MA13_U02

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Congruncia de

Tringulos

Sumrio

2.1 Os casos LAL, ALA e LLL . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Aplicaes de congruncia . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Unidade 2

Os casos LAL, ALA e LLL

Congruncia de Tringulos

Esta unidade devotada ao estudo de condies necessrias e sucientes

para que dois tringulos possam ser considerados iguais, num sentido a ser pre-

cisado. Discutimos, ainda, vrias consequncias interessantes de tais conjuntos

de condies, notadamente o quinto axioma de Euclides (tambm conhecido

como o axioma das paralelas), a desigualdade triangular e os vrios tipos de

quadrilteros notveis.

2.1 Os casos LAL, ALA e LLL

Consideremos, inicialmente, o exemplo a seguir.

Exemplo 1

Construa com rgua e compasso um tringulo equiltero ABC de lados

iguais a l.

Soluo

l

Descrio dos passos.

1. Marque um ponto arbitrrio A no plano.

2. Com a abertura do compasso igual a l, centre-o em A e construa o crculo

de centro A e raio l.

3. Marque um ponto arbitrrio B sobre tal crculo.

4. Com a abertura do compasso igual a l, centre-o em B e construa o crculo

de centro B e raio l.

5. Denotando por C uma qualquer das intersees dos dois crculos traados,

construmos um tringulo ABC, equiltero e de lado l.

2

Unidade 2


No exemplo acima, construmos um tringulo tendo certas propriedades

pr-estabelecidas (ser equiltero, com comprimento dos lados conhecido). Ao

resolv-lo, aceitamos implicitamente o fato de que s havia, essencialmente, um

tringulo satisfazendo as propriedades pedidas; de outro modo, qualquer outro

tringulo que tivssemos construdo mereceria ser qualicado como igual ao

tringulo construdo, uma vez que s diferiria desse por sua posio no plano.

A discusso acima motiva a noo de igualdade para tringulos, a qual

recebe o nome especial de congruncia: dizemos que dois tringulos so con-

gruentes se for possvel mover um deles no espao, sem deform-lo, at faz-lo

coincidir com o outro.

Assim, se dois tringulos ABC e ABC forem congruentes, deve existir

uma correspondncia entre os vrtices de um e do outro, de modo que os

ngulos internos em vrtices correspondentes sejam iguais, bem como o sejam

os lados opostos a vrtices correspondentes. A Figura 2.1 mostra dois tringulos

congruentes ABC e ABC , com a correspondncia de vrtices

A A; B B; C C .Para tais tringulos, temos ento

A

B C A

B

C

Figura 2.1: dois tringulos congruentes.

{A = A; B = B; C = C

AB = AB; AC = AC ; BC = BC .

imediato que a congruncia de tringulos possui as duas propriedades

interessantes a seguir

1

:

1

O leitor com algum conhecimento prvio de Geometria Euclidiana notar que, no que

segue, no listamos a propriedade reexiva da congruncia de tringulos. Nesse sentido,

sempre que nos referirmos, em um certo contexto, a dois tringulos, car implcito que os

mesmos so, necessariamente, distintos.

3

Unidade 2


1. Simetria: tanto faz dizermos que um tringulo ABC congruente a

um tringulo DEF quanto que DEF congruente a ABC, ou mesmo

que ABC e DEF so congruentes. Isso porque, se pudermos mover

ABC, sem deform-lo, at faz-lo coincidir com DEF , ento certamente

poderemos fazer o movimento contrrio com DEF , at superp-lo a

ABC.

2. Transitividade: se ABC for congruente a DEF e DEF for congruente

aGHI, ento ABC ser congruente aGHI. Isso porque podemos mover

ABC at faz-lo coincidir comGHI por partes: primeiro, movemosABC

at que ele coincida com DEF e, ento, continuamos a mov-lo at que

coincida com GHI.

Doravante, escreveremos

ABC ABC

para denotar que os dois tringulos ABC e ABC so congruentes, com a

correspondncia de vrtices

A A; B B; C C .

