Logaritmos - Lenimar N Andrade

7/31/2019 Logaritmos - Lenimar N Andrade

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Calculando logaritmos de uma forma eficiente

Lenimar Nunes de AndradeUFPB - Joao Pessoa

e-mail: [email protected]

7 de abril de 2007

Resumo

Assim como existem formulas com a funcao trigonometrica arco-

tangente que sao usadas no calculo do valor de , existem formulas que

envolvem a funcao arco-tangente hiperbolica que sao uteis no calculo

de logaritmos. Neste artigo, destacamos a utilizacao dessas formulas

no calculo de logaritmos de alguns numeros.

1 IntroducaoDesde o seculo XVII que os logaritmos vem sendo utilizados. Seu calculo

despertou a atencao de matematicos famosos como Newton, Euler, entreoutros.

Os valores dos logaritmos de varios numeros eram publicados em forma delongas tabelas chamadas tabuas de logaritmos. Devido as propriedades doslogaritmos, a utilizacao dessas tabelas tinha por objetivo facilitar calculosonde apareciam multiplicacoes, divisoes, potencias e razes.

Como as tabuas de logaritmos sao construdas e a maneira como as cal-culadoras ou computadores os calculam e algo que sempre chama a atencaodos curiosos.

Neste artigo apresentamos algumas formulas que podem ser usadas paracalcular logaritmos de uma forma eficiente, ou seja, com poucas operacoesaritmeticas envolvidas e boa precisao numerica dos resultados obtidos.

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2 A funcao arco-tangente hiperbolica

A funcao arco-tangente hiperbolica arctgh(x) pode ser definida por

arctgh(x) =1

2ln

1 + x

1 x

,

onde ln(x) = loge(x) representa o logaritmo natural de x.

Em geral, para toda formula envolvendo uma funcao trigonometrica existeuma formula analoga envolvendo uma funcao hiperbolica. Por exemplo, apartir das conhecidas formulas para o calculo da soma dos termos de umaprogressao geometrica infinita com |x| < 1

1

1 + x2= 1 x2 + x4 x6 + x8

e1

1 x2= 1 + x2 + x4 + x6 + x8 +

podemos obter as formulas

arctg x =

k=0(1)kx2k+1

2k + 1= x

x3

3+

x5

5

x7

7+

x9

9

e

arctgh x =k=0

x2k+1

2k + 1= x +

x3

3+

x5

5+

x7

7+

x9

9+ .

Uma formula muito utilizada para calcular o valor de e a formula deMachin:

4= 4 arctg

1

5 arctg

1

239.

Usando essa formula, ele calculou com 100 casas decimais em 1706.Temos varias formulas parecidas com a formula de Machin onde aparecem

logaritmos no lugar de . Como por exemplo,

ln 2 = 2 arctgh1

5+ 2 arctgh

1

7,

(que e equivalente a ln 2 = ln(3/2) + ln(4/3)). Essa formula foi usada porEuler em 1748 para calcular ln 2 com 25 casas decimais. E impressionanteo fato de numeros tao distintos quanto e ln 2 serem obtidos atraves decalculos tao semelhantes.

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Muitas outras formulas podem ser obtidas a partir de valores particulares

das funcoes arctgh(x) e ln(x). Por exemplo, a partir de1/2ln(3/4) + arctgh(1/2) pode-se chegar a

l n 2 =k=0

1

8k + 8+

1

4k + 2

1

4k,

que e uma serie de convergencia muito rapida, somando-se poucos termospodemos obter resultados bem proximos do valor exato.

3 Uma formula eficiente

Em 1997, P. Sebah obteve a formula

ln 2 = 10arctgh1

17+ 4 arctgh

13

499.

