Lógica dos predicados: resolução
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7/24/2019 Lgica dos predicados: resoluo
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Lgica dos predicados: resoluoDavid Dharbe Documento elaborado a partir da
apostila Logique pour lIntelligenceArticielle, do Prof. Pascal Gribomont.UFRN DIM05052012
Sumrio
1 Introduo 1
2 Formais normais 2
Forma prenex 2
Forma de Skolem 3
Forma clausal 5
3 Teoria de Herbrand 5
Domnio de Herbrand 5
Interpretaes, bases e modelos de Herbrand 6
Simplificao de Herbrand 7
Teoremas de Herbrand 7
4 Anlise de formas clausais 8
Exemplos de anlise de formas clausais 8
Um semi-procedimento de deciso 9
Aplicao anlise de regras de inferncia 9
5 Resoluo fundamental 10
Procedimento de resoluo fundamental 11
6 Exercite-se 11
1 Introduo
A tcnica de anlisepor resoluo, estudada no quadro da l-
gica proposicional, tambm uma tcnica poderosa para analizar a
lgica dos predicados. Embora a tcnica dos tableaux talvez seja a
mais simples para um ser humano mostrar a (in)satisfatibilidade de
um conjunto de frmulas, no a nica usada em aplicaes compu-tacionais. Uma outra tcnica utilizada a anlise por resoluoque j
foi apresentada no caso proposicional.
Na prtica, a resoluo a base da linguagem de programao
lgica PROLOG1, a qual permite programar com um tipo restrito de 1J. Wielemaker, T. Schrijvers, M. Triska,and T. Lager. SWI-Prolog. Theory andPractice of Logic Programming,12(1-2):6796,2012
frmulas de lgica dos predicados chamado de clusulas de Horn.
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lgica dos predicados: resoluo 2
No caso da lgica dos predicados geral, h vrias ferramentas de de-
duo automtica, tais como Otter2, Spass3 e Vampire4, que utilizam 2 W. McCune. Otter3.0ReferenceManual and Guide. Technical ReportANL-94/6, Argonne National Labora-tory, Argonne, USA,19943 C. Weidenbach. Spass: Combiningsuperposition, sorts and splitting, 19994 A. Riazanov and A. Voronkov. Vam-pire1.1 (system description). InIJCAR01: Proceedings of the First International
Joint Conference on Automated Reasoning,pages376380, London, UK, 2001.Springer-Verlag
resoluo.
A tcnica de resoluo, no caso da lgica dos predicados, tam-
bm apoia-se em formas normais. A motivao de introduzir formasnormais poder se apoiar sobre hipteses adicionais (as proprieda-
des que caracterizam as formas normais) para poder provar teoremas
especficos e, sobretudo, tcnicas de anlise dedicadas.
2 Formais normais
Na lgica proposicional, a resoluo apoia-se na transformao
da frmulao do problema em forma normal conjuntiva. Na lgica
dos predicados, similarmente, deve-se formular o problema inicial
emforma clausal. Ultimamente, o objetivo desta seo introduzir aforma clausal para formulas da lgica de predicados. Duas formas
intermedirias teis so a forma prenex e a forma de Skolem. A
figura1 ilustra a relao entre as diferentes formas normais.
frmula qualquer
frmula em forma prenex
frmula em forma de Skolem
frmula em forma clausal
Figura1: As diferentes formas normaisusadas para aplicar resoluo em lgicados predicados.
Forma prenex
Def1. Uma frmula temforma prenexquando tem a forma:
Q1x1Q2x2. . .Qnxn
prefixo
M
matriz
ondeQi ou para todoi = 1 . . . ne M uma frmula sem quan-
tificador.
Adicionalmente, podemos assumir que as variveis quantificadas
x1. . .xn aparecem na frmula M.
Teorema 1. Para qualquer frmula do clculo dos predicados, existe uma
frmula em forma prenex equivalente.
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A provadeste teorema construtiva, ou seja so fornecidas regras A aplicao destas regras ser ilus-trada com a seguinte frmula exem-plo: x(p(x) yx(q(x,y) z r(a, x,y))).
que, aplicadas a uma forma qualquer, resultam em uma frmula
equivalente em forma prenex.
Eliminar todos os conectores lgicos diferentes de, e . Ex. x(p(x) yx(q(x,y) z r(a, x,y))).
