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1 Sabores de la Teor´ ıa de N ´ umeros I. La Teor´ ıa Algebraica Tim Gendron Instituto de Matem ´ aticas, Universidad Nacional Aut ´ onoma de M ´ exico 26 junio 2017
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1
Sabores de la Teorıa de Numeros
I. La Teorıa Algebraica
Tim Gendron
Instituto de Matematicas, Universidad Nacional Autonoma de Mexico
26 junio 2017
Introduccion
Introduccion
Los Problemas de
Hilbert
El Duodecimo
Problema
Proposito del
MiniCurso
Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
Teorıa de Campos de
Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
2
Los Problemas de Hilbert
Introduccion
Los Problemas de
Hilbert
El Duodecimo
Problema
Proposito del
MiniCurso
Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
Teorıa de Campos de
Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
3
En 1900, en el Congreso Internacional de Matematicas de Paris,
Los Problemas de Hilbert
Introduccion
Los Problemas de
Hilbert
El Duodecimo
Problema
Proposito del
MiniCurso
Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
Teorıa de Campos de
Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
3
En 1900, en el Congreso Internacional de Matematicas de Paris, el
matematico aleman David Hilbert presento una lista de veintitres
problemas
Los Problemas de Hilbert
Introduccion
Los Problemas de
Hilbert
El Duodecimo
Problema
Proposito del
MiniCurso
Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
Teorıa de Campos de
Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
3
En 1900, en el Congreso Internacional de Matematicas de Paris, el
matematico aleman David Hilbert presento una lista de veintitres
problemas que el considero bien motivados, desafiantes y
suficientemente abiertos para estimular investigacion por un siglo.
Los Problemas de Hilbert
Introduccion
Los Problemas de
Hilbert
El Duodecimo
Problema
Proposito del
MiniCurso
Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
Teorıa de Campos de
Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
3
En 1900, en el Congreso Internacional de Matematicas de Paris, el
matematico aleman David Hilbert presento una lista de veintitres
problemas que el considero bien motivados, desafiantes y
suficientemente abiertos para estimular investigacion por un siglo.
El Duodecimo Problema
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Hilbert
El Duodecimo
Problema
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Extensiones
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Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
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Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
4
En este momento solo quedan tres problemas abiertos en la lista
de Hilbert:
El Duodecimo Problema
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Digresion: Grupo
Fundamental
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Clase
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Kronecker-Weber
4
En este momento solo quedan tres problemas abiertos en la lista
de Hilbert: entre ellos el octavo
El Duodecimo Problema
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Digresion: Grupo
Fundamental
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Clase
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Kronecker-Weber
4
En este momento solo quedan tres problemas abiertos en la lista
de Hilbert: entre ellos el octavo (la Hipotesis de Riemann)
El Duodecimo Problema
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Clase
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Kronecker-Weber
4
En este momento solo quedan tres problemas abiertos en la lista
de Hilbert: entre ellos el octavo (la Hipotesis de Riemann) y el
duodecimo:
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Problema
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Extensiones
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Digresion: Grupo
Fundamental
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Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
4
En este momento solo quedan tres problemas abiertos en la lista
de Hilbert: entre ellos el octavo (la Hipotesis de Riemann) y el
duodecimo:
Duodecimo Problema de Hilbert. Sea K un campo global
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Clase
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Kronecker-Weber
4
En este momento solo quedan tres problemas abiertos en la lista
de Hilbert: entre ellos el octavo (la Hipotesis de Riemann) y el
duodecimo:
Duodecimo Problema de Hilbert. Sea K un campo global i.e.
una extension finita de la forma
K/Q
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Clase
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Kronecker-Weber
4
En este momento solo quedan tres problemas abiertos en la lista
de Hilbert: entre ellos el octavo (la Hipotesis de Riemann) y el
duodecimo:
Duodecimo Problema de Hilbert. Sea K un campo global i.e.
una extension finita de la forma
K/Q o K/F(T )
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Kronecker-Weber
4
En este momento solo quedan tres problemas abiertos en la lista
de Hilbert: entre ellos el octavo (la Hipotesis de Riemann) y el
duodecimo:
Duodecimo Problema de Hilbert. Sea K un campo global i.e.
una extension finita de la forma
K/Q o K/F(T )
donde
� Q = es el campo de los racionales
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Clase
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Kronecker-Weber
4
En este momento solo quedan tres problemas abiertos en la lista
de Hilbert: entre ellos el octavo (la Hipotesis de Riemann) y el
duodecimo:
Duodecimo Problema de Hilbert. Sea K un campo global i.e.
una extension finita de la forma
K/Q o K/F(T )
donde
� Q = es el campo de los racionales y
� F(T ) = el campo de funciones racionales sobre un campo
finito F.
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En este momento solo quedan tres problemas abiertos en la lista
de Hilbert: entre ellos el octavo (la Hipotesis de Riemann) y el
duodecimo:
Duodecimo Problema de Hilbert. Sea K un campo global i.e.
una extension finita de la forma
K/Q o K/F(T )
donde
� Q = es el campo de los racionales y
� F(T ) = el campo de funciones racionales sobre un campo
finito F.
Da una descripcion explıcita de cada campo de clase
Km/K.
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El Teorema de
Kronecker-Weber
5
El proposito de este mini-curso es explicar lo necesario de la teorıa
de numeros para entender las afirmaciones de
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El proposito de este mini-curso es explicar lo necesario de la teorıa
de numeros para entender las afirmaciones de
1. El Duodecimo Problema de Hilbert.
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5
El proposito de este mini-curso es explicar lo necesario de la teorıa
de numeros para entender las afirmaciones de
1. El Duodecimo Problema de Hilbert.
2. El Teorema de Weber-Fueter, que da una solucion en el caso
de K/Q cuadratica y compleja.
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Fundamental
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Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
5
El proposito de este mini-curso es explicar lo necesario de la teorıa
de numeros para entender las afirmaciones de
1. El Duodecimo Problema de Hilbert.
2. El Teorema de Weber-Fueter, que da una solucion en el caso
de K/Q cuadratica y compleja.
3. Un teorema nuestro que da una solucion en un nuevo caso: lo
de K/F(T ) cuadratica y real.
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Hilbert
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Extensiones
Teorıa de Galois
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Fundamental
Enteros
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Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
5
El proposito de este mini-curso es explicar lo necesario de la teorıa
de numeros para entender las afirmaciones de
1. El Duodecimo Problema de Hilbert.
2. El Teorema de Weber-Fueter, que da una solucion en el caso
de K/Q cuadratica y compleja.
3. Un teorema nuestro que da una solucion en un nuevo caso: lo
de K/F(T ) cuadratica y real.
Este tarea nos conduce a explorar cuatro sabores de la teorıa de
numeros: lo algebraico, lo analıtico lo geometrico y lo cuantico.
Campos y sus Extensiones
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Campos y sus
Extensiones
Extensiones
Algebraicidad
Cerradura Algebraica
Teorıa de Galois
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
Teorıa de Campos de
Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
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Extensiones
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Fundamental
Enteros
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Clase
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Kronecker-Weber
7
Sea K un campo.
Extensiones
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Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
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Clase
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Kronecker-Weber
7
Sea K un campo. Si L ⊃ K es otro campo decimos que L es
campo extension
Extensiones
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Extensiones
Extensiones
Algebraicidad
Cerradura Algebraica
Teorıa de Galois
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
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Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
7
Sea K un campo. Si L ⊃ K es otro campo decimos que L es
campo extension y escribimos
L/K o L
K
Extensiones
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Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
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El Teorema de
Kronecker-Weber
7
Sea K un campo. Si L ⊃ K es otro campo decimos que L es
campo extension y escribimos
L/K o L
K
Si L/K, L es K-espacio vectorial.
Extensiones
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Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
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Clase
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Kronecker-Weber
7
Sea K un campo. Si L ⊃ K es otro campo decimos que L es
campo extension y escribimos
L/K o L
K
Si L/K, L es K-espacio vectorial. El grado es
[L : K] := dimKL.
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Fundamental
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Clase
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Kronecker-Weber
7
Sea K un campo. Si L ⊃ K es otro campo decimos que L es
campo extension y escribimos
L/K o L
K
Si L/K, L es K-espacio vectorial. El grado es
[L : K] := dimKL.
Si [L : K] <∞ decimos que la extension es finita.
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Fundamental
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Kronecker-Weber
8
Dada L/K, decimos que α ∈ L es algebraico sobre K
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Fundamental
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Clase
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8
Dada L/K, decimos que α ∈ L es algebraico sobre K si
f(α) = 0 por algun polinomio f(X) ∈ K[X ].
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Fundamental
Enteros
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Clase
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Kronecker-Weber
8
Dada L/K, decimos que α ∈ L es algebraico sobre K si
f(α) = 0 por algun polinomio f(X) ∈ K[X ].
Ejemplo.√2 es algebraico sobre Q.
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Fundamental
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8
Dada L/K, decimos que α ∈ L es algebraico sobre K si
f(α) = 0 por algun polinomio f(X) ∈ K[X ].
Ejemplo.√2 es algebraico sobre Q.
Teorema de Lindemann-Weierstraß (1882, 1885). π no es
algebraico sobre Q i.e. es trascendente.
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Fundamental
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Clase
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Kronecker-Weber
8
Dada L/K, decimos que α ∈ L es algebraico sobre K si
f(α) = 0 por algun polinomio f(X) ∈ K[X ].
Ejemplo.√2 es algebraico sobre Q.
Teorema de Lindemann-Weierstraß (1882, 1885). π no es
algebraico sobre Q i.e. es trascendente.
Si cada α ∈ L es algebraico sobre K decimos que L/K es
algebraica.
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Fundamental
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Clase
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Kronecker-Weber
8
Dada L/K, decimos que α ∈ L es algebraico sobre K si
f(α) = 0 por algun polinomio f(X) ∈ K[X ].
Ejemplo.√2 es algebraico sobre Q.
Teorema de Lindemann-Weierstraß (1882, 1885). π no es
algebraico sobre Q i.e. es trascendente.
Si cada α ∈ L es algebraico sobre K decimos que L/K es
algebraica.
Teorema. Si L/K es finita, es algebraica.
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Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
8
Dada L/K, decimos que α ∈ L es algebraico sobre K si
f(α) = 0 por algun polinomio f(X) ∈ K[X ].
Ejemplo.√2 es algebraico sobre Q.
Teorema de Lindemann-Weierstraß (1882, 1885). π no es
algebraico sobre Q i.e. es trascendente.
Si cada α ∈ L es algebraico sobre K decimos que L/K es
algebraica.
Teorema. Si L/K es finita, es algebraica.
La Teorıa de Numeros Algebraicos es el estudio de la aritmetica
de extensiones algebraicas de Q, F(T ) y sus localizaciones
(completaciones topologicas).
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9
Un campo C es algebraicamente cerrado
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Fundamental
Enteros
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Un campo C es algebraicamente cerrado si cada polinomio
f(X) ∈ C[X ] tiene solucion en C.
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Fundamental
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Un campo C es algebraicamente cerrado si cada polinomio
f(X) ∈ C[X ] tiene solucion en C.
Teorema Fundamental de la Aritmetica. C es algebraicamente
cerrado.
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9
Un campo C es algebraicamente cerrado si cada polinomio
f(X) ∈ C[X ] tiene solucion en C.
Teorema Fundamental de la Aritmetica. C es algebraicamente
cerrado.
