Mat geometria espacial 001

COLÉGIO VIA MEDICINA PSS 2 PÁGINA 1

ANOTAÇÕES

1. POSTULADOS (sem demonstrações)

Euclides: Por um ponto fora de uma reta existe uma única paralela a essa reta.

Posição relativas de Duas Retas

paralelas reversas concorrentes Coincidente (paralelos)

Intersecção de Planos

Se dois planos distintos tem um ponto comum eles tem uma reta comum. Então: os planos acima chamam-se secantes.

Intersecção de 3 Planos Ou os três se encontram numa única reta ou as intersecções dão paralelas, ou concorren-tes num único ponto.

Reta x Plano Paralelos Incidentes pertencentes

Plano x Reta

Paralelos Secantes Coincidentes (paralelos)

Teorema de Tales: Se um feixe de planos para-lelos é cortado por duas transversais (paralelas ou não) então a razão entre os segmentos de uma é igual à razão entre os corresponden-tes de outra.

Reta paralela a plano

Definição: a intersecção é vazia Teorema: uma reta é paralela a um plano se for paralela a uma reta do plano E NÃO ESTIVER NELE CONTIDA. Por um ponto fora do plano existem infinitas retas paralelas a este plano. Se uma reta é paralela a um plano ela é para-

lela ou reversa com qualquer reta do plano.

Planos s paralelos (distintos) Definição: intersecção vazia Teorema: dois planos são paralelos se um contiver duas retas CONCORRENTES paralelas a outro. Dois planos sendo paralelos distintos. Toda reta que fura um fura o outro. Todo plano que corta um corta o outro em re-tas paralelas. Toda reta de um é paralela a outro.

2. ÂNGULOS Para se obter o ângulo entre re-

tas reversas ou não; traça-se por um ponto qualquer paralelas às duas; o ângulo obtido é o ângulo das reversas.

Definição: uma reta é perpen-

dicular a um plano quan-do fura (pé) e é perpendicular a todas retas do plano que passam pelo pé.

Teorema: uma reta é perpen-dicular a um plano quando formar ân-gulo reto com duas retas CONCORRENTES do plano.

3. PLANOS PERPENDICULARES

contém uma reta per-pendicular a â.

A recíproca é garantida pelo Teorema: se um plano contém uma perpendicular ao outro plano, esse outro contém uma perpendicular ao 1º.

Teorema: por uma reta não perpendicular a um plano só existe um plano perpendicular ao plano da-do.

Matemática

RETAS E PLANOS

NO ESPAÇO

MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIAL

PÁGINA 2 COLÉGIO VIA MEDICINA

ANOTAÇÕES

Diedro: Seção: qualquer ângulo óbito

pela intersecção de um plano com o diedro (deve encontrar a aresta)

Seção reta ou ângulo reto: se o plano for perpendicular à aresta (fornece a medida do diedro)

Triedro: As faces do triedro são ângulos.

O Triedro possui 3 diedros e 3 faces.

Seções paralelas de um ângulo polié-drico

São polígonos semelhantes (mesma forma)

A razão da semelhança: K=H/h

A razão entre as áreas é:

I. Num ângulo poliédrico qualquer face é menor que a soma das de-mais.

II. A soma das faces é menor que 360º Superfície poliédrica Convexa

aberta V-A+F=1 Poliédro Convexo soma dos ângu-los das faces de um poliedro euleriano S=(V-2).360º

Platão

Euleriano Faces com P lados

Vértices com q ares-tas

THODI

Poliedros regulares Convexos Faces re-

gulares côngruas

Vértices regula-res côngruas

THODI – regulares

POLIEDROS

Denomina-se poliedro o sólido limitado por polígonos planos que têm, dois a dois, um lado comum. E-xemplos:

Os polígonos são denominados faces do poliedro.

Os lados e os vértices dos polí-gonos denominam-se, respectivamen-te, arestas e vértices do poliedro.

