Matemática Discreta

MATEMÁTICA DISCRETA 1. Fundamentos

As pedras angulares da Matemática são a definição, o teorema e a prova. As definições especificam com precisão os conceitos em que estamos interessados, os teoremas afirmam exactamente o que é verdadeiro sobre esses conceitos, e as provas demonstram, de maneira irrefutável, a verdade dessas asserções.

1.1. Definição A matemática existe apenas nas mentes das pessoas. Não existe, por exemplo, o

número 6. Podemos desenhar o símbolo para o número 6 num pedaço de papel, mas não podemos fisicamente segurar um 6 em nossas mãos. Assim, os números, assim como todos os outros objectos matemáticos, são puramente conceituais.

Os objectos matemáticos adquirem existência por meio de definições. Por exemplo, um número é chamado primo ou par desde que satisfaça condições precisas, sem ambiguidade. Essas condições rigorosamente específicas constituem a definição para o conceito. Desta forma, estamos actuando como legisladores ao fixarmos critérios específicos, tais como qualificação para um programa de governo. A diferença é que as leis podem permitir certa ambiguidade1, enquanto uma definição matemática deve ser absolutamente clara.

Consideremos um exemplo.

Definição 1.1 (Par) Um inteiro é chamado par se é divisível por 2.

Claro? Não totalmente. O problema é que esta definição contém termos que ainda não foram definidos, em particular inteiro e divisível. Se quisermos ser extremamente detalhistas, podemos alegar que ainda não definimos o termo 2. cada um desses termos – inteiro, divisível e 2 – pode ser definido por meio de conceitos mais simples, mas este é um jogo que não podemos ganhar inteiramente, porque, se cada termo for definido por meio de conceitos mais simples, estaremos continuamente em busca de definições. Por isso, deve chegar um momento em que diremos: “Este termo é indefinível, mas cremos entender o que ele significa”.

Por exemplo, a construção obedece a uma cadeia de fases: alicerce → estrutura → paredes → telhado, onde cada fase define a seguinte.

Voltando à definição 1.1, é possível definirmos as palavras inteiro, 2 e divisível com base em conceitos mais simples. Exige grande trabalho definirmos inteiros, multiplicação, etc. Com base em conceitos mais simples. Idealmente deveríamos começar pelo objecto matemático mais básico – o conjunto – e percorrer o nosso caminho até os inteiros. Conquanto se trate de um procedimento plenamente justificável, neste nosso curso vamos construir o nosso edifício matemático supondo já formado o alicerce.

1 Em algumas instâncias, pode ser vantajoso permitir certa ambiguidade numa lei, de forma que os juízes possam aplicá-la com flexibilidade.

1

Por onde devemos começar? Que podemos supor? Tomemos os inteiros como nosso ponto de partida. Os inteiros são os números inteiros positivos, os inteiros negativos e o zero. Ou seja, o conjunto dos inteiros, designado pela letra Ζ é Z = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...2.

Admitiremos também que sabemos somar, subtrair, e multiplicar. Assim, não precisamos de provar factos básicos, tais como 2 × 3 = 6. Admitiremos as propriedades básicas da adição, subtracção e multiplicação e factos básicos sobre relações de ordem (<, ≤, > e ≥).

Assim, na Definição 1.1 não precisamos de definir inteiro, nem 2. Todavia, ainda devemos definir o que queremos dizer por divisível. Para salientar o facto de que ainda não tornamos claro esse ponto, consideremos a questão: 3 é divisível por 2? Pretendemos dizer que a resposta a esta pergunta é não, mas talvez ela possa ser sim, pois 2

1123 =÷ . Assim, se admitirmos fracções, é possível dividir 3 por 2. Note-se ainda que no parágrafo anterior ficaram garantidas as propriedades básicas da adição, subtracção e multiplicação, mas não – evidentemente por sua ausência – da divisão. Precisamos, assim, de uma definição cuidadosa de divisível.

Definição 1.2 (Divisível) Sejam a e b inteiros. Dizemos que a é divisível por b se existe um inteiro c tal que

bc = a. Dizemos também que b divide a, ou que b é factor de a, ou ainda que b é um divisor de a a notação correspondente é b | a.

Esta definição introduz vários termos (divisível, divide, factor, divisor), assim como a notação b|a. Consideremos um exemplo.

Exemplo 1.3: Vejamos: 12 é divisível por 4? Para responder a esta pergunta, examinemos a

definição que diz a = 12 é divisível por b = 4 se existir um inteiro c tal que 4c = 12. Obviamente, esse inteiro existe, e é c = 3.

Nesta condições dizemos também que 4 divide 12, ou que 4 é um factor de 12, ou ainda que 4 é um divisor de 12, e expressamos este facto pela notação 4 | 12.

No entanto, 12 não é divisível por 5, porque não há inteiro x para o qual 5x = 12. Assim, 5 | 12 é falso.

Agora a Definição 1.1 está pronta para ser usada. O número 12 é par porque 2 | 12. E sabemos que 2 | 12 porque 2 × 6 = 12. Entretanto, 13 não é divisível por 2 – não há inteiro x para o qual 2x = 13. Note-se que não dissemos que 13 é um número ímpar, porque ainda precisamos definir o termo ímpar. Naturalmente, sabemos que 13 é um número ímpar, mas simplesmente ainda não “criamos” os números ímpares mediante especificação de uma definição para eles. Tudo quanto podemos dizer, a esta altura, é que 13 não é par. Assim, vamos definir o termo ímpar.

2 O símbolo Z é fácil de traçar, mas frequentemente as pessoas não conseguem. Porquê? Elas caem na seguinte armadilha. Primeiro traçam um Z e em seguida procuram acrescentar um traço adicional. Isso não funciona! Deve traçar-se um 7 e então um outro 7 entrelaçado, de cabeça para baixo, para se obter um Z.

2

Definição 1.4 (Ímpar) Um inteiro a é chamado ímpar desde que haja um inteiro x tal que a = 2x + 1.

Assim, 13 é ímpar porque podemos encontrar o inteiro x = 6 segundo a definição, obtendo 13 = 2 × 6 + 1. Note-se que a definição fornece um critério claro, sem ambiguidade, para determinar se um inteiro é ímpar. Note-se, cuidadosamente, o que a definição não diz: ela não afirma que um inteiro é ímpar desde que não seja par, embora isso seja, naturalmente, verdade, conforme provaremos mais adiante, que “todo inteiro é ímpar ou par, mas não ambas as coisas” – este é um facto que provamos.

Eis uma definição para outro conceito familiar.

Definição 1.5 (Primo) Um inteiro p é primo se p>1 e os únicos divisores positivos de p são 1 e o próprio p.

Por exemplo, 11 é primo porque satisfaz ambas as condições da definição: primeiro, 11 é maior do que 1 e, segundo, os únicos divisores positivos de 11 são 1 e 11.

1 é primo? Não (verifique as condições específicas). A razão porque 1 não primo é que a definição foi elaborada especificamente para tornar 1 não primo! E porque formulamos a Definição 1.5 de forma a excluir 1? A decisão de excluir o número 1 na definição foi deliberada e consciente. Com efeito, a razão de 1 não ser primo é “porque eu assim disse”! Em princípio, poderíamos definir a palavra primo de uma forma diferente, permitindo que o número 1 fosse primo. O problema principal com a utilização de uma definição diferente para primo é que o conceito de número primo está bem firmado na comunidade matemática. Se fossemos admitir 1 como primo no nosso trabalho, teríamos que escolher um termo diferente para o nosso conceito, tal como primo relaxado, primo lato, primo alternativo.

Abordemos agora a questão: porque formulamos a Definição 1.5 de modo a excluir 1? A ideia é que os números primos constituem os “blocos de sustentação” da multiplicação. Mais tarde provaremos que todo inteiro positivo pode ser decomposto de maneira única em factores primos. Por exemplo, 12 pode ser factorizado como 3222 ×1 ×= . Não há outra maneira de decompor 12 em factores primos (a não ser trocando a ordem dos factores). Os factores primos de 12 são precisamente 2, 2 e 3. Se formos a admitir 1 como número primo, então poderíamos decompor 12 em factores “primo 3221 ×××s” como 12 = - uma factorização diferente. Assim como definimos números primos, é apropriado definirmos também números compostos.

Definição 1.6 (Composto) Um número a é chamado composto se existe um inteiro b, tal que 1 < b < a e b | a.

Por exemplo, o número 25 é composto porque verifica a condição da definição: há um número b, com 1 < b < 25 e b | 25. Na verdade b = 5 é esse número (único). Da mesma forma, o número 360 é composto. Neste caso, há vários números b que satisfazem as condições 1 < b < 360 e b | 360.

Os número primos não são compostos. Se p é primo, então, por definição, não pode haver divisor de p entre 1 e p.

Além disso, 1 não é composto. Pobre número 1! Não é primo nem composto! Entretanto, há um termo especial que se aplica ao número 1 – ele é chamado unidade.

3

Recapitulando Nesta secção introduzimos o conceito de definição matemática. Tipicamente, as definições têm a forma: “Um objecto X é chamado o termo a ser definido desde que satisfaça as condições especificadas”. Apresentamos o conjunto dos inteiros Z e definimos os termos divisível, par, ímpar, primo e composto.

EXERCÍCIOS: 1. Determine quais das seguintes asserções são verdadeiras e quais são falsas; utilize a

Definição (de Divisível) para explicar suas respostas:

a) 3 | 100. b) 3 | 99. c) -3 | 3. d) -5 | -5.

e) -2 | -7. f) 0 | 4. g) 4 | 0. h) 0 | 0.

2. Eis uma alternativa possível para a mesma definição: Dizemos que a é divisível por

b se b

for inteiro. Explique porque esta definição alternativa é diferente da

definição inicial. Aqui, diferente significa que as duas definições especificam conceitos diferentes. Assim, para responder a essa questão, devemos encontrar inteiros a e b tais que a seja divisível por b de acord

a

o com uma definição, mas a não

3. eles não satisfazem a Definição (de Prim com

4. e

≤ ≥

5.

seja divisível por b de acordo com outra definição.

Nenhum dos números seguintes é primo. Explique porque o). Quais desses números são postos?

a) 21 b) 0 c) π d) ½ e) -2 f) -1

Os números naturais são os inteiros não negativos, isto é, N = 0, 1, 2, 3, .... Aplique o conceito de número natural para formular definições de menor do qu(<), menor do que ou igual a ( ), maior do que (>) e maior do que ou igual a ( ).

Um número racional é um número formado pela divisão de dois inteiros b

, com b

≠ 0. O conjunto de todos os racionais é denotado por Q. Explique

a

porque todo

6. uadrados. Sua definição deve começar por: Um inteiro x é chamado

7.

que A, B e C sejam pontos do pleno. Dizemos que C está entre A e B esde que ...

inteiro é um número racional, mas nem todos os racionais são inteiros.

Defina o que significa um inteiro ser um quadrado. Por exemplo, os inteiros 0, 1, 4, 9 e 16 são qdesde que ...

Este problema envolve geometria básica. Suponha já definido o conceito de distância entre dois pontos no plano. Formule cuidadosamente a condição para que um ponto esteja entre outros dois pontos. Sua definição deve começar por: Suponhamos d

4

Not

• o que o ponto A ou ponto

•

am A, B e C

• certamente deseja que sua

8.

itivos: 1, 2, 3 e 6. Quantos divisores positivos tem cada um dos números seguintes?

de n é um inteiro positivo.

n

i) visores positivos?)

j) 2.310 = 2×3×5×7×11

9. ue os

te que 1+2+4+7+14 = 28.

b) computador para achar o número perfeito

10.

“Ela está fora porque eu digo que está”. Explique o ponto de vista do matemático.

e:

O leitor que está a elaborar esta definição tem bastante flexibilidade. Considere a possibilidade de o ponto C ser o mesmB, ou ainda que A e B possam ser o mesmo ponto.

Não é necessário o conceito de colinearidade para definir a noção de “entre”. Uma vez definido “entre”, use a noção para definir o que significa três pontos serem colineares. Sua definição deve começar por : Sejpontos do plano. Dizemos que eles são colineares desde que ...

Agora, se A e B são o mesmo ponto, o leitordefinição implique que A, B e C são colineares.

Os matemáticos discretos gostam especialmente de problemas de contagem; problemas que perguntam quantos? Vamos considerar a questão: quantos divisores positivos um número tem? Por exemplo, 6 tem quatro divisores pos

a) 8 b) 32

c) 2n, on d) 10

e) 100 f) 1.000.000

g) 10 , onde n é um inteiro positivo.

42 = 2×3×7 (porque 30 e 42 têm o

h) 30 = 2×3×5

mesmo número de di

k) 1×2×3×4×5×6×7×8 l) 0.

Um inteiro n é chamado perfeito se é igual à soma de todos os seus divisores que são simultaneamente positivos e inferiores a n. Por exemplo, 28 é perfeito porqdivisores positivos de 28 são 1, 2, 4, 7, 14 e 28. No

a) Há um número perfeito inferior a 28? Ache-o.

Escreva um programa de imediatamente superior a 28.

Num jogo da Liga Infantil há três juízes. Um é engenheiro, outro é físico e o terceiro é matemático. Há uma jogada de base e os três juízes concordam em que a corredora está fora. Furioso, o pai da corredora grita para os juízes: “Porque vocês dizem que ela está fora?” O engenheiro responde: “Ela está fora porque eu digo como ela está”. O físico responde: “Ela está fora porque é como eu a vejo”. E o matemático responde:

5

1.2. teorema é uma afirmação declarativa sobre matemática, para a qual existe uma

prova

rova é uma dissertação que mostra, de maneira irrefutável que uma afirmação é verda

o por exemplo: Vai chover amanhã, o F. C. Porto ganho

o deixamos cair um objecto perto da superfície da Terra, ele acelera à razão de 9,8 m/s2”

serem verdadeiras – sobre ma

garantir, que chamamos conjecturas;

geométricas, a afirmação não tem sentido! A este t os absurdos!

incon onsideremos (talvez) o mais célebre teorema da geometria:

Teorema Um.

Uma pdeira.

O que é uma afirmação declarativa? Na linguagem quotidiana expressamos muitos tipos de afirmações. Algumas delas são perguntas, outras são ordens e talvez o tipo mais comum de afirmação seja uma afirmação declarativa – uma afirmação que expressa uma ideia sobre como alguma coisa é, com

u o último jogo do campeonato.

Os praticantes de cada disciplina fazem afirmações declarativas sobre sua actividade. O economista diz: “Se a oferta de um produto cai, então o seu preço aumenta”. O físico diz: “Quand

.

Os matemáticos também fazem afirmações – que acreditamostemática. Tais afirmações enquadram-se em três categorias:

Afirmações que sabe• mos serem verdadeiras, porque podemos prová-las, que chamamos teoremas;

• Afirmações cuja veracidade não podemos• Afirmações falsas, que chamamos erros.

Há mais uma categoria de afirmações matemáticas. Consideremos a afirmação: “A raiz quadrada de um triângulo é um círculo”. Como a operação de extracção de uma raiz quadrada se aplica a números, e não a figuras

ipo de afirmações chamam

A Natureza da Verdade Em matemática, a palavra verdadeiro deve ser considerada como absoluta, dicional e sem excepção. C

Teorema 2.1 (Pitagórico) Se a e b são os comprimentos dos catetos de um triângulo rectângulo e c é o

comp

de maneira absoluta e sem excepção! Sabemo-lo porque podemos prova

o é apenas tinta no papel. Um triângulo rectângulo “real” existe apena

rimento da hipotenusa, então a2 + b2 = c2.

A relação a2 + b2 = c2 é válida para os catetos e para a hipotenusa de qualquer triângulo rectângulo,

r esse teorema.

Mas o teorema de Pitágoras é, na verdade absolutamente verdadeiro? Poderíamos cogitar: se traçássemos um triângulo rectângulo num pedaço de papel e medíssemos os comprimentos dos lados a menos de um micrómetro teríamos exactamente a2 + b2 = c2? Provavelmente não, porque o traçado de um triângulo rectângulo não é um triângulo rectângulo! Um desenho ou um traçado é uma ajuda visual para entendermos um conceito matemático, ma um desenh

s nas nossas mentes.

6

Em contrapartida, consideremos a seguinte afirmação: “Os números primos são ímpares”. Ela é verdadeira? Não. O número 2 é primo, mas não é par. Portanto, a afirmação é falsa. 2 é o único numero que foge à regra, mas o facto de ser excepção é que estraga o rigor de verdade matemática...

Um engenheiro, um físico e um matemático estão a fazer um passeio de comia e observam umas ovelhas negras numa colina.

boio pela Escóc

tirar conclusões precipitadas. Tudo quan algumas ovelhas negras.”

enos de um lado”, diz o matemático.

tes na maneira como o fazem. Chamamos linguagem matemática (mate mplo mais importante disso é a construção

forma “Se A, então B”. Por exem

davia, ela não t

s ele també

são ambo

“Olhe”, diz o engenheiro, “as ovelhas nesta parte da Escócia são negras!”

“Na verdade”, responde o físico, “você não deveto podemos dizer é que, nesta parte da Escócia, há“Bem, ao m

Se-Então Os matemáticos usam a linguagem quotidiana de maneira ligeiramente diferente das

pessoas em geral. Atribuem a certas palavras significados especiais, como termos técnicos, diferentes dos do uso padrão. Eles atribuem novo sentido a palavras como conjunto, grupo, grafo. Também criam palavras próprias como bijecção, conjunto parcialmente ordenado. Eles igualmente modificam subtilmente o sentido de palavras como ou, para atender aos seus propósitos específicos. Conquanto possam ser culpados de violar o uso padrão, eles são plenamente consisten

matiquês) este uso alterado da linguagem padrão, e o exese-então.

Na afirmação “Se A, então B”, A é chamado hipótese e B, conclusão. A grande maioria dos teoremas pode ser expressa na plo, o teorema “A soma de dois números inteiros pares é par” pode ser reformulado

como: “Se x e y são inteiros pares, então x + y também é par”.

Na conversação quotidiana, uma afirmação do tipo “Se-Então” pode ter várias interpretações. Por exemplo, posso dizer à minha filha, “Se tu cortares a relva, então eu te pagarei 50 Mt”. Se ela fizer o trabalho, naturalmente esperará pelo pagamento. To

erá objecção se eu lhe der os 50 Mt, mesmo sem ela ter feito o trabalho, mas certamente ela não espera por isso. Aqui apenas uma consequência é assegurada.

No entanto, se digo a meu filho: “Se tu não comeres o teu feijão, não terás sobremesa” ele entenderá que, a menos que ele coma todo o feijão, não terá doce. Ma

m entende que se comer todo o feijão, terá a sobremesa. Neste caso, prometem-se duas consequências: uma no caso de ele comer todo o feijão e outra no caso contrário.

O uso matemático de “Se-Então” é equivalente ao “Se tu cortares a relva, eu te pagarei 50 Mt”. A afirmação “Se A, então B” significa: sempre que a condição A for verdadeira, a condição B também será. Consideremos a afirmação: “Se x e y são inteiros pares, então x + y é par”. Tudo quanto esta afirmação assegura é que quando x e y

s pares, x + y também é par. Ela não exclui a possibilidade de x + y é par a despeito de x ou y não serem. Na verdade, se x e y são ambos ímpares, sabemos que x + y é par.

7

Na afirmação B” a co adeira ou falsa, e a condição B verdadei sit ectiv ias vem resumida no quadro seguinte:

Condição A Condição Se

“Se A, então r a

, podemos teru sp

ndição A verdas nca ou falsa e ação das re consequê

B A então BVerdadeira Verdadeira Possível Verdadeira Falsa Impossível

Falsa Verdadeira Possível Falsa Falsa Possível

Afirmações alternativas a “Se A, então B”:

“A implica B.” Na voz passiva pode expressar-se como “B é implicado• por A”.

• para A.” Ou “Para que A seja verdadeiro, é necessário que B .” Ou ainda “A, somente se B.” símbolo => lê-se “implica”). Ou “B <= A” (O símbolo <= lê-se “é

rma “se-então

plica A”, nas quais não precisamos escrever as condições A e B duas vezes cada ssão “Se A então B e se B então A” pode

O que signif ação do tipo “se-e-so ndo a afirmação “A se e somente cto ções individualmente verdadeiras ou fals atro es que res uadro seguinte:

Condição A Condição A se e somente se B

• “Sempre que A, temos B.” Também pode ser “B, sempre que A.” • “A é suficiente para B.” Também pode ser “A é uma condição suficiente para B.”

Ou ainda “Desde que A seja verdadeiro, então B também deve sê-lo.” • “Para que B seja verdadeiro, é suficiente que tenhamos A.”

“B é necessáriotambém o seja

• “A => B” (O implicado por)

Se e Somente Se A grande maioria dos teoremas é, ou pode ser facilmente expressa na fo”. Alguns vão um passo mais além e são da forma “Se a então B, e se B então A”. Por

exemplo, sabemos que é verdadeira a afirmação:

Se um inteiro x é par, então x + 1 é ímpar, e se x + 1 é ímpar, então x é par.

Esta afirmação é prolixa. Há maneiras concisas de expressar afirmações da forma “A implica B e B im

uma. A expressão chave é se e somente se. A exprereescrever-se como “A se e somente B”. Assim, o exemplo dado pode se reescrever

como se segue:

Um inteiro x é par se e somente se x + 1 é impar.

ica uma afirms a

mente-se”? Considera A e B poderem ser e B” e o f ide as cond

po adas, temos qu ssibilid umimos no q

B Verdadeira Verdadeira Possível Verdadeira Falsa Impossível

Falsa Verdadeira Impossível Falsa Falsa Possível

É impossível a condição A ser verdadeira quando B é falsa, porque A ⇒ B. Da mesma forma el a condição B ser verdadeira quando A é falsa, porque B ⇒ A. Assim, as duas condições e B devem ser simultaneamente verdadeiras ou falsas.

, é impossívA

8

Afirmações alternativas a “A se e somente se B”:

bolo ⇔ é um amálgama dos símbolos ⇐ e ⇒ e o seu uso é justificado pelo facto de a condição A ser válida exactamente nas mesmas circunstâncias em qu

m as palavras e, ou e não em sentidos muito precisos. O uso matem essencialmente o mesmo que o da linguagem quotidiana. Já o uso de ou

significa que um núm a omo 230, é divisível tanto por 2 como por 5. O uso de e está qu :

Condição B

“A sse B.”

“A é necessário e suficiente para B.”

“A ⇔ B”, onde o sím

e a condição B é.

E, Ou e Não Os matemáticos utilizaático de e e não é

é mais idiossincrático. Uso matemático de e:

A afirmação “A e B” significa que ambas as afirmações A e B são verdadeiras. Por exemplo, “Todo inteiro cujo algarismo das unidades é 0 é divisível por 2e por 5”. Isso

ero que termin em zero, tal c resumido no adro seguinte

Condição A B A eVerdadeira eira Verdadeira VerdadVerdadeira Falsa Falsa Falsa Verdadeira Falsa Falsa Falsa Falsa

Uso matemático de não:

A afirmação “não A” é verdadeira se e somente se A é falsa. Por exemplo, a afirmação “Todos os primos são ímpares” é a. Assim, a o “Nem todos os primos são ímpares” é verdadeira. Novam s re so de não numa tabela:

A

fals afirmaçãente podemo sumir o u

Não A Verdadeira Falsa Falsa Verdadeira

O uso de e não corresponde muito aproximadamente ao uso corrente. O mesmo não acontece com o uso de ou. Na linguagem padrão, ou em geral sugere uma escolha de entre duas

A afirm B, são v

ou x = – y.

casos:

3 e y = – 3). r exemplo, tomar x = – 5 e y = 5).

opções, não em simultâneo. Uso matemático de ou:

Em contrapartida, o ou matemático admite a possibilidade da simultaneidade.ação “A ou B” significa que A é verdadeiro, ou B é verdadeiro, ou ainda ambos, A eerdadeiros. Por exemplo, consideremos o seguinte:

Suponhamos x e y inteiros com a propriedade x | y e y | x. Então x = y

A conclusão desse resultado diz-nos que podemos ter um dos seguintes

• x = y, mas não x = – y (como por exemplo, tomar x =• x = – y, mas não x = y (como po

9

• x = y e x = – os e y = 0

Eis uma tabela pa s ou

Condição A Condição

y, o que só é p sível se x = 0 .

ra afirmaçõe :

B A ou B Verdadeira Verdadeira Verdadeira Verdadeira Falsa Verdadeira

Falsa Verdadeira Verdadeira Falsa Falsa Falsa

Designações para um Teorema A palavra teorema não deve ser confundida com teoria. Um teorema é uma afirmação

específica que pode ser provada. Uma teoria é um conjunto mais amplo de ideias sobre um assunto em particular.

Alguns teoremas são mais importantes ou mais interessantes do que outros . Há designações alternativas que os matemáticos usam em lugar de teorema. A seguir listamos palavras que constituem alternativas de teoremas e damos uma orientação para seu uso.

Resultado. Uma expressão modesta, genérica para um teorema. Há um arldade ao chamarmos um teorema simplesmente de “resultado”. Tanto teore

de humi mas impo

teorema mais impo

s para elaborar uma prova mais complicada.

o é um teorema cuja afirmação em geral aparece dentro da prova de um teorema. O objectivo de uma alegação é ajudar a organizar os pa formulação de uma alegação pode envolver termo

dade ue a hipótese é

impo

rtantes quanto os sem importância podem ser chamados resultados.

Facto. Um teorema de importância limitada. A afirmação “6 + 3 = 9” é um facto.

Proposição. Um teorema de importância secundária. Uma proposição é mais importante ou mais geral do que um facto, mas não tem tanto prestígio quanto tem um teorema.

Lema. Um teorema cujo objectivo principal é ajudar a provar outro rtante. Alguns teorema exigem demonstrações complicadas. Frequentemente podemos

decompor em partes menores o trabalho de provar um teorema complicado. Os lemas são as partes, ou instrumentos, usado

Corolário. Resultado com uma prova rápida, cujo passo principal é o uso de outro teorema provado anteriormente.

Alegação. Análogo ao lema. Uma alegaçã

ssos chave de uma prova. Também, as que só têm sentido no contexto da prova.

Afirmação Verdadeira por VacuiO que devemos pensar de uma afirmação do tipo “se-então” em qssível? Consideremos o seguinte.

Afirmação 2.2 (Vazia) Se um inteiro é simultaneamente quadrado e primo, então é negativo.

Esta afirmação é verdadeira ou falsa? Ela não é um contra senso. Os termos quadrado, primo e negativo aplicam-se adequadamente a inteiros. Poderíamos ser tentados a dizer que a afirmação é falsa, porque os números quadrados e os primos não podem ser negativos.

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Entretanto, para uma afirmação da forma “se A, então B” seja declarada falsa, devemos encontrar uma situação em que a propriedade A seja verdadeira e a B seja falsa. No caso da afirm

s da forma “Se A, então B”, em que a condição A é impossível, são e os matemáticos consideram verdadeiras tais afirmações porque elas não

como os matemáticos utilizam as palavras e, ou e não. Apresentamos vários sinónimos de teorema e explicamos suas conotações. Finalmente discutimos afirmações “se-então” vazias e notamos que os matemáticos consideram tais afirmações verdadeiras.

ação 2.2, a condição A é impossível; não há número que seja simultaneamente quadrado e primo. Assim, nunca poderemos achar um inteiro que torne a condição A verdadeira e a condição B falsa. Por conseguinte, a afirmação 2.2 é verdadeira!

Afirmaçõechamadas vaziasadmitem excepções.

Recapitulando Nesta secção, foi introduzida a noção de um teorema: uma afirmação declarativa sobre matemática que admite uma prova. Discutimos a natureza absoluta da palavra verdadeiro em matemática. Discutimos extensamente as formas “se-então”, se-e-somente-se” de teoremas, assim como uma linguagem alternativa para expressar tais resultados. Explicamos a maneira

11

EXERCÍCIOS 1. Cada uma das seguintes afirmações seguintes pode ser formulada na forma “se-

então”. Reescreva as afirmações na forma “Se A, então B”.

a) O produto de um inteiro ímpar e um inteiro par é par. b) O quadrado de um inteiro ímpar é ímpar. c) O quadrado de um número primo não é primo. d) O produto de dois inteiros negativos é negativo. (Naturalmente, isso é falso.)

2. É um erro comum confundir as duas afirmações seguintes:

a) Se A, então B. b) Se B, então A.

Encontre duas condições A e B tais que a afirmação (a) seja verdadeira, mas a afirmação (b) seja falsa.

3. Considere as duas afirmações:

a) Se A, então B. b) (não A), ou B.

Sob que circunstâncias essas afirmações são verdadeiras? Quando são falsas? Explique porque essas afirmações são, em essência, idênticas.


a) Se A, então B. b) Se (não B), então (não A).



c) A se e somente se B. d) (não A), se e somente se (não B).


6. Considere um triângulo equilátero, cujos lados têm comprimentos a = b = c = 1. Note que, nesse caso, 222 cba ≠+ . Explique porque isso não constitui uma violação do teorema de Pitágoras.

7. Explique como traçar, na superfície de uma esfera, um triângulo que tenha três ângulos rectos. Os catetos e a hipotenusa de tal triângulo satisfazem a condição

? Explique porque não se trata de uma violação do teorema de Pitágoras.

222 cba =+

8. Considere a afirmação assaz e grotesca: “Se pegarmos um porquinho-da-Índia pela cauda, seus olhos sairão das órbitas”. Isso é verdadeiro?

12

1.3. Prova Criamos conceitos matemáticos por meio de definições. Postulamos, então, asserções

sobre noções matemáticas e procuramos provar que nossas ideias são correctas.

O que é uma prova? Em ciência, a verdade surge da experimentação. Na lei, a verdade é validada por um julgamento e decidida por um juiz e/ou júri. No desporto, a verdade é a decisão dos juízes decorrente de sua capacidade. Em Matemática temos a prova.

Consideremos o óbvio.

Conjectura 3.1 (Goldbach) Todo inteiro par maior que 2 é a soma de dois primos

Verifiquemos que esta afirmação é válida para os primeiros pares. Temos 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7, 16 = 11 + 5, 18 = 11 + 7, ...

Poderíamos escrever um programa de computador para verificar que os primeiros biliões de números pares são, cada um, a soma de dois primos. Isso implica que a conjectura de Goldbach seja verdadeira? Não. A evidência numérica torna a conjectura admissível, mas não prova que seja verdadeira. Até hoje não se conseguiu uma prova da conjectura de Goldbach e, assim, simplesmente não sabemos se ela é verdadeira ou falsa.

Linguagem matemática! Uma prova é frequentemente chamada de argumento. Na linguagem usual, a palavra argumento tem uma conotação de desacordo ou controvérsia. Não devemos associar tal conotação negativa a um argumento matemático. Na verdade, os matemáticos sentem-se honrados quando suas provas são chamadas de “belos argumentos”.

Proposição 3.2 A soma de dois inteiros pares é par.

Prova: 1. Vamos provar que, se x e y são inteiros pares, então x + y é um inteiro par. 2. Sejam x e y inteiros pares. 3. Como x é par, sabemos, pela Definição 1.1, que x é divisível por 2, isto é, 2 | x. 4. Analogamente, como y é par, 2 | y. 5. Como 2 | x, sabemos, pela Definição 1.2, que há um inteiro a, tal que x = 2a. 6. Analogamente, como 2 | y, existe um inteiro b tal que y = 2b. 7. Observe que x + y = 2a + 2b = 2(a + b). 8. Portanto, existe um inteiro c (c = a + b), tal que x + y = 2c. 9. Por conseguinte (Definição 1.2), 2 | (x + y). 10. Portanto (Definição 1.1), x + y é par. C.q.d.

Resumindo, a demonstração consistiu nos seguintes momentos chave:

• Converter a afirmação para a forma “Se-então” (1)

• Escrever a primeira e última afirmações utilizando a hipótese e a conclusão da afirmação (2 + 10)

• Desenvolvimento da prova com suporte em definições anteriormente dadas (3 + 4 + 5 + 6 + 9 + 8).

13

• O que sabemos? De que necessitamos? Faça com que os extremos se toquem (7)

Esquema de Prova 1 A prova directa de um teorema do tipo “se-então” • Escrever a(s) primeira(s) afirmação(s) da prova, apresentando de novo a hipótese

do resultado. Criar uma notação adequada (por exemplo, atribuir letras para representar variáveis)

• Escrever a(s) última(s) afirmação(s) da prova, apresentando de novo a conclusão do resultado.

• Desenvolver a prova com suporte em definições anteriores, trabalhando para frente a partir do começo da prova e para trás, a partir do fim da prova.

• Avaliar o que já se sabe e do que se necessita. Procurar estabelecer um elo entre as duas metades do seu argumento.

Proposição 3.3 Sejam a, b e c inteiros. Se a | b e b | c então a | c.

O primeiro passo na elaboração de uma prova dessa proposição consiste em escrever a primeira e a última afirmações com base na hipótese e na conclusão.

Sejam a, b e c inteiros, com a | b e b | c.

...

Portanto, a | c

Em seguida desenvolvamos a prova com suporte na definição de divisibilidade.

Suponhamos a, b e c inteiros, com a | b e b | c. Como a | b, existe um inteiro x tal que b = ax. Da mesma forma, existe um inteiro y tal que c = by. ...

Portanto, existe um inteiro z tal que c = az. Portanto, a | c.

Agora consideremos o que temos e do que precisamos.

Temos a, b, c, x e y tais que b = ax e c = by. Queremos achar z tal que c = az.

Agora é preciso pensar, mas felizmente o problema não é difícil. Como b = ax, podemos substituir b por ax em c = by, obtendo c = axy. Assim, o z de que necessitamos é z = xy. Com isso, podemos terminar a prova da proposição 3.3.

Suponhamos a, b e c inteiros, com a | b e b | c. Como a | b, existe um inteiro x tal que b = ax. Da mesma forma, existe um inteiro y tal que c = by.

Seja z = xy. Então az = a(xy) = (ax)y = by = c.

Portanto, existe um inteiro z tal que c = az. Portanto, a | c. C.q.d.

Provas de teoremas do tipo “Se-e-Somente-se”

A técnica básica para provar uma afirmação da forma “A se e somente se B” consiste em provar duas afirmações da forma “se-então”. Provamos que “Se A, então B” e também que “Se B, então A”. Eis um exemplo.

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Proposição 3.4 Seja x um inteiro. Então, x é par se e somente se x + 1 é ímpar.

O arcabouço da prova é o seguinte:

Seja x um inteiro. (⇒) Suponhamos x par. ... Portanto, x + 1 é ímpar. (⇐) Suponhamos x + 1 ímpar. ... Portanto, x é par.

Agora desenvolvamos a prova com suporte em definições (recorde a definição de ímpar).

Seja x um inteiro. (⇒) Suponhamos x par. Isso significa que 2 | x. Logo, há um inteiro a tal que x = 2a. Portanto, x + 1 é ímpar. (⇐) Suponhamos x + 1 ímpar. Então existe um inteiro b tal que x + 1 = 2b + 1. Portanto, x é par.

Os próximos passos são claros. Na primeira parte da prova, temos x = 2a e queremos provar que x + 1 é ímpar. Basta, para isso, somarmos 1 a cada um dos membros de x = 2a para obtermos x + 1 = 2a +1, e isso mostra que x + 1 é ímpar. Na segunda parte da prova, sabemos que x + 1 = 2a + 1; queremos provar que x é par. Subtraímos 1 de cada um dos membros e estamos terminados.

Seja x um inteiro. (⇒) Suponhamos x par. Isso significa que 2 | x. Logo, há um inteiro a tal que x = 2a. Adicionando 1 a ambos os membros, obtemos x + 1 = 2a + 1. Pela definição de ímpar, x + 1 é ímpar. (⇐) Suponhamos x + 1 ímpar. Então existe um inteiro b tal que x + 1 = 2b + 1. Subtraindo 1 de ambos os membros, obtemos x = 2b. Isso mostra que 2 | x e, portanto, x é par. C.q.d.

Esquema de Prova 2 A prova directa de um teorema do tipo “se-e-somente-se”

Para provar uma afirmação da forma “A se e somente se B” • (⇒) Prove que “Se A, então B”. • (⇐) Prove que “Se B, então A”.

Omissão de Passos À medida que o estudante vai sentindo-se mais à vontade para redigir provas, pode

achar maçoso escrever repetidamente os mesmos passos. Já vimos várias vezes a sequência (1) x é par, e assim (2) x é divisível por 2, e assim (3) existe um inteiro a tal que x = 2a. O estudante pode sentir-se tentado a omitir o passo (2) e escrever apenas “x é par, e assim existe um inteiro a tal que x = 2a”. A decisão de omitir passos exige um julgamento cuidadoso, mas eis algumas directrizes.

• Seria fácil (e talvez maçoso) para o estudante preencher os passos em falta? Os passos em falta são óbvios? Se a resposta for sim, omita-os.

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• A mesma sequência de passos aparece repetidamente em sua(s) prova(s), mas não é fácil de reconstituir? Nesse caso o estudante tem duas opções:

− Escrever a sequência de passos uma vez e, na vez seguinte que a mesma aparece, utilizar uma expressão como “da mesma forma”, “como vimos anteriormente”.

− Alternativamente, se o resultado da sequência de passos puder ser descrito como uma afirmação, prove primeiro essa afirmação, chamando-a um lema. Apele, então, para o lema sempre que precisar de repetir aqueles passos.

• Quando estiver em dúvida, escreva por extenso

Exemplo:

Proposição 3.5 Sejam a, b, c e d inteiros. Se a | b, b | c e c | d, então a | d.

Eis a prova, conforme sugerida pelo Esquema de prova 1.

Sejam a, b, c e d inteiros, tais que a | b, b | c e c | d. Como a | b, existe um inteiro x tal que ax = b. Como b | c, existe um inteiro y tal que by = c. Como c | d, existe um inteiro z tal que cz = d. Note que a(xyz) = (ax)(yz)=b(yz) = (by)z = cz = d. Por conseguinte, existe um inteiro w = xyz tal que aw = d. Portanto, a | d. C.q.d.

Não há nada de errado nesta prova, mas há uma maneira mais simples, menos prolixa, de apresentá-la. Já mostramos que a | b, b | c ⇒ a | c na proposição 3.3. Utilizemos essa proposição para provar a Proposição 3.5.

Sejam a, b, c e d inteiros, tais que a | b, b | c e c | d. Como a | b e b | c, pela Proposição 3.3 temos a| c. Ora, como a | c e c | d, novamente pela Proposição 3.3, temos a | d. C.q.d.

A ideia chave foi usar a Proposição 3.3 duas vezes. Uma vez aplicamo-la a a, b e c para obter a | c. Obtido a | c, utilizamos novamente a Proposição 3.3 sobre os inteiros a, c e d, para terminar a prova. A Proposição 3.3 actua como um lema na prova da Proposição 3.5

Recapitulando: Introduzimos o conceito de prova e apresentamos a técnica básica de elaboração de uma prova directa para uma afirmação do tipo “se-então”. Para afirmações do tipo “se-e-somente-se”, aplicamos duas vezes essa técnica básica a implicações num (⇒) e noutro (⇐) sentido.

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EXERCÍCIOS: 1. Prove que a soma de dois números ímpares é par. 2. Prove que a soma de um inteiro ímpar e um inteiro par é ímpar. 3. Prove que o produto de dois inteiros pares é par. 4. Prove que o produto de um inteiro par e um inteiro ímpar é par. 5. Prove que o produto de dois inteiros ímpares é ímpar. 6. Suponha a, b e c inteiros. Prove que se a | b e a | c, então a | (b+c). 7. Suponha a, b e c inteiros. Prove que se a | b, então a | (bc). 8. Suponha a, b d, x e y inteiros. Prove que se d | a e d | b então d | (ax+by). 9. Sejam a, b, c e d inteiros. Prove que se a | b e c | d, então (ac) | (bd). 10. Seja x inteiro. Prove que x é ímpar se e somente se x + 1 é par. 11. Seja x inteiro. Prove que 0 | x se e somente se x = 0. 12. Sejam a e b inteiros. Prove que a < b se e somente se a ≤ b – 1. 13. Prove que um inteiro é ímpar se e somente se é a soma de dois inteiros

consecutivos. 14. Suponha que lhe peçam para provar uma afirmação da forma “Se A ou B, então C”.

Explique porque é preciso provar (a) “Se A, então C” e também que (b) “Se B, então C”. Porque não é suficiente provar apenas uma das partes (a) ou (b)?

15. Suponha que lhe peçam para provar uma afirmação da forma “A se e somente se B”. O método padrão consiste em provar tanto A ⇒ B como B ⇒ A. Considere a seguinte estratégia alternativa de prova: prove ambos A ⇒ B e (não A) ⇒ (não B). Explique porque essa prova é válida.

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1.4. Contra-exemplo Na secção anterior desenvolvemos a noção de prova: uma técnica para mostrar, de

forma irrefutável, que uma afirmação é verdadeira. Nem todas as afirmações sobre matemática são verdadeiras! Dada uma afirmação, como podemos mostrar que ela é falsa? Refutar afirmações falsas é, em geral, mais simples do que provar teoremas. A maneira mais simples de refutar uma afirmação “se-então” é criar um contra-exemplo. Considere a afirmação: “Se A, então B”. Um contra-exemplo de tal afirmação seria uma instância em que A é verdadeira, mas B é falsa.

Por exemplo, consideremos a afirmação: “Se x é primo, então x é ímpar”. Essa afirmação é falsa. Para prová-lo basta darmos um exemplo de um inteiro que seja primo, mas não seja ímpar. O inteiro 2 goza dessas propriedades.

Consideremos outra afirmação falsa.

Afirmação 4.1 (Falsa) Sejam a e b inteiros. Se a | b e b | a, então a = b.

Esta afirmação se afigura plausível. Parece que, se a | b, então a ≤ b e, se b | a, então b ≤ a, portanto, a = b. Mas esse raciocínio é incorrecto. Para refutar a afirmação 4.1, precisamos achar a e b tais que, de um lado, verifiquem a | b e b | a, mas, por outro, não verifiquem a = b. Eis um contra-exemplo. Tomemos a = 5 e b = -5. Para verificar que se trata de um contra-exemplo, basta notarmos que por um lado, 5 | -5 e -5 | 5, mas, por outro, 5 ≠ -5.

Esquema de Prova 3: Como refutar uma afirmação do tipo “se-então” falsa por meio de um contra-exemplo.

Para refutar uma afirmação da forma “Se A, então B”: Achar uma situação em que A é verdadeira, mas B é falsa.

Refutar afirmações falsas é, em geral, mais fácil do que provar afirmações verdadeiras. Todavia, achar contra-exemplos pode ser trabalhoso. Para criar um contra-exemplo, recomenda-se criar várias instâncias em que a hipótese da afirmação seja verdadeira e verificar cada uma a fim de ver se a conclusão é válida ou não. Tudo quanto é preciso para refutar uma afirmação é um contra-exemplo.

Infelizmente, é fácil embaraçarmo-nos com um pensamento rotineiro. No caso da Afirmação 4.1, poderíamos considerar 3 | 3, 4 | 4, e 5 | 5, sem jamais cogitarmos tomar um número positivo e outro negativo. Tente livrar-se de tal situação criando exemplos estranhos. Naturalmente, seguindo esse conselho, poderíamos ainda ver-nos diante de casos como 0 | 0, -1 | -1, -2 | -2, e assim por diante.

Uma Estratégia para achar Contra-Exemplos Comecemos procurando provar a afirmação; surgindo dificuldades, procuremos

determinar em que consiste o problema e construamos um contra-exemplo.

Apliquemos essa técnica à afirmação 4.1. Comecemos, como de costume, convertendo a hipótese e a conclusão da afirmação no começo e no fim da prova.

Sejam a e b inteiros com a | b e b | a. ... Portanto, a = b.

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Desenvolvamos, agora, as definições.

Sejam a e b inteiros com a | b e b | a. Como a | b, existe um inteiro x tal que b = ax. E como b | a, existe um inteiro y tal que a = by. ... Portanto, a = b.

Perguntamos agora: Que sabemos? De que precisamos?

Sabemos que b = ax e a = by e queremos mostrar que a = b.

Para chegarmos lá, podemos procurar mostrar que x = y = 1. Procuremos resolver em relação a x ou a y. Como temos duas expressões em termos de a e b, podemos tentar transformar uma delas na outra. Usamos o facto de que b = ax para eliminar b de a = by.

Obtemos a = by ⇒ a = (ax)y ⇒ a = (xy)a. É tentador dividirmos por a ambos os membros da última equação, mas não podemos esquecer a possibilidade de ser a = 0. Ignoremos, por momento, essa possibilidade e prossigamos escrevendo xy = 1. Temos dois inteiros cujo produto é 1 e, a essa altura, vemos que há duas maneiras como isso pode ocorrer: ou 1 = 1 × 1, ou 1 = -1 × -1. Assim, embora saibamos que xy = 1, não podemos concluir que x = y = 1 e dar por encerrada a prova. Estamos impedidos de prosseguir e consideramos a possibilidade de a Afirmação 4.1 ser falsa. Perguntamos o que acontece se x = y = -1? Vemos que isso implicação a = -b; por exemplo, a = 5 e b = -5, o que acarretaria a | b e b | a, mas a ≠ b. Agora que encontramos um contra-exemplo, precisamos voltar à nossa preocupação com a possibilidade de a = 0? Não! Refutamos a afirmação com o nosso contra-exemplo. A prova tentada serviu apenas para ajudar-nos a achar um contra-exemplo.

Recapitulando: Nesta secção, mostramos como refutar uma afirmação do tipo “se-então”, obtendo um exemplo que satisfaz a hipótese da afirmação, mas não a conclusão.

EXERCÍCIOS: 1. Refute:

a) Se a e b são inteiros, com a | b, então a ≤ b. b) Se a e b são inteiros não negativos, com a | b, então a ≤ b. (Nota: Um contra-

exemplo dessa afirmação seria também um contra-exemplo do problema anterior, mas não necessariamente o contrário.

c) Se a, b e c são inteiros positivos, com a | (bc), então a | b ou a | c. d) Se a, b e c são inteiros positivos, a (bc) = (ab)c. e) Um inteiro x é positivo se e somente se x + 1 é positivo. f) Dois triângulos rectângulos têm a mesma área se e somente se os comprimentos

das suas hipotenusas são iguais. g) Um inteiro positivo é composto se e somente se tem dois factores primos

diferentes.

2. Considere o polinómio n2 + n + 41. Calcule o valor deste polinómio para n = 1, 2, 3, ..., 10. Note que todos os números calculados são primos.

Refute: Se n é inteiro positivo, então n2 + n + 41 é primo.

19

3. O que significa ser falso para uma afirmação do tipo “se-e-somente-se”? Que propriedades deve possuir um contra-exemplo para uma afirmação “se-e-somente-se”?

1.5. Álgebra de Boole A álgebra é útil para raciocinarmos sobre números. Uma relação algébrica tal como

x2 – y2 = (x – y)(x + y) descreve uma relação geral que é válida para quaisquer números x e y.

De maneira análoga, a álgebra booleana fornece uma estrutura para lidarmos com afirmações. Começamos com afirmações básicas, como “x é primo”, e combinamo-las por meio de conectivos, tais como “se-então”, e, ou, não, etc.

Por exemplo, na Secção 2 pedimos ao leitor para explicar porque as afirmações “Se A, então B” e “(não A) ou B” significam essencialmente a mesma coisa. Nesta secção, vamos apresentar um método simples para mostrar que tais afirmações têm o mesmo significado.

Numa expressão algébrica ordinária como 3x – 4, as letras representam números inteiros, e as operações são as familiares adição, subtracção, multiplicação, e assim por diante. O valor da expressão 3x – 4 depende do número x. Quando x = 1, o valor da expressão é -1, e, se x = 10, seu valor é 26.

As Variáveis Representam Verdadeiro e Falso. A álgebra de Boole tem também expressões contendo letras e operações. As letras

(variáveis) numa expressão booleana não representam números; ao contrário, representam os valores VERDADEIRO e FALSO. Assim, numa expressão algébrica booleana, as letras podem ter apenas dois valores! Há várias operações que podemos efectuar sobre os valores VERDADEIRO e FALSO. As operações mais fundamentais são chamadas e (símbolo ∧), ou (símbolo ∨) e não (símbolo ¬).

As operações básicas da álgebra booleana são ∧, ∨ e ¬. Estas operações estão presentes, também em muitas linguagens de computador. Como os teclados de computador tipicamente não têm esses símbolos, é costume utilizar-se & para ∧, | ∨ e ~ para ¬.

Começamos com ∧. Para definir ∧, precisamos definir o valor de x ∧ y para todos os valores possíveis de x e y. Como há apenas dois valores possíveis para cada um, o problema é simples. Sem mais delongas, eis a definição da operação ∧.

VERDADEIRO ∧ VERDADEIRO = VERDADEIRO

VERDADEIRO ∧ FALSO = FALSO

FALSO ∧ VERDADEIRO = FALSO

FALSO ∧ FALSO = FALSO

Por outras palavras, o valor da expressão x ∧ y é VERDADEIRA quando ambas as variáveis x e y também o são, e é FALSA em qualquer outra hipótese. Uma forma conveniente de condensar tudo isto é numa tabela de verdade, ou seja, um quadro que mostra o valor de uma expressão booleana que depende dos valores das variáveis. Eis uma tabela de verdade para a operação ∧.

20

x y x ∧ y VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO

VERDADEIRO FALSO FALSO

FALSO VERDADEIRO FALSO

FALSO FALSO FALSO

A definição da operação ∧ visa espelhar exactamente o uso matemático da palavra e. Da mesma forma, a operação booleana ∨ traduz o uso matemático da palavra ou. Eis a definição:

VERDADEIRO ∨ VERDADEIRO = VERDADEIRO

VERDADEIRO ∨ FALSO = VERDADEIRO

FALSO ∨ VERDADEIRO = VERDADEIRO

FALSO ∨ FALSO = FALSO

Por outras palavras, o valor da expressão x ∨ y é VERDADEIRO em todos os casos, excepto quando x e y são ambos falsos. Resumimos esses factos numa tabela de verdade.

x y x ∨ y VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO

VERDADEIRO FALSO VERDADEIRO

FALSO VERDADEIRO VERDADEIRO

FALSO FALSO FALSO

A terceira operação ¬ tem por objectivo reproduzir o uso matemático da palavra não.

¬VERDADEIRO = FALSO

¬FALSO = VERDADEIRO

Sob a forma de tabela de verdade, ¬ funciona como se segue: x ¬x

¬VERDADEIRO FALSO

¬ FALSO VERDADEIRO

Assim como as operações algébricas ordinárias podem combinar várias operações (por exemplo, 3 × 2 – 4), da mesma forma podemos combinar as operações booleanas. Consideremos por exemplo, VERDADEIRO ∧ ((¬FALSO) ∨ FALSO) e calculemos o valor desta expressão passo a passo:

VERDADEIRO ∧ ((¬FALSO) ∨ FALSO) = VERDADEIRO ∧ (VERDADEIRO ∨ FALSO) = VERDADEIRO ∧ VERDADEIRO

= VERDADEIRO.

Na álgebra, vimos como manipular fórmulas de modo a deduzir identidades como 222 2)( yxyxyx ++=+ .

21

Na álgebra de Boole, interessa-nos a dedução de identidades semelhantes. Comecemos com um exemplo:

x ∧ y = y ∧ x

O que significa isso? A identidade algébrica ordinária significa que, uma vez escolhidos valores (numéricos) para x e y, as duas expressões

22 yxy ++ devem ser iguais. Da mesma forma, a identidade x ∧ y = y ∧ x significa que, uma vez escolhidos valores (lógicos) para x e y, os resultados de x ∧ y e y ∧ x devem se

222 2)( yxyxyx ++=+

2)( yx + e x

r os mesmos.

e resumimos numa tabela de verdade.

2

Ora, seria ridículo tentar provar uma identidade como 222 2)( yxyxyx ++=+ tentando substituir todos os valores possíveis de x e y, por haver uma infinidade de possibilidades. Mas não é difícil tentar todas as possibilidades para provar uma identidade algébrica booleana. No caso de x ∧ y = y ∧ x, há quatro possibilidades, qu

x y x ∧ y y ∧ x VERDADEIRO VERDADEIRO EIRO EIRO VERDAD VERDAD

VERDADEIRO FALSO FALSO FALSO

FALSO VERDADEIRO FALSO FALSO

FALSO FALSO FALSO FALSO

Percorrendo todas as combinações possíveis de valores de x e y, temos uma prova de que x

esultados são os mesmos em todos os casos m exemplo mais interessante.

∧ y = y ∧ x.

Equivalência lógica

Quando duas expressões booleanas, como foi o caso das expressões x ∧ y e y ∧ x, são iguais para todos os valores possíveis de suas variáveis, dizemos que essas expressões são logicamente equivalentes. O método mais simples de mostrar que duas expressões booleanas são logicamente equivalentes consiste em percorrer todos os valores possíveis das variáveis nas duas expressões e constatar que os r

. Consideremos u

Proposição 5.1 As expressões booleanas ¬(x∧y) e (¬x)∨(¬y) são logicamente equivalentes.

Prova: Para provar que a proposição é verdadeira, construímos uma tabela de verdade para ambas as expressões. Para economizar espaço, representamos VERDADEIRO por V e FALSO por F.

x ¬( y) (¬x) ¬y) x y ∧y x∧ ¬x ¬y ∨(V V V F F F F V F F V F V V F V F V V F V F F F V V V V

O ponto importante a realçar é que as colunas ¬(x∧y) e (¬x)∨(¬y) são exactamente as mesmas. Portanto, quaisquer que sejam os valores que escolhamos para x e y, as e pressõx es

22

¬(x∧

las de verdade são fáceis, porém maçosas. O resultado segui ios casos atribu

y) e (¬x)∨(¬y) conduzem ao mesmo valor lógico (de verdade). Portanto, as expressões ¬(x∧y) e (¬x)∨(¬y) são logicamente equivalentes. C.q.d.

As provas com auxílio de tabente resume as propriedades das operações básicas ∧, ∨ e ¬. Em várímos nomes às propriedades.

Esquema de Prova 4 Prova de equivalência lógica pela tabela de verdade: Para mostrar que duas expressões booleanas são logicamente equivalentes,

construímos uma tabela de verdade mostrando os valores das duas expressões para todos os valor as variáveis. Fazemos uma verificação para constatar que duas es possíveis dexpress s boo n s têm sempre o mesmo valor.

õe lea a

Teorema 5.2 x ∧ y = y ∧ x e x ∧ y = y ∧ x (Propriedade comutativa) (x y) z = y ∧ (x ∧∧ ∧ z) (Propriedade associativa) x∧ = x eVERDADEIRO x ∨ FALSO = x (Elementos neutros ou elemento identidade) ¬(¬x) = x x ∧ = x e x ∨ x = x x x ∧(y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) e x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) x∧(¬x) = FALSO e x∨(¬x) = VERDADEIRO ¬(x ∧ y) = (¬x) ∨ (¬y) e ¬(x ∨ y) = (¬x) ∧ (¬y) (Leis de De Morgan).

Todas estas equivalências lógicas são facilmente provadas por meio de tabelas de verdade. Em algumas dessas identidades , há apenas uma variável. Nesses casos haverá apenas duas linhas na tabela de verdade, uma para x = VERDADEIRO e outra para x = FALSO. Nos casos em que há três variáveis, há oito linhas na tabela de verdade, na medi y, z) tomam os valores possíveis (V,V,V), (V,V,F), V,F,V), V,F,F), (F,V,V), (F,V,F), (F,F,V) e (F,F,F).

desde que x e y sejam ambos verdadeiros ou ambos falsos. Da mesma forma, “A ⇔ B” é verdadeira desde que em qualquer instância, A e B sejam ambos verdadeiros ou ambos falsos.

da em que (x,

Mais operações

As operações ∧, ∨ e ¬ foram criadas como uma réplica ao uso, pelos matemáticos, das palavras e, ou e não. Vamos agora introduzir mais duas operações, → e ↔, criadas para modelar, respectivamente, afirmações do tipo “Se A, então B” e “A se e somente se B”. A maneira mais fácil de defini-las é através da tabela de verdade.

A expressão x → y serve de modelo para uma afirmação do tipo “se-então”. Temos x → y x = VERDADEIRO, excepto quando = VERDADEIRO e y = FALSO. Da mesma forma, a afirmação “Se A, então B” é verdadeira, a menos que haja uma instância em que A é verdadeira, mas B é falsa. Na realidade, esta seta traz-nos à mente a seta de implicação ⇒.

Analogamente, a expressão x ↔ y modela a afirmação “A se e somente se B”. A expressão x ↔ y é verdadeira

23

x y x → y x y x ↔ y VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO

VERDADEIRO FALSO FALSO e VERDADEIRO FALSO FALSO

FALSO VERDADEIRO VERDADEIRO FALSO VERDADEIRO FALSO

FALSO FALSO VERDADEIRO FALSO FALSO VERDADEIRO

Proposição 5.3 As expressões x → y e (¬x) ∨ y são logicamente equivalentes.

Prova:

x x y x → y (¬x) ∨ y VERDADEIRO FALSO VERDADEIRO VERADEIRO VERADEIRO

VERDADEIRO FALSO FALSO FALSO FALSO

FALSO VERDADEIRO VERDADEIRO VARADEIRO VERADEIRO

FALSO VERADEIRO FALSO VARDADEIRO VERADEIRO

Como as duas últimas colunas são as mesmas em termos de resultado, essas expressões são logicamente equivalentes. C.q.d.

A Proposição 5.3 mostra como a operação → pode ser expressa apenas com ajuda das operações ∨ e ¬. Analogamente, a operação ↔ também pode ser expressa com ajuda das operações ∧, ∨ e ¬.

Recapitulando Nesta secção, apresentamos a álgebra de Boole como uma “aritmética” com os valores lógicos VERDADEIRO e FALSO. As operações básicas são ∧, ∨ e ¬. Duas expressões booleanas são logicamente equivalentes desde que sempre dêem os mesmos valores lógicos quando substituímos suas variáveis pelos mesmos valores. Podemos provar a equivalência lógica de expressões booleanas utilizando tabelas de verdade. Concluímos esta secção definindo as operações → e ↔.

EXERCÍCIOS

1. Faça os seguintes cálculos: a) VERDADEIRO ∧ VERDADEIRO ∧ VERDADEIRO ∧ VERDADEIRO ∧ FALSO. b) (¬VERDADEIRO) ∨ FALSO. c) ¬(VERDADEIRO ∨ VERDADEIRO) d) (VERDADEIRO ∨ VERDADEIRO) ∧ FALSO. e) VERDADEIRO ∨ (VERDADEIRO ∧ FALSO).

Note que nos quatro últimos exercícios a ordem em que efectuamos as operações tem importância! Compare as expressões (b)-(c) e (d)-(e) e observe que elas são as mesmas, excepto no que se refere à colocação dos parênteses. Repense na sua resposta a (a). Essa resposta depende da ordem em fazemos as operações?

24

2. Com o auxílio da tabela de verdade, prove as partes do Teorema 5.2.

3. Prove que (x ∧ y) ∨ (x ∧ ¬y) é logicamente equivalente a x.

4. Prove que x→y é logicamente equivalente a (¬y)→(¬x). Uma afirmação do tipo “se-então” é logicamente equivalente à sua contra positiva.

5. Prove que x↔y é logicamente equivalente a (¬y)↔(¬x).

6. Prove que x↔y é logicamente equivalente a (x→y)∧(y→x).

7. Prove que x↔y é logicamente equivalente a (x→y)∧((¬x)↔(¬y)).

8. Prove que (x∨y)→z é logicamente equivalente a (x→z)∧(y→z).

9. Suponha que tenhamos duas expressões booleanas que envolvem dez variáveis. Para provar que essas expressões são logicamente equivalentes, construíamos uma tabela de verdade. Quantas linhas (além da linha de cabeçalho) essa tabela teria? Uma afirmação do tipo “se-então” não é logicamente equivalente à sua recíproca.

10. Como se refutaria uma equivalência lógica? Mostre que: a) x→y não é logicamente equivalente a y→x. b) x→y não é logicamente equivalente a x↔y. c) x∨y não é logicamente equivalente a (x∧¬y) ∨((¬x)∧y).

11. Uma tautologia é uma expressão booleana que avalia sempre como VERDADEIRO, independentemente dos valores de suas variáveis. Por exemplo, a expressão x∨¬x é verdadeira tanto quando x = VERDADEIRO como quando x = FALSO. x∨¬x é, pois uma tautologia. Explique como se pode usar uma tabela de verdade para provar que uma expressão booleana é uma tautologia e prove que as seguintes expressões são tautologias. a) (x∨y)∨(x∨¬y). b) (x∧(x→y))→y. c) (¬(¬x))↔x. d) x→x. e) ((x→y)∧(y→z))→(x→z). f) FALSO → x.

12. Uma contradição é uma expressão booleana que avalia sempre como FALSO, independentemente dos valores de suas variáveis. Por exemplo, x∧¬x é uma contradição. Prove que as expressões seguintes são contradições: a) (x∨y)∧(x∨¬y)∧¬x. b) x∧(x→y)∧(¬y). c) (x→y)∧((¬x)→y)∧¬y.

13. Sejam A e B expressões booleanas, isto é, A e B são fórmulas que envolvem variáveis (x, y, z, etc.) e operações booleanas (∧, ∨, ¬, etc.). Prove que A é logicamente equivalente a B se e somente se A ↔ B é uma tautologia.

25

14. As expressões x→y podem ser reescritas apenas com ajudas das operações básicas ∧, ∨ e ¬, isto é, x→y = (¬x)∨y. Ache uma expressão logicamente equivalente a x↔y que utilize apenas as operações ∧, ∨ e ¬ e prove que ela é correcta.

15. Eis outra operação booleana chamada ou-exclusivo. Denota-se pelo símbolo ∨ e é definido pela seguinte tabela de verdade.

x y x∨y VERDADEIRO VERDADEIRO FALSO

VERDADEIRO FALSO VERDADEIRO

FALSO VERDADEIRO VERDADEIRO

FALSO FALSO FALSO

a) Prove que ∨ verifica as propriedades comutativa e associativa. b) Prove que x ∨ y é logicamente equivalente a(x∧¬y)∨((¬x)∧y). (Assim, ∨ pode

expressar-se com base nas operações básicas ∧, ∨ e ¬.) c) Prove que x ∨ y é logicamente equivalente a (x∨y)∧(¬(x∧y)). (Trata-se de outra

maneira de expressar ∨ com base nas operações básicas ∧, ∨ e ¬.) d) Explique porque a operação ∨ é chamada ou-exclusivo. Uma operação binária é uma operação que combina dois valores. A operação ¬ não é binária, porque actua sobre um valor de cada vez. Poderíamos chamá-la de unária.

16. Discutimos várias operações booleanas binárias ∧, ∨, →, ↔ e (no problema anterior) ∨. Quantas operações booleanas binárias diferentes pode haver? Por outras palavras, de quantas maneiras diferentes podemos completar a tabela seguinte?

x y x*y VERDADEIRO VERDADEIRO ?