Si K ⊂ C y C es algebraicamente cerrado,
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Fundamental
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Clase
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Un campo C es algebraicamente cerrado si cada polinomio
f(X) ∈ C[X ] tiene solucion en C.
Teorema Fundamental de la Aritmetica. C es algebraicamente
cerrado.
Si K ⊂ C y C es algebraicamente cerrado, la cerradura
algebraica de K en C es
K = {α ∈ C| α es algebraica sobre K}.
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Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
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Clase
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Kronecker-Weber
9
Un campo C es algebraicamente cerrado si cada polinomio
f(X) ∈ C[X ] tiene solucion en C.
Teorema Fundamental de la Aritmetica. C es algebraicamente
cerrado.
Si K ⊂ C y C es algebraicamente cerrado, la cerradura
algebraica de K en C es
K = {α ∈ C| α es algebraica sobre K}.
K es un campo extension de K que es algebraica pero en general
[K : K] =∞.
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Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
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Clase
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Kronecker-Weber
9
Un campo C es algebraicamente cerrado si cada polinomio
f(X) ∈ C[X ] tiene solucion en C.
Teorema Fundamental de la Aritmetica. C es algebraicamente
cerrado.
Si K ⊂ C y C es algebraicamente cerrado, la cerradura
algebraica de K en C es
K = {α ∈ C| α es algebraica sobre K}.
K es un campo extension de K que es algebraica pero en general
[K : K] =∞. Es unica salvo isomorfismo.
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Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
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Clase
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9
Un campo C es algebraicamente cerrado si cada polinomio
f(X) ∈ C[X ] tiene solucion en C.
Teorema Fundamental de la Aritmetica. C es algebraicamente
cerrado.
Si K ⊂ C y C es algebraicamente cerrado, la cerradura
algebraica de K en C es
K = {α ∈ C| α es algebraica sobre K}.
K es un campo extension de K que es algebraica pero en general
[K : K] =∞. Es unica salvo isomorfismo.
Si L/K y L ⊂ K,
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Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
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Clase
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Kronecker-Weber
9
Un campo C es algebraicamente cerrado si cada polinomio
f(X) ∈ C[X ] tiene solucion en C.
Teorema Fundamental de la Aritmetica. C es algebraicamente
cerrado.
Si K ⊂ C y C es algebraicamente cerrado, la cerradura
algebraica de K en C es
K = {α ∈ C| α es algebraica sobre K}.
K es un campo extension de K que es algebraica pero en general
[K : K] =∞. Es unica salvo isomorfismo.
Si L/K y L ⊂ K, existe un conjunto {αι}ι∈I ⊂ K tal que
L = K(αι|ι ∈ I),
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Fundamental
Enteros
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Clase
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Kronecker-Weber
9
Un campo C es algebraicamente cerrado si cada polinomio
f(X) ∈ C[X ] tiene solucion en C.
Teorema Fundamental de la Aritmetica. C es algebraicamente
cerrado.
Si K ⊂ C y C es algebraicamente cerrado, la cerradura
algebraica de K en C es
K = {α ∈ C| α es algebraica sobre K}.
K es un campo extension de K que es algebraica pero en general
[K : K] =∞. Es unica salvo isomorfismo.
Si L/K y L ⊂ K, existe un conjunto {αι}ι∈I ⊂ K tal que
L = K(αι|ι ∈ I),
i.e. L es el campo generado por {αι}ι∈I .
Teorıa de Galois
Introduccion
Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Grupo de Galois
Teorıa de Galois
Teorema Fundamental
Resumen
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
Teorıa de Campos de
Clase
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Kronecker-Weber
10
Grupo de Galois
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Grupo de Galois
Teorıa de Galois
Teorema Fundamental
Resumen
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
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Clase
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Kronecker-Weber
11
M/K, M ⊂ K, es de Galois
Grupo de Galois
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Teorıa de Galois
Teorema Fundamental
Resumen
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
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Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
11
M/K, M ⊂ K, es de Galois si para cada f(X) ∈ K[X ]
Raices(f(X)) ⊂M o Raices(f(X)) ∩M = ∅.
Grupo de Galois
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Teorıa de Galois
Grupo de Galois
Teorıa de Galois
Teorema Fundamental
Resumen
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
Teorıa de Campos de
Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
11
M/K, M ⊂ K, es de Galois si para cada f(X) ∈ K[X ]
Raices(f(X)) ⊂M o Raices(f(X)) ∩M = ∅.
El grupo de Galois es
Gal(L/K) := {σ ∈ Aut(L)| σ|K = id}.
Grupo de Galois
Introduccion
Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Grupo de Galois
Teorıa de Galois
Teorema Fundamental
Resumen
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
Teorıa de Campos de
Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
11
M/K, M ⊂ K, es de Galois si para cada f(X) ∈ K[X ]
Raices(f(X)) ⊂M o Raices(f(X)) ∩M = ∅.
El grupo de Galois es
Gal(L/K) := {σ ∈ Aut(L)| σ|K = id}.
Teorema. #Gal(L/K) = [L : K].
Grupo de Galois
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Extensiones
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Grupo de Galois
Teorıa de Galois
Teorema Fundamental
Resumen
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
Teorıa de Campos de
Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
11
M/K, M ⊂ K, es de Galois si para cada f(X) ∈ K[X ]
Raices(f(X)) ⊂M o Raices(f(X)) ∩M = ∅.
El grupo de Galois es
Gal(L/K) := {σ ∈ Aut(L)| σ|K = id}.
Teorema. #Gal(L/K) = [L : K].
Ejemplo. Gal(Q(√2)/Q) = {id,σ} donde
σ(x+ y√2) = x− y
√2.
Grupo de Galois
Introduccion
Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Grupo de Galois
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Teorema Fundamental
Resumen
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
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Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
11
M/K, M ⊂ K, es de Galois si para cada f(X) ∈ K[X ]
Raices(f(X)) ⊂M o Raices(f(X)) ∩M = ∅.
El grupo de Galois es
Gal(L/K) := {σ ∈ Aut(L)| σ|K = id}.
Teorema. #Gal(L/K) = [L : K].
Ejemplo. Gal(Q(√2)/Q) = {id,σ} donde
σ(x+ y√2) = x− y
√2.
El grupo de Galois no es necesariamente abeliana
Grupo de Galois
Introduccion
Campos y sus
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Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
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Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
11
M/K, M ⊂ K, es de Galois si para cada f(X) ∈ K[X ]
Raices(f(X)) ⊂M o Raices(f(X)) ∩M = ∅.
El grupo de Galois es
Gal(L/K) := {σ ∈ Aut(L)| σ|K = id}.
Teorema. #Gal(L/K) = [L : K].
Ejemplo. Gal(Q(√2)/Q) = {id,σ} donde
σ(x+ y√2) = x− y
√2.
El grupo de Galois no es necesariamente abeliana e.g.
Gal(Q( 4√2, i)/Q) ∼= D4.
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Kronecker-Weber
11
M/K, M ⊂ K, es de Galois si para cada f(X) ∈ K[X ]
Raices(f(X)) ⊂M o Raices(f(X)) ∩M = ∅.
El grupo de Galois es
Gal(L/K) := {σ ∈ Aut(L)| σ|K = id}.
Teorema. #Gal(L/K) = [L : K].
Ejemplo. Gal(Q(√2)/Q) = {id,σ} donde
σ(x+ y√2) = x− y
√2.
El grupo de Galois no es necesariamente abeliana e.g.
Gal(Q( 4√2, i)/Q) ∼= D4. Cuando lo es decimos que L/K es
abeliana.
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12
Sea M/K de Galois.
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12
Sea M/K de Galois.
� Si H < Gal(M/K), el conjunto
LH = {x ∈M | σ(x) = x para todo σ ∈ H}
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12
Sea M/K de Galois.
� Si H < Gal(M/K), el conjunto
LH = {x ∈M | σ(x) = x para todo σ ∈ H}
es un campo intermedio: el campo fijo de H .
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12
Sea M/K de Galois.
� Si H < Gal(M/K), el conjunto
LH = {x ∈M | σ(x) = x para todo σ ∈ H}
es un campo intermedio: el campo fijo de H .
� Reciprocamente, si
K ⊂ L ⊂M,
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12
Sea M/K de Galois.
� Si H < Gal(M/K), el conjunto
LH = {x ∈M | σ(x) = x para todo σ ∈ H}
es un campo intermedio: el campo fijo de H .
� Reciprocamente, si
K ⊂ L ⊂M,
la extension M/L siempre es de Galois
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12
Sea M/K de Galois.
� Si H < Gal(M/K), el conjunto
LH = {x ∈M | σ(x) = x para todo σ ∈ H}
es un campo intermedio: el campo fijo de H .
� Reciprocamente, si
K ⊂ L ⊂M,
la extension M/L siempre es de Galois y define un subgrupo
del grupo de Gal(M/K):
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12
Sea M/K de Galois.
� Si H < Gal(M/K), el conjunto
LH = {x ∈M | σ(x) = x para todo σ ∈ H}
es un campo intermedio: el campo fijo de H .
� Reciprocamente, si
K ⊂ L ⊂M,
la extension M/L siempre es de Galois y define un subgrupo
del grupo de Gal(M/K):
HL = Gal(M/L)
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12
Sea M/K de Galois.
� Si H < Gal(M/K), el conjunto
LH = {x ∈M | σ(x) = x para todo σ ∈ H}
es un campo intermedio: el campo fijo de H .
� Reciprocamente, si
K ⊂ L ⊂M,
la extension M/L siempre es de Galois y define un subgrupo
del grupo de Gal(M/K):
HL = Gal(M/L) = {σ ∈ Gal(M/K)| σ|L = id}.
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13
Teorema Fundamental de la Teorıa de Galois. La asociacion
L 7→ HL
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13
Teorema Fundamental de la Teorıa de Galois. La asociacion
L 7→ HL induce una biyeccion entre extensiones de Galois
intermedias L/K y subgrupos normales NL ⊳ Gal(M/K).
Teorema Fundamental
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Teorema Fundamental de la Teorıa de Galois. La asociacion
L 7→ HL induce una biyeccion entre extensiones de Galois
intermedias L/K y subgrupos normales NL ⊳ Gal(M/K).Tenemos
Gal(L/K) ∼= Gal(M/K)/NL.
Teorema Fundamental
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13
Teorema Fundamental de la Teorıa de Galois. La asociacion
L 7→ HL induce una biyeccion entre extensiones de Galois
intermedias L/K y subgrupos normales NL ⊳ Gal(M/K).Tenemos
Gal(L/K) ∼= Gal(M/K)/NL.
M
L
�Gal(M/L)=NL
K
�Gal(L/K)∼=Gal(M/K)/NL
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El Teorema Fundamental de la Teorıa de Galois
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El Teorema Fundamental de la Teorıa de Galois es un ejemplo de
un resultado basado en conocimiento relativo:
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Digresion: Grupo
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14
El Teorema Fundamental de la Teorıa de Galois es un ejemplo de
un resultado basado en conocimiento relativo: dado conocimiento
de una extension de Galois M/K,
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Teorema Fundamental
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Digresion: Grupo
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El Teorema Fundamental de la Teorıa de Galois es un ejemplo de
un resultado basado en conocimiento relativo: dado conocimiento
de una extension de Galois M/K, podemos construir “desde
arriba hacia abajo”
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14
El Teorema Fundamental de la Teorıa de Galois es un ejemplo de
un resultado basado en conocimiento relativo: dado conocimiento
de una extension de Galois M/K, podemos construir “desde
arriba hacia abajo” cada campo extension de Galois L/Kcontenida en M/K,
Resumen
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Campos y sus
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Clase
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Kronecker-Weber
14
El Teorema Fundamental de la Teorıa de Galois es un ejemplo de
un resultado basado en conocimiento relativo: dado conocimiento
de una extension de Galois M/K, podemos construir “desde
arriba hacia abajo” cada campo extension de Galois L/Kcontenida en M/K, como el campo fijo LN de un subgrupo
N ⊳ Gal(M/K) actuando en M .
