Parte 1 Economia Financeira.pdf

7/26/2019 Parte 1 Economia Financeira.pdf

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PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DO

RIO GRANDE DO SUL PUCRS

FACULDADE DE ADMINISTRAO,CONTABILIDADE E ECONOMIA FACE

Economia Financeira

Prof. Leandro Hirt Rassier


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Economia Financeira 2 Leandro Hirt Rassier

1 - REVISO DE MATEMTICA

Antes de entrarmos efetivamente em matemtica financeira, para uma absoro adequada do

que ser estudado neste semestre, julgamos necessrio apresentar uma breve reviso destes pontos:

1.1 - HIERARQUIA DAS OPERAES:

Quando um determinado clculo contm vrias operaes simultneas, a ordem de resoluo

que deve ser seguida :

1 - potncias e razes;

2 - multiplicaes e divises;

3 - por ltimo, somas e subtraes.

1.2 - NVEIS DE OPERAES:

possvel alterar a hierarquia das operaes utilizando-se parnteses, colchetes ou chaves.

Numa expresso matemtica os clculos devem seguir a seguinte ordem:

1 - Efetuam-se as operaes entre parnteses ( )

2 - Efetuam-se as operaes entre colchetes [ ]

3 - Efetuam-se as operaes entre chaves { }

1.3 - POTENCIAO:

Potncia de um nmero o produto de n fatores iguais a esse nmero. Onde n o valor do

expoente.

Exemplo: 23= 2 x 2 x 2 = 8


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LEI DOS EXPOENTES:

Adotando-se m e n positivos e a 0, temos:

a) amx a n = a m n

b) a 0= 1

c)a

aa

m

n

m n

d)( )a am n mxn

e)( )axb a xbn n n

f) a

b

a

b

n n

n

g) aa

n

n

1

Exemplo:

8 40 45 9 24 18 144 2 23x x{ [ / ( ) ( )]}

Resp. = 72

1.4 - RADICAIS:

a operao inversa da potenciao:

25 52

LEI DOS RADICAIS

Adotando-se m e n positivos e a 0, temos:

a) a am

n mn

b) axb a x bn n n


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c)a

b

a

b

1.5 - LOGARITMOS:

Logaritmo de um nmero em relao a uma base positiva e diferente de um o expoente a que

se deve elevar a base para obter-se o nmero proposto.

28= 256

2 base

8 expoente

256 potncia

* Quando o expoente for incgnita ( x ):

2x= 256 Logaritmao

Log2 256 = 8

256 antilogaritmo ou nmero

2 base

x Log

Logartmo de um Nmero (N) o expoente (x) da potncia qual se deve elevar outro nmero

(a), chamado base, para se obter o nmero dado.

LEI DOS LOGARITMOS

a) Logaritmo de um produto:

Log (a x b) = Log (a) + Log (b)

b) Logaritmo de um quociente:

Loga

bLog (a) - Log(b)


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c) Logaritmo de uma potncia:

Log(a)n= nLog (a)

d) Logaritmo de uma raiz:

Log an =1

nx Log (a)

e) Ln N = x ex = N

1.6 - PERCENTAGEM:

A expresso por cento, indicada pelo smbolo % , significa que o nmero est sendo dividido

por 100, ou seja,

20 % =20

100= 0,20

DICA:

Nas frmulas, os clculos com percentagens so realizados trabalhando-se sob a forma de

frao decimal 0,20.

1.7 - REGRA DE TRS (SIMPLES)

a................b

x................c

b

acx


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2 - INTRODUO

2.1 - CONCEITO:

A Matemtica Financeira uma ferramenta til na anlise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos

matemticos para simplificar a operao financeira a um Fluxo de Caixa.

Trata do desenvolvimento de medidas, critrios e parmetros que permitam comparar e

selecionar diferentes alternativas de investimentos.

O valor do dinheiro no tempo um dos conceitos bsicos na matemtica financeira.

O preo do dinheiro dado atravs das taxas de juro.

Capital

O Capital o valor aplicado atravs de alguma operao financeira. Tambm conhecido como:

Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em ingls usa-se Present Value (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras).

JurosJuros representam a remunerao do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os

juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado.

JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo calculado a partir do

saldo no incio de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo

incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambm.

