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Regras de Derivacao Derivada das Funcoes Trigonometricas

MAT146 - Calculo I - Derivada de funcoespolinomiais, regras de derivacao e derivada de

funcoes trigonometricas

Alexandre Miranda AlvesAnderson Tiago da Silva

Edson Jose Teixeira

MAT146 - Calculo I - Derivada de funcoes polinomiais, regras de derivacao e derivada de funcoes trigonometricas UFV


Vimos que uma funcao f e derivavel em um ponto x0 do seu domınio seexistir o seguinte limite

lim∆x→0

f (x0 + ∆x)− f (x0)

∆x.

Uma vez que tal limite existe, o denotamos por

f ′(x0) oudf

dx

]x=x0

.

Com o intuito de simplificar a notacao, escreveremos simplesmente h aoinves de ∆x na definicao de derivada.



Encontrar a derivada de uma funcao pela definicao pode ser uma tarefadifıcil e extremamente trabalhosa para a grande maioria das funcoes.Os proximo resultados visam simplificar nosso trabalho, garantindo quedeterminadas funcoes sao derivaveis e explicitando uma formula para taisderivadas.

TeoremaSeja f : R→ R funcao dada por

f (x) = c ,

onde c e uma constante qualquer. Entao

f ′(x) = 0.



Demostracao: Este resultado nos diz que a derivada de uma funcaoconstante e zero. Para demonstrar bastar aplicar a definicao

f ′(x) = limh→0

f (x + h)− f (x)

h

= limh→0

c − c

h

= limh→0

0

h= lim

h→00 = 0.



Continuaremos nosso trabalho deduzindo a derivada de funcoes da formaxn, n ∈ N, n ≥ 1.

TeoremaSeja f : R → R funcao dada por f (x) = xn, n ∈ N, n ≥ 1. Entao f ederivavel em todos os pontos do seu domınio e alem disso,

f ′(x) = nxn−1.



Demonstracao: Se n e um numero natural, podemos desenvolver (x +h)n

pelo Teorema Binomial da seguinte forma

(x + h)n =n∑

i=0

(ni

)xn−ihi

=

(n0

)xnh0 +

(n1

)xn−1h1 + · · ·

(n

n − 1

)x1hn−1

+

(nn

)x0hn,

onde

(nj

)=

n!

(n − j)!j!.



Desta forma, utilizando o Teorema Binomial, obtemos

f ′(x) = limh→0

[xn + nxn−1h +

n(n − 2)

2!xn−2h2 + ...+ nxhn−1 + hn

]− xn

h

= limh→0

[nxn−1 +

n(n − 2)

2!xn−2h + ...+ nxhn−1 + hn−1

]= nxn−1.

Observe que tal limite existe independente do ponto x do domınio de f ,ou seja, f e derivavel em todos os ponto do seu domınio e sua derivada edada por

f ′(x) = nxn−1.



ExemploSeja f : R → R dada por f (x) = x5. Uma vez que ja sabemos que talfuncao e derivavel em todos os pontos do seu domınio e conhecemos umaformula para sua derivada, nao precisamos recorrer a definicao. Nestecaso, podemos utilizar a formula encontrada anteriormente.Assim, pelo teorema anterior, temos que

f ′(x) = 5x4.

Para encontrar a derivada em um ponto especıfico, basta substituir talvalor na expressao de f ′(x), ou seja,

f ′(2) = 5(2)4 = 80.



Apresentaremos agora as regras de derivacao da soma, diferenca, produtoe quociente de duas funcoes. Esta regras simplificam os calculos paraencontrar derivadas e estas regras combinadas com as derivadas dasfuncoes conhecidas (e das funcoes que veremos posteriormente), nospermite encontrar a derivada de uma grande quantidade de funcoes deuma maneira rapida.



TeoremaSejam f , g funcoes derivaveis em um ponto x0 e seja k uma constante real.Entao as funcoes

f ± g , kf , f · g

sao derivaveis em x0. Se, alem disso, g(x0) 6= 0, entaof

gtambem e

derivavel em x0. Mais ainda,

(i) (f ± g)′(x0) = f ′(x0)± g ′(x0)

(ii) (k · f )′(x0) = k · f ′(x0)

(iii) (f · g)′(x0) = f ′(x0) · g(x0) + f (x0) · g ′(x0)

(iv)

(f

g

)′(x0) =

g(x0) · f ′(x0)− f (x0) · g ′(x0)

[g(x0)]2



ObservacaoTendo conhecimento destas regras de derivacao, somos capazes de derivarqualquer funcao racional f , ou seja,

f (x) =p(x)

q(x),

onde p(x) e q(x) sao polinomios com coeficientes reais.



