregas são muito utilizadas em Matemática? Veja, a seguir, as mais empregadas:

• α (alfa), β (beta), δ (delta), ε (epsilon), φ (fi ), γ (gama), η( ni), ϕ (psi), λ (lãmbida), µ (mi), π ( pi), θ (teta), ρ (rô), σ ( sigma), κ (capa).


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Geometria I

Unidade 1

SEÇÃO 2 – Axiomas de Incidência e Ordem

E George adormece outra vez.

George: Euclides, você está aí?

Euclides: Oi meu jovem! E então, tudo entendido?

George: Até aqui, tudo ótimo! É fascinante saber que idéias tão simples, ou seja, o ponto, a reta e o plano são tão fundamentais para o desenrolar dessa fascinante disciplina, a geometria.

Euclides: E estas idéias são apenas o começo.

George: Estou começando a entender. Estas idéias intuitivas devem estar todas relacionadas, não é? É aí que você entra?

Euclides: Exatamente.

George: São os axiomas, não são?

Euclides: Correto, novamente. Apenas considerei algumas idéias verdadeiras e, a partir daí, foi possível provar outras mais complexas.

George: A geometria começa a se organizar.

Euclides: E o mais interessante, são idéias simples e de fácil entendimento.

George: Euclides, não leve a mal, mas preciso acordar, este nosso papo me deixou empolgado para conhecer os tais axiomas. Um abraço, e qualquer coisa eu o chamo de novo.

Euclides: Até breve, meu jovem. E sucesso!

Você deve estar se perguntando qual a importância destes axiomas para a geometria?


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Pelo diálogo anterior, você percebeu que os mesmos são a base de toda a geometria. Idéias simples, tidas como verdadeiras, para provar outras mais complexas. Com os axiomas e algumas defi nições, vamos relacionar as noções de ponto, reta e plano, ordenar pontos, medir segmentos e ângulos, entender a idéia de ângulo para, mais adiante, estarmos aptos a entrar no estudo da geometria plana.

Axiomas de Incidência

Axioma I: Qualquer que seja a reta, existem pontos que pertencem à reta e pontos que não pertencem à reta.

Figura 1.4 – Representação do axioma I.

Assim, dizemos que A ∈ r e B ∈ r, ou seja, A e B estão em r, ou a

reta r passa por A e B.

Dizemos também que C ∉ r, ou seja, C não está em r, ou r não passa

por C.

O símbolo ∈ representa pertence. Já o símbolo ∉ representa não pertence. No caso A ∈ r, lê-se “A pertence a r”, e, no caso C ∉ r, lê-se “C não pertence a r”.

As retas e os pontos se relacionam da seguinte maneira:

Pontos colineares são pontos que pertencem a uma mesma reta.


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Geometria I

Unidade 1

Veja a fi gura a seguir:

Dizemos que o ponto M, N e P são colineares.

Já os pontos M, N, P, A e B não são colineares.

Quantos pontos são necessários para obter uma única reta?

Tente responder a esta pergunta! Você pode utilizar o software Cabri-géomètre nessa tentativa.

A resposta é dois pontos. Na verdade, este é o axioma II.

Axioma II: Por dois pontos distintos passa uma única reta.

Figura 1.5 – Representação do Axioma II.

Observe que, neste caso, tomamos os pontos A e B para mostrar que por eles passa uma única reta. Mas não se esqueça de que a reta é infi nita. Para denotarmos essa reta, utilizamos .

Você já ouviu falar de alguns termos relacionados a retas, como, por exemplo, semi-retas e segmento de reta? Você sabe a diferença entre eles?

O software Cabri-géomètre foi apresentado na disciplina Informática Aplicada à Educação Matemática


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A seguir, mostraremos algumas defi nições muito importantes e que são peças chaves na geometria:

Incidência: Dizemos que uma reta r, incide sobre o ponto A se A ∩ r = A

O símbolo ∩ representa intersecção. No caso A ∩ r = A, lê-se:

“A intersecção de A com r é igual a A ”.

Interseção entre duas retas: Dizemos que duas retas se interceptam em um ponto, quando este ponto pertencer a cada uma delas.

Semi-reta: Seja r uma reta e A e B pontos sobre r. A semi-reta com extremidade em A, contendo o ponto B é a parte da reta r, com extremidade em A, que contém o ponto B. Representamos a semi-reta de origem em A e que contém o ponto B por .

Segmento de Reta: O conjunto constituído por dois pontos A e B e por todos os pontos que se encontram entre A e B é chamado de segmento de reta, neste caso segmento . Os pontos A e B são chamados de extremos ou extremidades do segmento.


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Geometria I

Unidade 1

O segmento acima pode ser denotado por ou . Só existe diferença entre as notações, quando estivermos falando de segmentos orientados.

Observe que, ao representarmos uma semi-reta, utilizamos uma seta sobre as letras que representam os pontos dessa reta; já, na representação de segmento, utilizamos um traço.

Agora que já conhecemos segmentos, vamos mostrar uma das fi guras construída por três pontos não colineares e pelos segmentos de reta determinados por estes três pontos.

A mais simples das fi guras geométricas usando segmentos de reta é o triângulo.

Você sabia que os triângulos são fi guras geométricas muito utilizadas no nosso dia-a-dia?

Olhe para os lados e tente identifi car algum triângulo. Encontrou?

Na unidade II, estaremos trabalhando com essa fi gura tão útil e vamos aprender que, desde os tempos mais antigos, ela foi fundamental para o desenvolvimento da geometria.

Agora, vamos continuar falando de ponto e reta.


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Você já pensou quantas retas passam por um único ponto?

Pegue uma folha, um lápis e uma régua e tente descobrir.

O que você descobriu?

Pois é! Infi nitas retas - e este é mais um axioma da geometria.

Axioma III: Por um ponto passam infi nitas retas.

Figura 1.6 – Representação do Axioma III.

Com base nos três axiomas analisados, chamados axiomas de incidência, já podemos provar alguns resultados mais complexos.

Teoremas são resultados mais complexos, que podem ser demonstrados a partir de outros resultados.

Teorema 1.1: Duas retas distintas, ou não, se interceptam ou se interceptam em um único ponto.


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Geometria I

Unidade 1

E George cai em sono profundo:

Euclides: Você por aqui, meu jovem?

George: Problemas, Euclides, problemas. Preciso demonstrar um resultado, usando apenas os axiomas, você pode me ajudar?

Euclides: Claro meu rapaz. Vamos mostrar isto por absurdo.

George: Como fazemos isso?

Euclides: Qual a hipótese do seu resultado?

George: Hipótese? O que é isso?

Euclides: É o que é dado no teorema como verdadeiro.

George: Ah bom! O teorema dá como hipótese que as retas são distintas.

Euclides: E a tese?

George: Tese? Também não sei o que signifi ca.

Euclides: Tese é o que você quer demonstrar.

George: Só isso? A tese do problema é que devemos mostrar que as retas não se interceptam, ou se interceptam em um ponto.

Euclides: Este teorema pode ser demonstrado por absurdo. Nesse caso devemos negar a tese, ou seja, suponha que elas se interceptam em dois pontos e chega-se a uma contradição da hipótese.

George: Humm... Boa idéia. Vamos ver.

Euclides: Mas lembre-se de que nem todos os teoremas e proposições são demonstrados desta forma.

George: Ok! Vou lembrar disso.


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Demonstração (por absurdo):

Hipótese: Dadas duas retas distintas r e s.

Tese: As retas r e s não se interceptam, ou se interceptam em um ponto.

Dadas duas retas r e s, suponha que r e s se interceptam em dois pontos A e B nesse caso. Pelo axioma II r e s são coincidentes o que é absurdo já que por hipótese as retas são distintas. Logo, as retas se interceptam em no máximo um ponto.

Axiomas de Ordem

Para dar uma ordenação nos pontos que pertencem a uma reta, é necessário mais dois axiomas.

Axioma IV: Dados três pontos colineares, um e apenas um deles localiza-se entre os outros dois.

Figura 1.7 – Representação do axioma IV.

Na fi gura 1.7: C está entre A e B.

Quantos pontos existem entre dois pontos de uma reta?

Se você observar bem, responderá:

- Infi nitos!

Isto parece simples, não é mesmo? O axioma V nos garante esta certeza.


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Geometria I

Unidade 1

Axioma V: Dados dois pontos A e B, sempre existem um ponto C entre A e B e um ponto D tal que B está entre A e D.

Figura 1.8 – Representação do axioma V.

Observação: Como conseqüência do axioma V, tem-se que existem infi nitos pontos entre dois pontos e que uma semi-reta

contém infi nitos pontos além daqueles entre A e B.

Para fi nalizar o estudo desta seção, vamos defi nir as idéias de segmentos colineares, consecutivos e adjacentes.

Segmentos consecutivos:

Dois segmentos são consecutivos, se a extremidade de um deles é também extremidade do outro (uma extremidade de um coincide com uma extremidade do outro).

Figura 1.9: Segmentos consecutivos

Segmentos colineares:

Dois segmentos de reta são colineares, se estão numa mesma reta.

Figura 1.10: Segmentos Colineares


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Observe que na fi gura 1.10:

e , apesar de serem colineares, não são consecutivos (pois a extremidade do segmento não é extremidade do segmento ).

e são consecutivos e colineares.

e são consecutivos e colineares (pois o ponto N é extremidade dos segmentos e ).

Segmentos adjacentes: Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes, se possuem em comum somente uma extremidade (não têm pontos internos comuns).

Figura 1.11: Segmentos Adjacentes

Dada a fi gura abaixo, determine o que se pede:

Segmentos consecutivos.

Segmentos colineares.

Segmentos adjacentes.

As semi-retas determinadas pelos pontos A, B e C.

a)

b)

c)

d)


35

Geometria I

Unidade 1

Solução:

Os segmentos e são consecutivos, assim como os segmentos e , pois ambos têm a extremidade do ponto B em comum.

Os segmentos , e são colineares, pois pertencem à mesma reta.

Os segmentos adjacentes são e .

As semi-retas com origem no ponto A são denotadas por e . As Semi-retas com origem no ponto B são denotadas por

e . E fi nalmente, as Semi-retas com origem no ponto C são e .

Agora você já pode começar a fazer algumas das atividades de auto-avaliação que estão no fi nal da unidade, tente do 1o ao 9o.

SEÇÃO 3 – Axiomas sobre medição de segmentos

Euclides: Olá George, como vão os estudos?

George: Beleza, mas o que manda?

Euclides: Tenho uma pergunta a lhe fazer. Você sabe “Como” e “Quando” foi criada a unidade metro?

George: Não. Poxa, na verdade eu nunca pensei nisso.

a)

b)

c)


36


Euclides: Então vou lhe contar. Em 1790, alguns matemáticos importantes da época, entre eles Lagrange, Laplace e Monge, integraram uma comissão criada pela Assembléia Constituinte da França, com o objetivo de criar uma unidade de medida e comprimento. Depois disso, por volta de 1795, estabeleceu-se o metro como unidade de medida padrão de comprimento defi nido como “a décima milionésima parte do quadrante de um meridiano terrestre”.

George: Nossa, que legal, mas como eles fi zeram isso?

Euclides: Agora é com você, tente descobrir.

George: Euclides, não me deixe com essa curiosidade. Euclidessss.

Tente você também desvendar o desafi o proposto por Euclides.

Agora que você já conhece a defi nição de segmento de reta, está apto a medir estes segmentos. Para isso, temos mais alguns axiomas que nos ajudam em uma etapa de construção.

Você já deve ter usado ou usa o mais conhecido instrumento de medição: a régua graduada.

Figura 1.12 – Régua Graduada.

Dizemos que dois conjuntos A e B têm uma correspondência biunívoca, se todo elemento de A está relacionado com um elemento de B e vice – versa.

Axioma VI: Cada ponto de uma reta tem correspondência com um número real e vice-versa, ou seja, existe uma correspondência biunívoca entre os pontos de uma reta e os números reais. Fazendo a diferença destes números, medimos a distância entre os pontos correspondentes.

Como cada ponto corresponde a um número real e os números reais são infi nitos, observa-se intuitivamente que a reta também é infi nita.


37

Geometria I

Unidade 1

O número correspondente a um ponto da reta é denominado coordenada daquele ponto.

Assim, cada ponto da reta real é associado com um número real.

Considere o segmento de reta .

Pelo axioma VI, A está relacionado ao número real a, e B está relacionado ao número real b, o comprimento do segmento é dado por

As barras | | indicam que o número AB é sempre positivo.

Observe que, quando falamos de comprimento do segmento , a notação é AB. Ou seja, para representar a medida de

qualquer segmento, não utilizamos nem barra, nem seta sobre a notação. Mas atenção, essa é uma convenção adotada nesse material, você pode encontrar outras notações em livros diferentes.


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1) Suponha que um segmento da reta real, onde o ponto A tem coordenada -5 e o ponto B tem coordenada 3. Qual o comprimento deste segmento?

Solução:

2) Dada a fi gura abaixo, determine MN, sabendo que AB = 27:

Pela fi gura:

Como

Assim

Note, pelo exemplo, que podemos ter outros segmentos com extremidades em outros pontos, mas com o mesmo comprimento. São segmentos diferentes, mas com a mesma medida, neste caso, estamos falando de segmentos congruentes.

A seguir, explanaremos a idéia de segmentos congruentes que, de maneira geral, se confunde com a idéia de igualdade entre segmentos.

Congruência entre Segmentos

A palavra congruência é usada na geometria, quando dois objetos geométricos do mesmo tipo são idênticos. Por objetos, podemos entender segmentos, ângulos, triângulos, entre outros.

O símbolo que representa congruência é .

No caso , lê-se “o segmento é congruente ao segmento ”.


39

Geometria I

Unidade 1

Podemos então pensar que congruência é um termo primitivo, utilizado em axiomas, para representar a relação entre dois elementos do mesmo tipo.

Você sabe qual a diferença entre congruência e igualdade?

Parecem ter o mesmo signifi cado, não é mesmo?

Observe que duas fi guras são iguais, quando o conjunto de pontos que as formam são os mesmos.

Duas fi guras são congruentes, quando se “encaixam” exatamente umas sobre as outras, apesar de os pontos que as defi nem serem diferentes.

Dois segmentos, são ditos congruentes se têm o mesmo comprimento.

Figura 1.13: Segmentos Congruentes

Os Sinais |, ||, ||| sobre os segmentos representam que aqueles que possuem o mesmo sinal tem comprimentos iguais.

Na fi gura 1.13 os segmentos , e são congruentes, denotamos por ≡ ≡ .


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Note que os segmentos são formados por pontos diferentes, mas, se transportados um sobre os outros, se “encaixam” perfeitamente, por isso dizemos que todos eles são congruentes.

Os segmentos e não são congruentes a nenhum dos outros, pois o comprimento de cada um é diferente do comprimento dos outros.

A seguir, você irá acompanhar as propriedades da congruência de segmentos.

Propriedades são verdades provadas, que valem sempre.

Propriedades: A congruência de segmentos satisfaz as seguintes propriedades:

1) Refl exiva: Todo segmento é congruente a si mesmo: ≡ .

2) Simétrica: Se ≡ , então ≡ .

3) Transitiva: se ≡ e ≡ , então ≡ .

Axioma VII: Se um ponto C está entre A e B então,

Figura 1.14 – Representação do axioma VII.

O próximo resultado nos fala de um ponto muito importante, o ponto médio. Mas este requer demonstração um pouco mais extensa.


41

Geometria I

Unidade 1

Num outro sono de George, Euclides aparece:

George: Amigo, preciso de você.

Euclides: Estou aqui para ajudar, o que houve?

George: Vou começar a estudar um assunto da geometria que é o ponto médio, fi quei assustado.

Euclides: Por que?

George: Percebi que a demonstração é grande e deve ser confusa.

Euclides: Caro George, percebo que você nem leu a demonstração e já acha que não conseguirá.

George: Verdade, só porque é extensa, já entrei em pânico.

Euclides: Extensa é, mas é apenas um conjunto de idéias que são deduzidas a partir de outras mais simples.

George: Verdade, os axiomas mais uma vez.

Euclides: Isso mesmo. Então fi que mais tranqüilo, e não se desespere antes da hora.

George: Obrigado!

Dado um segmento de reta , se conseguirmos um ponto C deste segmento tal que, AC = CB, dizemos que C é o ponto médio do segmento .

Figura 1.15 – Representação de C como Ponto Médio do segmento .


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Observe que o ponto médio divide o segmento em dois segmentos congruentes e .

Teorema 1.2: Um segmento tem exatamente um ponto médio.

Demonstração: Vamos dividir essa demonstração em duas partes: a existência e a unicidade do ponto médio.

(Existência: Um segmento tem um ponto médio)

Considere um segmento de reta , com coordenadas dos extremos dados por a e b.

Considere também um terceiro número c e denote-o por:

O axioma IV nos garante que existe um ponto C da reta que tem exatamente esta coordenada.

A idéia é mostrar que este ponto C está entre A e B, e, além disso, AC = CB.

Calculando o comprimento do segmento e .

Ou seja, AC = CB. Mas como o número está entre a e b,

segue que o ponto C está entre A e B, pois é coordenada de

C. Pela defi nição de ponto médio, segue que C é o ponto médio

de . Com isto provamos a existência de ponto médio cuja

coordenada é dada por: .


43

Geometria I

Unidade 1

(Unicidade: Este ponto é único)

Para isto, suponha a existência de um outro ponto médio D do

segmento , então AD = DB Considere a, b e d coordenadas dos pontos A, B e D respectivamente. Portanto, para provar que C = D, basta provar que as coordenadas destes pontos são iguais,

isto é, d = c = .

Assim, se a < d < b, então a – d = d – b, pois d é coordenada do ponto

médio D, e, resolvendo a igualdade, tem-se que d = .

E, se b < d < a, então, b – d = d – a, ou seja, d = .

Logo se conclui que d = c e, pelo axioma IV, segue que D = C, isto é, o ponto médio é único.

1) Sejam A, B e C pontos de uma reta. Faça um desenho representando-os, sabendo que AB = 3 cm, AC = 2 cm e BC = 5 cm.

Solução: O maior segmento é o segmento , logo A está entre B e C. Então:

2) Se, num segmento , o ponto A tem coordenada 4 e o ponto B tem coordenada 8, qual a coordenada do ponto médio M ?

Solução: Denotamos a coordenada do ponto M, por m, então:

Propriedades da distância entre dois pontos:

a) Para quaisquer dois pontos A e B, tem-se . Além disso, AB = 0, se, e somente se, A = B.


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O axioma VI nos garante que a dist ância é sempre positiva, já que a medida do segmento é dada pelo módulo da diferença das coordenadas.

b) Para quaisquer dois pontos A e B, tem-se:

O axioma VI também nos garante ist o, pois:

SEÇÃO 4 – Axiomas sobre medição de ângulos

George está no sono dos Deuses, depois de mais um dia de estudos, e encontra, mais uma vez, Euclides.

George: Euclides, que prazer em vê-lo de novo!

Euclides: O prazer é todo meu. Venho acompanhando o seu desempenho no estudo da geometria e confesso que estou gostando muito.

George: Ah, obrigado! Mas realmente o assunto é bem empolgante.

Euclides: E, então, qual o próximo passo?

George: Já sei medir segmentos e encontrar a coordenada do ponto médio. Preciso de algo mais?

Euclides: Com certeza. Você, que é bem moderno, já deve ter ouvido falar de GPS, de latitude, longitude.


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Geometria I

Unidade 1

George: Com certeza, e o que isso tem a ver com geometria?

Euclides: Ora, quando você fala de longitude e latitude, como você mede isto?

George: Usando Graus.

Euclides: Exatamente, muitas coisas importantes da sua vida dependem deste tipo de medição, que é o grau. Supõe-se que o homem começou a medir ângulos por volta de 2800 a.C., com o objetivo de auxiliar na astronomia. Veja que interessante: quando um astrônomo queria saber a que distância a lua estava acima do horizonte, ele esticava o braço e calculava quantos dedos comportavam o espaço entre a lua e o horizonte, e assim utilizava essa medida para seus estudos. Pesquise mais sobre isso e veja suas inúmeras aplicações ao longo dos anos, para o desenvolvimento da humanidade.

George: Ah, então o grau tem tudo a ver com geometria também?

Euclides: E como! Quando falamos de segmentos de mesma origem, podemos falar de grau.

George: Interessante, mais um conceito tão simples e tão importante. Já vi que tenho trabalho para amanhã. Um abraço!

Euclides: Até breve.

A região do plano, compreendida entre duas semi-retas com origem comum, é chamada de ângulo.

Figura 1.16 – Esboço do ângulo AÔB.

Existem algumas maneiras de representar um ângulo. De acordo com a fi gura 1.16, podemos designá-lo como ângulo Ô, ou AÔB, ou BÔA, ou apenas ângulo α. A origem O é chamada de vértice e as semi-retas r e s são os lados do ângulo.


