Matematica - Nivelamento
description
Transcript of Matematica - Nivelamento
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 1/42
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 2/42
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 3/42
UNIVERSIDADE PARANAENSE
MANTENEDORA Associação Paranaense de Ensino e Cultura – APEC
REITORCarlos Eduardo Garcia
Vice-Reitora ExecutivaNeiva Pavan Machado Garcia
Vice-Reitor ChancelerCandido Garcia
Diretorias Executivas de GestãoAdministrativa
Diretorias Executivas de Gestão Acadêmica
Diretor Executivo de Gestão dos Assuntos ComunitáriosCássio Eugênio Garcia
Diretora Executiva de Gestão da Cultura e da DivulgaçãoInstitucionalCláudia Elaine Garcia Custodio
Diretora Executiva de Gestão e Auditoria de Bens MateriaisPermanentes e de ConsumoRosilamar de Paula Garcia
Diretor Executivo de Gestão dos Recursos FinanceirosRui de Souza Martins
Diretora Executiva de Gestão do Planejamento AcadêmicoSônia Regina da Costa Oliveira
Diretor Executivo de Gestão das Relações TrabalhistasJânio Tramontin Paganini
Diretor Executivo de Gestão dos Assuntos JurídicosLino Massayuki Ito
Diretora Executiva de Gestão do Ensino SuperiorMaria Regina Celi de Oliveira
Diretor Executivo de Gestão da Pesquisa e da Pós-GraduaçãoRégio Marcio Toesca Gimenes
Diretor Executivo de Gestão da Extensão Universitária Adriano Augusto Martins
Diretor Executivo de Gestão da Dinâmica UniversitáriaJosé de Oliveira Filho
Diretorias dos Institutos Superiores dasCiências
Diretora do Instituto Superior de Ciências Exatas, Agrárias,Tecnológicas e Geociências
Giani Andréa Linde ColautoDiretora do Núcleo dos Institutos Superiores de CiênciasHumanas, Linguística, Letras e Artes, Ciências SociaisAplicadas e EducaçãoFernanda Garcia Velásquez
Diretora do Instituto Superior de Ciências Biológicas,Médicas e da SaúdeIrinéia Paulina Baretta
Diretorias das Unidades Universitárias
Diretor da Unidade de Umuarama – SedeNílvio Ourives dos Santos
Diretor da Unidade de ToledoRoberto Ferreira Niero
Diretora da Unidade de GuaíraSandra Regina de Souza Takahashi
Diretora da Unidade de ParanavaíEdwirge Vieira Franco
Diretor da Unidade de CianorteJosé Aparecido de Souza
Diretor da Unidade de CascavelGelson Luiz Uecker
Diretor da Unidade de Francisco BeltrãoClaudemir José de Souza
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 4/42
SEMEAD – SECRETARIA ESPECIAL MULTICAMPI DE EDUCAÇÃO
A DISTÂNCIA
Secretário ExecutivoCarlos Eduardo Garcia
Coordenação Geral de EAD Ana Cristina de Oliveira Cirino Codato
Coordenador do Núcleo de Cursos Superiores das Áreas deEducação, Linguística, Letras e Artes e de Ciências Humanas
Heiji Tanaka
Coordenador do Núcleo de Cursos Superiores da Área deCiências Sociais Aplicadas
Evandro Mendes Aguiar
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca da UNIPAR
Revisão de Normas BibliográficasInês Gemelli
Diagramação e CapaSandro Luciano Pavan
* Material de uso exclusivo da Universidade Paranaense – UNIPAR com todos os direitos da edição a elareservados.
U58g UNIPAR - Universidade Paranaense.
Matemática / UNIPAR- Universidade Paranaense. –
Umuarama: Unipar, 2014.
42 f.
ISBN
1. Matemática. 2. Ensino a distância - EAD. I.
Universidade Paranaense. II. Título.
