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MATEMÁTICA FINANCEIRA

Didatismo e Conhecimento 1


JUROS E CAPITALIZAÇÃO SIMPLES: CONCEITOS DE JURO, CAPITAL E TAXA DE JUROS; CAPITALIZAÇÃO SIMPLES;

CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA: MONTANTE E VALOR ATUAL PARA PAGAMENTO ÚNICO; EQUIVALÊNCIA DE TAXAS.

A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.

Capital: é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).

Juros: representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados se-gundo dois regimes: simples ou compostos.

Juros (Capitalização) Simples: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

Juros (Capitalização) Compostos: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para em-préstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.

Quando usamos juros simples e juros compostos?

A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, com-pras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regi-me de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

Taxa de juros: indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do pe-ríodo de tempo a que se refere:

8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que

é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %: Juros Simples O regime de juros será simples quando o percentual de juros

incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou sim-plesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos: J = P . i . n

Onde:J = jurosP = principal (capital)i = taxa de jurosn = número de períodos

Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:

J = 1000 x 0.08 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.

Montante = Principal + JurosMontante = Principal + (Principal x Taxa de juros x Número

de períodos)

M = P . ( 1 + ( i . n ) ) Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de

R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.

Solução:

M = P . ( 1 + (i.n) )M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42

Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.



Exercícios sobre juros simples:

1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.

0.13 / 6 = 0.02167logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195j = 1200 x 0.195 = 234

2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.

Temos: J = P.i.nA taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma uni-

dade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente: J = 40000.0,001.125 = R$5000,00

3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?

Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)

Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses.

Logo, 3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem: P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67

4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

Objetivo: M = 2.PDados: i = 150/100 = 1,5Fórmula: M = P (1 + i.n)

Desenvolvimento:2P = P (1 + 1,5 n)2 = 1 + 1,5 nn = 2/3 ano = 8 meses

0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

Juros Compostos

O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.

Após três meses de capitalização, temos:

1º mês: M =P.(1 + i)2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M =

P x (1 + i) x (1 + i)3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M =

P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)

Simplificando, obtemos a fórmula: M = P . (1 + i)n

Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. Para calcu-larmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período: J = M - P

Exemplo: Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês. (use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)

Resolução:P = R$6.000,00t = 1 ano = 12 mesesi = 3,5 % a.m. = 0,035M = ?

Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:

M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12

Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos:

log x = log 1,03512 → log x = 12 log 1,035 → log x = 0,1788 → x = 1,509

Então M = 6000.1,509 = 9054.Portanto o montante é R$9.054,00

Exercícios

1) Comprei um novo computador, mas como não tinha o di-nheiro todo, fiz um empréstimo para pagá-lo. Ao final do emprés-timo terei pago R$ 4.300,00. Só de juros pagarei R$ 1.800,00. A taxa foi de 3% a.m. Por quantos anos pagarei pelo empréstimo? Qual o preço do computador sem os juros?

Primeiramente iremos calcular o valor do capital. A diferença entre o montante (R$ 4.300,00) e o valor total do

juro (R$ 1.800,00), nos dá o valor do capital:

Veja que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Neste caso, devemos converter uma das unidades.



Montando uma regra de três simples direta, temos:

↓ 3% ------------- ½ ano (1 mês)i % ------------ 1ano

Resolvendo:

Identificando-se os termos disponíveis, temos:

C= R$ 2.500,00i= 3% a.m.→ 36% a.a. → a.a. → 0,36 a.a.j= R$ 1.800,00

Para calcularmos o período de tempo utilizaremos a fórmula:

Substituindo o valor dos termos temos:

Logo:

Portanto: O valor do computador sem os juros era de R$ 2.500,00 e o prazo de pagamento foi de 2 anos.

Sem utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mesmo re-sultado, pelo seguinte raciocínio:

Ao multiplicarmos o valor do capital pela taxa de juros, ire-mos obter o juro referente a cada período:

Neste caso, basta-nos dividir o valor de R$ 1.800,00, referente ao valor total do juro, por R$ 900,00 correspondente ao valor do juro em cada período, obtendo assim o período de tempo procu-rado:

2) Comprei o material para a reforma da minha casa, pelo

qual pagarei um total de R$ 38.664,00. O seu valor à vista era de R$ 27.000,00 e a taxa de juros é de 2,4% a.m. Por quantos anos eu pagarei por este material?

Em primeiro lugar, devemos calcular o valor do juro total. Obtemos o valor do juro total ao subtrairmos do montante

(R$ 38.664,00), o valor do capital (R$ 27.000,00):

Observe que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Nestas condições, devemos conver-ter uma das unidades.


↓ 2,4% ------------- ½ ano (1 mês) ↓i % ------------ 1ano

Resolvendo:

Identificando-se as variáveis disponíveis, temos:

C= R$ 27.000,00i= 2,4% a.m.→ 28,8% a.a. → a.a. → 0,288 a.a.j= R$ 11.664,00



Logo: Portanto: Eu ficarei pagando pelo material da reforma por

1,5 anos. Sem utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mesmo re-

sultado, pelo seguinte raciocínio: Ao multiplicarmos o valor do capital pela taxa de juros, ire-

mos obter o juro referente a cada período:

Desta forma, basta-nos dividir o valor de R$ 11.664,00, re-ferente ao valor total do juro, por R$ 7.776,00 correspondente ao valor do juro em cada período, obtendo assim o período de tempo procurado:

3) Aninha retirou de uma aplicação o total R$ 74.932,00,

após decorridos 3,5 semestres. O valor dos juros obtidos foi de R$ 22.932,00. Qual a taxa de juros a.b.?

Inicialmente o valor do capital será obtido subtraindo-se do montante (R$ 74.932,00), o valor total do juro (R$ 22.932,00):



M= R$74.932,00j= R$ 22.932,00 C = M – j → C = 74.932,00 – 22.932,00 → C = 52.000,00

Veja bem que neste caso a taxa de juros e o período não es-tão na mesma unidade de tempo. Sendo assim, devemos converter uma das unidades.


↓ 3 bimestres ------------- 1 semestre ↓n bimestres ------------ 3,5 semestres

Resolvendo:


Para calcularmos a taxa de juros utilizaremos a fórmula:


Logo:

Portanto: 4,2% a.b. é a taxa de juros da aplicação na qual Ani-nha investiu. Alternativamente poderíamos dividir o valor total dos juros, R$ 22.932,00, pelo valor do principal, R$ 52.000,00, de sorte a encontrar a taxa de juros total do período:

Dividindo-se então, esta taxa de 0,441 pelo período de tempo, 10,5, obteríamos a taxa desejada:

4) O valor principal de uma aplicação é de R$ 2.000,00. Res-gatou-se um total de R$ 2.450,00 após 1 mês. Qual o valor da taxa de juros a.d.?

Para começar, devemos calcular o valor do juro total subtrain-do-se do montante (R$ 2.450,00), o valor do capital (R$ 2.000,00):

C= R$ 2.000,00j= R$ 450,00 n = 1 mês → 30 dias

Esteja atento que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Quando isto acontece, devemos converter uma das unidades.




Logo:

Portanto: A taxa de juros da aplicação resgatada é de 0,75% a.d.

Alternativamente poderíamos dividir o valor total dos juros, R$ 450,00, pelo valor do principal, R$ 2.000,00, de forma a encon-trar a taxa de juros total do período:

Dividindo-se então, esta taxa de 0,225 pelo período de tempo, 30, obteríamos a taxa desejada:

5) Timóteo pagou mensalmente, pelo período de 1 ano, por um curso que à vista custava R$ 1.800,00. Por não ter o dinheiro, financiou-o a uma taxa de juros simples de 1,3% a.m. Qual o valor total pago pelo curso? Qual o valor dos juros?

Veja que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo.



Neste caso, devemos converter uma das unidades. Identifican-do-se os termos disponíveis, temos:

C= R$ 1.800,00i= 1,3% a.m. → a.m. → 0,013 a.m.n = 1 ano → 12 meses

Para calcularmos o juro utilizaremos a fórmula: j = C . i . n

Substituindo o valor dos termos temos: j = 1.800,00. 0,013 . 12

Logo: j = 280,80

O montante é obtido somando-se ao valor do capital, o valor total dos juros. Tal como na fórmula: M = C+ j

Ao substituirmos o valor dos termos temos: M = 1.800,00 + 280,80 → M= 2.080,80

Portanto: o valor dos juros foi de R$ 280,80, que acrescentado ao preço do curso de R$ 1.800,00, totalizou R$ 2.080,80. Ao invés de utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mesmo resultado, apenas pela aplicação de alguns conceitos. Como sabemos, o juro referente a cada período é calculado multiplicando-se o valor do capital pela taxa de juros. Então o valor do juro por período seria: 1.800,00 . 0,013 → 23,40

Ora, sendo o valor do juro em cada período correspondente a R$ 23,40, resta-nos multiplicar este valor por 12, correspondente ao período de tempo, para termos o valor procurado: 23,40 . 12 → 280,80

O valor do montante será encontrado, simplesmente soman-do-se ao valor do principal, o valor total dos juros: 1.800,00 + 280,80 → 2.080,80

6) Um aplicador investiu R$ 35.000,00 por 1 semestre, à taxa de juros simples de 24,72% a.a. Em quanto o capital foi aumentado por este investimento?

Observe que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Nestas condições, devemos conver-ter uma das unidades. Montando uma regra de três simples direta, temos:

↓ 24,72% ------------- 2 semestres (1 ano) ↓ i % ------------ 1 semestreResolvendo:


C= R$ 35.000,00i= 24,72% a.a. → 12,36% a.s. → a.s → 0,1236 a.s.n = 1 semestre

Para calcularmos o juro utilizaremos a fórmula:


Logo:

Portanto: Com investimento o capital aumentou R$ 4.326,00. Ao invés de utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mes-

mo resultado, apenas pela aplicação de alguns conceitos. Como sabemos, o juro referente a cada período é calculado

multiplicando-se o valor do capital pela taxa de juros. Então o va-lor do juro por período seria:

Ora, sendo o valor do juro em cada período correspondente a R$ 4.326,00, resta-nos multiplicar este valor por 1, correspondente ao período de tempo, para termos o valor procurado:

7) Em uma aplicação recebi de juros R$ 141,75. O dinheiro

ficou aplicado por 45 dias. Eu tinha aplicado R$ 3.500,00. Qual foi a taxa de juros a.a. da aplicação?






No entanto, como a unidade de tempo da taxa solicitada está em anos (‘a.a.’) e o cálculo foi realizado na unidade do período de tempo que está em ‘dias’, devemos converter a unidade de tempo da taxa calculada de a.d. (‘dias’) para a.a. (‘anos’).

Logo:

↓ i ------------- 360 dias (1 ano) ↓ 0,0009 ------------ 1 dia

Resolvendo:

Portanto: 32,4% a.a. foi a taxa de juros simples da aplicação. Alternativamente poderíamos dividir o valor total dos juros,

R$ 141,75, pelo valor do principal, R$ 3.500,00, de forma a encon-trar a taxa de juros total do período:

Dividindo-se então, esta taxa de 0,0405 pelo período de tem-po, 45, obteríamos a taxa desejada:

Resta ainda converter a taxa de juros para a unidade de tempo solicitada, o que pode ser feito se realizando o procedimento de conversão conforme efetuado acima.

8) Maria realizou uma aplicação por um período de 1 bi-mestre. Em tal período o capital de R$ 18.000,00 rendeu a ela R$ 1.116,00 de juros. Qual foi a taxa de juros a.a. utilizada?




No entanto, como a unidade de tempo da taxa solicitada está em anos (‘a.a.’) e o cálculo foi realizado na unidade do período de tempo que está em ‘bimestres’, devemos converter a unidade de tempo da taxa calculada de a.b. (‘bimestres’) para a.a. (‘anos’).

Logo:

↓ i ------------- 6 bimestres (1 ano) ↓ 0,062 ------------ 1 bimestreResolvendo:

Portanto: A aplicação de Maria Gorgonzola foi realizada à uma taxa de juros simples de 37,2% a.a. Alternativamente pode-ríamos dividir o valor total dos juros, R$ 1.116,00, pelo valor do principal, R$ 18.000,00, de maneira a encontrar a taxa de juros total do período:

Dividindo-se então, esta taxa de 0,062 pelo período de tempo, 1, obteríamos a taxa desejada:

Resta ainda converter a taxa de juros para a unidade de tempo solicitada, o que pode ser feito se realizando o procedimento de conversão conforme efetuado acima.

9) Maria recebeu R$ 5.000,00 de juros, por um empréstimo de 1 mês. A taxa de juros aplicada foi de 37,5% a.a. Quanto Maria havia emprestado?

Veja que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Neste caso, devemos converter uma das unidades. Montando uma regra de três simples direta, temos:

↓ 37,5% ------------- 12 meses (1 ano) ↓ i% ------------ 1 mês

Resolvendo:




i= 37,5% a.a. → 3,125% a.m. → a.m. → 0,03125 a.m.j= R$ 5.000,00n = 1 mês

Para calcularmos o capital vamos utilizar a fórmula:

C =


C =

Logo: C = 160.000,00Portanto: Maria havia emprestado R$ 160.000,00, pelo qual

recebeu R$ 5.000,00 de juros, à taxa de 37,5% a.a. pelo período de 1 mês. Poderíamos chegar à mesma conclusão pela seguinte forma: Se dividirmos o valor total dos juros pelo período de tempo, iremos obter o valor do juro por período:

Portanto, ao dividirmos o valor do juro por período, R$ 5.000,00, pela taxa de juros de 3,125%, iremos obter o valor do capital:

10) Ambrózio recebeu R$ 1.049,60 de juros ao aplicar R$ 8.200,00 à taxa de 19,2% a.s. Qual foi o prazo da aplicação em meses?