46


Você acompanhará, a seguir, a defi nição de alguns conceitos fundamentais para a continuação do nosso estudo.

Dois ângulos são consecutivos, se um lado de um deles é também lado do outro.

Dois ângulos consecutivos são adjacentes, se não têm pontos internos comuns.

Observe que, para que dois ângulos sejam adjacentes, eles devem ser consecutivos.

Tente esboçar alguns exemplos de ângulos consecutivos e adjacentes.

Um ângulo formado por duas semi-retas distintas, opostas, pertencentes à mesma reta, é chamado de ângulo raso.

Figura 1.17 - Ângulo raso.

Os ângulos são medidos em graus e usa-se um transferidor para medi-los.


47

Geometria I

Unidade 1

Figura 1.18 - Transferidor.

Observação: Tome uma circunferência de raio qualquer e a divida em 360 partes iguais, obtendo assim 360 arcos de circunferência. Agora tome duas semi-retas com origem no centro da circunferência, sendo que uma delas tem extremidade no início de um destes arcos e a outra tem extremidade no fi m do mesmo arco. Esta região entre as semi-retas forma um ângulo cuja medida chamaremos de grau. Representa-se, usando-se o símbolo °.

Existem muitos objetos no cotidiano que dão a noção de ângulo como, por exemplo, a região entre os ponteiros do relógio, os raios de uma roda de bicicleta, o braço e o antebraço, as hélices de um helicóptero. E, se você olhar à sua volta, atentamente, encontrará muitos outros.

Axioma VIII: Todo ângulo tem uma medida em graus maior ou igual a zero. A medida de um ângulo é zero se ele é constituído por duas retas coincidentes. A medida de um ângulo é 180o (ângulo raso) se é formado entre duas semi-retas opostas.

Figura 1.19 – Ângulos Zero e Raso.


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Axioma IX: É possível colocar, em correspondência biunívoca, os números entre 0o e 180o e as semi-retas de mesma origem que dividem um dado Semi-plano, de modo que a diferença entre estes números seja a medida do ângulo formado pelas semi-retas correspondentes.

Figura 1.20 – Representação do axioma IX.

Assim, a medida do ângulo AÔB, denotada por m(AÔB), pode ser calculada como:

m(AÔB) =|bº - aº|

Exemplo: Considere o diagrama abaixo:

Note que m(AÔC) = 60º e m(BÔC) = 120º. Então, m(AÔB) = |120º - 60º| = 60º

Dois ângulos são ditos suplementares, se a soma de suas medidas é 180°.


49

Geometria I

Unidade 1

Figura 1.21 – Os ângulos AÔB e AÔC são suplementares.

Exemplos: Os ângulos de medida 30° e 150° são suplementares, pois a soma de suas medidas é 180°. Já os ângulos de medidas 30° e 60° não são suplementares, pois a soma de suas medidas não é de 180°.

Duas retas distintas que se interceptam em um único ponto são chamadas de concorrentes.

Figura 1.22 – Retas concorrentes - r s = {A}

Duas retas concorrentes, formam-se quatro ângulos. Dois destes ângulos são opostos pelo vértice, quando os lados de um dos ângulos são prolongamentos dos lados do outro.

Figura 1.23 – Ângulos opostos pelo vértice.


50


Assim, os ângulos AÔB e DÔC são opostos pelo vértice, da mesma forma como DÔA e CÔB também são opostos pelo vértice.

Proposição: Ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida.

De acordo com a fi gura 1.23, AÔB e DÔC são opostos pelo vértice e possuem o mesmo suplemento AÔD. Logo:

m(AÔB)+m(AÔD) = 180º (1)

m(DÔC)+m(AÔD) = 180º (2)

Da equação (1) temos que m(AÔD) = 180º - m(AÔB). Agora substitua m(AÔD) encontrado na equação (2). Portanto:

m(DÔC)+(180º - m(AÔB) = 180º, ou seja, m(AÔB) = m(DÔC).

Um ângulo cuja medida é 90° é chamado de ângulo reto.

Figura 1.24 – Ângulo reto.

Vamos utilizar o símbolo para representar um ângulo reto.

Exemplo: Mostre que o suplemento de um ângulo reto é um ângulo reto.


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Geometria I

Unidade 1

Solução: Denote por x o suplemento do ângulo reto. Como o ângulo reto mede 90°, então temos:

Se x é um ângulo qualquer, então 180º - x é o seu suplemento.

Dois ângulos cuja soma é 90° são chamados de complementares. Assim, se x é um ângulo qualquer, então 90º- x é o seu complemento.

Exemplos:

1) Se x, é um ângulo qualquer, escreva o dobro do seu suplemento e, em seguida, a metade do seu suplemento.

Solução: Se x é um ângulo qualquer, então 180º - x é o seu suplemento, logo o dobro do seu suplemento é dado por 2.(180º - x). Da mesma maneira a metade do seu suplemento é dado por

2) Qual o complemento do ângulo que mede 16° e o suplemento do ângulo que mede 55º?

Solução: Se x =16º é o ângulo dado, então seu complemento é obtido por:

Já o suplemento de y = 55° é dado por:

3) Encontre as medidas de dois ângulos que sejam complementares e em que a medida do menor seja 40° inferior à do maior.

Solução: Sejam a e b as medidas dos ângulos procurados e suponha que a é a medida do ângulo maior.

Como a e b são complementares, a + b = 90º


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Como o ângulo menor mede 40° a menos que o maior, então b = a - 40º

Portanto temos:

Substituindo a segunda equação na primeira, temos:

Assim, o ângulo b mede b = a - 40o = 65o - 40o = 25o.

Os ângulos procurados medem 65o e 25o.

Veja na tabela a seguir, a medida dos ângulos e seus nomes. Considere x, um ângulo que mede entre 0° e 180°.

Medida dos Ângulos Nomes

x = 90º Ângulo reto

x < 90º Ângulo agudo

x > 90º Ângulo obtuso

x = 180º Ângulo raso

Suponha duas retas concorrentes. Se a medida de um dos quatro ângulos for de 90°, então todos os outros também medem 90o. Neste caso dizemos que as retas são perpendiculares.

Teorema 1.13: Por um ponto dado de uma reta, num plano, passa uma única perpendicular a esta reta.

Que tal você tentar demonstrar este teorema? Use simplesmente o axioma IX e a idéia de correspondência biunívoca.Veja a atividade de auto-avaliação número 25.


53

Geometria I

Unidade 1

Da mesma forma que falamos sobre congruência de segmentos, podemos falar, também, sobre congruência de ângulos.

Congruência de Ângulos

Dois ângulos são ditos congruentes, se eles têm a mesma medida.

Figura 1.25: Ângulos Congruentes.

Propriedades: A congruência entre ângulos satisfaz as seguintes propriedades:

4) Refl exiva: todo ângulo é congruente a si mesmo: AÔB ≡ AÔB

5) Simétrica: se AÔB ≡ CÔD, então CÔD ≡ AÔB.

6) Transitiva: se AÔB ≡ CÔD e CÔD ≡ EÔF, então AÔB ≡ EÔF

Dado um ângulo AÔB, uma semi-reta é chamada de bissetriz do ângulo, se m(AÔC) ≡ m(CÔB).

Figura 1.26: Ângulo AÔB e sua bissetriz .

Ou seja, a bissetriz de um ângulo é uma semi-reta interna ao ângulo, com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes.


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Exemplo: São dados dois ângulos agudos adjacentes, cujas bissetrizes formam um ângulo de 60o. Sabendo que a medida de um deles é 42o, determine a medida do outro.

Solução: Sejam 2x e 2y as medidas dos dois ângulos assim pela fi gura:

Como

Logo, os ângulos medem 42o e 78o.

George: Euclides, tudo bem com você?

Euclides: Com certeza, meu rapaz. E então, o que achou de todo o estudo?

George: Fascinante. Idéias simples, usadas para demonstrar resultados importantes e, o mais legal, demonstrações não tão difíceis de entender.

Euclides: Que bom que você gostou, fi co feliz em ter podido ajudá-lo nesse maravilhoso mundo da geometria. Mas lembre-se, isto é apenas o começo. Apenas o iniciei nos estudos.

George: Eu sei, Euclides, tenho muito que aprender ainda, esta é apenas a ponta do iceberg.

Euclides: Acredito que a partir de agora nos encontraremos com menos freqüência, pois você já consegue andar com suas próprias pernas. Mas, como dizem vocês jovens modernos, foi maneiro te ajudar. Um grande abraço!


55

Geometria I

Unidade 1

George: Falou, Euclides, obrigado e até mais.

E George se despede de seu mais ‘antigo professor’ e vai em busca de novos conceitos geométricos.

Síntese

Você estudou nesta unidade uma série de propriedades da geometria: algumas delas são aceitas sem demonstração, os axiomas; outras necessitam dos axiomas para serem verifi cadas. O mais interessante – você deve ter notado – é que as idéias são simples e a partir delas conseguimos a chegar a resultados importantes. O que fi zemos neste capítulo I foi dar a base para a construção da geometria e fi zemos isso com a ajuda da pessoa que conferiu ordem lógica à geometria: Euclides. Agora você está apto a estudar outros aspectos da geometria, como congruência e semelhança de triângulos, trigonometria e área de fi guras planas conhecidas. E então, preparado? Mais assuntos interessantes o aguardam nos próximos capítulos. Mãos à obra.

Antes de passar ao próximo capítulo, esclareça todas as suas dúvidas com o seu professor tutor e bom trabalho.

Saiba mais

Se você gosta de História da Matemática e fi cou interessado nos axiomas de Euclides, sugiro a leitura de Teorema do Papagaio, um delicioso texto que mistura fi cção com a realidade da história da matemática.

GUEDJ, Denis. Teorema do papagaio. São Paulo: Companhia das Letras, 1999.


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Atividades de auto-avaliação

1) Responda às perguntas, usando a idéia de ponto, reta ou plano.

a) Que idéia dá a marca de pênalti de um campo de futebol?

b) Que idéia dá a página de um livro?

c) Que idéia dá o barbante de sustentação de uma pipa?

2) Considere os seguintes elementos: O furo feito por uma agulha, a superfície de uma piscina, as linhas divisórias de uma quadra de futebol, uma corda esticada, a cabeça de um prego, uma folha de papel, quais nos dão a idéia de:

a) Ponto?

b) Reta?

c) Plano?


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Geometria I

Unidade 1

3) Imagine-se num estádio de futebol, contemplando o campo e suas linhas divisórias. Identifi que, no campo, algo que dê a idéia de ponto, reta e plano.

4) Encontre a sua volta pelo menos três objetos nos que dão idéia de ponto, reta e plano.


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5) Assinale V (verdadeiro) ou F (falso).

A. ( ) Três pontos distintos são sempre colineares.

B. ( ) Quatro pontos todos distintos determinam duas retas.

C. ( ) Por quatro pontos todos distintos pode passar uma só reta.

D. ( ) Quaisquer que sejam os pontos A e B, se A é distinto de B, então existe uma reta r tal que A ∈ r e B ∈ r.

E. ( ) Quaisquer que sejam os pontos P e Q e as retas r e s, se P é distinto de Q, e P e Q pertencem às retas r e s, então r = s.

F. ( ) Qualquer que seja uma reta r, existem dois pontos A e B tais que A é distinto de B, com A ∈ r e B ∈ r.

G. ( ) Se A = B, existe uma reta r tal que A, B ∈ r.

H. ( ) Duas retas distintas que têm um ponto em comum são concorrentes.

I. ( ) Duas retas concorrentes têm um ponto em comum.

J. ( ) Se duas retas distintas têm um ponto em comum, então elas possuem um único ponto comum.

6) Utilizando os axiomas de 1 a 5, discuta as seguintes questões:

a) Existem retas que não se interceptam.

b) Num segmento de reta existem infi nitos pontos.


59

Geometria I

Unidade 1

7) Quantas retas passam por quatro pontos todos distintos, sendo três colineares?

8) Três pontos distintos de uma reta, quantos segmentos distintos podem determinar?

9) Quantos segmentos há que passam por A e B distintos? Quantos há com extremidades em A e B.

10) Sejam A, B e C pontos de uma reta. Faça um desenho representando-os, sabendo que C está ente A e B e que AB = 5 e AC = 2


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11) Sejam A1 e A2 pontos de coordenadas 1 e 2. Dê a coordenada do ponto médio A3 do segmento A1A2. Dê a coordenada do ponto médio A4 do segmento A2A2. Dê a coordenada a3 do ponto médio do segmento A3A4.

12) Desenhe uma reta e sobre ela marque dois pontos A e B. Suponha que a coordenada do ponto A seja zero e a do ponto B seja um. Marque

agora pontos cujas coordenadas são 1, , , , 2, 0,-1, -3, -5, , .

13) Se o segmento mede x + 3 e o segmento mede 2x - 5 e M é o ponto médio do segmento , determine AB.


61

Geometria I

Unidade 1

14) Usando uma folha de papel, lápis e régua, desenhe duas retas perpendiculares.

15) Dois ângulos são complementares e o suplemento de um deles mede tanto quanto o suplemento do segundo, mais 30°. Quanto medem estes dois ângulos?

16) Assinale V (verdadeiro) ou F (falso) nas alternativas abaixo.

A. ( ) A região compreendida entre duas semi-retas de mesma origem recebe o nome de ângulo.

B. ( ) Um ângulo raso mede 90°.

C. ( ) Um ângulo formado por duas semi-retas distintas pertencentes a uma mesma reta é um ângulo raso.

D. ( ) O aparelho usado para medir ângulos recebe o nome de régua.

E. ( ) Duas retas concorrentes e perpendiculares formam um ângulo de 90°.

F. ( ) O ângulo agudo é maior que 90° e o ângulo obtuso é menor que 90°.

G. ( ) Dois ângulos cuja soma é de 180° recebem o nome de suplementares.

H. ( ) 30° e 120° são ângulos suplementares.

I. ( ) Se α é um ângulo qualquer, então o seu suplementar mede 180° - a.

J. ( ) Dois ângulos opostos pelo vértice são iguais.


62


17) Demonstre que, se um ângulo e seu suplemento têm a mesma medida, então o ângulo é reto.

18) Demonstre que o suplemento de um ângulo agudo é sempre obtuso. Lembre-se de que você deve mostrar que o ângulo procurado é maior que 90°

19) Dado um ângulo de medida x, encontre:

a) o triplo do seu suplemento;

b) a sétima parte do complemento;

c) o complemento de sua terça parte.


63

Geometria I

Unidade 1

20) Encontre dois ângulos que sejam complementares e em que a medida do maior seja quatro vezes a do menor.

21) Encontre dois ângulos que são suplementares e em que a medida do menor seja a metade da medida do maior.

22) Encontre dois ângulos suplementares cuja medida do maior é 20° inferior ao triplo do menor.


64


23) Suponha que dois ângulos α e β de duas retas que interceptam uma terceira são iguais e que α + β = 180º. Conclua que as retas são perpendiculares. Faça desenho para auxiliar nas suas conclusões.

24) Classifi que as sentenças a seguir em V (verdadeiro) ou F (falso), e justifi que:

A. ( ) se dois segmentos são consecutivos, então eles são colineares;

B. ( ) se dois segmentos são colineares, então eles são consecutivos;

C. ( ) se dois segmentos são adjacentes, então eles são colineares;

D. ( ) se dois segmentos são colineares, então eles são adjacentes;

E. ( ) se dois segmentos são adjacentes, então eles são consecutivos;

F. ( ) se dois segmentos são consecutivos, então eles são adjacentes;

Utilize o espaço abaixo para as justifi cativas:


65

Geometria I

Unidade 1

25. Demonstre o teorema 1.3: Por qualquer ponto de uma reta passa uma única perpendicular a esta reta.


UNIDADE 2

Triângulos


Conhecer e classifi car triângulos.

Identifi car triângulos retângulos e seus elementos.

Compreender e Aplicar o Teorema de Pitágoras.

Sintetizar relações trigonométricas num triangulo retângulo.

Identifi car triângulos congruentes, bem como o caso de congruência.

Conhecer os pontos notáveis e algumas conclusões.

Seções de estudo

Seção 1 Defi nição e classifi cação de triângulos

Seção 2 Teorema de Pitágoras

Seção 3 Relações trigonométricas no triângulo retângulo

Seção 4 Congruência de triângulos

Seção 5 Pontos Notáveis de um triângulo

2


68



Euclides: Olá, meu rapaz, estou orgulhoso de você.

George: Que bom Euclides, fi co feliz por você reconhecer o meu esforço.

Euclides: Não é somente reconhecimento, é merecimento.

George: É, acho que me saí bem na Unidade 1. Sabe que entendi muitas coisas sobre as quais tinha dúvidas? Que bom ter tido você me acompanhando.

Euclides: Ótimo, como você se mostrou curioso e com vontade de aprender, vou apresentá-lo a um novo amigo.

George: Um novo amigo? Mas quem?

Euclides: Para falar de triângulos, só poderia ser Pitágoras.

George: Arrasou, hein, cara!

Euclides: É, realmente Pitágoras é um dos nomes mais conhecidos, não apenas na geometria, mas na matemática. Ele nasceu em Samos – Grécia, pelos anos 582 a.C., viajou bastante e, ao ir para a Itália, fundou a Escola de Crotona. Também conhecida como escola dos Pitagóricos, ensinava fi losofi a, matemática, música e astronomia. Veja o princípio que a regia: ‘A essência de todas as coisas é o número’.

George: E o tão famoso Teorema de Pitágoras?


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Geometria I

Unidade 2

Euclides: Pois é, se observarmos bem, o Teorema de Pitágoras está associado a uma relação numérica de fundamental importância na Matemática moderna. Observe sua afi rmação: “o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”. Somente relações numéricas, percebeu? Alguns historiadores dizem que o Teorema de Pitágoras já era muito utilizado antes de Pitágoras, claro que nem tinha esse nome. E ele foi nomeado assim, pois foi Pitágoras quem fez a primeira demonstração desse teorema.

George: E o que você quis dizer sobre o número ser a essência de todas as coisas?

Euclides: Os Pitagóricos estudaram os sons e mostraram que a música e a matemática têm muito em comum. Descobriram que a altura de um som tem relação com o comprimento da corda que, ao vibrar, o produz. Ao longo de seus estudos, notaram que uma corda de determinado comprimento daria uma nota. Reduzida a ¾ do seu comprimento, daria uma nota uma quinta acima. Reduzida à metade de seu comprimento, daria uma nota uma oitava acima. Assim os números 12, 8 e 6, segundo Pitágoras, estariam em “progressão harmônica”, sendo 8 a média harmônica de 12 e 6. Com isso desenvolveu a idéia de que o próprio universo estivesse organizado sobre os números e as relações entre eles.

George: Tudo isso é muito interessante, quando vou conhecê-lo?

Euclides: Em breve, aguarde.

Nesta unidade, você vai conhecer informações fundamentais da geometria dos triângulos. Ao longo das seções, poderá observar que muitos conceitos que utilizamos intuitivamente possuem uma base sólida dentro da geometria. Além de estudar triângulos retângulos e suas aplicações, você conhecerá o Teorema de Pitágoras e poderá observar que ele constitui uma ferramenta útil, tanto para a geometria dos triângulos como para o nosso dia-a-dia.

Figura 2.1. O método da paralaxe aplicado à medida Terra-Lua.

Por José Roberto V. Costa.


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SEÇÃO 1 - Defi nição e classifi cação de triângulos

Na seção anterior, o triângulo foi apresentado como a mais simples das fi guras geométricas, formado por três segmentos de reta. Talvez esse seja o motivo de ser a fi gura geométrica mais utilizada na geometria antiga. A História conta que muitos problemas foram solucionados utilizando-se triângulos: a extensão de terras, a altura de construções e cálculo de distâncias são exemplos da sua utilidade.

Veja, a seguir, um exemplo de como os gregos faziam o cálculo para encontrar a distância de um barco até a costa. Observe a fi gura:

Figura 2.2. Esboço da forma de medir distância entre um barco e a costa.

(Fonte: Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural)


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Geometria I

Unidade 2

Eram necessários dois observadores: um se colocava na costa, de maneira que pudesse ver o barco sob um ângulo de 90o com relação à sua posição e o outro fi cava na mesma linha do primeiro, mas observando o barco sob um ângulo de 45o. Em seguida, utilizavam o teorema de Pitágoras, ou seja, medindo a distância entre eles, os catetos eram iguais.

Para começarmos nosso estudo sobre essa fi gura tão importante, vamos defi ni-la com muito cuidado.

Chama-se triângulo ABC a fi gura geométrica formada pela reunião dos três segmentos , e

, onde os pontos A, B e C não são colineares.

Figura 2.3 - Triângulo ABC.