(21 ed.) CDD: 510
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 5/42
SUMÁRIO
MATEMÁTICA
APRESENTAÇÕES .............................................................................................................. 5
INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 9
UNIDADE I ........................................................................................................................... 13
Objetivos da unidade ...................................................................................................... 13
Equações do primeiro grau .......................................................................................... 13
Potência de expoente inteiro ....................................................................................... 13
Expressões numéricas .................................................................................................... 14
Potência de expoente racional, simplificação de radicais e racionalização.........16
Operações com expressões algébricas .................................................................... 17
Adição e subtração ........................................................................................................... 18
Multiplicação e divisão ................................................................................................... 18
Equações do 1º grau ........................................................................................................ 19
Inequações do 1º grau .................................................................................................... 20
UNIDADE II ......................................................................................................................... 22
Equações do segundo grau ........................................................................................... 23
Equações de 2º grau ........................................................................................................ 23
Equação do 2º grau completa e incompleta .......................................................... 23
Fórmula de bháskara ...................................................................................................... 24
Funções ................................................................................................................................. 25
Domínio de uma função ................................................................................................. 27
Aplicação .............................................................................................................................. 28
Representação gráfica de uma função ..................................................................... 30
Zeros da função ou raízes de uma função .............................................................. 31
Respostas ............................................................................................................................. 33
Referências .......................................................................................................................... 40
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 6/42
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 7/42
Apresentação
Diante dos novos desafios trazidos pelo mundo contemporâneo e o surgimento de
um novo paradigma educacional frente às Tecnologias de Informação e
Comunicação disponíveis que favorecem a construção do conhecimento, a
revolução educacional está entre os mais pungentes, levando as universidades a
assumirem a sua missão como instituição formadora, com competência e
comprometimento, optando por uma gestão mais aberta e flexível, democratizando o
conhecimento científico e tecnológico, através da Educação a Distância.
Sendo assim, a Universidade Paranaense - UNIPAR - atenta a este novo cenário e
buscando formar profissionais cada vez mais preparados, autônomos, criativos,
responsáveis, críticos e comprometidos com a formação de uma sociedade mais
democrática, vem oferecer-lhe o Ensino a Distância, como uma opção dinâmica e
acessível estimulando o processo de autoaprendizagem.
Como parte deste processo e dos recursos didático-pedagógicos do programa daEducação a Distância oferecida por esta universidade, este Guia Didático tem como
objetivo oferecer a você, acadêmico(a), meios para que, através do auto estudo,
possa construir o conhecimento e, ao mesmo tempo, refletir sobre a importância
dele em sua formação profissional.
Seja bem-vindo(a) ao Programa de Educação a Distância da UNIPAR.
Carlos Eduardo Garcia
Reitor
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 8/42
Seja bem-vindo caro(a) acadêmico(a),
Os cursos e/ou programas da UNIPAR, ofertados na modalidade de educação a
distância, são compostos de atividades de auto estudo, atividades de tutoria e
atividades presenciais obrigatórias, os quais individualmente e no conjunto são
planejados e organizados de forma a garantir a interatividade e o alcance dos
objetivos pedagógicos estabelecidos em seus respectivos projetos.
As atividades de auto estudo, de caráter individual, compreendem o cumprimento
das atividades propostas pelo professor e pelo tutor mediador, a partir de métodos e
práticas de ensino-aprendizagem que incorporem a mediação de recursos didáticosorganizados em diferentes suportes de informação e comunicação.
As atividades de tutoria, também de caráter individual, compreendem atividades de
comunicação pessoal entre você e o tutor mediador, que está apto a: esclarecer as
dúvidas que, no decorrer deste estudo, venham a surgir; trocar informações sobre
assuntos concernentes à disciplina; auxiliá-lo na execução das atividades propostas
no material didático, conforme calendário estabelecido, enfim, acompanhá-lo e
orientá-lo no que for necessário.
As atividades presenciais, de âmbito coletivo para toda a turma, destinam-se
obrigatoriamente à realização das avaliações oficiais e outras atividades, conforme
dispuser o plano de ensino da disciplina.
Neste contexto, este Guia Didático foi produzido a partir do esforço coletivo de uma
equipe de profissionais multidisciplinares totalmente integrados que se preocupa
com a construção do seu conhecimento, independente da distância geográfica que
você se encontra.
O Programa de Educação a Distância adotado pela UNIPAR prioriza a
interatividade, e respeita a sua autonomia, assegurando que o conhecimento ora
disponibilizado seja construído e apropriado de forma que, progressivamente, novos
comportamentos, novas atitudes e novos valores sejam desenvolvidos por você.
A interatividade será vivenciada principalmente no ambiente virtual de aprendizagem
– AVA, nele serão disponibilizados os materiais de auto estudo e as atividades de
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 9/42
tutoria que possibilitarão o desenvolvimento de competências necessárias para que
você se aproprie do conhecimento.
Recomendo que durante a realização de seu curso, você explore os textossugeridos e as indicações de leituras, resolva às atividades propostas e participe dos
fóruns de discussão, considerando que estas atividades são fundamentais para o
sucesso da sua aprendizagem.
Bons estudos!
e-@braços.
