Logaritmos

Marlúbia de PaulaAcadêmica de Matemática – UPF

Logaritmos

Regra de três Todo assunto deve ser apresentado:

geométrica, numérica, algebricamente.

Objetivo:Recuperar o conteúdo matemático.

Logaritmos O que é? Qual é a sua utilidade ? Onde encontro informações?

“ Segundo o Modo de Arquimedes, definições e procedimentos formais decorrem de problemas práticos. ”

Objetivo: Recuperar a compreensão prática.

O que é um logaritmo?

Na verdade, a idéia de logaritmo é muito simples, e pode-se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação para expoente.

*Procurando um expoente?

Trate de achar o logaritmo!

* Antonio dos Santos Machado é professor de matemática do Curso Intergraus .

Origem

Os logaritmos foram inventados por volta de 1615, quando já havia grande desenvolvimento da navegação, do comércio, da astronomia, entre outros setores do conhecimento. Um astrônomo, por exemplo, podia saber quais eram os cálculos que tinham de fazer, mas às vezes, levava meses para obter o resultado. Assim quando surgiram os logaritmos, um grande astrônomo da época, um austríaco chamado Jahannes Kepler(1571-1630), saudou os logaritmos com muito entusiasmo, afirmando que reduziam consideravelmente o tempo que ele tinha de dispensar aos cálculos.

Quem criou?

O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês, Henry Briggs (1561-1630).

Briggs

Henry Briggs foi um matemático inglês, nasceu em fevereiro de 1561, e morreu em 26 de janeiro de1630.

Foi o homem mais responsável pela aceitação dos LOGARITMOS pelos cientistas. Briggs foi educado na Universidade de Cambridge e foi o primeiro professor de geometria na Faculdade de Gresham, Londres.

Em 1619 ele foi designado o professor de geometria em Oxford.

Briggs publicou trabalhos em navegação, astronomia, e matemática. Ele propôs os logaritmos "comuns", com base dez, e construiu uma tabela de logaritmos que foi usada até o século 19.

John Napier

John Napier nasceu em 1550, e morreu dia 4 de abril de 1617.

Era um matemático escocês. Foi o inventor dos LOGARITMOS. Ele foi educado na universidade de St. Andrew na Europa. Em 1571,

Napier voltou à Escócia e se dedicou à sua corrente propriedade e tomou parte nas controvérsias religiosas do tempo.

Ele era um protestante fervente e publicou a influente Descoberta de Plaine de toda revelação de St.John (1593).

Seu estudo de matemática era, portanto, só um passatempo.

Em 1614, Napier publicou o seu Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Uma Descrição do Maravilhoso Cânon de Logaritmos) que conteve uma descrição de logaritmos, um conjunto de tabelas, e regras para o uso deles. Napier esperou que, por meio dos seus logaritmos, ele salvaria os astrônomos por muito tempo e os livraria dos erros de cálculos. Suas tabelas de logaritmos de funções trigonométricas foram usadas durante quase um século.

...

Napier apresentou outro método de simplificar cálculos no seu Rabdologiae (1617). Nesse ele descreveu um método de multiplicação que usa barras com números marcados nelas. As barras de Napier, às vezes foram feitas de marfim, então elas pareciam ossos, e conduziram ao nome de ossos de Napier (Napier's bones). Multiplicação eram feitas colocando os ossos apropriados lado a lado, e lendo os produtos apropriados. Essencialmente este dispositivo era uma tabela de multiplicar com partes móveis. Napier também fez contribuições à trigonometria esférica, achou expressões exponenciais para funções trigonométricas, e foi influente na introdução da notação decimal para frações.

Bibliografia: Ball, W. W. R., A Short Account of the History of Mathematics (1908; repr. 1960); Bell, E.T., Men of Mathematics (1937; repr. 1986).

Logos = razão Arithmos = números

Coloque-se em 1600 e imagine que você tivesse de fazer o seguinte cálculo: considere o fator de que ainda não existe calculadora!

=÷××11 7 932)70856,431536(

( )11

96941,2

85034,3763949,118639,3

11

7

10

101010

932

70856,431536 ××=××

Mas em que os logaritmos facilitaram o cálculo?

Vamos trocar os valores, do cálculo por potências de base 10,retiradas da tábua de logaritmos(1615 - data em que surgiram as primeiras tabelas).

Assim:

log 1536= 3,18639

log 43,6= 1,63949

log 7085 = 3,85034

log 932 = 2,96491, então substituindo, temos que:

...e após substituir os valores por potências,

verificamos que:

9,25101010

10 413,111

54372,15

1196941,2

51313,18

≅==

E as máquinas de calcular?

