Livro_Ajustamento

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Ajustamento | per

nimos Quadrados

t m m m m t o o tn

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN

CURSO DE PS-GRADUAO EM CINCIAS GEODSICAS

AJUSTAMENTO

POR

MNIMOS QUADRADOS

Quintino Dalmolin

Curitiba

2002

SUMRIO

CAPITULO I - INTRODUO........................................................11.1 CONCEITO DE AJUSTAMENTO..................... ............. ........... 11.2 OBSERVAES............ .................................... ................... .... 11.3 MODELO MATEMTICO.......................................... ...................2CAPTULO 2 - CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM

PROBABILIDADE.......................... ....................... ............__ 32.1 INTRODUO........................................................... .....................32.2 CONCEITOS BSICOS EM PROBABILIDADE____________ 4CAPTULO 3 - CONCEITOS BSICOS DE ESTATSTICA.... 133.1 INTRODUO................................................ .............. .............133.2 CONCEITOS BSICOS DE ESTATSTICA......... .................. 13CAPTULO 4 - TEORIA DOS ERROS............................. ...........474.1 INTRODUO___________________________ ___ ________474.2 LEI GAUSSIANA E DISTRIBUIO NORMAL__________ 484.3 LEI DE PROPAGAO DAS COVARINCIAS...................... 564.4 INTRODUO PR-ANLISE DE LEVANTAMENTOS ..644.4.1 Conceituao 644.4.2 Exemplificao de Aplicaes Simplificadas........................... 664.4.3 Aplicao s Redes...................... .^................72CAPTULO 5 - INTRODUO AO MTODO DOS MNIMOS

QUADRADOS........................... ..................................................77[5.1 CONSIDERAES INTRODUTRIAS----------------- ---------77|5.2 DISCUSSO DE SISTEMAS DE EQUAES LINEARES

NO HOMOGNEAS________________________________ 795.3 PRINCPIO DO MTODO DE MNIMOS QUADRADOS__84CAPTULO 6 - AJUSTAMENTO COM MODELO

PARAMTRICO.........................................................................896.1 INTRODUO--------------- ------------------------------------------- 89

1.1 Ajuntamento Paramtrico Linear................................ ..............89

6.1.2 Ajustamento Paramtrico no Linear.............................................93f6.2 ESTIMATIVA DE PRECISO DOS PARMETROS

CALCULADOS_________ _____________________________97]6.3 EXERCCIOS E EXEMPLOS------------------------------------------ 100CAPTULO 7 - AJUSTAMENTO MODELO IMPLCITO..... 1217.1 CONCEITO______________ _____________________ _____.... 1217.2 FORMA LINEAR DO MODELO............................................. . 1217.3 SISTEMA DE EQUAES NORMAIS....................................... 1237.4 SOLUO DAS EQUAES NORMAIS................................... 1247.4.1 Particularizao para o Caso Paramtrico............................ . 1277.5 MTODO DOS CORRELATOS COMO CASO PARTICULAR

DO COMBINADO.........................................................................128 j7.6 ITERAO NO MTODO COMBINADO..................................1297.7 PRECISO DOS VALORES ESTIMADOS.................................1327.8 EXERCCIOS.............................. ........................ ...................... . 135;CAPTULO 8 - INCLUSO DE NOVAS OBSERVAES,

INJUNES E GENERALIZAO DO MODELO.........1458.1 INCLUSO DE NOVAS OBSERVAES............................... 1458.2 INJUNES AOS PARMETROS..............................................1478.3 GENERALIZAO DO M ODELO...............................................1518.4 EXEMPLO DE INJUNES AOS PARMETROS..................156CAPTULO 09 - REFERENCIAS...................................................... 167ANEXOS........................................... ................................. ..................171

FIGL expei F IG l oexe FIGl freqv de 5( FIGl freqi os c FIGl de i novs FIGl FIG repr esqi

| FIG con FIG ch erre FIG FIG

1 nor

93

128129132135

97IfjJJ* lOQ l is t a d e f ig u r a sI 121

|1 2 1 121J23 FIGURA 3.1 - Diagrama de barras das probabilidades1 2 . experimentais............................................................................................ 16^ 2 1 FIGURA 3.2 - Representao grfica da distribuio acumulada para

TICULAR exemPlc 3A - .......................................................................................17~ ~ I FIGURA 3.3 - Diagrama de barra representando distribuio de

frequncia e frequncia relativa do numero de filhos em uma amostrade 50 famlias brasileiras........................................................................23FIGURA 3.4 - Histograma representando a distribuio de frequncias, frequncias relativas (classes ordenadas da direita) para

O E S , os dados da tabela 3.2.............................................................................. 24JO ..........145 FIGURA 3.5 - Redefinio da escala das ordenadas para a obteno..H rea unitria sob o histograma. fr = escala prvia; fr' = escala................ 147 npya......................................................................................................... 26................151 FIGURA 3.6 - Polgono de frequncias............................................... 27

............ 156 FIGURA 3.7 - Grfico da funo cumulativa FDC. As ordenadas....... 167 representam probabilidade experimental ou rea do histograma ...... 171 esquerda de X......................................................................................... 28

FIGURA 3.8 - Ilustra diferentes formas de FDP , e ascorrespondentes FDC ........................................................................... 31FIGURA 3.9 - a , probabilidade de ocorrncias do erro tipo I; 100a% chamado nvel de signifcncia; (3, probabilidade de ocorrncia deem> do tipo II; 1 - J3 a potncia do teste.............................................. 35FIGURA 3.10 - Ilustra o exemplo 12.................................................... 36FIGURA 4 .1 - 0 histograma das observaes (a) tende para a curva normal (forma de sino) (b)......................................................................49

LISTA DE TABELAS

TABELA 3.1. D a frequncia e a frequncia relativa do nmero defilhos de uma amostra fictcia de 50 famlias brasileiras......................22TABELA 3.2. D limites e pontos mdios de classes, frequncias e j j ^ q ] frequncias relativas de uma amostra de 200 estudantes da UFPR(amostra hipottica)................... ........................ ......... ....................... 23 ^ JTABELA 3.3. Reproduo da tabela 3.2. com uma coluna adicionalC(X) que a funo distribuio de probabilidade cumulativa.... 28 ?TABELA 8.1-Coordenadas calibradas e medidas para as marcasfiduciais. Coordenadas observadas para pontos adicionais...---------- 156TABELA 8.2 - Coordenadas fotogrficas x^ y, estimadas pelastransformaes afim, isogonal e ortogonal............................ ...............166 ajniffaiT,TABELA 8 3 - Parmetros das transformaes afim, TA; ocotritransformao afim com 2 injunes para restringi-la a isogonalTA 1^ com trs injunes, para restringi-la a ortogonal: TA10-------166 ajustan

no ex ( X )dx = 1

como no caso do histograma do exemplo 3.9.

Exemplo 3.11. Exemplificando no caso discreto, considere-se o espao amostrai anteriormente visto (lanamento de uma moeda trs vezes).

D = { di, d2...... dg }=1 {TTT, TTH, THT, HTT, THH, HTH, HHT, HHH)

IH

I

30 Ajustamento por Mnimos Q,.^

Defina-se a associao dos dj a R, pela funo nmero de cara t H). Tem-se: lD *

X, = X(di) = 0 R

X2 = X(d2) = X(d3) = X(d4) = 1 e R

X3 = X(d5) = X(d) 1 X(d7) = 2 e R

X, I X(d8) = 3 R

A funo densidade de probabilidade (X), neste caso discreto substituda pela probabilidade P(X). Tem-se

P(X,) = 1/8 = P(X4)

P(X2) = 3/8 = P(X3)

E o par [X, P(X)] constitui um exemplo de varivel randmica discreta.

11. Funo de distribuio de probabilidade cumulativa (FDPQ: a funo distribuio de probabilidade acumulada dada pela integrao da FDP de at X. Por exemplo:

do probabilidades. A FDPC enfio definida por:

X

(*) =

do probabilidades. A FDPC ento definida por:

X

< t > ( X ) = J o ( y > d y

Quintino Dalmolin 31

(3.15)

FIGURA 3.8 - Ilustra diferentes formas de FDP

II Ajustamento por Minimot Q uadrado

n * | XQ (X )dX = E( X) (3.16)

13. Varincia da varivel aleatria ou randmica: a varincia davarivel aleatria X expressa pela seguinte frmula:

(femtino Ckilmolin 33

No surpreendente que diferentes amostras de uma mesma populafo, dem origem a diferentes Mi e (s2)i , podendo-se ento falar en\ distribuio das estatsticas da amostra. Assim pode-se ter FDP das mdias e das varincias.

A varincia da distribuio das mdias o2 (M) dada por:

Var (M) = a 2 (M) = a 2 / n (3.19)

onde n o nmero de observaes que geram a mdia M.

A mdia das mdias :

i E(fi) = (M f) = jU (3.20)

razo pela qual a mdia chamada estimador imparcial.

Semelhantemente:

g, E( z) = E(s2) = o 2 (3.21)

e tambm a varincia chamada estimador imparcial, unbiased estimator .

Para um mesmo parmetro da populao, as vezes existem vrios mtodos de estimativa. A escolha do melhor baseia-se ento nos critrios de mnima varincia, de mxima probabilidade ou de imparcialidade.

Viu-se, portanto, trs distribuies distintas:4} dbtrbuiio de elementos de uma amostra;H dtfttnbujo dos elementos da populao e;1 istnbuio djis estatsticas das amostras.

34 Ajustamento por Mnimos Quadrado,

Geralmente postula-se:i) Toda a amostra randmica possui uma varivel randmica X que

a populao e que infinita;ii) X possui uma FDP, (X), que denominada FDP postulada;

A partir de uma amostra randmica testa-se a validade da FDPpostulada.

15. Estimativa de intervalo: A estimativa pontual s eventualmente pode coincidir com o valor real, pois como foi visto, diferentes amostras do origem a diferentes estatsticas.Para ser mais criterioso, ao se fazer inferncias, mais prudente que se estime um intervalo ( /i, h ) dentro do qual o parmetro E da populao provavelmente estar. Esta probabilidade permite o estabelecimento de uma confiabilidade.

O intervalo ( l u h ) chamado, o intervalo de 100% de confiana.

16. Testes de hipteses: quando se testa uma hiptese, que pode ser verdadeira (hv) ou falsa (hf), para, em funo do resultado do teste, aceit-la ou rejeit-la, pode ocorrer que:a) a hiptese seja verdadeira e aceita (hv - A);b) a hiptese seja verdadeira, e rejeitada (hv - R) (erro tipo I);c) a hiptese seja falsa e aceita (hf - A) (erro tipo II);d) a hiptese seja falsa e rejeitada (hf - R).

Se a probabilidade de ocorrncia de erro do tipo I ,

a ou 100a% chamado nvel de significncia do teste. O valor (1-a) ou 100(l-cx)% chamado nvel de confiana. Este escolhido arbitrariamente. Em geral escolhe-se valores com 90%, 95% ou 99%

/>(/, < E < l 2) = P (3.22)

P(hv - R) = a (3.23)

Dulmotin 35

^consequentenwnte, o a respectivo 0,i; 0,05; ou 0,019. O nvel de sigmticfcKta a representa a probabilidade de que uma amostra, jvtraida da populao postulada, possua estatsticas que indiquem que a mesma amostra procede de outra populao.

Se a probabilidade de ocorrncia do erro do tipo n ,

Ento (1 - p) chamado de potncia do teste, (Fig.2.9). O exemplo que segue ilustra os conceitos de erros dos tipos I e E, bem como o conceito de teste de hiptese.

FIGURA 3.9 - a, probabilidade de ocorrncias do erro tipo I; 100a% chamado nvel de significncia; jp, probabilidade de ocorrncia de aro do tipo II; 1 - (3 a potncia do teste.