Ojuro a remunerao pelo emprstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato, e est disposta a pagar um preo por isto. Por outro lado, quem for capaz

de esperar at possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste nterim estiver disposta aemprestar esta quantia a algum, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinncia na


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proporo do tempo e risco, que a operao envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro

disponvel no mercado para emprstimos definem qual dever ser a remunerao, mais conhecida

como taxa de juros.

Quando usamos juros simples e juros compostos?

A maioria das operaes envolvendo dinheiro utilizajuros compostos. Esto includas: compras a

mdio e longo prazo, compras com carto de crdito, emprstimos bancrios, as aplicaes financeiras

usuais como Caderneta de Poupana e aplicaes em fundos de renda fixa, etc. Raramente

encontramos uso para o regime de juros simples: o caso das operaes de curtssimo prazo, e do

processo de desconto simples de duplicatas.

Taxa de juros

A taxa de juros indica qual remunerao ser paga ao dinheiro emprestado, para um

determinado perodo. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da

especificao do perodo de tempo a que se refere:

8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).

10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).

Outra forma de apresentao da taxa de juros a unitria, que igual a taxa percentual dividida

por 100, sem o smbolo %:

0,15 a.m. - (a.m. significa ao ms).

0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

O valor dos juros ao final de um determinado perodo obtido pela multiplicao da taxa de

juros do perodo e o valor investido. Isto , considerando-se uma taxa de 8% ao ano e uma aplicao

inicial de $1.000,00, teremos, ao final de 1 ano, juros de:

j = 1.000,00 x 0,08

j = 80,00


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2.2 - NOES SOBRE FLUXO DE CAIXA:

Denomina-se fluxo de caixa ao conjunto de entradas e sadas de dinheiro (caixa) ao longo do

tempo. Geralmente representado por um diagrama, onde:

- linha horizontal: representa o tempo (perodos), que pode ser expresso em dias, quinzenas,

meses anos, etc.

- sadas de dinheiro: indicam pagamentos e so representados por flechas apontadas para baixo

e seus valores so registrados com sinais negativos.

- entradas de dinheiro: indicam recebimentos e so representados por flechas direcionais para

cima

e seus valores tero sinais positivos.

2.3 - SIMBOLOGIA:

FV (Valor Futuro - Montante):equivale soma do principal mais os juros do perodo. Em

um diagrama de Fluxo de Caixa, representa os valores em datas futuras.

PV (Valor Presente - Principal): capital inicial. Em um diagrama de Fluxo de Caixa

representa o valor atual, ou valores que se antecipem a outros.

n (Prazo):nmero de perodos da operao, ou nmero de repeties do mesmo Fluxo de

Caixa.

i (taxa de juro): taxa de juro expressa em percentagem % quando utilizamos o teclado

financeiro da calculadora e, em frao decimal, nos demais casos.

PMT (Prestaes):em um diagrama de Fluxo de Caixa representa os valores de uma srieuniforme de pagamentos / recebimentos que ocorrem no incio / fim de cada perodo,

durante n perodos.

Cfj(Fluxo de Caixa):valor da entrada ou sada de caixa no momento j (j = 0, 1, 2,..., n).

NPV (Valor Presente Lquido):diferena entre o valor presente dos recebimentos e o valor

presente dos desembolsos requeridos pelo investimento, em funo de uma taxa de juro i.


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IRR (Taxa Interna de Retorno): a taxa de juro que iguala o valor presente dos

recebimentos ao valor presente dos desembolsos requeridos pelo investimento.

2.4 - DIAGRAMAS DO FLUXO DE CAIXA:

Tendo em vista que os problemas de Matemtica Financeira envolvem pagamentos e

recebimentos em perodos diferentes de tempo, importante represent-los de maneira que possamos

visualizar o problema.

Esta representao dada pelo Diagrama do Fluxo de Caixa, o qual apresenta o resumo dos

eventos (pagamentos / recebimentos) ao longo de uma linha temporal.

O ponto zero corresponde ao instante inicial (presente) e os demais pontos correspondem ao

final de cada perodo.

Os recebimentos sero representados por setas apontadas para cima, indicando valores

positivos (+), e os pagamentos por setas apontadas para baixo, caracterizando os valores negativos (-).