A B A B,
A B (A B) (A B).
Se necessrio, renomear as variveis ligadas de tal forma que Ex. x(p(x) yu(q(u,y) z r(a, u,y))).nenhuma varivel tenha ocorrncias livres e ligadas na frmula, ou
em alguma das suas sub-frmulas.
Eliminar as quantificaes cuja varivel no aparece no corpo. Ex. x(p(x) yu(q(u,y) r(a, u,y))).
Mover as negaes em direo s folhas da rvore sinttica, elimi-Ex. x(p(x) yu(q(u,y) r(a, u,y))).
nando duplas negaes.
A A,
A A,
(A B) A B,
(A B) A B,
A A
Mover as quantificaes em direo raiz da rvore sinttica, Ex. xyy(p(x) (q(u,y) r(a, u,y))).renomeando as variveis se necessrio.
x A x B x(A B),
x A x B x(A B)
Se x no ocorre emB:
Qx A B Qx(A B), ondeQ ou ,
Qx A B Qx(A B), ondeQ ou .
Forma de SkolemThoralf Skolem (18871963) foi ummatemtico noruegus principalementereconhecido por seus trabalhos em l-
gica matemtica e teoria dos conjuntos.
Def2. Uma frmula temforma de Skolem quando tem forma prenex e
no possui quantificador existencial.
A partir de uma frmula em forma prenex Q1x1 Qn xnM, passa-
se a uma frmula em forma de Skolem da seguinte maneira.
Se todos osQ i so , ento a frmula j est em forma prenex.
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Seno, sejako menor ndice tal queQi . Existek 1 quan-
tificadores a esquerda de Qk. A varivelxk substituda por Os smbolos introduzidos so chama-dossmbolos de Skolem.f(x1. . .xk1), onde f um novo smbolo de funo, em M e a
quantificaoxk eliminada. f uma constante quandok= 1.
A operao repetida para eliminar at que todas as quantifica-
es existenciais estejam eliminadas.
Alguns exemplospermitem ilutrar esta operao:
1. xyu(p(x,y) q(a, x,y, u): A nica quantificao existencial
aplicado varivelu. H duas quantificaes universais aplicando-
se a ela, logo criado um novo smbolo de funo de aridade dois,
digamos f, e o resultado da Skolemizao obtido eliminando
a quantificaoue substituindou por f(x,y): xy(p(x,y)
q(a, x,y, f(x,y)).
2. xuvwxyz M(x,y,z, u, v, w) primeiro simplificada em
uvwxyz M(x,y,z, u, v, w), pois a primeira quantificaox intil.
A primeira quantificao existencial, ento criado um novo
smbolo de constante, digamos a que substitui a varivel quantifi-
cadau: vwxyz M(x,y,z, a, v, w).
Agora, o primeiro quantificador existencialwest no escopo de
uma nica quantificao universal; criado um novo smbolo de
funo de aridade um, digamos f, e a varivelw substituda por
f(v): vxyz M(x,y,z, a, v,f(v)).
Ainda h uma quantificao existencial, no escopo de trs quan-
tificadores universais; criado um smbolo de funo de ari-dade trs, digamos g, e a varivelz substituda por g(v, x,y):
vxy M(x,y,g(v, x,y), a, v,f(v)). Esta frmula uma forma de
Skolem.
Intuitivamente, na frmulaxyu(p(x,y) q(a, x,y, u), a
substituio da varivel existencialmente quantificadau pelo termo
f(x,y) uma forma de indicar que o valor de u depende dos valores
dex e y, e esta dependncia codificada atravs da nova funo f.
Def3. Duas frmulas so A e B so equisatisfatveisquando A
satisfatvel se e somente se B satisfatvel.
Teorema 2. Se A uma forma prenex, a forma de Skolem SAassociada
satisfatvel se e somente se A satisfatvel.
Note que as duas formas no so equivalentes semanticamente,
j que a forma de Skolem possui smbolos que no existem em A,
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lgica dos predicados: resoluo 5
e necessariamente as interpretaes de Ae SA so diferentes. Mais
precisamente, um modelo de Apode ser estendido em um modelo
deSA, e um modelo de SA pode ser restringido a um modelo de A.