Ana Cristina de Oliveira Cirino Codato
Coordenadora Geral da EAD
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 10/42
Caro(a) acadêmico(a),
Este Guia Didático é composto de informações e exercícios de análise,
interpretação e compreensão dos conteúdos programáticos da disciplina deMatemática do Programa Institucional de Nivelamento (PROIN) que você encontra-
se matriculado.
O Guia Didático foi elaborado por um Professor Conteudista, embasado no plano
de ensino da disciplina, conforme os critérios estabelecidos no Projeto Pedagógico
do Curso. Para que você, caro(a) acadêmico(a), se cientifique da qualificação do
Professor Conteudista responsável pela elaboração deste material, apresentamos,
resumidamente, seu currículo:
Discipl ina : Matemática (PRO-IN)
Autor : Willian Baraviera de Almeida
Graduado em Matemática, pela Universidade Paranaense - UNIPAR em 2009;
Especialista em Matemática pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná -
Campo Mourão (2011); Exerce função de professor na UNIPAR nos cursos de
Engenharia Civil, Engenharia Mecânica, Engenharia Agronômica, Sistemas de
Informação e Química Industrial.
Além do professor conteudista, existe uma equipe de professores e tutores
mediadores devidamente preparados para acompanhá-lo e auxiliá-lo, de forma
colaborativa, na construção de seu conhecimento.
Bons momentos de estudos!
e-@braços.
Evandro Mendes Aguiar
Coordenador do Núcleo de Cursos Superiores da Área deCiências Sociais Aplicadas
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 11/42
INTRODUÇÃO
A falta de conhecimento e domínio de conceitos elementares em matemática básica,
tem sido constantemente observado pelos professores que trabalham diariamentecom esta área de conhecimento entre os alunos que ingressam no curso superior.
Visando preencher essa deficiência na formação do estudante, o Curso de
Nivelamento oferecido pela UNIPAR tem como objetivo promover aos alunos o
reforço e a revisão de conteúdos básicos da matemática, de forma que todos
possuam condições equivalentes e necessárias para a sequência dos estudos
específicos de cada graduação.
Basicamente serão abordadas equações de primeiro e segundo grau e suas
operações. Para que se obtenha um bom resultado, o aluno deve resolver a maior
quantidade de exercícios possível, pois matemática é treino. Não desanime, fique
calmo, tenha paciência e seja persistente.
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 12/42
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 13/42
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 14/42
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 15/42
UNIDADE I
OBJETIVOS DA UNIDADE
Caro aluno, quando finalizar essa etapa, você deverá ter recordado alguns assuntos
e conteúdo do estudo da matemática básica ou elementar, desta forma iremos
relembrar e ver novos conceitos utilizando as equações de primeiro grau como:
Potência de expoente inteiro;
Expressões numéricas;
Potência de expoente racional, simplificação de radicais e racionalização;
Operações com expressões algébricas;
Equações do primeiro grau;
Inequações do primeiro grau.
EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
POTÊNCIA DE EXPOENTE INTEIRO
Seja a um número real e m e n números inteiros positivos. Podemos observar as
seguintes propriedades de potenciação:
1) an = a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a... (n vezes)
2) a0 = 1
3) a1 = a
4)
5) an ∙ am= an+m
6) an ÷ am = an-m
7) (am)n = am∙n
8)
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 16/42
1ª Questão: Calcule agora o valor das expressões abaixo aplicando as propriedades
que vimos acima:
24
=b (- 3)3 =
c - (- 2)5 =
d 3-2 =
e
f
g
=
h
( ) =
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
Veremos agora, que para calcular qualquer expressão numérica, é necessário
obedecer algumas prioridades. Então, tenha em mente que deverá realizar os
cálculos na seguinte ordem:
1º) Parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { };
2º) Potência e raízes;
3º) Multiplicação e divisão;4º) Soma e subtração.
Mas lembre-se: caso tenha numa expressão, como no exemplo a seguir: 2 + 2 3 3,observe que temos duas multiplicações, na qual correspondem à mesma ordem de
resolução, neste caso você deverá resolver a multiplicação no sentido esquerda
para a direita, e finalmente após a solução das duas multiplicações, então resolver a
soma.
