Um estudo sistematizado sobre a resolução das equações polinomiais.

UNIVERSIDADE FEDERAL DO TRIÂNGULO MINEIRO

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

UM ESTUDO SISTEMATIZADO SOBRE A RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES

POLIMOMIAIS

Sandro de Macedo Gonçalves Ferreira

Uberaba - Minas Gerais

Setembro de 2013

Sandro de Macedo Gonçalves Ferreira


POLIMOMIAIS

Trabalho de Graduação apresentado ao Curso de

Matemática da Universidade Federal do

Triângulo Mineiro como requisito parcial para

aprovação na disciplina ―Trabalho de Conclusão

de Curso II‖, sob a orientação do professor

Doutor Osmar Aléssio.

Uberaba - Minas Gerais

UFTM

Setembro de 2013

Gonçalves F, Sandro de Macedo.

Um estudo sistematizado sobre a resolução das equações polinomiais. / Sandro de Macedo

Gonçalves Ferreira – Uberaba, 2013. 53f.

Trabalho de Conclusão de Curso (Curso de Licenciatura em Matemática) – Universidade Federal

do Triângulo Mineiro, 2013.

Orientador: Osmar Aléssio

Banca: Mônica de Cássia Siqueira Martines e Rafael Peixoto

1. Equações polinomiais 2. Raízes de polinômio 3. Relações de Girard

4. Equação solúvel por radicais

SANDRO DE MACEDO GONÇALVES FERREIRA


POLINOMIAIS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à Banca Examinadora da Universidade

Federal do Triângulo Mineiro, como requisito parcial para obtenção do título de licenciado

em Matemática, sob a orientação do Professor Doutor Osmar Aléssio

11 de setembro de 2013.

Banca Examinadora:

__________________________________________

Prof. Dr. Osmar Aléssio- Orientador

Universidade Federal do Triângulo Mineiro

__________________________________________

Prof. Dr. Rafael Peixoto


__________________________________________

Profa. Monica Siqueira Martines.


Dedico este texto ao meu orientador pelo incentivo pelo

tema, a Deus

pela força e magnitude oferecidas, à toda minha

família pelo imenso apoio.

Aos mestres, professores e amigos por todo o

conhecimento e amizades oferecidas ao longo

destes quatro anos.

―A matemática é o Alfabeto com o qual Deus escreveu o

Universo.‖

Galileu Galilei

MACEDO GONÇALVES FERREIRA, S. Um estudo sistematizado sobre a resolução das

equações polinomiais. 53 f. Monografia (Trabalho de Conclusão de Curso Licenciatura em

Matemática) – Universidade Federal do Triângulo Mineiro, Uberaba/MG.

RESUMO

O presente trabalho falará sobre a solução e os métodos resolutivos das equações polinomiais de

graus 1, 2, 3 e 4 e uma breve discussão sobre a equação do quinto grau e sua impossibilidade de

resolução por meio de fórmulas resolutivas. Os primeiros estudos sobre a tentativa de solucionar

equações polinomiais data da época dos babilônios, onde foram encontradas evidências escritas

sobre diferentes e variados métodos de resolução das equações de graus 2 e 3, principalmente.

Ao longo dos séculos e mais intensamente no século XVI, seus métodos foram aprimorados por

grandes nomes da matemática e estudados com novas simbologias. Atualmente o que se faz é

estudar estes métodos e sistematizá-los de maneira a facilitar suas resoluções quando nos

deparamos com algum tipo delas. Assim, o objetivo principal deste trabalho é compreender estes

modelos matemáticos e sistematizá-los aqui, a fim de esclarecer certas curiosidades sobre os

métodos de resolução. Será abordado a resolução da equação linear (grau 1), quadráticas, cúbicas

e quárticas, e uma breve discussão sobre as equações de grau superior, as quais não podem ser

resolvidas por meio de fórmulas resolutivas. Por fim, conclui-se que a busca pela sistematização

dos métodos resolutivos das equações polinomiais sempre continuará, na medida em que os

―cientistas da matemática‖ estudam novas estratégias que poderão ser empregadas na resolução

destas polinomiais, tornando o seu manuseio mais simples e mais fácil de ser apreendido pelos

estudantes ou futuros matemáticos.

Palavras chave: Equações polinomiais; Raízes de um polinômio; Relações de Girard; Equação

solúvel por radicais

ABSTRACT

This paper will discuss the solution and methods of resolving polynomial equations of degree 1,

2, 3 and 4 and a brief discussion of the equation of the fifth degree and its impossibility of

resolution by resolving formulas. The first studies about trying to solve polynomial equations

dates back to the Babylonians, where evidence was found written on various different methods

of solving equations of degree 2 and 3, mainly. Over the centuries and more intensely in the

sixteenth century, his methods were enhanced by big names in mathematics and studied with

new symbologies. Currently what we do is study these methods and systematize them in order to

facilitate their resolutions when faced with some kind of them. Thus, the main objective of this

work is to understand these mathematical models and systematize them here in order to clarify

certain facts about the methods of resolution. Will address the resolution of the linear equation

(grade 1), quadratic, cubic and quartic, and a brief discussion of the equations of higher degree,

which can not be resolved through resolving formulas. Finally, it is concluded that the search for

systematic methods of resolving polynomial equations will always remain, to the extent that

"scientists of mathematics," studying new strategies that can be employed in the resolution of

these polynomials, making handling easier and more easy to be grasped by students or future

mathematicians.

Keywords: Polynomial Equations; Roots of a polynomial; Relations Girard; equation soluble by

radicals

SUMÁRIO

1.INTRODUÇÃO ....................................................................................................................... 1

2.EQUAÇÕES POLINOMIAIS ............................................................................................... 3

2.1. Teorema das raízes racionais ........................................................................................ 3

2.2. Dispositivo prático de Brioft – Ruffini ....................................................................... 5

2.3. Relações entre coeficientes e raízes ............................................................................ 9

2.3.1.Relações para as equações polinomiais de grau 2 .............................................. 9

2.3.2.Relações para as equações polinomiais de grau 3 ............................................ 11

2.3.3.Relações para as equações polinomiais de grau 4 ............................................ 12

2.4. Equação polinomial do primeiro grau ....................................................................... 17

2.5. Equação polinomial do segundo grau ....................................................................... 18

2.6. Equação polinomial do terceiro grau ........................................................................ 21

2.7. Método de resolução das equações quárticas ........................................................... 41

2.8. Equações polinomiais de grau superior a 4 .............................................................. 50

3.CONSIDERAÇÕES FINAIS .............................................................................................. 52

4.REFERÊNCIAS .................................................................................................................... 53