Forma clausal
Def4. Uma frmula da lgica dos predicados est em forma clausal
se est em forma de Skolem e a sua matriz est em forma normal
conjuntiva.
Dada uma frmula A, para encontrar uma forma equisatisfatvel,
primeiro calcula-se a forma de Skolem e segundo calcula se uma
forma normal conjuntiva da matriz.
xy p(x,y) yx p(x,y)
xy p(x,y) yx p(x,y)
xyp(x,y) yx p(x,y)
xyp(x,y) uv p(u, v)
xyuv(p(x,y) p(u, v))
xu(p(x,f(x)) p(u,g(x, u)))
Quando uma frmula est em forma clausal, se existe uma con-
veno de notao que diferencia smbolos de variveis e smbolos
de constantes, pode-se omitir os quantificadores. Neste caso, a forma
clausal simplesmente um conjunto de clausulas. Assim, a frmula
xyz((p(x,y) q(a)) (q(x) r(b,z))) pode ser representada
pelo conjunto: {p(x,y) q(a); q(x) r(b,z)}5. 5 Note que este conjunto equivalente a{p(x,y) q(a); q(u) r(b, v)}.
3 Teoria de Herbrand
Jacques Herbrand (1903-1931) foi ummatemtico e lgico francs.
O objetivo sistematizar a construo de interpretaes cannicas
tais que se uma frmula A em forma de Skolem satisfatvel, en-
to ela possui um modelo cannico. Tais interpretaes, chamadas
interpretaes de Herbrand, so baseadas em um domnio chamado
domnio de Herbrand. Este domnio simplesmente constitudo por
todos os termos fechados construdos sobre o lxico da frmula A.
Portanto, nas interpretaes de Herbrand, os objetos semnticos so
os prprios objetos sintticos.
Domnio de Herbrand
Def5. SejaS uma forma de Skolem cujas constantes e funes for-
mam os conjuntosA e F. Se S no conter constante, entoA = {a},
ondea um novo smbolo.
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lgica dos predicados: resoluo 6
Odomnio de Herbrand HS deS definido recursivamente por:
Se a Aento a HS.
Se f F, e f tem aridadem, et1, . . . tm HS, ento f(t1, . . . tm)
HS.
Alguns exemplos
ParaS1 = (p(a) p(b) q(z)) (q(z) p(b) q(z)), temos
HS1 ={a, b}.
ParaS2= (p(x, f(y)) p(w,g(w))), temos
HS2 ={a,f(a),g(a),f(f(a)),f(g(a),g(f(a)),g(g(a)), . . .}.
ParaS3= (p(x) q(x)) q(x), temos HS3 ={a}.
ParaS4=p(a,f(x,y)) p(b, f(x,y)), temos
HS4 ={a, b, f(a, a), f(a, b),f(b, b),f(b, a), f(a,f(a, a)), . . .}.
Dizemos que um termo (tomo, literal, clusula, ou matriz de uma
forma de Skolem) fechado quando no contem varivel. Os elemen-
tos do domnio HS so os termos fechados.
Interpretaes, bases e modelos de Herbrand
Def6. SejaS uma forma de Skolem. Uma interpretao de HerbrandH
deS uma interpretao tal que:
O domnio deH HS, o domnio de Herbrand deS.
Se a uma constante de S, ento HC(
a) =
a. Se f um smbolo de funo de aridadem de S ento, et1, . . . tm
so termos, ento Hc(f(t1, . . . tm) = f(Hc(t1), . . .Hc(tm)).
No h restrio acerca da interpretao das variveis e dos smbo-
los de predicados.
Os termos fechados que constituem o domnio de Herbrand, assim
como os tomos, literais, e clusulas construdos a partir deles so
chamados defundamentais.
Def7. Abase de Herbrand Bs o conjuntos dos tomos fundamentais
deS.
Alguns exemplos
ParaS1 = (p(a) p(b) q(z)) (q(z) p(b) q(z)), temos
BS1 ={p(a);p(b); q(a); q(b)}.
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ParaS2=p(x,f(y) p(w,g(w)), temos
BS2 ={p(a, a);p(a, f(a));p(a,g(a));p(f(a), a); . . .}.
ParaS3= (p(x) q(x)) q(x), temos BS3 ={p(a); q(a)}.