P(hf -R ) = (5 (3.24)

Mo ac8ita I rejeita X

a) Xb) X

c) J

) X

iido levando-se em conta

Ajustamento por Mnimos Quadrudot

Exemplo 12: Uma indstria tem produzido tubos de TV com vida mdia de 1.200 horas e desvio padro de 300 horas. Usando agora um novo processo obteve-se, numa amostra de 100 tubos, uma mdia de 1265 horas de vida.

o novo processo melhor, ou esta variao coincidncia?Hiptese nula: Ho : |H = 1200horas ou fio = 1200horas.Hiptese alternativa: Hi = > 1200horas ou jj-i > 1200horas.

Em qualquer dos casos ( Hi ou Ho sejam verdadeiros ) admite-se ainda = 300 horas. Em outras palavras, se Ho verdadeira temos como ilustrado na figura 3.10, rea hachurada, uma probabilidade de 0,05 de rejeit-la cometendo o erro tipo I.

FIGURA 3.10 - Ilustra o exemplo 12.

H0 aceito -4 H0 rejeitado

a)

1200 1^48 X

X1240

tetm bwyewunye 14 1

H B m DtUmolin 37

F* I d 1 FDP hipotizada para a populao de mdias cm Ho; ^ d a FDP para fi = 1240horas.

d e

0 valor crtico X = 1249 mostrado na figura 3.10 a) procede da tabela de distribuio normal reduzida atravs de Zc tabelado para ot = 0,05.

* , ___________________________________

i d a

onde,de

z . =

x c = z c - ^ + ^v n

X c=49+1200 =1249

Sc a mdia da populao for, por exemplo jij = 1240 (distribuio mostrada na fig. 3.10 b) a deciso correta seria rejeitar Ho. Neste caso ocorrer erro sempre que a mdia da amostra cair na regio aceitvel. Por exemplo, se a mdia fosse = 1242, cairia na regio tal que Ho seria aceito. Estaria ento sendo aceita a hiptese falsa: erro tipo II. Esta probabilidade J3 ilustrada na figura 3.10 b), rea achurada. A mdia obtida no novo processo X' = 1265 cai na regio de rejeio do leste ( X = 1265 >1249), isto , X' maior que o valor crtico. Logo, rejeita-se Ho e admite-se que o novo processo melhor neste nvel de gnificncia. Supondo verdadeira a hiptese nula, qual a probabilidade de obteno de mdia X' = 1265?

pV P(X > 1265 ) = P( ~fi > l- - ~ 1200 )

38 Ajustamento por Mnimos Quadrados

Em outras palavras:

Assume-se Ho, ilustrado em (a), fig. 3.9 e fica definido, para um nvel de significncia arbitrrio a , o valor crtico Xc , fronteira entre regies de aceitao e rejeio para o teste. Ento, analisando um novo valor de |Xi , pode ocorrer que caia na regio de aceitao ou de rejeio, isto , ser Xc ^ [\ ou |Xi > Xc . A aceitao significa admitir que o novo valor estimado igual a ^ ou que ambos no diferem significativamente. A rejeio significa o contrrio. Acontecendo no teste, a aceitao, pode estar ocorrendo erro do tipo n. o que ilustra a figura 3.9 (b), a populao tem, de fato, uma distribuio diferente da (a), mas aceita como igual por ter o parmetro \i\ cado na regio de aceitao. O valor crtico Xc estabelecido na distribuio postulada (a) separa a nova distribuio em duas regies P (achurada) e (1 - (3).

I representa, na verdadeira distribuio (b), a probabilidade de que o erro do tipo II seja cometido. Das figuras (a) e (b) observa-se que esta probabilidade de erro (3, cresce quando |ii se aproxima de ^ e cresce tambm quando a diminui.1 - p, chamado de potncia do teste, constitui evento complementar de p. Quando p aumenta a potncia diminui. Para pormenores a respeito de testes o leitor dever recorrer literatura estatstica que abundante.

E oportuno notar que para a estimativa pontual no h necessidade da FDP da populao; enquanto que para a estimativa de intervalo e o teste de hipteses a FDP requerida.

17. Varivel randmica multi-dimensional e sua FDP: a exemplo do que foi visto no caso unidimensional , o conceito de varivel randmica multi-dimensional tem, implicitamente, a associao de uma FDP. A varivel randmica n-dimensional dada para [ X, 0X)j, onde X o vetor:

3* Ajustamento por Mnimos Quadrado3

Em outras palavras:

Assume-se Ho, ilustrado em (a), fig. 3.9 e fica definido, para um nvel de significncia arbitrrio a, o valor crtico Xc , fronteira entre regies de aceitao e rejeio para o teste. Ento, analisando um novo valor de jii , pode ocorrer que caia na regio de aceitao ou de rejeio, isto , ser Xc > ou fii > Xc . A aceitao significa admitir que o novo valor estimado jii igual a jJo ou que ambos no diferem significativamente. A rejeio significa o contrrio. Acontecendo no teste, a aceitao, pode estar ocorrendo erro do tipo Et o que ilustra a figura 3.9 (b), a populao tem, de fato, uma distribuio diferente da (a), mas aceita como igual por ter 0 parmetro cado na regio de aceitao. O valor crtico Xc estabelecido na distribuio postulada (a) separa a nova distribuio em duas regies p (achurada) e (1 - p ) .

P representa, na verdadeira distribuio (b), a probabilidade de que o erro do tipo II seja cometido. Das figuras (a) e (b) observa-se que esta probabilidade de erro p, cresce quando jii se aproxima de (Iq e cresce tambm quando a diminui.1 - P, chamado de potncia do teste, constitui evento complementar de p. Quando P aumenta a potncia diminui. Para pormenores a respeito de testes o leitor dever recorrer literatura estatstica que abundante.

E oportuno notar que para a estimativa pontual no h necessidade da FDP da populao; enquanto que para a estimativa de intervalo e o teste de hipteses a FDP requerida.

17. Varivel randmica multi-dimensional e sua FDP: a exemplo do que foi visto no caso unidimensional , o conceito de varivel randmica multi-dimensional tem, implicitamente, a associao de uma FDP. A varivel randmica n-dimensional dada para [ X, X , onde X o vetor:

Mm d rm o t, Qttmrmo Datmotin

ara um9 cofre ko um i ou de g m f i C

KM AIO errio.10 tipo k , x r n i

ler o ioo Xc btiio

ade de r v i - t e

ide n

neatar xes a que

0 h iva de

Ao do pwl iodei x .

e cada XJ deste vetor uma varivel randmica unidimensional; $(X) tal que:

(X) =

40 Ajustamento por Mnimos Quadrado

19. Funo distribuio de probabilidade acumulada da varivel randmica n-dimensional, dada por:

A

Quintino DahmliH 41

Neste caso as componentes XJ e X so ditas estatisticamente independentes. Se FDP no pode ser colocada na forma (3.28) as componentes Xj de X so ditas estatisticamente dependentes.

2 1 , Mdia e varincia da varivel multi-dimensional: a mdia da varivel randmica n-dimensional possui n componentes que so as mdias das componentes da varivel.

ju = k A*2 n J = E ( X ) e R n (3.30)

E ( X l)E ( X 2)

E ( X n)

(3.31)

Semelhantemente a varincia da varivel randmica n- dimensional possui n componentes cada qual dada por:

t e a ) = E ( ( X J - H j ) 2) (3.32)

ou, como anteriormente,

a ) (333>

3 12 Dada a arnostra tridimensional:

42 Ajustamento por Mnimos Quadrado$

V "(2,3,4,7,4)'L = /2 = (6,4,0,3,2)

_/3. (5,2,5,5,8)

Estimar a mdia e a varincia da amostra:

, M i =

(2 + 3 + 4 + 7 + 4) 5

(6+ 4 + 0 + 3 +2) 5

4E(/2) = 3

_ (/3)_ -=-(5+ 2 + 5 + 5 + 8) 5

5

1 A

a \ = ( ( / , - A , ) 2 = - ( 4 + l + 0 + 9 + 0) =

((/, - M , ) 2 = (9 + l + 9 + 0 + l) = 4

1 18

Q u in tin o D a lm o i i n

43

2 >

"

44 Ajustamento por Mnimos Quadrad'o

Ponto n Coordenadas P(x , y)X y

1 10 06 0,12 15 08 0,23 15 12 0,14 20 10 0,25 25 08 0,16 25 12 0,27 30 14 01

Aplicando a equao 3.37 aos dados:

Mx = 10x0,1+15x0,2+15x0,1+...... + 25x0,2+30x0,1 = 20

My = 6 x0,1+8x0,2+12x0 ,1 + ........... +12x0,2+ 14x0,1= 10

(sx )2 =(10-20)2x0, 1 +(1 5-20)2x0,2+ ....+ (25-20)2x0,2+(30-20)2x0,1=35

(s,)2 =((6-10)2x0, l+(8- 10)2x0 ,2 + .... + (12-10)2x0,2+(14-10)2x0,1=5,6

Sxy Syx 10

logo,35 1010 5,6

Eierccio 1: Fazer um estudo para constatar que informaes a covarincia contm; que medida ela faz; sua utilidade prtica; sua dependncia ou independncia da posio da distribuio com respeito ao sistema referencial e das unidades de medida,________________

[o$ ^ .....A , .Quintino Dalmolin 45

23. Coeficiente de correlao: o coeficiente de correlao p(Xj , Xj ) definido por:

P , , = e M .+ U (338)

que expressa o grau de dependncia linear entre as variveis x'exJ .

O resultado advindo da expresso (3.38) pode ser estatisticamente interpretado da seguinte maneira:

a) Se p . =1 : existe uma correlao linear perfeita entre as/[ A

variveis x e x J, ou que xJ uma funo linear de x1.

b) Se p = 0 : diz-se que as variveis x1 e xJ no soA A ---------------

correlacionadas.

No entanto, isso no significa necessariamente que as componentes das variveis sejam estatisticamente independentes.

Sugere-se, a ttulo de exerccio, que seja refeito o exerccio anterior para o caso de p.

Exerccio 2: Considere as variveis aleatrias xi e X2 com mdias |ii funo conjunta f(xj ). Considere ainda a funo:

yi = ao + ajXi + a2x2

y2 = bo + b)X| + b2x2

Ajus,amentoPorMtnlnoa*oifol

Fede-se:

a) derivar as varincias e covarincias de yi e y2.

b) derivar o vaior de |p >1>21 ;

c) Estabelecer a matriz varincia-covarincia de v, 1 .yi e y2 teralmente>

C A P T U L O 4 - T E O R IA DOS ERROS

41. INTRODUO

As observaes so representaes numricas de quantidades fsicas como comprimento, ngulo, peso, etc. As quantidades numricas so obtidas atravs de medies; possuem portanto no apenas as flutuaes randmicas prprias das observaes, como foi visto anteriormente, mas tambm toda sorte de erros possveis de ocorrer nas medies, identificaes, anotaes e transferncia de dados.

As medidas que representam uma mesma quantidade possuem disperso com respeito a uma mdia, o que se chama de flutuaes randmicas prprias das observaes ou erros randmicos, tambm chamados erros acidentais na literatura clssica. As medidas podem ainda possuir erros enormes procedentes de engano de notao, erro de digitao ou erro de formato na leitura computacional, erro de identificao do objeto medido, etc. Estes so chamados de erros grosseiros. O significado de enorme ou grande um tanto vago e depende especificamente do problema considerado. Uma idia geral feria considerar erros maiores que trs desvios padres (3a) como lendo erros grosseiros.