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Campos y sus
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El Teorema Fundamental de la Teorıa de Galois es un ejemplo de
un resultado basado en conocimiento relativo: dado conocimiento
de una extension de Galois M/K, podemos construir “desde
arriba hacia abajo” cada campo extension de Galois L/Kcontenida en M/K, como el campo fijo LN de un subgrupo
N ⊳ Gal(M/K) actuando en M .
Problema Absoluto. Encontrar una version del Teorema
Fundamental basado en conocimiento absoluto:
Resumen
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Campos y sus
Extensiones
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Grupo de Galois
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Teorema Fundamental
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Digresion: Grupo
Fundamental
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14
El Teorema Fundamental de la Teorıa de Galois es un ejemplo de
un resultado basado en conocimiento relativo: dado conocimiento
de una extension de Galois M/K, podemos construir “desde
arriba hacia abajo” cada campo extension de Galois L/Kcontenida en M/K, como el campo fijo LN de un subgrupo
N ⊳ Gal(M/K) actuando en M .
Problema Absoluto. Encontrar una version del Teorema
Fundamental basado en conocimiento absoluto: que solo
requiere conocimiento de K para construir “desde abajo hacia
arriba” todas las extensiones algebraicas de K.
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Campos y sus
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Teorema Fundamental
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Digresion: Grupo
Fundamental
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Clase
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Kronecker-Weber
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El Teorema Fundamental de la Teorıa de Galois es un ejemplo de
un resultado basado en conocimiento relativo: dado conocimiento
de una extension de Galois M/K, podemos construir “desde
arriba hacia abajo” cada campo extension de Galois L/Kcontenida en M/K, como el campo fijo LN de un subgrupo
N ⊳ Gal(M/K) actuando en M .
Problema Absoluto. Encontrar una version del Teorema
Fundamental basado en conocimiento absoluto: que solo
requiere conocimiento de K para construir “desde abajo hacia
arriba” todas las extensiones algebraicas de K. Mas precisamente,
buscamos un grupo intrınsico
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Grupo de Galois
Teorıa de Galois
Teorema Fundamental
Resumen
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
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Clase
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Kronecker-Weber
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El Teorema Fundamental de la Teorıa de Galois es un ejemplo de
un resultado basado en conocimiento relativo: dado conocimiento
de una extension de Galois M/K, podemos construir “desde
arriba hacia abajo” cada campo extension de Galois L/Kcontenida en M/K, como el campo fijo LN de un subgrupo
N ⊳ Gal(M/K) actuando en M .
Problema Absoluto. Encontrar una version del Teorema
Fundamental basado en conocimiento absoluto: que solo
requiere conocimiento de K para construir “desde abajo hacia
arriba” todas las extensiones algebraicas de K. Mas precisamente,
buscamos un grupo intrınsico i.e. construido por el campo base K,
Resumen
Introduccion
Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Grupo de Galois
Teorıa de Galois
Teorema Fundamental
Resumen
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
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Clase
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Kronecker-Weber
14
El Teorema Fundamental de la Teorıa de Galois es un ejemplo de
un resultado basado en conocimiento relativo: dado conocimiento
de una extension de Galois M/K, podemos construir “desde
arriba hacia abajo” cada campo extension de Galois L/Kcontenida en M/K, como el campo fijo LN de un subgrupo
N ⊳ Gal(M/K) actuando en M .
Problema Absoluto. Encontrar una version del Teorema
Fundamental basado en conocimiento absoluto: que solo
requiere conocimiento de K para construir “desde abajo hacia
arriba” todas las extensiones algebraicas de K. Mas precisamente,
buscamos un grupo intrınsico i.e. construido por el campo base K,
cuyos subgrupos normales indexan las extensiones de Galois de K
Resumen
Introduccion
Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Grupo de Galois
Teorıa de Galois
Teorema Fundamental
Resumen
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
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Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
14
El Teorema Fundamental de la Teorıa de Galois es un ejemplo de
un resultado basado en conocimiento relativo: dado conocimiento
de una extension de Galois M/K, podemos construir “desde
arriba hacia abajo” cada campo extension de Galois L/Kcontenida en M/K, como el campo fijo LN de un subgrupo
N ⊳ Gal(M/K) actuando en M .
Problema Absoluto. Encontrar una version del Teorema
Fundamental basado en conocimiento absoluto: que solo
requiere conocimiento de K para construir “desde abajo hacia
arriba” todas las extensiones algebraicas de K. Mas precisamente,
buscamos un grupo intrınsico i.e. construido por el campo base K,
cuyos subgrupos normales indexan las extensiones de Galois de Ky ademas, nos permite construirlas explıcitamente.
Digresion: Grupo Fundamental
Introduccion
Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Digresion: Grupo
Fundamental
Grupo Fundamental
π1 de un Anillo
Cubrientes
Un Cubriente de Grado
Dos
Superficies de
Riemann y Campos de
Funciones
Cubrientes
Ramificados
Teorema Fundamental
de Cubrientes
Motivacion
Enteros
Teorıa de Campos de
Clase
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Kronecker-Weber
15
Grupo Fundamental
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Digresion: Grupo
Fundamental
Grupo Fundamental
π1 de un Anillo
Cubrientes
Un Cubriente de Grado
Dos
Superficies de
Riemann y Campos de
Funciones
Cubrientes
Ramificados
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de Cubrientes
Motivacion
Enteros
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Kronecker-Weber
16
Sea X un espacio topologico.
Grupo Fundamental
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Fundamental
Grupo Fundamental
π1 de un Anillo
Cubrientes
Un Cubriente de Grado
Dos
Superficies de
Riemann y Campos de
Funciones
Cubrientes
Ramificados
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de Cubrientes
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Enteros
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Clase
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16
Sea X un espacio topologico. Su grupo fundamental es
π1X = {lazos basados en un punto fijo x0 ∈ X}/homotopıa.
Grupo Fundamental
Introduccion
Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Digresion: Grupo
Fundamental
Grupo Fundamental
π1 de un Anillo
Cubrientes
Un Cubriente de Grado
Dos
Superficies de
Riemann y Campos de
Funciones
Cubrientes
Ramificados
Teorema Fundamental
de Cubrientes
Motivacion
Enteros
Teorıa de Campos de
Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
16
Sea X un espacio topologico. Su grupo fundamental es
π1X = {lazos basados en un punto fijo x0 ∈ X}/homotopıa.
Ejemplo. π1R = 1, π1S1 = Z.
π1 de un Anillo
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Campos y sus
Extensiones
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Digresion: Grupo
Fundamental
Grupo Fundamental
π1 de un Anillo
Cubrientes
Un Cubriente de Grado
Dos
Superficies de
Riemann y Campos de
Funciones
Cubrientes
Ramificados
Teorema Fundamental
de Cubrientes
Motivacion
Enteros
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Clase
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γ ≅ γ ’
γ ≅ η
Xπ1 ≅ ZZ
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Digresion: Grupo
Fundamental
Grupo Fundamental
π1 de un Anillo
Cubrientes
Un Cubriente de Grado
Dos
Superficies de
Riemann y Campos de
Funciones
Cubrientes
Ramificados
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de Cubrientes
Motivacion
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Clase
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Un cubriente (no ramificado)
Cubrientes
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Campos y sus
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Fundamental
Grupo Fundamental
π1 de un Anillo
Cubrientes
Un Cubriente de Grado
Dos
Superficies de
Riemann y Campos de
Funciones
Cubrientes
Ramificados
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de Cubrientes
Motivacion
Enteros
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Clase
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18
Un cubriente (no ramificado) es un mapeo suprayectivo
ρ : Y → X
Cubrientes
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Fundamental
Grupo Fundamental
π1 de un Anillo
Cubrientes
Un Cubriente de Grado
Dos
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Riemann y Campos de
Funciones
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Ramificados
Teorema Fundamental
de Cubrientes
Motivacion
Enteros
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Clase
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Kronecker-Weber
18
Un cubriente (no ramificado) es un mapeo suprayectivo
ρ : Y → X
tal que para cada x ∈ X
Cubrientes
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Campos y sus
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Digresion: Grupo
Fundamental
Grupo Fundamental
π1 de un Anillo
Cubrientes
Un Cubriente de Grado
Dos
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Riemann y Campos de
Funciones
Cubrientes
Ramificados
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de Cubrientes
Motivacion
Enteros
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Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
18
Un cubriente (no ramificado) es un mapeo suprayectivo
ρ : Y → X
tal que para cada x ∈ X existe una vecindad U ∋ x
Cubrientes
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Campos y sus
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Digresion: Grupo
Fundamental
Grupo Fundamental
π1 de un Anillo
Cubrientes
Un Cubriente de Grado
Dos
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Riemann y Campos de
Funciones
Cubrientes
Ramificados
Teorema Fundamental
de Cubrientes
Motivacion
Enteros
Teorıa de Campos de
Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
18
Un cubriente (no ramificado) es un mapeo suprayectivo
ρ : Y → X
tal que para cada x ∈ X existe una vecindad U ∋ x en la cual los
componentes de ρ−1(U) mapean homeomorficamente sobre U .
Cubrientes
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Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Digresion: Grupo
Fundamental
Grupo Fundamental
π1 de un Anillo
Cubrientes
Un Cubriente de Grado
Dos
Superficies de
Riemann y Campos de
Funciones
Cubrientes
Ramificados
Teorema Fundamental
de Cubrientes
Motivacion
Enteros
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Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
18
Un cubriente (no ramificado) es un mapeo suprayectivo
ρ : Y → X
tal que para cada x ∈ X existe una vecindad U ∋ x en la cual los
componentes de ρ−1(U) mapean homeomorficamente sobre U . A
veces escribimos
Y/X,
Cubrientes
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Digresion: Grupo
Fundamental
Grupo Fundamental
π1 de un Anillo
Cubrientes
Un Cubriente de Grado
Dos
Superficies de
Riemann y Campos de
Funciones
Cubrientes
Ramificados
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de Cubrientes
Motivacion
Enteros
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Clase
El Teorema de
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18
Un cubriente (no ramificado) es un mapeo suprayectivo
ρ : Y → X
tal que para cada x ∈ X existe una vecindad U ∋ x en la cual los
componentes de ρ−1(U) mapean homeomorficamente sobre U . A
veces escribimos
Y/X,
y definimos el grado como [Y : X ] := #ρ−1(x), x ∈ X .
Cubrientes
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Digresion: Grupo
Fundamental
Grupo Fundamental
π1 de un Anillo
Cubrientes
Un Cubriente de Grado
Dos
Superficies de
Riemann y Campos de
Funciones
Cubrientes
Ramificados
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de Cubrientes
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Enteros
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Clase
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Kronecker-Weber
18
Un cubriente (no ramificado) es un mapeo suprayectivo
ρ : Y → X
tal que para cada x ∈ X existe una vecindad U ∋ x en la cual los
componentes de ρ−1(U) mapean homeomorficamente sobre U . A
veces escribimos
Y/X,
y definimos el grado como [Y : X ] := #ρ−1(x), x ∈ X .