Observe que qualquer interpretao de Herbrand atribui um valor
de verdade a todos os tomos fundamentais.
Def8. Ummodelo de Herbrandde uma frmula em forma de Skolem
S uma interpretao de Herbrand que satisfazS.
Por exemplo, paraS2 = p(x,f(y)) p(w,g(w)), um modelo
de Herbrand deve associar F a todos os tomos fundamentais que
seguem o padro p(t1,f(t2)) , e V a todos os tomos fundamentais
que seguem o padro p(t,g(t)) (ondet,t1 e t2 so termos fechados
quaisquer de HS2 ).
Simplificao de Herbrand
Teorema 3. SejaH uma interpretao de Herbrand, com domnio H, para
a matriz A(x1, . . .xn). EntoH(x1, . . . xnA(x1, . . .xn)) = Vse e
somente seH(A(h1, . . . hn)) = Vpara todos os h1, . . . hn de H.
Def9 (Instncias fundamentais). As frmulas A(h1, . . . hn)so cha-
madas deinstncias fundamentaisda matriz A(x1, . . .xn)ou da forma
de Skolem correspondente.
Corolrio1. Uma forma de Skolem satisfeita por uma interpretao
de Herbrand se e somente se todas as suas instncias fundamentais so
satisfeitas nesta interpretao.
Uma simplificao consiste em identificar as interpretaes de
Herbrand de uma forma de Skolem S com as funes totais de BS, a
base de Herbrand de S, para o conjunto{V, F}. Em outros termos,
uma interpretao de Herbrand uma valorao dos tomos funda-
mentais deS.
A teoria de Herbrand permite ento analizar problemas da lgica
dos predicados usando tcnicas de anlise da lgica proposicional. A
nica diferena, e importante, que o lxico proposicional, formado
pela base de Herbrand, geralmente infinito.
Teoremas de HerbrandTeorema 4 (Primeiro teorema de Herbrand). Uma frmula S, em forma
de Skolem, satistatvel se, e somente se, tem um modelo de Herbrand.
Note queeste teorema apenas se aplica a formas de Skolem. Por
exemplo, a frmula p(a) xp(x) satisfatvel, mas no admite
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modelo de Herbrand. De fato, o domnio de Herbrand seria{a}, e
os modelos desta frmula tem domnios de interpretao com pelo
menos dois elementos. Em compensao, a forma de Skolem que
corresponde a esta frmula p(a) p(b), e tem como modelo de
Herbrand a interpretao{p(a)V,p(b)F}.
Teorema 5 (Segundo teorema de Herbrand). Uma frmula S em forma
de Skolem insatisfatvel se, e somente se, possui uma conjuno finita
insatisfatvel de instncias fundamentais da sua matriz M.
Este segundo teorema a base de uma segunda tcnica para ana-
lizar a consistncia de frmulas. As instncias fundamentais de uma
frmula so frmulas fechadas6 e podem ser analizadas com tcnicas 6 Sem variveis.
puramente proposicionais. Para mostrar que uma frmula em forma
clausal insatisfatvel basta achar um nmero finito de instncias
fundamentais cuja conjuno insatisfatvel. A prova da insatis-
fatibilidade de uma frmula em lgica dos predicados portanto
composta por1) o clculo de uma forma clausal equisatisfatvel, 2)um conjunto finito de instncias fundamentais da forma clausal, 3)
uma prova que a conjuno destas instncias insatisfatvel na lgica
proposicional.
4 Anlise de formas clausais
As formas clausais so um caso particular das formas de Skolem, e
do teorema5 podemos deduzir o seguinte corolrio.
Corolrio2. Uma frmula em forma clausal S insatisfatvel, se e somente
se existe uma conjuno finita insatisfatvel de clusulas fundamentais.Por exemplo, considere a forma clausal xyz(C1(x,y) C2(y,z))
ondeC1 e C2 so clusulas. Seja Ho domnio de Herbrand associado.
O conjunto das instncias fundamentais da matriz : {C1(h, h)
C2(h, h ) | h, h, h H}. Este conjunto equivalente logicamente a
{C1(h, h) | h, h H} {C2(h
, h ) | h, h H}que equivalente
a{C1(h, h); C2(h, h
) | h, h H}, o qual o conjunto das clusulas
fundamentais.