1. Poliedros convexos e não convexo

Um poliedro é dito convexo quando o segmento de reta que une os dois quaisquer de seus pontos este-ja contido no poliedro. Em caso con-trário, é não convexo.

GEOMETRIA ESPACIAL MATEMÁTICA – Jorge Oliveira

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ANOTAÇÕES

De acordo com o número de fa-ces temos os seguintes poliedros: tetraedro poliedro convexo com quatro faces pentaedro poliedro convexo com cinco faces hexaedro poliedro convexo com seis faces heptaedro poliedro convexo com sete faces octaedro poliedro convexo com oito faces icosaedro poliedro convexo com vinte faces

Relação de Euler

Em todo poliedro convexo, vale a re-lação:

V = número de vértices A = número de arestas F = número de faces

Propriedade

Num poliedro convexo, a soma dos ângulos de todas as faces é dada por:

Poliedros regulares ou poliedros de Platão

Um poliedro convexo é dito re-gular quando as suas faces são polígo-nos regulares e congruentes, e todos os ângulos poliédricos são congruen-tes.

Há somente cinco poliedros re-gulares, que são: Tetraedro regular

Faces: triângulos equiláteros

Hexaedro regular (cubo)

Faces: quadrados

Octaedro regular

Faces: triângulos equilateros Dodecaedro regular

Faces: pentágonos regulares

Icosaedro regular

Faces: triângulos equiláteros

Chamando de: M = número de arestas concorrentes em cada vértices n = número de lados em cada face V = número de vértices do poliedro A = número de arestas do poliedro F = número de faces do poliedro Temos:

Nome m n V A F S Tetraedro 3 3 4 6 4 720º

Hexaedro 3 4 8 12

6 2160º

Octaedro 4 3 6 12

8 1440º

Dodecaedro 3 5 20

30

12

6480º

Icosaedro 5 3 12

30

20

3600º



ANOTAÇÕES GEOMETRIA MÉTRICA ESPACIAL

1. PRISMAS

1.1. PARALELEPÍPEDO RETO-RETÂNGULO

1. Cálculo da diagonal (d):

d= 2. Cálculo da superfície total ( 3. Cálculo do volume (V): V = a . b . c

1.2. CUBO

1. Diagonal: 2. Área total: 3. Volume: V= a³

1.3. PRISMA REGULAR

1. Área lateral: N: número de faces

área de uma face 2. Área total: B: área da base 3. Volume: V = B . h

2. PIRÂMIDES

2.1. PIRÂMIDES REGULARES

1. Área lateral: N: número de faces

: área uma face 2. Área total:

3. Volume: Relação fundamental: m² = h² + a²

2.2. TETRAEDRO REGULAR

1. Altura:

2. Área total:

3. Volume:

EXERCÍCIOS

1. Assinale como verdadeiro (V) ou falso (F) nas sentenças abaixo:

a) ( ) O ponto tem dimensão.

b) ( ) A reta não tem espessura.

c) ( ) Numa reta existem tantos pon-tos quantos quisermos.

d) ( ) Por um ponto P existe uma úni-ca reta passando por ele.

e) ( ) Fora de um plano existem infi-nitos pontos.

f) ( ) Um ponto divide o plano em dois semiplanos.

g) ( ) Um ponto divide a reta em duas semi-retas.

h) ( ) O triângulo é um con-junto convexo.



ANOTAÇÕES ( ) Todo quadrilátero é sempre um conjunto convexo. i) ( ) Um segmento é um conjunto

convexo.

j) ( ) O plano tem dimensões.

k) ( ) Todo plano contém, no mínimo, três pontos alinhados.

l) ( ) Dois planos secantes têm em comum duas retas distintas.