Nos exemplos a seguir mostraremos como aplicar diretamente as regras dederivacao acima.

ExemploSeja f : R→ R definida por

f (x) = 3x4 + 5x + 3.

Vamos derivar tal funcao utilizando as regras apresentadas acima. Vamos

utilizar a notacaodf

dxpara visualizar melhor a utilizacao de tais regras.



Exemplo

f ′(x) =df

dx(x)

=d

dx(3x4 + 5x + 3)

=d

dx(3x4) +

d

dx(5x) +

d

dx(3)

= 3 · d

dx(x4) + 5 · d

dx(x) +

d

dx(3)

= 3 · 4x3 + 5 · 1 + 0

= 12x3 + 5.



Exemplo

Seja h : R \ {0} → R definida por h(x) =1

xn. Observe que h(x) =

f (x)

g(x),

onde f (x) = 1 e g(x) = xn.Utilizando a regra do quociente para derivadas, temos, para x 6= 0

h′(x) =

(f

g

)′(x)

=g(x)f ′(x)− f (x)g ′(x)

[g(x)]2

=xn · 0− 1 · nxn−1

(xn)2

= −nxn−1

x2n

= −nx−n−1.



O exemplo anterior nos fornece a regra de derivacao para uma funcao fdefinida por f (x) = xn, para n inteiro negativo. Se n e um inteiro negativo,m = −n e um natural. Daı, podemos escrever

f (x) = xn = x−m =1

xm.

Utilizando o exemplo anterior,

f ′(x) = −mx−m−1 = nxn−1.

Daı, se f e uma funcao dada por f (x) = xn, n 6= 0, entao

f ′(x) = nxn−1, n ∈ Z, n 6= 0.



ExemploSeja f : R \ {2} → R dada por

f (x) =x2 − 3

x2 − 4x + 4.

Aplicando a regra de derivacao do quociente obtemos

f ′(x) =(x2 − 4x + 4)(x2 − 3)′ − (x2 − 3)(x2 − 4x + 4)′

(x2 − 4x + 4)2

=(x2 − 4x + 4)2x − (x2 − 3)(2x − 4)

(x − 2)4

=2x3 − 8x2 + 8x − (2x3 − 4x2 − 6x + 12)

(x − 2)4

=−4x2 + 14x − 12

(x − 2)4= − 4x − 6

(x − 2)3.



ExemploSeja f : R \ {0} → R dada por

f (x) = x2 − 1

x.

Utilizando as regras de derivacao temos

f ′(x) = 2x +1

x2= 2x + x−2,

uma vez que f pode ser escrita como sendo f (x) = x2 − x−1.



ExemploSeja f : R→ R funcao definida por

f (x) = (3x5 − 1)(2− x4).

Temos que f e o produto de duas funcoes derivaveis. Aplicando a regrado produto temos

f ′(x) = (3x5 − 1)′(2− x4) + (3x5 − 1)(2− x4)′

= (15x4)(2− x4) + (3x5 − 1)(−4x3)

= 30x4 − 15x8 − 12x8 + 4x3

= 30x4 − 27x8 + 4x3.



Nosso proximo passo e apresentar os resultados que garantem que asfuncoes trigonometricas sao derivaveis e alem disso, estes resultados nosfornecem a derivada de cada uma delas. Para garantir que as funcoes senoe cosseno sao derivaveis necessitaremos do limite fundamental

limx→0

sen x

x= 1,

que foi apresentado anteriormente. Vimos anteriormente tambem que

limx→0

1− cos x

x= 0.

Para as demais funcoes trigonometricas, as derivadas das funcoes seno ecosseno, combinadas com as regras de derivacao serao suficientes paragarantir que as mesma sao derivaveis e obter a expressao para suasrespectivas derivadas.



TeoremaSeja f : R→ R a funcao definida por

f (x) = sen x .

Entao f e derivavel e alem disso,

f ′(x) = cos x .