Uma das primeiras máquinas de calcular foi inventada anos depois em 1642, por um matemático francês:

Blaise Pascal(1623-1662)

Motivação para criar a calculadora: Blaise era filho de um coletor de impostos, assim para facilitar as contas de seu pai, criou a máquina de calcular, mas a mesma só realiza operações de soma e subtração e evidentemente era de manivelas .

Pascal

A história de Pascal...

Blaise Pascal foi um Filósofo e Matemático francês, nasceu em Clermont em 1623 e morreu em 1662 na cidade de Paris. Era filho de Etienne Pascal, também Matemático. Em 1632, toda a família foi viver em Paris.

O pai de Pascal, que tinha uma concepção educacional pouco ortodoxa, decidiu que seria ele próprio a ensinar os filhos e que Pascal não estudaria Matemática antes dos 15 anos, pelo que mandou remover de casa todos os livros e textos matemáticos. Contudo, movido pela curiosidade, Pascal começou a trabalhar em Geometria a partir dos 12 anos, chegando mesmo a descobrir, por si, que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos retos. Então o seu pai resignou-se e ofereceu a Pascal uma cópia do livro de Euclides.

Aos catorze anos, ...

..., Pascal começou a acompanhar o seu pai nas reuniões de Mersenne, onde se encontravam muitas personalidades importantes. Aos 16 anos, numa das reuniões, Pascal apresentou uma única folha de papel que continha vários teoremas de Geometria Projetiva, incluindo o hoje conhecido como "Hexagrama místico" em que demonstra que "se um hexágono estiver inscrito numa cônica, então as intersecções de cada um dos 3 pares de lados opostos são colineares". Em Fevereiro de 1640 foi publicado este seu trabalho – "Ensaio sobre secções cônicas", no qual trabalhou durante 3 anos

Em 1639 a família de Pascal deixou Paris e mudou-se para Rouen, onde o seu pai tinha sido nomeado coletor de impostos da Normandia Superior.

Mas aos dezoito anos,...

Aos dezoito anos e com o objetivo de ajudar o pai na tarefa de cobrar impostos, Pascal inventou a primeira máquina digital, chamada Pascalinne para levar a cabo o processo de adição e subtração, e posteriormente organizou a produção e comercialização destas máquinas de calcular (que se assemelhava a uma calculadora mecânica dos anos 40). Pelo menos sete destes «computadores» ainda existem; uma foi apresentada à rainha Cristina da Suécia em 1652.

Quando o seu pai morreu em 1651, Pascal escreveu a uma das suas irmãs uma carta sobre a morte com um profundo significado cristão em geral e em particular sobre a morte do pai. Estas suas ideias religiosas foram a base para a sua grande obra filosófica "Pensées" que constitui um conjunto de reflexões pessoais acerca do sofrimento humano e da fé em Deus.

Em Física destacou-se pelo seu trabalho "Tratado sobre o equilíbrio dos líquidos" relacionado com a pressão dos fluídos e hidráulica. O princípio de Pascal diz que a pressão em qualquer ponto de um fluido é a mesma, de forma a que a pressão aplicada num ponto é transmitida a todo o volume do contentor. Este é o princípio do macaco e do martelo hidráulicos.

Triângulo aritmético...

Pascal estudou e demonstrou no trabalho do "Triângulo aritmético", publicado em 1654, diversas propriedades do triângulo e aplicou-as no estudo das probabilidades. Antes de Pascal, já Tartaglia usara o triângulo nos seus trabalhos e, muito antes, os matemáticos árabes e chineses já o utilizavam. Este famoso triângulo que se pode continuar indefinidamente aumentando o número de linhas, é conhecido como Triângulo de Pascal ou Triângulo de Tartaglia. Trata-se de um arranjo triangular de números em que cada número é igual à soma do par de números acima de si. O triângulo de Pascal apresenta inúmeras propriedades e relações, por exemplo, "as somas dos números dispostos ao longo das diagonais do triângulo geram a Sucessão de Fibonacci.

Seu último trabalho foi sobre a Ciclóide...

Em correspondência com Fermat, durante o Verão de 1654, Pascal estabeleceu os fundamentos da Teoria das Probabilidades. O seu último trabalho foi sobre a Ciclóide – a curva traçada por um ponto da circunferência que gira, sem escorregar, ao longo de uma linha reta. Durante esse ano desinteressou-se pela ciência; passou os últimos anos da vida a praticar caridade e decidiu dedicar-se a Deus e à religião. Faleceu com 39 anos devido a um tumor maligno que tinha no estômago se ter estendido ao cérebro.