Seria interessante dispormos de critrios para decidir se dois tringulos dados

so ou no congruentes. Tais critrios deveriam ser os mais simples possveis,

a m de facilitar a vericao da congruncia. Esses critrios existem e so

chamados casos de congruncia de tringulos.

No que segue, vamos estudar os vrios casos de congruncia de tringulos

sob um ponto de vista informal. Cada caso precedido de um problema de

construo com rgua e compasso, cuja soluo motiva sua formalizao.

Exemplo 2

Construa com rgua e compasso o tringulo ABC, conhecidos BC = a,

AC = b e C = .

Soluo

a b

4

Unidade 2


Descrio dos passos.

1. Marque um ponto C no plano e, em seguida, trace uma semirretaCX

de origem C.

2. Transporte o ngulo dado para um ngulo XCY = , de vrtice C,

determinando a semirreta

CY de origem C.

3. Sobre as semirretas

CX e

CY marque, respectivamente, os pontos B e

A tais que AC = b e BC = a.

Analisando os passos da construo acima notamos que, escolhendo outra

posio para o vrtice C e outra direo para os lados do ngulo XCY , aconstruo do tringulo ABC continuaria determinada pelos dados do exemplo

e obteramos um tringulo que, intuitivamente, gostaramos de qualicar como

congruente ao tringulo inicial. Essa discusso motiva nosso primeiro caso de

congruncia, conhecido como o caso LAL.

Axioma 3

LAL

Se dois lados de um tringulo e o ngulo formado por esses dois lados forem

respectivamente iguais a dois lados de outro tringulo e ao ngulo formado por

esses dois lados, ento os dois tringulos so congruentes.

A

B C A

B

C

Figura 2.2: o caso de congruncia LAL.

Em smbolos, o caso de congruncia acima garante que, dados tringulos

ABC e ABC , temos:

AB = AB

AC = AC

A = A

LAL= ABC ABC ,5

Unidade 2


com a correspondncia de vrtices A A, B B, C C . Em particular,segue, da, que

B = B, C = C e BC = BC .

Consideremos, agora, o exemplo a seguir.

Exemplo 4

Construa com rgua e compasso o tringulo ABC, conhecidos BC = a,

B = e C = .

Soluo

a

Descrio dos passos.

1. Trace uma reta r e, sobre a mesma, marque pontos B e C tais que

BC = a.

2. Construa uma semirreta

BX tal que CBX = .

3. No semiplano determinado por r e X construa a semirretaCY tal que

BCY = .

4. Marque o ponto A como interseo das semirretasBX e

CY .

Aqui novamente, analisando os passos da construo acima, notamos que,

escolhendo outra posio para o lado BC e mantendo BC = a, a construo

do tringulo ABC continuaria determinada pelas medidas impostas aos ngulos

B e C, de modo que obteramos um tringulo que gostaramos de qualicarcomo congruente ao tringulo inicial. Essa discusso motiva nosso segundo

caso de congruncia, o caso ALA.

6

Unidade 2


Axioma 5

ALA

Se dois ngulos de um tringulo e o lado compreendido entre esses dois

ngulos forem respectivamente iguais a dois ngulos de outro tringulo e ao lado

compreendido entre esses dois ngulos, ento os dois tringulos so congruentes.

A

B C A

B

C

Figura 2.3: o caso de congruncia ALA.

Em smbolos, dados dois tringulos ABC e ABC , temos:

A = A

B = B

AB = AB

ALA= ABC ABC ,com a correspondncia de vrtices A A, B B, C C . Em particular,tambm devemos ter

C = C , AC = AC e BC = BC .

Examinemos, agora, o exemplo que motivar nosso terceiro caso de con-

gruncia.

Exemplo 6

Construa com rgua e compasso o tringulo ABC, conhecidos AB = c,

AC = b e BC = a.

Soluo

a bc

7

Unidade 2


Descrio dos passos.

1. Trace uma reta r e, sobre a mesma, marque pontos B e C tais que

BC = a.