As medidas podem tambm estar afetadas de erros que no so poueirm, nem so flutuaes randmicas. Estes so os erros chamados erros sistemticos. Ocorrem, por exemplo, quando se efetua uma W de comprimento com um instrumento mal calibrado que H pH licainente aumenta ou diminui o comprimento; quando se inlr que o raio luminoso se propaga em linha reta na atmosfera ou H jp fl dftft lente* de uma cmara; quando se ignoram os efeitos das

48 Ajustamento por Mnimos Quadrad0s

variaes de tenso e de temperatura numa fita de medida, etc. Os erros sistemticos so erros cujas causas so conhecidas e que se pode minimiz-los ou elimin-los teoricamente (clculo do efeito da refrao no deslocamento da imagem ou da variao de temperatura na medida de comprimento, por exemplo) ou atravs da tcnica de medida (leitura de r e de vante a distncias iguais para eliminar o erro de no paralelismo dos eixos da bolha do nvel e de visada no nivelamento geomtrico, por exemplo).

sE til notar que os erros sistemticos se confundem com erros

randmicos quando so pequenos e de causas no conhecidas.Existem mtodos mais sofisticados de ajustamento que

permitem levar em considerao erros sistemticos. Tais mtodos esto fora do escopo deste trabalho. Portanto, o ajustamento aqui considerado trata de observaes isentas de erros grosseiros e de erros sistemticos.

O leitor interessado no tratamento de erros sistemticos no ajustamento deve consultar literatura que trata de ajustamento e parametrizao; determinao de "trend" ou "collocation".

Aqui, neste trabalho, as observaes so consideradas conter apenas erros randmicos. Por hiptese admite-se que elas foram depuradas de erros grosseiros e sistemticos.

As observaes constituiro portanto amostras randmicas por hiptese. A qualidade dos resultados do ajustamento depende da validade desta hiptese. Ela deve portanto , ser verificada. Os histogramas so importantes para as verificaes do comportamento da distribuio das observaes.

4.2. LEI GAUSSIANA E DISTRIBUIO NORMAL

Gauss observou que os histogramas ou polgonos de freqncias de amostras randmicas representando observaes prticas, geralmente tendem para a forma de sino.


FIGURA 4.1 - O histograma das observaes (a) tende para a curva normal (forma de sino) (b)

A teoria aceita, e que descreve este fenmeno, foi proposta por Gauss e por Legendre independentemente e conhecida como a FDP

Mnormal. E dada por:

N(m , o 2 , X ) = ^ { X ) =1

(x-nr2 a 2

o j l r t(4.1)

onde: X a varivel randmica; e a base dos logaritmos neperianos e as demais so anotaes anteriormente usadas.

Os parmetros que definem a distribuio (|) so |i e o. A mdia \i d a translao da distribuio $ ao longo do eixo X e o desvio padro o fixa sua forma.

A FDP normal possui as seguintes propriedades: mxmo de 0(X) para X = fi;

b) #(X) assntota ao eixo X;simtrica com respeito a X = p.;

^ X ) pob#ui ik)ta pontos de inflexo;

50 Ajustamento por Mnimos Quadrado,

donde se conclui que: erros pequenos so mais provveis que grandes- erros positivos e negativos tm a mesma probabilidade.

Para fins de tabulao conveniente que seja dependente de um s parmetro. Isto conseguido, no caso da FDP normal, atravs de uma translao f| e do estabelecimento de uma nova escala a.

Matematicamente feito:

(4.2)

na equao (4.1), tem-se:

z =

Quintino Dalmolin SI

Anteriormente viu-se que a rea sob a FDP fornece a probabilidade, ver equaes (3.12) a (3.15).

de particular interesse que se verifiquem as seguintes probabilidades:

a) PQx - o < X < | i + a) = ?

ou equivalente,P( - l < z < 1) = ?

i

*x -1 0 z-CT \1 *0

b) P(^i - 2 a < X < |i + 2o) = ?

ou equivalente,

P( -2 < z < 2) = ?

c) P(ji - 3 o X ^ i + 3 o ) = '?

ou equivalente,


P (-3 z 3 ) = ?

As probabilidades (ou reas hachuradas na fig. 4.2) dos casos acima poderiam ser estimadas diretamente com ajuda da tabela B2 ou por integrao atravs da equao (4.4), lembrando que:

+-2-+ ... 2/ 3!

Fica a critrio do leitor a verificao de que:P(-J < z I) = 68% P(-2 < z < 2) = 95%

P(-3 < Z < 3) s 99%

A lei de Gauss se estende tambm no espao n-dimensional. A FDP normal neste caso dada por:

X(211 )2 ( det Zm )2

(X n ) ' Z x


No sero feitas aqui consideraes sobre a FDP normal multidimensional. Os estudantes interessados devero consultar a literatura especfica, por exemplo.

Exemplo 4.1. Admita-se que as alturas h dos estudantes de uma populao so normalmente distribudas com:

h - N (Uh. O, h) * N (1,676; 0,127; h).

Estimar o nmero de estudantes que, numa amostra de 500, satisfazem: (a) h 1,727; (b) h 1,549; (c) h 1,895; (d) [ 1,633 h 1,778 ].

Para cada caso estima-se a probabilidade com o uso da tabela e ilustra-se pela rea hachurada sob a curva.

(a) h < 1,727


(b) h < 1,549

P(h < 1.549)= P(z < 1-- 4- - -1676 )=P(z 1,895

Logo o nmero de estudantes estimado ser:

Nc = 0,042 . 500 = 21

(d) [1,633

4.3. LEI DE PROPAGAO DAS COVARINCIAS


O problema de propagao da distribuio (X) de X para 4>(Y) de Y quando Y = f(X) nem sempre tem soluo e complexo e este assunto foge do escopo destas notas.

A soluo usual em ajustamento a aplicao da lei de propagao das covarincias. Esta lei permite a obteno da matriz varincia-covarincia da varivel dependente Y, em funo da matriz varincia-covarincia da varivel independente X, desde que Y = (F(X); X e Y sendo variveis multidimensionais.

Seja a funo f, tal que

Y = f(X) (4.7)

e f linear, isto , pode ser expressa na forma:

Y = f(X) = AX + C (4.8)

onde X e Y so vetores multidimensionais com flutuaes randmicas, A a matriz de transformao e C um vetor constante de translao.

A esperana E(Y) ser:

E(Y) = E(AX + C) = E(AX) + E(C) = AE(X) + C

ou

E(Y) = A.E(X) + C (4.9)

e a matriz varincia-covarincia y, equao (3.36), ser:

Zy E((Y - m)(Y - Hy)T) (4.10)


Substituindo Y por seu valor dado para equao (4.8), tem-se:

Zy = E((AX + C - mXAX + C - m,)t )

substituindo jiy por seu valor da (4.9), vem:

ly = E((AX + C - AE(X) - C). (AX + C - AE(X) - C)T)= E((AX - AE(X)) (AX - AE(X))t )= E(A(X - |i*)(A(X - n*))T)= E(A(X - nx) (X - n ,)T AT)= AE((X - nO (X - hOT)AT = AZ, At

logo2y = AX*AT (4.11)

Esta a lei de propagao de covarincia de grande aplicaoem ajustamento. Ela se aplica tambm s funes no lineares comover-se- abaixo. Para isto as funes no lineares so primeiramentelinearizadas e ento a equao (4.11) usada.

Seja a funo (ou funcional) no linear:

Y = F(X) (4.12)

onde X e Y tm o mesmo significado dado na (4.7) e F o funcional:


Seja ainda dado um vetor Xo nas vizinhanas de X. Xo ser chamado vetor dos valores aproximados de X.

A funo F(X) pode ser desenvolvida em srie de Taylor como segue:

F ( X ) = F ( X 0) + dF d 2F AX

onde

dFdx

d x , d x

d X x x0 dX 21 T

x=x, 2!

d F i d F i 9 F / 'd X i d X 2 d X n

d F 2 d F 2 . 3 F 2d X i 3 X 2 d X n

d F m d Fm d Fmd X

(4.13)

c o valor numrico desta expresso para X = Xo ser representado por:

A - I (4.14)oX x=x9

| ainda:

F(Xo) = C (4.14 a)

tem-te foto, negligenciando os termos de 2* ordem e de ordens superiofet,| equalo (4.12) expres&a por:


Y = F(X) = C + A.AX (4.15)

A comparao das equaes (4.15) e (4.8) toma bvio que, aps a linearizao do modelo (4.12) para a forma (4.15), pode-se aplicar a lei de propagao de covarincia, equao (4.11), tambm a este modelo.

O modelo linearizado tende para o valor F(X) quando X tende para X; logo a qualidade da aproximao depende dos valores aproximados. Para fins de propagao de covarincia esta aproximao no crtica.

Exemplo 4.3. (lei de propagao para F linear): Admita-se que foram observadas no campo quatro direes d,:

d

/ , d ,

y

*4 d 4

e que a matriz varincia-covarincia das observaes foi estimada:

3,2 0,9 0,8 0,5

0,9 3,2 0,7 0,9

0,8 0,7 3,8 1,2

0,5 0,9 1,2 4,1

Os ngulos (X foram calculados a partir das observaes, como:

60 Ajustamento por Mnimos Quadrados H

' X , ' a/X = X 2 = 02 l , h

X i a i 14 ~ l i

Estime-se a matriz varincia covarincia Zx de a,.

Da funo X = F(/) que d os valores dos ngulos a,, tem-se a = F(/) A.L, donde:

1 i 0 0

II


Exemplo 4.4. Os ngulos A e B do tringulo plano ABC foram observados com a preciso:

_ 2 'Jll ^ 2 yillCT ^ = 3 e a B = 4

O ngulo C foi calculado por:

C = 180o- A - B

Estimar a preciso ac = do ngulo C computado na expresso acima:

Fazendo y = F(X), na frmula matricial de y = AX + C, temos:

X =AB

\ y - C

C * [ - / -1 ] AB

180

OndeA * [ -1 4 ]

Aplicando a lei de propagao da covarincias temos:

62 Ajustamento por Mnimas Qtttdrmos

I 0]10 4.

o i * 7* 0 f f *

Exemplo 4.5. Seja a amostra bidimensional L a resultante das medidas do comprimento e da largura de um terreno retangular em m:

232.5 232.7 232.5 2314 232.4

J . 72,8 716 72.3 72,4 72.7 4

O vetor X, tal que:

X diagonal do retngulo

drea do retngulo

foi calculado das observaes.

Estimar a preciso de X, isto , determinar L*.

Sugesto: determinar Ll da amostra: escrever as equaes do funcional F = [Fi F2]T ; linearizar F; aplicar a lei de propagao das covarincias; verificar quais as unidades em El e

Exemplo 4.6. Supe-se que as distncias do ponto C s estaes A e B devam ser determinadas a partir das medidas dos ngulos A e B e do lado AB (ver figura).


A mdia das observaes L foi:

/ / ~ a ' 90'L = h * B s 45 *

./j. C tQQmcom

< - r f 0

M V ( -4* f 0

0 0 (5cm f

O vetor,

x = ab

foi calculado a partir das observaes pela lei dos senos:

c senA / s en(A + B) c s e n B / sen(A + B)

I matriz varincia covarifincia L* dos lados calculados, em cm2. For razes de ordem numrica, no modificar as unidades de m


4.4. INTRODUO PR-ANLISE DE LEVANTAMENTOS

4.4.1. Conceituao

O objetivo da pr-anlise tambm conhecida como otimizao do levantamento. E projetar o levantamento geodsico de modo a obter resultados com a qualidade desejada, e com as observaes mais viveis prtica e economicamente. Em outras palavras poder-se-ia dizer que a pr-anlise visa definir especificaes timas, necessrias e suficientes, para o levantamento, de modo a produzir parmetros com a qualidade mnima desejada e pr-estabelecida. A pr-anlise , portanto, desenvolvida antes da realizao das observaes.

Os problemas de pr-anlise podem ser agrupados em trs casos gerais a saber:

a) Problemas de primeira ordem; onde so dados: a matriz varincia-covarincia (Xx), estabelecida para os parmetros e a matriz varincia-covarincia das observaes (Zl) I se procura determinar G, A ou A e B nas equaes

X = GL + C ou (4.16)

V = AX + L ou (4.17)

AX + B V + W = 0 (4.18)

onde X o vetor dos parmetros, L o vetor das observaes, G, A e B so matrizes numricas de transformaes, C e W vetores numricos constantes e V vetor de resduos. Mais sobre estes modelos matemticos ser visto nos prximos captulos;


b) Problemas de segunda ordem; onde so dados: E* e G ou A ou A e B e se quer estimar El nas mesmas relaes matemticas do item a) acima;

c) Problemas de terceira ordem; onde dada apenas a matriz Ex e se quer definir El e G ou A ou A e B, ainda nos modelos matemticos anteriores.