Fontes:Grande Enciclopédia Portuguesa Brasileira, Editorial Enciclopédia Lda.Boursin, Jean-Louis. Dicionário elementar de matemáticas modernas. Publicações Dom Quixote.Jorge, A., Alves C. , Fonseca, G., Barbedo, J. Infinito 12. Areal Editores.

Entendendo as propriedades operatórias ...

Você observou que para realizar o cálculo anterior, apenas somamos os expoentes das potências de base dez, ou seja:

Se trabalharmos com produto de logaritmos de mesma base, reduzimos a questão a multiplicação de potências de mesma base.

3log2log32log

,477,03log301,02log 1010

+=×==

então

eSe

Se trabalharmos com divisão de logaritmos de mesma base, Se trabalharmos com divisão de logaritmos de mesma base, ficamos reduzidos a subtração de expoentes.ficamos reduzidos a subtração de expoentes.

301,0477,02

3log10 −=

Como verificar que:

?

301,0

0,3155

0,3333

0,3562

0,3869

0,4307

0,5000

0,6309

11

10

9

8

7

6

5

4

3

Henry BriggsConstrução da Tábua de Logaritmos Decimais

(primeira tabela foi publicada em 1617)

Média Geométrica : Dados dois números, a e b(≠0) a média geométrica deles é sempre um número situado ente a e b (Intervalo Numérico).

Briggs, considerou a existência da média geométrica e começou encontrando uma potência de base 10 que é inferior a 3 e outra que é superior a 3.

100 = 1 10? = 3 101 = 10

A seguir, Briggs obteve a média geométrica dos números que estão apresentados nas extremidades do esquema, calculando a média geométrica de dois modos diferentes:

Briggs e a tábua de logaritmos...

11623,331

10101010

10,

,

10101010)

)(

1623,31010101)

15,0?0

?

5,02

110

oestáquaisasentrepotênciascontém

queextremosdoisdevaloresossverificamoAssim

b

conhecidoeraraízesdecálculoo

ea

==×

==×

Refazendo médias ... Aproximando extremos...

1623,3377,11

10101010

.1010

10101010)

7783,11623,31)

5,0?25,00

?0

25,02

5,05,00

eentredocompreendivalordomaispoucoum

oaproximandnosestamosquesverificamoAssim

d

c

==×

=×

É necessário refazer as médias... (várias vezes...)

1623,3337,2

101010

.1010

3714,21623,37783,1)

10101010)

5,0?375,0

?0

375,02

75,05,025,0

eentredocompreendivalordomaispoucoum

oaproximandnosestamosquesverificamoAssim

f

e

=×

==×

médias...

1623,3337,2

101010

.1010

3714,21623,37783,1)

10101010)

5,0?375,0

?0

375,02

75,05,025,0

eentredocompreendivalordomaispoucoum

oaproximandnosestamosquesverificamoAssim

f

e

=×

==×

Esta é a quarta média...

1623,337384,2

101010

.1010

7384,21623,33714,2)

10101010)

5,0?4375,0

?0

4375,02

875,05,0375,0

eentredocompreendivalordomaispoucoum

oaproximandnosestamosquesverificamoAssim

h

g

=×

==×

quinta , sexta média...

0505,339427,2

101010

.intlim

0505,31623,39427,2)

101010)

1623,339427,2

101010

9427,21623,37384,2)

10101010)

4844,0?46875,0

484375,05,04688,0

5,0?46875,0

46875,02

9375,05,04375,0

ervalododireitoitedoalteraçãohouvemomentoNeste

m

l

j

i

=×

=×

=×

==×

Sétima, oitava,...

009,33996,2

101010

009,3023,3996,2)

10101010)

0505,33996,2

101010

996,20505,39427,2)

10101010)

0505,339427,2

101010

4785,0?4766,0

4785,02

9571,04805,04766,0

4844,0?4766,0

4766,02

95315,04844,046875,0

4844,0?46875,0

=×

==×

=×

==×

q

p

o

n

Nona,décima,...

dqc

queafirmarpodemosfinalmenteassim

u

t

s

r

..