2.5 - TIPOS DE FLUXO DE CAIXA

Pagamento nico (binrio)

PV

0 1 2 n FV

Variveis: PV, FV, n, i

Pagamentos Iguais (mltiplo)

PV

0 1 2 n

PMT

Variveis: PV, PMT, n, i


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Economia Financeira 10 Leandro HirtRassier

FV

0 1 2 n

PMT

Variveis: FV, PMT, n, i

Pagamentos irregulares (complexo)

CF0 CF2

0 1 2 n-1 n

CF1 CFn-1 CFn

Variveis: CFO, Cfj, Nj, i

Funes: NPV, IRR

2.6 - EQUIVALNCIA DE FLUXOS DE CAIXA

Dois ou mais Fluxos de Caixa so equivalentes quando no podemos determinar qual o

melhor, ou seja, somos indiferentes no momento da escolha.

Esta equivalncia somente dada a uma determinada taxa de juro e, necessariamente, todos os

Fluxos de Caixa Equivalentes devero ter o mesmo Valor Presente (PV) e o mesmo Valor Futuro

(FV).

Da idia de equivalncia de Fluxos de Caixa a uma determinada taxa de juro, decorre o

conceito do valor do dinheiro no tempo, Isto , no importa apenas o valor numrico dos eventos, mastambm, o momento em que tais eventos ocorrem.


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Exemplo:

Admitindo-se um custo de oportunidade de 10% a.m., os dois Fluxos de Caixa abaixo so

equivalentes.

$ 1.000,00

0 1 ms

$ 1.100,00

0 1 ms

3 - JUROS SIMPLES

3.1 - CONCEITOS:

So calculados com base no capital inicial, no incidem, pois sobre os juros

acumulados.Podemos definir o juro como sendo a remunerao de um capital obtido (ou aplicado)

por um determinado tempo a uma certa taxa.O clculo matemtico linear, ou seja, o dinheiro cresce em progresso aritmtica ao

longo do tempo.A taxa e o prazo devem sempre estar expressos na mesma unidade de tempo.A taxa de juro i pode ser expressa em percentagem ou em frao decimal (forma

unitria).Percentagem: 10% ao ms

Frao decimal: 0,10 a.m., ou seja,Taxa %

100

Obs.: Nas frmulas de Matemtica Financeira utilizada a forma unitria.

Ao se estabelecer a taxa de juro, deve-se ter presente, no mnimo trs variveis:1 - Custos Operacionais;2 - Riscos da Operao;3 - Ganho sobre o Capital.

3.2 - Frmulas:


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Juros:J = PV x i x n

Valor Futuro:FV PV J

FV PV PV i n

FV PV i n ( )1

Valor Presente:

PV

FV

i n

1

Prazo:

nFV PV

PV i

Observao: O prazo ser dado em funo do perodo a que se refere a taxa. Assim, se ataxa for anual, o prazo ser dado em anos.

Taxa de Juro: iFV PV

PV n

Observao: O perodo da taxa ser dado em funo do prazo. Assim, se o prazo for dex anos, a taxa ser anual.

REGRA PRTICApara compatibilizar o prazo da operao com a unidade de tempo da taxa.

Divide-se o prazo da operao (em dias) pelo nmero de dias da unidade de tempo emque a taxa est expressa.

ou seja:

nN

N i onde , :

N = prazo da operao, em dias.Ni = prazo em que a taxa est expressa, em dias.

EXEMPLO:


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N = 2 meses

n 60

180

i = 35% ao semestre

OBS.: Essa regra aplicvel em problemas de juros e descontos simples e juros compostos(exceto com a varivel PMT).

3.3 - TIPOS DE JUROS SIMPLES

Tendo em vista as transaes financeiras operadas com prazos determinados por certonmero de dias, ento deparamos com tais casos:

Caso 1Ano Civil: considerar 365 dias ou 366 dias para o ano bissexto.

Caso 2Ano Comercial: considerar 360 dias.

3.3.1 - JUROS SIMPLES EXATO

Neste tipo de conveno adotada para determinao do tempo a do ano civil.

Exemplo:Calcular o juro simples exato de R$ 20.000,00 taxa de 12% ao ano, de 05 de abril a 10

de setembro do mesmo ano.abril - 25 diasmaio - 31 dias

junho - 30 diasjulho - 31 diasagosto - 31 diassetembro - 10 dias

158 dias3. 3.2 - JUROS SIMPLES COMERCIAL

Neste tipo de converso adotada para determinao do tempo a do ano comercial.

