MA211 - Lista 03Derivadas Parciais e

Aproximacoes Lineares

14 de setembro de 2016

EXERCICIOS RESOLVIDOS

1. ([1], secao 14.3) Determine as derivadas parciais de primeira ordem da funcao.

a) F f(r, s) = r ln(r2 + s2)

b) F f(x, y) =

∫ x

y

cos2 t dt

Solucao:

a) Sendo f(r, s) = r · ln(r2 + s2), temos que as derivadas parciais em relacaoa r e s, respectivamente, sao:

•fr(r, s) = 1 · ln(r2 + s2) + r · 1

r2 + s2· 2r = ln(r2 + s2) +

2r2

r2 + s2.

•fs(r, s) = 0 · ln(r2 + s2) + r · 1

r2 + s2· 2s =

2rs

r2 + s2.

b) Sendo f(x, y) =

∫ x

y

cos(t2) dt, temos que as derivadas parciais em relacao

a x e y, respectivamente, sao:

• ∂∂xf(x, y) =

∂

∂x

(∫ x

y

cos(t2)

)= cos(x2).

• ∂∂yf(x, y) =

∂

∂y

(∫ x

y

cos(t2)

)=

∂

∂y

(−∫ y

x

cos(t2)

)= − cos(y2).

Notemos que nas solucoes das derivadas parciais acima utilizamos oTeorema Fundamental do Calculo.

2. ([2], secao 10.1) Considere a funcao dada por z = x sen

(x

y

). Verifique

que

x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= z.

Solucao: Primeiramente, vamos calcular∂z

∂xe∂z

∂. Assim,

• ∂z∂x

=∂

∂x

[x · sen

(x

y

)]= 1 · sen

(x

y

)+ x · cos

(x

y

)· 1

y

= sen

(x

y

)+x

y· cos

(x

y

)

• ∂z∂y

=∂

∂y

[x · sen

(x

y

)]= 0 · sen

(x

y

)+ x · cos

(x

y

)·(− x

y2

)= −x

2

y2· cos

(x

y

).

1

Entao,

x · ∂z∂x

+ y∂z

∂y= x ·

[sen

(x

y

)+x

y· cos

(x

y

)]+ y ·

[− x2

y2· cos

(x

y

)]

= x · sen

(x

y

)+x2

ycos

(x

y

)− x2

y· cos

(x

y

)x · sen

(x

y

)= z.

3. ([1], secao 14.4) Determine a aproximacao linear da funcao f(x, y, z) =√x2 + y2 + z2 em (3, 2, 6) e use-a para aproximar o numero

√(3, 02)2 + (1, 97)2 + (5, 99)2.

Solucao: Vamos determinar a aproximacao linear da funcao f em (3, 2, 6).Primeiramente, calculamos as derivadas parcias fx, fy e fz, para todo (x, y, z).

•fx(x, y, z) =1

2(x2 + y2 + z2)−1/2 · 2x =

x√x2 + y2 + z2

.

•fy(x, y, z) =1

2(x2 + y2 + z2)−1/2 · 2y =

y√x2 + y2 + z2

.

•fz(x, y, z) =1

2(x2 + y2 + z2)−1/2 · 2z =

z√x2 + y2 + z2

.

Agora, calculamos as derivadas parciais de f no ponto (3, 2, 6), entao

•fx(3, 2, 6) =3√

32 + 22 + 62=

3

7.

•fx(3, 2, 6) =2√

32 + 22 + 62=

2

7.

•fx(3, 2, 6) =6√

32 + 22 + 62=

6

7.

Assim, a aproximacao linear da funcao f em (3, 2, 6) e

f(x, y, z) ≈ f(3, 2, 6) + fx(3, 2, 6)(x− 3) + fy(3, 2, 6)(y − 2) + fz(3, 2, 6)(z − 6)

= 7 +3

7(x− 3) +

2

7(y − 2) +

6

7(z − 6)

=3

7x+

2

7y +

6

7z +

(7− 9

7− 4

7− 36

7

)=

3

7x+

2

7y +

6

7z.

Agora, vamos aproximar o numero√

(3, 02)2 + (1, 97)2 + (5, 99)2. Assim,

2

√(3, 02)2 + (1, 97)2 + (5, 99)2 = f(3, 02 , 1, 97 , 5, 99)

≈ 3

7(3, 02) +

2

7(1, 97) +

6

7(5, 99)

≈ 6, 9914.

4. ([2], secao 11.3) Determine o plano que e paralelo ao plano z = 2x+ 3y etangente ao grafico de f(x, y) = x2 + xy.

Solucao: Considere

z − f(x0, y0) =∂f

∂x(x0, y0)(x− x0) +

∂f

∂y(x0, y0)(y − y0)

o plano tangente ao grafico de f . Assim,

z =∂f

∂x(x0, y0)·x+

∂f

∂y(x0, y0)·y+

[f(x0, y0)−

∂f

∂x(x0, y0)·x0−

∂f

∂y(x0, y0)·y0

].

Como tal plano e paralelo ao plano z = 2x+ 3y, obtemos que

∂f

∂x(x0, y0) = 2 e

∂f

∂y(x0, y0) = 3.

Notemos que

∂f

∂x(x, y) = 2x+ y e

∂f

∂y(x, y) = x.