Definimos
Aut(Y/X) = {σ ∈ Homeo(Y )| σ ◦ ρ = ρ}.
Cubrientes
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Digresion: Grupo
Fundamental
Grupo Fundamental
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Riemann y Campos de
Funciones
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Ramificados
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de Cubrientes
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Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
18
Un cubriente (no ramificado) es un mapeo suprayectivo
ρ : Y → X
tal que para cada x ∈ X existe una vecindad U ∋ x en la cual los
componentes de ρ−1(U) mapean homeomorficamente sobre U . A
veces escribimos
Y/X,
y definimos el grado como [Y : X ] := #ρ−1(x), x ∈ X .
Definimos
Aut(Y/X) = {σ ∈ Homeo(Y )| σ ◦ ρ = ρ}.
Si #Aut(Y/X) = [Y : X ] decimos que Y/X es de Galois
Cubrientes
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Fundamental
Grupo Fundamental
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Cubrientes
Un Cubriente de Grado
Dos
Superficies de
Riemann y Campos de
Funciones
Cubrientes
Ramificados
Teorema Fundamental
de Cubrientes
Motivacion
Enteros
Teorıa de Campos de
Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
18
Un cubriente (no ramificado) es un mapeo suprayectivo
ρ : Y → X
tal que para cada x ∈ X existe una vecindad U ∋ x en la cual los
componentes de ρ−1(U) mapean homeomorficamente sobre U . A
veces escribimos
Y/X,
y definimos el grado como [Y : X ] := #ρ−1(x), x ∈ X .
Definimos
Aut(Y/X) = {σ ∈ Homeo(Y )| σ ◦ ρ = ρ}.
Si #Aut(Y/X) = [Y : X ] decimos que Y/X es de Galois y
escribimos
Gal(Y/X) := Aut(Y/X).
Un Cubriente de Grado Dos
Introduccion
Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Digresion: Grupo
Fundamental
Grupo Fundamental
π1 de un Anillo
Cubrientes
Un Cubriente de Grado
Dos
Superficies de
Riemann y Campos de
Funciones
Cubrientes
Ramificados
Teorema Fundamental
de Cubrientes
Motivacion
Enteros
Teorıa de Campos de
Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
19
Y
X
ρ
U
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Introduccion
Campos y sus
Extensiones
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Digresion: Grupo
Fundamental
Grupo Fundamental
π1 de un Anillo
Cubrientes
Un Cubriente de Grado
Dos
Superficies de
Riemann y Campos de
Funciones
Cubrientes
Ramificados
Teorema Fundamental
de Cubrientes
Motivacion
Enteros
Teorıa de Campos de
Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
20
Una superficie Σ dotada con un atlas compleja cuyas transiciones
son holomorfas se llama superficie de Riemann.
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Introduccion
Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Digresion: Grupo
Fundamental
Grupo Fundamental
π1 de un Anillo
Cubrientes
Un Cubriente de Grado
Dos
Superficies de
Riemann y Campos de
Funciones
Cubrientes
Ramificados
Teorema Fundamental
de Cubrientes
Motivacion
Enteros
Teorıa de Campos de
Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
20
Una superficie Σ dotada con un atlas compleja cuyas transiciones
son holomorfas se llama superficie de Riemann.
A cada superficie de Riemann se puede asociar su campo de
funciones meromorfas
Superficies de Riemann y Campos de Funciones
Introduccion
Campos y sus
Extensiones
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Digresion: Grupo
Fundamental
Grupo Fundamental
π1 de un Anillo
Cubrientes
Un Cubriente de Grado
Dos
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Riemann y Campos de
Funciones
Cubrientes
Ramificados
Teorema Fundamental
de Cubrientes
Motivacion
Enteros
Teorıa de Campos de
Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
20
Una superficie Σ dotada con un atlas compleja cuyas transiciones
son holomorfas se llama superficie de Riemann.
A cada superficie de Riemann se puede asociar su campo de
funciones meromorfas
KΣ = {f : Σ→ C meromorfa}.
Superficies de Riemann y Campos de Funciones
Introduccion
Campos y sus
Extensiones
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Digresion: Grupo
Fundamental
Grupo Fundamental
π1 de un Anillo
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Dos
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Riemann y Campos de
Funciones
Cubrientes
Ramificados
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de Cubrientes
Motivacion
Enteros
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Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
20
Una superficie Σ dotada con un atlas compleja cuyas transiciones
son holomorfas se llama superficie de Riemann.
A cada superficie de Riemann se puede asociar su campo de
funciones meromorfas
KΣ = {f : Σ→ C meromorfa}.
Ejemplo. Sea Σ = C := C ∪ {∞} la esfera de Riemann.
Superficies de Riemann y Campos de Funciones
Introduccion
Campos y sus
Extensiones
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Digresion: Grupo
Fundamental
Grupo Fundamental
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Un Cubriente de Grado
Dos
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Riemann y Campos de
Funciones
Cubrientes
Ramificados
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de Cubrientes
Motivacion
Enteros
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Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
20
Una superficie Σ dotada con un atlas compleja cuyas transiciones
son holomorfas se llama superficie de Riemann.
A cada superficie de Riemann se puede asociar su campo de
funciones meromorfas
KΣ = {f : Σ→ C meromorfa}.
Ejemplo. Sea Σ = C := C ∪ {∞} la esfera de Riemann.
KC = C(X) = {f(X)/g(X)| f(X), g(X) ∈ C[X ]}.
Superficies de Riemann y Campos de Funciones
Introduccion
Campos y sus
Extensiones
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Digresion: Grupo
Fundamental
Grupo Fundamental
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Dos
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Riemann y Campos de
Funciones
Cubrientes
Ramificados
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de Cubrientes
Motivacion
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Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
20
Una superficie Σ dotada con un atlas compleja cuyas transiciones
son holomorfas se llama superficie de Riemann.
A cada superficie de Riemann se puede asociar su campo de
funciones meromorfas
KΣ = {f : Σ→ C meromorfa}.
Ejemplo. Sea Σ = C := C ∪ {∞} la esfera de Riemann.
KC = C(X) = {f(X)/g(X)| f(X), g(X) ∈ C[X ]}.
Teorema. Σ1/Σ2 es de Galois⇔KΣ1/KΣ2 es de Galois
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Campos y sus
Extensiones
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Grupo Fundamental
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Funciones
Cubrientes
Ramificados
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Clase
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Kronecker-Weber
20
Una superficie Σ dotada con un atlas compleja cuyas transiciones
son holomorfas se llama superficie de Riemann.
A cada superficie de Riemann se puede asociar su campo de
funciones meromorfas
KΣ = {f : Σ→ C meromorfa}.
Ejemplo. Sea Σ = C := C ∪ {∞} la esfera de Riemann.
KC = C(X) = {f(X)/g(X)| f(X), g(X) ∈ C[X ]}.
Teorema. Σ1/Σ2 es de Galois⇔KΣ1/KΣ2 es de Galois y
Gal(Σ1/Σ2) ∼= Gal(KΣ1/KΣ2).
Cubrientes Ramificados
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Campos y sus
Extensiones
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Digresion: Grupo
Fundamental
Grupo Fundamental
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Kronecker-Weber
21
Un mapeo ρ : Y → X es un cubriente ramificado
Cubrientes Ramificados
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Clase
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21
Un mapeo ρ : Y → X es un cubriente ramificado si existe un
conjunto discreto de puntos {xi} ⊂ X
Cubrientes Ramificados
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Clase
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Kronecker-Weber
21
Un mapeo ρ : Y → X es un cubriente ramificado si existe un
conjunto discreto de puntos {xi} ⊂ X tal que el mapeo
ρ : Y −⋃ρ−1(xi) −→ X −
⋃xi
es cubriente.
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Clase
El Teorema de
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21
Un mapeo ρ : Y → X es un cubriente ramificado si existe un
conjunto discreto de puntos {xi} ⊂ X tal que el mapeo
ρ : Y −⋃ρ−1(xi) −→ X −
⋃xi
es cubriente. Los puntos xi son los puntos de ramificacion.
Cubrientes Ramificados
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21
Un mapeo ρ : Y → X es un cubriente ramificado si existe un
conjunto discreto de puntos {xi} ⊂ X tal que el mapeo
ρ : Y −⋃ρ−1(xi) −→ X −
⋃xi
es cubriente. Los puntos xi son los puntos de ramificacion.
Ejemplo. El mapeo
ρ : C→ C, ρ(z) = zn
es cubriente con punto de ramificacion z = 0.
Cubrientes Ramificados
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21
Un mapeo ρ : Y → X es un cubriente ramificado si existe un
conjunto discreto de puntos {xi} ⊂ X tal que el mapeo
ρ : Y −⋃ρ−1(xi) −→ X −
⋃xi
es cubriente. Los puntos xi son los puntos de ramificacion.
Ejemplo. El mapeo
ρ : C→ C, ρ(z) = zn
es cubriente con punto de ramificacion z = 0. Cada superficie de
Riemann compacta tiene un cubriente ramificado
ρ : Σ −→ C.
Cubrientes Ramificados
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Fundamental
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21
Un mapeo ρ : Y → X es un cubriente ramificado si existe un
conjunto discreto de puntos {xi} ⊂ X tal que el mapeo
ρ : Y −⋃ρ−1(xi) −→ X −
⋃xi
es cubriente. Los puntos xi son los puntos de ramificacion.
Ejemplo. El mapeo
ρ : C→ C, ρ(z) = zn
es cubriente con punto de ramificacion z = 0. Cada superficie de
Riemann compacta tiene un cubriente ramificado
ρ : Σ −→ C.
Ası que pensamos en C como “superficie base”: el analogo de Q.
Teorema Fundamental de Cubrientes
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Fundamental
Grupo Fundamental
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Kronecker-Weber
22
Teorema. Existe un cubriente de Galois ρ : X −→ X con
π1X = 1,
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Fundamental
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22
Teorema. Existe un cubriente de Galois ρ : X −→ X con
π1X = 1, llamado el cubriente universal.
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Fundamental
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22
Teorema. Existe un cubriente de Galois ρ : X −→ X con
π1X = 1, llamado el cubriente universal. Tenemos
Gal(X/X) ∼= π1X.
Teorema Fundamental de Cubrientes
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Fundamental
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Kronecker-Weber
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Teorema. Existe un cubriente de Galois ρ : X −→ X con
π1X = 1, llamado el cubriente universal. Tenemos
Gal(X/X) ∼= π1X.
Teorema Fundamental de Cubrientes. Hay una biyeccion
{N ⊳ π1X} ←→ {cubrientes de Galois XN → X}
Teorema Fundamental de Cubrientes
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Teorema. Existe un cubriente de Galois ρ : X −→ X con
π1X = 1, llamado el cubriente universal. Tenemos
Gal(X/X) ∼= π1X.
Teorema Fundamental de Cubrientes. Hay una biyeccion
{N ⊳ π1X} ←→ {cubrientes de Galois XN → X}
donde
XN = X/N,
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Fundamental
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22
Teorema. Existe un cubriente de Galois ρ : X −→ X con
π1X = 1, llamado el cubriente universal. Tenemos
Gal(X/X) ∼= π1X.
Teorema Fundamental de Cubrientes. Hay una biyeccion
{N ⊳ π1X} ←→ {cubrientes de Galois XN → X}
donde
XN = X/N, Gal(XN/X) ∼= π1X/N.