.477,03log

002,339989,2

101010

9989,2002,3996,2)

10101010)

002,33996,2

101010

002,3009,3996,2)

10101010)

009,33996,2

101010

47755,0?47755,0

477075,02

95415,047755,04766,0

47755,0?4766,0

4775,02

9551,04785,04766,0

4785,0?4766,0

=

=×

==×

=×

==×

Leituras diferentes de mesmas quantidades!

Se ao chegar no açougue pedíssemos 100,477 Kg de carne, isto seria equivalente a comprar 3 Kg.

Se ao invés de escrevermos (10 - 4) =6, usássemos a linguagem logarítmica, uma opção seria dizer:

6625log1024log5

12 =+

Resolvendo logaritmos...

.logmin6251024

,log,log5

12

4

5510

6255

122

625log1024log

4

10

5

12

−

−===

=

=

==

−

antiadosdenoenúmerosose

aritmooxsendoaritmodobasesas

mrepresentaenúmerososcasoNeste

x

x

xx

x

xx

Observando os possíveis valores de um logaritmo.

Se o anti-log for um decimal, o log será negativo.

( 0 < N < 1 )

Ex.: log2 ½=x

Se o anti-log for 1, o log é zero. Se o anti-log for zero, o log não existe. Se o anti-log for igual a base, o log é 1. Condição de Existência: base > 0 e ≠ 1, N >0 .

AplicaçõesProblema 1:

UEFS 2000.2 – A escala Richter é usada, desde 1935, para medir a intensidade de um terremoto através da fórmula

I = (2/3). Log 3 (E / k), em que E é a energia liberada pelo terremoto; k, uma constante, sendo E e k medidas em kWh – quilowatt-hora.

Sabendo-se que, em duas cidades, X e Y, foram registrados terremotos que tiveram intensidades iguais a, respectivamente, 4 e 8 na escala Richter e sendo Ex a energia liberada em X e Ey a energia liberada em Y, pode-se afirmar:

A) Ey = 2Ex B) Ey = 28Ex C) Ey = 32Ex D) Ey = 33Ex E) Ey = 36Ex

...

Solução:

Temos que IX = 4 e IY = 8, pelo enunciado do problema.

Substituindo na fórmula do enunciado, vem:

4 = (2/3).log3(EX / k) ∴4 / (2/3) = log(EX / k) ∴ log 3(EX / k) = 68 = (2/3).log3(EY / k) ∴8 / (2/3) = log(EX / k)∴ log 3(EY / k) = 12

Já sabemos de Logaritmos que se log bN = x,então b x = N.

Logo,

De log3(EX / k) = 6 tiramos EX / k = 36

De log3(EY / k) = 12 tiramos EY / k = 312

...solução problema 1

Dividindo membro a membro as expressões , fica:

(EX / k) / (EY / k) = 36 / 312

Efetuando as divisões indicadas no primeiro e segundo membros, vem:

Nota: lembre-se que para dividir duas frações, multiplicamos a primeira pelo inverso da segunda. Teremos então:EX / EY = 36 : 312 = 36-12 = 1 / 36

Nota: Lembre-se que a-n = 1 / an

Daí vem imediatamente que:

EX / EY = 1 / 36 ⇒ EY / EX = 36 ⇒ EY = 36.EX

Ainda problema 1...

E é a alternativa correta.

Nota:

A escala logarítmica Richter foi criada em 1935 para avaliar a energia liberada por terremotos, pelo norte-americano Charles Richter (1900 – 1985).

Sabe-se que um terremoto medindo 5 graus na escala Richter pode ser destrutivo.

Assim sendo, pelo enunciado do problema acima, a cidade Y, provavelmente foi destruída! Bastava 5!

Paulo Marques, 28 de agosto de 2001 – Feira de Santana – BA.

Aplicação 2 :

Qual o número de algarismos de

Solução:

Seja x = 2 2000 . Podemos escrever: log x = log 2 2000 e daí, log x = 2000 . Log2

Ocorre que log 2 = 0,3010 ou seja, o logaritmo decimal de 2 é igual aproximadamente a 0,3010.

?22000

Continuando...

Nota:

O logaritmo decimal de 2 ou seja, log 2 é, na verdade, um número irracional e, por isto, só poderemos conhecer os seus valores aproximados,pois

log 2 = 0,30102999566398119521373889472449... é formado por um número infinito de casas decimais.

O valor acima foi obtido na calculadora científica do Windows.

Os logaritmos decimais são obtidos das tábuas ou através de calculadoras científicas.