Alguns detalhes importantes que deverá lembrar quando resolver expressões
matemáticas:
Soma e subtração de frações: deve-se tirar o MMC (Mínimo MúltiploComum) entre os denominadores;
Produto entre frações, ou seja multiplicação de frações: deve-se multiplicar
numerador com numerador e denominador com denominador, exemplo: ;
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 17/42
Para a divisão entre frações: repete o primeiro e multiplica-se pelo segundo
invertido, veja o exemplo: , você ainda poderá simplificar o
resultado da expressão, mas como assim? Observe que tanto o 20 quanto o14 são números divisíveis por 2, iremos então simplificar dividindo por 2,
teremos o novo resultado sendo ;
E claro, não poderíamos esquecer do jogo de sinais, estas regras devem seraplicadas em caso de multiplicação ou divisão onde os elementos possuemsinais:
(+) ∙ (+) = (+) (-) ∙ (-) = (+)
(+)∙ (-) = (-)
(-) ∙ (+) = (-)
Excelente, nosso próximo passo é colocar em prática o que acabamos de relembrar,
mãos à obra!
2ª Questão: Calcule o valor numérico das expressões abaixo:
[-18 + (-6 + 10 -6) -2] + [12 – 7 (-8 + 8)] =
b 17 – [14 – 21 + [-12 – (7 – 10 – 1) – 4)} + 10 =
c -3 + 5 {-3 + 5 [-3 + 5 (-3 + 5)]} =
d 3 {-1 2 5 – 3 (-1 + 10 + 5 5 – 6 (1 – 4)] =
e [(-8) ( -27) – 12 (-7 + 3 16 1 – 7) =
f 148 – [53 – 22 (-2)3 + 3 (25 – 43)] =
g [(-2)7
– (-2)6
– (-2)5
– (-2)4] ÷ [(-2)3
– (-2)2
– (-2)1
– (-2)0] =
h +
i + +
j
=
k 2 =
l 3 5 =
m
[
]
n
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 18/42
POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL, SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS ERACIONALIZAÇÃO
Às vezes nos deparamos com potências da forma e nos perguntamos: “Como
resolver essa expressão?”. Bom, devemos lembrar que a expressão acima simboliza√ .
Portanto: √ 2.
Obser vação : Como trabalhamos apenas com números reais, sóconsideraremos raiz de número negativo se o seu índice for ímpar, poiscaso contrário, seu resultado não será um número real.
Outro fato comum é nos depararmos com um resultado que apresenta uma raiz que
pode ser simplificada. E como proceder para simplifica-la?
1º) Fatore o radicando;
2º) Agrupe os fatores primos achados de acordo com o índice da raiz, porexemplo, se o índice for 2, agrupe-os de dois em dois; se o índice for 3,agrupe-os de três em três; e assim por diante;
3º) Cada grupo formado sai da raiz como um fator apenas e os fatores quenão formarem grupos completos permanecem dentro da raiz; e
4º) Todos os fatores que saírem serão multiplicados assim como os quepermanecerem.
Vamos a um exemplo: Simplifique √ 1 3√ 2.
Podemos ainda chegar a um resultado que apresenta um radical no denominador,
fato este esteticamente incorreto na matemática. Portanto, devemos racionalizar o
resultado. Isso significa que devemos fazer manipulações algébricas para retirar o
radical do denominador. O tipo de racionalização mais simples, que é a que veremos
aqui, é aquela que apresenta somente uma raiz quadrada no denominador, e
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 19/42
conseguimos racionalizar o resultado, multiplicando ambos, numerador e
denominador, pela própria raiz. Vamos para um exemplo:
1√ 2 1√ 2 √ 2√ 2 √ 22
3ª Questão: praticar com os radicais abaixo:√ 576
b √ 300c √ 125d √ 52
e √ 23
f √ 0
g √
h √ 32
4ª Questão: Para testarmos o aprendizado da racionalização:
√ b
√ c
√
d
√ e
√
OPERAÇÕES COM EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Expressões algébricas são expressões que envolvem letras ou números e letras,
como por exemplo:
a + b
5x + 4
5x 2
+ 2x + 1
5z + 5y
4x 5
y 2
z
2x + 2y
As letras são chamadas de variáveis e os números que as acompanham são
chamados de coeficientes. Podemos fazer operações de adição, subtração,
multiplicação e divisão.
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 20/42
Adição e Subtração
Só podemos adicionar ou subtrair termos semelhantes e, essa operação será feita
sobre os coeficientes, mantendo-se a parte literal. Observe que, se não houvertermo semelhante para operar, ele apenas será repetido.
+ 5 + 3 + 2 2 + 5 2 + 3 + 2 3 + 3 + 5
Multiplicação e Divisão A multiplicação deverá ser feita multiplicando-se primeiro os coeficientes, depois a
parte literal, obedecendo as regras de potenciação e a regra da distributividade e,
por fim, adicionando-se os termos semelhantes.
+ 1 + 3 + 3 + 1 + 1 3 + 3 + + 3
+ + 3
A divisão deverá ser realizada, dividindo-se cada termo do polinômio pelo monômio,
lembrando-se das regras de potenciação.