Exemplo:Calcular o juro simples comercial de R$ 20.000,00 a taxa de 12% ao ano, de 5 de abril a

10 de setembro do mesmo ano.

abril - 25 dias


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maio a agosto - 120 diassetembro - 10 dias

155 dias

J x x R 20000 0012

100

155

360 1033 33. , $ . ,

3.3.3 - JUROS SIMPLES PELA REGRA DOS BANQUEIROS

Neste tipo de juros simples devemos seguir a regra abaixo.- Conveno do ano comercial na aplicao da frmula de juros simples (ano de 360 dias).- Conveno do ano civil para contagem do nmero de dias (nmero exato de dias).

Exemplo:Calcular o juro simples pela Regra dos Banqueiros de R$ 20.000,00 taxa de 12% ao

ano, de 05 de abril a 10 de setembro do mesmo ano.

J x x R 20000 0012

100

158

360 1053 33. , $ . ,

Taxas proporcionais:

Duas ou mais taxas de juros so ditas proporcionais quando ao serem aplicadas aomesmo valor presente, durante um mesmo perodo de tempo, gerarem o mesmo valor futuro nofinal do perodo, no regime de Juros Simples.

Relao existente entre diferentes taxas proporcionais:ia= 2 is= 4 it= 12 im= 360 id

is= 2 it= 6 im= 180 idit= 3 im= 90 id

im= 30 id

DICA:

A proporcionalidade existente entre as taxas de juro, em regime de Juros Simples, amesma existente entre os prazos a que elas se referem. Deste modo, podem ser encontradas

atravs de uma regra de trs simples.


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EXERCCIOS

1) Qual o montante gerado por um capital de R$ 450,00 aplicado a uma taxa de 6,4% ao ms,

durante 4 meses? (R$ 565,20)

2) Quanto tempo um capital de R$ 210,00 precisa permanecer depositado em um Banco, a umataxa de 1,2% ao ms, para gerar um montante de R$ 840,00? (250 meses)

3) A aplicao de R$ 285,00, pelo prazo de 325 dias, proporcionou um rendimento de R$41,04. Determine a taxa mensal de juros dessa operao? (1,329% a.m.)

4) Calcule o valor dos juros referente a um emprstimo de R$ 640,00, contratado no dia14.07.08, com vencimento em 27.09.08, a uma taxa de 90% ao ano? (p/ 1 ano = 360 dias;

J = R$ 116,80)

5) Quanto devo aplicar para obter, no final de 92 dias, a uma taxa de 2,6% ao ms, o montantede R$ 906,08? (R$ 839,19)

6) Um indivduo aplicou o valor de R$ 150,00, obtendo R$ 22,68 de juros. Sabendo-se que ataxa foi de 1,8% ao ms, determine por quantos dias foi realizada essa operao? (252 dias)

7) Calcule o valor de resgate produzido por uma aplicao de R$ 540,00, contratada em20.07.08, com vencimento em 23.09.08, a uma taxa de 1,2% ao ano? ( R$ 541,13)

8) Determine os juros gerado por certo capital, que permanecendo aplicado por 72 dias, a umataxa de 5,2% ao ms, propiciou um montante de R$ 680,00? (R$ 75,45)

9) Ao aplicar R$ 670,00 um indivduo resgatou R$ 792,44 no final de 120 dias. Calcule a taxamensal dessa operao? (4,56 %)

10) Uma aplicao realizada pelo prazo de 7 meses, a uma taxa de 13,2% ao ano, produziujuros de R$ 54,18. Determine o valor investido? (R$ 703,63)

11) Calcule o valor dos juros de um financiamento de R$ 1.450,00, contratado a uma taxa de7,5% ao ms, durante 48 dias? (R$ 174,00)

12) Determine o montante gerado por certo capital, que produziu juros no valor de R$8.400,00, num prazo de 63 dias, a uma taxa de 10% ao ano? (488.400,00)

13) Quantos dias sero necessrios para um capital de R$ 350,00 gerar um montante de R$547,40, se for aplicado a uma taxa de 4,0 % ao ms? (423 dias)

14) Um capital de R$ 380,00, aplicado durante 45 dias, proporcionou juros de R$ 39,90.Calcule a taxa anual dessa operao? (84 %)


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15) Determine quanto ser preciso depositar hoje em um Banco, que paga uma taxa de 13 % aoano, para que se obtenha um montante de R$ 953,75, no final de 15 meses? (R$ 820,43)

4 - DESCONTO

Desconto o abatimento que se obtm / concede em um ttulo para pagamento antes dovencimento.

