TIPO DE PROVA: A

Sabe-se que o quadrado de um número natu-ral k é maior do que o seu triplo e que o quín-tuplo desse número k é maior do que o seuquadrado. Dessa forma, k k2 − vale:

a) 10 b) 12 c) 6 d) 20 e) 8

alternativa B

Das condições dadas:

k 3k

5k k

k(k 3) 0

k(k 5) 0

2

2

>

>⇔

− >− <

⇔

⇔< >

< <⇔ < < ⇔ =

(k 0 ou k 3)

0 k 53 k 5 k 4

Portanto k k 122 − = .

Se, na igualdade 30 4xn = , n é um númeronatural positivo e x um número ímpar, o pro-duto n.x vale:a) 450 b) 175 c) 275 d) 360 e) 130

alternativa A

30 4x 2 3 5 2n n n n 2= ⇔ ⋅ ⋅ = ⋅ xComo x é um número ímpar, pelo TeoremaFundamental da Aritmética, n = 2 e nx 2x= =

= =302

4502

.

Num triângulo, a medida de um lado é dimi-nuída de 15% e a medida da altura relativa aesse lado é aumentada de 20%. A área dessetriângulo:a) aumenta de 1%c) aumenta de 2%e) não se altera

b) diminui de 2,5%d) diminui de 1,5%

alternativa C

Seja a o lado do triângulo e h a altura relativa aesse lado. Ao diminuirmos o lado de 15% eaumentarmos a altura de 20%, obtemos um novo

triângulo de área(1 0,15)a (1 0,20)h

2− ⋅ + =

=1,02ah2

, que é a área do triângulo original au-

mentada de 2%.

Na figura, temos os esboços dos gráficos dasfunções f e g. A soma f(g(1)) + g(f(−1)) é iguala:

a) −1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3

alternativa D

Do gráfico, temos g(x) 2= para x ≤ 0. Comof( 1) 0− < , temos g(f(−1)) = 2. Portanto f(g(1)) ++ g(f(−1)) = + = + =f(0) 2 0 2 2.

Pelo vértice da curva y x 4x 32= − + , e pelo

ponto onde a mesma encontra o eixo das or-denadas, passa uma reta que define com oseixos um triângulo de área:

a) 2 b) 114

c) 34

d) 3 e) 94

Questão 1

Questão 2

Questão 3

Questão 4

Questão 5

alternativa E

O vértice da parábola y x 4x 32= − + é o ponto

− −⋅

− − − ⋅ ⋅⋅

=( 4)

2 1;

( 4) 4 1 34 1

2(2; −1) e o ponto

onde a mesma encontra o eixo das ordenadas é(0; 3).Uma equação da reta que passa por (0; 3)

e (2; −1) é y − 3 = − −−

1 32 0

⋅ (x − 0) ⇔ 2x + y − 3 = 0,

que intercepta o eixo das abscissas no ponto

32

; 0

.

Logo essa reta define com os eixos um triângulo

de área3

32

294

⋅= .

Se as seqüências 3; 3 ; 3xx y

2+

e (2; y; 3x)

são, respectivamente, uma progressão geomé-trica e uma progressão aritmética, o valor dey x− é:a) 1 b) −1 c) −2 d) 2 e) 0

alternativa D

Temos:

3 3 (3 )

2 3x 2y

x y2 x 2⋅ =

+ =

+

⇔ 3 3

2 3x 2y

x y2

1 2x+ +

=+ =

⇔

⇔x y

21 2x

2 3x 2y

+ + =

+ =⇔

y 2 3x

2 3x 2y

+ =+ =

⇔x 2

y 4

==

Assim, y − x = 2.

Se as equações x mx nx p 03 2+ + + = e

x x 2 02 + − = têm o mesmo conjunto solu-ção, então o produto m.n.p vale:a) −1 b) 1 c) 0 d) 2 e) −2

alternativa C

Como x x 2 0 x 22 + − = ⇔ = − ou x = 1, asraízes de x mx nx p 03 2+ + + = são −2 e 1,

onde −2 ou 1 é uma raiz dupla. Conseqüente-mente, pelas relações entre coeficientes e raízes:• −m ( 2) ( 2) 1 3= − + − + = − ⇔ m = 3;n ( 2) ( 2) ( 2) 1 ( 2) 1 0= − ⋅ − + − ⋅ + − ⋅ = e−p ( 2) ( 2) 1 4= − ⋅ − ⋅ = ⇔ p = −4• −m ( 2) 1 1 0= − + + = ⇔ m = 0;n ( 2) 1 ( 2) 1 1 1 3= − ⋅ + − ⋅ + ⋅ = − e−p = − ⋅ ⋅ = −( 2) 1 1 2 ⇔ p = 2.Em ambos os casos, m n p⋅ ⋅ = 0.