... Então, retornando ao exercício:

x = 2 2000

log x = log 2 2000

log x = 2000.log 2 = 2000.0,3010 = 602,0000 e, como a parte inteira do logaritmo decimal de x = 2 2000 é 602,

o número x possui 602 + 1 = 603 algarismos.

Resposta: 2 2000 possui 603 algarismos.

Aplicação 3:

Qual o número de algarismos de 32 1000 ?

Solução:

Seja x = 32 1000. Observe que poderemos escrever x = (2 5)1000 = 25000

Portanto, x = 25000 e, aplicando logaritmo decimal a ambos os membros, fica:

log x = log 25000 = 5000 . log 2 e como já sabemos que o valor aproximado de log 2 é 0,3010, vem: log x = 5000 . 0,3010 = 1505, 0000Portanto, pelo mesmo raciocínio do exercício anterior, o número 321000 possui 1505 + 1 = 1506 algarismos.

Resposta: 321000 possui 1506 algarismos.

Curiosidade:...

No ano de 1938, o matemático americano Edward Kasner (1878 – 1955), criou a expressão googol (aportuguesada para gugol), para expressar o número 10 elevado a 100, ou seja, segundo o professor Kasner, 1 gugol = 10100.

Qual o número de algarismos de 100 gugóis?Solução:Sendo 1 gugol igual a 10100 , 100 gugóis será :

x = 100 . 10100 = 102 . 10100 = 10102

x = 10102

Aí não precisa nem aplicar logaritmos, pois 10102 é igual ao número 1 seguido de 102 zeros. Portanto, 10102 possui 103 algarismos.

Nota: 10n para n natural possui (n + 1) algarismos (1 seguido de n zeros).

Aplicação 4:

Admitamos que uma aplicação em caderneta de poupança renderá 20% ao ano daqui por diante.

Isso significa que uma quantia C aplicada hoje se transformará num saldo de 1,2 C daqui a 1 ano, (1,2)2 C daqui a 2 anos, (1,2) 3 C daqui a 3 anos, e assim por diante.

Em quantos anos teremos o quádruplo da quantia inicial?

Para responder, precisamos calcular o número n de anos na equação (1,2)n C = 4C, portanto em (1,2)n = 4.

Procuramos, então, o expoente que devemos dar à base (1,2) para que a potência resultante, (1,2)n, seja igual a 4.

Tal expoente é o logaritmo de 4 na base 1,2. Indicamos n = log 1,24

Continuação ...

Nos vestibulares, por não ser permitido o uso de calculadoras, costuma-se colocar como dados os logaritmos decimais (de base 10) necessários para que se calcule o logaritmo desejado.

Nesse caso, poderiam ser dadoslog 2 = 0,30 e log 3 = 0,48 (em logaritmos decimais não escrevemos a base 10).

Para o cálculo de n, aplicamos as propriedades dos logaritmos começando pela mudança de base.

n = log1,24 = log 4/log 1,2log 4 = log(2 2) = 2 log 2 = 2 x 0,30 = 0,60 log (1,2) = log (22.3.10-1) = 2 log 2 + log 3 - log 10 = 0,08

Logo, n = 0,60/0,08 = 7,5 A quantia inicial estará quadruplicada daqui a sete anos e meio. E

lembre: o problema é calcular um expoente, a solução é um logaritmo!

* Antonio dos Santos Machado é professor de matemática do Curso Intergraus

Gráficos de logaritmos:

Informações sobre os gráficos:

Primeiro gráfico:

x2>x1 ⇒ y2>y1

(as desigualdades têm mesmo sentido) f(x) é crescente e Im=IR

Para quaisquer x1 e x2 do domínio

Segundo gráfico: (x) é decrescente e Im = IR

Para quaisquer x 1 e x 2 do domínio:

X2>x 1 ⇒ y2<y1

(as desigualdades têm sentidos diferentes)

Exercícios sobre log : Vestibular

– VUNESP – Se log 8 = 0,903 e log 70 = 1,845, então log 14 é igual a:

a) 1,146b) 1,164c) 1,182d) 1,208e) 1,190

Solução:

Observe que 14 = 2x7. Portanto,log 14 = log (2.7) = log 2 + log 7

Como log 8 = 0,903, poderemos escrever:log 2 3 = 0,903 ∴ 3.log 2 = 0,903 ∴ log 2 = 0,903/3log 2 = 0,301

Continua ...

Como log 70 = 1,845, poderemos escrever:log 70 = log (7.10) = log 7 + log 10 = 1,845

Como o logaritmo decimal de 10 é igual a 1, ou seja,log 10 = 1, vem imediatamente por substituição:

log 7 = log 70/10 = log 70 – log 10 = 1,845 -1 ∴ log 7 = 0,845.