D = FV - PV Frmula Geral

Existem dois tipos de descontos. O desconto por fora (ou bancrio, ou comercial) e o

desconto por dentro (ou racional).

Desconto BancrioNo bancrio o desconto calculado sobre o valor nominal do ttulo. obtido em funo

de clculos lineares, multiplicando-se o valor nominal do ttulo pela taxa de desconto (emfuno decimal) e o resultado pelo prazo a decorrer at o vencimento do ttulo, como segue:

D = FV * iD* n Valor do D = desconto

Este tipo de desconto amplo e generalizadamente utilizado no Brasil, enquanto que odesconto por dentro praticamente inexiste em termos de aplicao.

D = FV - PV

FV * iDx m = FV - PV

PV = FV - FV x iDx n

PV = FV (1- iDx n)

FV = Valor nominal. a importncia expressano ttulo. Valor de resgate, valor futuro.

n = quantidade de perodos da operao (deveestar expressa na mesma unidade detempo da taxa).

PV = valor atual, valor presente, valor lquidoentregue ou creditado ao cliente no dia daoperao.


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4.1 - FRMULAS DE DESCONTO BANCRIO

INCGNITAS FRMULAS

DESCONTO FV - PV

FV x i x n

PV(1 - i x n)

FVDesconto

i x n

PV + Desconto

i 1100

( )PV FV

nx

Desconto

FV x n x100

NDesconto

FV x i

1 ( )PV FV

i

PV FV - Desconto

FV (1 - i x n)

Obs.: As variveis i(taxa) e n(prazo) devem estar sempre expressas na mesma unidadede tempo.

A taxa percentual (i%) deve ser transformada em decimal, Isto : 100%i


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EXERCCIOS

1. Uma empresa descontou em um Banco uma duplicata no valor de R$ 350,00, a uma taxa de

4,2% ao ms, faltando 45 dias para o seu vencimento. Calcule a importncia lquidacreditada empresa? (R$ 327,95)

2. Uma nota promissria de R$ 600,00 foi descontada em 19.07.08, com vencimento em05.09.08, gerando um desconto de R$ 55,68. Determine a taxa mensal de operao?(5,8% a.m)

4.2 - CONVERSO DA TAXA DE DESCONTO EM TAXA DE JURO EFETIVA SIMPLES EVICE-VERSA.

Com o intuito de tomarmos decises sobre a antecipao de um determinado ttulo ou aaplicao deste valor em algum ativo financeiro, deveremos comparar a taxa de desconto do

perodo com o nosso custo de oportunidade (taxa de aplicao de que dispomos).

A frmula para converso da taxa de desconto do perodo em taxa de juro efetiva aseguinte:

Deduo da frmula

FV = PV (1+ ij . n)

PV = FV (1- iD. n)

ij xD

D

ii

1

100

Di ij

ijx

1 100

Caso a taxa de juro (ij) encontrada em funo da taxa de desconto (iD), seja maior doque a que dispomos, deveremos antecipar o ttulo, caso contrrio, no.

DICAS:

A taxa de juro efetiva (i), refere-se ao perodo total do desconto. Assim, se o prazo dodesconto for de 6 meses, a taxa de juro ser semestral.

Para transformar o prazo a que se refere a taxa de juro efetiva, basta utilizar o conceito detaxas equivalentes.


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Exemplos:

a) Uma operao de desconto foi realizada pelo prazo de 45 dias, a uma taxa de 9% ao ms.

Qual a taxa de juros equivalente.

taxa no perodo: 9 30 45 13 5 ,

ij em dias

0135

1 0 135 100 15 607% 45

,

, ,

ij mensal 15 607 45 30 10 405%, , ao ms.

b) Uma operao de emprstimo foi efetuada pelo prazo de 20 dias, a uma taxa de juro de 12%ao ms. Determine a taxa de desconto equivalente.

taxa no perodo: 12 30 20 8

id em dias

0 08

1 0 08 100 7 407% 20

,

, ,

id mensal 7 407 20 30 11 11%, , ao ms.

EXERCCIOS SOBRE CONVERSO DE TAXAS DE DESCONTO EM TAXAS DE JUROSIMPLES E VICE-VERSA

1) Um Banco est operando com uma taxa de desconto de 12,6% ao ms. Supondo umaoperao pelo prazo de 45 dias, determine a taxa de juros no perodo e ao ms? (23,30%;15,54%)

2) Um Banco quer ganhar 14% ao ms de juros em suas operaes. Para que esse rendimentoseja mantido nas operaes de desconto, que taxa mensal de desconto dever ser cobrada,

considerando um prazo de 45 dias? (11,57 % a.m. ou 17,36% no perodo).