2. Marque verdadeiro (V) ou falso (F):

a) ( ) A circunferência é um conjunto convexo.

b) ( ) O circulo é um conjunto conve-xo.

c) ( ) Duas retas distintas sempre di-videm o plano em três regiões conve-xas.

d) ( ) Se dois pontos pertencem a se-miplanos opostos, então o segmento entre eles intercepta a origem.

e) ( ) Existe um único plano que con-tém um triângulo dado no espaço.

f) ( ) Três pontos distintos não coli-neares determinam um plano.

g) ( ) Três pontos distintos determi-nam um plano.

h) ( ) Dado um ponto P, existe uma única reta que possui.

i) ( ) Três pontos num plano são coli-neares.

j) ( ) Os vértices de um triângulo de-terminam um plano.

3. Por que uma mesa com três pernas as-

senta perfeitamente em qualquer tipo de chão? E as de quatro pernas nem sempre, por quê?

4. Assinale verdadeiro (V) ou falso(F): a) ( ) Se a intersecção de duas retas é

o vazio, então elas são paralelas. b) ( ) Duas retas distintas e não para-

lelas são reversas. c) ( ) Se duas retas não são coplana-

res, então elas são reversas. d) ( ) duas retas coplanares são para-

lelas ou concorrentes. e) ( ) é condição necessá-

ria para que r e s sejam paralelas. f) ( ) Duas retas que formam um ân-

gulo reto são ortogonais ou perpendi-culares.

g) ( ) Duas retas distintas são sempre coplanares.

5. Classifique como verdadeiro (V) ou fal-

so (F):

a) ( ) Uma reta e um plano que têm um único ponto em comum são parale-las.

b) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela a uma reta do plano.

c) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, ela é reversa a todas as retas deste plano.

d) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então existe no plano uma reta concorrente com a reta dada.

6. Quais as posições relativas entre r e s,

se :

a) á // r e s á; b) r á e s á; c) á r = {P} e s á

7. Dê o nome de cada posição entre r e s

nos casos: a)

b)

c)

d)

e)

8. Assinale verdadeiro (V) ou falso (F):

a) ( ) Duas retas no espaço são para-lelas ou congruentes.



ANOTAÇÕES b) ( ) se duas retas estão no mesmo plano, então elas são reversas.

c) ( ) duas retas reversas que formam um ângulo reto são ortogonais.

d) ( ) Se a intersecção de duas retas é o vazio, então elas são reversas.

e) ( ) r é condição necessá-ria para que r e s sejam paralelas.

f) ( ) duas retas que formam um ân-gulo reto são ortogonais ou perpendi-culares.

g) ( ) Duas retas reversas podem ser obliquas.

h) ( ) Se duas retas formam um ângu-lo reto e uma terceira é paralela a uma delas, então essa terceira reta forma ângulo reto com a outra.

i) ( ) Duas retas não reversas são co-planares.

j) ( ) Duas retas coplanares e distin-tas são paralelas.

k) ( ) Duas retas coplanares e distin-tas são paralelas.

9. (MACK) a reta r paralela ao plano α

são paralelas a r.

a) Todas as retas de á são paralelas a r. b) A reta r não pode ser coplanar com

nenhuma reta em á. c) Existem em á retas paralelas a r e,

também, existem em á retas reversas a r.

d) Existem em á retas paralelas a r e re-tas perpendiculares a r.

e) Todo plano que contem r é paralelo a á.

10. (MACK) r e r’ são retas reversas. O

número de planos paralelos a r que podem passar por r’ é:

a) Um. b) Dois. c) Infinitos. d) Nenhum. e) N.d.a. 11. (MACK) Se r e s são duas retas parale-

las a um plano α, então:

a) r//s. b) r s. c) r e s são concorrentes. d) R e s são reversas. e) Nada se pode concluir. 12. (USP – SÃO CARLOS) São dados um

tetraedro e um plano no espaço. A in-tersecção dos dois será:

a) um triângulo. b) Ou um ponto, ou um segmento, ou um

triângulo, ou vazio. c) Ou um triângulo ou um quadrângulo.

d) Ou um ponto, ou um segmento, ou um triângulo, ou um quadrângulo.

e) Ou um ponto, ou um segmento, ou um triângulo, ou um quadrângulo, ou va-zio.