O tratamento matemtico dos problemas acima pode ser direto ou pelo mtodo ensaio/erro. O mtodo direto s se aplica ao caso b) acima (problema de segunda ordem e a casos mais simples da pr- anlise). Nos problemas mais complexos a soluo direta se toma pouco atrativa ou invivel. A soluo mais abrangente e vivel a do ensaio/erro. Este mtodo no produz solues teoricamente otimizadas e sim solues eleitas a partir de experimentos simulados computacionalmente, dentre um certo nmero de solues viveis.

No estabelecimento de um projeto de levantamentos, pela pr-anlise, fatores como:

1. a satisfao da qualidade (Ex), pr-estabelecida, dos parmetros estimados;

2. o tipo, a qualidade e o nmero de observaes necessrias e/ou suficientes para atender o item 1.;

3. a distribuio geogrfica das medies e a configurao geomtrica dos elementos observados;

4. a viabilidade e eficincia (agilidade e economia) de diferentes alternativas;

5. a disponibilidade de recursos instrumentais, humanos e econmicos das alternativas so levados em conta. O mtodo ensaio/erro, com a

concorrncia do computador nas solues grficas e iterativas altamente atrativo.

A aplicao de pr-anlise mais relevante em projetos de redes de levantamentos. Alguns procedimentos simplificados da pr anlise so bastante atrativos a pequenos levantamentos.

4.4.2. Exemplificao de Aplicaes Simplificadas

Nos exemplos que seguem, algumas aplicaes dos conceitos da pr- anlise so ilustradas a partir de casos bastantes simplificados. Somente em casos simplificados a soluo direta aplicada. Em geral adota-se o mtodo ensaio/erro.

Exemplo 4.7. Uma distncia de aproximadamente 500m (D = 500m) deve ser medida com fita de 50 m de comprimento (d = 50m). O desvio padro mximo tolerado em D, Od = lOmm. Determinar qual a preciso mnima necessria para cada lance de fita. Admitir que os lances ou trenadas so de igual preciso, CTdi = Cfdj = Od-

Soluo: aplicando a lei de propagao de co-varincias relao:

D = di + d2 +.... + diotem-se:

o o = l 2 a 2


Exemplo 4.8. A distncia inclinada entre os pontos A, no terreno, e B, no alto de uma torre deve ser determinada com a preciso Od = 2mm. Sabe-se que a distncia horizontal d de 400m e tem erro desprezvel e que a altura da torre de aproximadamente 80m. Qual a preciso Oh mnima com a qual a altura deve ser medida para assegurar o Gd especificado ?

Soluo: A relao entre D e h dada por

D = (d2 + h2) 14

O r , =

dDdh

( BD

D ~

Oh

80408

Aplicando a lei de propagao de covarincias tem-se

Od =80

408

Vo i

(Th= O"d /80

408

Oh = 1 0 ,2 mm

Ch = 10,2mm

logo, a preciso mnima com a qual a altura deve ser determinada de aproximadamente Z* 10mm.

Ajustamento por Mnimos QuadnidQi

Exemplo 4.9.

6 8 Qui

1- --'1

Ool) ------- Pn-1----- ------- -------i 1 f % d;J . 1V4*\ (V Q-j < dn -1-------

\ p. /// p2_________E i\ /' 1-p1 h....

Considere-se a poligonal aberta da Figura anterior. Sejam P0 e Pn pontos conhecidos da rede com G e Cyi dados e seja otoi o azimute de PoPi com Gao tambm dado. As coordenadas (Xn, Yn) do ponto Pn so calculadas, em funo dos ngulos Pi e das distncias d* observadas e dos dados iniciais, atravs das frmulas:

m-/X '= X i + J^diSenQi

iml-/

Y ^ Y t + ZdiCosO,(4.19)

I = a ol + I f l - 1.180M

4

Quintino Dobnolln69

\ l* J " ' fl ] (4 20)

4i*P>4laiUefetuando as efetivaes e as substituies nas (4.20):

o i ,= 0, +< r. - Y, faL,*< Y.-Y f

70Ajustamento por Mnimos Quadrado.

,2 2

(4.22)

g 2y = o \ + ( X n- X l f a l o i + J X X H- X i ) o% +

i = i { d l )

n-l ,.2 > . n / ___ - - v2

Nas equaes (4.22), com os dados iniciais e com coordenadas aproximadas dos vrtices 2,3,...n da poligonal, possvel: Io arbitrando diferentes precises para as medies das distncias, averiguar as precises correspondentes mnimas exigidas nas medies de ngulos para satisfazer as exigncias iniciais; ou, 2o arbitrando diferentes precises para as medies dos ngulos, determinar as precises mnimas necessrias correspondentes na determinao das distncias, para atender aos requisitos iniciais especificados.

Exemplo 4.10. Considere-se a poligonal fechada da Figura:

FIGURA 4.10 ilustra o problema 4.10

Y

x


Seja ela a representao esquemtica de um tnel em construo, visto de cima. O segmento P^ Pj, j foi desenvolvido e se quer ativar outra frente de trabalho de P5 a Pn. A tolerncia de erro de fechamento em Pn, na direo Y de 21 mm (Gy * 7mm). Conforme a figura, o ponto P4 ser usado para ligar P3 a P5 . As distncias e os ngulos aproximados so os dados na figura. Supondo que todos os ngulos sero medidos com a mesma preciso 0b e sabendo que cada distncia foi determinada com Gd = 2mm, estimar Gq que atenda s especificaes iniciais. Os valores aproximados das coordenadas dos vrtices so obtidos de:

PnPi = P 1P2 = P2P 3 = P5P6 = P6P7 = P7Pn = 100m

P3P4 = P4P5 = 424m P3 = P5 = 45 e

P4 = 90 e (Xn, Y) = (500t100)m

Azimute inicialCtoi =Onl =90,Ganl =0eG yi = 0

Soluo: da segunda das equaes (4.22) pode-se escrever:

n -J

(4.23)

onde p fator de converso de unidades. Corresponde a FVsenl. Ou p =206265.


Nesta inequao tem-se : (J2yn = 49mm2; a2di = 4mm2; p" = 206265 e as coordenadas dos vrtices:

Vrtice 1 2 3 4 5 6 7

Coord x m 600 700 800 500 200 300 400

Ym 100 100 100 400 100 100 100

Com estes valores, a equao (4.23) d:

49 mm -

(Jpi 424

+ 300 ,424 7

m/n

2.5.70 f p ' /

(t^ < 6,5 r 7


onde G a matriz de transformao e C vetor constante; ento Zx estimado, pela lei de propagao das co-varincias, em funo de G e de Ll:

2* = G El GT (4.25)

Foi visto ainda, na mesma Seo, que se a relao entre X e L no linear, ela pode ser aproximada opor uma transformao linear. Tal procedimento de uso comum em ajustamento e geralmente satisfatrio para a pr-anlise por ensaio/erro.

A matriz de transformao G traz para a estimativa de Zx os dados da geometria, nmero, distribuio e tipos das observaes, enquanto Zl leva em considerao a qualidade das mesmas (fatores 2 e 3 da Seo4.4.1). A satisfao das exigncias em Zx (fator 1 da Seo 4.4.1), decorre do procedimento iterativo ensaio/erro e escolha comparativa do elemento humano envolvido no processo. A viabilidade (fatores 4 e 5 daquela Seo) tambm apreciada pelo elemento humano envolvido no processo, durante e aps a interao com o sistema de processamento para escolha das melhores opes.

Assim, dado Zx pela especificao2 e deixado livre ao perito para definir: qualidade, tipo, nmero e distribuio das observaes que satisfaam as especificaes (problema dito de terceira ordem, Seo4.4.1), este ir arbitrar diferentes proposies (diferentes Gj e diferentes Zy), e para cada uma estabelecer o modelo (4.24) e aplicar a propagao (4.25). Cada Zx estimado ser comparado com o Zx especificado. No caso de redes de pontos no plano, a sub-matriz varincia co-varincia correspondente a um dado ponto utilizada para definir uma elipse que representa a qualidade da determinao daquele ponto. Este procedimento facilita a comparao entre Zx projetado e Zx

importante notar que quem especifica a qualidade dos parmetros desejados, no estabelece co- vaiincias, apenas varincias.


especificado. Tambm facilita a deteco de pontos fracos e sua comeao com a incluso de novas observaes numa rede planimtrica.

O problema de terceira ordem acima o mais livre, onde apenas I* estabelecido. Ao resolv-lo, entretanto, pelo mtodo iterativo, o perito arbitra Zl e G ou A ou A e B, e estima a matriz Zx.

Esta aceita como uma soluo, se satisfaz a especificao I x. Caso contrrio 'descartada. Entre as diferentes solues aceitas, elege-se a mais vivel.

*E fcil perceber que o mesmo procedimento pode ser aplicado em casos de 2* ou Ia ordem. A nica diferena que se El (qualidade das medies) ou G, ou A ou A e B (configurao geomtrica) forem dados, estes deixaro de ser livremente arbitrados na busca de solues.

O programa computacional para o procedimento interativo (ensaio/erro) da pr-anlise de rede planimtrica, tem geralmente as possibilidades de:

1. receber informaes sobre as posies dos pontos da rede e a qualidade destas posies e plot-los;

2. receber Zx especificada e definir e "plotar" a elipse de erros correspondentes (respeitado o intervalo de confiana e as escalas estabelecidas );

3. receber informaes sobre o tipo de observaes propostas na tJerao (distncia, ngulo, azimute), sua localizao e qualidade e inclu-la na matriz G ou A ou A e B;


4. estimar Lx e definir e "plotar" a elipse de erros correspondente, sobreposta especificada e comparvel quela em cada ponto.

Como resultado, o programa gera num grfico/tabela, para uma rede de trs pontos, algo como:

Escalas: X I .........H - 2cm

Y H H ~ 1cm

que representa uma tentativa sem sucesso, e

iMiM' X I 'H lemv hH s im


que representa uma soluo, a qual pode ou no ser escolhida como a mais vivel, pelo perito.

Os mtodos de ajustamento, que sero vistos nos prximos captulos, todos estabelecem relaes do tipo (4.15), (4.16) e (4.17) ao ajustar uma rede. Assim, a pr-anlise se beneficia dos prprios programas de ajustamento, para a resoluo de seus problemas.

CAPTULO 5 | INTRODUO AO MTODO DOS MNIMOS QUADRADOS

5.1 CONSIDERAES INTRODUTRIAS

oportuno, uma vez mais, lembrar-se que s faz sentido falar em ajustamento ou aplicao do mtodo dos mnimos quadrados (M.M.Q.) quando se dispe de observaes redundantes.

No sentido geral o MMQ consiste em estimar variveis estocsticas X e seus parmetros de distribuio Ex, a partir de amostras L observadas com preciso El.

DADOS : ( L , Z l ) -> ESTIMAR : (X, E)

Estaro envolvidos nos problemas de ajustamento trs espaos: (a) o espao das observaes ou medidas, Rn; (b) o espao do modelo matemtico Rm e; (c) o espao dos parmetros incgnitos Ru. Mtodos particulares podero envolver um ou dois destes espaos.

O modelo matemtico funcional que inter-relaciona estes espaos constitui um sistema de equaes lineares (ou linearizadas) incompatvel. A incompatibilidade procede das flutuaes randmicas que propriedade das observaes.

Dada uma famlia de modelos matemticos, um modelo fica determinado por um nmero mnimo de parmetros obtidos numa soluo nica. Assim, por exemplo:

a) a famlia de modelos:y = ax + b


possui infinitos elementos, um dos quais fica determinado fixando-se (o nmero mnimo de) dois parmetros a* e bi.

b) a forma de um tringulo plano definida por seus ngulos: o nmero mnimo de parmetros que individualizam uma forma dois (dois ngulos) e o modelo:

oc + p + y = 180

c) se o problema for fixar a forma e as dimenses do tringulo plano, j o nmero de parmetros trs; uma escala tem que ser acrescentada ao problema anterior e;

d) se a pretenso determinar a posio com respeito a um referencial, as dimenses e a forma de um tringulo plano, cinco parmetros seriam requeridos.