VERDADEIRO FALSO ?

FALSO VERDADEIRO ?

FALSO FALSO ?

17. Vimos que as operações →, ↔ e ∨ reescritas com base nas operações básicas ∧, ∨ e ¬. Mostre que todas as operações booleanas binárias podem ser reescritas com base nas operações básicas.

18. Prove que x∨y pode expressar-se com base nas operações básicas ∧ e ¬, de forma que todas as operações binárias possam reduzir-se a apenas duas operações básicas.

19. Eis mais uma operação booleana chamada nand, denotada por ∧ . Definimos x ∧ y como ¬(x∧y). Faça o seguinte: a) Construa uma tabela de verdade para ∧ . b) A operação ∧ é comutativa? Associativa? c) Mostre que as operações x∧y e ¬x podem ser reescritas apenas com base em ∧ . d) Conclua que todas as operações booleanas binárias podem ser reescritas apenas

com base em ∧ .

26

2. Colecções Neste capítulo vamos abordar dois tipos de colecções: as ordenadas (listas) e as não

ordenadas (conjuntos).

2.6 Listas Uma lista é uma sequência ordenada de objectos. Escrevemos uma lista abrindo um

parêntesis, seguido pelos elementos da lista separados por vírgulas e fechando o parêntesis. Por exemplo, (1,2,Z) é uma lista cujo primeiro elemento é o número 1, cujo segundo elemento é o número 2 e cujo terceiro elemento é o conjunto dos inteiros.

A ordem em que os elementos figuram na lista é significativa. A lista (1, 2, 3) não é a mesma que a lista (3, 2, 1).

Uma lista pode conter elementos repetidos, como (3, 3, 3).

O número de elementos numa lista é chamado seu comprimento. Por exemplo, a lista (1, 1, 2, 1) tem comprimento quatro.

Uma lista de comprimento dois tem um nome especial: é chamada par ordenado. Uma lista de comprimento zero é chamada lista vazia e denotada por ( ).

O que significa duas listas serem iguais

Duas listas são iguais se têm o mesmo comprimento e se os elementos nas posições correspondentes nas duas listas são iguais. As listas (a, b, c) e (x, y, z) são iguais se e somente se a = x, b = y e c = z.

Linguagem matemática! Outra expressão que os matemáticos usam para listas é upla. Uma lista de n elementos é conhecida como uma n-upla (ênupla).

As listas estão presentes em todas a matemática e além dela. Um ponto no plano costuma ser especificado por um par ordenado de números reais (x,y). Um número natural, quando escrito em notação padrão é uma lista de algarismos; podemos encarar o número 172 como a lista (1, 7, 2). Uma palavra é uma lista de letras. Um identificador num programa de computador é uma lista de letras e algarismos (onde o primeiro elemento da lista é uma letra).

Contagem de listas de dois elementos Nesta secção vamos abordar questões do tipo: Quantas listas podemos formar?

Exemplo 6.1 Suponha que queiramos fazer uma lista de dois elementos, onde os valores da lista

podem ser quaisquer dos quatro algarismos 1, 2, 3 ou 4. Quantas listas são possíveis? A abordagem mais directa para responder a essa pergunta consiste em escrever todas as possibilidades, para se concluir que há 16 listas.

(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4)

(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4)

(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4)

(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4)

27

Organizamos as listas de modo a termos a certeza de que não repetimos nem omitimos nenhuma. A primeira linha da tabela contém todas as listas possíveis que começam com 1, a segunda linha as que começam com 2, e assim por diante. Assim, há 4 × 4 = 16 listas de comprimento dois, cujos elementos são quaisquer algarismos de 1 a 4.

Linguagem matemática! O uso matemático da palavra escolha pode parecer estranho. Se um restaurante tem um menu com apenas uma entrada, o matemático diria que esse menu oferece uma escolha. As demais pessoas diriam que o menu não oferece escolha! O uso matemático da palavra escolha é análogo ao da palavra opção.

Generalizemos um pouco mais esse exemplo. Suponhamos agora que queremos saber o número de listas de dois elementos onde há n escolhas possíveis para cada valor da lista. Podemos admitir que os elementos possíveis sejam os inteiros 1 a n. Como anteriormente, organizamos todas as listas possíveis numa tabela ou quadro.

(1, 1) (1, 2) . . . (1, n)

(2, 1) (2, 2) . . . (2, n)

M M O M

(4, 1) (4, 2) . . . (4, n)

A primeira linha contém todas as listas que começam com 1, a segunda linha, as que começam com 2 e assim por diante. Há n linhas ao todo. Cada linha tem exactamente n listas. Há, pois n × n = n2 listas possíveis.

Na formação duma lista, as opções para a segunda posição podem ser diferentes das opções para a primeira posição. Imagine uma refeição como uma lista de dois elementos, consistindo numa entrada e uma sobremesa. O número de entradas possível pode ser diferente do número de sobremesas.

Perguntemos então: Quantas listas de dois elementos são possíveis quando há n escolhas para o primeiro elemento e m escolhas para o segundo elemento? Suponha que os elementos possíveis na primeira posição da lista sejam os inteiros 1 a n e que os elementos possíveis na segunda posição sejam os inteiros 1 a m.

Construímos uma tabela de todas as possibilidades como anteriormente:

(1, 1) (1, 2) . . . (1, m)

(2, 1) (2, 2) . . . (2, m)

M M O M

(n, 1) (n, 2) . . . (n, m)

Há n linhas (para cada primeira escolha possível), e cada linha contém m valores. Assim, o número possível de tais listas é mnmmm

vezesn

×=+++ 44 344 21 L .

Às vezes, os elementos de uma lista verificam propriedades especiais. Em particular, a escolha do segundo elemento pode depender de qual é o primeiro elemento. Suponha, por exemplo, que queremos contar o número de listas diferentes de dois elementos que podemos formar com os inteiros 1 a 5, em que os dois números da lista devem ser

28

diferentes. Por hipótese, contaremos (3, 2) e (2, 5), mas não (4, 4). Construímos uma tabela de todas as listas possíveis.

- (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)

(2,1) - (2,3) (2,4) (2,5)

(3,1) (3,2) - (3,4) (3,5)

(4,1) (4,2) (4,3) - (4,5)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) -

Como anteriormente, a primeira linha contém todas as listas possíveis que começam com 1, a segunda linha contém as listas que começam com 2, e assim por diante. Há, pois, cinco linhas. Note que cada linha contém exactamente 5 – 1 = 4 listas. Assim, o número de listas é 5 × 4 = 20.

Resumamos e generalizemos num princípio geral o que aprendemos.

Teorema 6.2 (Princípio da Multiplicação) Consideremos listas de dois elementos em que há n escolhas para o primeiro elemento

e, para cada uma dessas escolhas, há m escolhas do segundo elemento. Então, o número de tais listas é nm.

Prova: Consideremos uma tabela de todas as listas possíveis. Cada linha dessa tabela contém todas as listas de dois elementos que começam com determinado elemento. Como há n escolhas para o primeiro elemento, há n linhas na tabela. Como para cada escolha do primeiro elemento, há m escolhas para o segundo elemento, sabemos que cada linha da tabela tem m valores. Assim, o número de listas é mnmmm

vezesn

×=+++ 44 3421 L .

alguns exemplos.

4

Consideremos

Exemplo 6.3 As iniciais de uma pessoa constituem uma lista formada pelas iniciais de seu primeiro

e seu último nome. Por exemplo, as iniciais do autor são ES. De quantas maneiras podemos dispor as iniciais do nome de uma pessoa? De quantas maneiras podemos dispor essas iniciais de maneira que as letras sejam diferentes?

A primeira questão pede o número de listas de dois elementos onde há 26 escolhas para cada elemento. Há 262 listas.

A segunda questão pede o número de listas de dois elementos onde há 26 escolhas para o primeiro elemento e, para cada uma das escolhas, 25 escolhas do segundo elemento. Há, p

26 possibilidades. Como 26 ×

porque retêm a essência do raciocínio usado na sua dedução. Além disso, a conversão de

ois, 26 × 25 de tais listas.

Outra maneira de responder à segunda questão no Exemplo 6.3 é a seguinte: Há 262 maneiras de compor as iniciais em que há uma repetição, a saber AA, BB, CC, ..., ZZ. As listas restantes são as que desejamos contar, havendo, assim, 262 –

25 = 26 × (26 – 1) = 262 – 26, as duas respostas concordam.

Note que escrevemos as respostas a essa questão como 262 e 26 × 25, e não como 676 e 650. embora as duas respostas sejam correctas, as respostas 262 e 26 × 25 são preferíveis,

29

262 e 26 × 25 para 676 e 650 não tem interesse e pode ser feita facilmente por qualquer pessoa com uma calculadora.

Exemplo 6.4 Um clube tem 10 membros que desejam eleger um presidente e um vice-presidente.

De quantas maneiras é possível preencher os dois postos? Reformulamos essa questão como um problema de contagem de lista. Quantas listas

de duas pessoas podemos formar, onde as duas pessoas são escolhidas de uma colecção de dez candidatos, não podendo a mesma pessoa ser escolhida duas vezes? Há dez escolhas para o primeiro elemento da lista. Para cada escolha do primeiro elemento (para cada presidente), há nove escolhas possíveis para o segundo elemento da lista (o vice-presidente). Pelo princípio da multiplicação, há 10 × 9 possibilidades.

Listas mais longas Vejamos como usar o princípio da multiplicação para contar listas mais longas.

Consideremos o problema seguinte. Quantas listas de três elementos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5? Escrevamos todas as possibilidades. Eis uma forma de organizar nosso trabalho:

(1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 1, 3) (1, 1, 4) (1, 1, 5)

(1, 2, 1) (1, 2, 2) (1, 2, 3) (1, 2, 4) (1, 2, 5)

(1, 3, 1) (1, 3, 2) (1, 3, 3) (1, 3, 4) (1, 3, 5)

(1, 4, 1) (1, 4, 2) (1, 4, 3) (1, 4, 4) (1, 4, 5)

(1, 5, 1) (1, 5, 2) (1, 5, 3) (1, 5, 4) (1, 5, 5)

(2, 1, 1) (2, 1, 2) (2, 1, 3) (2, 1, 4) (2, 1, 5)

(2, 2, 1) (2, 2, 2) (2, 2, 3) (2, 2, 4) (2, 2, 5)

M M M M M

(5, 5, 1) (5, 5, 2) (5, 5, 3) (5, 5, 4) (5, 5, 5)

A primeira linha dessa tabela contém todas as listas que começam por (1, 1, ...). A segunda linha consta de todas as listas que começam por (1, 2, ...), e assim por diante. Obviamente, cada linha tem cinco listas. A questão se torna: Quantas linha há nesta tabela?

Trata-se de um problema que já resolvemos! Note que cada linha da tabela começa, efectivamente, com uma lista diferente de dois elementos; o número de listas de dois elementos, onde cada elemento é um dos cinco valores possíveis, é 5 × 5, de modo que essa tabela tem 5 × 5 linhas. Portanto, como cada linha da tabela tem cinco elementos, o número de listas de três elementos é (5 × 5) × 5 = 53.

Sejam as listas A e B. Sua concatenação é a nova lista formada listando primeiro os elementos de A, seguidos pelos elementos de B. A concatenação das listas (1, 2, 1) e (1, 3, 5) é (1, 2, 1, 1, 3, 5).

Podemos encarar uma lista de três elementos como uma concatenação de uma lista de dois elementos e uma lista de um elemento. Nesse problema, há 25 listas de dois elementos

30

possíveis para ocuparem a posição dianteira da lista de três elementos e, para cada escolha da parte dianteira, há cinco escolhas da parte traseira.

Em seguida, contemos listas de três elementos, cujos elementos são inteiros de 1 a 5, sem repetição. Como anteriormente, fazemos uma tabela:

(1, 2, 3) (1, 2, 4) (1, 2, 5) (1, 3, 2) (1, 3, 4) (1, 3, 5) (1, 4, 2) (1, 4, 3) (1, 4, 5) (1, 5, 2) (1, 5, 3) (1, 5, 4) (2, 1, 3) (2, 1, 4) (2, 1, 5)

M M M (5, 4, 1) (5, 4, 2) (5, 4, 3)

A primeira linha da tabela contém todas as listas que começam com (1, 2, ...). (Naturalmente, não pode haver linhas que comecem com (1, 1, ...), porque não se permitem repetições.) A segunda linha contém todas as listas que começam com (1, 3, ...), e assim por diante. Cada linha da tabela contém apenas três linhas; uma vez escolhidos o primeiro e o segundo elementos da lista (de um universo de apenas cinco escolhas), há exactamente três maneiras de terminar a lista. Assim, como anteriormente, a questão se torna: Quantas linhas há nessa tabela? E, como antes, esse é um problema que já resolvemos!

Os dois primeiros elementos da lista formam, por eles mesmos, uma lista de dois elementos com cada elemento escolhido de uma lista de cinco objectos possíveis, sem repetição. Assim, pela regra da multiplicação, há 5 × 4 linhas na tabela. Como cada linha tem três elementos, há, ao todo, um total de 5 × 4 × 3 listas possíveis.

Essas listas de três elementos são uma concatenação de uma lista de dois elementos (20 escolhas) e, para cada lista de dois elementos, uma lista de um elemento (3 escolhas), o que dá um total de 20 × 3 listas.

Vamos aplicar o princípio da multiplicação a listas mais longas. Consideremos uma lista de comprimento três. Suponha que tenhamos a escolhas para o primeiro elemento da lista, e para cada escolha do primeiro elemento haja b escolhas para o segundo elemento, e c escolhas para o terceiro elemento. Assim, ao todo, há abc listas possíveis. Para ver porquê, imaginemos que a lista de três elementos consista em duas partes: Os dois elementos iniciais e o elemento final. Há ab maneiras de escolher os dois primeiros elementos (pelo princípio da multiplicação!) e c maneiras de completar o último elemento, uma vez especificados os dois primeiros. Assim, novamente pelo princípio da multiplicação, há (ab)c maneiras de completar as listas. A extensão dessas ideias a listas de comprimento quatro ou mais é análoga.

Uma forma útil de abordar problemas de contagem de listas consiste em fazer um diagrama com caixas. Cada caixa representa uma posição na lista, de modo que, se o comprimento da lista é quatro, deve haver quatro caixas na lista. Escrevemos o número de valores possíveis em cada caixa. Calcula-se o número de listas possíveis multiplicando entre si esses números.

31

Exemplo 6.5 Voltemos ao Exemplo 6.4. Temos um clube com dez membros e desejamos eleger

uma directoria composta de um presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. De quantas maneiras podemos fazer essa escolha (admitindo que nenhum membro do clube possa preencher dois cargos)? Tracemos o diagrama a seguir:

Presidente Vice-presidente Secretário Tesoureiro

10 9 8 7

Isso nos mostra que há dez escolhas para presidente. Escolhido este, há nove escolhas para o vice-presidente, havendo, pois, 10 × 9 maneiras de preencher os dois primeiros postos. Preenchidos estes, há oito maneiras de preencher o posto seguinte (secretário), havendo (10 × 9) × 8 maneiras de preencher os três primeiros postos. Finalmente, preenchidos os três postos, há sete maneiras de escolher o tesoureiro; há, pois (10 × 9 × 8) × 7 maneiras de seleccionar a chapa de dirigentes.

Há dois problemas particulares que ocorrem com frequência na elaboração de listas e que merecem atenção especial. Ambos os problemas envolvem a elaboração de uma lista de comprimento k, em que cada elemento da lista é seleccionado entre n possibilidades. No primeiro problema, contamos com todas essas listas; no segundo problema, contamos as listas sem elementos repetidos.

Número de listas de comprimento k em que há n valores possíveis em cada posição da lista, admitindo-se repetições.

Quando se admitem repetições, temos n escolhas para o primeiro elemento da lista, n escolhas para o segundo elemento da lista, assim por diante, até n escolhas para o último elemento da lista. Ao todo, há

k

vezesk

nnnn =××× 43421 L (1)

listas possíveis. As listas sem repetições por vezes são chamadas permutações. Neste livro, entretanto, a palavra permutação tem outro significado, descrito mais adiante: o número de listas de comprimento k, onde os elementos são escolhidos num universo de n possibilidades, sem que haja elementos iguais.

Suponhamos agora que preenchamos a lista de comprimento k com n valores possíveis, não se admitindo, agora, repetições. Há n maneiras seleccionar o primeiro elemento da lista. Feito isso, há n – 1 escolhas para o segundo elemento da lista, n – 2 maneiras de preencher a terceira posição, etc., e, finalmente n – (k – 1) = n – k + 1 maneiras de preencher a posição k. Portanto, o número de maneiras de compor uma lista de comprimento k onde os elementos são escolhidos de um universo de n possibilidades, não se admitindo elementos iguais na lista, é

[ ])11 ()2()( −−××−×− nnnn L (2) × k

Embora esta fórmula esteja correcta, há uma ligeira falha no nosso raciocínio! Quantas listas de comprimento seis podemos formar, onde cada elemento da lista é um dos algarismos 1, 2, 3 ou 4 e a repetição não é permitida? A resposta óbvia é zero; não podemos formar uma lista de comprimento seis utilizando apenas quatro elementos sem repetir nenhum deles! Que nos diz a fórmula? A equação (2) afirma que o número dessas listas é

32

4 × 3 × 2 × 1 × 0 × (-1)

que é igual a 0. Entretanto, o raciocínio na base da fórmula falha. Enquanto é verdade que há 4, 3, 2, 1 e 0 escolhas para as posições um a cinco, não faz sentido dizermos que há -1 escolhas para a última posição! A fórmula (2) dá a resposta correcta, mas o raciocínio para chegarmos a ela precisa ser revisto.

Neste parágrafo utilizamos o exercício 3.12: Se a, b ∈ Z, então a < b ⇔ a ≤ b – 1.

Se o número de elementos entre os quais escolhemos os nossos valores da lista, n, é inferior ao comprimento da lista k, não é possível construirmos uma lista sem repetições. Mas como n < k, sabemos que n – k < 0 e, assim, n – k + 1 < 1. Como n – k + 1 é inteiro, sabemos que n – k + 1 ≤ 0. Portanto, no produto )1()2()1( +−××−×−× knnnn L , sabemos que ao menos um dos factores é zero. Assim, toda a expressão é igual a zero, que é o que queríamos!

Em contrapartida, se n ≥ k, o nosso raciocínio tem todo sentido (todos os números são positivos e a fórmula (2) dá a resposta correcta.

Como a expressão )1()2()1( +−××−×− knnnn L ocorre com frequência, há uma notação

× especial para ela, a saber:

( ) )1()2()1( +−××−×−×= knnnnn k L

A notação especial para )1()2()( 1 +−××−×−nn× knn L é ( )kn . Outras ot n ações, ainda em uso são

nossos resultados sobre listas com ou sem repetição, utilizando concisamente essa notação.

nPk, knA .

A notação ( )kn é também chamada factorial incompleto. Resumimos

Teorema 6.6 O número de listas de comprimento k, cujos elementos são escolhidos de um conjunto

de n elementos possíveis, é

( )⎩⎨⎧

=repetiçõespermitamsenãocason

repetiçõespermitamsecason

k

k

Não é recomendável memorizar esse resultado, porque é muito fácil fazer-se confusão ados de n e k. Ao contrário, o leitor deve rededuzi-lo na sua mente sempre É só imaginar as k caixas desenhadas diante de si, colocar os números

ão, abordamos a contagem de listas de objectos. O instrumento central é o princípio da multiplicação. Estabeleceu-se uma fórmula geral para a contagem de listas de omprimento k de elementos seleccionados de um universo de n elementos, com ou sem

repetição.

entre os significque necessário. apropriados nas caixas e multiplicar.

Recapitulando Nesta secç

c

33

EX CÍ1. 0s e 1s. Quantas sequências de bits de

2.

Canadá, tem o código YYY. Quantos códigos diferentes são

3.

iferentes dos mesmos controlos, e não o número de diferentes efeitos de

4.

b) ras o CD player pode ser carregado se eu coloco apenas um

5. iras o leitor pode usar seus

6.

ou na mesma

7. maiúsculas (A-Z) e os últimos três

b) ula são possíveis, se nenhum elemento pode ser

8. ismo não pode ser nem 0, nem 1. Quantos

9. os é composto de ) ser 0.

possíveis?

ER CIOS Uma sequência de bits é uma lista decomprimento k podem ser construídas?

Os aeroportos, embora tendo nomes, têm também códigos de três letras. Por exemplo, o aeroporto que serve Baltimore é BWI e o aeroporto em Mont Joli, Quebec, nopossíveis?

O sistema de ventilação de um carro tem vários controlos. O controlo do ventilador tem quatro posições: desligado, baixo, médio e alto. A corrente de ar pode ser ajustada de modo a provir do chão, das aberturas ou do degelador. O botão de condicionador de ar pode estar ligado ou desligado. O controlo da temperatura tem as posições frio, fresco ou quente. E, finalmente, o botão de recirculação pode estar ligado ou desligado. De quantas maneiras possíveis podemos fixar esses vários controlos? (Nota: Várias dessas configurações têm o mesmo efeito, pois nada acontece se o controlo do ventilador está desligado. Todavia, o problema pede o número de posições dventilação possível.)

Meu compact disc player tem espaço para 5 CDs; há cinco bandejas numeradas de 1 a 5 em que coloco os CDs. Possuo 100 CDs. a) De quantas maneiras o CD player pode ser carregado, se todas as bandejas são

ocupadas por CDs? De quantas maneiCD na máquina?

Um leitor tem três anéis diferentes, e usa todos eles, mas não mais de um anel em cada dedo, e nenhum nos polegares. De quantas maneanéis? (Admita que cada anel se ajuste em qualquer dedo.)

De quantas maneiras podem uma torre preta e uma torre branca ser colocadas num tabuleiro de xadrez, de maneira que nenhuma esteja em posição de ataque à outra? (Por outras palavras, elas não podem estar ambas na mesma linhacoluna do tabuleiro. O tabuleiro padrão de xadrez tem 8 × 8 casas.)

As placas de matrícula de carros em certo estado dos Estados Unidos consistem em seis elementos: Os três primeiros são letras

algarismos (0-9). a) Quantas placas de matrícula são possíveis?

Quantas placas de matrícrepetido na mesma placa?

Um número de telefone (nos Estados Unidos e no Canadá) é composto de 10 algarismos, onde o primeiro algarnúmeros de telefone são possíveis?

dos UnidUm número de inscrição no Seguro Social dos Estao(s) algarismo(s) pode(mnove algarismos. O(s) primeir

a) Quantos números de Seguro Social sãob) Quantos deles são pares?

34

c) Quantos têm todos algarismos pares? Quantos são capicuas (que d) podem dar o mesmo quando lidos da frente para

l a 8? ismo igual a 8?

g) Qu

10.

e o primeiro tem um elemento inadequado

11.

os, nem 43356 por ter dois 3 consecutivos. (Nota: o

12.

o, por ter 4 repetido, nem 3-0-9-5 é ntes.

13. De quantas maneiras diferentes esses livros

14. os (nem dois rapazes

15.

– 3 de ouros – A de espadas, mesmo que as mesmas cartas sejam seleccionadas.)

trás ou de trás para frente)? e) Quantos não têm nenhum dos seus algarismos iguaf) Quantos têm pelo menos um algar

antos têm exactamente um 8? A palavra caractere (elemento) significa uma letra ou um algarismo.

Um sistema de computados permite atribuir nomes aos arquivos utilizando qualquer combinação de maiúsculas (A-Z) e de algarismos (0-9), mas o nome do arquivo deve ter no máximo de oito caracteres e pelo menos um caractere. Por exemplo, X23, W, 4AA e ABCD1234 são nomes de arquivo válidos, mas W-23 e WONDERFUL não são válidos, porque o segundo é demasiadamente longo. Quantos nomes de arquivo são possíveis nesse sistema?

Quantos números de cinco algarismos existem que não têm dois algarismos consecutivos iguais? Por exemplo, podemos considerar 12104 e 12397, mas não 6321 por não ter cinco algarismprimeiro algarismo não pode ser 0)

Um cadeado tem os algarismos 0 a 9 dispostos em círculo na sua face. Uma combinação para esse cadeado tem comprimento de quatro algarismos. Em virtude de sua mecânica interna, dois algarismos consecutivos não podem ser iguais, nem ser adjacentes na face do cadeado. Por exemplo, 0-2-7-1 é uma combinação válida, mas nem 0-4-4-7 é válidválido, por ter os algarismos 0-9 adjaceQuantas combinações são possíveis?

Uma prateleira contém 20 livros. podem ser dispostos na prateleira?

Uma turma tem 10 rapazes e 10 meninas. De quantas maneiras diferentes eles podem permanecer em fila, se os sexos devem ser alternadpodem ficar juntos nem duas meninas podem ficar juntas)?

Extraem-se quatro cartas de um baralho padrão de 52 cartas. De quantas maneiras isso pode ser feito se as cartas extraídas são todas diferentes (por exemplo, não dois 5s, nem dois valetes) e todas são de naipes diferentes? (Para este problema, a ordem de extracção das cartas tem importância: a extracção de A de espadas – K de copas – 3 de ouros – 6 de paus não é a mesma que 6 de paus – K de copas

35

2.7 Factorial Na secção anterior contamos listas de elementos de vários comprimentos, em que as

repetições de elementos eram permitidas ou proibidas. Um caso especial deste problema é a contagem do número de listas de comprimento n de elementos extraídos de um universo de n objectos, em que não se permitem repetições. Por outras palavras, desejamos dispor n objectos numa lista usando cada objecto exactamente uma vez. Pelo Teorema 6.6, o número de tais listas é

( ) 1)2()1()1()2()1( ××−×−×=+−××−×−×= LL nnnnnnnnn n

A expressão ( )nn ocorre com frequência em matemática e tem um nome e um símbolo especial; é chamado factorial de n e se simboliza n!. Por exemplo, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Merecem atenção dois casos especiais da função factorial.

Consideremos, em primeiro lugar, 1!. É a multiplicação de todos os inteiros a partir de 1 até 1. A resposta é 1. Se isso não é bastante claro, voltemos à aplicação da contagem de listas. De quantas maneiras podemos fazer uma lista de comprimento 1, em que há apenas um elemento possível para preencher a primeira (e única!) posição? Obviamente, há apenas uma lista possível. Assim, 1! = 1.

Outro caso especial é 0!.

Muita Confusão em Torno de 0! 0! É 1. A reacção típica dos estudantes a essa afirmação varia de “Não faz sentido!” a

“Está errado!”. Parece haver uma tendência irresistível de calcular 0! Como 0.

Em virtude dessa confusão, devo ao leitor uma explicação clara e sem ambiguidade, da razão porque 0! = 1. Ei-la: porque eu disse!

Mas não se trata de resposta plenamente satisfatória e, mais adiante procurarei fazer um trabalho melhor. Mas o simples facto é que os matemáticos definiram 0! Como 1 e estamos todos de acordo nesse ponto. Assim como declaramos (por meio da nossa definição) que o número 1 não é primo, podemos também definir 0! = 1. A matemática é uma invenção humana, e, desde que mantenhamos a consistência, podemos ajustar as coisas em grande parte ao nosso gosto.

Assim, recai sobre os meus ombros o ónus de explicar porque é uma boa ideia fazer 0! = 1, mas não igual a 0, a 17 ou a qualquer outro valor.

Para começar, repensemos o problema da contagem de uma lista. O número 0! deve ser a resposta ao problema seguinte:

De quantas maneiras podemos formar uma lista de comprimento 0, cujos elementos provêm de um universo (vazio) de 0 elementos, sem repetição?

É tentador responder que tal lista é impossível, mas isso não é exacto. Há uma lista cujo comprimento é zero: é a lista vazia ( ). A lista vazia tem comprimento zero, e (por vacuidade) seus elementos satisfazem as condições do problema. Assim, a resposta do problema é 0! = 1.

36

Eis outra explicação porque 0! = 1. Consideremos a equação seguinte:

)!1(! −×= nnn (3)

Por exemplo, 5! = 5 × (4 × 3 × 2 × 1) = 5 × 4!. A equação (3) tem sentido para n = 2, pois 2! = 2 × 1! = 2 × 1. A questão se torna: a Equação (3) tem sentido para n = 1? Se queremos que ela também seja válida quando n = 1, devemos ter 1! = 1 × 0!, o que nos força a escolher 0! = 1.

Eis ainda outra explicação do motivo porque 0! = 1. Podemos cogitar sobre n! como o resultado da multiplicação de n números uns pelos outros. Por exemplo, 5! é o resultado da multiplicação dos números da lista (5, 4, 3, 2, 1). O que significaria multiplicar números de uma lista vazia ( )? Procurarei convencer o leitor de que a resposta sensata é 1. Comecemos por considerar o que significa somar os números de uma lista vazia.

Alice e Bob devem somar os números da lista (2, 3, 3, 5, 4). A resposta deve ser 17.

Alice e Bob trabalham numa fábrica de números e recebem uma lista de números para somar. Ambos são hábeis em somar e, assim, decidem separar a lista em duas partes; Alice soma todos os seus números, Bob faz o mesmo e, no fim, eles somarão os resultados obtendo a resposta final. Trata-se de um processo sensato e pedem a Charlie que divida a lista em duas partes.

Charlie dá a Alice a lista (2, 3, 3, 5, 4) e a Bob a lista ( ). Alice soma seus números, obtendo 17. Que diria Bob?

Charlie, maliciosamente, decide dar a Alice todos os números e a Bob nenhum. Alice recebe a lista completa e Bob a lista vazia. Alice soma seus números na forma usual, mas o que Bob vai reportar como soma dos números de sua lista? Se Bob desse der qualquer resposta diferente de 0, a resposta final do problema será incorrecta. A única coisa sensata que Bob pode dizer é que sua lista – a lista vazia – tem soma 0.

A soma dos números na lista vazia é 0. Alice e Bob devem multiplicar os números da lista (2, 3, 3, 5, 4). A resposta deve ser 360.

Agora, Alice e Bob receberam uma promoção e estão a trabalhar na multiplicação. Seu processo de multiplicação é o mesmo que de adição. Pede-se-lhes que multipliquem listas de números. Ao receberem uma lista, pedem a Charlie que divida a lista em duas partes. Alice multiplica os números de sua lista e Bob faz o mesmo com a sua. Então multiplicam os dois resultados individuais para obter a resposta final.

Charlie dá a Alice a lista ( ) e a Bob a lista (2, 3, 3, 5, 4). Bob multiplica seus números e obtém 360. Que dirá Alice?

Mas Charlie resolve divertir-se um pouco e dá todos os números a Bob; a Alice ele dá a lista vazia. Bob reposta o produto de seus números da maneira usual. Que dirá Alice? Qual é o produto dos números em ( )? Se ela diz 0, então quando sua resposta for multiplicada pela de Bob, o resultado final será 0 e isso provavelmente é uma resposta errada. Na verdade, a única reposta razoável que Alice pode dar é 1.

O produto dos números da lista vazia é 1. Como 0! “pede” que multipliquemos uma lista que não contém números, a resposta aceitável é 1.

Esse raciocínio é análogo ao que nos faz definir 20 = 1.

37

A razão final porque definimos 0! = 1 é que, à medida que prosseguimos, outras fórmulas funcionam melhor com 0! = 1. Se não fizéssemos 0! = 1, nesses outros resultados, 0 teria que ser tratado como um caso especial, diferente dos outros números naturais.

Notação de Produto

Eis outra maneira de escrever n!: . ∏=

=n

k

kn1

!

O que significa isso? O símbolo ∏ é a forma maiúscula da letra pi (π) e simboliza produto (isto é, multiplicação). Essa notação é muito semelhante ao ∑ usado para o somatório.

A letra k é chamada variável muda; serve para preencher lugar e varia desde o valor mais baixo (escrito abaixo do símbolo ∏) até o valor superior (escrito acima daquele símbolo). A variável k toma os valores 1, 2, ..., n.

À direita do símbolo ∏ estão os valores que multiplicamos. Nesse caso é simples: apenas multiplicamos os valores de k quando k varia de 1 a n; isto é, multiplicamos

1 × 2 × . . . × n.

A expressão à direita do símbolo ∏ pode ser mais complexa. Por exemplo, consideremos o produto

∏ +5

=

)32( k .

fica que multipliquemos os valores (2k + 3) para k = 1, 2, 3, 4, 5. Por outras palavras,

××××=+∏

1k

Isso especi

1311975)32(5

1=

k .

reita do símbolo ∏ pode ser mais simples. Por exemplo, consideremos o produto

k

A expressão à di

∏n

=

2

é uma forma sofisticada de escrevermos 2n.

Consideremos a seguinte representação 0!:

k 1

∏=

Isso significa que k começa em 1 e vai até 0. Como não há valores possíveis de k com ≤ k ≤ 0, não existem termos a serem multiplicados. Por conseguinte, o produto é vazio e tribuímos-lhe o valor 1.

0

1k

k .

1a

38

Recapitulando Nesta secção, introduzimos o factorial, discutimos porque 0! = 1 e apresentamos a notação

EXE1.

b) os dispô-los numa estante, se os livros

2. ifica somar (e

3.

de produto.

RCÍCIOS Há seis livros em francês, oito em russo e cinco em espanhol, todos diferentes. a) De quantas maneiras diferentes podemos dispô-los numa estante?

De quantas maneiras diferentes podemda mesma língua devem ficar juntos?

Formule uma discussão do tipo Alice-Bob sobre o que signmultiplicar) uma lista de números que contém apenas um número.

Considere a fórmula ( ))!(

!n

nn k = . Esta fórmula é quase sempre correcta. Para

que valores de n e k isso ocorre?k− Prove que fórmula é correcta sob uma hipótese

os um teorema da adequada; isto é, este problema pede que formulemos e provemforma “Se (condições sobre n e k), então ( ) )!/(! knnn k −= ”.

4. Calcule !98!100 sem calcular directamente 100! nem 98!.

Ordene (em ordem crescente) os inteiros seguintes: 25.

6.

100, 1002, 100100, 100!, 1010

Stirling provou a seguinte fórmula de aproximação de n!: nn ennn −≈ π2! onde π = 3,14159... e e = 2,71828... (As calculadoras científicas têm uma tecla que

chamada expx.) Calcule n! E a correspondente calcula ex; essa tecla pode seraproxim pana nação de Stirling = 10, 20, 30, 40, 50. Qual é o erro relativo dessas aproximações?

7. Calcule os produtos seguintes:

a) . b)∏=

+4

1

)12(k

k ∏=

+n

kk

k

1

1 , onde n é um inteiro positivo.

c) ∏4

k . d) ∏n

k1 , onde n é um inteiro positivo.

−= 3k =

11. . Calcule

k 1

8. Quando 100! É escrito por extenso, é igual a 9332621...000000. Sem usar um computador, determine o número de algarismos 0, no fim desse número.

9. Prove que todos os números seguintes são compostos: 1000! + 2, 1000! + 3, 1000! + 4, ..., 1000! + 1002. O objectivo deste problema é apresentar uma longa lista de números consecutivos, todos compostos.

10. O factorial pode ser estendido aos inteiros negativos? Com base na Equação (3), que valor se atribuiria a (-1)!?

Este problema destina-se apenas aos que estudaram cálculo ∫ −

0

dxex xn∞

= 0 é o mais fácil. Calcule o integral para para n = 0, 1, 2, 3, 4. Nota: O caso n

39

valores ordenados de n (primeiro 1, em seguida 2, etc.) e utilize o método de integração por partes. Qual é o valor desse integral para um número natural arbitrário n? Extra para os mais avançados. Calcule o integral para n = ½.

2.8 Conjuntos I: Introdução, Subconjuntos Um conjunto é uma colecção de objectos, sem repetição e não ordenada. Determinado

objec

or exem

m elemento. Tudo

números naturais) e o conjunto Q (dos racionais).

as 5 ∈ 2, 3, ½

embro de”, “é elemento de”, “está em”, ou “pertexactam

mais prosaicam

finito se sua cardinalidade é um inteiro (isto é, finita). Em caso

O conjunto vazio é o conjunto desprovido de elementos. O conjunto vazio pode ser denot usual utilizar-se o símbolo especial ∅. A afirmação “x ∈ ∅” é falsa,

to é, ou não é elemento de um conjunto – um objecto não pode figurar num conjunto “mais de uma vez”. Não há ordem para os elementos de um conjunto. A maneira mais simples de especificar um conjunto consiste em listar seus elementos entre chavetas. P

plo, 2, 3, ½ é um conjunto com exactamente três elementos, ou membros: os inteiros 2 e 3 e o racional ½. Nenhum outro objecto está no conjunto. Todos os conjuntos a seguir são o mesmo conjunto: 2, 3, ½, 3, ½, 2, 2, 2, 3, ½.

Não interessa a ordem em que listamos os elementos, nem se repetimos u o que importa é: quais objectos são elementos do conjunto e quais não o são. Nesse

exemplo, exactamente três objectos são elementos do conjunto; nenhum outro objecto é.

Anteriormente, introduzimos três conjuntos especiais de números: o conjunto Z (dos inteiros), o conjunto N (dos

Um objecto pertencente a um conjunto é chamado elemento do conjunto.

A pertença a um conjunto é denotada pelo símbolo ∈. A notação x ∈ A significa que o objecto x é elemento do conjunto A. Por exemplo, 2 ∈ 2, 3, ½ é verdadeiro, m

é falso. Nesta situação, podemos escrever 5 ∉ 2, 3, ½; a notação x ∉ A significa que x não é elemento de A.

Lido em voz alta, ∈ pronuncia-se “é mence a”. Os matemáticos costumam escrever “Se x ∈ Z, então ...”. Isso significa

ente o mesmo que “Se x é um inteiro, então ...”.

Todavia, o símbolo ∈ pode também representar “ser um elemento de” ou “ estar em”. Por exemplo, se escrevermos “Seja x ∈ Z”, queremos dizer “seja x um elemento de Z”, ou,

ente, “Seja x um inteiro”. As barras do valor absoluto em torno de um conjunto representam a cardinalidade ou tamanho do conjunto (isto é, o número de elementos do conjunto).

O número de elementos de um conjunto A denota-se por | A |. A cardinalidade de A nada mais é do que o número de objectos no conjunto. A cardinalidade de 2, 3, ½ é 3. A cardinalidade de Z é infinita. Dizemos também que | A | é o tamanho do conjunto A.

Diz-se que um conjunto é contrário, dizemos que o conjunto é infinito.

ado por , mas é mais qualquer que seja o objecto que x possa representar. A cardinalidade do conjunto

vazio é zero (isto é, | ∅ | = 0).

40

É importante notar que o sím que a letra grega phi: φ ou Φ.

Notação de conjunto.

Consideremos, por exe

Este é o conjunto de todos os objectos x que satisfazem a duas condições: (1) x ∈ Z (isto é, x deve ser inteiro) e (2) x ≥ 0 (i egativo). Por outras palavras, esse

or 2 (isto é, o conjunto dos inteiros pares).

er um conjunto estabelecendo um padrão para os seus elementos e utilizando pontos (...) para indicar que o padrão continua. Por exemplo, poder

se pretende? Temos de supor que se trata do conjunto dos inteiros ímpares minteir e somente quando não houv

exact ara provar que dois conjuntos A e B são iguais, mostramos que todo o elemento de A é também de B e vice-versa.

bolo ∅ não é a mesma coisa

Há duas maneiras principais de especificarmos um conjunto. A maneira mais directa consiste em listar, entre chavetas, os elementos do conjunto, como em 2, 3, ½. Essa notação é apropriada para pequenos conjuntos. Mais frequentemente, utiliza-se a notação de conjunto, cuja forma é

variável muda : condições.

mplo,

x : x ∈ Z, x ≥ 0.

sto é, x é não nconjunto é N, dos números naturais.

Uma forma alternativa de escrever a notação de conjunto é:

variável muda ∈ conjunto: condições.

Este é o conjunto de todos os objectos extraídos do conjunto mencionado e sujeitos às condições especificadas. Por exemplo,

x ∈ Z : 2 | x

é o conjunto de todos os inteiros divisíveis p

Pode-se cogitar em escrev

íamos representar o conjunto dos inteiros de 1 a 100, inclusive, como 1, 2, 3, ..., 100. Neste caso a notação é clara, mas seria mais prático escrevermos x ∈ Z : 1 ≤ x ≤ 100. Eis outro exemplo, não tão claro: 3, 5, 7, .... Que é que

aiores do que 1 ou do conjunto de os primos não pares. Use a notação “...” com parcimóniaer qualquer possibilidade de confusão.

Relações entre Conjuntos O que significa dois conjuntos serem iguais? Significa que os dois conjuntos têmamente os mesmos elementos. P

Esquema de Prova 5 Provar que dois conjuntos são iguais. Sejam A e B os conjuntos. Para provar que A = B, temos o seguinte gabarito: • Suponhamos que x ∈ A ... Portanto, x ∈ B. • Suponhamos que x ∈ B ... Portanto, x ∈ A. Portanto A = B. C.q.d

A seguir definimos subconjunto.

41

Definição 8.1 (Subconjunto) Sejam os conjuntos A e B. Dizemos que A é subconjunto de B, se todo o elemento de

A também é elemento de B. A notação A ⊆ B significa que A é subconjunto de B.

⊂ e = subco

ão saiu completamente da mo

lemento de B.

e x. O símbolo x se refere a um o ro ou o que quer que seja), e a notação x significa o conjunto cujo único rever x = x o ; cf. Exercício 8.9.)

Por exemplo, 1, 2, 3 é subconjunto de 1, 2, 3, 4. Para qualquer conjunto A, temos A ⊆ A porque todo elemento de A está (obviamente) em A.

Além disso, para qualquer conjunto A, temos ∅ ⊆ A. Isso porque todo elemento de ∅ está em A – como não há elementos em ∅, não há elementos de ∅ que não estejam em A. Este é um exemplo de afirmação vazia, porém útil.

O símbolo ⊂ também costuma ser usado para subconjunto, mas deixamo-lo de lado neste curso. Preferimos ⊆ porque se assemelha mais a ≤, e desejamos enfatizar que um conjunto é sempre subconjunto de si mesmo. (O símbolo ⊆ é um hibridismo dos símbolos

.) Se quisermos eliminar a igualdade dos dois conjunto, poderemos dizer que A é umnjunto estrito ou próprio de B; isso significa que A ⊆ B e A ≠ B. Poderíamos ser

levados a denotar por ⊂ um subconjunto próprio (porque o símbolo se assemelha a <), mas o emprego de ⊂ para representar um subconjunto ordinário ainda n

da na comunidade matemática. Para evitar controvérsia, não utilizamos o símbolo ⊂. ⊆ e ∈ têm significados relacionados, porém diferentes. Não podem ser permutados nem confundidos.

É importante distinguir entre ⊆ e ∈. A notação x ∈ A significa que x é um elemento (ou membro) de A. A notação A ⊆ B significa que todo elemento de A é também e

Assim, ∅ ⊆ 1, 2, 3 é verdadeiro, mas ∅ ∈ 1, 2, 3 é falso.

A diferença entre ∈ e ⊂ é análoga à diferença entre x bjecto (um núme elemento é x. É sempre correcto escrever x ∈ x, mas não é correcto escu x ⊆ x. (Bem, em geral não é correcto escrever x ⊆ x

Para provar que conjunto é subconjunto de outro, devemos mostrar que todo elemento do primeiro conjunto é também elemento do outro conjunto.

Proposição 8.2 Seja x um objecto arbitrário e seja A um conjunto; então x ∈ A sse x ⊆ A.

Prova: Sejam x um objecto arbitrário e A um conjunto.

(⇒) Suponhamos que x ∈ A. Pretendemos mostrar que x ⊆ A. Para tanto, devemos mostr

ortanto, x ⊆ A.

) Suponhamos que x ⊆ A. Isso significa que todo elemento do primeiro conjunto (x) é também membro do segundo conjunto (A). Mas o único elemento do conjunto x é certam ∈

conjunto é subco

ar que todo elemento de x é também elemento de A. Ma o único elemento de x é x e sabemos que x ∈ A. P

(⇐

ente x; assim, x A. C.q.d.

va 6 dá o método geral para mostrar que umO Esquema de Pronjunto do outro.

42

Esquema de Prova 6 Provar que um conjunto é subconjunto de outro Mostrar que A ⊆ B: Seja x ∈ A. ... Portanto, x ∈ B e, assim, A ⊆ B. C.q.d.

Os símbolos ∈ e ⊆ podem ser escritos ao contrário: ∋ e ⊇. A notação A ∋ x significa exactamente a mesma coisa que x ∈ A. O símbolo ∋ pode ser lido “contém o elemento”. E a notaç esmo que A ⊆ B. Dizemos que B é sobre conjunto de A. (Dizemos ta o contém pode ser um eremos dizer B ⊇ A, nificar também B ∋ A. Evitaremos essa expressão, a menos que seja absol

um conjunto? Consideremos um exemplo.

ão B ⊇ A significa precisamente o mmbém que B contém A e A está contido em B. Mas o term

tanto ou quanto ambíguo. Se dizemos “B contém A”, geralmente qu mas pode sigutamente clara pelo contexto.)

Contagem de Subconjuntos Quantos subconjuntos tem

Exemplo 8.3 Quantos subconjuntos tem o conjunto A = 1, 2, 3? A maneira m is fácil de resolver o problema é listar todas as possibilidades. Como | a

A | = 3, qualquer bconjunto de A ero a ês elementos. Organizemos todas as su pode ter de z trpossibilidades co se segue: mo

Nº. De Elementos Subconjuntos Número de Subconjuntos

0 ∅ 1

1 1, 2, 3 3

2 1, 2, 1, 3, 2, 3 3

3 1, 2, 3 1

Total: 8

Portanto, 1, 2, 3 tem oito subconjuntos.

Há outra maneira de analisar este problema, (na base de uma árvore de decisão, fazendo o jogo segundo o qual cada elemento do conjunto 1, 2, 3 é ou não é membro de um su incluir no subconjunto.

ema de contar listas – e já sabemos com e

bconjunto). Para cada elemento, temos duas escolhas: incluir “sim” ou “não”

O problema de contar subconjuntos de 1, 2, 3 reduz-se ao problo contá-las! O número de listas de comprim nto 3, onde cada elemento

da lista é “sim” ou “não”, é 2 × 2 × 2 = 8.

O método de contagem de listas dá-nos a solução do problema geral a seguir.

Teorema 8.4 Seja A um conjunto finito. O número de subconjuntos de A é 2|A |.

Prova: Seja A um conjunto finito e seja n = | A |. Sejam a1, a2, ..., an os elementos de A. A cada subconjunto B de A podemos associar uma lista de comprimento n; cada elemento da lista é uma das palavras “sim” ou “não”. O k-ésimo elemento da lista é “sim” precisamente quando a ∈ B. Isso estabelece uma correspondência entre listas simk -não de

43

comp

de subconjuntos de A é 2 , onde n = | A |. C.q.d.

é chamado prova bijectiva. Para mostrar que dois problemas de conta

conjunto pode ser elemento de outro conjunto. Por exemplo, 1, 2, 3, 4 é um conju

ado conjunto potência de um conjunto.

rimento n e subconjuntos de A. Observe que cada subconjunto de A dá uma lista sim-não, e cada lista sim-não determina um subconjunto diferente de A. Portanto, o número de subconjuntos de A é exactamente o mesmo que o número de listas sim-não de comprimento n. O número de tais listas é 2n, e assim o número n

Este estilo de prova gem têm a mesma resposta, estabelecemos uma correspondência biunívoca entre os

dois conjuntos que desejamos contar. Se sabemos a resposta a um dos problemas de contagem, sabemos também a resposta ao outro.

Conjunto Potência Umnto com três elementos: o número 1, o número 2 e o conjunto 3, 4. Um exemplo

especial deste caso é cham

Definição 8.5 (Conjunto Potência) Seja A um conjunto. O conjunto potência de A é o conjunto de todos os subconjuntos

de A. Por exemplo, o conjunto potência de 1, 2, 3 é o conjunto ∅, 1, 2, 3, 1, 2,

1, 3, 2, 3, 1, 2, 3.

O conjunto potência de A denota-se por 2A.

O Teorema 8.4 afirma que se um conjunto A tem n elementos, seu conjunto potência conté a notação do conjunto potência de A é 2 . Trata-se de uma notaçã não faria sentido criar uma potência de um número com um expoente que é um conjunto. O único caso em que isso faz sentido é

| 2A | = 2|A |

nto e a notação x ∈ A. Apresentamos a otação representativa de um conjunto x ∈ A : .... Discutimos os conceitos de conjunto azio (∅), subconjunto (⊆) e sobre conjunto (⊇). Fizemos uma distinção entre conjunto

to infinito e apresentamos a notação |A| para a cardinalidade de A.

definim

m 2n elementos (os subconjuntos de A). É de se recordar que A o especial;

escrever o conjunto como um expoente do número 2; o significado da notação é o conjunto potência de A.

O motivo porque essa notação foi criada é para que tenhamos

para qualquer conjunto finito A. O membro esquerdo dessa equação é a cardinalidade do conjunto potência de A. À esquerda, o expoente de 2 é um conjunto, de modo que a notação significa conjunto potência; à direita, o expoente de 2 é um número, de modo que a notação significa exponenciação ordinária.

Recapitulando

Nesta secção, introduzimos o conceito de conjunvfinito e conjunConsideramos o problema de contagem do número de subconjuntos de um conjunto finito e

os o conjunto potência de conjunto A, 2A.

44

EXERC1. v os seguintes conjuntos relacionando seus elementos entre chavetas.

| 100 e | x | ≤ 1

2. t e dos seguintes conjuntos

x

3. paços em branco das expressões seguintes com ∈ ou ⊆. 3 2, 3

A ⊆ B se e somente se alguma condição envolvendo a e b.

8. Generalize o problema anterior. Sejam c e d inteiros e sejam C = x ∈ Z : | x | c e Ache e prove uma condição necessária e suficiente para que C

ÍCIOS Escre ea) x ∈ N : x ≤ 10 e 3 | x b) x ∈ Z : x é primo e 2 | x c) x ∈ Z : x2 = 4 d) x ∈ Z : x2 = 5 e) 2∅ f) x ∈ Z : 10 | x e xg) x : x ⊆ 2, 3, 4, 5

De er cardinalidadmine aa) x ∈ Z : | x ≤ 10 | b) x ∈ Z 2 ≤ 2 : 1 ≤ xc) x ∈ Z : x∈ ∅ d) x ∈ Z : ∅ ∈ x e) x ∈ Z : ∅ ⊆ f) 221, 2, 3 g) x ∈ 21, 2, 3, 4 : | x | = 1 h) 1, 2,3, 4, 5

Complete os esa) 2___1, 2, b) 2___1, c) 2___1, 2, 3 d) ∅___1, 2, 3 e) N___Z f) 2___Z g) 2___2Z

4. Sejam os conjuntos A e B. Prove que A = B se e somente A ⊆ B e B ⊆ A. (Isso nos dá uma estratégia ligeiramente diferente de prova para mostrar que dois conjuntos são iguais; compare com o Esquema de Prova 5.)

5. Sejam A = x ∈ Z : 4 | x e B = x ∈ Z : 2 | x. Prove que A ⊆ B.

6. Considere o problema anterior. Sejam a e b inteiros e sejam A = x ∈ Z : a | x e B = x ∈ Z : b | x. Ache e prove uma condição necessária e suficiente para que A ⊆ B. Por outras palavras, dada a notação desenvolvida, ache e prove um teorema da forma

7. Sejam C = x ∈ Z : x | 12 e D = x ∈ Z : x | 36. Prove que C ⊆ D.

D = x ∈ Z : x | d.⊆ D.

9. Dê exemplo de um objecto x que torne verdadeira a afirmação x ⊆ x

45

2.9 Quantificadores ta

secçã

ritamente desta forma:

to em N tem as propriedades desejadas ou exigidas. Nesse caso, há apenas um x possível (o número 2), mas o term ais do que um objecto com as propriedad

mos um E maiúsculo invertido (∃), que se lê há ou existe. A forma geral desta notação é

, elemento do conjunto A, para o qual as afirmações são válidas”. Assim

par.

iamos a afirmação “∃x ∈ A : afirmações sobre x”, para “∃x : afirm objecto deve ser.

istencial.

r que a form geral dessa prova é dada no Esqu

Há certas afirmações que figuram com frequência em teoremas; o objectivo deso é esclarecê-las. À primeira vista, tais afirmações são simples, mas procuraremos

torná-las complicadas, para efeitos de melhor aprofundamento. As expressões são existe e (para) todo.

Existe Consideremos uma afirmação como “Existe um número natural que é primo e par.”

A forma geral dessa afirmação é “Existe um objecto x, elemento do conjunto A, que goza das seguintes propriedades”. Assim, a afirmação exemplificada pode ser reescrita como se segue, de modo a se aproximar mais est

Existe um x, membro de N, tal que x é primo e par.

Esperamos que o significado desta afirmação seja claro. Ela afirma que pelo menos um elemen

o “existe” não elimina a possibilidade de haver mes desejadas.

Como o termo “existe” ocorre com tanta frequência, os matemáticos criaram uma notação formal para afirmações da forma “Existe um x no conjunto A tal que ...”. Escreve

∃x ∈ A : afirmações sobre x.

Lê-se: “Existe um x, a afirmação “Existe um número natural que é primo e par” seria escrita da seguinte

forma

∃x ∈ N : x é primo e

A letra x é uma variável muda – apenas preenche um lugar. É análoga ao índice de somatório na notação ∑.

Às vezes, abrevações sobre x” quando o contexto deixa claro que tipo de

O símbolo ∃ é chamado quantificador ex

Para provar uma afirmação da forma “∃x ∈ A : afirmação sobre x”, devemos mostralgum elemento de A satisfaz as afirmações. A a

ema de Prova 7.

Esquema de Prova 7 Prova de afirmações existenciais Provar que ∃x ∈ A : afirmação sobre x: Seja x (dar um exemplo explícito) ... (mostrar que x satisfaz as afirmações ...) Portanto, x satisfaz a afirmações requeridas. C.q.d.

lo. Bum o es requeridas.

Provar uma afirmação existencial é análogo a achar um contra-exemp asta achar bjecto com as propriedad

46

Exemplo 9.1 Eis uma prova (muito rápida!) de que existe um inteiro que é par e primo. Afirmação: ∃x ∈ N : x é primo e par. Prova: Consideremos o inteiro 2. Obviamente 2 é primo e 2 é par. C.q.d.

todo como em “Todo inteiro é par o

par.

par.

Em todos os casos, queremo ica a todos os inteiros, sem excep

Há uma notação simbólica para esses tipos de afirmação. Assim como usamos o ∃ (E invertido) para há ou existe, utiliz o ou qu

, afirmações sobre x.

isfazem as afirmações como em

to não deixa dúvida sobre que tipo de objecto x é, a notação pode ser abrev

ador universal.

o Esqu

Para todo A outra expressão que vamos considerar nesta secção é u ímpar”. Há expressões alternativas que usamos em lugar de todo, inclusive todos,

cada e qualquer. Assim, todas as afirmações seguintes significam a mesma coisa: • Todo inteiro é ou par ou ím • Todos os inteiros são ou pares ou ímpares. • Cada inteiro é ou par ou ímpar. • Seja x um inteiro qualquer. Então x é par ou ím

s dizer que a condição se aplção.

amos um A invertido (∀) com a significação de para todalquer que seja. A forma geral para esta notação é

∀x ∈ A

Isso significa que todos os elementos do conjunto A sat

∀x ∈ Z, x é ímpar ou x é par.

Quando o contexiada para “∀x, afirmações sobre x”.

O “A” invertido (∀) é chamado quantific

Para provar um teorema do tipo “todo”, devemos mostrar que todo elemento do conjunto satisfaz as afirmações requeridas. A forma geral desse tipo de prova é dada n

ema de Prova 8.

Esquema de Prova 8 Prova de afirmações universais Provar que ∀x ∈ A, afirmações sobre x: Seja x um elemento qualquer de A. ... (Mostre que x satisfaz as afirmações lançando

mão apenas ao facto de x ∈ A, e não de quaisquer outras suposições sobre x.)... Portanto, x verifica as afirmações exigidas. C.q.d.

47

Exemplo 9.2 Provar: Todo inteiro divisível por 6 é par. Mais formalmente: Seja A = x ∈ Z : 6 | x. Então, a afirmação que desejamos provar

é ∀x ∈ A, x é par.

Prova: Seja x ∈ A; isto é, x é um inteiro divisível por 6. Isso significa que existe um inteiro y tal que x = 6y, que se pode escrever como x = (2 × 3)y = 2(3y). Assim, x é divisível por 2 e, portanto, é par. C.q.d.

Note que essa prova não difere realmente da prova de um teorema comum do tipo “Se-Então”, “Se x é divisível por 6, então x é par”. O ponto que procuramos salientar é que, na prova, admitimos que x seja um elemento arbitrário de A, e então passamos a mostrar que x satisfaz a condição.

Linguagem matemática! Os matemáticos usam a palavra arbitrário de uma forma ligeiramente diferente do padrão. Quando dizemos que x é um elemento arbitrário do conjunto A, queremos dizer que x pode ser qualquer elemento de A; não devemos fazer qualquer outra suposição sobre x além de que x é um elemento de A. Dizer que x é um número par arbitrário significa que x é par, mas não fazemos qualquer outra suposição sobre x.

Negação de Afirmações Quantificadas Consideremos as afirmações: • Não existe inteiro que seja simultaneamente par e ímpar. • Nem todos os inteiros são primos.

Simbolicamente, essas afirmações podem escrever-se: • ¬(∃x ∈ Z : x é par e x é ímpar). • ¬(∀x ∈ Z , x é primo).

Em ambos os casos, negamos uma afirmação quantificada. O que significa isso? Consideremos primeiro uma afirmação de forma

¬(∀x ∈ A, afirmações sobre x)

Isso significa que nenhum elemento de A satisfaz as afirmações, e isso equivale a dizer que todos os elementos de A deixam de satisfazer as afirmações. Por outras palavras, as duas afirmações a seguir são equivalentes:

¬(∃x ∈ A, afirmações sobre x) e ∀x ∈ A, ¬(afirmações sobre x).

Por exemplo, a afirmação “Não há inteiro que seja ao mesmo tempo par e ímpar” diz a mesma coisa que “Nenhum inteiro é simultaneamente par e ímpar”.

Consideremos agora a negação de afirmações universais. Seja uma afirmação de forma

¬(∀x ∈ A, afirmações sobre x).

Isso significa que nem todos os elementos de x verificam as afirmações requeridas (isto é, alguns elementos não o fazem). Assim, as duas afirmações seguintes são equivalentes:

¬(∀x ∈ A, afirmações sobre x) e ∃x ∈ A, ¬(afirmações sobre x).

48

Por exemplo, a afirmação “Nem todos os inteiros são primos” é equivalente à afirmação “Existe um inteiro que não é primo”.

A memorização que utilizamos para lembrar essas equivalências é

¬∀ ... = ∃¬ ... e ¬∃ ... = ∀¬ ...

Quando o sinal ¬ “se move” dentro do quantificador, ele trova os quantificadores ∀ e ∃ um pelo outro.

Combinação de Quantificadores As afirmações quantificadas podem tornar-se difíceis e confusas quando há dois (ou

mais!) quantificadores na mesma afirmação. Consideremos, por exemplo, as seguintes afirmações sobre inteiros:

• Para todo x existe um y tal que x + y = 0. • Existe um y, tal que para todo x, temos x + y = 0.

Em símbolos, essas afirmações se escrevem: • ∀x, ∃y : x + y = 0. • ∃y : ∀x, x + y = 0.

O que significam essas expressões?

A primeira frase faz uma afirmação sobre um inteiro arbitrário x. Afirma que, qualquer que seja x, algo é verdadeiro, isto é, podemos achar um inteiro y que satisfaz x + y = 0. Seja x = 12. Poderemos achar um y tal que x + y = 0? Sim! Basta tomarmos y = -12. Seja x = -53. É possível acharmos um y tal que x + y = 0? Sim! Basta tomarmos y = 53. Note que o y que satisfaz x = 12 é diferente do y que satisfaz x = -53. A afirmação exige apenas que, qualquer que seja a forma como escolhemos x (∀x) podemos achar um y (∃y) tal que x + y = 0. E essa é a afirmação verdadeira. Eis a prova:

Seja x um inteiro arbitrário, e seja y o inteiro –x. Então, x + y = x + (-x) = 0. C.q.d.

Como a afirmação global começa com ∀x, começamos a prova considerando um inteiro arbitrário x. Temos agora que provar algo a respeito desse número x, a saber, que podemos achar um número y tal que x + y = 0. A escolha de y é óbvia, basta tomarmos y = -x. A afirmação ∀x, ∃y : x + y = 0 é verdadeira.

Examinemos agora a afirmação análoga

∃y : ∀x, x + y = 0.

Esta afirmação é semelhante à anterior, a única diferença é a ordem dos quantificadores. Esta afirmação alega que existe um inteiro y, com uma certa propriedade, a saber, qualquer que seja o número que somemos a y (∀x), obtemos 0 (x + y = 0). Esta afirmação é visivelmente falsa. Não existe tal inteiro y. Qualquer que seja o inteiro y que imaginarmos, podemos sempre achar podemos sempre achar um inteiro x tal que x + y não seja zero.

As afirmações ∀x, ∃y : x + y = 0 e ∃y : ∀x, x + y = 0 ficam um pouco mais claras com o uso de parêntesis. Elas podem ser reformuladas como se segue:

∀x, (∃y : x + y = 0) e ∃y : (∀x, x + y = 0), respectivamente.

49

Esses parêntesis adicionais não são estritamente necessários, mas se contribuem para tornar as afirmações mais claras, podem ser livremente usados.

Em geral as duas afirmações

∀x, ∃y : afirmações sobre x e y, e ∃y : ∀x, afirmações sobre x e y,

não são mutuamente equivalentes.

Recapitulando Nesta secção analisamos afirmações da forma “Para todo ...” e “Existe ...” e introduzimos a notação de quantificador formal para elas. Apresentamos esquemas básicos de prova para tais afirmações. Examinamos a negação de afirmações quantificadas e estudamos afirmações com mais de um quantificador.

EXERCÍCIOS 1. Escreva as afirmações seguintes utilizando a notação de quantificador, (isto é, use

os símbolos ∃ e / ou ∀). Nota: Como não garantimos que essas afirmações sejam verdadeiras, não procure prová-las! a) Todo inteiro é primo. b) Há um inteiro que não é primo nem composto. c) Existe um inteiro cujo quadrado é 2. d) Todos os inteiros são divisíveis por 5. e) Algum inteiro é divisível por 7. f) O quadrado de qualquer inteiro é não negativo. g) Para todo inteiro x, existe um inteiro y tal que xy = 1, Existem dois inteiros x e y

tais que x / y = 10. h) Existe um inteiro que, quando multiplicado por qualquer inteiro, sempre dá o

resultado . i) Qualquer que seja o inteiro escolhido, existe sempre outro inteiro maior do que

ele. j) Todos amam alguém alguma vez.