2 2 + 2 + 1 02 22 22 + 22 + 102 + 5
5ª Questão: Você irá efetuar as operações abaixo:
3 2 + + 3 + 6 b
(2 5 + ) (3 2 + + 3)
c
2 2 + 5 3 2 + d
( + + ) (2 2 + 5)
e
(3 + 2 ) + (3 + ) (
2
2)
f 2 10 1 + g 6 + 5 1 h
+ 3 2
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 21/42
i
( 2) ( + )
j
( 3) ( + 3)
k
6
+ 2 l
(3 + 6 12) (3)
m 5 + 3 2 n
12 16 + 20 6ª Questão: Você deverá utilizar produto notáveis para solução dos problemas
abaixo:
+ 2 b 5+3 c
2+5
d
√ 2 + √ e
5
f
2
g
23
h
i
+ 5 5
j
2 12 + 1
k
2 3 2 + 3
l
(√ + )(√ )
m
(√ + 1 ) (√ 1 )
EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Uma equação que pode ser escrita na forma + 0, onde a e b são números
reais conhecidos, com a ≠ 0, x representa uma incógnita e o expoente de x é 1, é
chamada de equação do 1º grau a uma incógnita. Os números conhecidos são
chamados coeficientes. Um valor que pode ser atribuído à incógnita, tal que torne a
sentença verdadeira é chamado de raiz ou solução da equação. O conjunto das
raízes ou soluções de uma equação é chamado de conjunto solução e pode ser
indicado pela letra S.
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 22/42
Acom panhe o exemplo:
2 2 2 + 2 2 2 6 2 62 3
2 + 73 3 1 2 3 + 7 3 2 3 21 27 2 3 2 7 2 7 + 2 3
7ª Questão: Solucione as equações a seguir:
3 5 2 5
b 2 3
c 3 2 5
d
0
e
+ 1 0 1 6
f + 10
g + 2 + 1 0 32 + 7
h
i 3 6
j 2 + 3 + 2 3 + 5
k
+ 1
3
l + 2
INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
Uma expressão algébrica que apresenta algum sinal de desigualdade em vez do
sinal de igualdade (>,<,≥,≤) é denominada inequação. Resolver uma inequação é
encontrar todos os valores que tornam a desigualdade verdadeira. A inequação do
1º grau, assim como uma equação do primeiro grau, é aquela em que o expoente da
incógnita é 1. A maneira de resolver é semelhante à equação do 1º grau. A diferença
consiste no fato de que, quando o coeficiente do x é negativo, multiplicamos a
inequação por (-1) e invertemos a desigualdade.
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 23/42
Veja um exemp lo: 2 + 7 1 5
O objetivo da inequação acima é definir quais valores que x pode assumir de forma
que 2 + 7 seja maior do que 15.
Agora, acompanhe a solução:
2 1 5 7 2
2
Ou seja, sempre que x for um número maior (>) do que 4, 2+7 será maior do
que 15. Vale lembrar que quando multiplicar a inequação por (-1) o sinal inverterá!
8ª Questão: Solucione as inequações abaixo:
2 1
b 2 6 + 5
c 5 3 + 1
d 32 2 + 1
e 1 3 + 1 10
f 1 0 6 1 5 + 1 + 7
g + 1 0 6 1 3 2
h
i
+ 2
j
1
k 2 3 + 33 2 2 + 1
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 24/42
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 25/42
UNIDADE II
EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU
Caro aluno, acabamos a unidade 1 e quando finalizar essa nova etapa, a etapa 2,
você deverá ter recordado mais alguns assuntos e conteúdo do estudo da
matemática básica ou elementar. Iniciaremos alguns assuntos de equações e
funções do segundo grau como:
Equações completas e incompletas;
Fórmula de Bháskara;
Domínio de uma Função;
Representação Gráfica de funções;
Zeros ou raízes de uma função.
EQUAÇÕES DE 2º GRAU
Denomina-se equação do 2o grau, qualquer sentença matemática que possa ser
reduzida à forma + + 0 (obviamente com a = 0, pois se a = 0 a equação
seria do primeiro grau), onde x é a incógnita e a, b e c são números reais, com a =
0. A incógnita a, b e c são os coeficientes da equação. Observe que o maior índice
da incógnita na equação é igual a dois e é isto que a define como sendo uma
equação do segundo grau.