Teorema Fundamental de Cubrientes
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Fundamental
Grupo Fundamental
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Clase
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Kronecker-Weber
22
Teorema. Existe un cubriente de Galois ρ : X −→ X con
π1X = 1, llamado el cubriente universal. Tenemos
Gal(X/X) ∼= π1X.
Teorema Fundamental de Cubrientes. Hay una biyeccion
{N ⊳ π1X} ←→ {cubrientes de Galois XN → X}
donde
XN = X/N, Gal(XN/X) ∼= π1X/N.
Nota. Desafortunadamente, el Teorema Fundamental de
Cubrientes solo comprende los cubrientes no ramificados de K.
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Digresion: Grupo
Fundamental
Grupo Fundamental
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Idea. Buscar una nocion de de grupo fundamental
π1K
para cada campo K
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Idea. Buscar una nocion de de grupo fundamental
π1K
para cada campo K y demostrar un analogo del Teorema
Fundamental de Cubrientes
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Fundamental
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Idea. Buscar una nocion de de grupo fundamental
π1K
para cada campo K y demostrar un analogo del Teorema
Fundamental de Cubrientes que admite ramificacion
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Fundamental
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Idea. Buscar una nocion de de grupo fundamental
π1K
para cada campo K y demostrar un analogo del Teorema
Fundamental de Cubrientes que admite ramificacion para
solucionar el Problema Absoluto.
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Fundamental
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Idea. Buscar una nocion de de grupo fundamental
π1K
para cada campo K y demostrar un analogo del Teorema
Fundamental de Cubrientes que admite ramificacion para
solucionar el Problema Absoluto.
Ejemplo. Si K = KΣ donde Σ es superficie de Riemann
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Fundamental
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Idea. Buscar una nocion de de grupo fundamental
π1K
para cada campo K y demostrar un analogo del Teorema
Fundamental de Cubrientes que admite ramificacion para
solucionar el Problema Absoluto.
Ejemplo. Si K = KΣ donde Σ es superficie de Riemann definimos
π1K := π1Σ
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Fundamental
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Idea. Buscar una nocion de de grupo fundamental
π1K
para cada campo K y demostrar un analogo del Teorema
Fundamental de Cubrientes que admite ramificacion para
solucionar el Problema Absoluto.
Ejemplo. Si K = KΣ donde Σ es superficie de Riemann definimos
π1K := π1Σ
y por el diccionario entre extensiones de Galois de K y cubrientes
de Galois de Σ,
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Fundamental
Grupo Fundamental
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Idea. Buscar una nocion de de grupo fundamental
π1K
para cada campo K y demostrar un analogo del Teorema
Fundamental de Cubrientes que admite ramificacion para
solucionar el Problema Absoluto.
Ejemplo. Si K = KΣ donde Σ es superficie de Riemann definimos
π1K := π1Σ
y por el diccionario entre extensiones de Galois de K y cubrientes
de Galois de Σ, tenemos el analogo del Teorema Fundamental de
Cubrientes.
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Fundamental
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Idea. Buscar una nocion de de grupo fundamental
π1K
para cada campo K y demostrar un analogo del Teorema
Fundamental de Cubrientes que admite ramificacion para
solucionar el Problema Absoluto.
Ejemplo. Si K = KΣ donde Σ es superficie de Riemann definimos
π1K := π1Σ
y por el diccionario entre extensiones de Galois de K y cubrientes
de Galois de Σ, tenemos el analogo del Teorema Fundamental de
Cubrientes.
El Ejemplo indica que una posible solucion del Problema Absoluto
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Fundamental
Grupo Fundamental
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Funciones
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Ramificados
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de Cubrientes
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Clase
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Idea. Buscar una nocion de de grupo fundamental
π1K
para cada campo K y demostrar un analogo del Teorema
Fundamental de Cubrientes que admite ramificacion para
solucionar el Problema Absoluto.
Ejemplo. Si K = KΣ donde Σ es superficie de Riemann definimos
π1K := π1Σ
y por el diccionario entre extensiones de Galois de K y cubrientes
de Galois de Σ, tenemos el analogo del Teorema Fundamental de
Cubrientes.
El Ejemplo indica que una posible solucion del Problema Absoluto
puede ser encontrado por una geometrizacion ΣK del campo K.
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Fundamental
Enteros
Enteros
Espectro
Ideales Fraccionarios
Grupo de Clases de
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Sea K/Q una extension finita i.e. un campo numerico.
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Sea K/Q una extension finita i.e. un campo numerico. α ∈ K es
entero sobre Q
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Fundamental
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Sea K/Q una extension finita i.e. un campo numerico. α ∈ K es
entero sobre Q si existe f(X) ∈ Z[X ] monico
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Fundamental
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Sea K/Q una extension finita i.e. un campo numerico. α ∈ K es
entero sobre Q si existe f(X) ∈ Z[X ] monico tal que f(α) = 0.
Enteros
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Fundamental
Enteros
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Sea K/Q una extension finita i.e. un campo numerico. α ∈ K es
entero sobre Q si existe f(X) ∈ Z[X ] monico tal que f(α) = 0.
Teorema. El conjunto
OK = {α ∈ K entero sobre Q}
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Fundamental
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Kronecker-Weber
25
Sea K/Q una extension finita i.e. un campo numerico. α ∈ K es
entero sobre Q si existe f(X) ∈ Z[X ] monico tal que f(α) = 0.
Teorema. El conjunto
OK = {α ∈ K entero sobre Q}
es un dominio de Dedekind:
Enteros
Introduccion
Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
Enteros
Espectro
Ideales Fraccionarios
Grupo de Clases de
Ideales
Teorıa de Campos de
Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
25
Sea K/Q una extension finita i.e. un campo numerico. α ∈ K es
entero sobre Q si existe f(X) ∈ Z[X ] monico tal que f(α) = 0.
Teorema. El conjunto
OK = {α ∈ K entero sobre Q}
es un dominio de Dedekind: un dominio entero que cuenta con
factorisacion unica de ideales en ideales primos:
Enteros
Introduccion
Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
Enteros
Espectro
Ideales Fraccionarios
Grupo de Clases de
Ideales
Teorıa de Campos de
Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
25
Sea K/Q una extension finita i.e. un campo numerico. α ∈ K es
entero sobre Q si existe f(X) ∈ Z[X ] monico tal que f(α) = 0.
Teorema. El conjunto
OK = {α ∈ K entero sobre Q}
es un dominio de Dedekind: un dominio entero que cuenta con
factorisacion unica de ideales en ideales primos: para cada ideal
a ⊂ OK
Enteros
Introduccion
Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
Enteros
Espectro
Ideales Fraccionarios
Grupo de Clases de
Ideales
Teorıa de Campos de
Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
25
Sea K/Q una extension finita i.e. un campo numerico. α ∈ K es
entero sobre Q si existe f(X) ∈ Z[X ] monico tal que f(α) = 0.
Teorema. El conjunto
OK = {α ∈ K entero sobre Q}
es un dominio de Dedekind: un dominio entero que cuenta con
factorisacion unica de ideales en ideales primos: para cada ideal
a ⊂ OK
a =∏
pni
i ,
Enteros
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Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
Enteros
Espectro
Ideales Fraccionarios
Grupo de Clases de
Ideales
Teorıa de Campos de
Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
25
Sea K/Q una extension finita i.e. un campo numerico. α ∈ K es
entero sobre Q si existe f(X) ∈ Z[X ] monico tal que f(α) = 0.
Teorema. El conjunto
OK = {α ∈ K entero sobre Q}
es un dominio de Dedekind: un dominio entero que cuenta con
factorisacion unica de ideales en ideales primos: para cada ideal
a ⊂ OK
a =∏
pni
i ,
donde los pi son ideales primos.
Enteros
Introduccion
Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
Enteros
Espectro
Ideales Fraccionarios
Grupo de Clases de
Ideales
Teorıa de Campos de
Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
25
Sea K/Q una extension finita i.e. un campo numerico. α ∈ K es
entero sobre Q si existe f(X) ∈ Z[X ] monico tal que f(α) = 0.
Teorema. El conjunto
OK = {α ∈ K entero sobre Q}
es un dominio de Dedekind: un dominio entero que cuenta con
factorisacion unica de ideales en ideales primos: para cada ideal
a ⊂ OK
a =∏
pni
i ,
donde los pi son ideales primos.
Ası que existe una aritmetica de ideales.
Espectro
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Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
Enteros
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Grupo de Clases de
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Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
26
El espectro de OK
Espectro
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Campos y sus
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Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
Enteros
Espectro
Ideales Fraccionarios
Grupo de Clases de
Ideales
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Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
26
El espectro de OK es
Spec(OK) = {p ⊂ OK primo}
Espectro
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Fundamental
Enteros
Enteros
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Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
26
El espectro de OK es
Spec(OK) = {p ⊂ OK primo}
un espacio topologico con la topologıa de Zariski:
Espectro
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Campos y sus
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Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
Enteros
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Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
26
El espectro de OK es
Spec(OK) = {p ⊂ OK primo}
un espacio topologico con la topologıa de Zariski: generado por la
base de cerrados Ua = {p : p|a}.
Espectro
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Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
Enteros
Espectro
Ideales Fraccionarios
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Ideales
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Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
26
El espectro de OK es
Spec(OK) = {p ⊂ OK primo}
un espacio topologico con la topologıa de Zariski: generado por la
base de cerrados Ua = {p : p|a}. Si L/K es una extension,
Espectro
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Fundamental
Enteros
Enteros
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Grupo de Clases de
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Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
26
El espectro de OK es
Spec(OK) = {p ⊂ OK primo}
un espacio topologico con la topologıa de Zariski: generado por la
base de cerrados Ua = {p : p|a}. Si L/K es una extension,
OK ⊂ OL
Espectro
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Campos y sus
Extensiones
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Fundamental
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Enteros
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Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
26
El espectro de OK es
Spec(OK) = {p ⊂ OK primo}
un espacio topologico con la topologıa de Zariski: generado por la
base de cerrados Ua = {p : p|a}. Si L/K es una extension,
OK ⊂ OL y hay un mapeo sobre
ρ : Spec(OL) −→ Spec(OK),
Espectro
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Fundamental
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Enteros
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Clase
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Kronecker-Weber
26
El espectro de OK es
Spec(OK) = {p ⊂ OK primo}
un espacio topologico con la topologıa de Zariski: generado por la
base de cerrados Ua = {p : p|a}. Si L/K es una extension,
OK ⊂ OL y hay un mapeo sobre
ρ : Spec(OL) −→ Spec(OK), P 7→ p := P ∩ OK .
Espectro
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Fundamental
Enteros
Enteros
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Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
26
El espectro de OK es
Spec(OK) = {p ⊂ OK primo}
un espacio topologico con la topologıa de Zariski: generado por la
base de cerrados Ua = {p : p|a}. Si L/K es una extension,
OK ⊂ OL y hay un mapeo sobre
ρ : Spec(OL) −→ Spec(OK), P 7→ p := P ∩ OK .
Para p ∈ Spec(OK),
Espectro
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Fundamental
Enteros
Enteros
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Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
26
El espectro de OK es
Spec(OK) = {p ⊂ OK primo}
un espacio topologico con la topologıa de Zariski: generado por la
base de cerrados Ua = {p : p|a}. Si L/K es una extension,
OK ⊂ OL y hay un mapeo sobre
ρ : Spec(OL) −→ Spec(OK), P 7→ p := P ∩ OK .
Para p ∈ Spec(OK),
pOL =∏
Pi∈ρ−1(p)
Pni
i .