2. Escreva a negação de cada uma das afirmações do problema anterior. O leitor deve “mover” a negação dentro dos quantificadores. Dê sua resposta por extenso e simbolicamente. Por exemplo, a negação da parte (a) seria “Existe um inteiro que não é primo” (por extenso) e “∃x ∈ Z : x é não primo” (símbolos).

3. O que significa a afirmação “Todo o mundo não foi convidado para minha reunião”? Presumivelmente, o sentido dessa afirmação não é o que a pessoa tinha em vista. Reformule a afirmação de modo a atribuir-lhe o sentido desejado.

4. Verdadeiro ou Falso: assinale como verdadeira ou falsa cada uma das afirmações seguintes sobre inteiros. (Não é preciso provar suas afirmações) a) ∀x, ∀y, x + y = 0. b) ∀x, ∃y : x + y = 0. c) ∃x : ∀y, x + y = 0. d) ∃x : ∃y : x + y = 0. e) ∀x, ∀y, xy = 0.

50

f) ∀x, ∃y : xy = 0. g) ∃x : ∀y, xy = 0. h) ∃x : ∃y : xy = 0.

5. Para cada uma das afirmações seguintes, escreva a negação correspondente, colocando o símbolo ¬ o mais à direita possível. Reescreva, então, a negação por extenso. Por exemplo, para a afirmação

∀x ∈ Z, x é ímpar, a negação seria

∃x ∈ Z : ¬(x é ímpar) que, por extenso, é “Há um inteiro que não é ímpar”. a) ∀x ∈ Z, x < 0. b) ∃x ∈ Z : x = x + 1. c) ∃x ∈ N : x > 10. d) ∀x ∈ N : x + x = 2x. e) ∃x ∈ Z : ∀y ∈ Z, x > y. f) ∀x ∈ Z, ∀y ∈ Z, x = y. g) ∀x ∈ Z, ∃y ∈ Z : x + y = 0.

6. As duas afirmações seguintes significam a mesma coisa? ∀x, ∀y, afirmações sobre x e y. ∀y, ∀x, afirmações sobre x e y.

Explique. E quanto às duas afirmações a seguir, significam elas a mesma coisa? ∃x, ∃y, afirmações sobre x e y. ∃y, ∃x, afirmações sobre x e y.

Explique.

51

2.10. Conjuntos II: Operações Assim como os número podem ser somados ou multiplicados e os valores

VERDADEIRO e FALSO podem ser combinados com ∧ e ∨, há várias operações que podemos fazer sobre conjuntos. Nesta secção vamos abordar várias dessas operações.

União e Intersecção A operações mais fundamentais com os conjuntos são a união e a intersecção.

Definição 10.1 (União e Intersecção) Sejam os conjuntos A e B. A união de A e B é o conjunto de todos os elementos que estão em A ou em B.

Denota-se por A∪B. A intersecção de A e B é o conjunto de todos os elementos que estão tanto em A como

em B. Denota-se por A∩B.

Simbolicamente podemos escrever: A∪B = x : x ∈ A ou x ∈ B e

A∩B = x : x ∈ A e x ∈ B.

Exemplo 10.2 Sejam os conjuntos A = 1, 2, 3, 4 e B =3, 4, 5, 6. Então, A∩B = 3, 4 e A∪B

= 1, 2, 3, 4, 5, 6. (Diagramas de Venn!)

É interessante termos uma imagem mental da união e da intersecção. Um diagrama de Venn representa os conjuntos como círculos, elipses ou outras formas geométricas.

As operações ∪ e ∩ verificam diversas propriedades algébricas, das quais relacionamos algumas.

Teorema 10.3 Sejam os conjuntos A, B e C. Valem as seguintes propriedades: A∪B = B∪A e A∩B = B∩A. (Propriedades comutativas) A∪(B∪C) = (A∪B)∪C e A∩(B∩C) = (A∩B)∩C (Propriedades associativas) A∪∅ = A e A∩∅ = ∅ A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) e A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) (propriedades

distributivas)

Prova: Deixamos a prova como o exercício 10.2. O Teorema 5.2 é extremamente útil para provar este resultado.

Aqui, vamos demonstrar a propriedade associativa para a união. Essa demonstração pode servir de padrão para provar as outras partes deste teorema.

Sejam A, B e C. Temos: A∪(B∪C) = x : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B∪C) definição de união = x : (x ∈ A) ∨ ((x ∈ B) ∨ (x ∈C)) definição de união = x : ((x ∈ A) ∨ (x ∈ B)) ∨ (x ∈C) propriedade associativa de ∨ = x : (x ∈ A∪B) ∨ (x ∈C) definição de união = (A∪B)∪C definição de união. C.q.d.

52

Como chegamos a esta prova? Utilizamos a técnica de escrever o começo e o fim da prova e trabalhar em direcção ao meio. Imaginemos uma folha de papel bastante longa. À esquerda, escrevemos A∪(B∪C) = ...; à direita escrevemos ... = (A∪B)∪C. À esquerda desdobramos a definição de ∪ para o primeiro ∪ e obtemos A∪(B∪C) = x : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B∪C). Desdobramos novamente a definição de ∪ (agora sobre B∪C) para transformar o conjunto em x : (x ∈ A) ∨ ((x ∈ B) ∨ (x ∈C)).

Fazemos em seguida a mesma coisa à direita. Desdobramos o segundo ∪ em (A∪B)∪C para obter x : (x ∈ A∪B) ∨ (x ∈C) e, em seguida, desdobramos A∪B para obter x : ((x ∈ A) ∨ (x ∈ B)) ∨ (x ∈C).

Perguntamos agora: O que temos e o que desejamos? À esquerda, temos

x : (x ∈ A) ∨ ((x ∈ B) ∨ (x ∈C))

e à direita, necessitamos

x : ((x ∈ A) ∨ (x ∈ B)) ∨ (x ∈C).

Finalmente, atentando para esses dois conjuntos, constatamos que as condições após os dois pontos são logicamente equivalentes (pelo Teorema 5.2), donde a prova desejada. (Diagramas de Venn!)

Tamanho de uma União Suponhamos A e B conjuntos finitos. Há uma relação simples entre as grandezas |A|,

|B|, |A∪B| e |A∩B|.

Proposição 10.4 Sejam A e B conjuntos finitos. Então,

| A | + | B | = | A∪B | + | A∩B |.

Prova: Suponhamos que atribuímos rótulos a todos os objectos. Afixamos um rótulo A aos objectos do conjunto A e um rótulo B aos objectos de B.

Pergunta-se: quantos rótulos afixamos?

Por um lado, a resposta a essa pergunta é | A | + | B |, porque atribuímos | A | rótulos aos objectos em A e | B | rótulos aos objectos em B. Por outro lado, atribuímos pelo menos um rótulo aos em A∪B. Assim, | A∪B | conta o número de objectos que receberam pelo menos um rótulo. O elementos em A∩B recebem dois rótulos. Assim, |A∪B| + |A∩B| conta todos os elementos que receberam um rótulo e conta em dobro os elementos que receberam dois rótulos. Isso nos dá o número de rótulos.

Como essas duas grandezas | A | + | B | e |A∪B| + |A∩B| respondem à mesma pergunta, elas devem ser iguais. C.q.d.

Essa prova é um exemplo de prova combinatória. Tipicamente, uma prova combinatória é usada para demonstrar que uma equação (tal como a da Proposição 10.4) é válida. Para tanto criamos uma questão e mostramos que ambos os membros da equação dão uma resposta correcta para a questão. Segue-se então – como ambos os membros são respostas correctas – que os dois membros da equação alegada devem ser iguais. Resumimos esta técnica no Esquema de Prova 9.

53

Esquema de Prova 9 Prova combinatória Provar uma equação da forma ME = MD (membro esquerdo = membro direito): Coloque uma questão da forma: De quantas maneiras ...? Por um lado, mostre que ME é uma resposta correcta da questão. Por outro lado, mostre porque ME é uma resposta correcta. Por conseguinte, ME = MD. C.q.d.

Nem sempre é fácil achar a pergunta correcta a ser formulada. Redigir demonstrações combinatórias é análogo a jogar o jogo de TV Jeoprdy! O leitor recebe a resposta (na verdade, duas respostas) a um problema de contagem; seu trabalho consiste em achar uma pergunta cujas respostas são os dois membros da equação que está tentando provar.

Inclusão-exclusão básica.

Daremos mais provas combinatórias, mas, por ora, voltemos à Proposição 10.4. Uma forma útil de reformulação deste resultado é a seguinte:

| A∪B | = | A | + | B | - | A∩B |. (4)

Trata-se de um caso especial de um princípio de contagem, chamado inclusão-exclusão, que pode ser interpretado como segue. Suponha que queremos contar o número de objectos que tenham uma ou outra propriedade. Imagine que o conjunto A contenha os objectos que têm uma das propriedades, e que o conjunto B contenha os objectos que têm uma outra propriedade. Então, o conjunto A∪B contém os objectos que têm uma ou outra propriedade; podemos contar esses objectos calculando |A | + | B | - | A∩B |. Essa fórmula é útil quando o cálculo de | A |, | B | e | A∩B | é mais fácil do que o cálculo de | A∪B |. Na secção 16 desenvolveremos mais extensamente o conceito de inclusão-exclusão.

Exemplo 10.5 Quantos inteiros do intervalo 1 a 1.000 (inclusive) são divisíveis por 2 ou por 5? Sejam

A = x ∈ Z : 1 ≤ x ≤ 1.000 e 2 | x e B = x ∈ Z : 1 ≤ x ≤ 1.000 e 5 | x O problema pede | A∪B |. Não é difícil ver que | A | = 500 e | B | = 200. Mas A∩B consiste nos números (no

intervalo de 1 a 1.000) que são divisíveis tanto por 2 como por 5. Ora, um inteiro é divisível simultaneamente por 2 e por 5 se e somente se é divisível por 10 (o que se pode demonstrar rigorosamente utilizando ideias desenvolvidas na secção 35; Veja exercício 35.3) e, assim,

A∩B = x ∈ Z : 1 ≤ x ≤ 1.000 e 10 | x, donde decorre que | A∩B | = 100. Finalmente, temos

| A∪B | = |A | + | B | - | A∩B | = 500 + 200 – 100 = 600. Há 600 inteiros no intervalo de 1 a 1.000 que são divisíveis por 2 ou por 5.

No caso de A∩B = ∅, a Equação (4) se simplifica para | A∪B | = |A | + | B |. Em palavras, se dois conjuntos não têm qualquer elemento em comum, o tamanho de sua união é igual à soma dos seus tamanhos. Há uma designação especial para conjuntos que não têm elementos em comum.

54

Definição 10.6 (Disjunto, Disjunto aos Pares) Sejam os conjuntos A e B. Dizemos que A e B são disjuntos se A∩B = ∅. Seja A1, A2, ..., An uma colecção de conjuntos. Esses conjuntos dizem-se disjuntos aos

pares ou dois a dois se Ai∩Aj = ∅ para todo i ≠ j. Por outras palavras, eles são disjuntos aos pares se não há dois deles que tenham um elemento em comum.

Exemplo 10.7 Sejam A = 1, 2, 3, B = 4, 5, 6 e C = 7, 8, 9. Estes conjuntos são disjuntos dois

a dois, ou aos pares, porque A∩B = A∩C = B∩C = ∅. Entretanto, sejam, X = 1, 2, 3, Y = 4, 5, 6, 7 e Z = 7, 8, 9, 10. Estes conjuntos

não são disjuntos dois a dois porque Y∩Z ≠∅ (todas outras intersecções tomadas duas a duas são vazias).

Corolário 10.8 (Princípio da Adição) Sejam A e B conjuntos finitos. Se A e B são disjuntos, então | A∪B | = |A | + | B |.

O corolário 10.8 decorre imediatamente da Proposição 10.4. Há uma extensão do princípio da adição a mais de dois conjuntos.

Se A1, A2, ..., An são disjuntos dois a dois, então

|A1∪A2∪ ... ∪An| = | A1 | + | A2 | + ... + | An |.

Este facto pode ser mostrado formalmente utilizando-se os métodos da secção 18 (ver Exercício 18.9).

Uma maneira concisa de escrever a igualdade anterior é

∑==

=n

kk

n

kk AA

11U .

O símbolo U é análogo aos símbolos ∑ ou ∏. Significa que, quando k varia de 1 a n (os valores inferior e superior), devemos tomar a união da expressão à direita (nesse caso, Ak). Assim, o símbolo U nada mais é que uma abreviatura para A1∪A2∪ ... ∪An. Colocamo-lo entre barras verticais, porque desejamos o tamanho do conjunto. À direita, vemos o símbolo ordinário de somatório, que indica que devemos somar todas as cardinalidades de A1, A2, ..., An.

Diferença e Diferença Simétrica

Definição 10.9 (Diferença de Conjuntos) Sejam A e B dois conjuntos. A diferença A – B é o conjunto de todos os elementos de

A que não estão em B. A – B = x : x ∈A e x ∉ B.

A diferença simétrica de A e B, denotada por A ∆ B, é o conjunto de todos os elementos que estão em A mas não estão em B ou que estão em B mas não em A. Isto é,

A ∆ B = (A – B) ∪ (B – A).

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Exemplo 10.10 Sejam os conjuntos A = 1, 2, 3, 4 e B = 3, 4, 5, 6. Então, A – B = 1, 2, B

– A = 5, 6 e A ∆ B = 1, 2, 5, 6. (Diagramas de Venn!)

Proposição 10.11 Sejam os conjuntos A e B. Então

A ∆ B = (A∪B) – (A∩B).

Vamos ilustrar as diversas técnicas de prova, desenvolvendo a prova da Proposição 10.11 passo a passo. A proposição pede que provemos que dois conjuntos são iguais, a saber, A ∆ B e (A∪B) – (A∩B). Utilizamos o Esquema de Prova 5 para formar o arcabouço da demonstração.

Sejam os conjuntos A e B. 1) Suponhamos que x ∈ A ∆ B. ... portanto, x ∈ (A∪B) – (A∩B). 2) Suponhamos que x ∈ (A∪B) – (A∩B). ... portanto, x ∈ A ∆ B. Portanto, A ∆ B = (A∪B) – (A∩B). C.q.d.

Começamos com a parte (1) da prova. Desdobramos as definições a partir de ambas as extremidades. Sabemos que x ∈ A ∆ B. Pela definição de ∆, isto significa que x ∈ (A∪B) – (A∩B). A prova agora se apresenta como segue.

Sejam os conjuntos A e B. 1) Suponhamos que x ∈ A ∆ B. Assim, x ∈ (A – B) ∪ (B – A). ... portanto, x ∈ (A∪B) – (A∩B). 2) Suponhamos que x ∈ (A∪B) – (A∩B). ... portanto, x ∈ A ∆ B. Portanto, A ∆ B = (A∪B) – (A∩B). C.q.d.

Agora, sabemos que x ∈ (A – B) ∪ (B – A). O que significa isso? Pela definição de união, significa que x ∈ (A – B) ou x ∈ (B – A). Devemos considerar ambas as possibilidades, pois não sabemos em qual desses conjuntos x está. Isso significa que a parte (1) da prova se decompõe em dois casos, conforme x ∈ (A – B) ou x ∈ (B – A). Em ambos os casos, devemos mostrar que x ∈ (A∪B) – (A∩B).

Sejam os conjuntos A e B. 1) Suponhamos que x ∈ A ∆ B. Assim, x ∈ (A – B) ∪ (B – A). Isso significa que ou x ∈ (A – B) ou x ∈ (B – A). Consideraremos ambos os casos. • Seja x ∈ (A – B). ... portanto, x ∈ (A∪B) – (A∩B). • Seja x ∈ (B – A). ... portanto, x ∈ (A∪B) – (A∩B). 2) Suponhamos que x ∈ (A∪B) – (A∩B). ... portanto, x ∈ A ∆ B. Portanto, A ∆ B = (A∪B) – (A∩B). C.q.d.

Focalizaremos agora o primeiro caso, em que x ∈ (A – B). Isso significa que x ∈A e x ∉ B. Vamos incluir esse facto.

56

Sejam os conjuntos A e B. 1) Suponhamos que x ∈ A ∆ B. Assim, x ∈ (A – B) ∪ (B – A). Isso significa que ou x ∈ (A – B) ou x ∈ (B – A). Consideraremos ambos os casos. • Seja x ∈ (A – B). Assim, x ∈ A e x ∉ B. ... portanto, x ∈ (A∪B) – (A∩B). • Seja x ∈ (B – A). ... portanto, x ∈ (A∪B) – (A∩B). Portanto, x ∈ (A∪B) – (A∩B). 2) Seja x ∈ (A∪B) – (A∩B). ... portanto, x ∈ A ∆ B. Assim, A ∆ B = (A∪B) – (A∩B). C.q.d.

Parece estarmos emperrados. Desenvolvemos as definições até x ∈ A e x ∉ B. Para continuar, trabalharemos a partir do nosso objectivo; desejamos mostrar que x ∈ (A∪B) – (A∩B). Para isso, precisamos mostrar que x ∈ (A∪B) e x ∉ (A∩B). Vamos acrescentar isso à prova.

Sejam os conjuntos A e B. 1) Suponhamos que x ∈ A ∆ B. Assim, x ∈ (A – B) ∪ (B – A). Isso significa que ou x ∈ (A – B) ou x ∈ (B – A). Consideraremos ambos os casos. • Seja x ∈ (A – B). Assim, x ∈ A e x ∉ B. ... Assim, x ∈ A∪B, mas x ∉ A∩B. Portanto, x ∈ (A∪B) – (A∩B). • Seja x ∈ (B – A). ... portanto, x ∈ (A∪B) – (A∩B). Portanto, x ∈ (A∪B) – (A∩B). 2) Seja x ∈ (A∪B) – (A∩B). ... portanto, x ∈ A ∆ B. Assim, A ∆ B = (A∪B) – (A∩B). C.q.d.

Agora, as duas partes da prova estão se aproximando. Recordemos o que sabemos e o que queremos.

Sabemos: x ∈ A e x ∉ B.

Queremos: x ∈ A∪B e x ∉ A∩B.

Agora a lacuna é fácil de ser preenchida! Como sabemos que x ∈ A, certamente x está em A ou B (apenas dissemos que está em A!), de modo que x ∈ A∪B. Como x ∉ B, x não está em ambos A e B (apenas dissemos que não está em B!), de modo que x ∉ A∩B. Acrescentemos isso à prova.

Sejam os conjuntos A e B. 1) Suponhamos que x ∈ A ∆ B. Assim, x ∈ (A – B) ∪ (B – A). Isso significa que ou x ∈ (A – B) ou x ∈ (B – A). Consideraremos ambos os casos. • Seja x ∈ (A – B). Assim, x ∈ A e x ∉ B. ... Como x ∈ A, temos que x ∈ A∪B. Como x ∉ B, temos que ∉ A∩B. Assim, x ∈ A∪B, mas x ∉ A∩B. Portanto, x ∈ (A∪B) – (A∩B). • Seja x ∈ (B – A). ... portanto, x ∈ (A∪B) – (A∩B). Portanto, x ∈ (A∪B) – (A∩B). 2) Seja x ∈ (A∪B) – (A∩B). ... portanto, x ∈ A ∆ B. Assim, A ∆ B = (A∪B) – (A∩B). C.q.d.

57

Podemos, agora, voltar ao segundo caso da parte (1) da prova: “Seja x ∈ B – A. ... Portanto, x ∈ (A∪B) – (A∩B)”. Boas novas! Esse caso parece-se com o caso anterior, excepto pelo facto de que A e B trocaram de posição. O argumento seguirá exactamente como antes. Como os passos são (essencialmente) os mesmos, não precisamos escrevê-los novamente. (Se o leitor não está 100% seguro de que os passos são exactamente os mesmos, aconselha-se a escrever esta parte da prova, usando o caso anterior como guia.) Vamos completar a parte (1) da prova.

Sejam os conjuntos A e B. 1) Suponhamos que x ∈ A ∆ B. Assim, x ∈ (A – B) ∪ (B – A). Isso significa que ou x ∈ (A – B) ou x ∈ (B – A). Consideraremos ambos os casos. • Seja x ∈ (A – B). Assim, x ∈ A e x ∉ B. Como x ∈ A, temos que x ∈ A∪B. Como x ∉ B,

temos que ∉ A∩B. Assim, x ∈ A∪B, mas x ∉ A∩B. Logo, x ∈ (A∪B) – (A∩B). • Seja x ∈ (B – A). Pelo mesmo argumento anterior, temos que x ∈ (A∪B) – (A∩B). Portanto, x ∈ (A∪B) – (A∩B). 2) Seja x ∈ (A∪B) – (A∩B). ... portanto, x ∈ A ∆ B. Assim, A ∆ B = (A∪B) – (A∩B). C.q.d.

Estamos agora prontos para trabalhar na parte (2). Começamos desenvolvendo x ∈ (A∪B) – (A∩B). Isso significa que x ∈ A∪B e ∉ A∩B (pela definição da diferença de conjuntos).


temos que ∉ A∩B. Assim, x ∈ A∪B, mas x ∉ A∩B. Logo, x ∈ (A∪B) – (A∩B). • Seja x ∈ (B – A). Pelo mesmo argumento anterior, temos que x ∈ (A∪B) – (A∩B). Portanto, x ∈ (A∪B) – (A∩B). 2) Seja x ∈ (A∪B) – (A∩B). Assim, x ∈ A∪B e ∉ A∩B. ... Portanto, x ∈ A ∆ B. Assim, A ∆ B = (A∪B) – (A∩B). C.q.d.

Vamos trabalhar de trás para frente a partir do final da parte (2). Queremos mostrar que x ∈ A ∆ B, de modo que precisamos mostrar que x ∈ (A – B) ∪ (B – A).


temos que ∉ A∩B. Assim, x ∈ A∪B, mas x ∉ A∩B. Logo, x ∈ (A∪B) – (A∩B). • Seja x ∈ (B – A). Pelo mesmo argumento anterior, temos que x ∈ (A∪B) – (A∩B). Portanto, x ∈ (A∪B) – (A∩B). 2) Seja x ∈ (A∪B) – (A∩B). Assim, x ∈ A∪B e ∉ A∩B. ... Assim, x ∈ (A – B) ∪ (B – A). Portanto, x ∈ A ∆ B. Assim, A ∆ B = (A∪B) – (A∩B). C.q.d.

58

Para mostrar que x ∈ (A – B) ∪ (B – A), devemos mostrar que ou x ∈ (A – B) ou x ∈ (B – A). Façamos uma pausa e notemos o que já sabemos e o que desejamos.

Já sabemos: x ∈ A∪B e ∉ A∩B.

Queremos mostrar: x ∈ (A – B) ou x ∈ (B – A).

O que sabemos diz-nos que x está em A ou em B, mas não em ambos. Por outras palavras, ou x está em A e não está em B ou x está em B e não está em A. Por outras palavras, x ∈ (A – B) ou x ∈ (B – A), que é o que queríamos mostrar! Levemos esse resultado para a prova.


temos que ∉ A∩B. Assim, x ∈ A∪B, mas x ∉ A∩B. Logo, x ∈ (A∪B) – (A∩B). • Seja x ∈ (B – A). Pelo mesmo argumento anterior, temos que x ∈ (A∪B) – (A∩B). Portanto, x ∈ (A∪B) – (A∩B). 2) Seja x ∈ (A∪B) – (A∩B). Assim, x ∈ A∪B e ∉ A∩B. Isso significa que x está em A ou

em B, mas não em ambos. Assim, ou x está em A e não está em B ou x está em B e não está em A. Isto é, ou x ∈ (A – B) ou x ∈ (B – A).

Assim, x ∈ (A – B) ∪ (B – A). Portanto, x ∈ A ∆ B. Assim, A ∆ B = (A∪B) – (A∩B). C.q.d.

Isso completa a prova.

Outras propriedades da diferença e da diferença simétrica são desenvolvidas nos exercícios. Um resultado particularmente digno de nota, entretanto, é o seguinte:

Proposição 10.12 (Leis de De Morgan ) Sejam os conjuntos A, B e C. Então,

A – (B∪C) = (A – B) ∩ (A – C) e A – (B∩C) = (A – B) ∪ (A – C).

A prova é entregue ao leitor através do exercício 10.15.

Produto Cartesiano

Encerramos esta secção com mais uma operação de conjuntos.

Definição 10.13 (Produto Cartesiano) Sejam os conjuntos A e B. O produto cartesiano de A e B, denotado por A × B, é o

conjunto de todos os pares ordenados (listas de dois elementos) formados tomando-se um elemento de A juntamente com um elemento de B, de todas as maneiras possíveis. Ou seja,

A × B = (a, b) : a ∈ A e b ∈ B.

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Exemplo 10.14 Suponhamos A = 1, 2, 3 e B = 3, 4, 5. Então,

A × B = (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5)e B × A = (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3).

Note-se que para os conjuntos no Exemplo 10.14 , temos A × B ≠ B × A. O produto cartesiano de conjuntos não é uma operação comutativa.

Em que sentido o produto cartesiano “multiplica” os conjuntos? Porque usamos o sinal de multiplicação × para denotar essa operação? Note, no exemplo, que os dois conjuntos têm cada um três elementos, e seu produto contém 3 × 3 = 9 elementos. De modo geral, temos o seguinte:

Proposição 10.15 Sejam A e B conjuntos finitos. Então, | A × B | = | A | × | B |.

A prova é entregue ao leitor através do exercício 10.22.

Recapitulando Nesta secção, discutimos as seguintes operações com conjuntos: • União: A∪B é o conjunto de todos os elementos que estão em A ou em B (ou em

ambos). • Intersecção: A∩B é o conjunto de todos os elementos que estão simultaneamente

em A e em B. • Diferença de conjuntos: A – B é o conjunto de todos os elementos que estão em A,

mas não em B. • Diferença simétrica: A ∆ B é o conjunto de todos os elementos que estão em A ou

em B, mas não em ambos. • Produto Cartesiano: A × B, é o conjunto de todos os pares ordenados da forma (a,

b) em que a ∈ A e b ∈ B.

EXERCÍCIOS 1. Para os conjuntos A = 1, 2, 3, 4, 5 e B = 4, 5, 6, 7, calcule:

a) A∪B. b) A∩B. c) A – B. d) B – A. e) A ∆ B. f) A×B. g) A×B. h)

2. Prove o Teorema 10.3.

3. Construa um diagrama de Venn para a propriedade distributiva A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C).

4. A ilustração pelo diagrama de Venn constitui uma prova? (Trata-se de uma questão filosófica.)

5. Sejam A, B e C conjuntos, com A ∩ B ∩ C ≠ ∅. Prove ou refute: | A ∪ B ∪ C | = | A | + | B | + | C |.

6. Suponha A, B e C conjuntos disjuntos dois a dois. Prove ou refute: | A ∪ B ∪ C | = | A | + | B | + | C |.

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7. Para os conjuntos A e B, prove ou refute: A ∪ B = A ∩ B se e somente se A = B.

8. Para os conjuntos A e B, prove ou refute: | A ∆ B | = | A | + | B | – | A ∩ B | se e somente se A = B.

9. Para os conjuntos A e B, prove ou refute: | A ∆ B | = | A – B | + | B – A |.

10. Seja A um conjunto. Prove A – ∅ = A e ∅ – A = ∅.

11. Seja A um conjunto. Prove A ∆ A = ∅ e A ∆ ∅ = A.

12. Prove que A ⊆ B se e somente se A ∆ B = ∅.

13. Sejam A e B conjuntos não vazios. Prove que A × B = B × C se e somente se A = B. Porque razão é necessária a condição de A e B serem não vazios?

14. Formule e prove condições necessárias e suficientes para que A – B = B – A. Por outras palavras, estabeleça um teorema da forma “sejam os conjuntos A e B. Temos A – B = B – A se e somente se (uma condição sobre A e B)”. Prove, então, seu resultado.

15. Verdadeiro ou falso. Para cada uma das afirmações seguintes, determine se é verdadeira ou falsa e prove sua afirmação. Isto é, para cada afirmação verdadeira, apresente uma prova e para cada afirmação falsa dê um contra-exemplo (com explicação). No que se segue, A, B e C designam conjuntos. a) A – (B – C) = (A – B) – C. b) (A – B) – C = (A – C) – B). c) (A ∪ B) – C = (A – C) ∩ (B – C). d) Se A = B – C, então B = A ∪ C. e) Se B = A ∪ C, então A = B – C. f) | A – B | = | A | – | B |. g) (A – B) ∪ B = A. h) (A ∪ B) – B = A.

Complemento de um conjunto

16. Seja A um conjunto. O complemento de A, denotado por A , é o conjunto de todos os objectos que não estão em A. ATENÇÃO! Esta definição exige alguns reparos. Tomada literalmente, o complemento do conjunto 1, 2, 3 inclui o número -5, o par ordenado (3,4) e o sol, a lua, as estrelas! Afinal de contas, a definição diz “... todos os objectos que não estão em A”. Não é precisamente o que se tem em vista. Quando os matemáticos falam de complementos de conjuntos, eles em geral têm em mente um conjunto global, abrangente. Por exemplo, no decorrer de uma prova ou discussão sobre inteiros, se A é um conjunto que contém apenas números inteiros, A representa o conjunto de todos inteiros que não estão em A. Se U (de “Universo”) é o conjunto de todos os objectos em consideração e A ⊆ U, então o complemento de A é o conjunto de todos os objectos de U que não estão em A. Por outras palavras, A = U – A. Assim, φ = U. Prove o que segue sobre complementos de conjuntos. Aqui, as letras A, B e C designam conjuntos de um conjunto universo U. a) A = B se e somente se BA = .

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b) AA = . c) CBACBA IIUU = .

A notação U – A é muito mais clara do que A .

A notação A é cómoda, mas pode ser ambígua. A menos que fique perfeitamente claro qual deve ser o conjunto “universo” U, é melhor utilizar a notação de diferença de conjuntos do que a notação de complemento.

17. Desenhe um diagrama de Venn para quatro conjuntos. Note que o diagrama de Venn de três conjuntos que temos utilizado tem oito regiões (inclusive a região que circunda os três círculos), correspondentes aos oito modos possíveis de associação que um objecto pode ter. Um objecto pode estar ou não estar em A, estar ou não estar em B e estar ou não estar em C.

ilidExplique porque essa situação origina oito possib ades. Seu diagrama deve mostrar quatro conjuntos A, B, C e D. Quantas regiões ele terá? No seu diagrama sombreie o conjunto A ∆ B ∆ C ∆ D. Nota: seu diagrama não precisa usar círculos para demarcar os conjuntos. Na verdade, é impossível criar um diagrama de Venn para quatro conjuntos utilizando círculos! O leitor deve utilizar outras formas.

Uma versão ampliada de inclusão-exclusão

18. Sejam os conjuntos A, B e C. Prove que

| A ∪ B ∪ C | = | A | + | B | + | C | - | A ∩ B | - | A ∩ C | - | B ∩ C | + | A ∩ B ∩ C |. A conexão entre operações com conjuntos e a álgebra booleana.

19. Há uma relação íntima entre os conceitos da teoria de conjuntos e os conceitos da álgebra booleana. Os símbolos ∧ e ∨ são versões de ∩ e ∪, respectivamente. Isso é mais do que uma coincidência. Consideremos:

x ∈ A ∩ B ⇔(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)

x ∈ A ∪ B ⇔(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)

Estabeleça relações análogas entre as notações ⊆ e ∆ da teoria de conjuntos e noções de álgebra booleana.

20. Prove que a diferença simétrica é uma operação comutativa; isto é, para quaisquer conjuntos A e B, temos A ∆ B = B ∆ A.

21. Prove que a diferença simétrica é uma operação associativa; isto é, para quaisquer conjuntos A, B e C, temos A ∆ (B ∆ C) = (A ∆ B) ∆ C e ilustre esta igualdade com um diagrama de Venn.

22. Prove a Proposição 10.15.

23. Sejam os conjuntos A, B e C. Prove: a) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C). b) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C). c) A (B – C) = (A B) – (A C). d) A × (B ∆ C) = (A × B) ∆ (A × C).

× × ×

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3. Contagem e Relações

3.11 Relações As relações premeiam toda a matemática. Intuitivamente, uma relação é uma

comparação entre dois objectos. Os dois objectos estão, ou não relacionados de acordo com alguma regra. Por exemplo, menor do que (<) é uma relação definida nos inteiros. Alguns pares de números, como (2, 8), satisfazem a relação menor que (pois 2 < 8), mas outros pares de números não a satisfazem, como (10, 3), pois 310 </ .

Há outras relações definidas sobre os inteiros, como divisibilidade, maior do que, igualdade, etc. Além disso, há relações sobre outros tipos de objectos. Podemos, por exemplo, perguntar se um par de conjuntos satisfaz a relação ⊆ ou se um par de triângulos verifica a relação é congruente com.

Tipicamente, utilizamos relações para estudar objectos. Por exemplo, a relação é congruente com é um instrumento central na geometria para o estudo de triângulos. Nesta secção, adoptamos um ponto de vista diferente.

O nosso objectivo é estudar as relações em si mesmas. O que é uma relação? A definição precisa vem a seguir. Mas cuidado! À primeira vista pode parecer desconcertante e apresentar pouca semelhança com o que entendemos que devam ser relações, como ≤. Esteja certo, entretanto, de que vamos explicar detalhadamente esta definição.

Definição 11.1 (Relação) Uma relação é um conjunto de pares ordenados.

Um conjunto de pares ordenados??? Sim; queremos dizer um conjunto de listas de dois elementos. Por exemplo, R = (1,2), (1, 3), (3, 0) é uma relação, embora sem interesse especial. Isto parece não ter muito a ver com as relações com que estamos familiarizados como <, ⊆ e |. Na verdade, quando os matemático cogitam sobre relações, eles raramente as encaram como conjuntos de pares ordenados. Pensamos numa relação R como um “teste”.

Se x e y estão relacionados por R, se eles passam no teste, então escrevemos x R y. Caso contrário, se eles não estão relacionados por R, colocamos um traço inclinado sobre o símbolo da relação, como em x ≠ y ou B⊆A / B). (A não é subconjunto de

Como podemos entender a Definição 11.1 desta maneira? O conjunto de pares ordenados é uma listagem completa de todos os pares de objectos que “satisfazem” a relação.

Voltemos ao exemplo R = (1,2), (1, 3), (3, 0). Esta relação diz-nos que, para a relação R, i está relacionado com 2, 1 está relacionado com 3, 3 está relacionado com 0, e, para quaisquer outros objectos x e y, x não está relacionado com y. Podemos escrever:

(1, 2) ∈ R, (1, 3) ∈ R, (3, 0) ∈ R, (5,6) ∉ R.

Isto significa que (1,2), (1, 3) e (3, 0) estão relacionados por R, mas (5, 6) não está. Embora se trate de uma maneira formalmente correcta de expressar esses factos, não é como os matemáticos costumam escrever. Escreveríamos, perfeitamente,

63

1 R 2, 1 R 3, 3 R 0, 5 R/ 6.

x R y ⇔ (x, y) ∈ R.

Por outras palavras, os símbolos x R y significam (x, y) ∈ R. Ou seja, “x está relacionado com y pela relação R”, ou, se todos sabem qual a relação que está em jogo no momento, podemos dizer simplesmente que “x está relacionado com y”.

As relações já familiares da matemática podem ser encaradas nestes termos. Por exemplo, a relação menor do que ou igual a no conjunto dos inteiros pode escrever-se como se segue:

(x, y) : x, y ∈ Z e y – x ∈ N.

Isto diz-nos que (x, y) está na relação desde que y – x ∈ N; isto é, desde que y – x seja um inteiro não negativo, o que, por sua vez, é equivalente a x ≤ y.

Retenhamos os dois pontos importantes:

• Uma relação R é um conjunto de pares ordenados (x, y); incluímos um par ordenado em R apenas quando (x, y) “satisfaz” a relação R. Qualquer conjunto de pares ordenados constitui uma relação, e uma relação não precisa ser especificada por uma “regra” geral ou por um princípio especial.

• Mesmo que as relações sejam conjuntos de pares ordenados, em geral não escrevemos (x, y) ∈ R. Escrevemos, preferencialmente, x R y e dizemos que “x está relacionado com y pela relação R”.

A seguir vamos ampliar um pouco a Definição 11.1.

Definição 11.2 (Relação em e entre Conjuntos) Seja R uma relação e sejam os conjuntos A e B. Dizemos que R é uma relação sobre A

desde que R ⊆ A × A; e dizemos que R é uma relação de A para B se R ⊆ A × B.

Exemplo 11.3 Sejam A = 1, 2, 3, 4 e B = 4, 5, 6, 7. Sejam R = (1, 1), (2, 2), (3, 3) (4, 4), S = (1, 2), (3, 2), T = (1, 4), (1, 5), (4, 7), U = (4, 4), (5, 2), (6, 2), (7, 3) e V = (1, 7), (7, 1). Todos esses conjuntos são relações. • R é uma relação sobre A. Note que se trata da relação de igualdade em A. • S é uma relação sobre A. Note o elemento 4 nunca é mencionado. • T é uma relação de A para B. Note que os elementos 2 ,3 ∈ A e 6 ∈ B nunca são

mencionados. • U é uma relação de B para A. • V é uma relação, mas não é uma relação de A para B nem de B para A.

Como, formalmente, uma relação é um conjunto, todas as operações sobre conjuntos aplicam-se às relações. Por exemplo, se R é uma relação e A é um conjunto, então R ∩ A ×

64

A é uma relação R restrita ao conjunto A. [Poderíamos, também, considerar R ∩ A × B, onde, então, teríamos restringido R a ser uma relação de A para B.]

Eis outra operação que podemos fazer sobre relações.

Definição 11.4 (Relação Inversa) Seja R uma relação. A inversa de R, denotada por R–1, é a relação formada invertendo-

se a ordem de todos os pares ordenados em R.

Simbolicamente,

R–1 = (x, y) : (y, x) ∈ R.

Exemplo 11.5 Seja R = (1, 5), (2, 6), (3, 7), (3, 8). Então R–1 = (5, 1), (6, 2), (7, 3), (8, 3).

Se R é uma relação em A, então R–1 também o é. Se R é uma relação de A para B, então R–1 é uma relação de B para A.

Note que não faz sentido escrevermos 1/R. Para formar o inverso de uma relação simplesmente invertemos a ordem de todos os seus pares ordenados; isso não tem nada a ver com a divisão. O expoente -1 é apenas uma notação conveniente. Não definimos uma operação geral de elevar uma relação a um expoente.

Propriedades de Relações Vamos introduzir termos especiais para descrever relações.

Definição 11.6 (Propriedades de Relações) Seja R uma relação definida num conjunto A. Se para todo x ∈ A temos x R x, dizemos que R é reflexiva. Se para todo x ∈ A temos x R/ x, dizemos que R é anti-reflexiva. Se para todos x, y ∈ A temos x R y ⇒ y R x, dizemos que R é simétrica. Se para todos x, y ∈ A temos (x R y ∧ y R x) ⇒ x = y, dizemos que R é anti-simétrica. Se para todos x, y, z ∈ A temos (x R y ∧ y R z) ⇒ x R z, dizemos que R é transitiva.

Apresentamos alguns exemplos para ilustrar este vocabulário.

Exemplo 11.7 Consideremos a relação = (igualdade) sobre os inteiros. Ela é reflexiva (qualquer

inteiro é igual a si mesmo), simétrica (se x = y, então y = x) e transitiva (se x = y e y = z, então x = z).

(A relação = é anti-simétrica, mas este não é um exemplo interessante de anti-simetria. Veja os exemplos subsequentes.) Todavia, não é anti-reflexiva (o que significaria x ≠ y para todo x ∈ Z.

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Exemplo 11.8

Consideremos a relação ≤ (menor do que ou igual a ) sobre os inteiros. Note que ≤ é reflexiva, porque, para qualquer inteiro x, é verdadeiro que x ≤ x. Também é transitiva, pois x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z.

A relação ≤ não é simétrica, pois isso implicaria x ≤ y ⇒ y ≤ x e isto é falso; por exemplo, 3 ≤ 9 mas 9≤ 3. Todavia, ≤ é anti-simétrica: Se sabemos que x ≤ y e y ≤ x, deve /ser porque x = y. Finalmente, ≤ não é anti-reflexiva; por exemplo, 5 ≤ 5.

Exemplo 11.9 Consideremos a relação < (estritamente menor do que) sobre os inteiros. Note que < é

anti-reflexiva, porque, por exemplo, 3 < 3 é falso. Além disso, < é anti-reflexiva porque x < x nunca se verifica. A relação < não é simétrica, porque x < y não implica y < x; por exemplo, 0 < 5 mas 5 0. </

Exemplo 11.10 Consideremos a relação | (divide) sobre os números naturais. Note que | é anti-

simétrica porque, se x e y são números naturais com x | y e y | x, então x = y. Todavia, a relação | não é simétrica (por exemplo, 3 | 9 mas 9 não divide 3). As propriedades na Definição 11.6 dependem do contexto da relação. Por exemplo, a

relação | (divide) sobre os inteiros é diferente da relação | quando restrita aos números naturais. Este exemplo mostra também que uma relação pode não ser nem simétrica nem anti-simétrica.

Os termos na Definição 11.6, tais como reflexiva, são atributos de uma relação R definida num conjunto A. Consideremos a relação R = (1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 3). Perguntamos: R é reflexiva? Esta pergunta não comporta uma resposta definitiva. Se encararmos R como uma relação no conjunto 1, 2, 3, então a resposta é sim. Entretanto, podemos também considerar R como uma relação sobre todo o Z; neste contexto, a resposta é não. Pode-se apenas dizer que uma relação R é reflexiva se nos for dado o conjunto A sobre o qual R é uma relação. Na maioria dos casos, o conjunto A ou será mencionado explicitamente ou será óbvio pelo contexto.

Recapitulando

Introduzimos a noção de relação, tanto no sentido intuitivo de uma “condição”, como no sentido formal de conjunto de pares ordenados. Apresentamos o conceito de relação inversa e definimos as seguintes propriedades das relações: reflexiva, anti-reflexiva, simétrica, anti-simétrica e transitiva.

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EXERCÍCIOS 1. Para cada uma das seguintes relações definidas no conjunto 1, 2, 3, 4, 5,

determine se a relação é reflexiva, anti-reflexiva, simétrica, anti-simétrica e/ou transitiva. a) R = (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5). b) R = (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5). c) R = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5). d) R = (1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 4), (4, 3). e) R = 1, 2, 3, 4, 5× 1, 2, 3, 4, 5.

2. Digamos que dois inteiros estão próximos um do outro se sua diferença for no máximo 2 (isto é, os números estão a uma distância de 2 unidades no máximo). Por exemplo, 3 está próximo de 5, 10 está próximo de 9, mas 8 não está próximo de 4. Designemos por R esta relação estar próximo de. a) Escreva R como um conjunto de pares ordenados. Sua resposta deve apresentar-

se como se segue: R = (x, y) : .... Prove ou refute: b) R é reflexiva. c) R é anti-reflexiva. d) R é simétrica. e) R é anti-simétrica. f) R é transitiva.

3. Determine R–1 para cada uma das seguintes relações: a) R = (1, 2), (2, 3), (3, 4). b) R = (1, 1), (2, 2), (3, 3). c) R = (x, y) : x, y ∈ Z, x – y = 1. d) R = (x, y) : x, y ∈ N, x | y . e) R = (x, y) : x, y ∈ Z, xy > 0.

4. Seja R uma relação sobre um conjunto A. Prove ou refute: Se R é anti-simétrica, então R é anti-reflexiva.

5. Seja R a relação tem o mesmo tamanho que definida sobre todos os subconjuntos finitos de Z (isto é, A R B se e somente |A| = |B|). Quais das cinco propriedades (reflexiva, anti-reflexiva, simétrica, anti-simétrica e transitiva) R possui? Prove suas respostas.

6. Considere a relação ⊆ em 2Z (isto é, a relação é um subconjunto de definida em todos os conjuntos de inteiros). Que propriedades da Definição 11.6 ⊆ possui? Prove suas respostas.

7. Que é ≤–1?

8. A propriedade anti-reflexiva não é a mesma que não reflexiva. Para ilustrar, faça o seguinte: a) Dê um exemplo de relação de um conjunto que não seja nem reflexiva nem

anti-reflexiva.

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b) Dê um exemplo de relação em um conjunto que seja ao mesmo tempo reflexiva e anti-reflexiva.

A parte (a) não é muito difícil, mas para (b), o leitor deverá criar um exemplo assaz estranho.

9. Uma forma interessante de dizer que R é simétrica é R = R–1. Prove isto (isto é, prove que uma relação R é simétrica se e somente se R = R–1).

10. Prove: Uma relação R num conjunto A é anti-simétrica se e somente se

R ∩ R–1 ⊆ (a, a) : a ∈ A.

11. Dê um exemplo de uma relação que seja simétrica e transitiva, mas não reflexiva. Explique o que está errado na seguinte prova: Afirmação: Se R é simétrica e transitiva, então R é reflexiva. Prova: Suponhamos que R seja simétrica e transitiva. Simétrica quer dizer que x R y implica y R x. Aplicamos a transitividade a x R y e a y R x, obtendo x R x. Portanto, R é reflexiva. C.q.d.

12. Ilustração de relações. As figuras de objectos matemáticos constituem valioso auxílio para a compreensão dos conceitos. Há uma maneira assaz interessante de traçar a imagem duma relação num conjunto ou duma relação de um conjunto para outro. Para traçar uma imagem de uma relação R num conjunto A, fazemos um diagrama em que cada elemento de A é representado por um ponto. Se a R b, traçamos uma seta do ponto a para o ponto b. Se acontece que b também está relacionado com a, traçamos outra seta de b para a. E se a R a, traçamos uma seta em laço de a para si mesmo. Por exemplo, sejam A = 1, 2, 3, 4 e R = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 1), (4, 3). A ilustração da relação R em A seria (...). Para traçar uma imagem de uma relação de A para B, traçamos dois conjuntos de pontos. O primeiro conjunto de pontos corresponde aos elementos em A; colocamos esses pontos à esquerda da figura. Os pontos correspondentes a B aparecem à direita. Traçamos, então, uma seta de a ∈ A para b ∈ B sempre que (a, b) estiver na relação. Por exemplo, sejam A = 1, 2, 3, 4, 5 e R = 4, 5, 6, 7 e a relação S = (1, 4), (1, 5), (2, 5), (3, 6). A ilustração da relação S de A para R seria (...). Trace ilustrações das seguintes relações: a) Seja A = a ∈ N : a | 10 e seja R a relação | (divide) restrita a A. b) Seja A = 1, 2, 3, 4, 5 e seja R a relação menor do que restrita a A. c) Seja A = 1, 2, 3, 4, 5 e seja R a relação = (igual) restrita a A. d) Seja A = 1, 2, 3, 4, 5 e seja B = 2, 3, 4, 5. Consideremos a relação ≥ (maior

do que ou igual a) de A para B. e) Sejam A = -1, -2, -3, -4, -5 e B = 1, 2, 3, 4, 5 e seja R = (a, b) : a ∈ A, b

∈ B, a | b.

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3.12 Relações de Equivalência À medida que prosseguirmos com o nosso estudo da matemática discreta, vamos

encontrar várias relações. Certas relações apresentam uma forte semelhança com a relação de igualdade. Um bom exemplo (da geometria) é a relação é congruente com (em geral denotado por ≅) no conjunto dos triângulos. Falando aproximadamente, dois triângulos são congruentes se têm exactamente a mesma forma. Os triângulos congruentes não são iguais (podem estar em partes diferentes do plano), mas, em certo funcionam como triângulos iguais. Porquê? O que há de especial com ≅ que faz com que actue como igualdade?

Das cinco propriedades listadas na Definição 11.6, ≅ é reflexiva, simétrica e transitiva (mas não é nem anti-reflexiva nem anti-simétrica). As relações com essas três propriedades são apresentadas com a igualdade e recebem um nome especial.

Definição 12.1 (Relação de Equivalência) Seja R uma relação num conjunto A. Dizemos que R é uma relação de equivalência se

R é reflexiva, simétrica e transitiva.

Exemplo 12.2 Consideremos a relação tem o mesmo tamanho que sobre conjuntos finitos (ver

Exemplo 11.5). Para subconjuntos finitos de inteiros A e B, A R B se e somente se |A | = |B |. Note que R é reflexiva, simétrica e transitiva e, assim, é uma relação de equivalência. Não é que dois conjuntos do mesmo tamanho sejam o mesmo. Por exemplo, 1, 2, 3 R 2, 3, 4, mas 1, 2, 3 ≠ 2, 3, 4. Não obstante, os conjuntos relacionados por R são “parecidos” uns com os outros pelo facto de compartilharem uma mesma propriedade: seu tamanho.

A congruência de números (módulo n) é diferente da congruência de figuras geométricas. Ambas são relações de equivalência. Infelizmente os matemáticos empregam a mesma palavra com sentidos diferentes. Procuramos, não obstante, estar certos de que o sentido é sempre claro pelo contexto.

A relação de equivalência a seguir desempenha um papel fundamental na teoria dos números.

Definição 12.3 (Congruência Módulo n) Seja n um inteiro positivo. Dizemos que os números x e y são congruentes módulo n e

escrevemos x ≡ y (mod n)

se n | (x – y).

Por outras palavras, x ≡ y (mod n) se e somente se x e y diferem por um múltiplo de n.

Exemplo 12.4 3 ≡ 13 (mod 5) porque 3 – 13 = –10 é múltiplo de 5. 4 ≡ 4 (mod 5) porque 4 – 4 = 0 é múltiplo de 5. 16 ≡ 3 (mod 5) porque 16 – 3 = 13 não é múltiplo de 5. /

Em geral, abreviamos para mod a palavra módulo. Se o inteiro n é conhecido e permanece inalterado durante a discussão, podemos omitir o (mod n) à direita. Costuma-se também abreviar (mod n) por apenas (n).

69

O caso mais simples desta definição ocorre quando n = 1. Neste caso, temos x ≡ y se e somente se x – y é divisível por 1. Mas todos os inteiros são divisíveis por 1, de modo que dois inteiros quaisquer são congruentes módulo 1. Este caso não tem interesse.

O próximo caso refere-se a n = 2. Dois números são congruentes mod 2 se sua diferença é divisível por 2 (isto é, eles diferem por um número par). Por exemplo:

3 ≡ 15 (mod 2), 0 ≡ –14 (mod 2) e 3 ≡ 3 (mod 2).

Mas

3 12 (mod 2) e -1 ≡/ ≡/ 0 (mod 2).

Note que dois números são congruentes módulo 2 se e somente se ambos são pares ou ambos são ímpares.

Diz-se que quando dois números são pares ou ímpares em simultâneo, eles têm a mesma paridade.

Teorema 12.5 Seja n um inteiro. A relação é congruente com mod n é uma relação de equivalência

no conjunto dos inteiros.

A demonstração deste resultado não é difícil. Utilizando-se as técnicas de prova já desenvolvidas. Nosso objectivo é provar que uma relação é uma relação de equivalência. Isso significa que a prova deve apresentar-se como segue:

Seja n um inteiro positivo e denotemos por ≡ a congruência mod n. Devemos mostrar que ≡ é reflexiva, simétrica e transitiva.

• Asserção: ≡ é reflexiva. ... Assim, ≡ é reflexiva. • Asserção: ≡ é simétrica. ... Assim, ≡ é simétrica. • Asserção: ≡ é transitiva. ... Assim, ≡ é transitiva. Portanto, ≡ é uma relação de equivalência. C.q.d.

Note que a demonstração se decompõe em três partes correspondentes às três condições da Definição 12.1. Cada secção é anunciada com a palavra asserção. Asserção é uma afirmação que pretendemos provar no decorrer de uma prova. Isto ajuda o leitor a saber o que está por vir e porquê.

Podemos agora começar a desenvolver cada parte da prova. Por exemplo, para mostrar que ≡ é reflexiva, devemos mostrar que ∀x ∈ Z, x ≡ x (ver Definição 11.6). Introduzamos isso na prova.


• Asserção: ≡ é reflexiva. Seja x um inteiro arbitrário ... Portanto, x ≡ x. Assim, ≡ é reflexiva.

• Asserção: ≡ é simétrica. ... Assim, ≡ é simétrica. • Asserção: ≡ é transitiva. ... Assim, ≡ é transitiva. Portanto, ≡ é uma relação de equivalência. C.q.d.

Devemos agora provar que x ≡ x. O que isto significa? Isto significa que n | (x – x), ou seja, que n | 0, o que é óbvio! É claro que 0 é um múltiplo de n, pois n × 0 = 0.

70

Vamos acrescentar isto à demonstração:


• Asserção: ≡ é reflexiva. Seja x um inteiro arbitrário. Como 0 × n = 0, temos que n | 0, que podemos reescrever como n | (x – x). Portanto, x ≡ x. Assim, ≡ é reflexiva.

• Asserção: ≡ é simétrica. ... Assim, ≡ é simétrica. • Asserção: ≡ é transitiva. ... Assim, ≡ é transitiva. Portanto, ≡ é uma relação de equivalência. C.q.d.

Vamos agora abordar a simetria de ≡. Para mostrar a simetria, consultamos a Definição 11.6 e constatamos que devemos provar que x ≡ y ⇒ y ≡ x. Esta é uma afirmação do tipo “se-então”; escrevemos, pois:



• Asserção: ≡ é simétrica. Sejam x e y inteiros e suponhamos x ≡ y... Portanto y ≡ x e, assim, ≡ é simétrica.

• Asserção: ≡ é transitiva. ... Assim, ≡ é transitiva. Portanto, ≡ é uma relação de equivalência. C.q.d.

A seguir, desenvolvemos as definições.



• Asserção: ≡ é simétrica. Sejam x e y inteiros e suponhamos x ≡ y. Isto significa que n | (x – y). ... Assim, n | (y – x). Portanto y ≡ x e, assim, ≡ é simétrica.


Nosso trabalho está quase completo. Sabemos que n | (x – y). Desejamos n | (y – x). Podemos desenvolver a definição de divisibilidade e completar esta parte da prova. (Alternativamente, podemos usar o exercício 3.7.)



• Asserção: ≡ é simétrica. Sejam x e y inteiros e suponhamos x ≡ y. Isto significa que n | (x – y). Assim, há um inteiro k tal que x – y = kn. Mas então y – x = (-k)n. E assim n | (y – x). Portanto y ≡ x. Assim, ≡ é simétrica.


71

A prova da terceira parte quase que se escreve por si mesma; deixamo-la a cargo do leitor (Exercício 12.4).

Classes de Equivalência Já vimos anteriormente que dois números são congruentes mod 2 se são ou (1) ambos

ímpares ou (2) ambos pares. (Ainda não provamos este facto, mas vamos fazê-lo.)

Temos duas classes de números: ímpares e pares. Dois números ímpares quaisquer são congruentes módulo 2 (isto pode ser provado) e dois números pares quaisquer são congruentes módulo 2. As duas classes são disjuntas (não têm elemento comum) e, tomadas em conjunto, contêm todos os inteiros, isto é, são complementares no conjunto dos inteiros.

Da mesma forma, denotamos por R a relação tem o mesmo tamanho que nos subconjuntos finitos de Z. Já vimos que R é uma relação de equivalência. Note que podemos categorizar os subconjuntos finitos de Z de acordo com sua cardinalidade. Há apenas um subconjunto finito de Z que tem cardinalidade zero, a saber, o conjunto vazio. O único conjunto relacionado com ∅ pela R é o próprio ∅. Em seguida vêm os subconjuntos de tamanho um:

..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

Esses subconjuntos estão todos relacionados uns com os outros pela R, mas não estão relacionados com quaisquer outros conjuntos. Há também a classe de equivalência de todos os subconjuntos de Z de tamanho dois que, igualmente, estão relacionados uns com os outros, mas não com quaisquer outros conjuntos.

A decomposição de um conjunto por uma relação de equivalência é uma ideia importante, que passamos a formular.

Definição 12.6 (Classe de Equivalência) Seja R uma relação de equivalência num conjunto A e seja a ∈ A. A classe de

equivalência de a, denotada por [a], é o conjunto de todos os elementos de A relacionados com a (pela relação R), isto é,

[a] = x ∈ A : x R a. Exemplo 12.7 Consideremos a relação de equivalência congruência mod 2. O que é [1]? Por

definição, [1] = x ∈ Z : x ≡1 (mod 2).

Este é o conjunto de todos os inteiros x tais que 2 | (x – 1), isto é, x – 1 = 2k, para algum k, de modo que x = 2k + 1, isto é, x é ímpar! O conjunto [1] é o conjunto dos números ímpares. Não é difícil ver que [0] é o conjunto dos números pares (prove-o).

Consideremos [3]. O leitor deve provar que [3] é o conjunto dos números ímpares, de modo que [3] = [1].

A relação de equivalência congruência mod 2 tem apenas duas classes de equivalência: o conjunto dos inteiros ímpares [1] e o conjunto dos inteiros pares [0].

72

Exemplo 12.8 Seja R a relação tem o mesmo tamanho que definida no conjunto dos subconjuntos

finitos de Z. Que é [0]? Por definição, [0] = A ⊆ Z : | A | = 0 = ∅ pois ∅ é o único conjunto com cardinalidade zero. O que é [2, 4, 6, 8]? O conjunto de todos os subconjuntos finitos de Z relacionados

com 2, 4, 6, 8 consiste exactamente nos de tamanho quatro: [2, 4, 6, 8] = A ⊆ Z : | A | = 4. A relação R separa o conjunto de subconjuntos finitos de Z em um número infinito de

classes de equivalência (uma para cada elemento de N). Toda a classe contém conjuntos que estão relacionados uns com os outros, mas não com qualquer elemento que não esteja naquela classe.

Passamos a apresentar várias proposições que descrevem as características importantes das classes de equivalência.

Proposição 12.9 Seja R uma relação de equivalência num conjunto A e seja a ∈ A. Então a ∈ [a].

Prova: Note que [a] = a ∈ A : x R a. Para mostrar que a ∈ [a], basta mostrar a R a, o que é verdade, por definição. (R é reflexiva). C.q.d.

Uma consequência da Proposição 12.9 é que as classes de equivalência não são vazias. Uma segunda consequência é que a união de todas as classes de equivalência é o próprio A (veja Exercício 12.6).

Proposição 12.10 Seja R uma relação de equivalência num conjunto A e sejam a, b ∈ A. Então a

R b se e somente se [a] = [b]

Prova: (⇒) Suponhamos a R b. Devemos mostrar que os conjuntos [a] = [b] são o mesmo (ver Esquema de Prova 5).

Suponhamos x ∈ [ a ]. Isto significa que x R a. Como a R b, temos (por transitividade) x R b. Portanto, x ∈ [b].

Por outro lado, suponhamos que y ∈ [b]. Isto significa que y R b. Temos que a R b, e sito implica b R a (simetria). Por transitividade (aplicada a y R b e b R a), temos y R a.

Portanto, y ∈ [a]. Logo, [a] = [b].

(⇐) Suponhamos que [a] = [b]. Sabemos (Proposição 12.9) que a ∈ [a]. Mas [a] = [b]; assim, a ∈ [b]. Portanto, a R b. C.q.d.

Proposição 12.11 Seja R uma relação de equivalência num conjunto A e sejam a, x, y ∈ A. Se x, y

∈ [a], então x R y.

Prova: No exercício 12.8, pede-se ao leitor que prove a Proposição 12.11.

73

Proposição 12.12 Seja R uma relação de equivalência num conjunto A e suponhamos [a] ∩ [b] ≠ ∅.

Então [a] = [b].

Antes de abordarmos a prova deste resultado, procuremos entender claramente o que ele nos diz. Ele afirma que ou duas classes de equivalência não têm elementos em comum ou então que, se têm um elemento em comum, elas são idênticas. Por outras palavras, as classes de equivalência devem ser disjuntas duas a duas.

Passemos agora a desenvolver a prova da Proposição 12.12. Esta proposição pede que provemos que dois conjuntos ([a] e [b]) são o mesmo conjunto. Poderíamos utilizar o Esquema de Prova 5 e a prova não seria muito difícil (o leitor pode tentá-lo sozinho).

Todavia, note que a Proposição 12.10 dá uma condição necessária e suficiente para provar que duas classes de equivalência são a mesma. Para mostrar que [a] = [b] basta mostrar que a R b. O esquema de prova é o seguinte:

Seja R uma relação de equivalência num conjunto A e suponhamos que [a] e [b] sejam classes de equivalência com [a] ∩ [b] ≠ ∅. ... Assim, a R b. Pela proposição 12.10 temos, pois, [a] = [b]. C.q.d.

Devemos agora desenvolver o facto de que [a] ∩ [b] ≠ ∅. O facto de dois terem intersecção não vazia significa que há algum elemento que está em ambos os conjuntos.

Seja R uma relação de equivalência num conjunto A e suponhamos que [a] e [b] sejam classes de equivalência com [a] ∩ [b] ≠ ∅. Então existe um x ∈ [a] ∩ [b]; isto é, um elemento x tal que x ∈ [a] e x ∈ [b]. ... Portanto, a R b. Pela proposição 12.10 temos, pois, [a] = [b]. C.q.d.

Podemos agora desenvolver os factos x ∈ [a] e x ∈ [b] para obtermos x R a e x R b (pela Definição 12.6).

Seja R uma relação de equivalência num conjunto A e suponhamos que [a] e [b] sejam classes de equivalência com [a] ∩ [b] ≠ ∅. Então existe um x ∈ [a] ∩ [b]; isto é, um elemento x tal que x ∈ [a] e x ∈ [b]. Assim, x R a e x R b. Portanto, a R b. Pela proposição 12.10 temos, pois, [a] = [b]. C.q.d.

Estamos quase terminando.

Sabemos: x R a e x R b. Queremos: a R b.

Podemos trocar x R a por a R x (por simetria) e aplicar, então, a transitividade a a R x e x R b para obter a R b, completando a demonstração.

Seja R uma relação de equivalência num conjunto A e suponhamos que [a] e [b] sejam classes de equivalência com [a] ∩ [b] ≠ ∅. Logo, existe um x ∈ [a] ∩ [b]; isto é, um elemento x tal que x ∈ [a] e x ∈ [b]. Assim, x R a e x R b. Como x R a temos a R x (simetria), e como a R x e x R b, temos (por transitividade), a R b. Portanto, pela proposição 12.10 temos [a] = [b]. C.q.d.

A prova está terminada. Reiteremos, a seguir, algo do que aprendemos.

74

Corolário 12.13 Seja R uma relação de equivalência num conjunto A. As classes de equivalência de R

são subconjuntos de A não vazios e disjuntos dois a dois, cuja união é A.

Recapitulando Uma relação de equivalência é uma relação num conjunto que goza das propriedades

reflexiva, simétrica e transitiva. Discutimos uma relação de equivalência importante – a congruência módulo em Z. Desenvolvemos a noção de classes de equivalência e discutimos várias propriedades das classes de equivalência.