1

1. INTRODUÇÃO

A solução das equações polinomiais sempre foi e será um problema a ser

resolvido por diversos matemáticos do mundo. Os primeiros indícios que se ouve falar

sobre a tentativa de solucionar equações polinomiais talvez remonte a 2000 a.C. onde,

segundo Macêdo (2011), os registros de resolução das equações polinomiais foi dada

pelos babilônios ao tentarem solucionar o seguinte problema matemático: ―Encontrar o

lado de um quadrado se a área menos o lado da 14;30”. O valor 14;30 é uma notação

sexagesimal, ou seja, de base 60, que era utilizada pelos babilônios. Este valor pode ser

convertido para o sistema decimal (base 10) da seguinte forma:

A resolução deste problema, na notação moderna, leva à seguinte equação

polinomial x² - x = 870 a qual pode ser escrita na forma x² - px = q. Ao que tudo indica,

os babilônios sabiam resolver esta equação, a qual era feita da seguinte maneira:

―Tome a metade de 1, que é 0;30, (0,5 na notação decimal) e multiplique 0;30

por 0;30, o que dá 0;15 (0,25); some isto a 14,30 (870), o que dá 14;30;15 (870,25).

Isto é o quadrado de 29;30 (29,5). Agora some 0;30 (0,5) a 29;30 (29,5) e o resultado é

30, o lado do quadrado.”

Nota-se que a maneira de solucionar este tipo de equação é feita na notação

moderna pela fórmula: , que é a solução geral da quadrática x² - px

= q.

Conforme explica Boyer (2010), muitos dos problemas recaíam em sistemas

não-lineares que envolviam soma e o produto de dois números, tratados na notação

sexagesimal. No período babilônico, estas equações foram classificadas em três tipos:

a) x² + px = q

b) x² = px + q

c) x² + q = px

Muitas delas foram encontradas em textos antigos dos babilônios ao encontrar

antigos papiros egípcios que continham as soluções destas, mas não utilizavam a nossa

2

notação para escrevê-las. Ainda na babilônia, existem registros da solução de equações

polinomiais de grau 3 do tipo x³ = a e as do tipo x³ + x² = a, onde ―a‖ é um número

constante. Conforme explica Boyer (2010), ambas eram resolvidas com o auxílio de

tabelas, as quais continham todas as combinações possíveis com números inteiros e

positivos atribuídos ao polinômio x³ + x² e cujo valor numérico era comparado ao valor

de ―a‖ .

Com base nas informações anteriores, nota-se que as equações polinomiais são

um problema bastante antigo e que persistiu durante os séculos vindouros. Assim o

interesse deste trabalho é estudar os métodos resolutivos das equações polinomiais de

graus 1, 2, 3 e 4 e fazer uma breve discussão sobre a impossibilidade de resolução das

equações de quinto grau e superiores, sem entrar muito em detalhes, pois envolve

conceitos que não vão ao encontro ao tema deste trabalho. Na época do ginásio escolar,

fala-se sobre as soluções das equações de primeiro grau e das de segundo grau, sendo

que geralmente os alunos as aprendem aplicando métodos mecanizados ensinados pelo

próprio professor. Na equação de grau 1, por exemplo, o objetivo é determinar uma raiz

para o binômio 4x-8 = 0, ou seja, a finalidade é encontrar um valor para x que torne a

igualdade verdadeira. Por sua vez, também se estuda as equações quadráticas, onde o

valor da raiz é obtido aplicando a seguinte fórmula resolutiva:

Ao longo deste trabalho será mostrado que diferentemente da equação de 1º

grau, que possui uma única raiz, a equação quadrática possui duas raízes, geralmente

utilizando a notação x’ para a primeira raiz e x’’ para a segunda.

Assim sendo, a primeira pergunta que se vem a mente dos mais curiosos é o

questionamento da solubilidade das equações do terceiro grau, quarto grau e assim por

diante. Nestas equações, os métodos de resolução tornam-se menos triviais. Isso porque,

ao comparar os métodos de resoluções das equações do segundo grau com as de

primeiro grau, nota-se grande diferença na dificuldade da obtenção do valor da

incógnita. Além disso, a equação linear dispensa o uso de fórmulas para a sua resolução.

Então, o que se pode esperar sobre a resolução de uma equação cúbica ou quártica? Sem

dúvida, há uma grande dificuldade entre o método de uma e outra.

3

Desta forma, o objetivo deste trabalho é estudar e discutir os métodos

resolutivos das equações polinomiais de graus 1, 2, 3 e 4 e também será comentada de

forma breve a impossibilidade de resolução das equações polinomiais de grau 5 ou

supreiores por meio de uma fórmula resolutiva. Todo este produto (trabalho) trará ao

leitor uma maneira organizada e sistematizada da álgebra utilizada, além de permitir a

sedimentação dos conhecimentos já adquiridos pelo leitor durante sua trajetória

acadêmico-escolar. O trabalho visa também a esclarecer certos ―porquês‖ quando se fala

sobre a equação do terceiro grau e se há uma forma de solucioná-la, como ocorre nas

equações quadráticas.

2. EQUAÇÕES POLINOMIAIS

Segundo a definição dada por Iezzi (2005), dado um polinômio, cuja forma geral

é dada na forma , chama-se equação

polinomial quando , ou seja:

Denomina-se grau de um polinômio ao maior expoente da variável x. Assim, de

uma maneira geral, o polinômio escrito na forma geral:

, terá grau igual a n. Chama-se raiz do

polinômio ao valor r atribuído à variável x, tal que .

2.1. Teorema das raízes racionais

Dada uma equação polinomial de grau n escrita na forma

, se existir uma raiz racional da forma , com p e q

inteiros e mdc(p,q)=1, então p divide e q divide .

Demosntração: Partindo da hipótese de que p(x) admite uma raiz racional, então

podemos escrever:

4

Assim, temos:

Multiplicando esta igualdade pelo fator , obtemos:

Isolando o termo obtemos a igualdade:

Colocando q em evidência, obtemos:

Por outro lado, isolando o termo :

Como p, q, são inteiros, segue que os fatores:

e

são inteiros.

Assim, tome

e

Daí, obtemos:

Como são inteiros e mdc(p,q) =1, temos que p divide e q divide ,

conforme queríamos demonstrar.

5

Este resultado sugere que se pode estimar as possíveis raízes de um polinômio

p(x) conhecendo o primeiro coeficiente ( ) e o último ( ), desde que este admita

raízes racionais. O exemplo a seguir ilustra a aplicação deste teorema:

Exemplo: Encontrar todas as raízes do seguinte polinômio

, dado que uma de suas raízes seja racional.