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Fundamental
Enteros
Enteros
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Ideales
Teorıa de Campos de
Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
26
El espectro de OK es
Spec(OK) = {p ⊂ OK primo}
un espacio topologico con la topologıa de Zariski: generado por la
base de cerrados Ua = {p : p|a}. Si L/K es una extension,
OK ⊂ OL y hay un mapeo sobre
ρ : Spec(OL) −→ Spec(OK), P 7→ p := P ∩ OK .
Para p ∈ Spec(OK),
pOL =∏
Pi∈ρ−1(p)
Pni
i .
Escribimos Pi|p.
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Enteros
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Clase
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Kronecker-Weber
26
El espectro de OK es
Spec(OK) = {p ⊂ OK primo}
un espacio topologico con la topologıa de Zariski: generado por la
base de cerrados Ua = {p : p|a}. Si L/K es una extension,
OK ⊂ OL y hay un mapeo sobre
ρ : Spec(OL) −→ Spec(OK), P 7→ p := P ∩ OK .
Para p ∈ Spec(OK),
pOL =∏
Pi∈ρ−1(p)
Pni
i .
Escribimos Pi|p. Decimos que L/K es no ramificado en p
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Enteros
Enteros
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Clase
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Kronecker-Weber
26
El espectro de OK es
Spec(OK) = {p ⊂ OK primo}
un espacio topologico con la topologıa de Zariski: generado por la
base de cerrados Ua = {p : p|a}. Si L/K es una extension,
OK ⊂ OL y hay un mapeo sobre
ρ : Spec(OL) −→ Spec(OK), P 7→ p := P ∩ OK .
Para p ∈ Spec(OK),
pOL =∏
Pi∈ρ−1(p)
Pni
i .
Escribimos Pi|p. Decimos que L/K es no ramificado en p si
ni = 1 para todo Pi|p.
Ideales Fraccionarios
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Clase
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Kronecker-Weber
27
En general no es el caso que cada ideal a ⊂ OK es principal.
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Fundamental
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Kronecker-Weber
27
En general no es el caso que cada ideal a ⊂ OK es principal.
Ejemplo. Sea K = Q(√−5).
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27
En general no es el caso que cada ideal a ⊂ OK es principal.
Ejemplo. Sea K = Q(√−5). Luego OK = Z[
√−5].
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Clase
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Kronecker-Weber
27
En general no es el caso que cada ideal a ⊂ OK es principal.
Ejemplo. Sea K = Q(√−5). Luego OK = Z[
√−5]. El ideal
a = (2, 1 +√−5) no es principal.
Ideales Fraccionarios
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27
En general no es el caso que cada ideal a ⊂ OK es principal.
Ejemplo. Sea K = Q(√−5). Luego OK = Z[
√−5]. El ideal
a = (2, 1 +√−5) no es principal.
El conjunto de ideales forma un monoıde con identidad (1) = OK .
Ideales Fraccionarios
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Kronecker-Weber
27
En general no es el caso que cada ideal a ⊂ OK es principal.
Ejemplo. Sea K = Q(√−5). Luego OK = Z[
√−5]. El ideal
a = (2, 1 +√−5) no es principal.
El conjunto de ideales forma un monoıde con identidad (1) = OK .
Un ideal fraccionario es unOK modulo
a ⊂ K
finitamente generado.
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Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
27
En general no es el caso que cada ideal a ⊂ OK es principal.
Ejemplo. Sea K = Q(√−5). Luego OK = Z[
√−5]. El ideal
a = (2, 1 +√−5) no es principal.
El conjunto de ideales forma un monoıde con identidad (1) = OK .
Un ideal fraccionario es unOK modulo
a ⊂ K
finitamente generado. El producto de ideales fraccionarios es
ab ={∑
aibi| ai ∈ a, bi ∈ b}
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Clase
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Kronecker-Weber
27
En general no es el caso que cada ideal a ⊂ OK es principal.
Ejemplo. Sea K = Q(√−5). Luego OK = Z[
√−5]. El ideal
a = (2, 1 +√−5) no es principal.
El conjunto de ideales forma un monoıde con identidad (1) = OK .
Un ideal fraccionario es unOK modulo
a ⊂ K
finitamente generado. El producto de ideales fraccionarios es
ab ={∑
aibi| ai ∈ a, bi ∈ b}
y el inverso multiplicativo es
a−1 := {x ∈ K| xa ⊂ OK}.
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28
Ası que el conjunto de ideales fraccionarios es un grupo
multiplicativo IOK,
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28
Ası que el conjunto de ideales fraccionarios es un grupo
multiplicativo IOK, con subgrupo de ideales principales
fraccionarios POK.
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28
Ası que el conjunto de ideales fraccionarios es un grupo
multiplicativo IOK, con subgrupo de ideales principales
fraccionarios POK. El grupo de clases de ideales es
ClK = ClOK:= IOK
/POK.
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28
Ası que el conjunto de ideales fraccionarios es un grupo
multiplicativo IOK, con subgrupo de ideales principales
fraccionarios POK. El grupo de clases de ideales es
ClK = ClOK:= IOK
/POK.
Teorema. ClK es un grupo finito.
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28
Ası que el conjunto de ideales fraccionarios es un grupo
multiplicativo IOK, con subgrupo de ideales principales
fraccionarios POK. El grupo de clases de ideales es
ClK = ClOK:= IOK
/POK.
Teorema. ClK es un grupo finito.
La cardinalidad hK de ClK se llama el numero de clase.
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28
Ası que el conjunto de ideales fraccionarios es un grupo
multiplicativo IOK, con subgrupo de ideales principales
fraccionarios POK. El grupo de clases de ideales es
ClK = ClOK:= IOK
/POK.
Teorema. ClK es un grupo finito.
La cardinalidad hK de ClK se llama el numero de clase.
El Problema del Numero de Clase Uno (Gauß 1801). Sea
K = Q(√D) cuadratico.
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28
Ası que el conjunto de ideales fraccionarios es un grupo
multiplicativo IOK, con subgrupo de ideales principales
fraccionarios POK. El grupo de clases de ideales es
ClK = ClOK:= IOK
/POK.
Teorema. ClK es un grupo finito.
La cardinalidad hK de ClK se llama el numero de clase.
El Problema del Numero de Clase Uno (Gauß 1801). Sea
K = Q(√D) cuadratico.
� hK →∞ cuando D → −∞.
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Ası que el conjunto de ideales fraccionarios es un grupo
multiplicativo IOK, con subgrupo de ideales principales
fraccionarios POK. El grupo de clases de ideales es
ClK = ClOK:= IOK
/POK.
Teorema. ClK es un grupo finito.
La cardinalidad hK de ClK se llama el numero de clase.
El Problema del Numero de Clase Uno (Gauß 1801). Sea
K = Q(√D) cuadratico.
� hK →∞ cuando D → −∞. Heilbronn (1934).
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28
Ası que el conjunto de ideales fraccionarios es un grupo
multiplicativo IOK, con subgrupo de ideales principales
fraccionarios POK. El grupo de clases de ideales es
ClK = ClOK:= IOK
/POK.
Teorema. ClK es un grupo finito.
La cardinalidad hK de ClK se llama el numero de clase.
El Problema del Numero de Clase Uno (Gauß 1801). Sea
K = Q(√D) cuadratico.
� hK →∞ cuando D → −∞. Heilbronn (1934).
� Si D < 0, hK = 1⇔−D = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163
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28
Ası que el conjunto de ideales fraccionarios es un grupo
multiplicativo IOK, con subgrupo de ideales principales
fraccionarios POK. El grupo de clases de ideales es
ClK = ClOK:= IOK
/POK.
Teorema. ClK es un grupo finito.
La cardinalidad hK de ClK se llama el numero de clase.
El Problema del Numero de Clase Uno (Gauß 1801). Sea
K = Q(√D) cuadratico.
� hK →∞ cuando D → −∞. Heilbronn (1934).
� Si D < 0, hK = 1⇔−D = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163Heegner (1952), Baker (1966), Stark (1967).
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Fundamental
Enteros
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Ideales
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Clase
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Kronecker-Weber
28
Ası que el conjunto de ideales fraccionarios es un grupo
multiplicativo IOK, con subgrupo de ideales principales
fraccionarios POK. El grupo de clases de ideales es
ClK = ClOK:= IOK
/POK.
Teorema. ClK es un grupo finito.
La cardinalidad hK de ClK se llama el numero de clase.
El Problema del Numero de Clase Uno (Gauß 1801). Sea
K = Q(√D) cuadratico.
� hK →∞ cuando D → −∞. Heilbronn (1934).
� Si D < 0, hK = 1⇔−D = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163Heegner (1952), Baker (1966), Stark (1967).
� Si D > 0, hay un numero infinito de campos cuadraticos con
hK = 1.
Grupo de Clases de Ideales
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Campos y sus
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Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
Enteros
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Ideales Fraccionarios
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Ideales
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Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
28
Ası que el conjunto de ideales fraccionarios es un grupo
multiplicativo IOK, con subgrupo de ideales principales
fraccionarios POK. El grupo de clases de ideales es
ClK = ClOK:= IOK
/POK.
Teorema. ClK es un grupo finito.
La cardinalidad hK de ClK se llama el numero de clase.
El Problema del Numero de Clase Uno (Gauß 1801). Sea
K = Q(√D) cuadratico.
� hK →∞ cuando D → −∞. Heilbronn (1934).
� Si D < 0, hK = 1⇔−D = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163Heegner (1952), Baker (1966), Stark (1967).
� Si D > 0, hay un numero infinito de campos cuadraticos con
hK = 1. Abierto
Teorıa de Campos de Clase
Introduccion
Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
Teorıa de Campos de
Clase
Teorema de Hilbert
La Teorıa de Campos
de Clase en Resumen
Campos p-adicos
Grupo de Clases de
Ideles
Hacia una Teorıa
No-Abeliana de
Campos de Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
29
Teorema de Hilbert
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Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
Teorıa de Campos de
Clase
Teorema de Hilbert
La Teorıa de Campos
de Clase en Resumen
Campos p-adicos
Grupo de Clases de
Ideles
Hacia una Teorıa
No-Abeliana de
Campos de Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
30
El campo de clase de Hilbert
HK/K
Teorema de Hilbert
Introduccion
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Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
Teorıa de Campos de
Clase
Teorema de Hilbert
La Teorıa de Campos
de Clase en Resumen
Campos p-adicos
Grupo de Clases de
Ideles
Hacia una Teorıa
No-Abeliana de
Campos de Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
30
El campo de clase de Hilbert
HK/K
es la maxima extension abeliana y no ramificada.
Teorema de Hilbert
Introduccion
Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
Teorıa de Campos de
Clase
Teorema de Hilbert
La Teorıa de Campos
de Clase en Resumen
Campos p-adicos
Grupo de Clases de
Ideles
Hacia una Teorıa
No-Abeliana de
Campos de Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
30
El campo de clase de Hilbert
HK/K
es la maxima extension abeliana y no ramificada.
Teorema (Hilbert). Gal(HK/K) ∼= ClK .
Teorema de Hilbert
Introduccion
Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
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Clase
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Campos p-adicos
Grupo de Clases de
Ideles
Hacia una Teorıa
No-Abeliana de
Campos de Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
30
El campo de clase de Hilbert
HK/K
es la maxima extension abeliana y no ramificada.
Teorema (Hilbert). Gal(HK/K) ∼= ClK .