Finalmente, log 14 = log (2.7) = log 2 + log 7log 14 = 0,301 + 0,845 = 1,146

Exercício 2 - Vestibular

CESGRANRIO – As indicações R1 e R2, na escala Ritcher, de dois terremotos estão relacionadas pela fórmulaR1 – R2 = log(M1/M2), onde M1 e M2 medem a energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Houve dois terremotos: um correspondente a R1 = 8 e outro correspondente a R2 = 6. Então, a razão (M1/M2) vale:

a) 100b) 2c) 4/3d) 10e) 1

Solução: Decorre imediatamente do enunciado que:

8 – 6 = log (M1/M2) = 2.Logo, ( M1 / M2) = 102 = 100.

Exercício 3: Vestibular

Mackenzie – O volume de um líquido volátil diminui de 20% por hora. Após um tempo t, seu volume se reduz à metade. O valor que mais se aproxima de t é:

a) 2h 30 minb) 2hc) 3hd) 3h 24 mine) 4h

Dado: log 2 = 0,30.

...

Solução: Seja Vo o volume inicial do líquido.

Teremos para o volume V, lembrando que100% - 20% = 80% = 0,80:Após 1 hora: V = 0,80.VOApós 2 horas: V = (0,80).(0,80.VO) = (0,80)2.VO..............................................

Após n horas: V = (0,80)n.Vo Quando o volume for a metade do volume inicial, teremos V = Vo/2

Substituindo, fica:Vo/2 = (0,80)n . Vo

Simplificando, vem: 1/2 = (0,80)n

Continua

Aplicando logaritmo decimal a ambos os membros, vem: log(1 /2) = log (0,80)n

log 1 – log2 = n.log 0,80 log 1 – log 2 = n . log (8/10)

log 1 – log 2 = n.(log 8 – log 10) log 1 – log 2 = n.(log 23 – log 10)

log 1 – log 2 = n.(3.log 2 – log 10) Como log 1 = 0 e log 10 = 1, vem:

- log 2 = n.(3.log 2 – 1) Substituindo o valor de log 2 = 0,30, fica:

- 0,30 = n.[3.(0,30) – 1]-0,30 = n.(0,90 – 1)-0,30 = - 0,10.nn = -0,30/(-0,10) = 3hn = 3h

Exercício 4:

Resolva a equação seguinte:

log2(x2 + 2x – 7) – log2(x – 1) = 2

Solução: Aplicando a propriedade de logaritmo de quociente, ou seja:

logbA – logbB = logb(A/B), vem:log2[(x2 + 2x – 7)/(x – 1)] = 2

Lembrando que se logbN = c então bc = N, vem:22 = [(x2 + 2x – 7)/(x – 1)4(x – 1) = x2 + 2x – 74x – 4 - x2 - 2x + 7 = 02x – x2 + 3 = 0x2 - 2x - 3 = 0

...

Resolvendo esta equação do segundo grau, vem imediatamente: x = 3 ou x = -1

Observe que a raiz x = -1 não serve ao problema, pois na equação dada, log2(x2 + 2x – 7) – log2(x – 1) = 2,

... substituindo x por –1, as expressões entre parênteses seriam negativas e, como sabemos, não existe logaritmo de número negativo.

Assim, a única solução da equação proposta é x = 3.

Exercício 5: Vestibular

FUVEST – Se log 8 = a então log 5 vale:

a) a3

b) 5 a – 1c) 1 + a/3d) 2 a/3e) 1 – a/3

Solução: Podemos escrever:

log 2 3 = a ∴ 3.log 2 = a ∴ log 2 = a/3 Ora, 5 = 10/2 e, portanto,

log 5 = log(10/2) = log 10 – log 2 = 1 – a/3.

Resposta: log 5 = 1 – a/3

Exercício 6:

Determinando o número de algarismos

Determine o número de algarismos do número N = 212 . 58

Solução:

Tomemos o logaritmo decimal de ambos os membros da igualdade:

log N = log (2 12 . 5 8 )

Aplicando as propriedades usuais dos logaritmos, vem:

log N = log 2 12 + log 5 8

log N = 12 . log 2 + 8 . log 5

...

Mas, 5 = 10 / 2, logo:

log N = 12 . log 2 + 8 . log (10 / 2)log N = 12 . log 2 + 8 (log 10 – log 2)

Mas, log 10 = 1, de onde vem:log N = 12 . log 2 + 8 (1 – log 2)

Desenvolvendo o segundo membro , fica:log N = 12 . log 2 + 8 – 8 . log 2

....

