MATEMÁTICA DISCRETA –AULA 1
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MATEMÁTICA DISCRETA – AULA 1
PROFESSORA HELGA BODSTEIN, D.Sc.
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Aula 1
Teoria dos Conjuntos
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Conteúdo
•Introdução
•A Importância da Matemática Discreta
•Teoria dos Conjuntos
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
“Um profissional de computação que possui
conhecimentos em matemática é capaz de resolver
problemas profundos, oferecendo soluções claras,
organizadas, criativas e eficientes.” (Silva, 2005)
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Matemática Discreta
A Matemática
Valoriza o pensamento abstrato, a formalização, a
capacidade de reconhecer estruturas semelhantes sob um
manto de detalhes irrelevantes.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Matemática Discreta
Fazer Matemática
Não é trabalhar com números, e sim, com abstrações do
mundo real, envolvam ou não estas abstrações
quantidades exatas e mensuráveis.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Matemática Discreta
Finalidades da Matemática
• Apresentar informações em uma forma assimilável,
• Prover métodos (estruturas) convenientes para resolver
• problemas,
• Predizer o comportamento de sistemas reais.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
PROBLEMA REAL
MODELO MATEMÁTICO
RESULTADO
SOLUÇÃO
MODELAGEM ABSTRAÇÃO
ANÁLISE
INTERPRETAÇÃO
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Matemática Discreta
A Matemática Discreta
Possui como ênfase os estudos matemáticos baseados em
conjuntos contáveis, finitos ou infinitos.
O estudo da Matemática Discreta irá permitir o
desenvolvimento da maturidade matemática (habilidade de
entender e criar argumentos matemáticos).
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Matemática Discreta
A Matemática Discreta
Fundamento para várias áreas da computação, como:
• Algorítmos
• Bancos de Dados
• Linguagens de Programação
• Sistemas Operacionais
• etc.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Matemática Discreta
A Matemática Discreta
Background para solução de problemas em outras áreas,
como:
• Pesquisa Operacional
• Engenharia
• Biologia
• Ciências Sociais
• etc.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjuntos
O que estes grupos têm em comum?????
Buquê de Rosas Grupo de pessoas
Dúzia de ovos
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjuntos - Coleção não ordenada de objetos
(denominados elementos ou membros do conjunto).
Normalmente todos os objetos em um conjunto
gozam de uma mesma propriedade (além da de pertencer
ao conjunto!).
Qualquer objeto que contenha a propriedade é um
elemento do conjunto e qualquer objeto que não tem a
propriedade não é um elemento.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Buquê de Rosas Grupo de pessoas
Dúzia de ovos
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
- Conceitos
• Pertinência – Notação:∈∈∈∈
Qualquer objeto que seja elemento de um conjunto é
dito pertencer aquele conjunto, ou ainda, o elemento x
possui o predicado P.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Exemplos:
Uma rosa pertence ao ∈∈∈∈
conjunto buquê de rosas.
∈∈∈∈ Uma pessoa pertence ao
conjunto grupo de pessoas
Um ovo pertence ao
conjunto dúzia de ovos. ∈∈∈∈
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
- Conceitos
Se o elemento x não pertence ao conjunto, denota-
se por ∉∉∉∉, que também pode ser equivalente a dizer que x
não está no conjunto, ou ainda que x não possui o
predicado P.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Exemplos:
Uma rosa não pertence ao ∉∉∉∉
conjunto grupo de pessoas.
∉∉∉∉ Uma pessoa não pertence
ao conjunto dúzia de ovos.
Um ovo não pertence ao ∉∉∉∉
conjunto buquê de rosas.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
- Notação
Usamos letras maiúsculas para denotarem conjuntos e
chaves para indicá-los.
- Para o conjunto das vogais, temos:
A = {a,e,i,o,u}
Em relação aos elementos i e h, podemos afirmar que:
i ∈ A e h ∉ A.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Ainda para o conjunto das vogais:
{a,e,i,o,u} ou {e,i,a,o,u} ou {i,a,e,o,u} etc.
Como um conjunto é uma coleção não-ordenada de
objetos, a ordem na qual os elementos são escritos não
importa!
Dois conjuntos são iguais se contêm os mesmos
elementos!
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Como definir um conjunto?
1. Listando (ou listando parcialmente) os elementos:
Conjunto das vogais: A = {a,e,i,o,u}
2. Indicando um padrão (normalmente para conjuntos
infinitos):
P = {2, 4, 6, 8, ...}
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Como definir um conjunto?