Observe que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Nestas condições, devemos conver-ter uma das unidades.


↓ 19,2% ------------- 6 meses (1 semestre) ↓ i% ------------ 1 mês

Resolvendo:


C = R$ 8.200,00i= 19,2% a.s. → 3,2% a.m. →

a.m. → 0,032 a.m.j= R$ 1.049,60



Logo:

Portanto: O prazo da aplicação foi de 4 meses. Aplicação esta que rendeu a Ambrózio R$ 1.049,60 de juros ao investir R$ 8.200,00 à taxa de 19,2% a.s.

Sem utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mesmo re-sultado, pelo seguinte raciocínio:

Ao multiplicarmos o valor do capital pela taxa de juros, ire-mos obter o juro referente a cada período:

Neste caso, basta-nos dividir o valor de R$ 1.049,60, referente ao valor total do juro, por R$ 262,40 correspondente ao valor do juro em cada período, obtendo assim o período de tempo procu-rado:

11) Aplicando-se R$ 15.000,00 a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., quanto receberei de volta após um ano de aplicação? Qual o juro obtido neste período?

Primeiramente vamos identificar cada uma das variáveis for-necidas pelo enunciado do problema:

Como a taxa de juros está em meses, também iremos trabalhar com o período de tempo em meses e não em anos como está no enunciado do problema.

Pelo enunciado identificamos que foram solicitados o mon-tante e o juro, utilizaremos, portanto a fórmula abaixo que nos dá o montante:



Ao substituirmos cada uma das variáveis pelo seu respectivo valor teremos:

Podemos então realizar os cálculos para encontramos o valor do montante:

Logo o montante a receber será de R$ 18.362,96. Sabemos que a diferença entre o montante e o capital aplicado nos dará os juros do período. Temos então:

Portanto: Após um ano de aplicação receberei de volta um to-tal de R$ 18.362,96, dos quais R$ 3.362,96 serão recebidos a título de juros.

12) Paguei de juros um total R$ 2.447,22 por um

empréstimo de 8 meses a uma taxa de juro composto de 1,4% a.m. Qual foi o capital tomado emprestado? Calculando o valor da entrada para financiar a compra do seu carro a partir do valor da prestação

Em primeiro lugar vamos identificar as variáveis fornecidas pelo enunciado:

Como sabemos a fórmula básica para o cálculo do juro com-posto é:

Mas como estamos interessados em calcular o capital, é me-lhor que isolemos a variável C como a seguir:

Note que a variável M não consta no enunciado, mas ao invés disto temos a variável j, no entanto sabemos que o valor do mon-tante é igual à soma do valor principal com o juro do período, então temos:

Podemos então substituir M por C + j na expressão anterior:

Vamos então novamente isolar a variável C:

Finalmente podemos substituir as variáveis da fórmula pelos valores obtidos do enunciado:

Logo: O capital tomado emprestado foi de R$ 20.801,96. 13) Planejo emprestar R$ 18.000,00 por um período de

18 meses ao final do qual pretendo receber de volta um total de R$ 26.866,57. Qual deve ser o percentual da taxa de juro composto para que eu venha a conseguir este montante?

Do enunciado identificamos as seguintes variáveis:

A partir da fórmula básica para o cálculo do juro composto iremos isolar a variável i, que se refere à taxa de juros que estamos em busca:



Como já vimos na parte teórica, esta variável pode ser isolada com os seguintes passos:

Por fim substituiremos as variáveis da fórmula pelos valores obtidos do enunciado:

O valor decimal 0,0225 corresponde ao valor percentual de 2,25%. Logo: Para que eu venha obter o montante desejado, é pre-ciso que a taxa de juro composto seja de 2,25% a.m.

4) Preciso aplicar R$ 100.000,00 por um período de quantos meses, a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., para que ao final da aplicação eu obtenha o dobro deste capital?

Do enunciado identificamos as seguintes variáveis:

Tendo por base a fórmula básica para o cálculo do juro com-posto isolemos a variável n, que se refere ao período de tempo que estamos a procura:

Substituindo o valor das variáveis na fórmula:

Assim sendo: Para que eu consiga dobrar o valor do meu ca-pital precisarei de 41,12 meses de aplicação.

5) Se um certo capital for aplicado por um único período a

uma determinada taxa de juros, em qual das modalidades de juros, simples ou composta, se obterá o maior rendimento? Na modalida-de de juros simples, temos que o montante pode ser obtido através da seguinte fórmula:

Mas como já sabemos, o juro é obtido através da fórmula:

Logo substituindo j na fórmula do montante, chegamos à se-guinte expressão:

Que após colocarmos C em evidência teremos:

Como o enunciado diz se tratar de apenas um período de apli-cação, ao substituirmos n por 1 e realizarmos a multiplicação, a fórmula ficará apenas como:

Já na modalidade de juros compostos, o montante é obtido através da fórmula:

Com a substituição de n por 1, segundo o enunciado, chega-remos à expressão:

Como já era de se esperar, em ambas as modalidades chega-mos à mesma fórmula. Por quê?

Como sabemos, o que difere uma modalidade da outra é que no caso dos juros simples o juro não é integrado ao capital ao fi-nal de cada período, assim como acontece na modalidade de juros compostos.



Como há apenas um período, não há distinção entre uma mo-dalidade e outra, já que após a integração do juro ao valor princi-pal, não haverá um outro cálculo para um próximo período, por se tratar de apenas um período de aplicação.

Temos então que: Em qualquer uma das modalidades o rendi-mento será o mesmo.

Capitalização Contínua

Regime de capitalização é o processo de reinvestimento, ou não, dos juros de uma aplicação financeira. Durante o prazo de aplicação, os juros pagos após cada período de capitalização po-dem ser reinvestidos no próprio empréstimo (re-emprestados), ou não. Se forem re-emprestados, diz-se que os juros são capitaliza-dos, porque passam a integrar o capital do próximo período de capitalização. Existem basicamente três regimes de capitalização:

Capitalização simples - No regime de capitalização simples, ou juros simples, os juros pagos não são reinvestidos no emprésti-mo. Portanto, não são capitalizados.

Capitalização composta - No regime de capitalização com-posta, ou juros compostos, adiciona-se os juros pagos ao capital do empréstimo e volta-se a emprestar. Portanto, os juros são ca-pitalizados.

Capitalização contínua - No regime de capitalização contí-nua, os juros também são capitalizados, mas os períodos de capita-lização são considerados instantâneos, dando lugar a uma acumu-lação contínua de juros.

O regime mais utilizado é o da capitalização composta.

Capitalização Contínua

in = taxa nominal no período inteiroK = número de capitalizações que aparece na taxa nominal(

no período inteiro).Para n períodos temos:M = C.en. in , e=2,71828 número de Euler ; in = taxa instan-

tânea.

Exemplo:C = 500.000 n=2 anos in=10% a.s. cap. Contínua M=?M = C.en. in , M = 500.000 . e 4.0,10 M=745.912,3488

Exemplo 1

Uma taxa i=0.1 ao mês composta ao longo de um ano resul-ta em uma capitalização com taxa anual equivalente de j=2.45. De fato, (1+i)12=(1+j). A cada mês o montante do mês anterior é multiplicado pelo fator constante (1+i) e o montante Cn em função do capital inicial C0, o numero de períodos capitalizados e a taxa de juros i pode ser escrito como Cn=C0 (1+i)n.

A capitalização do capital é o momento em que aplicamos a taxa de juros sobre o montante devedor, a capitalização pode ocor-rer em tempos discretos (ao dia, ao mês, ao ano) ou ocorrer con-tinuamente no tempo. Precisamente, a capitalização discreta pode ser calculada da seguinte forma:

Exemplo 2

Seja um capital inicial de C0 rendendo a uma taxa i de juros anual por um período de n anos capitalizado k vezes ao ano. O montante após n períodos de capitalização Cn pode ser obtido pela expressão: Cn=C0 (1+i/k)nk.

Quando k=1 temos a capitalização de juros compostos mais simples, quando taxa de juros está na mesma frequencia da capita-lização. Observe que quanto maior k maior o montante capitaliza-do. Veremos a seguir que esse crescimento converge, isto é, capi-talizar continuamente não multiplicará o capital inicial por infinito, em verdade o fator multiplicador fica entre 2 e 3.

No exemplo acima temos que n, kєN se fizermos n,kєR e fi-zermos k→ obteremos uma capitalização instantânea do capital para uma taxa r.

Teorema

O montante Cn:R→R sobre um capital inicial C0 capitalizado continualmente ao longo do tempo a uma taxa i ao longo do tempo n>0 é dado por Cn=C0e

ni.

Prova:Aplicando o limite quando k→ em Cn=C0 (1+i)nk temos:

Fazendo a mudança de variável j=k/i temos k→ → j→ e k=j/i. Temos então:

Lembrando que lim j→ (1+1/j)j = e obtemos Cn=C0eni.

O valor da taxa instantânea i pode ser deduzido a partir da seguinte igualdade:

C0 (1+r)n = Cn= C0 eni → i = ln(1+r)



Demonstração do limite fundamental exponencial

Existe uma prova do limite fundamental que gostaria de com-partilhar com vocês. Essa prova usa apenas a definição de deriva-da. Suponhamos que exista um número e que desconhecemos seu valor, vamos provar que esse número existe e resulta de um limite.

Vamos definir a função ln como sendo o logaritmo na base e. Seja a função f:R+→R dada por f(x) = ln(x). Logo f′(x) = 1/x e portanto f′(1) = 1.

Por outro lado sabemos que (definição de derivada):

Logo,

Exponenciando ambos lados da equação por e e em seguida fazendo uma mudança de variável (j=1/t logo se j→0→j→) temos :

O número e ou número de Euller é um número irracional que vale aproximadamente 2,718 e pode ser calculado através da série de Taylor

O emprego de capitalização continua do capital pode maximi-zar o montante final. Quanto mais frequente as capitalizações maior o montante, observe no entanto que esse crescimento é conver-gente. As aplicações de capitalização continua são tratadas muito superficialmente na literatura acadêmica da área financeira e a falta de esclarecimento sobre a matéria permite encobrir a realidade das práticas bancárias. Acredito que uma mudança do ponto de vista dos exemplos poderia resolver o problema, abordando situações bancárias do ponto de vista do banco e não somente do tomador de crédito ou do pequeno financiador.

Descontos Simples e CompostosSão juros recebidos (devolvidos) ou concedidos quando o pa-

gamento de um título é antecipado. O desconto é a diferença entre o valor nominal (S) de um título na data do seu vencimento e o seu valor atual (C) na data em que é efetuado o pagamento, ou seja:

D = S - C

Os descontos são nomeados simples ou compostos em função do cálculo dos mesmos terem sido no regime de juros simples ou compostos, respectivamente.

Os descontos (simples ou compostos) podem ser divididos em:

- Desconto comercial, bancário ou por fora; - Desconto racional ou por dentro.

DESCONTOS: CONCEITO; DESCONTO SIMPLES (OU BANCÁRIO OU COMERCIAL); DESCONTO COMPOSTO.

Descontos Simples e CompostosSão juros recebidos (devolvidos) ou concedidos quando o pa-

gamento de um título é antecipado. O desconto é a diferença entre o valor nominal (S) de um título na data do seu vencimento e o seu valor atual (C) na data em que é efetuado o pagamento, ou seja:

D = S - C

Os descontos são nomeados simples ou compostos em função do cálculo dos mesmos terem sido no regime de juros simples ou compostos, respectivamente. Os descontos (simples ou compos-tos) podem ser divididos em:

- Desconto comercial, bancário ou por fora; - Desconto racional ou por dentro.Descontos Simples

Por Fora (Comercial ou Bancário). O desconto é calcula-do sobre o valor nominal (S) do título, utilizando-se taxa de juros simples

Df = S.i.t

É o desconto mais utilizado no sistema financeiro, para operações de curto prazo, com pequenas taxas. O valor a ser pago (ou recebido) será o valor atual C = S - Df = S - S.i.t , ou seja

C = S.(1- i.t)

Por Dentro (Racional). O desconto é calculado sobre o valor atual (C) do título, utilizando-se taxa de juros simples

Dd = C.i.t

Como C não é conhecido (mas sim, S) fazemos o seguinte cálculo:

C = S - Dd ==> C = S - C.i.t ==> C + C.i.t = S ==> C(1 + i.t) = S

C = S/(1 + i.t)Este desconto é utilizado para operações de longo prazo. Note

que (1 - i.t) pode ser nulo, mas (1 + i.t) nunca vale zero.