EXERCÍCIOS 1. Quais dos seguintes conjuntos são relações de equivalência?

a) R = (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3) no conjunto 1, 2, 3. b) R = (1, 2), (2, 3), (3, 1) no conjunto 1, 2, 3. c) | em Z. ≤ em Z. d) 1, 2, 3× 1, 2, 3 no conjunto 1, 2, 3. e) 1, 2, 3× 1, 2, 3 no conjunto 1, 2, 3, 4. f) É um anagrama de no conjunto de palavras inglesas (por exemplo, STOP é um

anagrama de POTS, porque podemos formar uma palavra a partir da outra mediante uma simples redisposição das letras).

2. Prove que, se x e y são ambos ímpares, então x ≡ y (mod 2). Prove que, se x e y são ambos pares, então x ≡ y (mod 2).

3. Prove que se a é inteiro, então a ≡ -a (mod 2).

4. Complete a prova do Teorema 12.5; isto é, prove que a congruência módulo n é transitiva.

5. Para cada relação de equivalência, ache a classe de equivalência pedida. a) R = (1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3), (4,4) no conjunto 1, 2, 3, 4. Ache [1]. b) R = (1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3), (4,4) no conjunto 1, 2, 3, 4. Ache [4]. c) R é tem o mesmo algarismo das dezenas que, no conjunto A = x ∈ Z : 100

< x < 200. Determine [123]. d) R é tem os mesmos pais que, no conjunto de todos os seres humanos. Ache

[você]. e) R é tem a mesma data de aniversário que, no conjunto de todos os seres

humanos. Ache [você]. f) R é tem o mesmo tamanho que, no conjunto 21, 2, 3, 4, 5. Ache [1, 3].

6. Seja R uma relação de equivalência num conjunto A. Prove que a união de todas as classes de equivalência de R é A. Simbolicamente, temos

[ ] AaAa∈

A notação U à esquerda merece um comentário. É afim à notação desenvolvida na

=U

Secção 8. Ali, entretanto, tínhamos um índic e variava entre dois inteiros, como em e qu

Un

k

ksdedependenteconjuntos1

)(=

.

75

A variável muda é k e tomamos uma união de conjuntos que dependem de k quando k percorre os inteiros 1, 2, ..., n. A situação aqui é ligeiramente diferente. A variável muda não é necessariamente um inteiro. A notação é da forma

que, neste problema, a união pode ser redundante. É possível que [a] = [ ], onde a e a’ são membros diferentes de

)(UAa

adedependemqueconjuntos∈

.

Isto significa que tomamos a união sobre todos os conjuntos dependentes de a possíveis, à medida que a percorre os vários membros de A. Note

a’A. Por exemplo, se R é congruência mod 2 e A = Z, então

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ZaZa

=∪=∪∪∪∪−∪−∪=∈

1021012 LLU .

que ...[-2] = [0] = [2] =por ... e ... = [-3] = [-1] = [1] = [3] = ...

valência num conjunto A e suponhamos a, b ∈ A. Prove

8.

10. s,

11. Eis uma outra ma quivalência: trace as classes de equ guinte relação de

R = (1,1), (1, ), (4,4), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5 ), (6,5), (6,6).

As classes de equivalência de

abemos que as classes de equivalência de R são não vazias,

e A acaba situando-se em exactamente numa

12.

7. Seja R uma relação de equia ∈ [b] ⇔ b∈ [a].

Prove a Proposição 12.11.

9. Sejam R e S relações de equivalência num conjunto A. Prove que R = S se e só se as classes de equivalência de R são as mesmas que as de S.

Com referência ao exercício 11.12 relativo ao traçado de ilustrações de relaçõeseja A = 1, 2, 3, ..., 10. Faça o seguinte: a) Trace três ilustrações de diferentes relações de equivalência em A. b) Para cada relação de equivalência, liste todas as suas classes de equivalência. c) Descreva com que “se parecem” as relações de equivalência.

neira de traçar a ilustração de uma relação de eivalência. Por exemplo, considere a se

equivalência em A = 1, 2, 3, 4, 5, 6: 2), (2,1), (2,2), (3,3

), (5,6), (6,4sta relação em A são:

[1] = [2] = 1, 2, [3] = 3 e

[4] = [5] = [6] = 4, 5, 6. A ilustração da relação R, ao invés de exibir setas de relações, simplesmente mostra as classes de equivalência de A. Os elementos de A estão encerrados num círculo, que subdividimos em regiões para mostrar as classes de equivalência. Pelo Corolário 12.13, sdisjuntas duas a duas e contêm todos os elementos de A. Assim, na figura, as regiões não se sobrepõem e todo elemento dregião do círculo. Para cada uma das relações de equivalência achadas no problema anterior, trace um diagrama de classes de equivalência.

Há apenas uma relação de equivalência possível num conjunto de um elemento: se A = 1, então R = (1, 1) é a única relação de equivalência possível.

76

Há exactamente duas relações de equivalência possíveis num conjunto de dois elementos: se A = 1,2, então R1 = (1,1), (2,2) e R2 = (1,1), (1,2), (2,1), (2,2)

um conjunto de quatro elementos?

13 Descreva as classes de equivalência da relação é semelhante a no conjunto de todos

artições

de A.

esta propriedade é que as classes de equivalência de R deter

são as únicas relações de equivalência em A. Quantas relações de equivalência diferentes são possíveis num conjunto de três elementos? E n

.os triângulos.

3.13 PTerminamos a secção anterior com o Corolário 12.13. Vamos repetir aqui aquele

resultado.

Seja R uma relação de equivalência num conjunto A. As classes de equivalência de R são subconjuntos não vazios de A, disjuntos dois a dois, cuja união é A.

Este corolário é plenamente ilustrado pelos diagramas traçados no Exercício 12.11. As classes de equivalência de R são traçadas como regiões separadas no interior de um círculo que contém os elementos

A linguagem técnica para minam uma partição de A.

Definição 13.1 (Partição) Seja A um conjunto. Uma partição de (ou sobre) A é um conjunto de subconjuntos

não v ioaz s de A, disjuntos dois a dois, cuja união é A.

quatro pontos chave nesta definição que vamos examinar ateHá ntamente num exem

• ção é um conjunto de subconjuntos; cada membro de uma partição é um

• to vazio nunca é parte de uma

• As partes de uma partição são disjuntas duas a duas. Duas partes de uma partição ter se quer um elemento em comum.

plo. Os quatro pontos são: Uma partisubconjunto de A. Os elementos da partição são chamados partes. As partes de uma partição são não vazias. O conjunpartição.

nunca podem• A união das partes é o conjunto original.

Exemplo 13.2 Seja A = 1, 2, 3, 4, 5, 6 e seja P = 1, 2, 3, 4, 5, 6. P é uma partição de A

em três partes. Essas partes são 1, 2, 3 e 4, 5, 6. Esses três conjuntos são (1) não vazios, (2) disjuntos dois a dois e (3) sua união é A.

Em geral utilizamos uma letra rebuscada P para denotar uma partição. Fazemos isto porque P é um conjunto de conjuntos. Esta hierarquia de lpara distinguir elementos, conjuntos e conju

etras – minúscula, maiúscula e rebuscada – é uma convenção útil ntos de conjuntos, respectivamente.

A partição 1, 2 , 3, 4, 5, 6. Eis mais

, 3, 4, 5, 6 não é a única partição de A = 1, 2duas partições dignas de nota:

1, 2, 3, 4, 5, 6 e 1, 2, 3, 4, 5, 6.

77

A primeira é uma partição de A em apenas uma parte contendo todos os elementos de A e a segunda é uma partição de A em seis partes, cada uma contendo apenas um elemento.

classes de equivalência de R forma

e form

junto . Usamos P para formar uma relação em .

Chamamos esta relação a relação denotamo-la . Define-se como segue. Sejam a, b ∈ A. Então,

a

Seja R uma relação de equivalência num conjunto A. As m uma partição de A. Formação de uma relação de equivalência com base numa partição.

Dada uma relação de equivalência num conjunto, as classes de equivalência dessa relação geram uma partição desse conjunto. Começamos com uma relação de equivalência

amos uma partição. Podemos também seguir o caminho inverso, dada uma partição, há uma maneira natural de construir uma relação de equivalência.

Seja P uma partição de um con A A

está na mesma parte que e P≡

P≡ b ⇔ ∃P ∈ P, a, b ∈ P.

b estão relacionados por Em palavras, a e P≡ desde que haja uma parte da partição P

que contenha ambos a e b.

Proposição 13.3

Seja A um conjunto e uma partição de A. A relação P≡ é uma relação de equivalência

em A.

va: Para mostrar que P≡ é uma relação de equivalência, devemos mostrar que é (1)

, (2) simétrica e (3) ansitiva. P

Proreflexiva tr

n

o a, pois a

• trica. Suponha

• é reflexiva. Seja a um eleme to arbitrário de A. Como P é uma partição, deve

haver uma parte P ∈ P que contenha a (a união das partes é A). Tem s a P

≡

≡ , a ∈ P ∈ P.

é simé mos a PP

≡ ≡ b para a, b ∈ A. Isto significa que há um P ∈ P

l que a, b ∈ P. Como a e b estão na mesma parte de P, também b P≡ a.

P≡ é reflexiva. (Este passo é mais interessante.) Sejam a, b, c ∈ A e suponhamos a P≡ b e b

P≡ c. Como a

P≡ b, há uma parte P ∈ P que contém ambos a e b. Como b

P≡ c, há uma parte Q ∈ com b, c ∈

ta

•

P Q. Note que b está tanto em P como em Q. Assim, as partes P e Q têm um elemento em comum. Como as partes de uma

ente na mesma parte de P. E como a e c estão numa parte

temos a c. C.q.d.

partição devem ser disjuntas duas a duas, deve ser P = Q. Portanto, todos os três a, b e c estão conjuntam

comum, de P, P≡

78

Confirmamos que P≡ é uma relação de equivalência. Quais são suas classes de

equivalência?

Proposição 13.4

Seja P uma partição de um conjunto A e seja P≡ a relação está na mesma parte que. As

classes de equivalência de P≡ são precisamente as partes de P.

Deixamos a demonstração a cargo do leitor (Exercício 13.5).

as relações de equivalência e as partições são lados da mesm

podemos ...”. A palavra a que queremos dar particular enfoque é difere

O ponto a salientar aqui é que a moeda matemática. Dada uma partição, podemos formar a relação de equivalência

na mesma parte que. E dada uma relação de equivalência, podemos formar a partição em classes de equivalência.

Contagem de Classes / Partes Na matemática discreta, encontramos frequentemente problemas do tipo “de quantas

maneiras diferentesnte.

Por exemplo, de quantas maneiras diferentes podem ser dispostas as letras da palavra HELLO? A parte difícil deste problema é o L repetido. Comecemos, por isso, com uma palavra mais fácil.

Exemplo 13.5 D s m dife dem as le alavr ma e quanta aneiras rentes po os dispor tras da p a WORD? U

palavra nada mais é do que uma letra suma uatro ssíveis lista de s. Temos lista de q letras poe dese nta sando cada uma delas exactame vez. de um jamos co r listas u nte uma Trata-se problema que já resolvemos (ver secções 6 e 7). A resposta é 4! = 24. Ei-las

WORD WODR WROD WRDO WDOR WDRO

OWRD OWDR ORWD ORDW ODWR ODRW

RWOD RWDO ROWD RODW RDWO RDOW

DWOR DWRO DOWR DORW DRWO DROW

Anagramas de HELLO

Voltem pro aneiras como podeletras da palavra HE não e le tida osta ! = 120. Imaginem um o tes. Escrevemos uma delas mai e a L 0 m e dispor as letras e O, t uma mo a que segue:

LLHEO LLHOE LLEHO LLEOH LLOHE LLOEH LLHEO LLHOE LLEHO LLEOH LLOHE LLOEH

os ao blema da contagem do número de m mos dispor as LLO. Semoment

houvess tras repe s, a resps diferen

seria 5os, por , que os dois Ls sejam letra

LO semo er toor do qum

outra: HEer mos

. Se fos ta ela c

s escrev das as 12 aneiras d HELL ía b o

HELLO HELOL HELLO HELOL HEOLL HEOLL HLELO HLEOL HLLEO HLLOE HLOLE HLOEL

Várias linhas contidas (18)

79

Reduzamos agora os Ls grandes ao seu tamanho normal. Uma vez feito isto, nãpodemos mais distinguir HELLO e HELLO ou entre LEHLO e LEHLO.

Espera-se que, a esta altura, o leitor te

o

nha ficado claro que resposta ao problema de conta

o e

). Definamos uma relação R com a R b, desde que a e b dêem o mesm

R são todas

[HLEOL] = HLEOL, HLEOL pois

sse de equivalência tem exactamente dois elementos nela. Assim, ao todo, e equivalência diferentes. Logo, há 60 maneiras diferentes de rea

ARDVARK? A palavra de oito letras contém dois Rs e três As. Vamos usar d

las são idênticas quando suas letras são restituídas ao tamanho norm

s são todas do mesmo tipo. Quantos há? Trata contar o número de listas onde os ele e

gem é 60: há 120 valores na tabela (de HELLO a LLOEH) e cada rearranjo de HELLO aparece exactamente duas vezes na tabela.

Encaremos este caso utilizando relações de equivalência e partições. O conjunto A éconjunto de todos os 120 rearranjos de HELLO. Suponhamos que a e b sejam elementos dA (anagrama de HELLO

o arranjo de HELLO quando reduzimos o L grande a um L pequeno. Por exemplo, (HELOL) R (HELOL).

R é uma relação de equivalência? É claro que R é reflexiva, simétrica e transitiva e, assim, R é de facto uma relação de equivalência. As classes de equivalência de as maneiras diferentes de reagrupar HELLO que se afiguram a mesma quando reduzimos o L grande em pequeno. Por exemplo,

tanto um como o outro elemento dão HLEOL, quando reduzimos o tamanho do L grande.

Eis o ponto importante: o número de maneiras como podemos reagrupar as letras em HELLO é exactamente o mesmo que o número de classes de equivalência de R.

Passemos agora aos cálculos: há 120 maneiras de reagrupar as letras em HELLO (isto é, | A | = 120). A relação R particiona o conjunto A num certo número de classes de equivalência. Cada cla

há 120 ÷ 2 = 60 classes drranjar HELLO.

Anagramas de AARDVARK.

Consideremos outro exemplo. De quantas maneiras diferentes podemos dispor as letras da palavra A

ois tipos de R (digamos R e R ) e três tipos de A (a, A e A) de forma que a palavra fica AARDVaRK.

Seja X o conjunto de todos os arranjos de AARDVaRK. Consideraremos duas grafias relacionadas por R se e

al. Obviamente, R é uma relação de equivalência de X; queremos contar o número de classes de equivalência.

O problema se torna: de que tamanho são as classes de equivalência? Consideremos o tamanho de classes de equivalência [RADaKRAV].Estes são todos os arranjos que se transformam em RADAKRAV quando suas letra

-se de um problema de contagem de listas! Desejamosm ntos satisfazem as seguintes restrições:

• Os elementos 3, 5 e 8 da lista devem ser D, K e V. • Os elementos 1 e 6 devem ser um de cada um dos dois tipos de R. • Os elementos 2, 4 e 7 devem ser um de cada um dos três tipos diferentes de A.

80

Contemos agora de quantas maneiras podemos construir esta lista. Há duas escolhas para a primeira posição, podemos escolher qualquer um dos dois Rs. Há três escolhas para a segunda (podemos usar qualquer A). Há apenas uma escolha para a posição 3 (deve ser D). Agora, consideradas essas escolhas, há apenas duas escolhas para a posição 4 (como o primeiro A já foi seleccionado, restam-nos apenas duas escolhas de A a esta altura). Para cada

haverá exact independentemente de onde os Rs esteja apenas uma escolha para o estilo de cada um dentre D, K e V. Assim, todas as classes de equivalência têm tamanho 12.

uma das posições restantes, há apenas uma única escolha (o K e o V são predeterminados, e estamos com apenas uma escolha para cada um dos restantes elementos A e R).

Portanto, o número de arranjos de AARDVaRK em [RADaKRAV] é 2 × 3 × 1 × 2 × 1 × 1 × 1 × 1 = 3! × 2! = 12.

Agora um comentário crítico: todas as classes de equivalência têm o mesmo tamanho! Não importa como dispomos as letras em AARDVaRK, a análise que acabamos de fazer permanece a mesma. Independentemente de onde os As possam situar-se,

amente 3! maneiras de preencher seus lugares, em, há 2! maneiras de escolher seus estilos. E há

Portanto, o número de arranjos de AARDVaRK é

360.3320.40!8== .

12!2!3

Vale resumir a ideia central desta técnica de contagem numa afirmação oficial.

Teorema 13.6 (Contagem de Classes de Equivalência) Seja R uma relação de equivalência num conjunto finito A. Se todas as classes de

equiv o mesmo tamanho, m, então o número de classes de equivalência é | alência de R têm2A| / m

tem o mesmo tamanho que a es (subconjuntos de tamanhos 0 a 4). Os tamanhos dessas classes de equivalência não são todos iguais. Por exemplo, [∅] contém apenas ∅ modo que essa classe tamanho 1.Entretanto, [1] = 1, 2, 3, 4, e assim m quatro membros de A. Eis a tabela completa:

Classe lência Tamanho da classe

.

Há uma hipótese importante neste resultado. As classes de equivalência devem ter todas o mesmo tamanho. E isto nem sempre ocorre.

Exemplo 13.7

Seja 2A com A = 1, 2, 3, 4, isto é, o conjunto potência de A. Seja R a relação . Esta relação particion 2A em cinco part

, de tem conté

de Equiva

[∅] 1

[1] 4

[1, 2] 6

[1, 2, 3] 4

[1, 2, 3, 4] 1

81

Recapitulando Uma partição de um conjunto A é um conjunto de subconjuntos de A, não vazios,

disjuntos dois a dois, cuja união é A. Exploramos a conexão entre partições e relações de equivalência. Aplicamos essas ideias a problemas de contagem, procurando contar o núm

E1. s 1, 2. Elas são 1, 2 e

todas as partições possíveis de 1, 2, 3 e de 1, 2, 3, 4.

2. erentes (inclusive “palavras” sem sentido) podem ser das seguintes palavras?

3.

4. anagramas diferentes (inclusive “palavras” sem sentido) podem ser FACETIOUSLY dado que todas as seis vogais devem

6. r pode admitir o princípio da soma generalizada (ver

7.

mens e as

9.

10.os que figuram em cada coluna e

como se que a o as ura ão eressa (ver a figura a seguir; os dois quadros ali exibidos devem ser considerados o mesmo). Quantos quadros diferentes podem ser formados?

ero de classes de equivalência quando todas elas têm o mesmo tamanho.

XERCÍCIOS Há apenas duas partições possíveis de conjunto1, 2. Ache

Quantos anagramas difda umaformados com ca

a) STAPLE. b) DISCRETE. c) MATHEMATICS. d) SUCCESS. e) MISSISSIPI.

Quantos anagramas diferentes (incluindo “palavras” sem sentido) podem se formar com a palavra SUCCESS se a primeira e a última letras devem ser ambas S?

Quantos formados com a palavra permanecer em ordem alfabética (mas não necessariamente contíguas umas às outras)?

5. Prove a proposição 13.4.

Prove o Teorema 13.6. O leitologo após o Corolário 10.8).

Doze pessoas se dão as mãos para uma dança em círculo. De quantas maneiras podem fazê-lo?

8. Continuação do problema anterior. Suponha que seis das pessoas sejam hooutras seis sejam mulheres. De quantas maneiras elas podem dar as mãos num círculo, supondo-se que os sexos devem alterna-se?

De quantas maneiras é possível fazer um colar com 20 contas diferentes?

Dispõem-se os números de 1 a 25 num quadro 5 × 5 (cada número é usado exactamente uma vez). O que importa são númer

eles aí dispõem. A ordem em s c lun fig m n int

22 4 5 20 23 20 4 5 22 23 16 3 8 7 14 7 3 8 18 14 21 1 25 9 15 9 1 25 21 15 6 12 11 2 24 2 12 11 6 24 19 10 17 13 18 13 10 17 19 18

82

11. De quantas maneiras podemos dividir vinte pessoas em duas equipas com dez jogadores cada?

12. De quantas maneiras podemos dividir cem pessoas em dez grupos de discussão, com dez pessoas em cada grupo?

13. Quantas partições diferentes com exactamente duas partes podemos fazer no conjunto 1, 2, 3, 4? Responda a mesma questão para o conjunto 1, 2, 3, ..., 100.

1 a partição de A. É possível termos A = P?

inteiros de 0 a 4) e essas classes de s tamanhos são, pela ordem

s desenvolvimento. O leitor pode tambsecção, vamos explorar minuciosamente esses números.

proble uso da palavra combi

O problema central que vamos considerar nesta secção é o seguinte:

posta a esta questão: ⎜⎜ k.

4. Seja A um conjunto e seja P um

3.14 Coeficientes Binomiais Terminamos a secção anterior com o exemplo 13.7, em que contamos o número de

classes de equivalência da relação tem o mesmo tamanho que no conjunto 1, 2, 3, 4. Encontramos cinco classes de equivalência diferentes (correspondentes aos cinco

equivalência têm diversos tamanhos. Seu, 1, 4, 6, 4 e 1. Esses números já devem ser conhecidos pelo leitor. Observe:

(x + y)4 = 1x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 1y4.

Esses números são os coeficientes de (x + y)4 apóém reconhecer esses números como a quarta linha do triângulo de Pascal. Nesta

A notação ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn lê-se “n k a k”. Outra forma desta notação, ainda em uso em algumas calculadoras é

nCk. Ocasionalmente, escreve-se C(n, k). Em qualquer dos casos pretende-se designar o número de“comb rmo que se refere ainações” de n objectos tomados k de cada vez. A palavra combinatória (um te

mas de contagem em matemática discreta) provém de “combinações”. Neste caso, nações para

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn é sinónimo do número de subconjuntos de k elementos de um conjunto de n

elementos.

Quantos subconjuntos de tamanho k tem um conjunto de n elementos? Há uma notação especial para a res ⎞⎛ n

⎟⎟⎠⎝

Definição 14.1 (Coeficiente Binomial) Sejam n, k ∈ N. O símbolo ⎟⎟

⎞⎜⎜⎛ n denota o número de subconjuntos de k elementos de

⎠⎝ kum conjunto de n elementos.

ado coeficiente binomial. A razão desta designação é que os

núme ⎜ são os coeficientes do desenvolvimento de (x + y)n. Este assunto será

O número ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ n é cham

⎠⎝ k

ros ⎞⎛ n⎟⎠

⎜⎝ k

explicado mais adiante com maior detalhe.

⎟

83

Exemplo 14.2 Calcule .

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛05

Solução: Devemos contar o número de subconjuntos de zero elementos de um conjunto de cinco elementos. O único conjunto possível é ∅, de modo que a resposta é

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛05

= 1. É claro que não há nada de especial quanto ao número 5 neste exemplo. O

número de subconjuntos com zero elementos em qualquer conjunto é sempre 1. Temos, pois, para todo n ∈ N,

⎟⎟⎜⎜ 0 = 1.

⎠

⎞

⎝

⎛ n


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛15

Solução: O problema pede o número de subconjuntos de um elemento de um conjunto de cinco elementos. Consideremos, por exemplo, o conjunto de cinco elementos

1, 2 n⎞⎛5

, 3, 4, 5. Os subconju tos de um elemento são 1, 2, 3, 4 e 5. Assim, ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝1

= 5. de um elemento de um conjunto de n elemeO número de subconjuntos ntos é exactamente n:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1n

= n.


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛25

Solução: O símbolo ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ 2

representa o número de subconjuntos de dois elementos de ⎞⎛ 5

um conjunto de cinco elementos. O mais simples a fazer é listar todas as possibilidades. 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5 2, 3, 2, 4, 2, 5 3, 4, 3, 5 4, 5 Há, portanto, 10 subconjuntos de dois elementos num conjunto de cinco elementos de

forma que,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛15

= 4 + 3 + 2 + 1 = 10.

Há um padrão interessante no Exemplo 14.4. Procuremos generalizá-lo. Suponha que queiramos saber o número de subconjuntos de dois elementos de um conjunto de n elementos. Seja 1, 2, 3, ..., n o conjunto de n elementos. Podemos fazer um quadro como no exemplo. A primeira linha do quadro relaciona os subconjuntos de dois elementos cujo menor elemento é 1. A segunda linha do quadro relaciona os subconjuntos de dois

84

eleme

o ocorrendo nenhuma duplicação (os subconjuntos em linha

nto apresenta-se assim: 1, __. O seg colhido em 2, ..., n; há n – 1 maneiras de completar o conjunto 1, __.

a linha desta tabela hipotética é n – 2. Todos os subco assim: 2, __. O segundo elemento deve ser maior do que 2, sendo, pois, escolhido de entre os números 3 a n, de modo que há n – 2 maneiras de com

De um modo geral, o número de conjuntos na linha k desta tabela hipotética é n – k. Os subconjuntos nesta linha apresentam-se k, __ e o segundo elemento do conjunto deve ser um 1 a n, havendo n – k possibilidades.

uss constitui a prova do seguinte resultado:

ntos cujo menor elemento é 2 e assim por diante; e a última linha da tabela relaciona o único subconjunto de dois elementos cujo menor elemento é n – 1 (isto é, n – 1, n).

Note que o nosso quadro esgota todas as possibilidades (o menor elemento deve ser um dos números de 1 a n – 1), nã

s diferentes da tabela têm menores elementos diferentes).

O número de conjuntos na primeira linha desta tabela hipotética é n – 1 porque, uma vez que decidamos que o menor elemento é 1, o subconju

undo elemento deve ser maior do que 1, sendo, pois, es

O número de conjuntos na primeirnjuntos nesta linha apresentam-se

pletar o conjunto.

inteiro de k +

Esta disc ão

Proposição 14.5 Seja n um inteiro com 2. Então n ≥

∑=

=−++++−

⎠⎝ 1)1(3

kknL .

Até agora calculamos ⎜⎜⎟⎟⎜⎜ , e ⎜⎜ . Prossigamos com esta exploração.

=⎟⎟⎜⎜ 212⎞⎛ 1nn

⎟⎟⎠

⎞

⎝

⎛

⎠

⎞

⎝

⎛15

05

⎠

⎞

⎝

⎛25⎟⎟

Exemplo 14.6

Calcule ⎜⎜⎝3

. ⎟⎟⎠

⎞⎛5

Solução: Simplesmente listamos os subconjuntos de três elementos do conjunto 1, 2, 3, 4, 5. Ei-los:

1, 2, 3 1, 2, 4 1, 2, 5 1, 3, 4 1, 3, 5 1, 4, 5 2, 3, 4 2, 3, 5 3, 4, 5.

Há dez desses conjuntos; assim, 1035

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛.

Note que = = 10. Esta igualdade não é uma coincidência. Vejamos porque

estes números são iguais. A ideia é achar uma a n emparelhar os dois subconjuntos de 1, 5 bconj e tr tos. Queremos uma correspondência biunívoca entre tipos d ntos

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛25

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛35

maneir atural de 2, 3, 4, com os su untos d ês elemen

esses dois e conju .

85

Este é um exemplo de prova bijectiva.

Naturalmente poderíamos apenas listá-los em duas colunas de uma tabela, mas isto não é necessariamente “natural”. A ideia é tomar o complemento de um subconjunto de dois elementos para formar um subconjunto de três elementos, ou vice-versa. Eis o que vamos fazer aqui:

A A A A 1, 2 3, 4, 5 2, 4 1, 3, 5

1, 3 2, 5 1, 3, 4 2, 4, 5

1, 4 2, 3 5 3, 4 1, 2, 5 ,

1, 5 2, 3, 4 3, 5 1, 2, 4

2, 3 1, 4 5 4, 5 1, 2, 3 ,

Cada subconjunto de dois elementos A é emparelhado com 1, 2, 3, 4, 5 – A (que denotamos por A , pois 1, 2, 3, 4, 5 é o “universo” que estamos considerando no momento).

Este emparelhame to A ↔ n A é uma correspondência biunívoca entre os subconjuntos de dois elementos e de três elementos de 1, 2, 3, 4, 5. Se A1 e A2 são dois subconjuntos diferentes de dois elementos, então 1A e 2

de três elementos. Todo o subconjunto de dois elementos é emparelhado coA são dois subconjuntos diferentes

m exactamente um subconjunto de três elementos, e nenhum conjunto fica fora do emparelhamento. Isto

⎝2dois 2, 3, ..., n. Neste contexto,

explica de modo cabal porque ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛25

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛35

e nos abre o caminho para a generalização.

Poderíamos supor que ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2n

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛3n

, mas isto não seria correcto. Apliquemos nossa

análise do complemento a ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛n

e vejamos o que aprendemos. Seja A um subconjunto de

⎟⎟

⎠elementos de 1, A significa 1, 2, 3, ..., n – A. O

emparelhamento A ↔ A não estabelece correspondência entre subconjuntos de dois e de três elementos. O compleme o de dois elementos seria um subconjunto de

(n – 2) elementos de 1, 2, 3, ..., n s agora o resultado correcto: ⎞

⎜⎜⎛n

= ⎞

⎜⎜⎛ n

.

leme

nto de um conjunt

. Temo ⎟⎟⎠⎝2 ⎠⎝ − 2n

Podemos avançar mais com esta análise. Em lugar de formar o complemento dos subconjuntos de dois elementos de 1, 2, 3, ..., n, podemos formar os comp ntos de subconjuntos de outros tamanhos. Quais são os complementos dos subconjuntos de k elementos de 1, 2, 3, ..., n? São precisamente os subconjuntos de n – k elementos. Além disso, a correspondência A ↔

⎟⎟

A dá um emparelhamento dos subconjuntos de k e (n – k) elementos de 1, 2, 3, ..., n, um a um. Isto implica que o número de subconjuntos de k e (n – k) elementos de um conjunto de n elementos deve ser o mesmo. O que acabamos de mostrar é o que segue.

86

Proposição 14.7 Sejam n, k ∈ N, com 0 ≤ k ≤ n. Então,

⎟⎟⎠

⎞⎛n n⎜⎜⎝k

= .

git s re eO professor tem k barras de chocolate idênticas para dar a exactamente k crianças. De

A⎝k

l ando um conjunto de k crianças para ganhar a barra de chocolate. Mas a visão pes é interesssorte, s podem

se

contan ⎛ n

⎝ ⎝,

⎝1 4

⎜ ⎜ ⎜

⎝0 ele

junto de cinco elementos , a saber, o próprio conjunto (na totalidade)!

Em seguida, vem ⎟⎜⎜⎝

. Podemos tentar usar a Proposição 14.7, mas deparamo-nos

com um = = , mas não sabemos o que é .

Na realidade, a situação é pior do que se pode imaginar: não tem sentido. Não faz

sentido pedir o número de subconjuntos, de um entos, que tenham -1 elementos; não faz sentido considerar conjuntos com um número negativo de elementos! (Esta é a razão porque incluímos a hipótese 0 ≤ k ≤ n na formulação da Proposição14.7.)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− kn

Eis outra maneira de co ar ob ste resultado. Imagine uma turma com n crianças.

quantas maneiras as barras de chocolate podem ser distribuídas? resposta é ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛n

porque

estamos se eccion⎠

simista também ante. Podemos pensar em seleccionar as crianças, sem que não receberão o chocolate. Há n – k crianças nessas condiçõe , e os

leccionar esse subconjunto da classe de ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− knn

maneiras. Como os dois problemas de

gem obviamente coincidem, devemos ter ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝k

= ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ − kn

.

Calculamos até agora ⎟⎟⎜⎜⎛05

, ⎟⎟⎜⎜⎛15

e ⎟⎟ . Prossigamos. Podemos utilizar a

Proposição 14.7 para calcular ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛45

. A proposição afirma que ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛45

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 455

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛15

e já

sabemos que ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛5

= 5. Assim, ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛5

= 5.

⎞⎛ ⎞

⎠

⎞

⎠

⎞⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛25

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛35

⎠ ⎠⎝

Em seguida, vem ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛55

. Podemos utilizar a Proposição 14.7 e raciocinar ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛55

= ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛− 555

= ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛5

= 1, ou podemos entender que só pode haver um subconjunto de cinco mentos

num con

⎟ ⎟ ⎟

⎠

⎟⎠6

empecilho. Escrevemos ⎜⎜⎝

⎛65

⎞⎛5

⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 655

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−15

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−15

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−15

conjunto de cinco elem

87

Entretanto, um conjunto pode ter seis elementos, de modo que ⎞

⎜⎜⎛65

não deixa de ter

sentid

⎝6 ⎝7

=

Resumamos o que aprendemos até agora:

• Calculamos ⎜⎜⎝k

para todos os números naturais k. Os valores são 1, 5, 10, 10, 5,

⎛n ⎛n

Temos

− k

• Se k > n = 0.

específico. Não temos um método geral para obter esses valores. Constatamos que os ⎛5

1.

(x + y)5 = 1x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5 4 + 1y5

⎝ ⎝

Isto sugere uma forma de calcular ⎞

⎜⎛n

: desenvolver (x + y)n e ⎛n

é o coeficiente

⎟⎟⎠⎝

o; é simplesmente zero. Um conjunto de cinco elementos não pode ter se quer um

subconjunto de seis elementos, e, desta maneira tem-se ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛5

= 0. Analogamente, ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛5

= ⎠ ⎠

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛85

.... = 0.

⎟⎟⎠

⎞⎛5

1, 0, 0, ..., para k = 1, 2, ...

• Temos ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝0

= 1 e ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝1

= n. ⎞ ⎞

∑−

=

=−+++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 1

1)1(21

2

n

kkn

nL . •

• Temos ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝k

= ⎜⎜⎝n

⎞⎛n⎟⎟⎞⎛ n

. ⎠

, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

Cálculo de ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛n

k

Até agora calculamos diversos valores de ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

, mas o nosso trabalho tem sido

valores não nulos de ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝k

são 1, 5, 10, 10, 5 e ⎞

Desenvolvendo (x + y)5, obtemos:

xy

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛05

x5 + ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛05

x4y + ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛05

x3y2 + ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛05

x2y3 + ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛05

xy4 + ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛05

y⎠ ⎠

5.

⎟⎠

⎜⎝k ⎟

⎠⎜⎝k

de x

⎟⎞

⎟ ⎜

n - kyk. Isto é realmente maravilhoso! Provemo-lo.

88

Teorema 14.8 (Binomial) Seja n ∈ N. Então:

( ) ∑ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

nkknn yx

kn

yx . =

processo para (x + y) é precisamente o mesmo. Escrevemos n factores (x + y):

yxyxyxyx )()()()(

k 0

Este resultado explica porque ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

é chamado coeficiente binomial. Os números ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

são os coeficientes que aparecem no desenvolvimento de (x + y)n.

Prova: A chave da prova do teorema binomial consiste em pensarmos como multiplicamos polinómios. Quando multiplicamos (x + y)2, fazemos o seguinte cálculo:

yyyxxyxxyxyxyx +++=++=+ ))(()( 2

e agrupamos os termos semelhantes, obtendo 2 yxyx ++ . n

22

O

321L

321321321n321

++++ .

y dos factores 1, 2, 3, ..., ivale a fazer listas (ver secção 6).Formamos todas as listas possíveis de n elementos, onde cada elemento

xxxyxyxyx

Formamos, então, todos os termos possíveis tomando um x ou umn. Isto equ

é um x ou um y. Por exemplo,

yyyyyyxyyxxxyyxyxxxyx +++++++=+++ ))()(( .

O passo a seguir consiste No exemplo (x + y)3, há um termo com três xs e nenhum , três termos com um x e dois y

kblema como uma questão de contagem de listas. Desejamos

contar o número de listas de n elementos com precisamente (n – k) xs e k ys. E sabemos

qual deve ser a resposta: ⎜ . Devemos justificar esta resposta.

o conjunto de posiç ão sabemos que estamos a falar do termo (lista) xyyxxxyxxx. Pode à esquerda da tabela ficariam todas as listas com k ys e n – k xs e à

de k elementos de 1, 2, ..., n.Portanto, o número n–k k de termos que agrupam s é . E

isto com p ova! C.q.d.

em agrupar os termos semelhantes. y, três termos com dois xs e um y

s e um termo com nenhum x e três ys. Isto dá-nos:

(x + y)3 = 1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3.

A questão torna-se, então: quantos termos de (x + y)n têm precisamente ys e (n – k) xs? Encaremos este pro

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛kn

Podemos especificar todas as listas com k ys (e n – k xs) fixando as posições dos ys (e os xs ocuparão as posições restantes). Por exemplo, se n = 10 e dizemos que

⎟

ões de y é 2, 3, 7, entríamos fazer esta tabela: direita escreveríamos o conjunto de posições de y para cada lista. A coluna da direita

da tabela consistiria simplesmente nos subconjuntos de k elementos de 1, 2, ..., n. Mas o número de listas com k ys e n – k xs é exactamente o mesmo que o número de subconjuntos

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

x y o

pleta a r

89

Exemplo 14.9 Desenvolver (x + y e achar todos os termos com dois y tr Em ar esses )5 s e ês xs. parelh

termos c s conjuntos dois eleom os ub de mentos de 1, 2, 3, 4, 5. Solução:

yyxxx ↔ 1, 2 xyxyx ↔ 2, 4 yxyxx ↔ 1, 3 xyxxy ↔ 2, 5 yxxyx ↔ 1, 4 xxyyx ↔ 3, 4 yxxxy ↔ 1, 5 xxyxy ↔ 3, 5 xyyxx ↔ 2, 3 xxxyy ↔ 4, 5

os agora um processo para calcular, digamos, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1020

. Tudo quanto devemos fazer

20

Tem

é desenvolver ( 10 10

termo

⎛20

sab s a r uraém

(x+y) forma

Pasca O

(contamo

k=0 n = 0 1 k=1 nn n nn

• • • • o i

r xacn = 5 (e diagonal k = 2) é formado adicionando-se n = 4, k = 1) e o 6 à sua direita superior (em n =

4, k = 2, em itálico na figura).

x + y) e achar o coeficiente de x y . Para tanto, escrevemos todos os s xxx...xx a yyy...yy e agrupamos os termos semelhantes. Há “apenas” 220 =

1.048576 termos. Parece brincadeira!

Não? O leitor tem razão. Esta não é uma boa maneira de calcular ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝10

. Não é melhor

do que escrever todos os subconjuntos de dez elementos possíveis do conjunto 1, 2, ..., 20. E há um grande número deles. Quantos, não emos! É o que estamo p oc r determinar. Necessitamos de outro método (ver tamb o Exercício 14.29).

O Triângulo de Pascal O leitor deve estar lembrado, do seu curso de Álgebra, que os coeficientes de n

⎞

m a n-ésima linha do triângulo de Pascal. A figura seguinte mostra o triângulo de ⎞⎛4

l. valor registado na linha n = 4 e diagonal k = 2 é ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝2

= 6, conforme mostrado

s as linhas e diagonais a partir de 0).

= 1 1 1 k=2 = 2 1 2 1 k=3 = 3 1 3 3 1 k=4 = 4 1 4 6 4 1 k=5 = 5 1 5 10 10 5 1

A linha zero do triângulo de Pascal contém apenas o número 1. Cada linha sucessiva contém mais um número do que a anterior. O primeiro e o último número de cada linha são 1. Um númer ntermédio em qualquer linha é formado pela adição dos dois núme os e tamente à sua direita e à sua esquerda na linha anterior. Por exemplo, o número 10 na linha o 4 à sua esquerda superior (em

90

Como sabemos que o triângulo de Pascal gera os coeficientes binomiais? Como

sabemos que o elemento na linha e coluna é ⎛kn

?

Para vermos porque é que isto funciona, devemo mostrar que os coeficientes binomiais seguem as mesas quatro regras que acabamos de citar. Por outras palavras,

forma⎛0 ⎛1 ⎛1 ⎛2

g o de

de coeficientes binomiais contém o único número 1. Isto

eficientes binomiais é = 1.

• Cada linha sucessiva contém um número a mais do que a linha antecedente. Isto é fácil de ver: a linha n do triângulo de coeficientes binomiais contém exactamente

⎛n ⎛n ⎛n

inha é formado pela adição dos dois números imediatamente à sua direita e imediatamente à sua esquerda na linha anterior.

imeira coisa a fazprecisamos provar sobre os coeficientes binomiais. Precisamos de um número

precisamos de nos preocupar

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

s

n k

mos um triângulo contendo ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝0

na linha zero, ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝0

, ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝1

na primeira linha, ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝0

,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛12

, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛22

na segunda linha, e assim por diante. Devemos, então, provar que este triângulo

de coeficientes binomiais é gerado exactamente pelas mesmas regras que o triân ulPascal! Há nisto três quartos de facilidade e um quarto de estratagema. Prossigamos.

⎞ ⎞ ⎞ ⎞

• A linha zero do triângulo

é fácil: a linha zero do triângulo de co ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛00

n + 1 números: ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝0

, ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝1

, ..., ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝n

.

• O primeiro e o último número em cada linha é 1. O primeiro e o último número

na linha n do triângulo de coeficientes binomiais é ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0n

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛nn

= 1.

• O número intermédio em qualquer l

⎞ ⎞ ⎞

Isto é ardiloso! A pr er é definir cuidadosamente o que

intermédio em qualquer linha. Isto significa que não

com ⎟⎟⎠

⎞emos que ambos são 1. Um número intermédio em ⎜

⎝0 ⎟⎠

⎜⎝n

qualquer linha n seria ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

, com 0 < k < n.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

11

kn

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −k

n 1

⎜⎛n

ou ⎟⎞

⎜⎛n

. Já sab

⎟⎞

⎜⎛n

⎟⎠

⎜⎝k

91

Quais são os números logo acima de ⎞

⎜⎛n

? Para acharmos o vizinho superior ⎟⎟⎠

⎜⎝k

esque

os para

cima m

Devemos provar o seguinte:

rdo, caminhamos para cima até à linha n – 1 e até à diagonal k – 1. Assim, o número à

esquerda superior é ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

11

kn . Para acharmos o vizinho superior direito, caminham

até à linha n – 1, mas permanecemos na diagonal k. Assim, o nú ero à direita

superior é ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ −n 1 .

⎠⎝ k

Teorema14.10 (Identidade de Pascal) Sejam n e k inteiros, com 0 < k < n. Então,

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛n

= n . ⎠⎝k

+

⎝

n

ver Esquema de Prova 9). Devemos formular uma pergunta e então v 14.10 dão ambos respostas correctas a esta perg stas? Há uma pergunta

antos subconjuntos de k nto

Prova:⎠

os de entre os elemeum conjunto completo de k elementos – neste caso, podemos acrescentar o elemento estranho k – 1) elementos. Ou então, seleccionamos k elementos de entre os elementos normais. Temos agora um subconjunto completo de k elementos, não havendo mais lugar para o elemento estranho.

eia nos seus lugares; expressemo-las com clareza.

Seja n o elemento “estranho” de 1, 2, 3, ..., n e chamemos “normais” os outros elementos. Para formamos um subconjunto de k elementos do conjunto 1, 2, ..., n, há duas possibilidades. Ou temos um subconjunto que inclui o elemento estranho, ou temos

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

11

k ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −k

n 1

Como podemos provar isto? Não dispomos de uma fórmula para ⎟⎟⎜⎜⎛k

. A ideia é

utilizar a prova combinatória (⎠

⎞

pro ar que os membros esquerdo e direito da equação do Teorema unta. Que pergunta admite tais respo

óbvia à qual o membro esquerdo dá uma resposta. A pergunta é: Queleme s tem um conjunto de n elementos?

Para provar que ⎟⎞

⎜⎛n

= ⎞⎛ − 1n + ⎞⎛ −n 1 , consideramos a pergunta: Quantos ⎟⎜⎝k ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝ − 1k ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝ k

subconjuntos de k elementos tem o conjunto 1, 2, 3, ..., n?

Resposta 1: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

, por definição.

Mas precisamos de outra resposta. O membro direito da equação dá-nos algumas sugestões: contém os números n – 1, k – 1 e k, e diz-nos para escolher ou k – 1 ou k elementos do conjunto de (n – 1) elementos. Mas temos cogitado num conjunto de n elementos e, assim, desprezamos um dos elementos; digamos que o elemento n é um “estranho”. O membro direito diz-nos para escolher k – 1 ou k element

ntos normais 1, 2, 3, ..., n – 1. Se escolhemos apenas k – 1 elementos, não perfazemos

ao subconjunto de (

Temos agora todas as id

92

um s

⎛ − 1n ara

comp

Se não colocamos o elemento estranho no subconjunto, então temos maneiras

de formar o subconjunto, porque devemos escolher todos os k elementos de 1, 2, ..., n.

Temos, assim, outra resposta.

s respostas 1 e 2 são ambas respostas correctas do mesmo problema, elas devem ser iguais, e, assim, terminamos. C.q.d.

ubconjunto que não inclui – estas possibilidades mutuamente exclusivas abrangem todos os casos.

Se incluímos o elemento estranho no subconjunto, então temos ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ − 1k

escolhas p⎞

letar o subconjunto, porque devemos escolher k – 1 elementos de 1, 2, ..., n.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −k

n 1

Resposta 2: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

11

kn + ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −k

n 1 .

Como a

Exemplo 14.11

Mostraremos que = ⎜⎝1 ⎜

⎝ 2untos de dois elementos ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛26

⎟⎟⎠

⎞⎜⎛5 + ⎞

⎜⎛ 5 listando todos os subconj⎟⎟

⎠do conjunto 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Há ⎞⎜⎛5 = 5 subconjuntos de dois elementos que incluem o estranho 6: ⎟

⎠⎜⎝1

⎟

1, 6, 2, 6, 3, 6, 4, 6, 5, 6

e há ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛25 = 10 subconjuntos de dois elementos que não incluem 6:

1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 2, 3, 2, 4, 2, 5, 3, 4, 3, 5, 4, 5.

Desejamos agora calcular ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1020 . A técnica que poderíamos usar consiste em gerar o

triâng

eros.

os de salvar todos os 210 números. Deveríamos salvar apenas 40. Uma v lc u nha do triângulo de Pascal, podemos ignorar a linha anterior. Assim, em quer instante, basta conservarmos a anterior e a linha corrente. E, se o operador for arguto, po até o m emória.

Em qualquer dos casos, seguindo este procedimen leitor verificará que

= 184.756.

ulo de Pascal até à 20ª linha e procurar o valor na diagonal 10. Quanto trabalho exigiria isto? A 20ª linha do triângulo de Pascal contém 21 números. A linha precedente contém 20 e a linha antes dela tem 19. Há apenas 1 + 2 + 3 + ... + 21 = 231 númObtemos a maior parte deles por simples adição, necessitando de cerca de 200 adições. (Podemos ser mais eficientes; veja o Exercício 14.30.) Se fossemos implementar este processo num computador, não precisaríam

ez ca ulada ma li qual a linh

ais mderá econ mizar

to, o

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1020

93

Uma Fórmula para ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

O procedimento de gerar um triângulo de Pascal para calcular coeficientes binomiais

é uma boa técnica. Podemos calcular ⎠

⎞⎜⎝

⎛1020 resolvendo cerca de 200 problemas de adição

em vez de peneirar um milhão de termos num polinómio (ver também Exercício 14.29).

Há algo

⎟⎟⎜

não muito satisfatório nesta resposta. Nós gostamos de fórmulas! E

teressante para simplificar esta soma. Escrevamos os inteiros de 1 a n – 1 em ordem crescente e em ordem decrescente e som

⎝+ ⎛n

... + 3+ 2+ 1

⎟⎞

⎜⎛n

= n + n + n + ... + n + n = n(n – 1)

desejamos uma maneira elegante de expressar ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

de uma forma simples, utilizando

operações familiares. Temos uma expressão para ⎟⎟⎞

⎜⎜⎝

⎛2n

: a Proposição 14.5 afirma que ⎠

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛n

= 1 + 2 + 3 + ... + (n – 1). ⎠⎝2

Isto não é mau, mas sugere que ainda precisamos de fazer uma boa quantidade de adições para obtermos a resposta. Há, entretanto, um artifício in

emos:

⎟⎟⎜⎜

⎛2n

= 1 + 2 + 3 + ... + n – 1 ⎠

⎞

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝2

= n – 1 + n – 2 +⎞

2 ⎟⎠

⎜⎝2

Assim,

2)1(

2−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ nnn.

Esta equação é um caso especial de um resultado mais geral. Eis outra maneira de conta

entos. Trata-se de um problema que já resolvemos (ver S

Todos os valores de uma determinada linha desta abela expressam o mesmo subconjunto de três elemen

r subconjuntos de k elementos de um conjunto com n elementos.

Comecemos contando todas as listas de k elementos, sem repetição, cujos elementos são extraídos de um conjunto de n elem

ecção 6)! O número de tais listas é (n)k.

Por exemplo, há (5)3 = 5×4×3 = 60 listas de três elementos sem repetição que podemos formar com os elementos 1, 2 3, 4, 5. Ei-las:

ttos de seis maneiras diferentes. Como esta tabela tem 60 valores, o número de subconjuntos de três

elementos de 1, 2, 3, 4, 5 é 60 ÷ 6 = 10.

94

123 132 213 231 312 321

124 142 214 241 412 421

125 152 215 251 512 521

e assim por diante, até

345 354 435 453 534 543

nte ordens possam ser diferentes). Obviamente, R é uma relação de equivalência. Cada linha da tabela

classe de equivalência. Interessa-nos contar as classes de equivalência. Há o conjunto (todos listas de três elementos). Cada classe de equivalência

conté

Note como organizamos a nossa tabela. Todas as listas da mesma linha contêm precisamente os mesmos elementos, apenas ordens diferentes. Definamos uma relação R sobre essas listas. A relação é tem os mesmos elementos que – duas listas estão relacionadas pela R quando seus elementos são precisame os mesmos (embora suas

representa uma 60 elementos d

m seis listas. Portanto, o número de classes de equivalência é ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

35

10660 pelo

ma 13.6. Teore

su oelementos, sem li o

n

esejamos saber quanta

2, ..., n lvemos (Teorema 6.6); há (n)k dessas listas. (Isto porque havia

Refaçamos esta análise para o problema geral. Desejamos contar o número de bc njuntos de k elementos de 1, 2, ..., n. Em lugar disto, consideramos as listas de k

repetição, que podemos formar com 1, 2, ..., n. Definimos duas dessasstas como equivalentes se elas contêm os mesmos elementos. Finalmente, calculamos

⎞⎛número de classes de equivalência para calcular ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝k

.

A razão porque cada lista é equivalente a (k)k = k! decorre também do Teorema 6.6; ds listas de tamanho k, sem repetição, podemos formar utilizando k elementos.

O número de listas de k elementos, sem repetição, que podemos formar a partir de 1, é um problema que já reso

6 = 3! valores em cada uma das linhas na tabela anterior).

Portanto, o número de classes de equivalência é ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=2!k

k . Podemos reescrever (n)⎞⎛)( nn

como

k

n! / (n – k)! (desde que k ≤ n), e temos o resultado a seguir.

Teorema 14.12 Sejam n e k inteiros, com 0 ≤ k ≤ n. Então,

)!(!!

knkn

kn

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛.

Encontramos uma “fórmula” para ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛n

. Est⎠⎝k

⎟⎞

⎜⎛20

, o que é q

amos satisfeitos? Talvez. Se desejamos

calcular ⎠

⎜⎝10

ue este teorem anda fazer? Ele determina que calculemos: ⎟ a nos m

95

1291012910123181920

1020

×××××××××××××××

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛LL

L

Isto exige cerca de 40 multiplicações e uma divisão. Os resultados intermédios (o umerador e o denominador) também são extremamente grandes (mais algarismos do que a

oras comporta). nmaior parte das calculad

erador e no denominador, a ficance

Naturalmente, podemos cancelar alguns termos no numm de abreviar os cálculos. Os últimos dez termos do numerador são 10 × ... ×1, o que

la um dos 10! do denominador. Assim, o problema se reduz a

12891011181920

10 ×××××××××

=⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ L

L .

envolvidos. O cancelamento de 10! No denominador foi trivial; poderíamos tê-lo in ancelamentos pode ser co os perfeitamente fazer as multiplicações restantes e a divisão final, o que s

20⎞⎛

Podemos procurar mais cancelamentos, mas isto leva-nos a considerar os números

troduzido facilmente num programa de computador. Outros cmplicado achar. Se estamos a trabalhar num computador, podem

eria

756.184800.628.3

800572. ..442670= .

Recapitulando

Nesta secção, lidamos exclusivamente com o coeficiente binomial ⎞

⎜⎛n

, o número de

subcon os. Provamos o teorema b ntes binomiais são os elementos do triângulo de Pascal

e estabelecemos uma fórmula para expressar m termos de factoriais.

EXERCÍCIOS 1. Mix

iras pode fazê-lo? Em outra no esquerdo). De

2. Vinte pessoas estão numa reunião. Se cada uma aperta a mão de todas as outras

3. (a) Q(b) Q

4. . Quantos resultados

⎟⎠

⎜⎝k

juntos de k elementos de um conjunto com n element

⎟

inomial, mostramos que os coeficie

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

e

ed Matched Marvin tem uma gaveta com 30 meias diferentes (não há duas iguais). Ele apanha duas meias ao acaso. De quantas maneseguida, ele as calça (presumivelmente uma no pé direito e quantas maneiras pode fazer isto?

exactamente uma vez, quantos apertos de mão se verificam?

uantas sequências binárias (0,1) de n algarismos contêm exactamente k 1s? uantas sequências ternárias (0, 1, 2) de n algarismos contêm exactamente k 1s?

Cinquenta corredores competem numa corrida de 10 kmdiferentes são possíveis? A resposta a esta questão depende do que estamos a julgar. Ache as respostas diferentes para esta questão, dependendo do contexto. a) Queremos saber em que lugar cada corredor terminou a prova.

96

b) A corrida é uma prova de qualificação, e desejamos apenas saber quais são os dez

5. Escreve todos os subconjuntos de três e de quatro elementos de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 em duas colunas. Emparelhe cada subconjunto de três elementos com o seu

6. adura tem um painel com cinco botões rotulados com os os 1 a 5. A fechadura abre-se mediante uma sequência de três acções. Cada nsiste em apertar um dos botões ou apertar simultaneamente dois deles. Por

exemplo, 12-4-3 é uma combinação possível. A combinação 12-4-3 é a mesma que 2 ificam que devemos apertar si

7. elementos em duas partes, se uma das partes deve ter quatro elementos e a outra parte

stantes?

8. Atente para a coluna do meio de um triângulo de Pascal. Note que, à excepção do 1

9. é 2n. Uma

ial (Teorema , ou seja, prove

corredores mais rápidos. c) A corrida é um evento olímpico final e só estamos interessados em quem ganha as

medalhas de ouro, prata e bronze.

complemento. Sua tabela deve ter 35 linhas.

Um tipo especial de fechalgarismacção co

1-4-3, porque 12 e 21 simplesmente signmultaneamente os botões 1 e 2.

a) Quantas são as combinações possíveis? b) Quantas são as combinações possíveis, se nenhum algarismo é repetido na

combinação?

De quantas maneiras diferentes podemos fazer uma partição de um conjunto de n

deve ter todos os elementos re

do topo, todos os números são pares. Porquê?

Aplique o Teorema 14.12 para provar a Proposição 14.7.

10. Prove que a soma dos números da n-ésima linha do triângulo de Pascal maneira fácil de resolver isso consiste em fazer x = y = 1 no teorema binom

14.8). O leitor deve, entretanto, dar uma prova combinatóriaque

∑ ⎟⎟=

⎞⎜=n n

2

da correctamente por ambos os membros

11. Aplique o teorema binomial (Teorema 14.8) para provar que

⎛n ⎛n

12. Considere a fórmula seguinte:

⎠⎝k k0

encontrando uma pergunta que seja respondi

⎜⎛n

desta equação.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0n

– ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1n

+ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2n

– ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛n + ..... ± ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛nn

= 0,

desde que n > 0. Transfira todos os termos negativos para o membro direito, o que dá:

⎞⎛n ⎞⎛n ⎞⎛n ⎞⎛n

3

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝0

+ ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝2

+ ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝4

+ ..... = ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝1

+ ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝3

+ ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝5

+ .....

Dê uma descrição combinatória do que isto significa e transforme-a numa prova combinatória. Aplique o método do “elemento estranho”.

⎞ ⎞

97

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

−−

=⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

11

kn

nkn

k .

Dê duas demonstrações diferentes: uma delas deve utilizar a fórmula factorial para

⎟⎞

⎜⎛n

(Teorema 14.12); a outra deve ser do tipo combinatóri

⎠⎝⎠⎝

o. Elabore uma questão

que possa ser respondida por am e

13. Sejam n ≥ k ≥ m ≥ 0 inteiros. Considere a seguinte fórmula:

⎝⎟⎟⎠

⎞

⎝

⎟⎠

⎜⎝k

bos os m mbros da equação.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎛

=⎜⎜⎛⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

⎛mk

nmn

mk

kn

.

Dê duas demonstrações diferentes: uma delas deve utilizar a fórmula factorial para

(Teorema 14.12); a outra deve ser do tipo combinatório. Elabore uma questão

que possa ser respondida por ambos os membros da equação.

14. Quantos rectângulos podemos formar com um tabuleiro de xadrez de m × n casas? Por exemplo, com um tabuleiro 2×2 há nove rectângulos possíveis.

15. Seja n um número natural. Dê uma prova combinatória da expressão:

16. Aplique a fórmula de Stirling (ver Exercício 7.6) para obter uma fórmula de

aproximação de . Sem utilizar a fórmula de Stirling, prove directamente que

.

17. Aplique a fórmula do factorial para (Teorema 14.12) para provar a identidade de

Pascal (Teorema 14.10).

18. Prove:

.

Sugestão: Imite o argumento da Proposição 14.5.

19. Continuação do problema anterior. A Proposição 14.5 afirma que . Faça

uma grande cópia do triângulo de Pascal e assinale os números , 6, 5, 4, 3, 2 e 1.

⎞ m

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

122

21

2122

nn

nn

nn

nn

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛nn2

n

nn

42

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

124

23

22

3nn

L

∑−

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 1

12

n

kk

n

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛27

98

O leitor tem várias escolhas. Faça a escolha “correcta”. Qual é o padrão? O exercíci32n

o

anterior pede que provemos 23

nL . Numa grande cópia

do triângulo de Pascal, assinale os números , e . Qual é

adrão? Generalize, agora, essas fórmulas e prove a sua asserção.

20. a e uma demonstração algébrica de que

1 + 2 + 3 + .... + (n – 1) + n + (n – 1) + .... + 3 + 2 + 1 = n2.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

124

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛27

, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛26

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛25

, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛24

, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛23

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛22

o p

Faça uma demonstração geométric

21. Prove:

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

=⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝ −⎠⎝ −⎠⎝⎠⎝ −⎠⎝⎠⎝⎠⎝ nnnnnn 01122110

Quantos números do seguro social (ver Exercício 6.9)

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+⎟⎟⎞

⎜⎜⎛⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

++⎟⎟⎞

⎜⎜⎛⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+⎟⎟⎞

⎜⎜⎛⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+⎟⎟⎞

⎜⎜⎛⎟⎟

22. têm seus nove algarismos

tas maneiras podemos

24.afix“feio”, ou então dar-lhes nomes menos interessantes como “Tipo1”, “Tipo2” e

⎞⎜⎛ n

como o número de

a) ⎜⎜⎝

. b) ⎜⎜ . c) ⎜⎜ .

⎞⎜⎜⎛ nnnnnnnnnnn 2

L .

dispostos em ordem estritamente crescente?

Nos exercícios seguintes introduzimos o conceito de coeficientes multinomiais.

23. O coeficiente ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

é o número de subconjuntos de k elementos de um conjunto de n

elementos. Eis outra maneira de encarar ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛kn

. Suponha A um conjunto de n elementos ⎠⎝

e que tenhamos à nossa disposição um grupo de rótulos; temos k rótulos marcados com “bom” e n – k rótulos marcados com “mau”. De quanafixar exactamente um rótulo em cada elemento de A?

Seja A um conjunto de n elementos. Suponha que tenhamos três tipos de rótulos para ar nos elementos de A. Podemos classificar esses rótulos como “bom”, “mau” e

“Tipo3”. Sejam a, b, c ∈ namos o símbolo N. Defi ⎟⎠

⎜⎝ cba

maneiras como podemos rotular os elementos de um conjunto de n elementos com três tipos de rótulo, em que atribuímos rótulos Tipo 1 a exactamente a elementos, rótulos Tipo 2 a b elementos e rótulos Tipo 3 a c elementos. Com base nos primeiros princípios, calcule:

⎞⎛ 3 ⎞⎛ 10 ⎞⎛ 5

⎟

⎟⎟⎠111 ⎠⎝ 521 ⎠⎝ 050

d) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝ 037

10. e) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛235

10 – ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛532

10.

⎟⎟ ⎟⎟

⎛

99

25.

⎝ ⎝

Sejam n, a, b, c ∈ N, com a + b + c = n. Prove:

a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛cba

n = ⎟⎟

⎞⎜⎜⎛an

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ −

ban

. ⎠ ⎠

b) !!!

!cba

ncba

n=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛.

c) Se a + b + c n, então ⎟⎠

⎜⎝ cba

= 0. ≠⎞

⎜⎛ n

26. eja n ∈ N. Prove:

onde o somatório se estende por todos os números naturais a, b, c, com a+b+c = n.

27. Uma mão de póquer consiste em 5 cartas escolhidas de um baralho padrão de 52 cartas. Quantas mãos de póquer diferentes são possíveis?

Se dividirmos as respostas deste problema por (a resposta do problema anterior), teremos

a probabilidade de uma mão de póquer seleccionada aleatoriamente ser do tipo descrito. O conceito de probabilidade foi estabelecido no capítulo 6.

28. Póquer – continuação. Há diversas mãos especiais que um jogador pode receber no póquer. Para cada tipo a seguir, conte o número de mãos que têm aquele tipo. a) Quatro de um tipo: a mão contém quatro cartas do mesmo valor numérico (por

exemplo, quatro valetes) e uma outra carta. b) Três de um tipo: a mão contém três cartas do mesmo valor numérico e duas outras

cartas com outros valores numéricos. c) Flush: a mão contém cinco cartas, todas do mesmo naipe. d) Full house: a mão contém três cartas de um valor e duas cartas de outro valor. e) Straight: as cinco cartas têm valores numéricos consecutivos, como 7-8-9-10-

valete. Considere o ás acima do rei, mas não abaixo do 2. Os naipes não interessam.

f) Straight flush: a mão é um straight e um flush.

29. Não faz sentido calcular (x + y)20 desenvolvendo a expressão com seus inúmeros termos e agrupando os termos semelhantes. Uma forma muito melhor é calcularmos (x + y)2 e agrupar os termos semelhantes. Multiplica-se, então, o resultado por (x + y) e agrupam-se os termos semelhantes, obtendo-se (x + y)3. Multiplica-se novamente por (x + y) e assim por diante, até atingirmos (x + y)20. Compare este método com o método de geração de todo o triângulo de Pascal até a 20ª linha.

⎟

cba

ncba

n zyxcba

nzyx ∑

=++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=++ )( S

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛5

52

100

30. ediante a geração do triângulo de Pascal, não é necessário gerar

o o triângulo de Pascal até

31.