3. Descrevendo uma propriedade P que caracterize o
conjunto de elementos:
A={x|x é um inteiro e 3 < x < 7}
S={x|x é solução para x2 – 4 = 0}
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
• Conjunto Universo – Notação: U
Chama-se Conjunto Universo ou simplesmente
Universo de uma Teoria a todos os entes que são
considerados como elementos nesta Teoria.
Exemplo: em geometria, o Universo é o conjunto de todos
os pontos.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
• Conjunto Universo – Notação: U
U
A B
C
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjuntos Importantes
• ∅: ∅ = { }, o conjunto vazio (observe que Φ ≠ {Φ}).
• N : números naturais: {0, 1, 2, 3, . . .}.
• Z : números inteiros: {. . . , − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, . . .}
• Q : números racionais: {x/y : x ∈ Z e y ∈ Z e y ≠ 0} .
• R: números reais.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjuntos Importantes
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjunto Potencia: P(A)
Dado um conjunto arbitrário, é possível construir
novos conjuntos cujos elementos são partes do
conjunto inicial.
Sendo A um conjunto qualquer, de nota-se por P(A) o
conjunto constituído por todos os subconjuntos de A,
isto é: P(A) = { X : X ⊆⊆⊆⊆ A}
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Complemento:
Dado um conjunto A qualquer, o conjunto
complementar de A em relação ao Universo é formado por
todos os elementos do Universo que não pertencem ao
conjunto A.
O conjunto complementar de A será:
A’ ou Ā.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Complemento:
A
U
A’
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjuntos Finitos e Infinitos
Podemos dizer que um conjunto é finito se for
possível contar os seus elementos, ou seja, se for o
conjunto vazio ou se for possível estabelecer uma
correspondência entre os seus elementos.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjuntos Finitos e Infinitos
Exemplo: O conjunto dos números inteiros positivos
inferiores a 10:
A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} CONJUNTO FINITO
Exemplo: O conjunto dos números pares:
B = {2,4,6,8,10,12,...} CONJUNTO INFINITO
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Operações sobre Conjuntos
• União:
A∪B = {x | x ∈ A ou x ∈ B }
Diagrama de Venn :
AUB
A B
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Operações sobre Conjuntos
• Intersecção:
A∩B = {x | x ∈ A ou x ∈ B }
Diagrama de Venn :
A∩B
A B
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Operações sobre Conjuntos
• Intersecção:
Quando a intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto
vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.
A ∩ B = øA B
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Operações sobre Conjuntos
• Diferença:
A-B = {x | x ∈ A ou x ∉ B }
Diagrama de Venn :
A-B
A BA
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Relações entre conjuntos
• Igualdade: Dois conjuntos são iguais se e somente se
tiverem os mesmos elementos.
Se um conjunto A for igual a um conjunto B escreve-se:
A = B
Para verificar se dois conjuntos são iguais basta
verificar se todo o elemento de A é elemento de B e se todo
o elemento de B é elemento de A.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Relações entre conjuntos
Exemplo: Verificar se os conjuntos A, B e C são iguais.
A = {u, e, a, o}
B = {a, e, i, o, u}
C = {i, u, a, o, e}
A ≠ B; A ≠ C; B = C
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Relações entre conjuntos
• Continência - Notação: ⊆⊆⊆⊆
Se todo o elemento de A também for elemento de B
(independentemente do fato de todo o elemento de B poder
ser ou não elemento de A) podemos dizer que o conjunto A
está contido no conjunto B.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Relações entre conjuntos
Exemplo: Sejam os conjuntos:
A = {u, e, a, o}
B = {a, e, i, o, u}
C = {i, u, a, o, e}
Podemos dizer: A ⊆⊆⊆⊆ B e A ⊆⊆⊆⊆ C
Neste caso, também podemos dizer que
A é subconjunto de B.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Relações entre conjuntos
Representação
A = {1,3,5,7,9}
B = {3,5}
B ⊆ A
B é subconjunto de A
1
9
7
3
5
A
B
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
• C é subconjunto de B;
• B é subconjunto de A; então,
• C é subconjunto de A; e
A, B e C são subconjuntos de U!