Descontos Compostos

O desconto (Dc) é calculado com taxa de juros compostos, considerando n período(s) antecipado(s):

Dc = S - C



onde, de S = C.(1 + i)n, tiramos que C = S/(1 + i)n

Questão 1. Um banco ao descontar notas promissórias, uti-liza o desconto comercial a uma taxa de juros simples de 12% a.m.. O banco cobra, simultaneamente uma comissão de 4% sobre o valor nominal da promissória. Um cliente do banco recebe R$ 300.000,00 líquidos, ao descontar uma promissória vencível em três meses. O valor da comissão é de:

Resposta:h = 0.04iB = 0.12 * 3

AB = N * [1-(iB * h)]300000 = N * [1-(0.12*3 * 0.04)]300000 = N * [1-0.4]N = 500000Vc = 0.04 * NVc = 0.04 * 500000Vc = 20000

Questão 2. O valor atual de um título cujo valor de venci-mento é de R$ 256.000,00, daqui a 7 meses, sendo a taxa de juros simples, utilizada para o cálculo, de 4% a.m., é:

Resposta:N = 256000n = 7 mesesi = 0.04 a.m.iB = n*i = 7*0.04 = 0.28A = N / (1+iB) = 256000 / 1.28 = 200000Questão 3. O desconto simples comercial de um título é de

R$ 860,00, a uma taxa de juros de 60% a.a.. O valor do desconto simples racional do mesmo título é de R$ 781,82, mantendo-se a taxa de juros e o tempo. Nesse as condições, o valor nominal do rótulo é de:

Resposta:Dc = 860Dr = 781.82Usando N = (Dc * Dr) / (Dc – Dr),N = (860 * 781.82) / (860 – 781.82) = 672365.2 / 78.18 =

8600.22

Questão 4. O valor atual de uma duplicata é de 5 vezes o valor de seu desconto comercial simples. Sabendo-se que a taxa de juros adotada é de 60% a.a., o vencimento do título expresso em dias é:

Resposta:i = 60% a.a. → i = 0.6 a.a.A = N – D (valor atual é o nominal menos o desconto)5D = N – D → N = 6DA = N * ( 1 – i*n)5D = 6D ( 1 – 0.6 * n)5 = 6 ( 1 – 0.6 * n)5 = 6 – 3.6 * n3.6 * n = 1n = 0.277 (anos)

n = 0.277 * 365 diasn = 101.105 dias

Questão 5. Uma empresa descontou em um banco uma du-plicata de R$ 600.000,00, recebendo o líquido de 516.000,00. Sabendo=se que o banco cobra uma comissão de 2% sobre o valor do título, que o regime é de juros simples comerciais. Sendo a taxa de juros de 96% a.a., o prazo de desconto da operação foi de:

Resposta:N = 600000Ab = 516000h = 0.02i = 0.96 a.a.Db = Db + N*hAb = N * [1 - (i*n+h)]516000 = 600000 * [1-(0.96*n+0.02)]0.8533 = 1 – 0.96*n – 0.020.8533 = 0.98 – 0.96*n0.96 * n = 0.1267n = 0.1319 anos ≈ 45 dias

Questão 6. O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% a.m., obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples:

Resposta:Dc = 600i = 0.05 a.m.n = 4

Dc = Dr * (1 + i*n)600 = Dr * (1 + 0.05*4)Dr = 600/1.2Dr = 500Questão 7 – O desconto racional simples de uma nota pro-

missória, cinco meses antes do vencimento, é de R$ 800,00, a uma taxa de 4% a.m.. Calcule o desconto comercial simples correspon-dente, isto é, considerando o mesmo título, a mesma taxa e o mes-mo prazo.

Resposta:Dr = 800i = 0.04 a.m.n = 5 meses

Dc = Dr * (1 + i*n)Dc = 800 * (1 + 0.04*5)Dc = 800 * 1.2Dc = 960

Questão 8. Um título sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 três meses antes do seu vencimento a uma taxa de decon-to simples de 3% a.m.. Indique qual seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e racional.



Resposta:Dc = 9810n = 3 mesesi = 0.03 a.m.

Dc = Dr * (1 + i*n)9810 = Dr * (1 + 0.03*3)9810 = Dr * 1.09Dr = 9810/1.09Dr = 9000

Questão 9. Um título no valor nominal de R$ 10.900,00 deve sofrer um desconto comercial simples de R$ 981,00 três meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou a troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de desconto mensal:

Resposta:N = 10900Dc = 981n = 3

Dc = N * i * n981 = 10900 * i * 3981 = 32700 * ii = 0.03 (3% a.m.)

Dr = N * i * n / (1+i*n)Dr = 10900 * 0.03 * 3 / (1+0.03*3)Dr = 10900 * 0.09 / 1.09Dr = 10900 * 0.09 / 1.09Dr = 900outra forma de fazer a questão seria usando:N = (Dc * Dr) / (Dc – Dr)10900 = 981 * Dr / (981-Dr)10692900 – 10900 * Dr = 981 * Dr11881 * Dr = 1069290011881 * Dr = 10692900Dr = 900

Questão 10. Um título sofre desconto simples comercial de R$ 1.856,00, quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 4% a.m.. Calcule o valor do desconto correspondente à mesma taxa, caso fosse um desconto simples racional:


Dc = N * i * nDr = N * i * n / (1+i*n)Dr = 1856 / (1+0.04*4)Dr = 1856 / 1.16Dr = 1600

Questão 11. Obtenha o valor hoje de um título de R$ 10.000,00 de valor nominal, vencível ao fim de três meses, a uma taxa de ju-ros de 3% a.m., considerando um desconto racional composto e desprezando os centavos.

Resposta:N =10000n = 3 mesesi = 0.03 a.m.

Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n](1+0.03)3 = 1.092727Dcr = 10000 * 0.092727 / 1.092727Dcr = 848.58Dcr = N – A848.58 = 10000 – AA = 10000 – 848.58A = 10000 – 848.58A = 9151.42

Questão 12. Um título foi descontado por R$ 840,00, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule o desconto obtido consi-derando um desconto racional composto a uma taxa de 3% a.m.

Resposta:n = 4 mesesi = 0.03 a.m.A = 840

Dcr = N – ADcr = N – 840Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n](1+0.03)4 = 1.12550881(1+0.03)4 -1 = 0.12550881Dcr = N * 0.12550881 / 1.12550881N * 0.12550881 / 1.12550881 = N – 840N * 0.12550881 = 1.12550881 * N – 945.4274004N = 945.4274004Dcr = 945.4274004 – 840Dcr ≈ 105.43

Questão 13. Um título sofre um desconto composto racional de R$ 6.465,18 quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais próximo do valor descontado do título, considerando que a taxa de desconto é de 5% a.m.:

Resposta:Dcr = 6465.18n = 4 mesesi = 0.05 a.m.

Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n](1+i)n = 1.21550625(1+i)n – 1 = 0.215506256465.18 = N * 0.21550625 / 1.21550625N = 36465,14



Questão 14. Um título sofre um desconto composto racional de R$ 340,10 seis meses antes do seu vencimento. Calcule o valor descontado do título considerando que a taxa de desconto é de 5% a.m. (despreza os centavos):

Resposta:Dcr = 340.10n = 6 mesesi = 0.05 a.m.Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n](1+0.05)6 = 1.340095640625(1+i)n – 1 = 0.340095640625340.10 = N * 0.340095640625 / 1.340095640625N ≈ 1340.10Dcr = N – A340.10 = 1340.10 – AA = 1000

Questão 15. O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes o desconto racional composto, caso a antecipação seja de dez me-ses. Sabendo-se que o valor atual da dívida (valor de resgate) é de R$ 200.000,00, então o valor nominal da dívida, sem considerar os centavos é igual a:

Resposta:N = 5 * Drcn = 10 mesesA = 200000

Drc = N – ADrc = 5 * Drc – 2000004 * Drc = 200000Drc = 50000Drc = N – A

50000 = N – 200000N = 250000

Questão 16. Um Commercial paper, com valor de face de US$ 1.000.000,00 e vencimento daqui a três anos deve ser resga-tado hoje. A uma taxa de juros compostos de 10% a.a. e conside-rando o desconto racional, obtenha o valor do resgate.

Resposta:N = 1000000n = 3 anosi = 0.1 a.a.

Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n](1+i)n = 1.331(1+i)n -1 = 0.331Dcr = 1000000 * 0.331 / 1.331Dcr = 248,685.20A = N – DrcA = 1000000 – 248,685.20A = 751,314.80

Questão 17. Uma pessoa quer descontar hoje um título de valor nominal de R$ 11.245,54, com vencimento para daqui a 60 dias, e tem as seguintes opções:

I – desconto simples racional, taxa de 3% a.m.;II – desconto simples comercial, taxa de 2,5% a.m.;III – desconto composto racional, taxa de 3% a.m.

Se ela escolher a opção I, a diferença entre o valor líquido que receberá e o que receberia se escolhesse a opção:

Resposta:N = 11245.54n = 60 dias = 2 mesesI) Dc = N * i * nDc = 11245.54 * 0.025 *2Dc = 562.277A = N – DcA = 11245.54 – 562.277A = 10683.26

II) Dr = (N * i * n) / (1 + i * n)Dr = (11245.54 * 0.03 * 2) / (1 + 0.03 * 2)Dr = 674.7324 / 1.06Dr = 636.54A = N – DcA = 11245.54 – 636.54A = 10609.0

III) Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n]Dcr = 11245.54 * 0.05740409Dcr = 645.54A = N – DcA = 11245.54 – 645.54A = 10600

Nenhum item tem uma resposta certa. Mas a diferença entre o valor atual da escolha II e a III é nove, então se houve um erro na digitação da questão a resposta é a alternativa c.

Questão 18. Um título deveria sofrer um desconto comercial simples de R$ 672,00, quatro meses antes do seu vencimento. To-davia, uma negociação levou à troca do desconto comercial sim-ples por um desconto racional composto. Calculo o novo desconto, considerando a mesma taxa de 3% a.m..


Dc = N * i * n672 = N * 0.03 * 4N = 5600Dcr = N * [1 - (1/(1+i)n)]Dcr = 5600 * [1 - (1/(1+i)n)](1+i)n = 1.12550881



Dcr = 5600 * 0.12550881/1.12550881Dcr = 624.47

Questão 19. Um título é descontado por R$ 4.400,00, quatro meses antes do seu vencimento. Obtenha o valor de face do título, considerando que foi aplicado um desconto racional composto a uma taxa de 3% a.m. (despreze os centavos, se houver).

Resposta:A = 4400n = 4 mesesi = 0.03 a.m.A = N – DrcA + Drc = NDrc = N * [1 - (1/(1+i)n)](1+i)n = 1.12550881Drc = N * 0.12550881 / 1.12550881Drc = (A + Drc) * 0.12550881 / 1.12550881Drc = (4400 + Drc) * 0.12550881 / 1.12550881Drc = (4400 + Drc) * 0.12550881 / 1.12550881Drc = 490.657 + Drc * 0.12550881 / 1.12550881Drc – Drc * 0.12550881 / 1.12550881 = 490.657Drc * (1 – 0.12550881 / 1.12550881) = 490.657Drc * 0.888487048 = 490.657Drc = 552.23N = A + DrcN = 4400 + 552.23N = 4952.23

Questão 20. Antônio emprestou R$ 100.000,00 a Carlos, de-vendo o empréstimo ser pago após 4 meses, acrescido de juros compostos calculados a uma taxa de 15% a.m., com capitalização diária. Três meses depois Carlos decide quitar a dívida, e combina com Antônio uma taxa de desconto racional composto de 30% a.b. (ao bimestre), com capitalização mensal. Qual a importância paga por Carlos a título de quitação do empréstimo.

Resposta:N = 100000n = 4 meses = 120 diasi = 15% a.m. = 0.5% a.d. = 0.005 a.d.

M =C * (1+i)n

M =100000 * (1+0.005)120

M = 181939.67A = M / (1+0.3/2)A = 158208.4

Questão 21. Calcule o valor nominal de um título que, resga-tado 1 ano e meio antes do vencimento, sofreu desconto racional composto de R$ 25000,00, a uma taxa de 30% a.a., com capitali-zação semestral.

Resposta:n = 1.5 anos = 3 semestresDrc = 25000i = 0.3 a.a. = 0.15 a.s.

Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n](1+i)n = 1.520875(1+i)n -1 = 0.52087525000 = N * 0.520875 / 1.520875N = 25000 * 1.520875 / 0.520875N = 72996.16

Descontos Racional e Comercial

Desconto é o abatimento no valor de um título de crédito que pode ser: Letra de câmbio; Fatura; Duplicata; Nota promissória. Este desconto é obtido quando o mesmo é resgatado antes do ven-cimento do compromisso.

O valor do título no dia do vencimento é chamado de: valor nominal e este vêm declarado no mesmo. O valor do título em uma data anterior ao vencimento da fatura é chamado de : valor atual. O valor atual é menor que o valor nominal

Desta forma, o valor atual de um título qualquer é a diferença entre o valor nominal (valor do título) e seu respectivo desconto. Observe:

A = N – Dc ou A = N - Dr Onde: A – Valor atual Exemplos para fixação de conteúdo: Qual o valor atual atual (A) de um título de uma empresa no

valor de R$ 15.000,00 a 2% a.m, descontado 6 meses antes do prazo do seu vencimento?

Resolvendo: N = 15.000I = 2% a.m = 24% a.a. (01 ano = 12 meses)T = 6 Dc = 15000 x 24 x 6 = 2160000 1200 1200 Dc= 1800A = 15000 – 1800 = 13200A = 13200 Observe algumas notações:

D Desconto realizado sobre o títuloN Valor nominal de um títuloA Valor atual de um títuloI Taxa de desconton Número de períodos para o desconto



Assim: Como já falado anteriormente, o desconto é a diferença entre

o valor nominal de um título (futuro) “N” e o valor atual “A” do título em questão.

