MA211 - Calculo II

Segundo semestre de 2020

Turmas D/E

Ricardo M. Martins

rmiranda@unicamp.br

http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda

Aula 4: Planos tangentes + aproximacoes lineares.

Derivadas de ordem superior

Se as derivadas parciais fx(x , y) e fy (x , y) sao funcoes, elas podem

ser derivadas. Aqui temos um problema.

A funcao fx(x , y) pode ser derivada tanto em x como em y .

Assim, teremos dois tipos de derivadas de segunda ordem:

(fx)x(x , y) = fxx(x , y) e (fx)y (x , y) = fxy (x , y).

O mesmo vale para a derivada fy : temos mais duas derivadas:

(fy )x(x , y) = fyx(x , y) e (fy )y (x , y) = fyy (x , y).

Derivadas de ordem superior

Exemplo

Se f (x , y) = exy entao temos:

# fx(x , y) =

# fy (x , y) =

# fxy (x , y) =

# fyx(x , y) =

Note que fxy = fyx neste caso. Sera que e sempre assim? Claro

que nao.

Derivadas de ordem superior

ExercıcioMostre que se

f (x , y) =

xy(x2 − y2)

x2 + y2, (x , y) 6= (0, 0),

0 , (x , y) = (0, 0)

entao f e contınua, as derivadas parciais de primeira ordem sao

contınuas, mas fxy (0, 0) 6= fyx(0, 0) (em particular, fxy e fyx nao

sao contınuas na origem).

Dica: coordenadas polares.

Derivadas de ordem superior

ExercıcioMostre que se

f (x , y) =

x2y2

x2 + y2, (x , y) 6= (0, 0),

0 , (x , y) = (0, 0)

entao as segundas derivadas nao sao contınuas na origem.

Derivadas de ordem superior

Teorema de Clairaut-Schwartz

Seja f (x , y) uma funcao definida numa regiao aberta U com

(a, b) ∈ U. Se fxy e fyx sao contınuas em U, entao fxy = fyx .

Ou seja, se f e de classe C 2 entao as derivadas parciais de segunda

ordem sao iguais.

MUITO IMPORTANTE: fxy = fyx SOMENTE CASO ESTAS

FUNCOES SEJAM CONTINUAS. NAO E A FUNCAO f QUE

PRECISA SER CONTINUA, SAO AS DERIVADAS DE SEGUNDA

ORDEM.

Em resumo: nao se preocupe com polinomios, mas tome cuidado

com funcoes dadas por partes.

Planos tangentes

Seja S o grafico de z = f (x , y). Suponha ainda que f seja uma

funcao boa (de classe C 1).

Seja p = (a, b, f (a, b)) um ponto em S .

c1 intersecao entre S e o plano x = a

r1 reta tangente a c1 em p

c2 intersecao entre S e o plano y = b

r2 reta tangente a c2 em p

O plano tangente a S no ponto P e definido como sendo o plano

que contem as retas r1 e r2.

Planos tangentes

Seja S o grafico de z = f (x , y). Suponha ainda que f seja uma

funcao boa (de classe C 1).

Seja p = (a, b, f (a, b)) um ponto em S .

c1 intersecao entre S e o plano x = a

r1 reta tangente a c1 em p

c2 intersecao entre S e o plano y = b

r2 reta tangente a c2 em p

O plano tangente a S no ponto P e definido como sendo o plano

que contem as retas r1 e r2.

Planos tangentes: a figura

Planos tangentes: a equacao

A equacao de um plano tem a forma

Ax + By + Cz = D.

Sabemos que este plano passa pelo ponto p = (a, b, f (a, b)), logo

este ponto satisfaz a equacao do plano:

Aa + Bb + Cf (a, b) = D.

Isolando D, a equacao do plano fica

Ax + By + Cz = Aa + Bb + Cf (a, b)

e daı

A(x − a) + B(y − b) + C (z − f (a, b)) = 0.

Planos tangentes: a equacao

A(x − a) + B(y − b) + C (z − f (a, b)) = 0

Por um momento, suponha que C 6= 0 e vamos dividir a equacao

toda por C :

A

C(x − a) +

B

C(y − b) + z − f (a, b) = 0.