Notação: Triângulo ou

Para trabalharmos com triângulos, temos de conhecer alguns elementos fundamentais:

Vértices: os pontos A, B e C são vértices do triângulo;

Ângulos: os ângulos internos do triângulo são ou ,

ou , ou ;

Lados: os lados do triângulo são os segmentos ( de medida c),

( de medida b) e (de medida a); o lado é dito oposto ao

ângulo , o lado oposto ao ângulo e o lado oposto ao

ângulo .


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Perímetro: a soma dos lados de um triângulo é chamada de perímetro, então o perímetro do triângulo acima é:

;

Lado Adjacente: um lado adjacente a dois ângulos é o lado que

une os vértices desses dois ângulos. No triângulo ABC, o lado

é adjacente aos ângulos e , o lado é adjacente aos

ângulos e e o lado é adjacente aos ângulos e .

Os triângulos podem ser classifi cados de acordo com os comprimentos de seus lados ou das medidas de seus ângulos. Veja como:

Classifi cação de triângulos quanto aos lados:

Eqüilátero: o triângulo eqüilátero tem os três lados congruentes. Assim, no triângulo ABC da fi gura 2.4, temos a = b = c.

As letras minúsculas a, b e c representam, respectivamente, os comprimentos dos lados opostos aos vértices A,B e C, por isso utilizamos o sinal de = (igual) e não o de ≡ (congruência).

Isósceles: o triângulo isósceles tem pelo menos dois lados congruentes. Assim, no triângulo ABC da fi gura 2.5, temos a = c.

Neste caso o lado é chamado do base do triângulo isósceles.


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Geometria I

Unidade 2

Escaleno: o triângulo escaleno não tem lados congruentes. Assim, no triângulo ABC da fi gura 2.6, temos a ≠ b ≠ c.

O símbolo ≠ signifi ca “é diferente de”. No caso a ≠ b ≠ c, lê se “a é diferente de b e b é diferente de c”.

Um triângulo eqüilátero é também um triângulo isósceles?

Sim, pois, se um triângulo tem os três lados congruentes, dois dos seus lados são congruentes, o que basta para que ele seja classifi cado também como isósceles.

Classifi cação de triângulos quanto aos ângulos:

Retângulo: todo triângulo retângulo tem um ângulo reto.

Assim, no triângulo ABC da fi gura 2.7, o ângulo A é o ângulo reto (m ( Â )= 90o).

Acutângulo: o triângulo acutângulo tem os três ângulos agudos.

Assim, no triângulo DEF da fi gura 2.8, as medidas dos ângulos , , são menores que 90o.


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Obtusângulo: o triângulo obtusângulo tem um ângulo obtuso.

Assim, no triângulo JKH da fi gura 2.9, a medida do ângulo é maior que 90o.

Exemplo: Um triângulo isósceles pode ser classifi cado segundo seus ângulos, veja os exemplos a seguir.

SEÇÃO 2 – Teorema de Pitágoras

Pitágoras: Olá, George, tenho ouvido falar em você.

George: Olá, você deve ser o grande Pitágoras.

Pitágoras: Isso mesmo, meu caro, mas por que grande?


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Geometria I

Unidade 2

George: Você desenvolveu um dos teoremas mais famosos da matemática.

Pitágoras: Desenvolvi não, eu apenas provei um resultado que já era conhecido pelos Babilônios 1000 anos antes do meu nascimento. Mas, sem dúvida, esse teorema é muito útil, além de famoso, e vem sendo aplicado por muitos séculos em diversas áreas.

George: Eu acho interessante isto de o teorema de Pitágoras ser utilizado por pessoas que a gente nem imagina. Eu tenho um amigo que é artista naval, o Rodolpho; ele utiliza o Teorema de Pitágoras como referência para defi nir escalas nos seus projetos de maquetes de embarcações. Ele diz que aprendeu o teorema quando criança, e mesmo quando esquece seu enunciado, sabe utilizá-lo no seu trabalho.

Pitágoras: Na verdade, a versatilidade desse teorema o torna inesquecível, e quando aprendemos um conteúdo de verdade, não esquecemos jamais.

George: Eu fi co surpreso ao ver crianças conseguindo utilizar o Teorema de Pitágoras.

Pitágoras: Mostrar a importância de conceitos para nossos jovens é uma das tarefas fundamentais para o crescimento da humanidade. Sem falar que as crianças são nosso futuro, e, como eu sempre digo, eduque-as e não será preciso punir os homens.

George: Estou vendo que você realmente é um sábio.

Pitágoras: Na verdade, sempre procurei viver conforme alguns valores e, entre eles, este: “Pensem o que quiserem de ti, faze aquilo que te parece justo”.

George: Isso é bom.

Nesta seção, vamos apresentar os elementos dos triângulos retângulos e enunciar o Teorema de Pitágoras.

Seja o Triângulo ABC da fi gura 2.10:


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Figura 2.10: Triângulo Retângulo reto em .

Dado um triângulo ABC retângulo, defi nimos:

Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto;

Catetos: são os lados que formam o ângulo reto.

No triângulo da fi gura 2.10: Hipotenusa , catetos e .

Observe que a hipotenusa é sempre maior que qualquer um dos catetos.

Classifi cação de Triângulos Retângulos

Como qualquer triângulo, podemos classifi car os triângulos retângulos em relação aos seus lados da seguinte forma:

Triângulo Retângulo Isósceles

O triângulo retângulo isósceles possui os dois catetos iguais , na fi gura 2.11: b = c e m( )= 90o .

Triângulo Retângulo Escaleno

O triângulo retângulo escaleno possui todos os lados com medidas diferentes, na fi gura 2.12: a ≠ b ≠ c.


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Geometria I

Unidade 2

Teorema 2.1 – (Teorema de Pitágoras): Se ABC é um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

Do triângulo ABC da fi gura 2.13, o Teorema garante que:

Figura 2.13: Triângulo Retângulo ABC reto em A com hipotenusa a e catetos b e c.

Pesquisas históricas mostram que esse teorema já era conhecido pelos Babilônios por volta de 1500 a.C., e que os chineses o conheciam talvez em torno de 1100 a.C. Pitágoras foi o primeiro matemático a demonstrá-lo Mas existem inúmeras outras demonstrações, vamos apresentar algumas no decorrer das seguintes unidades, quando já tivermos estudado outros conceitos necessários para cada demonstração

Exemplos: 1) Utilize o Teorema de Pitágoras para verifi car se os triângulos abaixo são retângulos:

Solução: Se o triângulo for retângulo, ele deve satisfazer o teorema de Pitágoras. O maior lado deverá ser a hipotenusa e os demais os catetos.

No triângulo I, tomemos a= 13, b = 7 e c = 6.

Pelo teorema: 132 = 62 + 72, ou seja, 169 = 36 + 49.


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Como essa igualdade não é verdadeira, pois 36 + 49 = 85,

podemos garantir que o triângulo I não é retângulo.

Já no triângulo II, tomemos a = 10, b= 6 e c = 8.

Assim, 102 = 62 + 82, logo 100 = 36 + 64.

Como 36 + 64 = 100, concluímos que o triângulo II é retângulo.

2) Determine o valor de x, no triângulo retângulo abaixo.

Solução: Pelo Teorema: x2 = 72 + 122

x2 = 49 + 144

x2 = 193 então

3) Suponha uma escada de 6 metros de comprimento encostada em um muro de 5 metros de altura. Se a extremidade da escada encosta na parte de cima do muro, determine a distância da escada ao muro, no chão.

Solução: Podemos utilizar o Teorema de Pitágoras para resolver este problema, admitindo que o comprimento da escada é a


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Geometria I

Unidade 2

hipotenusa, um dos catetos é a altura do muro e o outro é a distância que estamos procurando, assim:

62 = 5 2 + d2

36 = 25 + d2

36 - 25 = d 2

d2 = 11 então

Pense em algum problema do seu dia-a-dia que pode ser resolvido, utilizando o teorema de Pitágoras.

SEÇÃO 3 - Relações trigonométricas do triângulo retângulo

George: Pitágoras, me ajude, por favor.

Pitágoras: Pois não rapaz, diga qual seu problema.

George: Eu tenho uma dúvida: a gente no colégio estuda Trigonometria, e quase ninguém gosta. Minha curiosidade é saber o que afi nal é Trigonometria e onde ela é utilizada.

Pitágoras: Meu caro, acredito que algumas pessoas não gostem de Trigonometria, por não conhecer bem esse assunto. Vou falar um pouco sobre o desenvolvimento da Trigonometria.


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Bem, a palavra trigonometria vem do grego: tri - três, gono - ângulo, metrien - medida, ou seja, medida de triângulos.

George: Mas o que é medida de triângulos?

Pitágoras: É a relação entre os lados e ângulos de triângulos e serviu à navegação, à agrimensura e à astronomia. Por volta de 300 a.C., a Trigonometria estava diretamente relacionada à Astronomia. E somente Leonhard Euler, um famoso matemático do século XVIII, desvinculou a Trigonometria da Astronomia e a transformou em um ramo independente da matemática. Hoje, a Trigonometria é usada em várias áreas das ciências, como a Engenharia, a Física, a Astronomia, a Navegação, entre outras.

George: Nossa, deu para conhecer um pouco da história, mas não entendi como a Trigonometria pode ser tão utilizada.

Pitágoras: Bem, nesta seção você verá a Trigonometria em triângulos retângulos. Mas, desde o início, a Trigonometria era estudada também em triângulos esféricos, e essa Trigonometria muito utilizada nessas áreas.

George: Triângulos esféricos? O que é isso?

Pitágoras: São triângulos formados por uma secção da superfície de uma esfera. Mas depois você estuda isso. Agora vamos estudar a Trigonometria Plana, em triângulos retângulos, ok?

George: Tô nessa!

Os elementos fundamentais do triângulo são os seus lados e seus ângulos. Esses elementos podem ser utilizados para calcular outros elementos do triângulo. Vamos ver essas relações a seguir. Antes vamos re-nomear os catetos desse triângulo.

Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise. Se estivermos operando com o ângulo B, então o lado oposto indicado por b é o cateto oposto ao ângulo B; e o lado adjacente ao ângulo B, indicado por c, é o cateto adjacente ao ângulo B.


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Geometria I

Unidade 2

Figura 2.14: Triângulo Retângulo ABC, reto em A, com ângulo interno igual a α.

Num triângulo retângulo, podemos estabelecer razões entre as medidas dos seus lados: catetos e hipotenusa. Consideremos o triângulo retângulo ABC reto em Â e um ângulo agudo B de medida α (Figura 2.14).

As funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra α.

Razão 1: Seno de um ângulo agudo:

Então,

Num triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é a razão entre as medidas do cateto oposto a esse ângulo e da hipotenusa.

Razão 2: Cosseno de um ângulo agudo:

Então,

Num triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo agudo é a razão entre as medidas do cateto adjacente a esse ângulo e da hipotenusa


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Razão 3: Tangente de um ângulo agudo:

Então,

Num triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre as medidas do cateto oposto a esse ângulo e o cateto adjacente a esse ângulo.

Exemplo: Dado o triângulo retângulo ABC, reto em A, conforme a fi gura abaixo. Determine: sen α, cos α, tg α, sen β, cos β e tg β

Relação Fundamental

Algumas relações importantes podem ser obtidas dos triângulos retângulos, para isso vamos tomar um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa de comprimento igual a 1 unidade, como na fi gura abaixo:

Observe que ,


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Geometria I

Unidade 2

Pelo teorema de Pitágoras:

Também conhecida como identidade trigonométrica.

Exemplo: Determine o valor de x e y na fi gura abaixo, sabendo que sen 30o = ½.

Ângulos Notáveis

Através do triângulo retângulo podemos analisar os valores de seno, cosseno e tangente de alguns ângulos específi cos, conforme você verá a seguir.

1) Ângulo de 45o

Seja um quadrado de lado 1, como na fi gura abaixo.

Pelo teorema de Pitágoras, encontramos a diagonal do quadrado, transformando-o em dois triângulos retângulos de catetos iguais a 1.


84


2) Ângulos de 60o e 30o

Se o triângulo ABC é eqüilátero, como na fi gura 2.15, o segmento divide o lado ao meio, obtendo, assim, um triângulo retângulo com hipotenusa 1, e cateto ½. Logo, pelo teorema de Pitágoras, o outro cateto é .

Utilizando o mesmo triângulo ABD, mostre que

sen 60o = cos 30o , sen 30o = cos 60o .

SEÇÃO 4 - Congruência de triângulos

Pitágoras: Olá, George, você precisa de ajuda?

George: Bem, na verdade estou meio curioso para entender essa história de congruência de triângulos. É muito complexo o assunto?


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Geometria I

Unidade 2

Pitágoras: Não, meu caro, é simples. Nós, matemáticos, já provamos tudo para vocês, basta que entendam o raciocínio. Na verdade, a congruência de triângulos segue uma ordem.

George: Como? Não entendi.

Pitágoras: O primeiro caso de congruência entre triângulos foi escrito como axioma, e os demais são decorrentes deste e das defi nições estabelecidas na seqüência. É uma construção muito bonita.

George: Mas isso não é complicado?

Pitágoras: De jeito algum, é só ter paciência e atenção.

George: Falou!

Vamos usar congruência para relacionar triângulos. Lembre-se de que elementos congruentes são elementos que têm a mesma forma e o mesmo tamanho e, apenas, não são iguais, pois os pontos que os formam não são os mesmos.

Congruência de triângulos

Dois triângulos são congruentes, se têm a mesma forma e o mesmo tamanho. Isso acontece, se os seus lados são ordenadamente congruentes aos lados do outro e se os seus ângulos são ordenadamente congruentes aos ângulos do outro.

Figura 2.16: Triângulos ABC e DEF congruentes.


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Assim dados os triângulos da fi gura 2.16, dizemos que

se , , , ,

e

As condições de congruência anteriores (três congruências entre lados e três congruências entre ângulos) são totais. Podemos garantir a congruência entre triângulos, utilizando apenas condições mínimas. O axioma a seguir é considerado o primeiro caso de congruência, isso quer dizer que, se conhecemos alguns elementos de dois triângulos e se eles satisfazem alguns dos casos de congruencia, podemos garantir a congruência entre os triângulos.

Axioma X: Dados dois triângulos ABC e DEF, se

e , então o triângulo ABC é congruente

ao triangulo DEF.

A interpretação do axioma é: Dois triângulos que possuem dois lados e o ângulo compreendido entre esses lados respectivamente congruentes, são congruentes. Esta é a congruência lado, ângulo, lado (LAL).

Assim, se , e (LAL), então podemos garantir que ou seja , e .

Exemplos: Dados os triângulos I, II, e III, observe que:

I e III são congruentes por LAL;

o triângulo II não é congruente a qualquer um dos outros dois, pois o ângulo reto não está entre 5 e 4.


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Geometria I

Unidade 2

Existem quatro casos de congruência de triângulos. Considera-se o axioma anterior como caso 1, e dele derivam os demais casos, como apresentaremos a seguir.

Desse primeiro caso de congruência, deriva um teorema importante para a geometria, o teorema do triângulo isósceles, que garante a congruência dos ângulos da base. Vamos demonstrar esse teorema a seguir.

Teorema 2.2 (do Triângulo Isósceles): Se um triângulo é isósceles, então os ângulos da base são congruentes.

Demonstração:

A Hipótese desse teorema é: Se o triângulo ABC é isósceles,

então os lados e são congruentes ( )

A Tese é: Então os ângulos da base e são

Congruentes ( )

Para essa demonstração, vamos considerar os triângulos ABC e ACB, ou seja queremos associar os pontos A, B e C aos pontos A,C e B respectivamente.

Como podemos utilizar um caso de congruência entre dois triângulos para provar que um triângulo é isósceles?

Para isso, consideramos o triângulo ABC de base e o triângulo ACB de base . Lembre que os vértices A, B e C estarão associados aos vértices A,C e B respectivamente:

Assim, por hipótese, . Além disso, ( o ângulo é o mesmo para os dois triângulos ABC e ACB ). Então, pelo axioma acima (LAL), os triângulos ABC e ACB são congruentes, e, portanto, os ângulos e também são congruentes.


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Exemplo: Se o triângulo ao lado ABC é isósceles de base BC, determine x.

Solução: Pelo teorema acima, num triângulo isósceles

os ângulos internos da base são iguais. Então:

2x – 10o = 30o ⇒ 2x = 40o ⇒ x = 20o

Vamos mostrar, agora, algumas relações entre os ângulos de um triângulo. Lembre-se de que já defi nimos ângulo e ângulo interno.

Se é um triângulo, os seus ângulos , e são chamados ângulos internos ou simplesmente

de ângulo de um triângulo. Os suplementos de cada um dos ângulos são chamados de ângulos externos do triângulo.

Figura 2.17: Triângulo ABC e ângulo externo θ.

Na fi gura 2.17, o suplemento θ do ângulo é um dos ângulos

externos deste triângulo.

Exemplo: Se o ângulo mede 60o, então m(θ ) = 120o.

Teorema 2.3 (do ângulo externo): Todo ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer ângulo interno não adjacente a ele.

Por exemplo, na fi gura 2.17, podemos afi rmar que o ângulo externo θ ao triângulo ABC, suplementar ao , é maior que os ângulos e (internos).


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Geometria I

Unidade 2

Teorema 2.4: A soma das medidas de quaisquer dois ângulos internos de um triângulo é menor do que 180°.

Demonstração:

Hipótese: Se ABC é um triangulo, cujos ângulos internos são , e ,

Tese: , e

.

Com base no triângulo da fi gura 2.17, devemos mostra que

.

Consideremos θ o ângulo externo ao vértice C, pelo teorema 2.3

θ > .

Mas θ e são suplementares, logo m(θ ) + m( ) = 180o, ou seja,

m(θ ) = 180o - m( ).

Ora, como θ > e , segue que

e, portanto, .

Corolário é uma conseqüência imediata de algum teorema ou proposição.

Corolário: Todo triângulo possui pelo menos dois ângulos internos agudos.


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Esta demonstração se faz por absurdo e usa-se imediatamente o teorema 2.4. Tente fazer. Para isso, suponha que o triângulo não possui dois ângulos internos agudos, e, então, mostre que isso é um absurdo. Ver atividade de auto-avaliação número 14.

Caso 2: Dois triângulos que possuem dois ângulos e o lado entre esses ângulos, respectivamente congruentes, são congruentes. Esta é a congruência ângulo, lado, ângulo (ALA).

Este caso diz que, se , e (ALA), então

podemos garantir que e, conseqüentemente,

, e .

Demonstração: Dados os triângulos ABC e DEF da fi gura 2.18:

A Hipótese desse teorema é:

A Tese é: Então

Seja P um ponto da reta , tal que ,

conforme a fi gura 2.19.Comparando os triângulos

ABP ( da fi gura 2.19) e DEF ( da fi gura 2.18)

temos:

e (por hipótese) e

(por construção). Assim, por caso1 LAL, concluímos que

.

Logo, , mas, por hipótese, .Com isso

concluímos que o ângulo não existe, ou seja, sua medida


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Geometria I

Unidade 2

é zero. Portanto P e C são pontos coincidentes, o que nos leva a

concluir que .

Exemplos: Dados os triângulos I, II, e III:

Observe que:

os triângulos II e III são congruentes por ALA;

o triângulo I não é congruentes a qualquer um dos

outros dois, pois o lado 10 não está entre 70o e 30o .

Utilize o caso 2 de congruência para mostrar que:

“Se um triângulo possui dois ângulos congruentes, então, esse triângulo é isósceles”. Ver atividade de auto-avaliação número 15.

Caso 3: Dois triângulos que possuem os três lados respectivamente congruentes são congruentes. Esta é a congruência lado, lado, lado ( LLL ).

Este caso diz que, se , e (LLL),

então podemos garantir que e, conseqüentemente,

, e .


92




A Tese é: Então

Do triângulo DEF, obtemos a partir de D um ponto G,

ver fi gura 2.21, tal que e .

Como também ( por hipótese), concluímos que

. Conseqüentemente, o triângulo EDG é isósceles de

base , logo . (*)

Por outro lado, como e ( por hipótese),

(por construção), então, por LAL, os triângulos

ABC e GEF são congruentes. Conseqüentemente, .

Ora, como também (por hipótese), então .

Concluímos que o triângulo FDG é isósceles de base , assim

. (**)

Somando os ângulos e , temos o ângulo .

Somando, ainda, os ângulos e , temos o ângulo

o qual, pelas conclusões (*) e (**), é congruente ao ângulo .

Portanto, como , e , por LAL

o triângulo DEF é congruente ao triângulo GEF , que, por

construção, mostramos ser congruente ao triângulo ABC, logo

.


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Geometria I

Unidade 2

Exemplos: Dados os triângulos I, II, e III,

Observe que:

os três triângulos I, II e III são congruentes entre si por LLL.

Caso 4: Dois triângulos que possuem um lado, um ângulo adjacente a esse lado e um ângulo oposto a esse mesmo lado, respectivamente, congruentes, são congruentes. Esta é a congruência lado, ângulo, ângulo oposto ( LAAo).