D = N - A Fórmula do desconto: Dc = N . i . t 100Tipos de desconto Há basicamente dois tipos de descontos:– Desconto comercial (por fora)– Desconto racional (por dentro) Desconto comercial: Também chamado de desconto por fora,

comercial, ou desconto bancário (Dc), pode ser definido como aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor nominal do título, levando-se em conta o capital principal como valor nominal “N”. Assim, de acordo com a fórmula dada:

Dc = N . i . t 100 Onde: Dc = desconto comercialN = valor nominal do título dadoi = taxa de descontot = período de tempo na operação100 = tempo considerado em anos Observações: a) Quando o período de tempo (t) for expresso no problema

em dias, o tempo considerado na operação devera ser em dias e utilizado o valor de 36000.

b) Quando o período de tempo (t) for expresso em meses, o

tempo considerado deverá ser em meses e utilizando o valor 1200. Exemplos para fixação de conteúdo: 1) Uma fatura foi paga com 30 dias antes do vencimento do

prazo para pagamento. Calcule o valor do desconto, com uma taxa de 45% a.a., sabendo-se que o valor da fatura era no valor de R$ 25.000,00.

Resolvendo:

Dados do problema N = 25000i = 45% a.a.t = 30 Dc = N . i . t 36000 Dc = 25000 x 45 x 30 = 33750000 = 937,50 36000 36000 O valor de desconto é de R$ 937,50. Observe o valor 36000 na divisão, pois o tempo é expresso

em dias. 2) A que taxa foi calculada o desconto simples de R$

5.000,00 sobre um título de R$ 35.000,00, pago antecipadamente em 8 meses ?

Resolvendo: Dados do problema N = 35000i = ?t = 8 mesesDc = 5.000,00 Dc = N . i . t 1200 i = 1200 . Dc N. t I = 1200 x 5000 = 6000000 = 21,43% 35000 x 8 280000 O valor da taxa é de 21,43% Observe o valor 1200 na divisão, pois o tempo é expresso em

meses. O desconto comercial pode ser expresso na fórmula abaixo: Dc = A . i . t 100 + it Desconto Racional (por dentro): É chamado de desconto

racional o abatimento calculado com a taxa de desconto incidindo sobre o valor atual do título, temos então:



Dr = A . i .t 100 O qual: Dr = valor do desconto racional na operaçãoA = valor atual do títuloi = taxa de descontot = período de tempo na operação100 = tempo considerado em ano Como informado no desconto por fora, não se pode esquecer

do tempo em que a taxa é considerada : Ano = 100Mês = 1200Dias = 36000 Relembrando que: A = N – Dr Substituindo → Dr = N . i . t 100 + it Exemplo para fixação de conteúdo: Calcular o valor do desconto por dentro de um título de R$

16.000,00 pago 3 meses antes do vencimento com uma taxa de 24% a.a.

Resolvendo: Dados do problema N = 16000i = 24% a.a.t = 3 meses Dr = N . i . t 100 + it Dr = 16000 x 24 x 3 = 1152000 = 905,66 1200 + 24 x 3 1272 O valor do desconto é de R$ 905,66.

CLASSIFICAÇÃO DAS TAXAS DE JUROS: INTRODUÇÃO; CONCEITO E

CLASSIFICAÇÃO DAS TAXAS DE JUROS; TAXAS EQUIVALENTES E PROPORCIO-

NAIS; JUROS PAGOS ANTECIPADAMENTE.

Taxas Equivalentes e Capitais Equivalentes

A equivalência de capitais é uma das ferramentas mais pode-rosas da matemática financeira e tem sido constantemente pedida nas provas de concursos públicos.

Aprendemos a calcular o Montante, em uma Data Fatura, de um capital que se encontrava na data presente. Relativo a descon-tos, aprendemos a calcular o Valor Atual, em uma Data Presente, de um valor nominal que se encontrava em uma data futura.

Gostaríamos que você notasse que, ao calcular o montante, estávamos movendo o capital inicial a favor do eixo dos tempos ou capitalizando-o, enquanto que, ao calcularmos o valor atual, está-vamos movendo o valor nominal (que também é um capital) contra o eixo dos tempos ou descapitalizando-o, conforme se encontra ilustrado nos esquemas a seguir.

Conceito de Equivalência

Dois ou mais capitais que se encontram em datas diferentes, são chamados de equivalentes quando, levados para uma mesma data, nas mesmas condições, apresentam o mesmo VALOR nessa data.

Para você entender melhor esse conceito, vamos lhe propor um problema. Vamos fazer de conta que você ganhou um prêmio em dinheiro no valor de R$ 100,00, que se encontra aplicado, em um banco, à taxa de juros simples de 10% a.m. O banco lhe oferece três opções para retirar o dinheiro:

1a) você retira R$ 100,00 hoje;2a) você deixa o dinheiro aplicado e retira R$ 140,00 dentro

de 4 meses;3a) você deixa o dinheiro aplicado e retira R$ 190,00 em 9

meses.Qual delas é a mais vantajosa para você?Para sabermos a resposta, precisamos encontrar um jeito de

comparar os capitais R$ 100,00, R$ 140,00, e R$ 190,00, que se encontram em datas diferentes. Vamos determinar, então, o valor dos três capitais numa mesma data ou seja, vamos atualizar os seus valores. Escolheremos a data de hoje. A Data Comum, tam-bém chamada de Data de Comparação ou Data Focal, portanto, vai ser hoje (= data zero).

O capital da primeira opção (R$ 100,00) já se encontra na data de hoje; portanto, já se encontra atualizado.

Calculemos, pois, os valores atuais Va1 e Va2 dos capitais futu-ros R$ 140,00 e R$ 190,00 na data de hoje (data zero).



Esquematizando, a situação seria esta:Podemos fazer este cálculo usando desconto comercial sim-

ples ou desconto racional simples. Vamos, arbitrariamente, esco-lher a fórmula do valor atual racional simples:

Vars = N/1 + inVars1 = 140,00/(1 + 0,10 . 4) = 100,00Vars2 = 190,00/(1 + 0,10 . 9) = 100,00Verificamos que os três capitais têm valores atuais idênticos

na data focal considerada (data zero). Podemos, portanto, dizer que eles são Equivalentes: tanto faz receber R$ 100,00 hoje, ou R$ 140,00 daqui a 4 meses ou R$ 190,00 daqui a nove meses, se a taxa de juros for de 10% ao mês e o desconto racional simples.

Vejamos o que acontece se utilizarmos o critério do desconto comercial, em vez do desconto racional, para calcular os valores atuais dos capitais R$ 140,00 e R$ 190,00:

Vacs = N (1 – in)Vacs1 = 140 ( 1 – 0,10 . 4) = 140 (0,6) = 84Vacd2 = 190 (1 – 0,10 . 9) = 190 (0,1) = 19Mudando-se a modalidade de desconto, portanto, os três capi-

tais deixam de ser equivalentes.E se mudarmos a data de comparação, ou data focal, para o

mês 2, por exemplo, continuando a utilizar o desconto racional simples?

Acontecerá o seguinte:

O capital R$ 140,00, resgatável na data 4, será antecipado de 2 meses, ficando com o seguinte valor atual racional simples:

Vars1 = 140,00/(1 + 0,10 . 2) = 116,67

O capital R$ 190,00, resgatável na data 9, será antecipado de 7 meses, ficando com o seguinte valor atual racional simples:

Vars2 = 190,00/(1 + 0,10 . 7) = 111,76

Ao capital R$ 100,00 (resgatável na data zero) acrescentar-se--ão dois meses de juros, conforme segue:

Vars3 = C (1 + in) = 100 (1 + 0,10 . 2) = 120

No mês dois, portanto, temos que os capitais nominais R$ 140,00; R$ 190,00 e R$ 100,00 estarão valendo, respectivamente, R$ 116,67; R$ 111,76 e R$ 120,00. Na data focal 2, portanto, eles não serão mais equivalentes.

No regime de capitalização Simples a equivalência ocorre em apenas uma única data, para uma determinada taxa e modalidade de desconto. Ao mudarmos a Data Focal, capitais que antes eram equivalentes podem deixar sê-lo. É bom você saber desde já que, no regime de capitalização Composta, isto não acontece: na capi-talização composta, para a mesma taxa, capitais equivalentes para uma determinada data o são para qualquer outra data.

Podemos então concluir que:Para juros simples, a equivalência entre dois ou mais capitais

somente se verifica para uma determinada taxa, para uma determi-nada data focal e para uma determinada modalidade de desconto.

Podemos, agora, definir equivalência de dois capitais de uma mesma maneira mais rigorosa da seguinte forma:

Dois capitais C1 e C2, localizados nas datas n1 e n2, medidas a partir da mesma origem, são ditos equivalentes com relação a uma data focal F, quando os seus respectivos valores atuais, Va1 e Va2 , calculados para uma determinada taxa de juros e modalidade de desconto nessa data focal F, forem iguais.

A equivalência de capitais é bastante utilizada na renegocia-ção de dívidas, quando há necessidade de substituir um conjunto de títulos por um outro conjunto, equivalente ao original (isto por-que o conceito de equivalência é aplicado não só para dois capitais, mas também para grupos de capitais).

Às vezes um cliente faz um empréstimo num banco e se compromete e quitá-lo segundo um determinado plano de pagamento. Todavia, devido a contigências nos seus negócios, ele percebe que não terá dinheiro em caixa para pagar as parcelas do financiamento nas datas convencionadas. Então, propõe ao gerente do banco um outro esquema de pagamento, alterando as datas de pagamento e os respectivos valores nominais de forma que consiga honrá-los, mas de tal sorte que o novo esquema seja EQUIVA-LENTE ao plano original.

No cálculo do novo esquema de pagamento, a visualização do problema fica bastante facilitada com a construção de um dia-grama de fluxo de caixa no qual representa-se a dívida original na parte superior, e a proposta alternativa de pagamento na parte de baixo, conforme se vê nos problemas a seguir.

Exercícios Resolvidos

1. No refinamento de uma dívida, dois títulos, um para 6 me-ses e outro 12 meses, de R$ 2.000,00 e de R$ 3.000,00, respecti-vamente, foram substituídos por dois outros, sendo o primeiro de R$ 1.000,00, para 9 meses, e o segundo para 18 meses. A taxa de desconto comercial simples é de 18% a.a. O valor do título de 18 meses, em R$, é igual a:

Resolução:Inicialmente, vamos construir um diagrama de fluxo de caixa

utilizando os dados do problema:A taxa de juros é anual. Entretanto, como os prazos de paga-

mento estão expressos em meses, vamos tranformá-la em mensal:i = 18% a.a. = 1,5% a.m. = 0,015 a.m.A modalidade de desconto é o comercial simples, mas o pro-

blema não mencionou qual a data focal a ser considerada. Em ca-sos como este, presumimos que a data focal seja a data zero.

Vamos, então, calcular o total da dívida na data zero para cada um dos planos de pagamento, e igualar os resultados, pois os dois esquemas devem ser equivalentes para que se possa substituir um pelo outro. Além disso, para transportarmos os capitais para a data zero, utilizaremos a fórmula do valor atual do desconto comercial simples:

Vacs = N (1 – in). Obteremos a seguinte equação:2.000 (1 – 0,015 . 6) + 3.000 (1 – 0,015 .12) = 1.000 (1 – 0,015

. 9) + x (1 – 0,015 . 18)(total da dívida conforme o plano (total da dívida conforme

o plano Alternativo Original de pagamento, proposto, atualizado para a data zero).



Calculando o conteúdo dos parênteses, temos:2.000 (0,91) + 3.000 (0,82) = 1.000 (0,865) + x (0,73)1.820 + 2.460 = 865 + 0,73x0,73x = 1.820 + 2.460 – 865x = 3.415/0,73 = 4.678,08

Observe que a data focal era anterior à data de vencimento de todos os capitais. Assim, calculamos o valor descontado (va-lor atual) de cada um deles, para trazê-los à data local. Efetua-mos um desconto (comercial, no caso) ou uma descapitalização (desincorporação dos juros), porque estávamos transportando os valores para uma data passada. Mas se a data focal tivesse sido outra, por exemplo, a data 9 (vide esquema), e não a data zero, o capital de R$ 2.000,00, que vencia na data 6, teria que sofrer uma capitalização (incorporação de juros) para ser transportado para a data 9 (data futura em relação à data 6). A atualização do valor desse capital para a data 9, então, far-se-ia com a utilização da fórmula do montante M = C (1 + in), e não com a fórmula do valor descontado (valor atual).

Conclusão: para transportarmos um capital para uma data pos-terior à original, devemos capitalizá-lo; para transportarmos um capital para uma data anterior à original, devemos descapitalizá-lo.