Seja α = −A/C e β = −B/C . Entao a equacao anterior por ser

reescrita como

α(x − a) + β(y − b) = z − f (a, b).

Planos tangentes: a equacao

α(x − a) + β(y − b) = z − f (a, b).

Sabemos duas retas que estao contidas neste plano: a reta r1, que

tambem esta contida no plano x = a, e a reta c2, que tambem

esta contida no plano y = b.

Se x = a a equacao acima fica β(y − b) = z − f (a, b). Porem, no

plano x = a, esta e a reta tangente ao grafico da curva c1, e o

coeficiente angular β e dada por fy (a, b).

Se y = b a equacao acima fica α(x − a) = z − f (a, b). Porem, no

plano y = b, esta e a reta tangente ao grafico da curva c2, e o

coeficiente angular β e dada por fx(a, b).

Planos tangentes: a equacao

Substituindo na equacao, obtemos a equacao do plano tangente ao

grafico de z = f (x , y) no ponto P = (a, b, f (a, b)):

fx(a, b) · (x − a) + fy (a, b) · (y − b)− 1 · z = −f (a, b).

# Nos casos em que z = f (x , y), a hipotese de que C 6= 0

sempre podera ser usada. Nos casos x = g(x , z) ou

y = h(x , z), ela podera ser falsa, tomem cuidado.

# Perceba que o vetor normal do plano tangente no ponto

(a, b, f (a, b)) e

−→n = (fx(a, b), fy (a, b),−1).

Isto e de grande utilidade!

Planos tangentes: exemplos!

Exemplo

Determine o plano tangente ao grafico de z = x2 − y2 no ponto

P = (1, 1, 0).

Note que fx(x , y) = 2x e fy (x , y) = −2y . O vetor normal no

ponto (1, 1, 0) e dado por:

−→n = (fx(1, 1), fy (1, 1),−1) = (2,−2,−1).

Agora fica facil obter a equacao do plano:⟨n, (x , y , z)

⟩= 〈n, p〉,

neste caso, 2x − 2y − z = 0.

Planos tangentes: exemplos!

Exemplo

Determine o plano tangente ao grafico de z = x2 − y2 no ponto

P = (1, 1, 0).

Note que fx(x , y) = 2x e fy (x , y) = −2y . O vetor normal no

ponto (1, 1, 0) e dado por:

−→n = (fx(1, 1), fy (1, 1),−1) = (2,−2,−1).

Agora fica facil obter a equacao do plano:⟨n, (x , y , z)

⟩= 〈n, p〉,

neste caso, 2x − 2y − z = 0.

Planos tangentes: exemplos!

Exercıcio

De exemplo de uma funcao z = f (x , y) que no ponto P = (1, 1, 1)

tenha plano tangente x + y + z = 3.

Exercıcio

Seja f (x , y) = x2+2y2. Escolha um ponto Q = (a, b, c) qualquer

em R3. Diga se existe um plano tangente ao grafico de z = f (x , y)

que passa por Q. Caso exista, quantos existem?

Aproximacoes lineares

Fısicos adoram considerar sen(θ) = θ “para pequenos valores de

θ”. Eles tem um pouco de razao (a menos do sinal de =, que

deveria ser ≈).

De onde vem isto? Vem do fato de que a reta tangente ao grafico

de y = sen(x) na origem e dada por y = x . Desta forma, para

valores de x bem proximos de zero, podemos usar a reta y = x

para calcular valores da funcao y = sen(x).

Aproximacoes lineares

Isto se chama aproximacao linear de f .

Ela e boa por ser simples: troca uma funcao maluca por uma

funcao linear.

Ela e ruim por ser simples: poderıamos usar uma interpolacao

polinomial (ou por splines) ao inves de uma reta. Impacto na

complexidade.

Veremos agora que este truque tambem pode ser feito em

dimensoes maiores.

Aproximacoes lineares

Se z = f (x , y) e uma funcao, definimos por

L(x , y) = f (a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b)

a aproximacao linear de f em (a, b) (ou linearizacao de f em

(a, b)).