A verificacao da validade desse tipo de formula em geral e imediata, bas-tando usar as definicoes e propriedades basicas das funcoes envolvidas. Porexemplo, a formula anterior e equivalente a

ln2 = 5 ln(9/8) + 2 ln(256/243) = 5(2 ln 3 3 ln 2) + 2(8 ln 2 5ln3)

Essa formula foi utilizada em 2001 para calcular ln 2 com mais de 500 milhoesde casas decimais.Substituindo-se arctgh(1/17) e arctgh(13/499) pela soma de tres termos

de cada uma das respectivas series, podemos obter um valor aproximado deln 2 com 8 casas decimais exatas (isto e, 8 casas decimais do valor aproximadocoincidindo com as do valor exato), conforme mostrado a seguir. Utilizamoso smbolo significando aproximadamente igual a.

arctgh1

17

1

17+

1

14739+

1

7099285= 0, 05889152

arctgh

13

499

13

499 +

2197

372754497 +

371293

154693737512495 = 0, 02605800

ln 2 10(0, 05889152) + 4(0, 02605800) = 0, 69314718.

4 Logaritmos de outros numeros

Conhecendo-se um valor como o de ln 2, usando propriedades basicas doslogaritmos podemos determinar varios outros como ln 0, 5 = ln(1/2) = ln2,ln 4 = 2 ln 2, ln 0, 25 = ln(1/4) = 2 l n 2, etc.

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Alem disso, a partir de

2 arctgh

1

2x + 1

= ln

1 + 1

2x+1

1 12x+1

= ln

x + 1

x

,

obtemos ln(x + 1) = ln(x) + 2 arctgh

1

2x+1

, ou seja,

ln(x+1) = ln(x)+2

1

2x + 1+

1

3(2x + 1)3+

1

5(2x + 1)5+

1

7(2x + 1)7+

.

que pode ser usada para calcular logaritmos de outros numeros, conforme

mostrado a seguir onde a partir de ln 2 calculamos ln 3, depois ln 9 e ln 10.

ln 3 ln 2 + 2

1

5+

1

375+

1

15625+

1

546875+

1

17578125

= 1, 09861228

ln 9 = ln 32 = 2 ln 3 2 1, 09861228 = 2, 19722456

ln10 ln9+2

1

19+

1

20577+

1

12380495+

1

6257102173+

1

2904189280011

= 2, 30258508.

5 Logaritmos decimais

Para obter logaritmos decimais, basta dividir os logaritmos naturais porln 10. Podemos obter assim os seguintes valores:

log2 =ln 2

ln10

0, 69314718

2, 30258508= 0, 30103000

log3 =ln 3

ln10

1, 09861228

2, 30258508= 0, 47712125

que sao valores com 8 casas decimais exatas.Note que usamos apenas uma quantidade bem modesta de termos dos

desenvolvimentos em series de potencias. Se tivessemos usado mais termos,teramos obtidos resultados muito melhores. Por exemplo, se tivessemosusado 10 termos dos desenvolvimentos de cada serie, no final teramos obtidolog 2 e log 3 com 15 casas decimais exatas.

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6 Recordes no calculo de ln 2

Em 2001, foi divulgado um calculo de ln 2 com mais de 500 milhoes decasas decimais. A seguir, a evolucao da quantidade de casas decimais dessetipo de calculo ao longo de varias decadas.

N. dgitos Ano Calculador

16 1671 I. Newton25 1748 L. Euler

137 1853 W. Shanks273 1878 Adams

330 1940 H. S. Uhler3.683 1962 D.W. Sweeney2.015.926 1997 P. Demichel5.039.926 1997 P. Demichel

10.079.926 1997 P. Demichel29.243.200 1997 X. Gourdon58.484.499 1997 X. Gourdon

108.000.000 1998 X. Gourdon200.001.000 2001 X. Gourdon & S. Kondo240.000.000 2001 X. Gourdon & P. Sebah500.000.999 2001 X. Gourdon & S. Kondo

Referencias

[1] Avila, G., Como se constroi uma tabua de logaritmos, Revista doProfessor de Matematica 26, 1994.

[2] Gourdon, X., Sebah, P., The logarithm constant log(2), 2001, dis-ponvel na internet em numbers.computation.free.fr

[3] Markushevich, A. I., Areas y logaritmos, Editorial Mir, 1975.

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