2. O pagamento do seguro de um carro, conforme contrato, deve ser feito em 3 parcelas quadrimestrais de R$ 500,00. O segu-rador, para facilitar ao seu cliente, propõe-lhe o pagamento em 4 parcelas trimestrais iguais. Utilizando-se a data focal zero, a taxa de juros de 24% a.a. e o critério de desconto racional simples, o valor das parcelas trimestrais será, em R$:

Resolução:Fazendo o diagrama dos pagamentos, temos:i = 24% a.a. = 2% a.m. = 0,02 a.m.Uma vez que o critério é de desconto racional simples, ao

transportarmos os valores para a data zero, teremos que utilizar a fórmula do valor atual racional simples

Vars = N/1 + in . Podemos escrever, então, que:Total da divida conforme o plano original de pagamento, atua-

lizado racionalmente para a data zero 500/1 + 0,02 . 4 + 500/1 + 0,02 . 8 + 500/1 + 0,02 . 12 = x/1 + 0,02 . 3 + x/1 + 0,02 . 6 + x/1 + 0,02 . 9 + x/1 + 0,02 . 12

Total da dívida conforme o plano alternativo proposto, atua-lizado racionalmente para a data zero 500/1,08 + 500/1,16 + 500/1,24 = x/1,06 + x/1,12 + x/1,18 + x/1,24

1.297,22 = 3,49 . xx = 1.297,22/3,49x = 371,68

3. A aplicação de R$ 2.000,00 foi feita pelo prazo de 9 meses, contratando-se a taxa de juros de 28% a.a. Além dessa aplicação, existe outra de valor nominal R$ 7.000,00 com vencimento a 18 meses. Considerando-se a taxa de juros de 18% a.a., o critério de desconto racional e a data focal 12 meses, a soma das aplicações é, em R$:

Resolução:Inicialmente, precisamos calcular o valor nominal da primeira

aplicação. Considerando n = 9 meses = 0,75 anos, temos que:N = C (1 + in)N = 2.000 (1 + 0,28 . 0,75) = 2.000 (1,21) = 2.420Observando o diagrama de fluxo de caixa, vemos que, para

serem transportados à data doze, o título de 2.420 terá que ser ca-pitalizado de três meses, ao passo que o título de 7.000 terá que ser descapitalizado de 6 meses. Além disso, a taxa de 18% a.a., considerando-se capitalização simples, é equivalente a 1,5% a.m. = 0,015 a.m. Desta forma, podemos escrever que:

2.420 (1 + 0,015 . 3) + 7.000/1 + 0,015 . 6 = x2.420 (1,045) + 7.000/1,09 = x2.528,9 + 6.422,02 = xx = 8.950,92 Equação de Valor

Em síntese, para que um conjunto de títulos de valores nomi-nais N1, N2, N3 …, exigíveis nas datas n1, n2, n3 …, seja equivalente a um outro conjunto de títulos Na , Nb , Nc …, exigíveis nas datas na , nb , nc …, basta impormos que a soma dos respectivos valores atuais Va1 , Va2 , Va3 … dos títulos do primeiro conjunto, calculados na data focal considerada, seja igual à soma dos valores atuais Vaa , Vab , Vac … dos títulos do segundo conjunto, calculados para essa mesma data, isto é:

Va1 + Va2 + Va3 + … = Vaa + Vab + Vac + …A equação acima é chamada de Equação de Valor.

Roteiro para Resolução de Problemas de Equivalência

Ao começar a resolução de problemas que envolvem equiva-lência de capitais utilize o seguinte roteiro:

1. leia o problema todo;2. construa, a partir do enunciado do problema, um diagrama

de fluxo de caixa esquemático, colocando na parte de cima o plano original de pagamento e na parte de baixo o plano alternativo pro-posto, indicando todos os valores envolvidos, as datas respectivas e as incógnitas a serem descobertas – esse diagrama é importante porque permite visualizar os grupos de capitais equivalentes e esta-belecer facilmente a equação de valor para resolução do problema;

3. observe se os prazos de vencimento dos títulos e compro-missos estão na mesma unidade de medida de tempo periodicidade da taxa; se não estiverem, faça as transformações necessárias (ou você expressa a taxa na unidade de tempo do prazo ou expressa o prazo na unidade de tempo da taxa – escolha a transformação que torne os cálculos mais simples);

4. leve todos os valores para a data escolhida para a nego-ciação (data focal), lembrando sempre que capitais exigíveis an-tes da data focal deverão ser capitalizados através da fórmula do montante M = C (1 + in), dependendo da modalidade de desconto utilizada;



5. tendo transportado todos os capitais para a data focal e com base no diagrama de fluxo de caixa que você esquematizou, monte a EQUAÇÃO DE VALOR, impondo que a soma dos valores dos títulos (transportados para a data focal) da parte de cima do dia-grama de fluxo de caixa seja igual à soma dos valores dos títulos (transportados para a data focal) da parte de baixo do diagrama de fluxo de caixa;

6. resolva a equação de valor;7. releia a PERGUNTA do problema e verifique se o valor que

você encontrou corresponde ao que o problema está pedindo (às vezes, devido à pressa, o candidato se perde nos cálculos, encontra um resultado intermediário e assinala a alternativa que o contém, colocada ali para induzi-lo em erro, quando seria necessário ainda uma passo a mais para chegar ao resultado final correto).

Desconto e Equivalência

Por fim, gostaríamos de dar uma dica para ajudá-lo a perceber quando um problema é de desconto e quando é de equivalência. Em linhas gerais, nos problemas de Desconto, alguém quer vender papéis (duplicatas, promissórias, letras de câmbio, etc.), enquanto que nos problemas de Equivalência, alguém quer financiar ou re-financiar uma dívida.

Rendas Uniformes

Matéria com o mesmo objetivo da Equivalência de Capitais, mas com títulos apresentando os mesmos valores e com vencimen-tos consecutivos - tornando assim sua solução mais rápida, através de um método alternativo.

Há dois casos: o cálculo do valor atual dos pagamentos iguais e sucessivos (que seria igual ao valor do financiamento obtido por uma empresa ou o valor do empréstimo contraído); e o cálculo do montante, do valor que a empresa obterá se aplicar os pagamentos dos clientes em uma data futura às datas dos pagamentos.

1º Caso: Cálculo do Valor Atual

a) Renda Certa Postecipada (Imediata): aquela onde o primei-ro pagamento acontecerá em UM período após contrair o emprés-timo ou financiamento.

Para calcular o valor atual dessa renda certa, a fórmula é a seguinte:

A = P . a[n,i], onde:A = valor atual da renda certa;P = valor de cada pagamento da renda certa;n = número de prestações;i = taxa empregada.

O fator a[n,i] é normalmente dado nas provas.

b) Renda Certa Antecipada: aquela onde o primeiro pagamen-to acontecerá no ato do empréstimo ou financiamento.


A = P . a[n-1,i] + P, onde:

A = valor atual da renda certa;P = valor de cada pagamento da renda certa;n = número de prestações;i = taxa empregada.

c) Renda Certa Diferida: aquela onde o primeiro pagamento acontecerá vários períodos após ser feito o empréstimo ou finan-ciamento.


A = P . ( a[n+x,i] - a[x,i] ), onde:

A = valor atual da renda certa;P = valor de cada pagamento da renda certa;n = número de prestações;x = número de prestações acrescentadas;i = taxa empregada.2º Caso: Cálculo do Montante

a) Quando o montante é calculado no momento da data do último pagamento:

Para calcular o valor do montante nesse caso, a fórmula é a seguinte:

M = P . s[n,i], onde:

M = valor do montante;P = valor de cada pagamento da renda certa;n = número de prestações;i = taxa empregada.

O fator s[n,i] é normalmente dado nas provas.

b) Quando o montante é calculado em um momento que não coincide com a data do último pagamento:

Para calcular o valor do montante nesse caso, a fórmula é a seguinte:

M = P . (s[n+x,i] - s[x,i]), onde:

M = valor do montante;P = valor de cada pagamento da renda certa;n = número de prestações;x = número de prestações acrescentadas;i = taxa empregada.



Rendas Variáveis

Ativos de renda variável são aqueles cuja remuneração ou retorno de capital não pode ser dimensionado no momento da aplicação, podendo variar positivamente ou negativamente, de acordo com as expectativas do mercado. Os mais comuns são: ações, fundos de renda variável (fundo de ação, multimercado e outros), quotas ou quinhões de capital, Commodities (ouro, moeda e outros) e os derivativos (contratos negociados nas Bolsas de Va-lores, de mercadorias, de futuros e assemelhadas).

Taxa Interna de Retorno

A Taxa Interna de Retorno (TIR), em inglês IRR (Internal Rate of Return), é a taxa necessária para igualar o valor de um investimento (valor presente) com os seus respectivos retornos fu-turos ou saldos de caixa. Sendo usada em análise de investimentos significa a taxa de retorno de um projeto.

Utilizando uma calculadora financeira, encontramos para o projeto P uma Taxa Interna de Retorno de 15% ao ano. Esse pro-jeto será atrativo se a empresa tiver uma TMA menor do que 15% ao ano. A solução dessa equação pode ser obtida pelo processo iterativo, ou seja “tentativa e erro”, ou diretamente com o uso de calculadoras eletrônicas ou planilhas de cálculo.

A taxa interna de rentabilidade (TIR) é a taxa de actualização do projecto que dá o VAL nulo. A TIR é a taxa que o investidor obtém em média em cada ano sobre os capitais que se mantêm in-vestidos no projecto, enquanto o investimento inicial é recuperado progressivamente.

A TIR é um critério que atende ao valor de dinheiro no tempo, valorizando os cash-flows actuais mais do que os futuros, constitui com a VAL e o PAYBACK actualizado os três grandes critérios de avaliação de projectos. A TIR não é adequada à selecção de projectos de investimento, a não ser quando é determinada a partir do cash-flow relativo.

A Taxa Interna de Retorno de um investimento pode ser:- Maior do que a Taxa Mínima de Atratividade: significa que o

investimento é economicamente atrativo.- Igual à Taxa Mínima de Atratividade: o investimento está

economicamente numa situação de indiferença.- Menor do que a Taxa Mínima de Atratividade: o investimen-

to não é economicamente atrativo pois seu retorno é superado pelo retorno de um investimento com o mínimo de retorno.

Entre vários investimentos, o melhor será aquele que tiver a maior Taxa Interna de Retorno Matematicamente, a Taxa Interna de Retorno é a taxa de juros que torna o valor presente das entradas de caixa igual ao valor presente das saídas de caixa do projeto de investimento.

A TIR é a taxa de desconto que faz com que o Valor Presente Líquido (VPL) do projeto seja zero. Um projeto é atrativo quando sua TIR for maior do que o custo de capital do projeto.

Método

Para encontrar o valor da Taxa Interna de Retorno, calcular a taxa que satisfaz a seguinte equação:

A TIR é obtida resolvendo a expressão em ordem a TIR e é ge-ralmente comparada com a taxa de desconto. O valor do TIR é um valor relativo e o seu cálculo é realizado, recorrendo a computador ou a tabelas próprias Para se efectuar o cálculo da TIR, é analisada a série de valores obtida da seguinte forma: 1º valor: o investi-mento inicial (valor negativo) 2º valor: benefícios - custos do 1º período (valor positivo) 3º valor: benefícios - custos do 2º perío-do (valor positivo) e assim sucessivamente, até ao último período a considerar. O período considerado pode ser um qualquer desde que seja regular (semana, mensal, trimestral, semestral, anual, etc.) Nota: recorrendo ao uso de uma folha de cálculo é possível obter o valor da TIR. No caso do Excel, a fórmula para cálculo do TIR é IRR(gama de valores).

A TIR não deve ser usada como parâmetro em uma análise de investimento porque muitas vezes os fluxos não são reinvestidor a uma taxa iguais a TIR efetiva.

Quando a TIR calculada é superior á taxa efetiva de reinvesti-mento dos fluxos de caixa intermediários, pode sugir, ás vezes de forma significativa, uma expectativa irreal de retorno anual equi-valente ao do projeto de investimento.

Exemplo

Considerando-se que o fluxo de caixa é composto apenas de uma saída no período 0 de R$ 100,00 e uma entrada no período 1 de R$120,00, onde i corresponde à taxa de juros:

Para VPL = 0 temos i = TIR = 0.2 = 20%Como uma ferramenta de decisão, a TIR é utilizada para ava-

liar investimentos alternativos. A alternativa de investimento com a TIR mais elevada é normalmente a preferida; também deve se levar em consideração de que colocar o investimento em um ban-co é sempre uma alternativa. Assim, se nenhuma das alternativas de investimento atingir a taxa de rendimento bancária ou a Taxa Mínima de Atratividade (TMA), este investimento não deve ser realizado.

Normalmente a TIR não pode ser resolvida analiticamente como demonstrado acima, e sim apenas através de iterações, ou seja, através de interpolações com diversas taxas de retorno até chegar àquela que apresente um VPL igual a zero; contudo as cal-culadoras financeiras e planilhas eletrônicas estão preparadas para encontrar rapidamente este valor.



Um defeito crítico do método de cálculo da TIR é que múl-tiplos valores podem ser encontrados se o fluxo anual de caixa mudar de sinal mais de uma vez (ir de negativo para positivo e para negativo novamente, ou vice-versa) durante o período de aná-lise. Para os casos de alteração frequente de sinal deve utilizar-se a (Taxa externa de retorno - TER).

Apesar de uma forte preferência acadêmica pelo VPL, pesqui-sas indicam que executivos preferem a TIR ao invés do VPL. Apa-rentemente os gerentes acham intuitivamente mais atraente para avaliar investimentos em taxas percentuais ao invés dos valores monetários do VPL. Contudo, deve-se preferencialmente utilizar mais do que uma ferramenta de análise de investimento, e todas as alternativas devem ser consideradas em uma análise, pois qualquer alternativa pode parecer valer a pena se for comparada com as al-ternativas suficientemente ruins.

Deve-se ter em mente que o método da TIR considera que as entradas, ou seja, os vários retornos que o investimento trará, serão reinvestidos a uma taxa igual a taxa de atratividade informada.

Taxa Nominal

A taxa nominal de juros relativa a uma operação financeira, pode ser calculada pela expressão:

Taxa nominal = Juros pagos / Valor nominal do empréstimo

Assim, por exemplo, se um empréstimo de $100.000,00, deve ser quitado ao final de um ano, pelo valor monetário de $150.000,00, a taxa de juros nominal será dada por:

Juros pagos = Jp = $150.000 – $100.000 = $50.000,00Taxa nominal = in = $50.000 / $100.000 = 0,50 = 50%

Sem dúvida, se tem um assunto que gera muita confusão na Matemática Financeira são os conceitos de taxa nominal, taxa efe-tiva e taxa equivalente. Até na esfera judicial esses assuntos geram muitas dúvidas nos cálculos de empréstimos, financiamentos, con-sórcios e etc.