32. precisa efectivamente de calcular todos os valores no

Para calcular ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛n

m⎠⎝k

todo o triângulo até a linha n; só precisamos da parte do triângulo numa cunha de 90º

acima de ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

.

Estime quantas adições teríamos de fazer para calcular ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛30

100 por este método.

Quantas adições teríamos de fazer se fossemos calcular toda 30ª linha?

Use um computador para imprimir uma cópia muito grande do triângulo de Pascal, mas com uma modificação. Em vez de imprimir um número, imprima um ponto, se o número for ímpar e deixe o lugar em branco se o número for par. Imprima pelo menos 64 linhas.

Note que o computador nãotriângulo de Pascal; deve calcular apenas a sua paridade. (Explique) O que o leitor vê?

101

4. Mais Provas

Até aqui temos utilizado principalmente uma técnica de prova conhecida como prova direc ipótese para a conclusão, mostrando como cada afirm as. A ideia central é desenvolver definições e preencher a lacuna entre o que temos e o que desejamos.

amos apresentar dois métodos poderosos a prova por contradição e a prova por in

ste em supor as condições relacionadas em A e procurar as condi s para este método directo de prova.

tra positiva são logicamente equivalentes? Com e

(não

A) ou ), então (não A)” é equiv

s mesm

→

ta. Neste método, trabalhamos da hação decorre das afirmações prévi

Estamos agora prontos para métodos mais sofisticados de prova – e precisamos deles. Neste capítulo v

dução (e sua variante prova por contra-exemplo mínimo).

4.17 Contradição A maioria dos teoremas pode expressar-se na forma “se-então”. A maneira usual de

provar “Se A, então B” consições em B (ver Esquema de Prova 1). Nesta secção vamos apresentar duas alternativa

Prova pela Contra positiva A afirmação “Se A, então B” é logicamente equivalente à afirmação “Se (não B),

então (não A)”. A afirmação “Se (não B), então (não A)” é chamada contra positiva de “Se A, então B”.

Por que razão uma afirmação e sua confeito, para que “Se A, então B” seja verdadeira, deve ocorrer que, sempre que A é

verdadeira, B também deve sê-lo. Se acontecer B ser falsa, A deve ter sido falsa também. Por outras palavras, se B é falsa, então A deve ser falsa. Temos, assim, “Se (não B), então

A)”.

Eis outra explicação. Sabemos que “Se A, então B” é logicamente equivalente a “(não (não B)” (Exercício 2.3). Pelo mesmo raciocínio, “Se (não Balente a “(não(não B) ou (não A)”; mas, “(não(não B)) é o mesmo que B.”

Simbolicamente, temos:

a → b = (¬a) ∨ b = (¬(¬b)) ∨ (¬a) = (¬b) → (¬a). Se estas explicações são difíceis de acompanhar, eis uma forma mecânica de proceder. Construímos uma tabela de verdade para a → b e para (¬b) → (¬a) e observamos o

os resultados.

a b a b ¬b ¬a (¬b) → (¬a) V V V F F V V F F V F F F V V F V V F F V V V V

A linha de base é: “para provar que “Se A, então B” é aceitável provar “Se (não B), então

(não A)”, conforme esboçado no Esquema de prova 11.

102

Esquema de Prova 11 Prova pela Contra positiva Provar que “Se A, então B”: Supor (não B) e tentar provar (não A).

Vamos trabalhar com um exemplo.

Proposição 17.1 Seja R uma relação de equivalência num conjunto A e sejam a, b ∈ A. Se a R/ b,

então

a contra positiva. Fá-lo-emos utilizando o Esquema de Prova 11.

[a] ∩ [b] = ∅.

Essencialmente, isto já foi provado (ver Proposição 12.12). O nosso objectivo aqui é ilustrar a prova pel

Seja R uma relação de equivalência num conjunto A e sejam a, b ∈ A. Vamos provar a contra positiva da afirmação.

Suponhamos [a] [b] .... Portanto, a R b. C.q.d. ∩ ≠ ∅

O ponto chave a observar é que supomos a oposta da conclusão (não[a] ∩ [b] = ∅) e procuramos provar a oposta da hipótese (não a R/ b, isto é, a R b).

Note que o leitor foi alertado para o facto de que não estamos a utilizar a prova direc sitiva. Para prosseguir com a prova, obser iste um elemento simultaneamente em [a] e

a

ta, anunciando que vamos provar a contra poue significa que exvamos que [a] ∩ [b] ≠ ∅, o q

em [b]. Introduzimos este facto na prova.

Seja R uma relação de equivalência num conjunto A e sejam a, b ∈ A. Vamos provar contra positiva da afirmação.

Suponhamos [a] ∩ [b] ≠ ∅. Então, existe um x ∈ [a] ∩ [b], isto é, x ∈ [a] e x ∈ [b] ... Portanto, a R b. C.q.d.

Para concluir, vamos usar a definição de classes de equivalência.

Seja R uma relação de equivalência num conjunto A e sejam a, b ∈ A. Vamos provar a contra positiva da afirmação.

Suponhamos [a] ∩ [b] ≠ ∅. Então, existe um x ∈ [a] ∩ [b], isto é, x ∈ [a] e x ∈ [b]. Logo, x R a e x R b. Por simetria, a R x e, como x R b, por transitividade temos a R b. C.q.d.

Há alguma vantagem na prova pela contra positiva? Sim. Tente provar a proposição 17.1 directamente. Suporíamos a R/ b, procuraríamos mostrar que [a] ∩ [b] ≠ ∅. Como desenvolveríamos a hipótese a R/ b? Como mostraríamos que dois conjuntos não têm qualquer elemento em comum? os uma forma razoável para levar a cabo estas tarefas; uma p va recta aqui . o sitiva, temos condições ma us da

Reducti A rdu

A prova pela contra positiv é a alternativa ao método directo. Se não pudermos acharexisti a

Não temro di é assaz difícil Apeland para a contra po

is fáceis de serem a s.

o d a bsu m (Redução ao absurdo)

a um uma prova directa, tentemos provar pela contra positiva. Não seria interessante se sse uma técnica de prova que combinasse a prova directa e a prova pela contr

103

positi existe! È a chamada prova por contradição ou, em latim, reductio ad ab .

(não B) e prosse cínio válido até chegarmos a uma situação impossível, isto significa que deve haver er sido em supor (não B

possível? Admitimos que a coisa impossível seja verda osição conduz a uma conclusão absurda. Se uma afirm deve ser falsa!

supomosprocuram do no Esquema de Pr a

va? De facto, ela surdum (redução ao absurdo). Eis como funcionaA prova por contradição é também chamada prova indirecta.

Um erro! Eis uma outra maneira de encarar a prova por contradição. Suponha A eguimos com um racioum erro. Se todo o nosso raciocínio é válido e como podemos supor A, o erro deve t). Como (não B) é erro, devemos ter B.

Pretendemos provar que “Se A, então B”. Para tanto, mostramos que é impossível A ser verdadeiro enquanto B é falso. Por outras palavras, queremos mostrar que “A e (não B)” é impossível.

Como provamos que algo é imdeira e provamos que esta supação implica algo claramente errado, então a afirmação

Para provar “Se A, então B”, fazemos duas suposições. Admitimos a hipótese A e a oposta da conclusão; isto é, admitimos (não B). A partir dessas duas suposições, os chegar a uma afirmação claramente falsa. O esboço geral é da

ov 12.

Esquema de Prova 12 Prova por contradição Provar que “Se A, então B”: Supomos as condições em A. Por contradição, supomos (não B). Argumentamos até

chegar a uma contradição ⇒⇐ C.q.d. (O símbolo ⇒⇐ é uma abreviatura do seguinte: Assim, chegamos a uma contradição.

Portanto,

Vamdar um ex

Pre ão de forma “Se A, então B”. Para isto, admitimos A e (nã

a suposição (não B) deve ser falsa. Logo, B é verdadeira).

os apresentar uma descrição formal de uma prova por contradição e, em seguida, emplo.

tendemos provar uma afirmaço B) e mostramos que isto implica algo falso. Simbolicamente, queremos mostrar que

a → b. Para tanto, provamos que (a ∧¬b) → FALSO. Essas duas proposições são logicamente equivalentes.

Proposição 17.2 As fó tes.

truímos uma t

rmulas booleanas a → b e (a ∧¬b) → FALSO são logicamente equivalen

Prova: Para confirmar que as duas expressões se equivalem logicamente, consabela de verdade.

a b a → b ¬b a∧¬b FALSO (a∧¬b) → FALSO V V V F F F V V F F V V F F F V V F F F V F F V V F F V

Portanto, a → b = (a∧¬b) → FALSO C.q.d.

Apliquemos este método para provar o seguinte

.

:

104

Proposição 17.3 Nenhum inteiro é ao mesmo tempo par e ímpar.

Reexpressa na forma “se-então”, a Proposição 17.3 é “se x é um inteiro, então x não pode ão. ser simultaneamente par e impar”. Formulemos uma prova por contradiç

Seja x um inteiro. Suponhamos, por contradição, que x seja ao mesmo tempo par e ímpar. .... Isto é impossível. Chegamos, assim, a uma contradição, e nossa suposição (de que x

seja a par e ímpar, e o mesmo tempo par e ímpar) é falsa. Portanto, x não é simultaneamentea pro . posição está provada. C.q.d

Cabem aqui vários comentários.

• A primeira frase dá a hipótese (seja x um inteiro). • A segunda frase atende a dois propósitos: (1) anuncia ao leitor que se trata de uma

prova por contradição, por meio da frase “por contradição”. (2) Supõe o oposto da ímpar.

ecedente de a prova se

concluímos a prova. Afirmamos que a suposição é impossível porque leva a uma afirmação absurda. Portanto, a

(B) deve ser verdadeira. As a por contradição são quase sempre as mesmas.

⇒⇐. A imagem é a de que duas implicações estão colidindo uma com

te, a suposição é falsa. A suposição é aquilo que

s. Sabemos que x é ao mesmo tempo par e ímpar e, assim, procuremos desenvolver a prova.

conclusão. A suposição é que x seja simultaneamente par e • A frase seguinte afirma: “Isto é impossível”. Não sabemos qual é o ant

“Isto”! O que é impossível? Ainda não sabemos! À medida que desenvolve, esperamos chegar a uma contradição.

• Dado que chegamos a uma contradição, eis como

suposição (não B) deve ser falsa. Logo, a condição últimas poucas frases de uma provOs matemáticos usam um símbolo especial para abreviar um grupo de palavras. O símbolo é a outra. O símbolo ⇒⇐ é uma abreviatura de: chegamos assim a uma contradição; por conseguinadmitimos, isto é, “(não B)”.

Não sabemos (ainda) a que contradição podemos chegar. Vamos continuar trabalhando com o que temo

Seja x um inteiro. Suponhamos, por contradição, que x seja ao mesmo tempo par e ímpar. Como x é par, sabemos que 2 | x; isto é, existe um inteiro a tal que x = 2a. Como x é ímpar, sabemos que existe um inteiro b tal que x = 2b + 1. .... Portanto, x não pode ser simultaneamente par e ímpar, e a proposição está provada.

C.q.d.

Até agora, nenhuma contradição. As definições estão perfeitamente bem aplicadas. Devemos trabalhar com x = 2a = 2b + 1, onde a e b são inteiros. De alguma forma, devemos manipular esses elementos a fim de chegar a algo falso. Tentemos dividir a equação x = 2a = 2b + 1 por 2, obtendo 2

12 +== bax , o que nos diz que um inteiro é

apenas 21 maior do que o outro (isto é, 2

1=− ba ). Mas a – b é um inteiro e 21 não é! Um

105

número (a – b) não pode se ao mesmo tempo inteiro e não inteiro! É uma contradição. Hurra! Vamos introduzi-la na prova. (Note que não utilizamos 2

x na contradição, o que nos perm ante.) ite simplificar bast

Seja x um inteiro. Suponhamos, por contradição, que x seja ao mesmo tempo par e ímpar. Como x é par, sabemos que 2 | x; isto é, existe um inteiro a tal que x = 2a. Como x é ímpar, sabemos que existe um inteiro b tal que x = 2b + 1. Portanto, 2a = 2b + 1. dividindo ambos os membros por 2, obtemos 2

1+=a e b , dforma que 2

1=− ba . Note que a – b é um inteiro (pois a e b o são), mas 2

1 não é inteiro! ⇒⇐ Portanto, x não é ao mesmo tempo par e ímpar, e a proposição está provada.

C.q.d.

Isto completa a prova. Quando começamos esta prova, não sabíamos que a contradição a que chegaríamos é que 2

1 é um inteiro. Isto é típico numa prova por contradição; começamos com A e (não B) e vemos aonde a implicação conduz.

A Proposição 17.3 também pode expressar-se como se segue:

Sejam X = x ∈ Z : x é par e Y = x ∈ Z : x é ímpar. Então, X∩Y = ∅.

vazio. ElA prova por contradição é, em geral, a melhor técnica para mostrar que um conjunto é

a justifica a codificação num esquema de prova.

Esq conjunto é vazio uema de Prova 13 Provar que umPara provar que um conjunto é vazio: Suponha que o conjunto é não vazio e argumente de forma a chegar a uma

contradiç

O E de Prova 13 é apropriado para provar afirmações da forma: “Não há objecto que satisfaça as condições”.

ão.

squema

A contradição é também a técnica de prova escolhida quando devemos provar afirmações de unicidade. Tais afirmações asseguram que só pode haver um objecto que satisfaz as condições dadas.

Esquema de Prova 14 Prova da unicidade Para provar que há no máximo um objecto que satisfaz determinadas condições: Suponhamos que haja dois objectos diferentes, x e y, que verificam as condições.

Argug todas as pessoas, os matemáticos são os que

empreeventupositivo p ois inteiros positivos ímpares”. Os matemáticos consideram verdadeira esta afirma como soma de dois inteiros positivos ímpares, a penas que os dois números são o mesmo.

ra ite que os inteiros x e y sejam o mesmo. Esta é a convenção, em

mente de forma a chegar a uma contradição. Lin uagem matemática! O leitor poderia pensar que, de gam a palavra dois correctamente. Pode surpreender, pois, que, quando um matemático diz “dois”, ele almente quer dizer “um ou dois”. Eis um exemplo. Consideremos a afirmação seguinte: “Todo inteiro

ar é a soma de dção, a despeito do facto de só haver uma maneira de escrever 2

saber, 2 = 1 + 1. Ocorre aA f se “Sejam x e y dois inteiros ...” perm

bora um tanto perigosa. Seria melhor escrever simplesmente “sejam x e y inteiros ...”.

106

Ocasionalmente, interessa-nos eliminar a possibilidade x = y. Nesse caso, escrevemos “Sejam x e y dois s diferentes ...” ou “Sejam x e y dois inteiros distintos ...”. inteiro

alega ples. Frequentemente, a contradição numa prova de unicidade é que os dois objectos damente diferentes são, na verdade, o mesmo. Eis um exemplo sim

Proposição 17.4 Sejam a e b números com a ≠ 0. existe no máximo um número x com ax + b = 0.

Prova: Suponhamos que haja dois números diferentes x e y tais que ax + b = 0 e ay + b = membros, vem ax = ay. Como ≠

cil do que a prova direc condição A e procu com A e (não B) conjuntamente e p

e tal prova realmente não era exigida, sendo possíveé umaobstacomo vel simplificar uma prova do tipo “Se A, então B”.

a que

realmente uma prova pela contra positiva. Reescreva-a nessa

Intr mações da forma “Se A, então B”. Numa uma prova por contradição, supomos A e (não B) e procuramos chegar a uma contradição.

EXERCÍCIOS

1. Formule a contra positiva de cada uma das seguintes afirmações: a) Se x é ímpar, então x2 é ímpar. b) Se p é primo, então 2p – 2 é divisível por p. c) Se x é diferente de zero, então x2 é positivo. d) Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares, então o paralelogramo

é um losango. e) Se a bateria está carregada, o carro terá arranque. f) Se A ou B, então C.

0. Isto nos dá ax + b = ay + b. Subtraindo b de ambos os a 0, podemos dividir ambos os membros por a, obtendo x = y. ⇒⇐. C.q.d.

Uma Questão de Estilo A prova por contradição de “Se A, então B” em geral é mais fáta, porque oferece mais condições. Em lugar de começarmos com a única rarmos demonstrar a condição B, começamos

rocuramos uma contradição. Isto nos dá mais material para trabalhar.

Às vezes, quando optamos por uma prova por contradição, podemos descobrir qul um tipo mais simples de prova. Uma prova

prova, e o leitor deve dar-se por feliz se conseguir chegar a uma prova correcta. Não nte, é sempre preferível uma forma mais simples de apresentar o seu argumento. Eis dizer se é possí

• O leitor supôs A e (não B). Utilizou apenas a hipótese A e a contradiçãochegou foi B e (não B). Neste caso, temos realmente uma prova directa e podemos remover o aparato estranho da prova por contradição.

• Supusemos A e não B. Usamos apenas a suposição (não B) e a contradição a que chegamos foi A e (não A). Neste caso, temos forma.

Recapitulando oduzimos duas novas técnicas de prova para afir

prova pela contra positiva, supomos (não B) e procuramos provar (não A). N

107

2. positiva de uma afirmação do tipo “se-então”?

3. ser provada em duas partes:

B e, em seguida, provarmos que ¬A ⇒ ¬B.

ve

tão um dos primos deve ser 2.

s ímpares.

7.

9.

outras palavras, o leitor

11. .

o esse lemento é único.

Qual é a contra positiva da contra

Uma afirmação da forma “A se e somente se B” costuma numa delas mostramos que A ⇒ B e, na outra, que B ⇒ A. Explique porque também é aceitável a seguinte estrutura para uma prova: primeiro provarmos que A ⇒

4. Para cada uma das afirmações seguintes, escreva as primeiras frases de uma prova por contradição (o leitor não precisa tentar completar as provas). Utilize a expressão “por contradição”. a) Se A ⊆ B e B ⊆ C, então A ⊆ C. b) A soma de dois inteiros negativos é um inteiro negativo. c) Se o quadrado de um número racional é um inteiro, então o número racional de

ser também um inteiro. d) Se a soma de dois primos é um primo, ene) Uma recta não pode intersectar os três lados de um triângulo. f) Circunferências distintas intersectam-se no máximo em dois pontos. g) Há um número infinito de números primos.

5. Prove, por contradição, que inteiros consecutivos não podem ser ambos pares.

6. Prove, por contradição, que inteiros consecutivos não podem ser ambo

Prove, por contradição: Se a soma de dois primos é um número primo, então um dos primos deve ser 2. (O leitor pode supor que todo inteiro seja ou par ou ímpar, mas nunca ambos.)

8. Sejam os conjuntos A e B. Prove, por contradição, que (A – B) ∩ (B – A) = ∅.

Sejam os conjuntos A e B. Prove que A ∩B = ∅ se e somente se (A×B)∩(B × A)=∅.

10. Prove a recíproca do princípio da adição (Corolário 10.8). A recíproca de uma afirmação “Se A, então B” é a afirmação “Se B, então A”. Por deve provar o seguinte: Sejam A e B conjuntos finitos. Se | A ∪ B | = | A | + | B |, então A ∩ B = ∅.

Seja A um subconjunto dos inteiros. a) Formule uma condição cuidadosa de elemento mínimo de Ab) Seja E o conjunto dos inteiros pares, isto é, E = x ∈ Z : 2 | x. Prove, por

contradição, que E não tem elemento mínimo. c) Prove que, se A ⊆ Z tem um elemento mínimo, entã e

108

4.18 Contra-Exemplo Mínimo Prova por contradição como prova por falta de contra-exemplo.

Na secção 17 desenvolvemos o método de prova por contradição. Eis outra maneira de encarar essa técnica.

Queremos provar um resultado da forma “Se A, então B”. Suponhamos que o resultado seja falso. Neste caso, haverá um contra-exemplo da afirmação. Isto é, haverá uma situação em que A é verdadeiro e B é falso. Analisamos, então, o alegado contra-exemplo e geramos uma contradição. Como a suposição de que haja um contra-exemplo conduz a uma situação absurda (uma contradição), tal suposição deve estar errada; não existe contra-exemplo. E como não há contra-exemplo, o resultado deve ser verdadeiro.

Por exemplo, mostramos que nenhum inteiro pode ser par e ímpar em simultâneo. Podemos reformular o argumento como se segue.

Suponhamos que seja falsa a afirmação “Nenhum inteiro pode ser simultaneamente par e ímpar”. Então haveria um contra-exemplo; digamos que x fosse esse inteiro (isto é, x é ao mesmo tempo par e ímpar). Como x é par, existe um inteiro a tal que x = 2a. E como x é ímpar, existe um inteiro b tal que x = 2b + 1. Assim, 2a = 2b + 1, o que implica a – b = 2

1 . Como a e b são inteiros, também o é a – b. ⇒⇐ ( 2

1 não é inteiro). C.q.d.

Nesta secção, vamos ampliar esta ideia considerando contra-exemplos mínimos. É uma pequena ideia que tem um enorme poder. A essência da ideia é que não somente consideramos um alegado contra-exemplo de um resultado “se-então”, mas consideramosum contra-exemplo mínimo. Isto deve ser feito cuidadosamente; vamos explorar estamais amplamente.

ideia

ar ou é ímpar. Mostram r. É razoável tentar prova to

Sup

Ainda não provamos um facto bem conhecido: todo inteiro ou é pos que nenhum inteiro pode ser simultaneamente par e ímpa

is por contradição. Estruturaríamos a prova como se segue.

onhamos, por contradição, que houvesse um inteiro x que não fosse nem par nem ímpar. ... C.q.d. . ⇒⇐ Portanto, todo inteiro ou é par ou é ímpar.

Em olver definições como se segue. seguida podemos desenv

Suponhamos, por contradição, que haja inteiro x que não seja nem par nem ímpar. Então, não existe qualquer inteiro a com x = 2a, nem qualquer inteiro b com x = 2b + 1. o inteiro ou é par ou é ímpar. C.q.d. ... ⇒⇐ Portanto, tod

Estamos agora impedidos de prosseguir. O que fazer em seguida? Precisamos de uma ideia nova. Essa nova ideia consiste em considerar um contra-exemplo mínimo.

Começaremos com uma versão restrita do que estamos tentando provar.

Proposição 18.1 Todo número natural ou é par ou é ímpar.

Note que estamos a provar apenas que todo número natural (elemento de N) ou é par ou é ímpar; mais adiante estenderemos esta ideia a todos inteiros.

109

Começamos a prova usando a ideia de contra-exemplo mínimo.

Suponhamos, por contradição, que nem todos os números naturais sejam pares ou ímpares. Então, há um número natural mínimo, x, que não é par nem ímpar.... ⇒⇐ Portanto, todo inteiro ou é par ou é ímpar. C.q.d.

Porque restringimos o objectivo da Proposição 18.1 aos números naturais? Se tentás par, não poderíamsemos provar que todo inteiro ou é par ou é ím os descartar a possi

existi

o decrescem infinitamente; eles “param” no zero. r núme

números naturais sejam pares ou

bilidade de existirem infinitos contra-exemplos, até -∞. Então, não seria razoável falar de um contra-exemplo mínimo. Seria o mesmo que falarmos do menor inteiro ímpar; não existe tal coisa! Os números pares decrescem continua e infinitamente, -3, -5, -7,..., não

ndo um número par mínimo.

Por outro lado, os números naturais nãFaz sentido, pois, falarmos do menor número natural par, a saber, 0 ou do menoro natural ímpar, a saber, 1.

Esta é a razão porque provamos a Proposição 18.1 somente para números naturais. Estenderemos este resultado a todos inteiros após completarmos a prova.

Voltemos à prova, à qual acrescentamos a próxima frase, e advertimos o leitor que ela tem um erro! Leia-a cuidadosamente e procure detecta-lo.

Suponhamos, por contradição, que nem todos os ímpares. Então, há um número natural mínimo, x, que não é par nem ímpar. Como x – 1 < x, vemos que x – 1 é um número natural menor, não sendo, portanto, um contra-exemplo para a Proposição 8.1. ... ⇒⇐ Portanto, todo inteiro ou é par ou é ímpar. . C.q.d

O leitor reconhece o problema? É subtil. Vamos dissecar a nova frase.

• Como x – 1 < x ... Nenhum problema. É óbvio que x – 1 < x.

• ... x – 1 ... não é um contra-exemplo para a Proposição 18.1. Nenhum problema

os a

s, po os os números naturais sejam pares ou

aqui também. Sabemos que x é o menor contra-exemplo. Como x – 1 é menor do que x, não é um contra-exemplo para a Proposição 18.1.

Onde está o problema?

• ... número natural. ... Como sabemos que x – 1 é um número natural? Eis o erro. Não sabemos se x – 1 é um número natural porque não descartampossibilidade x = 0.

Agora, não é difícil eliminarmos x = 0; apenas ainda não o fizemos. Vamos abordar um ponto aparentemente sem importância.

Suponhamo r contradição, que nem todímpares. Então, há um número natural mínimo, x, que não é par nem ímpar. Sabemos que x ≠ 0 porque 0 é par. Portanto, x ≥ 1.

Como 0 ≤ x – 1 < x, vemos que x – 1 é um número natural menor, não sendo, portanto, um contra-exemplo ⇒⇐ C.q.d. para a Proposição 8.1. ...

110

Podemos agora prosseguir com a prova. Sabemos que x – 1 ∈ N e que x – 1 não é um contrnúmero natural, deve ser par ou ímpar. Como não sabemos qual é o caso, consideramos amba

Suponhamos, por contradição, que nem todos os números naturais sejam pares ou

a-exemplo da proposição. O que significa isto? Significa que, como x – 1 é um

s as possibilidades.

ímpares. Então, há um número natural mínimo, x, que não é par nem ímpar. Sabemos que x ≠ 0 porque 0 é par. Portanto, x ≥ 1. Como 0 ≤ x – 1 < x, vemos que x – 1 é um número natural menor, não sendo,

portanto, um contra-exemplo para a Proposição 8.1. Portanto, x – 1 ou é par ou é ímpar. Vamos considerar ambas as possibilidades. (1) Suponhamos que x – 1 seja ímpar... (2) Suponhamos que x – 1 seja par ... ... ⇒⇐ C.q.d.

A par e, assim, x – 1 = 2a + a algum inteiro a. No caso (b), x – 1 é par, de modo que x – 1 = 2b para algum inteiro

gora desenvolvemos as definições. No caso (1), x – 1 é ím1 parb.

eros naturais sejam u Suponhamos, por contradição, que nem todos os núm pares oímpa r nem ímpar. res. Então, há um número natural mínimo, x, que não é pa

Sabemos que x ≠ 0 porque 0 é par. Portanto, x ≥ 1. Como 0 ≤ x – 1 < x, vemos que x – 1 é um número natural menor, não sendo,

portanto, um contra-exemplo para a Proposição 8.1. Portanto, x – 1 ou é par ou é ímpar. Vamos considerar ambas as possibilidades. 1. Seja x – 1 seja ímpar. Portanto, x – 1 = 2a + 1 para algum inteiro a... 2. Seja x – 1 seja par. Então x – 1 = 2b para algum inteiro b. ... ⇒⇐ C.q.d.

No caso (1), temos x – 1 = 2a + 1 e, acontr

ssim, x = 2a + 2 = 2(a + 1), e x é par; isto é uma adição ao facto de que x não é nem par nem ímpar. No caso (2), chegamos a uma

contradição análoga.

Suponhamos, por contradição, que nem todos os números naturais sejam pares ou ímpares. Então, há um número natural mínimo, x, que não é par nem ímpar.

Sabemos que x ≠ 0 porque 0 é par. Portanto, x ≥ 1. Como 0 ≤ x – 1 < x, vemos que x – 1 é um número natural menor, não sendo,

portanto, um contra-exemplo para a Proposição 8.1. Portanto, x – 1 ou é par ou é ímpar. Vamos considerar ambas as possibilidades. 1. Seja x – 1 seja í ara algum inteir . Assim, x mpar. Portanto, x – 1 = 2a + 1 p o a

= 2a + 2 = 2(a + 1), de modo que x é par ⇒⇐ (x não é par nem ímpar). 2. Seja x – 1 seja par. Então x – 1 = 2b para algum inteiro b. Assim, x = 2b + 1; logo,

x é ímpar ⇒⇐ (x não é par nem ímpar). Em qualquer dos casos, temos uma contradição, o que faz com que a suposição

seja falsa, dando, assim, a proposição por provada. C.q.d.

Resumamos os principais pontos da prova.

• É uma prova por contradiç• Consideramos um contra-exemplo mínimo do resultado.

ão.

111

• Devemos tratar como um caso especial a possibilidade mínima extrema. • Descemos até ao caso mínimo para o qual o teorema é verdadeiro e passamos a

usemos.

trabalhar de volta.

Antes de passarmos a um outro exemplo, terminemos a tarefa a que nos prop

Corolário 18.2 Todo inteiro é ou par ou ímpar.

A ideia chave é que ou x ≥ 0 (caso já resolvido pela Proposição 18.1) ou x < 0 (caso em qu

= –2 para algum

• Se –x é ím – 1 = 2(–b – 1) + 1; x é, pois, ímpar.

Em qualquer caso, x ou é par ou é ímpar. C.q.d.

e –x ∈ N e podemos novamente utilizar a Proposição 18.1).

Prova: Seja x um inteiro arbitrário. Se x ≥ 0, então x ∈ N e, pela Proposição 18.1, x ou é par ou é ímpar. Em caso contrário, x < 0, e –x > 0, e –x ou é par ou é ímpar.

x a• Se –x é par, então –x = 2a para algum inteiro a, mas, então, inteiro a, e x = –2a = 2(–a), de modo que x é par.

par, então –x = 2b + 1 para algum inteiro b. Daí temos x = –2b

O Esquema de Prova 15 dá a forma geral desta técnica. Eis outra proposição que provamos utilizando o método do contra-exemplo mínimo.

Proposição 18.3 Seja n um inteiro positivo. A soma dos n primeiros números naturais ímpares é n2.

Esquema de Prova 15 Prova por contra-exemplo mínimo Primeiro, seja x um contra-exemplo mínimo do resultado que procuramos provar.

Deve estar claro que pode existir um tal x. Segundo, descarte o facto x ser a possibilidade mínima. Este passo (em geral fácil) é

chamado passo básico. Terceiro, considere imã instância x’ do resultado que seja “apenas” menor do que x.

Utiliz falso para x, para chegar a uma e o facto de que o resultado é verdadeiro para x’, mascontradição ⇒⇐.

Conclua que o resultado é verdadeiro.

Os n primeiros números naturais ímpares são 1, 3, 5,..., 2n–1. A proposição diz que

1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2 = ∑=

2

ova: Suponhamos que a Proposição 18.3 seja falsa. Isto significa que existe um inteir

=−n

knk

1

2)12( .

Por exemplo, para n = 5, temos 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5 .

Pro positivo mínimo x para o qual a afirmação é falsa (isto é, a soma dos x primeiros

números naturais ímpares não é x2), isto é,

1 + 3 + 5 + ... + (2x – 1) ≠ x2.

112

Note que x ≠ 1, porque a soma do primeiro número ímpar é 1 = 12. (Este é o passo básico).

Assim, x > 1. Como x é o menor número para o qual a Proposição 18.3 falha, com x > 1, a soma dos primeiros x – 1 números ímpares deve ser igual a (x – 1)2, isto é,

21 + 3 + 5 + ... + [2(x – 1) – 1] = (x – 1) .

ova caminha no “piloto automático”. Estamos simplesmente usando o Esq .)

1) – 1] + (2x – 1) = (x – 1) + (2x – 1)

r desenvolvido algebricamente assim:

1) = (x – 1)2 + (2x – 1) 2

C.q.d. o básico

verificamos que 1 não era um contra-exemplo. Esses passos são de extrema ostram que o caso menor imediato do resultado ainda faz sentido.

(Até aqui esta pruema de Prova 15

Note que o membro esquerdo da Equação (7) tem menos um termo do que a soma dos primeiros x números ímpares. Acrescentamos mais um termo a ambos os membros desta equação, obtendo

1 + 3 + 5 + ... + [2(x – 2

O membro direito pode se

1 + 3 + 5 + ... + [2(x – 1) – 1] + (2x –= (x – 2x + 1) + (2x – 1) = x2 – 2x + 2x + 1 – 1 = x2

o que contradiz a Equação (6). ⇒⇐ A importância absoluta do pass

Nas duas provas consideradas até aqui há um passo básico. Na prova de que todos os números naturais ou são pares ou são ímpares, primeiro verificamos que 0 não era um contra-exemplo. Na prova de que a soma dos n primeiros números naturais ímpares é n2, primeiro importância. Eles mTalvez a melhor maneira de convencer-nos de que este passo básico é absolutamente essencial é mostrar como podemos provar um resultado erróneo se o omitirmos.

Afirmação 18.4 (Falsa) Todo numero natural é ao mesmo tempo par e impar.

Obviamente, a Afirmação18.4 é falsa! Damos, a seguir, uma prova fictícia utilizando o método do contra-exemplo mínimo, mas omitindo a etapa básica.

Prova: Suponhamos que a Proposição 18.4 seja falsa. Então existe um número natural mínimo x que não é simultaneamente par e ímpar. Consideremos x – 1. Como x – 1 < x, x – 1 não é um contra-exemplo para a Proposição 18.4. Portanto, x – 1 é simultaneamente par e impar.

Como x – 1 é par, x – 1 =2a para algum inteiro a, e assim x =2a + 1, de modo que x é impar.

Como x – 1 é impar, x – 1 = 2b + 1 para algum inteiro b, e assim x = 2b + 2 = 2(b + 1), de modo que x é par.

Assim, x é simultaneamente par e impar, mas x não pode ser simultaneamente par e impar.⇒⇐ C.q.d.

113

A side na frase “Portanto, x – 1 é prova está 99% correcta. Onde esta o erro? O erro resimulta as não neamente par e impar”. É certo que x – 1 não é um contra-exemplo, msabemo se x – 1 é um numero natural, porque não descartamos a possibilidade x – 1= –1 s(isto é, almente nenhum número natural é simultaneamente par e impar. x = 0). NaturAssim, o menor numero natural que não é ao mesmo tempo par e impar é zero (o caso exacto do problema!).

Boa Ordenação A para a técnica da prova pelo contra-exemplo mínimo. Vimos que tentemos melhor

era apr eros naturais são ou pares opriado aplicar esta técnica para mostrar que todos os númou impares, mas o método não é válido para inteiros. A diferença é que os inteiros contém uma sequência infinitamente descendente de números negativos. Todavia, consideremos a seguinte afirmativa e sua prova fictícia.

Afirmação 18.5 (Falsa) T onal não negativo é um inteiro. odo número raci

L que pode ser expresso como embremos que um número racional é qualquer númerouma fracção a / b, com a, b ∈ Z e b ≠ 0. Por esta afirmação, números como ¼ são inteiros. Ridículo! Note, entretanto, que a afirmação, é restrita a números racionais não negativos; isto é análogo à Proposição 18.1, que foi restrita a inteiros não negativos.

Atentemos para a “prova”.

“Prova”. Suponhamos que a Afirmação fosse falsa. Seja x um contra-exemplo

mínimo. Note que x = 0 não é um contra-exemplo, porque 0 é um inteiro. (Esta é a etapa

básica.)

Como x é um racional não negativo, x / 2 também o é. Além disso, como x ≠ 0, sabemos que x / 2 < x, de forma que x / 2 é menor do que o contra-exemplo mínimo, x. Portanto, x / 2 não é um contra-exemplo, de forma que x / 2 é um inteiro. Mas x = 2(x / 2), e 2 vezes um inteiro é um inteiro; portanto, x é um inteiro. ⇒⇐ C.q.d.

O que está errado com esta prova? É como se tivéssemos seguido o Esquema de Prova 15, não nos esquecendo de uma etapa básica (consideramos x = 0).

O problema reside na frase “Seja x um contra-exemplo mínimo”. Há uma infinidade de contra-exemplos da Afirmação 18.5, inclusive ½, 1/3, ¼, ..., que constituem uma sequência decrescente infinita de contra-exemplos, não podendo, assim, haver um contra-exemplo mínimo!

ontra-exemplo mínimo. O problema central é: quando podemos ter a certeza de achar um contra-exemplo mínimo? O princípio orientador é o seguinte.

A expressão bem ordenado aplica-se a um conjunto ordenado (isto é, um conjunto X com uma relação <). O conjunto X diz-se bem ordenado se todo o subconjunto não vazio de X contém um elemento mínimo.

Devemos ter o cuidado de não cometer eros subtis como a “prova” da Afirmação 18.5, quando utilizamos a técnica da prova por c

114

Afirmação 18.6 (O Princípio da Boa Ordenação) Todo conjunto não vazio de números naturais contém um elemento mínimo.

Exemplo 18.7 Seja P = x ∈ N : x é primo. Este conjunto é um subconjunto não vazio de

números naturais. Pelo Princípio da Boa ordenação, P contém um elemento mínimo. Naturalmente, o elemento mínimo em P é 2.

Exemplo 18.8 Consideremos o conjunto X = x ∈ N : x é par e ímpar. Sabemos que este conjunto é vazio, porque já mostramos que nenhum natural é

simultaneamente par e ímpar (Proposição 18.1). Mas, por contradição, suponhamos X ≠ ∅; então, elemento mínimo. Esta é a ideia pelo Princípio da Boa Ordenação, X conteria umcentral

na Prova da proposição 18.1.

Exemplo 18.9 Consideremos o conjunto Y = y ∈ Q : y ≥ 0, y ∉ Z. Na prova fictícia da Afirmação 18.5, procuramos em elemento mínimo de Y.

Subsequentemente, constatamos que Y não tinha elemento mínimo e que havia um erro na nossa “prova”. O Princípio da Boa Ordenação aplica-se a N, mas não a Q.

O Princípio da Boa Ordenação é um axioma dos números naturais.

Note que chamamos ao Princípio da Boa Ordenação uma ; não o amos de teorema. Porquê? A razão remonta ao começo desta disciplina. Poderíamos,

(mas não o fizemos) definir exactamente o que são os inteiros. Se enveredássemos pela difícil tarefa de dar uma definição cuidad

afirmaçãocham

osa doa inteiros, começaríamos por definir os núme como um conjunto de “objectos” que satisfazem certas condições; essas condições definidoras são chamadas axiomas. Um desses axiomas definidores é o Princípio da Boa Ordenação. Assim, os números naturais obedecem, por definição ao Princípio da Boa Ordenação. Há outras maneiras de definir

mática (tal curso poderia ser chamado de Lógica e teoria dos Conju

ido a de supor propriedades fundamentais dos inteiros; consideramos como u s o Princípio da Boa Ordenação.

ca do contra-exemplo mínimo funciona para provar que os números naturais não podem ser simultaneamente pares e ímpares, mas não funciona para provar que os racionais não nega v s são teiros

O Esquema de Prova 16 dá uma alternativa do Esquema de prova 15, que utiliza expli

ros naturais. Os números naturais são definidos

números inteiros e naturais, e, nesses contextos, podemos provar o Princípio da Boa ordenação. Se o leitor está intrigado sobre como se faz tudo isto, recomenda-se-lhe um curso de fundamentos da Mate

ntos). Em qualquer dos casos, a nossa abordagem tem s

ma dessas propriedade

O Princípio da Boa Ordenação explica porque a técni

ti o in .

citamente o Princípio da Boa Ordenação.

115

Esquema de prova 16 Prova pelo Princípio da Boa Ordenação Provar uma afirmação sobre os números naturais: Suponhamos, por contradição,

que a afir ⊆mação seja falsa. Seja X N o conjunto de contra-exemplos da afirmação. Como supusemos, a afirmação falsa é X ≠ ∅. Pelo Princípio da Boa Ordenação, X contém um elemento mínimo, x. (etapa básica.) Sabemos que x ≠ 0 porque mostra que o resultado vale para 0; isto em geral é fácil.

Consideremos x – 1. Como x > 0, sabemos que x – 1 ∈ N e a afirmação é verdadeira para x – 1 (porque x – 1 < x). A partir daqui, argumentamos para chegar a uma contradição – em geral, que x é e não é contra-exemplo da afirmação. ⇒⇐ C.q.d.

e como utilizar o Esquema de Prova 16. Eis um exemplo d

Proposição 18.10 Suponhamos que n ∈ N. Se a ≠ 0 e a ≠ 1, então:

a0 + a1 + a2 + ... + an = (an+1 – 1) / (a – 1). (8)

Em notação abreviada, queremos provar Σ = (an+1 – 1) / (a – 1).

Eliminamos a = 1 porque o m bro rei se tornar 0/0. Excluímos a = 0, para evitar 00. Se tomarmos 00 = , e t a f u in fun a

Prova: Vamos provar a Proposição 1 10 liz o incípio da Boa Ordenação. Supo

em di to ia 1 n ão órm la a da cion .

8. uti ando Prnhamos, por contradição, que a Proposição 18.10 fosse falsa. Seja X o conjunto de

contra-exemplos; isto é, os inteiros n para os quais a Equação (8) não é válida. Então, X =

⎭⎬⎫

⎩ −−

≠∑⎨ ∈⎧ +n n 1

=

nk

k

aaaN

0 11: .

Como supusemos que a proposição é falsa, deve haver um contra-exemplo, de modo que X ≠ ∅. Como X é subconjunto não vazio de N, pelo Principio da Boa Ordenação, contém um elemento mínimo x.

Note que, para n = 0, a Equação (8) se reduz a

11

−=

a, 11 −a

o que é verdadeiro. Isto significas qu ontra xemp da proposição. Assim, e n=0 não é um c -e lox ≠ 0. (Esta é a etapa básica.)

Portanto, x > 0. N e x-1∉X porque x–1 é menor do que o elemento mínimo Mas x–1∈ de X. Portanto, a proposição é válida para n = x – 1, e temos:

111210

−−

=++++ −

aaaaaa

xx . L

Somando ax a ambos os membros desta equação, vem:

xx

xxaaaa +++++ −1210 L aa

aa +−

=11 . (9)

−

Colocando o membro direito da equação(9) sobre um denominador comum, temos:

116

11111 −=

−=⎟

⎠⎜⎝ −

+−

=+− aaa

aa

aa

11111 11 −−+−⎞⎛−− +aaa xxx

xx

x − +aaaa xx

e, assim,

11210

−=++++

aaaaaa xL .

1+ −x

Isto mostra que x satisfaz a proposição, não sendo, portanto, um contra-exemplo, o que contradiz x ∈ X.⇒⇐ C.q.d.

O Esquema de Prova 16 é especificado de modo mais rígido do que o esquema 15. Frequentemente, precisamos modificar o esquema de prova 16 a fim de atender a uma situação particular. Consideremos por exemplo, o seguinte.

Proposição 18.11

Para todo inteiro n ≥ 5, temos 2 > n . n 2

N n 2ote que a desigualdade 2 > n só não é verdadeira para uns poucos valores pequenos de n:

1 2 3 4 5 n 0

2

n

n

2

1

0

2

1 4

4

8

9

16

16

32

25

Assim, a Proposição 18.11 não se aplica a todos os valores de N. Devemos modificar ligeiramente o Esquema de Prova 16. Eis a prova da Proposição 18.11.

Prova: Suponhamos, por contradição, que a Proposição 18.11 fosse falsa. Seja x o conjunto de contra-exemplos; isto é,

22,5: nnZnX n >/≥∈= .

Como nossa suposição é que a proposição seja falsa, temos X ≠ ∅. Pelo Principio da Boa Ordenação, X contém um elemento mínimo x.

Afirmamos que x ≠ 5. Note que 25 = 32 > 25 = 52, de modo que 5 não é um contra exemplo da proposição (isto é, 5 ∉ X); logo, x ≠ 5. Assim, x ≥ 6.

Consideremos, agora, x – 1. Como x ≥ 6, temos x – 1 ≥ 5. E como x é o elemento mínimo de X, sabemos que a Proposição é verdadeira para n = x – 1; isto é:

2x–1 > (x – 1)2 (10)

Sabemos que xx 22 211 ⋅=− e 12)1( 22 +−=− xxx , de modo que a equ (10) podação e

ser posta sob a forma

122 221 +−=⋅ xxx .

Multiplicando ambos os membros por 2, vem:

2422 2 +−= xxx (11)

117

Teremos terminado, desde que provemos 22 242 xxx ≥+− . (12)

Para provar a equação (12), basta provarmos que

2442 ≥+− xx . (13)

Obtivemos a Equação (13) a omando 2 a ambos os membros. Note d Equação (12) sque a Equação (13) pode ser escrita na forma

(x – 2)2 ≥ 2. (14)

Reduzimos, assim, o problem ação (14) e, para tanto, certamente basta a a provar a equprovar que

x – 2 ≥ 2. (15)

o que é verdade, porque x ≥ 6 (precisamos apenas de x ≥ 4). C.q.d.

A única modificação no esquema de prova 16 é que o caso básico é x = 5 em lugar de x = 0.

Apresentamos outro exemplo, em que devemos modificar ligeiramente o método do principio da Boa Ordenação. Este exemplo envolve a célebre sequência de número a seguir.

Definição 18.12 (Números de Fibonacci) Os números de Fibonacci são a lista de inteiros (1, 1, 2, 3, 5, 8, ...) = (F0, F1, F2,...)

onde F = 1, 0 F1 = 1 e Fn = Fn – 1 + Fn – 2, para n ≥ 2.

8,... eanteriores. Representem eros por F (começando com F ).

Em palavras, Os números de Fibonacci são a sequência que começa com 1, 1, 2, 3, 5, e m que cada termo sucessivo é obtido como a soma dos dois termos imediatamente

os esses núm n 0

Proposição 18.13 Para

conjunt

todo n ∈ N temos F ≤ nn 1,7

Prova. Suponhamos, por contradição, que a proposição 18.13 fosse falsa. Seja X o o de contra-exemplos; isto é:

X = nnFNn 7,1: ≤/

C roposição fosse falsa, sabemos que X ≠ ∅. Assim, pelo Princípio da Boa Ordenação, X contém um x. O mai Assim

e, como x –1 e x –2 são números naturais inferiores a x, sabemos também que

∈ .

omo supusemos que a p elemento mínimo

bserve que x ≠ 0 porque F0 = 1 = 1,70 e x ≠1 porque F1 = 1 ≤ 1,71. x ≠ 0 e x ≠ 1. Porque? Vamos explica-lo Note que consideramos dois casos básicos:

s adiante. , x ≥ 2. Agora sabemos que

Fx = Fx–1 + Fx–2 (16)

118

Eis p adeira para x –1são número Com

=1,7x.

( O truqPortanto, a Proposição 18.13 é ⇒⇐ C.q.d.

Recacontra Boa cil).

e n < 2n para todo n∈ N.

n > 1,6n e alguns cálculos, determine para quais valores de n esta desigualdade é válida. Prove sua asserção.

6. Calcule a soma dos n primeiros números de Fibonacci para n = 0,1, 2, ..., 5. Por outras palavras, calcule

F0 + F1 + ... + Fn

para diversos valores de n. Formule uma conjectura sobre essas somas e prove-a.

7. Critique a afirmação e a prova a seguir: Afirmação: Todos os números naturais são divisíveis por 3.

Fx–2 ≤ 1,7x–2 e Fx–1 ≤ 1,7x–1. (17)

orquê! Queremos utilizar, na prova, o facto de que a proposição é verd e x–2. Não podemos fazê-lo a meno que tenh mos a ces a rteza de que x –1 e x–2 s naturais; é por isto que devemos eliminar tanto x = 0 como x = 1.

binando as equações (16) e (17), temos:

Fx = Fx–1 + Fx–2

≤ 1,7x–1+1,7x–2

= 1,7x–2(1,7 + 1)

=1,7x–2 (2,7)

<1,7x–2(2,89)

=1,7x-2 (1,72)

ue consistiu em reconhecer que 2,7 < 2,89 =1,7 2.) verdadeira para n = x, contradizendo x∈X.

pitulando Neste capitulo, estendemos o método da prova por contradição à prova por exemplo mínimo . Refinamos este método com o uso explicito do Principio daOrdenação. Embora de vital importância, não enfatizamos o caso básico (usualmente fá

EXERCÍCIOS

1. Qual é o menor número real positivo?

2. Prove, pelas técnicas desta secção, que 1 + 2 + 3 + ... + n = ½ n (n+1) para todos os inteiros positivos n.

3. Prove, pelas técnicas desta secção, qu

4. Prove, pelas técnicas desta secção, que n! ≤ nn para todos os inteiros positivos n.

5. A desigualdade F é verdadeira para n suficientemente grande. Mediant

119

Prova. Sconjunto de contra-exemplos (isto é,

uponhamos por contradição, que a afirmação fosse falsa. Seja X o X = ⎨x ∈ N: x não é divisível por 3⎬). A

C.q.d.

Pascal e o triangulo dos coeficientes ê. Reformule aquela discussão como

étodo de contra-exemplo mínimo. Sua prova conter uma frase análoga a “Consideremos a primeira linha onde o triangulo

os coeficientes binominais não são os mesmos”.

utilizando o método de Boa Ordenação. ou

suposição de que a afirmação seja falsa significa que X ≠ ∅. Como x é um conjunto não-vazio de números naturais, contém um elemento mínimo x. Note que 0 ∉ X porque 0 é divisível por 3. Logo, x ≠ 3. Consideremos agora x –3 como x – 3 < x, não é um contra-exemplo da afirmação. Portanto, x –3 é divisível por 3; isto é existe um inteiro a tal que x – 3 = 3a. Assim, x = 3a + 3 = 3(a+1) e x é divisível por 3, contradizendo x ∈ X. ⇒⇐

8. Na secção 14 mostramos que o triângulo de binominais são idênticos e explicamos porquuma prova cuidadosa utilizando o mdevede Pascal e o triangulo d

9. Prove Principio generalizado da adição seja, prove o seguinte:

Suponha que A1, A2,...An sejam conjuntos finitos disjuntos dois a dois. Então:

⎜A1 ∪ A2 ∪...∪An⎟ = ⎥A1⎥+ ⎥A2⎥+...+ ⎟An⎥ .

E, finalmente ...

Teorema 18.14( interessante) Todo numero natural é interessante

Orde

Prova. Suponhamos, por contradição, que o teorema 18.14 seja falso. Seja X o conjunto de contra exemplos (isto é X é o conjunto dos números naturais que não são interessantes). Como supusemos falso o teorema, temos X ≠ ∅ . Pelo Principio da Boa

nação, seja x o elemento mínimo de X.

Naturalmente, 0 é um numero interessante: é o elemento identidade para a adição, é o primeiro numero natural e qualquer numero multiplicado por 0 é 0, e assim por diante. Então x ≠ 0. Da mesma forma, x ≠1 , porque um é a única unidade em N, é o elemento identidade para a multiplicação, e assim por diante. E x ≠ 2, porque dois é o único numero par primo. Esses são números interessantes!

O que é x? É o primeiro numero natural que não é interessante. E isto o torna realmente interessante! ⇒⇐ C.q.d.

120

4.19 Indução nguagem usual, A palavra Lingua indução se refere a extracção de conclusões

gerais eno leste d do facto de que o todo nascer do sol sempre ocorreu no leste. Isto naturalmen ará no leste amanhã, mas mesmo um matemático não se colocaria contra cto! O emprego, pelo matemático, da palavra indução é assaz diferent

Nesta secção vamos apresentar uma alternativa da prova por contra exemplo mínimo. Este tmétodo está incorporada no teorem

gem matemática! Na li de xames de vários factos particulares. Por exemplo, o principio geral de que o sol sempre se levanta

ecorre, por indução, te, não prova que o sol se levant

o fa e e é explicado nesta secção.

mé odo é chamado Indução matemática ou, abreviadamente, Indução. A essência do a a seguir.

Teorema 19.1 (Principio da Indução matemática) Seja A um conjunto de números naturais. Se (1) 0 ∈ A e (2) ∀k ∈ N, k∈A ⇒ k+1 ∈ A, então =

natur ições podem se aPrimeiro vamos provar este resultado; em seguida, explicaremos como utiliza-lo como instrume

é X é o conju A ≠ N signif

ão-vazio de números naturais sabemos que X contém um elemento mínimo x (Principio da boa Or ero natural fora de A.

ero elemento fora de

A, temos que x –1 ∈ A. Quanto à segunda cond m pre que um numero

natura

afirmuma certa

A N.

As duas condições afirmam que (1) 0 está no conjunto A e (2) sempre que um numeroal k está em A, k+1 também está em A. A única maneira como estas duas cond

r s tisfeitas é que A seja todo conjunto dos números naturais.

nto básico de uma técnica de prova .

Prova: Suponhamos, por contradição, que A ≠ N. Seja X = N – A (isto nto dos números naturais que não estão em A). Nossa suposição de que ica que existe um numero natural não em A (isto é X ≠ ∅). Como X é um conjunto n

denação). Assim, x e o menor num

Note que x ≠ 0 porque sabemos 0 ∈ A, de forma que 0 ∉ X. Portanto, x ≥ 1. Assim, x –1 ≥ 0, de modo que x –1 ∈ N. Além disso, como x é o menor num

ição do teore a, ela afirma que, seml esta em A, o numero natural imediatamente superior também está. Como x –1 ∈ A,

sabemos que (x –1) +1= x também está em A. Mas x ∉ A.⇒⇐ C.q.d.

Podemos utilizar o teorema 19.1 como uma técnica de prova. O tipo geral de ação que provamos por Indução pode expressar-se na forma: todo numero natural tem

propriedade. Por exemplo, consideremos o seguinte.

Proposição 19.2 Seja n um número natural. Então:

6)12)(1(3210 22222 ++

=+++++nnnnL (18)

O esboço global da prova está resumido no Esquema de Prova 17. Usamos este método para provar a Proposição 19.2.

121

Prova: (da Proposição 19.2). Provamos este resultado por indução. Seja A o conjunto dos números naturais para os quais a Proposição 19.2 é verdadeira; isto é, os valores de n para os quais a Equação (18) se verifica.

• Etapa básica: Note que o teorema é verdadeiro para n = 0, porque ambos os membros da Equação (18) se reduzem a 0.

• Hipótese de indução: Suponha que o resultado seja verdadeiro para n = k; isto é, podemos supor

6

)12)(1(3210 22222 ++=+++++

kkkkL . (19)

• Devemos, agora, provar que a Equação (18) é válida para n = k + 1; isto é, devemos provar que

[ ][ ]6

1)1(21)1()1()1(3210 222222 +++++=+++++++

kkkkkL . (20)

Esquema de Prova 17 Prova por indução

Para provar que todo o número natural tem determinada propriedade: • Seja A o conjunto dos números naturais para os quais o resultado é verdadeiro. • Prove que 0∈ A. Isto constitui a chamada etapa básica. Em geral é fácil. • Prove que, se k ∈ A, então k + 1 ∈ A. É chamada etapa indutiva. Para tanto,

− Supomos que o resultado seja válido para n = k. É a chamada hipótese da indução.

− Use a hipótese da indução para provar que o resultado é válido para n = k+1. • Invocamos o Teorema 19.1 para concluir que A = N. • Portanto, o resultado é verdadeiro para todos os números naturais. C.q.d.

k + 1)2 a ambos os m

Para provar a Equação (20) com base na Equação (19), adicionamos (embros da Equação (19):

22222 3210 k+++++ L + (k + 1)2 = 6

)12)(1( ++ kkk + (k + 1)2 (21)

igualPara completar a prova, devemos mostrar que o membro direito da Equação (20) é ao membro direito da Equação (21); isto é, devemos provar que

6)12)(1( ++ kkk + (k + 1)2 = [ ][ ]

61)1(21)1()1( +++++ kkk

. (22)

A verificação da Equação (22) constitui um exercício simples (embora trabalhoso) de álgebra, que deixamos a cargo do leitor (Exercício 19.2).

• Mostramos que 0 ∈ A e k∈A ⇒ k+1 ∈ A. Portanto, por indução, (Teorema 19.1) sabemos que A = N; isto é, a proposição é verdadeira para todos os números naturais. C.q.d.

Na prova da Proposição 19.2, referimo-nos explicitamente ao conjunto A de todos os núme eiro. À medida que o leitor vai se ros naturais para os quais o resultado é verdad

122

sentin nção explícita deste conju

• Aplicar a hipótese da indução para pr

Note que, ao provar o caso n = k + 1, devemos utilizar o facto de que o resultado é válido pa oformular u

al é fácil. Se o resultado que desejamopositi

acilita a demo

e ser provado igualmente pelo rdenação ou pela técnica do contra-exemplo mínimo. Todavia, as prova

devemos estar familiarizados com as provas por indução por duas razõe

ordenação. Isto porque as pe

do mais à vontade com as provas por indução, poderá omitir a mento. As etapas importantes numa prova por indução são:

• Provar o caso básico, isto é, provar que o resultado se verifica para n = 0. • Admitir a hipótese da indução; isto é, admitir o resultado como válido para n = k.

ovar o caso seguinte (isto é, para n = k + 1).

ra caso n = k. Se não aplicarmos a hipótese da indução, então (1) ou é possível ma prova mais simples do resultado sem indução ou (2) cometemos um erro.

O caso básico é sempre essencial e, infelizmente, em gers provar não abrange todos os números naturais – digamos, apenas os inteiros

vos –, então a etapa básica pode começar num valor diferente de 0.

A hipótese de indução é um instrumento aparentemente mágico que fnstração de teoremas. Para provar o caso n = k + 1, podemos não só admitir a hipótese

do teorema, como também podemos supor a hipótese da indução; isto amplia o nosso campo de trabalho.

Indução versus boa ordenação

Qualquer resultado que possamos provar por indução podPrincípio da Boa Os por indução são muito mais populares do que as provas pólo Princípio da Boa

ordenação ou pelo contra-exemplo mínimo.

Quando provamos um teorema, podemos, é claro, utilizar as técnicas que nos aprouverem. Todavia,

s. Primeiro, quando lemos provas elaboradas por outros encontramos com mais frequência provas por indução. Segundo, quando redigimos provas para outros, uma prova por indução pode ser mais bem recebida do que uma prova por boa

ssoas estão acostumadas a certos estilos, e a indução está mais “na moda” do que a boa ordenação.

Indução Forte Eis uma variante do Teorema 19.1

Teorema 19.3 (Princípio da Indução Matemática – Versão Forte) Seja A um conjunto de números naturais. Se (1) 0 ∈ A e (2 Para todo k ∈ N, se 0, 1, 2, ..., k ∈ A, k +1 ∈ A, ) Ent

DeiPor

indução começamindução ( ição é verdadeira para n = k) e aplicamo-la, então, para prova uuma hipó ção forte, podemos supor 0,1,2,...,k ∈ A (a

ão A = N.

xamos a cargo do leitor a prova deste teorema (ver Exercício 19.13). que chamamos a este teorema indução forte? Suponha que estejamos a utilizar a para provar uma proposição. Em ambos os casos de indução – padrão e forte – os por mostrar o caso básico (0 ∈ A). Na indução padrão admitimos a hipótese da k ∈ A; isto é, a propos

r q e k + 1 ∈ A (isto é, a proposição é válida para n = k + 1). A indução forte dá-nos tese mais forte de indução. Na indu

123

propo ã rovar que k+1 ∈ A (a propo ã

siç o é verdadeira para todo n de 0 a k) e utilizar o facto para psiç o é verdadeira para n = k + 1). Este método está esboçado no Esquema de Prova 18.

Esquema de Prova 18 Prova por indução forte

Provar que todo o número natural tem determinada propriedade: • Seja A o conjunto dos números naturais para os quais o resultado é verdadeiro. • Prove que 0∈ A. Isto constitui a chamada etapa básica. Em geral é fácil. • Prove que, se 0, 1, 2, ..., k ∈ A, então k + 1 ∈ A. É chamada etapa indutiva. Para

tanto, − Suponha o resultado válido para n = 0, 1, 2, ..., k. É a hipótese de indução

forte. − Aplique a hipótese de indução forte para provar que o resultado é válido para

n = k+1. • Invocamos o Teorema 19.3 para concluir que A = N. • Portanto, o resultado é verdadeiro para todos os números naturais. C.q.d.

Vejamos como usar a indução forte e porque ela nos dá maior flexibilidade do que a indução padrão. Ilustramos a prova por indução forte num problema de geometria.

angular um polígono é traçar diagonais pelo interior do po

rte.

Seja P um polígono no plano. Trilígono, de modo que (1) as diagonais não se cruzem e (2) cada região criada é um

triângulo. Quando algum dos triângulos assim obtidos partilham dois dos seus lados com o polígono, esse triângulo designa-se exterior.

Vamos provar o resultado seguinte usando a indução fo

Proposição 19.4 Se um polígono com quatro ou mais lados for triangulado, então pelo manos dois dos

triângProva: Seja n o número de lados do polígono. Vamos provar o

indução forte sobre n.

o forte: Suponhamos que a Proposição 19.4 tenha sido provada todos os polígonos com n = 4, 5, ..., k lados.

m k + 1 lados. Devemos provar que pelo menos dois dos seus triângulos são exteriores.

Esta diagonal ara P em dois polígonos A e B, em que (este B são polígonos triangulados com menor número de lados do que P. É possível que A, ou B, ou ambos sejam, eles próprios, triângulos. Consideramos os ca

enos quatro, mas no máximo,

triângulos exteriores de A utiliza d como diagonal, então não é um triângulo

ulos formados serão exteriores. a Proposiçã 19.4 por

Caso básico: Como este resultado só tem sentido para n ≥ 4, o caso base é n = 4. A única maneira de triangular um quadrilátero é traçar uma das suas diagonais possíveis. Em qualquer das hipóteses, o dois triângulos formados serão exteriores.

Hipótese da induçã

Seja P um polígono arbitrário triangulado co

Seja d uma das diagonais. sepé o comentário chave) A e

sos em que nenhum, apenas um ou ambos, A e B, são triângulos.

• Se A não é um triângulo. Então, como A tem pelo m k lados, sabemos, pela indução forte, que dois ou mais dos triângulos de A são exteriores. Agora temos motivo para preocupação: os triângulos exteriores de A são realmente triângulos exteriores de P? Não necessariamente. Se um dos

124

exterior de P. Não obstante, o outro triângulo exterior de A também não pode utilizar a diagonal d e, assim, ao menos um triângulo exterior de A é também

triângulo exterior para P. • Se A é um triângulo. Então A é um triângulo exterior de P!

lo. Então B é um triângulo exterior de P!

Em qualquer dos casos, tanto A como B contribuem com pelo menos um triângulo exterior para P, e assim P tem pelo menos dois triângulos exteriores. C.q.d.

que eles tinham menor número de lados do que P. Para aplicar a indução ordinária, deveríamos ter escolhido uma diagonal tal que A tivesse k lados, e B três; por outras palavras, teríamos que escolher B como um triângulo exterior. O problema é que ainda não tínhamos provado que um polígono triangulado tem um triângulo exterior!

polígono triangulado tem dois triângulos exteriores! Ver Exercício 19.12.