Este caso diz que: Se , e (LAAo), então

podemos garantir que e, conseqüentemente,

, e .



A Tese é: Então


94


Existem três possibilidades sobre a medida dos lados e :

a)

Assim, se , (por hipótese) e (por hipótese),

por ALA, concluímos que

b)

Seja P um ponto na semi-reta , tal que , ( ver fi gura

2.23), como e (por hipótese), pelo caso LAL

teríamos , logo .

Mas (por hipótese). Com isso, , o

que é absurdo, pois, no triângulo PAC, o ângulo

é externo e pelo teorema do ângulo externo

2.3, este deve medir mais que qualquer um dos

ângulos internos não adjacentes a ele.

Concluí-se que não pode ser maior que .

c)

Utiliza-se o mesmo raciocínio para mostrar que esta hipótese é

absurda, portanto, a única possibilidade é que ou seja

.


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Geometria I

Unidade 2

Exemplo: Dados os triângulos I, II, III, e IV:

Observe que:

os triângulos I e III são congruentes por LAAo;

o triângulo II não é congruente aos triângulos I e III, pois o lado 7 é oposto a 50o, em vez de a 45o;

o triângulo IV não é congruente aos triângulos I e III, pois o lado 7 está entre 50o e 45o .

Existe um caso especial de congruência de triângulos retângulos.

Caso Especial: Se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa, então esses triângulos são congruentes (HC).

Este caso diz que, se os triângulos ABC e DEF são retângulo

e e , então podemos garantir que

e, conseqüentemente, , e .


A Hipótese desse teorema é: (retos)


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A Tese é: Então

No triângulo DEF, suponha um ponto P na semi-reta oposta

a semi-reta ( ver fi gura 2.25), tal que . Como

e (por hipótese), pelo caso LAL concluímos

que , então podemos garantir que e

. Além disso, se (por hipótese) e , então

, logo o triangulo EFP é isósceles de base . Com

isso garantimos que , e como , então .

Considerando agora os triângulos ABC e DEF, temos ,

e , por LAAo concluímos que .

Exemplo: Dados os triângulos I, II, e III:

Observe que:

os triângulos I e III são congruentes por HC;

o triângulo II não é congruente a qualquer um dos outros, pois a sua hipotenusa não é 4, como nos outros.


97

Geometria I

Unidade 2

Será que podemos garantir a congruência de triângulos nos casos ALL e AAA? Por quê? Ver atividade de auto-avaliação número 21.

SEÇÃO 5 – Pontos notáveis de um triângulo

Nesta seção, iremos apresentar algumas defi nições e conclusões sobre triângulos, úteis para resolver determinados problemas.

Mediana de um Triângulo: Dado um triângulo ABC, chamamos de Mediana a um segmento com extremidade em um dos vértices e outra no ponto médio do lado oposto a ele.

Na fi gura 2.26, M é o ponto médio do segmento , e o segmento é a Mediana relativa ao lado ou ao ângulo A.

Observe que um triângulo possui três medianas, cada uma relativa a um dos seus lados ou ângulos:

relativa ao lado ou ao ângulo



Baricentro de um Triângulo (G): Dado um triângulo ABC, chamamos de Baricentro o ponto de interseção das três medianas.

Teorema 2.5: Se G é baricentro de um triângulo, então ele divide cada uma das medianas em segmentos tais, que a parte que contém o vértice é o dobro da outra.


98


Incentro de um Triângulo (P): Dado um triângulo ABC, chamamos de Incentro o ponto de intersecção das três bissetrizes internas do triângulo.

Teorema 2.6: Se P é incentro de um triângulo, então P está a igual distância dos lados do triângulo.

Mediatriz de lado de um Triângulo (m): Dado um triângulo ABC, chamamos de mediatriz de um dos lados, a reta perpendicular a esse lado que passa pelo seu ponto médio.

Do triângulo ABC da fi gura 2.27, temos que m é a mediatriz relativa ao lado

, e M é o ponto médio do segmento .

Observe que um triângulo possui três mediatrizes, cada uma relativa a um dos seus lados, ou ângulos:

m1 perpendicular a , e M1 divide ao meio.




99

Geometria I

Unidade 2

Construa um triângulo e duas de suas mediatrizes. A seguir, construa um círculo com centro no ponto de encontro das duas mediatrizes e que passe por um dos vértices do triângulo. O que você observa? E depois de construir a terceira mediatriz, o que você conclui? Ver atividade de auto-avaliação 23.

Circuncentro de um Triângulo (O): Dado um triângulo ABC, chamamos de Circuncentro o ponto de intersecção das três mediatrizes dos lados de triângulo.

Teorema 2.7: Se O é circuncentro de um triângulo, então as distâncias de O aos lados do triângulo são iguais.

Altura de um Triângulo (h): Dado um triângulo ABC, chamamos de altura de um triângulo, ao segmento de reta perpendicular a um dos lados do triângulo e extremidades neste lado e no vértice oposto a este lado.

Do triângulo ABC da fi gura 2.28, temos que h é a altura relativa ao lado , e H é o ponto de intersecção do segmento com a altura que tem extremidade no vértice A.

Observe que um triângulo possui três alturas, cada uma relativa a um dos seus lados, ou aos vértices:

h1 perpendicular a , e H1 intercepta




100


Ortocentro de um Triângulo (H): Dado um triângulo ABC, chamamos de ortocentro ao ponto de intersecção das três alturas do triângulo.

Construa um triângulo. Trace as retas-suporte de suas três alturas. A seguir, construa um segundo triângulo de tal forma que seus lados sejam paralelos aos lados do primeiro e passem pelos três vértices. Movimente os vértices do primeiro triângulo e descubra qual a relação entre a reta-suporte das alturas com o triângulo maior?Se você descobriu a relação, o que você pode concluir sobre as alturas? Ver atividade de auto-avaliação 24.

Pitágoras: E aí, George, gostou dessa seção?

George: Muito, aprendi bastante sobre os triângulos, não imaginava a grande utilidade deles. Como vocês conseguiram provar tantas coisas?

Pitágoras: Estudando, pensando e, claro, acreditando.

George: Como acreditando?

Pitágoras: Ora, meu caro, temos que acreditar em nós mesmos e naquilo que achamos importante para nossas vidas.

George: Isso é verdade, acredito que você tem razão. Uma coisa, poderia então me ajudar nos exercícios?

Pitágoras: Não, rapaz, preste atenção, vou te dizer mais um lema no qual acredito:” Ajuda teus semelhantes a levantar sua carga, mas não a carregues”, ou seja os exercícios são seus.

George: Falou!


101

Geometria I

Unidade 2

Síntese

Nesta unidade, você estudou como conhecer e classifi car triângulos segundo seus lados e ângulos. Também estudou sobre congruência de triângulos, a trigonometria plana, várias ferramentas especiais para resolver determinados tipos de problemas. Conheceu o Teorema de Pitágoras e pôde observar algumas aplicações. Observe, ao longo dos exercícios, como utilizar cada uma das ferramentas e conceitos estudados nesta unidade, e não se esqueça de tirar suas dúvidas com o seu professor tutor.

Saiba mais

A partir do século V a.C, os matemáticos gregos desenvolveram uma parte da Matemática, intimamente ligada à Geometria, conhecida como Construções Geométricas com Régua e Compasso. Os problemas de construções geométricas são muito interessantes e alguns deles devem ser enfrentados por quem está interessado em Geometria. É bom saber que os gregos antigos propuseram e resolveram muitos problemas difíceis de construção, mas não conseguiram resolver, ou melhor, não conseguiram provar que não tinham solução os três problemas conhecidos por:

(1) a trisecção de um ângulo;

(2) a duplicação de um cubo;

(3) a quadratura de um círculo.

Se você quiser saber mais sobre Pitágoras e seus estudos nas áreas de matemática, fi losofi a, geometria, música, ética, moral, educação e higiene, você deve ler:

CONTE, Carlos B.; Pitágoras- Ciência e Magia na Antiga Grécia. Ed. Madras, 2006.


102




A. ( ) Todo triângulo eqüilátero é isósceles.

B. ( ) Todo triângulo isósceles é eqüilátero.

C. ( ) Um triângulo retângulo pode ser isósceles.

D. ( ) Um triângulo isósceles pode ser obtusângulo.

E. ( ) Todos os triângulos retângulos são congruentes.

F. ( ) Todos os triângulos eqüiláteros são congruentes.

2) Dado o triângulo ABC isósceles, ao lado, determine o comprimento da base.

3) Determine o comprimento dos lados de um triângulo ABC eqüilátero cujos lados são AB = 15- 2y, BC = 3x-8 e CA = 7.


103

Geometria I

Unidade 2

4) Dados os triângulos abaixo, determine a e b, sabendo que os triângulos são eqüiláteros.

5) Determine x num triângulo EFG isósceles de base , sabendo que e .


104


6) Se o perímetro de um triângulo eqüilátero é 45 cm, quanto mede cada lado?

7) Se o perímetro de um triângulo isósceles de base 30 cm é 100 cm, quanto mede cada lado?

8) Determine a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 4cm e 3cm.


105

Geometria I

Unidade 2

9)Calcule o seno, o cosseno e a tangente de cada um dos ângulos dos triângulos abaixo:

10)Um observador, colocado a 10 m da base de uma chaminé, vê seu ponto mais alto sob um ângulo de 60o. Calcule a altura da chaminé.

11)Calcule os ângulos de um triângulo retângulo cuja razão entre os

catetos é .


106


12)Uma pessoa, cuja altura é 1,70m, vê o ponto mais alto de um edifício sob um ângulo de 60o. Quando recua 100m, vê o mesmo ponto sob um ângulo de 30o. Suponha que a pessoa e o edifício estejam no mesmo nível e determine a altura do edifício e a distância inicial da pessoal em relação ao edifício.

13)Demonstrar o corolário do teorema 2.4. Veja a sugestão dada.

14)Mostre que se um triângulo possui dois ângulos congruentes, então esse triangulo é isósceles.


107

Geometria I

Unidade 2

15)Dados os pares dos triângulos abaixo, indique quais são congruentes e qual caso de congruência.

16)Nos triângulos abaixo, indique os congruentes entre si e indique o caso de congruência:


108


17) Dadas as fi guras abaixo, determine os valores de x e y para que os triângulos I e II sejam congruentes:

18) Dadas as fi guras abaixo, onde os triângulos ABC e AED são congruentes, determine x, y e z.


109

Geometria I

Unidade 2


A. ( ) Se dois triângulos possuem três pares de lados congruentes e um par de ângulos congruentes, então os triângulos são congruentes.

B. ( ) Se dois triângulos possuem dois pares de lados congruentes e dois pares de ângulos congruentes, então os triângulos são congruentes.

C. ( ) Se dois triângulos possuem os três ângulos internos correspondentes congruentes, então os triângulos são congruentes.

D. ( ) Se dois triângulos possuem 1 par de lados congruentes e três pares de ângulos congruentes, e se o par de lados congruentes é adjacente aos ângulos congruentes correspondentes, então os triângulos são congruentes.

20) Mostre que não podemos garantir a congruência de triângulos nos casos ALL e AAA.


A. ( ) O baricentro de um triângulo é interno a esse triângulo.

B. ( ) O ortocentro e o baricentro de um triângulo eqüilátero são coincidentes.

C. ( ) O ortocentro é externo ao triângulo retângulo.

D. ( ) O ortocentro é externo ao triângulo obtusângulo.

E. ( ) O circuncentro está em um dos lados do triângulo isósceles.


110


22) Mostre que todo triângulo retângulo possui dois ângulos externos obtusos.

23) Construa um triângulo e duas de suas mediatrizes. A seguir, construa um círculo com centro no ponto de encontro das duas mediatrizes e que passe por um dos vértices do triângulo. O que você observa? E depois de construir a terceira mediatriz, o que você conclui?


111

Geometria I

Unidade 2

24) Construa um triângulo. Trace as retas-suporte de suas três alturas. A seguir, construa um segundo triângulo de tal forma que seus lados sejam paralelos aos lados do primeiro e passem pelos três vértices. Movimente os vértices do primeiro triângulo e descubra qual a relação entre a reta-suporte das alturas com o triângulo maior? Se você descobriu a relação, o que você pode concluir sobre as alturas?


UNIDADE 3

Teorema de Tales


Conhecer o axioma das paralelas.

Sintetizar o Teorema de Tales e conhecer algumas aplicações.

Aplicar os casos de semelhança de triângulos, quando necessário.

Compreender uma demonstração do Teorema de Pitágoras.

Aplicar as relações métricas no triângulo retângulo.

Compreender o cálculo da altura das pirâmides.

Seções de estudo

Seção 1 Axioma das Paralelas

Seção 2 O Teorema de Tales

Seção 3 Semelhança de triângulos

3


114



Figura 3.1 – A semelhança de triângulos utilizada por Talespara calcular a altura das pirâmides.

Euclides aparece em mais um sonho de George:

Euclides: E aí, meu rapaz, como vão as coisas?

George: Melhor do que eu imaginava. Confesso que estava com medo dessa disciplina e vejo que ela é muito rica e apaixonante. Mas o que traz você de volta, não me diga que é você quem vai me acompanhar nesta unidade?

Euclides: Eu até poderia, mas acho mais conveniente apresentá-lo a um novo amigo.

George: Já estou curioso, gostei muito do Pitágoras, quem virá agora?

Euclides: Tales, acho que você já ouviu falar dele, não?

George: Tales de Mileto? Do teorema de Tales?

Euclides: Esse mesmo, e vou até lhe contar um segredo: quando eu era jovem como você, eu também me perguntava sobre a geometria, e o Tales vinha conversar comigo.


115

Geometria I

Unidade 3

George: É mesmo? Mas ele é mais velho que você?

Euclides: Sim, ele nasceu por volta de 624 a.C., deve ter vivido até 547 a.C., e eu sou bem mais jovem, nasci em 325 a.C. Vou contar um pouco a respeito dele. Tales foi um comerciante considerado meio homem meio lenda, já que era fi lósofo e matemático também. Na verdade, foi o primeiro e mais famoso dos sábios da Grécia. Na geometria, ele teve papel fundamental, pois transformou um aglomerado de noções esparsas em um sistema lógico e coerente. Tales morou no Egito por muitos anos, e se atribui a ele o fato de ter realizado a medição da altura das pirâmides, mediante as sombras que projetam.

George: Nossa, eu só tinha ouvido falar no Teorema das Paralelas, não sabia que ele era tudo isso.

Euclides: É, e tem mais, os antigos egípcios também atribuíram a ele o fato de ter predito o eclipse do Sol ocorrido no ano de 585 a.C. Foi o primeiro a dar uma explicação dos eclipses.

George: Então vamos logo, Euclides, estou curioso para conhecê-lo.

Euclides: Não seja ansioso, meu jovem, a pressa muitas vezes atrapalha. Aguarde até o próximo sonho.

George: Mas Euclides, Euclides... Você não vai me abandonar, vai? Já foi.

Nesta seção, vamos conhecer um dos axiomas mais importantes da geometria plana, o Axioma das Paralelas. Veremos, também, que a partir dele surgiram algumas conclusões fundamentais, como o Teorema de Tales e o conceito de semelhança de triângulos. Mas observe a última frase de Euclides no diálogo acima. Ele diz: “a pressa muitas vezes atrapalha”. Então, dedique-se com tranqüilidade aos estudos e procure esclarecer suas dúvidas, sempre que aparecerem.


116


SEÇÃO 1 – Axioma das Paralelas

Tales: Olá, George, você precisa de ajuda?

George: Tales? Que bom conhecê-lo! Quanto à ajuda, é sempre bem-vinda.

Tales: Bem, vou mostrar-lhe um axioma muito importante, que gerou muita discussão na época de sua apresentação.

George: Já sei do que se trata.

Tales: Já?

George: Deve ser o tal Axioma das Paralelas.

Tales: Exato. Mas como você sabe?

George: Eu já tinha me adiantado um pouco, só não me aprofundei.

Tales: Então chegou a hora.

George: Pelo jeito é bem importante, mesmo.

Tales: Historicamente, sim. Ele foi visualizado pelo nosso amigo Euclides e, muitos depois dele, acharam que podiam demonstrá-lo. Não conseguiram, e, a partir daí, surgiram outras geometrias.

George: Outras Geometrias, que estória é essa?

Tales: Vou contar um pouco de história. Como você já deve saber, Euclides foi o primeiro matemático que apresentou a geometria de forma sistemática, ao escrever a obra “Os Elementos”. Euclides escolheu 5 postulados (afi rmações) que, por sua simplicidade, seriam aceitos. Porém o quinto postulado, que dá origem ao axioma das paralelas, não foi tão bem aceito por outros estudiosos. Ao longo de séculos, muitos matemáticos tentaram demonstrar o axioma das paralelas, o que o transformaria em um teorema. Proclus Diadochus, matemático crítico, que nasceu em 411, não aceitava o tal postulado e tentou prová-lo de diversas formas, porém,


117

Geometria I

Unidade 3

sem êxito. A criação de outras geometrias surgiu a partir da negação desse postulado. Dois matemáticos, Lobachewsky e Bolyai, publicaram, de maneira independente, e quase simultaneamente, por volta de 1830, uma nova geometria, não euclidiana, que hoje é chamada de geometria hiperbólica.

George: Nossa, que loucura. E do que trata essa geometria hiperbólica?

Tales: Isso você estuda depois. Que tal primeiro fi car craque na euclidiana plana?

George: Acho melhor, mesmo. Bom, então preciso ir à luta e estudar as tais paralelas.

Tales: Sim, pense que as paralelas são iguais às gangorras em que você e seus amigos já se divertiram. Se estendê-las ao infi nito, as duas jamais se encontrarão em algum ponto.

George: Idéia simples que gerou confusão. Vou nessa, então. Tchau, Tales!

Tales: Até breve, George!

Retas Paralelas

Duas retas são paralelas se, e somente se, são coincidentes (iguais), ou são coplanares (estão no mesmo plano) e não têm nenhum ponto comum.

O símbolo // representa paralelas.

E, assim, a expressão será lida é paralela à .


118


Reta transversal a duas retas dadas

Se a e b são duas retas distintas, paralelas ou não, e t uma reta concorrente com a e b, então t é dita transversal a a e b.

Observe que uma reta transversal a outras duas determina com elas oito ângulos.

A seguir, vamos enumerar e descrever cada um deles.

Os ângulos anteriores podem ser classifi cados como:

Alternos Internos: e , e

Alternos Externos: e , e

Colaterais Internos: e , e

Colaterais Externos: e , e


119

Geometria I

Unidade 3

Observe:

Se dois ângulos alternos são congruentes (como por exemplo

), podemos concluir que existe a congruência dos ângulos

de todos os pares de ângulos alternos ( ) bem

como a congruência dos ângulos de todos os pares de ângulos

correspondentes ( );

Axioma XI (Teorema das Paralelas): Por um ponto fora de uma reta r, pode-se traçar uma única reta paralela a r.

Se duas retas r e s são infi nitas em comprimento, como podemos provar que elas não se interceptam?

O teorema a seguir mostra que, para responder a essa questão, utilizamos uma transversal e os ângulos formados entre essa transversal e as retas r e s.

Teorema 3.1: Se duas retas coplanares distintas e uma transversal determinam ângulos alternos (ou correspondentes) congruentes, então essas duas retas são paralelas.


120


Hipótese: Se α ≡ β

Tese: r // s

Demonstração: Se r e s não fossem paralelas, teriam um ponto em comum, por exemplo, o ponto P, da fi gura 3.3.

Se A é o ponto de intersecção entre as retas s e t, e B o ponto de intersecção entre as retas r e t, construímos o triângulo ABP. Neste caso, pelo teorema do ângulo externo 2.3, teríamos α < β, o que é um absurdo, de acordo com a hipótese.

Assim, as retas r e s são paralelas.

Exemplo: Dadas as retas r e s paralelas, conforme a fi gura abaixo, determine os valores de x e y.

Vamos mostrar, agora, uma utilidade do teorema das paralelas.

Você já deve ter ouvido falar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Mas será que podemos provar isto?


121

Geometria I

Unidade 3

Teorema 3.2: A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°.

Demonstração: Seja um triângulo. Pelo vértice C, trace uma paralela ao lado . Podemos fazer isto pelo axioma X.

Pela fi gura 3.4 observamos que e são ângulos externos do Triângulo ABC ; e 2̂ , ângulo interno oposto pelo vértice C.

Note que

é transversal às duas paralelas, logo .

é transversal às duas paralelas, logo .

Portanto,

Observe que, quando comparamos ângulos pelos nomes, utilizamos o sinal de congruência. Quando comparamos as medidas dos ângulos, por serem números, utilizamos o sinal de igual.