2. Trace os crculos de centro B e raio c e de centro C e raio b.

3. Marque o ponto A como um dos pontos de interseo dos crculos traa-

dos no item anterior.

Uma vez mais, os passos da construo evidenciam que, com outro posi-

cionamento inicial para o lado BC (mantida, claro, a condio BC = a),

obteramos um tringulo que gostaramos de qualicar como congruente ao

tringulo inicial. Isto motiva, ento, nosso terceiro caso de congruncia, o caso

LLL, enunciado a seguir.

Axioma 7

LLL

Se os trs lados de um tringulo so, em alguma ordem, respectivamente

congruentes aos trs lados de outro tringulo, ento os dois tringulos so

congruentes.

A

B C A

B

C

Figura 2.4: o caso de congruncia LLL.

Em smbolos, dados dois tringulos ABC e ABC , temos:

AB = AB

BC = BC

CA = C A

LLL= ABC ABC ,com a correspondncia de vrtices A A, B B, C C . Em particular,tambm temos

A = A, B = B e C = C .

8

Unidade 2


Vale observar que os casos de congruncia ALA e LLL decorrem do caso

LAL no seguinte sentido: dados, no plano, dois tringulos quaisquer, pode

ser mostrado que a validade de um qualquer dos conjuntos de condies ALA

ou LLL para os mesmos acarreta a validade de uma condio do tipo LAL.

No entanto, como tais dedues no implicariam em ganho substancial para

o propsito destas notas, no as apresentaremos aqui (para uma exposio,

referimos o leitor a [3]). Por m, apresentaremos os dois ltimos casos de

congruncia de tringulos no Corolrio 4.8 e no Problema 1 da Unidade 4,

mostrando como tais casos podem ser deduzidos a partir dos casos ALA e LLL,

estudados acima.

Por m, observamos que, uma vez estabelecida a congruncia de dois trin-

gulos, sempre que no houver perigo de confuso omitiremos a correspondncia

entre seus vrtices. Essa praxe ser utilizada vrias vezes no restante dessas

notas, de forma que exortamos o leitor, em cada uma de tais oportunidades, a

checar com cuidado a correspondncia apropriada entre os vrtices envolvidos,

para o bem da compreenso do texto.

9

Unidade 2 Problemas

2.2 Problemas

1. (a) D um exemplo mostrando dois tringulos congruentes para os quais

no seja possvel mover rigidamente (i.e., sem deformar) um deles

no plano at faz-lo coincidir com o outro.

(b) Em que diferem os dois tringulos congruentes do item (a) que

justique no podermos fazer tal movimento no plano?

(c) Para o exemplo do item (a), mostre como mover rigidamente um

dos tringulos no espao at faz-lo coincidir com o outro.

(Sugesto: para o item (a), considere tringulos escalenos ABC e ABC

no plano, tais que AB = AB e AC = AC. A razo da impossibilidade

de mover (no plano) um deles at faz-lo coincidir com o outro o fato

de que eles tm orientaes distintas.)

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Unidade 2


2.3 Aplicaes de congruncia

Colecionamos, nesta seo, algumas aplicaes teis dos casos de congrun-

cia de tringulos estudados na seo anterior. Tais aplicaes aparecero do-

ravante com tanta frequncia que o leitor deve se esforar por memoriz-las o

quanto antes.

Definio 8Dado um ngulo AOB, a bissetriz de AOB a semirretaOC que

o divide em dois ngulos iguais. Neste caso, dizemos ainda que

OC bissecta

AOB. Assim,OC bissecta AOB AOC = BOC.

Assumiremos, aqui, que a bissetriz interna de um ngulo, caso exista,

nica. O prximo exemplo ensina como construi-la.

Exemplo 9

Construa com rgua e compasso a bissetriz do ngulo AOB dado abaixo.

Soluo

O

B

A

Descrio dos passos.

1. Centre o compasso em O e, com uma mesma abertura r, marque pontos

X OA e Y

OB.