3) Um Banco realiza uma operao de desconto pelo prazo de 20 dias, cobrando uma taxa de15,3% ao ms. Calcule a taxa de juros no perodo e ao ms? ( 11,36% e 17,04%)

4) Um Banco fixa sua taxa de ganho em 12% ao ms de juros. Determine a taxa mensal quedever ser cobrada nas operaes de desconto, nos prazos abaixo indicados, de modo que orendimento estipulado seja preservado?

a- 22 dias (11,03%)

b- 30 dias (10,71%)c- 50 dias (10,00%)


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5 - JUROS COMPOSTOS

So aqueles calculados sobre a soma do capital inicial mais os juros dos perodos

anteriores. Em outras palavras, o que se conhece como juros sobre juros.

Conceitos:* Remunera no somente o capital inicial, como tambm os rendimentos que esse capitalvai acumulando em cada perodo.

* O clculo matemtico exponencial.

* A taxa e o prazo devem sempre estar expressos na mesma unidade de tempo.

* A taxa de juro i expressa em frao decimal (frmulas).

QUADRO COMPARATIVO ENTRE APLICAO A JUROS SIMPLES E A JUROSCOMPOSTOS CONSIDERANDO UMA TAXA DE 10% a.a.

JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOSCAPITAL 100 100Aps 1 ano 100 x 0,10 + 100 = 110 100 x 0,10 + 100 = 110Aps 2 anos 100 x 0,10 + 110 = 120 110 x 0,10 + 110 = 121

Aps 3 anos 100 x 0,10 + 120 = 130 121 x 0,10 + 121 = 133,10Ento: as equaes bsicas do sistema de juros compostos so:

FV = PV (1+ i)n Juros = FVPV

)1(

1001

1

11

1

iLN

PVFVLNn

PVFVi

i

FVPV

iPVJ

n

n

n

onde:


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FV = montante (principal + juros), valor futuro, valor de resgatePV = principal, valor atual, valor presente, capital inicial

i = taxa de juros expressa em frao decimaln = nmero de perodos (dia, ms, ano, etc...)

Observao:

As variveis i e n devem estar sempre expressas na mesma unidade de tempo.

O prazo (n) ser dado em funo do perodo a que se refere a taxa. Assim, se a taxa ( i ) foranual, o prazo ser dado em anos.

O perodo da taxa ser dado em funo do prazo. Assim, se o prazo for de x anos, a taxa seranual.

Taxas Equivalentes:

Duas ou mais taxas de juros so ditas equivalentes quando ao serem aplicadas aomesmo valor presente, durante um mesmo perodo de tempo, gerarem o mesmo valor futuro nofinal do perodo, no regime de Juros Compostos.

Relao existente entre taxas equivalentes:

1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1

1 1

1 2 4 12 360

2 6 180

3 90

30

a s t m d

s t m d

t m d

m d

i i i i i

i i i i

i i i

i i

ie i

N

Ni

1 1 100 FRMULA GENRICA

ie= taxa equivalente (efetiva/exponencial) no perodo.i= taxa da operao na forma unitria.N= prazo de operao em dias.Ni= prazo em que a taxa est expressa em dias.

DICAS:


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A equivalncia entre taxas de juro, no regime de Juros Compostos, se d entre os fatoresdas taxas de juros (1+ i).

No devemos, em hiptese alguma, multiplicar ou dividir as taxas no regime de JurosCompostos.

EXERCCIOS

1) Calcule o montante gerado por um capital de R$ 180,00, aplicado a uma taxa de 3,5% aoms, durante 4 meses. (R$ 206,55)

2) Determine os juros produzidos pelo capital de R$ 630,00, aplicado a uma taxa de 6,2% aoms, durante 120 dias? (R$ 171,38)

3) Calcule o valor atual de um financiamento realizado pelo prazo de 5 meses, a uma taxaefetiva de 34% ao ano, tendo sido resgatado no final por R$ 309,56? (R$ 274,02)

4) Um emprstimo de R$ 40,00, contratado pelo prazo de 18 meses, foi liquidado, novencimento, pelo valor de R$ 270,36. Calcule as taxas mensal e anual dessa operao?(11,20% a.m.; 257,48% a.a. )