Solução: Temos que . Sendo , podemos usar o teorema das

raízes racionais para poder estimar alguma possível raiz deste polinômio. Logo, os

possíveis valores de p serão os divisores de -6 e os de q, os de 4. Então, temos as

seguintes possibilidades:

p= {-6,-3,-2,-1,1,2,3,6}

q = {-4,-2,-1,1,2,4}

As possíveis raízes são formadas combinando-se um valor de p com um de q,

efetuando a divisão obtida. Daí, o conjunto das possíveis raízes será:

Basta verificar dentre estas possibilidades quais são as raízes corretas:

p(-2) =4. (-2)³+5.(-2)² -23(-2)-6 = 28

Como 28 é diferente de zero, -2 não é raiz de p(x). Verifiquemos outra:

p(-1/4) = 4.(-1/4)³ + 5(-1/4)²-23(-1/4)-6 = 0

Como p(-1/4) = 0, temos que -1/4 é raiz de p(x). Testando as demais possibilidades,

encontramos os valores das demais raízes, que serão iguais a 2 e -3. Portanto o conjunto

solução da equação dada é S = {-3, -1/4, 2}.

2.2. Dispositivo prático de Brioft – Ruffini

Conforme explica Iezzi (2005), dado um polinômio

de grau n, existem polinômios

, e

6

tal que (Teorema do resto). Caso r(x) seja

um polinômio nulo, então d(x) é divisível por p(x).

Teorema 2 (D’Alembert): Seja dois polinômios p(x) e d(x) tal que o grau de d(x)

seja menor do que o grau de p(x). Então o polinômio p(x) é divisível por d(x) = x-k se, e

somente se, k for a raiz de p(x).

Demonstração:

Parte 1) O polinômio p(x) é divisível por d(x) = x – k, então k é raiz de p(x).

De acordo com o teorema do resto, . Como por

hipótese p(x) é divisível por d(x) , então r(x) = 0, assim p(x) = (x-k)q(x). Então:

Logo, k é a raiz de p(x).

Parte 2) Se k é a raiz de p(x), então p(x) é divisível por d(x).

Como k é a raiz de p(x) por hipótese, então p(k) = 0. De acordo com o teorema

do resto, resulta que:

Temos que d(x) = x – k, logo é do primeiro grau. Assim, o resto da divisão

necessariamente deve ser de grau zero, ou seja, uma constante. Mas como p(k) = 0,

então necessariamente r(k) = 0, portanto p(x) é divisível por d(x).

Seja p(x) um polinômio de grau n,

e um polinômio de primeiro grau. O dispositivo de Brioft-Ruffini consiste em

tomar todos os coeficientes de p(x) em uma única linha de uma tabela e a raiz de d(x),

denotada por r, na linha de baixo, no lado esquerdo da tabela, conforme mostra a figura

abaixo:

.....

Raiz de d(x) (r) .....

7

Os coeficientes da segunda linha são obtidos da seguinte forma:

Como r é uma raiz de p(x), de acordo com o teorema de D’ Alembert, é o

resto da divisão de p(x) por d(x) e, portanto r(x) = 0. Logo . Os valores

dos coeficientes bn’s compõem o polinômio

, cujo grau é inferior ao de p(x). Como é nulo, então a raiz de d(x) também

será de p(x). Portanto, se tivermos um polinômio p(x) de grau n e k uma de suas raízes,

podemos abaixar o grau deste polinômio para n-1. Observe o exemplo abaixo:

Determinar todas as raízes do seguinte polinômio

, sabendo que 1 e 3 são suas raízes.

Solução: Como foi fornecido duas raízes de p(x), podemos aplicar o dispositivo

de Brioft-Ruffini para abaixar o seu grau. Observe:

1

Os coeficientes da segunda linha são obtidos utilizando os dois passos seguintes:

a) O primeiro coeficiente ( ) será o mesmo coeficiente do polinômio p(x);

b) O segundo coeficiente será o anterior multiplicado pela raiz de d(x), somado

com o segundo coeficiente de p(x), e assim por diante.

8

Então, seus valores serão:

Os quais são obtidos pelo dispositivo prático, mostrado abaixo:

1

O que comprova o fato de 1 ser uma das raízes de p(x). Os demais valores

comporão os coeficientes de um polinômio q(x) de grau 3. Daí:

As demais raízes procuradas serão as raízes de q(x), que podem ser obtidas

aplicando o dispositivo novamente com a outra raiz fornecida (3):

3

Os novos coeficientes serão:

9

Estes valores serão os coeficientes de um polinômio do segundo grau: q(x) = 2x²

+2x-40. Tal equação pode ser resolvida pela fórmula resolutiva da equação do segundo

grau (ver tópico 2.5).

2x²+2x-40 = 0

Como , a equação possui duas raízes reais e distintas. Aplicando a fórmula

resolutiva, obtemos as raízes que faltam:

Portanto, as raízes serão S = {-5, 1, 3, 4}

Tal método pode ser eficaz quando se conhece o valor de uma ou mais raízes do

polinômio p(x), dispensando resoluções mais trabalhosas para a localização das demais

raízes. Entretanto, nem sempre se conhece o valor de suas raízes, mas existem maneiras

de ao menos estimar estas raízes utilizando as Relações de Girard, as quais serão

abordadas no tópico seguinte.

2.3. Relações entre coeficientes e raízes

As relações entre coeficientes e raízes consistem em outra técnica que se pode

utilizar nas equações polinomiais para encontrar as suas possíveis raízes. Tais fórmulas

trazem uma relação entre os coeficientes do polinômio e suas raízes, tornando mais

simples a análise destas.

2.3.1. Relações para as equações polinomiais de grau 2

Seja o polinômio quadrático p(x) = ax² + bx + c. De acordo com o teorema da

decomposição enunciada por Iezzi (2005), podemos montar a seguinte identidade:

10

Dividindo os dois lados desta equação por a , obtemos:

Eliminando os parênteses desta equação e aplicando a igualdade de polinômios,

encontramos:

Com estas relações entre coeficientes e raízes, é possível ao menos estimar quais

são as raízes da equação polinomial de origem. O método é útil quando se deseja

encontrar as raízes inteiras de uma equação do 2º grau sem resolvê-la, ou seja, aplicando

a fórmula resolutiva geral (ver tópico 2.5). Observe o exemplo abaixo:

Encontrar as raízes inteiras da equação: .