Assim, temos o seguinte sistema de equacoes2x0 + y0 = 2

x0 = 3

Logo, x0 = 3 e y0 = −4. A partir desses valores temos que f(x0, y0) = −3,∂f

∂x(x0, y0) · x0 = 6 e

∂f

∂y(x0, y0) · y0 = −12. Portanto, o plano desejado tem

equacaoz = 2x+ 3y − 3− 6 + 12,

ou seja,z = 2x+ 3y + 3.

3

EXERCICIOS PROPOSTOS

5. ([1], secao 14.3) A temperatura T de uma localidade do Hemisferio Nortedepende da longitude x, da latitude y e do tempo t, de modo que podemos es-creverT = f(x, y, t). Vamos medir o tempo em horas a partir do inıcio deJaneiro.

a) Qual e o significado das derivadas parciais ∂T/∂x, ∂T/∂y e ∂T/∂t?

b) Honolulu tem longitude de 158W e latitude de 21N . Suponha queas 9 horas em 1 de Janeiro esteja ventando para nordeste uma brisaquente, de forma que a oeste e a sul o ar esteja quente e a norte e lesteo ar esteja mais frio. Voce esperaria que fx(158, 21, 9), fy(158, 21, 9) eft(128, 21, 9) fossem positivas ou negativas? Explique.

6. ([1], secao 14.3) O ındice de sensacao termica W e a temperatura sentidaquando a temperatura real e T e a velocidade do vento, v. Portanto, podemosescrever W = f(T, v). Considerando a tabela abaixo:

a) Estime os valores de fT (−15, 30) e fv(−15, 30). Quais sao as inter-pretacoes praticas desses valores?

b) Em geral, o que se pode dizer sobre o sinal de ∂W/∂T e ∂W/∂v?

c) Qual parece ser o valor do seguinte limite

limv→∞

∂W

∂v?

4

7. ([1], secao 14.3) As seguintes superfıcies, rotuladas a, b e c, sao graficos deuma funcao f e de suas derivadas parciais fx e fy. Identifique cada superfıciee de razoes para sua escolha.

8. ([1], secao 14.3) Determine as derivadas parciais de primeira ordem da funcao.

a) f(x, y) = x5 + 3x3y2 + 3xy4

c) u =√x21 + x22 + · · ·+ x2n

f) u = xy/z

b) f(x, y) =x− yx+ y

d) u = tew/t

9. ([1], secao 14.3) Determine a derivada parcial fx(3, 4), onde f(x, y) = ln(x+√x2 + y2).

10. ([1], secao 14.3) Use a definicao de derivadas parciais como limites paraencontrar fx(x, y) e fy(x, y), sendo f(x, y) = x2y − x3y.

11. ([1], secao 14.3) Use a derivacao implicıta para determinar ∂z/∂x e ∂z/∂y.

a) x− z = arctg(yz) b) sen(xyz) = x+ 2y + 3z

12. ([1], secao 14.3) Determine ∂z/∂x e ∂z/∂y, sendo z = f(x) + g(y).

13. ([1], secao 14.3) Determine as derivadas parciais indicadas.

5

a) F u = erθ sen θ;∂3u

∂r2∂θ

b) w =x

y + 2z;

∂3w

∂z∂y∂x,

∂3w

∂x2∂y

14. ([1], secao 14.3) Sao mostradas as curvas de nıvel de uma funcao f. Determinese as seguintes derivadas parciais sao positivas ou negativas no ponto P.

a) fx

c) fxx

e) fyy

b) fy

d) fxy

15. ([1], secao 14.3) Verifique que a funcao u = 1/√x2 + y2 + z2 e uma solucao

da equacao de Laplace tridimensional uxx + uyy + uzz = 0.

16. ([1], secao 14.3) Verifique que a funcao z = ln(ex + ey) e uma solucao dasequacoes diferenciais

∂z

∂x+∂z

∂y= 1 e

∂2z

∂2x+∂2z

∂2y−(∂2z

∂x∂y

)2

= 0.

17. F ([1], secao 14.3) A lei dos gases para uma massa fixa m de um gas ideala temperatura absoluta T , pressao P e o volume V e PV = mRT , onde Re a constante do gas. Mostre que

∂P

∂V

∂V

∂T

∂T

∂P= −1.

18. F ([1], secao 14.3) Disseram-lhe que existe uma funcao f cujas derivadasparciais sao

fx(x, y) = x+ 4y e fy(x, y) = 3x− y,e cujas derivadas parciais de segunda ordem sao contınuas. Voce deve acre-ditar nisso?

19. F ([1], secao 14.3) O elipsoide 4x2 + 2y2 + z2 = 16 intercepta o plano y = 2em uma elipse. Determine as equacoes parametricas da reta tangente a elipseno ponto (1, 2, 2).

6

20. ([1], secao 14.3) Seja

f(x, y) =

x3y − xy3

x2 + y2, se (x, y) 6= (0, 0),

0, se (x, y) = (0, 0).

a) Use um computador para tracar o grafico de f .

b) Determine fx(x, y) e fy(x, y) quando (x, y) 6= (0, 0).

c) Determine fx(0, 0) e fy(0, 0) use a definicao das derivadas parciais comolimite.

d) Mostre que fxy(0, 0) = −1 e fyx(0, 0) = 1

e) O resultado da parte (d) contradiz o Teorema de Clairaut? Use o graficode fxy e fyx para ilustrar sua resposta.