O produto (log ) (log ) (log )2 3 43 4 5⋅ ⋅ ⋅ ... ⋅⋅ (log )63 64 é igual a:a) log3 64c) 2e) 6

b) log2 63d) 4

alternativa E

Temos log 3 log 4 log 5 . . . log 642 3 4 63⋅ ⋅ ⋅ ⋅ == =log 64 62 .

A soma das raízes da equação

3 9 0log (x 3) log (x 3) 0

1 2 10

x x

3 3+ + =

é igual a:a) −2 b) −1 c) 0 d) 1 e) 2

alternativa A

3 9 0

log (x 3) log (x 3) 0

1 2 1

0

x x

3 3+ + = ⇔

⇔ ⋅ + − ⋅ + = ⇔3 log (x 3) 9 log (x 3) 0x3

x3

⇔ − ⋅ + = ⇔(3 9 ) log (x 3) 0x x3

⇔ + = − = ⇔log (x 3) 0 ou 3 9 03x x

⇔ + = => −

⇔(x 3 1 ou 3 3 )

x 3

x 2x

⇔= − =

> −⇔ = − =

(x 2 ou x 0)

x 3x 2 ou x 0

Logo a soma das raízes é − + = −2 0 2.

matemática 2

Questão 6

Questão 7

Questão 8

Questão 9

Em [0; 2π], as soluções da equação2senx

cos2x 1−= 1

1 senx+são em número de:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

alternativa B

Para x ∈[0; 2π],2 sen x

cos 2x 11

1 sen x2 sen x

(1 2 sen x) 12−=

+⇔

− −=

=+

⇔−

=+

⇔11 sen x

1sen x

11 sen x

⇔ = − ⇔sen x12

x76

o x11

6= =π π

u

Assim, a equação admite duas raízes no universo[0; 2π].

A circunferência da figura tem raio 2 e cen-tro O. Se sen 10 cos 10 ao o+ = , a área dotriângulo ABC é igual a:

a) a 2 b) 2a2 c) 2a 2 d) a 22 e) 2 2

alternativa A

Sendo BP a altura relativa ao lado AC do triângu-

lo ABC, temos sen 55o = BPOB

⇔

⇔ sen (45o +10o) = BP2

⇔

⇔ 22

(sen10o + cos10o) = BP2

⇔ BP = a.

Logo a área do triângulo ABC é igual aAC BP

2⋅ =

= ⋅2 2 a2

= a 2 .

O sistemax y z kkx y z 1x y z k

+ + =+ + =

+ − =

a) é impossível para um único valor de kb) tem solução única para um único valor de kc) tem solução (k, 0, 0), qualquer que seja k ≠ 0d) tem mais de uma solução para um únicovalor de ke) pode admitir a solução nula

alternativa D

x y z k

kx y z 1

x y z k

x y z k

(k 1)x 1 k

x y z k

+ + =+ + =

+ − =⇔

+ + =− = −

+ − =⇔

⇔+ + =− = −=

⇔− = −= −=

∗x y z k

(k 1)x 1 k

2z 0

(k 1)x 1 k

y k x

z 0

( )

Logo: se k 1 0 k 1,− ≠ ⇔ ≠

( )

x 1

y k 1

z 0

∗ ⇔= −= +=

V {( 1; k 1; 0)}= − + ;

e se k 1 0 k 1,− = ⇔ =

( )y 1 x

z 0∗ ⇔

= −=

V {( ; 1 ; 0) R , R}3= − ∈ ∈α α α .

O número de filas diferentes que podem serformadas com 2 homens e 3 mulheres, demodo que os homens não fiquem juntos, é:a) 96 b) 72 c) 48 d) 84 e) 120

matemática 3

Questão 10

Questão 11

Questão 12

Questão 13

alternativa B

O número total de filas que podem ser formadassem restrições é 5! 120= . Porém devemos des-contar o número de filas onde os homens ficamjuntos, ou seja, 4! ⋅ 2! = 48.Logo o número de filas onde os homens não fi-cam juntos é120 48 72− = .