Demonstracao: Utilizando a definicao, obtemos

f ′(x) = limh→0

sen(x + h)− sen(x)

h

= limh→0

sen x cos h + cos x sen h − sen x

h

= limh→0

sen x(cos h − 1) + cos x sen h

h

= limh→0

[− sen x

(1− cos h

h

)+ cos x

(sen h

h

)].



Uma vez que

limh→0

sen h

h= 1 e lim

h→0

1− cos h

h= 0

concluımos quef ′(x) = cos x .



TeoremaSeja f : R→ R a funcao definida por

f (x) = cos x .

Entao f e derivavel e alem disso,

f ′(x) = − sen x .



Demonstracao: Pela definicao de derivada, temos

f ′(x) = limh→0

cos(x + h)− cos(x)

h

= limh→0

cos x cos h − sen x sen h − cos x

h

= limh→0

cos x(cos h − 1)− sen x sen h

h

= limh→0

[− cos x

(1− cos h

h

)− sen x

(sen h

h

)].



Novamente, utilizando os limites fundamentais

limh→0

sen h

h= 1 e lim

h→0

1− cos h

h= 0,

garantimos que f e derivavel e

f ′(x) = − sen x .



Uma vez conhecendo as derivadas do seno e do cosseno, podemosencontrar a derivada das demais funcoes trigonometricas, utilizando asregras de derivacao.

Teorema

(i) Se f (x) = tg x , entao f ′(x) = sec2 x .

(ii) Se g(x) = cotg x , entao g ′(x) = − cossec2 x .

(iii) Se h(x) = sec x , entao h′(x) = sec x · tg x .

(iv) Se l(x) = cossec x , entao l ′(x) = − cossec x · cotg x .



Demonstracao: Utilizaremos a regra do quociente para derivadas paraencontrar a derivada da tangente, uma vez que

f (x) = tg x =sen x

cos x.

Note que a funcao tangente e derivavel, uma vez que e o quociente defuncoes derivaveis.



Assim,

f ′(x) = (tg x)′

=( sen x

cos x

)′=

cos x(sen x)′ − sen x(cos x)′

cos2 x

=cos x(cos x)− sen x(− sen x)

cos2 x

=cos2 x + sen2 x

cos2 x

=1

cos2 x= sec2 x .



Para as demais funcoes trigonometricas procederemos de maneira analoga

g ′(x) = (cotg x)′

=(cos x

sen x

)′=

sen x(cos x)′ − cos x(sen x)′

sen2 x

=sen x(− sen x)− cos x(cos x)

sen2 x

=− sen2 x − cos2 x

sen2 x

= − 1

sen2 x= − cossec2 x .



h′(x) = (sec x)′

=

(1

cos x

)′=−(cos x)′

cos2 x

=sen x

cos2 x

=1

cos x· sen x

cos x= sec x · tan x .



l ′(x) = (cossec x)′

=

(1

sen x

)′=−(sen x)′

sen2 x

=− cos x

sen2 x

= −cos x

sen x· 1

sen x= − cotg x · cossec x .



Neste momento ja somos capazes de derivar uma maior variedades defuncoes utilizando as regras vistas ate entao.

ExemploSeja f : R→ R dada por

f (x) = x2 sen x .

Utilizando a regra de derivacao do produto e a derivada trigonometricaobtemos

f ′(x) = (x2)′ sen x + x2(sen x)′ = 2x sen x + x2 cos x .



ExemploSeja f uma funcao dada por

f (x) =sec x

1 + tan x.

Vamos encontrar f ′(π).Primeiramente, vamos aplicar as regras de derivacao apresentadas ateagora para derivar a funcao em um ponto qualquer do seu domınio.Posteriormente, avaliaremos a derivada em x = π.



Exemplo

f ′(x) =(sec x)′(1 + tg x)− sec x(1 + tg x)′

(1 + tg x)2

=(sec x tg x)(1 + tg x)− sec x(sec2 x)

(1 + tg x)2

=(sec x tg x)(1 + tg x)− sec x(1 + tg2 x)

(1 + tg x)2

=sec x tg x + sec x tg2 x − sec x − sec x tg2 x

(1 + tg x)2

=sec x tg x − sec x

(1 + tg x)2

=sec x(tg x − 1)

(1 + tg x)2.



ExemploLogo, fazendo x = π, encontramos

f ′(π) =sec(π)(tg2 π − 1)

(1 + tg π)2=

(−1)(−1)

(1 + 0)2= 1.


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