21. ([2], secao 10.1) Determine as derivadas parciais.

a) f(x, y) = 5x4y2 + xy3 + 4

c) z =x3 + y2

x2 + y2

e) z = x2 ln(1 + x2 + y2)

g) f(x, y) = (4xy − 3y3)3 + 5x2y

i) g(x, y) = xy

l) f(x, y) = 3√x3 + y2 + 3

b) z = cos(xy)

d) f(x, y) = e−x2−y2

f) z = xyexy

h) z = arctgx

y

j) z = (x2 + y2) ln(x2 + y2)

m) z =x sen y

cos(x2 + y2)

22. ([2], secao 10.1) Considere a funcao z =xy2

x2 + y2. Verifique que x

∂z

∂x+y

∂z

∂y=

z.

23. ([2], secao 10.1) Seja φ : R → R uma funcao de uma variavel real, dife-

renciavel e tal que φ′(1) = 4. Seja g(x, y) = φ

(x

y

). Calcule

a)∂g

∂x(1, 1) b)

∂g

∂y(1, 1)

24. ([2], secao 10.1) Seja g(x, y) = φ

(x

y

)a funcao do exercıcio anterior. Verifi-

que que, para todo (x, y) ∈ R2, com y 6= 0, temos que

x∂g

∂x(x, y) + y

∂g

∂y(x, y) = 0.

25. ([2], secao 10.1) A funcao p = p(V, T ) e dada implicitamente pela equacao

pV = nRT , onde n e R sao constantes nao-nulas. Calcule∂p

∂Ve∂p

∂T.

7

26. ([2], secao 10.1) Seja z = eyφ(x − y), onde φ e uma funcao diferenciavel deuma variavel real. Mostre que

∂z

∂x+∂z

∂y= z.

27. ([2], secao 10.1) Seja φ : R → R uma funcao diferenciavel de uma variavelreal e seja

f(x, y) = (x2 + y2)φ

(x

y

). Mostre que

x∂f

∂x+ y

∂f

∂y= 2f.

28. ([2], secao 10.1) Determine∂f

∂xe∂f

∂y, sendo f(x, y) =

x+ y4

x2 + y2, se (x, y) 6= (0, 0),

0, se (x, y) = (0, 0).

29. ([2], secao 10.2) Calcule as derivadas parciais.

a) f(x, y, z) = xex−y−z

b) w = x2 arcseny

z

c) w =xyz

x+ y + z

d) f(x, y, z) = sen (x2 + y2 + z2)

e) s = f(x, y, z, w) dada por s = xw ln (x2 + y2 + z2 + w2)

30. ([2], secao 10.2) Seja f(x, y, z) =x

x2 + y2 + z2. Verifique que

x∂f

∂x+ y

∂f

∂y+ z

∂f

∂z= −f.

31. ([2], secao 10.2) Seja s = f(x, y, z, w) dada por s = exy− z

w . Verifique que

x∂s

∂x+ y

∂s

∂y+ z

∂s

∂z+ w

∂s

∂w= 0.

32. ([3], secao 11.3) Nos itens abaixo encontre ∂f/∂x e ∂f/∂y.

a) f(x, y) = (x2 − 1)(y + 2)

c) f(x, y) = 1/(x+ y)

e) f(x, y) = exy ln y

b) f(x, y) = (xy − 1)2

d) f(x, y) = e−x sen(x+ y)

f) f(x, y) = cos2(3x− y2)

8

33. ([3], secao 11.3) Nos itens abaixo, encotre fx, fy e fz.

a) f(x, y, z) = 1 + xy2 − 2z2

c) f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)−1/2

e) f(x, y, z) = e−(x2+y2+z2)

b) f(x, y, z) = x−√y2 + z2

d) f(x, y, z) = ln(x+ 2y + 3z)

f) f(x, y, z) = e−xyz

34. ([3], secao 11.3) Seja w = f(x, y, z) uma funcao de tres variaveis indepen-dentes. Escreva a definicao formal de derivada parcial ∂f/∂z em (x0, y0, z0).Use essa definicao para encontrar ∂f/∂z em (1, 2, 3) para f(x, y, z) = x2yz2.

35. ([3], secao 11.3) Encontre o valor de ∂z/∂x no ponto (1, 1, 1) sabendo quea equacao

xy + z3x− 2yz = 0

define z como uma funcao de duas variaveis independentes x e y e que aderivada parcial existe.

36. ([3], secao 11.3) De acordo com o triangulo abaixo:

a) Expresse A implicitamente como uma funcao de a, b e c e calcule ∂A/∂ae ∂A/∂b.

b) Expresse a implicitamente como uma funcao de A, b e B e calcule ∂a/∂Ae ∂a/∂B.

37. ([2], secao 14.1) Calcule todas as derivadas parciais de 2a ordem.

a) f(x, y) = x3y2

c) z = ln(1 + x2 + y2)

b) z = ex2−y2

d) g(x, y) = 4x3y4 + y3

38. ([2], secao 14.1) Seja f(x, y) =1

x2 + y2. Verifique que

a) x∂2f

∂x2(x, y) + y

∂2f

∂y∂x(x, y) = −3

∂f

∂x(x, y)

b)∂2f

∂x2(x, y) +

∂2f

∂y2(x, y) =

4

(x2 + y2)2

39. ([2], secao 14.1) Verifique que∂2f

∂x2+∂2f

∂y2= 0, onde f(x, y) = ln(x2 + y2).

40. ([2], secao 14.1) Verifique que x∂2z

∂x∂y+ y

∂2z

∂y2= 0, onde z = (x+ y)ex/y.