Solução: Podemos aplicar as relações de Girard para esta equação. Então, temos

que:

Procuramos, portanto, dois números tal que sua soma vale 5 e o produto

vale 6. Temos então algumas possibilidades para o produto e para a soma, partindo dos

divisores de 6:

1 . 6 = 6; 1+6 = 7

2 . 3 = 6; 2+3 = 5

3 . 2 = 6; 3+2 = 5

6 . 1 = 6; 6+1 = 7

11

Dentre estas, as únicas que satisfazem o problema é e ou

. Portanto, as raízes procuradas são inteiras e valem 2 e 3. Observe que se as

raízes não são inteiras, a procura pelas raízes torna-se trabalhosa, então este método é

recomendável apenas quando o polinômio admite raízes racionais inteiras.


Considere o polinômio cúbico . De acordo com

Iezzi (2005), o teorema da decomposição afirma que:

Dividindo os dois lados desta identidade por a, com a 0, obtemos:

Eliminando os parênteses desta expressão, obtemos:

Igualando-se os polinômios, encontramos as três relações procuradas:

Exemplo: Calcular a soma dos quadrados das raízes da seguinte equação cúbica, sem

resolver a equação:

Pelas relações de Girard, temos que:

(I)

(II)

12

(III)

Devemos usar a seguinte identidade:

Substituindo as relações de Girard nesta equação, obtemos:

Portanto, a soma dos quadrados das raízes desta equação vale 62.


Considerando o polinômio de quarto grau ,

analogamente mostra-se as relações para equações quárticas, as quais são dadas da

seguinte forma:

Exemplo 01: Obtenha a equação do 4º grau sabendo-se que suas raízes valem -3, 2, 4 e

o valor do primeiro coeficiente (a) vale 2 e do segundo (b) vale -2.

Solução:

Podemos aplicar as relações de Girard para a equação quártica. Temos que:

. Como e , podemos encontrar o valor de

pela primeira relação:

13

Substituindo os valores nesta equação, obtemos:

Para encontrar os demais coeficientes, devemos aplicar as outras relações de Girard:

(1)

(2)

(3)

Substituindo os valores em (1), obtemos:

Pela relação (2), obtemos o valor de d:

Da última relação, encontra-se o valor de e:

14

Portanto, os coeficientes da equação procurada, valem:

Assim, a equação é:

Exemplo 02:

(Iezzi, 2005) Resolva a equação , sabendo que o

produto de duas raízes é 2.

Solução:

Denotando as raízes deste polinômio por a, b, c e d, e de acordo com as relações entre

coeficientes e raízes para as polinomiais de grau 4, temos:

Onde:

15

A restrição do problema nos diz que o produto de duas raízes é 2. Supondo que ,

substituimos esta expressão nas igualdades II, III e IV, obtemos:

Simplificando e fatorando os termos, encontramos:

De acordo com a igualdade (I), podemos escrever:

Substituindo a igualdade anterior na (V), encontramos:

Multiplicando esta igualdade por 25 para a eliminação das frações, obtemos:

Isolando c+d , obtemos:

16

Pela equação , que é equivalente a , e com a igualdade encontrada

acima, montamos o seguinte sistema:

Temos que:

Substituindo na outra equação, obtemos:

Multiplicando os dois membros por 5 e agrupando os termos, chegamos na seguinte

equação quadrática: . Cuja solução pode ser obtida utilizando a

fórmula resolutiva para as equações polinomiais de grau 2 (ver tópico 2.5). Assim

temos:

Podemos tomar e , pois o sistema nos garante a soma e o produto de dois

números, que são as relações de Girard para as polinomiais de 2º grau. Então, podemos

dizer que e .

De acordo com a equação (I), temos:

Como , encontramos:

Também temos a restrição do problema, que nos diz que . Então montamos

outro sistema de equações, nas variáveis a e b:

17

Cuja solução recai novamente na seguinte equação quadrática: .

Resolvendo esta equação polinomial de grau 2 (ver tópico 2.5), encontramos as

seguintes raízes:

Podemos tomar e , pois o sistema nos garante a soma e o produto de dois

números, que são as relações de Girard para as polinomiais de 2º grau. Então, podemos

dizer que e .

Portanto, as raízes da equação procurada valem:

A seguir, iremos abordar sobre a solução das equações polinomiais de grau 1, 2,

3 e 4. As equações de grau 1 são lineares e sua solução será mostrada em primeiro

lugar. Conforme diz Garcia (2007), as polinomiais de grau superior a 1 e menor do que

5 apresentam métodos analíticos, ou algébricos que permitem determinar as raízes

destas equações precisamente, dispensando a utilização dos métodos numéricos. Tais

soluções dependem dos valores dos coeficientes do polinômio em questão e podem ser

encontradas por meio das seis operações aritméticas: adição, subtração, multiplicação,

divisão, potenciação e radiciação.

2.4. Equação polinomial do primeiro grau

Nos livros do Ensino Fundamental, aprendemos um método prático para a

determinação das raízes da equação polinomial de primeiro grau, dada por .

18

Vale ressaltar que a equação do primeiro grau é obtida quando igualamos um polinômio

do primeiro grau a zero. Obtemos esta equação quando tomamos a função afim

e fazemos . O valor de ―x‖ é a raiz da equação procurada.

Dessa forma, temos que:

De acordo com o teorema da decomposição, Iezzi (2005) afirma que este

polinômio admite uma única raiz, dada pela fórmula em destaque acima. Então, este é

um método analítico que permite calcular com exatidão a raiz de .

2.5. Equação polinomial do segundo grau

A equação polinomial do segundo grau pode ser obtida através da igualdade

do trinômio dado por a zero, ou seja, por Em

outras palavras quando tomamos a função quadrática e

desejamos encontrar ―x‖ tal que , dizemos que este valor é a raiz da

equação ou o zero da função. Conforme explica Iezzi (2005) esta equação admite

duas raízes reais, duas raízes complexas ou duas raízes iguais.

Sejam x’ e x’’ as duas raízes da equação quadrática, então seus valores são

dados pela seguinte fórmula:

Seja a igualdade . Multiplicando os dois lados desta

equação por 4a, obtemos:

.

Daí, passando o termo 4ac para o segundo membro, fica:

. Somando aos dois lados da equação, temos:

19

Temos que o trinômio do primeiro membro é quadrado perfeito, então:

Extraindo a raiz quadrada nos dois membros da igualdade, encontramos:

Isolando ―x‖ na igualdade, finalmente concluímos que:

Que é a fórmula procurada.