2. Fixe uma abertura s > 12XY e trace, dos crculos de raio s e centros X e

Y , arcos que se intersectem num ponto C. A semirretaOC a bissetriz

de AOB.

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Unidade 2

Aplicaes de congruncia

De fato, em relao aos tringulos XOC e Y OC construdos acima, temos

OX = OY = r e XC = Y C = s; uma vez que o lado OC comum aos

dois tringulos, segue do caso de congruncia LLL que XOC Y OC. Logo,XOC = Y OC ou, ainda, AOC = BOC.

Em um tringulo ABC, a bissetriz interna relativa a BC (ou ao vrtice

A) a poro AP da bissetriz do ngulo interno A do tringulo, desde A ato lado BC; o ponto P BC o p da bissetriz interna relativa a BC.Analogamente, temos em ABC as bissetrizes internas relativas aos lados AC

e AB (ou aos vrtices B e C, respectivamente), de modo que todo tringulo

possui exatamente trs bissetrizes internas. Neste momento, instrutivo o

leitor desenhar um tringulo ABC, juntamente com a bissetriz interna relativa

ao vrtice A e o p da bissetriz correspondente; a esse respeito, veja tambm

o Problema 1, pgina 17.

Combinando os casos LLL e LAL podemos contruir tambm o ponto mdio

de um segmento, i.e., o ponto que o divide em duas partes iguais. O prximo

exemplo explica como construi-lo.

Exemplo 10

Construa com rgua e compasso o ponto mdio do segmento AB.

Soluo

A

B

Descrio dos passos.

1. Fixe uma abertura r > 12AB e trace, dos crculos de raio r e centros A

e B, arcos que se intersectem nos pontos X e Y .

2. O ponto M de interseo da retaXY com o segmento AB o ponto

mdio de AB.

De fato, em relao aos tringulos AXY e BXY , temos AX = BX e AY =

BY ; uma vez que o lado XY comum aos dois tringulos, segue do caso de

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Unidade 2


congruncia LLL que AXY BXY . Portanto, AXY = BXY ou, ainda,AXM = BXM . Agora, nos tringulos AXM e BXM , temos que AX =

BX e AXM = BXM ; mas, como o lado XM comum aos mesmos, segue

do caso LAL que AXM BXM . Logo, AM = BM .

Em um tringulo ABC, a mediana relativa ao lado BC (ou ao vrtice A)

o segmento que une o vrtice A ao ponto mdio do lado BC. Analogamente,

temos em ABC medianas relativas aos lados AC e AB (ou aos vrtices B

e C, respectivamente), de modo que todo tringulo possui exatamente trs

medianas. Sugerimos ao leitor desenhar um tringulo ABC, juntamente com

sua mediana relativa ao vrtice A e o ponto mdio do lado correspondente; veja

tambm o Problema 2, pgina 17.

Dadas duas retas r e s no plano, dizemos que r perpendicular a s, que

s perpendicular a r ou, ainda, que r e s so perpendiculares quando r e s

tiverem um ponto em comum e formarem ngulos de 90 nesse ponto. Escreve-

mos rs para denotar que duas retas r e s so perpendiculares. O prximoexemplo mostra como usar os casos de congruncia estudados anteriormente

para construir a reta perpendicular a uma reta dada e passando por um ponto

dado.

Exemplo 11

Dados, no plano, uma reta r e um ponto A, construa com rgua e compasso

uma reta s tal que rs e A s.

Soluo

H dois casos a considerar:

(a)

r

A

Descrio dos passos.

1. Com o compasso centrado em A, descreva um arco de crculo que inter-

secte a reta r em dois pontos distintos B e C.

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Unidade 2


2. Construa o ponto mdio M de BC e faa s =AM .

De fato, em relao aos tringulos ABM e ACM , temos AB = AC e

BM = CM ; como AM lado de ambos os tringulos, segue do caso LLL que

ABM ACM e, da, AMB = AMC. Mas, como AMB + AMC = 180,devemos ter, ento, que AMB = AMC = 90 ou, ainda,

AMr.