9

41. (Prova, 2006) Considere a superfıcie dada implicitamente por

x2 + 2y2 + 2z2 = −4xyz.

a) Calcule as derivadas∂z

∂xe∂z

∂yem um ponto generico.

b) Quais os pontos nos quais as derivadas parciais calculadas no item ante-rior nao estao definidas?

42. (Prova, 2010) Seja f(x, y) =x2y2

x2 + y2.

a) Calcule as derivadas parciais∂f

∂x(x, y) e

∂f

∂y(x, y), num ponto

(x, y) 6= (0, 0).

b) Calcule o limite, se existir.

lim(x,y)→(0,0)

∂f

∂x(x, y)

43. (Teste, 2013) Considere a funcao

f(x, y) = log(9− x2 − 9y2).

a) Esboce no plano xy o domınio de f.

b) Calcule as derivadas parciais fx e fy.

44. (Prova, 2014) Considere a funcao

f(x, y) =

xy

x2 + y2, se (x, y) 6= (0, 0),

0, se (x, y) = (0, 0).

a) A funcao f e contınua em (0, 0)? Justifique sua resposta.

b) Calcule as derivadas parciais∂f

∂x(0, 0) e

∂f

∂y(0, 0).

c) Determine∂f

∂x(x, y) e

∂f

∂y(x, y) para (x, y) 6= (0, 0).

d) f e diferenciavel em (0, 0)? Justifique sua resposta.

45. (Prova, 2014) Considere a funcao

f(x, y) =

x+ y, se xy = 0,

κ, caso contrario,

em que κ e um numero real. Determine as derivadas parciais de primeiraordem de f em (0, 0).

10

46. F (Prova, 2014) Considere a funcao

f(x, y) =

xy2

x2 + y4, se (x, y) 6= (0, 0),

0, se (x, y) = (0, 0).

a) A funcao e contınua em (0, 0)? Justifique sua resposta.

b) Determine as derivadas parciais∂f

∂x(0, 0) e

∂f

∂y(0, 0).

47. (Prova, 2014) Se z = sen(x+ sen y), mostre que∂z

∂x

∂2z

∂x∂y=∂z

∂y

∂2z

∂x2.

48. ([1], secao 14.4) Determine uma equacao do plano tangente a superfıcie noponto especificado.

a) z = 4x2 − y2 + 2y, (−1, 2, 4).

b) z = 3(x− 1)2 + 2(y + 3)2 + 7, (2,−2, 12).

c) z =√xy, (1, 1, 1).

d) z = y cos(x− y), (2, 2, 2).

49. ([1], secao 14.4) Explique por que a funcao e diferenciavel no ponto dado. Aseguir, encontre a linearizacao L(x, y) da funcao naquele ponto.

a) f(x, y) = x√y, (1, 4).

b) f(x, y) =x

x+ y, (2, 1).

c) f(x, y) = e−xy cos y, (π, 0).

50. ([1], secao 14.4) Determine a aproximacao linear da funcao f(x, y) =√

20− x2 − 7y2

em (2, 1) e use-a para aproximar f(1, 95; 1, 08).

51. ([1], secao 14.4) Determine a diferencial da funcao.

a) z = x3 ln y2.

b) m = p5q3.

c) R = αβ2 cosλ.

52. ([1], secao 14.4) Se z = 5x2 +y2 e (x, y) varia de (1, 2) a (1, 05; 2, 1), compareos valores de ∆z e dz.

53. ([1], secao 14.4) Se z = x2−xy+3y2 e (x, y) varia de (3;−1) a (2, 96;−0, 95),compare os valores de ∆z e dz.

11

54. ([1], secao 14.4) O comprimento e a largura de um retangulo foram medi-dos como 30 cm e 24 cm, respectivamente, com um erro de medida de, nomaximo, 0, 1 cm. Utilize as diferenciais para estimar o erro maximo cometidono calculo da area do retangulo.

55. ([1], secao 14.4) Utilize as diferenciais para estimar a quantidade de estanhoem uma lata cilındrica fechada com 8 cm de diametro e 12 cm de altura sea espessura da folha de estanho for de 0, 04 cm.

56. ([1], secao 14.4) Se R e a resistencia equivalente de tres resistores conectadosem paralelo, com resistencias R1, R2, R3, entao

1

R=

1

R1

+1

R2

+1

R3

.

Se as resistencias medem, em ohms, R1 = 25Ω, R2 = 40Ω, R3 = 50Ω,com margem de erro de 0, 5% em cada uma, estime o erro maximo no valorcalculado de R.

57. ([1], secao 14.4) Quatro numeros positivos, cada um menor que 50, sao ar-redondados ate a primeira casa decimal e depois multiplicados. Utilize osdiferenciais para estimar o maximo erro possıvel no calculo do produto quepode resultar do arredondamento.

58. ([1], secao 14.4) Mostre que a funcao f(x, y) = xy − 5y2 e diferenciavelachando os valores ε1 e ε2 que satisfacam a Definicao 7 da Secao 14.4 doStewart.

59. F ([1], secao 14.4) Considere a funcao

f(x, y) =

xy

x2 + y2, se (x, y) 6= (0, 0),

0, se (x, y) = (0, 0).

Mostre que fx(0, 0) e fy(0, 0) existem, mas f nao e diferenciavel em (0, 0).