Dois prêmios iguais são sorteados entre6 pessoas, sendo 4 homens e 2 mulheres.Supondo que uma mesma pessoa não possaganhar os 2 prêmios, a probabilidade de pelomenos um homem ser sorteado é:

a) 56

b) 78

c) 1415

d) 1314

e) 89

alternativa C

Os prêmios podem ser dados para6

215

= pa-

res de pessoas, sendo que em2

21

= oportuni-

dade nenhuma delas é homem. Conseqüente-

mente, a probabilidade pedida é11

151415

− = .

Se a reta de equação (3k − k2) x + y ++ k2 − k − 2 = 0 passa pela origem e é perpen-dicular à reta de equação x + 4y − 1 = 0, o va-lor de k 22 + é:a) −2 b) 2 c) −3 d) 3 e) 1

alternativa D

Como a reta de equação (3k − k 2 )x + y ++ k 2 − k − 2 = 0 ⇔ y = (k 2 − 3k)x − k 2 + k + 2 = 0passa pela origem, temos k k 2 02 − − = ⇔⇔ = −k 1 ou k = 2.Visto que esta reta é perpendicular à reta de

equação x + 4y − 1 = 0 ⇔ y = − 14

x + 14

, seu coefi-

ciente angular é k 3k114

2 − = −−

⇔

⇔ k 3k 4 02 − − = ⇔ = − =k 1 ou k 4.

Logo k = −1 e k 2 ( 1) 2 32 2+ = − + = .

Por um ponto P que dista 10 do centro deuma circunferência de raio 6 traçam-se astangentes à circunferência. Se os pontos detangência são A e B, então a medida do seg-mento AB é igual a:a) 9,6 b) 9,8 c) 8,6 d) 8,8 e) 10,5

alternativa A

Na figura anterior, temos:

OA = OB = 6, OP = 10 e OA AP OP2 2 2+ = ⇔

⇔ + = ⇔ =6 AP 10 AP 82 2 2 .

Assim, OP ⋅ AM = OA ⋅ AP ⇔ 10 ⋅ AM = 6 ⋅ 8 ⇔⇔ AM = 4,8 e AB = 2AM = 9,6.

Na figura, o triângulo ABC é eqüilátero e osegmento BD é perpendicular ao plano dotriângulo. Se M é o ponto médio de AC e amedida de BD é a metade da medida do ladodo triângulo, então o ângulo MDB� mede:

a) 45o b) 30o c) 60o d) 22,5o e) 15o

matemática 4

Questão 14

Questão 15

Questão 16

Questão 17

alternativa C

Como o segmento BD é perpendicular ao planodo triângulo eqüilátero ABC, o triângulo MBD é re-

tângulo de catetos BD = AB2

e BM = AB 32

.

Assim, de tg(MDB� ) = BMBD

= 3 , temos m(MDB� ) =

= 60o.

Considere o recipiente da figura, formadopor um cilindro reto de raio 3 e altura 10,com uma concavidade inferior na forma deum cone, também reto, de altura 3 e raio debase 1. O volume de um líquido que ocupa orecipiente até a metade de sua altura é iguala:

a) 89πb) 72πc) 64πd) 48πe) 44π

alternativa E

Como a altura do cone é menor do que a metadeda altura do cilindro, o volume do líquido é igual a

π π⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅3102

13

1 32 2 = 45π − π = 44π.

Um cubo está inscrito numa esfera. Se a áreatotal do cubo é 8, o volume da esfera é:

a) 83π b) 4

3π c) 16

3π d) 12π e) 8π

alternativa B

Seja a a aresta do cubo. Sendo a área total do

cubo igual a 8, temos 6a2 = 8 ⇔ a = 2 33

.

Como o diâmetro 2R da esfera é igual à diagonaldo cubo, 2R = a 3 ⇔ R = 1.

Assim o volume da esfera é43

R3π = 43π

.

Se os pontos que representam os complexosz = a + bi e w = c + di, com a.b.c.d ≠ 0, perten-cem a uma mesma reta que passa pela ori-

gem, então zw

é sempre igual a:

a) ac

b) a2c 1−

c) a(c 1)− d) c2a

e) 2 ac

alternativa A

Como a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ≠ 0, a reta que contém ambas asimagens dos complexos admite equaçãoy = mx, m ∈R ∗.

Logo b = ma e d = mc e, portanto,zw

=

= + ⋅+ ⋅

= ++

=a ma ic mc i

a(1 mi)c(1 mi)

ac

.

matemática 5

Questão 18

Questão 19

Questão 20