Simplificando, teremos:log N = 4 . log 2 + 8

Tomando o valor aproximado do logaritmo decimal de 2 que é igual a log 2 = 0,3010 e substituindo, fica:

log N = 4 . 0,3010 + 8 = 1,2040 + 8 = 9,2040log N = 9,2040

Daí tiramos da definição de logaritmo :

N = 10 9,2040 = 10 9 . 10 0,2040

...

É claro que o número 10 0,2040 é um número entre 1 e 10 pois 10 0 < 10 0,2040 < 10 1 , ou seja:

1 < 10 0,2040 < 10

e, portanto, possui apenas um dígito. Claro que este número multiplicado por 10 9 resultará num número seguido de 9 zeros, portanto, ele terá 10 algarismos.

Agora resolva este:

Quantos algarismos possui o número 10241024 ?Sugestão: observe que 1024 = 2 10

Resposta: 3083 algarismos

Exercício 7

Resolva a equação abaixo em R (conjunto dos números reais) :

log16x + logx2 = 5/4

Solução:

Sabendo-se que:

logbN = logaN / logab (fórmula da mudança de base),poderemos escrever para log16x :

log16x = log2x / log216 = log2x / 4, uma vez que log216 = 4, pois 24 = 16.

Substituindo na expressão original, vem:

logx2 + log2x / 4 = 5/4

...

Multiplicando ambos os membros por 4, (para eliminar o denominador 4), fica:

4.logx2 + log2x = 5

Lembrando que logba = 1 / logab , entenderemos facilmente que

logx2 = 1 / log2x

Substituindo novamente, vem:

4 / log2x + log2x = 5

Fazendo log2x = y (uma mudança transitória de variável), vem:

4 / y + y = 5

...

Supondo y ≠ 0, poderemos multiplicar ambos os membros da igualdade acima por y, para eliminar o denominador y.

Teremos então:

4 + y2 = 5y , ou passando 5y para o primeiro membro:

y2 – 5y + 4 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau acima, encontraremos:

y = 4 ou y = 1

Ora, já sabemos que y = log2x (devido à mudança de variável feita acima) e, portanto:

log2x = 4 OU log2x = 1

...

Daí, da definição de logaritmo, concluímos inevitavelmente que:

x = 24 ou x = 21 ∴ x = 16 ou x = 2.

Logo, o conjunto solução (ou conjunto verdade) do problema apresentado é:

S = { 2; 16 }.

Paulo Marques, 29 de março de 2002 – Feira de Santana - BA

Exercício 8

Quantos algarismos terá a potência 4040 ?

Dado: log 2 = 0,3010

A) 40B) 50C) 60D) 65E) 1600

... Solução:

4040 = 40.40.40. ... .40 (produto com 40 fatores).

Vamos calcular o logaritmo da potencia dada:

log 4040 = 40.log 40

Observando que 40 = 4.10 = 22.10, podemos escrever:log 4040 = 40.log 40 = 40.log(22.10)

log 4040 = 40.(log 22 + log 10) = 40(2.log 2 + log 10) Como log 2 = 0,3010, porque 100,3010 = 2 e log 10 = 1, 101 = 10, vem,

substituindo os valores log 4040 = 40(2.0,3010 + 1) = 40.1,6020 = 64,0800

Como a característica de log 4040 é igual a 64 (parte inteira do logaritmo decimal), concluímos que ele possui 65 algarismos. Portanto, alternativa D.

Paulo Marques, 01 de julho de 2001 – Feira de Santana - BA

Determinando um logaritmo numa calculadora científica

A questão a seguir, compareceu num vestibular da UERJ e foi enviada por um visitante da página através e-mail de 13/01/2004, solicitando a resolução.

UERJ – Em uma calculadora científica de 12 dígitos, quando se aperta a tecla LOG, aparece no visor o logaritmo decimal do número que estava no visor. Se a operação não for possível, aparece no visor a palavra ERRO. Depois de digitar 42 bilhões, o número de vezes que se deve apertar a tecla LOG para que no visor apareça ERRO pela primeira vez é:

a) duas vezes b) três vezesc) quatro vezesd) cinco vezese) oito vezes

...

Solução: Já sabemos que o logaritmo decimal de um número positivo N é

indicado por log N, que representa o logaritmo de N na base 10. Já sabemos que se log N > 0 então N > 1 e que se log N < 0 então 0 < N < 1.

