MAT349 - Introdução à Lógicahttp://www.ime.usp.br/mat/349

Glaucio Terra

glaucio@ime.usp.br

Departamento de Matematica

IME - USP

MAT349 - Introducao a Logicahttp://www.ime.usp.br/mat/349 – p. 1/14

Convenções para EvitarParênteses

1. Se na fórmula figuram conectivos binários deum único tipo, omitem-se os parênteses porassociação à esquerda.

MAT349 - Introducao a Logicahttp://www.ime.usp.br/mat/349 – p. 2/14

Convenções para EvitarParênteses

1. Se na fórmula figuram conectivos binários deum único tipo, omitem-se os parênteses porassociação à esquerda.

2. Ordenam-se os conectivos, em ordemdecrescente de prioridade, como segue:↔,→,∨,∧,¬

MAT349 - Introducao a Logicahttp://www.ime.usp.br/mat/349 – p. 2/14

Propriedades da Conjunção

1. p · q ⇔ q · p

2. p · (q · r) ⇔ (p · q) · r

3. p · p ⇔ p

4. p · V ⇔ p

5. p · F ⇔ F

MAT349 - Introducao a Logicahttp://www.ime.usp.br/mat/349 – p. 3/14

Propriedades da Disjunção

1. p + q ⇔ q + p

2. p + (q + r) ⇔ (p + q) + r

3. p + p ⇔ p

4. p + V ⇔ V

5. p + F ⇔ p

MAT349 - Introducao a Logicahttp://www.ime.usp.br/mat/349 – p. 4/14

Propriedades Distributivas

1. p · (q + r) ⇔ p · q + q · r

2. p + (q · r) ⇔ (p + q) · (q + r)

MAT349 - Introducao a Logicahttp://www.ime.usp.br/mat/349 – p. 5/14

Absorção

1. p · (p + r) ⇔ p

2. p + (p · r) ⇔ p

MAT349 - Introducao a Logicahttp://www.ime.usp.br/mat/349 – p. 6/14

Negação e Regras de De Morgan

1. ¯p ⇔ p

2. p · q ⇔ p + q

3. p + q ⇔ p · q

MAT349 - Introducao a Logicahttp://www.ime.usp.br/mat/349 – p. 7/14

Redução do Número deConectivos

Note que:

MAT349 - Introducao a Logicahttp://www.ime.usp.br/mat/349 – p. 8/14

Redução do Número deConectivos

Note que:

1. p ∧ q ⇔ ¬(¬p ∨ ¬q)

MAT349 - Introducao a Logicahttp://www.ime.usp.br/mat/349 – p. 8/14

Redução do Número deConectivos

Note que:

1. p ∧ q ⇔ ¬(¬p ∨ ¬q)

2. p → q ⇔ ¬p ∨ q

MAT349 - Introducao a Logicahttp://www.ime.usp.br/mat/349 – p. 8/14

Redução do Número deConectivos

Note que:

1. p ∧ q ⇔ ¬(¬p ∨ ¬q)

2. p → q ⇔ ¬p ∨ q

3. p ↔ q ⇔ ¬(¬p ∨ ¬q) ∨ ¬(p ∨ q)

MAT349 - Introducao a Logicahttp://www.ime.usp.br/mat/349 – p. 8/14

Redução do Número deConectivos

Note que:

1. p ∧ q ⇔ ¬(¬p ∨ ¬q)

2. p → q ⇔ ¬p ∨ q

3. p ↔ q ⇔ ¬(¬p ∨ ¬q) ∨ ¬(p ∨ q)

Conclusão: Pelo princípio da substituição, todafórmula proposicional é logicamente a umafórmula na qual figuram os conectivos ¬ e ∨,apenas.