13. e s//α. Quais as possíveis po-sições de r e s?

14. . Quais as possí-veis posições entre r e s?

15. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):

a) ( ) Dois planos paralelos distintos

têm um ponto em comum. b) ( ) Se dois planos são paralelos e

distintos, então toda reta de um deles é paralela ao outro.

c) ( ) Dois planos que têm uma única reta comum são secantes.

d) ( ) Se dois planos são secantes, en-tão qualquer reta de um deles é con-corrente a do outro.

e) ( ) Se dois planos são secantes, en-tão a reta de um deles pode ser con-corrente com outro.

16. Quais as posições relativas entre r e s,

se: a) á//â; r á e s â b) á â = {i}; r â e s â

17. (PUC) Qual das afirmações é verda-

deira?

a) Se duas retas concorrentes de um pla-no são respectivamente paralelas a duas retas do outro plano, então esses planos são paralelos.

b) Por uma reta dada pode-se conduzir um plano paralelo a um plano dado.

c) Por qualquer ponto é possível conduzir uma reta que se apóia em duas retas reversas dadas.

d) Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos.

e) Existem planos reversos. 18. Assinale verdadeiro (V) ou falso(F):

a) ( ) Se dois planos são paralelos dis-

tintos, toda reta de um é paralela ao outro.

b) ( ) Se dois planos possuem um pon-to em comum, então eles possuem in-finitos pontos comuns.

c) ( ) Se dois planos são paralelos, to-da reta que é secante com u deles será secante com outro.

19. (CESCEM) Uma condição necessária e

suficiente para que dois pontos sejam paralelos é que :



ANOTAÇÕES a) Uma reta de um seja paralela ao ou-tro.

b) Duas retas de um seja paralela ao ou-tro.

c) Duas retas paralelas de um sejam pa-ralelas ao outro.

d) Toda reta de um seja paralela a qual-quer reta do outro.

e) Um deles contenha retas concorrentes, paralelas ao outro.

20. (PUC) Qual das propor-sições abaixo é

falsa?

a) As intersecções de dois planos parale-los, com um terceiro plano, são retas paralelas.

b) Se dois planos distintos são paralelos, toda reta contida em um deles é para-lela ao outro plano.

c) Um plano â, paralelo a outro plano á por um ponto A á, é único.

d) Dois planos distintos paralelos a um terceiro são paralelos entre si.

e) Se dois planos são paralelos, toda reta paralela a um deles é paralela a outro.

21. Um plano α contem duas retas r e s

concorrentes em A. Existe fora de α um ponto P. Qual é a intersecção dos pla-

nos β = (Pr) e = (Os)? 22. Assinale verdadeiro(V) ou falso(F):

a) ( ) Uma reta é perpendi-cular a um

plano, quando é perpendicular a uma reta do plano.

b) ( ) Uma reta é perpendi-cular a um plano, quando é perpendicular a duas retas distintas do plano.

c) ( ) Uma reta é perpendicular a um plano, quando é perpendicular a todas as retas do plano.

d) ( ) Se r á, então r forma ângulo de 90º com todas as retas de á.

23. (FUVEST) O segmento é um diâ-metro de uma circunferência e C um ponto dela, distinto de A e B.A reta

, V ≠ A, é perpendicular ao plano da circunferência. O número de faces do sólido VABC, que são triângulos re-tângulos, é:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

24. Assinale verdadeiro (V) ou falso (F):

a) ( ) Se dois planos são secantes, e-

les são perpendiculares. b) ( ) Se dois planos são perpendicula-

res, eles são secantes. c) ( ) Se dois planos são perpendicula-

res, então toda reta de um deles é perpendicular ao outro.

d) ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano, por ela passam infinitos planos perpendiculares ao primeiro.

e) ( ) Dois planos perpendiculares a um terceiro são perpendiculares entre si.