A indução forte proporciona maior flexibilidade do que a indução padrão porque a hipótese da indução permite supormos mais. Provavel o melhor é não redigir sua prova no estilo da indução forte quando a indução padrão se revela suficiente. Nos casos em qu ém, como alternativa, a prova por contra-exemplo mínimo.

Um Exemplo Mais Complicado Vamos provar o resultado a seguir por indução forte. A parte difícil deste exemplo

está em manter controle dos coeficientes binomiais. E estrutura global da prova não é diferente da prova da Proposição 19.4. Seguimos o Esquema de Prova 18.

2.

triângulo exterior de P. • Se B não é um triângulo. Tal como no caso anterior, B contribui com um pelo

menos um

• Se B é um triângu

A indução forte prestou-nos enorme auxílio nesta prova. Quando consideramos a diagonal d, não conhecíamos o número de lados dos dois polígonos A e B. Tudo quanto sabíamos ao certo é

Curiosamente, é mais difícil provar que um polígono triangulado tem um triângulo exterior do que provar que um

mente,

e devemos usar a indução forte, temos tamb

Os números de Fibonacci foram introduzidos na Definição 18.1

Proposição 19.5 Seja n ∈ Z e denotemos por Fn o n-ésimo número e Fibonacci. Então

nFn

nnn ⎞⎛ −⎞⎛ −⎞⎛ 21=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠⎜⎜⎝

+⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

+⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

0210

L . (23)

⎜+⎟⎜+⎟⎜+⎟⎜+⎟⎜+⎟⎜+⎟⎜+⎟⎜

Note que vários dos últimos termos da soma são zero. A partir de certo ponto, o índice inferior no coeficiente binomial excederá o índice superior e, então, todos os temos serão zero. Por exemplo,

⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝ 76543210

= 1 + 6 + 10 + 4 + 0 + 0 + 0 + 0 = 21 = F

⎟⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛ 01234567

7.

Em notação de somatório, ∑=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −n

jnF

jjn

0.

125

Antes de apresentarmos a prova formal da Proposição 19.5, vejamos porque isto deve ser verdadeiro e porque necessitamos da indução forte.

Em geral, para provar que uma expressão dá um número de Fibonacci, levamos em conta que Fn = Fn–1 + Fn–2. Se sabemos que a expressão é válida para Fn–1 e Fn–2, então podem

nas supor o caso menor imediato do resultado; aqui, necessitamos dos dois valores prévios, o que a indução forte nos permite fazer.

Vejamos como podemos aplicar isto à Proposição 19.5 examinando o caso n = 8. Desejamos provar:

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠⎜⎜⎝

=44

17

08 LF .

⎟⎞

⎜⎛

+⎟⎞

⎜⎛

=3356

LF e .

Pretendemos somar estas equações porque F8 = F7 + F6. A ideia é intercalar os termos das duas expressões.

⎠⎝ 33

34

24

255

16

06

.

⎝ 17

16

0 .

Combinando os termos dois a dois obtemos

7

334

24

25

15

16

06

07

67

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎞⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+ FF

⎞⎜⎛4

.

o que temos pelo que desejamos, para encerrar este exemplo.

os adicionar as expressões apropriadas para ver se obtemos Fn. Na indução padrão, podemos ape

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎛8

Para tanto, supomos

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟

⎠⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝ 106 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

34

25

16

07

7F

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎛

=+07

67 FF1

Podemos, agora, aplicar a identidade de Pascal (Teorema 14.10) para combinar pares de termos.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎛6

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛26

25

15

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛35

34

24

.33

35

26

17

0+⎟⎟

⎠⎜⎜⎝

=

3⎛

Estamos quase no fim. Note que o temo ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛07

deve ser ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛08

e o termo ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛33

deve ser

⎟⎠

⎜⎝4

A boa nova é que esses temos são ambos iguais a 1, de forma que podemos substituir ⎟

126

.44

35

26

17

08

33

35

26

17

07

33

34

24

25

15

16

06

07

67

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+ FF

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

=

Oimportâcertific

P oposição 19.5). Aplicamos a indução forte.

Caso básico: O resultado é válido para n = 0; a Equação (23) reduz-se a ,

o que é verdadeiro. Note que o resultado também é válido para n = 1, pois + 0

= 1 = F1.

Hipótese da indução forte: A Proposição 19.5 é verdadeira para todos os valores de n de 0 a k. (Podemos também supor k ≥ 1, pois já provamos o resultado para n = 0 e n = 1).

Procuremos provar a Equação (23) no caso n = k + 1; isto é, queremos provar que:

.

Pela hipótese da indução forte, sabemos que as duas equações seguintes são verdadeiras:

e .

Somando essas duas equações obtemos:

.

A próxima etapa consiste em combinar termos que tenham o mesmo índice superior, utilizando a identidade de Pascal (Teorema 14.10). Vejamos, primeiro, onde esta longa soma termina.

Para k par, ela termina como

⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝

caso F9 = F8 + F7 é análogo, embora haja algumas diferenças de menor ncia. O leitor deve escrever, ele próprio, as etapas deste caso antes de ler a prova,

ando-se de que reconhece as diferenças entre estes dois casos.

rova: (da Pr

0100

F==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

110

01

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

L+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=+ 2

110

11

kkkFk

L+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=− 2

31

20

11

kkkFk L+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

22

11

0kkk

Fk

L+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+= −+ 2

32

21

21

10

1011

kkkkkkFFF kkk

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

+=+2

2

2

2

2

2

2

21 11

121

k

k

k

k

k

k

k

k

kF L

e para k ímpar, termina com

127

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ −

+⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ +−

+⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ +−

+=+

)1(1)1(1)1( 21

21

21

1

kkkFk L .

⎠⎝ −⎠⎝ −⎠⎝ − )1()1()1( 21

21

21 kkk

A am s, agora, a identidade de Pascal, combinando os pares de termos com o mesmo valor superior .

Para k par, temos:

−1

plic o

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

⎦

⎤

⎣

⎡ ⎞⎛ +⎞⎛ +−

⎥⎥

⎢⎢ ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝

+⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ −

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞

2

2

2

2

22

112

21

101

121

k

k

k

k

kk

kkk

kkk

L

e no caso de k ímpar, vem:

⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

221 1210 kkkF L

.)1()1(210 2

121

⎠⎝ +⎦⎣ ⎠⎝ −⎠⎝⎠⎝⎠⎝ kk

m ambos os casos, verificamos a Equação (23) com n = k + 1, completando, desta a, a prova. C.q.d.

parte mais difícil desta prova foi lidar com índices superiores e inferiores dos ntes binomiais.

ecapitulando

prova por ind

)1(2)1(11

)1()1(

)1(2)1(

21

1011

2121

21

21

1

⎞⎛ +⎤⎡ ⎞⎛ +−⎞⎛ −⎞⎛⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ +

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

22⎟⎟⎜⎜+⎥⎢ ⎟⎟⎜⎜++⎟⎟⎜⎜+⎟⎟⎜⎜+

⎠

⎞

L

Emaneir

Acoeficie

R

A ução é um método alternativo da prova por boa ordenação / contra-exemplbásico s que desejamos provar é válido para n = 0). Na ind o n = n = k + ão é verdade ou fort pmínimo

EXE1.

2.

⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

kkkkk

kk

kkkkk

Fk L

o mínimo. O primeiro passo da prova por indução consiste em provar um caso (geralmente, provar que o resultado

uçã padrão, fazemos uma hipótese de indução (a proposição é verdadeira quando k) e aplicamo-la para provar o caso seguinte (a proposição é verdadeira quando

1). A indução forte é análoga, mas a hipótese de indução forte é que a proposiçira para n = 0, 1, 2, ..., k. Qualquer resultado que provemos por indução (padrão

e) ode ser provado igualmente com o método da boa ordenação / contra-exemplo . As provas por indução são mais populares.

RCÍCIOS A indução costuma ser comparada à subida de uma escala. Se o leitor puder dominar as duas habilidades seguintes, então poderá subir uma escada: (1) ponha o pé no primeiro degrau e (2) avance de um degrau para o próximo. Explique porque ambas as partes (1) e (2) são necessárias e o que isto tem a ver com a indução.

Prove a Equação (22).

128

Prove as igualdades seguintes por indução. Em cada caso, n é um inteiro positivo. 3.

a) 2)13()23(741 −=−++++ nnnL .

b) 421 =+++ nL . )1(333 22 +nn

c) 1 −=×+ − nn . 11010910091099 +×+×+ L

d) 1)1(3221 ++⋅⋅1111 1−=+++ . nnnL

4. Prove as desigualdades seguintes por indução. Em cada caso, n é um inteiro

a)

b)

positivo.

1222 11 −−≤ −+ nnn .

121

41

21

81

41

21 1)(1( )1()1)( ++≥−−− nn .

c)

− L

221

41

31

21 11 n

n +≥+++++ L .

5. Um um cinema. A prim uma mulher e a última é um homem. Aplique a prova por

ente à fren

6. A T go que consiste num tabuleiro com três espigões e uma discos têm orifícios

perfurados nos seus centros, de modo a poderem adaptar-se aos espigões no

m cima de um

de Hanói (com n discos) pode se

7. S , para dois conjuntos qP conjunto de todos eles.

8. U ua própria definição? Em geral, a resposta é não. Todavia, na Definição 18.12, definimos os números de Fibonacci como uma sequência F0, F1, F2, ... fazendo F0 = 1, F1 = 1 e, para n ≥ 2, Fn = Fn–1 + Fn–2. Note

grupo de pessoas eeira pessoa na fila é

stá numa fila para comprar entradas para

indução para mostrar que, em algum ponto da fila, uma mulher está directamte de um homem.

orre de Hanói é um jocolecção de n discos de tamanhos (raios) diferentes. O

tabuleiro. Inicialmente, todos os discos estão no primeiro espigão, dispostos por tamanho (do maior, na base, para o menor, no topo).O objectivo é transferir todos os discos para outro espigão com o menor número possível de movimentos. Cada movimento consiste em tirar o disco de cima de um dos espigões e colocá-lo em outro espigão, com a condição de não se colocar um disco maior edisco menor. Prove: Para todo inteiro positivo n, o jogo da Torre

r resolvido em 2n–1 movimentos.

ejam A1, A2, ..., An conjuntos (com n ≥ 2). Suponha queuaisquer, Ai e Aj, ou Ai ⊆ Aj ou Aj ⊆ Ai. rove, por indução, que um desses n conjuntos é um sub

ma palavra pode ser usada na s

que definimos os números de Fibonacci em termos deles próprios! Isto funciona porque definimos Fn em termos de números de Fibonacci previamente definidos. Este tipo de definição por recorrência ou definição recursiva. As definições recursivas guardam forte semelhança com as provas por indução. Elas são tipicamente alguns casos básicos, e o resto da definição se reporta a casos menores (à semelhança com a etapa indutiva duma prova por indução). A indução é

129

a técnica de prova de escolha para provar afirmações sobre conceitos definidos por recorrência. As seguintes sequências de números são definidas Responquestões formuladas:

por recorrência. da às

os da sequência,

b) n n–1,...?

rove:

a) Seja a0 = 1 e, para n > 0, seja an = 2an–1 + 1. Os primeiros terma0, a1, a2, a3, ... são 1, 3, 7, 15, ... Quais são os três termos seguintes?

n+1Prove: an = 2 – 1.

Seja b0 = 1 e, para n > 0, seja b = 3b – 1. Quais são os cinco primeiros termos da sequência b0, b1, b2

P 213 +n=nb .

c) Seja c0 = 3 e, para n > 0, seja cn = cn–1 + n. Quais são os cinco primeiros termos da sequência c0, c1, c2,...? Prove: 2n

d) Seja d

62 ++= nnc .

0 = 2, d1 = 5 e, para n > 1, seja dn = 5dn–1 – 6dn–2.

n–1 – n–2).

rove:

Porque damos duas definições de base? Quais são os cinco primeiros termos da sequência d0, d1, d2,...? Prove: dn = 2n + 3n.

e) Seja e0 = 1, e1 = 4 e, para n > 1, seja en = 4(e eQuais são os cinco primeiros termos da sequência e0, e1, e2,...? Prove: en = (n + 1)2n.

f) Denote por Fn o n-ésimo número de Fibonacci. P

( ) ( )5

22=nF . 151151 +−++ −

nn

9. Um mastro tem n pés de altura. Nesse mastro exibimos bandeiras dos seguintes tipos: bandeiras vermelhas a 1 pé de altura, bandeiras azuis a 2 pés de altura e bandeiras verdes a 2 pés de altura. A soma das alturas das bandeiras é exactamente n pés. Prove que há nn )1(2 12 −+⋅ maneiras de dispor as bandeiras. 33

1 te programa de computador: 0. Consideremos o seguinfunction findMax (array, first, last) if (first == last) return array[first]; mid = first + (last – first) / 2; a = findMax (array, first, mid); b = findMax (array, mid + 1, last); if (a < b) return b; return a;

Aqui, array é uma fileira de inteiros. Todas as outras variáveis são inteiros. Supomos que first e last estejam entre 1 e o número de elementos da fileira e que first ≤ last.

130

O objectivo deste programa é achar o maior valor na fileira entre dois índices, isto é, o programa deve dar o maior valor de entre array[first], array[first+1], ..., array[last]. Seu trabalho: provar que este programa desempenha a sua tarefa. [Nota técnica: Se last – first é ímpar, então (last – first) / 2 é arredondado para o inteiro inferior mais ppróximo. Por exemplo, se first é 7 e

ray[mid] > key) return lookUp (array, first, mid ); ooUp (array, mid+1, last, key);

e

há um índice j entre first

o, que um polígono nos um triângulo exterior. O que acontece de errado quando

cil

ecido como carga de indução.

1 ma 19.3.

1 o a indução forte, prove que todo número natural pode ser expresso como a soma de potências distint 2 + 20.

provar o

emplo. Uma maneira de desempenhar ambas as tarefas simultaneamente consiste em procurar deduzir

.

last é 20, então (last – first) / 2 = 6].

11. Considere o seguinte problema de computador: function lookUp (array, first, last, key) mid = first + (last – first) / 2; if (array[mid] == key) return mid; if (ar– 1, keyreturn l

Aqui, array é uma fileira de inteiros. Todas as outras variáveis representam inteiros. Os valores armazenados em array são escolhidos; isto é, sabemos quarray[1] < array[2] < array[3] < .... Sabemos também que 1 ≤ first ≤ last e quee last para o qual o array[j] é igual a key. Prove que este programa acha aquele índice j.

12. Procure provar, utilizando a indução forte ou a indução padrãtriangulado tem pelo meprocuramos elaborar nossa própria prova? O teorema mais difícil (“... tem pelo menos dois triângulos exteriores”) é mais fáde provar do que o teorema mais fácil (“... tem pelo menos um triângulo exterior”). Este fenómeno é conh

3. Prove o Teore

4. Usandas de 2. Por exemplo, 21 = 24 + 2

15. Mostre como provar o princ (Teorema 19.1) utilizando o Princípio de Boa Ordenação. Faça agora o oposto: aplique a indução para

ípio da indução matemática

Princípio da Boa Ordenação (Afirmação 18.6).

Uma Questão de Estilo A prova por indução e a prova por contra-exemplo mínimo em geral são permutáveis. O autor prefere, entretanto, a prova por contra-exemplo mínimo. Trata-se mais de uma preferência estilística, mas há uma razão matemática para a preferência da técnica do contra-exemplo mínimo. Quando os matemáticos procuram provar afirmações, eles podem acreditar que a afirmação seja verdadeira, mas ainda não o sabem – até que tenham uma prova – da verdade, ou não, da afirmação. Não raro alternamos entre procurar provar a afirmação e procurar achar um contra-expropriedades que um contra-exemplo mínimo possa ter. Dessa forma, podemos ou chegar a uma contradição (e então temos uma prova da afirmação) ou aprender o suficiente sobre como o contra-exemplo deve comporta-se para construir realmente um contra-exemplo

131

5. Funções O conceito de função é central em matemática. Intuitivamente, uma função pode ser

encarada como uma maquina. Introduz-se um número na maquina, aperta-se um botão e saiuma resposta. Uma propriedade chave do facto de ser uma função é a consistê

ncia. Toda vez q

cr enexem cujas entradas são triângulos e, para cada triangulo introduzido na funç

icar uma função.

faremos um estudo cuidadoso das funções começando com uma defin

Intuitivamente sforma uma rma .

Nesta secção, vamos desenv e rigorosa das funções. As funçõ

como relação foi, em principio, contra-intuitiva, assim também a definição precisa de uma função pode parecer estranha, inicialmente.

ue introduzimos um número especifico – digamos 4 – na maquina, aparece sempre a mesma resposta. Os elementos que se introduzem são sempre da mesma natureza. Não faria sentido introduzir um triângulo no alimentador dessa maquina! Não obstante, podemos

iar uma função cujas tradas sejam triângulos e cujas saídas sejam números. Por plo, podem os definir f como função

ão, a saída é a área do triangulo.

O “mecanismo” na “máquina” da função não precisa ser ditado por uma formula algébrica. Tudo quanto se exige é que se especifiquem cuidadosamente as entradas permitidas e, para cada entrada, a saída correspondente. Em geral, isto se faz por meio de uma expressão algébrica, embora haja outros meios de especif

Neste capitulo,ição precisa.

5. 20 Funções , uma função é uma “regra” ou um “mecanismo” que tran

2quantidade em outra. Por exemplo, a função f(x) = x + 4 toma um inteiro x e o transfono inteiro x2 + 4. A função g(x) = ⎥ x⎟ toma o inteiro x e retorna x, se x ≥ 0, e –x, se x < 0

olver uma visão mais abstractaes são tipos especiais de relações (reveja a Secção11).

Recorde que uma relação nada mais é do que um conjunto de pares ordenados. Assim esta definição de

Definição 20.1 (Função) Uma relação f é chamada função desde que (a, b) ∈ f e (a ,c)∈ f impliquem b = c. Enunciada de forma negativa, uma relação f não é uma função se existem a, b, c, com

(a,b) ∈ f e (a, c) ∈ f ≠, e b c.

Exemplo 20.2 Sejam

f = (1,2), (2, 3), (3,1), (4, 7) e g = (1, 2), (1, 3), (4, 7 ).

A relação f é uma função, mas a relação g não o é porque ( 1, 2), (1, 3) ∈ g e 2≠ 3. e pares ordenados, as funções não se parecem

com

aída 2, porque (1,2)∈ f. A razão por que g não é uma função é que, para o valor de entrada 1, há dois valores de saída diferentes: 2 e 3. o que

Quando expressas como conjuntos dregras para transformar um objecto em outro, mas vamos observar melhor. Os pares

ordenados em f associam valores de “entrada”(os primeiros elementos na lista em f ) a valores de “saída” (os segundos elementos nas listas). No Exemplo 20.2, a função f associa o valor de entrada 1 ao valor de s

132

torna f uma função é o facto de que, para cada entrada, só pode haver no máximo uma saída

notação (1, 2)∈ f, embora isto seja formalmente correcto. Eles

. Os matemáticos raramente utilizam a

preferem a notação f(.).

Definição 20.3 (Notação de Função) Seja f uma função e seja a um objecto. A notação f(a) é definida desde que exista um

objecto b tal que (a,b) f. Nesse caso, ∈ f(a) = b. Caso contrário [não existe par ordenado da forma (a, _) ∈ f], a notação “f de a”.

ática! Os matemáticos costumam usar a palavra aplicação como sinónimo de função “f de 1 é igual a 2”, dizem também “f aplica 1 em 2”. E há uma notação para isto: escrev = 2. A função f não é explicitamente mencionada na notação ; quando usamos a n ue o leitor sabe que função está sendo discutida.

mas, para qualque

f(a) não está definida. O símbolo f(a) lê-seLinguagem matem. Além de dizerememos 21a . A seta especial a significa f(1)

21a otação a , devemos ter a certeza de q

Para a função f do Exemplo 20.2, temos:

f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 1, f(4) = 7,

r outro objecto x, f(x) permanece indefinida. A razão porque não chamamos g uma função se torna mais clara. Quanto é g(1)? Como tanto (1,2) como (1,3) pertencem a g, a notação g(1) não especifica um valor único.

Exemplo 20.4 Problema: Expresse a função f(x) = x2, definida no conjunto dos inteiros, como um

conjunto de pares ordenados. Solução: Poderíamos escrever isto utilizando reticências:

f = ..., (–3,9), (–2,4), (–1,1), (0,0), (1,1), (2,4), (3,9), ...,

mas é muito mais claro se usamos notação de definição de conjuntos por compreensão:

f = (x , y) : x , y ∈ Z, y = x2. Em geral, é mais claro escrevermos “Seja f a função definida para um inteiro x, como

f(x) =

omes espec

nados para uma função equivale a escrevermos uma função como uma ta la:

…

x2”, do que escrevermos f como um conjunto de pares ordenados, como no exemplo.

Domínio e Imagem O conjunto de entradas permitidas e de saídas possíveis de uma função têm niais. A notação de conjunto de pares ordebe

x … –3 –3 –3 0 1 2 3

f(x) … 9 4 1 0 1 4 9 …

Evitamos usar a palavra contravra

domínio. Costuma-se ensinar aos alunos que a palavra contradomínio tem o imagem. O emprego, pelos matemáticos, da palavra contradomínio é diferen o curso secundário. Para evitar confusão, simplesmente não empregamos esta pa

mesmo significado que a palate do que em geral se ensina nlavra.

133

Definição 20.5 (Domínio, Imagem) Seja f uma função. O conjunto de todos os primeiros elementos possíveis dos pares

ordenados de f é chamado domínio de f e denota-se por Dom f ou simplesmente Df. O conjunto de todos os segundos elementos possíveis dos pares ordenados de f chama-se imagem de f e denota-se por Im f.

Por outra notação,

Dom f = a : ∃b, (a , b) ∈ f e Im f = b : ∃a, (a , b) ∈ f. Alternativamente, podemos escrever

Dom f = a : f(a) está definido e Im f = b : b = f (a) para algum a.

Exemplo 20.6 Seja f = (1,2), (2,3), (3,1), (4,7). (Esta é a função do Exemplo 20.2.) Então,

Dom f = 1, 2, 3, 4 e Im f = 1, 2, 3, 7.

Exemplo 20.7

Seja f a função do Exemplo 20.4, isto é,

f = (x , y) : x , y ∈ Z, y = x2. O domínio de f é o conjunto de todos os inteiros e a imagem de f é o conjunto de

todos os quadrados perf

uma função de A para B, ...”. Não obstante, podemos também escrever “Seja f : A → B...”. Neste caso, deveríamos ler “Se f uma função A para B...”.

eitos.

Introduzimos, a seguir, uma notação especial para funções. Liguagem matemática! A notação f : A → B pode ser toda uma sentença, uma cláusula independente

ou uma frase. Num teorema, poderíamos escrever “Se f : A → B, então ...”. Neste caso, devemos ler os símbolos como “Se f é

ja de

Definição 20.8 (f : A → B) Seja uma função e sejam os conjuntos A e B. Di os que “f é uma função de A para f zem

B” se D f = A e Im f ⊆ B tal caso, escrevemos A B. Dizemos tamb ue “f é om . Em f : → ém quma apl ã de A em B”.

A notação f : A → B lê-se “f a função de A a ”. A notação f : A → sugere três coisas eiro, f é uma função; segundo, Dom f = ; terceiro, Im f ⊆ B.

icaç o

é um par B B: Prim A

Exemplo 20.9 Consideremos a função seno. Esta função é definida para todo número real e tem um

valor real. O domínio da função seno consiste em todos os números reais, e a imagem é o conju ≤ 1. Podemos escrever sen : ℜ → ℜ porque nto [–1 , 1] = x ∈ ℜ : –1 ≤ x Dom evermos sen : ℜ → [–1 , 1].

sen = ℜ e Im sen ⊆ ℜ. Seria correcto também escr

Para provar que f : A → B (isto é, para provarmos que f é uma função de A para B), usaremos o Esquema de Prova 19.

134

Esquema de Prova 19 Mostrar que f : A → B Provar que f é uma função de um conjunto A para um conjunto B: (1) Prove que f é uma função. (2) Prove que Dom f = A. (3) Prove que Im f ⊆ B.

Gráficos de Funções Os gráficos constituem uma forma excelente de visualizar funções cujas entradas e

saídas são números reais. Para traçar o gráfico de uma função, marcamos um ponto no plano )) para todo x ∈ Dom f.

ão pode cortar o gráfico duas vezes, porque então teríamos dois pontos diferen ráfico da função. Isto

conjunto finito. Pode

ráfico em eixos coordenados.

Temos uma forma alt va traçar gráficos de funções f : A → B, onde A e B são conjuntos finitos. Sejam A 2, , 5, e consideremos a função f : A →

tém-se uma ilustração de f traçando-se dois conjuntos de pontos: um para A, à esquerda, e outro para B, à direita. Traça-se uma seta de um ponto a ∈ A e um ponto b ∈ B preci l vermos que Im f

B

das coordenadas (x , f(xOs gráficos são instrumentos poderosos para entender funções definidas nos reais.

Para verificar se uma ilustração representa uma função, podemos aplicar um teste de recta vertical. Qualquer recta vertical no plano só pode interceptar o gráfico de uma função no máximo num ponto. Uma recta vertical n

tes (x , y1) e (x , y2), ambos no gsignificaria que tanto (x , y1) como (x , y2) pertencem a f , com y1 ≠ y2. E isto está em desacordo com a definição de funções.

Na matemática discreta, estamos especialmente interessados em funções de e para conjuntos finitos (ou N ou Z). Em tais casos, os gráficos tradicionalmente de funções podem ou não, ajudar, ou mesmo não ter sentido. Por exemplo, seja A um

mos considerar a função f : 2A → N definida por f(x) = | x |. (Alerta: as barras verticais neste contexto não significam valor absoluto!) A cada subconjunto x de A, a função f faz corresponder o seu tamanho. Não há maneira de se representar este facto como um g

ernati= 1,

de 3, 4 6 e B = 1, 2, 3, 4, 5

B definida por f = (1 , 2), (2 , 1), (3 , 2), (4 , 4), (5 , 5), (6 , 2).

bO

samente quando (a , b) ∈ f, isto é, quando f(a) = b. Pela figura, é fáci= 1, 2, 4, 5.

A B A

1• 1f • g

2• •1 2• •1

3 2 3 2 • • • •

4• •3 4• •3

5• •4 5• •4

6• •5 6• •5

135

Consideremos agora g definida por

s 6 ∉ Dom g. Assim, Dom g ≠ A, como se pode ver na figura: não há se

20.1. A figura também ilustra este facto: há duas

setas partindo do elemento 2.

Se uma função de A a (f : A → B), sua f a deve sati azer o seg te: todo ponto à esquerda (em A) tem exactamente uma seta partindo dele e terminando à direita (em B).

Contagem de Funções

Sejam A e B conjuntos finitos. Quantas funções há de A para B? Sem perda da generalidade, podemos escolher A como o conjunto 1, 2, ..., a e B = 1, 2, ..., b. Toda a função f → B pode escrever-se como

odemos substituir os pontos de interrogação (?) com elementos de B? Há b escolhas para o elemento ? em , ?), etc., e, finalm as todas as anteriores. Assim guinte:

Alternativamente, podemo es podemos substituir os pontos

1 2 ... a

G = (1 , 3), (2 , 1), (2 , 4), (3 , 2), (4 , 4), (5 , 5).

Temos que g é uma função de A = 1, 2, 3, 4, 5, 6 para B = 1, 2, 3, 4, 5? Há duasrazões porque g : A → B é falsa.

Primeiro, 6 ∈ A, matas partindo do elemento 6.

Segundo, g não uma função (de um conjunto arbitrário para outro). Note que (2 , 1), (2 , 4) ∈ g, o que viola a Definição

f é par B igur sf uin

: A f = (1 , ?), (2 , ?), (3 , ?), ..., (a , ?)

onde os pontos de interrogação (?) são elementos de B. De quantas maneiras p

(1 , ?), e para cada uma dessas escolhas há b escolhas para ? em (2 ente, b escolhas para considerado elemento ? em (a , ?), depois de

b, ao todo há a escolhas. Acabamos de mostrar o ses contar tabelas. De quantas maneiras diferent

de interrogação na tabela seguinte com elementos de B? A coluna da direita é uma lista do tamanho a de elementos escolhidos do conjunto de b elementos de B. Existem ba maneiras de completar a tabela.

x

f(x) ? ? ... ?

Proposição 20.10 Sejam A e B conjuntos finitos com | A | = a e | B | = b. O número de funções de A para

B é ba.

Exemplo 20.11 Sejam A = 1, 2, 3 e B = 4, 5. Determine todas as funções f : A → B. Solução: A Proposição 20.10 afirma que há 23 = 8 dessas funções, que são: (1 , 4), (2 , 4), (3 , 4) (1 , 4), (2 , 4), (3 , 5) (1 , 4), (2 , 5), (3 , 4) (1 , 4), (2 , 5), (3 , 5) (1 , 5), (2 , 4), (3 , 4) (1 , 5), (2 , 4), (3 , 5) (1 , 5), (2 , 5), (3 , 4) (1 , 5), (2 , 5), (3 , 5).

A → B. A notação BA representa o conjunto de todas as funções f :

136

Na secção 8 introduzimos a nota 2A para o conjunto de todos os subconjuntos de A. Esta notação é um artifício mnemónico para lembrar que o número de subconjuntos de a eleme

.10, pois podemos escrever

| BA | = | B | | A |.

. É ten

ares ordenados.

•5

ntos é 2a. Analogamente, há uma notação especial para o conjunto de todas as funções de A para B. A notação é BA. Trata-se também de um processo mnemónico para a Proposição 20

Neste livro, não empregamos esta notação. Além disso, as pessoas acham-na confusaA tador pronunciar o símbolo B como “B elevado a A”, quando, na realidade, a notação

significa o conjunto de A para B.

Funções Inversas Uma função é um tipo especial de relação. Recorde que, na secção 11, definimos a

inversa de um R, denotada por R-1, como a relação formada a partir do R mediante inversão de todos os seus p

A B A B

0• •5 0•

1• •6 1• •6

2• •7 2• •7

3• •8 3• •8

4• •9 4• •9

6• •5 6• •5

Como uma função f é uma relação, podemos também considerar f . O problema que suscitamos aqui é: Se f é uma função de A para B, f–1 será uma função de B para A?

–1

Exemplo 20.12

Sejam A = 0, 1, 2, 3, 4 e B = 5, 6, 7, 8, 9. Seja f: A → B definida por f = (0, 5), (1, 7), (2, 8) (3, 9), (4, 7)

de forma que f –1 = (5, 0), (7, 1), (8, 2), (9, 3), (7, 4)

f –1 será uma função de B para A? A resposta é não, por duas razões. Primeira, f –1 não é uma função. Note que tanto (7, 1) como (7, 4) estão em f –1; segunda, dom f –1 = 5, 7, 8, 9, ≠ B. Veja a figura acima.

No exemplo, f–1 não é função. Vejamos porquê. Consultando a definição 20.1, notam a relação. Isto não os que, para que f–1 seja uma função, deve, primeiro, ser umconst (a, b), (a, itui problema; como f é uma relação, também o é f –1. Segundo, sempre quec) ∈ f , devemos ter b = . Reformulando em termos de f, sempre que (b, a), (c, a) ∈ f, –1 cdevemos ter b = c. Isto é o que estava errado no exercício 20.12; tínhamos (1, 7), (4, 7) ∈ f, mas 4 ≠ 7.

Pictoricamente, f –1 não é uma função porque há duas seta f atingindo o elemento 7 à s-direita.

137

Vamos formalizar esta condição como uma definição.

Definição 20.13 (Um-a-Um)

Uma função f é cham a um-a-um se, sempre que (x, b), ( b) ∈ f, devemos ter x = y. ad y, Por outras palavras, x ≠ , então f (x) ≠ f (y). se y

Linguagem matemática! A expressão um-a-um costuma também ser escrita como 1.1. Outra designação para uma função um-a-um é injecção ou função injetiva.

A função do Exemplo 20.12 não é um-a-um porque f (1) = f (4) mas 1 ≠ 4. Compare detalhadamente as Definições 20.13 (um-a-um) e 20.1 (função). As condições são bastante semelhantes.

Proposição 20.14 Seja f uma função. A relação inversa f –1 é uma função se e somente se f é um-a-um.

Deixamos a prova como exercício (Exercício 20.10). Enquanto trabalha nela, prove també o seguinte. m

Proposição 20.15

Seja uma função e suponhamos que também seja função. Então dom = Im e f f–1 f f–1

Im f

a função é um-a-um. O Esquema de prova 20 dá

= Dom f –1.

Frequentemente, queremos provar que um a estratégia para provar que uma função é um-a-um.

Esquema de Prova 20 Provar que uma função é um-a-um

Mostrar que f é um-a-um: Método direito: Suponhamos f (x) = f (y). ... Portanto, x = y e, assim, f é uma função

um-a C.q.d. -um. Método pela contrapositiva: Suponhamos x ≠ y.... Portanto, f (x) ≠ f (y) e, assim, f é

um-a C.q.d. -um. Métodos de contradição: Suponhamos f (x) = f (y), mas x ≠ y. ... ⇒ ⇐. Portanto, f é C.q.d. um-a-um.

Exemplo 20.16

Seja f: Z → Z definida por f (x) = 3x + 4. Prove que f é um-a-um. Prova: Suponhamos f (x) = f (y). Então 3x + 4 = 3y + 4. Subtraindo 4 de ambos os

membros, vem 3x = 3y. Dividindo ambos os membros por 3, obtemos x = y. Portanto, f é um-a-um.

ão é um-a-um, devemos tipicamente apresentar um contra-exemplo, isto é, um com x ≠ y mas f (x) = f (y).

Em contrapartida, para provar que uma fracção n par de objectos x e y

Exemplo 20.17

Seja f: Z → Z definida por f (x) = x . Prove que f não é um2 -a-um. Prova: Note que f (3) = f (–3) = 9, mas 3 ≠ – 3. Portanto, f não é um-a-um.

138

A B

•

• •

• •

• •

• •

• •

Para que a inversa de uma função também seja uma funçã-a-um e

o, é necessário e suficiente que a função seja um id remos, agora, uma questão mais focalizada. Seja f: A → –1 tivem

n

f apontada para cada elemento de B. Eis uma forma cuidadosa de enunciar este facto.

. Cons B. Interessa-nos saber quando f é uma função de B para A. Recordemos que

f –1os duas dificuldades no Exemplo 20.12. Superamos a primeira dificuldade: deve ser uma função. A segunda dificuldade era em que havia um eleme to em B que não tinha seta de chegada.

Consideremos a função f: A → B exibida na figura acima. Obviamente, f é um-a-um, de modo que f –1 é uma função. Entretanto, f –1 não é uma função de B para A, porque há um elemento b ∈ B para o qual f –1(b) não é definida. Para f –1: B → A, deve haver uma seta-

Definição 20.18 (Sobre)

Seja f: A → B. Dizemos que f é sobre B desde que, para todo b ∈ B, exista um a ∈ A tal qu

ia de validade do seguinte: primeiro, f é uma função; segundo, Dom

ição. Na linguagem matem s .

e f (a) = b. Em outras palavras, im f = B.

A frase “f: A → B é sobre” é uma garant f = A e terceiro, Im f = B (veja o Exercício 20.7).

Linguagem matemática! Na linguagem usual, a palavra sobre é uma preposática, emprega-se sobre com um adjectivo. Outra designação para função obre é sobrejeção

Exemplo 20.19

Sejam A = 1, 2, 3, 4, 5, 6 e B e sejam 7, 8, 9, 10f = (1, 7), (2, 7), (3, 8), (4, 9), (5, 9), (6, 10) e g = (1, 7), (2, 7), (3, 7), (4, 9), 5, 9), (6, 10).

Note que f: A → B é sobre porque, para cada elemento b de B, podemos acham um ou mais elementos a ∈ A, tal que f (a) = b. É fácil ver também que Im f = B

Entretanto, g: A → B não é sobre. Note que 8 ∈ B, mas não há a ∈ A com g (a) = 8. Também, Im g = 7, 9, 10 ≠ B.

∀ como

∀b ∈ B, ∃a ∈ A, f (a) = b.

A condição de f: A → B ser sobre se expressa com auxílio dos qualificadores ∃ e

139

A condição de f não ser sobre se expressa como

∃ ∈ ∀ ∈b B, a A, f (a) ≠ b. Essa maneira de encarar as funções sobre é formalizada no Esquema de Prova 21.

Esquema de Prova 21 Provar que uma função é sobre.

Mostrar que f: A → B é sobre: Método directo: Seja b um elemento arbitrário de B. Explique como achar / construir

um elemento a ∈ A de modo que f (a) = b. Portanto, f é sobre. Métodos dos conjuntos: Mostre que os conjuntos B e im f são iguais.

Tenha em mente que Q representa o conjunto dos números racionais.

Exemplo 20.20

Seja f: Q → Q dada por f (x) = 3x + 4. Prove que f é sobre Q Prova: Seja b ∈ Q arbitrário. Procuramos um a ∈ Q tal que f (a) = b. Seja

)4(31 −= ba . (Como b é um número racional, também o é a.) Note que

f (a) = [ ] bbb =+−=+− 4)4(4)4(3 1 . 3

Portanto, f: Q → Q é sobre. C.q.d. Como conseguimos “adivinhar” que deveríamos to )4(3

1 −= bamar ? Na realidade, não s ido contrário!

sário e suficiente que f seja um-a-um. D é sob ue f (b) não está definida.

upusemos. Trabalhamos em sent

Seja f: A→ B. Para que f –1 seja uma função, é necesado isto, para que f –1: B → A, é necessário que f seja sobre B. Caso contrário, se f não

–1re B, podemos achar um b ∈ B tal q

Teorema 20.21

Sejam os conjuntos A e B e f: A → B. A relação inversa f –1 é uma função de B para A se e somente se f é um-a-um e sobre B.

B.

ma da Prova 19.

• Como o domínio de f A, pela proposição 20.15, im f = A.

. Como Im f = Dom f = B, vemos que f é sobre B.

Uma função que é ao mes nome especial.

Prova: Seja f: A →

(⇒) Suponhamos que f seja um-a-um e sobre B. Devemos provar que f –1: B → A. Vamos utilizar o Esque

• Como f é um-a-um, sabemos, pela Proposição 20.14, que f –1 é uma função. –1• Como f é sobre B, im f = B, pela Proposição 20.15, dom f = B.

–1 é –1Portanto, f : B → A.

(⇐) Suponhamos f: A → B e f –1: B → A. Como f –1 é uma função, f é um-a-um (proposição 20.14) –1

mo tempo um-a-um e sobre tem um

140

Uma função f: A → B que ao mesmo tempo uma injecção e uma sobrejeção é chamada bijecção.

Definição 20.22 (Bijecção)

Seja f: A → B. f é chamada uma bijecção se é ao mesmo tempo um-a-um e sobre.

Exemplo 20.23 Sejam A o conjunto dos inteiros pares e B o conjunto dos inteiros ímpares. A função f:

A→ B definida por f (x) = x + 1 é uma bijecção. Prova: Devemos provar que f é um-a-um e sobre. Para vermos que f é um-a-um,

supon hamos f (x) = f (y), onde x e y são inteiro pares. Assim,f (x) = f (y) ⇒ x + 1 = y + 1 ⇒ x = y.

Logo, f é um-a-um. Para vermos que f é sobre B, seja b ∈ B (isto é, b é um inteiro ímpar). Por definição,

b = 2k + 1, para algum inteir par. E ão f (a) = a + 1 = 2k + o k. Seja a = 2k; obviamente, a é nt1 = b e sobre, f é uma bijecção.

a e | B | = b. Quantas funções f: A → B são

os dois casos especiais fáceis. Se | A | > | B |, então f não pode ser um-a-nsideremos a função f: A→ B, que esperamos seja um-a-um. Como f é um-

a-um, para elementos distintos x, y ∈ A, f (x) e f (y) são elementos distintos de B. Assim, os prime

e. Por quê? Não há elementos para “cobrir” todos os elementos em B!

, de forma que f é sobre. Como f é um-a-um

Novamente, Contagem de Funções

Sejam A e B conjuntos finitos com | A | = um-a-um? Quantas são sobre?

Consideremum. Por quê? Co

iros b elementos de A são levados pela f em b elementos diferentes de B. Após isto, não há outros elementos em B aos quais podemos aplicar elementos de A!

No entanto, se | A | < | B |, então f não pode ser sobrsuficientes em A

Resumamos estes comentários.

Pro spo ição 20.24 (Princípios da casa do pombo)

Sejam . Se | A | > | B |, então f não é um-a-um. A e B conjuntos finitos e seja f: A → BSe | |

Reform a, se f: A → B é um-a-um, então | A | ≤ | B |, e se f: A → B o bas as coisas, temos o seguinte.

A < | B |, então f não é sobre.

ulada na fórma contra-positiv é s bre, então | A | ≥ | B |. Se f é am

Propos oiçã 20.25

Sejam sejam f: A → B. Se f é uma bijecção, então A e B os conjuntos finitos e | A | = | B |.

Voltem nções de um conjunto de a elementos para um conjunto s funções que são sobre.

A boa n a as em secções anteriores deste livro!

ao problema da contagem das fub elementos que são um-a-um, e da

ov é: já resolvemos esses problem

141

Contagem

Considerem de funções um-a-um. Sem perda de generpara B te

onde

Tra de listas já resolvidos na Secção 6.

Cont

Con contagem de funções sobre. Aqui, devemos substituir al a que cada elemento seja usado ao menos uma vez. problema dos números de lista de tamanho a cujos elemento odos os elementos de B ao menos uma vez.

m aquelas secções.

de função um-a-um. os o problema de contagem

alidade, suponhamos A = 1, 2, ..., a e B = 1, 2, ..., b. Uma função um-a-um de A m forma

f = (1, ?), (2, ?). (3, ?), ..., (a, ?), os pontos de interrogação (?s) são substituídos por elementos de B sem repetição.

ta-se de um problema de contagem

agem de funções sobre

sideremos, agora, o problema de os ?s por elementos de B de t form Na Secção 6 resolvemos os provêm de B que utilizam t

Va os resumir no resultado seguinte o que aprendemos n

Teorema 20.26 Sejam A e B conjuntos finitos com | A | = a e | B | = b.

(1) O número de funções de A para B é ba. (2) Se a ≤ b, o número de funções um-a-um f: A → B é

(b)a = b (b – 1) ... (b – a + 1) = )!( ab −

!b

Se a > b, o número de tais funções é zero. S(3) e a ≥ b, o número de funções sobre f: A → B é

∑ −⎟⎟=

⎞⎜⎜⎛

−b

aj jbb

)()1( . ⎠⎝j j0

Se a < b, o número dessas funções é zero S(4) e a = b, o número de bijeções f : A → B é a!. Se a ≠ b, o número dessas funções é zero.

Reca

Intr notação f : A→ B. Investigamos quando a relação in r os às propriedades um-a-um e so finitos.

EXERCÍ

1. responda: que porquê e pare. Caso contrário, continue

plique porquê e pare. Caso contrário, estão seguinte.

a função inversa?

pitulando

oduzimos o conceito de função e a ve um função é, el p ópria, usa de a a r ma função. Estudambre. Contamos funções entre os conjuntos

CIOS Para cada uma das relações seguintes,• É uma função? Se não for, expli

com as questões restantes. • Quais são seus domínios e imagem? • A função é um-a-um? Se não for, ex

sponda a qure• Qual é a su

142

a) (1, 2), (3, 4).

, y) : x, y ∈ Q, x2 + y2 = 1.

2. um e quais são sobre B.

3. Sejam A = 1, 2 e B = 3, 4, 5. Escreva todas as funções f : A → B. Indique quais são um-a-um e quais são sobre B.

4. Sejam A = 1, 2 e B = 3, 4. Escreva todas as funções f : A → B. Indique quais são um-a-um e quais são sobre B.

5. Determine f (2) para cada uma das funções seguintes. a) f = (x, y) : x, y ∈ Z, x + y = 0. b) f = (1, 2), (2, 3), (3, 2). c) f : N → N por f (x) = (x + 1)(x+1) d) f = 1, 2, 3, 4, 5 × 1. e) f : N → N por f (x) = n!.

6. Sejam A = 1, 2, 3, 4 e B = 5, 6, 7. Seja a relação f = (1, 5), (2, 5), (3, 6), (?, ?)

onde as duas interrogações devem ser determinadas pelo leitor. Seu trabalho final consiste em achar substitutos para (?, ?) de modo que as proposições seguintes sejam verdadeiras. [Esperam-se três respostas diferentes para cada uma das alíneas (a), (b) e (c). O par ordenado (?, ?) deve pertencer a A × B.] a) A relação f não é uma função. b) A relação f é uma função de A para B mas não sobre B. c) A relação fé uma função de A para B e é sobre B.

7. Consideremos as duas afirmações a seguir sobre uma função f: a) f é sobre. b) f : A → B é sobre. Explique por que (a), ao contrário de (b), não tem sentido.

8. A função seno é uma função para os números reais e dos números reais; isto é, sen: ℜ → ℜ. A função seno não é nem um-a-um, nem sobre. Não obstante, a função arco sen, sen–1, é conhecida como sua função inversa. Explique.

9. Para cada caso a seguir, determine se a função é um-a-um, sobre, ou ambos. Prove suas afirmações. a) f : Z → Z definida por f (x) = 2x. b) f : Z → Z definida por f (x) = 10 + x.

b) (x, y) : x, y ∈ Z, y = 2x. c) (x, y) : x, y ∈ Z, x + y = 0. d) (x, y) : x, y ∈ Z, xy = 0.

2e) (x, y) : x, y ∈ Z, y = x . f) ∅. g) (xh) (x, y) : x, y ∈ Z, x | y. i) (x, y) : x, y ∈ N, x | y e y | x.

j) (x, y) : x, y ∈ N, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

y = 1.

Sejam A = 1, 2, 3e B = 4, 5. Escreva todas as funções f : A → B. Indique quais são um-a-

143

c) f : N → N definida por f (x) = 10 + x.

Z definida por f (x) = d) f : Z →⎩ 2

e) f : Q → Q definida por f (x) = x

⎨⎧

− )()(

12

imparxparx

x

x.

ões seguintes acarretam a terceira.

12. Dê um exemplo de um conjunto A e uma função f : A → A nde f é sobre, mas não um-a-um. Dê um exemplo em que f é um-a-um, mas não sobre. Seus exemplos

: B → A também é uma

ja A um conjunto de n elementos e sejam k ∈ N. Quantas funções f : A → 0, 1 existem , para as quais há exactamente k elementos a em A com f (a) = 1?

∈ a

2. 10. Prove as Proposições 20.14 e 20.15.

11. Sejam A e B conjuntos finitos e f : A → B. Prove que duas quaisquer das afirmaça) f é um-a-um. b) f é sobre. c) | A | = | B |.

o

contradizem o exercício anterior?

13. Suponha que f : A → seja um bijecção. Prove que f –1

bijecção.

14. Se

15. Seja A um conjunto de n elementos e sejam i, j, k com i + j + k = n. Quant s funções f (a) = 0, 1, 2existem para as quais há exactamente i elemento a ∈ A com f (a) = 0, exactamente a ∈ A com f (a) = 1 e exactamente k elementos a ∈ A com f (a) = 2?

144

5.25. Tipos de Notação

“O” Grande Há uma coisa que me deixou lo xados em $ 9,99.

Seria m o preço em $ 10, não procurando dar ao cliente a impressão de que o produto custa “cerca de” $ 9. É muito mais fácil para as pessoas lidarem com ados, e esta é a razão porque o arredondamento é um recurso v

d números é um recurso útil, é também interessante expre ada. Consideremos uma função complicada f (definida no conjunto de núm

uco: produtos cujos preços são fielhor se os comerciantes fixassem

os números inteiros, arredondalioso.

Assim como a aproximação essar funções de forma aproxim

eros naturais) dada por

1233

)2)(1(4)( 25 −+++

−= nnnnnnf .

Quando n é grande, a parcela mais “importante” é n5. Nesta secção, vamos desenvolver uma notação que expressa com precisão esta ideia.

definA notação “O Grande” expressa a ideia de que uma função é limitada por outra. Eis a ição.

Definição 25.1 (O Grande) Sejam f e g funções reais definidas nos conjuntos dos números naturais (isto é,

f : N número positivo M tal → ℜ e g : N → ℜ). Dizemos que f(n) é O(g(n)) se existe umque, a menos de um número finito de excepções,

| f(n) | ≤ M | g(n) | Por outras palavras, dizer que f(n) é O(g(n)) significa que | f(n) | não supera um

mú lltip o constante de | g(n) | (com algumas excepções eventuais).

Exemplo 25.2

Seja f(n) = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2n

. Afirmamos que f(n) é O(n2). Recordemos que 2

)1( −=⎟

⎞⎜⎛ nnn

; assim, 2⎟⎠⎜⎝

22)(nf ≤= )1(nn − 2n

e f(n) a todo n. Podemos, pois, tomar M = ½ na definição de O Grande e ≤ ½ n2 parconcl

uir que f (n) é O(n2).

145

Exemplo 25.3 Seja f (n) = n(n + 5)/2 . Afirmamos que f(n) é O(n2). Note que, excepto por n = 0,

temos

22 nn= porque f (n) ≥ 0 para todo n ∈ N )()( nfnf

= 2

)5(nn2n+

= n 5+n2

= n2

521+

≤ 322=+ 51

Assim, 23)( nnf ≤ e f(n) é O(n ).

Vamos considerar um exemplo mais complicado. Recordemos a função que mencionamos no início desta secção:

2

.1233

)2)(1(4)( 25 −+++

−= nnnf

f (n) |.

nnn

Mostremos que esta função é O(n5). Para tanto, devemos comparar | f(n) | e | n5 |, onde n ∈ N. Como n é não negativo, | n5 | = n5. Entretanto, como o polinómio que define f (n) tem coeficientes negativos, devemos a a forma para lidar com | rranjar um

Proposição 25.4 (Desigualdade do Triângulo) Sejam a, b números reais. Então

| a + b | ≤ | a | + | b |. Prova. Vamos considerar 4 casos, segundo cada um dos valores de a ou b seja negativo.

• Se nem a nem b é negativo, temos | a + b | = a + b = | a | + | b |.

• a + b (quando a + b ≥ 0), caso contrário, | a + b | = – (a + – | a | + | b | < | a | + | b |. Em

| a | + | b |.

• = – (a + b) = (–a) + (–b) = | | + |.

Em todos os casos, temos que | a + b | é, no máximo, igual a | a | + | b |.

Voltemos à análise de f(n). Multiplicando os termos em f, obtemos uma expressão da forma

Se a ≥ 0 mas b < 0, temos | a | + | b | = a – b. Se | a + b | =temos | a + b | = a + b < a < a – b = | a | + | b |. Em

temos | a + b | = –a – b =b) (quando a + b < 0) eambos os casos, | a + b | <

• O caso a < 0 e b ≥ 0 é análogo ao precedente.

Finalmente, se a e b são ambos negativos, temos | a + b | a | b

????4)( 235 ++++= nnnnnf

146

onde os pontos de interrogação representam números que deixamos de calcular. Portanto,

????4)( 235 ++++= nnnnnf

.????4 235 ++++≤ nnnn

Dividindo 5 a expressão por n , obtemos

.????

4)(

54325 nnnnnnf

++++=

Note que, como n é maior do que | ? | para todos os termos que deixamos de calcular, cada um dos termos com um ponto de interrogação é menor do que 1. Podemos, pois, concluir que, a menos de um número finito de valores de n, temos

.811114)(

5 =++++<n

nf

Isso é, a menos de um número finito de excepções, | f(n) | ≤ 8 | n5 | e, assim, f(n) é O(n5).

Exemplo 25.5

n2 é O(n3) mas n3 não é O(n2). É claro que | n2 | ≤ | n3 | para todo n ∈ N e, assim, n2 é O(n3).

Suponhamos, todavia, por contra O(n2). Isto significa que existe dição, que n3 seja uma o de valores de n ∈ N, temos constante M tal que, a menos de um número finit| n3 | ≤ 2 ∈ N, podemos eliminar as barras do valor absoluto e dividir por n2, M | n |. Como nobten se todos os valores de n∈ N, mas isto é obviamente falso. Portanto, do n ≤ M para quan3 nã

til e comum f(n) = O(g(n)).

empregam a notação O Grande de uma maneira não m ito precisa. É correcto escrevermos “f(n) é O(g(n))”. Isto significa que a função f goza de uma determinada propriedade, a saber, seu valor absoluto é cotado por um múltiplo constante de g. Ora, é natural empregarmos o verbo é quando vemos um sinal de igualdade (=). C , os matemáticos costumam escrever a detestável igualdade f(n) = O(g(n

A: Meu tio está doido. Ele se julga uma galinha!

ente. O problema é que f(n) não é igua f(n) tem uma certa propriedade que chamamos O(g(n).

Além disso, frequentemente escrevemos “equações” como

o é O(n2).

Quando dizemos que f(n) é O(g(n)), a função g (n) actua como uma cota para | f(n) |. Isto é, | f(n) | não cresce mais rapidamente do que um múltiplo de | g(n) |. Assim, a função n2 não cresce mais rapidamente do que a função n3, mas não vice-versa.

A notação horrível mas ú

Para melhor ou pior, os matemáticos u

omo resultado). Por que razão usamos esta terrível notação? É como na velha anedota:

B: Por que então não levá-lo a uma psiquiatria para tratamento? A: É que precisamos dos ovos!

Deploro esta notação terrível, mas utilizo-a continuaml a O(g(n)). Apenas

147

).(63

23

nOnn+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Isto significa que a função n⎟⎟⎠3

é igual à função ⎞

⎜⎜⎝

⎛6

mais outra função que é 3n O(n2).

Esta oda de concentrar todas as informações de menor importância sobre

num termo que é “resto”. A maneira adequada de expressar a “equação” precedente é

é uma forma cóm

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛3n

63

3nn−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ é O(n2).

máticos escreveram f(n) ∈ O(g(n)). Trata-se de fato, ticos definem a notação de O(g(n)) como o conju

epções). Quando escrevemos f(n) ∈ O(g(n)), afirm

Grande” estabelece uma cota superior para o crescimento de | f(n) |. Recip fine uma cota inferior para esse cresc

Embora toleremos a notação f(n) = O(g(n)), definitivamente, recusamos escrever O(g(n)) = f(n).

No outro lado do espectro, alguns matede uma boa notação. Muitos matemánto de todas as funções cujos valores absolutos são cotados por um múltiplo constante

de | g(n) | (a menos de um número finito de excamos que f é uma dessas funções.

Ω e Θ A notação “Orocamente, a notação Ω (ómega grande) de

imento.

Definição 25.6 (Ω) Sejam f e g funções com valores reais definida nos conjunto dos números naturais

(isto os que f (n) é Ω(g(n) se existe um número positivo M é, f : N → ℜ e g : N →ℜ). Dizemtal que, a menos de um número finito de excepções,

| f(n) | ≥ M | g(n) |.

Existe uma relação simples entre as notações Ω. O e

Proposição 25.7

Sejam f e g funções de N para ℜ. Então f(n) é O(g(n)) se e somente se g(n) é Ω (f(n)).

Prova: (⇒) Suponhamos que f(n) seja O(g(n)). Então, existe uma constante positiva M tal que | n (a menos de um número finito deles).

Porta ≥

f(n) | ≤ M | g(n) | para todos os valores de

nto, | g(n) | M1 | f(n) | para todos os valores de n (a menos de um número finito

deles), e assim g(n) = Ω (f(n)).

(⇐) Análogo ao argumento anterior.

148

Exemplo 25.8

Seja f(n) = n2 – 3n + 2. Então, f(n) é Ω(n2) e f(n) é também Ω(n), mas f (n) não é Ω (n3).

A notação O é uma cota superior e Ω é uma cota inferior. A notação a seguir combina as duas. O símbolo Θ é a letra grega maiúscula “Theta”.

Definição 25.9 (Θ) Sejam f e g funções com valores reais definidas no conjunto dos números naturais

(isto é, f : N → ℜ e g : N → ℜ). Dizemos que f(n) é Θ(g(n)) se existem números positivos A e B tais que, a menos de um número finitos de excepções,

A | g(n) | ≤ | f(n) | ≤ B | g(n) |.

Exemplo 25.10

Seja f(n) = ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝3

. Então, f(n) é Θ(⎞⎛n

n3) mas não é nem Θ (n2) nem Θ (n4).

Proposição 25.11

Sejam f e g funções de N em ℜ. Então, f(n) é Θ(g(n)) se e somente se f(n) é O(g(n)) e f(n) é

quando n cresce, f(n) e g(n) c

a forma f(n) = Ω (g(n)) e f(n) = Θ (g(n)).

A afirmação de que f(n) é ce mais depressa do que g(n), quando n se torna grande. À (n) cresce “muito” mais devagar do que g(n). Para isto, dispomos da notação “o” (“o” pequeno).

Ω (g(n)). A demonstração fica a cargo do leitor.

A afirmação de que f(n) é Θ(g(n)) nos diz, com efeito, que, rescem aproximadamente à mesma taxa.

Tal como no caso da notação O, os matemáticos costumam usar mal as notações Ω e Θ, escrevendo “equações” d

“o” pequeno Esta secção destina-se apenas aos que estudaram cálculos.

O(g(n)) nos diz que f(n) não cress vezes, convém dizer que f

Definição 25.12 (“o” pequeno)

Sejam f e g funções com valores reais definidas nos conjuntos dos números naturais (isto é, f : N → ℜ e g : N → ℜ). Dizemos que f(n) é o(g(n)) se e somente se

lim 0)()(=

nfng

.

149

Exemplo 25.13

S feja (n) = n . Então f(n) = o(n). Para vermos porquê, calculamos

nn

n ∞→lim = 01lim =

∞→ nn.

O incorrectamente a notação “o pequeno” com o mesmo descuido com O(n

o dividi-las equitativamente? A resp os que n seja ímpar. Meia bola de nada serv m dar (n–1)/2 bolas a uma criança e (n+1)/2 bol a para decidir qual das crianças receberia a bol

mais el esposta razoável a um problema é umresparre

H rentes de arredondar números não inteiros. O processo pad a, se estivermos no meipar m

s matemáticos usam que utilizam as notações O, Ω e Θ. É mais provável encontrarmos a “equação” f(n) =2) do que a expressão “f(n) é o(n2)”.

Solo e teto Tenho n bolas de gude para dar a duas crianças. Com

osta é: dar a cada criança n/2 bolas – a mene para as crianças; assim, poderia muito be

as à outra. (para ser justo, jogaria uma moeda extra).

A resposta “dar a cada criança n/2 bolinhas” é fácil de expressar-se do que a resposta aborada no caso de n ser ímpar. Às vezes, a única r

número inteiro, mas a expressão algébrica que deduzimos não calcula necessariamente ostas inteiras. Em muitas circunstâncias, é conveniente dispormos de uma notação para dondar para um número inteiro uma resposta representada por um número não inteiro.

á diversas maneiras diferão consiste em arredondar o valor para o próximo inteiro (para cimo deles). Há, entretanto, duas outras alternativas naturais: podemos sempre arredondar a ci a, ou sempre arredondar para baixo. Essas funções têm nomes e notações especiais.

Definição 25.14 (Solo e Tecto) Seja x um número real. O solo de x denotado por ⎣x⎦, é o maior inteiro n tal que n ≤ x. OHá uma notação alternativa para solo e tecto. Alguns matemáticos escrevem [x] para representar o solo

e x e x para representar o tecto de x. O problema com esta notação é que os colchetes [ ] são usados como arênteses grandes, e as chaves são usados para os conjuntos. Em alguns livros mais antigos de

mática, o leitor poderá encontrar [x]; apenas, não esqueça que significa ⎣x⎦.

⎣x⎦ é o inteiro que formamos a partir de x arredondando para baixo (a menos que x já seja um inteiro) e ⎡x⎤ é o inteiro formado a partir de x por um arred

tecto de x denotado por ⎡x⎤, é o menor inteiro n tal que n ≥ x.

dpmate

Por outras palavras,

ondamento para cima.

Exemplo 25.15

Os valores a seguir ilustram as funções do solo e tecto. ⎣3,2⎦ = 3 ⎣–3,2⎦ = –4 ⎣5⎦ = 5 ⎡3,2⎤ = 4 ⎡–3,2⎤ = –3 ⎡5⎤ = 5

150

Recapitulando

Nesta secção, introduzimos a seguinte notação para aproximar funções: O, Ω, Θ e o. Introduzimos, também, as funções solo e tecto para arredondar números reais para valores inteiros.

EXERCÍCIOS 1.

)

Prove o seguinte:

a n2 é O(n4). 2 nb) n é O(1,1 ).

c) (n)k é O(nk), onde k é um inteiro positivo fixo.

d) nnn 1+ é O(1).

e) 2n é O(3n–1).

f) n sen n é O(n). 2. Verdadeiro ou falso. Determine se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas.

a) Z se e somente se ⎡x⎤ = x.

b)

e todos os algarismos à direita da vírgula.

7.

Seja x ∈ Q. Então x ∈

Seja x ∈ Q. Então x ∈ Z se e somente se ⎡x⎤ = ⎣x⎦.

c) Sejam x, y ∈ Q. Então ⎣x + y⎦ = ⎣x⎦ + ⎣y⎦

d) Sejam x, y ∈ Q. Então ⎣xy⎦ = ⎣x⎦ x ⎣y⎦

e) Sejam x ∈ Z e y ∈ Q. Então ⎣x + y⎦ = x + ⎣y⎦

f) Seja x ∈ Q. Então ⎣x⎦ pode ser calculado como segue: escreva x como uma decimal e elimin

3. Suponhamos que f(n) seja O(g(n)) e que g(n) seja O(h(n)). Prove que f(n) é O(h(n)).

4. Sejam a e b números reais positivos. Prove que loga n = O(logbn). Conclua que loga n = Θ (logbn).

5. Seja p(n) um polinómio de grau d em n. Prove que p(n) é Θ(nd). 6. Desenvolva uma expressão (utilizando a notação de solo ou tecto) para o significado

ordinário do arredondamento de um número real x para o inteiro mais próximo. Certifique-se de que sua fórmula arredonda correctamente 3,49 para 3, mas 3,50 para 4.

Desenvolva uma expressão (utilizando a notação do solo e tecto) para o algarismo das unidades de um inteiro positivo. Ou seja, se n = 326, sua expressão deve avaliar 6.