CA
B
U
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
• C ⊆ B; C ⊆ A; C ⊆ U
• B ⊆ A; B ⊆ U
• A ⊆ U
CA
B
U
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Exercícios
Faça a representação dos conjuntos abaixo em forma de
lista:
a) A = {x ∈ N | x é impar},
b) B = {x ∈ Z | – 3 ≤ x < 4}
c) C = {x ∈ Z | x < 6}
a) A= {1,3,5,7,9,11,...}
b) B = {-3,-2,-1,0,1,2,3}
c) C = {..., -2,-1,0,1,2,3,4,5}
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Exercícios
Determine os conjuntos A, B e C:
A = {0,1,2,3}
B = {2,3,5,6,7}
C = {2,4,5,8,9}
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Determine :
a)AUB
b)BUC
c)AUC
d)AUBUC
e)A∩B
f)A∩C
g)B∩C
h)A∩B∩C
i)(A ∩ B) U (B ∩ C)
j)A ∩ C U B
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Exercícios
a)AUB = {0,1,2,3,4,5,6,7}
b) BUC = {2,3,4,5,6,7,8,9}
c) AUC = {0,1,2,3,4,8,9}
d)AUBUC = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Exercícios
e) A∩B = {2,3}
f) A ∩C = {2,4}
g) B ∩C = {2,5}
h) A ∩B ∩C = {2}
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Exercícios
i)(A ∩ B) U (B ∩ C)
A∩B = {2,3}
B ∩C = {2,5}
(A ∩ B) U (B ∩ C) = {2,3,5}
j) A ∩ C U B
A ∩C = {2,4}
A ∩ C U B = {2,3,4,5,6,7}
![Page 49: MATEMÁTICA DISCRETA –AULA 1](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022012023/6169d6ac11a7b741a34bee66/html5/thumbnails/49.jpg)
Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Exercício: Em um vôo proveniente de Miami, a ANVISA
constatou que dentre todas as pessoas a bordo
(passageiros e tripulantes) algumas haviam passado pela
cidade do México.
Sejam os conjuntos:
U = {todas as pessoas que estavam a bordo}.
M = {pessoas que passaram pelo México}.
A = {pessoas com sintomas da gripe influenza A}.
P = {passageiros do vôo}.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Escreva a expressão em conjuntos e elabore o diagrama
de Venn para as proposições:
(A) Passageiros com sintomas da gripe que não passaram
pela cidade do México.
(B) Passageiros com sintomas da gripe que passaram pela
cidade do México.
(C) Tripulantes com sintomas da gripe que passaram pela
cidade do México.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
(D) Tripulantes com sintomas da gripe que não passaram
pela cidade do México.
(E) Tripulantes sem sintomas da gripe que passaram pela
cidade do México.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Pessoas à bordo - U
SintomasInf. A - A
PassageirosP
Passarampelo México
M
U = {todas as pessoas que estavam a bordo}.
M = {pessoas que passaram pelo México}.
A = {pessoas com sintomas da gripe influenza A}.
P = {passageiros do vôo}.
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Pessoas à bordo - U
SintomasInf. A - A
PassageirosP
Passarampelo México
M
U = {todas as pessoas que estavam a bordo}.
M = {pessoas que passaram pelo México}.
A = {pessoas com sintomas da gripe influenza A}.
P = {passageiros do vôo}.
![Page 54: MATEMÁTICA DISCRETA –AULA 1](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022012023/6169d6ac11a7b741a34bee66/html5/thumbnails/54.jpg)
Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Pessoas à bordo - U
SintomasInf. A - A
PassageirosP
Passarampelo México M
![Page 55: MATEMÁTICA DISCRETA –AULA 1](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022012023/6169d6ac11a7b741a34bee66/html5/thumbnails/55.jpg)
Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
(A) Passageiros com sintomas da gripe que não passaram
pela cidade do México.Pessoas
à bordo - U
SintomasInf. A - A
PassageirosP
Passarampelo México M
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
(B) Passageiros com sintomas da gripe que passaram pela
cidade do México.Pessoas
à bordo - U
SintomasInf. A - A
PassageirosP
Passarampelo México M
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
(C) Tripulantes com sintomas da gripe que passaram pela
cidade do México.Pessoas
à bordo - U
SintomasInf. A - A
PassageirosP
Passarampelo México M
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
(D) Tripulantes com sintomas da gripe que não passaram
pela cidade do México.Pessoas
à bordo - U
SintomasInf. A - A
PassageirosP
Passarampelo México M
![Page 59: MATEMÁTICA DISCRETA –AULA 1](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022012023/6169d6ac11a7b741a34bee66/html5/thumbnails/59.jpg)
Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
(E) Tripulantes sem sintomas da gripe que passaram pela
cidade do México.Pessoas
à bordo - U
SintomasInf. A - A
PassageirosP
Passarampelo México M
![Page 60: MATEMÁTICA DISCRETA –AULA 1](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022012023/6169d6ac11a7b741a34bee66/html5/thumbnails/60.jpg)
Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Exercícios
Um programa de busca da internet tem o seguinte conjunto
em seu banco de dados:
A = {automóveis à venda}. A possui os subconjuntos:
B= {carros usados}
C = {carros Ford}
D = {carros Volkswagen}
E= {modelos anteriores1995}
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Exercícios
Você quer procurar todas as referências sobre carros
usados, Ford ou Volkswagen, modelo 1995 ou mais novos.