Exemplos de anlise de formas clausais
O primeiro exemplo a frmula A =def (x(p(x) q(x))
(x p(x) x q(x))).
A forma de Skolem SA = x((p(x) q(x)) p(x) q(a)),
e a forma clausal {p(x) q(x);p(x); q(a)}. As clusulas funda-
mentais so{p(a) q(a);p(a); q(a)}. Podemos aplicar qualquer
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procedimento de anlise de satisfatibilidade da lgica proposicio-
nal para verificar que um conjunto de frmula fechadas (como este
conjunto) insatisfatvel. Logo A insatisfatvel.
O segundo exemplo a forma clausalS = {p(f(x), a) p(y,g(a)); p(f(f(a)),z)}.
Como o lxico tem smbolos de funes de aridade positiva, o dom-nio de Herbrand infinito, e h uma infinidade de clusulas funda-
mentais. Dentre elas, trs so particularmente interessantes:
C1 =def p(f(f(a)), a) p(f(f(a)),g(a)),
C2 =def p(f(f(a)), a),
C3 =def p(f(f(a)),g(a)).
O conjunto{C1, C2, C3} insatisfatvel, logoS insatisfatvel.
Um semi-procedimento de deciso
O teorema de Herbrand permite justificar o seguinte semi-procedimentode deciso da validade de frmulas da lgica dos predicados:
1. Negar a frmula dada;
2. Calcular uma forma clausal desta negao;
3. Gerar um conjunto finito de clusulas fundamentais;
4. Verificar se este conjunto de clusulas fundamentais insatisfat-
vel.
Os dois primeiros passos so altamente automticas. O ltimo passo
pode ser realizado com procedimentos de deciso da lgica propo-sicional. A dificuldade reside principalmente no terceiro passo, que
necessita gerar as instncias fundamentais adequadas.
Aplicao anlise de regras de inferncia
Seja H1 : x(p(x) q(x)), H2 : x(q(x) r(x)), eC : x(p(x)
r(x)). Queremos mostrar que a regra de inferncia seguinte:
H1 H2C
uma regra correta, ou seja H1,H2 |= C, ou ainda A =def H1H2 C insatisfatvel. A primeira etapa transformar A em forma
clausal:
A =def x(p(x) q(x)) x(q(x) r(x)) x(p(x) r(x))
= x(p(x) q(x)) x(q(x) r(x)) x(p(x) r(x))
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lgica dos predicados: resoluo 10
= x(p(x) q(x)) x(q(x) r(x)) x(p(x) r(x))
= x(p(x) q(x)) x(q(x) r(x)) x(p(x) r(x))
= x(p(x) q(x)) x(q(x) r(x)) (p(c) r(c))
= x( (p(x) q(x)) (q(x) r(x)) p(c) r(c) )(forma de Skolem)
{ p(x) q(x); q(x) r(x);p(c); r(c) }(forma clausal)
O domnio de Herbrand desta forma clausa {c}e as quatro clu-
sulas fundamentais so{p(c) q(c); q(c) r(c);p(c); r(c)}. Este
conjunto insatisfatvel7, e a regra de inferncia inicial correta. 7 A insatisfatibilidade pode ser derivadautilizando o algoritmo de resoluofundamental apresentado em 5.
Seja H1 : p(a), H2 : x(p(x) p(f(x))), eC : x p(x). Queremos
verificar se correta a regra de inferncia seguinte: Um exemplo que mostra que estaregra de inferncia incorreta ainterpretao cujo domnio N, p opredicado que testa se um nmero par, e a 0 e f(x) = x+2.
H1 H2C
.
Segue a anlise de A=defH1 H2 C.
A =def p(a) x(p(x) p(f(x))) x p(x)
= p(a) x(p(x) p(f(x))) x p(x)
= p(a) x(p(x) p(f(x))) xp(x)
= p(a) x(p(x) p(f(x))) p(c)
= x(p(a) (p(x) p(f(x))) p(c)) (forma de Skolem)
{p(a); p(x) p(f(x)); p(c) }(forma clausal)
O domnio de Herbrand infinito:
{a, b,f(a),f(b),f(f(a)), f(f(b)), . . .}= {fn(a), fn(b)| n N},
e a base de Herbrand :
{p(fn(a)),p(fn(b))| n N}.