151

6. Probabilidade Poucas coisas na vida são realmente certas. A teoria das probabilidades nos

proporciona meios para analisar situações em que os eventos ocorrem aleatoriamente. É aplicada num âmbito de disciplinas a ogia, física nuclear, genética e finan

É tem p bab e uas es m problemas do mundo real. Em matemática, uma probabilidade é simplesmente um número assoc

ão viável é o evento. Imagine o leitor que um m

ade de o remédio produzir efeito é de 94%. Isto significa que, se um grande núme al, esperaríamos que 94% deles ficass s. Nas aplicações, probabilidade é frequentemente sinón

% é exactamente o mesmo que 0,94, ou

mplo, inclusive sociolças.

importante distinguir entre teoria ma ática da ro ilidade s aplicaçõ e

iado a um objecto. Nas aplicações, o objecto é um evento ou acção incerta, e o número é uma medida de quão frequente ou qu

édico lhe tenta receitado um remédio para certo mal. O médico poderia dizer que a probabilid

ro de pacientes tomar o remédio contra aquele mem curados, mas não os 6% restanteimo de frequência. Há varias maneiras de escrevermos um número. O número 94

10094 ou 50

47 . As percentagens são formas convenientes de expressarmos números entre 0 e 1, mas, essenc

ais entre 0 e 1. Um evento com probabilidade 1 é um evento cuja ocorrência é certa, e um evento com probabilidade 0 é um evento impo flectem a plausibilidade relativa entre esses dois extre

qual das seis faces vai aparec u do d e men ív e to, se o dado é equilibrado, podem , embora não possamos predizer qual das seis faces ficará voltada para cima, podemos descrever a viabilidade de vermos, por exemplo, um 4 quando jogamos um dado.

e resultados e uma atribuição de probabilidades a esses r

ilidade de cada um desses resultad o mesm

e do resultado. Por convenção, exige-se que a soma das probabilidades dos

vário

ialmente, não são diferentes das fracções ou dos números decimais.

As probabilidades são números re

ssível. As probabilidades entre 0 e 1 remos. Eventos improváveis têm probabilidades próximas de 0, e eventos altamente

prováveis têm probabilidades próximas de 1.

Neste capítulo, vamos introduzir as ideias fundamentais da teoria da probabilidade discreta. Os problemas da probabilidade discreta são, em geral, problemas de contagem reformulados na linguagem da teoria das probabilidades.

6.26. Espaço amostral Consideremos a jogada de um dado. Não podemos dizer antecipadamente

er; o res lta esse exp ri to é imprevis el. Entr tanos dizer que todos os seis resultados são igualmente prováveis. Assim

Há dois elementos num espaço amostral: uma lista desultados.

Os matemáticos modelam a jogada de um dado utilizando um conceito chamado espaço amostral. Um espaço amostral tem dois elementos. Primeiro, contém uma lista dos resultados de um experimento. No nosso caso, há seis resultados: qualquer das faces de 1 a 6 pode aparecer. Segundo, um espaço amostral quantifica a viab

os . Neste caso, como todos os seis resultados são igualmente viáveis, atribuímos o valor numérico a cada resultado; designamos esse valor da viabilidade como a

probabilidad

s resultados possíveis seja 1. Assim, atribuímos a probabilidade 61 a cada um dos seis

resultados do experimento da jogada de um dado.

152

Mais precisamente, um espaço amostral consiste num conjunto e uma função. O conjunto é a lista de todos os resultados possíveis de um experimento. A função atribui um valor numérico a cada resultado; este valor numérico – chamado probabilidade do resultado – nada mais é do que um número real entre 0 e 1 (inclusive). Exige-se, também, que a dos os resultados seja exactamente 1. É costume emprfunção que atribui a cada s S a probabilidade daquele resultado, P(s)

soma das probabilidades de toegar a letra S para representar o conjunto de todos os resultados, e a letra P para a

∈

Exemplo 26.1 (Jogada de um dado) Seja S o conjunto de resultados da jogada de um dado. A maneira mais simples de

designar os resultados é com os inteiros 1, 2, , 6; a 3, 4, 5 ssim, S = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Temos também uma função P : S → ℜ definida por

P(1) = 61 P(2) =

61 P(3) =

61 P(4) =

61 P(5) =

61 P(6) =

61

Note que as probabilidades são números reais não negativos e que a soma das probabilidades de todos os elementos em S é 1.

Com este exemplo em mente, apresentamos formalmente a definição de espaço amostral.

Definição 26.2 (Espaço amostral) Um paço amostral é es um par (S, P), onde S é um conjunto não vazio, finito, e P é

uma função P : S → ℜ tal que P(s) ≥ 0 para todo s ∈ S e ∑∈

=Ss

sP 1)( .

A condição Σs∈S P(s) = 1 significa que a soma das probabilidades de todos os elementos de S deve ser exactamente 1.

Exemplo 26.3 (Ponteiro Giratório) Consideremos o ponteiro de uma roleta dividida em quatro partes, sendo a primeira

correspondente à metade do círculo, a segunda correspondente à metade da metade e cada uma das duas últimas correspondentes à metade do resto. A seta do ponteiro representa uma agulha que pode girar em torno de um ponto até atingir uma das quatro regiões 1, 2, 3 ou 4. Vamos modelar este dispositivo físico com um espaço amostral. O conjunto de resultados S contém os nomes das quatro regiões, a saber: S = 1, 2, 3, 4.

A função de probabilidade P: S → ℜ mede a viabilidade de o ponteiro parar em cada uma das regiões. Essa viabilidade é proporcional à área da região. Temos, assim,

P(1) = 21 , P(2) =

41 , P(3) =

81 , P(4) =

81 .

Podemos verificar que ∑∈

=+++=+++=Ss

PPPPsP 181

81

41

21

)4()3()2()1()( .

Exemplo 26.4 (Par de Dados)

153

Jogam-se dois dados. O dado 1 pode apresentar qualquer uma das seis faces igual mesmo ocorre com o dado 2. Podemos expressar o resultado deste mente viáveis; oexper inteiros de 1 a 6. Assim, há imento como um par ordenado (a, b), onde a e b são 6 × 6 = erim amo 36 resultados possíveis para este exp ento. Faç s

S = 1, 2, 3, 4, 5, 6× 1, 2, 3, 4, 5, 6 = (1,1), (1,2), (1,3), ..., (6,4), (6,5), (6,6). Cada um dos 36 resultados deste experimento é igualmente provável, isto é, 36

1 para todos s ∈ S.

Note que os resultados fundamentais da jogada de um par de dados são as 36 maneiras diferentes de como o par pode apresentar-se. Na próxima secção vamos considerar eventos como “a soma dos números nos dados é oito”. Aparecer 6 no primeiro dado e 2 no segundo é um resultado do experimento da jogada de dois dados. Há vários resultados diferentes em que os valores dos dois dados têm por soma 8.

Exemplo 26.5 (Mão de Póquer) Uma mão de póquer é um subconjunto de cinco elementos de um baralho padrão de

52 ⎞

subconjuntos diferentes de cinco elementos num conjunto de 52 cartas. Há ⎜⎜⎛52

⎟⎟⎠⎝ 5

elemento os esses subconjuntos diferentes de cinco s. O conjunto S consiste em todelementos. Como eles são igualmente prováveis, temos

P(s) =

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ 5

⎞⎛521

para todo

s ∈ S.

Exemplo 26.6 (Jogada de uma Moeda) Joga-se uma moeda equilibrada cinco vezes seguidas, registando-se a sequência de

CARAS ( ço amostral. O conjunto S K) e COROAS (C). Vamos modelar isto como um espacontém t omo odos os resultados possíveis deste experimento. Denotamos um resultado cuma lista de comprimento cinco de Ks e Cs. Há 25 = 32 dessas listas e todas elas são igualmente p im, rováveis. Ass

S = CCCCC, CCCCK, CCCKC, ..., KKKCK, KKKKC, KKKKK

e P(s) = 321 para todo s ∈ S.

Umsua forma pucom certas pa verosimilh ela que torna útil a teoria das probabiliinterpretação

espaço amostral (S, P) é um modelo matemático de um experimento físico. Na ra, o espaço amostral (S, P) nada mais é do que um conjunto e uma função

ropriedades. A interpretação de S como um conjunto de resultados e P(s) como ança de s é uma ampliação do significado. É

dades. Entretanto, podemos criar espaços amostrais destituídos de qualquer física específica. Eis um exemplo.

154

Exemplo 26.7

Seja S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 e definamos P: S → ℜ como P(1) = 0,1 P(2) = 0,4 P(3) = 0,1 P(4) = 0 P(5) = 0,2 P(6) = 0,2.

Not

resultadoocorrem.

RecIntr aço amostral, um par (S, P) em que S é um conjunto e

P uma fuprobabiliexactame ndamentais de algum

EXE

e P(x) = x. Determine x.

3. ste experimento como um espaço amostral. Explicitamente, relacione

ados tetraédricos. Um tetraedro é uma figura sólida com quatro faces, cada uma

figura na face sobre a mesa.

tetraédricos.

r as fichas 1, 2, 3, 4, 5 nesta ordem é

vez, com reposição. Extraída uma ficha, ela é devolvida ao saco (onde é misturada com as que ainda lá estão). Extrai-se, então, a ficha seguinte, que depois é devolvida ao saco, e assim por diante,

e que Σ P(s) = 1. s ∈ S

Neste exemplo, P(4) = 0, o que é perfeitamente aceitável. A interpretação é que o 4 é impossível. Assim, o conjunto S de resultados pode incluir resultados que não

apitulando oduzimos o conceito de espnção que atribui a cada elemento em S um número não negativo chamado sua

dade. A soma de todas as probabilidades sobre os resultados em S deve ser nte 1. Nas aplicações, os elementos de S representam os resultados fu experimento.

RCÍCIOS 1. Seja (S, P) o espaço amostral em que S = 1, 2, 3, 4 e P(1) = 0,1; P(2) = 0,1;

P(3) = 0,2

2. Seja (S, P) o espaço amostral em que S = 1, 2, 3, 4. Suponhamos que e P(1) = x; P(2) = 2x; P(3) = 3x e P(x) = 4x. Determine x.

Faz-se um experimento que consiste na jogada de uma moeda e de um dado. Descreva etodos os elementos do conjunto S e o valor de P(s) para cada elemento de S.

4. Ddas quais é um triângulo equilátero. Podemos construir dados em forma de tetraedro e rotular as faces com os números 1 a 4. Quando se figa este dado, o resultado é o número quea) Crie um espaço amostral que representa a jogada de um dado tetraédrico. b) Crie um espaço amostral que representa a jogada de um par de dados

5. Um saco contém 20 fichas, todas idênticas, fora o facto de serem rotuladas com os inteiros de 1 a 20. Extraem-se aleatoriamente cinco fichas. Há algumas maneiras diferentes de encarar o problema. a) As fichas são extraídas uma a uma, sem reposição. Uma vez extraída uma

ficha, ela não é reposta no saco. Consideremos todas as listas de fichas que podemos criar. (Neste caso, extraidiferente de as extrair na ordem 5, 4, 3, 2, 1.)

b) As fichas são extraídas todas de uma vez, sem reposição. Extraem-se cinco fichas de uma vez. (Neste caso, extrair as fichas 1, 2, 3, 4, 5 ou extrair as fichas 5, 4, 3, 2, 1, são considerados o mesmo resultado.

c) As fichas são extraídas uma de cada

155

até completar cinc1, 3, 5 são resultad

o extracções. (Neste caso, as extracções 1, 1, 2, 3, 5 e 1, 2, os diferentes.)

6. Atira-se cegamente um dardo contra um alvo com quatro círculos concêntricos e sobrepostos de cores e raios diferentes. A probabilidade de o dardo atingir uma

icas é proporcional à área da região. Os raios dos

ios

ão. O

po

. Dê um exemplo de espaço amostral com três elementos, em que um dos .

. Na realidade, esta

conjunto S é vazio.

2 Eventos ade P de um espaço

amos

possíveis da joO aparecimento de um 2 é um resultado do experimento “jogada de um dado”. É um resultado

ção de

exemplo, a probabilidade de o dado apresentar um núme

Para cada uma destas interpretações, descreva o espaço amostral que serve de modelo para esses experimentos.

das quatro regiões concêntrcírculos têm 1, 2, 3 e 4 unidades respectivamente e a sobreposição obedece a regra “menor em cima do maior”. Note que as regiões 4, 3 e 2 consistem apenas em coroas circulares de largura 1, resultantes das sobreposições dos círculos de ra3, 2 e 1, respectivamente. Sejconjunto S

a (S, P) um espaço amostral que serve de modelo para esta situaç consiste nos quatro resultados: atingir a região 1, 2, 3 ou 4, o que

dem br viar como S = 1, 2, 3, 4. Determine P(i), i = 1, 2, 3, 4. os a e

7elementos tem probabilidade igual a 1

8. Dê um exemplo de espaço amostral em que todos elementos têm probabilidade igual a 1.

9. A Definição 26.2 exige que o conjunto S seja não vazioexigência é redundante. Mostre que, se a omitirmos da definição, ainda assim é impossível termos um espaço amostral em que o

6. 7. Nesta secção, vamos ampliar o âmbito da função de probabilidtral. Voltemos ao exemplo da jogada de um dado (Exemplo 26.1). Nesse espaço amostral

(S, P), a função de probabilidade P dá a probabilidade de cada um dos seis resultados gada de um dado.

fundamental do experimento. O aparecimento de um resultado par é um evento; um evento é uma colecresulta os. d

Poderia interessar-nos, porro par. Há três maneiras de como isso pode ocorrer: face 2, face 4 ou face 6. Na

realidade, desejamos saber qual é a probabilidade de o dado apresentar um resultado que está dentro do conjunto 2, 4, 6. Um conjunto assim é chamado um evento. A probabilidade deste evento é ½. Cada um dos três resultados apresentados tem probabilidade 6

1 . É só uma questão de somá-los.

Denotamos a probabilidade do evento 2, 4, 6por P(2, 4, 6). A função P é uma função definida para elementos do conjunto S de um espaço amostral. Empregamos o mesmo símbolo aplicado a um subconjunto de S. Definimos este uso ampliado do símbolo P de modo que P(2, 4, 6) = P(2) + P(4) + P(6).

156

Definição 27.1 (Evento)

Seja (S, P) um espaço amostral. Um evento A é um subconjunto de S (isto é, A ⊆ S). A probabilidade de um evento A, denotada por P(A), é

∑∈Aa

aP )( .

Exemplo 27.2 (Par de Dados) Seja (S, P) um espaço amostral que representa a jogada de um par de dados (ver

Exemplo 26.4). Qual é a probabilidade de os números dos dois dados terem a soma 7? Denotemos por A o evento “os números nos dados somam 7”. Por outras palavras,

A = (a, b) ∈ S : a + b = 7 = (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1). A probabilidade deste evento é

P(A) = P[(1, 6)] + P[(2, 5)] + P[(3, 4)] + P[(4, 3)] + P P[(6, 1)] [(5, 2)] +

= 61

361

361

361

361

361

361

=+++++ .

Exemplo 27.3 (Jogada de uma Moeda) Seja (S, P) um espaço amostral que serve de modelo para cinco jogadas seguidas de

uma moeda (ver Exemplo 26.6). Qual é a probabilidade de aparecer exactamente uma CARA (K)? Seja A o evento que consiste em aparecer exactamente uma CARA. Explicitando A,

temos A = KCCCC, CKCCC, CCKCC, CCCKC, CCCCK. Ora, A contém cinco resultados, cada um dos quais tem probabilidade 32

1 . Portanto, P(A) = 32

5 . Qual é a probabilidade de aparecerem exactamente duas caras? Seja B o evento “Exactamente duas jogadas da moeda dão CARA (K)”. Podemos

explicitar os elementos de B, mas tudo quanto precisamos de saber é quantos elementos há em B (porque todos anho de B é os elementos de S têm a mesma probabilidade). O tam

105

=⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

porq nd2⎠⎝

=B ue estamos escolhe o um subconjunto de dois elementos (as posições

de K) de um conjunto de cinco elementos (as cinco posições na lista). Assim, 1632

510 ==)(BP .

Exemplo 27.4 (Dez Dados) Jogam-se dez dados. Qual é a probabilidade de nenhum deles mostrar o número 1?

Comecemos construindo um espaço amostral (S, P). Seja S o conjunto de todos os resultados possíveis deste experimento. Um resultado pode ser expresso como uma lista de comprimento dez formado com os símbolos 1, 2, 3, 4 ,5 e 6. Há 610 dessas listas e todas elas são igualmente prováveis, de forma que P(s) = 6–10 para todos s ∈ S. Seja A o evento “nenhum dos dados mostra 1”. Como todos os elementos de S têm a mesma probabilidade, este problema se reduz a determinar o número de elementos em A.

157

O número de resultados que não têm o número 1 é o número de listas de comprimento dez cujos elem bolos 2, 3, 4, 5 e 6. O número dessas listas entos são escolhidos entre os símé 510. Assim, há 510 elementos em A, todos com a mesma probabilidade 6–10. Portanto,

1615,06565)(

101010 ≈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=×= −AP

Exemplo 27.5 (Quatro de u m Tipo) Recordemos o espaço amostral de uma mão de póquer do Exemplo 26.5. Uma mão de

póquer é chamada quatro de um tipo (four), se quatro das cinco cartas têm o mesmo valor (por exemplo, quatro 7s ou quatro reis).

Qual é a probabilidade de uma mão de póquer ser um four? Seja A o evento “a mão de póquer é um four”. Como toda mão de póquer tem a

probabilidade 1 / ⎛52

os apenas que calcular | A |. Há 13 escolhas para o valor que vai ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ 5

, tem⎞

ser repetido (quatro cartas com o mesmo valor). Dado esse valor, há 48 escolhas para a quinta carta. Assim,

00024,04165

552⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛14813)( ≈=

×=AP

Exemplo 27.6 (Quatro Crianças) Um casal tem quatro filhos. Qual é o evento mais provável: terem dois meninos e

duas meninas ou terem três de um sexo e um do outro? Seja S o conjunto de todas as listas possíveis de sexos dos filhos que o casal pode ter.

Pode smo representar os sexos das crianças como uma lista de comprimento quatro extraída dos símbolos b (de boy, menino) e g (de girl, menina). Há 24 = 16 dessas listas e todas são igualmen ite prováve s.

Seja A o evento “O casal tem dois meninos e duas meninas”. Então A = ggbb, gbgb, gbbg, bggb, bgbg, bbgg

E, assim, 375,0)( 83

166 == . =AP

Seja B o evento “O casal tem três crianças de um mesmo sexo e uma criança de outro sexo”. Assim,

B = gggb, ggbg, gbgg, bggg, bbbg, bbgb, bgbb, gbbb De forma que 5,0)( 2

1168 ===BP .

Como P(B) > P(A), concluímos que é mais provável o casal ter três filhos de um mesm tro do que ter dois meninos e duas meninas.

Combinação de eventos aplicar as

opera a combinar eventos.

o sexo e um de ou

Eventos são subconjuntos de um espaço de probabilidades. Podemosções usuais da teoria de conjuntos (por exemplo, união e intersecção) par

158

União de eventos

Seja (S, P) um espaço amostral. Se A e B são eventos, A ∪ B também o é. Podemos encarar A ∪ B como o evento correspondente à ocorrência de A ou de B. Suponhamexemplo, que A seja o evento “Um dado apresenta um número par” e B o evento “O dado

os, por

apresenta um número pr ta um número par ou pr

imo”. Então, A ∪ B é o evento “O dado apresenimo” (ou ambos); assim, A ∪ B = 2, 4, 6 ∪ 2, 3, 5 = 2, 3, 4, 5, 6. A

probabilidade do evento A ∪ B é 64 .

Intersecção de eventos

Analogamente, A ∩ B é o evento que representa a ocorrência de ambos A e B. Se A é presenta um número par” e B é o evento “Um dado apresenta um

número primo”, então A ∩ B = 2, 4, 6 ∩ 2, 3, 5 = 2. A probabilidade deste evento é P(A∩B) =

o evento “Um dado a

6

Diferença de eventos

1 .

A – BO conjunto A – B é o evento “A ocorre mas B não ocorre”. Para a jogada de um dado, = 2, 4, 6 – 2, 3, 5 = 4, 6. A probabilidade deste evento é P(A – B) = 3

162 = .

plemento de um evento

mo o conjunto S de um espaCom

Co ço amostral é o “universo” de todos os resultados, é razoá l ve representarmos por A o conjunto S – A. O conjunto A representa o evento “não

iênc a de A”. Para o exemplo da jogada de um dado, ocorr A é o evento “Não aparece um ro ar”; assim, P(núme p A ) = P(1, 3, 5) = 5,02

163 == .

É possível calcularmos P(A∪B) conhecendo apenas P(A) e P(B)? A resposta é não.

A B consiste num aparecimento de um número primo).

Consideremos os dois exemplos seguintes (da jogada de um dado). • Sejam A = 2, 4, 6 e B = 2, 3, 5. (O evento consiste num aparecimento de

um número par e o evento Note que 2

1)()( == BPAP e 6)( 5=∪ BAP . ento A é um aparecim• Sejam A = 2, 4, 6 e B = 1, 3, 5. (O ev

B é o aparecimento de umento de um

número ímpar). Note que número par e o evento ()( = PAP 2

1) =B e 1)( =∪ BAP .

s mostram que o conhecimento de que 21)()( == BPAPEstes exemplo não é

sufici te ra valor de P(A ∪ B). en pa determinar o

Podemos, entretanto, relacionar os valores P(A), P(B), P(A ∪ B) e P(A ∩ B).

Proposição 27.7 Sejam A e B eventos em um espaço amostral (S, P). Então

P(A) + P(B) = P(A ∪ B) + P(A ∩ B) É interessante comparar este resultado com a proposição 10.4, que afirma

| A | + | B | = | A ∪ B | + | A ∩ B |.

159

Em ambos os casos, os resultados relacionam os “tamanhos” de conjuntos. No caso da proposição 10.4, estamos relacionando os números de element s no os vários conjuntos. Na pr

P(A ∪ B) + P(A ∩ B).

oposição 22.7, encontramos uma relação análoga entre as probabilidades dos eventos.

Prova (da Proposição 22.7). Consideremos os dois membros da equação

P(A) + P(B) e Podemos desenvolver esses dois membros com soma de P(s) para vários membros de

S. O membro esquerdo é

∑ ∑+=+ sPsPBPAP )()()()( ∈ ∈As Bs

e o membro direito é

∑∑∩∈∪∈

+=∩+∪BAsBAs

sPsPBAPBAP )()()()( .

vez em P(A), uma vez em P(A ∪ B) mas

uação.

Portanto, os dois membros da equação, P(A)+ P(B) e P(A ∪ ) + P(A ∩ B), são, cada a dos mesmos termos, sendo, portanto, iguais. C.q.d.

Consideremos um elemento arbitrário s ∈ S. Há quatro possibilidades:

• s não está nem em A nem em B. Neste caso, o termo P(s) não comparece em nenhum dos membros da equação.

• s está em A mas não em B. Neste caso, P(s) comparece exactamente uma vez em cada um dos membros da equação [uma não em P(B) ou P(A ∩ B)].

• s está em B mas não em A. Como anteriormente, P(s) comparece exactamente uma vez em ambos os membros da eq

• s está em A e em B. Neste caso, P(s) comparece duas vezes em cada membro da equação: uma vez em cada um, P(A) e P(B), e uma vez em cada um, P(A ∪ B) e P(A ∩ B).

Bum, a som

Proposição 27.8 Sejam o espaço amostral(S, P) e os eventos A e B. Temos o seguinte: • Se A ∩ B = ∅, então P(A ∪ B) = P(A) + P(B). • P(A ∪B) ≤ P(A) + P(B). • P(S) = 1. • P(∅) = 0. • P( A ) = 1 – P(A).

A demonstração fica como exercício (Exercício 27.13). No primeiro item, os eventos cuja intersecção é o conjunto vazio são chamados eventos mutuamente excludentes.

O Problema dos Aniversários Escolhem-se aleatoriamente quatro pessoas. Qual é a probabilidade de duas (ou mais)

delas terem a mesma data de aniversário? r, fazemos duas hipóteses simplificadoras. Primeiro, desprezamos a

possibilidade de uma pessoa ter nascido no dia 29 de Fevereiro. Segundo, admitimos Para facilita

160

igualmprobab

ente provável o nascimento de uma pessoa em qualquer dia do ano; ou seja, a ilidade de uma pessoa ter nascido em um determinado dia é 365

1 . odelamos este problema com um espaço amostral (S, P). O espaço amostral

e em todas as listas, de comprimento qM

consistessas liigualm –4

mais fá

uatro, de dias do ano; podemos representar stas como (d , d , d3, d4), onde os di são inteiros de 1 a 365. Todas essas listas são 1 2ente prováveis, com probabilidade 365 .

Seja A o evento “duas (ou mais) pessoas que tem a mesma data de aniversário”. É cil calcular A , a probabilidade de todas as pessoas terem aniversário em dias

difedata362

rentes. Como os quatro aniversários devem ser diferentes, podemos escolher a primeira de 365 maneiras, a segunda de 364 maneiras, a terceira de 363 maneiras e a última de maneiras. Assim,

125.627.483654

784.831.47362363364365)( =×××

=AP

de forma que

%64,1125.627.48

341.795)(1)( =−= APAP ≈ .

Salguma versário no mesmo dia? Como 23 é muito menor do que 365, poderia parecer que se trata tambémentr n

comprobabilidade 365–23

calcula

É assaz improvável que as duas pessoas tenham aniversário no mesmo dia. uponhamos, agora, 23 pessoas escolhidas aleatoriamente. Qual é a probabilidade de

elas terem ans d i de um evento muito pouco provável. Vamos,

eta to, analisar cuidadosamente esta situação. onsideremos o C espaço amostral (S, P) em que S contém todas as listas de

primento 23 (d1, d2, ..., d23), onde cada um dos di é um inteiro de 1 a 365. Atribuímos a a cada uma dessas listas.

Seja A o evento “dois (ou mais) dos dis são iguais”. Como anteriormente, é mais fácil pr a robabilidade de A . O número de lista de comprimento 23, sem repetição, que

símbolos diferentes é (365)podemo nto, s formar com 365 23. Porta

232323

365343...364.365

365)365(

)( ==AP

, e, assim

2323

365)365(

1)(1)( −=−= APAP .

om o auxílio de um computador, não é difícil calcular P(A) = 50,73%, de forma que Cé mnen

RSeja (S, P) um espa ral m nt um ubc ju A de S. A probabilidade

do evento A é a soma das probabilidades dos elem s to é, Podemos comunião (A ∩ B é o dos ani

ais provável duas (ou mais) pessoas terem aniversários coincidentes do que não haver huma coincidência de aniversários!

ecapitulando ço amost . U eve o é s on nto

ento de A; is ∑ ∈=

AssPAP )()( .

binar even au io o aç usuais com conjuntos, tais como ∪ B representa o evento que consiste na ocorrência de A ou de B) e intersecção (A evento que consiste na ocorrência de A e de B). Abordamos, também o problema

s

tos com xíl das per ões

ver ários

161

EXE1.

s valores que obtemos (na face inferior) pode variar de Seja Ak o evento “A soma dos valores dos dados é k”. Faça o

a) b)

2. de elem

3. núm

4. Jog aparecerem exactamente k

5. Denpor a) itamente o conjunto A.

6. Jog o evento “a soma dos números que aparecem é 8”. mente o conjunto A (como um conjunto de pares

7. esentarem

8. Jog e a soma dos números apresentados

9. Jog ero do primeiro dado é o do segundo dado”.

10. s conteúdos das tia diferente

Sup aleatoriamente uma das dez e que Bob faça o mesmo

valor superior ao da caixa de Bob? Há alguma vantagem para quem faz a extracção

11. Dados não transitivos. Neste problema, vamos considerar três dados com uma

Dado 1 5 6 7 8 9 18

RCÍCIOS Voltando aos dados tetraédricos do Exercício 26.4, suponha que joguemos um par desses dados. A soma do2 = 1 + 1 a 8 = 4 + 4. seguinte, para cada valor de k de 2 a 8:

Represente o evento Ak escrevendo explicitamente seus elementos entre chaves. Calcule P(Ak).

Joga-se uma moeda quatro vezes. Seja A o evento “Observamos um número igual CARAS e COROAS”. Represente o evento A escrevendo explicitamente seus entos entre chaves. Calcule P(A).

Joga-se uma moeda dez vezes. Qual é a probabilidade de observarmos o mesmo ero de CARAS e COROAS?

a-se uma moeda n vezes. Qual é a probabilidade de CARAS?

otemos por (S, P) o espaço amostral de dez jogadas de uma moeda. Denotemos A o evento “Os resultados se alternam entre CARA e COROA”. Represente explic

b) Calcule P(A). a-se um par de dados. Seja A

a) Represente explicitaordenados).

b) Calcule P(A). Jogam-se três dados. Qual é a probabilidade de todos os três dados aprnúmeros pares?

am-se três dados. Qual é a probabilidade dser par?

am-se dois dados. Denotemos por A o evento “o númmaior do que o númera) Represente A explicitamente como um conjunto. b) Calcule P(A). Uma sacola contém dez caixas embrulhadas identicamente, mas ocaixas têm valores diferentes (por exemplo, cada uma contém uma quanem dinheiro). Alice e Bob vão escolher, cada um, uma caixa de sacola.

onhamos que Alice tirecom as caixas restantes. Qual é a probabilidade de o conteúdo da caixa de Alice ter

em primeiro lugar?

numeração diferente da usual. Designemos os três dados por 1, 2 e 3. Os pontos nos três dados constam da tabela a seguir:

Dado 2 2 3 4 15 16 17Dado 3 1 10 11 12 13 14

Joga-se um jogo com estes dados. Cada jogador fica com um dos dados (os dois jogadores têm dados diferentes). Cada um deles joga seu dado, ganhando aquele cujo dado apresentar o maior número.

162

a) Jogando-se os dados 1 e 2, qual é a probabilidade de o dado 1 ganhar do dado 2? Jogando-se os dados 2 e 3, qual é a possibilidade de o dado 2 ganhar do dado 3? Jogando-se os dados 3 e 1, qual é a possibilidade de o dado 3 ganh

b)c) ar do dado 1? d)

12. Ma) Qual é a probabilidade de uma mão de póquer apresentar três de um mesmo

rtas de um mesmo valor e duas

S e de COROAS? b) Qual é a probabilidade de aparecer CARA nas três primeiras jogadas? c) Qual é a probabilidade de aparecer o mesmo número de CARAS e de COROAS e

de as três primeiras jogadas darem CARA? d) Qual é a probabilidade de aparecer o mesmo número de CARAS e COROAS ou

de as três primeiras jogadas darem CARA (ou ambos)? 15. Jogam-se três dados.

a) Qual é a probabilidade de nenhum deles mostrar a face 1? b) Qual é a probabilidade de ao menos um lado mostrar a face 1?

Qual dado é melhor? ais mão de póquer.

tipo? (Três de um mesmo tipo significa três caoutras cartas de diferentes valores; por exemplo, três 10s, um 7 e um valete).

b) Qual é a probabilidade de uma mão de póquer ser um full house? (Um full house consiste em três cartas de um mesmo valor e duas outras cartas com um valor comum; por exemplo, três damas e dois 4s).

c) Qual é a probabilidade de uma mão de póquer apresentar um par? (Um par significa duas cartas com o mesmo valor e três outras cartas com três outros valores; por exemplo, dois 9s, um rei, um 8 e um 5).

d) Qual é a probabilidade de uma mão de póquer apresentar dois pares? (Dois pares significa duas cartas com o mesmo valor, duas outras cartas com outro valor comum e uma quinta carta de um outro valor; por exemplo, dois valetes, dois 8s e um 3).

e) Qual é a probabilidade de uma mão de póquer ser um flush? (Um flush significa 5 cartas do mesmo naipe).

13. Prove a Proposição 27.8 14. Joga-se uma moeda dez vezes

a) Qual é a probabilidade de aparecer o mesmo número de CARA

c) Qual é a probabilidade de ao menos um lado mostrar a face 2? d) Qual é a probabilidade de nenhum dos dados mostrar a face 1 ou 2? e) Qual é a probabilidade de ao menos um dado mostrar 1 ou ao menos um dado

mostrar 2 (ou ambos)? f) Qual é a probabilidade de ao menos um dado mostrar a face 1 e ao menos um

dado mostrar a face 2? 16. Sejam A e B eventos de um espaço amostral. Prove:

)()()( APBAPBAP =∩+∩ 17. Sejam A e B eventos dum espaço amostral. Prove que, se A ⊆ B, então P(A) ≤ P(B). 18. Sejam A e B eventos dum espaço amostral com P(A) > 2

1 e P(B) > 21 . Prove que

P(A ∩ B) ≠ 0 19. Sejam A1, A2, ..., An eventos em um espaço amostral. Prove:

).(...)()()...( 2121 nn APAPAPAAAP +++≤∪∪∪

163

20. Seja A um evento dum espaço amostral. Determine )( AAP ∩ e dê uma interpretação satisfatória.

21. Escreva um programa de computador que tenha como entrada um inteiro n entre 1 e 365, e como resultado a probabilidade de que, entre n pessoas escolhidas

o dia de aniversário. tivo k tal que a probabilidade

6.28. Pro amostral. Como tal, podemos aplicar as

opera

o ito com um ex matemático. Sejam A o evento “um estudante perde o ó us escolar” e B o evento “o despertador

do esbilidade de o estudante

perde

u. entagem de dias) com que o estudante

perde

aleatoriamente, duas (ou mais) tenham o mesmUse seu programa para achar o menor inteiro posiseja maior do que 99%.

babilidade Condicional e Independência Um evento é um sub conjunto de um espaçoções da teoria dos conjuntos para criar novos eventos. Por exemplo, se A e B são

eventos, então A ∩ B é o evento que corresponde à ocorrência de ambos (A e B). Nesta secção, vamos introduzir o conceito de condicionamento de um evento a outro.

Ilustrarem s este conce emplo nãonib

tudante está com defeito”. Ambos os eventos têm probabilidade baixa; P(A) e P(B) são números pequenos. Perguntemos, entretanto: qual é a proba

r o ónibus escolar, dado que seu despertador não funcionou? Agora, é perfeitamente provável que o estudante perca o ónibus! Denotamos por P(A | B) a probabilidade de ocorrência do evento A, dado que o evento B ocorre

Podemos encarar P(A) como a frequência (perc o ónibus escolar. Analogamente, P(B) é a frequência com que o despertador falha. A

probabilidade condicional P(A | B) é a frequência com que o estudante perde o ónibus escolar, mas considerando apenas as manhãs em que o despertador falha.

S

A

B

Podemos ilustrar este ponto com um diafragma de Venn. Como os eventos são

conjuntos, ilustramo-los como regiões no diafragma. A caixa S representa todo o espaço amostral. As regiões A e B representam dois eventos (perder o ónibus e o despertador não funcionar). Desenhamos A e B em tamanho relativamente pequeno para ilustrar o fato de que s

es, para os eventos A e B, têm á

A. Esta região de sobreposição representa os dias em que o estudante perde o ónibus e o despertador não funciona. Dado que o despertador não funcionou, o estudante perde o ónibus em uma grande proporção das vezes. A região de sobreposição tem área P(A ∩ B). Que p porção da caixa B esta região de sobreposição abrange? Ela abrange P(A ∩ B) / P(B). Esta razão, P(A ∩ B) / P(B), é assaz

e trata de eventos pouco frequentes. A caixa “universo” S tem área 1, e os rectângulos menorreas iguais às suas probabilidades, P(A) e P(B). Olhe atentamente para a caixa B – o evento “o despertador não funciona”. Uma

grande porção da área de B é sobreposta pela caixa

ro

164

próxi

Consideremos outro exemplo. Seja (S, P) o espaço amostral do par de dados (Exemplo 26.4). Consideremos os eventos A e B definidos por

to A: Os números nos dados têm soma 8. • Evento B: Os números nos dados são am os pares. Como conjuntos, esses eventos podem escrever-se:

, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) e

ma de 1 e representa a frequência com que o estudante perde o ónibus em dias em que o despertador não funciona. A probabilidade condicional do evento A dado o evento B é P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B).

• Evenb

A = (2B = (2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)

Temos, portanto, 365)( =AP e 4

1369)( ==BP .

Consideremos agora o problema: Qual é a probabilidade de a soma dos pontos nos dados ser 8, dado que ambos os dados exibem números pares? Das nove jogadas igualmente prováveis do conjunto B, três delas (salientadas em negrito) têm soma 8. Portanto, 3

193)|( ==BAP . Note que 36

3)( =∩ BAP e temos:

31

93

36/936/3

)()()|( ===

∩=

BPBAPBAP .

A probabilidade condicional P(A | B), quando P(B) = 0, n em sentido para nós, pois pede a e ocorrência de A dada a ocorrência de um evento impossível B.

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) é a definição de P(A | B); interpretamo-la como a pro

ão tprobabilidade d

A equação babilidade do evento A dado que o evento B ocorreu. A única instância em que esta

definição não têm sentido ocorre quando P(B) = 0.

Definição 28.1 (Probabilidade Condicional) Sejam A e B eventos em um espaço amostral (S, P) e suponhamos P(B) ≠ 0. A

probabilidade condicional P(A | B), isto é, a probabilidade de A dado B, é

)()|(

BPBAP )( BAP ∩

= .

Exemplo 28.2 (Novamente o Ponteiro Giratório – Revisão) Consideremos o ponteiro giratório do Exemplo 26.3. Sejam A o evento “o ponteiro

pára em 1” (isto é, A = 1) e B o evento “o ponteiro pára em 1 ou 3” (isto é, B = 1, 3). Qual é a probabilidade de o ponteiro parar em 1, dado que parou em 1 ou 3?

Note que a região referente ao evento A correspondente a 54 da porção referente ao

evento B. Podemos também calcular: 58/5)3,1()(

)|( ===41)1()( 2/∩

=PBP

BAP . PBAP

Exemplo 28.3 Joga-se uma moeda cinco vezes. Qual é a probabilidade de a primeira jogada dar

CORO a receram exactamente três CARAS? A, s bendo-se que apaSeja A o evento “a p rimeira jogada deu COROA”, e seja B o evento “apareceram

exact mos: amente três CARAS”. Calcula

165

2124

2)( 5 ==AP e

16322)( 5 ===BP . 5103

5⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Para calcular P(A | B), precisamos conhecer P(A ∩ B). O conjunto (A ∩ B) contém

exactamente ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛34

= 4 sequências, pois a primeira jogada deve dar COROA e exactamente

três das quatro restantes devem dar CARA. Logo,

832)( ==∩ BAP . 14

Assim,

516/5)(28/1)()|( ==

∩=

BAPBAP . BP

Independência Joga-se uma moeda cinco vezes. Qual é a probabilidade de a primeira jogada dar

CARA, sabendo-se que a última jogada deu CARA? Sejam A o evento “a primeira jogada dá CARA” e B o evento “a última jogada dá

CARA”. Temos

2212)(

4

==AP 5

225

12)(4

==BP

41

22)( 5

3

==∩ BAP

e, portanto,

21

2/14/1

)()()|( ==

∩=

BPBAPBAP .

Note que P(A | B) e P(A) são iguais. Isto tem sentido intuitivamente. A probabilidade de a primeira jogada dar CARA é 2

1 e nada tem a ver com a última jogada. Tais eventos são al).

le exemplo,

chamados independentes (segue uma definição formEsta situação é assaz diferente da do Exemplo 28.3. Ali, o facto de sabermos que

apareceram três CARAS diminui a probabilidade de a primeira jogada te sido COROA. Na verdade, para aque )()|( 2

152 APBAP =<= .

Vamos trabalhar com as consequências da equação P(A | B) = P(A), que pode ser escrita como

)()(

)()|( APBP

BAPBAP =∩

=

e, multiplicando por P(B), obtemos )()()( BPAPBAP =∩ .

166

Ora, se P(A) ≠ 0, podemos dividir ambos os membros por P(A), obtendo

)()(

)()|( BPAP

BAPABP =∩

= .

Podemos resumir o que acabamos de aprendemos na proposição seguinte.

Proposição 28.4 Sejam A, B eventos dum espaço amostral (S, P) e suponhamos P(A) e P(B) ambas

diferentes de zero. Então, as afirmações são equivalentes: (1) P(A | B) = P(A). (2) P(B | A) = P(B). (3) P(A ∩ B) = P(A)P(B).

A expressão “as afirmações seguintes são equivalentes” significa que cada uma implica a outra. Por outras palavras:

(1) ⇔ (2), (1) ⇔ (3) (2) ⇔ (3). Já apresentamos quase todas as ideias para a prova. Deixamos o preenchimento dos

detalhes aos cuidados do leitor (Exercício 28.5). Lançamos mão da condição (3) para definir o conceito de eventos independentes.

Definição 28.5 (Eventos Independentes) Sejam A e B eventos de um espaço amostral. Dizemos que esses eventos são

independentes se )()()(AP BPAPB =∩ .

A o evento “a primeira bola extraída é v extraída é vermelha”. Esses eventos são independentes?

problema é vago porque não especificamos se repomos, ou não, a primeira bola antes de extrairmos a segunda. Vamos considerar ambas as possibilidades.

uponhamos que a primeira bola extraída seja reposta na sacola antes da segunda extra duas bolas; 10 × 20 têm a propriedade de qu

Eventos que não são independentes são chamados dependentes. Consideremos outro exemplo. Uma sacola contém vinte bolas; dez delas são

vermelhas e dez são azuis. Extraem-se aleatoriamente duas bolas de sacola. Seja ermelha” e B o evento “a segunda bola

O

Scção. Há então 20 × 20 maneiras de extrair as e a primeira bola é vermelha. Assim, 2400)( 1200 ==AP . Da mesma forma, 2)( 1=BP .

Finalmente, há 10 × 10 maneiras de extrair as bolas de maneira que a primeira e a segunda sejam vermelhas. Por conseguinte, 4

1400100)( ==∩ BAP . Como

)()(111)( BPAPBAP =×==∩ 224

concluímos que A e B são independentes. Isto tem sentido, porque a cor da segunda bola extraída não depende, de forma alguma, da cor da primeira.

Suponhamos, agora, que não reponhamos a primeira bola extraída. A situação é um pouco mais complicada. Há 20 x 19 =380 maneiras diferentes de extrair uma bola e, em seguida, extrair outra bola das que restaram. Há 10 x 19 maneiras de extrair uma bola de modo que a primeira seja vermelha; daí, 2

1380190)( ==AP . Analogamente, há 190 maneiras

de extrair uma bola de forma que a segunda seja vermelha; 21)( =BP . Entretanto, há 10 x 9

maneiras de extrair as bolas de orma que ambas sejam vermelhas. Portanto, f

167

)()(41

389

38090)( BPAPBAP =≠==∩

assim, os eventos são dependentes. nesta conjuntura de não

reposÉ interessante calcularmos as possibilidades condicionaisição. Temos

%4,4719

2/138/9

)()()|( ≈==

9∩

=AP

BAPABP

e ver da bola ser vermelha, dado que a primeira foi verm ilidade incondicional. Isso tem sentido porque, uma rmelha), a proporção de bolas vermelhas que restam

mos que a probabilidade de a segunelha, é ligeiramente inferior à probabvez extraída a primeira bola (que é ve

na sacola é inferior à metade. Na verdade, exactamente nove das bolas remanescentes são vermelhas, e temos 19

9)|( =ABP conforme observado anteriormente.

Provas Repetidas Independentes nha que façamos girar o

ponte ar de 4 resultados possíveis (1, 2, 3, 4), há 16 [de (1, 1) a (4, 4) os um 3 e em seguida um 2?

Recorde o ponteiro giratório dos Exemplos 26.3 e 28.2 e supoiro duas vezes. Agora, em lug]. Qual é a probabilidade de obtermNão podemos expressar esta questão no contexto limitado do espaço amostral do

ponteiro giratório (S, P) (onde S = 1, 2, 3, 4). Não obstante, é possível respondermos à questão. A primeira e a segunda rodadas do ponteiro são mutuamente independentes – o número que aparece na segunda rodada não depende de forma alguma do primeiro número que aparece. Se encararmos “a primeira rodada dá 3” e “a segunda rodada dá 2” como eventos independentes com probabilidades 4

1 e 81 , respectivamente, então a probabilidade

de obtermos um 3 e, em seguida, um 2 deve ser 321

81

41 =× .

Este é um exemplo de provas repetidas independentes. Temos um espaço amostral (S, P). Em lugar de tomarmos aleatoriamente um elemento isolado s ∈ S com probabilidade P(s), tomamos uma sequência de eventos S1, S2, ..., Sn extraídos aleatoriamente de S. Construímos um novo espaço amostral para lidar com esta situação.

Nota técnica sobre esta definição: Usamos e abusamos do símbolo P nesta definição. Temos aqui dois espaços amostrais em jogo; (S, P) e (Sn, P). Seria mais preciso utilizarmos símbfunções de probabilidade. Uma escolha razoável seria escrevermos Pn(.) pa

olos diferentes para as duas ra a segunda função de

probabilidade.

Definição 28.6 (Provas repetidas) Sejam (S, P) um espaço amostral e n um inteiro. Denotemos por Sn o conjunto de

todas as listas de comprimento n de elementos de S. Então (Sn, P) é o espaço amostral de provas repetidas n vezes no qual

P[(S1, S2, ..., Sn)] = P(S1)P(S2)...P(Sn).

168

Exemplo 28.7 (Novamente o Par de Dados) O espaço amostral do par de dados (Exemplo 26.4) pode ser considerado como uma

prova (S, P) o espaço amostral com S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 repetida com um único dado. Sejae 6

1 p jogada de dois dados. ar todos s S. Então, (S , P) representa o espaço amostral daa ∈ 2

Os eleme u par de dados de (1, 1) ntos de S são todos os resultados possíveis da jogada2 de ma (6, t6), odos com probabilidade 36

1 .

Exemplo 28.8 (Novamente a Jogada de uma Moeda) No exemplo 26.6, consideramos o espaço amostral que representa cinco jogadas de

uma moeda equilibrada. Vamos reformular esta s uação como segue. Seja (S, P) o espaço itamostral em que S = , P(s) = para ambos os s∈ S. O esp ostral CARA COROA e aço am2

1

das cinco jogadas é simplesmente (S5, P). O conjunto S5 contém todas as listas de c mento cin o bolos ARompri co d s sím C A e COROA. Todas essas listas são igualmente prová ilidadeveis, com probab 2

1 .

enerali de da j da de oeda, em que a moeda pode não apresentar CARA ou COROA com a mesma frequência, é conhecida como prova de Bernoulli. A expressão prova de Bernoulli refere-se a uma situação em que há dois resultados possíveis, geralmente chamados SUCESSO ou FALHA. A probabilidade de SUCESSO é p e a p de FALHA é 1 – p.

A g da oga uma m

robabilidade

Exemplo 28.9 (Jogada de uma Moeda não Equilibrada) Imaginemos uma moeda que não é perfeitamente equilibrada, isto é, não apresenta

CARA (C) e COROAS (K) com a mesma frequência. Modelamos esta situação com um Sespaço amostral (S, P), em que S = CARA, COROA, mas

P(CARA) = p e P(COROA) = 1 – p

Onde p é um número tal que 0 ≤ p ≤ 1. Se jogarmos esta moeda cinco vezes, qual é a probabilidade de observarmos (nesta

ordem), CARA, CARA, COROA, COROA, CARA?

A resposta é:

P(CCKKC) = P(C)P(C)P(K)P(K)P(C) = p.p.(1 – p).(1 – p).p

onty Hall ake a

deal (vamuma entroutras duas portas ocultam r consideravelmente menor. Pede-se ao concorre ta altura, o apresentador do show, Monty Hall, mostra ao concorrente um dos valores e menor valor atrás de uma das outras portas. Além disso, of ortunidade de optar pela outra porta fechada. O problema ar pela outra porta ou não?

Um – deste problema é a seguinte. A probabilidade de o prém a originalmente pelo concorrente é de

O Problema de MO problema a seguir inspira-se no velho jogo de TV conhecido como Let’s m

os fazer um negócio). Nesse show, dá-se a um concorrente a chance de escolher e três portas. Atrás de exactamente uma das portas está um valioso prémio; as

prémios de valonte que escolha uma porta. A es

erece-se ao concorrente a op é o seguinte: é interessante opt

a análise informal – e incorreclhid

ta!io estar atrás da porta esco 3

1 . Mas atrás

169

de uma delas é de 21 , de modo que não se importa se o concorrente opta pela outra porta. O

erro nest r be mais que o simples facto de que o prémio não está e o apresentador abre depende de qual porta o conco

Vam m um espaço amostral. Suponhamos, sem perda de genernesse smesma chance de esco prémio está atrás da porta 2, então o apresapresenta

Repmostra a porta 2”. Com síveis são P1:S2, P1:S3, P2:S3 e P3: o com um espaço amostral, atribuindo as seguintes proba

e a gumento é que o concorrente saatrás de uma certa porta. A porta qu

rrente escolheu originalmente, e esta escolhe não é arbitrária.

os modelar esta situação coalidade que o concorrente escolha a porta 1. O prémio pode estar atrás da porta 1, e ca o, o apresentador indicará a porta 2 ou a 3. Suponhamos que o apresentador tem a

lher uma ou outra. Se o entador certamente mostrará a porta 3, e se o prémio está atrás da porta 3, o

dor certamente indicará a porta 2. resentemos por “P1:S2” o facto “o prémio está atrás da porta 1 e o apresentador

esta notação, as quarto ocorrências posS2. Modelamos esta situaçãbilidades:

61):( 21 =SPP ,

61):( 31 =SPP ,

31):( 32 =SPP ,

31):( 23 =SPP .

onha que, após o concorrente ter escolhido a porSup ta 1, o apresentador mostre um prém3?

Con

3 2

• ostra a porta 2; isto é, C = P1:S2, P3:S2.

io de menor valor atrás da porta 2. O concorrente deve mudar sua escolha para a porta

sidere os seguintes 3 eventos:• A: o prémio está atrás da porta 1; isto é, A = P1:S2, P1:S3. • B: o prémio está atrás da porta 3; isto é, B = P :S .

C: o apresentador mNote que 3)()( == BPAP . Se o apresentador não revela uma porta, não há razão rocar.

retanto, vamos calcular P(A | C) e P(B | C). Temos:

1

para tEnt

( )6

:)( 21 ==∩ SPPCAP 1

( )236

:,:)( 2321 =+== SPSPPCP

,

111

e, assim 31

2/16/1

)()()|( ==

∩=

CPCAPCAP .

Temos também:

( )31:)( 23 ==∩ SPPCBP

( )21

31

61

=+= :,:)( 2321= SPSPPCP

e, assim, 32

2/13/1

)()()|( ==

∩=

CPCBPCBP .

ortanto, duas vezes mais provável o concorrente ganhar o grande prémio trocando do que permanecend

É, pde portas o com a escolha original.

170

RecIntr [com

P(B) P(A | independimplica Pespaço am n

Mont

EX

1. P(5) = 0,4

cada caso, calcule

h)

ce 2?

ade rem CARA?

5. .4

7. ) = P(B | A) se e somente se P(A) = P(B).

9. ove

apitulando oduzimos a noção de probabilidade condicional. Se A e B são eventos

> 0], então P(A | B) é a probabilidade de A ocorrer, dado que B ocorreu. Definimos B) = P(A ∩ B)/P(B). Discutimos os eventos independentes. Dizemos que A e B são

entes se P(A ∩ B) = P(A)P(B). Se P(B) tem probabilidade diferente de zero, isto (A | B) = P(A). Mostramos como ampliar um espaço amostral (S, P) para um ostral de provas repetidas (S , P). Concluímos com uma análise do problema de

y Hall.

CER ÍCIOS

Seja (S, P) um espaço amostral com S = 1, 2, 3, 4, 5 e P(1) = 0,1; P(2) = 0,1 P(3) = 0,2 P(4) = 0,2 e

s A e B. EmRelacionamos, a seguir, vários pares de eventoP(A | B). a) A = 1, 2, 3 e B = 2, 3, 4. b) A = 2, 3, 4 e B = 1, 2, 3. c) A = 1, 5 e B = 1, 2, 5.

A = 1, 2, 5 e B d) = 1, 5. e) A = 1, 2, 3 e B = 1, 2, 3. f) A = 1, 2, 3 e B = 4, 5. g) A = ∅ e B = 1, 3, 5.

A = 1, 3, 5 e B = ∅. i) A = 1, 2, 3, 4, 5 e B = 1, 3. j) A = 1, 3 e B = 1, 2, 3, 4, 5.

2. Joga-se um par de dados. Qual é a probabilidade e nenhum deles apresentar a face 2, dado que a sua soma é 7?

3. Joga-se um par de dados. Qual é a probabilidade de a soma dos pontos ser 7 quando nenhum deles apresenta a fa

4. Joga-se uma moeda dez vezes. Qual é a probabilidade de as três primeiras jogadas serem todas CARAS, sabendo-se que apareceram números iguais de CARAS e COROAS? Como se compara esta probabilidade condicional com a probabilidsimples de as três primeiras jogadas da

Prove a Proposição 28

6. Eventos disjuntos são independentes? Prove ou dê um contra-exemplo.

Sejam A e B eventos em um espaço amostral com P(A ∩ B) ≠ 0. Prove que P(A | B

8. Sejam A e B eventos de um espaço amostral em que P(A) > 0, P(B) > 0, mas P(A ∩ B) = 0. Prove que P(A | B) = P(B | A). Dê um exemplo de dois desses eventos em que P(A) ≠ P(B). Sejam A e B eventos de um espaço amostral (S, P) e suponhamos P(B) > 0. Prque

)()()|()()|( APBPBAPBPBAP =+

171

10. probabilidade diferente de zero num espaço amostral. P(A). Deve ser P(B | A) > P(B)? Suponhamos

11. Sej 0. Suponhamos

12.

Sejam A e B eventos comSuponhamos P(A | B) >P(A | B) < P(A). Deve ser P(B | A) < P(B)? Prove suas respostas.

am A e B eventos num espaço amostral, com P(B) ≠ P(A | B) > 0. Deve ser P(A) > 0? (Prove a sua resposta).

Sejam A, B e C eventos de um espaço amostral, e suponhamos P(A ∩ B) ≠ 0. Prove que

)|()|()()( BACPABPAPCBAP ∩=∩∩ .

13.

espadas?

14. o padrão de as cartas têm o mesmo valor” (por exemplo,

ambas são 4) e seja B o evento “a primeira carta extraída é um ás”. Esses eventos são independentes?

15. Extraem-se em sequência (sem reposição), duas cartas de um baralho padrão de 52 cartas, bem misturado. Seja A o evento “as duas cartas têm o mesmo valor” (por exemplo, ambas são 4) e seja B o evento “as duas cartas são do mesmo naipe” (por exemplo, ambas são ouro [♦]. Esses eventos são independentes?

16. Extraem-se em sequência (sem reposição), duas cartas de um baralho padrão de 52 cartas, bem misturado. Seja A o evento “a primeira carta extraída é de paus (♣)” e seja B o evento “a segunda carta extraída é de paus”. Esses eventos são independentes?

17. Sejam A e B eventos num espaço amostral. Prove ou refute as seguintes afirmações: a) Se A e B são independentes, então também o são A e

Extrai-se uma carta de um baralho padrão de 52 cartas, bem misturado. a) Qual é a probabilidade de ser uma carta de espadas (♠)? b) Qual é a probabilidade de ser um rei? c) Qual é a probabilidade de ser o rei ded) Os eventos das partes (a) e (b) são independentes?

artas (sem reposição) de um baralh Extraem-se, em sequência, duas c52 cartas. Seja A o evento “as du

B . b) Se A e B são independentes, então também o são A e B .

18. Sejam A e B eventos num espaço amostral. Prove ou refute: a) Se P(A) = 0, então A e B são independentes. b) Se P(A) = 1, então A e B são independentes.

19. Sejam A, B, C eventos num espaço amostral. Prove ou refute: a) Se A e B são independentes, e B e C são independentes, então A e C são

independentes. b) Se P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C), então A e B são independentes, A e C são

independentes e B e C são independentes. c) Se A e B são independentes, e A e C são independentes e B e C são

independentes, então P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C). 20. Voltemos ao espaço amostral do ponteiro giratório dos Exemplos 26.3 e 28.2.

Escreva todos os elementos em (S2, P) e o valor do P(.) para cada membro de S2.

172

21. O ponteiro dos Exemplos 26.3 e 28.2 é girado duas vezes. Qual é a probabilidade

CARA exactamente duas vezes”.

ρ (veja o Exemplo 28.9). Suponhamos que essa moeda seja

orrecta com a mesma probabilidade).

ande prémio (todas as finalistas têm a mesma chance de ganhar). Logo antes da entrega do grande prémio, um juiz diz a oito das finalistas que elas não ganharam

ndo apenas Penélope e Olívia.

ce de ganhar é ainda de ape sorOlívia pensa: “Agora que as oito foram eliminadas, restam apenas duas de nós no

de 50% de ganhar! Que sorte”!

de a soma dos dois números ser 6?

22. O ponteiro dos Exemplos 26.3 e 28.2 é girado cinco vezes. Qual é a probabilidade de a soma dos dois números ser 4?

23. Uma moeda viciada apresenta CARA com probabilidade ρ e COROA com probabilidade 1 – ρ (veja o Exemplo 28.9). Suponhamos que essa moeda seja jogada cinco vezes. Seja A o evento “aparecea) Represente A como um conjunto. b) Determine P(A).

24. Uma moeda viciada apresenta CARA com probabilidade ρ e COROA com probabilidade 1 – jogada n vezes. Seja A o evento “aparece CARA exactamente k vezes”. Determine P(A).

25. Uma moeda viciada apresenta CARA com probabilidade ρ e COROA com probabilidade 1 – ρ (veja o Exemplo 28.9). Suponha que essa moeda seja jogada duas vezes. Seja A o evento “aparece CARA exactamente, e em seguida, COROA”; e seja B o evento “a moeda apresenta primeiro COROA, e em seguida, CARA”. a) Calcule P(A). b) Calcule P(B). c) Calcule P(A | A ∪ B). d) Calcule P(B | A ∪ B). e) Explique como utilizar uma moeda viciada para tomar uma decisão c

(escolha entre duas alternativas

26. Penélope, a Pessimista, e Olívia, a Optimista são duas entre as dez finalistas num confronto. Uma dessas dez finalistas será escolhida aleatoriamente para receber o gr

o grande prémio, permanecePenélope pensa: “mas antes de o juiz eliminar oito concorrentes, eu sabia que ao menos oito das outras concorrentes eram perdedoras. O fato de eu saber agora que essas oito eram perdedoras nada me dizia de novo. Minha chan

nas 10%. Que te inútil”.

confronto. Assim, tenho uma chanceQual das duas análises é correcta?

173

6.29. Variáveis Aleatórias

u se jogamos uma moeda dez vezes, pode interessas-nos a

s.

Por exemplo, podemos quere s dados ou o número de CARAS observadas em dez jo

se s = KKCKCCCCKC, então X(s) = 4. A mane

Seja (S, P) um espaço amostral. Embora possam interessar-nos os resultados individuais listados em S, em geral temos também interesse em eventos. Por exemplo, no espaço amostral do par de dados, podemos querer saber a probabilidade de os números nos dois dados serem diferentes. Oprobabilidade de aparecer o mesmo número de CARAS e de COROAS. Já estudamos tais “resultados compostos” – eles são chamados evento

Eventualmente, podemos não estar interessados nos resultados específicos num espaço amostral, e sim, em alguma grandeza derivada do resultado.

r saber a soma dos números nos doigadas de uma moeda.

A expressão variável aleatória é, talvez uma das mais adequadas em toda a matemática. Uma variável aleatória não é nem aleatória nem uma variável! É uma função definida num espaço amostral. As variáveis aleatórias são utilizadas para modelar grandezas cujo valor é aleatório.

Nesta secção, vamos estudar o conceito de variável aleatória. Uma variável aleatória típica associa um número a cada resultado num espaço amostral (S, P), ou seja, X(s) é um número que depende de s ∈ S. Por exemplo, X pode representar o número de CARAS observadas em dez jogadas de uma moeda, e,

ira adequada de expressar esta ideia é dizermos que X é uma função. O domínio de X é o conjunto S ou um espaço amostral (S, P). Cada resultado s ∈ S tem um valor X(s) que é, usualmente (mas nem sempre), um número real. Neste caso, temos X : S → ℜ. De modo mais geral, uma variável aleatória é qualquer função definida num espaço amostral.

Definição 29.1 (Variável Aleatória) Uma variável aleatória é uma função definida num espaço de probabilidade; ou seja,

se (S, P) é um espaço amostral, então u ia é uma função X : S → V (para ma variável aleatóralgum V).

Exemplo 29.2 (Par de Dados)

Seja ( → a S, P) o espaço amostral de um par de dados (Exemplo 26.4). Seja X : S Nvariável aleatória que dá a soma dos números nos dois dados. Por exemplo,

X[(1, 2)] = 3 X[(5, 5)] = 10 e X[(6, 2)] = 8.

Exemplo 29.3 (Caras Menos Coroas)

Seja (S, P) o espaço amostral que representa dez jogadas de uma moeda equilibrada. Seja X : S → Z a variável aleatória que dá o número de CARAS menos o número de COROAS. Por exemplo,

X(CCKCKKKKCK) = – 2. Podemos também definir variáveis aleatórias Xc e Xk como o número de CARAS e o

número de COROAS, respectivamente, num resultado. Por exemplo, Xc(CCKCKKKKCK) = 4 e X (CCKCKKKKCK) = 6. k

Note que X = X – X . Isto significa que, para qualquer c k s ∈ S, X(s) = Xc(s) – Xk(s).

174

Exemplo 29.4 Eis um exemplo de uma variável ale ão são números. Seja (S, P) atória cujos valores n

o espaço amostral que representa dez jo moeda equilibrada. Para s ∈ S, gadas de umadenot exemplo, emos por Z(s) o conjunto de posições em que CARA é observada. Por Z(CCKCKKKKCK) = 1, 2, 4, 9 porqu ões 1, 2, 4 e 9. Chamamos Z uma variável aleatória e as CARAS (C) estão nas posiçcom valores conjunto, porque Z(s) é um conjunto.

A variável aleatória Xc do exemplo anterior está estritamente relacionada com Z. Temos Xc = | Z |. Isto significa que, para todo s ∈ S, Xc(s) = | Z(s) |.

Variá Eventos ostral (S, P). Poderíamos

pergu particular υ. Por exemplo, jogando-se um p

, 4), (5, 3), (6, 2). Depois, pergu rnativamente, podemos definir uma variável aleató

como P(X = 8).

b P. Podemos escrever P(s), onde ento de um espaço amostral, ou podemos escrever P(A), onde A é um evento (isto é, um su d um espaço amostral).

veis Aleatórias como Seja X uma variável aleatória definida num espaço amntar qual a probabilidade de X tomar um valor

ar de dados, qual é a probabilidade de a soma dos números ser 8? Podemos representar esta pergunta de duas maneiras diferentes. Primeiro, podemos chamar A o evento “os dois dados apresentam soma 8”; isto é, A = (2, 6), (3, 5), (4

ntamos, então, quanto é P(A)? Alteria X como a soma dos números nos dados e perguntar: qual é a probabilidade de

X = 8? Traduzimos esta situação

Ao escrevermos P(X = 8), estendemos a notação P(.) para além do seu Âmbito anterior. Até aqui, admitimos que dois tipos de o jecto sigam o

s é um elembconjunto e

A maneira de ler a expressão P(X = 8) é interpretar o “X = 8” como um evento. X = 8 é uma abreviatura para o evento

s ∈ S : X(s) = 8. Neste caso,

P(X = 8) = P(s ∈ S : X(s) = 8) = P((2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)) = 365 .