O radicando é chamado de discriminante da equação. Se este

valor for positivo, a equação admite duas raízes reais. Se for negativo, admite duas

raízes complexas e se for igual a zero, possui uma raiz dupla ou de multiplicidade

dois. Esta fórmula resolutiva ainda é um método analítico, ou algébrico, que permite

encontrar as raízes desse trinômio.

Exemplo 01

Determinar as raízes da seguinte equação quadrática

Solução:

Calculando o valor do discriminante, obtemos:

Como , a equação possui duas raízes reais e distintas. Aplicando a fórmula

resolutiva, obtemos x’ e x’’:

Portanto, x’ e x’’ são as raízes procuradas.

20

Exemplo 2

A soma de um número inteiro com o inverso de seu consecutivo vale -3. Quanto

valem estes números?

Solução:

Seja x o número procurado. O inverso de seu consecutivo vale . Então a soma

destes valores é dada pela seguinte expressão: . Como a soma vale -3,

obtemos a seguinte equação:

Colocando as frações com o mesmo denominador, temos:

Daí,

Reduzindo essa equação, chegamos a forma reduzida de uma equação quadrática:

Calculando o valor do discriminante, obtemos:

Como , a equação possui duas raízes reais e iguais. Aplicando a fórmula

resolutiva, obtemos x’ = x’’:

Portanto, x = -2 é o número procurado. Observe que só existe uma única

possibilidade para que a soma desses números dê igual a -3, pois o discriminante da

equação foi nulo.

21

2.6. Equação polinomial do terceiro grau

Mostraremos a seguir um modelo matemático que nos oferece uma maneira de

resolver equações cúbicas, escritas na forma: . Esta equação

também pode ser chamada de equação do terceiro grau na variável ―x‖. O teorema

fundamental da álgebra afirma que tal equação possui no máximo três raízes, podendo

ser todas elas reais ou uma raiz real e as demais complexas. Assim como na equação do

2º grau, a equação cúbica também é solúvel por radicais, ou seja, tal equação possui

uma fórmula algébrica que nos fornece as suas raízes.

Segundo Ferreira (s.d.), o primeiro matemático da Idade Média que encontrou

uma solução para uma equação cúbica do tipo foi Scipione Del Ferro

(1465 – 1526), mas morreu antes de publicar sua resolução. Entretanto, contou ao seu

aluno, Antônio Maria Fior seu segredo. Assim, como naquele tempo eram comuns as

disputas entre matemáticos, Fior desafiou Nicolo Fontana (1499 – 1557), mas

conhecido como Tartaglia, a resolver alguns problemas matemáticos que levavam a

equações cúbicas do tipo dito anteriormente. Tartaglia estudou as soluções das equações

cúbicas de Fior e também as do tipo . Com isso, Tartaglia venceu

Fior na disputa. Nesta, cada um dos matemáticos tiveram que resolver cerca de trinta

problemas algébricos que recaíam em uma equação do terceiro grau. No mesmo

período, havia um matemático de Milão chamado Girolamo Cardano (1501 – 1576) que

acreditava na insolubilidade das equações cúbicas. Porém, ao ficar sabendo das

descobertas de Tartaglia, tentou convencê-lo de revelar o segredo de sua resolução, que

foi negado por ele. Mais tarde, mediante a um juramento, Tartaglia revela a Cardano o

segredo de sua resolução. Mas Cardano trai Tartaglia, pois publica a resolução dada por

Tartaglia em sua Ars Magna, datada de 1544.

Assim, serão mostradas as tais fórmulas resolutivas de uma maneira mais

simplificada. Para fazer isso, foi necessário recorrer a algumas demonstrações presentes

em livros e artigos citados a seguir. Muitas destas pesquisas neste assunto não mostram

a totalidade dos métodos de resolução destas equações, ou seja, não consideram todos

os casos possíveis ao solucioná-las. Dessa forma, a fórmula resolutiva de Cardano será

apresentada aqui de uma maneira bastante simplificada a fim de um melhor

entendimento pelo leitor. Mesmo assim, as fórmulas não são tão triviais quanto àquelas

22

estudadas nas equações quadráticas, pois envolvem funções trigonométricas. Isso

porque tais funções aparecem nas demonstrações quando extrairmos uma raiz cúbica de

um número complexo (z= a + bi).

Cardano mostrou uma maneira de resolver as equações da forma

. De um modo geral, a fórmula de Cardano mostrada a seguir soluciona

equações da forma: . O teorema fundamental da álgebra, cuja

demonstração pode ser encontrada em Iezzi (2005), depende de quatro lemas, onde uma

deles afirma que todo polinômio de grau ímpar possui uma raiz real. No caso das

equações cúbicas, cujo grau é 3, podemos dizer que ela possui pelo menos uma raiz real.

A fórmula para determiná-la é a seguinte:

Onde:

Demonstração: Baseado na demonstração contida em Garcia (2007), consideremos a

equação do 3º grau completa na forma polinomial: . Seja a

mudança de variável . Isto elimina o termo de segundo grau do polinômio

acima. Então:

23

Agrupando os termos semelhantes da expressão, temos:

Somando os termos independentes e colocando y em evidência, temos:

Sendo , podemos dividir a equação acima por ―a‖, daí:

Ou simplesmente:

Para simplificar os cálculos, tome e .

Então a nova equação a ser resolvida é:

Seja , onde ―u‖ e ―v‖ são números reais e sua soma é uma raiz da

cúbica acima. Elevando os dois membros ao cubo, temos:

24

Como , temos:

Passando todos os termos para o primeiro membro, obtemos:

Comparando as igualdades (I) e (II), obtemos um sistema de equações:

Considere a variável tal que e . Então obtemos:

Que é equivalente a resolver a seguinte equação quadrática:

Resolvendo esta equação na variável ―w‖, encontramos:

Como e são as raízes desta equação, então:

25

Como y = u+v, finalmente encontramos uma raiz para a equação na variável ―y‖:

De acordo com a substituição feita no início desta demonstração, ·,

encontramos uma raiz para a equação procurada:

Colocando o fator em evidência dentro de cada um dos radicandos cúbicos,

obteremos:

Fazendo as devidas simplificações, encontramos:

Colocando o fator em evidência, temos:

Novamente, a fim de simplificar os cálculos, atribuímos a letra grega à expressão

dentro do radical quadrático, obtendo finalmente a fórmula resolutiva:

26

O valor é o discriminante da equação e, de acordo com seu valor podemos

estudar a natureza das raízes da equação cúbica. Vejamos os casos:

Caso : Neste caso a equação possui apenas uma raiz real. Para calcular o valor do

discriminante, seguiremos os seguintes passos:

Calcular o valor numérico de p e pelas seguintes fórmulas;