Equação do 2º Grau Completa e Incompleta
Caso b ≠ 0 e c ≠ 0, temos uma equação do 2º grau completa. A sentença
matemática 2 + 3 5 0 é um exemplo de equação do 2º grau completa, pois
temos b = 3 e c = −5, que são diferentes de zero. Chamamos de equação do 2º grau
incompleta, a equação do tipo
+ + 0 onde b = 0, c = 0 ou b = 0 e c = 0.
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 26/42
Segue alguns exemplos:
1)
+ 7 0 é um exemplo de equação do 2º grau incompleta, pois b = 0.
2) Neste outro exemplo, 3 0 a equação é incompleta, pois c = 0.
3) Veja este último exemplo de equação do 2º grau incompleta, 0, onde tantob, quanto c são iguais a zero.
Para solucionar uma equação de 2º grau, temos a fórmula de Bháskara para facilitar
nossa vida.
Fórmula de Bháskara
Dada uma equação do tipo + + 0, para encontrar os valores que x
pode assumir, de forma que seja satisfeita a igualdade, temos uma importante
relação que é a “Fórmula de Bháskara”.
√
2
Por exemplo: quais os valores de x que satisfazem a equação + 5 + 0?
Inicialmente devemos identificar quais são os coeficientes que estão ocupando os
lugares de a, b e c, pois estes números serão substituídos em suas respectivas
posições na fórmula.
Para
1 2 , logo:
5 √ 5 1 2 1
5 √ 25 162
5 √
2
5 + 32 22 1
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 27/42
5 32 2
Portanto temos x’ = -1 e x’’ = -4, isso significa que tanto o -1 quanto o -4, são as
soluções desta equação, ou seja, tanto o -1 quanto o -4, ao serem substituídos no
lugar de x na equação + 5 + 0, resultarão em zero.
9ª Questão: Encontre as raízes das equações de 2º grau a seguir:
b 3 1 2 0
c 3 + 2 1 0
d 26 0
e
3
f + 5 + 6 0
g
+ 0
h 1 6
i 2 + 6 1 2
j + 1
k + 5 3 2 5
l + 6 + 1 0 0
m 2 3 + 1 0
n
2 + 3 5 1 0
o
+ 3
16
FUNÇÕES
Definimos função como a relação entre dois ou mais conjuntos, estabelecida por
uma lei de formação, isto é, uma regra geral. Os elementos de um grupo devem ser
relacionados com os elementos do outro grupo, através dessa lei. Por exemplo,
vamos considerar o conjunto A formado pelos seguintes elementos {-3, -2, 0, 2, 4}
que irão possuir representação no conjunto B de acordo com a seguinte lei de
formação .
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 28/42
3202
3
2
0 0 2 16
016
Aplicada a lei de formação, temos os seguintes pares ordenados: {(-3, 9), (-1, 1),
(0,0), (2, 4), (4, 16)}. Essa relação também pode ser representada com a utilização
de diagramas de flechas, relacionando cada elemento do conjunto A com os
elementos do conjunto B. Observe:
Figura 1: Diagrama de Venn
No diagrama de Venn é possível observar com mais clareza que todos os elementos
de A estão ligados a pelo menos um elemento de B, então podemos dizer que essa
relação é uma função. Dessa forma o domínio é dado pelos elementos do conjunto
A, e a imagem, pelos elementos do conjunto B.
Normalmente, a função é definida utilizando-se uma fórmula matemática, por
exemplo:
É muito comum também, vermos a variável substituindo :
Neste caso,
é chamada variável dependente e
variável independente, pois o
valor de é resultado do emprego da fórmula para um determinado valor de ,ou
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 29/42
seja, o valor de depende do valor de . Logo, se quisermos saber qual o número
que está associado ao número 2 pela fórmula acima, basta fazer:
2 2
Domínio de uma Função
O conjunto de valores para os quais a função poderá ser calculada, é o Domínio da
função. Para determinarmos esse conjunto, é preciso obedecer duas primícias
básicas da matemática, que chamaremos de CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA.
1) Em uma fração o denominador deve ser sempre diferente de zero;
2) Em uma raiz de índice par, o radicando deve ser sempre maior ou igual a zero.
Exemplo:
Determine o domínio das funções abaixo:
3 + 2 5 Não há qualquer restrição, portanto, .
b Neste caso, devemos obedecer a primeira restrição: 2 1 0 2 1 , logo o domínio da função serão todos os números reais com exceção do, ⁄ .
c √ + Agora, basta ficar atento a segunda restrição, + 0 , logo ⁄ (x pode assumir qualquer valor, desde que o mesmo seja maiorou igual a -4).
d
√ Observe que agora temos a raiz quadrada no denominador, logo
+ 0 e
não 0, pois não existe divisão por zero. Logo o domínio dessa função será ⁄ .