Note que z = L(x , y) e a equacao do plano tangente!

Aproximacoes lineares

A aproximacao linear funciona bem num caso especıfico: quando f

e suas derivadas parciais sao contınuas. Neste caso, a variacao de

z = f (x , y) e, de certa forma, controlada.

Suponha que x varia de a para a + ∆x e que y varia de b para

b + ∆y . Entao a variacao de z sera de

∆z = f (a + ∆x , b + ∆y)− f (a, b).

Aproximacoes lineares

Se z = f (x , y) entao dizemos que f e diferenciavel em (a, b) se ∆z

puder ser expresso na forma

∆z = fx(a, b)∆x + fy (a, b)∆y + ε1∆x + ε2∆y ,

com ε1, ε2 → 0 quando (∆x ,∆y)→ (0, 0).

Ou seja: uma funcao e diferenciavel quando a aproximacao linear

representa “bem” f (x , y) quando (x , y) esta perto de (a, b).

Noutras palavras, quando o plano tangente e uma boa

aproximacao para o grafico da funcao perto de (a, b).

Aproximacoes lineares

Teorema

Se fx , fy existem perto de (a, b) e forem contınuas em (a, b) entao

f e diferenciavel em (a, b).

Aproximacoes lineares: exemplo

Exercıcio

Determine uma aproximacao linear de√x2 + y2 em (3, 4) e cal-

cule uma aproximacao para o numero√

(3, 02)2 + (3, 97)2.

ExercıcioJustifique as aproximacoes lineares na origem:

#2x + 3

4y + 1≈ 3 + 2x − 12y

#√

y + cos2(x) ≈ 1 + y/2

Aproximacoes lineares: exemplo

Exercıcio

Determine uma aproximacao linear de√x2 + y2 em (3, 4) e cal-

cule uma aproximacao para o numero√

(3, 02)2 + (3, 97)2.

ExercıcioJustifique as aproximacoes lineares na origem:

#2x + 3

4y + 1≈ 3 + 2x − 12y

#√

y + cos2(x) ≈ 1 + y/2

Aproximacoes lineares: diferencial total

A diferencial total de z = f (x , y) e definida como

dz = df = fx(x , y) dx + fy (x , y) dy =∂z

∂xdx +

∂z

∂ydy .

Vimos que se z = f (x , y) e C 1 entao

f (x , y) ≈ f (a, b) + dz .

Enquanto ∆z mede a variacao real de f (x , y), dz mede a variacao

considerando o plano tangente. Quanto mais regular a funcao e,

melhor e esta aproximacao. Daı voce decide: quer precisao ou quer

velocidade de convergencia?

Kahoot!

Kahoot!

Questao

Para mostrar que o limite de z = f (x , y) com (x , y) → (0, 0)

existe, basta verificar o limite nas retas x = 0 e y = 0.

4 falso

� verdadeiro

Kahoot!

Questao

Quando as derivadas parciais mistas fxy e fyx sao iguais?

4 quando a funcao f e contınua

� quando as derivadas parciais de segunda ordem sao contınuas

◦ quando as derivadas parciais de primeira ordem sao iguais

� elas nunca sao iguais

Kahoot!

Questao

Se uma funcao z = f (x , y) tem derivadas parciais em (a, b) entao

ela e contınua em (a, b).

4 falso

� verdadeiro

Kahoot!

Questao

Sob quais hipoteses o grafico de z = f (x , y) admite um plano

tangente no ponto (a, b, f (a, b))?

4 se f e contınua

� se as derivadas parciais sao iguais

◦ se f tem derivadas parciais

� se f tem derivadas parciais contınuas

Kahoot!

Questao

Se

f (x , y) =x2 − y2

x2 + y2

para (x , y) 6= (0, 0) e f (0, 0) = 0 entao f tem plano tangente na

origem.

4 falso

� verdadeiro

Proxima aula: Regra da cadeia.

Se cuidem: usem mascaras, limpem as maos com alcool em gel.

Fique em casa.