Considere a interpretao{p(fn(a)) V,p(fn(b)) F | n N}.
Ela satisfaz p(a),p(b)e tambmp(x) p(f(x)). Portanto um
modelo (com domnio infinito) do conjunto das clusulas fundamen-
tais. Logo A uma frmula consistente, e a regra de inferncia
incorreta
5 Resoluo fundamental
A resoluo fundamental aplicao da resoluo tal como apresen-
tado para a lgica proposicional a conjuntos de instncias fundamen-
tais de formas clausais.
SejaS um conjunto de clusulas fundamentais; C1 e C2 so duas
clusulas deS tais queC1 = C1 e C2 = C
2 . A regra de O literal e seu complementar apare-
cem emC1 e C2 respectivamente.resoluo a seguinte:
S res(C1, C2) =defC1 C
2
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lgica dos predicados: resoluo 11
Procedimento de resoluo fundamental
O algoritmode resoluo fundamental similar ao da resoluo
na lgica proposicional:
Enquanto S fazerescolherC1, C2 S tais queC1=C
1 e C2 = C
2
S:=S {C1 C2}
Por exemplo, considere o primeiro exemplo da seo anterior:
S= {p(c) q(c); q(c) r(c);p(c); r(c)}.
1. p(c) q(c) elemento deS
2. q(c) r(c) elemento deS
3. p(c) elemento deS
4. r(c) elemento deS
5. q(c) =res(1, 3)6. r(c) =res(2, 4)
7. =res(4, 6)
6 Exercite-se
Exerccios elaborados por Pascal Fon-taine.
Calculara forma prenex da frmula seguinte:
(x p(x) x q(x)) x(p(x) q(x))
Calcularas formas prenex, de Skolem e clausal das frmulas se-
guintes:
p(a) xp(x)
x (p(x) y(z q(x,y) z r(y, x)))
x p(x) x(z q(x,z) z r(x,y,z))
x p(x,z) z(y p(x,z) xy p(x,y))
Seja a frmula A =def p(a) xp(x)e B uma forma de Skolem
de A.
CalcularB.
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lgica dos predicados: resoluo 12
As frmulasA et B so vlidas, inconsistentes ou simplesmente
consistentes? Sera que B consequncia lgica de A? Se existirem,
dar para Ae para B um modelo de Herbrand e um modelo que
no seja de Herbrand.
Determinese a regra de inferncia seguinte correta, usando o
mtodo de Herbrand:
x(p(x) q(x)) x(p(x) q(x))
x p(x) x q(x)
O quepode dizer dos objetos seguintes?
P(a) x(P(x) P(f(x)))
xP(x)
P(a) Q(b) x(P(x) P(f(x))) x(Q(x) Q(f(x)))
x(P(f(x)) Q(f(x)))
xP(x, x) xy(P(x,y) P(x, f(x)))
xyP(x,y)
H xA(x) H x(A(x) yB(x,y))
H xyB(x,y)
H xA(x) H x(A(x) yB(x,y))
H xyB(x,y)
Determinese as regras seguintes so corretas:
x(P(x) R(x)) x(Q(x) P(x))
x(P(x) (Q(x) R(x)))
x(Q(x) R(x)) x(Q(x) P(x))
x(P(x) R(x))
xy(Q(x) R(x,y)) x(Q(x) P(x))
xy(P(x) R(x,y))
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lgica dos predicados: resoluo 13
x(R(x) Q(x)) x(P(x) Q(x))
x(P(x) R(x))
x
(R
(x
) Q
(x
)) x
(P
(x
)Q
(x
))
x(P(x) R(x))
x(P(x) Q(x)) x(P(x) Q(x))
xP(x) Q(x)
x(Q(x) R(x)) x(Q(x) P(x))
x(R(x) P(x))
Referncias
[1] W. McCune. Otter3.0Reference Manual and Guide. Technical
Report ANL-94/6, Argonne National Laboratory, Argonne, USA,
1994.
[2] A. Riazanov and A. Voronkov. Vampire1.1(system descrip-
tion). InIJCAR 01: Proceedings of the First International Joint Con-
ference on Automated Reasoning, pages376380, London, UK, 2001.
Springer-Verlag.
[3] C. Weidenbach. Spass: Combining superposition, sorts and
splitting,1999.
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