10ª Questão: Calcule as funções abaixo, conforme o indicado:
3 + 5 2 1 0 2
b 2 + 1 10 1
c
+ 1 1 2
d 2 0 1
e √ + 2 + 2 0
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 30/42
f + 1 0 1
g 1 5 13
h 2 + 1 + 1 1 3 0 1 3
i { 3 5 + 1 5 5√ 5 } 6 5 0 16
11ª Questão: Encontre o domínio das funções abaixo:
2 + 2 + 5
b
c
d
e
√ 3
f √ 3 +
g √
h √
Aplicação
Numa situação prática, não costumamos usar x e y, mas letras que sugerem as
grandezas em questão, por exemplo, C = custo, q = quantidade, R = receita, L =
lucro, etc.
Exemplo: Suponha que o custo total de fabricação de q unidades de uma certa
mercadoria seja dada pela função 30 + 500 + 200.
Calcule o custo de fabricação de 10 unidades da mercadoria.
O custo de fabricação de 10 unidades é o valor da função custo total quando 10, logo:
10 10 3010 + 500 10 + 200
10 1000 30 100 + 5000 + 20010 1000 3000 + 5000 + 200 10 3200
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 31/42
Portanto, o custo para fabricar 10 unidades da mercadoria é de R$ 3.200,00
b Calcule o custo de fabricação da 10ª unidade da mercadoria.
O custo de fabricação da 10ª unidade é a diferença entre o custo de fabricação de
10 unidades e o custo de fabricação de 9 unidades.
Então, como 3 30 2 + 500 + 200 2, temos que:
10 3200 2 201
Portanto, o custo de fabricação da 10ª unidade da mercadoria é de R$ 201,00.
12ª Questão: Suponha que o custo total para se fabricar q unidades de um certo
produto seja dado pela função 30 + 00 + 500.
Calcule o custo de fabricação de 20 unidades.
b Calcule o custo de fabricação da 20ª unidade.
13ª Questão: Um estudo sobre a eficiência de operários do turno da manhã de uma
certa fábrica indica que um operário médio, que chega ao trabalho às 8 horas da
manhã, monta, x horas depois de iniciado o expediente, + 6 + 15
rádios transistores.
Quantos rádios o operário terá montado às 10 horas da manhã?
b Quantos rádios o operário terá montado entre 9 e 10 horas da manhã?
14ª Questão: Suponha que às t horas do dia, a temperatura em uma certa cidade
seja de:
16 + + 10
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 32/42
Qual era a temperatura às 14 horas?
b De quanto a temperatura aumentou ou diminuiu, entre 18 e 21 horas?
Representação Gráfica de uma Função
Para representarmos graficamente uma função do tipo 2 + 1, basta
atribuirmos valores aleatoriamente para e o resultado será o valor de formando o
par ordenado (
;
) (onde
representa o número de unidades que se deve deslocar
no eixo e representa o número de unidades que se deve deslocar no eixo ), queé a coordenada do ponto no plano cartesiano .
2101
2
2 + 1 22 + 1 3 21 + 1 1 20 + 1 1 21 + 1 3
22 + 1 5
3113
5
Dando origem ao gráfico:
Fonte: Elaborado pelo autor, 2013
Já a função , tem como gráfico:
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 33/42
Fonte: Elaborado pelo autor, 2013
Este, foi obtido da mesma maneira que o anterior, apenas atribuindo valores para
e obtendo um , formando a imagem acima.
Vale ressaltar, que toda função de 1º grau possui como “imagem” uma reta e toda
função de 2º grau possui como “imagem” uma parábola, como nos exemplos
anteriores.
15ª Questão: Escolha 3 funções do exercício 9 e 3 funções do exercício 7 e
represente-as graficamente.
Zeros da Função ou Raízes de uma Função
Os “zeros” ou “raízes” de uma função, são os valores que a variável pode assumir
tornando a expressão igual a zero. Por exemplo:
Para encontrar o zero da função, inicialmente iremos igualar a função a zero, logo
isso torna possível o uso da fórmula de Bháskara para encontrarmos os valores que pode assumir para que seja satisfeita a igualdade:
0Como equação é incompleta, pois
0, não é necessário o uso da fórmula de
Bháskara, iremos apenas isolar o :
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 34/42
Extraímos a raiz quadrada em ambos os lados da igualdade, visando encontrar o
valor de e não de , vejamos:
√
Utilizando as propriedades de potenciação, temos que || 2, então 2.
Isso significa que pode ser tanto -2 quanto 2, pois qualquer um dos dois ao ser
elevado ao quadrado obtém-se 4 como solução.
