Revisão PA e PGRevisão PA e PG

Professor: DejahyrProfessor: Dejahyr

Exercício 1: (ITA/2000) O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo:

a) [– 2, –1]b) [– 1, 0]c) [0, 1]d) [1, 2]e) [2, 3]

Solução:Solução:

Para que a seqüência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação da definição de PA):(1) -5n = 2 + 3n + r (a2 = a1 + r)(2) 1 - 4n = -5n + r (a3 = a2 + r)

Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2):

(1): r = -5n - 2 - 3n = -8n - 2(2): 1 - 4n = -5n - 8n - 2 => 1 - 4n = -13n - 2=> 13n - 4n = -2 - 1 => 9n = -3 => n = -3/9 = -1/3

Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b).

Exercício 2: (UFLA/99) A soma dos elementos da seqüência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é:a) 3,1b) 3,9c) 3,99d) 3,999e) 4

Solução:Sejam S a soma dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009; …) de razão q = 10-1 = 0,1.

Assim:

S = 3 + S1S = 3 + S1

Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1:

S1 = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1

Portanto: S = 3 + 1 = 4

Exercício 3: (STA. CASA) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. A soma do sexto termo dessa P.A., com o décimo quinto termo, vale:

Solução:Solução:

Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros termos da PA, teremos:

S20 = 20( a1 + a20)/2 = -15

Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto são equidistantes dos extremos, uma vez que:

15 + 6 = 20 + 1 = 21

E, portanto:a6 + a15 = a1 + a20

Substituindo este valor na primeira igualdade vem:20(a6 + a15)/2 = -15 => 10(a6 + a15) = -15

a6 + a15 = -15/10 = -1,5 a6 + a15 = -15/10 = -1,5

Exercício 4: (MACK) O sexto termo de uma PG, na qual dois meios geométricos estão inseridos entre 3 e -24, tomados nessa ordem, é:

Solução:

Para determinar os dois meios geométricos da PG cujos extremos são 3 e -24 precisamos calcular, primeiro, sua razão q, com n = 4. Pela fórmula do termo geral temos que:

a4 = a1 .q4-1 → -24 = 3q3 → q3 = -24/3 = -8

Logo: q = -2

Portanto a PG é (3; -6; 12; -24; …) e seu sexto termo é obtido, também, através da fórmula do termo geral:

a6 = a1. q6-1 → a6 = 3(-2)5 = -3.32

Finalmente: a6 = -96

Exercício 5: Sendo Sn a soma dos termos de uma PA de razão 4, em que a1 = 6, determine n tal que Sn é igual a 1456.

Solução:

Sabemos que:(1) Sn = (a1 + an )n/2 = (6 + an )n/2 = 1456 → (6 + an )n = 2912

Para determinar n basta expressarmos an em função de n, o que é feito através da fórmula do termo geral de uma PA:

(2) an = 6 + (n - 1).4 = 6 + 4n - 4 = 4n + 2

Substituindo (2) em (1):

(6 + 4n + 2)n = 2912 => 4n2 + 8n - 2912 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau obtemos:

n1 = 26 e n2 = -28

Exercício 6: A soma dos infinitos termos da P.G (x/2; x2/4; x3/8; …) é igual a 1/10. Qual o valor de x?

Solução:

Note que, pela lei de formação da PG, a razão é q = x/2. Como uma PG infinita converge somente se -1 < q < 1, o valor de x deve ser tal que esta condição seja satisfeita. Aplicando, então, a fórmula da soma vem que:

Para que a solução esteja completa falta verificar se q satisfaz a condição de convergência

Como -1 < q < 1 a solução está concluída e x = 2/11

FIM