A medida em que a complexidade da realidade fsica que se pretende representar cresce, o nmero de parmetros mnimo requerido tambm aumenta.

Num sistema de equaes lineares redundantes e inconsistente, as solues que se obteriam para o conjunto (nmero mnimo) de parmetros a partir de diferentes subsistemas (formados com o mnimo de equaes necessrias para dar soluo nica) seriam distintas. Da a necessidade do princpio dos mnimos quadrados. Antes porm de se passar para o MMQ, parece til um breve retrospecto do significado de sistemas de equaes lineares redundante e inconsistente dentro do contexto da discusso de sistemas lineares no homogneos.

OsQuintino Dalmolin 79

5.2 DISCUSSO DE SISTEMAS DE EQUAES LINEARES NO HOMOGNEAS

$ De um modo geral e simplificado, pode-se discutiralgebricamente um sistema de equaes lineares no homogneas, procurando responder as duas questes que seguem:

a) O sistema consistente?

b) Sendo consistente, a soluo nica?

Seja o sistema de equaes:

AX = L (5.1)

onde A a matriz n x n dos coeficientes; X o vetor das incgnitas e L o vetor dos termos independentes.

Para este sistema a questo (a) pode ser respondida atravs de uma anlise das caractersticas ou posto das matrizes A e A', isto :

Posto (A) = Posto (A') =? (5.2)

onde A' uma matriz obtida da A pela substituio de uma de suas colunas pelo vetor L.

Se Posto (A) * Posto (A') o sistema incompatvel ou inconsistente, e ser consistente se a igualdade (5.2) se verificar.

A segunda questo (que se aplica somente ao sistema compatvel) ser respondida examinando o determinante A.

det (A) * 0 ? (5.3)

gO n ju iu m e m u p u i m unm u wuaavrmm

Ento, o sistema ter soluo nica1. Determinante nulo implica que o sistema possui infinitas solues.

Considere-se agora o sistema

AX = L

onde A de dimenses (n x u) e o vetor de incgnitas (u x 1) e o dos2 / j * termos independentes (n x 1) e ( n > u) . Este o caso dos sistemas

superabundantes.

As duas questes anteriores podem agora ser respondidas como segue:

a) O sistema compatvel ? Examina-se:

Posto (A) = Posto (A,B) = r (5.4)

onde (A,B) a matriz aumentada, obtida de A, acrescentando- se a esta a coluna L do vetor dos termos independentes

(A , B ) = [A : L ] (5.5)

b) Satisfazendo a equao (5.4), o sistema teria soluo determinada se r = u ou seja: o posto comum r igual ao nmero de parmetros.

Este caso semelhante ao caso de n equaes a n incgnitas com soluo nica, pois tem-se (n - r) equaes que so combinaes lineares das r outras equaes do sistema.

Numericamente eMe conceito requer estudos adicionais.

O caso o < u pude ver discutido como o caso n = u visto acima.

Se crand u), com A (nxu).


Este sistema consistente no pode ser formado inicialmente, pois o vetor La no est disponvel. Isto , dispe-se somente do vetor Lb dos valores medidos que forma um sistema inconsistente,

U = AX (6.3)

que requer uma correo V ao vetor das medidas Lb. Assim:

L|sLb + V (6.4)

eA X -L t+ V (6.5)

constitui um sistema compatvel, mas com maior nmero de incgnitas que o nmero n de equaes (X* e V possuem u + n incgnitas).

Recorre-se ento ao princpio do Mtodo dos Mnimos Quadrados (MMQ), equaes (5.11a) ou (5.11b), para a obteno da soluo nica do sistema (6.5)

Considerando a soluo quando se utiliza a equao (5.1 la):

VTV = min (6.5a)

temos da equao (6.5),

V = AX - U (6.6)

que substitudo na equao (6.5a),e designando-a por , resulta:

O i (AX | Lb)T (AX - Lb) = mn.

ou0 = (A jxj - LTb) (AX - U ) = mn


e efetuando a distribuio tem-se:

O = X tA t AX - X TA TLb - LTbAX + L^Lb

Para minimizar a funo, faa-se :

d$>

ou seja

= 0 dX

^ - = 2xTATA-aA-A=0 dX

= XTArA-lZA=0 e

XTATA = l l A

Transpondo ambos os membros:

a ta x = a tu (6.7)

que chamada equao normal e cuja soluo :

X =(AtA ? A t U (6.8)

admitindo ATA no singular.

Se fosse considerada a condio (5.11b) que levou em conta as varincias das observaes em lugar da (5.1 la) ter-se-ia:

1 Na verdade, impor que a derivada de 4> com respeito a X seja nula, procedimento para determinar o mximo ou mnimo de O. No caso em pauta, pode- se provar tratar-se de um mnimo.


X - ( A TPA)'l ATPU (6 1 )

admitindo que ATPA no singular.

Pode-se portanto estimar, pelo Mtodo de Mnimos Quadrados, (equaes (6.8) e (5.10) os valores dos parmetros X a partir da matriz A dos coeficientes das incgnitas, do vetor Lb de valores observados e da matriz dos pesos referida na equao (5.12), dada por

P - a i t (6.11)

onde Zl a matriz varincia co-varincia das observaes e (ao)2 avarincia da unidade de peso, a ser tratada mais adiante, e que pode serarbitrada igual a 1, a priori, para fins de resoluo dos parmetros.

O vetor V das correes s observaes Lb pode ento ser calculado utilizando o X na equao (6.6) e o valor ajustado das observaes obtido por:

La = Lb + V (6.12)

6.1.2. Ajustamento Paramtrico no Linear

Nos casos em que a funo F(Xa), do modelo dados pela equao (6.1),

La = F(Xa) (6.13)

I no linear, o ajustamento paramtrico dito no linear.

O ajustamento paramtrico, para este caso no linear, mais geral, A resoluo do problema engloba o caso linear mas inclui uma fase preparatria de linearizao do modelo e, em decorrncia da


aproximao introduzida nesta fase preparatria, uma fase de testes e iteraes so requeridas.

Na fase preparatria usam-se valores aproximados Xo dos parmetros Xa como ponto de expanso da funo F(Xa) em srie de Taylor, e, com o objetivo de linearizar a funo, tomam-se apenas os dois primeiros termos da srie. Tem-se conscincia do erro de aproximao introduzido com esta linearizao, erro este tanto menor quanto melhor forem os valores aproximados do vetor Xo.

A expanso de F(Xa) d:

e ambos Lo e A so vetor e matriz numricos calculados a partir do valor aproximado Xo e do modelo matemtico F.

A equao (6.13) pode ser escrita como:

F ( x j = F (X o)+ t (Xa-Xo)a

(6.14)= Zo+AX

onde se est representando

Lo = F(Xo) (6.15)e

(6.16)

Lb + V = F(Xa) (6.17)

Quintino Lkilmolin 9 5

Nesta equao, substituindo F(Xa) por seu valor da aproximao linear dada pela equao (6.15) vem:

U + V - L o = AX (6.18)ou

AX + L = V (6.19)

onde

L = Lo-U (6.20)

um vetor numrico calculado a partir de Lo e das observaes L*>.

O modelo (6.19) ento obtido linear e resolvido pelo procedimento visto no item anterior, a saber equaes (6.8) ou (6.10) e (6.6).

O vetor X estimado constitui correo ao vetor Xo dos parmetros aproximados para obteno de parmetros X* que sero melhores aproximaes dos parmetros desde que exista convergncia.

X* = Xo * X (6.21)

O vetor Xa assim obtido ser utilizado como novo valor aproximado dos parmetros.. Com base nestes, a matriz A e os vetores Lo e L seronumericamente reavaliados e ento novo vetor de correo X sercalculado e aplicado na equao (6.21X para obteno de X, que o novo valor ajustado dos parmetros e que pode ser novamente utilizado como valor aproximado melhorado., A a sequncia abaixo ilustra o processo.

O processo iterativo encerrado quando no converge eultrapassa um certo nmero de iteraes ou quando os elementos do

vetor de correo X so menores que um 5 arbitrariamente escolhido como constante para teste de convergncia.

Lo = F(Xo)

A = F (X o )

X ,=N - ' ,U ,

X.'=Xo + X,

Lo1 = F(X.')

A, = F(X*')

X2 = N12U2

x ,2 = x . ' + x 2

Lo2 = F(Xa2)

A2 = F(Xa2)

X3 = N'13U3

Xa3 = Xa2 + X3


Lon = F(Xa)

An = F(X.n)


Xn+i =N~1n+i Uo+1

X."*1 = Xa" + X*i

comum representar-se o sistema de equaes normais (6.9) e (6.7) por

NX = U (6.22)onde

N = AtPA (6.23)e

U = AtPL (6.24)

Ento as equaes (6.10) e (6.8) seriam dadas por:

X * N!U (6.25)

6.2 ESTIMATIVA DE PRECISO DOS PARMETROS CALCULADOS

Como j foi referido anteriormente, quando se faz estimativa deum valor ou de um conjunto de valores (parmetros), necessrio se faztambm estimar a qualidade dos mesmos. No mtodo paramtrico de ajustamento, mede-se e estima-se (L,Il ) e a partir destes estimar-se-(X,Zx), que representam os parmetros e sua preciso. Viu-se nassubsees anteriores a estimativa dos parmetros X; note-se agora como estimar sua preciso 2*.

Considere-se a equao (6.10)

X,= (ATPA) ATPLb = GLb (6.26)

ondeG = (ATPA) AtP (6.27)


matriz constante e U o vetor de observaes feitas com a precisoEl.

Aplicando-se a lei de propagao de covarincias, vista na seo4.3 e dada pela equao (4.11), equao (6.26), tem-se:

Z, = GZlGt

ou, substituindo G por seu valor dado pela equao (6.27), e lembrando a equao (6.23):

Zx = N_IATPZLPAN'1 (6.28)

Lembrando a definio de P dada na equao (5.12)

P - G oTl

o que implica

que substituda na (6.28) d:

I =


equao que d estimativa da preciso dos parmetros, a partir da varincia da unidade de peso a posteriori Go e da inversa da matnz N de coeficientes das equaes normais.

*2 } /P V< T o = -----------

n-u

onde P e V so dados pela equaes (5.12) e (6.19), n o nmero de equaes linearmente independentes e u o nmero de parmetros incgnitos. A diferena (n - u) chamada de nmero de graus de liberdade.

Freqentemente tem-se interesse no conhecimento da preciso dos valores observados ajustados La. Esta preciso pode ser estimada atravs da lei de propagao de covarincia equao (6.2) aps ter sido estimado Exa.