60. ([2], secao 11.1) f e diferenciavel em (0, 0)? Justifique.

a) f(x, y) =

x2 − y2

x2 + y2, se (x, y) 6= (0, 0),

0, se (x, y) = (0, 0)

b) f(x, y) =

x2y

x2 + y2, se (x, y) 6= (0, 0),

0, se (x, y) = (0, 0)

c) f(x, y) =

x4

x2 + y2, se (x, y) 6= (0, 0),

0, se (x, y) = (0, 0)

12

61. ([2], secao 11.2) Verifique que a funcao dada e diferenciavel.

a) f(x, y) = ex−y2

c) f(x, y) = x2y

e) f(x, y) = x cos (x2 + y2)

b) f(x, y) = x4 + y3

d) f(x, y) = ln (1 + x2 + y2)

f) f(x, y) = arctg xy

62. ([2], secao 11.2) Determine o maior conjunto de pontos em que a funcao dadae diferenciavel. Justifique.

a) f(x, y) =

xy

x2 + y2, se (x, y) 6= (0, 0),

0, se (x, y) = (0, 0)

b f(x, y) =

x3

x2 + y2, se (x, y) 6= (0, 0),

0, se (x, y) = 0

c) f(x, y) =

xy3

x2 + y2, se (x, y) 6= (0, 0),

0, se (x, y) = 0

d) f(x, y) =

e1

x2 + y2 − 1 , se x2 + y2 < 1,

0, se x2 + y2 ≥ 1

63. ([2], secao 11.3) Determine as equacoes do plano tangente e da reta normalao grafico da funcao dada, no ponto dado.

a) f(x, y) = 2x2y em (1, 1, f(1, 1)).

b) f(x, y) = x2 + y2 em (0, 1, f(0, 1)).

c) f(x, y) = 3x3y − xy em (1,−1, f(1,−1)).

d) f(x, y) = xex2−y2 em (2, 2, f(2, 2)).

e) f(x, y) = arctg (x− 2y) em

(2,

1

2, f

(2,

1

2

)).

f) f(x, y) = xy em

(1

2,1

2, f

(1

2,1

2

)).

64. ([2], secao 11.3) Determine o plano que passa pelos pontos (1, 1, 2) e (−1, 1, 1)e que seja tangente ao grafico de f(x, y) = xy.

65. (Prova, 2014) Determine a equacao dos planos tangentes ao grafico de f(x, y) =−x2 − y2 que passam por ambos os pontos (1, 0, 7) e (3, 0, 3).

66. ([2], secao 11.3) Determine o plano que e paralelo ao plano z = 2x + y etangente ao grafico de f(x, y) = x2 + y2.

13

67. ([2], secao 11.3) z = 2x + y e a equacao do plano tangente ao grafico de

f(x, y) no ponto (1, 1, 3). Calcule∂f

∂x(1, 1) e

∂f

∂y(1, 1).

68. ([2], secao 11.3) 2x+ y+ 3z = 6 e a equacao do plano tangente ao grafico def(x, y) no ponto (1, 1, 1).

a) Calcule∂f

∂x(1, 1) e

∂f

∂y(1, 1).

b) Determine a equacao da reta normal no ponto (1, 1, 1).

69. ([2], secao 11.3) Considere a funcao f(x, y) = x φ(xy

), em que φ(u) e uma

funcao derivavel de uma variavel. Mostre que os planos tangentes ao graficode f passam pela origem.

70. F (Prova, 2013) Determine a equacao do plano que e tangente ao paraboloidez = 2x2 + 3y2 e paralelo ao plano 4x− 3y − z = 10.

71. ([2], secao 11.3) Determine os planos que sao tangentes ao grafico de f(x, y) =x2 + y2 e que contenham a intersecao dos planos x+ y + z = 3 e z = 0.

72. ([2], secao 11.3) Determine os planos tangentes ao grafico de f(x, y) = 2 +x2 + y2 e que contenham o eixo x.

73. ([2], secao 11.3) Considere a funcao f(x, y) = x g(x2 − y2), em que g(u)e uma funcao derivavel de uma variavel. Mostre que o plano tangente aografico de f no ponto (a, a, f(a, a)) passa pela origem.

74. (Prova, 2010) Mostre que o plano tangente ao paraboloide z = x2 + y2 noponto (1, 2, 5) intercepta o plano xy na reta

2x+ 4y − 5 = 0

z = 0.

14

RESPOSTAS DOS EXERCICIOS PROPOSTOS

5. a) ∂T/∂x e a taxa de variacao da temperatura quando a longitude muda,mas a latitude e o tempo sao constantes;∂T/∂y e a taxa de variacao da temperatura quando a latitude muda,mas a longitude e o tempo sao constantes;∂T/∂t e a taxa de variacao da temperatura quando o tempo muda, masa longitude e a latitude sao constantes.

b) fx(158, 21, 9) > 0, fy(158, 21, 9) < 0 e ft(158, 21, 9) > 0.

6. a) fT (−15, 30) ≈ 1.3 Isto significa que quando a temperatura real e −15oCe a velocidade do vento e 30km/h, a temperatura aparente aumentacerca de 1.3oC para cada 1oC que a temperatura real aumenta;fv(−15, 30) ≈ −0.15 Isto significa que quando a temperatura real e−15oC e a velocidade do vento e 30km/h, a temperatura aparente di-minui cerca de 0.15oC para cada 1km/h que a velocidade do ventoaumenta.

b) ∂W∂T

> 0 e ∂W∂v≤ 0.

c) limv→∞∂W∂v

= 0.

7. a) fy, b) fx, c) f .