Seja Ai o número que aparece no visor da calculadora no i-ésimo toque na tecla LOG, ou seja, no toque de ordem i da tecla LOG. Por exemplo, no primeiro toque, A1, no segundo toque, A2, no terceiro toque, A3 e assim sucessivamente.

Vamos considerar que o número introduzido na calculadora para o cálculo do log sejaA0 = 48 bilhões = 48 000 000 000 = 4,8.1010.

...

Teremos então: A0 = 48 000 000 000 = 4,8.1010

A1 = log A0 = log (4,8.1010) = log4,8 + log1010 = 10 + log4,8Então:A2 = log A1 = log (10 + log4,8)

Ora, como 100 < 4,8 < 101, podemos concluir que log 4,8 será uma número entre 0 e 1 e, portanto, da forma 0,m (um número decimal entre 0 e 1).

Então, A1 = 10 + log4,8 = 10 + 0,m = 10,m , que é um número entre10 = 101 e 100 = 102.

...

Nestas condições, teremos:

A2 = log A1 = log (10,m)

Como 101 < 10,m < 102 , podemos concluir que l < log(10,m) < 2, ou seja,

log (10,m) será um número entre 1 e 2 e portanto da forma 1,n (um

número decimal entre 1 e 2), ou seja log A2 = 1,n.

... Portanto,

A3 = log A2= log (1,n) Como 1,n é um número decimal entre 1 = 100 e 10 = 101, podemos

afirmar que log (1,n) será um número decimal entre 0 e 1, ou seja, da forma 0,p .

Portanto, A3 = 0,p A4 = log A3 = log (0,p)

Ora, como 0,p é um número decimal entre 0 e 1 ou seja 0 < 0,p < 1, já sabemos que o resultado será um número negativo pois o logaritmo decimal de N, para N entre 0 e 1 é negativo. Portanto, A4 é menor do que zero, ou seja, um número negativo.

...

Logo, A 5 = log A 4 e como A 4 é negativo (menor do que zero) e já sabemos que não existe logaritmo decimal de número negativo, a calculadora vai apresentar mensagem de ERRO.

Portanto, na quinta vez - o que corresponde a A 5 - ao teclar LOG

vai dar ERRO no visor da calculadora, o que nos leva tranqüilamente à alternativa D.

Então, A1 = 10 + log4,8 = 10 + 0,m = 10,m , que é um número entre 10 = 101 e 100 = 102.

Nestas condições, teremos:A2 = log A1 = log (10,m) Como 101 < 10,m < 102 , podemos concluir que l < log(10,m) < 2, ou seja, log (10,m) será um número entre 1 e 2 e portanto da forma 1,n (um número decimal entre 1 e 2), ou seja log A2 = 1,n.

Ainda resolvendo, vestibulares...

Agora resolva este da FUVEST na década de 90:

FUVEST 1990) Pressionando a tecla LOG de uma calculadora, aparece no visor o logaritmo decimal do número que estava no visor. Digita-se inicialmente o número 88888888 (oito oitos). Quantas vezes a tecla LOG precisa ser pressionada para que apareça a mensagem de erro?

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

Resposta: B

Paulo Marques, 14 de janeiro de 2004 – Feira de Santana - BA

PROBLEMA interessante !

Se um cavalo engorda 10% ao mês quando ele vai dobrar seu peso?

Dados: log 1,1 = 0,041 log 2 =0,301

X + 10% de x = 1x + 0,1x= 1,1x

Dobrar o peso: 2x= x 1,1 logo 0,041n= 0,301

N= 0,301 => 7,341 0,041

Assim: ele duplicará seu peso em 7 meses e 10,23 dias.

Portanto, não é preciso sentir-se perdido, existem inúmeros sites... Sobre logaritmos

www.matematica.com.br

www.intergraus.com.br

www.uol.com.br

Para concluir ...

CINCO BOLASCINCO BOLAS

Seguem alguns trechos da Seguem alguns trechos da palestra de palestra de BrianBrian DysonDyson, ,

exex --presidente da presidente da CocaCoca--cola, que aconteceu cola, que aconteceu

em conferência numa em conferência numa Universidade Americana, Universidade Americana,

onde ele falou sobre a onde ele falou sobre a relação entre o trabalho e relação entre o trabalho e outros compromissos da outros compromissos da

vida.vida.

E ...

Sejamos todos muito felizes!

Muito Obrigada! Com carinho, Marlúbia de Paula