O problema se resume em: dados a equao

La=AXa

e a matriz Xxa; estimar Zu- Aplicando a lei de propagao das covarincias, tem-se:

YiM AYxa/F

2 ^ = A tfo N '/?

e

ZLa = 1oANAT


D relaoV = La Lb

pode-se estimar ainda Zv

Zv = Lto " T,Lb

6.3 EXERCCIOS E EXEMPLOS

1. Um certo fenmeno tem variao y linear com respeito a x (y = ax + b). O valor yj foi medido para diferentes x,, conforme dados abaixo. A abcissa x considerada sem erro. Calcular os valores ajustados dos parmetros a e b da funo linear.

para x y medido

-6 0,10-4 0,97-2 2,060 3,11

Observaes:" 0,10 " l \

0,97 l i

2,06 1 3

_ 3,11 _ / 4 _

incgnitas:

Quintino Dalmolin

Modelo matemtico funcional

X a =ab

y = ax + b

La = AX

Modelo matemtico na forma matricial:

6 1 4 1

2 1 0 l

Ubx- 4^,

0,10' V/0,97 V22,06 Vi3,11. v' Lo =- 0,9394 - 0,5429

480,80

588,19

548,24

L =

- 19,1196 - 11,8287

9,7617

Sistema de equaes normais:

NX + U = 0

onde:

N m \ TPA *609,703 -52,813

- 52,813 590,297

U m a t PL9671,2793

7972,0386


Clculo da correo dos parmetros aproximados:

X = - N ' U =14,8072

- 12,1803

Parmetros corrigidos:

X a = X 0+ X =599,8072

99,8197

Correo mxima Xi = 14,8072 > 8 ( = 0,01 como critrio de convergncia), iterao requerida, Xa o novo Xo. Os coeficientes A e L so reavaliados e tem-se:

' 0,7997 -0,6004' '0,0340'

A = -0,0003 -1,0000 ;L = 0,1604

- 0,9284 - 0,3716 0,2825

'600,579 -53,947' -94,035'N = ;U =

j 53,947 599,421 _ s 114,309 _

'0,1751' '599,9823'X - ; x a =

0,2065 100,0261

Correo mxima Xj j 0,2065 > 0,01 (8 iterao requerida Xa o novo Xq. Os coeficientes A e L so reavaliados e tem-se:

Quintino Dalmolin llS

0,8000 -0 ,6 0 0 0 ' 0,0502

A = 0,0000 -1,0000 ;L = 0,0461

- 0,9285 - 0,3713 0,0432

600,851 - 54,071' ' 0,01746 'N = ;U =

_- 54,071 599,149 0,01752 .

- 0,000027 " 599,9823"X - ;X a =

_ 0,000027 . _100,0261 .

Correo mxima X3 = 0,000027 < 8 (= 0,01), convergncia satisfatria.

Estimativa de preciso:

V = AX + L =

0,0502

-0,0461

0,0432

, V PVo = ------- = 2.6046

n -u

Xx = 2o-Nl =0,00437 0,00039

0,00039 0,00438

i I Determinar as coordenadas (x, y, z) de um ponto P, a partir dasmedidas de 5 distncias de pontos conhecidos A, B, C, D e E a

I IAs coordenadas medidas dos pontos conhecidos so:

116 Ajustamento por Mnimos Quadrados .Quintino l

P (530,0; 480,0; 350,0)

E as distncias medidas com c = 0,lm so:

A P = 5 4 1 , 2 8 ~BP = 5 8 1 , 6 0 C~P = 7 8 8 , 3 0

~DP = 1 0 1 0 , 9 1

E~P I 5 5 7 , 7 8

12. Determinar os parmetros a, b e c da parbola y = f(x) que melhor se ajuste s observaes das coordenadas:

Ordenadas (yj) Preciso (aO Abcissas (xj)

-0,98 0,03 0-2,03 0,03 11,99 0,01 -1

-1,04 0,04 26,97 0,04 -22,01 0,01 3

As abcissas Xj so isentas de erros.

13. Determinar as coordenadas planas do ponto P(X,Y), da figura, com o respectivo referencial AXY dado.As coordenadas dos pontos so:

A(0,0) B(10,0) C(15,0)


Os valores dos ngulos observados a,, i = 1, 2, 3, foram medidos

ai = 4500' com Ci = 2 a 2 = 6648' com c 2 = 2' a 3 = 4 1 ir com 03 = 1

e a distncia PA = d = 9,9 lm foi medida com 04 = 5mm.V

7P

118Ajustamento por Mnimos Quadrcuio\

Parmetros aproximados:

X i ~6,4~

_X 2_ 6,6 _

Peso:

o oo o

11.818.103,0 0

0 40.000

'2.954.525,7 0

0 2.954.525, 7

0 00 0

Modelo matemtico funcional:

a 2 i arctg

a 3 = arctg

P= ((X - x o f + (r -Yc f ) ' '

r Ma = arctgK - X

Modelo matemtico linearizado:

AX + L = V

Roteiro para a soluo do problema:

I* iterao:

Sistema de equaes normais:

N i X i + U i = 0

Clculo da correo aos parmetros aproximados: Xi

Parmetros corrigidos: Xa = Xo + Xi

Correo mxima Xi = 0,59305 > 0,001 = o (a = critrio de convergncia), nova iterao requerida, Xa o novo Xo. Os coeficientes A e L so reavaliados e tem-se,

2* iterao:

Clculo da correo X2 e do novo valor corrigido

Xa + Xo + X2

Correo mxima X2 = -0,01566 > 0,001 = a, nova iterao requerida, Xa o novo Xo- Os coeficientes A e L so reavaliados e tem-se,

3* iterao: Idem, Idem sequencia anterior para X3 e novo Xa

Correo mxima X3 = 0,00006 < a, convergncia satisfatria.

Estimativa de preciso: a cargo do leitor...

Dadas as coordenadas fotogrficas (x,y) e geodsicas locais (X,Y,Z) de sete pontos conforme a tabela abaixo e dados ainda:

n *120 Ajustamento por Mnimos Quadrados

1) A distncia focal calibrada da cmara: f = 305,24mm.

2) Os parmetros aproximados de orientao exterior: (0 = cj) = K = 0; Xc = 300m; Yc = 145m;Zc = 1000m

Calcular os parmetros de orientao exterior da cmara.

PontoFotocoordenadas Coordenadas

geodsicas

X y X Y Z

46 73,245 17,505 8496,051 5143,856 76,00049 -78,582 -28,820 8019,938 5022,347 92,67753 71,182 22,820 8490,372 5160,541 75,78354 17,039 -4,621 8319,553 5083,466 80,90455 -30,227 -6,076 8173,213 5085,928 87,32016 -119,191 103,011 7946,993 5431,920 84,4832 1 5,342 -71,030 8274,429 4884,132 108,10

O modelo matemtico funcional relacionando os dois sistema so as equaes de colinearidade (Ver LUGNANI, J.B)

Considere (x, y) como observaes.

1 1 1

CAPTULO 7 - AJUSTAMENTO MODELO IMPLCITO

7.1 CONCEITO

O ajustamento de modelos matemticos implcitos, frequentemente chamado modelo implcito ou mtodo combinado de ajustamento, mais geral que o mtodo paramtrico visto na seo anterior. Seu modelo matemtico funcional :

F(Xa,La) = 0 (7.1)

onde Xa e La so como definidos anteriormente e F uma funo genericamente no linear.

7.2 FORMA LINEAR DO MODELO

Com o propsito de obter um modelo linear, F ser expandido em srie de Taylor. Os valores observados dados pelo vetor L*, e os parmetros aproximados Xo, constituiro o ponto de expanso inicial da srie, que ser truncada de modo que somente os termos lineares sejam considerados, como foi mencionado no caso paramtrico no linear, o erro decorrente dessa aproximao depende da qualidade dos valores dados ao ponto de expanso. Representando por X as correes aos valores aproximados Xo e por V as correes s observaes L*, a expanso F pode ser escrita como:

+ I ( X . - X 0) + ^- I ( L . - , ) d X . oLa

. 2 2 Ajustamento por Mnimos Quadrados

OU

Onde

AX + BV + W = 0 (7.2)

A = - I (7-3)dX a

b = * fdL

(7.4)

W = F(Xo,Lb) (7.5)e

X = Xa - Xo (7.7)

V = U - U (7.7)

E oportuno notar que a aproximao expressa pela equao (7.2) tende ao valor da F(Xa,La) quando P(Xo,Lb) > P(Xa,La).

O propsito agora resolver o sistema (7.2) com respeito a X e V, onde supe-se independncia entre os parmetros.

Seja m o nmero de equaes do sistema, u o nmero deparmetros X e n o nmero de observaes. O sistema (7.2):

m 0 (7.8)

constitui um sistema de equaes lineares com (n+u) incgnitas a m

equaes, com (m

7.3 SISTEMA DE EQUAES NORMAIS

Para resolver o sistema (7.8) impondo tambm o princpio doMMQ,

O = VTPV = min (7.9)

usar-se- o mtodo de mnimos quadrados imposto atravs dosmultiplicadores de Lagrange, que consiste em minimizar a funo:

o = VT PV + 2Kt (AX + BV + W) (7.10)

Notar que quando a equao (7.8) satisfeita o parntese da equao(7.10) se anula.

Para minimizar O, suas derivadas parciais com respeito a X, K e V so igualadas a zero. Ento tem-se:

30 * y T y


dX

90dKe

= 2(K A )

= 2 (AX + B V + W )

= 2( VtP ) t + 2 ( K tB) tdv

que podem ser escritas como:

AtK = 0 (7.11)

PV + BtK = 0 (7.12)

Ver ltima noG do capitulo anterior.


AX + BV + W = 0 (7.13)

Tem-se agora um conjunto de (u+n+m) equaes respectivamente procedentes das equaes (7.11), (7.12) e (7.8) e o mesmo nmero de incgnitas. O sistema global pode ser escrito, em forma matricial, como:

ou

P Bt o' " v~ ~o~B O A . K + w

1OKO

1 _X. _o_= 0 (7.14)

que constitui o sistema de equaes normais.

Para pequenos problemas, possvel resolver o sistema de equaes normais atravs da inverso da hipermatriz de coeficientes. Para inversa de Cayley, supondo no singularidade, tem-se:

(7.15)v' ~P b t 0~ "o"K B O A . wX O AT O o

Esta soluo, no entanto, no recomendvel porque muito dispendiosa computacionalmente. Como se sabe, o tempo de processamento cresce com o cubo da ordem da matriz a ser invertida, alm do problema de espao de armazenamento.

7.4 SOLUO DAS EQUAES NORMAIS

Visando a obteno de uma soluo computacional mais atrativa, considere-se a equao (7.14).

125

p Br O' " V' ' O' O'B O A K + w SE OO Ar O X 0 O

m J

NY + U = O

que pode ser particionada em:

N n N 12' Y1+

~ i

_ N2i n 22_ y 2_

e que pode ser desenvolvida em:

NnYi + N12Y3 + Ui = 0

N21Y1 + N22Y2 + U2 = 0

Supondo Nu no singular a (7.18) pode ser escrita:

K/= - N ' u ( U i + N 1 2 Y 2 )

que substituda na (7.19), d:

( N 22 N v Nu N ,2 )Y 2 +(U2- N 21 NU,)=0

(7.16)

(7.17)

(7.18)

(7.19)

(7.20)

(7.21)

Aplicando o deduzido na equao (7.21) ao sistema de equaes normaj* apfo particion-lo convenientemente:

tem-se

p \ n o' ! P o '11 u i. +

B O A k wO : Ar o_ . x . o .

1 1

1 r> ' p i [b t o] ' K + vv" B

Ar o . .o.1- *9

. x . . o . .o./~, [o]=o

ou efetuando

-BPBt A vv"

I *3 o .X. .o .

= 0

Repetindo o processo para eliminar a varivel K tem-se.

a " g

+"vv"

A 7 o_ _ x_ _ o .= 0 (7.22)

com a aplicao da (7.21) resulta:

a t(b f 'bV a X + a t(b p 'b V w = 0

Da pr

dond

As e ma mni

7.4.

con(7.2

e d

Cc

ou

X - - |At (BP 'bV A l1 At (BP 'b V w (7.24)

Da primeira equao matricial em (7.22), tem-se:

K = (BP-'BT)-' (AX + W)

e da primeira equao em (7.15) tem-se:

pv + b tk = o

donde

V = - P 1 BT K (7.26)

As equaes (7.24), (7.25) e (7.26) pressupem no singularidade das matrizes a serem invertidas por Cayley, e constituem a soluo de mnimos quadrados do modelo implcito ou mtodo combinado.