25. Considere um quadrado ABCD contido

no plano α,o segmento VA perpendicu-lar a α e os segmentos VB,VC,VD.

Assinale (V) verdadeiro ou (F) falso:

a) ( ) VA AB. b) ( ) VA AD. c) ( ) VA BC. d) ( ) VA CD. e) ( ) VBA = 90º f) ( ) VBC = 90º g) ( ) VDC = 90º 26. (POLI) Seja P o pé da reta r perpendi-

cular a um plano β e s uma reta de β que não passa por P. Traçando-se por P uma perpendicular a s, esta encon-tra s em um ponto Q. se A é um ponto qualquer de r, diga: qual é o ângulo de AQ com s? Justifique.

27. (FUVEST) Dada uma circunferência de

diâmetro , levanta-se por A um

segmento perpendicular ao plano da circunferência e une-se P a um ponto C qualquer da circunferência, C distinto de B. a) Prove que as retas BC e PC são

perpendiculares. b) Sabendo que AB = AP = 8 e que C

é o ponto médio do arco AB, de-termine a medida do ângulo CPB.

28. (FUVEST) São dados cinco pontos não coplanares A, B, C, D e E. Sabe-se que



ANOTAÇÕES ABCD é um retângulo . AE AB e AE AD.Pode-se concluir que são perpendicu-lares as retas.

a) EA e EB. b) EB e BA. c) EA e AC d) EC e CA e) AC e BE

29. (PUC) São dadas as proposições: I. Uma reta é perpendicular a um plano

quando ela é perpendicular a todas as retas desse plano.

II. Se um plano é perpendicular a outro, então ele é perpendicular a qualquer reta desse outro.

III. Se dois planos distintos são paralelos, então toda reta de um é paralela ao outro.

È correto afirmar-se que: a) I, II e III são verdadeiras. b) I, II e III são falsas. c) Apenas II é verdadeira. d) Apenas III é verdadeira. e) Apenas II e III são verdadeiras.

30. Um poliedro convexo tem 8 vértices e

12 arestas. Quantas são suas faces?

31. U poliedro convexo tem 20 arestas e 12 faces. Determine: a) O número de vértices; b) A soma dos ângulos da face.

32. Num poliedro convexo, o número de

vértices é igual ao das faces. Tenho 30 arestas, determine a soma dos ângulos das faces desse poliedro.

33. (PUC) O número de vértices de um

poliedro convexo, que possui 12 faces triangulares, é:

a) 4 b) 12 c) 10 d) 6 e) 8 34. (UFPA) Um poliedro convexo tem 6

faces e 8 vértices. O número de ares-tas é:

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

35. (PUC-SP) O número de vértices de um

poliedro convexo que possui 12 faces triangulares é:

a) 4 b) 12 c) 10 d) 6 e) 8

36. (Cesgranrio) Um poliedro convexo é formado por 80 faces triangulares e 12 pentagonais. O número de vértices do poliedro é:

37. (Acafe) Um poliedro convexo tem 15

faces triangulares, 1 face quadrangu-lar, 7 faces pentagonais e 2 faces he-xagonais. O número de vértices desse poliedro é:

a) 25 b) 48 c) 73 d) 96 e) 71 38. (PUUC-SP) O “cubo octaedro” é um

poliedro que possui 6 faces quadrangu-lares e 8 triangulares. O número de vértices desse poliedro é:

a) 12 b) 16 c) 10 d) 14 e) n.d.a. 39. (UEPG-PR) Um poliedro convexo pos-

sui 2 faces triangulares e 4 pentago-nais. Sobre ela se afirma:

I. O número de arestas excede o número de vértices em cinco unidades.

II. A soma dos ângulos das faces é igual a 28 retos.

III. O número de vértice é 9. IV. O número de arestas é 12. Estão corretas as afirmativas: a) I, II e III b) II e III c) II, III e IV d) I e II e) Todas as afirmativas estão corretas. 40. (UC-RS) Se a soma dos ângulos das fa-

ces de um poliedro regular é 1440º, então o número de vértices desse poli-edro é:

a) 12 b) 8 c) 6 d) 20 e) 4

41. (UNIRIO) Um geólogo encontrou, nu-

ma de suas explorações u cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces triangu-lares. O número de vértices desde cristal é igual a:

a) 35 b) 34 c) 33 d) 32 e) 31



ANOTAÇÕES 42. (FUVEST) O número de faces triangu-lares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que esta pirâmide pos-sui:

a) 33 vértices e 22 arestas. b) 12 vértices e 11 arestas. c) 22 vértices e 11 arestas. d) 11 vértices e 22 arestas. e) 12 vértices e 22 arestas.

43. (MACK) Considere uma pirâmide cuja

base é um polígono convexo. Se a so-ma das medidas dos ângulos internos de todas as suas faces é 3600º, o nú-mero de lados da base dessa pirâmide é igual a:

a) 11 b) 12 c) 9 d) 10 e) 8

44. (MACK) Um poliedro convexo tem 15

faces. De dois de seus vértices partem 5 arestas, de quatro outros partem 4 arestas e dos restantes partem 3 ares-tas. O número de arestas do poliedro é:

a) 75 b) 53 c) 31 d) 45 e) 25

45. (PUC) Quantas diagonais possui um

prisma pentagonal?

a) 5 b) 10 c) 15 d) 18 e) 24 46. (UNESP) A sentença falsa a respeito

da perpendiculari-dade é:

a) Se uma reta é perpendicular a duas re-tas concorrentes de um plano, então é perpendicular a esse plano.

b) Existem 4 retas passando por um pon-to, tais que sejam perpendiculares du-as a duas.

c) Se uma reta é perpendicular a um pla-no, existem infinitas retas desse plano perpendicular a ela.

d) Retas distintas perpendiculares ao mesmo plano são paralelas.

e) Dados uma reta e um ponto, podemos passar um e apenas um plano perpen-dicular à reta e passando pelo ponto.

47. (FUVEST) O segmento AB é um diâ-

metro de uma circunferência e C um ponto dela, distinto de A e de B. A re-

ta VA, V ≠ A, é perpendicular ao plano da circunferência. O número de faces do tetraedro VABC que são triângulos retângulos é:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 48. Calcule o número de diagonais do ico-

saedro regular. 49. (FUVEST) O volume de um paralele-

pípedo reto-retângulo é de 240cm³. As áreas de duas de suas faces são 30cm² e 48cm². A área total do paralelepípe-do, em cm², é:

a) 96 b) 118 c) 236 d) 240 e) 472 50. (PUC) Um cubo tem área total igual a

72m². sua diagonal mede:

a) 2 m b) 6m

c) m

d) m

e) m 51. (UESB-BA) Diminuindo-se de 1 unida-

de de compri-mento a aresta de um cubo, o seu volume diminui 61 unida-des de volume. A área total desse cu-bo, em unidades de área, é igual a:

a) 75 b) 96 c) 150 d) 294 e) 600 52. (FAAP) Em um prisma triangular regu-

lar a altura mede m e a área late-ral é o quádruplo da área da base. Calcule o volume do prisma.

53. (PUC) Um prisma reto é tal que sua

base é um triângulo equilátero, cujo

lado mede cm e o seu volume é igual ao volume de um cubo de aresta

medindo cm. A área total desse prisma, em centímetros quadrados, é:

a) b) c) d) e)



ANOTAÇÕES 54. (MACK) Um paralelepípedo retângulo tem 142cm² de área total e a soma dos comprimentos de suas arestas vale 60cm. Sabendo que os seus lados estão em progressão aritmética, eles valem (em cm):

a) 2, 5, 8. b) 1, 5, 9. c) 12, 20, 28. d) 4, 6, 8. e) 3, 5, 7.

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