8. a)∂f

∂x= 5x4 + 9x2y2 + 3y4 e

∂f

∂y= 2x3y + 12xy3.

b)∂f

∂x=

2y

(x+ y)2e

∂f

∂y= − 2x

(x+ y)2.

c)∂u

∂xi=

xi√x21 + x22 + · · ·+ x2n

para todo i = 1, · · · , n.

d)∂u

∂t= ew/t

(1− w

t

)e

∂u

∂w= ew/t.

f)∂u

∂x=y

zx(y/z)−1,

∂u

∂y= xy/z lnx e

∂u

∂z= −yx

y/z

z2lnx.

9. fx(3, 4) = 15.

10. fx = y2 − 3x2y e fy = 2xy − x3.

11. a)∂z

∂x=

1 + y2z2

1 + y + y2z2e

∂z

∂y= − z

1 + y + y2z2.

b)∂z

∂x=

1− yz cos(xyz)

xy cos(xyz)− 3e

∂z

∂y=

2− xz cos(xyz)

xy cos(xyz)− 3.

12.∂z

∂x= f ′(x) e

∂z

∂y= g′(y).

15

13. a)∂3u

∂r2∂θ= θerθ(2 sen θ + θ cos θ + rθ sen θ).

b)∂3w

∂z∂y∂x=

4

(y + 2z)3e

∂3w

∂x2∂y= 0.

14. a) Negativa

b) Positiva

c) Positiva

d) Negativa

e) Positiva

15. uxx =2x2 − y2 − z2

(x2 + y2 + z2)5/2, uyy =

2y2 − x2 − z2

(x2 + y2 + z2)5/2e uzz =

2z2 − x2 − y2

(x2 + y2 + z2)5/2.

16.∂z

∂x=

ex

ex + ey,

∂z

∂y=

ey

ex + ey,

∂2z

∂x2=∂2z

∂y2=

ex+y

(ex + ey)2,

∂2z

∂x∂y= − ex+y

(ex + ey)2.

17.∂P

∂V= −mRT

V 2,

∂V

∂T=mR

Pe

∂T

∂P=

V

mR.

18. Nao, pois pelo Teorema de Clairaut deveria ser verdade que fxy = fyx, mastemos fxy = 4 6= 3 = fyx.

19. x = 1 + t, y = 2, z = 2− 2t.

20. a) Grafico de f :

b) fx =x4y + 4x2y3 − y5

(x2 + y2)2e fy =

x5 − 4x3y2 − xy4

(x2 + y2)2quando (x, y) 6= (0, 0).

c) fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0.

d) Use fxy(0, 0) = limh→0

fx(0, h)− fx(0, 0)

he fyx(0, 0) = lim

h→0

fy(h, 0)− fy(0, 0)

h.

e) Para (x, y) 6= (0, 0), fxy = x6 + 9x4y2 − 9x2y4 − y6(x2 + y2)3. Como fxynao e contınua na origem, nao ha uma contradicao com o Teorema de

16

Clairaut. Os graficos de fxy e fyx sao identicos, exceto na origem:

21. a)∂f

∂x= 20x3y2 + y3 e

∂f

∂y= 10x4y + 3xy2.

b)∂z

∂x= −y sen(xy) e

∂z

∂y= −x sen(xy).

c)∂z

∂x=x4 + 3x2y2 − 2xy2

(x2 + y2)2e

∂z

∂y=

2x2y(1− x)

(x2 + y2)2.

d)∂f

∂x= −2xe−x

2−y2 e∂f

∂y= −2ye−x

2−y2 .

e)∂z

∂x= 2x ln(1 + x2 + y2) +

2x3

1 + x2 + y2e

∂z

∂y=

2x2y

1 + x2 + y2.

f)∂z

∂x= yexy(1 + xy) e

∂z

∂y= xexy(1 + xy).

g)∂f

∂x= 12y(4xy−3y3)2+10xy e

∂f

∂y= 3(4xy−3y2)2(4x−9y2)+5x2.

h)∂z

∂x=

y

x2 + y2e

∂z

∂y=

−xx2 + y2

.

i)∂g

∂x= yxy−1 e

∂g

∂y= xy lnx.

j)∂z

∂x= 2x(1 + ln(x2 + y2)) e

∂z

∂y= 2y(1 + ln(x2 + y2)).

l)∂f

∂x=

x2

3√

(x3 + y3 + 3)2e

∂f

∂y=

2y

3 3√

(x3 + y3 + 3)2.

m)∂z

∂x=

sen y(cos(x2 + y2) + 2x2 sin(x2 + y2))

(cos(x2 + y2))2e

∂z

∂y=x cos y cos(x2 + y2) + 2xy sin y sin(x2 + y2)

(cos(x2 + y2))2.

22.∂z

∂x=y4 − x2y2

(x2 + y2)2e

∂z

∂y=

2x3y

(x2 + y2)2.

23. a) 4.

b) −4.

17

24.∂g

∂x=

1

yφ′(x

y

)e

∂g

∂y= − x

y2φ′(x

y

).

25.∂p

∂V= −nRT

V 2e

∂p

∂T=nR

V.

26.∂z

∂x= eyφ′(x− y) e

∂z

∂y= eyφ(x− y)− eyφ′(x− y).

27.∂f

∂x= 2xφ

(x

y

)+

(x2 + y2)

yφ′(x

y

)e

∂f

∂y= 2yφ

(x

y

)−x(x2 + y2)

y2φ′(x

y

).