(b)

rA

Descrio dos passos.

1. Com o compasso centrado em A, descreva um semicrculo que intersecta

a reta r nos pontos B e C.

2. Trace, agora, crculos de raio r > 12BC e centros respectivamente em B

e em C; sendo A um dos pontos de interseo de tais crculos, temosAAr.

De fato, temos ABA ACA por LLL e, da, AAB = AAC. Mas, comoAAB + AAC = 180, segue que AAB = AAC = 90.

Nas notaes do exemplo anterior, se A / r, ento o ponto de interseoda reta s, perpendicular a r por A, denominado o p da perpendicular

baixada de A a r.

Observao 12 Dados, no plano, um ponto A e uma reta r, possvel mostrar que existe

uma nica reta s, perpendicular a r e passando por A (a esse respeito, veja o

Problema 19 da Unidade 4.

Dados, no plano, um ponto A e uma reta r, com A / r, a distncia doponto A reta r denida como o comprimento do segmento AP , onde P

o p da perpendicular baixada de A a r (cf. Figura 2.5). Denotando por

d a distncia de A a r, temos ento d = AP . Provaremos na Unidade 5

que o comprimento do segmento AP menor que o comprimento de qualquer

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Unidade 2


r

A

P

d

P

Figura 2.5: distncia do ponto A reta r.

outro segmento unindo A a um ponto P r, com P 6= P ; nas notaes daFigura 2.5, d < AP .

Em um tringulo ABC, a altura relativa ao lado BC (ou ao vrtice A) o

segmento que une o vrtice A ao p da perpendicular baixada de A retaBC.

Nesse caso, denominamos o p da perpendicular em questo de p da altura

relativa a BC. Analogamente, temos em ABC alturas relativas aos lados AC

e AB (ou aos vrtices B e C, respectivamente), de modo que todo tringulo

possui exatamente trs alturas. A esta altura, sugerimos ao leitor desenhar um

tringulo ABC, juntamente com sua altura relativa ao vrtice A e o p da

altura correspondente; a esse respeito, veja tambm o Problema 3, pgina 17.

Finalizamos essa seo estudando uma propriedade muito importante dos

tringulos issceles:

Proposio 13Se ABC um tringulo issceles de base BC, ento B = C.

Demonstrao

A prova dessa proposio est embutida na justicativa que demos para a

construo do ponto mdio de um segmento. Em todo caso, vamos repeti-la.

A

B CM

Figura 2.6: ABC issceles B = C.

15

Unidade 2


Seja M o ponto mdio do lado BC (Figura 2.6). Como BM = CM ,

AB = AC e AM lado comum de AMB e AMC, segue do caso de con-

gruncia LLL que tais tringulos so congruentes. Logo, ABM = ACM .

Corolrio 14

Os ngulos internos de um tringulo equiltero so todos iguais.

Demonstrao

Basta observar que todos os lados de um tringulo equiltero podem ser

vistos como bases do mesmo, considerado como tringulo issceles.

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Unidade 2


2.4 Problemas

1. Construa com rgua e compasso as bissetrizes internas do tringulo ABC

da Figura 2.7.(Sugesto: siga os passos da construo descrita no Exem-

plo 9.)

A

C

B

Figura 2.7: bissetrizes internas de um tringulo.

2. Construa com rgua e compasso as medianas do tringulo ABC da

Figura 2.8.(Sugesto: siga os passos da construo descrita no Exem-

plo 10.)

A

C

B

Figura 2.8: medianas de um tringulo.

3. Construa com rgua e compasso as alturas do tringuloABC da Figura 2.8.

Aps os trs problemas acima, vale a pena tecermos alguns comentrios.

Em primeiro lugar, imediato, a partir das denies dadas, que as bis-

setrizes internas e as medianas de um tringulo esto sempre contidas

no mesmo; isso no necessariamente verdadeiro para as alturas, con-

forme voc pde notar no ltimo problema acima. Por outro lado, voc

deve ter notado que, nas construes efetuadas nos trs problemas referi-

dos, as bissetrizes internas do tringulo ABC passaram todas por um

17

Unidade 2 Problemas

mesmo ponto, o mesmo tendo ocorrido para as medianas e as alturas.