122


Exemplo: Determine o valor de x no triângulo abaixo:Solução:Como a soma dos ângulos internos do triânguloé 180o , então:x + 60o + 70o = 180o x + 130o = 180o x = 180o – 130o x = 50o

Mostre que, num triângulo eqüilátero, cada ângulo interno mede 60o. Ver atividade de auto avaliação 5.

SEÇÃO 2: Teorema de Tales

George: Tales, você está aí? Ando curioso.

Tales: Isso é bom, a curiosidade é fundamental para o aprendizado.

George: Então me fale um pouco sobre esse teorema tão importante, o Teorema de Tales.

Tales: Ah, essa conclusão é super simples. Como já dito antes, a beleza da geometria está em sua construção. Por isso, a grande importância desse teorema é que, a partir dele, foi possível deduzir outros teoremas.

George: Estou ansioso.

Tales: Então, vamos lá!


123

Geometria I

Unidade 3

Antes de mostrarmos o teorema, vamos apresentar três conceitos fundamentais.

1) Chama-se feixe de retas paralelas a um conjunto de retas coplanares paralelas entre si.

2) Chama-se transversal do feixe de retas paralelas, uma reta que é concorrente a todas as retas do feixe.

3) Dois segmentos são ditos proporcionais, quando existe uma razão entre seus comprimentos.

Dados dois números reais, a e b, a razão entre eles é o quociente a/b. Dadas duas razões a/b e c/d, se ocorrer a igualdade

, então ela é denominada proporção. Da fi gura 3.5, dizemos

que os segmentos e são proporcionais aos segmentos e

, respectivamente, se:

Vamos, a seguir, apresentar dois teoremas úteis para a demonstração do Teorema de Tales.

Teorema 3.3: Se uma reta paralela a um lado de um triângulo intercepta os outros dois lados em pontos distintos, então ela determina segmentos que são proporcionais a esses lados.


124


No triângulo ABC da fi gura 3.6, sejam D e E pontos de

e respectivamente, tais que é paralelo .

Então:

Teorema 3.4: Se uma reta intercepta dois lados de um triângulo e determina segmentos proporcionais a estes dois lados, então ela é paralela ao terceiro lado.

No triângulo ABC da fi gura 3.7, seja D um ponto entre A e B, e

E um pontos entre A e C.

Se , então:

é paralelo a .

Teorema 3.5: (de Tales): Um feixe de retas paralelas, interceptado por duas retas transversais quaisquer, gera segmentos determinados nas duas transversais proporcionais.


125

Geometria I

Unidade 3

Demonstração: Na fi gura 3.8, considere o triângulo AEF, que

intercepta o segmento no ponto N. Como , pelo

teorema 3.3 podemos garantir:

, conclusão (1). Considere agora o triângulo ABF.

Como , pelo teorema 3.3 concluímos: ,

conclusão (2). Portanto, das conclusões (1) e (2) temos .

Exemplo: Dada a fi gura abaixo, onde AB // CD // EF, determine os valores de x e y, sabendo que a soma x + y =30 .

Solução:

Pelo teorema de Tales:

Portanto: e


126


SEÇÃO 3 – Semelhança de triângulos

Nesta seção, você verá como a semelhança de triângulos foi utilizada por Tales para calcular a altura das pirâmides. Mas, primeiro, vamos introduzir alguns conceitos necessários para essa demonstração.

Figuras semelhantes são fi guras parecidas, de mesma forma, mas tamanhos diferentes. Assim, duas fi guras são semelhantes, quando existe entre elas uma proporção (chamada razão de semelhança).

Figura 3.9: Figuras semelhantes

Podemos afi rmar que A e B são semelhantes, para os dois casos.

Se você observar, verá que, no seu cotidiano, aparecem muitos casos de semelhança, como:

a planta da sua casa é a representação reduzida da casa em tamanho real;

uma fotografi a é a ampliação do negativo e a imagem reduzida de um determinado momento.

Você observa outro caso de semelhança no seu dia a dia?

No estudo da geometria, a semelhança é um conceito muito utilizado, principalmente quando falamos de triângulos.


127

Geometria I

Unidade 3

Outro conceito importante apresentado foi o conceito de congruência. Mas qual a diferença entre congruência e semelhança?

Dois triângulos são semelhantes, se os três ângulos internos são ordenadamente congruentes e os lados correspondentes proporcionais. Ou seja, triângulos semelhantes têm a mesma forma, embora, não necessariamente, o mesmo tamanho.

Figura 3.10: Semelhança entre os triângulos ABC e DEF ( ).

O símbolo ~ representa semelhança. No caso lê-se “o triângulo ABC é semelhante

ao triângulo DEF”.

Assim, se , então podemos garantir que ,

, e

Você pode estar se perguntando: O que são lados correspondentes proporcionais?

Lados correspondentes são tais, que cada um deles está em um dos triângulos e ambos são opostos a ângulos congruentes.

Dois lados são proporcionais, se existe uma razão entre o comprimento deles, ou ainda, se existe um número real tal, que a divisão de um comprimento pelo outro correspondente for igual a esse número.


128


Em triângulos semelhantes, essa razão deve ser a mesma para os três lados correspondentes desse triângulo.

Exemplo: Os triângulos ABC e DEF são semelhantes. Observe que seus ângulos são congruentes, e os lados do triângulo DEF são exatamente a metade dos lados respectivos do triângulo ABC.

Observe que, se dividirmos os lados correspondentes, AC por DF,

AB por DE e BC por EF, temos a mesma razão (r = 2). Veja:

, e

Como nos casos de congruência, existem condições mínimas as quais garantem a semelhança entre dois triângulos:

Caso 1: “Se dois ângulos de um triângulo são congruentes, respectivamente, a dois ângulos de outro triângulo, então esses triângulos são semelhantes”.

Assim, se e , podemos garantir que ,

ou seja, e


129

Geometria I

Unidade 3

Exemplos: Nos triângulos I, II, e , determine a e b.

Pelo caso 1 de semelhança, podemos garantir que os triângulos

dados semelhantes, então podemos determinar a razão de

semelhança r por meio dos lados BC e EF, ou seja, , logo

e .

Caso 2: “Se entre dois triângulos, um ângulo de um triângulo for congruente a um ângulo do outro e os lados, incluindo esses ângulos forem proporcionais, então esses triângulos são semelhantes”.

Assim, se , e podemos garantir que

, ou seja, e


130


Exemplos: Dada a fi gura abaixo, determine a relação entre x e y.

Os ângulos e são opostos pelo vértice, então

. Pelo caso 2 de semelhança, se a razão entre os lados

AC e DC de semelhança é r, então a razão entre os lados CB e CE

também é r, assim como a razão entre os lados AB e DE.

Logo, e e

Caso 3: “Se entre dois triângulos, os três lados correspondentes forem respectivamente proporcionais, então esses triângulos são semelhantes”.

Assim, se , podemos garantir que ,

ou seja, , e .


131

Geometria I

Unidade 3

Exemplos: Dados os triângulos abaixo, determine quais são semelhantes entre si.

Pelo caso 3 de semelhança, podemos garantir que os triângulos ABD e CBE são semelhantes, já que AB é congruente a CB, AD é congruente a CE e BD é congruente BE.

O próximo teorema é conhecido como teorema fundamental da semelhança de triângulos.

Teorema 3.6: Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro. Neste caso

Exemplo: Se um triângulo ABC tem os lados

AB = 12 cm, AC = 13 cm e BC = 15 cm.

A reta paralela ao lado do triângulo ADE,

em que DE = 5 cm. Vamos calcular AD = x e AE = y.


132


Basta aplicar o teorema fundamental:

Logo, AD = 4 cm e cm

Note que, se dois triângulos são congruentes, então são semelhantes com r = 1. Porém o inverso não é verdadeiro.

Relações métricas no Triângulo RetânguloOs Triângulos Retângulos possuem outros elementos, além da hipotenusa e dos catetos, que iremos apresentar a seguir.

Dado o triângulo retângulo ABC, da fi gura 3.15:

1) h é a medida da altura relativa à hipotenusa;

2) a é a medida da hipotenusa;

1) b e c são as medidas dos catetos;

2) n é a medida da projeção do cateto AC sobre a hipotenusa;

3) m é a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa.


133

Geometria I

Unidade 3

A altura h relativa à hipotenusa do um triângulo retângulo ABC divide esse triângulo em dois outros triângulos retângulos ACD e ABD:

Pela semelhança de triângulos, como os ângulos internos são congruentes, então garantimos as seguintes semelhanças:

E, a partir dessas semelhanças, apresentamos as seguintes relações métricas no triângulo retângulo:

Da semelhança

, e

O quadrado de cada cateto é o produto da hipotenusa pela projeção desse mesmo cateto sobre a hipotenusa.

Da semelhança

, e

O produto da hipotenusa pela altura relativa à hipotenusa é igual ao produto dos catetos.

Da semelhança

, e

O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das projeções dos catetos.


134


Exemplo: Dado o triângulo abaixo, determine o valor de x, y, z e w.

Como o triângulo ABC é retângulo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para determinar o valor de x:

Para determinar os valores de y, z e w, utilizamos as relações métricas no triângulo retângulo.

Observe que:

z é a projeção do cateto AB = 5 sobre a hipotenusa BC = x= 13, assim:

w é a projeção do cateto AC = 12 sobre a hipotenusa x = 13:

y é a altura do triângulo ABC, então:


135

Geometria I

Unidade 3

Demonstração do Teorema de Pitágoras utilizando semelhança de triângulos

Na unidade 2, falamos que demonstraríamos o teorema de Pitágoras, quando tivéssemos apresentado conceitos sufi cientes para tal.

A primeira demonstração que faremos, utiliza o conceito de semelhança de triângulos. Veja a seguir.

Lembre-se de que o Teorema de Pitágoras diz: Se ABC é um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

Demonstração:

Hipótese: Se no triângulo ABC,

Tese:

De fato:

Dado o triângulo ABC com , e , se o ângulo reto é , então a altura relativa a esse ângulo divide a hipotenusa a em dois segmentos m e n, tal que a = m + n.


136


Das relações métricas no triângulo retângulo tiramos:

e . Somando essas duas relações, temos:

. Como a = m+ n, temos

, logo

, ou seja,

Cálculo da altura de pirâmides

George: Tales, estou curioso, você já pode mostrar como calculou a altura de pirâmides?

Tales: Claro, George: para fazer essa demonstração, eu só precisava que você entendesse a idéia de semelhança de triângulos. Vou lhe contar, passo a passo, o meu raciocínio:

Primeiro, eu enterrei uma estaca de altura conhecida m ao lado de uma pirâmide, com o objetivo de observar a projeção e suas sombras.

Assim, consegui observar dois triângulos retângulos:

O primeiro ∆ABC, formado pelo topo da Pirâmide A, a extremidade da sombra C e o centro da base B. A altura da pirâmide x é um dos catetos desse triângulo.

O outro cateto pôde ser obtido pela soma do comprimento da sombra com a metade do lado . da base da

pirâmide (b + c).


137

Geometria I

Unidade 3

O segundo triângulo MPN é formado pelo topo da estaca M, o ponto de contato dela com o sol P e a extremidade da sombra N. Um dos catetos é o comprimento da estaca m e o outro, o comprimento da sombra n. Então, pelo caso 2 de semelhança de triângulos, pude garantir que os triângulos ABC e MPN são semelhantes. E, assim, fi cou fácil encontrar a razão entre os catetos (b + c) e, conseqüentemente, determinar o comprimento da pirâmide x por meios da seguinte regra de três: .

George: Puxa, Tales, foi muito bom. E, vendo agora, parece super simples. Como você conseguiu?

Tales: Pensando, meu caro, pensando.

Síntese

Nesta unidade você pôde conhecer um pouco sobre Tales de Mileto e suas descobertas. Pôde entender o conceito de retas paralelas e suas aplicações, bem como visualizar que a idéia de semelhança de triângulos é uma ferramenta especial para resolver determinados tipos de problemas.

Observe, ao longo dos exercícios, como utilizar cada um dos conceitos estudados nesta unidade, e não se esqueça de tirar suas dúvidas com o seu professor tutor.

Saiba mais

Para saber ainda mais sobre História da Matemática, dê uma olhada no livro História da Matemática, um livro que conta o desenvolvimento da matemática através dos grandes matemáticos.

BOYER, Caul B. História da Matemática. São Paulo: Editora Edgard Blucher Ltda., 1996.


138



1) Em cada uma das fi guras abaixo, determine o valor de x, sabendo que as retas r e s são paralelas:

2) Nas fi guras abaixo, determine os valores de x e y, sabendo que as retas r, s e t são paralelas:

3) Determine o valor de x nos seguintes triângulos:


139

Geometria I

Unidade 3

4) Nos triângulos abaixo, determine os valores de x e y:

5) Seja ABC um triângulo isósceles. Se um ângulo externo da base é o dobro do ângulo do vértice, calcule os ângulos internos desse triângulo.

6) Mostre que, num triângulo eqüilátero, cada ângulo interno mede 60o .


140


7) Determine a medida dos ângulos internos de um triângulo, se estas medidas estiverem na razão 3:4:5.

8) Determine as medidas dos ângulos internos agudos de um triângulo retângulo, se estas estiverem na razão 4:5.

9) Mostre que um triângulo é eqüilátero, se os seus ângulos forem representados pelas medidas x + 15, 3x – 75 e 2x – 30.


141

Geometria I

Unidade 3

10) Se a, b e c são números positivos e , então b é chamado a média geométrica entre a e c. Calcule a média geométrica entre os números 12 e 3.

11)Dados os números abaixo, represente as razões do maior para o menor:

a) 20 para 30; b) 5,2 para 0,6; c) 4 para ½;

12)Aplique o Teorema de Tales para encontrar o valor da variável x nos seguintes casos, onde as retas r, s e t são paralelas:


142


13)Dado o triângulo ABC da fi gura abaixo, calcule AB sabendo que

.

14) Um feixe de quatro paralelas determina sobre uma transversal três segmentos que medem 8 cm, 11 cm e 16 cm respectivamente. Determine os comprimentos dos segmentos que esse mesmo feixe determina sobre uma outra transversal, sabendo que o segmento compreendido entre a primeira e a quarta paralela mede 70 cm.

15) Dados os triângulos semelhantes ABC e DEF abaixo, determine os

valores de x e y em cada caso, se e .


143

Geometria I

Unidade 3

16) Dado um triângulo ABC, se M é o ponto médio do segmento e se N é ponto médio de , mostre que o triângulo ANM é semelhante ao triângulo ABC.

17) Dados dois triângulos semelhantes, se a razão de semelhança entre eles é x, mostre que existe também uma razão de semelhança entre seus perímetros e essa razão também é igual a x.

18) Se um triângulo ABC, de perímetro 30 cm, é semelhante a outro triângulo DEF, de lados 4 cm, 5 cm e 6 cm, determine o menor lado do triângulo ABC.


144


19) Determine o valor de x nos triângulos abaixo:

20) Determine a menor altura de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 5 cm e os catetos 3 cm e 4 cm.


UNIDADE 4

Áreas de Figuras Planas


Identifi car um polígono.

Calcular a área das principais fi guras planas.

Conhecer a diferença entre círculo e circunferência.

Seções de estudo

Seção 1 Polígonos

Seção 2 Área das fi guras planas

Seção 3 Círculo e Circunferência

4


146



Euclides apresenta um novo amigo a George.

Arquimedes

Euclides: George, que saudades, meu rapaz.

George: Nossa, que surpresa vê-lo aqui nos meus sonhos novamente.

Euclides: Pois é, quero lhe apresentar um novo amigo.

George: Mais um para me ajudar?

Euclides: Com certeza. Você vai estudar área, não vai?

George: Isso mesmo, e quero começar entendendo tudo.

Euclides: Então você conhecerá Arquimedes.

George: Arquimedes? Mas por que ele?

Euclides: Por que ele foi um dos primeiros estudiosos a calcular a área do círculo e uma aproximação do número pi. Na verdade, Arquimedes de Siracusa nasceu por volta de 287 a.C. e morreu em 212 a.C., assassinado por um soldado romano. Ele também fi cou famoso por ter aperfeiçoado métodos de integração que permitem calcular áreas, volumes e áreas de superfícies de muitos corpos.


147

Geometria I

Unidade 4

George: Métodos de integração? Naquela época?

Euclides: Sim, ele foi um grande estudioso, e seu mais famoso teorema é conhecido por Princípio de Arquimedes, fornece o peso de um corpo imerso num líquido.

George: Poxa, o cara era fera mesmo! Mas, já sei: tenho de aprender primeiro geometria plana e depois me aprofundar em outros estudos.

Euclides: Por isso que gosto de você, cara esperto!

George: Abraços e até a próxima!

No antigo Egito, os agrimensores já calculavam a área de terrenos depois das cheias do rio Nilo, portanto trata-se de um assunto muito antigo. Nesta unidade, vamos nos dedicar à geometria plana, seus conceitos fundamentais e, principalmente, o cálculo de fi guras planas.

Figura 4.1 – Área que ocupa o estado de Santa Catarina.


148


Procure analisar e discutir bem as atividades propostas nesta unidade, para que todas as suas dúvidas sejam esclarecidas. O sucesso no campo da Matemática requer trabalho, então vamos adiante e bons estudos!

SEÇÃO 1 – Polígonos

Observe as curvas representadas a seguir:

Figura 4.2 – Exemplos de curvas.

Curvas que saem e voltam ao mesmo ponto, são linhas ditas fechadas, como a fi gura 4.2(c) e fi gura 4.2(d).

As curvas fechadas são polígonos, quando formadas por segmentos de reta e não passam duas vezes pelo mesmo ponto, como na fi gura 4.2(c).

Os polígonos recebem nomes de acordo com seus lados:

Três lados: triângulo;

Quatro lados: quadrilátero;

Cinco lados: pentágono;

Seis lados: hexágono;


149

Geometria I

Unidade 4

Sete lados: heptágono;

Oito lados: octógono;

Nove lados: eneágono;

Dez lados: decágono;

Assim por diante.

Veja, a seguir, alguns exemplos:

Triângulos

Figura 4.3 – Polígonos de três lados, os triângulos.

Quadriláteros

Figura 4.4 – Polígonos de quatro lados, os quadriláteros.

Trapézio: Um par de lados paralelos com medidas diferentes.

Figura 4.5 – Trapézio.


150


Paralelogramo: Tem dois pares de lados paralelos e congruentes.

Figura 4.6 – Paralelogramo.

Losango: Possui dois pares de lados paralelos e todos são congruentes.

Figura 4.7 – Losango.

Retângulo: Tem dois pares de lados paralelos e congruentes e todos os ângulos são retos.

Figura 4.8 – Retângulo.

Quadrado: Todos os lados são congruentes e os quatro ângulos são retos.

Figura 4.9 – Quadrado.

Observe, na seqüência, mais algumas fi guras com outros números de lados:


151

Geometria I

Unidade 4

Pentágonos

Figura 4.10 – Pentágonos.

Hexágonos

Figura 4.11 – Hexágonos.

Perceba que todo retângulo é um paralelogramo, mas nem todo paralelogramo é um retângulo. Isso acontece, pois um retângulo, necessariamente, tem ângulos retos. Já um paralelogramo pode, ou não, ter ângulos retos. O mesmo vale para losangos e quadrados.

Existe um tipo especial de polígonos, que são os polígonos regulares.

Polígonos Regulares

Polígono regular é todo polígono que tem os lados congruentes e os ângulos internos também congruentes.


152


Exemplos:

Figura 4.12 – Polígonos regulares

Na próxima seção, vamos estudar como calcular a área das fi guras descritas acima. Nosso amigo Arquimedes já nos deu uma dica, mas George percebeu que ela não é tão simples assim. Necessitamos de algo mais prático para o cálculo de área.

SEÇÃO 2 – Áreas de Figuras Planas

Em sono profundo, George encontra-se com Arquimedes:

Arquimedes: Olá, George, tudo bem?

George: Arquimedes, já ouvi falar de você, prazer em conhecê-lo.

Arquimedes: Igualmente, e mais prazeroso ainda será ajudá-lo.

George: Você é craque em áreas, é? Eu queria entender direitinho o que signifi ca área.

Arquimedes: Posso lhe dar uma explicação bem informal no momento, que o ajudará bastante.


153

Geometria I

Unidade 4

George: Mesmo? Estou ansioso.

Arquimedes: Imagine um quadradinho de lado 1 cm. Imaginou?

George: Sim, com certeza.

Arquimedes: Agora, imagine um retângulo de lados 2 cm e 3 cm. E lhe pergunto: Quantos quadradinhos de lado um cabem nesse retângulo.

George: Ora, 6 quadradinhos.

Arquimedes: Perfeito, então a área deste retângulo é 6 cm2.

George: Só isso. Acho que entendi sua explicação.

Arquimedes: Pode falar para mim, então.

George: Calcular a área de uma fi gura é o mesmo que dizer quantos quadradinhos de lado 1 cabem nesta fi gura.