MAT349 - Introducao a Logicahttp://www.ime.usp.br/mat/349 – p. 8/14

Redução do Número deConectivos

Note que:

MAT349 - Introducao a Logicahttp://www.ime.usp.br/mat/349 – p. 9/14

Redução do Número deConectivos

Note que:

1. p ∨ q ⇔ ¬(¬p ∧ ¬q)

MAT349 - Introducao a Logicahttp://www.ime.usp.br/mat/349 – p. 9/14

Redução do Número deConectivos

Note que:

1. p ∨ q ⇔ ¬(¬p ∧ ¬q)

2. p → q ⇔ ¬(p ∧ ¬q)

MAT349 - Introducao a Logicahttp://www.ime.usp.br/mat/349 – p. 9/14

Redução do Número deConectivos

Note que:

1. p ∨ q ⇔ ¬(¬p ∧ ¬q)

2. p → q ⇔ ¬(p ∧ ¬q)

3. p ↔ q ⇔ ¬(p ∧ ¬q) ∧ ¬(q ∧ ¬p)

MAT349 - Introducao a Logicahttp://www.ime.usp.br/mat/349 – p. 9/14

Redução do Número deConectivos

Note que:

1. p ∨ q ⇔ ¬(¬p ∧ ¬q)

2. p → q ⇔ ¬(p ∧ ¬q)

3. p ↔ q ⇔ ¬(p ∧ ¬q) ∧ ¬(q ∧ ¬p)

Conclusão: Pelo princípio da substituição, todafórmula proposicional é logicamente a umafórmula na qual figuram os conectivos ¬ e ∧,apenas.

MAT349 - Introducao a Logicahttp://www.ime.usp.br/mat/349 – p. 9/14

Redução do Número deConectivos

Note que:

MAT349 - Introducao a Logicahttp://www.ime.usp.br/mat/349 – p. 10/14

Redução do Número deConectivos

Note que:

1. p ∨ q ⇔ ¬p → q

MAT349 - Introducao a Logicahttp://www.ime.usp.br/mat/349 – p. 10/14

Redução do Número deConectivos

Note que:

1. p ∨ q ⇔ ¬p → q

2. p ∧ q ⇔ ¬(p → ¬q)

MAT349 - Introducao a Logicahttp://www.ime.usp.br/mat/349 – p. 10/14

Redução do Número deConectivos

Note que:

1. p ∨ q ⇔ ¬p → q

2. p ∧ q ⇔ ¬(p → ¬q)

3. p ↔ q ⇔ ¬[(p → q) → ¬(q → p)]

MAT349 - Introducao a Logicahttp://www.ime.usp.br/mat/349 – p. 10/14

Redução do Número deConectivos

Note que:

1. p ∨ q ⇔ ¬p → q

2. p ∧ q ⇔ ¬(p → ¬q)

3. p ↔ q ⇔ ¬[(p → q) → ¬(q → p)]

Conclusão: Pelo princípio da substituição, todafórmula proposicional é logicamente a umafórmula na qual figuram os conectivos ¬ e →,apenas.

MAT349 - Introducao a Logicahttp://www.ime.usp.br/mat/349 – p. 10/14

Formas Normais Conjuntiva eDisjuntiva

DEFINIÇÃO Diz-se que uma fórmula é normalconjuntiva se for uma conjunção de disjunçõesde átomos ou negações de átomos.

DEFINIÇÃO Diz-se que uma fórmula é normaldisjuntiva se for uma disjunção de conjunções deátomos ou negações de átomos.

MAT349 - Introducao a Logicahttp://www.ime.usp.br/mat/349 – p. 11/14

Exercícios

Encontre uma forma normal disjuntivaequivalente a:

1. (p → q) ↔ (¬q → ¬p)

2. ¬(¬p ∧ q) → ¬s ∧ q

MAT349 - Introducao a Logicahttp://www.ime.usp.br/mat/349 – p. 12/14

Exercícios

Encontre uma forma normal conjuntivaequivalente a:

1. (p → q) ↔ (¬p → q)

2. ¬(¬p ∧ q) → ¬r ∨ q

MAT349 - Introducao a Logicahttp://www.ime.usp.br/mat/349 – p. 13/14

O Problema de Post

MAT349 - Introducao a Logicahttp://www.ime.usp.br/mat/349 – p. 14/14

O Problema de Post

Como determinar uma fórmula proposicional quetenha uma função verdade dada?

MAT349 - Introducao a Logicahttp://www.ime.usp.br/mat/349 – p. 14/14