Tais concorrncias no so devidas aos tringulos ABC escolhidos, de

fato, prova-se que bissetrizes internas, medianas e alturas de um trin-

gulo qualquer sempre passam por um mesmo ponto.

4. * Sejam dados, no plano, um ponto A e uma reta r, com A / r. Dize-mos que um ponto A o simtrico de A em relao reta r quandoAAr e r passar pelo ponto mdio do segmento AA. Mostre comoconstruir A com rgua e compasso2. (Sugesto: comece construindo a

reta perpendicular a r e passando por A.)

5. Construa com rgua e compasso o tringulo ABC, conhecidos os com-

primentos AB = c, BC = a e ma da mediana relativa a A. (Sugesto:

comece construindo o tringulo ABM , onde M o ponto mdio do lado

BC.)

6. Construa com rgua e compasso o tringulo ABC, conhecendo os com-

primentos AB = c, AC = b e ma da mediana relativa a BC. (Sugesto:

no tringulo ABC, sejam M o ponto mdio do lado BC e A AM tal

que AM = AM . Mostre que AMC AMB e, em seguida, use estaconcluso para construir o tringulo AAC. Construa, agora, o ponto

mdioM de AA e obtenha o vrtice B como o ponto sobreCM tal que

BM = CM .)

7. Construa com rgua e compasso o tringulo ABC, conhecidos os compri-

mentos AB = c e a da bissetriz interna relativa ao lado BC, bem como

a medida BAC = . (Sugesto: divida o ngulo em duas partesiguais (com o auxlio da construo da bissetriz) e, em seguida, construa

o tringulo ABP , onde P o p da bissetriz interna de ABC relativa ao

lado BC. Em seguida, obtenha o vrtice C como a interseo deBP

com

AX, onde BAX = .)

8. * Se ABC um tringulo issceles de base BC, prove que a bissetriz, a

mediana e a altura relativas a BC coincidem. (Sugesto: seM o ponto

2

Para estudar sistematicamente reexo como uma transformao geomtrica (cf. [10]),

necessrio denirmos o simtrico A de um ponto A em relao reta r quando A r;nesse caso, pomos A = A.

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Unidade 2


mdio do lado BC, mostramos na Proposio 13 que os tringulos ABM

e ACM so congruentes por LLL. Conclua, da, que AM bissetriz de

BAC e que BMA = CMA. Por m, use o fato de BMA+CMA =180 para concluir que AM altura.)

9. * Sejam ABC um tringulo e P , M e H respectivamente os ps da

bissetriz interna, mediana e altura relativas ao lado BC. Se P e H ou

M e H coincidirem, prove que ABC issceles de base BC. (Sugesto:

se P e H coincidirem, mostre que ABP ACP por ALA; se M e Hcoincidirem, use LAL em vez de ALA.)

10. * Seja um crculo de centro O e AB uma corda de . Se M um

ponto sobre AB, prove que

OMAB AM = BM.

(Sugesto: uma vez que OA = OB, suciente combinar os resultados

dos dois problemas anteriores.)

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Referncias Bibliogrcas

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ican Mathematical Society.

[2] DE BARROS, A. A. e ANDRADE, P. F. DE A. (2009). Introduo Geo-

metria Projetiva. Sociedade Brasileira de Matemtica.

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Brasileira de Matemtica. 9

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[11] YAGLOM, I. M. (1968). Geometric Transformations II. The Mathematical

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[12] YAGLOM, I. M. (1973). Geometric Transformations III. The Mathematical

Association of America.

[13] YAGLOM, I. M. e SHENITZER, A. (2009). Geometric Transformations IV.

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Congruncia de TringulosOs casos LAL, ALA e LLLProblemasAplicaes de congrunciaProblemas

Referncias Bibliogrficas

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