28.∂f

∂x=

y2 − x2 − 2xy4

(x2 + y2)2, se (x, y) 6= (0, 0),

nao existe se (x, y) = (0, 0)e

∂f

∂y=

4x2y3 + 2y5 − 2xy

x2 + y2, se (x, y) 6= (0, 0),

0, se (x, y) = (0, 0).

29. a)∂f

∂x= (1 + x)ex−y−z,

∂f

∂y= −xex−y−z e

∂f

∂z= −xex−y−z.

b)∂w

∂x= 2x arcsin

(t

z

),

∂w

∂y=

x2|z|z√z2 − y2

e∂w

∂z= − x2y

|z|√z2 − y2

.

c)∂w

∂x=

yz(y + z)

(x+ y + z)2,

∂w

∂y=

xz(x+ z)

(x+ y + z)2e

∂w

∂z=

xy(x+ y)

(x+ y + z)2.

d)∂f

∂x= 2x cos(x2 + y2 + z2),

∂f

∂y= 2y cos(x2 + y2 + z2) e

∂f

∂z= 2z cos(x2 + y2 + z2).

e)∂s

∂x= w

(2x2

x2 + y2 + z2 + w2+ ln(x2 + y2 + z2 + w2)

),

∂s

∂y=

2xyw

x2 + y2 + z2 + w2,

∂s

∂z= w

2xzw

x2 + y2 + z2 + w2e

∂s

∂w= x

(2w2

x2 + y2 + z2 + w2+ ln(x2 + y2 + z2 + w2)

).

30.∂f

∂x=−x2 + y2 + z2

(x2 + y2 + z2)2,

∂f

∂y=

−2xy

(x2 + y2 + z2)2e

∂f

∂z=

−2xz

(x2 + y2 + z2)2.

31.∂s

∂x=

1

ye

xy− z

w ,∂s

∂y= − x

y2e

xy− z

w ,

∂s

∂z= − 1

we

xy− z

w e∂s

∂w=

z

w2e

xy− z

w .

32. a)∂f

∂x= 2x(y + 2) e

∂f

∂y= x2 − 1.

18

b)∂f

∂x= 2y(xy − 1) e

∂f

∂y= 2x(xy − 1).

c)∂f

∂x=∂f

∂y= − 1

(x2 + y2)2.

d)∂f

∂x= −e−x sin(x+ y) + e−x cos(x+ y) e

∂f

∂y= e−x cos(x+ y).

e)∂f

∂x= yexy ln y e

∂f

∂y= xexy ln y +

exy

y.

f)∂f

∂x= −6 cos(3x−y2) sen(3x−y2) e

∂f

∂y= 4y cos(3x−y2) sen(3x−y2).

33. a) fx = 1 + y2, fy = 2xy e fz = −4z.

b) fx = 1, fy = − y√y2 + z2

e fz = − z√y2 + z2

.

c) fx = −x(x2 + y2 + z2)−3/2, fy = −y(x2 + y2 + z2)−3/2 e

fz = −z(x2 + y2 + z2)−3/2.

d) fx =1

x+ 2y + 3z, fy =

2

x+ 2y + 3ze fz =

3

x+ 2y + 3z.

e) fx = −2xe−(x2+y2+z2), fy = −2ye−(x

2+y2+z2) e fz = −2ze−(x2+y2+z2).

f) fx = −yze−xyz, fy = −xze−xyz e fz = −xye−xyz.

34.∂f

∂z(1, 2, 3) = 12.

35.∂z

∂x(1, 1, 1) = −2.

36. a) a2 = b2 + c2 − 2bc cos(A),∂A

∂a=

a

bc sen(A)e

∂A

∂b=c cos(A)− bbc sen(A)

.

b)a

sen(A)=

b

sen(B),

∂a

∂A=a cos(A)

sen(A)e

∂a

∂B= −b csc(B) cot(B) sen(A).

37. a)∂2f

∂x2= 2xy2,

∂2f

∂y2= 2x3 e

∂2f

∂x∂y=

∂2f

∂y∂x= 6x2y.

b)∂2z

∂x2= 2ex

2−y2(1 + 2x2),∂2z

∂y2= 2ex

2−y2(2y2 − 1) e

∂2z

∂x∂y=

∂2z

∂y∂x= −4xyex

2−y2 .

c)∂2z

∂x2=

2 + 2y2 − 2x2

(1 + x2 + y2)2,

∂2z

∂y2=

2 + 2x2 − 2y2

(1 + x2 + y2)2e

∂2z

∂x∂y=

∂2z

∂y∂x=

−4xy

(1 + x2 + y2)2.

19

d)∂2g

∂x2= 24xy2,

∂2g

∂y2= 48x3y2 e

∂2g

∂x∂y=

∂2g

∂y∂x= 48x2y3.

38.∂f

∂x= − 2x

(x2 + y2)2,

∂2f

∂x2=

6x2 − 2y2

(x2 + y2)3,

∂2f

∂y2=

6y2 − 2x2

(x2 + y2)3e

∂2f

∂y∂x=

8xy

(x2 + y2)3.

39.∂2f

∂x2=

2y2 − 2x2

(x2 + y2)2e

∂2f

∂y2=

2x2 − 2y2

(x2 + y2)2.

40.∂2z

∂x∂y=−3xy − x2

y3e

xy e

∂2z

∂y2=

3x2y + x3

y4e

xy .