O que significa P(X ≥ 8 a abreviatura para o evento s ∈ S : X(s) ≥ 8. Assim,

)? “X ≥ 8” é um

P(X ≥ 8) = P(s ∈ S : X(s) ≥ 8) = 125

3615

3612345

==++++ .

Podemos até inserir na notação P(.) expressões algébricas mai complicadas envolvendo variáveis aleatórias. A notação pede a probabilidade de um evento implícito; o evento é o conjunto de todos os s que satisfazem a expressão dada. Por exemplo, recordemos as variáveis aleatórias Xc e Xk do exemplo 29.3. (Essas variáveis contam o número de CARAS e o número de COROAS, respectivame

s

nte, em dez jogadas de uma moeda equilibrada.) Poderíamos pe r abilidade de aparecerem pelo meno

rguntar: qual é a p obs quatro CARAS e pelo menos quatro COROAS em dez jogadas da moeda? A

questão pode expressar-se de várias maneiras:

175

P(Xc ≥ 4 e Xk ≥ 4) P(Xc ≥ 4 ∧ Xk ≥ 4) P(Xc ≥ 4 ∩ Xk ≥ 4) P(4 ≤ Xc ≤ 6)

Em qualquer das a prob o seguinte evento:

Incidentalmente, a respo ta qu

hipóteses, procuramos abilidade d

s ∈ S : Xc(s) ≥ 4 e Xk(s) ≥ 4. sta a es estão é:

P(Xc ≥ 4 ∧ Xk ≥ 4) = 32216722102522106

105

104

10

10 ==++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

. 102410242

Exemplo 29.5 (Variável Aleatória Binomial)

Recordemos a moeda viciada do Exemplo 28.9 e suponhamos que tal moeda dê CARA com probabilidade p e COR -se a moeda n vezes. OA com probabilidade 1 – p. JogaDenotemos por X o número de vezes em que aparece CARA.

Seja k um inteiro. Quanto é P(X = k)? Se k < 0 ou k > n, é impossível termos X(s) = k e, assim, P(X = k) = 0. Isto limita a

nossa atenção ao caso 0 ≤ k ≤ n.

Há exactamente ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

sequências de n jogadas com exactamente k CARAS. Todas essas

sequências têm a mesma probabilidade: pk(1 – p)n–k. Portanto,

P(X = k) = ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛kn

p⎠⎝

k(1 – p)n–k.

Chamemos X uma variável aleatória binomial pela razão seguinte: desenvolvamos

(p + q)n pelo teorema binomial. Um dos termos no desenvolvimento é ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

pkqn–k. Fazendo

q = 1 – p, isto é exactamente P(X = k). Veja também o Exercício 28.24.

Variáveis Aleatórias Independentes Recordemos o espaço amostral do par de dados (Exemplo 26.4). Para este espaço

amostral, definimos duas variáveis aleatórias, X1 e X2. O valor de X1(s) é o número no primeiro dado e X2(s) é o número no segundo dado. Por exemplo,

X1[(5, 3)] = 5 e X2[(5, 3) = 3.

Finalmente, seja X = X1 + X2. Isto significa que X(s) = X1(s) + X2(s); isto é, X é a soma dos números que aparecem nos dados. Por exemplo, X[(5, 3)] = 8. O conhecimento de X2 dá-nos alguma informação sobre X. Por exemplo, se sabemos que X2(s) = 4, então X(s) = 4 é impossível. Se sabemos que X2(s) = 4, então a probabilidade de X(s) = 5 é 6

1 (em oposição a 36

4 ). Podemos expressar este facto como P(X = 5 | X2 = 4) = 61 .

Os evO significado de

P(X = 5 | X2 = 4) é o significado usual da probabilidade condicional. entos, neste caso, são X = 5 e X2 = 4. O cálculo pode ser feito da maneira usual.

176

P(X = 5 | X2 = 4) = 66/1)4( 2 =XP

odavia, o conhecimento de X

136/1)45( 2 ===∧= XXP

.

Tinteiros

P(X1 = a | X2 = b) =

2 nada nos diz sobre X1. Na verdade, se a e b são de 1 a 6, temos:

)(61

6/136/1

)()b(P

121 aXP

bXPX

=====

.

Podemos dizer algo mais. Com2

Xa ∧=

=

o

P(X1 = a e X2 = b) = )()(6636 21 bXPaXP ===×= (27) 11

Ointeiro de 1 a 6, então am

Oprecisa

1

s eventos “X1 = a” e “X2 = b” são independentes. Além disso, se a ou b não é um bos os membros da equação (27) são zero. Temos, portanto,

∀a,b∈Z, P(X1 = a e X2 = b) = P(X1 = a) P(X2 = b). s e entos Xv 1 = a e X2 = b são independentes para todos os valores de a e b, isto é mente o que significa dizermos que X1 e X2 são variáveis aleatórias independentes.

Definição 29.6 (Variáveis Aleatórias Independentes) Sejam (S, P) um espaço amostral e X e Y variáveis aleatórias definidas em (S, P).

Dizemos q ntes se, para todos os valores de a e b, ue X e Y são independeP(X = a e Y = b) = P(X = a)P(Y = b).

amos concentrar-nos na expressão “para todos os valores de a e b” nesta definição. áveis aleatórias X e Y são funções definidas e

VAs vari m (S, P). Podemos, portanto, escrever X : S →fora de A npode se todo b ∈ B”. A condição na definiç

R

U unção definida num espaço valor X(s). Este valor e liamos a notação (.) de forma a incluir eventos descritos por variáveis aleatóAs indepen .

A e Y : S → B para conjuntos arbitrários A e B. Não é possível X assumir um valor em Y assumir um valor fora de B. Assim sendo, a expressão “para todo a e b”

r escrita mais explicitamente como “para todo a ∈ A eão pode ser escrita como

∀a ∈ A, ∀b ∈ B, P(X = a e Y = b) = P(X = a)P(Y = b).

ecapitulando

ma variável aleatória não é nem aleatória nem variável. É uma fl X gera umamostral (S, P). Ou seja, para todos s ∈ S, a variáve

Pm geral é um número. Amprias, tais como P(X = 3) é a probabilidade do evento s ∈ S : X(s) = 3.

variáveis aleatórias X e Y são independentes se os eventos X = a e Y = b são dentes para todos os valores de a e b

177

E1. Seja (S,P) um espaço amostral com S = a, b, c, d e P(a) = 0,1; P(b) = 0,2, P(c) =

0,3 e P(d) = 0,4. Defina variáveis aleatórias X e Y nesse espaço amostral de acordo com a tabela a seguir e responda ao seguinte:

s X(s) Y(s)

XERCÍCIOS

a 1 -1 b 3 3 c 5 6 d 8 10

a) Escreva o evento “X > 3” como um conjunto de resultados (isto é, um subconjunto de S) e calcule P(X > 3).

to “X > Y” como um conjunto de resultados e calcule P(X > Y). d) Escreva o evento “X = Y” como um conjunto de resultados e calcule P(X = Y). e) Calcule P(X = m e Y = n) para todos os inteiros m e n. Note que, para todas as

escolhas de s e t (pelo memos um número finito delas) esta probabilidade é zero.

P(Z = n) para todos os inteiros

2. giratório dos Exemplos 26.3 e 28.2. Suponha que se atribua um

paço amostral (S, P), em que S contém as 8 listas, de KKK a CCC, todas as

b) Escreva o evento “Y é ímpar” como um conjunto de resultados e calcule P(X > Y).

c) Escreva o even

f) X e Y são independentes? g) Defina uma variável aleatória Z = X + Y. Calcule

n. Note que, para todos os valores de s (pelo menos um número finito), esta probabilidade é zero.

Recorde o ponteiroprémio de $10 se o ponteiro, ao parar, apontar para o número ímpar, e um prémio de $20 se o ponteiro apontar para o número par. a) Seja X a variável aleatória que representa a quantia ganha nesse jogo.

Represente X explicitamente como uma função definida num espaço amostral. b) Represente o evento “X = 10” como um conjunto. c) Calcule P(X = a) para todos os inteiros positivos a.

3. Joga-se três vezes uma moeda equilibrada. Este experimento é modelado por um esprobabilidades 8

1 . Seja X o número de vezes em que aparece COROA. a) Escreva X explicitamente como uma função definida em, S. b) Escreva o evento “X é ímpar” como um conjunto. c) Calcule P(X é ímpar).

4. Joga-se um par de dados. Seja X o ( valor absoluto da) da diferença entre os números apresentados pelos dados. a) Quanto é X [(2, 5)]?

odos os inteiros a.

5. Joga-se duas moedas viciadas. A primeira apresenta CARA com probabilidade p1 e a segunda apresenta CARA com probabilidade p2. Seja X a variável aleatória que dá o número de CARAS que aparecem quando essas duas moedas são jogadas. Calcule P(X = a) para a = 0,1, 2.

b) Calcule P(X = a) para t

178

6. Joga-se um dado dez vezes. Seja X o número de vezes que aparece o número 1. Determine P(X = a) para todos os inteiros a.

7. Joga-se uma moeda dez vezes. Seja Xc o número de vezes que aparece a CARA e Xk o número de vezes que aparece COROA.

Xc e Xk são variáveis aleatória independentes?

8. Joga-se uma moeda dez vezes. Seja X1 o número de CARAS (C) que aparecem imediatamente antes da COROA (K) e X2 o número de COROAS que aparecem

e antes das CARAS.

uma carta de um baralho padrão de 52 cartas. Seja X 0 ) e seja Y o naipe da carta. X e Y são variáveis aleatórias

1s) da primeira carta e seja Y o valor da segunda

carta. X e Y são variáveis aleatória independentes?

a carta de um baralho, podemos definir uma variável aleatória X como o naipe da carta. Neste caso, a variável aleatória não tem um valor real; seus valores fazem parte do conjunto ♣, ♦, ♥, ♠.

considerado dão resultados numéricos, como

médio que esta variável pode tomar, ou quão dispersos são os seus valores.

Nesta secção, vamos considerar o valor esperado de variáveis aleatórias como valores reais. O valor esperado pode ser interpretado como valor médio de uma variável aleatória.

Recordemos o ponteiro giratório dos Exemplos 26.3 e 28.2. Definamos a variável aleatória X simplesmente como o número da região em que o ponteiro pára. Assim,

imediatamentPor exemplo, Se obtemos KCCKKCCKCC, então X1 = 2 e X2 = 3, porque temos C – K duas vezes e K – C três vezes em KCCKKCCKCC. X1 e X2 são variáveis aleatórias independentes?

9. Extrai-se aleatoriamentecalor da carta. ( de dois a Aindependentes?.

0. Extrai-se aleatoriamente duas cartas (sem reposição) dum baralho padrão de 52 cartas. Seja X o valor (de dois a á

11. Seja X uma variável aleatória definida num espaço amostral (S, P). É possível X ser independente de si mesmo?

6. 30 Esperança. Nem todas as variáveis aleatórias dão resultados que são números. Por exemplo, se extraímos

aleatoriamente um

A maioria das variáveis aleatórias que temos o número de CARAS numa série de jogadas de uma moeda ou a soma dos valores de

um par de dados. Quando uma variável aleatória produz resultados numéricos podemos perguntar qual o valor

21)1( ==XP ,

41)2( ==XP ,

81)3( ==XP ,

81)4( ==XP .

Qual é o valor médio de X?

Uma resposta plausível (mas incorrecta) seria a seguinte: A variável aleatória X só pode tomar quatro valores: 1, 2, 3 e 4. A média desses valores é 2

54

104

4321 ==+++ . Assim, o valor médio de X é 2

5 .

179

Todavia, o ponteiro pára na região 1 muito mais vezes do que na região 4. Assim, se fizéssemos o ponteiro girar muitas vezes e tomássemos a média dos resultados, estaríamos a calcular a média de muito mais 1s e 2s do que de 3s e 4s. Obteríamos, portanto, um valor médio inferior a 2,5. S ero N de vezes, esperaríamos observar

e fizéssemos girar o ponteiro um grande núm(aproximadamente) 2

N 1s, 4N 2s, 8

N 3s e 8N 4s. Somando e

dividindo por N, obtemos

875,18

1521

83

21

214321 8842 ==+++=

×+×+×+×N

NNNN

que é inferior a 2,5.

X não é o que queremos. O que calculamos é uma média ponderada dos valores de X. O valor a é contado na proporção do número de vezes que ocorre. Chamamos esta média ponderada dos valores de X o valor esperado, ou esperança, de X.

Uma média directa (simples) dos valores de

Definição 30.1 (Esperança)

Seja X uma variável aleatória com valores reais definida num espaço amostral (S, P). A esperança (ou valor esperado) de X é

∑∈

=Ss

sPsXXE )()()( .

O valor esperado de X também é chamado valor médio de X. Costuma-se usar a letra grega µ para denotar o valor esperado de uma variável aleatória.

Exemplo 30.2 (Valor Esperado do Ponteiro Giratório)

Seja X o número que aparece no ponteiro giratório do Exemplo 26.3. Seu valor esperado é

.8

15814

813

212

211

)4()4()3()3()2()2()1()1(

)()()(4

1

=×+×+×+×=

+++=

= ∑=

PXPXPXPX

aPaXXEa

Exemplo 30.3 (Valor Esperado num Dado) Joga-se um dado. Denotemos por X o número que aparece. Qual é o valor esperado de

X? O valor esperado é

.5,32666

66

56

46

366

)()()(1

====×+×+×+×+

= ∑=

aPaXXEa

6

72165432111111211

)6()6()5()5()4()4()3()3()2()2()1()1(+++++

×+×=

+++++= PXPXPXPXPXPX

180

Suponha que jogamos um par de dados. Seja X a soma dos números nos dois dados. Qual é o valor esperado de X? Em princípio, para calcular E(X), devemos calcular

∑∈

=Ss

sPsXXE )()()( .

Entretanto, neste caso, há 36 resultados diferentes no conjunto S, o que torna o cálculo bastante desagradável. Felizmente, há métodos alternativos para calcular a esperança. Damos dois métodos, que mostram que E(X) = 7.

Imagine que escrevemos todos os 36 termos da soma ∑s∈S X(s)P(s). Para simplificar, podemos agrupar os termos semelhantes. Por exemplo, podemos agrupar todos os termos

... + 10P[(4, 6)] + 10P[(5, 5)] + 10P[(6, 4)] + ...

Como todas as três probabilidades são iguais a

para os quais X(s) = 10. Há três desses termos:

361 , a expressão é igual a 36

310× . Note que os resultados nestes três termos são exactamente os s ∈ S para os quais X(s) = 10. Pode ever estes termos como mos, pois, reescr

... + P(X = 10) + ...

Agrupando todos os termos semelhantes, temos

.736252

3612223036404230201262

==++++++++++

=

3612

3611

3610

369

5

×+×+×+×+1234

363636363636365867564342312 ×+×+×++×+×+×=

)12()11(2)3(2)2()( =

×

+=++=+== XPXPXPXPXE L

oi ainda um grande volume de trabalho, porém, melhor do que desenvolver 36 termo ∑s∈S X(s)P(s). Apresentaremos uma técnica ainda mais eficiente para calcu

Fs no somatóriolar E(X), mas primeiro vamos generalizar o que acabamos de aprender.

Proposição 30.4 Sejam (S, P) um espaço amostral e X uma variável aleatória com valores reais

definida em S. Então, ∑ℜ∈

==a

aXaPXE )()( .

roposição 30.4 se estende a todos os números reais a. Natur

o S é finito, há apenas um

os reais a para os quais P(X = a) > 0.

Note que o somatório na Palmente, isto é ridículo. É como se trocássemos uma soma finita, razoável

∑s∈S X(s)P(s), por uma soma infinita, sem muito propósito. Todavia, com número finito de valores diferentes de X(s) pode tomar efectivamente. Para

todos os outros números a, P(X = a) é igual a zero e, assim, não precisamos o incluir na soma. Logo, a soma aparentemente infinita da Proposição 30.4 é, na realidade, apenas uma soma finita sobre os númer

181

Prova (da Proposição 30.4). Seja X uma variável aleatória com valores reais definida num espaço amostral (S, P). O valor esperado de X é

∑∈

=Ss

sPsXXE )()()( .

Podemos reordenar os temos deste somatório, agrupando os termos com um valor comu

⎡

podemos substituir X(s) por a. Assim, temos

⎤⎡=

⎤⎡= sPasaPXE )()()( .

os a em evidência no somatório interior (pela propriedade distributiva da multiplicação em ra, o somatório interior é simplesmente

m de X(s). Temos

∑ ∑ℜ∈ =∈

⎥⎦

⎢⎣

=a asXSs

sPsXXE)(:

)()()( .

O somatório interior abrange apenas os valores de s para os quais X(s) é a. Há apenas um número finito de valores a para os quais a soma interior não é vazia.

A soma interior pode ser escrita de outra maneira. Como X(s) = a para todo s do somatório interior,

⎤

∑ ∑∑ ∑ℜ∈ =∈ℜ∈ =∈

⎥⎦

⎢⎣

⎥⎦

⎢⎣ a asXSsa asXSs )(:)(:

Note que colocamrelação à adição). Ago

∑=∈ asXSs

sP)(:

)(

que é precisamente P(X = a). Fazemos esta substituição final, para obter

⎡⎤⎡∑∑ ∑∑ ∑ℜ∈ℜ∈ =∈ℜ∈ =∈

==⎥⎦

⎢⎣

=⎥⎦

⎢⎣

=aa asXSsa asXSs

aXaPsPasaPXE )()()()()(:)(:

. C.q.d. ⎤

Exemplo 30.5

No Exercício 29.2, abor amd os um jogo em que se fazia girar o ponteiro do Exemplo 26.3, recebendo-se $10 se o ponteiro parasse num número ímpar e $20 se parasse num núme avras, ro par. Seja X o ganho neste jogo. Qual é o valor esperado de X? Por outras palquanto esperamos receber numa rodada, se fizermos o jogo um grande número de vezes?

Vamos calcular a resposta de duas maneiras. Pela Definição 30.1, temos

.75,138

1108120

8110

4120

2110 ==×+×+×+×=

)4()4()3()3()2()2( ++)1()1()()()( +== ∑

∈

PXPXPXPXsPsXXESs

Alternativamente, podemos utilizar a Proposição 30.4. Neste caso, temos

.75,13110320510)20(20)10(10)()( ==×+×==+==== ∑ 888ℜ∈

XPXPaXaPXEa

Se fazemos este jogo repetidas vezes, esperamos receber uma média de $13,75 por rodada.

182

Exemplo 30.6

No Exercício 29.4, definimos uma variável aleatória X parabsoluto da diferença entre os

a o espaço amostral do par de dados. O valor de X é o valor números dos dados. Qual é o valor esperado de X?

Usamos a Proposição 30.4:

.944,13670

361016181610

3625

36468106

)5(5)4(4)3(3 =×+=×+=×+

436

336

236

136

0

)2

==++++

=

×+×+×+×+×+×=

=× (2)1(1)0(0)()( +=×+=×=== ∑ XXPXPaXaPXEℜ∈

P

Linearidade da Esperança

Sejam X e Y variáveis aleatórias com valores reais num espaço amostral (S, P). Podemos formar uma nova variável Z adicionando X e Y, isto é, Z = X + Y.

Como X e Y são funções, devemos ser precisos sobre o que isto significa. O significado é que o valor de Z calculado em s nada mais é do que a soma dos valores X(s) e Y(s).

Suponhamos, por exemplo, que (S, P) seja o espaço amostral do par de dados. Chamemos X1 ao número do primeiro dado e X2 ao número do segundo dado. Seja Z = X1 + X2. Então, Z é simplesmente a soma dos números nos dois dados. Por exemplo, se s = (3, 4), então X1(s) = 3, X2(s) = 4 e Z(s) = Z1(s) + X2(s) = 3 + 4 = 7.

Podemos efectuar outras operações com variáveis aleatórias. Se X e Y são variáveis aleatórias com valores reais num espaço amostral (S, P), então XY é a variável aleatória cujo valor em s é X(s)Y(s). Definimos analogamente X – Y, e assim por diante.

Se c é um número e X é uma variável aleatória com valores reais, então cX é a variável aleatória cujo valor em s é cX(s).

Abordamos agora a questão: se conhecemos os valores esperados de X e Y, é possível determinarmos o valor esperado de Y + Y, de XY, ou de outra combinação algébrica de X e Y? Comecemos com o caso mais simples: a adição. Sejam (S, P) o espaço amostral do par de dados, X1(s) o número do primeiro dado, X2(s) o número do segundo dado, e Z = X1 + X2. Já ca

XPXPXPa

lculamos E(X1) = E(X2) = 27 e E(Z) = 7. Notemos que E(Z) = E(X1) + E(X2). Isto não é

uma coincidência.

Proposição 30.7

Sejam X e Y variáveis aleatórias com valores reais definidas num espaço amostral (S, P). Então,

E(X + Y) = E(X) + E(Y).

183

Prova: Seja Z = X + Y. Assim, temos

[ ]

[ ] .)()()()()()()()()()(

)()()()()()(

∑ ∑ ∑

∑ ∑

∈ ∈ ∈

∈ ∈

+=+=+=

+==

Ss Ss Ss

Ss Ss

YEXEsPsYsPsXsPsYsPsX

sPsYsXsPsZZEC.q.d.

Exemplo 30.8 Seja (S, P) o espaço amostral do par de dados e seja Z a variável aleatória que dá a

soma dos pontos nos dois dados. Quanto é E(X)? Sejam X o valor no primeiro dado e X o valor no segundo dado. Note que 1 2 Z = X1 +

X2. Sabemos que E(X1) = E(X2) = 27 ; assim,

E(Z) = E(X1) + E(X2) = 727

27 =+ .

Vamos aplicar em seguida a Proposição 30.7 a um problema mais complicado.

Um cesto contém 100 fichas numeradas de 1 a 100. Extraem-se aleatoriamente duas fichas (sem reposição). Qual é o valor esperado, X, de sua soma?

Há três maneiras de abordar este problema.

Primeira: podemos aplicar a definição de esperança para achar E(X) = ∑s∈S X(s)P(s). Este somatório envolve 9900 termos (há 100 escolhas para a primeira ficha e 99 escolhas para a segunda).

A Proposição 30.9 pod er refor a como se e: se o valor médio de X é um número a, então o valor médio de cX é

Combinamos, a seguir, Proposições 30.7 e 30. nico resultado.

e s mulad seguca.

as 9 num ú

Teorema 30.10 (Linea ade da rança) rid EspeSejam X e Y variáveis eatórias s r m espaço amostral (S, P) e al com valore eais nu

suponhamos a e b números r . Entãoeais , E(aX aE(X) ).

Prova: Temos

E(aX + bY) = E(aX ) + Y) pela sição 30.7 e E(aX + bY) = aE(X) + ) pela Proposição 30.9 (duas vezes). C.q.d.

O Teorema 30.10 pode ser estendido a uma cia mais longa de variáveis aleatórias. Sejam X1, X2, ..., ariáve tórias de espaço amostral (S, P) e c1, c2, ..., cn números reais. Então, é fácil provar por indução que

E[c1X1 + c c c1E(X1) 2) + ... + cnE(Xn).

Apliquemos este resultado ao problema seguinte. Joga-se uma moeda 10 vezes. Seja X o número de vezes que observamos COROA imediatamente após observarmos CARA. Qual é o valor esperado de X?

el aleatória X1

+ bY) = + bE(Y

E(b PropobE(Y

sequênfinidas numXn v is alea

2X2 + ... + nXn] = + c2E(X

Para calcular E(X), expressamos X como a soma de outras variáveis aleatórias cujas esperanças são mais fáceis de calcular. Seja X1 a variável aleatória cujo valor é um se as duas primeiras jogadas dão CARA-COROA, e zero em caso contrário. A variáv

184

é chamada variável aleatória indicadora; ela indica se determinado evento ocorreu ou não, tomando o valor um no caso de ocorrência e zero em caso contrário. Analogamente, seja X2 a variável aleatória que é um se a segunda e a terceira jogadas dão CARA-COROA e zero em caso contrário. De modo geral, seja Xk a variável aleatória definida como se segue:

Xk =

Então, X = X1 + X2 + ... + X9.

Assim, para calcularmos E(X), basta calcular E(Xk) para k = 1, ..., 9. A vantagem é que E(Xk) é fácil de calcular.

A variável aleatória Xk pode tomar apenas dois valores, um e zero. Assim,

E(Xk) = 0 × P(X = 0) + 1 × P(X = 1) = P(X = 1)

e a probabilidade de observarmos CARA-COROA nas posições k e k + 1 é exactamente

⎩⎨⎧ +

contráriocasoemCOROAdákjogadaaeCARAdákjogadaase

011

41 .

Portanto, E(Xk) = 41 para cada k, com 1 ≤ k ≤ 9. Portanto,

E(X) = E(X1) + E(X2) + ... + E(X9) = 49 .

As variáveis aleatórias indicadoras tomam somente dois valores: zero e um. Tais variáveis costumam ser chamadas variáveis aleatórias zero-um.

Proposição 30.11 Seja X uma variável aleatória

zero-um. Então, E(X) = P(X = 1).

Exemplo 30.12 (Pontos Fixos de uma Permutação Aleatória) Sela π uma permutação aleatória dos números 1, 2, ..., n. Por outras palavras, o espaço

amostral é (S, P), onde todas as permutações π ∈ S, têm probabilidade P(π) = !1n . Seja X(π)

o número de valores π(k) = k. (Um tal valor é chamado ponto fixo da permutação.) Qual é o valor esperado de X?

Para k com 1 k n, seja X≤ ≤ π πk( ) = 1 se π(k) = k e Xk( ) = 0 em caso contrário. Note que X = X1 + X2 + ... + Xn.

Como Xk é uma variável zer-um, E(Xk) = P(Xk = 1) = n1 . Portanto,

E(X) = E(X1) + E(X ) + ... + E(X ) = 2 n 11 =× nn . Em média, uma permutação aleatória tem exactamente um ponto fixo.

achar o valor

Produto de Variáveis Aleatórias Joga-se um par de dados. Seja X o produto dos números nos dois dados. Qual é o

valor esperado de X?

Podemos expressar X como o produto de X1 (número no primeiro dados) e X2 (número no segundo dados). Sabemos que E(X1) = E(X2) =

Se os valores esperados de X e de Y são conhecidos, podemos facilmente esperado de X + Y. A seguir vamos considerar o valor esperado de XY.

27 . Parece razoável supormos que

E(X1X2) = E(X1)E(X2) = ( )227 .

185

Determinamos E(X) calculando Σa ∈ ℜ aP(X = a). Os cálculos de que necessitamos estão resumidos na tabela a seguir.

a P(X = a) aP(X = a) 1 1/36 1/36 2 2/36 4/36 3 2/36 6/36 4 3/36 12/36 5 2/36 10/36 6 4/36 24/36 8 2/36 16/36 9 1/36 9/36 10 2/36 20/36 12 4/36 48/36 15 2/36 30/36 16 1/36 16/36 18 2/36 36/36 20 2 /36 /36 4024 2/36 48/36 25 1/36 25/36 30 2/36 60/36 36 1/36 36/36

Total: 441/36

Portanto, E(X) = ( )227

621

621

36441 =×= . Isto confirma a nossa suposição de que E(X) =

E(X1X2) = E(X1)E(X2).

Este exemplo leva-nos a conjecturar que E(XY) = E(X)E(Y). Infelizmente, esta conjectura não é correcta, como mostra o exemplo a seguir.

Exemplo 30.13 Joga-se duas vezes uma moed número de COROAS e Xc o a equilibrada. Seja Xk o

número de CARAS. Seja Z = XcXk. Quanto é E(Z)? Notemos que E(Xc) = E(Xk) = 1, de forma que poderíamos supor que fosse E(Z) = 1.

Entretanto,

∑ℜ∈

=×+×==×+=×===a

ZPZPaZaPZE21

421

420)1(1)0(0)()( .

Portanto, (XcXk) ≠ E(X E(X

O Exemplo 30.13 mostra que a conjectura E( ) = (X) Y) é incorrecta. É, pois, de surpreender q ra exe plo j da dos dados nh os X1 E(X1)E(X2). Poderia causar-nos espécie o facto de esta equação funcionar para os números nos dois dados, mas uma equação análoga não valer para Xk e Xc (número de COROAS e de CARAS). Note 2 são variáveis aleatórias independentes, mas Xk e Xc são dependentes. Talvez a relação conjecturada E(XY) = E(X)E(Y) seja válida para variáveis aleatórias independentes. Esta conjectura revista é correcta.

E c) k).

XY E E(am E( X2) = ue, pa o m da oga te

que X1 e X

186

Teorema 30.14

Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes, com valores reais, definidas num espaço amostral (S, P). Então

E(X

Prova: Seja Z = XY. Então,

Y) = E(X)E(Y).

∑ == aZaPZ )()( . ℜ∈a

E (28)

Focalizemos o termo aP(Z = a). Como Z = XY, a única maneira de termos Z = a é termos X = b e Y = c, com bc = a. Podemos, assim, decompor, escrevendo P(Z = a) como

∑ =∧= cYbXP( . =ℜ∈

=abccb

ZE:,

))( (29)

A soma estende-se a todos os números b e c tais que bc = a. Como X e Y tomam no máximo um número finito de valores, esta soma tem apenas um número finito de termos não zeros. E como X e Y são independentes, podemos substituir P(X = b ∧ Y = c) por P(X = b)P(Y = c) na Equação (29), obtendo

∑=ℜ∈

===abccb

cYPbXPZE:,

)()()( .

Levamos esta expressão de P(Z = a) para a Equação (28) e calculamos:

∑ ∑ℜ∈ =ℜ∈

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡===

a abccbcYPbXPaZE

:,

)()()(

∑ ∑ ⎥⎤

⎢⎡

=== cYPbXaP )()( ℜ∈ =ℜ∈ ⎦⎣a abccb :,

== ∑∑ℜ∈ℜ∈ cb

cYcPbXbP )()(

atisfazem E(XY) = E(X)E(Y), podemos concluir que X e Y sejam indep , a resposta é não, conforme mostra o exemplo a segui

∑ ∑ℜ∈ =ℜ∈

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡===

a abccbcYPbXbcP

:,

)()(

∑=ℜ∈ abccb

cYPbXbcP:,

)()(

∑ ∑ ⎥⎤

⎢⎡

=== cYcPbXbP )()(

===

ℜ∈ ℜ∈ ⎦⎣b c

∑ ∑ℜ∈ ℜ∈

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡===

b ccYcPbZbP )()(

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

= E(X)E(Y). C.q.d.

Se X e Y são independentes, então E(XY) = E(X)E(Y). A recíproca desta afirmação será verdadeira? Se X e Y s

endentes? Surpreendentementer.

187

Exemplo 30.15

Seja (S, P) o espaço amostral som entos têm S = a, b, c, em que todos os três elemprobabilidade . Definamos as variáv acordo com a tabela seguinte: 3

1 eis aleatórias X e Y de s X(s) Y(s) a 1 0 b 0 1 c -1 0

Note que X e Y não são independentes porque

P(X = 0) = 31 ,

P(Y = 0) = 32 e

P X ∧ Y ≠( = 0 = 0) = 0 92 P X P Y = ( = 0) ( = 0).

Note também que, para todo s ∈ S, temos X(s)Y(s) = 0. Portanto, E(X) = 0,

E(Y) = 31 e

E(XY) = 0 = E(X)E(Y).

Valor Esperado como Medida de Centro

remos, por exemplo, o espaço amostral (S, P) em que S = 1, 2, ..., 10 e P(s) =

O valor esperado de uma variável aleatória com valores reais está no “meio” de todos os valores X(s). Conside

101 para todo s ∈ S. Definamos uma variável aleatória X pela tabela a seguir:

s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X(s) 1 1 1 1 2 2 8 8 8 8

Note que

Variância O valor esperado de uma variável aleatória com valores reais é uma medida de

centralização dos valores de X(s). Consideremos três variáveis aleatórias X, Y e Z, que tomam valores reais como segue:

com probabilidade

∑ℜ∈

=×+×+×===a

aXaPXE 44,082,024,01)()(

21

⎩⎨⎧−

=22

X com probabilidade 2

1

com probabilidade 0,001 ⎧−

10

10

com probabilidade 0,001

com probabilidade 0,998 ⎪⎨= 0Y ⎪⎩

188

31 com probabilidade

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

505

Z com probabilidade 31

com probabilidade 31

Note que todas estas três variáveis aleatórias têm valor esperado igual a zero; os “centros” destas variáveis aleatórias são todos o mesmo. Não obstante, as variáveis

elas se afigura mais “dispersa”? À primeira vista, parece que Y é a mais dispersa, porque seus valores variam de -10 a 10 enquanto X é a mais comp menor intervalo (de -2 a 2).

Entretanto, os valores extremos de Y em ±10 são extremamente raros. Pode se argumentar que Y é mais concentrado na vizinhança de zero do que X, porque Y é quase sempre igual a zero, enquanto X só pode estar em ±2.

Para descrever melhor o grau de dispersão dos valores de uma variável aleatória, necessitamos de uma definição matemática precisa. Eis uma ideia: seja µ = E(X). Calculemos a distância de cada valor de X em relação à média, mas contemos apenas na proporção da sua probabilidade, isto é, somamos [X(s) – µ]P(s). Infelizmente, o que acontece é o seguinte:

−⎥⎦

⎢⎣

⎡=−

Ss SsSsXEsPsPsXsPsX 0)()()()()()( µµµ .

A expressão Σs∈S [X(s) – µ]P(s) mede o afastamento de X em relação à sua média, µ. É uma média ponde

exactamente anulados pelos valores à esquerda. Para evitar esta anulação, podemos tomar o quadrado das distâncias entre X e µ, proporcionalmente às respectivas probabilidades. Ou seja, somamos [X(s) – µ]2P(s). Podemos cogitar sobre a soma

aleatórias são assaz diferentes. Qual d

acta, porque seus valores estão restritos ao

[ ]∑ ∑∑∈ ∈∈

=−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎤

rada da distância de X e µ. À primeira vista, poderia parecer que, se os valores de X apresentam grande dispersão, então sua média ponderada deveria ser grande. Entretanto, em todos os casos, sua soma é zero.

O problema é que os valores à direita de µ são

[ ]∑∈

−Ss

sPsX )()( 2µ

como o valor esperado de uma variável aleatória Z = (X – µ)2. Isto é, Z(s) = [X(s) – µ]2, e o valor esperado de Z é exactamente a medida de “dispersão” que estamos criando. Este valor é chamado variância de X.

Definição 30.16 (Variância)

Seja X uma variável aleatória com valores reais num espaço amostral (S, P). Seja µ = E(X). A variância de X é

Var(X) = E[(X – µ)2]. Exemplo 30.17 Sejam X, Y e Z as três variáveis aleatórias introduzidas no início do presente estudo da

variância. Todas essas três variáveis aleatórias têm valor esperado µ = 0. Calculemos suas variâncias:

189

Var(X) = E[(X – µ)2] = E(X2) = (-2)2 × 0,5 + 22 × 0,5 = 4, Var(Y) = E[(Y – µ)2] = E(Y2) = (-10)2 × 0,001 + 02 × 0,998 + 102 × 0,001 = 0,2 e

Var(Z) = E[(Z – µ)2] = E(Z2) = (-5)2 × 31 + 02 ×

31 + 52 ×

31 =

350 = 16,67.

Por esta medida, Z é a mais dispersa, e Y é a mais concentrada.

Exemplo 30.18

Joga-se um dado. Denotemos por X o número que aparece. Qual é a variância de X? Seja µ = E(X) = 2

7 . Então,

Var(X) = E[(X – µ)2] = +×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎦⎢⎣ ⎠⎝ 22⎥⎤

⎢⎡

⎟⎞

⎜⎛ −

61

273

61

272

61717 2222

XE

9167,22435

2425911925

61

2761717 222

×⎟⎞

⎜⎛ −+×⎞⎛⎞⎛

6≈=

+++++=

⎠⎝+ .

O resultado a seguir dá-nos um método alternativo para o cálculo da variância de uma variável aleatória.

25

624 ⎟

⎠⎜⎝

−+×⎟⎠

⎜⎝

−

Proposição 30.19 S eais. Então, Var(x) = E[X2] = E[X]2.

Note que E[X2] é bastante diferente de E[X]2. O primeiro é o valor esperado da variável aleatória X2 e o segundo é o quadrado do valor esperado de X. Essas grandezas não são necessariamente as mesmas.

Prova: Seja µ = E(X). Por definição, Var(X) = E[(X – µ)2]. Podemos escrever (X – µ)2 = X2 – 2µX + µ2. Encaramos esta expressão como a soma de três variáveis aleatórias: X2, -2µX e µ2

[X(s)]2, -2como uma variável ale eatória, seu valor para qualquer s é simplesmente µ2. Portanto, E(µ2) = µ2. Calculamos:

Var(X) = E[(X – µ)2] = E[X2 – 2µX + µ2]

2µ2 + µ2 = E[X2] – µ2 = E[X2] – E[µ2]. C.q.d.

eja X uma variável aleatória com valores r

. Calculando estes valores para um elemento s do espaço amostral, obtemos µX(s) e µ2, respectivamente. Aqui, estamos encarando µ2 como um número e atória. Como variável al

= E[X2] – 2µE[X] + E[µ2] pelo Teorema 30.10

= E[X2] –

Exemplo 30.20

Seja X o número que aparece na jogada aleatória de um dado. Quanto é Var(X)? Apl nica do a Proposição 30.19, Var(X) = E[X2] – E[X]2. Note que E[X]2 = ( ) 4

49227 = .

Também,

E[X2] = 616

615

614

613

612

611 222222 ×+×+×+×+×+×

( )6911654321 222222 =×+++++= .

6

190

Portanto,

Var(X) = E[X2] – E[X]2 = 12354991

=− , 46

o que c plo 30.18.

R lo 29.5, em que se joga n vezes uma moeda viciada. A moeda dá CARA (C) com probabilidade p e COROA (K) com probabilidade 1 – p. Denotemos por X o número de vezes em que aparece CARA. Temos E(X) = np (ver Exercício 30.9). Qual é a variânc

Seja Xj = 1 se a j-és

lar. Como E[X] = np, temos E[X]2 = n2p2. O cálculo de E[X2] é mais complicado. Como

X = X1 + X2 + ... + Xn,

temos:

X2 = [X1 + X2 + ... + Xn]2 = X1X1 + X1X2 + ... + X1Xn + ... + XnXn.

Hmesmoexempl demos expressar este facto como:

.

Para calcular E[X2], aplicamos a linearidade da esperança. Notemos que

oncorda com o Exem

Variância de uma variável aleatória binomial

ecordemos o Exemp

ia de X?

Podemos expressar X como a soma de variáveis indicadores zero-um. ima jogada dá CARA e X = 0 se dá COROA. Então, X = X + X + ... + X . j 1 2 n

Pela Proposição 30.19, Var(X) = E[X2] – E[X]2. O termo E[X]2 é simples de calcu

á dois tipos de termos neste desenvolvimento. Há n termos em que os índices são os s (por exemplo, X1X1) e há n(n – 1) termos em que os índices são diferentes (por o, X1X2). Po

∑ ∑= ≠

+=n

i jijii XXXX

1

22

[ ] [ ] pXEXE ii ==2

variáveis aleatórias i (ver Proposição 30.11 e o Exercício 30.8). Se s ≠ j, então Xj e Xj são ndependentes. Portanto, [ ] [ ] [ ] 2pXEXEXXE jiji == (ver Proposição

30.14). Portanto,

.

Temos agora que

[ ] [ ] [ ] 2

1

2

1

22 )1( pnnpnXXEXEXXXEXEn

i jijii

n

i jijii −+=+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= ∑ ∑∑ ∑

= ≠= ≠

[ ] 22 )1( pnnnpXE −+= e [ ] 222 pnXE = . Portanto,

Var(X) = .

Recapitulando O valor esperado de uma variável aleatória X com valores reais é o valor médio de X

sobre um grande número de provas. Especificamente, E[X] = Σs∈S X(s)P(s). Redispondo os termos, podemos escrever esta última expressão como Σa∈ℜ aP(X=a). Se X e Y são variáveis aleatórias com valores reais, então E(X + Y) = E(X) + E(Y). Se a e b são números reais, esta última propriedade pode ser estendida para E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y). Este resultado é conhecido como linearidade da esperança – que pode, em geral, ser usada para

[ ] [ ] )1()1( 222222 pnpnpnppnpnnnpXEXE −=−=−−+=−

191

simplificar o cálculo de valores esperados. Se X representa o número de vezes que algo ocorr ressar X como a soma de variáveis aleatórias indicadoras, cujas

EXERCÍCIOS 1. valor esperado das variáveis aleatórias X, Y, Z do Exercício 29.1

2. spaço amostral com S = a, b, c e P(s) =

e, podemos, em geral, exp esperanças são fáceis de calcular. Isto permite-nos calcular E(X). Se X e Y são

variáveis aleatórias independentes temos E(XY) = E(X)E(Y). Mostramos como o valor esperado de X está no “centro” dos valores de X e introduzimos a variância como medida de dispersão dos valores de X.

Determine o

Seja (S, P) o e 31 para tos s ∈ S. Ache o

Y(a) = Y(b) = -1 e Y(c) = 2. Z = X + Y.

ine E(X) e E(Y).

4. rolar um dado e ganhar uma quantia igual ao quadrado do no dado. Por exemplo, aparecendo 5, ganha-se $25. Em média, ganhar por jogada?

5. m 100 fichas marcadas com os números de 1 a 100. Uma ficha é unda

6. 00 vezes. Sejam Xc o número de CARAS e Xk o número de

tral de 100 jogadas de uma moeda. b) Calcule E(Z).

E( Xk)?

leatórias

7. 8. 9. el aleatória binomial como no Exemplo 29.5. Prove que E(X) =

10.

11.

valor esperado de cada uma das seguintes variáveis aleatórias. a) X, onde X(a) = 1, X(b) = 2 e X(c) = 10. b) Y, ondec) Z, onde

3. Joga-se um par de dados tetraédricos (ver Exercício 26.4). Seja X a soma dos dois números e seja Y o seu produto. Determ

Um jogo consiste eme número que aparec

quanto esperaríamos

Uma cesta contéextraída aleatoriamente e reposta na cesta; extrai-se aleatoriamente uma segficha (que pode ser a mesma). Seja X a soma dos números nas duas fichas. Qual é o valor esperado de X?

Joga-se uma moeda 1COROAS. a) Seja Z = Xc + Xk. Quanto é Z(s)? Aqui, s representa um elemento do espaço

amos

c) É verdade que Xc = Xk? d) É verdade que E(Xc) =e) Calcule E(X ) e E(X ) utilizando o que aprendeu nas partes (b) e (d). c kf) Calcule E(Xc) expressando Xc como a soma de 100 variáveis a

indicadoras.

Prove a Proposição 30.11.

Suponha que X seja uma variável zero-um. Prove que E(X) = E(X2).

Seja X uma variávnp.

Sejam X e Y variáveis aleatórias com valores reais definidas num espaço amostral (S, P). Suponha que X(s) ≤ Y(s) para todo s. Prove que E(X) ≤ E(Y).

Sejam (S, P) um espaço amostral e A ⊆ S um evento. Definamos uma variável aleatória IA cujo valor é s ∈ S é

192

⎩⎨⎧ ∈

=.0

1)(

contráriocasoemAsse

sI A

A variável aleatória IA é chamada variável aleatória indicadora porque seu valor indica se um evento ocorreu ou não. Prove: E(X) = P(A).

12.var negativos. Seja a um inteiro positivo. Prove que

Desigualdade de Markov: Sejam (S, P) um espaço amostral e X: S → N uma iável aleatória com valores reais inteiros não-

aa) ≤ . XE )(

13.

14. Seja X o número apresentado na jogada de um dado tetraédrico. Calcule Var(X).

15. Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes definidas num espaço amostral (S, P). Prove que Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y). Dê um exemplo para mostrar a

16. Jog úmeros que aparecem nos dois dados.

17. Desigualdade de Tchebichev: Seja X uma variável aleatória com valores inteiros

XP( ≥

Um caso especial deste resultado é que P(X > 0) ≤ E(X). Ache a variância das variáveis aleatórias X, Y e Z do Exercício 29.1.

necessidade da hipótese de independência das variáveis aleatórias.

a-se um par de dados. Seja X a soma dos nCalcule Var(X).

não negativos. Suponhamos E(X) = µ e Var(X) = σ2. Se a é um inteiro positivo, prove que

[ ] 2

2

aaXP σµ ≤≥− .

193

Teoria dos Números

A teoria dos números é um dos mais antigos ramos da matemática e continua a ser a excitante área de pesquisa. Por algum tempo, foi considerada essencialmente como

tica pura – um assunto fascinante por si próprio, sem quaisquer aplicaçõummatemá es. RecSecçõe

7

quocien

EXE

1. inteiros q e r tais que a = qb + r e

2. Para cada par de inteiros a e b do problema anterior, calcule a div b e a mod b.

3. < 0. O caso eorema 31.1

4.

entemente, a teoria dos números tornou-se central no mundo da criptografia (ver s 40 – 42) e da segurança dos computadores.

.31. Divisão

Recapitulando Formalmente, desenvolvemos o processo de divisão de inteiros tendo como resultado

tes e restos e introduzimos as operações binárias div e mod.

RCÍCIOS

ePara os pares de inteiros a e b a seguir, determin0 ≤ r < b. a) a = 100, b = 3. b) a = –100, b = 3. c) a = 99, b = 3. d) a = –99, b = 3. e) a = 0, b = 3.

Explique porque o Teorema 31.1 não tem sentido para b = 0 ou para bb = 0 está fora de questão. Elabore (e prove) uma alternativa para o Tque possibilite b < 0.

O que está errado com as seguintes afirmações? Corrija-as e prove sua versão revista. a) Para todos os inteiros a, b, temos b | a se e somente se a div b = b

a . b) Para todos os inteiros a, b, temos b | a se e somente se a mod b = 0.

Prove a Proposição 31.5. 6.

7. o uma

com a operação mod no caso de o segundo número ser zero ou negativo.

8. As linguagens de programação de computador permitem dividirmos dois números

div?

6. Prove que a soma de três inteiros consecutivos arbitrários é divisível por 3.

Muitas linguagens de programação de computador têm a operação mod comcaracterística embutida. Por exemplo, o sinal % em C é a operação mod. Em C, o resultado de x = 53%10 consiste em atribuir o valor 3 à variável x. Investigue como diversas linguagens lidam

tipo inteiro, gerando sempre inteiro como resposta. Por exemplo, em C o resultado de x = 11/5 consiste em atribuir 2 à variável x. (Aqui, x é do tipo int.) Investigue como as várias linguagens lidam com a divisão de inteiros. Em particular, sua implementação da divisão de inteiros será a mesma que a operação

194

9. Divisão de Polinómios. O grau de um polinómio é o expoente da maior potência de x. Por exemplo, 65 210 +− xx tem grau 10 e o grau de 2

13 −x é 1. No caso de o polinómio ser apenas um número (não ter termos com x), dizemos que o grau é 0. O polinómio 0 é uma excepção; dizemos que o seu grau é –1. Se p é um polinómio, representamos o seu grau por gr p. O leitor pode admitir que os coeficientes dos polinómios considerados neste problema sejam números racionais.

Suponha que p e q sejam polinómios. Formule uma definição cuidadosa do que significa p dividir q (isto é, p | q). Verifique que

a)

b) c)

)933(|)42( −+−− xxxx seja verdadeira na sua definição. Dê um exemplo de dois polinómios p e q, com p ≠ q, mas p | q e q | p. Qual é a relação entre polinómios que dividem um ao outro?

23

d) Prove a seguinte analogia ao Teorema 31.1: Sejam a e b polinómios, com b ≠ 0. Então, existem polinómios q e r tais que a = qb + r com gr r < gr b.

25 2Por exemplo, se 123 ++−= xxxa e 1+= xb , então podemos tomar 33 −−= xxq e 43 += xr .

Nesta versão generalizada doe) Teorema 31.1, os polinómios q e r são

7.32. Máximo Divisor Comum

Ncomo canalisamos. Mostramos que, para inteiros a e b (não simultaneamente nulos), o menor valor positivo de ax + by (com x, y ∈ Z) é mdc(a, b). Quando o mdc de dois inteiros é 1, os inteiros dizem-se relativamente primos ou primos entre si.

EXERCÍCIOS 1.

b) mdc(0,10).

3. Determine inteiros a e b que não tenham um máximo divisor comum. Prove que este é o único par de inteiros que não admite um mdc.

4. Sejam a e b inteiros positivos. Ache a soma de todos os divisores comuns de a e b.

5. Prove que, se a e b têm um máximo divisor comum, ele é único (isto é, a e b não podem ter dois máximos divisores comuns).

determinados de maneira única por a e b?

esta secção, estudamos o máximo divisor comum de um par de inteiros. Vimos alcular o mdc de dois inteiros utilizando o algoritmo de Euclides, cuja eficiência

Calcule: a) mdc(20,25).

c) mdc(123,-123). d) mdc(-89,-98). e) mdc(54321,50). f) mdc(1739,29341).

2. Para cada par de inteiros a e b do problema anterior, determine inteiros x e y tais que ax + by = mod(a,b).

195

6. Na Proposição 32.3 não exigimos c ≠ 0. A Proposição 32.3 e sua demonstração ainda são correctas no caso c = 0?

7. Suponhamos a ≥ b e apliquemos o algoritmo de Euclides para produzir os números (em forma de lista) (a, b, c, d, e, f, ..., 0). Prove que a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ e ≥ f ≥ ... ≥0.

putador que pode efectuar 1 bilhão de divisões por

9.

mdc(a, b, c), com a, b, c inteiros. a, b, c, temos mdc(a, b, c) = 1 se e somente se

c) Prove ou refute : Para inteiros a, b, c temos mdc(a, b, c) = mdc(a, mdc(b, c)).

o positivo da forma ax + by + zc, onde x, y, z ∈ Z.

e) Determine inteiros x, y, z tais quf) Há solução para o problema da alínea anterior em que um dos elementos x, y ou

tivos devem ser relativamente primos.

1 iro. Prove que 2a + 1 e 4a2 + 1 são relativamente primos.

1 ente primos. Prove que n e m + jn são relativamente primos para todo inteiro j. C lativamente primos e m’ = m mod n, então n e m’ são rela

13. Suponhamos que a e b sejam a|c e b|c. Prove que (ab)|c.

14. Suponhamos que a, b, n ∈ Z com n > 0, e que ab ≡ 1 (mod n). Prove que a e b são relativamente primos.

e

8. Suponhamos que queremos calcular o máximo divisor comum de dois números de 1000 algarismos, num comsegundo. Quanto tempo, aproximadamente, seria necessário para calcular o mdc pelo método das divisões? (Escolha uma unidade de tempo apropriada como minutos, horas dias anos séculos ou milénios.)

Podemos estender a definição de mdc de dois números para mdc de três ou mais números. a) Dê uma definição cuidadosa deb) Prove ou refute: Dados os inteiros

a, b, c são dois a dois, relativamente primos.

d) Prove que mdc(a, b, c) = d é o menor inteir

e 6x + 10y + 15z = 1.

z é zero?

10. Prove que inteiros consecu

1. Seja a um inte

2. Suponhamos n e m relativamonclua que, se n e m são retivamente primos.

relativamente primos, e que

15. Suponhamos a, n ∈ Z com n > 0. Suponhamos também que a e n sejam relativamente primos. Prove que existe um inteiro b tal que ab ≡ 1 (mod n).

16. Suponhamos que a, b ∈ Z sejam relativamente primos. O Corolário 32.9 implica que existem inteiros x, y tais que ax + by = 1. Prove que esses inteiros x e y devem ser relativamente primos.

17. Seja x um número racional. Isto significa que existem inteiros a e b ≠ 0 tais qubax = . Prove que é possível escolhermos a e b relativamente primos.

18. Uma turma de n crianças está sentada em um círculo. O professor percorre o círculo pelo lado da fora e afaga a cabeça de cada k-ésima criança. Estabeleça e prove uma condição necessária e suficiente sobre n e k para que toda criança recebe um afago.

196

19. O leitor tem duas taças para medir. Uma tem capacidade de 8 onças, e a outra tem capacidade de 13 onças. Essas taças não apresentam qualquer indicação de onças

edir são 13 onças ou 8 onças. Se a pessoa o taça s, usá-la para

encher ças, 5 o maioa) Mo lizar ta 13 e ara m ente 1 onça.

O l miti e ha d de taça para líquido, mas esta não uer i med al, a taç d r exactamente 1 o

b) Generalize este problema. Suponha que as taças da medida tenham a e b onças, com a e b inteiros positivos. Estabeleça e prove condições necessárias e suficientes sobre a e b para que seja possível medir exactamente 1 onça utilizando essas taças.

20. No Exercício 31.9, consideramos a divisão polinomial. Neste problema, pede-se que o leitor desenvolva o conceito mdc polinomial. O leitor pode supor que os polinómios neste problema tenham coeficientes racionais. a) Sejam p e q polinómios diferentes de zero. Formule uma definição cuidadosa

para divisor comum e máximo divisor comum de p e q. Neste contexto, máximo se refere ao grau do polinómio.

b) Mostre, por meio de um exemplo, que o mdc de dois polinómios diferentes de zero não é necessariamente único.

c) Seja d o máximo divisor comum de polinómios não-zero p e q. Prove que existem polinómios a e b tais que

individuais. Tudo quando podemos mquiser os, 5 onças, podemmedir, digam s encher a de 13 onça

a taça de 8 one ti

fic ndo comas ças de

a nças na taça r. edir exactamstr como u de 8 onças p

neitor pode ad possui qualq

r qu disponndicação da

e uma graida. No fin a e conte

nça.

dbqap =+ . d) Dê uma definição precisa de relativamente primos para polinómios diferentes de

zero. e) Prove que dois polinómios diferentes de zero, p e q, são relativamente primos se

e somente se existem polinómios a e b tais que 1=+ bqap . f) Sejam e . Mostre que p e q são relativamente primos

determinando polinómios ue 13 24 −−= xxp 12 += xq

a e b tais q 1=+ bqap .

7.33 Aritmética Modular

Um Novo contexto para Operações Básicas A aritmética é o estudo das operações básicas: adição, subtracção, multiplicação e

divisão. O contexto geral para o estudo destas operações são os sistemas numéricos como os inteiros Z ou os racionais Q.

A divisão é, talvez, o exemplo mais interessante. No contexto dos números racionais, podemos calcular x : y para quaisquer x, y ∈ Q, excepto quando y = 0. No contexto dos inteiros, entretanto, x : y só é definido quando y ≠ 0 e y | x.

O ponto a salientar é que, nos dois contextos diferentes Q ou Z, a operação ÷ tem sentido ligeiramente diferentes. Nesta secção, vamos introduzir um novo contexto para os símbolos +, -, × e ÷, onde seus significados são assaz diferentes do contexto tradicional. A diferença é tão significativa que adoptamos símbolos alternativos para essas operações. Usamos os símbolos ⊕, Ө, ⊗ e ∅.

197

Em lugar de fazermos a aritmética sobre os inteiros racionais, o novo conjunto em que vamos trabalhar é denotado por Zn, onde n é um inteiro positivo. Define-se o conjunto Zn com

Zn = 0, 1, 2, ..., n – 1 ou seja, Zn contém todos os números naturais de 0 a n – 1, inclusive. Chamamos este sistema

Li(com 13 mod n. A

Poperações co

Adição e Multiplicação Modulares

C õ

o

de números inteiros mod n. nguagem Matemática! Trata-se de um terceiro uso da expressão mod! Temos mod como uma relação ≡ 8 (mod 5), e temos mod como uma operação, tal como em 13 mod 5 = 3. Agora, temos os inteiros s três maneiras de usar são diferentes, mas estreitamente relacionados.

ara distinguir ⊕, Ө, ⊗ e ∅ de seus primos sem círculo, vamos nos referir a essas mo adição mod n, subtracção mod n, multiplicação mod n e divisão mod n.

omo se definem as operaç es modulares? Começamos com ⊕ e ⊗.

Definição 33.1 (Adição e Multiplicação Modulares)

S vo e a, b ∈ Zn. Definimos ejam n um inteiro positi

a ⊕ b = (a + b) mod n

a ⊗ b = (ab) mod n. As operações à esquerda são operações definidas para Zn. As operações à direita são

operações ordinárias com inteiros.

Exemplo 33.2 Seja os o seguinte: n = 10. Tem

5 ⊕ 5 = 0 9 ⊕ 8 = 7

5 ⊗ 5 = 5 9 ⊗ 8 = 2.

Recapitulando Introduzimos o sistema de números Zn. Este é um conjunto 0, 1, ..., n -1 juntamente

com as operações ⊕, Ө, ⊗ e ∅. As operações ⊕, Ө e ⊗ são muito semelhantes a +, – e ×; simplesmente operamos sobre os inteiros na forma usual e, em seguida, efectuamos a redução mo n ∅ Zd . A operação é mais subtil. Definimos inversos em n e mostramos que um elemento de Zn é invertível se e somente se é relativamente primo com n. Podemos aplicar o a o, a ∅ b = lgoritmo de Euclides para calcular inversos em Zn. Definimos, entãa ⊗ b-1 apenas quando b é invertível. Se n não é invertível, então a ∅ b não está definido.

198

199

EXERCÍCIOS 1. Calcule o seguinte, no contexto de ZB10B.

2. Resolva as seguintes equações em relação a x, no ZBn B indicado.

a) 3 ⊗ x = 4 em ZB11 B. b) 4 ⊗ x Ө 8 = 9 em ZB11 B. c) 4 ⊗ x ⊕ 8 = 9 em ZB10 B. d) 342 ⊗ x ⊕ 448 = 73 em ZB1003 B.

3. Resolva as seguintes equações em relação a x, no ZBn B especificado. Nota: trata-se de questões assaz diferentes das do conjunto de problemas anterior. Porquê? Certifique-se de que achou todas as soluções. a) 2 ⊗ x = 4 em ZB10 B. b) 2 ⊗ x = 3 em ZB10 B. c) 9 ⊗ x = 4 em ZB12 B. d) 9 ⊗ x = 6 em ZB12 B.

4. E mais algumas equações para serem resolvidas em ZBn B. Certifique-se de que achou todas as soluções. a) x ⊗ x = 1 em ZB13 B. b) x ⊗ x = 11 em ZB13 B. c) x ⊗ x = 12 em ZB13 B. d) x ⊗ x = 4 em ZB15 B. e) x ⊗ x = 10 em ZB15 B. f) x ⊗ x = 14 em ZB15 B. A ordem de operações sem ZBnB é a mesma que na aritmética comum. A expressão x ⊗ x ⊕ 1 deve ser entendida como (x ⊗ x) ⊕ 1. Essencialmente, este problema pede que determinemos se existe, ou não, 1− em Z BpB para números primos.

5. Para alguns números primos p, a equação x ⊗ x ⊕ 1 = 0, tem solução em ZBp B; para outros primos, não tem. Por exemplo, em Z B17B, temos 4 ⊗ 4 ⊕ 1 = 0, mas em Z B19B não há solução. A equação tem solução para p = 2, mas este não é um exemplo particularmente interessante.

Investigue os primeiros (digamos, até 103) números primos ímpares p e categorize-os segundo aqueles para os quais x ⊗ x ⊕ 1 = 0 tem solução em ZBp B e aqueles para os quais não há solução. Recomendo ao leitor elaborar um programa de computador para fazer isso. Formule uma conjectura com base em sua evidência.

6. Prove: para todo a, b ∈ ZBn B, (a Ө b) ⊕ (b Ө a) = 0.

a) 3 ⊕ 3. b) 6 ⊕ 6. c) 7 ⊕ 3. d) 8 ⊕ 9. e) 12 ⊕ 4. f) 3 ⊗ 3. g) 4 ⊗ 4. h) 7 ⊗ 3. i) 5 ⊗ 2. j) 6 ⊗ 6. k) 6 ⊗ 6. l) 4 ⊗ 1. m) 12 ⊗ 5. n) 5 Ө 8. o) 8 Ө 5. p) 8 ∅ 7. q) 5 ∅ 9. r) 4 ∅ 4. s) 3 ∅ 3. t) 4 ∅ 2.

200

7. Prove que as operações ⊕, ⊗, e Ө são fechadas, o que significa que, se a, b ∈ ZBn B, então a ⊕ b, a ⊗ b, a Ө b, são elementos de ZBn B.

8. Prove a Proposição 33.4. Por que esta Proposição é restrita a n ≥ 2? 9. Use a Proposição 33.7 como a definição de Ө e prove, então, como um teorema, a

asserção contida na Definição 33.6.

10. Para inteiros comuns, vale o seguinte: se ab = 0, então a = 0 ou b = 0. Para ZBn B, a afirmação análoga não é necessariamente verdadeira. Por exemplo, em ZB10 B, 2 ⊗ 5 = 0, mas 2 ≠ 0 e 5 ≠0. Entretanto, para alguns valores de n (por exemplo, n = 5), é verdade que a ⊗ b = 0 acarreta a = 0 ou b = 0. Para que valores de n ≥ 2 a implicação a ⊗ b = 0 ⇔ a = 0 ou b = 0 é verdadeira em ZBn B? Prove a sua resposta.

11. Prove a Proposição 33.11

12. Seja n um inteiro positivo e sejam a, b ∈ ZBn B invertíveis. Prove ou refute cada uma das seguintes afirmações: a) a ⊕ b é invertível. b) a Ө b é invertível. c) a ⊗ b é invertível. d) a ∅ b é invertível.

13. Seja n um inteiro, com n ≥ 2. Prove que, em ZBn B, o elemento n – 1 é seu próprio inverso.

14. Exponenciação modular. Seja b um inteiro positivo. A notação aP

bP significa

multiplicar repetidamente a por si mesmo, com um total de b factores iguais a a; isto é,

4434421 Lvezesb

b aaaa ×××= .

A notação para ZBn B é a mesma. Se a ∈ ZBn B, e b é um inteiro positivo, no contexto de ZBn B, definimos

44 344 21 Lvezesb

b aaaa ⊗⊗⊗= .

Faça o seguinte: a) No contexto de ZBn B, prove ou refute aP

bP = aP

b mod nP.

b) Sem recorrer a um computador ou a uma calculadora, ache, em ZB100 B, o valor de 3P

64P.

A pior maneira de resolver este problema é calcular efectivamente 3P

64P e fazer a

redução mod 100 (embora isto dê a sua resposta correcta – por quê?). Uma forma um pouco melhor consiste em multiplicar 3 por si mesmo 64 vezes, fazendo a redução mod 100 em cada estágio. Isto exige 63 problemas de multiplicação. Tente fazer este cálculo com apenas 6 multiplicações, incluindo a primeira: 933 =× .

c) Estime quantas multiplicações serão necessárias para calcular aP

bP em ZBn B.

d) Dê uma definição satisfatória para aP

0P em ZBn B.

201

e) Dê uma definição satisfatória para aP

bP em ZBn B quando < 0. Seria de estranhar o

facto de aP

–1P já ter um sentido?

Matemática Discreta

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