Arquimedes: Exatamente. O problema é que não conseguimos fazer isto tão facilmente em todas as fi guras, como, por exemplo, em trapézio, losango e círculo.

George: Verdade, vai sobrar uns pedacinhos que teríamos que preencher com pedacinhos deste quadrado.

Arquimedes: Isso mesmo, por isso temos algumas fórmulas que nos ajudam a fazer estas contas.

George: Estou ansioso para começar.

Arquimedes: Você verá a seguir que estaremos em contato com nosso outro axioma.

George: Oba, mais um resultado importante, então.

Arquimedes: Com certeza. Vamos axiomatizar a área do retângulo e, com ela, podemos expor a área das outras fi guras. Você estudará algumas, apenas.

George: Que legal. Minha ansiedade aumentou. Vou descansar, para estar pronto para os estudos. Um forte abraço!

Arquimedes: Para você também, meu jovem.

Área é um número real, maior ou igual a zero, que representa a medida de uma superfície.

Por meio do último diálogo e com esta defi nição, temos uma idéia de área informal e de área formal. Podemos usar ambas para encaminhar nosso conhecimento.


154


Vejamos o exemplo: Suponha que você tenha um terreno com o seguinte formato:

Figura 4.13 – Terreno para construção de uma casa.

Agora, você quer saber quanto de área você tem para construir uma casa. Vemos que a idéia informal apresentada por nosso

amigo Arquimedes não é possível, pois os quadradinhos de área 1 não são sufi cientes para preencher toda a área dada, principalmente pelo fato de um dos ângulos entre dois lados

desta fi gura não ser reto, ou seja, a idéia dos quadradinhos é muito interessante para fi guras onde todos os lados formam ângulos retos: quadrados e retângulos.

Neste momento, esta idéia poderia nos dar apenas uma aproximação da área. Necessitamos, então, de outros métodos para o cálculo da área deste terreno. Uma maneira de determinar esta área é decompor a fi gura em outras fi guras geométricas planas simples e em seguida somar as diversas partes, por exemplo, uma decomposição pode ser dada pela fi gura abaixo:

Figura 4.14 – Figura plana decomposta

Assim, decompomos o terreno em um retângulo e um triângulo. Deste modo, a área do terreno é a área do retângulo, mais a área do triângulo. Veja a seguir, o estudo de áreas de algumas fi guras planas conhecidas.


155

Geometria I

Unidade 4

Axioma do Retângulo: Se ABCD é um retângulo, então a sua

área é dada pelo produto . Chamando o segmento

de base e o segmento de altura, podemos dizer que a área do

retângulo é o produto da base pela altura.

Assim,

Como conseqüência direta do axioma do retângulo, temos que a área de um quadrado ABCD é dada por:

Ou seja, como um quadrado tem todos os lados iguais, digamos l, segue que sua área é dada pelo quadrado do seu lado.

Portanto temos que:


156


Exemplo: 1) Necessito forrar uma chapa retangular de lados 5 m e 3 m, com camurça. Quantos m² de camurça vou usar?

Solução: Como a chapa é um retângulo, segue que sua área total é dada por:

Logo, utilizarei 15 m² de camurça para forrar a chapa.

2) Uma piscina em forma de um quadrado tem lado 5 m. O fundo da piscina será coberto com azulejos azuis de lado 0,1 m. Quantos azulejos são necessários?

Solução: O fundo da piscina é um quadrado de lado 5 m, logo a sua área é:

Cada azulejo de lado 0,1 m, em área:

Portanto, o número de azulejos necessários para cobrir o fundo

da piscina é dado pela razão , ou seja, são necessários

2500 azulejos.

As áreas do paralelogramo, triângulo e trapézio podem ser obtidas a partir do axioma do retângulo. Veremos como isso se faz para a área do paralelogramo.

Proposição 1: A área de um paralelogramo é o produto do comprimento de um de seus lados pelo comprimento da altura relativa a este lado.

Demonstração: Devemos mostrar que

Onde b é a base e h é altura.


157

Geometria I

Unidade 4

No paralelogramo ABCD, trace dois segmentos e perpendiculares ao segmento .

O quadrilátero ABFE é um retângulo cuja área é , o qual, em termos de notação, é exatamente o produto da base pela altura, isto é, b · h.

Observe que os triângulos ADE e BCF são congruentes pelo caso especial de triângulos retângulos e, portanto, compreendem a mesma área, logo:

Área (ABCD) = Área (ABCE) + Área(ADE)

= Área(ABCE) + Área(BCF)

Mas note que a soma das áreas em questão é a área do retângulo ABFE. Logo:

Área (ABCD) = Área (ABFE) = b · h

Portanto, a área do paralelogramo é dada pelo produto da base pela altura.

Proposição 2: A área de um triângulo é a metade do produto do comprimento de qualquer dos seus lados pela altura relativa a este lado.

Figura 4.15 – Triângulos

Esta demonstração deixaremos para você tentar fazer. A idéia básica é desenhar um triângulo e, a partir dele, construir um paralelogramo.Então notamos que a área do triângulo é a metade


158


da área do paralelogramo. Portanto, para um triângulo qualquer como na fi gura 4.15, temos:

Exemplo: 1) Agora já podemos resolver o problema de área do início da seção. Tínhamos o desenho do seguinte terreno:

Vamos denotar a área do retângulo por , logo

Denotando a área do triângulo por , temos

Logo, a área do terreno é dada por:

2) Qual a área de um triângulo eqüilátero de lado l?

Veja a fi gura a seguir:


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Geometria I

Unidade 4

Sabemos que, no triângulo eqüilátero, todos os lados são iguais.

Agora tome o triângulo retângulo formado pela altura, por um dos lados e pela metade da base. Aplicando o teorema de Pitágoras neste triângulo, temos:

Ou seja,

Logo, a área do triângulo eqüilátero é:

Proposição 3: A área de um trapézio é a metade do produto do comprimento da sua altura pela soma dos comprimentos de suas bases.

Portanto,


160


Se um dos lados não paralelos do trapézio formar ângulo reto com as bases, este trapézio é chamado de trapézio retângulo.

Para ilustrar a observação acima, tomemos nosso exemplo inicial de área, do cálculo do terreno da fi gura 4.13.

Perceba que se trata de um trapézio retângulo. Portanto a área do

terreno pode ser calculada também usando a área do trapézio:

Notamos, portanto, que, em muitos casos, podemos tratar a área de uma fi gura de várias formas, ou com uma decomposição, ou mesmo diretamente, se a fi gura tem a forma conhecida.

Exemplo: 1) Suponha que um rico excêntrico tem uma piscina, cuja vista plana das bordas tem a forma de um trapézio, com base menor 8 m, base maior 15 m. Para

nadar de uma base à outra perpendicularmente, nadam-se 4 m. O proprietário quer recobrir a piscina com uma chapa de acrílico ao fi nal do dia. O metro quadrado do acrílico é de R$ 105,00. Quanto ele gastará para construir esta chapa?

Solução: Vamos, primeiramente, calcular a área do trapézio, tendo:

b=8

B=15

h=4

Logo, .

Portanto, o total a ser gasto com a chapa é 46x105 = 4.830 reais. Realmente um tanto excêntrico!


161

Geometria I

Unidade 4

2) O canteiro de uma praça tem o formato de um trapézio retângulo, como mostra a fi gura abaixo:

A base menor mede 5 m, a base maior mede 8 m e o lado não perpendicular mede 5m também. Qual a área do canteiro?

Solução: Note que precisamos encontrar a altura e, para isso, basta usar o triângulo retângulo da fi gura do trapézio. A hipotenusa mede 5 m, e a base do triângulo mede (8-5) m, ou seja, 3 m.

Logo:

Assim,

3) Mostre que a área de um losango é dada pela metade do produto de suas diagonais.

Solução:

Denotemos por D a diagonal maior e por d a diagonal menor.

Perceba que a fi gura é formada por quatro triângulos

eqüiláteros todos congruentes. Cada triângulo tem altura

dada por e base .


162


Portanto, a área do losango é quatro vezes a área do triângulo:

4) A base de um retângulo é o triplo de sua altura. Determine as dimensões do retângulo, sabendo que a sua área é de 96 cm².

Solução: Temos que b=3h, logo

Como A = 96, tem-se:

E, portanto,

5) Determine o lado de um quadrado, sabendo que, se aumentarmos seu lado em 2 cm, sua área aumenta em 36 cm².

Solução: Seja l o lado do quadrado e A a sua área. Então A = l². Aumentando l em dois centímetros, temos l + 2 e, portanto, a nova área é A + 36, ou seja, A + 36 = (l + 2)2. Da ultima equação temos:

Substituindo na fórmula da área tem-se:


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Geometria I

Unidade 4

6) Determine á área de um triângulo eqüilátero cuja altura mede 4 m.

Solução: Num triângulo eqüilátero, a altura é dada por . Como h = 4, temos:

Racionalizando:

Portanto a área do triângulo é dada por:

7) O perímetro de um losango é 16 cm. Calcule sua área, sabendo que a diagonal maior vale o dobro da menor.

Solução: Num losango, todos os lados são iguais. Perímetro é a soma dos lados, logo 4 = 16 e, portanto, = 4. Temos também que D = 2d. Lembre-se de que um losango é formado por 4 triângulos retângulos e que, assim, pelo teorema de Pitágoras:


164


Agora e então

Depois de um dia longo de trabalho, nosso amigo George descansa.

Arquimedes: George, meu caro, tudo bem com você?

George: Arquimedes, já estava com saudades.

Arquimedes: Pois é, nosso encontro demorou, não?

George: Bom, eu estava muito empolgado com o assunto, e nem pensei em descansar.

Arquimedes: Que bom, fi co feliz em ouvir isso. Preparado para um próximo passo?

George: Com certeza. O que temos pela frente?

Arquimedes: Polígonos regulares.

George: Regulares ???

Arquimedes: Isso mesmo, alguma idéia?

George: Regular, sei que são polígonos com lados iguais?


165

Geometria I

Unidade 4

Arquimedes: Exatamente. E o melhor, todos podem ser decompostos em vários triângulos isósceles.

George: Hummm, interessante. Triângulo fi ca mais fácil.

Arquimedes: E tem um mais fácil ainda que o hexágono regular.

George: Por que?

Arquimedes: O mesmo é a reunião de seis triângulos eqüiláteros.

George: Ah, então para calcular sua área é fácil, pois, anteriormente, já tinha demonstrado a área do triângulo eqüilátero. Então basta pegar aquela fórmula e multiplicar por seis.

Arquimedes: Perfeito, George, você a cada dia me surpreende mais.

George: Obrigado, meu mestre.

Arquimedes: Vou deixar você descansar, pois é necessário que sua mente esteja bem preparada para a continuidade do estudo da geometria. Um forte abraço.

George: Abraços e até a próxima.


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Área de polígonos regulares

Observe os polígonos regulares a seguir:

Figura 4.16 – Polígonos regulares.

Pela observação, pode-se visualizar que todo polígono regular de n lados pode ser decomposto em n triângulos isósceles congruentes.

a é chamado de apótema do polígono, que nada mais é que a altura do triângulo isósceles.

A fórmula da área de um polígono regular de n lados, calculado em função do lado e apótema a é:

Considerando que o perímetro do polígono é dado por (n . ) e

representado por p, pode-se escrever:

Exemplos:

1) Deduza a área de um hexágono regular.

Solução: O hexágono regular é um polígono especial, pois é formado por seis triângulos eqüiláteros. Observe:


167

Geometria I

Unidade 4

onde é a área do triângulo eqüilátero.

2) Determine a área do hexágono regular nos seguintes casos:

(a) Seu lado mede 6 m

Solução:

(b) Seu apótema tem .

Solução: Lembrando que temos:

Precisamos de uma relação entre o apótema a e o lado l. Chamamos o triângulo eqüilátero que forma o hexágono regular:

Como o apótema é a altura do triângulo eqüilátero, temos já calculado anteriormente que:


168


Portanto,

Demonstração do teorema de Pitágoras, utilizando áreas:

Na unidade anterior, apresentamos uma demonstração do teorema de Pitágoras, utilizando semelhança de triângulos. Agora que já defi nimos área, podemos efetuar outras duas demonstrações que envolvem esse conceito. Observe-as.

Lembre-se, novamente, que o Teorema de Pitágoras diz: Se ABC é um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos.

Demonstração 1: Considerando a hipotenusa de um triângulo retângulo a, e os catetos b e c, podemos interpretar

o teorema de Pitágoras assim: A área do quadrado construído sobre a hipotenusa (a2) é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os dois catetos (b2 + c2) .

Figura 4.17: Interpretação geométrica do Teorema de Pitágoras, utilizando áreas.

Observe a fi gura 4.17. Suponha que:

o lado a mede 5 unidades, então a área do quadrado de lado a é 25 unidades de área;


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Geometria I

Unidade 4

o lado b mede 3 unidades, assim a área do quadrado de lado b é 9 unidades de área;

o lado c mede 4 unidades e a área do quadrado de lado c é 16 unidades de área.

Neste caso, a área do quadrado de lado a é 25 e é igual à soma das áreas dos quadrados de lados b e c, ou seja: 16 + 9 = 25.

Claro que essa demonstração pode ser feita para outros valores, não obrigatoriamente 5, 4 e 3.

Demonstração 2: Conhecida como demonstração do quadrado chinês.

Dado um triângulo retângulo de catetos b e c e hipotenusa a:

Construímos um quadrado de lado c + b. E, neste quadrado, dispomos quatro cópias do triângulo retângulo com catetos b e c sobre os lados do quadrado. Pelo caso 1 (LAL) de congruência de triângulos (apresentado na unidade 2), cada um destes quatro triângulos é congruente ao triângulo dado, ou seja, todos têm hipotenusa com medida igual a a. O quadrilátero formado pelas quatro hipotenusas é um quadrado. Pelo axioma de área, a área do quadrado maior é igual à área do quadrado menor mais a soma das áreas dos quatro triângulos congruentes. Assim:


170


Figura 4.18: Demonstração do teorema de Pitágoras utilizando o quadrado chinês.

Tente encontrar outra demonstração para o Teorema de Pitágoras. Você verá que existem várias, interessantes.

SEÇÃO 3 – Círculo e Circunferência

Nosso colega George dorme profundamente, depois de um dia cheio de novos conhecimentos, e vai atrás de Arquimedes novamente.

George: Arquimedes? Você está aí?


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Geometria I

Unidade 4

Arquimedes: Claro, meu jovem, o que é essa afl ição na sua voz?

George: Ah, meu amigo, vou começar a estudar circunferência e círculo. Sempre achei que as duas palavras signifi cavam a mesma coisa, mas, pelo que tenho lido, não é assim, e acabei fi cando confuso.

Arquimedes: De círculo eu entendo, fui um dos primeiros a calcular sua área.

George: Mesmo?

Arquimedes: Na minha época, era mais difícil, pois não tínhamos as ferramentas que vocês têm agora. Calculávamos, inscrevendo polígonos regulares na circunferência, cada vez com um número maior de lados, o chamado método da exaustão.

George: Interessante, mas trabalhoso.

Arquimedes: E como!

George: E, então, qual a diferença entre o círculo e a circunferência?

Arquimedes: Circunferência é um conjunto de pontos que tem a mesma distância de um ponto dado.

George: Este ponto é o centro; e a distância é o raio.

Arquimedes: Absolutamente correto. Então circunferência é a linha que delimita uma área; e círculo é a região limitada pela circunferência.

George: Acho que entendi. Então nunca calculamos a área da circunferência e sim do círculo.

Arquimedes: Isso, o que calculamos na circunferência é o seu comprimento. A circunferência delimita um círculo.

George: Show, demais! E muito fácil de entender. Vou já descansar mais um pouco para acordar pronto para mais este desafi o.

Arquimedes: Certo, George, bons estudos.

George: Obrigado!


172


Círculo e circunferência

No diálogo acima, percebemos, então, que as palavras circunferência e círculo têm sentidos diferentes, apesar de muitos livros tratarem o círculo ora como uma curva, ora como a região por ela limitada, ou seja, o círculo, às vezes, tem sentido ambíguo.

Em alguns casos, para evitar confusão, usam-se os termos circunferência e disco, isto é, disco é a região do plano limitada por uma circunferência. No nosso caso, usaremos os termos círculo e circunferência com sentidos bem distintos, como nos ensinou Arquimedes.

Veja as defi nições de Circunferência e Círculo:

Chamamos de Circunferência o conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um outro ponto dado (centro – O) desse plano é igual a uma distância não-nula (raio – r) dada.

Figura 4. 19: Circunferência de Centro O e raio r

Chamamos de Círculo o conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado (centro – O) desse plano é menor ou igual a uma distância não-nula (raio – r) dada.


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Geometria I

Unidade 4

Figura 4. 20: Círculo de Centro O e raio r

Elementos da circunferência

Vamos defi nir alguns elementos da circunferência:

1) Chama-se Corda de uma circunferência, um segmento cujas extremidades pertencem à circunferência.

2) Diâmetro de uma circunferência, uma corda que passa pelo centro;

3) Raio de uma circunferência, um segmento com uma extremidade no centro e a outra num ponto da circunferência.

Figura 4. 21: Corda, Diâmetro e Raio


174


Na 4.19, é uma corda, é o diâmetro e é o raio.

Dada uma circunferência de centro O e raio r, e dois pontos A e B, dessa circunferência, que não sejam extremidades de um diâmetro, chama-se:

1) Arco menor de uma circunferência, a reunião dos conjuntos dos pontos A e B e de todos os pontos da circunferência que estão no interior do ângulo ;

2) Arco maior de uma circunferência, a reunião dos conjuntos dos pontos A e B e de todos os pontos da circunferência que estão no exterior do ângulo .

Figura 4. 22: Arco menor e arco maior

Na fi gura 4.22, você pode observar a diferença entre arco menor e arco maior.

Como fazemos para calcular o comprimento de uma circunferência?

Vejamos um processo experimental e interessante. Veja a seguinte circunferência:

Figura 4.23 – Circunferência e seu comprimento.


175

Geometria I

Unidade 4

Primeiramente, suponha que você tome um barbante e coloque em volta da circunferência. Em seguida você pega este barbante e estica, obtendo um segmento, como na fi gura 4.23.

A medida deste segmento é o que chamamos de comprimento ou perímetro da circunferência.

Agora, divida o comprimento C da circunferência pelo seu diâmetro ( o dobro do raio) 2r. Obtém-se, deste modo, uma constante, algo em torno de 3,141592654, que indicamos pela letra grega (pi). O interessante deste processo é que vale para qualquer tamanho de circunferência, ou seja, toda vez que fi zermos a divisão indicada, obteremos o mesmo número que estamos chamando de (pi). Assim, temos:

Exemplos:

1) Qual é a medida do comprimento de uma circunferência de raio r = 3 cm?

Solução:Temos r = 3 cm e = 3,14, portanto:

Assim, a medida da circunferência é 18,84 cm.

2) O diâmetro de uma circunferência mede 10 cm. Qual o seu comprimento?

Solução: Temos d = 10 cm e = 3,14. Agora:

. Assim

Portanto, o comprimento da circunferência é 31,4 cm.


176


3) A medida de uma circunferência é 25,12 cm. Calcule o seu raio.

Solução: Temos que C = 25,12 cm. Então:

.

Logo o raio da circunferência é 4 cm.

Relações entre retas e circunferências

Algumas posições, entre uma reta e uma circunferência, têm nomes especiais, observe as principais:

Chama-se reta tangente a uma circunferência, uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto.

Figura 4. 24: Reta tangente à circunferência

Na fi gura 4.24, t é tangente á circunferência de centro O, e intercepta essa circunferência no ponto P, chamado de ponto de tangência.


177

Geometria I

Unidade 4

Chama-se reta secante a uma circunferência, uma reta que intercepta a circunferência em dois pontos distintos.

Figura 4. 25: Reta secante à circunferência

Observe na fi gura 4.25 que a reta s, intercepta a circunferência de centro O em dois pontos P e Q.

Propriedades das relações entre retas e circunferências:

1) Dada uma circunferência, um raio é perpendicular a uma corda, que não passa pelo centro da circunferência, se e somente se a divide em dois segmentos congruentes.

Figura 4. 26: Reta perpendicular ao raio

2) Se uma reta é tangente a uma circunferência, então ela é perpendicular ao raio que liga o centro ao ponto de tangência.


178


Figura 4. 27: Reta é perpendicular à reta t

3) Se uma reta t é perpendicular a um raio em sua extremidade, então a reta é tangente à circunferência.

Figura 4. 28: Reta t perpendicular ao raio

Posição relativa entre duas circunferências

Dadas duas circunferências de raios de comprimentos diferentes r1 e r2. Se d é a distância entre r1 e r2, pode ocorrer um dos seguintes casos:

1) Se todos os pontos de uma circunferência são pontos da outra circunferência, então ela é dita circunferência interna a outra. Neste caso, d < r1 – r2.