41. a)∂z

∂x= − x+ 2yz

2(z + xy)e

∂z

∂y= −y + xz

z + xy.

b) (x, y, z) ∈ R3; z = −xy.

42. a)∂f

∂x=

2xy4

(x2 + y2)2e

∂f

∂y=

2x4y

(x2 + y2)2.

b) lim(x,y)→(0,0)

∂f

∂x(x, y) = 0.

43. a) Df = (x, y) ∈ R2; x2 − 9y2 < 9.

b) fx =−2x

9− x2 − 9y2e fy =

−18y

9− x2 − 9y2.

44. a) Nao, pois lim(x,y)→(0,0) f(x, y) nao existe.

b)∂f

∂x(0, 0) =

∂f

∂y(0, 0) = 0.

c)∂f

∂x=

y3 − x2y(x2 + y2)2

e∂f

∂y=

x3 − xy2

(x2 + y2)2.

d) Nao, pois f nao e contınua em (0, 0) (ou: pois suas derivadas parciaisnao sao contınuas em (0, 0)).

20

45.∂f

∂x(0, 0) =

∂f

∂y(0, 0) = 1.

46. a) Nao, pois lim(x,y)→(0,0) f(x, y) nao existe.

b)∂f

∂x(0, 0) =

∂f

∂y(0, 0) = 0.

47.∂z

∂x= cos(x+ sen y),

∂z

∂y= cos(x+ sen y) cos y,

∂z2

∂x∂y= − sen(x+ sen y) cos y e

∂2z

∂x2= − sen(x+ sen y).

48. a) z = −8x− 2y.

b) z = 6x+ 4y + 8.

c) x+ y − 2z = 0.

d) z = y.

49. As derivadas fx e fy de cada f existem e sao contınuas nos pontos dados,logo diferenciaveis.

a) L(x, y) = 2x+ 14y − 1.

b) L(x, y) = 19x− 2

9y + 2

3.

c) L(x, y) = 1− πy.

50. L(x, y) = −23x− 7

3y + 20

3e f(1, 95; 1, 08) ≈ 2.847.

51. a) dz = 3x2 ln(y2)dx+ 2x3

ydy.

b) dm = 5p4q3dp+ 3p5q2dq.

c) dR = β2 cos(γ)dα + 2γβ cos(γ)dβ − αβ2 sen(γ)dγ.

52. ∆z = 0.9225 e dz = 0.9.

53. ∆z = −0.7189 e dz = −0.73.

54. ∆A ≈ 5.4 cm2.

55. Para V = πr2h o volume da lata de raio r e altura h, temos ∆V ≈ 16 cm3.

56. ∆R ≈ 0.059Ω.

57. Se x, y, z, w sao os quatro numeros e p(x, y, z, w) = xyzw, temos ∆p ≤ 25000.

58. ε1 = ∆y e ε2 = −5∆y.

59. fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0, mas lim(x,y)→(0,0) f(x, y) nao existe, logo f e dis-contınua em (0, 0) e portanto nao e diferenciavel neste ponto.

21

60. a) Nao.

b) Nao.

c) Sim.

61. As derivadas parciais ∂f∂x

e ∂f∂y

de cada funcao f existem e sao contınuas emtodos os pontos do domınio.

62. a) R2 \ (0, 0).b) R2 \ (0, 0).c) R2.

d) R2.

63. a) Plano tangente: z = 4x+ 2y − 4Reta normal: (x, y, z) = (1, 1, 2) + λ (4, 2,−1).

b) Plano tangente: z = 2y − 1Reta normal: (x, y, z) = (0, 1, 1) + λ (0, 2,−1).

c) Plano tangente: z = −8x+ 2y + 8Reta normal: (x, y, z) = (1,−1,−2) + λ (−8, 2,−1).

d) Plano tangente: z = 9x− 8yReta normal: (x, y, z) = (2, 2, 2) + λ (9,−8,−1).

e) Plano tangente: 4z = 2x− 4y + (π − 2)Reta normal: (x, y, z) =

(2, 1

2, π4

)+ λ

(12,−1,−1

).

f) Plano tangente: 4z = 2x+ 2y − 1Reta normal: (x, y, z) =

(12, 12, 14

)+ λ

(12, 12,−1

).

64. x+ 6y − 2z = 3.

65. 2x+ 2y + z = 9 e 2x− 2y + z = 9.

66. z = 2x+ y − 54.

67.∂f

∂x(1, 1) = 2 e

∂f

∂y(1, 1) = 1.

68. a)∂f

∂x(1, 1) = −2

3e∂f

∂y(1, 1) = −1

3.

b) (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(2, 1, 3).

69. Note que x∂f∂x

(x, y) + y ∂f∂y

(x, y) = f(x, y).

70. 4x− 3y − z = −114

.

71. z = 0 e z = 6x+ 6y − 18.

72. z = 2√

2y e z = −2√

2y.

22

73. Note que a∂f∂x

(a, a) + a∂f∂y

(a, a) = f(a, a).

74. Note que o plano tangente no ponto (1, 2, 5) e z = 2x+ 4y − 5.

23

Referencias

[1] J. Stewart. Calculo, Volume 2, 6a Edicao, Sao Paulo, Pioneira/ Thomson Le-arning.

[2] H. L. Guidorizzi. Um Curso de Calculo, Volume 2, 5a Edicao, 2002, Rio deJaneiro.

[3] G. B. Thomas. Calculo, Volume 2, 10a edicao, Sao Paulo, Addison-Wesley/Pearson,2002.

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