Hoje vamos tentar esclarecer esses conceitos, que na maioria das vezes nos livros e apostilas disponíveis no mercado, não são apresentados de um maneira clara.

Temos a chamada taxa de juros nominal, quando esta não é realmente a taxa utilizada para o cálculo dos juros (é uma taxa “sem efeito”). A capitalização (o prazo de formação e incorpora-ção de juros ao capital inicial) será dada através de uma outra taxa, numa unidade de tempo diferente, taxa efetiva.

Como calcular a taxa que realmente vai ser utilizada; isto é, a taxa efetiva?

Vamos acompanhar através do exemplo:Calcular o montante de um capital de R$ 1.000,00 aplicados

durante 18 meses, capitalizados mensalmente, a uma taxa de 12% a.a. Explicando o que é taxa Nominal, efetiva mensal e equi-valente mensal:

Respostas e soluções: 1) A taxa Nominal é 12% a.a; pois o capital não vai ser capita-

lizado com a taxa anual.2) A taxa efetiva mensal a ser utilizada depende de duas con-

venções: taxa proporcional mensal ou taxa equivalente mensal.a) Taxa proporcional mensal (divide-se a taxa anual por 12):

12%/12 = 1% a.m.b) Taxa equivalente mensal (é aquela que aplicado aos R$

1.000,00, rende os mesmos juros que a taxa anual aplicada nesse mesmo capital).

Cálculo da taxa equivalente mensal:

( ) 11 −+= tq

tiqi

onde:iq : taxa equivalente para o prazo que eu queroit : taxa para o prazo que eu tenhoq : prazo que eu querot : prazo que eu tenho

( ) 112,01 121−+=qi = (1,12)0,083333 – 1

iq = 0,009489 a.m ou iq = 0,949 % a.m. 3) Cálculo do montante pedido, utilizando a taxa efetiva mensala) pela convenção da taxa proporcional:M = c (1 + i)n

M = 1000 (1 + 0,01) 18 = 1.000 x 1,196147M = 1.196,15 b) pela convenção da taxa equivalente:M = c (1 + i)n

M = 1000 (1 + 0,009489) 18 = 1.000 x 1,185296M = 1.185,29 NOTA: Para comprovar que a taxa de 0,948% a.m é equiva-

lente a taxa de 12% a.a, basta calcular o montante utilizando a taxa anual, neste caso teremos que transformar 18 meses em anos para fazer o cálculo, ou seja : 18: 12 = 1,5 ano. Assim:

M = c (1 + i)n

M = 1000 (1 + 0,12) 1,5 = 1.000 x 1,185297M = 1.185,29 Conclusões:- A taxa nominal é 12% a.a, pois não foi aplicada no cálculo

do montante. Normalmente a taxa nominal vem sempre ao ano!- A taxa efetiva mensal, como o próprio nome diz, é aque-

la que foi utilizado para cálculo do montante. Pode ser uma taxa proporcional mensal (1 % a.m.) ou uma taxa equivalente mensal (0,949 % a.m.).



- Qual a taxa efetiva mensal que devemos utilizar? Em se tra-tando de concursos públicos a grande maioria das bancas exami-nadores utilizam a convenção da taxa proporcional. Em se tratando do mercado financeiro, utiliza-se a convenção de taxa equivalente.

Resolva as questões abaixo para você verificar se entendeu os conceitos acima.

1) Um banco paga juros compostos de 30% ao ano, com capi-

talização semestral. Qual a taxa anual efetiva?a) 27,75 %b) 29,50%c) 30 %d) 32,25 %e) 35 % 2) Um empresa solicita um empréstimo ao Banco no regime

de capitalização composta à base de 44% ao bimestre. A taxa equi-valente composta ao mês de:

a) 12%b) 20%c) 22%d) 24% Respostas: 1) d 2) b

Taxa Real e Taxa Efetiva

As taxas de juros são índices fundamentais no estudo da ma-temática financeira. Os rendimentos financeiros são responsáveis pela correção de capitais investidos perante uma determinada taxa de juros. Não importando se a capitalização é simples ou compos-ta, existem três tipos de taxas: taxa nominal, taxa efetiva e taxa real. No mercado financeiro, muitos negócios não são fechados em virtude da confusão gerada pelo desconhecimento do significado de cada um dos tipos de taxa. Vamos compreender o conceito de cada uma delas.

Taxa Nominal: A taxa nominal é aquela em que o período de formação e incorporação dos juros ao capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. Exemplos:

a) Uma taxa de 12% ao ano com capitalização mensal.b) 5% ao trimestre com capitalização semestral.c) 15% ao semestre com capitalização bimestral.

Taxa Efetiva: A taxa efetiva é aquela que o período de forma-ção e incorporação dos juros ao capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Exemplos:

a) Uma taxa de 5% ao mês com capitalização mensal.b) Uma taxa de 75% ao ano com capitalização anual.c) Uma taxa de 11% ao trimestre com capitalização trimestral.

Taxa Real: A taxa real é aquela que expurga o efeito da infla-ção no período.

Dependendo dos casos, a taxa real pode assumir valores ne-gativos.

Podemos afirmar que a taxa real corresponde à taxa efetiva corrigida pelo índice inflacionário do período.

Existe uma relação entre a taxa efetiva, a taxa real e o índice de inflação no período. Vejamos: 1+ief=(1+ir)(1+iinf)

Onde,ief→é a taxa efetivair→é a taxa realiinf→é a taxa de inflação no período

Seguem alguns exemplos para compreensão do uso da fór-mula.

Exemplo 1. Certa aplicação financeira obteve rendimento efe-tivo de 6% ao ano. Sabendo que a taxa de inflação no período foi de 4,9%, determine o ganho real dessa aplicação.

Solução: A solução do problema consiste em determinar o ganho real da aplicação corrigido pelo índice inflacionário do período, ou seja, determinar a taxa real de juros dessa aplicação financeira. Temos que:

Aplicando a fórmula que relaciona os três índices, teremos:

Portanto, o ganho real dessa aplicação financeira foi de 1% ao ano.

Exemplo 2. Certa categoria profissional obteve reajuste sala-rial de 7% ao ano. Sabendo que a inflação no período foi de 10%, determine o valor do reajuste real e interprete o resultado.



Solução: Temos que

Aplicando a fórmula, teremos:

Como a taxa real foi negativa, podemos afirmar que essa ca-tegoria profissional teve perdas salariais do período, uma vez que o reajuste salarial foi abaixo do índice inflacionário do período.

A taxa real expurga o efeito da inflação. Um aspecto interes-sante sobre as taxas reais de juros é que, elas podem ser inclusive, negativas. Vamos encontrar uma relação entre as taxas de juros nominal e real. Para isto, vamos supor que um determinado capital P é aplicado por um período de tempo unitário, a uma certa taxa nominal in .

O montante S1 ao final do período será dado por S1 = P(1 + in).Consideremos agora que durante o mesmo período,

a taxa de inflação (desvalorização da moeda) foi igual a j. O capital corrigido por esta taxa acarretaria um montante S2 = P (1 + j).

A taxa real de juros, indicada por r, será aquela que aplicada ao montante S2, produzirá o montante S1. Poderemos então escre-ver: S1 = S2 (1 + r)

Substituindo S1 e S2 , vem:P(1 + in) = (1+r). P (1 + j)

Daí então, vem que:(1 + in) = (1+r). (1 + j), onde:in = taxa de juros nominalj = taxa de inflação no períodor = taxa real de juros

Observe que se a taxa de inflação for nula no período, isto é, j = 0, teremos que as taxas nominal e real são coincidentes. Veja o exemplo a seguir:

Numa operação financeira com taxas pré-fixadas, um banco empresta $120.000,00 para ser pago em um ano com $150.000,00. Sendo a inflação durante o período do empréstimo igual a 10%, pede-se calcular as taxas nominal e real deste empréstimo.

Teremos que a taxa nominal será igual a:in = (150.000 – 120.000)/120.000 = 30.000/120.000 = 0,25 = 25%Portanto in = 25%

Como a taxa de inflação no período é igual a j = 10% = 0,10, substituindo na fórmula anterior, vem:

(1 + in) = (1+r). (1 + j)(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,10)1,25 = (1 + r).1,101 + r = 1,25/1,10 = 1,1364Portanto, r = 1,1364 – 1 = 0,1364 = 13,64%

Se a taxa de inflação no período fosse igual a 30%, teríamos para a taxa real de juros:

(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,30)1,25 = (1 + r).1,301 + r = 1,25/1,30 = 0,9615

Portanto, r = 0,9615 – 1 = -,0385 = -3,85% e, portanto tería-mos uma taxa real de juros negativa.

Agora resolva este: $100.000,00 foi emprestado para ser qui-tado por $150.000,00 ao final de um ano. Se a inflação no período foi de 20%, qual a taxa real do empréstimo?

Resposta: 25%

TAXA MÉDIA E PRAZO MÉDIO: OBSERVAÇÕES INTRODUTÓRIAS; TAXA

MÉDIA E PRAZO MÉDIO PARA OPERAÇÕES DE DESCONTO SIMPLES (OU BANCÁRIO OU COMERCIAL); TAXA MÉDIA E PRAZO

MÉDIO PARA OPERAÇÕES A JUROS SIMPLES; TAXA MÉDIA E PRAZO MÉDIO PARA OPERAÇÕES A JUROS COMPOSTOS.

Taxa Média

Consideremos os capitais C1, C2, C3,.... Cn aplicados, respec-tivamente, às taxas i1, i2, i3, .... in pelos prazos n1, n2, n3, ......nn. Denominamos de taxa média a média aritmética ponderada das taxas de aplicações, tendo como fatores de ponderação os capitais e os prazos.

Exemplo:

Atividade 1: Um banco efetuou os seguintes empréstimos com juros simples conforme tabela abaixo:



Atividade 2: Uma determinada empresa teve as seguintes ope-rações financeiras a juros simples como mostra a seguinte tabela:

Atividade 3: Uma Financiadora efetuou os seguintes emprés-timos à juros simples, dados que os juros foram R$ 400,00 e R$ 550,00 respectivamente, determine a taxa média:

Prazo Médio

a) Capitais e taxas iguais: Neste caso o prazo médio é cal-culado pela média aritmética simples dos prazos dados. Exemplo: Uma pessoa aplicou R$ 1.000,00, a taxa de 2% a.a., durante 2 me-ses e R$ 1.000,00, a mesma taxa, durante 4 meses. Qual o prazo médio dessa aplicação?

b) Capitais diferentes e taxas iguais: Quando os capitais são diferentes e as taxas iguais, o prazo médio é calculado pela média aritmética ponderada dos prazos pelos capitais. Exemplo: Deter-mine o prazo médio de aplicação de dois capitais de 1.200,00 e de 1.800,00, aplicadas durante 1 ano e 3 anos, respectivamente, a taxas iguais?

c) Capitais iguais e taxas diferentes: Quando os capitais são iguais e as taxas diferentes, a solução é idêntica ao caso anterior. Exemplo: Diga qual é o prazo médio de uma operação com Ca-pitais de R$ 2.000,00 à taxa de 3% e 4%, aplicados durante um tempo de 4 e 5 meses respectivamente.

d) Capitais e taxas diferentes: Quando os capitais e as taxas são distintos, o prazo médio é calculado pela soma dos produtos dos capitais pelo tempo de aplicação e pela sua respectiva taxa dividida pela soma dos produtos do capital por essa referida taxa de aplicação:

Ou seja: Prazo médio = soma dos valores ponderados/soma dos produtos dos capitais pela taxa

Atividade 4: Qual o prazo médio de aplicação de dois capitais: R$800,00 em 20 dias a 1,5%a.a., R$ 1.000,00 a 2%a.a., em 30 dias?

Saldo Médio

As instituições financeiras ao conceder cheque, cartão de crédito ou até mesmo um empréstimo utilizam o saldo médio do cliente. Suponhamos que temos os saldos C1, C2, e C3, durante os prazos, n1, n2, n3. O saldo médio é dado por: Sm = C1.n1 + C2.n2 + C3.n3/ n1+n2+n3

Atividade 5: Uma empresa apresentou no mês de janeiro os seguintes saldos-credores.

ANOTAÇÕES

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QUESTÕES

01- Uma pessoa faz a aquisição de um imóvel ao valor global de R$ 200.000,00 e pagará esta dívida com uma taxa de juros de 10% a. a., num prazo determinado. A parcela mensal prevista é de R$ 150,00. Caso haja saldo residual, efetuará o devido pagamento ao final deste período. Desprezando a figura da correção monetá-ria, podemos afirmar que neste caso:

a) se o prazo de pagamento for superior a 100 (cem) meses,

não haverá saldo devedor.b) independente do prazo, sempre haverá saldo devedor e este

é crescente.c) ao final de 100 (cem) meses, o saldo devedor é de R$

50.000,00 (valor arredondado na unidade de milhar – critério de arredondamento universal).

d) se a capitalização dos juros for mensal, o saldo devedor ficará zerado após 240 meses de pagamento.

e) se a capitalização dos juros for anual, o saldo devedor ficará zerado após 240 meses de pagamento.

