17/03/2015 Matemática em Exercícios.com - A matemática na prática | Ensino Médio | Pré-vestibular | Concursos | ENEM

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

1 - (Acafe – SC) Ao inserir 7 meios aritméticos entre 11 e 43, a razão da P.A é:a)2

b)4

c)3 d)6

e)5

Resolução:

Se foram inserido 7 termos entre 11 e 43, o número de termos será 9, o primeiro termo é 11 e o último termo é 43.n = 9

An = 43

A1 = 11

Usando o termo geral:

An = A1 + (n-1)r

A9 = A1 + (9 – 1)r

43 = 11 + 8r

43 – 11 = 8r32 = 8r

r = 32 8

r = 4

Gabarito Letra: B

2 - (UEM-PR) O sétimo termo de uma progressão aritmética é 20 e o décimo é 38. Então, o vigésimo termo é:

Resolução:Primeiro montamos o termo geral com cada termo fornecido:

A7=A1+(7-1).r / A10=A1+(10-1).r20=A1+6r / 38=A1+9r

Como temos dois valores desconhecidos e duas equações montamos um sistema e encontramos a razão e o primeiro termo:(-1) . -20=-A1-6r 1 relação

38= A1+9r 2 relação

18=3r r=6

Aplicando r na primeira relação:20=A1+6r

20=A1+6.6

20=A1+36

A1=-16

Com todos os valores necessários encontramos o A20 pedido na questão:

A20=-16+19.6A20=-16+114

A20=98

3 - (UDESC) Determinar os cinco primeiros termos da progressão aritmética cuja soma é Sn=2n(n+2).

Resolução:

Desenvolvendo Sn temos 2n²+4n. Trocando n por 1 temos a soma do primeiro termo, portanto, o próprio A1:

S1 = 2.1² + 4.1S1 = 2+4

S1 = 6

Para termos a razão e determinarmos os valores restantes fazemos a soma dos dois primeiros termos:S2 = 2.2² + 4.2

S2 = 8+8

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S2 = 16

Como sabemos que A1 = 6 e que a soma dos 2 primeiros é 16, obtemos A2 = 10.

Na progressão aritmética a razão é a diferença entre dois termos consecutivos:r = A2-A1

r = 10-6

r = 4

Com razão 4, sabemos que a progressão aumenta 4 a cada termo. Assim determinamos os cinco primeiros facilmente:

Resposta: {6,10,14,18,22}

4 - (MACK-SP) O valor de R para que a sequência (r-1,3r-1,r-3) seja uma P.A é:

a)-1

b)-1/2c)1

d)1/2

e)2

Resolução:r-1+r-3 = 3r-1 2

2(3r-1) = r-1+r-36r-2 = r-1+r-36r-r-r = -1-3+2

4r = -2r = -2 = -1

4 2

Gabarito letra: B

5 - Dada a progressão aritmética a seguir, determine o que se pede:

( 5 – x , 3x + 1 , 2x + 7 , ... , 20x + 15 )

a) A razão da P.A.b) O 11º termo da P.A.

c) O número de termos da P.A.d) A soma dos 10 primeiros termos da P.A.

Resolução:a) (5 - x) + (2x+7) = 3x + 1

22(3x+1) = x + 126x + 2 = x + 12

6x - x = 12 - 25x = 10

x = 10 5x = 2

Na sequência:( 5 – x , 3x + 1 , 2x + 7 , ... , 20x + 15 )

( 5 – 2 , 3.2 + 1 , 2.2 + 7 , ... , 20.2 + 15 )( 3 , 7 , 11 , ... , 55 )

Assim a razão será:r = A2 - A1

r = 7 - 3r = 4

b) ( 3 , 7 , 11 , ... , 55 )

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O 11º termo será:

An = A1 + (n - 1)rA11 = 3 + (11-1)4

A11 = 3 + 40

A11 = 43

c) ( 3 , 7 , 11 , ... , 55 )

O número de termos é n:

An = A1 + (n - 1)r

55 = 3 + (n - 1)455 = 3 + 4n - 455 - 3 + 4 = 4n

56 = 4nn = 56 4

n = 14

d) A soma dos 10 primeiros termos:

Sn = (A1 + An)n

2

Como temos a soma dos 10 primeiros termos, n=10.

Precisamos agora encontrar A10 para substituir pelo An da soma.

An = A1 + (n - 1)rA10 = 3 + (10-1)4

A10 = 39

Efetuando a soma:

S10 = (3 + 39).10

2

S10 = 42.5

S10 = 210