5) Um financiamento de R$ 420,00 foi liquidado, no vencimento, pelo valor de R$ 777,25.Sabendo-se que a taxa cobrada foi de 3,1% ao ms, determine o prazo de operao? (20,16meses)

6) Certo capital aplicado a uma taxa de 8,5% ao ms, durante 7 meses, gerou um montante deR$ 221,27. Determine o valor dos juros da operao? (R$ 96,27)

7) Calcule o capital inicial que aplicado a uma taxa efetiva de 48% ao ano, durante 45 dias, setransformou no montante de R$ 987,21? (R$ 940,00)

8) Uma financeira empresta R$ 250,00 pelo prazo de 2 anos, proporcionando um valor deresgate de R$ 1.386,89. Determine as taxas mensal e anual dessa operao? (7,40%;135,53%)

9) Uma pessoa obtm um emprstimo de R$ 280,00, que dever ser pago no final de 55 dias.Sabendo-se que a taxa efetiva foi de 87,5% ao ano, calcule o valor de resgate? (R$ 308,22)

10) Um emprstimo de R$ 320,00, contratado a uma taxa de 10,6% ao ms, dever serliquidado, no vencimento, por R$ 585,71. Determine o prazo dessa operao? (6 meses)


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11) Uma pessoa aplicou a quantia de R$ 240,00, obtendo R$ 35,75 de juros. Sabendo-se que ataxa foi de 9,7% ao ms, determine por quantos dias foi realizada essa operao? (45 dias)

12) Calcule o valor dos juros que dever ser cobrado de um financiamento de R$ 880,00contratado a uma taxa de 11,6% ao ms, durante 90 dias? (R$ 343,14)

13) Uma empresa efetuou uma aplicao pelo prazo de 6 meses, tendo recebido no vencimentoR$ 252,87, sendo que R$ 97,87 a ttulo de juros. Pergunta-se qual foi a taxa mensal dessaoperao? (8,49946625%)

14) Uma aplicao realizada pelo prazo de 5 meses, a uma taxa de 8,7% ao ms, produziujuros de R$ 73,49. Determine o valor do capital inicial aplicado? (R$ 141,99)

6 - COMPARAO ENTRE JUROS SIMPLES E COMPOSTOS:

I) O capital em regime de Juros Simples cresce em Progresso Aritmtica e em JurosCompostos, em Progresso Geomtrica.

II) Para um perodo de aplicao menor que o perodo de capitalizao da taxa de juro, osrendimentos no regime de Juros Simples so maiores que em Juros Compostos.

III) Para um perodo de aplicao igual ao de capitalizao da taxa de juro, o capital em regimede Juros Simples produz o mesmo montante do que em Juros Compostos.

IV) Para um perodo de aplicao maior que o de capitalizao da taxa de juro, os rendimentosno regime de Juros Simples so menores que em Juros Compostos.

7 - TAXA NOMINAL E TAXAEFETIVA


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TAXAS NOMINAIS

A taxa nominal quando o perodo de formao e incorporao dos juros ao Capital no coincidecom aquele a que a taxa est referida. Alguns exemplos:

- 340% ao semestre com capitalizao mensal.

- 1150% ao ano com capitalizao mensal.

- 300% ao ano com capitalizao trimestral.

Exemplo:

Uma taxa de 15 % a.a., capitalizao mensal, ter 16.08 % a.a. como taxa efetiva:

15/12 = 1,25 (1 + 0,0125)12 = 1,1608 1,16081 = 0,1608 x 100 = 16,08% a.a.

TAXAS EFETIVAS

A taxa Efetiva quando o perodo de formao e incorporao dos juros ao Capital coincide com

aquele a que a taxa est referida. Alguns exemplos:

- 140% ao ms com capitalizao mensal.

- 250% ao semestre com capitalizao semestral.- 1250% ao ano com capitalizao anual.

Taxa Real: a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionria do perodo da operao.

A taxa nominal muitas vezes diferente da taxa efetiva, em razo de existirem obrigaes,

taxas, impostos ou comisses que comprometem os rendimentos ou oneram os pagamentos de juros.

Critrios diferentes para o clculo de juros tambm fazem a taxa nominal diferir da efetiva,

como por exemplo, juros cobrados antecipadamente ou calculados sobre um total que na realidade

pago em parcelas. Esses e outros artifcios s vezes so usados conscientemente para mascarar a taxa

efetiva e fazer os juros parecerem maiores ou menores conforme a convenincia.