7.4.1 Particularizao para o Caso Paramtrico

Sendo o ajustamento paramtrico um caso particular do mtodo combinado, suas equaes (6.6) e (6.10) podem ser obtidas das (7.26),(7.25) e (7.24), fazendo B = -I (I = matriz identidade). Da (7.24) resulta:

X = - (AtPA) a t pw

e da (7.26) e (7.25) temos:V = +PIK = F 1P(AX + W)

V = AX +W

Quintino Dalmolin 1 2 7

(7.25)

Com W= Le L= F(X0 - U )

7.5 MTODO DOS CORRELATOS COMO CASO PARTICULAR DO COMBINADO

O ajustamento pelo mtodo dos corre latos, classicamente chamado mtodo das equaes de condio ou das observaes diretas condicionadas, consiste no ajustamento somente de observaes (os parmetros no participam do ajustamento). O modelo matemtico assume ento a forma:

F(U ) 0 (7.27)

ou na forma linear:

BV + W = 0 (7*28)

A equao (7.28) corresponde (7.8) com A = 0 (derivada parcial com respeito aos parmetros zero, j que estes no existem no modelo). A soluo da equao (7.28), para V, obtida da (7.26) e (7.25) fazendo- se A = 0 nestas equaes:

V = -P V B P ^ B 1) 1 W (7.29)

K = (BP 'Bt )'' W (7.30)e

= p ' ' p ' B T( B P ' B t ) ' B P

Quando o modelo matemtico no linear, no caso paramtrico ou combinado, envolve a estimativa de X, e este deve ser adicionado aos valores aproximados dos parmetros Xo para obter o valor ajustado Xa, isto :


Xa = Xo + X (7.32)

1Quintino Dalmolin 129

Oa mesma forma o vetor dos reskfeios V, em todos os deve ser adicionado ao vetor dos valores observados L*, tal que:

7.6 ITERAO NO MTODO COMBINADO

Os resultados das equaes (7.32) e (7.33) s seriam os resultados finais se os valores utilizados como pomo de expanso da srie de Taylor Xo e U estivessem suficientemente prximos dos pontos X. e L*. Geralmente este no o caso e iteraes so requeridas.

Chamando de X laella os valores finais aps a iterao i; de X,,Vi as correes estimadas na iterao i e de A* B, e Wt os coeficientes da i-sima iterao no ponto de expanso i -1. A expanso da funo F

1 em srie de Taylor, d:

L = L b + V (733)

I

como

pode-se escrever

A, X ,+ B,V, + B, (Lb - t i . ') + F (X . 1 ti. 1) -

130 Ajustamento por Mnimos Quadrado* j I

ou ainda

AX + Bi Vj + Wi * 0 (7.34)

onde:

Wt * B t(L , - V ; 1) + F ( X l (7.35)

Na primeira soluo ( i s 1) o ponto de expanso X*el% devem ser dados com boa aproximao dentro dos limites da nature/a da no linearidade do problema considerado. Para Lua pode se adotar l*observado e para X recomendvel que se obtenha valores atravs de uma soluo nica a partir de um subsistema do sistema original.

Ter-se-ia ento:

1. Na soluo inicial:

AiXi + BiV, + Wi = 0 (7.36)

Onde Ai, Bj e Wj so as matrizes determinadas no ponto de expanso da srie de Taylor ( X tLb) e onde Wj tem um s termo como na (7.5) pois o primeiro termo do segundo membro da equao (7.35) desaparece j que L~l = Lb.

Utiliza-se as equaes (7.24), (7.26) (7.32) e (7.33) para obten

i H

Ocosvul

c **ci


2. Primeira Iterao: o ponto de expanso agora . e par i = 2temos:

Onde A2 , B2 e W2 so matrizes cujos elemento* so deternunadu* com os valores ajustados na iterao anterior, assim:

3. Segunda Iterao: O processo iterativo continua att * convcffncia. admitida esta. numa iterao t ou atravs de um tnie comparativo da diferena dos parmetros ajustados numa iterao t com os da iterao i1 ser menor que um 5 pr estabelecida

Notar que X, tende a zero no ponto de convergncia e que V, tende a se estabilizar num vetor que representa as correes mais provveis s observaes originais L*.

Considerando a equao (735)

(738)

B m B. X S . L S ) (739)

(7-40)

e semelhantemente estima-se

(741)

w; = ,(!* - C , ) + F ( x ; - \ 0

e considerando que na convergncia

H Ajustamento por Mnimos Quadrados

entto:F(X',L) = 0

W, = fl, (t. - L. ) = (7.42)

7.7 PRECISO DOS VALORES ESTIMADOS

2Considerando a equao (7.5) W = F(Xo,Lt>), tem-se :

X* = I t flr (7.43)

que representa a propagao da varincia-covarincia para o erro de fechamento W.

Da equao (7.24) tem-se:

x = c .w

onde

C-N^'AT(BPrlBT)'1 .

l . * C l mc r

C m m W f , 4a ^ * > ( 7 5. derivada parciwi de W com

mtfmml+ 4Mbpar9-

ou, substituindo C pelo valor acima vem, com alguma stmphficaio algbrica

Z, = ( At(BZl b ' / ' /lr f * N

Geralmente quando se efetua um ajuvtamento nio se conhece l iplenamente. Ento adota-se ou arbitra-se um certo (


erros grosseiros ou mal estimativa das varincias das observaes. O

circunflexo acentua o fato do valor ser estimado:

Lembrando que:

U = U + V (7.47)

e substituindo V e K das equaes (7.26) e (7.25):

V = -P'1 b t k

K = (BP1 Bt) ' (AX + W)

temos

L, = U - F 1 Bt (BP1 Bt) (AX + W) (7.48)

Substituindo ainda X por seu valor dado pela (7.24) tem-se:

La - Lt>+ P B t ( BP 1 Bt f Al At ( B P 1 Bt f A ] At ( BP 1 B t ) w - p Bt ( BP ' Bt f W

A matriz varincia-covarincia de La, pela lei de propagao de covarincia ser:

obdau eaderivl

simp

ond

Est a a


As expresses das duas derivadas parciais da (7.49) podem ser obtidas da (7.48); substituindo-se Lb por I e W por B para a derivada de L, em relao a Lb eliminando Lb e substituindo W por A para a derivada de La em relao a X.

Efetuando a substituio das derivadas mencionadas na (7.48) e simplificando as expresses obtem-se:

XL. = t i P ' + P 1B7 PwAN ' AT P WBP ' - P 1BTPBP 1 ) = ,7 5 0 ,

= < f Z ( Q i - Q v )

onde

Q l = p 1

Este mesmo resultado poderia ser obtido a partir da equao (7.47) com a aplicao da lei de propagao de covarincias.

Qv = p 1b t p wb p 1- p 1b t p wa n , a t p wb p j (7.51)p w=(B2,u b t y1

A matriz varincia-covarincia dos resduos seria portanto:

I v = Cf r f i , (7.52)

7.8 EXERCCIOS

( .Determinar as coordenadas (X,Y,Z) do ponto P a partir das distncias medidas com desvio padro o = 0,02mm de trs pontos de

136 Ajustamento por Mnimos Quadradas Qttintimi

coordenadas conhecidas A, B, C ao ponto P e dos ngulos verticais (Xa, Ob, OLc medidos em A, B e C com o = l M.

As coordenadas das estaes so:A = (200,400, 50)B = (900, 100,70)C = (1000,400, 60)

ngulos observados:(Xa = 4450Ob = 3757* ac = 4408

Distncias observadas:dA = 581,453 m %dB = 634,120 m dc = 574,466 m

Coordenadas aproximadas do ponto P: P (599. 501.460*$)

Incgnitas (parmetros):

' Xai ~ X p

Xa2 = Y P

1

X

__________1

. Z r .

Observaes:

fantino Dabnolin

I b l ' d 581,453' 581,453 ~lb 2 d B 634,120 634,120lb 3 d c 574,466 574,120lb 4 OCd 44,833333 0,7824893 rd

IbS CCe 37,95 0,6623525 rd

J b 6 _ JXf_ 44,133333 0,7702720 rd j

Parmetros aproximados:

Xn =

599.0

501.0

460,5

Matriz varincia-covarincia:

~4xl04 0 0 0 0 &

0 4x104 0 0 0 0

0 0 4x1o4 0 0 0

0 0 0 2t35xl 0n 0 0

0 0 0 0 2,35x1o11 0

n 0 0 0 0 2.35x10n

Modelo matemtico funcionai:

158Ajustamento por Mnimos

F, =

Qmmtino Dalmotin

f a r / dFl dFl dFl dFl dFl 1d d B d d c da* d a B d a c

dF2 dF2 dF2 dF2 dF2 dF2d d d d B d d daA d a B d a c

dF6 dF6 dF6 dF6 dF6 dF6d d A d d b d d c d a A d a B d a c

= Bi ( L b - K F ( x ; \ L ? )

1* iterao:

0,686390 0,173748 0,706173

-0,473624 0,630974 0,614452

-0,696573 0,175446 0,695704

788,768606 199,663231 -821,000000

-366,145277 487,788226 - 781,000000

-754,907050 190,138683 - 801,000000_

0,150798

1,405/77

1,209473W * I

- 1067,91982 9

4 J 6, J53493

X = [ A t(B P 1 B t )A ] l A t(B P 1 f f W

140 Ajustam ento p o r Mnimos Quadrado


X =

1,009776

-0,9514/2

-0,519527

Parmetros corrigidos:

X a= Xo+ X =

600,009776

500,048588

459,980473

Clculo das correes das observaes:

P = -P 1 Bt K

K = (BP 1 B Jy ] (AX 4 W)

0,0 / 0/20

0,007381

- 0,022269

0,000052

0,000019

0,000052


Correo mxima X = 1,009776 > 0,01 = 5 (6 = critrio de convergncia), nova iterao requerida, X , o novo Xo. Os coeficientes A, B e W so reavaliados e tem-se:

2* iterao:

0,687934 0,172063 0,705082 "

-0,473076 0,630865 0,614987

-0,696308 0,174166 0,696291

790,929491 197,823613 - 819,960945

- 364,945375 486,668800 - 779,960945

- 752,849049 188,308314 -799,960945 .

-1 0 0 0 0 0 '

0 - 1 0 0 0 0

B =0 0 -1 0 0 0

0 0 0 672353,978 497 0 0

0 0 0 0 672233,946 160 0

0 0 0 0 0 640239,455 935

142 Ajustamento por Mnimos Quadra

W

X *

- 0.008255

0.007191

0,022859

36,766810

12,680211

- 31,626106

-0,000853

-0,002190

0,000029

parmetros corrigidos:

X .* Xo+ x *

600,008923

500,046397

459,980502

Correo das observaes:

* 0,009199

- 0,008151

0,023092V " Lm* Lm"

0,(MMJ05J

0,000019

0,000049


Correo mxima de X 0,002 < 0,01 = , convergncia satisfatria.

Estimativa de preciso:

I v t p v , o = --------- 0= 136,122060n - u

32*3 o sATS

onde |

= A t (B P V )' a

0,000003 0,000002 -0,0000000,000002 0,000009 -0,000001

- 0,000000 - 0,000001 0,0000020,000371 0,000245 - 0,0000110,000245 0,001179 -0,000170

-0,000011 -0,000170 0,000281

Aos pontos Pi, de ordenadas observadas (L*) dados abaixo cco a = 0,10; ajustar, pelo uma circunferncia de raio r e cen(Xc,Yc). Os parmetros aproximados so:

144

Coofxfcnttdas observadas:

P ,* (100,5; 9,8)

P j - (149,7 ;60,2)

P* = (99,7; 110,1)

P4 = (50,2 ; 59,7)

Ajustamento por Mnimos Quadrados

CAPTULO 8 - INCLUSO DE NOVAS OBSERVAES, INJUNES E GENERALIZAO DO MODELO

grande a variedade de modelos e tratamentos dispensados a diferentes problemas em ajustamento. Considerar-se- aqui dois casos mais gerais e de aplicaes mais freqentes.

8.1 INCLUSO DE NOVAS OBSERVAES

E comum efetuar-se o ajustamento e estimar-se um conjunto de parmetros, diga-se Xa, utilizando as observaes L*i, disponveis no momento e posteriormente dispor-se de observaes adicionais e pretender-se atualizar a estimativa dos parmetros. Refazer o ajustamento completo, em certos casos, no um procedimento atrativo, pelo elevado custo ou ineficincia. Este o problema que se enfocar aqui.