Calcular o valor do ―discriminante‖ definido pela letra grega ;

A raiz real pode ser determinada pela fórmula resolutiva já demonstrada anteriormente:

As demais raízes, que serão complexas, devem ser obtidas aplicando o

dispositivo prático de Brioft – Ruffini. Tal dispositivo, conforme Iezzi (2005) permite

abaixarmos o grau do polinômio para 2 e cuja resolução é a fórmula resolutiva da

equação do segundo grau. Seus coeficientes (A, B e C) serão dados por:

Assim, as demais raízes ( podem ser obtidas resolvendo a seguinte

equação do segundo grau na variável x:

27

Caso , mostra-se que a equação possui uma raiz de multiplicidade 2 e outra

de multiplicidade 1, ou seja, possui duas raízes iguais e uma distinta. Aplicando a

fórmula resolutiva para este caso, temos:

Que resulta em:

Esta raiz terá multiplicidade 1. As outras duas raízes serão de multiplicidade 2 e podem

ser determinadas pelo dispositivo prático de Brioft-Ruffini.

Caso , a equação possui três raízes reais distintas. Pode-se mostrar que as

suas raízes são dadas pelas fórmulas:

Onde:

28

Demonstração:

Supondo , então é um número negativo. Logo:

Extraindo a raiz quadrada dos dois lados da igualdade, obtemos:

Seja a unidade imaginária do número complexo z = a + bi, i = . Então,

temos que . Substituindo na fórmula resolutiva, temos:

Observe que teremos de extrair duas raízes cúbicas de dois números complexos.

Vejamos o cálculo de . Conforme Iezzi (2005), dado o número

complexo z = a + bi ou na forma polar z = e o número natural

n ( , então existem n raízes enézimas de z (fórmula de Moivre) que são da

forma:

Seja . Temos que o afixo de z pertence ao primeiro ou

segundo quadrante, pois depende do sinal de ―p‖, que integra a parte real do número

complexo em questão. Aplicando a fórmula de Moivre, temos que norma do número

complexo z vale:

29

=

Assim,

, com

Como n = 3, temos que calcular três raízes cúbicas do número complexo ―z‖, onde a

primeira será dada fazendo k = 0 na fórmula de Moivre. Daí:

Observe que:

Daí:

Temos que as representações dos afixos de z no plano complexo será dada por:

Figura 01: Representação do afixo de z, caso p > 0

30

Figura 02: Representação do afixo de z, caso p < 0

Calculando o valor do argumento , temos:

Portanto:

Observação: sempre será positivo, enquanto que depende do sinal de

―p‖, logo . Se p for negativo, temos que o argumento pertence ao segundo

31

quadrante. Caso seja nulo, o argumento será igual a 90º . Por fim, se for positivo,

pertencerá ao primeiro quadrante. Vamos reescrever as fórmulas de Moivre para k = 0,

1 e 2.

(K=0)

(K=1)

(K=2)

A fim de simplificar os cálculos, façamos . Daí:

(K=0)

(K=1)

(K=2)

Ou simplesmente:

(K=0)

(K=1)

(K=2)

Analogamente, encontramos as raízes cúbicas de:

Calculando o argumento, encontramos:

32

Neste caso, , ou seja, o argumento pertence ao terceiro ou quarto quadrante.

Então, as figuras que seguem mostram os afixos de z quando p é positivo ou negativo:

Figura 3: Representação do afixo de z, caso p < 0

33

Figura 4: Representação do afixo de z, caso p > 0

Em ambos os casos, usaremos:

Assim, na fórmula de Moivre, para K=0 temos:

Para K=1:

Para K=2:

Desenvolvendo as somas e subtrações dentro das funções cosseno e seno, obtemos:

(K=0)

(K=1)

34

(K=2)

Aplicando a formula de Cardano, obtemos as raízes reais:

Como foram obtidas três raízes cúbicas para cada caso, teremos seis

possibilidades de raízes reais. Destas, apenas três serão as raízes procuradas, observe:

a) Soma da primeira raiz cúbica K= 0 com a segunda, K= 0:

Desenvolvendo os cálculos, obtemos:

Observe que esta raiz não é real, pois a parte imaginária é diferente de zero.

Logo, não é a raiz procurada.

b) Soma da primeira raiz cúbica K = 0 com a segunda, K = 1:

Desenvolvendo os cálculos, obtemos:

35

Observe que esta raiz também não é real, pois a parte imaginária é diferente

de zero. Logo, não é a raiz procurada.

c) Soma da primeira raiz cúbica K = 0 com a segunda, K = 2:

Então:

Assim:

Como a parte imaginária foi nula, então esta raiz é real.

d) Soma da primeira raiz cúbica K = 2 com a segunda, K = 2:

+

Analogamente, nota-se que esta raiz também não será real. Logo não é a raiz

procurada.

e) Soma da primeira raiz cúbica K = 2 com a segunda, K = 0:

(sen(t)2+ 3cos( )2)=− cos +3 sen

Assim:

36

Então esta raiz será real:

Analogamente, mostra-se que a terceira raiz real será dada por:

Utilizando as fórmulas de somas de arcos, podemos reduzir as expressões das três raízes

obtidas ( para:

Conforme queríamos demonstrar.

Exemplo 1

Resolver a seguinte equação cúbica

Temos que:

Primeiro vamos determinar o valor de p e pelas seguintes fórmulas (1) e (2):

Calculamos o valor do discriminante da equação:

37

Como o esta equação admite apenas uma raiz real, que pode ser encontrada

usando a fórmula de Cardano-Tartaglia:

Portanto, x = -3 é a raiz real procurada. Pelo fato de esta ser a única raiz real da

equação, pelo teorema fundamental da álgebra existem duas raízes complexas para a

equação dada. Utilizando o dispositivo prático de Brioft-Ruffini, que pode ser

encontrado em Iezzi (2005). Vamos encontrar as outras raízes:

1 0 -6 9

-3 1 -3 3 0

Portanto, os números 1, -3, e 3 são os coeficientes da equação quadrática na

variável x. Então as demais raízes procuradas serão as soluções da equação:

Resolvendo-a, encontramos o par conjugado de complexos:

Portanto, a solução S da equação é

Exemplo 2:

38

Resolver a seguinte equação cúbica

Temos que:

Determinamos os valores de p e :


Como o esta equação admite três raízes reais, que podem ser encontradas usando

as seguintes fórmulas:

Onde:

Vamos calcular o valor de ―t‖:

Então as três raízes reais serão:

39

Portanto, o conjunto solução será S = {-1,2,4}

Exemplo 3

Sabe-se da trigonometria que . Este é o chamado

cosseno do arco triplo . Com base nessa informação, prove que .