Figura 4.29: Circunferência interna a outra circunferência.


179

Geometria I

Unidade 4

2) Se duas circunferências possuem um único ponto comum e os demais pontos da primeira são pontos internos da segunda, então essa primeira circunferência é dita tangente interna da outra. Neste caso, d = r1 – r2.

Figura 4.30: Circunferência tangente interna a outra circunferência.

3) Duas circunferências são secantes se têm em comum somente dois pontos distintos. Neste caso, r1 – r2 < d < r1 + r2.

Figura 4.31: Circunferências secantes

4) Duas circunferências são ditas tangentes externas se têm um único ponto comum e os demais pontos de uma são externos à outra. Neste caso, d = r1 + r2.

Figura 4.32: Circunferências tangentes externas

5) Duas circunferências são externas se os pontos de uma delas são externos à outra. Neste caso, d > r1 + r2.

Figura 4.33: Circunferências externas


180


Exemplos:

1) Dadas duas circunferências tangentes externamente. Se a distância entre os seus centros é 25 cm e a diferença entre os raios é 5 cm. Calcule os raios.

Figura 4.34: Circunferências tangentes externamente.

Solução: Temos duas informações sobre a relação entre as circunferências, para satisfazê-las calculamos o seguinte sistema:

Assim os raios das circunferências são r1 =15 cm e r2 = 10 cm.

2) Dadas duas circunferências tangentes internamente. Se a distância entre os seus centros é 20 cm e a distância entre os centros é 4 cm, conforme fi gura 4.31. Calcule os raios.

Figura 4.35: Circunferências tangentes internamente.

Solução: Da relação entre as circunferências, temos o seguinte sistema:

Assim, os raios das circunferências são r1 =12 cm e r2 = 8 cm.


181

Geometria I

Unidade 4

Área do Círculo

Da mesma forma que utilizamos um processo experimental para o cálculo do comprimento da circunferência, mostraremos um método análogo para obter a área do círculo. O primeiro a trabalhar com essas idéias que serão apresentadas a seguir foi nosso amigo Arquimedes. O processo é chamado de método da exaustão. Para isso vamos relacionar circunferência e polígonos.

Dada uma circunferência e um polígono qualquer, dizemos que o polígono é inscrito na circunferência se os vértices desse polígono estão na circunferência. Se os lados do polígono são tangentes à circunferência, então o polígono é circunscrito à circunferência.

Figura 4.36 a): Hexágono circunscrito na circunferência.

Figura 4.36 b): Hexágono inscrito na circunferência.

Propriedade: O perímetro de um polígono inscrito numa circunferência qualquer é menor que o perímetro do polígono circunscrito nessa circunferência. Veja fi gura 4.37.

Figura 4.37: Hexágono circunscrito e inscrito numa circunferência.


182


Observe na fi gura 4.38, circunferências de raio r e polígonos regulares (triângulo eqüilátero, quadrado, pentágono e hexágono) inscritos:

Figura 4.38 – Polígonos regulares inscritos..

Note o seguinte: à medida que aumentamos o número de lados, o polígono inscrito tende a se aproximar da circunferência. Observe ainda que unindo o centro da circunferência aos vértices do polígono, construímos triângulos isósceles congruentes inscritos na circunferência, veja fi gura 4.39.

Figura 4.39 – Polígonos regulares inscritos divididos em triângulos congruentes.

Observe que o centro O da circunferência também está no centro do polígono inscrito. E como todos os triângulos isósceles são congruentes, eles têm a mesma base b e a mesma altura a.

Figura 4.40 – Polígonos regulares inscritos divididos em triângulos congruentes.

Chama-se apótema de um polígono à altura dos triângulos isósceles congruentes inscritos na circunferência dada.


183

Geometria I

Unidade 4

Quanto maior o número de lados do polígono inscrito, o raio se aproxima do apótema.

Figura 4.41 – Aproximação do raio e do apótema.

Assim, o perímetro dos polígonos inscritos tende a se aproximar cada vez mais do comprimento da circunferência ( ).

Você viu que a área de um polígono regular é dada por .

Note pela fi gura 4.38 que o perímetro aproxima-se de e o apótema aproxima-se do raio r. Assim, a área do círculo de raio r é dado por:

Ou seja,

Existem inúmeras maneiras de chegar-se à fórmula da área do círculo, esta é uma das mais primitivas. Outras, mais elegantes, serão mostradas em uma outra ocasião, na disciplina (cálculo I).

Exemplos:

1) Qual a área de um círculo cujo raio mede 2 cm?

Solução: Como , então:

2) O comprimento de uma circunferência mede 31,4 cm. Qual a área da região por ela limitada?

Solução: Necessitamos, primeiramente, encontrar o raio da circunferência. Como C = 31,4, temos:


184


. Logo

Assim, a área da região limitada pela circunferência é 78,5 cm.

3) Uma tampa circular de uma mesa tem 25 cm de raio, será revestida com uma lâmina de fórmica que custa R$2,00 o cm². Qual o gasto para recobrir a mesa?

Solução: Primeiramente, calculamos a área da mesa:

.

Agora, multiplicando a área por dois, temos o gasto G para recobrir a mesa:

. Ou seja, gastará R$3.925,00.

Observação: Suponha que você divida a circunferência em n arcos iguais. Se unirmos as cordas destes arcos, obteremos um polígono regular de n lados, inscrito na circunferência. A fi gura 4.41 mostra isso.

4) Suponha, na fi gura 4.40, o quadrado inscrito na circunferência. Denotemos o seu lado por . Escreva o lado em função do raio.

Solução: Note que podemos, a partir do centro, dividir o quadrado em 4 triângulos retângulos. Faça um desenho para melhor visualizar. Assim, cada triângulo retângulo tem a hipotenusa como sendo e os dois catetos como sendo o raio r da circunferência. Logo:

Ou seja,

De maneira análoga ao exercício 4, verifi que que num triângulo eqüilátero inscrito: , e num hexágono regular inscrito: .


185

Geometria I

Unidade 4

E George tem uma última conversa:

Euclides, Tales, Pitágoras e Arquimedes: Olá, grande jovem!

George: Euclides? Tales? Pitágoras? Arquimedes? Eu não acredito, todos os meus mestres juntos?

Euclides: Isto mesmo. Viemos nos despedir.

Tales: Afi nal, você merece todo o nosso apoio.

George: Mesmo, é?

Pitágoras: Você se mostrou um excelente aluno, mostrou muita garra e por isso chegou até aqui.

George: Confesso que, com a ajuda de vocês, a geometria fi cou muito mais fácil. Afi nal, estava com os especialistas de cada área, foi muito gostoso aprender com vocês.

Arquimedes: Não apenas conosco, não esqueça dos seus mestres verdadeiros, que o levaram a começar a gostar da geometria.

George: Destes não esquecerei, pois foram os primeiros a me incentivarem a chegar aqui.

Euclides: Nós apenas demos um empurrãozinho a mais.

Tales: Todos nós esperamos que, a partir de agora, você busque novos conhecimentos em geometria.

George: Com certeza, eu sei que posso aprender muito mais, com a base que eu tenho agora.

Pitágoras: A geometria é muito vasta e, daqui para frente, as coisas se tornarão mais fáceis.

Arquimedes: Todos nós estaremos olhando e torcendo por você.


186


George: Isto quer dizer que não os verei mais.

Euclides: Não se sabe. Apenas queremos que você cresça por si só, sabemos do seu potencial.

George: Obrigado por tudo e por confi arem na minha capacidade.

Tales: Você é capaz de muito mais. Esta é apenas a ponta do Iceberg.

Pitágoras: A matemática é muito prazerosa em todas as suas áreas. Difi culdades aparecerão, com certeza!

Arquimedes: Seja sábio e faça as coisas com calma e com métodos, e, lembre-se: “não deixe as coisas para a última hora”.

Euclides: Estes são os conselhos dos seus, agora, amigos. Tenha força.

Tales: Perseverança.

Euclides: Garra.

Arquimedes: E amor pelo que você faz.

George: Não quero dar um adeus, mas, quem sabe, um até logo. Tchau amigos. Ainda tenho trabalho a fazer.

Euclides, Tales, Pitágoras e Arquimedes: Adeus, grande amigo!

Síntese

Nesta unidade, você estudou a resolução de área de fi guras planas. Percebeu que as fi guras planas são formadas por lados (segmentos de retas) e por vértices (pontos) e pertencem a um plano. Portanto note que todos os conceitos desenvolvidos na unidade 1 estão presentes para a formação das fi guras planas aqui estudadas, ou seja, o estudo da geometria é uma construção sistemática que deve ser estudada passo a passo, sem avanços precipitados. Chegamos ao topo de nossa construção a partir de uma base sólida que foram os axiomas e as idéias de ponto, reta e plano. Você, aluno, verá que nosso edifício (geometria) comporta mais alguns andares ainda, pois você terá pela frente, numa próxima disciplina, toda a construção da geometria espacial.


187

Geometria I

Unidade 4

Saiba mais

Você, aluno investigativo, pode aprofundar um pouco mais o estudo sobre áreas e ver algumas demonstrações extras no livro Geometria Euclidiana Plana. Para ser mais exato, o capítulo 10. Lá, você encontrará as outras demonstrações das áreas de fi guras planas.

BARBOSA, João L. M. Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1985.


1) As medidas de um retângulo são 8 cm e 5 cm. Calcule a área do retângulo.

2) Um terreno retangular tem 18 m de frente por 25 de lateral. Qual é a área deste terreno?


188


3) O quadro-negro da sala de aula tem 5 m de comprimento por 1,50 m de altura. Qual a área deste quadro-negro?

4) Calcule a área de um quadrado de 11 cm de lado.

5) Um terreno quadrado tem 22 de lateral. Qual é a área deste terreno?


189

Geometria I

Unidade 4

6) Um anúncio de forma quadrada, com 7 cm de lado, é colocado em um jornal. Se o cm2 de anúncio, neste jornal, custa $ 0,80, quanto custou este anúncio?

7) Qual a área de um triângulo que tem 8 cm de altura e 4 cm de base?

8) Num triângulo, a base mede 12 cm e a medida da altura é igual à metade da medida da base. Calcule a área do triângulo.


190


9) Um piso de cerâmica é triangular. Sua base mede 30 cm e sua altura mede 15 cm. Qual a área deste piso?

10) Um hexágono regular tem lado igual a 6 cm. Qual a área deste hexágono?

11) Se uma pessoa der 4 voltas em uma pista de cooper circular, de 100 m de raio, quanto terá percorrido essa pessoa?


191

Geometria I

Unidade 4

12) Um arquiteto fez um projeto de uma casa. O dono pediu que a principal sala da casa tivesse o formato de um hexágono regular, onde cada lado do hexágono medisse 1 metro. Pergunta-se: sabendo que o metro quadrado de piso porcelanato custa 50 reais, quanto se gastará para cobrir o chão desta sala? Quantos metros de rodapé serão gastos? Lembre-se: Um hexágono regular é formado de 6 triângulos eqüiláteros.

13) Um jardineiro dispõe de 60 metros de arame para fazer o jardim de uma casa. O dono pediu que o formato do jardim seja um triângulo eqüilátero ou um quadrado, desde que ocupe a maior área possível. E então: Qual a escolha do jardineiro? Mostre suas contas.


192


14) O vento quebra uma árvore durante uma tempestade. A copa dessa árvore encosta-se no solo a 10m da base. Sabendo que o ângulo formado entre a copa da árvore e o solo é de 30°, a altura da árvore em metros é:

Dados:

15) Considere um círculo de raio 3 e um quadrado circunscrevendo o círculo, como mostra a fi gura abaixo. Encontre a área em negrito na fi gura. Lembre-se: a área do círculo é dada por 2rA ⋅= π .


193

Geometria I

Unidade 4

16) Na construção de um trapézio, um matemático distraído esqueceu-se de colocar as medidas dos lados, dando apenas a informação de que uma das base excede a outra em cm4 , que a área é de 40 cm2 e altura tem 5 cm. Quais as dimensões deste trapézio?


194


17) Um grande empresário comprou um terreno. Numa parte deste terreno, o mesmo pretende construir uma piscina que tenha 90m de perímetro. O empresário pediu ao engenheiro que a piscina tivesse a forma de um triângulo eqüilátero ou de um trapézio isósceles de base maior 30 e base menor 10, já que adora fi guras geométricas. A única condição que o empresário impôs ao engenheiro é que a escolha seja aquela fi gura que tenha maior área possível, para que seus convidados possam desfrutar de uma grande piscina. Qual a escolha do engenheiro? Mostre todas suas contas e coloque a resposta completa.


195

Geometria I

Unidade 4

18) Qual a área do quadrado da fi gura abaixo, sabendo que o raio da circunferência é 20 cm.


196


20) Numa praça central de um pequeno país chamado Brasilis, o presidente local resolveu fazer uma bandeira do País como decoração central desta praça. Veja um esboço do desenho:

As dimensões desta bandeira são: o retângulo mede 8m por 6m; os vértices do losango tocam os pontos médios dos lados do retângulo. Quantos metros quadrados de ladrilhos foram gastos para compor a parte do losango, sabendo-se que a circunferência central tem 2 m de raio? Os lados deste losango serão feitos de mármore. Quantos metros de mármore serão gastos?


Para concluir o estudo

Parabéns pela sua dedicação no estudo da geometria. Você ‘ouviu’ histórias, conheceu teoremas, aprendeu conceitos novos e teve que resolver vários exercícios. A partir daqui, acreditamos, você terá uma nova visão sobre a geometria, tanto no que se refere aos conceitos, quanto a sua utilização.

Agora, o momento é de pensar em todo esse processo para que você perceba como foi seu crescimento ao longo desse período. Como você se dedicou com afi nco verá que seu conhecimento, em relação à geometria e a própria matemática, mudou. A idéia de utilizar conceitos “verdadeiros” para demonstrar novas conclusões é fundamental para o estudo da Matemática.

Entender a construção da geometria ao longo de séculos dá uma idéia de como a matemática é bela e rica. Continue assim estudioso.

Abraços dos autores:

Kelen e Christian


Sobre os professores conteudistas

Christian Wagner - Bacharel em Matemática e Computação Científi ca pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC), em 1998. Mestre em Física-Matemática pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC), em 2001.

Professor substituto na Universidade Federal de Santa Catarina, no período de 2001 a 2003. Professor horista na Universidade do Sul de Santa Catarina (UNISUL), com início em 2001.

Teve participações no VII e VIII seminários de iniciação científi ca, realizados na Universidade Federal de Santa Catarina, na área de equações diferenciais, com apresentação e publicação em anais.

É autor do livro Geometria e Tópicos Especiais de Matemática, ambos utilizados pela UNISUL no curso de Especialização em Educação Matemática. Co-autor nos livros de Matemática Básica, Matemática Elementar e Cálculo I, todos utilizados em disciplinas a distância na UNISUL.

Leciona no curso de pós-graduação em Educação Matemática na UNISUL. Também atua no Núcleo de Estudos em Educação Matemática (NEEM), especifi camente nas atividades de ensino e extensão voltadas para as difi culdades de aprendizagem da matemática.

Kelen Regina Salles Silva - Graduada em Licenciatura em Matemática, pela Universidade Estadual de Maringá / UEM – PR (1986). Mestre em Engenharia de Produção, na área de Pesquisa Operacional, pela Universidade Federal de Santa Catarina / UFSC (1994).


200

Professora na Universidade do Sul de Santa Catarina / UNISUL, desde 2004, ministrando disciplinas para os cursos de Matemática, Engenharias. Ainda, como professora, trabalhou na Universidade Estadual de Maringá / UEM - PR (de 1988 a 1990 e de 1993 a 1995); na Fundação Universidade Federal de Rio Grande / FURG (1992 e 1993); e na Universidade do Vale do Itajaí / UNIVALI (de 1998 a 2005).

Também atua no Núcleo de Estudos em Educação Matemática (NEEM), em atividades de ensino e extensão voltadas às difi culdades de aprendizagem da matemática, bem como em atividades da UNISUL virtual, como professora conteudista e tutora.


Respostas e comentários das atividades de auto-avaliação

Unidade 1

1)

a) Ponto

b) Plano

c) Reta

2)

a) Nos dão noção de ponto, o furo feito por uma agulha e a cabeça de um prego.

b) Nos dão noção de reta, as linhas divisórias de uma quadra de futebol e uma corda esticada.

c) Nos dão noção de plano, a superfície de uma piscina e uma folha de papel.

3) Resposta individual do aluno.

4) Resposta individual do aluno.

5)

a) Falso, podem ser não colineares.

b) Falso, podem determinar uma reta se forem colineares, ou mais de duas retas se não forem colineares.

c) Verdadeiro se forem colineares.

d) Verdadeiro, pelo axioma II.

e) Verdadeiro, pelo axioma II.

f) Verdadeiro, pelo axioma I e II.

g) Verdadeiro pelo axioma III.

h) Verdadeiro. Pelo Teorema 1.1.


202

i) Verdadeiro, pela defi nição de retas concorrentes.

j) Verdadeiro. Pelo Teorema 1.1.

6)

a) Pelo axioma II, por dois pontos passa uma única reta, e por um desses pontos passam infi nitas retas pelo axioma III, logo essas retas se interceptam.

b) Pelo axioma V, dado dois pontos e existe um ponto entre eles,

digamos C, e entre e , pelo mesmo axioma V, existe um ponto e assim sucessivamente.

7) Quatro retas, ou uma reta se todos os pontos forem colineares.

8) Três segmentos.

9) Que passam por A e B distintos existem infi nitos. Mas que tem extremidades neste ponto, um único segmento.

10)

11) Chamamos de a coordenada do ponto médio do segmento

, então:

Agora seja a coordenada do ponto médio do segmento , então:


203

Da mesma forma seja a coordenada do ponto médio do segmento , então:

.

12) Resposta do aluno.

13) Como M é o ponto médio de , então

14) Basta desenhar uma reta em uma folha de papel, em seguida dobre a folha de papel de tal maneira que uma extremidade do segmento coincida com o outro. Agora basta desenhar uma reta na dobra de papel.

15) Sejam a e b os ângulos procurados. Temos que a + b = 90, já que são complementares.

Seja 180 - b o suplemento de b e 180 - a o suplemento de a. Agora digamos que o suplemento de a mede tanto quanto o suplemento de b mais 30, logo,

180 – a = 180 –b + 30

a = b - 30 (1)

Como a + b = 90, então substituindo (1) nesta equação temos:

b – 30 + b

2b = 120 b = 60

Mas como a + b = 90, então a + 60 = 90 e então a = 30

16)

a) Verdadeiro, pela própria defi nição de ângulo.

b) Falso mede 180°

c) Verdadeiro pela defi nição.

d) Falso, transferidor.

e) Verdadeiro pela defi nição.

f) Falso, é o contrário.


204

g) Verdadeiro pela defi nição.

h) Falso pois sua soma é de 150° e não de 180°.

i) Verdadeiro.

j) Verdadeiro pela defi nição.

17) Seja a um ângulo e 180 – a o seu suplemento. Por hipótese ambos tem a mesma medida, então:

a = 180 - a

Resolvendo esta equação obtemos:

2a = 180

a = 90

Ou seja, se um ângulo e seu suplemento tem a mesma medida, então este ângulo é de 90°, isto é, é um ângulo reto.

18) Seja a, um ângulo agudo, ou seja a < 90 e seja b = 180, o seu suplemento. Vejamos:

Se a< 90, então - a > - 90, agora vamos somar 180 em ambos os lados da desigualdade:

180 – a > 180 – 90

180 –a > 90

Mas 180 – a = b é o suplemento de a, e como é maior que 90°, segue que o suplemento é um ângulo obtuso, como queríamos demonstrar.

19) Seja x um ângulo qualquer.

(a) Assim o seu suplemento é 180 - x, portanto o seu triplo é dado por

(b) O complemento de x é dado por 90 - x e portanto sua sétima parte é

dada por .

(c) A terça parte do ângulo x é e portanto o complemento da terça

parte é .


205

20) Sejam a e b dois ângulos, como a e b são complementares então a + b = 90. Suponha que a é o maior ângulo, assim a = 4b. Portanto temos o seguinte sistema:

Substitua a segunda equação na primeira. Então:

4b + b = 90, ou seja, 5b = 90 e portanto b = 18. Como a = 4b, segue que . Então os ângulos procurados são a = 72 e b = 18.

21) Sejam dois ângulos a e b, tal que a + b = 180. Suponha a como o ângulo menor. Como a medida do menor é metade do maior, então

. Portanto temos:

Substituindo a segunda equação na primeira, obtemos:

.

Como , então . Logo os ângulos procurados são

a = 60 e b = 120.

22) Sejam dois ângulos a e b, tal que a + b = 180. Suponha que a seja o ângulo maior. Portanto de acordo com o enunciado a = 3b - 20. Assim temos o seguinte sistema:

Substituindo a segunda equação na primeira, temos:

. Logo:

.