Resolução: Dados que a questão nos fornece: Imóvel = R$ 200.000,00Taxa de Juros = 10% ao anoParcela Mensal Devida = R$ 150,00Saldo Residual = caso haja, será pago ao final do período I – Regime de Capitalização Mensal:

n = número total de meses de pagamento da parcela mensal Saldo Devedor Inicial = 200.000 Saldo Devedor (Período 1) = 200.000 x (1 + i) – 150 Saldo Devedor (Período 2) = [200.000 x (1 + i) – 150] x (1 +

i) – 150Saldo Devedor (Período 2) = 200.000 x (1 + i)2 – 150 x (1 +

i) – 150 Saldo Devedor (Período 3) = [200.000 x (1 + i)2 – 150 x (1 +

i) – 150] x (1 + i) – 150

Saldo Devedor (Período 3) = 200.000 x (1 + i)3 – 150 x (1 + i)2 – 150 x (1 + i) – 150

Saldo Devedor (Período n) = 200.000 x (1 + i)n – 150 x (1 + i)

n-1 – 150 x (1 + i)n-2 – …. – 150x (1 + i) – 150 Quando “n” tender ao prazo estabelecido (por exemplo: 15

anos x 12 meses) o termo que vai prevalecer é o de maior potência, tendo em vista que a prestação de R$ 150,00, com certeza, é menor que o valor da prestação que reduz o saldo devedor a zero,ou seja:

Saldo Devedor (Período n) = 200.000 x (1 + i)n

02- Apontando por V – Verdadeiro e F – Falso, indique a op-

ção correta para as seguintes sentenças: I. Um fluxo de caixa é uma série de capitais (valores) dispos-

tos numa seqüência histórica (de datas).II. Dois (2) fluxos de caixa são equivalentes, segundo uma de-

terminada taxa de juros, se tiverem o mesmo valor em determinada data (valor atual, por exemplo).

III. A taxa interna de retorno de um determinado fluxo de cai-xa é a taxa para a qual o valor atual do fluxo é nulo (igual a zero).

a) V, F, Vb) F, V, Fc) V, V, Vd) F, F, Fe) V, V, F

Resolução:

I. Um fluxo de caixa é uma série de capitais (valores) dis-postos numa seqüência histórica (de datas).

Fluxo de Caixa → Um fluxo de caixa é uma representação gráfica de uma série de entradas (recebimentos)e saídas (pagamen-tos). As saídas são representadas por uma seta para baixo e as en-tradas por uma seta para cima.

Exemplo:



A alternativa é VERDADEIRA.

II. Dois (2) fluxos de caixa são equivalentes, segundo uma determinada taxa de juros, se tiverem o mesmo valor em deter-minada data (valor atual, por exemplo).

Fluxos de Caixa Equivalentes → dois ou mais fluxos de caixa, com datas diferentes, são ditos equivalentesquando, transportados para uma mesma data, a uma mesma taxa de juros, produzem, nes-sa data, valores iguais.

A alternativa é VERDADEIRA. III. A taxa interna de retorno de um determinado fluxo de

caixa é a taxa para a qual o valor atual do fluxo é nulo (igual a zero).

Métodos de avaliação de fluxo de caixa:Os métodos mais uti-lizados de avaliação de fluxos de caixa são:

- Método do valor presente líquido (VPL)- Método da taxa interna de retorno (TIR)

Valor Presente Líquido → é o valor dos fluxos financeiros tra-zidos à data zero, considerando-se a taxa dada.

Taxa Interna de Retorno → é a taxa de desconto que iguala o valor atual líquido dos fluxos de caixa de um projeto a zero. Ou seja, é a taxa onde o valor atual das entradas torna-se igual ao valor atual das saídas (fluxo é nulo).

A alternativa é VERDADEIRA. 03- Um investimento consiste na realização de 12 depósitos

mensais de R$ 100,00, sendo o primeiro deles feito um mês após o início da transação. O montante será resgatado um mês depois do último depósito. Se a taxa de remuneração do investimento é de 2% ao mês, no regime de juros compostos, o valor do resgate, em reais, será

(A) 1200,00 (B) 1224,00(C) 1241,21 (D) 1368,03(E) 2128,81

Resolução:FV = PMT*[(1+i)^n - 1] / iFV = montantePMT = depósitosn = quantidade de depósitos

FV = PMT.[(1+i)n - 1] / iFV = 100.[(1+0,02)12 - 1] / 0,02FV = 100.[1,2682417 - 1] / 0,02FV = 100.[0,2682417] / 0,02

FV = 100 . 13,412085FV = 1.341,21

Como o resgate desse montante ocorre um mês depois, então:FV = 1.341,21 . 1,02FV = 1.368,03

04- A taxa efetiva anual de 50%, no sistema de juros compos-tos, equivale a uma taxa nominal de i % ao semestre, capitalizada bimestralmente. O número de divisores inteiros positivos de i é

(A) 4(B) 5(C) 6(D) 7(E) 8

Resolução:Uma taxa nominal de i% ao semestre é igual a uma taxa efe-

tiva de i/3 ao bimestre. Em um ano, teremos 6 capitalizações da taxa bimestral.

(1+i/3)6=1,5

Usa-se log para resolver essa raiz.

Sendo 21=3.7 , podemos concluir que o mesmo pos-sui 2.2=4 divisores inteiros positivos.

05- A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de um certo projeto.

Período (anos) 0 1 2Valor (milhares de reais) – 410 P P

Para que a taxa interna de retorno anual seja 5%, o valor de P, em milhares de reais, deve ser

(A) 216,5 (B) 217,5(C) 218,5 (D) 219,5(E) 220,5

Resolução:A taxa interna de retorno é a taxa real que um investimento

render ao longo do tempo para “zerar” o valor aplicado inicialmen-te. Isso tudo levando ao valor presente.

Tomando o valor presente como o ano zero.No 1º ano, o retorno é p, levando esse valor para o ano zero,

temos p/1,05No 2º ano, o retorno é p, levando esse valor para o ano zero,

temos p/(1,05)²



Montando a equação de fluxo de caixa: p/1,05+p/(1,05)²-410 = 0Resolvendo a equação, obtemos p=220,5

06- Um empréstimo de R$ 300,00 será pago em 6 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 4% ao mês sobre o saldo devedor, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da quarta pres-tação será

(A) 50,00 (B) 52,00(C) 54,00 (D) 56,00(E) 58,00

Resolução:Um empréstimo de 300,00 será pago em 6 prestações mensais

sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo com ju-ros de 4%a.m. sobre o saldo devedor pelo sistema de amortização constante. O valor em reais da quarta prestação será?

Sistema de Amortização Constante (SAC)Os juros incidem somente sobre o saldo devedor.

P(n) = Prestação (n é o número de ordem da prestação= no caso é a quarta = 4))

M= montante do empréstimo = 300J= juro= 0,04 => 4%N= número de prestações = 6F= fração ( M/N) = 300/6= 50

P(n) = F + JM - JF(n-1)P(4) = 50 + 0,04x300 - 0,04x50x(4-1)P(4) = 50 +12 -6 = 56

Resposta = 56,00

07- Joga-se N vezes um dado comum, de seis faces, não vicia-do, até que se obtenha 6 pela primeira vez. A probabilidade de que N seja menor do que 4 é:

(A) 150/216(B) 91/216(C) 75/216(D) 55/216(E) 25/216

Resolução:A = ocorre a face 6

daí, para n < 4 teremos:

A ocorre na primeira jogada ouA ocorre na segunda jogada ouA ocorre na terceira jogada.

probabilidade de ocorrer na primeira jogada = 1/6probabilidade de ocorrer na segunda jogada = ( 5/6 ) * (1/6 )

= 5/36probabilidade de ocorrer na terceira jogada = (5/6)*(5/6)*(1/6)

= 25/216então a probabilidade pedida será:

( 1/6 ) + ( 5/36 ) + ( 25/216 ) = ( 36 + 30 + 25 )/216 = 91/216.

08- Júlio fez uma compra de R$ 600,00, sujeita à taxa de juros de 2% ao mês sobre o saldo devedor. No ato da compra, fez o pa-gamento de um sinal no valor de R$ 150,00. Fez ainda pagamentos de R$ 159,00 e R$ 206,00, respectivamente, 30 e 60 dias depois de contraída a dívida. Se quiser quitar a dívida 90 dias depois da compra, quanto deverá pagar, em reais?

(A) 110,00 (B) 108,00(C) 106,00 (D) 104,00(E) 102,00

Resolução:Saldo devedor = 600 - 150 = 450.i = 2% a.m. = 0,02 a.m.450*1,02 - 159 = 300,00300*1,02 - 206 = 100100*1,02 = 102,00

09- Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 10% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da terceira prestação será

(A) 50,00 (B) 55,00(C) 60,00 (D) 65,00(E) 70,00

Resolução:Em SAC, os juros sobre o saldo são pagos junto com a parcela.

Portanto, o valor da i-ésima parcela de um empréstimo (V) em (n) parcelas com uma taxa de juros (j) é calculada como:

Pｉ = j×(V - (i-1)V/n) + V/nPｉ = ( j (n - i + 1) + 1 ) V /n

V - (i-1) V/n corresponde ao saldo anterior Sｉ₋₁ (o valor inicial menos as parcelas anteriores, pagas); isto multiplicado por j corresponde aos juros sobre o saldo; V/n corresponde à parcela fixa de amortização. A segunda linha é a mesma fórmula, simpli-ficada.



Portanto:

P₃ = ( 10% ( 4 - 3 + 1 ) + 1 ) 200 / 4 = ( 0.1 × 2 + 1 ) 50 = 1.2 × 50 = 60

Resp.: C) 60,00 //

10- Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros com-postos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente?

(A) 75,0% (B) 72,8%(C) 67,5% (D) 64,4%(E) 60,0%

Resolução:ie = taxa efetivain = taxa nominaln = período

Sabendo que 1 quadrimestre tem 2 bimestres, então com apli-cação direta da fórmula, vc faz:

ie = 40%/2 -> ie = 20% ao bimestre

Como enunciado pede a taxa efetiva semestral, em juros com-postos, equivalente a tx nominal, qnd falar equivalente e juros compostos, basta vc usar a fórmula:

1 + I = (1 + i )^ n (elevado a n)I = Tx de maior período, ou seja, taxa mais longai = Tx mais curta

Nesse caso; semestre é mais longo que bimestre. Portanto, I = tx ao semestre (as) e i = tx

o bimestre (ab)

Aplicando na fórmula:

1 + Ias = (1 + iab)^nSabendo que 1 semestre tem 3 bimestres, então n = 3

1 + I = (1 + 20%)^31 + I = (1+0,02)^3 > 1 + I = 1,02^3I = 1,728 – 1I = 0,728 as

Colocando em porcentagem: I = 72,8%

11- Considerando que uma dívida no valor de R$ 12.000,00, contraída pelo sistema de amortização constante (SAC), tenha sido paga em 6 prestações mensais e que o valor dos juros pagos na 5.a prestação tenha sido igual a R$ 80,00, assinale a opção correta.

(A) A taxa de juros cobrada nessa transação foi de 2% ao mês.(B) Todas as prestações foram de mesmo valor.(C) Após a 5.a amortização, o valor da dívida era de R$

4.000,00.(D) O valor dos juros pagos na 3.a prestação foi de R$ 200,00.(E) A soma das 3.a e 6.a prestações foi igual a R$ 4.000,00.

Resolução:P = 12.000n = 6

A = P/n----> A = 12.000/6---->A = 2.000

J = i.A(n-t+1)J5 = i.2000.(6-5+1)80 = i.2000.(6-5+1)80 = i.2000.280 = 4000ii = 80/4000i = 0,02 am.i = 2% a.m.

12- Uma instituição financeira capta investimentos oferecen-do a taxa interna de retorno de 5% ao mês. Se, ao investir deter-minada quantia, um investidor fez duas retiradas, uma no valor de R$ 10.500,00 um mês após a data do depósito, e outra, no valor restante de R$ 11.025,00, dois meses após o depósito, então o va-lor investido foi igual a

(A) R$ 18.000,00.(B) R$ 18.500,00.(C) R$ 19.000,00.(D) R$ 19.500,00.(E) R$ 20.000,00.

Resolução:

PV = 10.500/(1+0,05) + 11.025/(1+0,05)2

PV = 10.500/1,05 + 11.025/1,052

PV = 10.000 + 10.000PV = 20.000,00

QUESTÕES

01- Um investimento consiste na realização de 12 depósitos mensais de R$ 100,00, sendo o primeiro deles feito um mês após o início da transação. O montante será resgatado um mês depois do último depósito. Se a taxa de remuneração do investimento é de 2% ao mês, no regime de juros compostos, o valor do resgate, em reais, será

(A) 1200,00 (B) 1224,00(C) 1241,21 (D) 1368,03(E) 2128,81




(A) 4 (B) 5(C) 6 (D) 7(E) 8




(A) 216,5 (B) 217,5(C) 218,5 (D) 219,5(E) 220,5


(A) 50,00 (B) 52,00(C) 54,00 (D) 56,00(E) 58,00


(A) 150/216(B) 91/216(C) 75/216(D) 55/216(E) 25/216


(A) 110,00 (B) 108,00(C) 106,00 (D) 104,00(E) 102,00


(A) 50,00 (B) 55,00(C) 60,00 (D) 65,00(E) 70,00


(A) 75,0% (B) 72,8%(C) 67,5% (D) 64,4%(E) 60,0%





(A) R$ 18.000,00.(B) R$ 18.500,00.(C) R$ 19.000,00.(D) R$ 19.500,00.(E) R$ 20.000,00.

11- A Lei n.º 4.728/1965 permitiu a emissão, pelos bancos de investimentos, de certificados de depósito bancário (CDBs). A referida lei estabelece que o certificado é uma promessa de paga-mento à ordem da importância do depósito, acrescida do valor da correção e dos juros convencionados. Os CDBs podem ser trans-feridos.

(A) mediante endosso em branco, datado e assinado pelo seu titular, ou por mandatário especial.