Solução

Aplicando a fórmula do arco triplo, chegamos a uma equação cúbica, assim:

Sendo e fazendo , obtemos:

Temos que:

Determinamos os valores de p e :

40


Como o esta equação admite três raízes reais, que podem ser encontradas usando

as seguintes fórmulas:

Onde:

Vamos calcular o valor de ―t‖:

Então as três raízes reais serão:

Observe que tomamos , portanto devemos verificar as raízes da equação

para concluir qual delas é igual ao cosseno do arco de 20°. Temos que ,

41

pois como 20° e 40° pertencem ao primeiro quadrante, seus cossenos são positivos, logo

. Mais ainda, temos que também não é igual a

, analogamente ao anterior. Portanto, é a única raiz que comprova a

igualdade

2.7. Método de resolução das equações quárticas

Segundo Ferreira (sd), a história da solução das equações quárticas coincidiu

com a mesma época das equações cúbicas. Cardano tinha um discípulo, cujo nome era

Lodovico Ferrari (Milão, 2 de fevereiro de 1522 — 5 de outubro de 1565), o qual

desenvolveu o método para a resolução das equações quárticas, citado na Ars Magna de

Cardano.

As equações quárticas são equações polinomiais de grau igual a 4, escritas na

forma , em que a é diferente de zero. Estas equações

ainda admitem métodos analíticos de resolução, ou seja, existem fórmulas resolutivas

que permitem determinar as suas raízes. Uma propriedade essencial sobre as equações

polinomiais se refere à quantidade de raízes que elas possuem com respeito a seu grau.

De acordo com Iezzi (2005) o teorema fundamental da álgebra garante que se a equação

possui grau ―n‖, então ela possui precisamente ―n‖ raízes, que podem ser complexas

e/ou reais. No caso das quárticas, há exatamente quatro raízes, podendo ser todas

complexas, duas complexass e duas reais ou todas reais. Baseado na demonstração

realizada em Bastos (2004), a fim de simplificar os cálculos, vamos utilizar as equações

do tipo: . (I). Obtemos esta equação quando

dividimos todos os seus termos pelo coeficiente ―a‖ do polinômio.

Primeiro passo: Seja

Substituindo na equação (I), eliminamos o termo cúbico, originando:

(II)

Onde:

42

Agora, seja u,v e z tal que , com . Elevando esta

expressão ao quadrado, temos:

Passando os termos quadráticos para o primeiro membro e elevando ao quadrado,

temos:

Desenvolvendo os quadrados, obtemos:

Isso nos leva a:

Daí:

Reagrupando os termos no segundo termo, obtemos:

Como , encontramos:

Passando todos os termos para o segundo membro, temos:

43

2 2=0 ( )

Comparando as equações IV e II, obtemos:

Como , temos:

Isolando a expressão na equação acima, obtemos:

Que finalmente resulta em:

44

Com as equações V,VI e VII, montamos o seguinte sistema:

Elevando a equação (VI) ao quadrado, obtemos o sistema:

Tome

Que são as três soluções da cúbica: . Seja e

duas raízes da equação acima. Então temos que e .

Precisamos verificar os sinais de u,v e z. Conhecendo o valor de uma raiz, graças à

equação VI ( , podemos estudar os sinais das outras duas raízes, já que o

sinal da terceira depende do sinal das demais. O quadro abaixo mostra as possibilidades

de sinais para cada valor das raízes quadradas:

Quadro 1: Estudo de sinal das raízes quadradas de u, v e z

Sinal de Sinal de Sinal de

+ + -

+ - +

- - -

- + -

45

Como , temos, portanto, que as quatro raízes da equação quártica

serão iguais a:

Exemplo:

Encontrar as soluções da seguinte equação:

Primeiramente, vamos obter os coeficientes da equação na variável ―y‖, obtida pela

transformação usando as fórmulas:

Então a equação na variável ―y‖ será igual a

De acordo com o sistema:

46

Obtemos:

Fazendo a troca de variáveis, temos:

Este sistema é equivalente a resolver a seguinte cúbica:

Temos que:

Vamos determinar o valor de p e pelas seguintes fórmulas:


Como o esta equação admite apenas uma raiz real, que pode ser encontrada

usando a fórmula resolutiva geral.

47

Como a equação apresenta apenas uma raiz real, devemos encontrar as demais raízes

pelo método de Brioft-Ruffini.

1

1 -2,034997098 1,328885944 0

Os números em negrito representam os coeficientes de uma equação do segundo grau

na variável t. Daí, devemos fazer:

Cuja solução será dada pela fórmula resolutiva da equação quadrática:

A outra raiz será o conjugado do número complexo acima, portanto:

Logo, as três raízes da cúbica na variável t, são:

Determina-se os valores das variáveis u, v e z :

48

Como temos que as quatro raízes da quártica reduzida, serão dadas por:

Sendo , rearranjamos as fórmulas acima para:

Substituindo os valores encontrados, obtemos as quatro soluções da quártica procurada:

49

Observe que para a determinação das raízes, é necessário extrair a raiz quadrada de um

número complexo. Calculemos essas raízes:

Elevando os dois membros ao quadrado, obtemos:

Assim, obtemos um sistema:

Que é equivalente a resolver uma equação biquadrada em ―x‖:

Cuja solução vale:

Para , temos que , e para ,

temos que .

Assim, ou

.

Calculemos agora De maneira análoga,

obtemos o sistema:

Cuja equação biquadrada é a mesma do caso anterior. Portanto:

50

Como , os valores de ―y‖ serão iguais a:

Para , temos que , e para ,

temos que .

Assim, ou -

Assim, obtemos:

0,260071725 − 54=− ,

0,260071725 − 54=− ,

0,260071725 − 54= , + ,

0,260071725 − 54= , − ,

Logo, S = {0,661152245+0,52014345i; 0,661152245-0,52014345i; -5,244549327; -

1,077755163}

2.8. Equações polinomiais de grau superior a 4

As equações polinomiais de grau superior a quatro reúne o grupo das equações

quínticas ou superior. A busca pelas soluções das equações polinomiais é um problema

muito mais antigo do que se pensa. É natural se questionar sobre as soluções de uma

equação polinomial escrita na forma , com

as constantes a, b, c, d, e diferentes de zero. Estas equações não apresentam fórmulas

resolutivas para a obtenção de suas raízes, isto é, não existe um método analítico para

resolver equações polinomiais de grau superior a quatro.