206

23) Pelas hipóteses do problema temos e que . Portanto:

E assim temos também que , ou seja, ambas as retas interceptam a terceira reta em um ângulo de 90°, isto é, as retas são perpendiculares.

24)

(a) Falso.

(b) Falso. Pode ter um terceiro segmentos entre eles.

(c) Verdadeiro pela própria defi nição.

(d) Falso, pois seria necessário que fossem consecutivos.

(e) Verdadeiro pela própria defi nição.

(f) Falso, pois para ser adjacente é necessário que seja colinear também.

25) A demonstração desse teorema se divide em duas partes:

1a. (Existência da Perpendicular)

Dadas duas retas r e t distintas, que se interceptam em um ponto P. Sejam A um ponto de r e B um ponto de t. Tomando r1 uma semi-reta de r com origem em P e que passa por A e t1 uma semi-reta de t que passa por B. Pelo axioma IX “existe uma correspondência biunívoca entre 0o e 180o e as semi-retas de mesma origem”. Assim, o ângulo

pode ser um ângulo congruente ao ângulo de 90o , ou seja m()= 90o e com isso as retas r e t são perpendiculares.

2a. (Unicidade da Perpendicular)

Suponha que além de t, perpendicular a r, exista uma outra reta s, distinta de r e t passando por P e também perpendicular a r. Seja C um ponto de s, assim:

Se:

• t é perpendicular a r então m( ) = 90o

• s é perpendicular a r então m( )= 90o

Ora, se as retas r, s e t são distintas a conclusão acima é um absurdo. Logo só existe uma reta perpendicular a r passando por P.


207

Unidade 2

1)

A. Verdadeiro, pois como um triângulo eqüilátero tem os três lados congruentes ele satisfaz a condição de triângulo isósceles, ter dois lados congruentes;

B. Falso, pois um triângulo isósceles só tem dois lados congruentes e para ser eqüilátero precisa ter três lados congruentes;

C. Verdadeiro, pois existem duas classifi cações, uma em relação ao tamanho dos lados e outra em relação aos ângulos. Um triângulo pode ter dois lados congruentes e um ângulo reto;

D. Verdadeiro, pois um triângulo pode ter dois lados congruentes e um ângulo menor que 90o.

E. Falso, pois para que dois triângulos sejam congruentes não basta que tenham um dos ângulos congruentes;

F. Falso, pois um triângulo eqüilátero tem os três lados congruentes entre si, isso não garante que outro triângulo eqüilátero tenha os lados congruentes aos lados desse primeiro triângulo;

2) Como o triângulo é isósceles, os lados adjacentes á base são congruentes, ou seja:

x + 2 = 8 ⇒ x = 8-2 ⇒ x = 6

3) Como o triângulo dado é eqüilátero, então os três lados são congruentes, ou seja:

15-2y= 3x-8=7 ⇒ 15 – 2y=7 ⇒ -2y=7 – 15 ⇒ -2y=-8 (-1) ⇒ 2y=8⇒ y=4

e 3x – 8 = 7 ⇒ 3x = 7 + 8 ⇒ 3x = 15 ⇒ x =15/3 ⇒ x = 5

4) Como os triângulos são eqüiláteros, então os três lados são congruentes, ou seja:

Triângulo I: 2a + 1=4a – 3=b ⇒ 2a+1=4a - 3⇒ 2a – 4a=-3 – 1⇒ -2a=- 4 (-1) ⇒ 2a = 4 ⇒ a = 4/2 ⇒ a = 2

e 2.2 + 1 = b ⇒ b = 4 + 1 ⇒ b = 5

Triângulo II: a + b = a + 4 = b + 3 ⇒ ⇒ a + b – a = 4 ⇒ b = 4

a = b + 3 - 4⇒ a= 4 + 3 – 4⇒ a = 3


208

5) Observe a fi gura:

Como num triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes: 2x – 40o = x + 20o ⇒ 2x – x = 20o + 40o ⇒ x = 60o

6) Perímetro é a soma dos lados, então se o triângulo é eqüilátero vamos chamar o comprimento do lado de x, logo 3x = 45 ⇒ x = 45/ 3 ⇒ x = 15 cm.

7) Pelo enunciado do problema podemos esboçar o seguinte triângulo:

Se o perímetro é igual a 100 cm, podemos escrever:

2x + 30 = 100⇒ 2 x =100 - 30 ⇒ 2x = 70 ⇒ x =35 cm

8) Pelo teorema de Pitágoras, num triângulo retângulo, se a é a medida da hipotenusa e c e b são as medidas dos catetos, temos:

9) Das relações trigonométricas no triângulo retângulo, se θ é um ângulo não reto de um triângulo retângulo, temos:

; ;

Assim:

Triângulo I:


209

Triângulo II:

Triângulo III:

10) Esboçando o problema:

Então a altura da chaminé é metros

11) Dado um ABC com catetos x e y , se e , como pelas medidas dos ângulos notáveis:

, então

Por outro lado, se , então

Como e pela medida dos ângulos notáveis

Concluímos que


210

12) Esboçando o problema, podemos ver dois triângulos I e II:

Sejam x a distância entre a pessoa e o edifício e y a altura do edifício em relação aos olhos da pessoa.

Do triângulo I:

Do triângulo II:

Igualando as duas conclusões temos:

Então a distância inicial entre a pessoa e o edifício é de 50 metros e a altura do edifício é de ( ) metros.

13) Dado um triângulo ABC, suponha que os ângulos e desse

triângulo não sejam agudos, ou seja e . Se somarmos as medidas desses ângulos teremos o que é absurdo, pois pelo teorema 2.4, a medida de quaisquer dois ângulos internos de um triângulo é menor que 180o.

Logo, um triângulo não pode ter dois ângulos internos obtusos.

14) Dada um triângulo ABC, com . Considere um triângulo ACB cujos pontos A, B e C estão associados aos pontos A, C e B respectivamente. Comparando esses triângulos observamos que:

, e , pelo caso 2 de congruência de triângulos,

ALA concluímos que e assim os lados e são congruentes.

Portanto o triângulo ABC é isósceles.


211

15) a) São congruentes, caso LLL; b) Não são congruentes, pois o cateto de um triângulo é congruente à hipotenusa do outro; c) São congruentes por dois casos ALA e LAL; d) São congruentes, caso LAAo.

16) São congruentes os triângulos: I e IV caso LAL, II e VII caso LAL, III e VIII caso LAAo, V e VI caso especial triângulo retângulo.

17) a) Como a diagonal do retângulo é a hipotenusa dos dois triângulos, eles serão congruentes se os ângulos adjacentes á hipotenusa forem congruentes. Assim:

3y = 66o ⇒ y = 66o / 3 ⇒ y = 22o

2x = 24º ⇒ x = 12o

b) Os dois triângulos I e II têm um dos lados comum, para que eles sejam congruentes, os demais lados devem ser congruentes também, assim:

Substituindo na primeira equação 3 ( 3y – 3) = 2y + 5

⇒ 9y – 9 = 2y + 5 ⇒ 9y – 2y = 5 + 9 ⇒ 7y = 14 ⇒ y = 2

ex = 3. 2 – 3 = 6 – 3 ⇒ x = 3

18) Como os triângulos ABC e ADE são congruentes, concluímos que:

a) y + 2 = 3y – 12 ⇒ y – 3y= -12 -2 ⇒ 2y = 14 ⇒ y = 7

e x + 5 = 10⇒ x = 10 –5 ⇒ x = 5

b) ⇒ 4x – 6 = 3x + 6 ⇒ 4x – 3x= 6 + 6 ⇒ x = 12

y = 4x ⇒ y = 4.12 ⇒ y = 48

19)

A.(V) caso LLL ou caso LAL ou caso ALA;

B.(V) caso LAL ou caso LAAo ou ALA;

C.(F) não existe o caso de congruência AAA;

D.(V) caso ALA ou caso LAAo;


212

20) Para mostrar que uma afi rmação não é verdadeira, podemos mostrar que ele falha para algum exemplo, ou seja, se não vale para um caso não podemos garantir que vale para todos. Por isso vamos apresentar um contra exemplo para cada um dos casos ALL e AAA:

Caso ALL: Observe que os triângulos ABC e DEF possuem congruência ALL, mas não são congruentes.

Caso AAA: Observe que os triângulos MNO e PQR possuem congruência AAA, mas não são congruentes.

21)

A. Verdadeiro, pois baricentro é o ponto de interseção das três medianas do triângulo.

B. Verdadeiro, pois num triângulo eqüilátero os lados são congruentes e as medianas coincidem com as retas suportes das alturas do triângulo.

C. Falso, pois um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos, e as retas suportes relativas às alturas se encontram no interior do triângulo.

D. Verdadeiro, pois num triângulo obtusângulo o ortocentro se obtém prolongando as alturas, fora desse triângulo.


213

E. Falso, pois o circuncentro é o ponto de intersecção das três mediatrizes dos lados de triângulo, e como o triângulo é isósceles essas mediatrizes se interceptam no interior do triângulo.

22) Dado um triângulo retângulo ABC reto em A.

Pelo corolário do teorema 2.4, todo triângulo possui pelo menos 2

ângulos internos agudos, neste caso se então os ângulos

agudos são e , ou seja e

Seja α o ângulo externo adjacente a e β o ângulo externo adjacente a . Como, um ângulo externo e o interno adjacente a ele são suplementares, temos:

analogamente:

Portanto α e β são obtusos.

23) Observe a fi gura:

Você mesmo pode construir a fi gura utilizando o software Cabri-Geomètré


214

24) Observe na fi gura os triângulos ABC e DEF:

Você mesmo pode construir a fi gura utilizando o software Cabri-Geomètré

Unidade 3

1)

a) Como as retas r e s são paralelas, pelo teorema 3.1: x = 40o

b) Pelo teorema 3.1: Assim x – 30o + 2x = 180o ·

3x = 180o + 30o ⇒ 3x = 210o ⇒

x = 210o / 3 ⇒ x = 70o

2)

a) Pela fi gura:

x = 75 o e x + y = 180o ⇒ 75o + y = 180o ⇒ y = 180o – 75o ⇒ y = 105 o

b)

3)

a) Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180o, então: 90o + x + 60o = 180o

b) O ângulo interno oposto ao ângulo que mede 60o, também mede 60o, assim:

x + 60o + 55o = 180o ⇒ x = 180o – 115o ⇒ x = 65o


215

c) Somando as medidas dos ângulos internos do triângulo, temos:

2x + x + x - 20o = 180o⇒ 4x = 180o + 20o ⇒ 4x = 200o ⇒ x = 200o / 4 ⇒ x = 50o

4)

a) Como o triângulo é isósceles, os ângulos da base são congruentes, assim:

x + 10o = 30o ⇒ x = 30o – 10o ⇒ x = 20 o

Somando as medidas dos ângulos internos do triângulo:

y + 30o + 30o = 180o ⇒ y = 180o – 60o ⇒ y = 120o

b) Observe a fi gura, como os triângulos são isósceles, os ângulos das bases são congruentes, assim:

x = y - 20º ⇒ 2 ( y - 20º ) + 4y = 200º ⇒

2y – 40º + 4y = 200º ⇒ 6y = 200º + 40º ⇒

6y = 240º ⇒ y = 240º / 6 ⇒ y = 40º

x = 40º - 20º ⇒ x = 20º

5) Esboçando o triângulo

x + ( 180o – 2x ) + ( 180o – 2x) = 180o ⇒

x – 2x – 2x = 180o – 180o – 180o ⇒

-3x = - 180o ⇒ x = 60 o


216

6) Dado um triângulo eqüilátero ABC, então os lados são congruentes e conseqüentemente os ângulos internos também são congruentes. Seja x a medida de cada um dos ângulos. Então 3x = 180o ⇒ x = 180o / 3⇒ x = 60o.

7) Sejam as medidas dos ângulos x, y e z, então:

8) Esboçando a fi gura:

E

9) Se um triângulo é eqüilátero então os ângulos internos são congruentes, ou seja:

x+ 15 o = 3x – 75o = 2x – 30o, assim

Como os dois valores coincidem, concluímos que para que a medida dos ângulos internos é 60o


217

10) Se a = 12 e c = 3 então:

11) a) b) c)

12) Pelo Teorema de Tales:

a)

b)

13) Pelo Teorema 3.3

14) Esboçando a fi gura:

Utilizando a somas das medidas dos segmentos, e aplicando o teorema de Tales:

15)

a) Para que os triângulos sejam semelhantes, a razão entre os comprimentos dos lados correspondentes deve ser a mesma, assim:

A razão de semelhança pode ser obtida em função dos comprimentos

dos lados e , logo a razão entre os comprimentos

dos lados e deve ser


218

, analogamente entre os comprimentos dos lados e também

16) Pela fi gura:

Se M é ponto médio de então AM = MB , analogamente, se N é

ponto médio de , AN= NC.

Fazendo: AM =MB = x AB = 2x e AN =NC = y AC = 2y

Então: Pelo caso 2, de semelhança como o ângulo é comum

aos triângulos ABC e AMN, e os lados e são proporcionais assim como os lados e , então temos que os triângulos ABC e AMN são semelhantes

17) Sejam os triângulos da fi gura:

Como, por hipótese os triângulos ABC e DEF são semelhantes, e se k é a razão de semelhança.

Por outro lado:

O perímetro do triângulo ABC é (a + b + c) e o perímetro do triângulo DEF é (d +e+ f)

Assim a razão entre os perímetros é:


219

, o seja a razão entre os

perímetros também é igual a k.

18) Sejam os triângulos da fi gura:

Sabemos que x + y + z = 30 e

4 + 5 + 6 = 15 .

Por outro lado a razão entre os lados é

Então a razão entre os perímetros dos triângulos ABC e DEF é

Como o menor lado é x , temos que x = 4.2 = 8 cm.

19) Utilizando as relações métricas no triângulo retângulo: Se h é a altura do triângulo retângulo relativa a hipotenusa a, m é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa e n a projeção do cateto b sobre a hipotenusa, temos

No caso a): h = 6, m = x e n = 9, como h2 = m.n ⇒ 62 = x.9⇒ x = 36/9 ⇒ x = 4

No caso b): h = x, m = 3 e n =12, h2 = m.n⇒ x2 = 12.3⇒ x2 = 36 ⇒ x =6

No caso c): c = x, m = 3 e n =9, como a = m+ n ⇒ a = 12 e c2 = a.m⇒ x2 = 12.3⇒

x2 = 36 ⇒ x =6

No caso d): c = 8, m = 4 e n = x ⇒ a = m+n ⇒ a = 4 + x ⇒ 82 = (4+x)4⇒

64 =16 + 4x ⇒ 4x = 64 - 16 ⇒ 4x = 48 ⇒ x = 12


220

20) Esboçando o triângulo:

Como a = 6, c = 5 e b = 4, pela conclusão bc = ah:

6h = 5.4⇒ 6h= 20 ⇒ h = 20/6 = 10/3 cm

Unidade 4

1) .

2) .

3) .

4) Primeiramente calculamos a área ocupada pelo anúncio que é um quadrado:

.

Então o valor do anúncio é dado por:

Valor = 0,80 . 49 = $ 39,20

Assim gasta-se R$ 39,20 para a publicação do anúncio.

7)

8) Como a altura é metade da medida da base temos:

Então .

9) .

10) .


221

11) O comprimento da pista é o comprimento de uma circunferência, portanto:

Assim para cada volta a pessoa anda cerca de:

Para quatro voltas temos: , ou ainda 2,51 km.

12) Primeiramente necessitamos calcular a área de um hexágono de lado 1 m.

Portanto como o custo do metro quadrado é R$ 50,00, o valor gasto para cobrir o chão desta sala é:

Valor = 2,59 x 50 = 129,5 reais

Gastou-se para cobrir o chão o valor de R$ 129,5.

13) Se o jardim for em formato de um triângulo eqüilátero os 60 metros de arame formarão um triângulo de lado de 20 metros. Assim calculando sua área temos que primeiramente calcular a altura deste triângulo:

Portanto a área do triângulo é dada por:

Já se o jardim tiver o formato de um quadrado, os 60 metros de arame formarão um quadrado com lado de 15 metros. Então a área deste quadrado será:

Assim o jardineiro escolherá o jardim em forma de quadrado.


222

14)

Chame de a o pedaço da árvore entre o ponto de quebra e o pé da arvore e b o pedaço de árvore entre o ponto de quebra e a copa da árvore.

Temos então

Assim acabamos de encontrar o pedaço da árvore que se encontra entre o ponto de quebra e a copa da árvore. Para calcular o pedaço da arvore que sobrou em pé, usamos o teorema de Pitágoras:

Então a altura da árvore é soma de a e h. Portanto

15) Neste caso basta fazer a área do quadrado menos a área do círculo. Como o circulo esta inscrito no quadrado, então o lado do quadrado é o diâmetro do círculo, assim .

Área do Quadrado:

Área do círculo:

Então a área em negrito é:


223

16) Chame de b a base menor e B a base maior, como uma das bases excede a outra em 4 cm, temos: B = b + 4. A altura h = 5 cm e a área A = 40 cm2.

A área do trapézio é dada por:

Assim se a base menor mede 6 cm, então a base maior mede: cm.

Portanto as dimensões do trapézio são b = 6 e B = 10.

17) Se a piscina for em forma de um triângulo eqüilátero, cada lado deste triângulo terá 30 m, já que o perímetro é 90 m. então necessitamos primeiramente calcular a altura deste triângulo:

Logo a área deste triângulo é dada por:

Um trapézio isósceles é aquele cujos lados tirando a base maior e menor, são iguais:


224

Logo cada um dos lados mede 25 m, já que o total do perímetro é 90 m. Necessitamos calcular a altura deste trapézio e, portanto utilizamos o teorema de Pitágoras:

Logo a área do trapézio é dado por:

.

Neste caso a maior área é a do triângulo, assim a piscina terá um forma triangular.

18) Se o raio deste circulo é 20 cm, a diagonal do quadrado que passa pelo centro da circunferência é o próprio diâmetro desta circunferência e, portanto a diagonal do quadrado mede 40 cm. Note que a diagonal do quadrado juntamente com dois de seus lados forma um triângulo retângulo, então chamando de l o lado deste quadrado e de d a diagonal do quadrado temos:

Mas l2 é a própria área do quadrado, o objetivo do exercício. Assim a área do quadrado é de 800 cm2.

19) O que devemos fazer é calcular a área deste losango e diminuir da área do círculo. Note que a diagonal maior deste losango mede exatamente o lado maior do retângulo, 8m. Já a diagonal menor do losango mede exatamente o menor lado do retângulo, 6m. Assim temos que a área do losango é:


225

Já a área do círculo é dada por:

Assim a área coberta de ladrilhos

Agora necessitamos saber quanto de mármore será gasto para cobrir o lado deste losango. Note pela fi gura os lados dos losangos formam com os lados do retângulo 4 triângulos retângulos, onde os catetos destes triângulos medem 4m e 3m, pois o lado do losango toca o retângulo exatamente no ponto médio, portanto cada lado destes triângulo é metade do lado do retângulo. Assim, usando o teorema de Pitágoras e chamando de l o lado deste losango temos:

, então l = 5. Como o losango tem todos os lados iguais, então o perímetro deste losango é: . Logo serão gastos 20 m de mármore para cercar este losango.


Referências

BARBOSA, J. L. M.; Geometria Euclidiana Plana – Rio de Janeiro – Sociedade Brasileira de Matemática, 1985. 190p.

BOYER, Caul B. História da Matemática. São Paulo: Editora Edgard Blucher Ltda., 1996.

CASTRUCCI, B., Fundamentos da Geometria - Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científi cos, 1993.

C. WAGNER; C. COELHO. Geometria. Palhoça: Unisul, 2004

D. GUEDJ. O Teorema do Papagaio. São Paulo: Companhia das Letras, 1999.

DOLCE, O.;Pompeo, J. N. Fundamentos da Matemática Elementar, 9: geometria plana – 7 ed. São Paulo: Atual, 1993.

GERONIMO, J. R.; Franco, V. S.; Geometria Plana e Espacial, Um Estudo Axiomático – Maringá, PR: Massoni, 2005. 305p. : il.

J. R. GIOVANNI; J.R. BONJORNO; J.R.G. JUNIOR. Matemática Fundamental – 2ºgrau: volume único. São Paulo: FTD, 1994.J. R. GIOVANNI; J.R. BONJORNO. Matemática – Uma nova abordagem – vol 2.São Paulo: FTD, 2000.

M.C. F. R. FONSECA. O Ensino de Geometria na Escola Fundamental. BeloHorizonte: Autêntica Editora, 2001.

RICH, Barnett; Teoria e problemas de Geometria – 3 ed. Porto Alegre: Bookman, 2003 9 Coleção Schaum).


Livro de Geometria Espacial - Triangulos, Tales, Teoremas

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