MATEMÁTICA

AULA 3

FUNÇÕES

01.(ITA) Considere a função y=f(x) definida por f(x)=x3-2x2+5x, para cada x real. Sobre esta função, qual das afirmações abaixo é verdadeira?a) y=f(x) é uma função par.DEFINIÇÃO: Uma função é par se

f(x)=f(-x), xD(f).Vamos calcular f(-x): NÃO É PAR.

f(-x)=(-x)3-2(-x)2+5(-x)f(-x)=-x3-2x2-5x f(x)

LEMBREM: Poderíamos ter aplicado o Teorema do Grande Kochambre: “UMA FUNÇÃO POLINOMIAL É PAR SE POSSUIR SOMENTE EXPOENTES PARES”.

b) y=f(x) é uma função ímpar.DEFINIÇÃO: Uma função é ímpar se

f(x)=-f(-x), xD(f).NÃO É ÍMPAR.

LEMBREM: Poderíamos ter aplicado o Teorema do Grande Kochambre: “UMA FUNÇÃO POLINOMIAL É ÍMPAR SE POSSUIR SOMENTE EXPOENTES ÍMPARES”.

c) f(x)0 para todo x real.d) f(x)0 para todo x real.e) f(x) tem o mesmo sinal de x, para todo x real.

f(x)=x3-2x2+5x

Podemos pôr o x em evidência.

f(x)=x(x2-2x+5)Agora, vamos analisar o sinal dos

fatores. x

x2-2x+50

-- +

++ +

+ f(x)=x(x2-2x+5)

--

Quem faz Apogeu sabe o gráfico de uma função do 3° grau.

Veja pelo gráfico que uma função do 3° grau, nunca terá gráfico todo para cima ou todo para baixo do eixo

dos x.

02.(EN) Seja f:A uma função y=f(x) tal que f(x)=-2x2+4x-5 , para cada x real. A condição para que f seja sobrejetora é que?a) A=]-,3]b) A=]-,-3]c) A=[3,[d) A=]2,[e) A=]-,-2[

O gráfico de f(x)=-2x2+4x-5 é uma

PARÁBOLAcom a concavidade voltada

para BAIXO.

Vimos na aula anterior que uma função é sobrejetora seIm(f)=CD(f).

a

bxv 2

1)2(2

4

yv=f(xv)=-2.12+4.1-5

=-3

V

Resolvendo, agora por derivada:

f(x)=-2x2+4x-5

f(x)=-4x+4

=0

x=1

03.(CEFET-PR) Se f é definida por e g(x)=x2-1 , então o domínio de fog é:a) [-,-1] ou [1,+]b) [-,-1) ou (1,+]c) (-,-1) ou (1,+)d) [-,-1]e) (-,-1] ou [1,+)

xxf )(

fog(x)=f(g(x))

)()( xgxfog

1)( 2 xxfog

IMPONDO QUE O RADICANDO É MAIOR OU IGUAL A ZERO

012 x

-1 1

+ - +

Qual é a alternativa correta?

04.(CEFET-PR) Se f(g(x))=4x2-8x+6 e g(x)=2x-1, então f(2) vale:a) -2b) -1c) 3d) 5e) 6

f(g(x))=4x2-8x+6g(x)=2x-1

f(2x-1)=4x2-8x+6f(2)=?

2x-1=2

então x=3/2

f(2)=4.(3/2)2-8.3/2+6= 3

Para calcular g(5), por exemplo, basta substituir o x por 5 em g(x), porque temos g(x)

05. (ITA - SP) Seja a função f:-{2} em -{3},

definida por . Sobre sua inversa

podemos garantir que:a) Não está definida pois f não é injetora.b) Não está definida pois f não é sobrejetora.

c) Está definida por

d) Está definida por

e) Está definida por

12

32)(

x

xxf

3,3

2)(1

yy

yyf

3,13

5)(1

yy

yyf

3,3

52)(1

yy

yyf

O gráfico desta função é uma hipérbole

2

3

Para determinarmos a função inversa devemos trocar x por y, y por x e isolar y=f-1(x)

12

32)(

x

xxf 1

2

32

y

yx

2

232

y

yyx 53)2( yyx

532 yxxy 523 xyxy

52)3( xyx3

52)(1

x

xxf

06.(UFG) O zeros da função são:a) -7 e -8b) 7 e -8c) 7 e 8d) -7 e 8e) nda

35

12)(

xxf

Para determinarmos os zeros de uma função, vamos igualá-la a zero

035

12)(

xxf 3

5

12

x

35

12

x 2x - 1 = 152x - 1 = -15

x1 = 8

x2 = -7

07.(PUC-SP) A soma de todos os números inteiros que satisfazem a sentença 23x-1<5 é:a) 6b) 5c) 2d) 1e) 0

Temos duas inequações:

2 3x-1 3x-1 < 5E

2 3x-1Se z > a, então z<-a ou z>a, neste caso:

3x-1 -2

3x-1 2

x -1/3x 1

3x-1< 5Se z < a, então –a < z < a, neste caso:

-5 < 3x-1 < 5

-4 < 3x < 6-4/3 < x <

2 x -1/3

ou x 1

-4/3 < x < 22

1

-4/3

-1/3

interseção1-1

OU

“SE ESFORCEM AO MÁXIMO, PARA QUE NO FUTURO VOCÊS SEJAM AS LOCOMOTIVAS E NÃO OS VAGÕES.”

PALAVRAS DO VÉIO SÁBIO