51

Este resultado foi provado por um matemático que viveu no século XIX,

chamado Èvarist Galois (1811-1832). Conforme diz Eves (2004), Galois nasceu

próximo à cidade de Paris, na França. Era filho de um prefeito de um pequeno povoado

daquela localidade. Se não fosse pelo fato de ter morrido tão jovem, sem dúvida, Galois

poderia ter sido considerado o maior matemático de todos os tempos. Aos quinze anos

de idade, tentou ingressar como professor na Escola Politécnica por duas vezes, mas não

foi aceito devido ao seu despreparo e às exigências impostas para a posse. Por fim, em

1829 ingressou-se na Escola Normal, onde lá pode se habilitar para o cargo de

professor.

Porém, devido ao seu envolvimento com a Revolução de 1830, Galois foi preso.

Após completar vinte e um anos de idade, enfrentou um duelo que tiraria sua vida, no

ano de 1832, cujo motivo pode estar possivelmente relacionado ao fato de Galois ter se

envolvido com uma mulher comprometida. Ao perceber que seria morto no duelo,

tentou escrever vários artigos sobre seus grandes feitos em estudos na área da álgebra

abstrata, com a esperança de que seus trabalhos fossem publicados mais tarde. Assim,

Joseph Liouville, em seu Journal de Mathématique publicou alguns manuscritos de

Galois, em 1846 e, dentre estes a prova de que todo polinômio nessas condições não

podem ser resolvidos por radicais. Uma das consequências deste importante teorema é

que as equações de graus inferior a cinco podem ser resolvidas por fórmulas expressas

por radicais.

A teoria e a prova do teorema podem ser encontradas em Moreira (1990), o qual

afirma que essa demonstração só foi possível ser sistematizada graças a Teoria de

Galois, a qual refere-se às extensões algébricas dos corpos, cuja teoria é estudada na

Teoria de Corpos, um ramo da álgebra abstrata. De um modo mais simples, conforme

afirma Ferreira (s.d.), este teorema pode ser entendido da seguinte maneira: todo

polinômio de grau n está associado ao grupo de Galois, que pode ser entendido como

um tipo de estrutura algébrica que está contida em grupos de permutações, denotadas

por . Assim, afirma que uma equação polinomial de grau n é solúvel por radicais se, e

somente se, o seu grupo associado a esta equação for solúvel.. Se este grupo não for

solúvel, então todos os grupos de polinômios contidos nele também não serão solúveis,

e, portanto, as equações associadas a estes grupos não serão solúveis por radicais.

Galois mostrou que se , então todos os grupos de permutações são solúveis,

52

concluindo que todas as equações de grau são resolúveis por radicais. Apesar das

equações polinomiais de grau maior que quatro não serem solúveis por radicais, suas

soluções podem ser obtidas numericamente, utilizando métodos numéricos que podem

ser encontrados em qualquer livro de Cálculo Numérico, os quais não serão abordados

neste trabalho.

3. CONSIDERAÇÕES FINAIS

O trabalho aqui descrito procurou mostrar e sistematizar os critérios de resolução

das equações polinomiais de graus um, dois, três e quatro e também um breve

comentário acerca das equações de grau superior a quatro. Além disso, teve a finalidade

de ampliar os conhecimentos do leitor quando da resolução destas equações.

Geralmente, o que se observa na grande maioria dos estudantes de matemática é a

facilidade de lidar com equações quadráticas. Mas ao mencionar as equações cúbicas ou

quárticas, muitos desconhecem os métodos de resolução ou talvez as considerem

insolúveis, ao pensar na possibilidade de solucioná-las de maneira análoga àquela

utilizada nas polinomiais de grau 2. Assim, este trabalho mostrou ao leitor que apenas

as equações de graus inferior ou igual a quatro podem ser resolvidas através de fórmulas

específicas envolvendo radicais e que as de grau superior não apresentam tais métodos

analíticos. Entretanto, graças a um ramo da matemática conhecido como Cálculo

Numérico, estas equações podem ser resolvidas utilizando métodos numéricos que

fornecem aproximações para as suas raízes.

A grande busca por soluções das equações polinomiais começou muito cedo e

ainda continua sendo estudada por grandes nomes da matemática, ou também chamados

de ―cientistas da matemática‖. Com isso, fica uma pergunta a ser respondida: a adoção

de novas estratégias para a resolução de equações polinomiais poderá um dia se tornar

um modelo unificado que tornará o seu manuseio e entendimento mais facilitado?

Mesmo que isso não se torne verdade, o mais importante é a busca pelo resultado e a

sua contribuição para a matemática.

Os matemáticos, ao estudarem as equações de graus maiores do que cinco, de

certa forma pesquisaram sobre os métodos utilizados nas polinomiais inferiores e

tentaram aplicar um procedimento análogo com a finalidade de encontrar uma solução

53

geral. Sem dúvida, antes da publicação deste notável resultado, muitos matemáticos

questionavam uma solução geral que pudesse ser utilizada em uma polinomial de grau n

qualquer. Levou-se, portanto, muitos séculos até que a prova definitiva para soluções

através de fórmulas algébricas fosse dada por um grande nome da matemática, o que

talvez antes fosse dificultado devido a uma simbologia inadequada.

4. REFERÊNCIAS

BASTOS, Gervasio G. Resolução de equações algébricas por radicais. II Bienal da

SBM – Universidade Federal da Bahia, 2004. Disponível em: <

http://www.bienasbm.ufba.br/02.htm>. Acesso em: 25 jul. 2013.

BOYER, Carl B. História da Matemática. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2010.

EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: Editora da

Unicamp, 2004. p. 532-536.

FERREIRA, José Ferreira. História das soluções das equações por meio de radicais.

p. 1-2. Disponível em:

http://www.ucb.br/sites/100/103/TCC/22008/WellingtonJoseFerreira.pdf>. Acesso em:

25 jul. 2013.

GARCIA, Ana Cristina dos Santos. et al. Um estudo analítico dos polinômios e

equações polinomiais. 2007. 88 f. Trabalho acadêmico – Centro Universitário FIEO,

Osasco, 2007.

IEZZI, Gelson. Equações polinomiais. In: IEZZI, Gelson. Fundamentos de

matemática elementar. 7. ed. São Paulo: Atual, 2005. p. 101-148.

MOREIRA, Carlos Gustavo Tamm de Araujo. Um teorema sobre solubilidade de

equações polinomiais por radicais reais. Rio de Janeiro, n. 12, 1990. Disponível em:

< http://matematicauniversitaria.ime.usp.br/>. Acesso em: 25 jul. 2013.

Um estudo sistematizado sobre a resolução das equações polinomiais.

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