Considere-se o modelo implcito total:

F(Xa,La) = 0 (8.1)

particionado em:Fi(Xa,Lai) = 0 (8.2)

eF2 (X..U2) = 0 (8.3)

e com as formas linearizadas respectivas

A1 X + B1 Vi + W i = 0 (8.4)A2 X + B2 V2 + W2 = 0 (8.5)

As equaes (8.4) e (8.5) podem ser colocadas na forma:

146 Ajustamento por Mnimos Quadra^

Al [ x bBiO y + V /

_a2_ o b2_ Vi. -W2.ou (8.6)

AX + BV + W = 0

com matriz dos pesos, admitindo no correlao entre Lai e L^,

p = P ioe :

O P 2 .

a Bi O ~ ' v w A = ; B = ;V = e W -

.A z . O B i . _v 2_ _W 2.

(8.7)

A soluo da equao (8.6) pelo mtodo dos mnimos quadrados , como se viu nas sees 7.3 e 7.4, equaes (7.24) a (7.26);

* = [ a t (B p b t / ' ] ' A T( B p- BT f w (8.8)

Substituindo nesta equao A, B, P e W pelos valores dados pela (8.7) e efetuando as operaes matriciais tem-se:

OU

Quinti

Desexe

pcuacPai

x - l i ' ( B i P i B ti f A1+ a U B i P b \ y A l ]

W < B , p / B T, ) W i + A ( B i P BT2 ) ' w 2\(8.9)


OU

X = O , + jv J 1' [(/, + (/,] (8.10)

Destas equaes, considerando as dimenses das matrizes, por exemplo:

mlAlu ralBjnl

m 2A2U m 2B2112

pode-se perceber a necessidade de inverso de matrizes de ordens ml e u quando somente as observaes Lbi esto disponveis, e as inverses adicionais de ordens m2 e u para a incluso de novas observaes. A partir da pode-se verificar em que condies a aplicao da (8.9) atrativa. Esta verificao deixada para o leitor.

8.2 INJUNES AOS PARMETROS

As injunes so de extrema importncia na soluo de sistemas de equaes lineares que apresentam deficincia de posto (caracterstica), isto , a matriz das equaes normais singular. Em ajustamento usual subdividir as injunes em trs categorias: as injunes absolutas, as injunes relativas e as funcionais.

As injunes absolutas consistem em impor invariabilidade a certas variveis, como por exemplo, fixar os valores das coordenadas de um ponto durante o ajustamento.

As injunes relativas so introduzidas atravs da atribuio de pesos s observaes ou parmetros. Na prtica estas injunes podem substituir

1 4 8 Ajustamento por Mnimos Quadrados

as absolutas com vantagem. Este procedimento permite tratar todos os valores envolvidos em L e X como variveis aleatrias, com as possibilidades de serem considerados totalmente livres (peso nulo) e constantes (peso praticamente infinito), alm da ponderao usual em funo das varincias e covarincias.

As injunes funcionais consistem em impor condies matemticas aos parmetros. A esta dedicar-se- um pouco mais de ateno a seguir:

Considere-se o modelo implcito:

Fi(X a, La) = 0 (8.11)

aos parmetros do qual se quer impor a injuno funcional definidagenericamente por:

F2 (Xa) = 0 (8.12)

O significado dos termos so os j mencionados anteriormente.

A linearizao de ambos os modelos por expanso em srie de Taylor a partir dos pontos (Xo, Lb) e Xo resulta:

A iX + Bi V i + W ! = 0 (8.13)

A 2X + W 2 = 0 (8.14]

Estas equaes matriciais podem ser combinadas num sistema de hiper- matrizes, da forma:

AX + BV + W = 0 (8.15

onde

Qniftffno Dalmolin 149

X A i ' B M ' B ' w = W 1 "

_ 2 _ O . w 1 .(8.16)

0 sistema de equaes normais dado pela equao (7.13), para o caso das equaes (8.16) propiciam o seguinte sistema de equaes normais:

P Bt

B O

O O

O A]

O O

o A,

O A

V~ O"

K, w,

Ki w 21 . X. _ o.

(8.17)

onde surgem dois vetores de correlatos Ki e K2 em conseqncia do modelo matemtico adicional.

Eliminando V deste sistema tem-se:

B P ' B t

O

At,

O At

O A 2

Al O

K i ~wi

k 2 + w 2

_ x_ _ o.

(8.18)

Eliminando Kj deste novo sistema obtem-se:

1 Ai

Ai A T, M 1 A,

Ki' Wi~+_ X_

1

150 Ajustamento por Mnimos QuadrodO J

que pode ser reescrita na forma:

AT, M ~ ' A,

Az

AiO

1 X '

*

5

1______________________________

+Ki . W 'i.

Eliminando desta o X tem-se:

Ki =\a N 1 AiN 1A M 'W.]

(8.21)

(8.22)

q&n*0

0 valoi

easob

Tambempre

Aprc

onde

N = A] M 1 Ai

Da equao (8.20) obtem-se:

X = - n ( A T2 k 2 + a ] m ~' W i )


e da equao (8.17) obtem-se os resduos:

(8.23)

(8.24)

(8.25)

ond W = M W

Quadra ^ Quintin0 Dalmolin 153

(8.31)

jo I

1 j(*.33)

V = - p ' b t K

sarizado Substituindo nestas equaes e por seus valores dados pelas equaes e V so p | 9 e (8-33) tem-se:

BSl x = - p ! a t [m + a p ! a t ] w(8.37 e (8.38)

V = - p b t [m +Ap - . 'A r]'W

Usando as identidades matriciais:(832)

Q = R S T Z

Q 1 = R 1 - R 1 S (T 1 Z R 1 S )' Z R 1 (8.39)

e admitindo a existncia das inversas obtem-se, para a equao (8.37):

x = - p ' At [m ~' rM~l A( p , + A M 'A f ATM~'\ (8.40)

que com operaes algbricas adicionais propicia:

1X = -F! V + F, N(P, * N f ' U (8.41)

A ju x u im r n to por Mttmos Quadrada,

ondeII

U / f M ~ * W f * N * rM~t A (8.42)

Aplicando a identidade matncial

( a + b / ' - a W + b 'jb 1

(A + ' (A -* + B 'V A'1

a equao (8.40) tem-se:

X = - r i U + Fj (Fj + AT'J F! V (843)

e esta equao, aplicando novamente a identidade (839), obtemos, aps simplificaes:

X = -

sj j Quintino Dalmolin 155

I

156 Ajustamento por Mnimos Quadrada

8.4 EXEMPLO DE INJUNES AOS PARMETROS

1. Enunciado

Na tabela abaixo, considere xj, yj, coordenadas das marcas fiduciais calibradas, como constantes e Xj, Yj, coordenadas observadas para as mesmas marcas e para outros pontos.

TABELA 8.1- Coordenadas calibradas e medidas para as marcas fiduciais. Coordenadas observadas para pontos adicionais._______

PontoCoord. Calibradas Coordenadas Medidas

X y X Y

1 -113.000 0.000 -112.266 1.270

2 133.000 0.000 113.869 -0.267

3 0.000 113.000 1.792 113.804

4 0.000 -113.000 -0.177 -112.350

208 -89.750 -0.906

212 -71.918 -37.866

104 -11.516 -87.300

205 -5.276 -0.572

206 ......... -20.588 71.793

Estimar os parmetros das transformaes, a partir dos pontos comuns, e aplic-las aos demais pontos, para as transformaes afim, isogonal e ortogonal, no plano.

Resolver o problema para a transformao afim:

wrMbumo,

fROSs

Quintino Dalmolin

Hiadas das k Jenadasot*^

X

Yat 02

_4 as.

x

yas

O

is para as onais.

e, a partir desta, impondo as injunes (8.12)

ai = a5 e a: = 4

idas Medida estimar os parmetros da transformao isogonal

m

-0^ 67

X

KJ= A

cos# senO - send cos0

oOs

m m

-1123

-0.9

e impondo adicionalmente que

a ) + a \ = /

-37Mestimar os parmetros da transformao ortogonal

-0572

71.793XY]

cosd senO X a s= X +

sen6 cosd. y _O_

(8.50)

(8.51)

(8.52)

(8.53)

(834)

artirdajom uoai Comparar os parmetros e os resultados das coordenadas

transformadas. Criticar os modelos.

2. Soluo

A transformao afim, nas condies propostas , proporciona o modelo paramtrico:

1 58 Ajustamento por Mnimos Quadrados

ou numericamente:

-112.2881.720

113.869-0.267

1.792113.804

-0.177, -112.350.

-113 0 1

0 0 0

113 0 1

0 0 0

0 113 1

0 0 0

0 -113 1

0 0 0

(8.55)

V i

V2v i v 4

ViVfi

V 7

Vs.0 0 0

113 0 1 a \0 0 0 02

113 0 1 a 30 0 0 40 113 1 a$0 0 0 \a*\0 - 1 1 3 0 J

U + V = A X

Coordenadas calibrada das marca fiduciais admitida como constantes

A imp eq u referic

H)

1

As equaes normais correspondentes so:

159

25538 0 0 0 0 0' V 25553.255'0 25538 0 0 0 0 2 - 224.5310 0 4 0 0 0 I 3.218

0 0 0 25538 0 0 4 25555.402

0 0 0 0 25538 0 05 222.497

0 0 0 0 0 4. fl*. L 2.907.

e a soluo resulta:

(8.56)

X =

ai !

a 2

a $

160 Ajustamento por M inimos Quadrados

F2 (Xa) = 0 (8.59)

ouU + V = A X (8.60)

comA2X + W2 = 0 (8.61)

A equao (8.58) caso particular da equao (8.11) e na presente aplicao corresponde a equao (8.55); e a (8.59), em sua forma linear (8.51), dada por:

1 0 0 0 -1 0 0 1 0 1 0 0

a.

a2- a3 'ai a

- a4 _a2 ai.a5

'Mi

(8.62)

onde a* so os parmetros ajustados aproximados.

Os novos parmetros, estimados pela equao (8.24) so:

X a = x + x

N'' A ti P L + N Ai Ki

(8.63) e (8.64)

ladrados

(8.59)

(8.60)

(8.61)

forma

onde Xo representa o vetor dos parmetros ajustados sem a injuno; X o vetor das correes aos parmetros imposta pelas injunes; X* o vetor dos novos parmetros da transformao afim isogonal e K? dado pela equao (8.22) particularizada:

K i = (A i N 1 A l f (W 2 - A , X ' ) (8.65)

Quintino Dalmolin 16)

Os parmetros da transformao afim isogonal X, dados pela (8.63), tem a principal parcela Xo, do segundo membro j estimada do

esente ajustamento da transformao afim. Resta estimar a segunda parcela

X N 1 A l Kj (8.66)

0 vetor K2 (multiplicador de Lagrange das injunes, tambm chamado dc vetor dos correlatos), estimado para o problema cm pauta pela equao (8.65), :

K2 =1.0452151.017001

.6 4 )

X = A T 'A K 2

0.000041

0.000040

0.0000000.000040

-0.000041

0.000000

Os parmetros estimados da transformao isogonal sero:

162 Ajustamento por Mnimos Quadnadu

1.000641

0.008750

0.0804250

- 0.008750

1.000641

0.726375

(8.67)

Por ltimo, impondo a injuno (8.53), (no linear, e que acarneu iterao no ajustamento ) com procedimento semelhante ao anterior, temos o modelo linear das injunes,

/ 0 0 0 -7 00 1 0 1 0 0

2ai o _o 2 a2 0 0 0 0

dai da 2 da 3da4 das da 6

o _o

a p p p Dotmolm 163

e tomando como pontos de expanso para a linearizao das duas fones (a original e a injuno) o vetor dos parmetros da transformao afim sub-dividido em duas parcelas X** e Xo:

f 0.000599

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