Corolario. Solo hay un numero finitos de L/K no ramificada.
Teorema de Hilbert
Introduccion
Campos y sus
Extensiones
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Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
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Clase
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Campos p-adicos
Grupo de Clases de
Ideles
Hacia una Teorıa
No-Abeliana de
Campos de Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
30
El campo de clase de Hilbert
HK/K
es la maxima extension abeliana y no ramificada.
Teorema (Hilbert). Gal(HK/K) ∼= ClK .
Corolario. Solo hay un numero finitos de L/K no ramificada.
Nota. Para superficies de Riemann hay un numero infinito de
cubrientes no ramificados.
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Campos y sus
Extensiones
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Clase
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Ideles
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Campos de Clase
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Kronecker-Weber
30
El campo de clase de Hilbert
HK/K
es la maxima extension abeliana y no ramificada.
Teorema (Hilbert). Gal(HK/K) ∼= ClK .
Corolario. Solo hay un numero finitos de L/K no ramificada.
Nota. Para superficies de Riemann hay un numero infinito de
cubrientes no ramificados.
Idea. ClK deberia ser un cociente de un π1K hipotetico.
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No-Abeliana de
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Kronecker-Weber
31
Hay una “version abeliana” de π1:
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Digresion: Grupo
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No-Abeliana de
Campos de Clase
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31
Hay una “version abeliana” de π1: el grupo de clases de ideles
CK
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Fundamental
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31
Hay una “version abeliana” de π1: el grupo de clases de ideles
CK
y una correspondencia biyectiva
{NL < CK} ←→ {L/K abelianas}.
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Kronecker-Weber
31
Hay una “version abeliana” de π1: el grupo de clases de ideles
CK
y una correspondencia biyectiva
{NL < CK} ←→ {L/K abelianas}.
Hay un epimorfismo llamado el mapeo de reciprocidad
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31
Hay una “version abeliana” de π1: el grupo de clases de ideles
CK
y una correspondencia biyectiva
{NL < CK} ←→ {L/K abelianas}.
Hay un epimorfismo llamado el mapeo de reciprocidad
φL : CK ։ Gal(L/K)
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Kronecker-Weber
31
Hay una “version abeliana” de π1: el grupo de clases de ideles
CK
y una correspondencia biyectiva
{NL < CK} ←→ {L/K abelianas}.
Hay un epimorfismo llamado el mapeo de reciprocidad
φL : CK ։ Gal(L/K)
con Ker(φL) = NL
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Campos de Clase
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Kronecker-Weber
31
Hay una “version abeliana” de π1: el grupo de clases de ideles
CK
y una correspondencia biyectiva
{NL < CK} ←→ {L/K abelianas}.
Hay un epimorfismo llamado el mapeo de reciprocidad
φL : CK ։ Gal(L/K)
con Ker(φL) = NL que induce un isomorfismo
CK/NL∼= Gal(L/K).
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Campos de Clase
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Kronecker-Weber
31
Hay una “version abeliana” de π1: el grupo de clases de ideles
CK
y una correspondencia biyectiva
{NL < CK} ←→ {L/K abelianas}.
Hay un epimorfismo llamado el mapeo de reciprocidad
φL : CK ։ Gal(L/K)
con Ker(φL) = NL que induce un isomorfismo
CK/NL∼= Gal(L/K).
Para L = HK ,
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Kronecker-Weber
31
Hay una “version abeliana” de π1: el grupo de clases de ideles
CK
y una correspondencia biyectiva
{NL < CK} ←→ {L/K abelianas}.
Hay un epimorfismo llamado el mapeo de reciprocidad
φL : CK ։ Gal(L/K)
con Ker(φL) = NL que induce un isomorfismo
CK/NL∼= Gal(L/K).
Para L = HK , CK/NHK
∼= ClK
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Kronecker-Weber
31
Hay una “version abeliana” de π1: el grupo de clases de ideles
CK
y una correspondencia biyectiva
{NL < CK} ←→ {L/K abelianas}.
Hay un epimorfismo llamado el mapeo de reciprocidad
φL : CK ։ Gal(L/K)
con Ker(φL) = NL que induce un isomorfismo
CK/NL∼= Gal(L/K).
Para L = HK , CK/NHK
∼= ClK y φHKinduce el isomorfismo del
Teorema de Hilbert.
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32
Si p ∈ Spec(OK) y x ∈ OK
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32
Si p ∈ Spec(OK) y x ∈ OK definimos un valor absolute
|x|p
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32
Si p ∈ Spec(OK) y x ∈ OK definimos un valor absolute
|x|p = c−n
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32
Si p ∈ Spec(OK) y x ∈ OK definimos un valor absolute
|x|p = c−nsi pn|(x) pero pn+1 6 |(x)
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32
Si p ∈ Spec(OK) y x ∈ OK definimos un valor absolute
|x|p = c−nsi pn|(x) pero pn+1 6 |(x)
donde c > 1 un constante.
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32
Si p ∈ Spec(OK) y x ∈ OK definimos un valor absolute
|x|p = c−nsi pn|(x) pero pn+1 6 |(x)
donde c > 1 un constante. La completacionOp es un anillo local
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Kronecker-Weber
32
Si p ∈ Spec(OK) y x ∈ OK definimos un valor absolute
|x|p = c−nsi pn|(x) pero pn+1 6 |(x)
donde c > 1 un constante. La completacionOp es un anillo local
(solo tiene un ideal primo, la completacion p de p)
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Kronecker-Weber
32
Si p ∈ Spec(OK) y x ∈ OK definimos un valor absolute
|x|p = c−nsi pn|(x) pero pn+1 6 |(x)
donde c > 1 un constante. La completacionOp es un anillo local
(solo tiene un ideal primo, la completacion p de p) y su campo de
fracciones
Kp
Campos p-adicos
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Kronecker-Weber
32
Si p ∈ Spec(OK) y x ∈ OK definimos un valor absolute
|x|p = c−nsi pn|(x) pero pn+1 6 |(x)
donde c > 1 un constante. La completacionOp es un anillo local
(solo tiene un ideal primo, la completacion p de p) y su campo de
fracciones
Kp
se llama la completacion p-adica de K.
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33
Supongamos K/Q es Galois de grado n.
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33
Supongamos K/Q es Galois de grado n. El grupo de ideles es
IK
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33
Supongamos K/Q es Galois de grado n. El grupo de ideles es
IK := Kn ×∏
p∈Spec(OK)K×
p
donde
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33
Supongamos K/Q es Galois de grado n. El grupo de ideles es
IK := Kn ×∏
p∈Spec(OK)K×
p
donde
� K = R o C dependiente si K ⊂ R o no,
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33
Supongamos K/Q es Galois de grado n. El grupo de ideles es
IK := Kn ×∏
p∈Spec(OK)K×
p
donde
� K = R o C dependiente si K ⊂ R o no,
� K×p = (Kp − 0,×) es el grupo multiplicativo de Kp.
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33
Supongamos K/Q es Galois de grado n. El grupo de ideles es
IK := Kn ×∏
p∈Spec(OK)K×
p
donde
� K = R o C dependiente si K ⊂ R o no,
� K×p = (Kp − 0,×) es el grupo multiplicativo de Kp.
�∏
p∈Spec(OK)K×p es el grupo
{(xp) ∈∏
p∈Spec(OK)
K×
p :
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33
Supongamos K/Q es Galois de grado n. El grupo de ideles es
IK := Kn ×∏
p∈Spec(OK)K×
p
donde
� K = R o C dependiente si K ⊂ R o no,
� K×p = (Kp − 0,×) es el grupo multiplicativo de Kp.
�∏
p∈Spec(OK)K×p es el grupo
{(xp) ∈∏
p∈Spec(OK)
K×
p : xp ∈ O×
p para casi todo p}.
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33
Supongamos K/Q es Galois de grado n. El grupo de ideles es
IK := Kn ×∏
p∈Spec(OK)K×
p
donde
� K = R o C dependiente si K ⊂ R o no,
� K×p = (Kp − 0,×) es el grupo multiplicativo de Kp.
�∏
p∈Spec(OK)K×p es el grupo
{(xp) ∈∏
p∈Spec(OK)
K×
p : xp ∈ O×
p para casi todo p}.
dondeO×p es el grupo de unidades de Op
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33
Supongamos K/Q es Galois de grado n. El grupo de ideles es
IK := Kn ×∏
p∈Spec(OK)K×
p
donde
� K = R o C dependiente si K ⊂ R o no,
� K×p = (Kp − 0,×) es el grupo multiplicativo de Kp.
�∏
p∈Spec(OK)K×p es el grupo
{(xp) ∈∏
p∈Spec(OK)
K×
p : xp ∈ O×
p para casi todo p}.
dondeO×p es el grupo de unidades de Op (enteros cuyos
inversos son enteros).
Grupo de Clases de Ideles
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Campos de Clase
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Kronecker-Weber
33
Supongamos K/Q es Galois de grado n. El grupo de ideles es
IK := Kn ×∏
p∈Spec(OK)K×
p
donde
� K = R o C dependiente si K ⊂ R o no,
� K×p = (Kp − 0,×) es el grupo multiplicativo de Kp.
�∏
p∈Spec(OK)K×p es el grupo
{(xp) ∈∏
p∈Spec(OK)
K×
p : xp ∈ O×
p para casi todo p}.
dondeO×p es el grupo de unidades de Op (enteros cuyos
inversos son enteros).
Hay un encaje diagonal K× → IK .
Grupo de Clases de Ideles
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Campos de Clase
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Kronecker-Weber
33
Supongamos K/Q es Galois de grado n. El grupo de ideles es
IK := Kn ×∏
p∈Spec(OK)K×
p
donde
� K = R o C dependiente si K ⊂ R o no,
� K×p = (Kp − 0,×) es el grupo multiplicativo de Kp.
�∏
p∈Spec(OK)K×p es el grupo
{(xp) ∈∏
p∈Spec(OK)
K×
p : xp ∈ O×
p para casi todo p}.
dondeO×p es el grupo de unidades de Op (enteros cuyos
inversos son enteros).
Hay un encaje diagonal K× → IK . Luego CK = IK/K×.
Hacia una Teorıa No-Abeliana de Campos de Clase
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Ideles
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No-Abeliana de
Campos de Clase
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Kronecker-Weber
34
La Propuesta de una Teorıa No Abeliana de Campos de Clase.
Construir desde K un grupo no abeliano
CK
Hacia una Teorıa No-Abeliana de Campos de Clase
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Clase
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Ideles
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No-Abeliana de
Campos de Clase
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Kronecker-Weber
34
La Propuesta de una Teorıa No Abeliana de Campos de Clase.
Construir desde K un grupo no abeliano
CK
cuyos subgrupos normales NL indexan extensiones de Galois
L/K
Hacia una Teorıa No-Abeliana de Campos de Clase
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Campos p-adicos
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Ideles
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No-Abeliana de
Campos de Clase
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Kronecker-Weber
34
La Propuesta de una Teorıa No Abeliana de Campos de Clase.
Construir desde K un grupo no abeliano
CK
cuyos subgrupos normales NL indexan extensiones de Galois
L/K y un epimorfismo
ΦL : CK −→ Gal(L/K),
Hacia una Teorıa No-Abeliana de Campos de Clase
Introduccion
Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
Teorıa de Campos de
Clase
Teorema de Hilbert
La Teorıa de Campos
de Clase en Resumen
Campos p-adicos
Grupo de Clases de
Ideles
Hacia una Teorıa
No-Abeliana de
Campos de Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
34
La Propuesta de una Teorıa No Abeliana de Campos de Clase.