Graficamente, os zeros da função representam os pontos onde a função intercepta o
eixo , veja:
Fonte: Elaborado pelo autor, 2013
Perceba que o gráfico passa exatamente pelos pontos –2 e 2.
16ª Questão: Encontre os zeros das funções abaixo e represente graficamente:
5 + 6 0
b + 0
c 0
d 0
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 35/42
RESPOSTAS
Questão 1
16 f 125/7
b -27 g 1/4
c 32 h 10 ou 1000
d 1/9
e 16/9
Questão 2
-17 j -55/4
b 46 k -8
c 157 l -25/2
d 25 m -16/25
e -58 n 3/2
f 87
g 16
h 4/3
i -3/4
Questão 3
24 e √ 3
b)
10√ 3 f)
3√ 10
c 5√ 5 g 7√ 2
d 2√ 13 h 18
Questão 4
√ d 2√ 3
b √ e 3/2
c
√
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 36/42
Questão 5
3 + h 5 + 2 6
b
5 2 3 i
+ 2 2
c + 2 + j + 3 3
d 33 1 k 3 2 +
e 2 + 2 + 3 l 2 +
f 20 36 +15 m
+ 2
g 6 30 + 6 n 3 + 5
Questão 6
+ + h
b 2 5 + 3 0 + i 25
c +20+252 j 1
d
2 + 2 +
k
e 1 0 + 2 5 l x-yf 1 6 1 6 + m x-1
g 12+
Questão 7
a)
1 0 g)
3
b) h)
c 3 i
d 1 5 j sem solução
e 1 2 k todos os números reais
f 1 2 l sem solução
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 37/42
Questão 8
a) 5 g) 10
b)
11 h)
c) 1 i)
d) j) 1
e) 3 k) S=
f) 6
Questão 9
a) 3 i) 2 3
b) 2 j)
c) 0 3 k) 52
d 0 l sem solução
e) 5 m) 1 12f) 2 3 n) 2
g) 2 o) 1 7
h)
Questão 10
f (1) = 6; f (0) = 2; f ( 2) = 0 g 1 1 5 13
b h( 1) = 1; h(0) = 1; h(1) = 27 h h(3)=10;h(1)=6;h(0)=4;h(-3) = 2
c g(-1) = - 2 ; g(1) = 2; g(2) =5/2 i 6 3 5 d f (2) = 2=5; f (0) = 0; f (-1) =-1/2
0 1 16
e) 2 2√ 3 0 2 2√ 3 f) 0 1 1 0 27
Questão 11
3
b 2 f
c
2 1 g
d h
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 38/42
Questão 12
R$4500
b R$371
Questão 13
46 Rádios
b 26 Rádios
Questão 14
33,33ºC
b Diminuiu 7,5ºC
Questão 15
Pessoal
Questão 16
a) Zeros ou raízes: {x=2 ou x=3 }
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 39/42
b) Zeros ou raízes: {x=2}, Gráfico
c) Zeros ou raízes: 2 2
d) Zeros ou raízes 3 3
Caro aluno, para melhor complementar o aprendizado que aqui
tivemos, acrescentando novas fontes de pesquisa e consulta
para seus estudos, recomento o acesso a alguns sites que
possuem materiais explicativos, exemplos e até exercícios!
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 40/42
Acesse em: www.brasilescola.com/matematica
Acesse em: www.somatematica.com.br
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 41/42
Acesse em: www.matematicadidatica.com.br
E não esqueça! Procure sempre resolver os exercícios, o estudo da matemática
necessita de prática. Então vamos lá, acesse agora e comece a praticar! Vale
lembrar que as dúvidas poderão ser postadas no fórum, fale também com o tutor,
você não está sozinho nessa jornada.
7/17/2019 Matematica - Nivelamento
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-nivelamento 42/42
REFERÊNCIAS
LEONARDO, Fabio M. (Org.). Projeto Araribá: matemática, 9º ano. 3. ed. SãoPaulo: Moderna, 2010.
GIOVANNI, J. R. et al. A conquista da matemática, 8º ano. 9. ed. São Paulo: FTD,2012.
______. A conquista da matemática, 7º ano. 9. ed. São Paulo: FTD, 2012.
BRASIL escola. Disponível em: <www.brasilescola.com/matematica>. Acesso em:11 dez. 2013.
SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: <www.somatematica.com.br>. Acesso em: 11
dez. 2013.
MATEMÁTICA didática. Disponível em: <www.matematicadidatica.com.br>. Acessoem: 11 dez. 2013.