REGIME DE JUROS SIMPLES


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1) Um capitalista depositou 200.000,00 num banco, a prazo fixo, por dois meses taxa de 12%

a.m.. Sabendo que, sobre os juros, incide uma taxa de 30% de imposto de renda, determinar:

a) O valor dos juros;

b) O imposto de renda retido;

c) O valor lquido de resgate;

d) A taxa efetiva mensal de rendimento;

Soluo:

a) J = PV . i . nJ = 200.000 . 0,12 . 2 = R$ 48.000,00

b) IR = 48.000 . 0,30 = R$ 14.400,00

c) RESGATE BRUTO: FV = PV + J = 200.000 + 48.000 = R$ 248.000,00

RESGATE LQUIDO = 248.000 - 14.400 = R$ 233.600,00 (valor efetivo)

d) FV = PV(1 + i .n)

233.600 = 200.000 (1+ i x 2)

i

233600

200 000 1

2

.

. i = 0,084% = 8,4% (taxa efetiva de rendimento)

2) Uma instituio financeira faz emprstimos e cobra 8% a.m. de juros simples que devem ser

pagos antecipadamente pelo tomador. Qual a taxa efetiva que o tomador paga por emprstimo de

R$ 50.000,00 por trs meses?

J = PV . i . n

J = 50.000 . 0,08 . 3 = 12.000,00 (retidos na data do emprstimo)


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Emprstimo efetivo = 50.000 - 12.000 = R$ 38.000 (PV efetivo)

Pagamento final = R$ 50.000,00 (FV efetivo)

Taxa efetiva: FV = PV (1 + i . n)

50.000 = 38.000 (1 + i . 3)

i = 10,53% a.m. (taxa efetiva pelo pagador)

3) Um vendedor ambulante oferece, no porto, para uma dona de casa, um objeto pelo preo de

R$ 1.800,00 vista. Esclarece que, se a compradora quiser, poder pagar 5% a mais sobre o preototal para pagar em duas vezes, isto , poder pagar R$ 945,00 no ato da compra e R$ 945,00 aps 30

dias. Qual a taxa mensal efetiva que esse vendedor est cobrando?

Soluo:

Parte financiada: 1.800 - 945 = R$ 855,00 (PV efetivo)

FV = PV (1 + i . n)

945,00 = 855 (1 + i . 1)

i = 10,53% a.m. (taxa efetiva cobrada pelo vendedor)

REGIME DE JUROS COMPOSTOS

Convencionou-se, ento, que, quando o perodo mencionado na taxa no corresponde ao

perodo de capitalizao, prevalece o perodo de capitalizao, devendo-se tomar a taxa proporcional

correspondente como taxa efetiva e considerar a taxa dada como nominal.

1) A Caderneta de Poupana, alm da atualizao monetria, paga juros de 6% a.a.

capitalizados mensalmente.

a) Qual a taxa nominal de juros pagos pela Caderneta de Poupana?

b) Qual a taxa efetiva mensal?

c) Qual a taxa efetiva anual?

Soluo:


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a) 6% a.a.

b)6%

12

0 5% , a.m.

c) (1 + ia)1 = (1 + im)12

(1 + ia) = (1 + 0,005)12

ia= (1,005)12 - 1 ia= 6,1678% a.a.

2) Uma pessoa tomou um emprstimo de R$ 10.000,00 para pagar aps trs meses com juros

de 180% a.a capitalizados mensalmente. Na data da liberao do emprstimo pagou uma taxa de

servio de 2,5% sobre o valor do emprstimo. Qual a taxa efetiva anual paga pelo tomador?

Soluo:

Taxa mensal efetiva:180

12= 15% a.m. da operao

2,5% x 10.000 = R$ 250,00

Emprstimo efetivo = R$ 9.750,00

Pagamento final: FV = PV (1 + ia)n FV = 10.000 (1 + 0,15)3

= R$ 15.208,75

Taxa efetiva mensal: FV = PV (1 + i)n

15.208,75 = 9.750 (1 + i)3

i = 0,1595 i = 15,975% a.m. (taxa efetiva mensal) paga pelo tomador

Taxa efetiva anual: (1 + im)1= (1 + im)12

ia= (1 + im)12- 1

ia= (1 + 0,15975)12 - 1ia= 4,9205 ia= 492,05% a.a. paga pelo tomador

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