Construir desde K un grupo no abeliano
CK
cuyos subgrupos normales NL indexan extensiones de Galois
L/K y un epimorfismo
ΦL : CK −→ Gal(L/K), Ker(ΦL) = NL
Hacia una Teorıa No-Abeliana de Campos de Clase
Introduccion
Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
Teorıa de Campos de
Clase
Teorema de Hilbert
La Teorıa de Campos
de Clase en Resumen
Campos p-adicos
Grupo de Clases de
Ideles
Hacia una Teorıa
No-Abeliana de
Campos de Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
34
La Propuesta de una Teorıa No Abeliana de Campos de Clase.
Construir desde K un grupo no abeliano
CK
cuyos subgrupos normales NL indexan extensiones de Galois
L/K y un epimorfismo
ΦL : CK −→ Gal(L/K), Ker(ΦL) = NL
con
Gal(L/K) ∼= CK/NK .
Hacia una Teorıa No-Abeliana de Campos de Clase
Introduccion
Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
Teorıa de Campos de
Clase
Teorema de Hilbert
La Teorıa de Campos
de Clase en Resumen
Campos p-adicos
Grupo de Clases de
Ideles
Hacia una Teorıa
No-Abeliana de
Campos de Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
34
La Propuesta de una Teorıa No Abeliana de Campos de Clase.
Construir desde K un grupo no abeliano
CK
cuyos subgrupos normales NL indexan extensiones de Galois
L/K y un epimorfismo
ΦL : CK −→ Gal(L/K), Ker(ΦL) = NL
con
Gal(L/K) ∼= CK/NK .
El Programa de Langlands. Una reformulacion de La Propuesta
Hacia una Teorıa No-Abeliana de Campos de Clase
Introduccion
Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
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Clase
Teorema de Hilbert
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de Clase en Resumen
Campos p-adicos
Grupo de Clases de
Ideles
Hacia una Teorıa
No-Abeliana de
Campos de Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
34
La Propuesta de una Teorıa No Abeliana de Campos de Clase.
Construir desde K un grupo no abeliano
CK
cuyos subgrupos normales NL indexan extensiones de Galois
L/K y un epimorfismo
ΦL : CK −→ Gal(L/K), Ker(ΦL) = NL
con
Gal(L/K) ∼= CK/NK .
El Programa de Langlands. Una reformulacion de La Propuesta
que concentra en el efecto de una teorıa no abeliana en las
funciones L de K:
Hacia una Teorıa No-Abeliana de Campos de Clase
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Extensiones
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Fundamental
Enteros
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La Teorıa de Campos
de Clase en Resumen
Campos p-adicos
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Ideles
Hacia una Teorıa
No-Abeliana de
Campos de Clase
El Teorema de
Kronecker-Weber
34
La Propuesta de una Teorıa No Abeliana de Campos de Clase.
Construir desde K un grupo no abeliano
CK
cuyos subgrupos normales NL indexan extensiones de Galois
L/K y un epimorfismo
ΦL : CK −→ Gal(L/K), Ker(ΦL) = NL
con
Gal(L/K) ∼= CK/NK .
El Programa de Langlands. Una reformulacion de La Propuesta
que concentra en el efecto de una teorıa no abeliana en las
funciones L de K: generalizaciones de la funcion zeta de
Riemann.
El Teorema de
Kronecker-Weber
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Campos y sus
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Digresion: Grupo
Fundamental
Enteros
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Clase
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Rayos
Campos de Clase de
Rayos
El Duodecimo
Problema Otra Vez
Extensiones
Ciclotomicas
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35
Grupos de Clases de Rayos
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Campos y sus
Extensiones
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Digresion: Grupo
Fundamental
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Clase
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36
Sea m ⊂ OK un ideal
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Rayos
El Duodecimo
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36
Sea m ⊂ OK un ideal y sea
ImOK:= {a ∈ IOK
| (a,m) = 1}.
Grupos de Clases de Rayos
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Digresion: Grupo
Fundamental
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Rayos
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Problema Otra Vez
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Sea m ⊂ OK un ideal y sea
ImOK:= {a ∈ IOK
| (a,m) = 1}.
El subgrupo de m rayos es
PmOK
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36
Sea m ⊂ OK un ideal y sea
ImOK:= {a ∈ IOK
| (a,m) = 1}.
El subgrupo de m rayos es
PmOK
:= {(α) ∈ POK| α ≡ 1 mod m}.
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Rayos
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Problema Otra Vez
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36
Sea m ⊂ OK un ideal y sea
ImOK:= {a ∈ IOK
| (a,m) = 1}.
El subgrupo de m rayos es
PmOK
:= {(α) ∈ POK| α ≡ 1 mod m}.
El grupo de clases de m rayos es
ClmK
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36
Sea m ⊂ OK un ideal y sea
ImOK:= {a ∈ IOK
| (a,m) = 1}.
El subgrupo de m rayos es
PmOK
:= {(α) ∈ POK| α ≡ 1 mod m}.
El grupo de clases de m rayos es
ClmK := ImOK/Pm
OK.
Grupos de Clases de Rayos
Introduccion
Campos y sus
Extensiones
Teorıa de Galois
Digresion: Grupo
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Rayos
Campos de Clase de
Rayos
El Duodecimo
Problema Otra Vez
Extensiones
Ciclotomicas
Kronecker-Weber
36
Sea m ⊂ OK un ideal y sea
ImOK:= {a ∈ IOK
| (a,m) = 1}.
El subgrupo de m rayos es
PmOK
:= {(α) ∈ POK| α ≡ 1 mod m}.
El grupo de clases de m rayos es
ClmK := ImOK/Pm
OK.
Llamamos a m un modulus para L/K
Grupos de Clases de Rayos
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Rayos
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Problema Otra Vez
Extensiones
Ciclotomicas
Kronecker-Weber
36
Sea m ⊂ OK un ideal y sea
ImOK:= {a ∈ IOK
| (a,m) = 1}.
El subgrupo de m rayos es
PmOK
:= {(α) ∈ POK| α ≡ 1 mod m}.
El grupo de clases de m rayos es
ClmK := ImOK/Pm
OK.
Llamamos a m un modulus para L/K si el mapeo de reciprocidad
factorisa como
ψK : CK −→ ClmK −→ Gal(L/K).
Grupos de Clases de Rayos
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Rayos
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Problema Otra Vez
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Ciclotomicas
Kronecker-Weber
36
Sea m ⊂ OK un ideal y sea
ImOK:= {a ∈ IOK
| (a,m) = 1}.
El subgrupo de m rayos es
PmOK
:= {(α) ∈ POK| α ≡ 1 mod m}.
El grupo de clases de m rayos es
ClmK := ImOK/Pm
OK.
Llamamos a m un modulus para L/K si el mapeo de reciprocidad
factorisa como
ψK : CK −→ ClmK −→ Gal(L/K).
El modulus mas pequeno para L/K se llama el conductor.
Campos de Clase de Rayos
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El campo de clase de m rayos
Km/K
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El campo de clase de m rayos
Km/K
es la maxima extension abeliana
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El campo de clase de m rayos
Km/K
es la maxima extension abeliana no ramificada en primos p 6 |m
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El campo de clase de m rayos
Km/K
es la maxima extension abeliana no ramificada en primos p 6 |m y
cuyo conductor divide m.
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El campo de clase de m rayos
Km/K
es la maxima extension abeliana no ramificada en primos p 6 |m y
cuyo conductor divide m. Cuando m = (1), K(1) = HK .
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El campo de clase de m rayos
Km/K
es la maxima extension abeliana no ramificada en primos p 6 |m y
cuyo conductor divide m. Cuando m = (1), K(1) = HK .
Teorema. Gal(Km/K) ∼= ClmK .
Campos de Clase de Rayos
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El campo de clase de m rayos
Km/K
es la maxima extension abeliana no ramificada en primos p 6 |m y
cuyo conductor divide m. Cuando m = (1), K(1) = HK .
Teorema. Gal(Km/K) ∼= ClmK .
Notemos que cada extension abeliana L/K esta contenida en
algun Km.
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Rayos
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Rayos
El Duodecimo
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El campo de clase de m rayos
Km/K
es la maxima extension abeliana no ramificada en primos p 6 |m y
cuyo conductor divide m. Cuando m = (1), K(1) = HK .
Teorema. Gal(Km/K) ∼= ClmK .
Notemos que cada extension abeliana L/K esta contenida en
algun Km. En particular, la maxima extension abeliana de K es
Kab =⋃
Km.
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Rayos
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Kronecker-Weber
37
El campo de clase de m rayos
Km/K
es la maxima extension abeliana no ramificada en primos p 6 |m y
cuyo conductor divide m. Cuando m = (1), K(1) = HK .
Teorema. Gal(Km/K) ∼= ClmK .
Notemos que cada extension abeliana L/K esta contenida en
algun Km. En particular, la maxima extension abeliana de K es
Kab =⋃
Km.
Colectivamente se refiere a los Km como campos de clase.
El Duodecimo Problema Otra Vez
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38
Duodecimo Problema de Hilbert. Sea K un campo global i.e.
una extension finita de la forma
K/Q o K/F(T )
donde
� Q = es el campo de los racionales y
� F(T ) = el campo de funciones racionales sobre un campo
finito F.
Da una descripcion explıcita de cada campo de clase
Km/K.
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Una m-esima raız de unidad
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Una m-esima raız de unidad es ζ ∈ C con ζm = 1.
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Una m-esima raız de unidad es ζ ∈ C con ζm = 1. Cada tal ζ es
de la forma
ζ = exp(2πiq), q ∈ (m)−1 mod Z.
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Una m-esima raız de unidad es ζ ∈ C con ζm = 1. Cada tal ζ es
de la forma
ζ = exp(2πiq), q ∈ (m)−1 mod Z.
Las m-esima raices de unidad forman un grupo multiplicativo
cıclico:
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Rayos
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39
Una m-esima raız de unidad es ζ ∈ C con ζm = 1. Cada tal ζ es
de la forma
ζ = exp(2πiq), q ∈ (m)−1 mod Z.
Las m-esima raices de unidad forman un grupo multiplicativo
cıclico: un generador se llama primitiva.
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Una m-esima raız de unidad es ζ ∈ C con ζm = 1. Cada tal ζ es
de la forma
ζ = exp(2πiq), q ∈ (m)−1 mod Z.
Las m-esima raices de unidad forman un grupo multiplicativo
cıclico: un generador se llama primitiva. Una extension
ciclotomica de Q es una de la forma
Q(ζm)
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39
Una m-esima raız de unidad es ζ ∈ C con ζm = 1. Cada tal ζ es
de la forma
ζ = exp(2πiq), q ∈ (m)−1 mod Z.
Las m-esima raices de unidad forman un grupo multiplicativo
cıclico: un generador se llama primitiva. Una extension
ciclotomica de Q es una de la forma
Q(ζm)
donde ζm es una m-esima raız de unidad primitiva.
Kronecker-Weber
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Kronecker-Weber
40
El siguiente teorema da una solucion del duodecimo problema para
K = Q.
Kronecker-Weber
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Rayos
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Problema Otra Vez
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Kronecker-Weber
40
El siguiente teorema da una solucion del duodecimo problema para
K = Q.
Teorema de Kronecker-Weber. Sea (m) ⊂ Z un ideal. Entonces
Q(m) = Q(ζm).