Qual é a expressão que representa a sua pesquisa em
notação de teoria de conjuntos?
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
A = {automóveis à venda} com subconjuntos
B= {carros usados}, C = {carros Ford},
D = {carros Volkswagen}, E= {modelos anteriores a 1995}
Automóveis à venda
Carrosusados
CarrosFord
CarrosVolkswagen
anterioresa 1995
![Page 63: MATEMÁTICA DISCRETA –AULA 1](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022012023/6169d6ac11a7b741a34bee66/html5/thumbnails/63.jpg)
Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
A = {automóveis à venda} com subconjuntos
B= {carros usados}, C = {carros Ford},
D = {carros Volkswagen}, E= {modelos anteriores a 1995}
Automóveis à venda - A
CarrosUsados - B
CarrosFord - C
CarrosVolkswagen
D
anterioresa 1995 - E
![Page 64: MATEMÁTICA DISCRETA –AULA 1](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022012023/6169d6ac11a7b741a34bee66/html5/thumbnails/64.jpg)
Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
A = {automóveis à venda} com subconjuntos
B= {carros usados}, C = {carros Ford},
D = {carros Volkswagen}, E= {modelos anteriores a 1995}
Automóveis à venda - A
CarrosUsados - B
CarrosFord - C
CarrosVolkswagen
D
anterioresa 1995 - E
CONJUNTOUNIVERSO
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Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Automóveis à venda - A
CarrosUsados -B
CarrosFord - C
CarrosVolkswagen
D
anterioresa 1995 - E
![Page 66: MATEMÁTICA DISCRETA –AULA 1](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022012023/6169d6ac11a7b741a34bee66/html5/thumbnails/66.jpg)
Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Automóveis à venda - A
CarrosUsados -B
CarrosFord - C
CarrosVolkswagen
D
Anterioresa 1995 -E
![Page 67: MATEMÁTICA DISCRETA –AULA 1](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022012023/6169d6ac11a7b741a34bee66/html5/thumbnails/67.jpg)
Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Automóveis à venda - A
CarrosUsados -B
CarrosFord - C
CarrosVolkswagen
D
Anterioresa 1995 -E
![Page 68: MATEMÁTICA DISCRETA –AULA 1](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022012023/6169d6ac11a7b741a34bee66/html5/thumbnails/68.jpg)
Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Carros usados, Ford ou Volkswagen, modelo 1995
ou mais novos.
Automóveis à venda - A
CarrosUsados -B
CarrosFord - C
CarrosVolkswagen
D
Anterioresa 1995 -E
![Page 69: MATEMÁTICA DISCRETA –AULA 1](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022012023/6169d6ac11a7b741a34bee66/html5/thumbnails/69.jpg)
Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Carros usados, Ford ou Volkswagen, modelo
1995 ou mais novos.
Automóveis à venda - A
CarrosUsados -B
CarrosFord - C
CarrosVolkswagen
D
Anterioresa 1995 -E
![Page 70: MATEMÁTICA DISCRETA –AULA 1](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022012023/6169d6ac11a7b741a34bee66/html5/thumbnails/70.jpg)
Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Carros usados, Ford ou Volkswagen, modelo
1995 ou mais novos.
Automóveis à venda - A
CarrosUsados -B
CarrosFord - C
CarrosVolkswagen
D
Anterioresa 1995 -E
![Page 71: MATEMÁTICA DISCRETA –AULA 1](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022012023/6169d6ac11a7b741a34bee66/html5/thumbnails/71.jpg)
Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Carros usados, Ford ou Volkswagen, modelo
1995 ou mais novos.
Automóveis à venda - A
CarrosUsados -B
CarrosFord - C
CarrosVolkswagen
D
Anterioresa 1995 -E
![Page 72: MATEMÁTICA DISCRETA –AULA 1](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022012023/6169d6ac11a7b741a34bee66/html5/thumbnails/72.jpg)
Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
((C∩B) – (C∩E) U (D∩B) – (D∩E))
Automóveis à venda - A
CarrosUsados -B
CarrosFord - C
CarrosVolkswagen
D
Anterioresa 1995 -E