(B) mediante endosso em preto, exclusivamente.(C) sem endosso.(D) mediante endosso em cinza.



(E) mediante endosso em branco, para certificados com prazo superior a dezoito meses, e em preto, para certificados com prazo inferior.

Respostas: 01-D / 02-A / 03-E / 04-D / 05-B / 06-E / 07-C / 08-B / 09-A / 10-E / 11-A

QUESTÕES

01- Uma pessoa faz a aquisição de um imóvel ao valor global de R$ 200.000,00 e pagará esta dívida com uma taxa de juros de 10% a. a., num prazo determinado. A parcela mensal prevista é de R$ 150,00. Caso haja saldo residual, efetuará o devido pagamento ao final deste período. Desprezando a figura da correção monetá-ria, podemos afirmar que neste caso:

a) se o prazo de pagamento for superior a 100 (cem) meses,

não haverá saldo devedor.b) independente do prazo, sempre haverá saldo devedor e este

é crescente.c) ao final de 100 (cem) meses, o saldo devedor é de R$

50.000,00 (valor arredondado na unidade de milhar – critério de arredondamento universal).

d) se a capitalização dos juros for mensal, o saldo devedor ficará zerado após 240 meses de pagamento.

e) se a capitalização dos juros for anual, o saldo devedor ficará zerado após 240 meses de pagamento.

Resolução: Dados que a questão nos fornece: Imóvel = R$ 200.000,00Taxa de Juros = 10% ao anoParcela Mensal Devida = R$ 150,00Saldo Residual = caso haja, será pago ao final do período I – Regime de Capitalização Mensal:

n = número total de meses de pagamento da parcela mensal Saldo Devedor Inicial = 200.000 Saldo Devedor (Período 1) = 200.000 x (1 + i) – 150Saldo Devedor (Período 2) = [200.000 x (1 + i) – 150] x (1 +

i) – 150Saldo Devedor (Período 2) = 200.000 x (1 + i)2 – 150 x (1 +

i) – 150

Saldo Devedor (Período 3) = [200.000 x (1 + i)2 – 150 x (1 + i) – 150] x (1 + i) – 150

Saldo Devedor (Período 3) = 200.000 x (1 + i)3 – 150 x (1 + i)2 – 150 x (1 + i) – 150

Saldo Devedor (Período n) = 200.000 x (1 + i)n – 150 x (1 + i)

n-1 – 150 x (1 + i)n-2 – …. – 150x (1 + i) – 150 Quando “n” tender ao prazo estabelecido (por exemplo: 15

anos x 12 meses) o termo que vai prevalecer é o de maior potência, tendo em vista que a prestação de R$ 150,00, com certeza, é menor que o valor da prestação que reduz o saldo devedor a zero,ou seja:

Saldo Devedor (Período n) = 200.000 x (1 + i)n

02- Apontando por V – Verdadeiro e F – Falso, indique a op-ção correta para as seguintes sentenças:

I. Um fluxo de caixa é uma série de capitais (valores) dispos-

tos numa seqüência histórica (de datas).II. Dois (2) fluxos de caixa são equivalentes, segundo uma de-

terminada taxa de juros, se tiverem o mesmo valor em determinada data (valor atual, por exemplo).

III. A taxa interna de retorno de um determinado fluxo de cai-xa é a taxa para a qual o valor atual do fluxo é nulo (igual a zero).

a) V, F, Vb) F, V, Fc) V, V, Vd) F, F, Fe) V, V, F

Resolução:

I. Um fluxo de caixa é uma série de capitais (valores) dis-postos numa seqüência histórica (de datas).

Fluxo de Caixa → Um fluxo de caixa é uma representação gráfica de uma série de entradas (recebimentos)e saídas (pagamen-tos). As saídas são representadas por uma seta para baixo e as en-tradas por uma seta para cima.

Exemplo:



A alternativa é VERDADEIRA. II. Dois (2) fluxos de caixa são equivalentes, segundo uma

determinada taxa de juros, se tiverem o mesmo valor em deter-minada data (valor atual, por exemplo).

Fluxos de Caixa Equivalentes → dois ou mais fluxos de caixa, com datas diferentes, são ditos equivalentesquando, transportados para uma mesma data, a uma mesma taxa de juros, produzem, nes-sa data, valores iguais.

A alternativa é VERDADEIRA. III. A taxa interna de retorno de um determinado fluxo de

caixa é a taxa para a qual o valor atual do fluxo é nulo (igual a zero).

Métodos de avaliação de fluxo de caixa:Os métodos mais uti-lizados de avaliação de fluxos de caixa são:

- Método do valor presente líquido (VPL)- Método da taxa interna de retorno (TIR)

Valor Presente Líquido → é o valor dos fluxos financeiros tra-zidos à data zero, considerando-se a taxa dada.

Taxa Interna de Retorno → é a taxa de desconto que iguala o valor atual líquido dos fluxos de caixa de um projeto a zero. Ou seja, é a taxa onde o valor atual das entradas torna-se igual ao valor atual das saídas (fluxo é nulo).

A alternativa é VERDADEIRA. 03- Um investimento consiste na realização de 12 depósitos

mensais de R$ 100,00, sendo o primeiro deles feito um mês após o início da transação. O montante será resgatado um mês depois do último depósito. Se a taxa de remuneração do investimento é de 2% ao mês, no regime de juros compostos, o valor do resgate, em reais, será

(A) 1200,00 (B) 1224,00(C) 1241,21 (D) 1368,03(E) 2128,81

Resolução:FV = PMT*[(1+i)^n - 1] / iFV = montantePMT = depósitosn = quantidade de depósitos

FV = PMT.[(1+i)n - 1] / iFV = 100.[(1+0,02)12 - 1] / 0,02FV = 100.[1,2682417 - 1] / 0,02FV = 100.[0,2682417] / 0,02

FV = 100 . 13,412085FV = 1.341,21

Como o resgate desse montante ocorre um mês depois, então:FV = 1.341,21 . 1,02FV = 1.368,03


(A) 4(B) 5(C) 6(D) 7(E) 8

Resolução:Uma taxa nominal de i% ao semestre é igual a uma taxa efe-

tiva de i/3 ao bimestre. Em um ano, teremos 6 capitalizações da taxa bimestral.

(1+i/3)6=1,5

Usa-se log para resolver essa raiz.

Sendo 21=3.7 , podemos concluir que o mesmo pos-sui 2.2=4 divisores inteiros positivos.




(A) 216,5 (B) 217,5(C) 218,5 (D) 219,5(E) 220,5

Resolução:A taxa interna de retorno é a taxa real que um investimento

render ao longo do tempo para “zerar” o valor aplicado inicialmen-te. Isso tudo levando ao valor presente.

Tomando o valor presente como o ano zero.No 1º ano, o retorno é p, levando esse valor para o ano zero,

temos p/1,05No 2º ano, o retorno é p, levando esse valor para o ano zero,

temos p/(1,05)²

Montando a equação de fluxo de caixa: p/1,05+p/(1,05)²-410=0



Resolvendo a equação, obtemos p=220,5


(A) 50,00 (B) 52,00(C) 54,00 (D) 56,00(E) 58,00

Resolução:Um empréstimo de 300,00 será pago em 6 prestações mensais

sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo com ju-ros de 4%a.m. sobre o saldo devedor pelo sistema de amortização constante. O valor em reais da quarta prestação será?

Sistema de Amortização Constante (SAC)Os juros incidem somente sobre o saldo devedor.

P(n) = Prestação ( n é o número de ordem da prestação= no caso é a quarta = 4))

M= montante do emprestimo = 300J= juro= 0,04 => 4%N= número de prestações = 6F= fração ( M/N) = 300/6= 50

P(n) = F + JM - JF(n-1)P(4) = 50 + 0,04x300 - 0,04x50x(4-1)P(4) = 50 +12 -6 = 56

Resposta = 56,00


(A) 150/216(B) 91/216(C) 75/216(D) 55/216(E) 25/216

Resolução:A = ocorre a face 6

daí, para n < 4 teremos:

A ocorre na primeira jogada ouA ocorre na segunda jogada ouA ocorre na terceira jogada.

probabilidade de ocorrer na primeira jogada = 1/6probabilidade de ocorrer na segunda jogada = ( 5/6 ) * (1/6 )

= 5/36probabilidade de ocorrer na terceira jogada = (5/6)*(5/6)*(1/6)

= 25/216então a probabilidade pedida será:

( 1/6 ) + ( 5/36 ) + ( 25/216 ) = ( 36 + 30 + 25 )/216 = 91/216.


(A) 110,00 (B) 108,00(C) 106,00 (D) 104,00(E) 102,00

Resolução:Saldo devedor = 600 - 150 = 450.i = 2% a.m. = 0,02 a.m.450*1,02 - 159 = 300,00300*1,02 - 206 = 100100*1,02 = 102,00


(A) 50,00 (B) 55,00(C) 60,00 (D) 65,00(E) 70,00

Resolução:Em SAC, os juros sobre o saldo são pagos junto com a parcela.

Portanto, o valor da i-ésima parcela de um empréstimo (V) em (n) parcelas com uma taxa de juros (j) é calculada como:

Pｉ = j×(V - (i-1)V/n) + V/nPｉ = ( j (n - i + 1) + 1 ) V /n

V - (i-1) V/n corresponde ao saldo anterior Sｉ₋₁ (o valor inicial menos as parcelas anteriores, pagas); isto multiplicado por j corresponde aos juros sobre o saldo; V/n corresponde à parcela fixa de amortização. A segunda linha é a mesma fórmula, simpli-ficada.



Portanto:

P₃ = ( 10% ( 4 - 3 + 1 ) + 1 ) 200 / 4 = ( 0.1 × 2 + 1 ) 50 = 1.2 × 50 = 60

Resp.: C) 60,00 //


(A) 75,0% (B) 72,8%(C) 67,5% (D) 64,4%(E) 60,0%

Resolução:ie = taxa efetivain = taxa nominaln = período

Sabendo que 1 quadrimestre tem 2 bimestres, então com apli-cação direta da fórmula, vc faz:

ie = 40%/2 -> ie = 20% ao bimestre

Como enunciado pede a taxa efetiva semestral, em juros com-postos, equivalente a tx nominal, qnd falar equivalente e juros compostos, basta vc usar a fórmula:

1 + I = (1 + i )^ n (elevado a n)I = Tx de maior período, ou seja, taxa mais longai = Tx mais curta

Nesse caso; semestre é mais longo que bimestre. Portanto, I = tx ao semestre (as) e i = tx

o bimestre (ab)

Aplicando na fórmula:

1 + Ias = (1 + iab)^nSabendo que 1 semestre tem 3 bimestres, então n = 3

1 + I = (1 + 20%)^31 + I = (1+0,02)^3 > 1 + I = 1,02^3I = 1,728 – 1I = 0,728 as

Colocando em porcentagem: I = 72,8%




Resolução:P = 12.000n = 6

A = P/n----> A = 12.000/6---->A = 2.000

J = i.A(n-t+1)J5 = i.2000.(6-5+1)80 = i.2000.(6-5+1)80 = i.2000.280 = 4000ii = 80/4000i = 0,02 am.i = 2% a.m.


(A) R$ 18.000,00.(B) R$ 18.500,00.(C) R$ 19.000,00.(D) R$ 19.500,00.(E) R$ 20.000,00.

Resolução:

PV = 10.500/(1+0,05) + 11.025/(1+0,05)2

PV = 10.500/1,05 + 11.025/1,052

PV = 10.000 + 10.000PV = 20.000,00

QUESTÕES

01- Um investimento consiste na realização de 12 depósitos mensais de R$ 100,00, sendo o primeiro deles feito um mês após o início da transação. O montante será resgatado um mês depois do último depósito. Se a taxa de remuneração do investimento é de 2% ao mês, no regime de juros compostos, o valor do resgate, em reais, será

(A) 1200,00 (B) 1224,00(C) 1241,21 (D) 1368,03(E) 2128,81




(A) 4 (B) 5(C) 6 (D) 7(E) 8




(A) 216,5 (B) 217,5(C) 218,5 (D) 219,5(E) 220,5


(A) 50,00 (B) 52,00(C) 54,00 (D) 56,00(E) 58,00


(A) 150/216(B) 91/216(C) 75/216(D) 55/216(E) 25/216


(A) 110,00 (B) 108,00(C) 106,00 (D) 104,00(E) 102,0007- Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4 prestações

mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 10% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC).

O valor, em reais, da terceira prestação será(A) 50,00 (B) 55,00(C) 60,00 (D) 65,00(E) 70,00


(A) 75,0% (B) 72,8%(C) 67,5% (D) 64,4%(E) 60,0%





(A) R$ 18.000,00.(B) R$ 18.500,00.(C) R$ 19.000,00.(D) R$ 19.500,00.(E) R$ 20.000,00.

11- A Lei n.º 4.728/1965 permitiu a emissão, pelos bancos de investimentos, de certificados de depósito bancário (CDBs). A referida lei estabelece que o certificado é uma promessa de paga-mento à ordem da importância do depósito, acrescida do valor da correção e dos juros convencionados. Os CDBs podem ser trans-feridos.

(A) mediante endosso em branco, datado e assinado pelo seu titular, ou por mandatário especial.

(B) mediante endosso em preto, exclusivamente.(C) sem endosso.(D) mediante endosso em cinza.(E) mediante endosso em branco, para certificados com prazo

superior a dezoito meses, e em preto, para certificados com prazo inferior.

Respostas: 01-D / 02-A / 03-E / 04-D / 05-B / 06-E / 07-C / 08-B / 09-A / 10-E / 11-A



ANOTAÇÕES

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